高中数学《平面向量》的教案

2025-03-08

高中数学《平面向量》的教案（精选20篇）

1.高中数学《平面向量》的教案篇一

第一教时

教材：向量

目的：要求学生掌握向量的意义、表示方法以及有关概念，并能作一个向量与已

知向量相等，根据图形判定向量是否平行、共线、相等。

过程：

一、开场白：课本P93(略)

实例：老鼠由A向西北逃窜，猫在B问：猫能否追到老鼠?(画图)

结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了。 AB

二、提出课题：平面向量

1.意义：既有大小又有方向的量叫向量。例：力、速度、加速度、冲量

等

注意：1?数量与向量的区别：

数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大

小;

向量有方向，大小，双重性，不能比较大小。

2?从19世纪末到20体系，用以研究空间性质。

2. 向量的表示方法： a B

1?几何表示法：点—射线 (终点)有向线段——具有一定方向的线段 A(起点)

记作(注意起讫)

2?字母表示法：可表示为(印刷时用黑体字)

P95 例用1cm表示5n mail(海里)

3. 模的概念：向量记作：|| 模是可以比较大小的

4. 两个特殊的向量：

1?零向量——长度(模)为0的向量，记作。的方向是任意的。注意与0的区别

2?单位向量——长度(模)为1个单位长度的向量叫做单位向量。

例：温度有零上零下之分，“温度”是否向量?

答：不是。因为零上零下也只是大小之分。

例：与是否同一向量?

答：不是同一向量。

例：有几个单位向量?单位向量的大小是否相等?单位向量是否都相等? 答：有无数个单位向量，单位向量大小相等，单位向量不一定相等。三、向量间的关系：

1.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。

记作：∥∥

规定：与任一向量平行

2. 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。 a 记作：=

规定：=

任两相等的非零向量都可用一有向线段表示，与起点无关。 3. 共线向量：任一组平行向量都可移到同一条直线上，

所以平行向量也叫共线向量。

OA=a OB=b OC=c

例：(P95)略

变式一：与向量长度相等的向量有多少个?(11个)

变式二：是否存在与向量长度相等、方向相反的向量?(存在) 变式三：与向量共线的向量有哪些?(,,)

四、小结：

五、作业：P96 练习习题5.1

第二教时

教材：向量的加法

目的：要求学生掌握向量加法的意义，并能运用三角形法则和平行四边形法则作

几个向量的和向量。能表述向量加法的交换律和结合律，并运用它进行向量计算。

过程：

六、复习：向量的定义以及有关概念

强调：1?向量是既有大小又有方向的量。长度相等、方向相同的向量相等。2?正因为如此，我们研究的向量是与起点无关的自由向量，即任何

向量可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到任何位置。

七、提出课题：向量是否能进行运算?

5.某人从A到B，再从B按原方向到C，

A BC

则两次的位移和：??

6.若上题改为从A到B，再从B按反方向到C，

则两次的位移和：AB?BC?AC

7.某车从A到B，再从B改变方向到C，

则两次的位移和：AB?BC?AC

8.船速为AB，水速为BC，

则两速度和：??

提出课题：向量的加法 A B三、1.定义：求两个向量的和的运算，叫做向量的加法。

注意：;两个向量的和仍旧是向量(简称和向量)

2.三角形法则： a b b

a+ a b a+b A A C A B B

1?“向量平移”(自由向量)：使前一个向量的终点为后一个向量的起

点

2?可以推广到n个向量连加

4?不共线向量都可以采用这种法则——三角形法则

3.例一、已知向量、，求作向量+

作法：在平面内取一点，

作? ?

则?? O b

b AB C C 4.加法的交换律和平行四边形法则 B

上题中+的结果与+是否相同验证结果相同

从而得到：1?向量加法的平行四边形法则

2?向量加法的交换律：+=+

9.向量加法的结合律：(+) +=+ (+)

证：如图：使?, ?, ?

a+c

则(+) +=??

+ (+) =??

∴(a+b) +c=a+ (b+c)

从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行。

四、例二(P98—99)略

五、小结：1?向量加法的几何法则

2?交换律和结合律

3?注意：|+| >|| + ||不一定成立，因为共线向量不然。

六、作业：P99—100练习P102习题5.2 1—3

第三教时

教材：向量的减法

目的：要求学生掌握向量减法的意义与几何运算，并清楚向量减法与加法的关系。过程：

八、复习：向量加法的法则：三角形法则与平行四边形法则

向量加法的运算定律：例：在四边形中，??? 解：CB?BA?BA?CB?BA?AD?CD

九、提出课题：向量的减法 A B

1.用“相反向量”定义向量的减法

1?“相反向量”的定义：与a长度相同、方向相反的向量。记作 ?a 2?规定：零向量的相反向量仍是零向量(?a) = a

任一向量与它的相反向量的和是零向量。a + (?a) = 0

如果a、b互为相反向量，则a = ?b, b = ?a, a + b = 0

3?向量减法的定义：向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差。

即：a ? b = a + (?b)求两个向量差的运算叫做向量的减法。

2.用加法的逆运算定义向量的减法：

向量的减法是向量加法的逆运算：

若b + x = a，则x叫做a与b的差，记作a ? b

3.求作差向量：已知向量a、b，求作向量

∵(a?b) + b = a + (?b) + b = a + 0 = a

a 作法：在平面内取一点O，作= a, = b

则= a ? b b b a?b

即a ? b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量。

注意：1?表示a ? b。强调：差向量“箭头”指向被减数

2?用“相反向量”定义法作差向量，a ? b = a + (?b)

显然，此法作图较繁，但最后作图可统一。

B’ ?b a

b A b

4.a∥b∥c B a ? b = a + (?b) a ? b

a?b O B A B’ O B

a?b O

A ?b B 十、例题：例一、(P101 例三)已知向量a、b、c、

d，求作向量a?b、c?d。

解：在平面上取一点O，作= a, = b, = c, = d,

作, ,则= a?b, = c?d

A b C

B 例二、平行四边形中，，用表示向量，

解：由平行四边形法则得：

= a + b, = ? = a?b

变式一：当a, b满足什么条件时，a+b与a?b垂直?(|a| = |b|)

变式二：当a, b满足什么条件时，|a+b| = |a?b|?(a, b互相垂直)

变式三：a+b与a?b可能是相当向量吗?(不可能，十一、小结：向量减法的定义、作图法|

十二、作业： P102 练习

P103习题5.2 4—8

第四教时

教材：向量、向量的加法、向量的减法综合练习《教学与测试》64、65、66课

2.高中数学《平面向量》的教案篇二

由于向量有几何形式和代数形式的“双重性”, 使得它成为中学数学知识网络的一个交汇点.本文简说平面向量与其它数学知识交汇的主要题型, 帮同学们体验它的发散性.

一、向量与函数的结合

例1 已知平面向量 $a = (\sqrt{3} ‚ - 1) ‚ b = (\frac{1}{2} ‚ \frac{\sqrt{3}}{2})$ .若存在实数 k 和 t, 使得 x=a+ (t2-3) b, y=-ka+tb, 且 x⊥y.

(1) 试求函数的关系式 k=f (t) :

(2) 根据 (1) 的结论, 确定 k=f (t) 的单调区间.

解析: (1) 方法1:由题意知

$\begin{array}{l} x = (\frac{t^{2} + 2 \sqrt{3} - 3}{2} ‚ \frac{\sqrt{3} t^{2} - 3 \sqrt{3} - 2}{2}) ‚ \\ y = (\frac{1}{2} t - \sqrt{3} k ‚ \frac{\sqrt{3}}{2} t + k) . \end{array}$

又 x⊥y, 故 $x \cdot y = \frac{1}{2} (t^{2} + 2 \sqrt{3} - 3) (\frac{1}{2} t - \sqrt{3} k) + \frac{1}{2} (\sqrt{3} t^{2} - 3 \sqrt{3} - 2) (\frac{\sqrt{3}}{2} t + k) = 0 .$

整理得 t3-3t-4k=0,

即 $k = \frac{1}{4} t^{3} - \frac{3}{4} t .$

方法2:因为 $a = (\sqrt{3} ‚ - 1) ‚ b = (\frac{1}{2} ‚ \frac{\sqrt{3}}{2}) ‚ a \cdot b = \sqrt{3} \times \frac{1}{2} + (- 1) \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 0$ ,

所以 a⊥b.

因为 x⊥y, 所以 x·y=0,

即 -k|a|2+t (t2-3) |b|2=0,

所以 t3-3t-4k=0,

即 $k = \frac{1}{4} t^{3} - \frac{3}{4} t .$

(2) 由 (1) 知: $k = f (t) = \frac{1}{4} t^{3} - \frac{3}{4} t$ ,

所以 $k^{'} = f^{'} (t) = \frac{3}{4} t^{2} - \frac{3}{4} .$

令 k′<0, 得 -1<t<1;

令 k′>0, 得 t<-1或 t>1.

故 k=f (t) 的单调递减区间是 (-1, 1) , 单调递增区间是 (-∞, -1) 和 (1, +∞) .

点评:本题充分利用向量垂直的充要条件, 将向量的几何“位置关系”转化为代数中“数量关系”, 从而建立 k 与 t 的函数关系式.

二、向量与数列的结合

例2 已知两个点M (-1, 0) , N (1, 0) , 点P使 $\vec{Μ Ρ} \cdot \vec{Μ Ν} ‚ \vec{Ρ Μ} \cdot \vec{Ρ Ν} ‚ \vec{Ν Μ} \cdot \vec{Ν Ρ}$ 成公差小于零的等差数列, 且向量 $\vec{Ρ Ν}$ 与 a= (1, 0) 垂直, 求点P的坐标.

解析:设点P (x, y) , 则

$\vec{Ρ Μ} = - \vec{Μ Ρ} = (- 1 - x ‚ - y) ‚ \vec{Ρ Ν} = - \vec{Ν Ρ} = (1 - x ‚ - y) ‚ \vec{Μ Ν} = - \vec{Ν Μ} = (2 ‚ 0) .$

$\begin{array}{l} 所以 \vec{Μ Ρ} \cdot \vec{Μ Ν} = 2 (1 + x) ‚ \\ \vec{Ρ Μ} \cdot \vec{Ρ Ν} = x^{2} + y^{2} - 1 ‚ \\ \vec{Ν Μ} \cdot \vec{Ν Ρ} = 2 (1 - x) . \end{array}$

${\begin{cases} 2 (x^{2} + y^{2} - 1) = 2 (1 + x) + 2 (1 - x) ‚ \\ 2 (1 - x) - 2 (1 + x) ＜ 0 ‚ \end{cases}$

即 x2+y2=3 (x>0) .

又由 $\vec{Ρ Ν} ⊥ a$ , 得 (1-x) ×1-y×0=0,

解得 x=1.代入 x2+y2=3 (x>0) 中, 得 $y = \pm \sqrt{2} .$

故所求点P的坐标为 $(1 ‚ \sqrt{2})$ 或 $(1 ‚ - \sqrt{2}) .$

点评:本题充分利用了向量的数量积与向量共线的充要条件知识.而对变量范围的限制是正确解答的关键.若忽视公差小于零这一条件, 将导致一系列错误的产生, 所以要正确认识题中所给的每一个条件的作用和功能, 充分利用这些条件正确恰当快速地解决问题.

三、向量与三角的结合

例3 设 a= (1+cosα, sinα) , b= (1-cosβ, sinβ) , c= (1, 0) , α∈ (0, π) , β∈ (π, 2π) , a与 c 的夹角为θ1, b 与 c 的夹角为θ2, 且 $θ_{1} - θ_{2} = \frac{π}{6}$ , 求 $\sin \frac{α - β}{4}$ 的值.

$\begin{array}{l} 解析 ∶ | a | = \sqrt{(1 + \cos α)^{2} + \sin^{2} α} = 2 \cos \frac{α}{2} ‚ \\ | b | = \sqrt{(1 - \cos β)^{2} + \sin^{2} β} = 2 \sin \frac{β}{2} ‚ \\ | c | = 1 . \end{array}$

$\begin{array}{l} 又 a \cdot c = 1 + \cos α = 2 \cos^{2} \frac{α}{2} ‚ \\ b \cdot c = 1 - \cos β = 2 \sin^{2} \frac{β}{2} ‚ \end{array}$

所以 $\cos θ_{1} = \cos \frac{α}{2} ‚ \cos θ_{2} = \sin \frac{β}{2} .$

因为 $\frac{α}{2} \in (0 ‚ \frac{π}{2})$ , 所以 $θ_{1} = \frac{α}{2}$ ,

又β∈ (π, 2π) , 所以 $\frac{β}{2} \in (\frac{π}{2} ‚ π)$ ,

所以 $0 ＜ \frac{β}{2} - \frac{π}{2} ＜ \frac{π}{2} .$

由 $\cos θ_{2} = \sin \frac{β}{2} = \cos (\frac{β}{2} - \frac{π}{2})$ ,

得 $θ_{2} = \frac{β}{2} - \frac{π}{2}$ .由 $θ_{1} - θ_{2} = \frac{π}{6}$ ,

得 $\frac{α}{2} - (\frac{β}{2} - \frac{π}{2}) = \frac{π}{6}$ ,

所以 $\frac{α - β}{4} = - \frac{π}{6} .$

所以 $\sin \frac{α - β}{4} = \sin (- \frac{π}{6}) = - \frac{1}{2} .$

点评:本题是以向量的夹角概念为背景, 考查了三角函数求值的有关知识.解答本题的关键是正确理解两个向量的夹角的意义, 灵活运用实数与向量的积以及合理进行三角变换.此外, 更体现了向量的工具性作用.

