枚举归纳出现的问题

2024-07-27

枚举归纳出现的问题（精选6篇）

1.枚举归纳出现的问题篇一

试验组（拌和站）日常需检查问题要点

1、料仓标示牌是否及时更新，标示是否与报告相对应，料仓是否二次污染。

2、拌和站生产混凝土原材料误差是否超标，施工配合比标示牌是否更新，混凝土生产明细中原材料使用情况是否与施工配合比相符合。拌和站砂石料进料斗是否混料。

3、外加剂是否露天存放，有没有搭遮阳棚。

4、钢筋棚钢筋是否按不同规格堆放，标示牌是否及时更新。标示牌与堆放钢筋型号、厂家及检验报告是否一一对应。

5、开盘前是否对砂石料进行含水率测试，施工配料单与理论配合比是否对应，签字是否齐全。

6、是否按要求对混凝土性能（坍落度、含气量、温度等）进行测试，测试频率是否符合规范要求，是否按要求制作、留置、养护混凝土试件。混凝土标准养护室温湿度是否符合要求，是否建立混凝土试件出入库台帐及混凝土制作台帐。试件与台帐一一对应。

7、仪器使用记录是否填写齐全，标养室温湿度记录是否填写及时，温湿度度符合规范要求。

8、混凝土性能测试记录签字是否齐全。混凝土施工温度是否在规范要求内。

9、委托原材料报告及半成品试验报告是否及时领取，并建立相关台帐，按月进行分类、装订并归档。

10、检测不合格材料是否按要求进行处理并留影像资料。

11、施工配料单原材料报告编号是否属实，型号及规格填写是否正确，由理论配合比换算施工配合比数据是否正确。

12、拌和站是否在检定周期内。拌和站是否按要求进行校秤，并填写校秤记录，校秤记录签字是否齐全。

13、混凝土试模是否自校，并在自校周期内（自校周期为3个月）。强检试验仪器是否按要求联系当地计量局进行标定，并出具有效检定证书。检定合格的试验仪器应粘贴合格证，停用仪器粘贴停用证。工具类粘贴准用证。

14、防水板是否按要求进行气密性试验测试，并出具防水板搭接焊缝报告，焊缝要求是否符合规范及设计要求。报告签字、盖章是否齐全。

15、现场同条件试件是否按要求进行留置并放入钢筋笼，避免试件丢失。同条件温度记录是否记录齐全。

16、二衬拆模是否留置拆模试件。待强度达到拆模强度时，由试验室进行强度检验并出具拆模强度试验报告，现场方可进行拆模。

17、是否建立计量仪器（器具）台帐。试验组是否按要求配备相应试验人员[每个试验组应配备试验人员2人，并持有铁道部试验检测员（师）证]。

2.枚举归纳出现的问题篇二

休谟称归纳推理为“关于事实的推理”( reasoningconcerning matter of fact) ,对其全面的分析首次呈现在其力作《人性论》( A Treatise of Human Nature) 中。随后,更简洁有力地呈现在《人类理智探究》( An En-quiry concerning Human Understanding) 中。

在《人类理智研究》一书当中的第四章第二节。文章开头连续三个自问自答: 1.“关于事实推理的本质是什么? 恰当的答案似乎是,它们建基于因果关系之上。[1]232. “那 ( 因果) 关系的全部推理与结论的基础又是什么? 也许可以用一个词来回答,经验。”[1]233.“从经验所得出的所有理论的基础是什么? 这暗含着一个新问题,这也许是更困难的解决方案与解释。”[1]23这三个问题让被讨论的对象跌入了一个循环当中。

该问题的实质是: 从已知推至未知的根据。“为何这经验应该被拓展至未来以及其他的也许仅仅是表面相类似的客体,这是我所要坚持的主要的问题。”[1]24显然,这个问题是从时间与空间两个不同的维度来发问,纵然两个维度在一定程度上不能被清晰地区分。从时间的维度,即如何让从过去、现在推至未来; 从空间的维度,即如何从一个事例推至相似的其他多个事例。休谟随后因应着这两个维度展开了深入的分析与探究,最后得出了一个心理学的答案。

二波普尔对归纳问题的处理

在波普尔以前,无论是经典经验论者还是新经典经验论者都是辩护主义者,他们所作出的努力都指向同一个目标,即辩护归纳法的合理性。然而,波普尔对归纳问题研究的贡献体现在他处理归纳问题的新思路: 第一步是否定归纳推理的合理性; 第二步是提出猜想 - 反驳法取代归纳法成为科学研究的主要方法。

( 一) 波普尔消解归纳问题

波普尔对归纳问题采取的是否定的态度,认为“归纳原理易于产生矛盾”[2]5,应该被否弃。他首先将休谟问题理解为归纳问题,然后将其分解为归纳的逻辑问题与心理学问题。

波普尔指出,休谟的归纳的逻辑问题是: ( A)“从我们经历过的( 重复) 事例推出我们没有经历过的其他事例( 结论) ,这种推理我们证明过吗?”[3]30

波普尔将这一问题重述三个新的命题,分别为:

( A1) “解释性普遍理论是真的这一主张能由‘经验理由’来证明吗? 也就是说,能由假设某些试验陈述或观察陈述( 人们可能说这些陈述‘以经验为根据’) 以为真来证明吗?”[3]91

( A2) “解释性普遍理论是真的或是假的这一主张能由‘经验理由’来证明吗? 即,假设实验陈述是真的,能够证明普遍理论是真的或者证明它是假的吗?”[3]4

( A3) “在真或假方面,对某些参与竞争而胜过其他理论的普遍理论加以优选曾经被这样的‘经验理由’证明过吗?”[3]7

休谟的归纳的心理学问题是: ( B) “为什么所有能推理的人都期望并相信他们没有经历过的事例同经历过的事例相一致呢? 也就是说,为什么我们有极为自信的期望呢?”[3]8

波普尔将这一问题重述为两个命题,分别为:

