高中数学教学课例论文

2025-03-17

高中数学教学课例论文（精选4篇）

1.高中数学教学课例论文篇一

高中数学“分层次教学”

内容摘要：青少年时期是个体发育、发展的最宝贵、最富特色的时期，高中学生在生理发展和心理特征上的差异是客观存在的，面对这些情况，在高中数学教学中“分层次教学”是很重要。＂分层次教学＂是在班级授课制下，教师在教授同一教学内容时，依一个班级优、中、差生的不同知识水平和接受能力，以相应的三个层次的教学深度和广度进行施教的一种教学手段。它能面向全体学生，为学生的全面发展创造条件，有利于学生数学素质的普遍提高。本文结合自己的教学实践和探究，浅谈“分层次教学”教学法。关键词：高中数学分层教学

高中学生在生理发展和心理特征上的差异是客观存在的，对数学的兴趣和爱好，对数学知识的接受能力的差异也是客观存在的。尤其是普通高中，学生素质参差不齐，又存在能力差异，导致不同学生对知识的领悟与掌握能力的差距很大，这势必对高中阶段的数学教学带来负面影响。如果在高中数学教学中仍采用“一刀切”，同一方法来授课，这样必然不能充分照顾学生的个性差异，也就不能很好地贯彻“因材施教，循序渐进”原则。

面对这些情况，在高中数学教学中“分层次教学”是很重要。＂分层次教学＂是在班级授课制下，教师在教授同一教学内容时，依一个班级优、中、差生的不同知识水平和接受能力，以相应的三个层次的教学深度和广度进行施教的一种教学手段。教师根据不同层次学生的差异性，最大限度地在教学目标、教学内容、课堂提问、课堂练习、布置作业、课外辅导等方面加以区别对待，促使不同层次的学生的知识、技能、能力和智力都能在各自原有基础上得到较好提高，从而促进全体学生的发展。

一、教育要面对学生整体，因能划类，依类分层

在教学中，根据学生的数学基础、学习能力、学习态度、学习成绩的差异和提高学习效率的要求，结合教材和学生的学习可能性水平，再结合高中阶段学生的生理、心理特点及性格特征，按教学大纲所要达到的基本目标、中层目标、发展目标这三个层次的教学要求，可将学生依下、中、上分为A、B、C三个层次：A层是学习有困难的学生；B层是成绩中等的学生；C层是拔尖的优等生。对学生进行分层不是永远不变的，经过一段学习后，教师根据学生的变化情况，作必要的调整，最终达到A层逐步解体，B、C层不断壮大的目的。

二、在各教学环节中施行“分层次教学”。

（1）教学目标层次化。以教学大纲、考试说明为依据，根据教材的知识结构和学生的认识能力，合理地制定各层次学生的教学目标，对于教学目标，可分五个层次：①识记 ②领会 ③简单应用 ④简单综合应用 ⑤较复杂综合应用。对于不同层次的学生，教学目标要求是不一样的：A组学生达到①－③；B组学生达到①－④；C组学生达到①－⑤。例如，在教“两角和与差的三角函数公式”时，应要求A组学生牢记公式，能直接运用公式解决简单的三角函数问题，要求B组学生理解公式的推导，能熟练运用公式解决较综合的三角函数问题，要求C组学生会推导公式，能灵活运用公式解决较复杂的三角函数问题。

（2）课堂教学层次化。教师应根据＂新课标＂精神、教材特点和学生实际，设置悬念，对不同的知识内容、类型采取不同的复习引入，调动学生活动的积极性，课堂教学中要努力完成教学目标，同时又要照顾到不同层次的学生，保证不同层次的学生都能学有所得。在安排课时的时候，必须以B层学生为基准，同时兼顾A、C两层，要注意调动各层次学生参与教学活动的积极性。课堂教学要始终遵守循序渐进，由易到难，由简到繁，逐步上升的规律，要求不宜过高，层次落差不宜太大。同时，对新知识的理解、知识点的应用和题型的变换等，每个层次的设计都要照顾各层次学生的思维能力。使全体学生悟出道理，学会方法，掌握规律，提高了信心。此外还要安排好教学节奏，做到精讲多练，消除“满堂灌”，消除拖泥带水的成份，把节省下来的时间让学生多练。在此基础上可适当补充些趣味数学，以便活跃课 1 堂，努力做到全体学生动脑、动口、动手参与教学全过程。

（3）布置作业层次化。课后习题是教学不可缺少的环节，根据不同层次学生的学习能力，选择作业题时，要适当扩大习题跨度，布置不同的课后作业，一般可分必做题、选做题、思考题等几种，必做题和选做题结合。必做题是每位学生都应完成的基础题，选作题只要求A层学生或学有余力的学生完成。在批改作业时，对B、C两层学生的作业要特别仔细些，有时进行面批。对A层学生可同他们探讨较深奥的问题，或向他们推荐一些课外习题集，帮助他们钻＂牛角尖＂。

（4）课外辅导层次化。教师要做补缺、提高工作，充分利用课余时间，积极开展第二课堂，因材施教，给A层学生补课，给C层学生增加次竞赛讲座。这样可进一步使A层学生“吃得了”，能奋发向上，C层学生“吃得饱”，能充分发展，形成一种你追我赶的学习气氛。此外，对差生的辅导，还要防止把着眼点只放在知识缺陷的补习上，还要注意情感投入，多一份关爱，多分析他们的思想状况，＂对症下药＂，使他们真正感到我＂不笨＂，我＂能行＂。

综上所述，在数学教学中“分层次教学”与素质教学所要求的培养学生的创造性思维能力是相辅相成，密不可分的。“分层次教学”，重要的是在教学中必须坚持以学生为主体，不能脱离学生搞一些不切实际的教学活动，我们的一切教学活动必须以调动学生的主观能动性，使学生的学习目的性更明确，自觉性更强，学习兴趣更浓厚，达到缩小两极分化，大面积提高数学教学质量的目的。作为一名教师，要积极改进教学方法，研究教育理论，成为一名站在时代前列的教育工作者。

2.高中数学教学课例论文篇二

为了能够落实好新课标，教师首先要转变教育观念，改变落后的教学方法。在数学课堂教学中，要创设生活化教学情境，激发学生学习数学的兴趣，深化对知识的理解。让学生从实际生活中收集数学信息，体验生活离不开数学。要注重知识的形成过程，激发学生的创新意识，让学生形成“猜想—归纳—证明”的严谨的思维习惯。教师要尊重学生的个体差异，鼓励学生大胆实践，倡导自主、合作、探究的学习方式。

