高中数学常用公式

2024-06-18

高中数学常用公式（精选8篇）

1.高中数学常用公式篇一

错位相减法的简洁结论----公式化

错位相减法是推导等比数列前n项和公式的最简洁的方法之一,错位相减法还可以推广到求数列{anbn}的前项和,其中{an}是等差数列,公差为不为0,{bn}是等比数列,公比不为1.例:数列{an}的前n项和为Sn,a11,an12Sn,求数列{nan}的前n项和Tn.分析:当n1时,由an12Sn得an2Sn1,两式相减得an13an,所以数列{an}从第二项开始成等比,又a22S12a12,所以an23n2,因为a11不满足此式,所以nan1,n12n3n2,n1.Tn14306318322(n2)3n42(n1)3n32n3n23Tn34316328332(n2)3n32(n1)3n22n3n1两式相减: 2Tn22(3132333n33n2)2n3n1

33n1222n3n1(2n1)3n11

13所以: Tn(n)3n1.又因为T1a11也满足上式,所以: Tn(n)3n1,nN

错位相减法程序化的步骤让学生容易掌握和理解,但因计算量较大,学生常会因为计算的原因导致出错.如果错位相减法可以简化为一种形式简单的结论,我们又何乐而不为呢? 笔者在教学过程中发现,通项形如an(xny)qn,(q1,q0,x0)的数列,其前n项和必定形如Sn(AnB)qn1C,这个结论可以由错位相减法证明,就留给读者去证了,我简单从另外一个方法求得A,B, 因为: SnSn1[(AnB)qn1C][(AnAB)qnC]

12121212[A(q1)nB(q1)A]qn(xny)qn

对比系数得: AxyA,B,此时C可以由S1a1求得.q1q1上例中,设bnnan,则当n1时,b11,当n1时,bn2n3n2.根据公式有: A201111,B,所以Tn(n)3n1C, 3131221212又因为: T1Cb11C 所以:Tn(n)3n1,nN

解题思路和过程固然是重要的,但简洁的结论也很重要,它可以使我们少走弯路,少做重复的工作.单方面去强调过程或结论都是不可取的,在教学中,应让学生掌握好错位相减法的思想精髓上,再引出这个结论,才不会顾此失彼.从例题中可以看出,即使所求数列的首项不满足(xny)qn,也不会影响使用公式求和,但若所求数列前k项不满足(xny)qn,则求和结果必须加上条件nk,此时公式中的C值该由前k项和求出,当nk时,前n

1212项和须看具体情形而定.

2.高中数学常用公式篇二

中学数学中的方差公式在数学解题中有着极其广阔的应用价值, 然而由于统计初步列入中学数学时间不长, 因而有关方差公式在数学解题中的应用资料甚少. 为延伸教材内容、紧跟素质教育和新课程改革的步伐, 下面我们将方差公式在解高中数学竞赛题中的应用举例介绍如下, 供师生参考.

1 方差公式引理

如果 $\bar{x}$ 为一组数据x1, x2, …, xn的平均数, S2为这组数据的方差, 则有

$\begin{array}{l} S^{2} = \frac{1}{n} [(x_{1} - \bar{x})^{2} + (x_{2} - \bar{x})^{2} + \dots \\ + (x_{n} - \bar{x})^{2}] \\ = \frac{1}{n} [(x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + \dots + x_{n}^{2}) - n \bar{x}^{2}] \\ = \frac{1}{n} [\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n \bar{x}^{2}] . \end{array}$

2 典型例题解析

本文以竞赛试题为例, 谈谈如何利用方差公式解高中竞赛题.

2.1 求最大值

例1 (1993年全国高中数学联赛题) 实数x, y满足4x2-5xy+4y2=5, 设S=x2+y2, 则 $\frac{1}{S_{\max}} =$ __.

解设x2+y2=t, 则视x, y为一组数据, 由方差公式, 得

$\begin{array}{l} S^{2} = \frac{1}{2} [(x^{2} + y^{2}) - 2 \cdot (\frac{x + y}{2})^{2}] \\ = \frac{1}{2} [(x^{2} + y^{2}) - \frac{x^{2} + 2 x y + y^{2}}{2}] \\ = \frac{(x^{2} + y^{2}) - 2 x y}{4} = \frac{t - 2 x y}{4} . (1) \end{array}$

因为4x2-5xy+4y2=5, 所以

$x y = \frac{4}{5} (x^{2} + y^{2}) - 1 = \frac{4}{5} t - 1 .$

代入 (1) 中, 得

$S^{2} = \frac{t - \frac{8}{5} t + 2}{4} = \frac{- 3 t + 10}{20} \geq 0,$

所以 $3 t - 10 \leq 0, t \leq \frac{10}{3} .$

即 $S_{\max} = \frac{10}{3}, \frac{1}{S_{\max}} = \frac{3}{10} .$

2.2 求最小值

解视s+5-3|cos t|, 2|sin t|-|s|为一组数据, 由方差公式得

$\begin{array}{l} S^{2} = \frac{1}{2} [(s + 5 - 3 | \cos t |)^{2} \\ + (s - 2 | \sin t |)^{2} \\ - \frac{1}{2} (s + 5 - 3 | \cos t |) \\ + 2 | \sin t | - s)^{2}] \\ \geq 0, \end{array}$

$\begin{array}{l} 即 (s + 5 - 3 | \cos t |)^{2} + (s - 2 | \sin t |)^{2} \\ \geq \frac{1}{2} (s + 5 - 3 | \cos t | + 2 | \sin t |) - s)^{2} \\ = \frac{1}{2} (5 - 3 | \cos t |) + 2 | \sin t |)^{2} \\ = \frac{1}{2} (5 + 2 \sin θ - 3 \cos θ)^{2} \\ = \frac{1}{2} [5 + \sqrt{13} \sin (θ - φ)]^{2}, \end{array}$

其中 $θ \in [0, \frac{π}{2}], \sin θ = | \sin t |, \cos θ = | \cos t |, \sin φ = \frac{3 \sqrt{13}}{13}, \cos φ = \frac{2 \sqrt{13}}{13}$ .显然当θ=0 (此时t=kπ, k∈Z, s可取任意实数) 时, 原式可达到最小值2.