四、向量与解析几何的结合

例4 过点M (-2, 0) , 作直线 l 交双曲线 x2-y2=1于A、B不同两点, 已知 $\vec{Ο Ρ} = \vec{Ο A} + \vec{Ο B} .$

(1) 求点P的轨迹方程, 并说明轨迹是什么曲线;

(2) 是否存在这样的直线 l, 使|OP|=|AB|?若存在, 求出 l 的方程;若不存在, 说明理由.

解析: (1) 设 l 的方程为 y=k (x+2) , 代入 x2-y2=1, 得

(1-k2) x2-4k2x-4k2-1=0.

当 k≠±1时, 设A (x1, y1) , B (x2, y2) , 则

$\begin{array}{l} x_{1} + x_{2} = \frac{4 k^{2}}{1 - k^{2}} ‚ x_{1} x_{2} = \frac{4 k^{2} + 1}{k^{2} - 1} ‚ \\ y_{1} + y_{2} = k (x_{1} + 2) + k_{2} (x_{2} + 2) \\ = \frac{k \cdot 4 k^{2}}{1 - k^{2}} + 4 k = \frac{4 k}{1 - k^{2}} . \end{array}$

设P (x, y) , 由 $\vec{Ο Ρ} = \vec{Ο A} + \vec{Ο B} ‚$ 有

$\begin{array}{l} (x ‚ y) = (x_{1} + x_{2} ‚ y_{1} + y_{2}) \\ = (\frac{4 k^{2}}{1 - k^{2}} ‚ \frac{4 k}{1 - k^{2}}) ‚ \end{array}$

则

${\begin{cases} x = \frac{4 k^{2}}{1 - k^{2}} ‚ \\ y = \frac{4 k}{1 - k^{2}} . \end{cases}$

解得 $\frac{x}{y} = k (k \neq 0) .$

再将 $\frac{x}{y} = k$ 代入 $y = \frac{4 k}{1 - k^{2}}$ ,

得 (x+2) 2-y2=4. ①

当 k=0时, 满足①式;当斜率不存在时, 易知P (-4, 0) 满足①式, 故所求轨迹方程为 (x+2) 2-y2=4, 其轨迹为双曲线;

当 k=±1时, l 与双曲线只有一个交点, 不满足题意.

(2) 如果|OP|=|AB|, 那么平行四边形OAPB为矩形.OAPB为矩形的充要条件是 $\vec{Ο A} \cdot \vec{Ο B} = 0$ , 即 x1x2+y1y2=0.

当 k 不存在时, A、B坐标分别为 $(- 2 ‚ \sqrt{3}) ‚ (- 2 ‚ - \sqrt{3})$ , 不满足上式.

$\begin{array}{l} 又 x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2} \\ = x_{1} x_{2} + k^{2} (x_{1} + 2) (x_{2} + 2) \\ = \frac{(k^{2} + 1) (4 k^{2} + 1)}{k^{2} - 1} - \frac{2 k^{2} \cdot 4 k^{2}}{k^{2} - 1} + 4 k^{2} \\ = 0 ‚ \end{array}$

化简得 $\frac{k^{2} + 1}{k^{2} - 1} = 0 .$

此方程无实数解, 故不存在直线 l 使OAPB为矩形.

点评:平面向量和平面解析几何的结合点, 是近几年高考常考查的热点, 解此类题应注重从向量数量积的定义和向量的加减法的运算入手, 还应该尽量联系向量与解析几何的共同点, 综合运用解析几何知识和技巧, 使问题有效解决.

五、平面向量与概率的结合

例5 从原点出发的某质点M, 按向量 a= (0, 1) 移动的概率为 $\frac{2}{3}$ , 按向量 b= (0, 2) 移动的概率为 $\frac{1}{3}$ .设M到达点 (0, n) 的概率为Pn, 求Pn.

解析:M到达点 (0, n) 有两种情况:①从点 (0, n-1) 按向量 a= (0, 1) 移动到点 (0, n) , 此时概率为 $\frac{2}{3} Ρ_{n - 1}$ ;②从点 (0, n-2) 按向量 b= (0, 2) 移动到点 (0, n) , 此时概率为 $\frac{1}{3} Ρ_{n - 2} .$

因为这两种情形是互斥的, 故有

$Ρ_{n} = \frac{2}{3} Ρ_{n - 1} + \frac{1}{3} Ρ_{n - 2} (n \geq 3) .$

由上式可得 $Ρ_{n} - Ρ_{n - 1} = - \frac{1}{3} (Ρ_{n - 1} - Ρ_{n - 2}) (n \geq 3) .$

又易得 $Ρ_{1} = \frac{2}{3} ‚ Ρ_{2} = \frac{7}{9}$ , 所以数列{Pn-Pn-1}是以 $Ρ_{2} - Ρ_{1} = \frac{1}{9}$ 为首项, $- \frac{1}{3}$ 为公比的等比数列, 于是

$Ρ_{n} - Ρ_{n - 1} = \frac{1}{9} (- \frac{1}{3})^{n - 2} = (- \frac{1}{3})^{n} (n \geq 2) .$

$\begin{array}{l} 所以 Ρ_{n} = Ρ_{1} + (Ρ_{2} - Ρ_{1}) + (Ρ_{3} - Ρ_{2}) + \dots + (Ρ_{n} - Ρ_{n - 1}) \\ = \frac{2}{3} + (- \frac{1}{3})^{2} + (- \frac{1}{3})^{3} + \dots + \\ (- \frac{1}{3})^{n} = \frac{2}{3} + \frac{(- \frac{1}{3})^{2} [1 - (- \frac{1}{3})^{n - 1}]}{1 - (- \frac{1}{3})} \\ = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} (- \frac{1}{3})^{n} . \end{array}$

点评:向量与概率都是教材中的重量级内容, 二者联袂使呆板、平淡的数字题充满活力与无穷魅力!

此外, 平面向量与简易逻辑、平面向量与线性规划及平面区域的结合题型, 特别是平面向量与导数的结合题型也是常见题型, 这里就不一一例举.为加深平面向量与导数结合题型印象, 同学们不妨练习:

已知平面向量 $a = (\sqrt{3} ‚ - 1) ‚ b = (\frac{1}{2} ‚ \frac{\sqrt{3}}{2}) . (1)$ 证明:a⊥b; (2) 若存在不同时为零的实数 k 和 t, 使 x=a+ (t2-3) b, y=-ka+tb, 且 x⊥y, 试求函数关系式 k=f (t) ; (3) 根据 (2) 的结论, 讨论关于 t 的方程 f (t) -k=0的解的情况.

(提示:先利用向量的运算求出 k=f (t) , 再利用导数知识和数形结合思想方法解决方程根的结论.答案: (1) 略; $(2) k = \frac{1}{4} t (t^{2} - 3)$ ; (3) 当 $k ＞ \frac{1}{2}$ 或 $k ＜ - \frac{1}{2}$ 时, 一解;当 $k = \frac{1}{2}$

或 $k = - \frac{1}{2}$ , 或 k=0时, 两解;当 $- \frac{1}{2} ＜ k ＜ 0$ 或 $0 ＜ k ＜ \frac{1}{2}$ 时, 三解.)

3.高中“平面向量”的教学探讨篇三

一、从运算的角度来讲，向量可分为三种运算

（1）几何运算。本章教材给出了三角形法则，平行四边形法则，多边形法则。利用这些法则，可以很好地解决向量中的几何运算问题，从中去体会数形结合的数学思想。

（2）代数运算。①加法、减法的运算法则；②、实数与向量乘法法则；③向量数量积运算法则。

（3）坐标运算。在直角坐标系中，向量的坐标运算有加、减、数乘运算、数量积运算。通过向量的坐标运算将向量的几何运算与代数运算有机结合起来，充分体现了解析几何的思想，让学生初步利用”解析法”来解决实际问题，也为以后学习解析几何及立体几何相关知识打下了基础，作好了铺垫。

二、教学内容、要求、重点与难点

1.本章教学内容可分成两块：第一向量及其运算，第二解斜三角形

（1）平面向量基本知识，向量运算。具体教学内容有: 向量(5.1节)、向量的加法与减法(5.2节)、实数与向量的积(5.3节)、平面向量的数量积及运算律(5.6节)。

（2）平面向量的坐标运算，联结几何运算与数量运算的桥梁。具体教学内容体有: 平面向量的坐标运算(5.4节)，向量加减运算、实数与向量的积运算、平面向量的数量积的坐标表示(5.4节、5.7节)。

（3）平面向量的应用，具体教学内容有:线段的定比分点(5.5节)，平移(5.8节)，正弦定理，余弦定理(5.9节)，解斜三角形应用举例(5.10节)，实习作业。

2.教学要求

（1）理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。

（2）掌握向量的加法和减法。

（3）掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件。

（4）了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。

（5）掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件。

（6）掌握平面两点间的距离公式以及线段的定比分点和中点坐标公式，并能熟练运用；掌握平移公式。

（7）掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形。

（8）通过解三角形的应用的教学，继续提高运用所学知识解决实际问题的能力。

3.教学重点

向量的幾何表示，向量的加、减运算及实数与向量的积的运算，平面向量的数量积，向量的坐标运算，向量垂直的条件，平面两点间的距离公式及线段的定比分点和中点坐标公式，平移公式，正、余弦定理。

4.教学难点

向量的概念，向量运算法则及几何意义的理解和应用，解斜三角形等。

三、本章的特点

教材编排的特点决定了在教学中处理本章时，有别于其它章节。

（1）教材在本章处理上，充分体现了数形结合的思想。教材通过求小船由A地到B地的位移来引入向量，根据学生思维特点，由具体到抽象，以平面几何知识为背景。在概念、法则及例题的编辑上都尽量配了图形，并安排了较多的作图练习、看图练习及作图验证练习等，为学生积极参与教学活动提供了条件，为发挥学生学习的主体作用提供了条件，这样既抓住了平面向量的特点，又使学生通过操作性练习达到对新概念的理解。

（2）利用”向量法”解决实际问题是本章的显著特点之一。向量与几何之间存在着密切联系；向量又有加、减、数乘积及数量积等运算，也有平面向量的坐标运算，因而向量具有几何和代数的双重属性，能联系几何与代数，从而给了我们一种新的数学方法——向量法；向量法能将技巧性解题化成算法性解题，正、余弦定理的推导就采用了向量法，为以后学习解析几何与立体几何打下了基础。

（3）强化数学能力是本章的另一显著特点。由于本章的向量法的精髓就是将技巧性解题思路化成算法性解题思路；利用所学知识解决实际问题的能力作为本章的重要教学要求；为了更好地培养学生应用数学知识解决实际问题的能力和实际操作能力，教材还安排了”实习作业”，通过实际测量，使学生能运用正、余弦定理来解决实际问题，既体现了数学的工具作用和应用性，又从另一个方面促进了学生对知识的理解与掌握。

四、教学体会

依据教学内容、要求及本章的特点，根据学生认知水平和近几年的教学实践，对”平面向量”教学有如下的教学体会：

（1）认真研究《考试大纲》及教学要求和目标，分析本章节特点，根据学生原有知识结构对学习本章可能会产生的正负迁移作用，有针对性地设计教学计划，组织教学过程，做好学法指导。

（2）在教学中重基础知识，重基本方法，重基本技能，重教材，重应用，重工具作用，不拔高，不选偏题和难题，遵循学生认知规律和按大纲要求进行。

（3）抓住向量的数形结合和具有几何与代数的双重属性的特点，提高”向量法”的运用能力，充分发挥工具作用。在教学中引导学生理解向量怎样用有向线段来表示，掌握向量的三种运算，理解向量运算和实数运算的联系和区别，强化本章基础。

（4）利用解三角形的应用问题，结合教学过程进行数学建模的训练，要引导学生识记、区分和理解正、余弦定理的应用范围，会对公式进行变形；在运用公式解三角形时，会分类讨论三角形类型；指导学生在解三角形时掌握正、余弦定理的选用与寻找合理、简捷的运算途径的关系，总结出解与三角形有关的应用问题。