新课程标准明确:指出数学是研究空间形式和数量关系的科学，是研究模式和秩序的一门科学。数学是人类文化的重要组成部分，构成了公民所必需具备的一种基本素质。数学科学历来是自然科学和社会科学的基础，现在正在从幕后走向台前，在某些方面直接为社会创造价值，推动社会生产力的发展，越来越广的泛的数学应用，正在不断地渗入社会的方方面面。数学在形成人类理性思维的过程中发挥着独特的、不可替代的作用，高度发展的数学思维成为人类社会进步的重要标志。

作为数学教师，我们不仅要认识到数学在社会生活的重要作用，更要在课堂教学中使学生体会数学与自然及人类社会的密切联系，了解数学的价值，增进对数学的理解，坚定应用数学的信心。学会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会，解决日常生活中的问题。形成用于探索、勇于创新的科学精神；获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学事实以及基本的思维方式和必要的应用技能。其最终目的是为学生的终身可持续发展奠定良好的基础。

为了落实好新课标，教师要切实转变教育观念，改变就的传授教学模式，使学生真正成为学习的主人。在课堂教学中，我认为更应从以下几方面下功夫：

（一）从现实生活中创设数学情境，激发学生的学习兴趣

新课标在“教学建议”中指出：“在数学教学中，应注重发展学生的应用意识；通过丰富的实例引入数学知识，引导学生应用数学知识解决实际问题，经历探索、解决问题的过程，体会数学的应用价值。帮助学生认识到：数学与我有关，与实际生活有关，数学是有用的，我要学数学，我能学数学”。因此，教师要多创设数学情境，从现实生活中引入数学知识，使数学知识生活化，让学生带着生活问题进入课堂，使他们觉得所学习的内容是和实际生活息息相关的，是生活中急待解决的问题，给学生找到生活的原型。

例如：在讲授“函数周期”时，教师可设计这样一个问题：“今天星期一，那么今天后的第290天是星期几？”，这必将激起学生的浓厚兴趣。然后告诉学生们只要掌握了函数周期，这个问题马上就能解决，这样同学们学习函数周期的愿望就更强烈。又如在讲“概率”时，可问学生：“你知道你买一张体育彩票中一等奖的可能性有多大吗？”。像这样创设引入数学情境，不但提高学生对数学的兴趣，钟爱数学，激发学习动机，以及学好数学的愿望。而且培养学生凭借自己已有的生活经验和已有的知识分析、解决实际问题的能力。

（二）利用生活化情境，深化对知识的理解

新课标中指出：“有效的学习活动不能单纯地依靠模仿与记忆，教师应引导学生主动地从事观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动，从而使学生形成自己对数学知识的理解和有效的学习策略”。因此，教师不能再作为知识的权威，将预先组织好的知识体系传授给学生，而应充当指导者、合作者和助手的角色与学生共同经历知识探究的过程。

例如：在复习函数这节课时，创设这样的数学情境：“我校为了强化信息课教学，准备再购买一批用于教学的微机，此种微机零售价2400元，甲商场提出的优惠销售方法是：买一台降价10元，买两台降价20元，依次类推，但每台售价不低于2000元。而乙商场提出的优 1 惠方法是：购买每满10台，另送一台。请同学们帮助学校算一算：购买多少台到哪一家商场的优惠更多？”这样的问题，同学们都会感兴趣。学生们学习的主动性肯定会被调动起来。通过同学们的讨论，他们就在不知不觉中运用了分类讨论的思想方法，而且把函数思想与不等式的解题方法融在了一起。不仅复习了函数内容，还加强了知识间的横向联系。

（三）让学生从实际生活中收集数学信息，体验生活中数学

数学应用意识的培养、提高和发展，并非一朝一夕的事，不要期望讲几节数学应用专题课，一两次的解决问题就能奏效，它需要经历渗透、交*、反复、螺旋上升、逐级递增、不断深化的过程，使学生的应用意识逐步由不自觉、无目的的状态，进而发展成为有意识、有目的的应用。所以，教师不仅要提供现实生活中的数学材料，创设接近学生生活实际的情境，还要培养学生从生活中收集数学信息，整理数学知识的能力。让学生主动地将现实生活的大背景与数学知识密切联系起来。使学生在生活中发现数学，在生活中学习数学，在生活中应用数学。要让学生们认识到现实生活中蕴涵着大量的数学信息，数学在现实世界中有着广泛的应用。面对实际问题时，能主动尝试着从数学的角度运用所学知识和方法寻求解决问题的策略。面对新的数学知识时，能主动地寻找实际背景，并探索其应用价值。其实，我们实际生活中有很多问题都可以发动学生，让他们寻找解决问题的办法。

例如：学生压岁钱的处理中，存入银行的利息如何计算；每月零花钱如何使用；电话是怎样记费的；买房（汽车）贷款用什么方式还；跑运输运费怎样计算等等。通过这些问题的解决过程，使学生体会到生活到处有数学，生活真的离不开数学。

（四）注重知识的形成过程，培养学生的思维能力

新课标中指出：“数学教学是数学活动的数学，是师生之间、学生之间交往互动与共同发展的过程。数学教学应从学生实际出发，创设有助于学生自主学习的问题情境，引导学生通过实践、思考、探究、交流，获得知识，形成技能，发展思维，学会学习，促使学生在教师指导下的生动活泼地、主动地、富有个性地学习”。因此在教学中我们应将数学知识形成的基本过程和基本方法贯穿始终，从学生的实际出发，结合教学内容，设计有利于学生参与的教学环节，引导学生积极参与概念的建立过程，定理、公式的发现和证明过程。

例如，在对“三垂线定理”进行教学设计时，可以通过具体问题的解决创设如下的问题情境：取出一个正方体模型，上底面上有一点M，在上底面画一条线与直线AM垂直，请问怎么画？学生用老师提供的模型分组讨论，思索着如何画出与AM垂直的直线。学生可能会有各种各样的画法，于是就可以问学生：“你画的直线一定AM垂直吗？所画的直线AM与上底面有何位置关系？”由此可引出课题。然后再引导学生分析画法的实质，并用几何语言概括出这个实质，即“平面内的一条直线，若和这个平面的一条斜线在这个平面内的射线垂直，则它也和这条斜线垂直”。这样，学生自己从问题出发获得了三垂线定理，深化感受了学习活动的全过程并得到新知识。

（五）激发学生的创新意识，让学生形成“猜想—归纳—证明”的严谨的思维习惯

数学是一门抽象和逻辑严密的学科，正由于这一点令相当一部分学生望而却步，对其缺乏学习热情。情境教学当然不能将所有的数学知识都用生活真实形象再现出来，事实上情境教学的形象真切，并不是实体的复现或忠实的复制，而是以简化的形体，暗示的手法，获得与实体在结构上对应的形象，从而给学生以真切之感，在已有的知识上进一步深入发展，以获得新的知识。

