初中数学第一章有理数（共11篇）
1.初中数学第一章有理数 篇一
飞里中学 七（2）班 数学
13、若ab0，且ab0，则（）
A：a0,b0B：a0,b0
C：a,b异号且负数的绝对值大D：a,b异号且正数的绝对值大
14、下列各式正确的是（）
A：52(5)2B：(1)19961996
C：(1)2003(1)0D：(1)991015、下列说法正确的是（）
A：平方得16的数只有一个B：立方得8的数只有一个
C：平方得－9的数只有一个D：立方得4的数整数只有一个
16、a为有理数，下列说法中正确的是（）
1是正数 2
12112C：(a)是负数D：a的值不小于 222A：(a)是正数B：a221217、下列说法正确的是（）
2222A：如果ab，那么abB：如果ab，那么ab
22C：如果ab，那么abD：如果ab，那么ab
三、解答题（共59分）
18、（7分）把下列各数在数轴上表示出来，并用“<”连结起来。2,2,0,3,1,1,3
2.初中数学第一章有理数 篇二
一、二次根式的课标要求：
了解二次根式的概念及其加减乘除运算法则，会用它们进行有关实数的简单四则运算（不要求分母有理化）。具体是：
1.了解二次根式的意义；
2.掌握用简单的一元一次不等式解决二次根式中字母的取值问题；
3.掌握二次根式的性质
和，并能灵活应用；
4.通过二次根式的计算培养学生的逻辑思维能力；
5.通过二次根式性质和的介绍渗透对称性、规律性的数学美。
二、二次根式内容结构特点
在认识了平方根、算术平方根、立方根的概念和求法，以及实数的有关概念和运算的基础上，本章将进一步学习二次根式的概念、性质和运算。通过对二次根式的概念和性质的学习，学生将对实数的概念有更深刻的认识，通过对二次根式的加减乘除运算的学习，学生将对实数的简单四则运算有进一步的了解，进一步理解二次根式与整式之间的关系，明确整式的运算性质、公式和法则与二次根式相关内容的一致性，让学生经历观察、思考、讨论等探究活动归纳出结论的过程，体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识，提高归纳概括能力。
三、教材的地位及作用
本章内容“二次根式”是《数学课程标准》中“数与代数”领域的重要内容，它与已学内容“实数”、“整式”、“勾股定理”紧密联系，同时也是以后将要学习的“解直角三角形”、“一元二次方程”、“二次函数”等内容的重要基础，并为学习高中数学中的不等式、函数以及解析几何等的大部分知识作好准备。本章通过对二次根式的概念、性质和运算法则、运算规律等的探究，发展学生的思维能力，有效改变学生的学习方式，使学生掌握认识事物的一般规律。本章内容不论在知识、数学思考方法上，还是在对学生的能力培养上都是非常重要的。
四、课程学习目标
(1）理解二次根式的概念，了解被开方数必须是非负数的理由、理解二次根式的性质。
(2）掌握二次根式的加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关实数的简单四则运算。
(3)利用逆向思维得出二次根式的乘（除）法规定的逆向等式并运用它进行化简。
(4)通过分析前面的计算和化简结果，抓住它们的共同特点，给出最简二次根式的概念；利用最简二次根式的概念，来对相同的二次根式进行合并，达到对二次根式进行计算和化简的目的。
(5)通过本章的学习，培养学生利用规定准确计算和化简的严谨科学精神。经过探索二次根式的重要结论，二次根式的乘除规定，发展学生观察、分析、发现问题的能力，进一步体会代数式在表示数量关系等方面的作用。
五、内容安排及处理：
(1)第一节研究二次根式的概念和性质
首先教材给出四个实际问题，要求学生根据已学的平方根和算术平方根的知识写出这四个问题的答案，并分析所得结果在表达式上的特点，由此引出二次根式的概念。在二次根式概念中，重要的一点是理解被开方数是非负数的要求。教材结合例题对此进行了较详细的分析，并从算术平方根的定义出发，探讨了结论是非负数。接着采用由特殊到一般的方法，归纳出结论，并根据算术平方根的定义对这条结论进行分析，对于结论同样采用让学生通过具体计算、分析运算过程和运算结果，最后归纳出一般结论的方法进行了研究。第一节的内容是学习后面两节内容的直接基础。
(2)第二节研究二次根式的乘除运算