4.高中数学《平面向量》的教案篇四

教材：平面向量的数量积平移的综合练习课

目的：使学生对平面向量数量积的意义、运算有更深的理解，并能较熟练地处理

有关长度、角度、垂直的问题。

过程：

一、复习：

1．平面向量数量积的定义、运算、运算律

2．平面向量数量积的坐标表示，有关长度、角度、垂直的处理方法 3．平移的有关概念、公式

二、例题

例

一、a、b均为非零向量，则 |a+b| = |ab| 是的………………（C）A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

解：若|a+b| = |ab|  |a+b|2 = |ab|2  |a|2 + 2ab + |b|2 = |a|2  2ab + |b|2 ab = 0  ab

例

二、向量a与b夹角为

3，|a| = 2，|b| = 1，求|a+b||ab|的值。

解：|a+b|2 = |a|2 + 2ab + |b|2 = 4 + 2×2×1×cos

+ 1 = 7

∴|a+b| =7,同理：|ab|2 = 3, |ab| =3∴|a+b||ab| =21 中，= a，= b，= c，= d，且ab = bc = cd = da，问ABCD是怎样的四边形？解：由题设：|a||b|cosB = |b||c|cosC = |c||d|cosD = |d||a|cosA∵|a| = |c| , |b| = |d|∴cosA = cosB = cosC = cosD = 0是矩形例

四、如图△ABC中，= c，BC= a，CA= b，则下列推导不正确的是……………（D）A．若a b < 0，则△ABC为钝角三角形。B．若a b = 0，则△ABC为直角三角形。

C．若a b = bc，则△ABC为等腰三角形。A D．若c(a + b + c)= 0，则△ABC为正三角形。

解：A．ab = |a||b|cos < 0，则cos < 0，为钝角B．显然成立

C．由题设：|a|cosC = |c|cosA，即a、c在b上的投影相等

D．∵a + b + c = 0, ∴上式必为0，∴不能说明△ABC为正三角形

例

五、已知：|a| =2，|b| = 3，a与b夹角为45，求使a+b与a+b夹

角为锐角的的取值范围。

解：由题设：ab = |a||b|cos = 3×2×

2= 3(a+b)(a+b)=|a|2 +|b|2 +(

2+ 1)ab = 32 + 11 + 3∵夹角为锐角∴必得32 + 11 + 3 > 0∴ 

11116或6

例

六、i、j是平面直角坐标系内x轴、y轴正方向上的两个单位向量，且AB= 4i + 2j，AC=3i + 4j，证明：△ABC是直角三角形，并求它的面积。

解：=(4, 2), =(3, 4), 则=(34, 42)=(1, 2), =(4, 2),∴BABC=(1)×(4)+(2)×2 = 0∴BABC即△ABC是直角三角形

|| =42222,|| =(1)2(2)2,且B = 90,∴S1△ABC = D 2

2555 例

七、用向量方法证明：菱形对角线互相垂直。证：设AB=DC= a , AD=BC= b A

∵ABCD为菱形∴|a| = |b|

∴ACBD=(b + a)(b  a)= b2

 a2

= |b|2

 |a|2

b= 0

∴AC

例

八、已知a、b都是非零向量，且a + 3b与7a  5b垂直，a  4b与7a  2b垂直，求a与b的夹角。

解：由(a + 3b)(7a  5b)= 0  7a2 + 16ab 15b2 = 0①(a  4b)(7a  2b)= 0  7a2  30ab + 8b2 = 0②两式相减：2ab = b2代入①或②得：a2 = b2

设a、b的夹角为，则cos =abb21

|a||b|2|b|2

∴ = 60

5.平面向量在高中数学教学中的作用篇五

平面向量是高中数学引入的一个新概念.利用平面向量的定义、定理、性质及有关公式,可以简化解题过程,便于学生的理解和掌握.向量运算主要作用可以提高学生针对数学运算的理解层次，本身这个运算学生总最初接触运算都是数与数之间的运算，而加入向量运算之后，向量运算涉及到数学元素更高，比如说实数、字母、甚至向量，甚至还可以把几何图形加入运算当中，这本身对数学层次更大的一个提高。而且向量运算对数学的思想也体现的比较多，就是在解析几何当中，或者是在平面几何当中，向量应用确实很方便，一个运算既有代数意义又有几何意义，但是到了立体几何的话，我觉得向量运算仅仅就变成算术了，算术对立体几何本意还是没有有一点想像，就是它到底人学生重点掌握什么，掌握运算还是掌握思维和想像。

一、向量在代数中的应用

根据复数的几何意义，在复平面上可以用向量来表示复数。这样复数的加减法，就可以看成是向量的加减，复数的乘除法可以用向量的旋转和数乘向量得到，学了向量，复数事实上已没有太多的实质性内容。因而变选学内容也就不难理解了。另外向量所建立的数形对应也可用来证明代数中的一些恒等式、不等式问题，只要建立一定的数模型，可以较灵活地给出证题方法。

二、向量在三角中的应用

当我们利用单位圆来研究三角函数的几何意义时，表示三角函数就是平面向量。利用向量的有关知识可以导出部分诱导公式。由于用向量解决问题时常常是从三角形入手的，这使它在三角里解决有关三角形的问题发挥了重要作用，一个最有力的证据就是教材中所提供的余弦定理的证明：只要在根据向量三角形得出的关系式的两边平方就可利用向量的运算性质得出要证的结论，它比用综合法提供的证明要简便得多。

三、向量在平面解析几何中的应用

由于向量作为一种有向线段，本身就是有向直线上的一段，且向量的坐标可以用起点、终点的坐标来表示，使向量与平面解析几何特别是其中有关直线的部分保持着一种天然的联系。平面直角坐标系内两点间的距离公式，也就是平面内相应的向量的长度公式；分一条线段成定比的分点坐标，可根据相应的两个向量的坐标直接求得；用直线的方向向量（a , b）表示直线方向比直线的斜率更具有一般性，且斜率实际是方向量在 a = 0时的特殊情形。另外向量的平移也可用来化简二次曲线，即通过移动图形的变换来达到化简二次曲线的目的，实际上与解析几何中移轴变换达到同样的效果。

四、向量在几何中的应用

在解决几何中的有关度量、角度、平行、垂直等到问题时用向量解决也很方便。特别是平面向量可以推广到空间用来解决立体几何问题。例如在空间直线和平面这部分内容光焕发中，解决平行、相交、包含以及计算夹角、距离等问题用传统的方法往往较为繁琐，但只要引入向量，利用向量的线性运算及向量的数量积和向量积以后，一切都归结为数字式符号运算。这些运算都有法则可循，比传统的方法要容易得多

6.高中数学《平面向量》的教案篇六

教材分析

平面向量的基本定理是说明同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合，它是平面向量坐标表示的基础，也是平面图形中任一向量都可由某两个不共线向量量化的依据．这节内容以共线向量为基础，通过把一个向量在其他两个向量上的分解，说明了该定理的本质．教学时无须严格证明该定理，只要让学生弄清定理的条件和结论，会用该定理就可以了．

向量的加法、减法、实数与向量的积的混合运算称为向量的线性运算，也叫“向量的初等运算”．由平面向量的基本定理，知任一平面内的直线型图形都可表示为某些向量的线性组合，这样在证明几何命题时，可先把已知和结论表示成向量形式，再通过向量的运算，有时能很容易证明几何命题．因此，向量是数学中证明几何命题的有效工具之一．为降低难度，目前要求用向量表示几何关系，而不要求用向量证明几何命题．

平面向量的基本定理的理解是学习的难点，而应用基本向量表示平面内的某一向量是学习的重点．

教学目标

1.了解平面向量基本定理的条件和结论，会用它来表示平面图形中任一向量，为向量坐标化打下基础．

2.通过对平面向量基本定理的归纳、抽象和概括，体验数学定理的产生、形成过程，提升学生的抽象和概括能力．

3.通过对平面向量基本定理的运用，增强向量的应用意识，进一步体会向量是处理几何问题的强有力的工具之一．

任务分析

这节课是在学生熟悉向量加、减、数乘线性运算的基础上展开的，为了使学生理解和掌握好平面向量的基本定理，教学时，常应用构造式的作图方法，同时采用师生共同操作，增强直观认识，归纳和总结出任意向量与基本向量的线性组合关系，并且通过适当的练习，使学生进一步认识和理解这一基本定理．

教学设计

一、问题情景 1.在ABCD中，（1）已知＝ａ，＝ｂ，试用ｂ，ｂ来表示，；

（2）已知＝ｃ，＝ｄ，试用ｃ，ｄ表示向量，.2.给定平面内任意两个不共线向量e1，e2，试作出向量3e1＋2e2，e1－2e2． 3.平面内的任一向量是否都可以用形如λ1e1＋λ2e2的向量表示？

二、建立模型 1.学生回答

（1）由向量加法，知＝ａ＋ｂ；由向量减法，知＝ａ－ｂ，＝ａ＋0·ｂ．

（2）设AC，BD交于点O，由向量加法，知

2.师生总结

以ａ，ｂ为基本向量，可以表示两对角线的相应向量，还可表示一边对应的向量估计任一向量都可以写成ａ·ｂ的线性表达．

任意改成另两个不共线向量ｃ，ｄ作基本向量，也可表示其他向量． 3.教师启发，通过了e1＋2e2，e1－2e2的作法，让学生感悟通过改变λ1，λ2的值，可以作出许多向量ａ＝λ1e1＋λ2e2．在此基础上，可自然形成一个更理性的认识———平面向量的基本定理．

4.教师明晰

如图，设e1，e2是平面内两个不共线的向量，ａ是这一平面内的任一向量．

在平面内任取一点O，作

＝e1，＝e2，＝ａ；过点C作平行于直线OB的直线，与直线OA交于M；过点C作平行于直线OA的直线，与直线OB交于N．这时有且只有实数λ1，λ2，使

＝λ1e1，＝λ2e2．由于

＝

＋，所以ａ＝λ1e1＋λ2e2，也就是说任一向量ａ都可表示成λ1e1＋λ2e2的形式，从而有

平面向量的基本定理如果e1，e2是一平面内的两个不平行向量，那么该平面内的任一向量ａ，存在唯一的一对实数λ1，λ2，使ａ＝λ1e1＋λ2e2．

我们把不共线向量e1，e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底，有序实数对（λ1，λ2）叫ａ在基底e1，e2下的坐标．

三、解释应用［例题］

1.已知向量e1，e2（如图38-3），求作向量－2.5e1＋3e2．注：可按加法或减法运算进行．

2.如图38-4，解：∵，不共线，＝t（t∈R），用，表示．

［练习］

1.已知：不共线向量e1，e2，求作向量ａ＝e1－2e2．

2.已知：不共线向量e1，e2，并且e1－3e2＝λ1e1＋λ2e2，求实数λ1，λ2． 3.已知：基底｛a，b｝，求实数ｘ，ｙ满足向量等式：3xa＋（10－y）b＝（4y＋7）a＋2xb．

4.在△ABC中，＝ａ，＝ｂ，点G是△ABC的重心，试用ａ，ｂ表示．

5.已知：ABCDEF为正六边形，＝ａ，．

＝ｂ，试用a，b表示向量6.已知：M是平行四边形ABCD的中心，求证：对于平面上任一点O，都有

.四、拓展延伸

点评

7.关于高中数学课程中向量的研究篇七

关键词：高中数学,向量,探究

高中数学教学内容中引入向量，对于教师展开数学教学以及学生学习相关数学知识，都有很大的作用．由于向量自身属性，可以将多章数学知识有机联系起来，可以大大提升教师教学相关数学知识的有效性．

一、向量对于高中数学课程的意义

在高中数学中加入向量的知识，等同于给高中数学注入了新鲜血液，给高中数学教学带来了新的空间．从数学教学中来看，向量为解题提供了工具与方法，对于正确把握数学教材、理解相关数学知识具有一定的帮助，对于其他章节知识教学也有启发作用，可以提高数学教学质量以及学生学习数学的成效．高中数学教材中的向量是抽象的自由向量，可以通过对实例分析具化出向量的概念，再由有向线段加以表示．

但是，学生往往认为向量是由起点、方向和大小三个要素构成的，产生向量是固定的错误思想．为此，教师应当要求学生多画向量图，从实际图像来对向量加以区分和认识，诸如共线向量、平行向量、相反向量等．只有正确认识向量的基本含义，才能对多个向量进行比较，判断其相互之间的关系．

例如，平行向量重在说明向量之间的平行关系，而向量的长度又能反应向量之间的大小关系．相等向量属于平行向量的一部分，而平行向量和共线向量又具有等价的关系．在高中数学向量章节中有这样的描述，“任意非零的相等向量，都可以用一条有向线段表示，而且和该线段的起点无关．”这句话完全揭露了向量的本质，还表明向量是可以移动的．