2.3 解方程

例3 (南昌市高中数学竞赛题) 解方程 $4 (\sqrt{x} + \sqrt{y - 1} + \sqrt{z - 2} = x + y + z + 9 .$

解设 $\sqrt{x} = a, \sqrt{y - 1} = b, \sqrt{z - 2} = c$ , 则x=a2, y=b2+1, z=c2+2.原方程化为

4 (a+b+c) =a2+b2+c2+12,

即 a2+b2+c2=4 (a+b+c) -12.

视a, b, c为一组数据, 由方差公式得

$\begin{array}{l} S^{2} = \frac{1}{3} [(a^{2} + b^{2} + c^{2}) - \frac{1}{3} (a + b + c)^{2}] \\ = \frac{1}{3} [4 (a + b + c) - 12 - \frac{1}{3} (a + b + c)^{2}] \\ = - \frac{1}{9} (a + b + c - 6)^{2} . \end{array}$

因为S2≥0, 所以

$- \frac{1}{9} (a + b + c - 6)^{2} \geq 0$ ,

从而 (a+b+c-6) 2=0,

即 a+b+c=6.

故有S2=0, 从而a=b=c=2.

故x=4, y=5, z=6.经检验是方程的解.

2.4 解方程组

例4 (法国高中数学竞赛题) 解方程组

${\begin{cases} x + y + z = 1, \\ x^{2} + y^{2} + z^{2} = \frac{1}{3} . \end{cases}$

解视x, y, z为一组数据, 则由方差公式, 得

$\begin{array}{l} S^{2} = \frac{1}{3} [(x^{2} + y^{2} + z^{2}) - 3 (\frac{x + y + z}{3})^{2}] \\ = \frac{1}{3} [\frac{1}{3} - 3 (\frac{1}{3})^{2}] = \frac{1}{3} \times 0 = 0 . \end{array}$

而由方差公式的推导可知:若 $(x_{1} - \bar{x})^{2} + (x_{2} - \bar{x})^{2} + \dots + (x_{n} - \bar{x})^{2} = n S^{2} = 0$ , 则有 $x_{1} = x_{2} = \dots = x_{n} = \bar{x}$ .本题中, $x_{1} = x, x_{2} = y, x_{3} = z, n = 3, S = 0, \bar{x} = \frac{x + y + z}{3} = \frac{1}{3}$ , 故有

$(x - \frac{1}{3})^{2} + (y - \frac{1}{3})^{2} + (z - \frac{1}{3})^{2} = 0,$

即 $x = y = z = \frac{1}{3} .$

2.5 求最值范围

例5 (美国第七届IMO试题) 设实数a, b, c, d, e适合a+b+c+d+e=8, a2+b2+c2+d2+e2=16, 试确定e的取值范围.

解由已知得

视a, b, c, d为一组数据, 则由方差公式,

所以 $0 \leq e \leq \frac{16}{5} .$

2.6 证明不等式

例6 (1988年四川省高中数学联赛题) 已知:实数xi (i=1, 2, …, n) 满足 $\sum_{i = 1}^{n} x_{i} = a (a > 0), \sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} = \frac{a^{2}}{n - 1}, n \geq 2, n \in Ν$ .求证 $0 \leq x_{i} \leq \frac{2 a}{n} (i = 1, 2, \dots, n) .$

证明由题意知

$\begin{array}{l} x_{2} + \dots + x_{n} = a - x_{1}, \\ x_{2}^{2} + \dots + x_{n}^{2} = \frac{a^{2}}{n - 1} - x_{1}^{2} . \end{array}$

则由方差公式, 得

由S2≥0得

$\frac{- n x_{1}^{2} + 2 a x_{1}}{(n - 1)^{2}} \geq 0$ ,

解得 $0 \leq x_{1} \leq \frac{2 a}{n} .$

同理可证 $0 \leq x_{i} \leq \frac{2 a}{n} (i = 1, 2, \dots, n) .$

如果在这道竞赛题中, 令a=8, n=5, 则成为美国第七届IMO试题, 见例5.

2.7 求整式值

例7 (2008年合肥市高中数学竞赛题) 已经△ABC的三边a, b, c满足 (1) a>b>c; (2) 2b=a+c; (3) b是正整数; (4) a2+b2+c2=84.求b的值.

解因为2b=a+c, 所以a+b+c=3b.视a, b, c为一组数据, 则由方差公式, 得

因为S2≥0, 所以28-b2≥0, 得b2≤28.

又由2b=a+c, 有

4b2=a2+c2+2ac=84-b2+2ac.

而a>0, c>0, 所以4b2>84-b2, 得

$16 \frac{4}{5} < b^{2} \leq 28 .$

因为b是正整数, 所以b=5.

2.8 求根式值

例8 (2008年庆阳市高中数学竞赛题) 已知实数a, b, c, d满足a+b+c+d=4, a2+b2+c2+d2=4, 求 $\sqrt{a b c d}$ 的值.