本节首先研究了二次根式的乘法运算。教材通过设置探究栏目，要求学生利用二次根式的性质和计算器等进行一些具体运算。发现之间的关系，从而由特殊到一般地归纳得出二次根式的乘法的运算法则，继而得到积的算术平方根的性质，引出化简二次根式的方法。对二次根式的除法运算，类似于乘法运算，采用由特殊到一般的方法，归纳得出二次根式的除法的运算法则，继而得到商的二次根式的性质，进一步完善化简二次根式的方法。本节最后，教材结合本节例题，给出了最简二次根式的概念，明确了化简二次根式的方向，并为下一节学习二次根式的加减运算作好铺垫。
(3)第三节研究二次根式的加减运算
教材首先结合一个实际问题引出二次根式的加法，然后结合已学过的结论“在有理数范围内成立的运算律在实数范围内仍然成立”，并利用分配律得出了二次根式的加减运算法则。本节最后，在二次根式的加、减、乘、除运算的基础上，教材通过几个例题研究了二次根式的混合运算，突出了二次根式与整式之间的关系，体现了整式的运算性质、公式和法则与二次根式相关内容的一致性。
六、实施本章教学应注意：
(1)注意加强知识的纵向联系
学生对数的认识已经由有理数的范围扩大到实数的范围，并对实数的运算性质和运算法则有了初步的感受。因此，教学时要注意与已有的经验的联系，要在“实数”一章的基础上进行教学。
比如：让学生对“有理数的运算律和运算法则在实数范围内仍然成立”有所体验，使学生进一步体会运算律在数的扩充过程中的一致性。又如：整式的运算法则和公式在二次根式的运算中继续适用。再如：利用多项式的乘法法则和乘法公式进行二次根式的混合运算，突出二次根式运算的本质。
(2)适当加强练习，为后续学习打好基础。本章内容属于“数与代数”领域中较基础的内容，尤其是二交根式的加、减、乘、除运算是后续学习解直角三角形、一元二次方程和二次函数的重要基础，也为高中数学中不等式、函数以及解析几何等大部分知识作好准备。另外，本章内容与整式、勾股定理联系紧密，因此加强练习的同时，还要注意强调知识之间相互联系。
3.初中数学第一章有理数 篇三
第一章有理数
单元综合测试题附答案
一
选择题：
1.如果+20%表示增加20%，那么﹣6%表示（）
A.增加14%
B.增加6%
C.减少6%
D.减少26%
2.一种零件的直径尺寸在图纸上是30±（单位：mm），它表示这种零件的标准尺寸是30mm，加工要求尺寸最大不超过（）
A.0.03mm
B.0.02mm
C.30.03mm
D.29.98mm
3.某项科学研究，以45分钟为1个时间单位，并记每天上午10时为0，10时以前记为负，10时以后记为正，例如：9：15记为-1，10：45记为1等等．依此类推，上午7：45应记为（）
A.3
B.-3
C.-2.5
D.-7.45
4.在－，3.1415，0，－0.333…，－，－,2.010010001…中，有理数有（）
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
5.10月7日，铁路局“十一”黄金周运输收官，累计发送旅客640万人，640万用科学计数法表示为（）
A.6.4×102
B.640×104
C.6.4×106
D.6.4×105
6.若向北走27米记为-27米，则向南走34米记为（）
A.34米
B.+7米
C.61米
D.+34米
7.实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，这四个数中，相反数最大是（）
A.a
B.b
C.c
D.d
8.比较，的大小，结果正确的是（）
A.B.C.D.9.如果，则x的取值范围是（）
A.x>0
B.x≥0
C.x≤0
D.x<0
10.已知ab≠0，则+的值不可能的是（）
A.0
B.1
C.2
D.﹣2
11.如图，M、N、P、R分别是数轴上四个整数所对应的点，其中有一点是原点，并且MN=NP=PR=1．数a对应的点在M与N之间，数b对应的点在P与R之间，若＋=3，则原点是（）．
A.M或N
B.M或R
C.N或P
D.P或R
12.一只蚂蚁从数轴上A点出发爬了4个单位长度到了表示-1的点B，则点A所表示的数是
（）
A.-3或5
B.-5或3
C.-5
D.3
13.已知=3，=4，且x>y，则2x-y的值为
（）
A.＋2
B.±2
C.＋10
D.－2或＋10
14.有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则（）