( B1) “如果我们从有充分证据的观点批判地去看理论,而不是从实用的观点去看的话,我们对理论甚至受过最好检验的理论的真理性总是完全有保证或有确定性吗?”[3]9

( B2) “我们都抱有的诸如相信将有明天那样的‘坚强的实用的信念’,是非理性的重复的结果吗?”[3]4

对于问题( A) 与( B) ,不同哲学家有不同回答。

休谟对( A) 的回答是否定的,他认为不管重复多少次,归纳推理在逻辑上都是无效的。而他对( B) 的回答却是肯定的。人类受重复与联想的机制所限制,这一切都是习惯使然,因此,“习惯是人生伟大的指南。只有这条原则可以使我们的经验有益于我们,并且使我们期待将来有类似过去的一串事情发生”。

逻辑经验主义者对( A) 的回答是肯定的。例如,卡尔纳普、莱欣巴哈等等,都在为归纳法的合理性辩护孜孜不倦地做出努力。对问题( B) 的回答是否定的。

波普尔的回答与前两者均不同。他对( A) 的回答是: 第一步,将( A) 重述为( A1) ,然后再给出否定的回答: “没有任何真的试验陈述会证明解释性普遍理论是真的这一主张。”[3]28第二步,他从( A1) 衍推出( A2) ,即y→y∨z,然后给出肯定的答案: “假设试验陈述是真的,有时允许我们证明解释性普遍理论是假的这种主张。”在这里,笔者是认同波普尔的分析的。如果试验陈述是假的,那么既不能证明普遍性理论是真的也不能证明普遍性理论是假的。如果试验陈述是真的,那么不具有证明普遍性理论是真的可能性,只具有证明普遍性理论是假的可能性。恰恰是这样的一种可能性使得对问题( A3) 的回答是肯定的,即对竞争中的理论进行选择是可能的。这一点正是波普尔发展证伪主义的逻辑根据。

至于问题( B) ,波普尔给出的回答是否定的。他认为普遍性的信念并不是像休谟所声称的那样依靠重复而形成的,而是“部分是天生,部分是由尝试和消除错误的方法引起的天生信念的变种”[3]28。休谟对归纳法的理解就是一个悖论: 理性的人类每日的生活所依靠的是非理性的归纳法,一个在逻辑上无效的推理原理,所进行的科学活动都是非理性的活动,所得出的科学知识都是非理性的知识,甚至根本没有资格被称为知识。人类仅仅是盲从习惯而活动的动物而已。这当然是波普尔所极力反对的。他认为人类不仅理性地思考,同时也在理性地活动。科学活动是理性的活动,科学知识是理性的知识、客观的知识。由此,他决心在被休谟混淆了的地方重新再画出一条界线来,其划界标准是理论是否具有可证伪性。

( 二) 波普尔对归纳问题的推进

为科学理论的评价与选择指出了一个新的研究方向是波普尔。从提倡用演绎检验法取代归纳推理至着手解决概率陈述的诠释问题并决意发展一套概率演算的公理系统,这其中的思想可谓环环相扣,一气呵成。他认为科学家应该选择经受住严格检验的理论,并用以指导未来。普遍的观点是波普尔借此取消了归纳法,是不可接受的。笔者认为虽然归纳法确实被消解了,但并不是消极的。尽管波普尔将一条路堵死了,却同时开辟了一条新进路。这是促进问题的转换,让我们从一个不同的角度进行研究。

国内外许多知名学者皆认为波普尔的方法是一种换汤不换药的做法,即表面上将归纳法扫除出门,背地里却将其重新请回来了。他们的观点是: 即使某个理论经受住了严峻的检验,但仍然是过去式的,经受得住现在的检验并不代表经受得住将来的检验,亦不意味着该理论是真的,现在可靠的理论将来也可以不可靠。波普尔的方法同样预设了一个前提: 即过去与未来相同。

笔者认为,这个指责是对波普尔的误读。他所要反对的正是这个前提预设,又怎可能让其出现在自己的理论中而懵然不知呢。

在《客观知识》的第一章中,波普尔早已经将这个问题澄清了。选择经受得住严峻检验的理论并不是因为它是真的,也不是因为它能准确无误地预测将来,而是因为它是目前所掌握的最“可靠”的理论,我们不得不选择它,这是出于实用上的考虑。“从理性的观点看,我们不应该‘信赖’任何理论,因为没有一种理论已经被证明或能够被证明是真的……我们应该优选受过最好检验的理论作为行动的基础……没有‘绝对可靠的理论’; 但由于我们不得不选择,那么选择受过最好的检验的理论是‘合理的’。这将是‘合理的’,是在我所知道的这个词的最明显的意义上来讲的: 受过最好检验的理论就是根据我们的批判性讨论看来迄今为止最佳的理论,而且我不知道还有什么比很好进行的批判性讨论更‘合理的’了。”[3]23

“虽然选择受过最好检验的理论作为行动基础是‘合理的’,这个选择的‘合理性’并不是在根据充分理由预期它实际上将是在成功的选择的意义上说的,在这个意义上不可能有充分的理由,而这正是休谟的答案。”[3]23从以上引文可看出,波普尔的头脑始终清晰,至少在这一点上没有犯昏。

一个非理性的人,可以不按章法胡乱行为; 但一个理性的人,必定尽可能地做出合理的行为,为其选择找到根据。目前的情况是: 我们没有办法辨认任何一个理论的真伪,也不确定哪一个理论能成功预测未来,那么,一个经受住检验的理论对于一个理性的人来说就是最好也是最合理的选择了。其实,这也是一个无奈之选,多少也带点放手一搏的味道。在能力范围以内尽到最好,至于成功与否,那就半点由不得人了。