二、向量在数学课程中的作用和问题

在高中数学中，向量主要分为平面向量和空间向量．不过在严格的数学意义上来说，平面向量也属于空间向量的一部分．向量在三角关系和几何的教学中被广泛应用．例如在三角关系中利用向量来证明正余弦定理，不仅方法较为简单，而且很直观，便于学生理解．向量是数与形的桥梁，其可以将数的运算转化为形的内容，也可以将形的内容转变成数的运算，可以让学生感受到数与形能够互通的基本思想，将坐标、线段和向量联系起来．

虽然向量可以将多部分知识紧密联系起来，但却存在许多客观问题，使教师在数学课堂中难以发挥向量的真正价值．首先，高中数学教材相关教学内容编排并不十分合理，在实际教学中可以发现，学生对于向量的概念及定理都感到很抽象，学起来比较别扭．比如空间向量、向量的投影、向量的数量积和定比分点等内容，学生很难在头脑中产生清晰的模型．因此，教师在数学课堂中，要充分考虑向量的抽象性，从学生的角度出发，适当调整向量教学的内容和模式，确保学生更加容易理解．其次，学生通过对向量的不断学习，对向量解决相关题目方法的不断累积逐渐认识到向量解题的便利性，但却把向量只当做解题工具，忽略了向量的真正意义．

三、加强实际联系，充分发挥向量的作用

高中数学课程不应该只是作为应试的一门课程，更应该加强与实际的联系，提升数学的实用性．向量在高中数学中主要是表现大小关系和位置关系，这完全可以运用到生活实际中．教师在课堂教学中，尽可能以生活实际中的例子或是相关学科中的例子，阐明学习向量的意义．诸如物理中速度重力等，都是具有大小和方向的向量，教师可以借由这些实际例子，再引出向量的模以及单位向量的概念．

例如，公交车向东开出500米，又向北开出600米，又向西南方向开出200米，问现在公交车相对于出发点的方位和距离．这个问题就可以通过向量简单解决．以出发点为原点画出平面坐标系，东向为X轴正方向．这样就可以写出三次发车的向量表达式，a=(500,0),b=(0,600),c=(-100,-100),a+b+c=(400,500)，算出该向量和的模值约为640，就可得出公交车位于出发点东北向640米处．只有与生活实际多加联系，才能让学生理解学习向量的真正意义，更多地将数学知识用以实践．利用向量解决问题的过程中，需要注意两个基本原则．首先是向量的线性关系是向量最基本也是最重要的性质，其是在运用向量过程中需要特别注意的，许多点的位置关系都依靠此性质决定．其次，在某些问题中需要用到长度夹角以及垂直等关系时，很多学生都忘记了向量内积的作用，因此，在应用中一定要使用向量内积．

结束语

向量是数与形的结合体，既具有数与形的特点，又不同于数与形．向量是解决诸多数学问题的有效手段，通过向量教学，可以使学生对于数学问题的解答拥有更多方法，能够有效提高数学教学的质量和效率．不仅如此，向量还可以通过实际的几何模型，给学生最直观的感受，激发学生的想象力．

参考文献

[1]周树华.对高中数学课程中向量的研究[J].读写算,2012(3).

[2]刘耀青.高中数学中向量的教学研究[D].内蒙古师范大学,2012.

8.高中数学《平面向量》的教案篇八

一、直线的方向向量与平面的法向量的定义

1 直线的方向向量

我们把直线l上的向量e以及与e共线的向量叫做直线l的方向向量.

2 平面的法向量

如果表示向量n的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作n⊥α，如果n⊥α，那么向量n叫做平面α的法向量.

二、直线的方向向量与平面的法向量的求法

1. 直线的方向向量的求法

方法一：设直线方程y=kx+b，则其方向向量为m=(1,k).

方法二：设直线方程Ax+By+C=0，则其方向向量为m=(-B,A).

方法三：设A(x1,y1)、B(x2,y2)、（x1≠x2）在直线L上,则其方向向量为m=1,y2-y1x2-x1.注：(1) 当直线L与x轴垂直时，设A(x1,y1)、B(x1,y2)在直线L上，则m=0,y2-y1x2-x1为直线L的一个方向向量；（2）设A(x1,y1,z1)、B(x2,y2,z2)在直线L上,则其方向向量为m=1,y2-y1x2-x1,z2-z1x2-x1( x2≠x1)为直线L的一个方向向量.

2. 平面的法向量的求法

9.高中数学《平面向量》的教案篇九

《从位移、速度、力到向量》

教学设计

本节课的内容是北师大版数学必修4，第二章《平面向量》的引言和第一节《从位移、速度、力到向量》两部分，所需课时为1课时。

一、教材分析

向量是近代数学最重要和最基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的桥梁，对更新和完善中学数学知识结构起着重要的作用。向量集数与形于一身，有着极其丰富的实际背景，在现实生活中随处可见的位移、速度、力等既有大小又有方向的量是它的物理背景，有向线段是它的几何背景。向量就是从这些实际对象中抽象概括出来的数学概念，经过研究，建立起完整的知识体系之后，向量又作为数学模型，广泛地应用于解决数学、物理学科及实际生活中的问题，因此它在整个高中数学的地位是不言而喻的。

本课是“平面向量”的起始课，具有“统领全局”的作用。本节概念课，重要的不是向量的形式化定义及几个相关概念，而是能让学生去体会认识与研究数学新对象的方法和基本思路，进而提高提出问题，解决问题的能力。

二、学情分析

在学生的已有经验中，与本课内容相关的有：数的抽象过程、实数的绝对值（线段的长度）、数的相等、单位长度、0和1的特殊性、线段的平行与共线等。

三、目标定位

根据以上的分析，本节课的教学目标定位：

1）、知识目标

⑴ 通过对位移、速度、力等实例的分析，形成平面向量的概念；

⑵ 学会平面向量的表示方法，理解向量集形与数于一身的基本特征；

⑶ 理解零向量、单位向量、相等向量、平行向量的含义。

2）、能力目标

⑴培养用联系的观点，类比的方法研究向量；

⑵获得研究数学新问题的基本思路，学会概念思维；

3）、情感目标

⑴运用实例，激发爱国热情；

⑵使学生自然的、水到渠成的实现“概念的形成”；

⑶让学生积极参与到概念本质特征的概括活动中，享受寓教于乐。

重难点：

重点：向量概念、向量的几何表示、以及相等向量概念；

难点：让学生感受向量、平行或共线向量等概念形成过程；

四、教学过程概述：

4.1 向量概念的形成4.1.1 让学生感受引入概念的必要性

引子：在世博园内，有位同学在参观完了中国馆后将要去德国馆参观，由位置的变化引出位移。

意图：向量概念不是凭空产生的。用这一简单直观的问题让学生感受“既有大小又有方向的量”的客观存在，自然引出学习内容，学生会有亲切感，有助于激发学习兴趣。

问题1你能否再举出一些既有大小又有方向的量？

意图：激活学生的已有相关经验。

进一步直观演示，加深印象。

追问：生活中有没有只有大小没有方向的量?请举例。

意图：形成区别不同量的必要性。概念抽象需要典型丰富的实例，让学生举例可以观察到他们对概念属性的领悟，形成对概念的初步认识，为进一步抽象概括做准备。

类比数的概念获得向量概念的定义（板书）。

4.1.2 向量的表示方法

问题2数学中，定义概念后，通常要用符号表示它。怎样把你举例中的向量表示出来呢

意图：让学生先练习力的表示，让错误呈现，激发认知冲突，最后自觉接受用带有箭头的线段（有向线段）来表示向量。（教师引导学生进一步完善）

几何表示法：记作A B|A B|为AB的长度(又称模)。

字母表示法：a、b、c……或a、b、c ……

4.1.3 单位向量、零向量的概念：

问题3用有向线段表示向量，学生演板，提出问题，大家画得线段长度长短不一怎么回事？如何解决这问题？由单位长度引入单位向量意图：这样过渡学生不会感觉新的概念是从天而降，而是进一步学习的需要归纳小结：单位向量——长度等于1个单位长度并与a同向的向量叫做a方向上的单位向量．

让演板学生回到座位之后利用这个情境提出问题，他位移的大小是什么？归纳小结：零向量——长度（模）为0的向量，记作0，它的方向是任意的。提问：你们认为零向量和单位向量特殊吗？它们的特殊性体现在哪？类比实数集合中的0和1.4.2 相等向量、平行(共线)向量概念的形成设计活动：传花游戏

意图：通过游戏调动学生的兴趣和积极性，让学生通过亲身经历去体会相等向量与平行向量的本质特征。

归纳：

1、从“方向”角度看，有方向相同或相反的非零向量就是平行向量。记作：a ∥b ∥ c

任一组平行向量都可移到同一条直线上，所以平行向量也叫共线向量。

2、从“长度”角度看，有模相等的向量，︱a︱ =︱ b︱

3、既关注方向有又关注长度有相等向量：记作：a = b

规定： 0 与任一向量都平行或（共线）。

教师通过动画演示深化上述两个概念

问题4 由相等向量的概念知道，向量完全有它的方向和大小确定。由此，你能说说数学中的向量与物理中的矢量的异同吗？另外，向量的平行、共线与线段的平行、共线有什么区别与联系？

意图：让学生注意把向量概念与物理背景、几何背景明确区分，真正抓住向量的本质特征，完成“数学化”的过程。

4.3 课堂练习：

1、概念辨析

1)两个长度相等的向量一定相等．

2)相等向量的起点必定相同．

3)平行向量就是共线向量． 4)若 AB 与 CD 共线，则

A、B、C、D 四点必在同一条直线上．

5)向量 a 与 b平行，则向量 a 与 b 的方向相同或相反．

2、教材例题

如图 2-7，D，E，F 依次等边三角形 ABC 的边AB，BC，AC 的中

点．在以 A，B，C，D，E，F 为起点或终点的向量中，（1）找出与向量 DE 相等的向量；

（2）找出与向量 DF 共线的向量．

B C A3、教材第79页，B组第一题(选择此题，可以进一步理解位移概念，又能为后一步的学习做好铺垫)

4.4 课堂小结（引导学生小结）

问题5 欣赏一首关于向量的诗，布置任务能否用拟人的方式把你对向量的认识做个概述呢？

结束语：略

板书设计

五、教学反思

5.1 起始课应有“统领全局”的作用和地位

本节是“平面向量”的第一堂课，具有“统领全局”的作用。因此，本课的目标应体现这一地位。具体有如下三个方面：

（1）形成平面向量的概念，特别是要让学生体会“向量集形与数于一身”的基本特征

（2）让学生体会用联系的观点、类比的方法研究向量。

（3）通过类比“数及其运算”而获得研究的内容与方法的启发，再一次体会研究一类新的数学问题的基本思路。

5.2概念课的主旋律是让学生参与概念本质特征的概括活动

让学生参与概念本质特征的概括活动是使概念课生动活泼、优质高效的关键。这就要求我们一方面充分利用新旧知识蕴含的矛盾，激发认知冲突，让学生融入其中；

另一方面让学生有参与的时间与机会，特别是有思维的实质性参与。

5.3概念教学要使学生自然地、水到渠成地实现“概念的形成”。

本课的教学，我们应力求使学生了解向量概念的背景和形成过程，了解为什么要引入这个概念，怎样定义这个概念，怎样入手研究一个新的问题。

5.4“创造性的使用教材”的前提是深刻理解教材。

相等和平行（共线向量）概念的给出我是设置了一个游戏情境，游戏中将呈现通过学生之间传递花朵所产生的位移向量，让他们从大小和方向两个方面展开思考，教师适时介入，强化本质特征、规范概念表达，与学生

一起完成概念的定义。

5.5明确零向量的意义和作用，不过分纠缠于细节。

首先，规定零向量与任何向量平行是完善概念系统的需要。其次，就像数零的作用在于运算一样，零向量的作用在于运算及其表达的几何意义。因此孤立地讨论零向量与任何向量平行没有多少意义，也不必耗费过多时间。

10.平面向量的坐标运算教案篇十

教学目标：

1.知识与技能：

理解平面向量坐标的概念，掌握平面向量坐标的运算。2.过程与方法：

在对平面向量坐标表示及坐标运算的学习过程中使学生的演绎、归纳、猜想、类比的能力得到发展，利用图形解决问题，也让学生体会到数形结合的思想方法解决问题的能力的重要性。3.情感、态度与价值观：

通过本节课的学习，使学生感受到数学与实际生产、生活的密切联系，体会客观世界中事物之间普遍联系的辩证唯物主义观点。教学重点：

平面向量的坐标表示及坐标运算。教学难点：

平面向量坐标表示的意义。教学方法：

结合本节课的目标要求、重难点的确定以及学生实际思维水平，教学设计中采取启发引导、类比归纳、合作探究、实践操作等教学方法。教学手段：

投影仪、多媒体软件教学过程 1.情境创设

教师借助多媒体动画演示人站在高处抛掷硬物的过程作为本节课的问题情境引入课题，引导学生注意观察硬物下落轨迹，提出问题：结合同学们的生活常识及物理学知识，想一想硬物的速度可做怎样的分解？