A.-2b
B.0
C.2c
D.2c-2b
15.计算1﹣2+3﹣4+5﹣6+7﹣8+…+2009﹣2010的结果是（）
A.﹣1005
B.﹣2010
C.0
D.﹣1
16.填在下面各正方形中的四个数之间都有一定的规律，按此规律得出a、b的值分别为（）
A.10、91
B.12、91
C.10、95
D.12、95
17.下列是用火柴棒拼成的一组图形，第①个图形中有3根火柴棒，第②个图形中有9根火柴棒，第②个图形中有18根火柴棒，…依此类推，则第6个图形中火柴棒根数是（）
A.60
B.61
C.62
D.63
18.a为有理数，定义运算符号“※”：当a>-2时，※a=-a；当a<-2时，※a=a；当a=-2时，※a=0．根据这种运算，则※[4＋※(2－5)]的值为（）
A.1
B.-1
C.7
D.-7
19.计算：31+1=4，32+1=10，33+1=28，34+1=82，35+1=244，…，归纳各计算结果中的个位数字的规律，猜测32017+1的个位数字是（）
A.0
B.2
C.4
D.8
20.计算(﹣2)2016+(﹣2)2015的结果是（）
A.﹣1
B.﹣22015
C.22015
D.﹣22016
二
填空题:
21.把下面的有理数填在相应的大括号里：15，－，0，－30，0.15，－128，＋20，－2.6.(1)非负数集合：{，…}；
(2)负数集合：{，…}；
(3)正整数集合：{，…}；
(4)负分数集合：{，…}．
22.近似数3.06亿精确到___________位．
23.按照如图所示的操作步骤，若输入的值为3，则输出的值为________．
24.已知（x﹣2）2+|y+4|=0，则2x+y=_______．
25.绝对值不大于5的整数有
个.26.小韦与同学一起玩“24点”扑克牌游戏，即从一幅扑克牌(去掉大、小王)中任意抽出4张，根据牌面上的数字进行有理数混合运算(每张牌只能用一次)使运算结果等于24或－24，小韦抽得四张牌如图，“哇！我得到24点了！”他的算法是__
27.有理数在数轴上的对应点如图所示，化简：
.28.观察下列各题：
1+3=4=22
1+3+5=9=32
1+3+5+7=16=42
1+3+5+7+9=25=52
…
根据上面各式的规律，请直接写出1+3+5+7+9+…+99=________．
29.观察下列等式：，，…则=
．（直接填结果，用含n的代数式表示，n是正整数，且n≥1）
30.观察下列等式：解答下面的问题：21+22+23+24+25+26+…+22015的末位数字是
三
计算题:
31.32.33.34.35.小丽有5张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题：
(1)
从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，如何抽取？最大值是多少？
(2)
从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，如何抽取？最小值是多少？
(3)
从中取出2张卡片，利用这2张卡片上数字进行某种运算，得到一个最大的数，如何抽取？最大的数是多少？
(4)
从中取出4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24，如何抽取？写出运算式子（一种即可）．
37.如图所示，一个点从数轴上的原点开始，先向右移动3单位长度，再向左移动5个单位长度，可以看到终点表示的数是－2，已知点A，B是数轴上的点，请参照下列图象并思考，完成下列各题:
（1）如果点A表示数－3，将点A向右移动7个单位长度，那么终点B表示的数是_______，A，B两点间的距离是________；
（2）如果点A表示数3，将A点向左移动7个单位长度，再向右移动5个单位长度，那
么终点B表示的数是_______，A，B两点间的距离为________；
（3）如果点A表示数－4，将A点向右移动168个单位长度，再向左移动256个单位长度，那么终点B表示的数是_________，A，B两点间的距离是________．
（4）一般地，如果A点表示的数为m，将A点向右移动n个单位长度，再向左移动p个单位长度，那么，请你求出终点B表示什么数？A，B两点间的距离为多少？