比如，在学完了椭圆的定义后，如何用此定义进一步研究椭圆的性质的一节课上，可先启发学生由前一课的图形进行一些大胆的猜想，进一步强调证明的重要性，以使学生形成猜想—归纳—证明的严谨的思维习惯，达到提高学生数形结合的解题能力的目的，要求学生用所学的定义结合方程的特点去验证猜想结论的正确性。学生在老师的层层设问下，参与了问题探究的全过程。不仅对知识理解透彻，掌握更牢固，而且从中受到观察、猜想、分析与转换等 2 思维方法的启迪，思维品质获得了培养。在这样的教学过程中，要特别注意不要只关注学生是否找到了规律，得到了结论，更应关注学生是否进行了思考。如果学生一时未能独立发现其中的规律，教师可以鼓励学生相互合作交流，进一步探索，教师也可以提供一些帮助。

（六）尊重学生的个体差异，鼓励学生大胆实践学生的个体差异表现为认知方式与思维策略的不同，以及认知水平和学习能力的差异。教师要及时了解并尊重学生的个体差异，满足多样化的学习需要。尊重学生在解决问题过程中所表现出来的不同水平。每一堂课，要让每一个学生有学习的感情，知道自己要学什么，学到什么程度。而教师要用易于每个学生理解和掌握的方式教学。否则，即使教师教得十分辛苦，学生学得也很辛苦，也不能称之为真正的教学。

（七）倡导自主、合作、探究的学习方式，鼓励学生大胆实践

新课标所倡导的新的学习方式是自主学习、合作学习、探究学习的学习方式。

所谓自主学习是指教学条件下的高品质的学习，而合作学习是指学生在小组或团队中为了完成共同的任务，有明确的责任分工的互助性学习，探究学习是指从现实生活中选择和确定研究主题，通过学生自主、独立的发现问题，搜集和处理信息、表达与交流等探索活动，活泛的知识、技能、感感与态度的发展。当然并不是所有的学习主题都需要用合作学习的组织形式，也不是所有的学习主题都需要用用探究学习的方式来进行。对一些学习内容来说，不仅个体学生的组织形式是必不可少的，接受学习也是必要的。

在实际教学中，要多让学生接触一些开放性问题，在对这些问题的认识和理解上，不追求大统一，不搞一言堂，不设计标准答案，不乱轻率地否定学生的探索，积极鼓励学生向书本挑战，鼓励学生另辟蹊径，多视角、多层面地探索和研究问题。也要鼓励学生走出课本，走出课堂，在广阔的大千世界中学习知识。总之，“应该让我们的学生在每一节课上，享受到热烈的、沸腾的、多姿多彩的精神生活”。

3.高中数学教学课例论文篇三

高中数学教学方法论文普通高中数学教学方法探讨

作者/ 于志彦

摘要：三类普通高中的学生对于高中数学的学习感觉有些困难，教师应从学生自身、教材、家庭、社会几个方面分析造成数学学习困难的原因，探讨适合他们的教学方法，培养学生的创新精神和实践能力，从而提高学生的成绩。

关键词：普通高中；数学教学；教学方法

《高中数学课程标准》规定：学生在九年义务教育数学课程的基础上，进一步提高作为未来公民所必要的数学素养，以满足个人发展与社会进步的需要。全面推进素质教育，就要坚持面向全体学生，为学生的全面发展创造相应的条件，依法保障适龄儿童和青少年学习的基本权利，尊重学生身心发展特点和教育规律，使学生主动活泼、积极主动地得到发展。

我们学校处于城乡结合部，属于三类普通高中，数学学习困难的状况普遍存在，究其原因，主要如下：

（1）生源质量差。我们学校属于第三批次录取，大部分招录的是过最低省控线515分的学生，还有部分学生没过最低省控线，把学籍建在民办高中到我校借读，所以他们基础不好。造成这些情况的原因是学生学习习惯不好，学习态度不端正，数学的思维品质差，胸无大志，得过且过。

（2）政府投入少。由于政府投入少，我校校舍陈旧，无配套的硬件设施，甚至于教室中的多媒体也成了摆设，无配套的教具。

（3）高中数学本身的难度。初中数学形象思维性强，语言通俗易懂，做题模式固定，单一；高中数学内容多，且比较抽象，逻辑思维性强，对学生学习能力、理解能力要求高，所以很多同学在刚开始学习集合和函数时，就被抽象的数学语言击倒；平时对所学知识理解不透，日复一日，对数学产生了厌烦心理，就知难而退了。

（4）家长不重视。许多家长心中都明镜似的，孩子好学校去不了，所以选择了我们学校，因此孩子在学校里的成绩如何他们不关心，他们关心的只是孩子在学校不惹事就行。

基于以上情况，如何让学生喜欢数学，提升他们数学学习的能力，探索出适合本校学生的教学方法呢？

一、做好初高中教材的衔接

初中数学中的学生不要求掌握的部分，如十字相乘法因式分解在高中解方程中常用；根与系数的关系在解析几何中应用频繁；初中二次函数的学习仅限于会画图像，高中时它作为一种解题的工具，承载着其他的函数，很多复杂函数的研究一般是在换元后转换为二次函数解决……所以，在学集合之前要先进行初中知识的复习与延伸，为高中数学学习做好准备。

二、培养学生学习数学的兴趣

无论做什么事，能否成功的关键是兴趣。古代著名的教育家孔子就说过：“知之者不如好之者，好之者不如乐之者。”这里的“好”与“乐”就是愿意学、喜欢学，就是学习兴趣。兴趣是最好的老师，有了兴趣，学习的主动性和积极性就高。我们经常看到一些同学为了解答一道数学习题而废寝忘食，这是因为他们对数学学习和研究感兴趣。很难想象，对数学毫无兴趣，见了数学题就头痛的人能够学好数学。学好数学关键的就是培养学习数学的兴趣。

首先，让学生感到数学有用。我们经常听到学生说：“平时买个菜还需要函数图像吗？学数学真没劲儿！”所以，他们对数学不重视。针对这种论调，在平时的教学中我们要注重理论知识与实际的结合，让学生感到生活中处处有数学。如以怎样刻画笔记本电脑的张开程度引入新课《二面角》。再如建筑工人在砌墙时，常用一端系有铁锤的.线来检查所砌的墙是否与水平面垂直，就是依据面面垂直的判定定理。

其次，采用“问题导引式”的教学方法。数学知识抽象、严谨，涉及的知识点多，一堂课只是老师喋喋不休地讲，学生会感到无味、走神。针对这种情况，我们可以把一堂课的新知设计成几个问题，让学生在解答问题的过程中，不知不觉地学会了本节的内容。如在讲等差数列前项和时，我设置了以下问题：