当今主观贝叶斯主义研究纲领的旗手柯林·豪森( Colin Howson) 在其著作《休谟问题: 归纳与信念的辩护》一书中也对波普尔的研究进路做了深入的分析: “波普尔新颖的建议是休谟问题可以在不借助除了演绎逻辑推理以外的任何推理程序的情况下得到解决。为了完成这个目标,波普尔尝试在( a) 有一个好的理由选择一个假说如果它以真为目的,与( b) 根据有效的证据,有一个好的理由来假设某些具体的假说是真的或者更为似真的,中间插入一个楔子; ( b)是归纳,这是波普尔拒绝接受的。取而代之的是,波普尔尝试表明类型( a) 根据证据对假说做出一个理性的选择是有理由,而这是不必求助于任何类型( b) 的理由……因此,在一个通过了检验的假说与一个没能通过检验的假说之间做比较,我们有好的理由选择前者,如果我们的目标是真理的话。根据波普尔,休谟问题被彻底解决了,因为这样的一个论证阐述了我们能够有好的、非归纳的根据在竞争的普遍理论中做出选择……这样使得科学不需要任何的归纳法: 仅仅演绎法就足以在竞争的假说中做出区分即使当我们的目标是真理的时候。”[4]

三波普尔新进路的理论难题

虽然波普尔的理论暂时还没有出现理论上的矛盾,也没有让归纳推理再次悄悄地回归。然而,这并不意味着波普尔轻而易举地就包办了一切,相反,这才是他理论中难题的开始,主要有三个困难。

第一,如何设置一个严峻的检验,即到达何种程度检验才能被称之为严峻。另外,波普尔深知观察渗透理论并认为科学研究的起点是问题而不是观察,那么,该如何设置才使得某个检验对所有竞争的理论来说都是公平的。

第二,如何评价检验后的理论。既然波普尔不再认为基础陈述具有决定性作用,那么,检验的标准又是什么呢? 另外,检验的结果会出现多种可能。理想的情况无疑是只有一个理论通过检验,其余的都被淘汰。而实际情况往往没有这么美好。当两个或以上的竞争理论同时通过检验时,科学家应该做出怎样的取舍才是合理的? 如果通过检验的理论各有所长,科学家又应该如何看待以及评价它们呢? 当没有一个理论可以通过检验时,科学家又该如何是好呢?

第三个难题也是最大的一个,即物理学中以概率命题形式出现的假说的证伪问题。尤其在量子力学中,以这种形式出现的假说越来越频繁,科学家越来越喜欢用这种形式提出自己的假说。

然而,从古希腊的自然哲学家开始,规律都以一种全称命题的形式出现,即全部A都是B或者如果A那么B,例如,所有金属都能导电。然而,规律是否就只有一种形式? 随着量子力学的兴起,以概率命题形式出现的规律越来越多。也许有科学哲学家认为那并不是规律,其中牵涉规律的本质等等许多艰深的问题,本文不再展开讨论,而是暂时承认有此种形式的规律存在。

如果科学家以概率命题的形式提出假说,那么这些假说是否具有证伪的可能性? 如果不具有,那么这些假说就是伪科学。如果具有,那么用波普尔的假说 - 演绎法能否证伪他们呢? “虽然概率陈述在经验科学中起着如此重要的作用,可是结果它们却在原则上不受严格证伪的影响。”[5]157

但波普尔仍然认为自己解决了这个棘手难题。在《无尽的探索》中,他直言不讳: “《研究的逻辑》中所处理的根本问题就是物理学中概论陈述的可检验性。我认为这个问题向我的总的认识论提出了重要挑战,而且我借助于一个属于这种认识论的一部分,并且我认为不是一种特设性假说的观念解决了这个问题。”[6]104这涉及了如何认识概率的问题,即概率陈述的诠释问题。“而且这个问题与我在书中起了主要作用的其他两个问题有密切的联系( 但是它们在性质上是截然不同的) : 一个是对量子力学的诠释问题———依我看来,就是物理学中概率陈述的地位问题; 另一个是理论的内容问题。”[6]104

波普尔试图一次性解决第二、第三个难题,“为了能够以最一般的形式着手解决概率陈述的诠释问题,就有必要发展一套概率演算的公理系统。这对于另一个目的来说也是必要的———对于确立我在《研究的逻辑》中提出的论题: ‘验证在概率演算的意义上并不是一种概率’,就是说验证的某些直观方面使它不能与概率演算意义上概率等同。”[6]104在再版的《研究的逻辑》附录的第四条———概率的形式理论( The Formal Theory of Probability) 中,波普尔全面阐述了自己关于概率演算的一整套公理系统。“尽管严格来说,概率陈述不是可证伪的,但是它们能被作为可证伪的陈述来使用,而事实上它们就是这样被物理学家们所使用的。他将这种情况表述如下: ‘一个物理学家通常完全能决定他是否可以暂时把某个特定的概率假说接纳为经验上被认证的,或他是否应当把它拒斥为实践上被证伪的’。波普尔的处理方式已经被标准的统计实践强有力地证明为有效的。”[5]157

笔者认为,对于一些以概率命题形式出现的假说———如抛掷一枚硬币正面朝上的概率为二分之一———原则上是不可证伪的。原因是抛掷一枚硬币的次数可以是无限多次,概率也会随着抛掷的次数增多而改变,因此,永远无法确定概率的值。这样的假说是无法证伪或者证实的,因为它的基数是无限的。“我们的结果将总是具有一个有限的非零概率。它将不会被我们的假定严格排除。换句话说,这些假定是原则上不受严格证伪影响的。”[5]

即使概率命题原则上可以被证伪,但当运用波普尔的假说 - 演绎法进行证伪时便会出现困难。

波普尔假说 - 演绎法的逻辑原理是:

∵ A→B

∴┐B→┐A

如果是全称命题形式假说———( a) 所有天鹅都是白的,那么衍推的逻辑后承是下一只被发现的天鹅是白的。由于下一只被发现的天鹅是非白的,所以并非所有天鹅是白的。这是一个否定后件式的演绎推理。

如果是概率命题形式假说———世界上百分之八十的天鹅是白的,那么进行衍推得出的逻辑后承是:( b) 下一只被发现的天鹅是白的概率是百分之八十。在波普尔看来,这样的一个命题是有意义的,但却不是科学的。当下一只被发现的天鹅是白的,这不能证实( b) ; 当下一只被发现的天鹅是非白的,这也不能证伪( b) 。所以( b) 命题是无法证伪的。