38.同学们都知道，|4﹣（﹣2）|表示4与﹣2的差的绝对值，实际上也可理解为4与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理|x﹣3|也可理解为x与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离．试探索：
（1）求|4﹣（﹣2）|=
．
（2）若|x﹣2|=5，则x=
（3）同理|x﹣4|+|x+2|=6表示数轴上有理数x所对应的点到4和﹣2所对应的两点距离之和，请你找出所有符合条件的整数x，使得|x﹣4|+|x+2|=6，这样的整数是
．
39.阅读材料：求1＋2＋22＋23＋24＋…＋2200的值．
解：设S=1＋2＋22＋23＋24＋…＋2199＋2200，将等式两边同时乘以2得
2S=2＋22＋23＋24＋25＋…＋2200＋2201，将下式减去上式得2S－S=2201－1，即S=2201－1，即1＋2＋22＋23＋24＋…＋2200=2201－1.请你仿照此法计算：
(1)1＋2＋22＋23＋24＋…＋210；
(2)1＋3＋32＋33＋34＋…＋3n.(其中n为正整数)
40.已知数轴上有A、B、C三个点，分别表示有理数﹣24，﹣10，10，动点P从A出发，以每秒1个单位的速度向终点C移动，设移动时间为t秒．
（1）用含t的代数式表示P到点A和点C的距离：
PA=，PC= ；
（2）当点P运动到B点时，点Q从A点出发，以每秒3个单位的速度向C点运动，Q点到达C点后，再立即以同样的速度返回，运动到终点A．在点Q开始运动后，P、Q两点之间的距离能否为2个单位？如果能，请求出此时点P表示的数；如果不能，请说明理由．
参考答案
1、C2、C3、B4、D5、C6、D7、A8、D9、C10、B11、B12、B13、D14、B15、A16、A17、D18、B19、C20、C21、(1)15，0，0.15，＋20(2)－，－30，－128，－2.6(3)15，＋20(4)－，－2.622、百万；23、5524、0．25、1126、23(1＋2)__．27、-b+c+a；
28、502．29、30、4 ．31、32、.33、;
34、原式=-1×[-32-9+]-2．5=-1×（-32-9+2．5）-2．5=+32+9-2．5-2．5=36．
35、（1）抽取；（2）抽取；
（3）抽取；（4）答案不唯一；例如抽取-3，-5，3，4；36、37、（1）
4_
7__（2）
1_
2__（3）
—92__
88__（4）
m+n-p_
38、【解答】解：（1）∵4与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离是6，∴|4﹣（﹣2）|=6．
（2）|x﹣2|=5表示x与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离是5，∵﹣3或7与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离是5，∴若|x﹣2|=5，则x=﹣3或7．
（3）∵4与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离是6，∴使得|x﹣4|+|x+2|=6成立的整数是﹣2和4之间的所有整数（包括﹣2和4），∴这样的整数是﹣2、﹣1、0、1、2、3、4．故答案为：6；﹣3或7；﹣2、﹣1、0、1、2、3、4．
39、解：(1)211-1(2)设S=1＋3＋32＋33＋34＋…＋3n，将等式两边同乘以3得3S=3＋32＋33＋34＋35＋…＋3n＋1，所以3S－S=3n＋1－1，即2S=3n＋1－1，所以S=，即1＋3＋32＋33＋34＋…＋3n=
40、【解答】解：（1）∵动点P从A出发，以每秒1个单位的速度向终点C移动，设移动时间为t秒，∴P到点A的距离为：PA=t，P到点C的距离为：PC=（24+10）﹣t=34﹣t；故答案为：t，34﹣t；