学生回答：速度可按竖直和水平两个方向进行分解

设计目的：情境与生活联系，激发学生学习兴趣，同时为下面展开的知识做

好铺垫。

2.展开探究

问题一：平面向量的基本定理内容是什么？教师请一学生回答，同时投影出示其内容。问题二：向量能不能象平面坐标系中点一样给出坐标表示呢？我们如何表示更加

合理呢？

组织学生谈论，给出各种想法，教师做点评归纳。投影展示：将一任意向量a置于直角坐标系中，给出向量的起点、终点坐标，并提出问题问题三：既然向量的起点和终点的坐标是确定的，那么向量也可以用一对实数来表示吗？

设计目的：此问题引发学生联想，对平面向量坐标表示方法具有指导性作用。教师讲授：在直角坐标系内，我们分别取与 x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底.任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x,y，使得a=xi+yj ,我们把叫做向量a的（直角）坐标，记作a=(x,y),其中x叫做a在x轴上的坐标,y叫做a在y轴上的坐标，(x,y)式叫做向量的坐标表示。

3.深化理解

一.平面向量坐标表示的的理解提出问题：

(1)、如果以原点O作为起点作一向量OA=a（投影动画同步演示），那么点A的位置是否可以唯一确定呢？

(2)、点A的坐标与向量OA的坐标之间有什么关系？(3)、两个向量相等的充要条件利用坐标如何进行表示呢？

(4)、如果我们将一个平面向量在直角坐标系中作任意平移（不该表大小和方向），那么它的坐标会改变吗？

组织学生以小组为单位展开探究交流活动，在讨论后回答上述问题，可师生共同完善答案，归纳如下:

(1)、点A的位置受向量OA决定，唯一确定。

(2)、以原点O为起点的向量OA的坐标和终点A的坐标事完全相同的。(3)、两个平面向量相等的充要条件是两个向量的坐标相同。

(4)、在直角坐标系中平面向量在大小和方向不变的前提下自由移动，它们的坐标就是相同的。

设计目的：让学生在合作探究中去主动学习，不仅锻炼了解决问题的能力，还培养了探究协作的能力。

出示练习：用基底i、j分别表示向量a、b、c、d，并求出它们的坐标（图略）。教师让学生独立完成，之后借助投影让个别学生展示完成情况，教师点评。设计目的：增进了所学新知的内化。

二、平面向量的坐标运算

提出问题：通过以上研究，我们了解了平面向量的坐标表示，向量是可以进行运

算的，如何运用所学的知识进行两个向量的和与差的坐标表示及实数与向量积的坐标表示呢？

投影出示：已知向量a=（s，t），b=(m,n)，求向量a+b，a-b, λa的坐标

学生展开讨论，可能给出多种推导方法，教师要耐心给与点评，并做最后归纳。（1）向量加减法的坐标等于向量坐标的加减法。

（2）实数与向量的积的坐标等于是属于向量坐标的积。

（3）一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点坐标教师提问：设AB是表示向量a的有向线段，点A(s,t)，B(m,n)，那么向量a的坐标如何表示？

学生结合向量坐标运算可得出答案，a=(m-s,n-t)，教师强调

一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标。设计目的：此环节教师充当引导者，以学生为主体，让学生在讨论思考中享受成功的快乐。

4.例题剖析

例

1、已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别为（-2，1）、（-1，3）、（3，4），求顶点D的坐标。

变式：已知平面上三点的坐标分别为A(2, 1), B(1, 3), C(3, 4)，求点D的坐标，使这四点成为平行四边形的四个顶点。

教师给学生充足时间独立思考，适当时可提示作图理解，而变式对学生来说

难度增大，要鼓励学生大胆尝试，独立求解，并提示要考虑图形的多种画法。设计目的：通过例题和变式综合考查学生对本节所学知识的理解和掌握程度，也促进学生应用知识解决问题的能力。

5.课堂小结

请学生对本节课内容作归纳，不足之处师生补充完善，最后教师作总结式说明。1.向量的坐标表示是向量的另一种表示形式，也可以称之为向量的代数表示，其背景是平面向量的基本定理。

2.向量的坐标表示为我们进行向量的运算提供了方便。

3.向量的坐标表示使得我们借助数的运算对图形的几何性质展开研究，体现了数形结合思想方法的应用。

前面我们还学习了这留待我们下一节再来研究。

6.布置作业（1）.课后习题

（2）如何运用向量坐标来表示和判定共线向量呢？让学生预习下节内容。

7.板书设计

平面向量的坐标运算

1.平面向量的坐标

例1

变式定义

解：

解：（1）

（2）

（3）

11.高中数学新课程中的向量教学探究篇十一

关键词：高中数学；新课程；向量教学；人教版

向量是数学模型的一种，源自生活中速度、位移、力等现实原型，很好地将数学与生活联系在一起，在高中课程当中与解析几何、三角问题证明、函数、解方程、不等式证明以及复数的运算等知识都有所联系，通过向量的应用，学生可以不用再依赖于想象空间形式，省却了繁杂的思维过程，简化推理过程。在新课改的形势下，必须重新审视高中数学向量教学，积极改进教学方法。

一、向量教学在高中数学教学中的重要价值

当我们在行驶的车辆中透过车窗看向外面落下的雨水时，是否疑惑过为什么它落下的轨迹线是向后倾斜的；摆渡工人在摆船的时候为什么要把船头对着与逆水方向偏离一定角度的方向，而不是直接对准对岸的码头等等生活中常见的问题和现象都可以通过向量做出很好的解释。另外，向量还可以刻画出像力、位移和速度、加速度这些生活中常见的物理量。因此，通过向量的学习，可以帮助学生更好地认识数学在现实生活中的作用。

学习的过程就是在原有知识的基础上接受和学习新的知识，再通过新旧知识间的融合再次重建并进一步优化原有的认知结构。比如，直线与向量的平行、垂直的含义及证明方法之间就可以相互借鉴和扩充，充实学生认知结构。因此，鉴于向量在高中数学中与其他知识间的紧密联系，通过向量的学习可以让学生多角度、多方面地考虑数学问题，有效将相关知识融合在一起，使认知结构得到优化。

二、高中数学新课程向量教学的具体策略

1.秉持以学生为本的教学理念

教育的最终目的是育人，应该尊重学生在教学过程中的主体地位。新课程改革的目的也是为更好地实现这一点。因此，在高中数学新课程向量教学当中应坚持以学生为本，充分调动学生参与学习的主观能动性。

首先，通过引导学生进行相互讨论和协商来加强和丰富学生与学生、学生与教师间的人际交流。比如，在学习过向量的数量积定义■ · ■=■·■·cosθ后，教师可以通过提问：当向量■和向量■中有一个为单位向量■时，根据定义进行运算会得出什么样的结果或当向量■和向量■中间的夹角θ为0°、90°或180°时又会有怎样的结论等引导性问题来组织、引导和鼓励学生积极展开交流和讨论，加深理解的同时又激发学生的学习兴趣，培养其思维能力和合作交流、探究的意识。此外，教师通过交流还可以了解学生的思考过程，及时发现错误，纠正错误。

然后，教师要意识到学生与自己在教学过程中的平等地位，允许学生犯错误，且当学生出现错误的时候不以证明学生是错误的，自己是对的为目的，而是要通过平等交流来逐步引导学生发现自己的错误，知道自己为什么错了，错在哪。同时，当自己犯错的时候也要勇于承认，积极改正。总之，要多倾听和了解学生的一些想法及其对知识的理解，创建平等、和谐融洽的师生关系，真正发挥出学生在课堂中的主体作用。

2.注重在向量教学中创设学习情境

数学与现实生活紧密相连，既来源于现实生活，又应该应用于现实生活。因此，在高中数学新课程的向量教学过程中应从生活实际出发，结合学生已有的知识和生活经验创设学习情境。比如，在讲解向量的概念时可以将物理的位移概念当作背景资料，这样可以使学生更容易理解；在向量加法的教学中，可以通过实际生活情境：小明的妈妈想从厦门飞到台北，但是在厦门并没有直飞台北的航班，她需要先从厦门飞到香港，再从香港飞到台北。此时，教师就可以将小明妈妈厦门到香港、香港到台北的两次过程比作两次位移，那么这两次位移的最终效果就等同于小明妈妈直接从厦门位移到台北，继而引出向量和的定义。

3.在向量教学中注重其与现实生活之间的联系

应充分利用现实生活中力、位移等具体模型来进行教学。比如，可以利用力和位移的倍增或通过时间和速度来求位移这些实际的问题引申出向量的数乘运算。另外，还可以用向量来解释和解决一些现实生活中的现象，比如问题：要将船以0.5 m/s的速度从南岸A处位置出发，摆渡到一条宽度为100 m的小河对岸，假设水流没有速度，河水流向為东，流速为0.3 m/s，若将船朝着正对岸方向划，船会停在对岸的哪个位置；若想使船停靠在对岸正对着A处的B位置上，应怎样掌控船的行驶方向。

鉴于向量在数学以及其他学科以及生活实际应用中的重要地位，在高中数学新课程向量教学中，教师既要关注向量与本学科代数、几何等知识的联系及其应用，又要注重其与其他学科和生活实际的联系，准确定位向量教学。

参考文献：

[1]陆英俊.新课程下高中向量的教学研究及策略分析[D].苏州大学，2014.

[2]刘耀青.高中数学中向量的教学研究[D].内蒙古师范大学，2012.

12.新课改下高中数学向量的教学研究篇十二

关键词：教学研究,数学向量,高中,新课改

一、新课改下高中数学向量教学中存在的主要问题

1. 教师方面存在的问题

据相关调查了解,目前大部分高中教师对新课改的了解还不够深入,对向量在数学教学中的应用只是为了应付高考,而对新课改下向量在数学教学内容中的价值没有过多关注,没有真正把握新教材的内容,从而造成相应教学课时安排较少,难以完成教学任务,对学生掌握向量知识很不利。此外,教师没有深入认识向量,大多数教师只认识到向量的几何特性,在教学中只意识到向量的应用、内涵等,忽视了向量在解决代数问题方面的拓展应用。向量教学方法的选择也不科学,造成学生在学习向量相关知识的时候显得很吃力,阻碍了数学教育的开展。

2. 学生方面存在的问题

目前高中生在学习数学向量知识的时候,大多觉得很难理解,觉得有压力,很难有效掌握相关的知识;且学生在面临向量问题的时候也不能够积极主动地使用向量知识去解决。另外,学生在学习向量知识的时候使用的方法也不合理,需要选择恰当的、适合自身特点的学习方法,在学习中要积极主动地思考问题,总结方法逐步培养学习兴趣。

二、新课改下高中数学向量的教学方法

1. 数学教学中应用向量相关知识

首先在数学不等式、代数式中应用向的重要桥梁就是向量的数量积运算,在求解这类问题的时候需要结合数量积科学构造向量,从而实现实数和向量之间的轻松转化。首先在数学不等式、代数式中应用

在高中数学的立体几何、解析几何、平面几何、复数、线性规划、三角函数等教学中都可以应用向量的知识进行求解,这不仅为解题提供了更丰富的方法,同时可以简化解题的步骤,也能够增强学生对向量知识的理解,从而帮助学生在学习数学知识的时候也能够学习更多的向量知识,提高学生的学习能力。

2. 解答高中数学问题时使用向量知识

高中数学的各个领域中几乎都有应用到向量知识,因此掌握向量的解题方法和技巧极为重要,向量坐标法、向量几何法是向量解题的主要方法。在使用坐标法时,应当根据物理模型的特征,构件一个符合该模型特征的坐标系,然后再将具体的数值代入其中进行计算。使用几何法解题主要是利用向量的共面、共线、分解、合成等定理计算向量,从而求出问题的解。在实际解题的时候根据具体的情况选择恰当的方法,可以建坐标系的,就使用坐标法;不能建坐标系的,就使用几何法。

综上所述,通过对新课改下高中数学向量的教学研究,可以了解到目前高中数学向量教学中存在的问题比较严重,无论是教师还是学生,对向量知识的认识都不够深刻,造成向量教学的效率低下。针对这种情况,本文提出将向量应用到数学教学中、使用向量解决数学问题的措施,以此提高向量在数学教学中的地位,适应新课改的要求。

参考文献

[1]时伟.浅析新课改下高中数学教学存在的问题及对策[J].新课程(中学),2015,(1):158.