四结语

古典经验主义者与唯理论者都认为知识需要可靠性,不同的是他们用观察的可靠性取代了唯理论者从数学知识当中所取得的可靠性。尽管这两种“可靠性”不是同一个意义上的,但却表明了经验论者与唯理论者对于知识的同一种价值取向。正是这样的一种取向致使古典经验论者对知识的本性做了一种预设: 无论是已知的知识还是未知的知识都必须是可靠的。“观察到的知识只限于过去和现在;关于未来的知识则不是可观察型的。老辈的经验论者没有看出从这一区别中发生的困难; 因为关于未来的预言后来可以证明为真或假的,他们就把关于未来的知识视为与可观察的知识是同一类型。他们忘记了,我们想要在被预言的事件发生之前知道预言的真假,当知识成为可观察的知识时,它已不再是关于未来的知识了。休谟看到了这个困难,但由于他不能放弃那种隐隐地要求关于未来的知识应与关于过去的知识同型的知识观,他做出结论,说科学的预言方法是不能认为正当的,我们不能获得任何关于未来的知识。”[7]

“归纳原则的传统表述必须否弃,因为这些表述都不仅假定了我们探求知识是成功的,而且假定我们应该能说明为什么是成功的。”[2]117现代的经验论者在这个问题上却有一个颠覆性的理解。古典经验论者首先预设知识的本性,然后按照此目标去找寻; 而现代的经验论者则恰恰相反,不对知识做任何预设,不预设可靠性是知识的必要条件,也不预设过去与现状的知识与将来的知识是同一个类型的。他们要做的工作恰恰是追问未来的知识的本性是什么。一部分的科学哲学家认为,过去与现在的知识是确定的,而关于未来的知识却是或然的。他们拥有了现代数理逻辑作为分析的工具,同时也意识到归纳法在逻辑上的无效性,所以尝试以演绎逻辑系统为蓝本,力图构建一套完备的归纳逻辑系统,卡尔纳普的逻辑概率系统与莱欣巴哈的频率概率系统便是其中的典范。说到这里,也许会有人再深一步地追问,未来有知识的存在吗? 如果没有,我们怎么可以问知识的本性是什么呢? 也许对于知识的本性做一个预设,然后再去寻找才是一个稳妥的进路。现代经验论者的这一做法是合理的。因为关于未来是否存在知识这一问题,我们只有三种回答,即存在关于未来的知识、不存在关于未来的知识以及不知道是否存在关于未来的知识。只有在不存在关于未来的知识的情况下依然去追求关于未来的知识这一做法是不合理之外,另外的两种情况下去追求关于未来的知识都是合理的。

哲学家对知识一直在追求一种普遍性与确定性。柏拉图的理念世界便是一个典型。现实世界的事物变动不居,只有理念才是真实的存在,永恒不变,具有绝对的可靠性。然而,自从爱因斯坦的相对论以及量子力学面世后,对哲学家关于知识的本性问题的思考造成了深远的影响。尽管哲学家依然在寻找可靠性,但显然这个可靠性的内涵已经大大不同。以前的哲学家要寻找的是一种概率值为1的确定的、普遍性的知识,无论是过去、现在还是将来。而逻辑经验主义者不对未知的知识本性作预设,他们的目标是在已知的领域中为未知的领域寻求一种具有高度或然性的知识。这是他们所理解的可靠性。波普尔同样不对未知的知识本性作任何的预设,可靠性来自于经受住严格的检验。这样的可靠性明显是相对主义的。经受住今日的严峻考验不意味着能够经受住明日的更严峻的考验,此时此刻可靠的理论或许下一刻便不可靠。“换言之,没有‘绝对可靠的理论’……在‘可靠的’这个术语的某种意义上说,甚至能把受过最好检验的理论描述为现有的最‘可靠的’理论。然而,这并非说他是‘可靠的’。至少在这个意义上,即就我们总是很好地预见、甚至在实际活动中预见我们的期望带来错误的可能性来讲,它不是‘可靠的’。”[3]23显然,这样一种可靠性是暂时的可靠性,是有条件的可靠性,而不是一劳永逸的、绝对的可靠性。

摘要：波普尔提出证伪学说,并认为应该用此学说取代归纳法而作为科学推理的方法。这一转变在科学哲学的历史上具有不可磨灭的重大意义。众多学者认为波普尔的方法悄悄地将归纳法从后门重新请了进来。文章正是要反对这一论点,并尝试证明波普尔的方法是彻底的演绎法,在理论上是能站得住脚的。与此同时,指出了此研究进路必须要面对的主要难题。最后,笔者从认识论的角度切入,分析波普尔对休谟问题的理解的深层思想根源。

3.归纳猜想型问题解法探讨篇三

归纳猜想型问题对考生的观察和分析能力要求较高, 经常以填空等形式出现, 解题时要善于从所提供的数字或图形信息中, 寻找其共同之处, 这个是存在于个例中的共性, 就是规律。其中蕴含着“特殊—一般—特殊”的常用模式, 体现了总结归纳的数学思想, 这也正是人类认识新生事物的一般过程。相对而言, 猜想结论型问题的难度较大些, 具体题目往往是直观猜想与科学论证、具体应用的结合, 解题的方法也更为灵活多样, 如计算、验证、类比、比较、测量、绘图、移动等, 都能用到。

由于猜想本身就是一种重要的数学方法, 也是人们探索发现新知的重要手段, 非常有利于培养创造性思维能力, 所以很受命题专家的青睐, 渐渐成为中考的热点。

类型一:猜想数式规律

通常给定一些数字、代数式、等式或者不等式, 然后猜想其中蕴含的规律。一般解法是先写出数式的基本结构, 然后通过横比 (比较同一等式中不同部分的数量关系) 或纵比 (比较不同等式间相同位置的数量关系) 找出各部分的特征, 改写成要求的格式。