（2）当P点在Q点右侧，且Q点还没有追上P点时，3t+2=14+t解得：t=6，∴此时点P表示的数为﹣4，当P点在Q点左侧，且Q点追上P点后，相距2个单位，3t﹣2=14+t解得：t=8，∴此时点P表示的数为﹣2，当Q点到达C点后，当P点在Q点左侧时，14+t+2+3t﹣34=34解得：t=13，∴此时点P表示的数为3，当Q点到达C点后，当P点在Q点右侧时，14+t﹣2+3t﹣34=34解得：t=14，∴此时点P表示的数为4，综上所述：点P表示的数为﹣4，﹣2，3，4．
人教版七年级数学上册
第一章有理数
单元综合测试题二附答案
一、选择题（每题2分，共20分）
1、下列说法正确的是（）
A.整数就是正整数和负整数
B.负整数的相反数就是非负整数
C.有理数中不是负数就是正数
D.零是自然数，但不是正整数
2、下列各对数中，数值相等的是（）
A.－27与(－2)7
B.－32与(－3)2
C.－3×23与－32×2
D.―(―3)2与―(―2)33、在－5，－，－3.5，－0.01，－2，－212各数中，最大的数是（）
A.－12
B.－
C
.－0.01
D.－54、如果一个数的平方与这个数的差等于0，那么这个数只能是（）
A.0
B.－1
C
.1
D.0或15、绝对值大于或等于1，而小于4的所有的正整数的和是（）
A.8
B.7
C.6
D.56、计算：(－2)100+(－2)101的是（）
A.2100
B.－1
C.－2
D.－21007、比－7.1大，而比1小的整数的个数是（）
A
.6
B.7
C.8
D.98、国家邮政局特别发行万众一心，抗击“非典”邮票，收入全部捐赠给卫生部门用以支持抗击“非典”斗争，其邮票发行为12050000枚，用科学记数法表示正确的是（）
A．1.205×107
B．1.20×108
C．1.21×107
D．1.205×1049、下列代数式中，值一定是正数的是（）
A．x2
B.|－x+1|
C.(－x)2+2
D.－x2+110、已知8.62＝73.96，若x2＝0.7396，则x的值等于（）
A
86.2
B
862
C
±0.862
D
±862
二、填空题（每小题2分，共18分）
11、一幢大楼地面上有12层，还有地下室2层，如果把地面上的第一层作为基准，记为0，规定向上为正，那么习惯上将2楼记为
；地下第一层记作
；数－2的实际意义为，数＋9的实际意义为。
12、如果数轴上的点A对应有理数为-2，那么与A点相距3个单位长度的点所对应的有理数为___________。
13、某数的绝对值是5，那么这个数是
。134756≈
（保留四个有效数字）
14、（）2＝16，(－)3＝。
15、数轴上和原点的距离等于3的点表示的有理数是。
16、计算：（-1）6+（-1）7=____________。
17、如果a、b互为倒数，c、d互为相反数，且m=-1，则代数式2ab-（c+d）+m2=_______。
18、＋5.7的相反数与－7.1的绝对值的和是。
19、已知每辆汽车要装4个轮胎，则51只轮胎至多能装配
辆汽车。
三、解答题
20、计算：（本题共有8个小题，每小题4分，共32分）
（1）8＋(―)―5―(―0.25)
（2）―82+72÷36
（3）7×1÷(－9＋19)
（4）25×+(―25)×＋25×(－)
（5）(－79)÷2＋×(－29)
（6）(－1)3－(1－)÷3×[3―(―3)2]
（7）2(x-3)-3(-x+1)
(8)
–a+2(a-1)-(3a+5)
21、一天小明和冬冬利用温差来测量山峰的高度。冬冬在山脚测得的温度是4℃，小明此时在山顶测得的温度是2℃，已知该地区高度每升高100米，气温下降0.8℃，问这个山峰有多高？(5分)
22、有一种“二十四点”的游戏，其游戏规则是这样的：任取四个1至13之间的自然数，将这四个数（每个数用且只能用一次）进行加减乘除四则运算，使其结果等于24。例如对1，2，3，4，可作如下运算：(1+2+3)×4＝24（上述运算与4×(1＋2＋3)视为相同方法的运算）
现有四个有理数3，4，－6，10，运用上述规则写出三种不同方法的运算式，可以使用括号，使其结果等于24。运算式如下：（1），（2），（3）。
另有四个有理数3，－5，7，－13，可通过运算式（4）
使其结果等于24。（4分）
23、下表列出了国外几个城市与北京的时差（带正号的数表示同一时刻比北京的时间早的时数）。现在的北京时间是上午8∶00
（1）求现在纽约时间是多少？
（2）斌斌现在想给远在巴黎的姑妈打电话，你认为合适吗？3分
城
市
时差/
时
纽
约
－13