13.高中数学《平面向量》的教案篇十三

【教学目标】知识目标：

1．了解向量坐标的概念，了解向量加法，减法及数乘向量线性运算的坐标表示；

2．理解向量的坐标表示法，掌握平面向量与一对有序实数一一对应关系；

3．正确地用坐标表示向量，对起点不在原点的平面向量能利用向量相等的关系来用坐标表示。

4．理解向量坐标与其始点和终点坐标的关系。能力目标：

培养学生理解向量的坐标表示如何将“数”的运算处理“形”的问题，将向量线性运算的几何问题代数化；培养学生应用向量的坐标进行运算的能力。

【教学重点】向量线性运算的坐标表示及运算法则。【教学难点】对平面向量的坐标表示的理解。

采用数形结合的方法进行教学是突破难点的关键。

【教学方法】类比，数形结合，启发式等【课型】新授课【教学过程】

一、温故知新：

ACOB1.向量加法：OA

（结合图形）2.向量减法:OA

（结合图形）OBOA3.数乘向量：

若a与bb0平行,则由平行知，存，使a导入：在平面直角坐标系中，每一个点都有一对有序实数（坐标）来表示；任意一个向量，它的始点和终点也可用坐标表示；那么向量能否用坐标表示？

二、讲解新课： 1．平面向量的直角坐标 

如图，在直角坐标系内，分别取与x轴、y轴正方向相同的两个单位．．向量3i2j）．．i、j则AB=AC+CB

=3i+2j

（EF如下图，平面直角坐标系xOy中的任意一个向量a，有且只有一对实

数a1，a2使得

a=a1i+a2j

则：（a1，a2）叫做向量a的坐标，记作a=（a1，a2）

提问：i=(1,0)

j=(0,1)

0=(0,0)

由定义可知：a=（a1，a2），b=（b1，b2）则：

a=b 等价于a1=b1且a2=b2

提问：设a=（a1，a2），则所有与a相等的向量的坐标均为（a1，a2），与他们的位置有无关系？求EF=3i+2j=(3,2)验证。

如图：作向量OA=a=（a1，a2），则向量OA的终点A的坐标是什么？也是（a1，a2）；反之，点A的坐标是（a1，a2），则向量OA的坐标也是（a1，a2）。



练习:在同一直角坐标系内画出下列向量.(1)a(1,2)

(2)b(1,2)b2i3j(2,3)by54321BAB2i3j(2,3)aAjxO-4-3-2-1 1 2 3 4i-1c2i3j-2(2,3)dcd2i3j(2,3)例1.用向量i , j 分别表示向量a,b,c,d,并求出它们的坐标.Page 88 试一试

如图：请用向量i、j分别表示向量AB、CD、EF、GH,并求它们的坐标。

解：AB=i+2j=（1,2）

CD=2j=（0,2）GHEF=3i-2j=（3，-2）

=-4i-j=（-4，-1）

2．平面向量的直角坐标运算

（1）若a=（a1，a2），b=（b1，b2）则：a=a1i+a2j，b=b1i+b2j于是：a+b=（a1i+a2ij）+（b1+b2j）

=（a1+b1）i+（a2+b2）j

=（a1+b1，a2+b2）

即a+b=（a1，a2）+（b1，b2）=（a1+b1，a2+b2）

同理：a-b=（a1，a2）-（b1，b2）=（a1-b1，a2-b2）

λa=λ（a1，a2）=（λa1，λa2）

后面的2个法则学生自主推导。语言表述如下：

两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量对应坐标的和与差；数乘向量的坐标等于用这个实数分别乘以原来向量的对应坐标。

学生自主推导向量坐标与点的坐标的联系：

在平面直角坐标系xOy中，若点A(x1，y1)，点B（x2，y2）则：

AB=OB-OA

=（x2，y2）-(x1，y1)

=（x2-x1，y2-y1）

即：平面直角坐标系中，一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的对应坐标。

例2 已知a=（4，-3），b=（-6,8），求：a+b，a-b，2a-3b

解：学生口答。

比一比：已知ab,ab,2a，3b.a3,4,b1,2求：学生答。教师点评。

例3.已知点A（3，-2），B（-5，-1），且AM=解：设点M的坐标为（x,y），因为AM=

1212口

12AB求点M的坐标。

12所以（x,y）-（3，-2）=[（-5，-1）-（3，-2）]=(-4，)即（x,y）=(-4，)+（3，-2）=（-1，-）所以点M的坐标为（-1，-）。

学以致用：已知AB1，2，A2，1，求点B的坐标.学生解答，教师点评。三．课堂小结：

学生自主总结并回答。教师引导补充并强调。

123232四．布置作业： P73

14.高中数学《平面向量》的教案篇十四

教材说明

平面向量数量积具有代数与几何的双重性质，因此所涉及的内容较为广泛，如方程、不等式等代数问题;夹角、距离、面积、平行、垂直等几何问题。

平面向量数量积是数学中知识与能力的载体，是数学上的一个重要工具之一，值得一提的是在教材的后续两章的学习中，对三角函数内容中某些问题的处理都是借助向量的数量积来解决的，这正体现了平面向量数量积的工具性，在解决代数与几何问题中都有着很强的实用性。

课型新授课

课时 1课时(练习共2课时)

学情分析

在学平面向量数量积之前，学生已学习了平面向量的概念、向量的线性运算及向量的基本定理与坐标表示等有关内容，这为过渡到本节的学习起了铺垫作用;在后继知识的学习中，是据此内容用向量代数方法进一步研究了平面图形的有关性质。

本节以力对物体做功作为背景，研究平面向量的数量积。但是，学生作为初学者不清楚向量数量积是数量还是向量，寻找两向量的夹角又容易想当然，以及对运算律的理解和平面向量的数量积的灵活应用。通过情景创设、探究和思考引导学生认知、理解并掌握相关的内容。利用向量数量积运算讨论一些几何元素的位置关系、距离和角，这些刻画几何元素(点、线、面)之间度量关系的基本量学生容易混淆。利用数量积运算来反映向量的长度和两个向量间夹角的关系解决问题，是学生学习本节内容的重点又是难点。由向量的线性运算迁移、引申到向量的乘法运算这是个很自然的过渡，深入浅出、符合学生的认知规律，也有利于明确本节课的教学任务，激发学生的学习兴趣和求知欲望。

教学内容分析

教学的主要内容：以物体受力做功为背景引入数量积的概念，使向量数量积运算与物理知识联系起来;向量数量积与向量的长度及夹角的关系;进一步探究两个向量的夹角对数量积符号的影响及有关的性质、几何意义和运算律。

教材的编写的特点：本节内容安排在《普通高中课程标准实验教科书·数学必修4》(B版)第二章、第3节第1课时。它是平面向量的核心内容，向量的平行、垂直关系是向量间最基本、最重要的位置关系，而向量的夹角、距离又是向量的重要数量特征，向量的数量积恰好是解决问题的一个重要工具。?

教学目标

知识与技能：

(1)理解平面向量数量积的含义及其物理意义;

(2)掌握向量数量积的性质和运算律，会进行平面向量数量积的运算;

(3)能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个向量的垂直关系.

过程与方法：

通过向量的线性运算及多项式乘法运算的对照，强化学生的类比思想

情感态度与价值观：

通过数量积的性质、运算律的灵活应用，发展学生从特殊到一般的认知能力，培养学生学习的主动性和合作交流的学习习惯

教学重点和难点

重点：平面向量的数量积的概念和性质;用平面向量数量积表示向量的模及向量的夹角;平面向量数量积的运算律的探究及应用.

难点：难点是平面向量的数量积的定义及对运算律的探究、理解;平面向量数量积的灵活应用。

教学策略选择与设计

《高中数学课程标准》指出：“有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式”，转变学生的学习方式，激发学生的学习积极性，让学生乐于参与到探索性和创造性的学习活动中来，这是新课程数学教学的基本要求。《高中数学课程标准》还明确提出了提高学生的知识与技能、重视学生的学习过程与方法，培养学生的情感态度、价值观的三维目标。为此，结合本节课的教学内容，教学中注重过程、方法，注重引导学生自觉去看书，不断提出问题，研究问题，并解决问题。重视在师生，生生互动、交流的过程中渗透情感态度与价值观。

教学资源与手段

资源：三角板，彩粉笔，电脑，多媒体。

手段：通过师生互动，共同探讨生成新知，更加有助于学生探究能力的培养。

教学过程设计

教学环节教学过程师生活动设计意图

情景引入 1、给出有关材料并提出问题

问题1：表示一个么角?

SHAPE MERGEFORMAT

(1)如图所示，一物体在力F的作用下产生位移S，那么力F所做的功：。

(2)这个公式有什么特点?请完成下列填空：

①W(功)是量，②F(力)是量，

③S(位移)是量，④ 是。

(3)你能用文字语言表述“功的计算公式”吗?答：功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积

提问

学生易答：表示力的方向与位移的方向的夹角

创设学生熟悉的问题情景，将学生自然的带入到课堂的教学内容中来。

探究问题

形成定义

(1)探究两个向量的夹角的定义。

问题2：你能指出下列图中两向量的夹角吗?

问题3：对于两个非零向量，你能给出它们夹角的定义吗?

问题4：思考向量夹角的范围

问题5：表示什么?

SHAPE MERGEFORMAT

(2)探究向量在方向上的投影

问题6：对于两个非零向量，向量在向量方向上的投影为什么?你能从图中作出在方向上的投影吗?

(3)探究与的数量积.

问题7：F(力)是量， S(位移)是量，W(功)是量

定义：

叫做与的数量积(或内积)，记作： .

即： = 。(板书三)

问题8：向量数量积的运算与线性运算的结果有什么不同?

若是非零向量，设夹角为θ，完成下表：

夹角θ的范围的符号

问题9：根据投影的概念，数量积 =

的几何意义如何? (板书四)

问题10：请同学们用一句话来概括功的数学本质：功是力与位移的数量积

(板书五)

①②③学生容易得到，④学生可能会出现两种答案，教师给予指导

学生思考回答，教师予以补充，关键是点出两向量起点相同，并给出夹角符号

有了问题2的铺垫，学生容易得出0 ，

教师强调同向时为0，反向时为π.

教师补充：

(1)当

= 时，向量与向量互相垂直，记作 .

(2)在讨论垂直问题时规定：零向量与任一向量垂直.

生答：力F在位移方向上的分量

师补充：我们把称为力F在位移S方向上的投影

师生共作向量在方向上的投影图象。

对上述物理意义下的“功”概念进行抽象，将公式中的力与位移推广到一般向量与。

15.巧用向量法求解高中数学题篇十五

在高中数学中,若利用常规的求解不等式的思想来解决所有的证明不等式问题,那对于一些论证过程较长或者较难处理的不等式来说具有较大的难度.反之,巧妙运用向量法,可以让不等式的证明问题变得容易简单.

证明设置向量m=(a,b),n=(c,d),根据|m|+|n|≥|m+n|可以得

二、利用向量法求解高中数学立体几何

向量法在数学立体几何中的应用,大部分都是关于平面的法向量展开的,空间向量在高中数学主要用来解决两大类型的问题,首先是垂直问题,其中最重要的就是线面垂直问题;其次是角度问题,主要是利用两个平面向量所构成的角来转化二面角的平面角.

过A点作一条直线AE,使AE与BD平行且长度相等,

那么该二面角的平面角就是∠CAE,

三、利用向量法求解高中数学解析几何

将向量这一概念引入到高中数学教材中,是十分正确的,不仅使求解数学的思路得到了拓宽,而且运用向量可以使一些数学问题的解决过程化繁为简、化难为易.在处理平面解析几何中,向量法的优势更加明显.

例如在下面的例题中,已知直线l1:x-y+3=0,直线:l2=x-2y+3=0,问l1和l2之间的夹角β为多少?

四、利用向量法求解高中数学三角函数

新课程改革的实施与新教学大纲的提出,促使向量的基本内容在高中数学教材中有着越来越多的体现,并且在三角函数的内容中有着重要的地位.利用向量法来求解三角函数,往往能取得较高的解题效率.

例如运用向量法来证明两角差的余弦公式cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.

证明:如右图所示,

因此可以得出cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.

结语

综上所述可以得知,利用向量法来解答高中数学中的不等式、立体几何、解析几何、三角函数等问题能取得较好的效果,不仅使原来复杂的解答过程简单化,而且使解题时间大大缩短.向量作为一种数学工具,规律性很强,利用其简便高效的运算方式及计算量,能够帮助学生掌握许多的关于向量的数学知识和解题方法,有助于学生创新解题思路,推动学生数学水平的提高.

参考文献

[1]王红革,许志勇,沈婕.高考中“平面向量”测试对教学的反拨效应分析——以普通高考(天津卷)为例[J].考试研究,2014(02):3-9.

[2]袁明豪,胡如寿,廖小勇.用向量法推证几个有关点共线的初等几何命题[J].黄冈师范学院学报,2000(03):49-53.

[3]郭立梅.高中生空间向量学习的问题分析及教学建议[J].山西师范大学学报(自然科学版),2013(S2):5-6+44.

[4]李卓洁.关于向量在解决高中数学问题中的应用研究[J].信息化建设,2015(06):212.