问题一：大家还记得德国伟大数学家高斯神速求和的故事吗？小高斯上四年级时，一次老师布置了一道数学题：“把从1到100的自然数加起来，和是多少？”小高斯不假思索就说是5 050，那么高斯用什么方法这么神速的得到答案呢？

问题二：设等差数列｛an｝首项为a1，公差为d,求sn=a1+a2

+……+an，你能用高斯的方法吗？学生讨论后意识到：利用高斯的求法，还要分“奇偶个数”的情况求和。

问题三：同学们有更简单的方法避免“奇偶项数”的讨论吗？教师作适当启发，展示两个等腰梯形倒置，补成一个平行四边形，利用倒序相加法得到公式

问题四：公式能否用基本量a1和d表示？

问题五：等差数列前n项和公式中涉及几个量？这几个量有什么关系？已知几个量可以求其余量。

问题六：前n项和公式和你学习的那个函数有联系吗？

用几个问题把一节课展示给学生，既给学生指明了思考的方向，又激起了他们解决问题的兴致，达到了好的教学效果。

三、注重课堂教学的有效性

针对班级学生数学思维品质差、上数学课注意力不集中、态度消极、课后复习巩固敷衍应付的状况，我们在课堂上不摆花架子，要多以基础知识的讲解为主，内容不求多、不求快，只求学生懂；并且不注重一题多法，只要把好理解、计算量小的方法教给学生即可。要让学生模仿做题，当堂巩固，课后复习，一类题经过几天的反复练习，学生基本能掌握。如讲直线与圆的位置关系时，一课时的内容分两课时进行。又如求直线截圆所得的弦长时，有代数法与几何法两种方法，重点教给学生几何法：弦心距，半径、与半弦长所构成的直角三角形求解。另外注重公式、定理的记忆和检查。要想数学学得好，必须公式定理熟练理解、掌握、会背诵，每节课的公式要求每个同学都要过关，且当天消化，这样学生才能举一反三，融会贯通，会利用所学解决问题。

总之，面对学习有困难的学生，要注重基础知识与基本技能的教学，并要砸实砸牢，切不可操之过急，拔苗助长，只有这样，学生才会做题，才会体会到成功的快乐，才会对数学有兴趣，才会去学数学。

4.数学课例研究报告篇四

一．研究目标

基本目标：通过研究体现数学课堂教学中学生学生主体作用的激发、学生参与作用的操作、学生能力培养方面的发挥、教学策略多样化、教学模式系列化的课堂教学实例及理论成果。

衍生目标：在研究中，通过课例实践，让学生在“做中学”，激发和增强对学习数学的兴趣，体验自主学习与探究思考的过程，发现和掌握数学学习方法，建构自己的数学知识体系，发展自己的数学思维，感悟数学之美，提高数学学习水平。

二、课题研究的内容与方法

（一）研究的内容

课例研究，是最基础的教学实践研究，从课例中，我们可以观察到的教与学实践过程要素是：

●关于教师的教：

A、教学设计的适切性（包涵信息技术应用的适切性）

B、教学过程的生成性（教学机智）

C、教学评价的有效性

关于学生的学：

A、学习的准备

B、学习的注意程度

C、数学思维的深度、广度、灵活性

D、知识巩固能力

●关于信息技术与数学课程整合的过程：

构建有效教学过程，促进学生意义建构

因此，我们的研究内容主要包括对课例的系统分析、总结和课例要素的观察分析。

（二）研究的方法

本课题主要采用行动研究法。以信息技术与初中数学课程整合的研究为载体，把探索研究结果与运用研究成果结合起来，边设计边实施，边实施边修正，边修正边反思，促进课题研究的深入。重点初中各年级的教材内容为主，选择一些突破口。选择若干个点分析其理论基础、内容特点、技术特征、学生的学习方式、学习结果及学生的个性发展等进行研究。

课例研究的流程包括五个步骤：

（1）课前分析（教学内容分析、学生分析）；

（2）教学设计；

（3）课堂教学观察；

（4）教学反思；

（5）教学过程建模。

三、研究的过程

第一阶段：行动序曲

初步的个人备课和准备阶段：

1．研讨课例研究目标的构建与课例内容的确立，形成课例的初步研究方案。

2．制定和申报课例研究方案，成立课例研究组。

第二阶段：实践探索：

1．开展课例研究工作，确定有关研究课的内容，注重集体研讨。

2搜集、整理内容，以便有计划、有系统地进行研究。

3．有实验教师讲课，研究小组听课、评课，形成一定的教学模式。

第三：课后反思

第四阶段：全面总结课题研究工作，撰写集体备课笔记四：课例研修报告：

课例名称：

1、一元二次方程

教师：王伟

课时数：一课时

课型：新授课

一元二次方程４．分解因式法

一、学生知识状况分析

学生的知识技能基础：在前几册学生已经学习了一元一次方程、二元一次方程组、可化为一元一次方程的分式方程等，初步感受了方程的模型作用，并积累了解一元一次方程的方法，熟练掌握了解一元一次方程的步骤；在八年级学生学习了分解因式，掌握了提公因式法及运用公式法（平方差、完全平方）熟练的分解因式；在本章前几节课中又学习了配方法及公式法解一元二次方程，掌握了这两种方法的解题思路及步骤。

学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经经历了用配方法和公式法求一元二次方程的解的过程，并在现实情景中加以应用，切实提高了应用意识和能力，也感受到了解一元二次方程的必要性和作用；同时在以前的数学学习中，学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。

二、教学任务分析

教科书基于用分解因式法解一元二次方程是解决特殊问题的一种简便、特殊的方法的基础之上，提出了本课的具体学习任务：能根据已有的分解因式知识解决形如“x(x－a)=0”和“x2－a2=0”的特殊一元二次方程。但这仅仅是这堂课具体的教学目标，或者说是一个近期目标。数学教学由一系列相互联系而又渐次递进的课堂组成，因而具体的课堂教学也应满足于远期目标，或者说，数学教学的远期目标，应该与具体的课堂教学任务产生实质性联系。本课《分解因式法》内容从属于“方程与不等式”这一数学学习领域，因而务必服务于方程教学的远期目标：“经历由具体问题抽象出一元二次方程的过程，体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型，并在解一元二次方程的过程中体会转化的数学思想，进一步培养学生分析问题、解决问题的意识和能力。”同时也应力图在学习中逐步达成学生的有关情感态度目标。为此，本节课的教学目标是：

