高中数学数列公式及结论总结

高中数学数列公式及结论总结（共3篇）（共3篇）

1.高中数学数列公式及结论总结 篇一

海南教师资格考试|高中数学常用公式及常用结论十三

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在海南教师资格中学教师资格考试中，高中数学常用公式及常用结论知识点的复习向来是考生复习备考阶段的一大重点，其中中公教师考试网为高中数学常用公式及常用结论知识点的复习为考生提供知识点梳理，帮助考生备考！

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2.数列通项公式方法总结 篇二

解：由an+1=2Sn+1

得an=2Sn-1+1(n≥2)

两式相减，得an+1-an=2an

∴an+1=3an (n≥2)

∵a2=2Sn+1=3

∴a2=3a1

∴{an}是以1为首项，3为公比的等比数列

∴an=3n-1

(3)an+1=an+f(n)，用叠加法

思路：令n=1，2，3，……，n-1

得a2=a1+f(1)

a3=a2+f(2)

a4=a3+f(3)

……

+)an=an——1+f(n-1)

an=a1+f(1)+f(2)+…+f(n-1)

例5、若数列{an}满足a1=2，an+1=an+2n

则{an}的通项公式=( )

解：∵an+1=an+2n

∴a2 =a1+2×1

a3=a2+2×2

a4=a3+2×3

……

+)an=an——1+2(n-1)

an=a1+2(1+2+3+…+n-1)

=2+2×(1+n-1)(n-1)

=n2-n+2

(4)an+1=f(n)an，用累积法

思路：令n=1，2，3，……，n-1

得a2 =f(1)a1 a3=f(2)a2 a4=f(3)a3

……

×)an=f(n-1)an-1

an=a1·f(1)·f(2)·f(3)……f(n-1)

例6、若数列{an}满足a1=1，an+1=2n+an，则an=( )

解：∵an+1=2nan ∴a2 =21a1

a3=22a2 a4=23a3

……

×) an=2n——1·an——1

an=2·22·23·……·2n-1a1=2n(n-1)/2

(5)an=pan——1+q， an=pan——1+f(n)

an+1=an+p·qn(pq≠0)，

an=p(an——1)q， an+1=ran/pan+q=(pr≠0，q≠r)

(p、q、r为常数)

这些类型均可用构造法或迭代法。

①an=pan——1+q (p、q为常数)

构造法：将原数列的各项均加上一个常数，构成一个等比数列，然后，求出该等比数列的通项公式，再还原为所求数列的通项公式。

将关系式两边都加上x

得an+x=Pan——1+q+x

=P(an——1 + q+x/p)

令x=q+x/p，得x=q/p-1

∴an+q/p-1=P(an——1+q/p-1)

∴{an+q/p-1}是以a1+q/p-1为首项，P为公比的等比数列。

∴an+q/p-1=(a1+q/p-1)Pn-1

∴an=(a1+q/p-1)Pn-1-q/p-1

迭代法：an=p(an——1+q)=p(pan-2+q)+q

=p2((pan-3+q)+pq+q……

例7、数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an-n(n∈N+)求an

解析：由Sn=2an-n 得Sn-1=2an-1-(n-1) (n≥2,n∈N+)

两式相减得an=2an-1+1

两边加1得an+1=2(an-1+1) (n≥2，n∈N+)

构造成以2为公比的等比数列{an+1}

②an=Pan-1+f(n)

例8、数列{an}中，a1为常数，且an=-2an-1+3n-1(≥2，n∈N)

证明：an=(-2)n-1a1+3n+(-1)n·3·2n-1/5

分析：这道题是证明题，最简单的方法当然是数学归纳法，现用构造法和迭代法来证明。

方法一：构造公比为-2的等比数列{an+λ·3n}

用比较系数法可求得λ=-1/5

方法二：构造等差型数列{an/(-2)n}。由已知两边同以(-2)n，得an/(-2)n=an-1/(-2)n=1/3·(-3/2)n，用叠加法处理。

方法三：迭代法。

an=-2an-1+3n-1=-2(-2an-2+3n-2)+3n-1

=(-2)2an-2+(-2)·3n-2+3n-1

=(-2)2(-2an-3+3n-3)+(-2)·3n-2+3n-1

=(-2)3an-3+(-2)·3n-3+(-2)·3n-2+3n-1

=(-2)n-1a1+(-2)n-1·3+(-2)n-3·+32+……+(-2)·3n-2+3n-1

=(-2)n-1a1+3n+(-1)n-2·3·2n-1/5

③an+1=λan+p·qn(pq≠0)

(ⅰ)当λ=qn+1时，等式两边同除以，就可构造出一个等差数列{an/qn}。

例9、在数列{an}中，a1=4，an+1+2n+1，求an。

分析：在an+1=2an+2n+1两边同除以2n+1，得an+1/2n+1=an/2n+1

∴{an/2n}是以a1/2=2为首项，1为公差的等差数列。

(ⅱ)当λ≠q时，等式两边同除以qn+1，令bn=an/qn，得bn+1=λ/qbn+p，再构造成等比数列求bn，从而求出an。

例10、已知a1=1，an=3an-1+2n-1，求an

分析：从an=3an-1+2n-1两边都除以2n，

得an/2n=3/2 an-1/2n-1+1/2

令an/2n=bn

则bn=3/2bn-1+1/2

④an=p(an——1)q(p、q为常数)