16.平面向量的坐标应用篇十六

一、平面向量的坐标运算

例1 已知三点A（1，-2），B（7，0），C（-5，6），用坐标表示向量

解：由，可得

评析：向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行的。

二、向量平行的坐标表示

侧2 已知A，B，C三点的坐标分别为（-l，

求证：

证明：由题意得

设点E，F的坐标分别为

因为，所以，可得

由，可得。

评析：若向量，满足（或），则a∥b。

三、三点共线问题

__’.________’

例3 已知16），求证：A，B，C三点共线。

证明：（-2，-4）。

由4×（-4）-8×（-2）=0，可知，又它们有公共点B，所以A，B，C三点共线。

例4 在平面直角坐标系xOy中，点A（4，O），B（4，4），C（2，6），求AC与OB的交点P的坐标。

解：设点P的坐标为（x，y）。

由，得4x-4y=O，即x-y=0 ①。

由，且，可得-6×（x-2）-2×（y-6）=0，即3x+y-12=0②。

由①②解得即点P的坐标为（3，3）。

评析：A，B，C三点共线<=>与共线。

四、利用向量的坐标解决平面几何问题

例5 已知点A（2，3），B（5，4），C（7，lO）及

（l）当λ为何值时，点P在第一、三象限的角平分线上？

（2）若点P在第三象限内，求λ的取值范围。

（3）四边形ABCP能为平行四边形吗？若能，求出相应的λ值；若不能，请说明理由。

解：设点P的坐标为（x，y），则y-3）。

由，得（x-2，y-3）=（3，1）+λ（5，7），所以即可得点P的坐标为（5λ+5，7λ+4）。

（l）当点P在第一、三象限的角平分线上时，5λ+5=7λ+4，解得。

（2）当点P在第三象限时，可得解得λ<-1，即A的取值范围为（一∞，-l）。

（3）。若四边形ABCP为平行四边形，则，即得方程组可知此方程组无解，所以四边形ABCP不能为平行四边形。

17.高中数学《平面向量》的教案篇十七

高考二轮数学复习：三角函数与平面向量

1.三角函数作为一种重要的基本初等函数，是中学数学的重要内容，也是高考命题的热点之一.近几年对三角函数的要求基本未作调整，主要考查三角函数的定义、图象与性质以及同角三角函数的基本关系式、诱导公式、和角与倍角公式等.高考对三角函数与三角恒等变换内容的考查，一是设置一道或两道客观题，考查三角函数求值、三角函数图象与性质或三角恒等变换等内容;二是设置一道解答题，考查三角函数的性质、三角函数的恒等变换或三角函数的实际应用，一般出现在前两个解答题的位置.无论是客观题还是解答题，从难度来说均属于中低档题目，所占分值在20分左右，约占总分值的13.3%.2.平面向量是连接代数与几何的桥梁，是高考的重要内容之一.高考常设置1个客观题或1个解答题，对平面向量知识进行全面的考查，其分值约为10分，约占总分的7%.近年高考中平面向量与解三角形的试题是难易适中的基础题或中档题，一是直接考查向量的概念、性质及其几何意义;二是考查向量、正弦定理与余弦定理在代数、三角函数、几何等问题中的应用.1.2011年高考试题预测

(1)分析近几年高考对三角函数与三角恒等变换部分的命题特点及发展趋势，以下仍是今后高考的主要内容：

①三角函数的图象与性质是高考考查的中心内容，通过图象求解析式、通过解析式研究函数性质是常见题型.②解三角函数题目的过程一般是通过三角恒等变换化简三角函数式，再研究其图象与性质，所以熟练掌握三角恒等变换的方法和技巧尤为重要，比如升幂(降幂)公式、asin

x+bcos

x的常考内容.③通过实际背景考查同学们的数学建模能力和数学应用意识.高考二轮复习数学考点突破之数列

1.本专题是高中数学的重要内容之一，在高考试题中一般有2～3个题

18.高中数学《平面向量》的教案篇十八

第76课时：第九章直线、平面、简单几何体——空间向量及其运算

课题：空间向量及其运算

一．复习目标：理解空间向量的概念、掌握空间向量的有关运算及其性质．二．主要知识：

1．a,b向量共线的充要条件：；

2．三点共线：； 3．三向量共面：； 4．四点共面：； 5．两向量夹角的范围；三．课前预习：

1．如图：在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点。若ABaADb，AA1c，则下列向量中与BM，相A1DD1MB1C1等的向量是（）

CB11(A)abc2211(C)abc2211(B)abc22

A(D)12a12bc

2．有以下命题：

①如果向量a,b与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么a,b的关系是不共线；

②O,A,B,C为空间四点，且向量OA,OB,OC不构成空间的一个基底，那么点O,A,B,C一定共面；

③已知向量a,b,c是空间的一个基底，则向量ab,ab,c，也是空间的一个基底。

其中正确的命题是（）

(A)①②(B)①③(C)②③(D)①②③

3．下列命题正确的是（）

(A)若a与b共线，b与c共线，则a与c共线；(B)向量a,b,c共面就是它们所在的直线共面；

(D)若a//b，则存在唯一的实数(C)零向量没有确定的方向；使得ab；

4．已知A、B、C三点不共线，O是平面ABC外的任一点，下列条件中能确定点M与点A、B、C一定共面的是（）

(A)OMOAOBOC(C)OMOA12OB(B)OM13OC2OAOBOC13OA13

13OC(D)OMOB

四．例题分析：例1．已知在正三棱锥PPGBCABC中，M,N分别为PA,BC中点，G为MN中点，求证：

A G N B

例2．已知E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点，（1）用向量法证明E,F,G,H四点共面；（2）用向量法证明：BD∥平面EFGH；

（3）设M是EG和FH的交点，求证：对空间任一点O，有

1OM(OAOBOCOD)4

E A

例3．在平行六面体ABCDB H M O D

F G C

A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱AA1C1

D1 2）直线BD1与AC所成角长为b，且 AA1B1AA1D1120，求（1）AC1的长；（的余弦值。

A1 B1 D

五．课后作业：

1．对于空间任意一点O和不共线三点A,B,C，点P满足OPxOAyOBzOC是点P,A,B,C共面的（）

充分不必要条件(B)必要不充分条件(A)

(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件

2．棱长为a的正四面体中，ABBCACBD3．向量a,b,c。

两两夹角都是60，|a|1,|b|2,|c|3，则|abc|4．已知正方体ABCDA1B1C1D1，点E,F分别是上底面A1C1和侧面CD1的中心，求下列各式中的x,y的值：

（1）AC1x(ABBCCC1)，则x ； AEAAxAByAD（2）1（3）AFADxAByAA1，则x ；y ；，则x ；y ；

5．已知平行六面体ABCDA1B1C1D1，化简下列向量表达式，并填上化简后的结果向量：

（1）ABC1B1CD1 ； （2）ABADAA1。

6．设ABCDA1B1C1D1是平行六面体，M是底面ABCD的中心，N是侧面BCC1B1对

角线BC1上的点，且BN3NC1，设MNaABbADcAA1，试求a,b,c的值。

7．空间四边形OABC中，求OA与BCOA8,AB6,AC4,BC5,OAC45,OAB60，夹角的余弦值。

8．如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，E,F,G,H,K,L分别为平行六面体棱的中点，求证：（1）LEFGHK0

19.“平面向量”的教学体会篇十九

关键词：平面向量,数学概念,数形结合,类比

平面向量具有极其丰富的实际背景,是沟通代数、几何与三角函数的桥梁,它在近代数学中是非常重要和基本的概念之一。通过平面向量这一章的学习, 学生能够更深地体会数学和现实生活以及其他学科的联系,增强数形结合思想的应用,加深对数学本质的理解,体会数学运算的意义及应用价值,发展运算能力。通过平面向量的实际教学,认识到以下需注意的问题:

一、利用实际背景,突出概念的抽象概括

向量概念看似简单,但往往学生不能很好地把握,主要是因为向量是既有大小又有方向的量,与学生以往熟知的长度、面积等数量概念不同,方向常常被忽略。向量的概念是从物理中的力、位移、速度等概念抽象出来的,教学中可以利用物理背景,结合学生的生活实际来引入概念,突出数学概念的抽象概括过程,更深刻地理解概念。如,在向量的基本概念教学中,结合图示向学生提问:“ 一只老鼠以2米/秒的速度向西北方向逃窜,一只猫以3米/秒的速度向东追,猫能抓到老鼠吗? ”这样学生自然而然体会到实际生活中有些量不但要考虑大小而且还要考虑方向,由此理解向量的概念,学生觉得生动有趣, 效果比教师一味地用语言强调向量的方向要好得多。再如,向量的数乘运算教学中,提出问题:向量表示“ 向东走10m”,能否说出的意义 ? 并作图表示。通过这个实际问题,学生对结果有了直观的认识:实数与向量的积的结果仍然是一个向量,继而归纳定义。另外,向量加法的三角形法则、平行四边形法则以物理中位移的合成及力的合成为背景,向量的数量积以物理中功的概念引入等。在教学中紧密结合概念的物理意义和实际背景,学生能很自然地顺应、认同新概念。如果回避概念的产生过程,直接给出概念然后进入应用解题阶段,会导致学生对概念一知半解,印象不深。

二、重视数形结合思想的运用

向量是数形结合的一个典范。向量用有向线段表示,向量的方向可以刻画直线间的位置关系,向量的大小可以刻画线段的长度。运用向量的方法可将几何性质的研究转化为向量的运算, 使几何问题通过向量运算得到解决,拓展了几何的研究空间。教材中利用平面向量的数量积定义及坐标运算, 简洁地证明了两角差的余弦公式、解三角形的余弦定理等,显示了向量的优越性。

向量的运算和运算律引入后,向量的工具作用才能充分发挥。在教学过程中要注重强调运算的几何意义。正因为向量运算的几何意义,使得向量在解决几何问题时发挥了很好的作用。例如,向量的加法运算中,对任意向量这个结论可以引导学生根据向量加法的三角形法则作图, 由三角形三边关系得出。这样更直观地看出问题的实质,避免得到的错误结论。又如,数乘向量是与原向量平行的向量 ,根据这个几何意义,可以归纳向量共线定理,从而将向量的运算与直线的位置关系联系起来。在向量教学中,教师要设置合理的情境帮助学生深刻理解向量的各种运算和它们的几何意义,引导学生从数和形两个方面思考,避免单一的思维模式,这样才能更好地运用向量的运算来刻画几何对象。

三、渗透类比的数学思想

向量是一个集大小和方向于一体的量,是一个新的概念。向量的相关概念与学生以往所学的许多知识既有联系又有区别。在教学中,可以通过类比的方式,让学生充分体会这些区别和联系,加深对新知识的认识。向量与数量的概念之间、运算体系之间、处理方法之间等,都可以进行类比。如,向量与数量、向量与有向线段、零向量与实数零、向量的长度与数量的绝对值、向量平行与直线平行、向量的加减法与实数的加减运算、实数的乘法与向量的数乘和向量的数量积、向量运算的运算律与实数运算的运算律等。比如, 探究数量积的运算律时,先让学生回忆实数乘法的运算律有哪些, 然后思考在向量的数量积中这些运算律是否也成立? 在说到结合律时,由于旧的知识思维定势的作用下,大多数学生想当然地认为应该成立,个别学生有不同看法,引导学生根据向量的数乘运算和数量积的意义分析,等号左边共线的向量 , 而右共线的向量 ,两边的向量不一定共线 ,等式不成立。这样少数战胜了多数,新旧知识之间产生了矛盾冲突,通过理性的推理而不是想当然的猜测,加深了对新概念的认识,防止负迁移的产生,使学生正确理解并运用向量的运算法则

20.平面向量的五个层面篇二十

作为一种非常重要的数学工具，平面向量在数学、物理和工程技术中起着十分重要的作用.近年来，高考中的平面向量问题一般考查下面五个层面的内容，以中档题为主.

一、平面向量的概念及表示

了解向量的实际背景；理解平面向量的基本概念和几何表示；理解向量相等的含义.

例1有下面五个命题：① 所有的单位向量相等；

② 长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量；③ 若a,b满足|a|＞|b|且a,b同向，则a＞b；④ 由于0的方向不确定，故0与任何向量不平行；⑤ 两个相等向量的模相等.

其中正确命题的序号为（）

A. ①，②，③

B. ⑤

C. ③，⑤

D. ①，⑤

解析由于单位向量方向可以不同，因此单位向量不一定相等；方向相反的两个向量是共线向量，也称平行向量；两个向量不能用“＞”来联系；我们规定0与任一向量平行，因此前四个命题都是错误的.而相等向量是指长度相等且方向相同的向量，从而它们的模相等，故选B.

例2（2007年湖北卷）将y=2cosx3+π6的图像按向量a=-π4,-2平移，则平移后所得图像的解析式为（）

A. y=2cosx3+π4-2

B. y=2cosx3-π4+2

C. y=2cosx3-π12-2

D. y=2cosx3+π12+2

解析将函数y=2cosx3+π6的图像按向量a=-π4,-2平移，相当于将该函数的图像向左平移π4个单位，再向下平移2个单位，故所得图像所对应的解析式为y+2=2cos13x+π4+π6，即y=2cosx3+π4-2，因此选A.

