高等代数考研复习

高等代数考研复习（精选6篇）

1.高等代数考研复习 篇一

2014年浙江大学研究生入学考试高等代数试题

1.A

数。0EnEn，LBM2n(R)ABBA。证明L为M2n(R)的子空间并计算其维0En，请问A是否可对角化并给出理由。若A可对角化为C，给出可逆矩阵002.AEn

P，使得P1APC.3.方阵A的特征多项式为f()(2)3(3)2，请给出A所有可能的Jordan标准型。

54.1，2，3为AX0的基础解系，A为3行5列实矩阵。求证：存在R的一组基，其包含123，123，12243。

5．X，Y分别为mn和nm矩阵，YXEn，AEmXY，证明A相似于对角矩阵。

6.A为n阶线性空间V的线性变换，1，2，…，m为A的不同特征值，Vi为其特征子空间。证明：对任意V的子空间W，有W(WV1)(WVm).7.矩阵A，B均为mn矩阵，AX0与BX0同解，求证A、B等价。若A、B等价，是否有AX0与BX0同解？证明或举反例否定。

8.证明：A正定的充分必要条件是存在方阵Bi（i1,2,,n），Bi中至少有一个非退化，使得ABBi

i1nTi。

9.定义为[0,1]到n阶方阵全体组成的欧式空间的连续映射，使得(0)为第一类正交矩阵，(1)为第二类正交矩阵。证明：存在T0(0,1)，使得(T0)退化。

10.设g，h为复数域C上n维线性空间V的线性变换，ghhg。求证g，h有公共的特征向量。若不是在复数域C上而是在实数域R上，则结论是否成立？若成立，给出理由；不成立举出反例。

对试题有任何疑问，或者需要更多浙江大学或数学系的考研资料，可以进一步与我讨论。QQ：334216522。

2.高等代数教学方法的探讨 篇二

【关键词】 高等代数；教学方法；学习过程；抽象思维

【中图分类号】 G64.23【文献标识码】 A【文章编号】 2095-3089（2016）31-0-01

高等数学专业教育中进行高等代数教学，主要培养学生抽象思维能力以及逻辑推理能力。由于学生高等代数学习还保持着中学数学学习方式，导致学生在面对高等代数学习显得力不从心，因此教师进行高等代数教学过程中，需要对学生采取一定的措施，改变学生固有的思维方式，以便满足学生学习高等代数要求[1]。这就需要教师进行高等代数教学方法的研究，从而使得学生能够有效进行高等代数学习，为培养学生的抽象思维能力以及逻辑思维能力提供有效的保障。本文将对高等代数教学方法进行有效探讨，以此提高学生高等代数学习能力。

1.针对基本概念设计适当问题

高等代数具有概念多以及抽象等特点，目前所用的高等代数教材，一般都是在进行高等代数概念讲解，之后附上一系列性质、定理的证明[2]。但是对高等代数概念的理解讲解较少，从而导致学生在理解掌握高等代数有一定的难度，因此需要教师教学针对这一问题，进行一系列教学方式的改变，在进行高等代数概念讲解过程中，有必要进行设计概念相关的例题进行针对性讲解，题目设计要保证简单明了，同时能紧扣高等代数基本概念。在此基础上才能使得学生对高等代数概念能够进行有效的理解掌握，从而为以后的高等代数学习奠定夯实的基础。

例如，教师进行讲解定理2.3.1时：F[x]的任意两个多项式f（x）与g（x）二者之间存在最大公因式，在一个零次因式之外，f（x）与g（x）还存在一个最大公因式，换一种说法，就是d（x）是f（x）与g（x）的最大公因式，因此F的任何一个不为零数域的数，并且有且只有一个乘积符合f（x）与g（x）的最大公因式。

证：先进行证明定理的前半部分，如果f（x）等于g（x）且都等于0，因此根据题目定义得知，f（x）以及g（x）的最大公因式就是0；

如果f（x）与g（x）相等且都不等于0，举个例子说：g（x）不等于0，应用带余除法进行以下步骤，用g（x）去除f（x），得到结果式子为Q1（x）以及余式R1（x）；