解 $\bar{x} = \frac{1}{4} (a + b + c + d) = \frac{1}{4} \times 4 = 1,$

视a, b, c, d为一组数据, 由方差公式得

$\begin{array}{l} S^{2} = \frac{1}{4} [(a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2}) - 4 (\bar{x})^{2}] \\ = \frac{1}{4} (4 - 4 \times 1) = 0, \\ (a - 1)^{2} + (b - 1)^{2} + (c - 1)^{2} + (d - 1)^{2} \\ = 4 S^{2} = 0, \end{array}$

故由非负数性质得

a=b=c=d=1,

所以 $\sqrt{a b c d} = 1 .$

2.9 求对数值

例9 (2007年南京市高中数学竞赛题) 已知x, y, z均为实数, 且满足x+y+z=2, x2+y2+z2=4, 求 $\log_{\frac{3}{8}} (z_{\max} - z_{\min}) =$ __.

解视x, y为一组数据, 则由方差公式, 得

$S^{2} = \frac{1}{2}$ $(x^{2} + y^{2}) - 2 (\frac{x + y}{2})^{2}$

$= \frac{1}{2}$ $(4 - z^{2}) - (\frac{2 - z}{2})^{2}$

$\begin{array}{l} = \frac{8 - 2 z^{2} - 4 + 4 z - z^{2}}{4} \\ = \frac{4 - 3 z^{2} + 4 z}{4} \geq 0, \end{array}$

所以 3z2-4z-4≤0,

解之得

$\begin{array}{l} - \frac{2}{3} \leq z \leq 2 ‚ 即 z_{\max} = 2, z_{\min} = - \frac{2}{3}, \\ \log_{\frac{3}{8}} (z_{\max} - z_{\min}) = \log_{\frac{3}{8}} \frac{8}{3} = - 1 . \end{array}$

2.10 证明几何题

例10 (2008年昆明市高中数学竞赛题) 设△ABC的三边a, b, c满足:b+c=8, bc=a2-12a+52.求证:△ABC是等腰三角形.

证明由已知, 得

b2+c2=64-2bc=-2a2+24a-40.

视b, c为一组数据, 由方差公式得

$\begin{array}{l} S^{2} = \frac{1}{2} [(b^{2} + c^{2}) - \frac{1}{2} (b + c)^{2}] \\ = \frac{1}{2} [(- 2 a^{2} + 24 a - 40) - \frac{1}{2} \times 8^{2}] \\ = - (a - 6)^{2} \geq 0 . \end{array}$

因为S2≥0, 所以

- (a-6) 2≥0, (a-6) 2=0, a=6.

所以S2=0, b=c=4.故△ABC是以a为底, b, c为腰的等腰三角形.

综上所述可知:应用方差公式解高中数学竞赛题, 其关键在于根据题设, 寻找出一组数据, 再运用方差公式写出 $S^{2} = \frac{1}{n} [(x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + \dots + x_{n}^{2}) - n \bar{x}^{2}] = \frac{1}{n}$ $\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n \bar{x}^{2}$ 的等式, 然后通过化简运算解不等式, 去求解.

此法富有新意, 具有规律, 解题明晰, 易于理解, 值得重视.

总之, 加强方差公式的研究, 符合新课程改革关于“以课程标准为指导, 以教材为基础, 合理使用课本, 加强教学科研”的理念要求, 有利于培养学生的探索精神和创新意识, 有利于指导学生启迪思维、开拓视野, 有利于学生数学思维能力和综合运用知识的解题能力的提高, 有利于培养学生感悟数学、掌握基础知识和基本技能及方法, 提高综合解题水平, 有利于培养学生的思维品质, 有利于调动学生学习的积极性, 有利于提高学生的专题总结水平.故笔者认为:在今后的教学过程中, 适当引导学生进行这样的专题研究是很有必要的.

3 练习题

1. (上海市高中数学竞赛题) 已知实数x, y, z满足试求x2y+z的值.

提示:视x, 3y为一组数据.答案:9

2. (前苏联奥尔德荣尼基市中学竞赛题) 已知x+y+z=1, 求证: $x^{2} + y^{2} + z^{2} \geq \frac{1}{3} .$

提示:视x, y, z为一组数据, 结合S2≥0得证.

3. (2005年贵州省安顺市高中数学竞赛题) 已知实数x, y, z, 且 $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1, x + y + z = \frac{3}{2}$ , 则 $\sqrt{y_{最大值} + y_{最小值}} =$ __.

提示:视x, z为一组数据, 由方差公式得12y2-12y+1≤0, 解得

$\begin{array}{l} \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{6}}{6} \leq y \leq \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{6}}{6}, \\ \sqrt{y_{最大值} + y_{最小值}} \\ = \sqrt{(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{6}}{6}) + (\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{6}}{6})} = 1 . \end{array}$

4. (吉林省高中数学竞赛题) 设实数a, b, c满足

${\begin{cases} a^{2} - b c - 8 a + 7 = 0, (1) \\ b^{2} + c^{2} + b c - 6 a + 6 = 0 . (2) \end{cases}$

则a的取值范围是__.

提示: (1) + (2) , 得

b2+c2=-a2+14a-13.

(2) - (1) , 得

(b+c) 2= (a-1) 2.

由方差公式, 得实数b, c的方差为

$\begin{array}{l} S^{2} = \frac{1}{2} [(b^{2} + c^{2}) - \frac{1}{2} (b + c)^{2}] \\ = - \frac{3}{4} (a^{2} - 10 a + 9) . \end{array}$

而S2≥0, 所以a2-10a+9≤0, 即1≤a≤9.

5. (第二届美国数学奥林匹克试题) 解方程组

${\begin{cases} x + y + z = 3, \\ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 3, \\ x^{3} + y^{3} + z^{3} = 3 . \end{cases}$

提示:视x, y, z为一组数据, 由方差公式得

$\begin{array}{l} S^{2} = \frac{1}{3} [(x^{2} + y^{2} + z^{2}) - \frac{1}{3} (x + y + z)^{2}] \\ = \frac{1}{3} (3 - \frac{1}{3} \times 3^{2}) = 0 . \end{array}$

故原方程组有唯一实数解x=1, y=1, z=1.