例1有一列数那么第7个数是___, 那么这一组数的第n个数是___。

分析:一个有理数由符号和绝对值两部分组成。符号部分的规律:当n为奇数时, 有理数为负数;当n为偶数时, 有理数为正数。绝对值部分的规律:分子部分与序号一致, 即第n个数是n;分母部分的规律是:2=1+1, 5=4+1, 10=9+1, 17=16+1, …, 所以第n个数的分母即是n2+1。

【评析】此题考查的知识点是如何确定一个有理数。确定有理数时, 把一个有理数分解成符号和绝对值两部分, 分别找出有理数符号、绝对值的规律是解决此类问题的关键。

例2观察下面的一列单项式x, -2x2, 4x3, -8x4, …, 根据你发现的规律, 第7个单项式为___, 第n个单项式为___。

分析:系数符号的规律:n为奇数时, 单项式系数为正数;n为偶数时, 单项式系数为负数。系数的绝对值规律:第n个单项式对应的系数的绝对值是2n-1。

答案:64x7; (-1) n+12n-1xn。

【评析】此题考查的知识点是单项式, 确定单项式的系数和次数时, 把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积是找准单项式的系数和次数的关键, 分别找出单项式的系数和次数的规律也是解决此类问题的关键。

例3有一组多项式a+b2, a2-b4, a3+b6, a4-b8, …, 请观察它们的构成规律, 用你发现的规律写出第7个多项式为____, 第n个多项式为______________。

分析:每个多项式均为二项式, 第一项的系数均为1, 字母为a, 字母指数与序号一致, 所以第n个多项式的指数应为n;第二项系数为1或-1交替出现可以用例1与例2的方法处理, 字母为b, 第n个指数为2n。

答案:a7+b14;an+ (-1) n+1b2n。

【评析】此题考查的知识点是多项式, 分别找出多项式的项数和指数的规律是解决此类问题的关键。

例4正整数按如表1的规律排列。请写出第20行第21列的数字___。

分析:此题的数字排列的走向呈半个矩形状, 相邻两数依次大1, 每组最后一个数字在第n行第1列上为n2, 第n行第n列的数字为n2-n+1。

答案:第21行第21列的数字为421, 所以, 第20行第21列的数字为420。

例5将正整数依次按下表规律排成四列, 则根据表中的排列规律, 数2009应排的位置是第__行第__列。

例6将正整数1, 2, 3, …从小到大按下面的规律排列, 若第4行第2列的数为32, 则①n=___;②第i行第j列的数为____ (用i, j表示) 。

【说明】例5、例6与例4题型类似, 读者不妨可以自己尝试一下。

例7如图1所示的运算程序中, 若开始输入的x值为48, 我们发现第1次输出的结果为24, 第2次输出的结果为12, 第2009次输出的结果为___________。

分析:按照运算程序进行计算, 得到一组计算结果排列的数据24, 12, 6, 3, 6, 3, 6, 3…找到排列规律, 即可得到结果。

答案: (2 009-2) ÷2=1 003…1, 所以第2 009次输出结果为6。

【评析】此类型相对比较简单, 通过规律计算得到一组数据, 转化为寻找数字之间的规律。

例8观察下列等式:

(1) 42-12=3×5;

(2) 52-22=3×7;

(3) 62-32=3×9

(4) 72-42=3×11;

…

则第n (n是正整数) 个等式为________。

例9观察下列各式根据观察计算 (n为正整数)

分析:例8与例9是同一类型的问题。首先认清这是找一组等式的规律, 然后利用例1的方法左右两边分别寻找规律。

答案:

类型二:猜想图形规律

根据一组相关图形的变化规律, 从中总结通过图形的变化所反映的规律。其中, 以图形为载体的数字规律最为常见。猜想这种规律, 需要把图形中的有关数量关系列式表达出来, 再对所列式进行对照, 仿照猜想数式规律的方法得到最终结论。

例10相同的小圆按如图3所示的规律摆放:第1个图形有6个小圆, 第2个图形有10个小圆, 第3个图形有16个小圆, 第4个图形有24个小圆, ……, 依此规律, 第6个图形有___个小圆, 第n个图形有___个小圆。

分析:图中所示图形具有相同的排列方式, 外围是正方形, 四角各一个小圆, 中间是矩形形状;不同的是中间排列成矩形形状的四边上小圆的数量不同, 但具有相同的数量计算方法。第1个图形中:2×1+4, 第2个图形中:3×2+4, 第3个图形中:4×3+4, 第4个图形中:5×4+4, …, 找到一列具有相同计算方式的数, 用类型一就可以解决了。

答案:7×6+4=46; (n+1) ×n+4。

【评析】注意图形的摆放形式, 找出摆放的共同点, 计算方法的相同点, 计算数量的不同点, 转化为类型一。

例11如图3所示, n+1个上底、两腰长皆为1, 下底长为2的等腰梯形的下底均在同一直线上, 设四边形P1M1N1N2面积为S1, 四边形P2M2N2N3的面积为S2, …, 四边形PnMnNnNn+1的面积记为Sn, 则Sn=___。

分析:用同一种图形按平移的方式摆放, 但不是简单的考虑图形的数量, 而是考虑图形形成的四边形的面积, 四边形的面积=梯形面积-三角形的面积, 在具体的计算中找到相同的计算方法, 列出一组数据, 用类型一的方法找出Sn。

解:首先, 计算梯形的面积。过点D作DH⊥AB, 过点D作DE∥BC, 因为DC∥AB, DE∥BC, 所以四边形DEBC是平行四边形, 所以DE=BC=1, DC=EB=1。因为AD=BC=DC=1, AB=2, 所以AD=DE=AE=1, 所以三角形ADE为等边三角形, 在Rt△AHD中, 用由三角函数求出高,

其次, 计算三角形面积。如图5, 先计算2个梯形组成的图形中△FM1P1的面积, 即作P1G⊥N1F, 因为FP1∥AN2, 所以△FP1M1∽△N1AM1, 所以, 所以。因为FN1=1, 所以FM1=1/3, 因为FP1∥AN2, 所以∠GFP1=∠FN1N2=60°, 在Rt△FGP1中, 由三角函数可以求出, 所以