如果R1（x）不等于0，然后通过再以R1（x）去除g（x），得到结果式子Q2（x）及余式R2（x）；

如果R2（x）不等于0，再通过R2（x）除R1（x），一直不为0，就一直循环除法，由于余式的次数每一次都得到了降低，因此进行了有限次循环除法之后，就必定会得出这样一个余式Rk（x），它整除前一个余式R1k（x），通过统计循环运算，我们得到一串等式：

f（x）=g（x）q1（x）+r1（x），

g（x）=r1（x）q2（x）+r2（x），R1（x）=R2（x）q3（x）+R3（x）……（1）

R3k（x）=R2k（x）q1，k（x）+R1（x），R2k（x）=R1k（x）qk（x）+Rk（x），R1k（x）=Rk（x）q，1k（x）=R2（x），在此基础上就可以进行说明Rk（x）就是f（x）与g（x）的一个最大公因式。

通过（1）的最后一个等式说明rk（x）整除R1k（x）；因此得，rk（x）整除倒数第二个等式右端的两项，因而也就整除R2k（x）；同理，由倒数第三个等式看出rk（x）也整除R3k（x）。如此逐步往上推，最后得出Rk（x）能整除g（x）与f（x）；这就是说，Rk（x）是f（x）与g（x）的一个最大公因式；其次，假设h（x）是f（x）与g（x）的其中任意一个公因式，由此通过（1）的第一个等式知道，h（x）也一定能整除R1（x），同种方法下，由第二个等式，h（x）也能整除R2（x）

经过循环计算往下推，可以得到h（x）能整除Rk（x）。Rk（x）的确是f（x）与g（x）的一个最大公因式。在此过程中，证明了任意两个多项式都存在一个最大公因式，同时在进行教学过程了解到一种新的最大公因式求法，这种方法叫做辗转相除法[3]。

2.补充典型例题，鼓励一题多解

对于一些高等代数基本概念的理解掌握以及实际解题应用，一般情况下学生通过大量做题巩固对知识的理解掌握。因此教师可以在书本上原有例题基础上，进行补充综合性较强例题进行讲解，同时鼓励学生使用多种方法进行解答。此外，教师在进行经典题型讲解过程中，要注重详细讲解解题思路，同时将个人的题目分析过程讲解给学生。在解题之后，对例题进行综合性分析，主要包括例题涉及的概念、公式以及解题步骤[4]。如此能够有效使得学生加强对例题的理解掌握，同时对高等代数概念能够进行有效复习巩固。

例如：教师进行n（n>2）个多项式互素的情形讲解，如果多项式h（x）能够进行整除多项式f1（x），f2（x），……fn（x）中的任意一个，由此就可以说明h（x）是这n个多项式的一个公因式。

如果是f1（x），f2（x），……，fn（x）的公因式d（x）都能够被n个多项式的任意一个公因式进行整除，由此d（x）叫f1（x），f2（x），……，fn（x）中的一个最大公因式。

根据以上就可以简单推导出，如果d0（x）是多项式假设是f1（x），f2（x），……，fn-1（x）的一个最大公因式，因此d0（x）与fn（x）多项式的最大公因式也是多项式，如果是f1（x），f2（x），……，fn-1（x），fn（x）的最大公因式。

根据相关证明可得，两个多项式的最大公因式一定是存在的，因此n个多项式也一定是存在最大公因式的，同时在进行求多项式最大公因式过程中，可以通过累次应用辗转相除法进行求出多项式的最大公因式。与两个多项式的求法一致，n个多项式的最大公因式也只有常数因子的差别。n个不全为零的多项式的最大公因式指的是最高次项数是1的那一个。那么n个多项式f1（x），f2（x），……，fn（x）是最大公因式就是唯一确定的。我们用符号（f1（x），f2（x），……，fn（x））表示这样确定的最大公因式。

最后，若是多项式f1（x），f2（x），……，fn（x）除零次多项式外，没有其它公因式，就说这一组多项式互素。教师在进行证明过程中需要注意，n（n>2）个多项f1（x），f2（x），……，fn（x）互素时，它们并不一定两两互素。例如，多项式f1（x）=x2-3x+2，f2（x）=x2-5x+6，f3（x）=x2-4x+3是互素的，但（f1（x），f2（x））=x-2。