教学目标

1、能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性；

2、会用分解因式法（提公因式法、公式法）解决某些简单的数字系数的一元二次方程；

3、通过分解因式法的学习，培养学生分析问题、解决问题的能力，并体会转化的思想。

4、通过小组合作交流，尝试在解方程过程中，多角度地思考问题，寻求从不同角度解决问题的方

法，并初步学会不同方法之间的差异，学会在与他人的交流中获益。

三、教学过程分析

本节课设计了七个教学环节：第一环节：复习回顾；第二环节：情境引入，探究新知；第三环节：例题解析；第四环节：巩固练习；第五环节：拓展延伸；第六环节：感悟与收获；第七环节：布置作业。

第一环节：复习回顾

内容：

1、用配方法解一元二次方程的关键是将方程转化为(x+m)2=n（n≥0）的形式。

2、用公式法解一元二次方程应先将方程化为一般形式。

3、选择合适的方法解下列方程： ①x2-6x=7 ②3x2+8x-3=0 目的：以问题串的形式引导学生思考，回忆两种解一元二次方程的方法，有利于学生衔接前后知识，形成清晰的知识脉络，为学生后面的学习作好铺垫。实际效果：第一问题学生先动笔写在练习本上，有个别同学少了条件“n≥0”。第二问题由于较简单，学生很快回答出来。

第三问题由学生独立完成，通过练习学生复习了配方法及公式法，并能灵活应用，提高了学生自信心。

第二环节：情景引入、探究新知

内容：

1、师：有一道题难住了我，想请同学们帮助一下，行不行？

生：齐答行。师：出示问题，一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果能，这个数是几？你是怎样求出来的？

说明：学生独自完成，教师巡视指导，选择不同答案准备展示。

附：学生A：设这个数为x，根据题意，可列方程

x2=3x ∴x2-3x=0 ∵a=1,b=-3,c=0 ∴ b2-4ac=9 ∴ x1=0, x2=3 ∴ 这个数是0或3。

学生B：:设这个数为x，根据题意，可列方程 x2=3x ∴ x2-3x=0 x2-3x+(3/2)2=(3/2)2(x-3/2)2=9/4 ∴ x-3/2=3/2或x-3/2=-3/2 ∴ x1=3, x2=0 ∴这个数是0或3。

学生C：:设这个数为x，根据题意，可列方程 x2=3x ∴ x2-3x=0

即x(x-3)=0 ∴ x=0或x-3=0 ∴ x1=0, x2=3 ∴ 这个数是0或3。

学生D：设这个数为x，根据题意，可列方程 x2=3x 两边同时约去x,得

∴ x=3 ∴ 这个数是3。

2、师：同学们在下面用了多种方法解决此问题，观察以上四个同学的做法是否存在问题?你认为那种方法更合适?为什么? 说明：小组内交流,中心发言人回答,及时让学生补充不同的思路，关注每一个学生的参与情况。

超越小组：我们认为D小组的做法不正确,因为要两边同时约去X,必须确保X不等于0,但题目中没有说明。虽然我们组没有人用C同学的做法,但我们一致认为C同学的做法最好,这样做简单又准确.学生E：补充一点，刚才讲X须确保不等于0，而此题恰好X=0,所以不能约去，否则丢根.师：这两位同学的回答条理清楚并且叙述严密，相信下面同学的回答会一个比一个棒!(及时评价鼓励，激发学生的学习热情)

3、师：现在请C同学为大家说说他的想法好不好? 生：齐答好

学生C：X(X-3)=0 所以X1=0或X2=3 因为我想3³0=0, 0³(-3)=0，0³0=0反过来，如果ab=0,那么a=0或b=0,所以a与b至少有一个等于0

4、师：好，这时我们可这样表示：

如果a³b=0,那么a=0或b=0 这就是说：当一个一元二次方程降为两个一元一次方程时，这两个一元一次方程中用的是“或”，而不用“且”。

所以由x(x-3)=0得到x=0和x-3=0时，中间应写上“或”字。

我们再来看c同学解方程x2=3x的方法，他是把方程的一边变为0，而另一边可以分解成两个因式的乘积，然后利用a³b=0,则a=0或b=0,把一元二次方程变成一元一次方程，从而求出方程的解。我们把这种解一元二次方程的方法称为分解因式法，即

当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我门就采用分解因式法来解一元二次方程。

目的：通过独立思考,小组协作交流,力求使学生根据方程的具体特征,灵活选取适当的解法.在操作活动过程中,培养学生积极的情感,态度，提高学生自主学习和思考的能力,让学生尽可能自己探索新知,教师要关注每一位学生的发展.问题3和4进一步点明了分解因式的理论根据及实质,教师总结了本节课的重点.实际效果：对于问题1学生能根据自己的理解选择一定的方法解决，速度比较快。第2问让学生合作解决，学生在交流中产生了不同的看法，经过讨论探究进一步了解了分解因式法解一元二次方程是一种更特殊、简单的方法。C同学对于第3问的回答从特殊到一般讲解透彻，学生语言学生更容易理解。问题4的解决很自然地探究了新知——分解因式法.并且也点明了运用分解因式法解一元二次方程的关键：将方程左

边化为因式乘积,右边化为0，这为后面的解题做了铺垫。

说明：如果ab=0，那么a=0或b=0，“或”是“二者中至少有一个成立”的意思，包括两种情况，二者同时成立；二者有一个成立。“且”是“二者同时成立”的意思。

第三环节例题解析

内容：解下列方程(1)、5X2=4X(仿照引例学生自行解决)(2)、X-2=X(X-2)(师生共同解决)(3)、(X+1)2-25=0(师生共同解决)学生G：解方程（1）时，先把它化为一般形式，然后再分解因式求解。解：（1）原方程可变形为

5X2-4X=0 ∴ X(5X-4)=0 ∴ X=0或5X-4=0 ∴ X1=0, X2=4/5 学生H：解方程（2）时因为方程的左、右两边都有(x-2),所以我把(x-2)看作整体，然后移项，再分解因式求解。

解：(2)原方程可变形为

（X-2）-X(X-2)=0 ∴(X-2)(1-X)=0 ∴ X-2=0或1-X=0 ∴ X1=2，X2=1 学生K：老师，解方程（2）时能否将原方程展开后再求解

师：能呀，只不过这样的话会复杂一些，不如把(x-2)当作整体简便。学生M：方程(x+1)2-25=0的右边是0，左边(x+1)2-25可以把(x+1)看做整体，这样左边就是一个平方差，利用平方差公式即可分解因式。

解：(3)原方程可变形为

[(X+1)+5][(X+1)-5]=0 ∴(X+6)(X-4)=0 ∴ X+6=0或X-4=0 ∴ X1=-6，X2=4 师：好﹗这个题实际上我们在前几节课时解过，当时我们用的是开平方法，现在用的是因式分解法。由此可知：一个一元二次方程的解法可能有多种，我们在选用时，以简便为主。