参考文献

[1]于志洪.用方差公式求值[J].数学学习, 2001, (4) :6-7.

[2]于志洪, 樊增华.利用方差公式求最大值[J].中学数学, 2004, (9) :20-21.

3.略谈高中数学公式的教学策略篇三

[关键词]公式问题情境设探究合作数学思想方法

[中图分类号] G633.6 [文献标识码] A [文章编号] 16746058（2015）200012

高中数学的学科特点就是公式、定理、符号和法则多.数学公式教学是否有效对学生的数学思维和数学能力的培养有很大的影响，公式教学也直接影响学生对数学方法的掌握和运用.在进行数学公式教学时，要分析学生的能力和心理特点，根据不同的公式，采用不同的教学方法进行教学，

努力改变高中数学公式教学中学生死记硬背的接受型学习现状.

做到因“式”施教，让学生在学习数学公式的过程中有所思、有所获、有所悟.倡导学生参与课堂教学的各个环节，彼此合作探究，体验数学公式的形成过程，培养学生

的数学学习兴趣，提高学生的学习能力

.在数学公式的教学中，讲究教学策略会达到事半功倍的效果.

下面笔者谈谈高中数学公式教学的几点策略.

一、创设问题情境，产生探究欲望

课堂是以情境引入而开始的，良好的开始是成功的一半.如果教师希望顺利完成教学任务，学生能愉快学习，那么就要在创设情境上下工夫.情境设计是否有效是能否让学生初步产生探究思维趋向的关键.在公式教学中，为了公式探究的需要，教师需要根据公式的内容，设计好问题情境，调动学生进一步探究公式的积极性.适宜的情境设计有利于学生激发求知的欲望，形成良好的情感体验，有利于营造课堂生动活泼的氛围和启迪学生的创造性思维.但有的教师不考虑设计的情境是否适应于本公式的教学，一味地设计无用的情境，效果是适得其反.在情境创设中，不要追求外表的热烈，追求花样，占用过多的课堂时间，减弱其他教学程序.

二、引领探究合作，感知公式雏形

在适宜的情境中，学生会产生强烈的探究意识和急于渴望的求知心态，这时教师就要顺势利用学生的热情，积极引导学生快速进入公式的探究状态，体验公式的形成历程，实现知识的“再创造”.在公式的形成过程中，需要逐步培养学生的探究合作能力，引导学生运用新旧知识创造性地解决遇到的新问题.数学公式是数学中最简单的语言、最完美的符号表达，而公式的源起过

程都存在真实的观察、猜想、探究与证明.公式不仅仅是

文字与符号的堆砌，而且充满人的思维过程.因此，在教学中，教师要把自己置于学生学习活动的组织、引导、合作的地位，为学生搭建自主探究的平台，设计探究问题的情境，促进学生对问题的理解与思考，引导学生自我探究、相互合作、大胆发现，把“教数学”变成学生自主地“学数学”，真正展现公式中蕴含的思维过程.

三、归纳公式推导，感悟数学方法

公式的证明与推导阶段需要教师的引导和启发.分析公式的条件与结论时，可利用已有的知识与经验，探索构造公式的证明与推导.在这个过程中，学生理解了数学公式的逻辑意义，也收获了数学思想方法及证明的策略和技巧.公式的证明过程体现了比较丰富的数学思想和解题方法，学生在公式的推证中可以学习推证的思路，掌握好的方法与技巧.可见，归纳公式推导，感悟数学方法是数学公式教学不可或缺的环节.

教师需要及时挖掘和提炼

公式推导中蕴含的数学思想方法，并努力将数学公式的教学课发展为以知识为明线，以思想为暗线的教学过程.随着数学不同公式教学的探索，反复分析与提炼、归纳概括、反思，学生数学思想方法的获得不再是困难的事情.

四、强化公式变形，巩固公式应用

通过课堂上的合作探究，学生对数学公式已经有了一定的认识.

公式呈现形式是多样的，公式应用是灵活的.

虽然学生掌握了数学公式，但还没有达到灵活运用、举一反三的程度.

在初级的公式直接运用后，教师就要展开实质性训练.如公式的逆用、公式的变形运用，直至最后迁移训练，使学生对数学公式从理解到内化，逐步得到升华.数学知识相互联系，公式与其他知识之间构成的问题较复杂，教师也可以根据教学实际进行适当的引导.学生学会灵活应用公式，在解决问题时便能举一反三、触类旁通.

五、随堂练习检测，产生积极情感

随堂练习检测不是平时的测试或者考试，它突显学生对本课学习内容的掌握情况，具有即时功能.随堂检测的目的一方面是检验学生对本节课的公式学习的落实情况，同时教师也可以根据检测反馈的问题及时发现教学方面的不足；另一方面是通过随堂练习检测使学生产生积极的情感.积极的情感体验是学生在学有所获时表现出的愉悦的心理状态，它可以增强学生学习数学的自信心.同时，也是学生继续学习的动力.

根据最近发展区理论，随堂练习检测的设置不能太高，也不要太低.因此，检测题目的难度要适中，要针对本节公式的内容设计，注重题型的典型性、层次性和目的性.在此环节，教师也起到决定性的作用.教师对要检测的题目数量、难易、形式等精心掌控，及时反馈随堂检测的结果，学生可以相互批改，也可以自批，或者学生回答，但教师要给予当堂评价，指出随堂练习中的问题.