3.结语

綜上所述，高等代数作为高等院校数学专业一门基础性课程，高等代数的教学目的主要培养学生的逻辑思维能力以及推理能力，然而高等代数课程概念十分抽象，同时学生又保持中学时段的思维模式，导致高等代数教学变得困难。因此在教师教学过程中需要针对基本概念设计适当问题及补充典型例题，鼓励一题多解等教学方法探讨，以此为高等代数教学质量奠定夯实的基础。

参考文献：

[1]汪国军，徐清舟.基于问题探究式方法在高等代数教学中的应用——以浙江大学为例[J].许昌学院学报，2014，05：120-123.

[2]陈静.初中起点六年制本科小学教育专业（数学方向）高等代数课程的教学探索[J].湖南第一师范学院学报，2014，03：18-20.

[3]刘心，李敏.《高等代数与解析几何》课程一体化教学内容与方法的优化研究[J].大连大学学报，2015，03：135-137.

3.考研备考指导 线性代数复习建议 篇三

从今年的线性代数部分的出题情况我们可以看出，线性代数的三个选择、填空题，即是数一、数叁的5、6、13题，数二的7、8、14题。第一题考查分块矩阵的的运算与向量组的线性表示，第二题考查矩阵的相似(这e是实对称矩阵的特殊情况)，第叁题考查伴随矩阵与矩阵的行列式，考查内容简单明确、覆盖面广，与解答题互为补充。线性代数题的难度不大，都是一些基础的知识，但是由于计算比较复杂，极易出现错误，考生因为粗心大意而算错的概率很大。在此，我们给2014届的考生提出如下建议。

一、 注重基础，构建知识体系

基本概念、基本方法、基本性质一直是考研数学的重点。线性代数的概念比较抽象，方法与性质也有相应的适用条件。有些同学在考场上，不知道试题要考查什么，该怎样下手，不知道该用哪个公式。我们建议考生在复习中一定要重视基础知识，要复习所有的定义、定理、公式，做足够多的基础题来帮助巩固基本知识。

线性代数的知识点是三大科目e最少的，但基本概念和性质较多，他们之间的联系也比较紧密。考生特别要根据v年线性代数考试的两个大题内容，找出所涉及到的概念与方法之间的联系与区别。例如：线性方程组的叁种形式之间的联系与转换r行列式的计算与矩阵运算之间的联系与差别r实对称阵的对角化与实二次型化标准型之间的联系等。掌握他们之间的联系与区别，对大家处理其他低分值试题也是有助益的。 （来源：考研教育网）

二、 参照大纲，提高综合能力

大纲作为指导性文件，对命题、应试双方都是有约束力的。数学的复习要强化基础，随时参考适当的教科书，比如同济版的《线性代数》(第三版)或北大版的`《高等代数》(上册)。有的考生认为复习到这个阶段就可以抛开课本搞题海战术了，这是舍本逐末。建议大家要边看书、边做题，通过做题来巩固概念、方法。同时，考生最好选择一本考研复习资料参照着学习，这样有利于知识能力的迁移，有助于在全面复习的基础上掌握重点。

三、分类训练，培养应变能力

近十年特别是近叁年的研究生入学考试试题，加强了对考生分析问题和解决问题能力的考核。在线性代数的两个大题中，基本上都是多个知识点的综合。从而达到对考生的运算能力、抽象概括能力、逻辑思维能力和综合运用所学知识解决实际问题的能力的考核。建议在打好基础的同时，加强常见题型的训练(v年真题是很好的训练材料)，边做边总结，以加深对概念、性质内涵的理解和应用方法的掌握，这样才能够做到举一反三，全面地应付试题的变化。

总之，考生在复习线性代数的时候要注重基础，打好基本功，并结合一些综合性的试题培养自己的分析解决问题能力，加深对知识的理解。一些考生在复习时过分追求难题，而对基本概念，基本方法和基本性质重视不够，投入不足，我们考研数学辅导老师警醒大家这样做是不对的，应该及时纠正。 （来源：考研教育网）