例11、已知an=1/a an——12，首项a1，求an。

方法一：将已知两边取对数

得lgan=2lgan——1-lga

令bn=lgan

得bn=2bn-1-lga，再构造成等比数列求bn，从而求出an。

方法二：迭代法

an=1/a a2n——1=1/a (1/a a2n——2)2=1/a3 a4n——2

=1/a3 (1/a a2n——3)4=1/a7·an——38=a·(an——3/a)23

=……=a·(a1/a)2n——1

⑤an+1=ran/pan+q(p、q、r为常数，pr≠0，q≠r)

将等式两边取倒数，得1/an+1=q/r·1/an+p/r，再构造成等比数列求an。

例12、在{an}中，a1=1，an+1=an/an+2，求an

解：∵an+1=an/an+2

∴1/an+1=2·1/an+1

两边加上1，得1/an+1+1=2(1/an+1)

∴{1/an+1}是以1/an+1=2为首项，2为公比的等比数列

∴ 1/an+1=2×2n-1=2n

∴an=1/2n-1

3.幂数列求和公式的推导及证明 篇三

我们把诸如“1k，2k，……，nk（k为自然数）”之类的数列叫做幂数列。如1，2，……，n；12，22，……，n2；13，23，……，n3；14，24，……，n4等。

下面几个公式经数学归纳法证明是正确的：

n(n+1)n2+n=1+2+……+n=，2232n(n+1)(2n+1)2n+3n+n222+n==1+2+……，66432n(n+1)n+2n+n3]2=13+23+……+n=[，245436n+15n+10n-n444+n=1+2+……，3065422n+6n+5n-n515+25+……+n=，1276536n+21n+21n-7n+n661+2+……+n=，426876423n+12n+14n-7n+2n717+27+……+n=，249875310n+45n+60n-42n+20n-3n881+2+……+n=，90810986422n+10n+15n-14n+10n-3n919+29+……+n=，206n11+33n10+55n9-66n7+66n5-33n3+5n1+2+……+n=。

66101010我们把这几个公式叫做幂数列前n项和公式，其中前三个已出现在高中课本上。出人意料的是，这些公式并不随着

幂次数的增高而变得像我们想象的那样复杂，等号右端次数虽高，但项数并不是特别的多，因为某些项被消掉了。并且各项的系数的绝对值也都还没超过1。这些公式是怎样推导出来的呢？

下面以4次幂数列为例介绍一个推导方法。我们先看一个展开式: n(n+1)(n+2)(n+3)=n4+6n3+11n2+6n, 由这个展开式可得n4=n(n+1)(n+2)(n+3)-6n3-11n2-6n。

取n=1，则14=1234-6-11-6，取n=2，则24=2345-623-1122-62，……

这些等式两端分别相加得

34+2345+……+n(n+1)(n+2)(n+3)]-6(13+23+14+24+……+n4=[12……+n3)-11(12+22+……+n2)-6(1+2+……+n)

为了计算中括号里边的值，我们先举一个例子：计算

101102103的值。式子1234+2345+3456+……+100按常规算法，这300次乘法计算和99次加法计算即使使用计算器恐怕1小时之内很难完成任务。若各项都乘5，得12345+23455+34565+……+1001011021035，这样前两项相加得23456,再加第三项得34567，依此类推，加到最后一项，101102103104，故得数应是1001234+2345+3456+……+1001011021031=（100101102103104），由此猜想5

1234+2345+3456+……+n(n+1)(n+2)(n+3)1=n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)，5所以

234+2345+……+n(n+1)(n+2)(n+3)]14+24+……+n4=[1322-6(13+23+……+n)-11(1+2+……+n2)-6(1+2+……+n)，1其中方括号里边的值为n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4),再把1，2，3

5次幂数列求和公式分别代入上式并化简，得

5436n+15n+10n-n441+2+……+n=。

304这个公式的正确性可用数学归纳法来证明，证明过程如 下: 6+15+10-1=1，公式显然成立；假设n=k时公式取n=1，则

306k5+15k4+10k3-k也成立，即1+2+……+k=，则n=k+1时有

304445436k+15k+10k-k444+(k+1)4= 1+2+……+(k+1)=306k5+45k4+120k3+15k2+119k+30，而306(k+1)5+15(k+1)4+10(k+1)3+(k+1)6k5+45k4+120k3+15k2+119k+30=，30306k5+15k4+10k3-k6k5+45k4+120k3+15k2+119k+304+(k+1)=所以。这3030就证明了当n=k+1时公式也成立。通过以上证明可知，n取任 3

5436n+15n+10n-n444+n=何自然数公式1+2+……都成立。