六、课堂反思小结，完善知识内化

反思是数学思维活动的催化剂和动力剂，是数学课堂不可缺少的组成部分，它是学生对数学课堂的回顾、分析、总结、内化的良方.课堂反思小结能帮助学生加深对公式的理解，促进对公式的迁移与提升，从而实现公式纳入学生知识框架中的过程.在数学课堂中，教师要预留反思的时间，培养学生的反思意识，引导学生不断地进行回顾、思考、总结、提炼，达到数学思想和方法的升华，从而最终达到公式知识的内化.

4.小学生常用数学公式篇四

周长＝边长×4 C=4a 面积=边长×边长 S=a×a 2 正方体 V:体积 a:棱长

表面积=棱长×棱长×6

S表=a×a×6 体积=棱长×棱长×棱长

V=a×a×a 3 长方形 C周长 S面积 a边长

周长=(长+宽)×2 C=2(a+b)面积=长×宽 S=ab 4

长方体 V:体积 s:面积 a:长 b: 宽 h:高

(1)表面积(长×宽+长×高+宽×高)×2 S=2(ab+ah+bh)(2)体积=长×宽×高 V=abh 5 三角形 s面积 a底 h高

面积=底×高÷2 s=ah÷2 三角形高=面积 ×2÷底

三角形底=面积 ×2÷高

平行四边形 s面积 a底 h高

面积=底×高 s=ah 7

梯形 s面积 a上底 b下底 h高

面积=(上底+下底)×高÷2 s=(a+b)× h÷2 8 圆形 S面积 C周长 ∏ d=直径 r=半径

(1)周长=直径×∏=2×∏×半径 C=∏d=2∏r(2)面积=半径×半径×∏ 圆柱体 v:体积 h:高 s;底面积 r:底面半径 c:底面周长

(1)侧面积=底面周长×高

(2)表面积=侧面积+底面积×2(3)体积=底面积×高

（4）体积＝侧面积÷2×半径圆锥体 v:体积 h:高 s;底面积 r:底面半径

体积=底面积×高÷3 1 每份数×份数＝总数

总数÷每份数＝份数总数÷份数＝每份数1倍数×倍数＝几倍数

几倍数÷1倍数＝倍数几倍数÷倍数＝1倍数

速度×时间＝路程路程÷速度＝时间路程÷时间＝速度单价×数量＝总价总价÷单价＝数量总价÷数量＝单价工作效率×工作时间＝工作总量

工作总量÷工作效率＝工作时间

工作总量÷工作时间＝工作效率加数＋加数＝和

和－一个加数＝另一个加数被减数－减数＝差

被减数－差＝减数差＋减数＝被减数 8 因数×因数＝积积÷一个因数＝另一个因数被除数÷除数＝商

被除数÷商＝除数

商×除数＝被除数

总数÷总份数＝平均数

和差问题的公式(和＋差)÷2＝大数(和－差)÷2＝小数

和倍问题和÷(倍数－1)＝小数

小数×倍数＝大数(或者和－小数＝大数)差倍问题差÷(倍数－1)＝小数

小数×倍数＝大数(或小数＋差＝大数)植树问题 1 非封闭线路上的植树问题主要可分为以下三种情形: ⑴如果在非封闭线路的两端都要植树,那么: 株数＝段数＋1＝全长÷株距－1 全长＝株距×(株数－1)株距＝全长÷(株数－1)⑵如果在非封闭线路的一端要植树,另一端不要植树,那么: 株数＝段数＝全长÷株距

全长＝株距×株数株距＝全长÷株数

⑶如果在非封闭线路的两端都不要植树,那么: 株数＝段数－1＝全长÷株距－1

全长＝株距×(株数＋1)株距＝全长÷(株数＋1)2 封闭线路上的植树问题的数量关系如下

株数＝段数＝全长÷株距

全长＝株距×株数株距＝全长÷株数每份数×份数＝总数总数÷每份数＝份数总数÷份数＝每份数2、1倍数×倍数＝几倍数

几倍数÷1倍数＝倍数

几倍数÷倍数＝1倍数

3、速度×时间＝路程路程÷速度＝时间路程÷时间＝速度

4、单价×数量＝总价总价÷单价＝数量总价÷数量＝单价

5、工作效率×工作时间＝工作总量

工作总量÷工作效率＝工作时间

工作总量÷工作时间＝工作效率

6、加数＋加数＝和和－一个加数＝另一个加数

7、被减数－减数＝差被减数－差＝减数差＋减数＝被减数

8、因数×因数＝积积÷一个因数＝另一个因数

5.GRE数学考试常用公式参考篇五

(a+b)(a-b)=a2-b2(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2

(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 (a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3

一元二次方程ax2+bx+c=0的解x , =(-b±√b2-4ac)/2a

*Simple Interest:利息Interest=本金Principal3时间Time3利率Rate。

*Compound Interest:A=(1+R)n;A为本利和，P为本金,R为利率,n为期数。

*Discount=Cost3Rate of Discount*Distance=Speed3Time

*Pythagorean Theorem(勾股定理):直角三角形(right triangle)两直角边(legs)的平方和等于斜边 (hypotenuse)的平方。

*多变形的内角和：(n-2)×180°，总对角线数为n(n-3)/2条，从每一个顶点引出的对角线数为(n-3)条;式中：n为多边形的边数

*平面直角坐标系中，A(x1,y1)和B(x2,y2)是任意两点，C(x,y)是线段AB的中点，则x=(x1+x2)/2,,y=(y1+y2)/2,线段AB两端点间的距离=

*平面图形的周长和面积：

PerimeterArea

Triangle三边之和(底×高)/2

Square边长×4边长的平方

Rectangle(长+宽)×2长×宽

Parallelogram(长+宽)×2底×高

Trapezoid四边之和(上底+下底)×高/2

Rhombus边长×4两条对角线之积的1/2

Circle2πr=πdπr2

*立体图形的表面积和体积

VolumeSurface Area

Rectangular Prism长×宽×高2(长×宽+长×高+宽×高)