4.高等代数考研复习 篇四

来源：文都考研命题研究中心 考研复习已经进入冲刺阶段，相信同学们已经系统地复习了一遍考研数学的内容，那接下来该如何复习，文都考研数学的辅导老师们在这以如何做好线性代数冲刺复习给同学们几点建议，供同学们分享：

一、理解透彻线性代数中的基本概念、性质和定理。

基本概念、性质和定理一直是考研数学的重中之重，线性代数更是如此，且线性代数的概念比较多、比较抽象，所以同学们在冲刺复习时，不仅要每天坚持看这些基本概念、性质和定理，文都考研命题研究中心编的《迷你掌中宝—考研数学必备手册》小巧方便携带，同学们可以带在身上，方便轻松记忆公式、概念、图表等。同时同学们尽量能会用基本概念推导出重要性质和定理，这样就会理解地比较透彻，不会用错。

二、多做综合性题并总结做各类综合题的方法技巧。

线性代数这门课程各章联系相当紧密，考试题目大部分是综合题，所以同学们在冲刺复习时，多注重分析这些重要内容的联系和区别，例如行列式性质和矩阵性质之间的联系和区别、向量的线性表示和非齐次线性方程组解之间的联系、实对称阵的对角化和实二次型化标准形之间的联系等。掌握好这些联系和区别，多做一些综合性题，把各个知识点融会贯通起来，同时多总结做各类综合题的方法技巧，以便得心应手地对付各种考研题。

三、养成做题仔细的习惯。

大部分学生都认为线性代数是考研数学中最简单的，最容易得分的，但考试下来成绩却不理想。好多同学都说：“太粗心了，做错了一步，答案就错了。”的确线性代数考题的灵活性比较大，有些同学就跨度比较大的做几步，结果就出错了，所以同学们在复习做题中就要养成仔细的好习惯，不能说不是考试，就敷衍做几步。

5.高等代数考研复习 篇五

一、基本概况

我校属于偏远乡级小学。现在学生291人，其中女生122人；教师23人，女教师9人，党员9人，我校现有上级配发的微机6台，管理人员2人，并持证上岗。在上级领导的关怀下,我校对远教成立以校长为组长的的工作领导小组,在领导小组带领下机构健全，制度完善，分工明确，责任落实，管理科学。

二、本期工作

1、利用远教资源设备，推动我校教学改革，提高我校教育教学质量

2、利用远教资源设备，把我校教师培养成既会用黑板又会用课件上课的多面手。

3、利用远教资源设备，增强我乡农村党员的党性和为农思想，提高农民群众素质。

四、完善各项管理规章制度

各校根据县教育局要求，相继建立了相应的《机房管理制度》、《管理人员的责任制度》、《设备的管理和维护制度》、《安全保卫制度》、《培训登记制度》、《教师培训方案》、《 远程资源装入、下载和使用登记制度》、《农村党员干部培训制度》等，同时将其上墙并装档。

五、教育教学及培训情况

1、积极开展教育教学活动

我校认真组织教师开展教育教学活动，充分利用卫星接收资源与网络资源进行科学的编排和再加工，在课堂上广泛地应用起来。同时定期组织学生收看电视节目。由于我乡地处偏远贫困地区，教育信息闭塞教育现代化事业起步晚，教育教学水平落后，办学条件不足，教学方法和教学条件、手段的落后，高水平师资的长期缺乏，使教学质量难以得到质的提高。要改变这一状况，重要的是提高学校教育现代化，信息化水平。通过现代化教学手段，利用信息传输，达到资源共享，提高我校教师的综合素质，提高教育教学质量，培养学生的创新精神和实践能力，为此我校利用设备，组织收看教学名家的课堂实录专题讲座、学习和实践。

2、管理员培训

各项目点派了具有一定微机操作能力的教师参加县级“远程教育项目”管理培训，并制定了全员教师培训计划、利用远程教育条件开展教育教学活动的方案，定期对教师进行培训，利用远程信息平台开展教育教学活动，并能按时完成各种活动资料的收集，整理及归档工作。