如图6所示, 计算第3个梯形组成的图形中△F1M2P2的面积。作P2G1⊥N2F1, 因为F1P2∥AN2, 所以△F1P2M2∽△N2AM2, 所以。因为F1N2=1, 所以F1M2=15, 因为F1P2∥AN2, 所以∠G1F1P2=∠F1N2N3=60°, 在Rt△F1G1P2中, 由三角函数可以求出, 所以

通过以上计算过程可以发现, 三角形的底边用共同的方法相似求, ;三角形的高用共同的方法三角函数求, 且高始终等于姨32,

最后, 求出

【评析】此题同样是考查图形问题, 但不是组成图形的数量, 而是组成图形的面积, 找到的共同点是四边形的面积计算方法, 在具体的计算中, 用到了图形的相似、三角函数、等边三角形等性质, 要求比例9、例10要高, 常常出现在选择题或填空题的最后一个, 作为整张中考试卷的小压轴题。

类型三:猜想坐标变化

猜想一组图形在直角坐标系中, 点的坐标相关变化规律。以直角坐标为载体, 猜想图形中点坐标的规律, 需要把图形中的点坐标用相关的数量关系表达出来, 再对所列数式进行对照, 仿照猜想数式规律的方法得到最终结论。

例12一个质点在第一象限及x轴、y轴上运动, 在第一秒钟, 它从原点运动到 (0, 1) , 然后接着按图中箭头所示方向运动[即 (0, 0) → (0, 1) → (1, 1) → (1, 0) →…], 且每秒移动一个单位, 那么第35秒时质点所在位置的坐标是 () 。

(A) (4, 0) (B) (5, 0)

分析:整体观察质点在直角坐标系中的走向可知, 质点从y轴走向x轴, 再从x轴走向y轴, 按此规律重复进行。

质点从y轴 (0, 0) 走向x轴 (1, 0) 需要3秒, 3=2×1+1

质点从x轴 (1, 0) 走向y轴 (0, 2) 需要5秒, 5=2×2+1

质点从y轴 (0, 2) 走向x轴 (3, 0) 需要7秒, 7=2×3+1

质点从x轴 (3, 0) 走向y轴 (0, 4) 需要9秒, 9=2×4+1,

以此类推直到秒数为2n+1, n与终点的坐标 (横、纵坐标) 中的非零坐标一致, 当n为奇数时, 质点从y轴 (0, n-1) 走向x轴 (n, 0) ;当n为偶数时, 质点从x轴 (n-1, 0) 走向y轴 (0, n) , 从起点 (0, 0) 到达x轴或y轴上的终点时, 所需时间总和为3+5+7+9+11+…+ (2n+1) =2n (n+1) /2+n=n (n+2) , 当运动时间为35秒时, n=5, 此时在x轴上。

答案:选B。

拓展一下, 如果要求第102秒时, 求质点所在位置的坐标?当n=9时, 9×11=99, 10×12=120, 99<102<120, 第102秒时质点在从 (9, 0) 走向 (0, 10) 即从x轴走向y轴的过程中, 102-99=3, 所以根据质点走向, 第102秒时质点所在位置的坐标为 (10, 2) 。

【评析】此题的关键还在于寻找质点运动过程中的坐标与时间之间的关系。

例13在平面直角坐标系中有一边长为1的正方形OABC, 边OA, OC分别在x轴和y轴上, 如果以对角线OB为边作第二个正方形OBB1C1, 再以对角线OB1为边作第三个正方形OB1B2C2, 照此规律作下去, 则点B2 012的坐标为___。

分析:首先求出B1, B2, B3, B4, B5, B6, B7, B8, B9的坐标, 找出这些坐标的之间的规律, 然后根据规律计算出点B2 012的坐标。

解:因为正方形OABC边长为1, 所以。正方形OBB1C1是正方形OABC的对角线OB为边, 所以OB1=2, 所以B1点的坐标为 (0, 2) , 同理可知, B2点坐标为 (-2, 2) 。同理可知, OB3=4, B3点坐标为 (-4, 0) , B4点的坐标 (-4, -4) …B8 (16, 16) 的符号与第一次坐标符号相同 (即每8个为一个轮回) , 点的坐标绝对值是每两个的横坐标或纵坐标相同, 为以2为底的幂, 每次正方形的边长变为原来的倍。

因为2 012÷8=251…4, 所以B2 012的横纵坐标的符号与B4的相同, 横纵坐标都是负的。所以B2 012的坐标是 (-21 006, -21 006) 。

【评析】此题主要考查正方形的性质和坐标与图形的性质的知识点, 解答本题的关键是由点坐标的规律发现每经过9次作图后, 点的坐标符号与第一次坐标符号相同, 每次正方形的边长变为原来的倍, 此题难度较大, 难在计算。

4.枚举归纳出现的问题篇四

在整数规划中, 隐枚举法 (Implicit enumeration algorithm) 是用于求解“0-1整数规划问题”的常见方法, 其基本思想是通过增加“过滤约束”舍弃一定不最优解的解组合以求得最优解[1]。在教学过程中发现, 许多学生存在这样的疑问:过滤约束应如何添加?作用何在?为此, 本文通过实例阐述隐枚举法的求解步骤、过滤约束的作用及“隐”字的含义, 帮助学生更好地掌握隐枚举法。

2 目标函数求max的0-1规划问题求解

[例1]求以下0-1整数规划问题的最优解?