Cube棱长的立方6×棱长×棱长

Right Circular Cylinderπr2h2πr h(侧)+ 2πr2(底)

Sphere4πr3/34πr2

6.数学列方程解应用题的常用公式篇六

距离=速度·时间

时间距离速度=

速度距离时间=；（2）工程问题：

工作量=工效·工时

工时工作量工效=

工效工作量工时=；（3）比率问题：

部分=全体·比率

全体部分比率=

比率部分全体=；（4）顺逆流问题：

顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度；（5）商品价格问题：

售价=定价·折·101，利润=售价-成本，%100×−=成本成本售价利润率；（6）周长、面积、体积问题：C圆=2πR，S圆=πR2，C长方形=2(a+b)，S长方形=ab，C正方形=4a，S正方形=a2，S环形=π(R2-r2),V长方体=abc，V正方体=a3，V圆柱=πR2h，V圆锥=31πR2h 方程和方程组

（一）基本概念

方程：含有未知数的等式.方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值.根据方程的解的定义，要判断一个数是不是方程的解，可将这个数分别代入方程左右两边进行计算，如果左右两边相等，那么这个数就是方程的解.（如果要求把检验的过程写出来，同学们应注意格式）

解方程：求方程的解的过程.一元一次方程：含有一个未知数，并且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数是1的方程.二元一次方程：含有两个未知数，并且未知项的次数都是1的整式方程.二元一次方程组：两个二元一次方程合在一起构成的方程组.二元一次方程组的解：使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值.（二）基本方法

方程的两种基本变形：⑴方程两边都加上或减去同一个数或同一个整式，方程的解不变.⑵方程两边都乘以或都除以同一个不为零的数，方程的解不变.解一元一次方程的一般步骤和方法及注意事项：

变形名称

具体做法

注意事项

去分母

在方程两边都乘以各分母的最小公倍数

1.不要漏乘2.分子不是一个整体，去分母后应加上括号

去括号

先去小括号，再去中括号，最后去大括号

不要漏乘括号里的项

不要弄错符号

移项

把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边（记住移项要变号）

移项要变号

不要丢项

合并同类项

把方程化成ax＝b（a≠0）形式

字母及字母的指数不变

系数化成1 在方程两边都除以未知数的系数a,得到方程的解

不要把分子、分母搞颠到

解二元一次方程组：

⑴解二元一次方程组的基本思想是：消元

⑵解二元一次方程组消元时，常用的两种方法是：代入消元法和加减消元法.即：二元一次方程组一元一次方程

代入消元法的思路是：选择一个系数简单的方程变形，用一个未知数的代数式表示另一个未知数，然后代入另一个方程通过消去一个未知数，从而进行求解.加减消元法的思路是：使两个方程中对应的同类项系数变成相等或（互为相反数），然后把两个方程相减或（相加），通过消去一个未知数，从而进行求解.（三）方程和方程组的应用

1.方程和方程组的应用主要体现在两个方面：⑴解决一些纯数学的简单问题.⑵解决实际问题（即列方程或方程组解应用题）.其一般步骤主要是：

⑴理解题意（审题）

⑵把问题转化为方程或方程组（即建立方程或方程组的数学模型）

⑶解方程或方程组

⑷检验并作答

即：问题方程（组）解答

2.解决实际问题的分析和抽象通常包括：

⑴设元（用字母表示适当的未知数）

⑵找出问题所给出的数量的相等关系

⑶分析题意中的数量关系，列出相等关系需要的代数式.上述过程，应当注意的是：设元有直接设元和简接设元，恰当的设元，会给建立方程（组）带来方便。分析相等关系以及数量关系时，可借助一些方法比如“列表法”、“图示法”等帮助分析。另外在实际解决问题时，上面三项的顺序也并非固定的。

3.解实际问题的常见题型及数量关系：

⑴行程问题：路程＝速度×时间 ⑵工程问题：工作总量＝工作效率×工作时间

⑶浓度问题：溶质＝溶液×浓度

⑷利率问题：本息和＝本金＋利息，利息＝本金×利率×期数

⑸利润问题：利润＝成本×利润率，利润＝售价－成本

⑹价格问题：总价＝单价×数量

⑺水流问题：顺水速度＝静水速度＋水流速度，逆水速度＝静水速度－水流速度

此外还有：等积变形问题、数字问题、比例问题、调配问题、与几何图形相关的问题、„等。

应当注意的是：我们列出这些类型，并非让同学们按类型去解应用题，努力地去掌握分析问题的本领，才是学好的关健。

二、多边形

（一）最简单的多边形－三角形

1.三角形及有关概念

三角形：由三条不在同一条直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形.三角形的外角：三角形一边的延长线与三角形的另一边组成的角.如图1，∠ACD是△ABC的一个外角.三角形的中线：连结三角形的一个顶点和它对边中点的线段.如图2，AD是△ABC的中线，则BD＝CD＝BC

三角形的角平分线：三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段.如图2，AE是△ABC的角平分线，则∠BAE＝∠CAE＝∠BAC 三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边画垂线，顶点和垂足间的线段.如图2，AF是△ABC的高，则∠AFB＝∠AFC＝90°或AF⊥BC.请你分别在一个三角形中，画它的三条中线、三条角平分线、三条高，想一想，你能发现结论？

2.三角形的分类

⑴按角分类:

（2）按边分类：

三角形的按角分类很重要，在解决一些有关三角形的问题时，我们常将三角形按角分类，进行讨论.3.三角形的一般性质

⑴三角形的三边关系：三角形任意两边的和大于第三边

三角形任意两边的差小于第三边

⑵三角形角之间的关系：

三角形内角的关系：三角形内角的和等于180°

三角形外角与内角间的关系：

相等关系：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和

不等关系：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角

⑶三角形的边与角间的关系：

在三角形中相等的边所对的角也相等（即：等边对等角）

在三角形中相等的角所对的边也相等（即：等角对等边）

此外，三角形还具有稳定性.即：如果一个三角形的三边确定，则这个三角形的形状和大小就完全确定了.（二）多边形

1.研究多边形的有关问题常将多边形转化为三角形的问题，常用的一种方法是，从多边形的一个顶点出发作多边形的对角线，如图3所示，那么

⑴从n边形的一个顶点出发可作

条对角线.⑵从n边形的一个顶点出发的对角线把n边形分成个三角形

此外，还可以怎样把多边形分割为三角形，请想一想？

2.多边形的内角和与外角和

⑴ n边形的内角和为：(n－2)—180°

⑵ n边形的外角和为：360°

注意：多边形的外角和是指：在多边形的每一个顶点处取一个外角相加，得到的和.3.正多边形的有关计算

正n边形的内角：方法一(n－2)—180°/n，方法二 180°－360°/n.正n边形的外角：360°/n..（三）多边形知识的一个应用：用正多边形铺地板

1.用多边形围绕一点拼成一个不留空隙又不重叠的平面图形的关键是：几个多边形的内角相加为360°.2.用一种正多边形能铺满地面的是：正三角形、正方形、正六边形.3.用两种正多边形能铺满地面的常见组合是：⑴正三角形与正方形 ⑵正三角形与正六边形 ⑶正八边形与正方形 ⑷正三角形与正十二边形

三、轴对称

（一）轴对称

1.轴对称图形与轴对称的概念

⑴定义

轴对称图形：一个图形沿某条直线对折，对折的两部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形.轴对称：把一个图形沿某条直线对折，如果它能够与另一个图形重合，就说这两个图形成轴对称.⑵区别和联系

区别：⑴ 轴对称是对两个图形说的，轴对称图形是对一个图形说的.⑵ 轴对称表示两个图形之间的对称关系，轴对称图形表示某个图形特性.联系：⑴ 定义中都有一条直线，都要沿这条直线折叠后重合.⑵ 可互相转化.把轴对称图形的两部分看成两个图形，就是轴对称；把轴对称的两个图形看成一个图形，就是轴对称图形.2.性质

⑴轴对称图形的对应线段相等，对应角相等.⑵轴对称图形的对称点的连线的垂直平分线，就是该图形的对称轴.⑶轴对称图形的对应线段或延长线相交，其交点一定在对称轴上（此条供了解）.3.画法

如果图形是直线、线段、或射线组成时，那么在画它关于某条直线的对称图形时，只要画出图形中的特殊点的对称点，然后连结对称点，就可以画出关于这条直线的对称图形.画一个点的对称点分三步：作垂直---------顺延长--------取相等

（二）简单的轴对称图形

1.线段

垂直并且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫做中垂线

⑴线段是轴对称图形，对称轴是它本身所在的直线和它的垂直平分线.如图4所示.⑵线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.如图5，直线CD垂直平分AB，P是CD上任意一点，则PA＝PB 做一做：任意画一个三角形，分别画出它三边的垂直平分线，根据线段的垂直平分线的性质，你能得到什么结论？

.2.角

⑴角是轴对称图形，对称轴是它的角平分线所在的直线.如图6 所示

⑵角的平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等.如图7，OC平分∠AOB，点P是OC上任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，则PD＝PE 做一做：任意画一个三角形，分别画出它的三条角平分线，根据角的平分线的性质，你能得到什么结论？

.3.等腰三角形

⑴定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.⑵性质：等腰三角形是特殊的三角形，一般三角形具有的性质它都具有，另外它还具有：

①等腰三角形是轴对称图形，对称轴是底边的垂直平分线，如图8.②等腰三角形两底角相等.（简称为：等边对等角）

③等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称为：等腰三角形“三线合一”的性质）

怎样运用等腰三角形“三线合一”的性质呢？

在等腰三角形中，只要已知一条线段是等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高这三条线段中的其中一种线段，就可以得出这条线段也是另外两种线段.如图9，在△ABC中，下面的空格你能填出来吗？（括号里填根据）

Ⅰ.∵ AB＝AC，AD⊥BC（）

∴ ∠

＝∠

，＝

；（）

Ⅱ.∵ AB＝AC，AD是中线（）

∴

⊥，∠

＝∠

；（）

Ⅲ.∵ AB＝AC，AD是角平分线（）

∴

⊥，＝

.（）

⑶识别：①方法一：根据定义，看一个三角形是否有两条边相等.②方法二：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等.（简称为：等角对等边）

4.等边三角形

7.浅谈高中数学常用逻辑用语的应用篇七

一、类一:命题及关系

例1.命题“若a2+b2=0, 则a=0且b=0”的逆否命题是 (%%) 。

A.若a2+b2≠0, 且a≠b且b≠0.

B.若a2+b2≠0, 且a≠0且b≠0.

C.若a=0且b=0, 则a2+b2≠0.

D.若a≠0或b≠0, 则a2+b2≠0.

解析:先求其逆命题为“若a=0且b=0, 则a2+b2=0”, 再将逆命题否定“若a≠0或b≠0, 则a2+b2≠0”, 选D。

考点:逆否命题。

练习1:下列有关命题的说法正确的是 () 。

A.命题“若x2=1, 则x=1”的否命题为:“若x2=1, 则x≠1”.

B.“x=-1”是“x2-5x-6=0”的必要不充分条件.

C.命题“∃x∈R, 使得x2+x=1<0”的否定是:“对∀x∈R均有x2+x=1<0”.

D.命题“若x=y, 则sinx=siny”的逆否命题为真命题.