六、存在的问题

1、没有对避雷天线进行防锈处理。

2、部分项目点的管理人员操作熟悉程度达不到要求。

3七、整改措施

1、要求对避雷设备进行防锈处理。

2、对部分管理人员再次进行专门培训。

6.高等代数考研复习 篇六

关键词：科学思维；科学方法；高等代数

中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2012）02-0165-02

高等代数是高校数学与应用数学、信息与计算科学专业本科生的一门重要的基础理论课。它既是中学代数的继续和提高，也是数学各分支的基础和工具。高等代数这门课程概念多，理论性强，内容抽象，前后联系紧密，环环相扣，相互渗透。充分体现了数学的严密逻辑性、高度抽象性、广泛应用性。提高学生数学素养，加强能力培养与科学思维方式培养，注重现代数学的思想和方法是本专业教学的重点。高等代数教学是学生掌握高等代数的基本理论与基本方法，一方面为学生学习相关课程及进一步扩大数学知识面奠定必要的基础，另一方面培养学生建立数学模型解决实际问题的能力。

一、激发学生学习高等代数的兴趣，提高学生的学习积极性和主动性

我们知道兴趣是最好的老师，对一门课程是否感兴趣是决定一个学生能否学好这门课程。大学教学方法与中学教学方法无论是在内容上还是在方法上都有很大的区别，不少刚踏入大学的学生一下子很难适应大学的学习节奏。高等代数又是大学生最先接触的课程之一，此时作为第一节的入门课就显得十分重要了。我们对第一次课的教学内容重新做了设计，首先说明本课程在整个大学课程中的地位和作用，要让学生知道它是一门很重要的基础课程，对它掌握的好坏将直接影响后继课程的学习和将来继续深造努力提高学生对高等代数课程的重视和学习高等代数的兴趣。其次，将它与已学初等数学课程从内容和方法上进行联系、比较，使学生的思维具有连贯性，接受新知识不觉得突然。再则介绍新课程的主要内容、体系及基本要求，介绍本课程的研究对象、研究内容和研究工具，将主要内容用一条线穿起来，使学生做到对一门新课程有一个整体印象。同时把重点放在实际应用中，并选取学生感兴趣的实例，来贯彻高等代数的实用性从而激发学生的兴趣。

二、明确教学定位，优化教学内容

考虑到一般工科院校主要是培养应用技术型人才的实际情况，我们在教学中明确我们的教学定位。我们选用的教材是北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组编的《高等代数》，在保证课程内容科学性的前提下对课程中的部分内容作了处理，适当降低了课程内容的理论难度。我们所讲课程内容主要为：多项式，行列式，线性方程组，矩阵，二次型，线性空间，线性变换，λ-矩阵，欧几里得空间，其中不包括多元多项式，对称多项式，行列式的拉普拉斯定理，二元高次方程组，酉空间介绍及双线性函数与辛空间。同时在教学过程中我们注重习题课教学，配备专门的助课教师，负责批改作业、习题课教学和辅导，同时在习题课教学上我们的宗旨是概括总结，突出应用，适当提高，避免偏题难题。

三、注重学生科学思维方式的培养

科学思维、科学方法教育教学是全面提高学生素质，培养学生实践能力和创新精神的需要，也是当今时代的要求和适应未来激烈竞争的需要。

1.通过一题多解，培养学生发散思维能力。一题多解，即用不同的运算和推理方式，反映条件和结论之间的本质联系。选择典型的习题，有目的地对学生进行一题多解的训练，引导学生作多方位的思考，对于调动学生学习的积极性和主动性，激发学生的求知欲望，拓宽解题思路，培养学生的求異性和发散思维能力有着重要的意义。通过一题多解的训练，引导学生对不同的解题方法进行比较概括，对准确理解基本概念、熟练掌握基本理论及对基本理论和基本方法灵活运用有十分重要的意义。