求解步骤[2]:

(1) 寻找目标函数值下界。可以判断, 当可行解X= (0, 1, 0) T时, 该问题的目标函数值 (-2) 最小, 因此可以确定目标函数值下界, 即3x1-2x2+5x3≥-2。

(2) 构造过滤约束, 并将其加入到原约束条件中。

因函数函数值大于等于“-2”, 因此可能是0[X= (0, 0, 0) T) ]、3[X= (1, 0, 0) T) ]和5[X= (0, 0, 1) T) ]等, 可先构造过滤约束“3x1-2x2+5x3≥0”, 则原模型变为:

(3) 写出所有解组合, 比较目标函数值Z, 并检查是否满足约束条件和过滤条件, 得出最优解。过滤约束为“3x1-2x2+5x3≥0”的求解过程如表1所示:

当X= (0, 0, 0) T时, 满足所有约束条件 (包括过滤约束) , 因此在表中对应位置添入“√”, 此时目标函数值Z为“0”。当X= (0, 0, 1) T时, 满足所有约束条件, 因此在表中对应位置添入“√”, 此时目标函数值Z为“5”。当X= (0, 1, 0) T、 (0, 1, 1) T和 (1, 0, 0) T时, Z值分别为“-2”、“3”和“3”, 均小于“5”, 由于目标函数求最大值, 因此无须再去考虑X是否满足约束条件。当X= (1, 0, 1) T时, 满足所有约束条件, 因此在表中对应位置添入“√”, 此时目标函数值Z为“8”。当X= (1, 1, 0) T和 (1, 1, 1) T时, Z值分别为“1”和“6”, 均小于“8”, 因此可求得该问题的最优解为:X*= (1, 0, 1) T, Z*=8。

可见, 添加过滤约束可以加快筛选过程, “隐”去不可能成为最优解的解组合 (见表1加粗部分, 下同) , 以简化求解过程。但需注意, 过滤约束一定要选满足原约束条件。同时, 为保证解组合不遗漏, 可参照“二进制”的表达方法, 将所有解依次列出, 本题因有三个变量, 故解组合的数量为:23=8, 详见表1。

同理, 可构造过滤约束“3x1-2x2+5x3≥3”[X= (1, 0, 0) T]和“3x1-2x2+5x3≥5”[X= (0, 0, 1) T], 求解过程见表2。

当然, 对于本题如果构造过滤约束“3x1-2x2+5x3≥8”[X= (1, 0, 1) T], 求解过程将更加快捷。因此, 在求解目标函数求最大值的“0-1整数规划问题”时, 为使求解过程更加简捷, 应在多个过滤约束中选取右端常数较大的过滤约束, 过滤约束右端项越大求解越方便。

常见求解错误举例:

[例2]求以下0-1整数规划问题的最优解?[3]

许多学生首先构造过滤约束“4x1+3x2+2x3≥0”[X= (0, 0, 0) T], 然后按步骤求解, 过程如表3所示, 求解结果为:X*= (1, 1, 1) T, Z*=9。虽然求解结果正确, 但却犯了一个概念性错误, 即X= (0, 0, 0) T并不满足原模型约束条件 (“4x1+x2+3x3≥3”和“x2+x3≥1”) , 不能作为过滤约束。同时, 求解顺序是从Z值最小开始依次判断, 过程较为复杂。说明, 学生并没有掌握隐枚举法的解题技巧。更好的解法是:构造过滤约束“4x1+3x2+2x3≥9”[X= (1, 1, 1) T], 按Z值从大到小的顺序进行求解, 即优先考查Z值较大的解组合, 则很快得到最优, 过程见表4所示。

3 目标函数求min的“0-1整数规划问题”

对于目标函数求最小值的“0-1整数规划问题”, 求解步骤与求最大值时有所区别, 应首先寻找目标函数值上界, 其它步骤则与求最大值相同。主要技巧是:在可能构造的多个过滤约束中选取右端常数较小的过滤约束, 过滤约束右端项越小求解越方便。

[例3]求以下0-1整数规划问题的最优解?[4]

对于本题 (解组合数量为24=16) , 可构造过滤约束“2x1+5x2+3x3+4x4≤4”[X= (0, 0, 0, 1) T], 求解过程如表5所示, 求解结果:X*= (0, 0, 0, 1) T, Z*=4。

4 教学体会

对于决策变量较少 (如不超过4个) 的“0-1整数规划问题”来说, 隐枚举法是比较有效的求解方法, 其中“隐”字的含义是通过构造过滤约束排除不可能成为最优解的解组合, 减少求解过程, 快速得到最优解。在使用该方法的时候, 需要注意以下三点:首先, 判断目标函数“求最大值”还是“求最小值”, 以此确定求解顺序是从Z值“最大”还是“最小”开始;其次, 辨别所构造的过滤约束是否满足原模型的约束条件;最后, 应按“二进制”顺序写出所有解组合, 避免遗漏。在初学时, 学生可选择两道典型习题 (目标函数求“最大和最小”) 进行反复练习, 以掌握隐枚举法的求解思路和技巧。

参考文献

[1]王耀辉, 陈超, 孙鹏.0-1整数规划及隐枚举法在学生面试问题中的应用[J].中国科教创新导刊, 2011, (22) :89.

[2]常大勇.运筹学[M].北京:中国物资出版社, 2010.

[3]谢家平.管理运筹学[M].北京:中国人民大学出版社, 2010.

5.枚举归纳出现的问题篇五

关键词：俄罗斯方块游戏,基本型方块,旋转型方块,枚举,算法

1“枚举算法”概述

本文则提出了所谓枚举算法,就是直接枚举出游戏中方块的基本形状和它们的旋转形状,然后控制每一种不同形状的方块在游戏中的产生、移动、旋转、落下、清除填满行等游戏过程。

1.1 方块基本形状和种类

根据分析,“俄罗斯方块游戏”中的方块,共有七种基本形状,它们分别是“I型”、“L型”、“反L型”、“Z型”、“反Z型”、“口型”、“T型”,如图1。

1.2 方块的旋转形状

游戏过程中,每一种基本方块都要做旋转控制,于是就产生了旋转后的方块形状,本文将其称为“旋转型”。

基本型中的“I型”、只有一种旋转型,即由竖直旋转90°后成为水平。因此,基本型加上一种旋转型,共有两种形状。

基本型中的“L型”和“反L型”有三种旋转型,将它按顺时针每旋转一个90°就产生

一种旋转型,它可以旋转三次,得到三种不同的旋转型,因此,它的三种旋转型加上其基本型,“L型”和“反L型”方块分别有四种形状。

基本型中的“Z型”和“反Z型”可以顺时针旋转一次90°,加上他们的基本型分别有两种形状。

基本型中的“T型”有三种旋转型,将他按顺时针旋转一个90°就产生一种旋转型,它可以旋转三次,得到三种不同的旋转型,因此,它的三种旋转型加上其基本型,“T型”方块共有四种形状。