巴
黎
－7
东
京
＋1
芝
加
哥
－1424、画一条数轴，并在数轴上表示：3.5和它的相反数，－和它的倒数，绝对值等于3的数，最大的负整数和它的平方，并把这些数由小到大用“<”号连接起来。6分
25、体育课上，全班男同学进行了100米测验，达标成绩为15秒，下表是某小组８名男生的成绩斐然记录，其中＂＋＂表示成绩大于15秒．
－0.8
+1
－1.2
０
－0.7
＋0.6
－0.4
－0.1
问：（１）这个小组男生的达标率为多少？（）
（２）这个小组男生的平均成绩是多少秒？6分
26、有若干个数，第一个数记为a1，第二个数记为a2，…，第n个数记为an。若a1=，从第二个数起，每个数都等于“1与它前面那个数的差的倒数”。试计算：a2=______，a3=____，a4=_____，a5=______。这排数有什么规律吗？由你发现的规律，请计算a2004是多少？6分
四、提高题（本题有3个小题，共20分）
1、右面是一个正方体纸盒的展开图，请把－10，7，10，－2，－7，2分别填入六个正方形，使得按虚线折成正方体后，相对面上的两数互为相反数。(4分)
2.同学们都知道,|5－(－2)|表示5与－2之差的绝对值,实际上也可理解为5与－2两数在数轴上所对的两点之间的距离。试探索：(1)求|5－(－2)|=______。
(2)找出所有符合条件的整数x，使得|x+5|+|x-2|=7这样的整数是___________。
(3)由以上探索猜想对于任何有理数x，|x－3|+|x－6|是否有最小值？如果有写出最小值如果没有说明理由。(8分)
3、若a、b、c均为整数，且∣a－b∣3＋∣c－a∣2＝1，求∣a－c∣＋∣c－b∣＋∣b－a∣的值(8分)
参考答案
一、选择题:
每题2分，共20分
1:D
2:A
3:C
4:D
5:C
6:D
7:C
8:A
9:C
10:C
二、填空题（本题共有9个小题，每小题2分，共18分）
11:+2;-1;地下第2层;地面上第9层.12:-5,+1
13:
±5;1.348×105
14:±4;-8/27
15:
±
3.5
16:0
17:3
:1.4
19:12
三、解答题:
20:
计算：（本题共有8个小题，每小题4分，共32分）
①
②-80
③21/16
④
0
⑤
⑥
0
⑦5x-9
⑧
-2a-7
21:解:
(4-2)÷0.8×100=250(米)
22:略
23:解:数轴略;-3.5＜-3＜-2＜-1＜-0.5＜1＜3＜3.5
24:
①成绩记为正数的不达标,只有2人不达标,6人达标.这个小组男生的达标率=6÷8=75%
②-0.8+1-1.2+0-0.7+0.6-0.4-0.1=-1.6
15-1.6÷8=14.8秒
25.a2=2，a3=-1，a4=1/2，a5=2。
C
这排数的规律是:1/2,2,-1循环.a2004=-1
C
B
B
A
A
四、提高题（本题有3个小题，共20分）
1:A-A.B-B.C-C是相对面,填互为相反数.2:
①7
②画出数轴,通过观察:-5到2之间的数
都满足|x+5|+|x-2|=7,这样的整数有-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2
③猜想对于任何有理数x，|x－3|+|x－6|有最小值=3.因为
当x在3到6之间时,x到3的距离与x到6的距离的和是3,并且是最小的.当x＜3和x＞6时,x到3的距离与x到6的距离的和都＞3.3:解:
∵∣a－b∣3＋∣c－a∣2＝1,并且a、b、c均为整数
∴∣a－b∣和∣c－a∣=0或1
∴当∣a－b∣=1时∣c－a∣=0,则c=a,∣c－b∣=1
∴∣a－c∣＋∣c－b∣＋∣b－a∣=0+1+1=2
当∣a－b∣=0时∣c－a∣=1,则b=a,∣c－b∣=1
4.初中数学第一章有理数 篇四
一、学习目标
1、理解除法的意义，掌握有理数的除法法则；
2、能熟练进行有理数的除法运算；
3、感受转化、归纳的数学思想。
二、自主预习
1、小明从家到学校，每分钟走50米，走了20分钟，则小明家到学校___________________；（写出算式）
若小明家到学校100米，小明每分钟走50米，则小明从家到学校要走时间_______________________________。（写出算式）这说明，乘法和除法是______________________运算。