问题：

1、用这种方法解一元二次方程的思路是什么?步骤是什么?(小组合作交流)

2、对于以上三道题你是否还有其他方法来解?(课下交流完成)目的：例题讲解中,第一题学生独自完成,考察了学生对引例的掌握情况,便于及时反馈。第2、3题体现了师生互动共同合作，进一步规范解题步骤,最后提出两个问题。问题1进一步巩固分解因式法定义及解题步骤，而问题2体现了解题的多样化。

实际效果：对于例题中(1)学生做得很迅速,正确率比较高；(2)、(3)题经过探究合作最终顺利的完成,所以学生情绪高涨,讨论热烈,思维活跃,正是因为这，问题1、2学生们有见地的结论不断涌现，叙述越来越严谨。

说明：在课本的基础上例题又补充了一题,目的是练习使用公式法分解因式。

第四环节：巩固练习

内容：

1、解下列方程：（1）(X+2)(X-4)=0

(2)X2-4=0

(3)4X(2X+1)=3(2X+1)

2、一个数平方的两倍等于这个数的7倍，求这个数？目的：华罗庚说过“学数学而不练,犹如入宝山而空返”该练习对本节知识进行巩固，使学生更好地理解所学知识并灵活运用。

实际效果：此处留给学生充分的时间与空间进行独立练习，通过练习基本能用分解因式法解一元二次方程，收到了较好的效果。

第五环节拓展与延伸

师：想不想挑战自我？学生：想

内容：

1、一个小球以15m/s的初速度竖直向上弹出，它在空中的速度h(m)，与时间t(s)满足关系：h=15t-5t2 小球何时能落回地面？

2、一元二次方程（m-1）x2 +3mx+(m+4)(m-1)=0有一个根为0，求m 的值

说明：a学生交流合作后教师适当引导提出两个问提，1、第一题中小球落回地面是什么意思？

2、第二题中一个根为0有什么用？

b这组补充题目稍有难度,为了激发优秀生的学习热情。

目的：学生在对分解因式法直接感知的基础上，在头脑加工组合，呈现感知过的特点，使认识从感知不段发展，上升为一种可以把握的能力。同时学生通过独立思考及小组交流，寻找解决问题的方法，获得数学活动的经验，调动了学生学习的积极性，也培养了团结协作的精神，使学生在学习中获得快乐，在学习中感受数学的实际应用价值。

实际效果：对于问题1，个别学生不理解问题导致没列出一元二次方程；问题2由于在配方法时接触过此类型的题目，因此掌握比较不错。

说明：小组内交流时，教师关注小组中每个学生的参与积极性及小组内的合作交流情况。

第六环节感悟与收获

内容：师生互相交流总结

1、分解因式法解一元二次方程的基本思路和关键。

2、在应用分解因式法时应注意的问题。

3、分解因式法体现了怎样的数学思想? 目的：鼓励学生结合本节课的内容谈自己的收获与感想。

实际效果：学生畅所欲言，在民主的氛围中培养学生归纳概括能力和语言表达能力；同时引导学生反思探究过程，帮助学生肯定自我、欣赏他人。

第七环节布置作业

1、课本习题2.7 1、2(2)(3)

2、预习提纲：如何列方程解应用题

四、教学反思

1.评价的目的是为了全面了解学生的学习状况,激励学生的学习热情,促进学生的全面发展.所以本节课在评价时注重关注学生能否积极主动的思考,能否清楚的表达自己的观点,及时发现学生的闪光点,给予积极肯定地表扬和鼓励增强他们对数学活动的兴趣和应用数学知识解决问题的意识,帮助学生形成积极主动的求知态度

2.这节课的“拓展延伸”环节让学生切实体会到方程在实际生活中的应用.拓展了学生的思路,培养了学生的综合运用知识解决问题的能力.3.本节中应着眼干学生能力的发展,因此其中所设计的解题策略、思路方法在今后的教学中应注意进一步渗透,才能更好地达到提高学生数学能力的目标.2课例名称：求解中考压轴题的四种常见解题方法

教师：黄振课时：一课时课型：复习课

中考数学压轴题

教学目标：掌握中考压轴题的四种常见解题方法

1.1压轴题的概念

中考数学试卷中的试题排列顺序通常都遵循着“从简单到复杂、从易到难”的原则。中考试题中按题型分类的排列顺序一般是：

一、选择题（客观题，有些地方将其称作“第Ⅰ卷”）；

二、填空题（形式简单的主观题）；

三、解答题（二、三也合称第Ⅱ卷）。在这三类题型中，思维难度较大的题目一般都设置在各类题型的最后一题，被称作压轴题。

中考压轴题按其题型的区别及在整个试卷中的位置情况又可分为两类：选择题和填空题型的压轴题，常被称作小压轴题；解答题型压轴题（也即整个试卷的最后一题），叫大压轴题，通常所说的压轴题一般都指大压轴题。

1.2压轴题的特点

中考数学压轴题的设计，大都有以下共同特点：知识点多、覆盖面广、条件隐蔽、关系复杂、思路难觅、解法灵活。纵观近几年全国各地数学中考压轴题，呈现了百花齐放的局面，就题型而言，除传统的函数综合题外，还有操作题、开放题、图表信息题、动态几何题、新定义题型、探索题型等，令人赏心悦目。

中考压轴题主要是为考察考生综合运用知识的能力而设计的题目，其思维难度高，综合性强，往往都具有较强的选拔功能，是为了有效地区分数学学科中尖子学生与一般学生的试题。

在课程改革不断向前推进的形势下，全国各地近年涌现出了大量的精彩的压轴题。丰富的、公平的背景、精巧优美的结构，综合体现出多种解答数学问题的思想方法，贴近生活、关注热点、常中见拙、拙中藏巧、一题多问、层层递进，为不同层次的学生展示自己的才华创设了平台。

1.3压轴题应对策略

针对近年全国各地中考数学压轴题的特点，在中考复习阶段，我们要狠抓基础知识的落实，因为基础知识是“不变量”，而所谓的考试“热点”只是与题目的形式有关。要有效地解答中考压轴题，关键是要以不变应万变。加大综合题的训练力度，加强解题方法的训练，加强数学思想方法的渗透，注重“基本模式”的积累与变化，调适学生心理，增强学生信心。

学生在压轴题上的困难可能来自多方面的原因，如：基础知识和基本技能的欠缺、解题经验的缺失或训练程度不够、自信心不足等。学生在压轴题上的具体困难则可能是：“不知从何处下手，不知向何方前进”。