2.通过多题一解，培养学生归纳推理能力。我们常说：读数学不如做数学，做题是学好数学的关键.但做题不是目的，这就要求学生通过做题对所学知识进行归纳、总结和概括，不能局限于做一道题的具体方法，要学会透过现象看本质，通过认真思考、分析归纳、综合概括，去发现题与题之间基本数学结构相同或相似的地方，然后由此及彼归纳出解题模式，把彼此孤立的知识联系起来，将知识结成网，构成面。通过有限的练习，从中悟出共同的解题规律，这样既达到举一反三、触类旁通的目的，又可提高学习效率，培养学生归纳推理及综合概括能力。

3.通过比较，培养学生类比思维能力。类比是根据两类事物某些属性相同或相似，而推出它们在其他属性上也可能相同或相似的思维形式。类比是以比较为基础，通过对两类事物进行比较，找出它们的相似点及不同点，把一类事物的已知属性，推演到另一类对象中去，并对它们的不同点进行比较，从而达到对后者有一个更清楚、更准确的理解和认识。因此，老师在教学过程中要尽可能多地运用类比进行知识的讲解。比如在讲解矩阵乘积的性质时，可以与数的乘积的性质相比较；在讲解逆矩阵的概念与性质时，可以与非零数的倒数相比较，找出它们的相同点和不同点，使学生抓住它们的个性和共性，这样既能达到“温故而知新”，又能使学生深刻理解概念和性质。

4.注重培养学生逆向思维能力。逆向思维，即“反过来想”。人们思考问题时常常只注重于沿着合乎习惯的正向进行顺推，但有时如果采用“倒过来”思考的逆向思维方式，往往会产生突破性的效果。这种思维方式对于开阔思路能起到积极的作用。因此在高等代数教学过程中应该积极地引导和鼓励学生去进行逆向思维。比如，当遇到某些问题结构比较复杂，直接从已知条件入手比较困难时，可以引导学生从命题的结论出发，逐步向上逆推，常常会收到较好的效果，这就是反推思考。这不仅有助于学生掌握所学知识，更重要的是启迪学生进行逆向思维。

四、注重一章内容的总结概括

虽然我们每章内容都安排几次习题课，但每章内容结束后我们都要进行一次总的概括综合，例如在对多项式这一章进行总结复习时将这一章的主要内容归结为三大基本定理及三大理论体系。三大基本定理为：带余除法定理、最大公因式的存在定理、因式分解的唯一性定理。三大理论体系为：1.整除理论：包括整除、最大公因式、互素及性质；2.因式分解理论：包括不可约多项式、因式分解、重因式、实系数与复系数多项式的因式分解、有理系数多项式不可约的判定等；3.根的理论：多项式的根、代数基本定理、有理系数多项式的有理根求法、根与系数的关系等。学生在学习过程中，如能掌握这三大基本定理和三大理论体系就能整体上把握一元多项式的理论，同时还可以用框架结构即知识脉络图来显示一章的所有内容，使学生对本章的基本内容、知识结构一目了然。

五、注重将现代教育技术融于教学之中

随着计算机技术迅速发展，为教学手段的改革与提高带来了新的可能与新的方向。现代教育技术的使用，给学生提供了全方位、多渠道、最直接的听觉、视觉感受，是高等教育发展的必然趋势.合理有效的利用现代教育技术，有助于不断改进教学方法、教学模式以及教学内容。但现代教育技术在教学中的应用，目前基本上还是以相对固定的多媒体课件教学为主.多媒体在课堂上可以直观、形象、生动、逼真地表现教学内容，但是多媒体教学也存在着一些缺陷。比如，信息量过大，效果往往容易被忽视，不利于学生思维从具体到抽象的过度。利用网络教学平台，对多媒体教学进行补充，提供与学生学习同步的信息，包括课前预习质疑与课后交流答疑，知识应用与综合训练，以及软件学习与应用，把最新的信息和知识、最真实的生活案例与课堂教学结合起来，拓展学生的联想空间，争取学生把知识学活，学有所用，促进学生创新能力的提高。因此在教学过程中，将板书、多媒体课件与网络三者有机结合起来，把握好现代教育技术在教学过程中应用的最佳时机和位置，是我们每位教师努力的方向。

参考文献：

[1]北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组.高等代学（第三版)[M].北京：高等教育出版社，2003.

[2]徐仲，陆全，等.高等代数考研教案[M].西北工业大学出版社，2006.