评注将函数y=f(x)的图像按向量a=(x0,y0)平移，平移后的图像所对应的解析式为y-y0=f(x-x0).

二、平面向量的线性运算

掌握向量加、减法和数乘运算，理解其几何意义；理解向量共线定理；了解向量的线性运算性质及其几何意义.

例3 （2007年北京卷）已知O是△ABC所在平面内的一点，D为BC边的中点，且2OA+OB+OC=0，那么（）

A. AO=OD

B. AO=2OD

C. AO=3OD

D. 2AO=OD

解析因为OB+OC=2OD，而由已知得OB+OC=-2OA=2AO，故AO=OD，选A.

评注本题主要考查的是三角形中线的向量表示.

例4 （2007年浙江卷）若非零向量a,b满足|a+b|=|b|，则（）

图1

A. |2a|＞|2a+b|

B. |2a|＜|2a+b|

C. |2b|＞|a+2b|

D. |2b|＜|a+2b|

解析由|a+b|=|b|两边平方得a•(a+2b)=0，即a⊥(a+2b).如图1，设OA=a，OB=b,OE=2b,则OF=a+2b，又△OEF为直角三角形，OE为斜边，故OE＞OF，可知选C.

评注本题考查向量加法的几何意义，熟练掌握向量加法的平行四边形法则是求解的关键.

例5 （2007年江西卷）如图2，在△ABC中，点O是BC的中点，图2过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若AB=mAM，AC=nAN，则m+n的值为 .

解析因为O是BC的中点，所以AO=12(AB+AC).又因为M,O,N三点共线，所以存在实数λ，使得AO=λAM+(1-λ)AN=λmAB+1-λnAC，从而有λm=12且1-λn=12，消去λ,得m+n=2.

评注本题用到了三角形中线的向量表示及三点共线的一个引申结论：若A,B,C三点共线，则对任意一点O，一定存在实数λ,μ，使得OA=λOB+μOC且λ+μ=1；反之亦然.实际上，本题的解法很多，同学们可多加琢磨.

三、平面向量的坐标表示

了解平面向量基本定理及其意义，掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算；理解用坐标表示的平面向量共线的条件.

例6 （2007年上海卷）直角坐标系xOy中，i,j分别是与x轴,y轴正方向同向的单位向量.在直角三角形ABC中，若AB=2i+j，AC=3i+kj,则k的可能值的个数是（）

A. 1

B. 2

C. 3D. 4

解析若∠A为直角，则AB•AC=(2,1)•(3,k)=6+k=0k=-6；若∠B为直角，则AB•BC=AB•(BA+AC)=2+k-1=0k=-1；若∠C为直角，则BC•AC=(BA+AC)•AC=k2-k+3=0k∈.故k的可能值有2个，选B.

评注由于无法知道直角三角形的直角顶点，故要分三种情况讨论.

例7（2007年天津卷）设两个向量a=(λ+2,λ2-cos2α)和b=(m,m2+sinα），其中λ,m,α为实数.若a=2b，则λm的取值范围是（）

A. ［-6,1］

B. ［4,8］

C. (-6,1］

D. ［-1,6］

解析由a=2b得λ+2=2m,λ2-cos2α=m+2sinα,所以2λ2-λ-2=2cos2α+4sinα，从而2λ2-λ-2∈［-4,4］-32≤λ≤2，从而λm=2λλ+2=21-2λ+2∈［-6,1］，故选A.

评注本题集向量的相等、三角函数的值域、消元、解不等式及求分式函数的值域于一体，完全体现了在知识的交汇处命题的原则，有一定的难度.

四、平面向量的数量积

理解平面向量数量积的含义及其物理意义；掌握数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的运算；能利用数量积表示两个向量夹角的余弦，会用数量积判断两个非零向量是否垂直.

例8 （2007年辽宁卷）若向量a与b不共线，a•b≠0且c=a-（a•aa•b）b则向量a与c的夹角为（）

A. 0

B. π6

C. π3

D. π2

解析由c=a-（a•aa•b）b两边同时点乘向量a,得c•a=a•a-（a•aa•b）b•a=a2-a2=0，故a与c垂直，选D.

评注求两个向量的夹角，可利用向量夹角公式cos〈a，b〉=a•b|a||b|，当它们的数量积为0时，它们就互相垂直.

例9 （2007年陕西卷）如图3，平面内有三个向量OA，OB，OC，其中与OA与OB的夹角为120°，OA与OC的夹角为30°，且图3|OA|=|OB|=1，|OC|=23，若OC=λOA+μOB（λ，μ∈R），则λ+μ的值为.

解析过点C作OB的平行线交OA的延长线于点E，在直角三角形OCE中，求得OE=4，CE=2，故λ=4,μ=2,所以λ+μ=6.

评注本题也可以在OC=λOA+μOB的两边同时点乘向量OA,得λ-12μ=3；再同时点乘向量OB，得λ-2μ=0，两式联立，解得λ=4,μ=2；也可以建立以OA为x轴，O为原点的平面直角坐标系，分别求出点A，B，C的坐标后再求出λ,μ.

五、平面向量的应用

了解向量是一种处理几何、物理等问题的重要工具.

例10 （2007年湖南卷）设a,b是非零向量，若函数f(x)=(xa+b)•(a-xb)的图像是一条直线，则必有（）

A. a⊥b

B. a∥b

C. |a|=|b|

D. |a|≠|b|

解析f(x)=(xa+b)•(a-xb)=-(a•b)x2+(a2-b2)x+a•b，因为它的图像是一条直线，所以二次项系数a•b=0，所以a⊥b，选A.

评注本题的立意很高，背景很新颖，设问也很巧妙，运算量很小，但考查的知识点倒不少，正好符合新课程理念.

例11 （2007年重庆卷）如图4，在四边形ABCD中，|AB|+|BD|+|DC|=4，|AB|•|BD|+|BD|•|DC|=4,AB•BD=BD•DC=0，则(AB+DC)•AC的值为（）

A. 2

B. 22

C. 4

D. 42

图4

解析因为AB•BD=BD•DC=0，所以AB⊥BD，CD⊥BD,延长CD到E，使得DE=AB，则(AB+DC)•AC=EC•AC=EC•(AE+EC)=EC2=(|AB|+|DC|)2.由前两个已知条件可求得|AB|+|DC|=2，故(AB+DC)•AC=4，选C.

评注本题也可直接将AC=AB+BD+DC代入,得到(AB+DC)•AC=(|AB|+|DC|)2.

例12 （2006年全国高中数学联赛）已知△ABC，若对任意t∈R，有|BA-tBC|≥|AC|，则△ABC一定为（）

A. 锐角三角形

B. 钝角三角形

C. 直角三角形

D. 答案不确定

解析设D为直线BC上的一点，且BD=tBC，则BA-tBC=BA-BD=DA，由条件知,对直线BC上的任一点D，有|DA|≥|AC|，可见AC为△ABC的高，所以∠ACB=π2，△ABC一定为直角三角形.选C.

评注直接利用向量减法的几何意义，通过三角形法则，数形结合来解决，运算量较小，是不错的一种解法.当然本题也可将已知不等式两边平方后转化为关于t的二次不等式，知其对一切t∈R均成立，而后用常规的开口方向加判别式Δ来解.

巩固练习

1. （2007年福建卷）对于向量a,b,c和实数λ，下列命题中的真命题是( )

A. 若a•b=0，则a=0或b=0

B. 若λa=0，则λ=0或a=0

C. 若a2=b2，则a=b或a=-b

D. 若a•b=a•c，则b=c

2. （2007年宁夏、海南卷）已知平面向量a=(1,1)，b=(1,-1),则向量12a-32b=( )

A. (-2,-1)

B. (-2,1)

C. (-1,0)

D. (-1,2)

3. （2007年全国Ⅰ卷）已知向量a=(-5,6)，b=(6,5)，则a与b( )

A. 垂直

B. 不垂直也不平行

C. 平行且同向

D. 平行且反向

4. （2007年全国Ⅱ卷）在△ABC中，已知D是AB边上一点，若AD=2DB，CD=13CA+λCB,则λ=( )

A. 23

B. 13

C. -13

D. -23

5. （2007年安徽卷）在四面体OABC中，OA=a,OB=b,OC=c,D为BC的中点，E为AD的中点，则OE=（用a,b,c表示）.

6. （2007年北京卷）已知向量a=(2,4),b=(1,1).若向量b⊥(a+λb)，则实数λ的值是.

7. （2007年广东卷）若向量a，b满足|a|=|b|=1,a与b的夹角为120°，则a•a+a•b=.

8. （2007年天津卷）在△ABC中，AB=2，AC=3，D是边BC的中点，则AD•BC=.

9. （2007年上海卷）若向量a,b的夹角为60°，|a|=|b|=1，则a•(a-b)=.

10. （2007年山东卷）在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,tanC=37.

（1）求cosC；

（2）若CA•CB=52，且a+b=9，求c.

参考答案

1. B

2. D

3. A

4. A

5. 12a+14b+14c

6. -3

7. 12

8. 52

9. 12

10. （1）因为tanC=37＞0,所以sinCcosC=37.

又因为sin2C+cos2C=1,解得cosC=18.

（2）因为CA•CB=52，所以abcosC=52，

所以ab=20.又因为a+b=9,

所以a2+2ab+b2=81.

所以a2+b2=41.

所以c2=a2+b2-2abcosC=36.所以c=6.

【高中数学《平面向量》的教案】推荐阅读：

高中数学第二章《平面向量》复习课教案新人教A版必修01-25

高中数学知识复习要点掌握之平面向量10-29

上一篇：给林业职工家属的慰问贺电下一篇：描写着急的句子有哪些

高中数学《平面向量》的教案

1.高中数学《平面向量》的教案篇一

2.高中数学《平面向量》的教案篇二

3.高中“平面向量”的教学探讨篇三

4.高中数学《平面向量》的教案篇四

5.平面向量在高中数学教学中的作用篇五

6.高中数学《平面向量》的教案篇六

7.关于高中数学课程中向量的研究篇七

8.高中数学《平面向量》的教案篇八

9.高中数学《平面向量》的教案篇九

10.平面向量的坐标运算教案篇十

11.高中数学新课程中的向量教学探究篇十一

12.新课改下高中数学向量的教学研究篇十二

13.高中数学《平面向量》的教案篇十三

14.高中数学《平面向量》的教案篇十四

15.巧用向量法求解高中数学题篇十五

16.平面向量的坐标应用篇十六

17.高中数学《平面向量》的教案篇十七

18.高中数学《平面向量》的教案篇十八

19.“平面向量”的教学体会篇十九

20.平面向量的五个层面篇二十

本站热搜

相关推荐

高中数学《平面向量》的教案

1.高中数学《平面向量》的教案 篇一

2.高中数学《平面向量》的教案 篇二

3.高中“平面向量”的教学探讨 篇三

4.高中数学《平面向量》的教案 篇四

5.平面向量在高中数学教学中的作用 篇五

6.高中数学《平面向量》的教案 篇六

7.关于高中数学课程中向量的研究 篇七

8.高中数学《平面向量》的教案 篇八

9.高中数学《平面向量》的教案 篇九

10.平面向量的坐标运算教案 篇十

11.高中数学新课程中的向量教学探究 篇十一

12.新课改下高中数学向量的教学研究 篇十二

13.高中数学《平面向量》的教案 篇十三

14.高中数学《平面向量》的教案 篇十四

15.巧用向量法求解高中数学题 篇十五

16.平面向量的坐标应用 篇十六

17.高中数学《平面向量》的教案 篇十七

18.高中数学《平面向量》的教案 篇十八

19.“平面向量”的教学体会 篇十九

20.平面向量的五个层面 篇二十

本站热搜

相关推荐

1.高中数学《平面向量》的教案篇一

2.高中数学《平面向量》的教案篇二

3.高中“平面向量”的教学探讨篇三

4.高中数学《平面向量》的教案篇四

5.平面向量在高中数学教学中的作用篇五

6.高中数学《平面向量》的教案篇六

7.关于高中数学课程中向量的研究篇七

8.高中数学《平面向量》的教案篇八

9.高中数学《平面向量》的教案篇九

10.平面向量的坐标运算教案篇十

11.高中数学新课程中的向量教学探究篇十一

12.新课改下高中数学向量的教学研究篇十二

13.高中数学《平面向量》的教案篇十三

14.高中数学《平面向量》的教案篇十四

15.巧用向量法求解高中数学题篇十五

16.平面向量的坐标应用篇十六

17.高中数学《平面向量》的教案篇十七

18.高中数学《平面向量》的教案篇十八

19.“平面向量”的教学体会篇十九

20.平面向量的五个层面篇二十