在求解中考数学压轴题时，重视一些数学思想方法的灵活应用，是解好压轴题的重要工具，也是保证压轴题能求解得“对而全、全而美”的重要前提。

2．求解中考压轴题的常见思想方法

2.1分类讨论思想

代表性题型：动态几何问题，存在性讨论问题。

例1．（2009年重庆）已知：如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA在轴的正半轴上，OC在轴的正半轴上，OA=2，OC=3。过原点O作∠AOC的平分线交AB于点D，连接DC，过点D作DE⊥DC，交OA于点E。（1）求过点E、D、C的抛物线的解析式；（2）将∠EDC绕点D按顺时针方向旋转后，角的一边与

轴的正半轴交于点F，另一边，那么与线段OC交于点G。如果DF与（1）中的抛物线交于另一点M，点M的横坐标为EF=2GO是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；

（3）对于（2）中的点G，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q，使得直线GQ与AB的交点P与点C、G构成的△PCG是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。

解析：（1）由△ADE∽△BCD，及已知条件求得E、D、C坐标，进而求出过点E、D、C的抛物线的解析式：

（2）EF=2GO成立．

点M在该抛物线上，且它的横坐标为，∴点M的纵坐标为．设DM的解析式为将点D、M的坐标分别代入，得

解得 ∴DM的解析式为 ∴F（0，3）EF=2

过点D作DK⊥OC于点K，则DA=DK．

△DAF≌△DKG，KG=AF=1，GO=1 ∴EF=2GO

（3）点P在AB上，G（1，0），C（3，0），则设P（t，2）． ∴PG=（t－1）+2，PC=（3－t）+2，GC=2

①若PG=PC，则（t－1）+2=（3－t）+2

解得t=2．∴P（2，2），此时点Q与点P重合．Q（2，2）②若PG=GC，则（t－1）+2=2，解得t=1，P（1，2）

此时GP⊥x轴．

GP与该抛物线在第一象限内的交点Q的横坐标为1，∴点Q的纵坐标为．Q（1，）

③若PC=GC，则（3－t）+2=2，解得t=3，∴P（3，2）此时PC=GC=2，P与D重合过点Q作QH⊥x轴于点H，则QH=GH，设QH=h，∴Q（h+1，h）解得（舍去）．∴Q（，））或Q（，）

．

综上所述，存在三个满足条件的点Q，即Q（2，2）或Q（1，思想方法解读：这道压轴题是将二次函数与平面几何相结合的函数综合题。

第⑴问结合“形”的特征，求出点D、E、C的坐标，再设二次函数一般式，用待定系数法可求得二次函数解析式。体现了解函数问题时常用到的“数形结合”思想。

第⑵由D、M所在直线与y轴相交哦于F，可求得F点坐标，并求出EF的长度，并由旋转过程中的角度相等关系，设法构造全等求出OG。得证结论。解决第⑵问的关系是将EF、OG转化为可求的已知量，得到其长度关系。体现出数学解题中的“转化思想”。

本题的第⑶问讨论存在性问题。要使△PCG是等腰三角形，其中G、C为定点，P为不确定的点，因此应考虑GC为腰、GC为底，并考虑G、C、P分别为顶点等多种情况进行分类讨论。假设存在P点，结合P点的位置，通过设置P点坐标参数，用所设参数表示出相应三角

形边长，由等腰三角形的性质，构造相应方程，可求出P点坐标。第⑶问不仅体现了分类讨论思想，还考察了用方程建模的能力。

2.2转化思想

代表性题型：面积问题，二函数图象与坐标轴的交点距离、二次函数与一次函数交点距离、反比例函数与一次函数交点距离问题（与一元二次方程根的系数关系转化）。

例2．已知：Rt△ABC的斜边长为5，斜边上的高为2，将这个直角三角形放置在平面直角坐标系中，使其斜边AB与x轴重合（其中OA

（1）求线段OA、OB的长和经过点A、B、C的抛物线的关系式。（4分）

（2）如图2，点D的坐标为（2，0），点P（m，n）是该抛物线上的一个动点（其中m>0，n>0），连接DP交BC于点E。

①当△BDE是等腰三角形时，直接写出此时点E的坐标。（3分）

②又连接CD、CP（如图3），△CDP是否有最大面积？若有，求出△CDP的最大面积和此时点P的坐标；若没有，请说明理由。（3分）

解析：⑴由Rt△AOC∽Rt△COB易知，CO=OA.OB=OA(AB-OA),可求OA=1,OB=4

2∴A(-1,0)B(4,0)C(0,2)可设解析式为y=a(x+1)(x-4)，将点C(0,2)代入，可求a= ∴为所求

⑵；

提示：①ED=EB时，过E作BD垂线，可得

②直线BC的解析式为，设，利用勾股定理和点在直线BC上，可得两个方程组⑶方法1：连OP。如图4。

分别可求和。

P（m，n）在抛物线上

∴P（m，S△CPO=S四边形ODPC）

－S△OCD

=S△POC+ S△PDO－S△OCD=

OC²|xp|+OD²|yp|—OC²OD

=³2m+³2（）－³2³2

=－m+m=－（m－）+

当m=时，S△CPO面积最大，此时P（，）

方法2：过D作X轴的垂线，交PC于M，如图5。

易求PC的解析式为，且，故

∴当时，思想方法解读：本题是一道二次函数与平面几何综合的压轴题

第⑴问由三角形形似（或射影定理）求出相关线段的长，写出相应点的坐标。然后灵活设置二次函数式，用待定系数法求出二次函数式。

第⑵问，虽然题目要求是直接写出点E的坐标。但点E的坐标必须通过计算得到。而在计算的过程中，要考虑符合要求的等腰三角形的多样性，需分类讨论顶点、腰的对应情况。

第⑶问是本题的难点。题中的面积表示，要结合P（m，n）在抛物线上，充分利用点的坐标的几何意义，或是利用平面几何的性质，有效表示△BCD的面积，将不能直接表示的三角形面积转化为能用已知线段和P点坐标表示的面积。方法1是将四边形分割成两个三角形△POC、△POD，方法2，是通过过D点作垂线，直接将△BDC转化为△PDM、△CDM。

2．3极端值思想

代表性题型：动态几何问题，动态函数问题。

例3．已知

为线段

上的动点，点在射线上，且满足，且点

与点

（如图1所示）．

重合时（如图2所示），求线段的长；（1）当（2）在图1中，联结．当，且点在线段上时，设点之间的距离为，其中表示的面积，表示的面积，求关于的函数解析式，并写出函数定义域；