解析:A中, 否命题应为若x2≠1, 则x≠1;B中, , 应为充分不必要条件;C中, 命题的否定应为:对∀x∈R, 均有x2+x=1≥0;D中, 原命题为真, 则逆否命题也为真。

考点:命题的否定;四种命题。

二、类二:充分条件与必要条件

例2.已知命题, 命题q: (x+a) (x-3) >0, 若p是q的充分不必要条件, 则实数a的取值范围是 () 。

综上所述得a≤-1。

练习2.条件p: (x-2) 2≤1, 条件, 则q是p的 () 。

A.充要条件 B.充分不必要条件

C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

解析:本题考查充要条件的判断。

则Q⊂P, 即Q是P的真子集, 故q是p的充分不必要条件。

三、类三:全称量词与存在量词

例3:

1.已知命题P:∀x>2, x3-8>0, 那么是 () 。

解析:因为全称命题的否定是特称命题, 所以命题P∀x>2, x3-8>0的否定是, 故选B。

考点:全称命题与特称命题的定义。

练习3.命题p:∀x∈R, x2+1≥1, 则是 () 。

解析:因为全称命题“∀x∈Q, q (x) ”的否定形式是, 所以一方面需要把原命题p中的全称量词改为存在量词, 另一方面把x2+1≥1全盘否定为x2+1<1。

摘要：一是理解联结词的意义, 二是理解四种命题及其关系, 三是掌握充分条件、必要条件及充分条件的意义。本节是高考必考内容之一。

8.高中数学新课导入的几种常用方法篇八

一、直接导入法

直接导入法又叫“开门见山”导入法.当一些新授的数学知识难以借助旧知识引入时，可开门见山点出课题,直接唤起学生的学习兴趣.例如，在讲授《二面角》的内容时，可这样引入：“两条直线所成的角，直线和平面所成的角，我们已经掌握了它们的度量方法，那么两个平面所成的角怎样度量呢？这节课我们就来学习这个内容——二面角和它的平面角！”这样导入，直截了当，促使学生迅速集中到新知识的探索中.

二、类比导入法

有些课题内容与前面学过的知识类似时，可运用类比法提出新课内容，促使知识的迁移，比旧出新，自然过渡.例：讲指数、对数不等式的解法时，可类比指数和对数方程的解法提出课题；讲双曲线、抛物线的概念和性质时可类比椭圆的概念和性质学习，从而加深学生对知识的理解.有针对性地选择某个知识点进行类比，可以将“已知”和“未知”自然地连接起来，使温故成为知新的基石，课堂教学可望收到满意的效果.

三、发现导入法

启发学生从某些现象中发现某些规律从而导入新课，这种方法可使学生在发现的喜悦中提高学习的兴趣，同时也有利于学生对新知识的理解和记忆.例：讲授立体几何的《锥体体积》时，教师拿一个圆柱形容器和一个与圆柱等底等高的圆锥形容器，当装满圆柱的沙倒入圆锥形容器中恰好倒满三次时，问学生：“你们能发现它们体积的关系吗？”学生立即就能悟出圆锥体积等于等底等高圆柱体积的三分之一.在此基础上,教师进一步引导：“这个体积上的三分之一的关系是否对等高等底的各种形状的锥体和柱体都成立？若成立，怎样从理论上严格证明这一结论呢?”这样导入新课就把学生从生动的实验所得到的发现引向严密的逻辑推理，对教材来说，这是一种自然的过渡，对学生来说，则成为一种思维上的需要和满足.

四、设疑导入法

教师对某些内容故意制造疑团而成为悬念，提出一些必须学习了新知识才能解答的问题，点燃学生的好奇之火，激发学生的求知欲，从而形成一种学习的动力.例：讲授《余弦定理》时，可如下设置：我们都熟悉直角三角形的三边满足勾股定理： c²=a²+b²，那么非直角三角形的三边关系呢？锐角三角形的三边是否有c²=a²+b²-x？钝角三角形中钝角的对边是否满足关系c²=a²+b²+x？假若有以上关系，那么x=？教师从这个具有吸引力和启发性的“设疑”引入了对余弦定理的推理和证明.学生带着这个疑团来学习新课，不仅能提高注意力，而且这个结论也将使学生经久不忘.

五、趣味导入法

新课开始可讲与数学知识有关的小故事、小游戏或创设情境等，适当增加趣味成分，可以提高学生的学习兴趣，增强学生的学习主动性.例如：讲授《等差数列的求和公式》时，先引入高斯的故事：十八世纪，在高斯八岁时，他的算术老师出了一道题：计算从1到100的和.小高斯只用了极短的时间就得出了结果：5050.教师接着问大家：“同学们知道他是怎样算出来的吗？”由于大多数学生在小的时候都听过这个故事，都回答说：“他把算式两端的数以及与两端等距离的两数相加，这样一共有50个101，所以很快就得出了5050.”教师接着说：“他的算法也可解释成这样：把原式的数顺序颠倒，两式相加成为：

1+2+3+…+100

+）100+99+98+…+1

_______________________________

101+101+101+…+101=101×100

再被2除就得到原式的和了.”（教师实际上是在做进一步的启发）教师：“那么对一般的等差数列[WTBX]{a璶}前n项和S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n又该如何求呢？这节课我们就来研究这个问题.”这样通过故事激发学生强烈的求知欲，经过引导探讨，学生较快地掌握了数列的求和方法——倒序相加法，得出了等差数列的前n项和公式：

S_n=n（a₁+a_n）/2.

总之，数学教学中的新课导入法是灵活多样的，平时在教学实践中，可根据实际情况选取恰当的导入法，有时也可把几种方法有机地结合在一起，使学生从“苦学”步入“乐学”的境界，在品质、知识、能力等各方面都得到高度发展.

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