基本型中的“口型”方块没有旋转型,在游戏中只有一种形状。

经前面的分析得知,七种基本型方块,因旋转产生了不同的旋转型,这些旋转型加上他们的基本型,整个游戏中,共有19种不同的方块形状。

2 基本型方块的构成和控制

每一种基本型方块都由4个正方形小方块构成,利用小方块不同摆的放位置,产生19种旋转型。利用随机函数在一个预览窗中提前展示形状供用户参考,然后将展示的形状复制到游戏主窗口中进行摆放,在游戏主窗口中用户就可以使用键盘的方向键来控制方块的运动。然后对每一行进行判断,如果有某行的方块是满的,则消除这行的方块,并且使上面的方块自由下落,其中,方块向下的速度是有时钟控件控制的,在游戏中,用户也可以使用“向下光标键”加快下落速度,定义一个变量,对消除的函数进行记录,最后就可以得出用户的分数,用if语句对分数判断,达到一定的积分就可以升级到下一个档次。

2.1 基本型方块的够成

所谓“基本型方块”是指每新产生的,没有经过旋转的方块形状(如图1),基本型方块是有4个正方形的小方块拼接而成。在程序实现过程中,可以使用4个正方形控件来构成每一种基本型方块。

2.2 主游戏界面与数据结构设计

为了能实现控制方块的旋转、平移、下落等操作。需要构造一个游戏主窗口和一个二维矩阵数据结构。

2.2.1 主游戏界面

在主窗口中按照9X15,将小方块(控件)进行排列,每一个控件的Visible属性设置成“False———不可见”,表示在开始游戏之前,主界面中没有任何方块。左上角作为坐标起始点,为了在程序中,对主窗口中的每一个小方块(正方形控件)进行遍历,用数字字符给控件按照一定的规则进行命名如图2。

正方形控件的名称=行坐标*每行控件的数量+列坐标=行坐标*9+列坐标

2.2.2 构造一个大小为9X15的二维数组

用来保存对应主界面中的每一个方块位置是否被填充,已经被填充的为“1”,未填入的为“0”。通过这样的方法,即可简单地将数据结构映射到由小方块(正方形控件)组成的图形界面上。

2.2.3 小方块的初始化显示

在游戏开始或者前一个方块已经不能继续下落的时候,需要在主界面的第一行(行坐标为0)、第五列(列坐标为4)的位置显示某一个基本型方块。这个功能由计算机产生一个1~7随机数,表示7中基本型方块的某一种,然后枚举出基本型方块初始时,在主界面中的位置,并把主界面中,对应的小方块(正方形控件)的Visible的值修改成“True(可见)”。例如:随机数为2,对应“L型”方块,它对应坐标为(0,4),(1,4),(2,4),(2,5),根据控件命名规则,可以计算出主界面中需要修改的控件名称分别为“4”、“13”、“22”、“23”。如图3。

小方块初始化算法:

3 方块的下移、平移、旋转

基本型方块初始化产生后,还需要用变量保存它的形状代码shape、旋转型rot和在主界面中的起始行坐标row和列坐标column,例如图3中的“L型”方块:

3.1 方块的下移

1)下移的合法性判断:方块下移的前提是,方块没有到达最底部,这可以通过行坐标row<14来判断,方块下移时要通过的位置没有被前面的方块填充,这个需要通过与主界面一一映射的二维数组相对应的单元是否为“1”来判断,如果以上条件合法,则,方块下移。

2)下移的实现:方块下移也是通过修改主界面上的小方块(控件)的Visible属性来实现的。例如图3中的“L型”方块下移一格,需要修改控件:

控件4.visible=false;控件23.visible=false;

控件31.visible=true;控件32.visible=true;如图4。

3.2 方块平移

方块的平移包括左移和右移两种情况,无论那种情况都要首先进行合法性判断。

1)合法判断,平移的合法性判断比较简单,只需判断它旁边相邻位置是否被填充为,可以通过对映射二维数组中相对应的单元是否为“1”来实现,同时也要判断是否已经到了左右边界。

2)平移实现,方块平移也是通过修改主界面上的小方块(控件)的Visible属性来实现的。例如图4中的方块左移一格,需要将“13”、“22”、“32”控件的visible=false;“12”、“21”、“30”控件的visible=true即可。

3.3 方块旋转

1)合法性判断,在游戏中,方块做顺时针旋转,每次旋转90°,方块旋转前的合法性检查稍微要复杂一些,主要涉及到它旋转所要经过的位置不能有已经填充的方块。

例如图4中的“L型”方块旋转前(顺时针90°),必须检查“21”、“30”、“14”、“23”处没有被填充方块,这个检查也是通过对二维数组中相对应的单元是否为“1”。来判断。

2)旋转的实现,当合法性检查后,就可以通过修改相关位置的控件visible值来实现旋转。方法和平移、下落一样。

3.4 算法实现

从前述所知,游戏中7种基本型方块加上他们的旋转型方块总共有19种类型,程序算法只需要根据他们的形状代码shape、旋转型rot,在主界面中的行坐标row和列坐标column,每做一次平移、下落、旋转,要跟踪修改他的shape、rot、row,column等值,为下一次操作提供枚举依据,然后用代码对每一种情况进行处理即可。

由于篇幅有限,这儿没有给出全部源代码,有兴趣的读者可以与本文作者联系索取完全编译通过的源代码

参考文献

[1]唐凯军,汤惠莉.80例上手VB6编程[M].济南:山东电子音像出版社,2004.

[2]韦纲.FlashMX2004多媒体课件制作教程[M].北京:海洋出版社,2005.