（3）当，且点

在线段的延长线上时（如图3所示），求的大小。

解析：（1）AD=2，且Q点与B点重合。由=1，∴PB（Q）=PC，△PQC为等腰直角三角形，BC=3，PC=Bccos45°=3³=。

（2）如图：作PE⊥BC，PF⊥AQ。BQ=x，则AQ=2－x。

由△BPF∽△BDP，==，又BF=PE

∴=，∴PF=PE

S△APQ=（2－x）PF，S△PBC=³3PE

∴y=（2－x）

P点与D点重合时，此时CQ取最大值。过D作DH⊥BC。

CD=，此时=，=，PQ=，BQ=AB－AQ=

∴函数的定义域：0≤x≤

(3)方法1：PQ/PC=AD/AB,假设PQ不垂直PC，则可以作一条直线PQ′垂直于PC，与AB交于Q′点，则：B，Q′，P，C四点共圆。

由圆周角定理，以及相似三角形的性质得：PQ′/PC=AD/AB，又由于PQ/PC=AD/AB 所以，点Q′与点Q重合，所以角∠QPC=90°

方法2：如图3，作PM⊥BC，PN⊥AB。由==，即==

∴△PNQ∽△PMC ∠MPC＝∠NPN，∴∠QPC=∠MPC＋∠QPB＝∠NPQ＋∠QPM＝90° 思想方法解读：这是一道动态几何的变式综合题。

第⑴问，线段的比值不变，Q在特殊点（与B点重合），由AD=AB=2，故PQ（B）=PC，△PQC为等腰直角三角形。利用几何性质可求出PC。

第⑵问中利用三角形相似比，结合已知条件中的固定线段比，找出△PAQ、△PBC高之间的比例关系，是求函数式的关键。而第二问中写出函数的定义域则是难点。需分析出P点运动的极端情况，当P与D重合时，BQ取得最大值。集合图形的几何性质及已知条件中的固定线段比，求出此时BQ的长度，既为BQ的最大值。体现极端值思想。

⑶中可以用四点共圆通过归一法求证，也可以通过构造相似形求证。

2．4数形结合思想（用好几何性质）代表性题型：函数与几何综合题。

例4．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=a（x+1）+c（a＞0）与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，其顶点为M,若直线MC的函数表达式为,与x轴的交点为N，且COS∠BCO＝。

⑴求次抛物线的函数表达式。

(2)在此抛物线上是否存在异于点C的点P，使以N、P、C为顶点的三角形是以NC为一条直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标：若不存在，请说明理由；

(3)过点A作x轴的垂线，交直线MC于点Q.若将抛物线沿其对称轴上下平移，使抛物线与线段NQ总有公共点，则抛物线向上最多可平移多少个单位长度?向下最多可平移多少个单位长度?

解析：⑴由直线y=kx－3与y轴交点坐标为C（0，－3）

抛物线y=a（x+1）+c（a＞0）开口向上，过C（0，－3）∴A、B在y轴两侧，B在y轴右侧。如图。

Rt△AOC中，OC=3，cos∠BCO= ∴BC=，OB=1

∴B（1，0）又B（1，0），C（0，－3）在y=a（x+1）+c上 ∴抛物线解析式y=x+2x－3

⑵由⑴抛物线顶点M（－1，－4），直线y=kx－3过M，∴直线解析式y=x－3 ∴N（3，0）∴△NOC为等腰直角三角形

假设抛物线上存在点P使△NPC为以NC为一条直角边的直角三角形。①PC为另一条直角边。PC⊥CN，而A与N关于y轴对称在抛物线上。∴存在P1（－3，0）使△NPC为以NC为一条直角边的直角三角形

②PN为另一条直角边。PN⊥CN，则∠PNO=45°设PN交y轴于点D，则D（0，3）PN所在直线y=－x+3

由解得

∴存在P2（，），P3（，）使△NPC为以NC为一条直角边的直角三角形。

满足条件的点有P1（－3，0），P2（，），P3（，）

⑶①若抛物线沿对称轴向上平移。设向上平移b个单位（b＞0）。此时抛物线的解析式为：y=x+2x－3+b

抛物线与线段NQ总有交点，即由抛物线解析式、直线MC所在直线解析式组成的方程组有解。由消除y得x+x+b=0，Δ=1－4b≥0，∴0＜b≤ ∴向上最多可平移个单位

②若向下平移b个单位（b＞0），设y=x+2x－3－b 由y=－x+3，可求得Q（－3，－6），N（3，0）对于抛物线y=x+2x－3－b

当x＝－3，y=－b，抛物线与直线y=－x+3有交点，则需－b≥-6，b≤6 当x=3时，y=12－b，抛物线与直线y=－x+3有交点，则12-b≥0，b≤12。∴向下最多可平移12个单位。

思想方法解读：本题还是一道二次函数与平面几何综合的压轴题。

第⑴问中，由直线解析式求出C点坐标，由C点坐标结合a＞0，判定抛物线与x轴交点的大致位置。并结合cos∠BCO=，求出B点坐标，在根据待定系数法求出抛物线的解析式。

第⑵问，以NC为直角边的直角三角形，应分C、N分别为直角顶点分类讨论。结合相应点的坐标及垂直条件，利用45°角的几何性质，分析得到A点满足条件，并求出PN⊥NC时，PN所在直线的解析式，是解题的关键。

第⑶问是本题的难点。分抛物线向上、向下平移两种讨论。向上平移时，需抛物线与直线NQ有交点，由判别式可确定平移b的范围；向下平移时，线段NQ是否与抛物线相交，关键是两个端点N、Q是否在抛物线外侧。只要取两个端点刚好在抛物线上的特殊情况，进行分别判断，求出满足条件的b的范围即可，体现出用极端值解题的思想。

反思：由以上的试题可看出，在中考压轴题中所体现出的数学思想方法并不是单一的，一般每道中考压轴题均综合体现了两到三种不同的数学思想方法。我们在求解压轴题时，一定要结合题型特征，注意一些常见的数学思想方法的灵活运用。

3用好二次根式的两个隐含条件教师：陈冬艳课时：一课时课型：习题课

目标：会利用二次根式

隐含条件⑴a≥0；⑵必满足：⑴a≥0；⑵

≥0解题

≥0。这两个条件在实际问题中一般都不直过程：二次根式接给出，称为隐含条件。

例1 判断下列式子有意义的条件：

⑴++1； ⑵

解：⑴要式子有意义，必有解得 ∴x≥

即x≥时，式子++1有意义。

⑵要式子有意义，必有，∵分式的分母不为0，且分母x2是非负数，∴x≠0，则有-x-1≥0，x≤-1。∴x≤-1时，式子例2 已知实数a满足分析：二次根式解：由 ∴ 由

有意义。=a，求a-20052的值。