2、因为2×()=一6，所以一6÷2=（）； 又
所以____________________=_____________________。
3、有理数的除法法则：__________________________________________。用字母表示：________________________________。
4、—21的倒数是_________；—1.5的倒数是_________；_______的倒数是本身。
45、有理数的除法法则另一说法：___________________________________ _______________________________________________________________。
三、知识互动
312例
1、计算：（1）（-36）÷9=（2）（-25）÷（-5）=
（3）2．25÷(一1．5)=
注意：在做除法运算时：先定符号，再算绝对值．若算式中有小数、带分数，一般情况下化成真分数和假分数进行计算。
12例2化简下列分数：（1）3 = 45（2）12 = 例
3、计算：（1）（-125
（2）-2.5÷5）÷（-5）= 751×（-）= 84注意：乘除混合运算要先__________________，然后_______________,最后____________________。
四 课堂训练
1.0÷(一6)=_____________；(一0．75)÷0．25=____________． 2.下列计算正确的是()．
3.若
ac> 0，< 0，c< 0,则ａ＿＿０，ｂ＿＿０． bb11aa4.若a< b< 0,则下式成立的是（）A.< B.ab< 1 C.>1 D.< 1
abbb31115.计算：（1）-0.125÷（-）（2）（-2）÷
8510
（3）-1 1333÷×（-0.2）×1÷1.4×（-）2445五 达标训练：有理数的除法(1)1．若0，b都是有理数，且
2．计算，则()．
的结果是()．A．一l B．1 3．两个不为零的有理数相除，交换除数和被除数的位置，商不变，那么（）
A.两数相等 B.两数互为相反数
C.两数互为倒数 D.两数相等或互为相反数
4.一个不等于0的数是它的倒数的4倍，则这个数为（）A.4 B.4a C.＋ 2 D.＋ 4 a1 D.0 2(填“>”、“<”或“=”)． 5．若一个数的相反数与这个数的倒数的和等于0，则这个数的绝对值等于（）A.2 B.1 C.6．如果，那么
7．若两个非0的有理数的和是0，则它们的商是___________________.8．当x=______________时，代数式9.（1）如果a>0,b<0,那么
1没有意义。x2aa________0；（2）如果a<0,b>0,那么 ________0； bbaa（3）如果a<0,b<0,那么 ________0；（4）如果a=0,b<0,那么 ________0；
bb310.(1)两数的积是1，已知一个数是-2，求另一个数；
（2）两数的商是-311，已知被除数是4，求除数。22
11.当a=1.8,b=-2.7,c=-3.6时，分别计算下列式子的值：（1）-3a7ab（2）c5
5.七年级数学第一章课件 篇五
2.掌握移项方法，学会解“ax＋b＝cx＋d”类型的一元一次方程，理解解方程的目标，体会解法中蕴涵的化归思想。
重点
建立方程解决实际问题，会解“ax＋b＝cx＋d”类型的一元一次方程。
难点
分析实际问题中的相等关系，列出方程。
一、创设情境，导入新课
出示教材问题2：把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分4本，则还缺25本，这个班有多少学生？
二、探究新知
引导学生回顾列方程解决实际问题的基本思路。
学生讨论、分析：
1.设未知数：设这个班有x名学生。
2.找相等关系：
这批书的总数是一个定值，表示它的两个等式相等。
3.列方程：3x＋20＝4x－25.问题1：怎样解这个方程？它与上节课遇到的方程有何不同？
学生讨论后发现：方程的两边都有含x的项（3x与4x）和不含字母的常数项（20与－25）。
问题2：怎样才能使它向x＝a 的形式转化呢？
学生思考、探索：为使方程的右边没有含x的项，等号两边同减去4x，为使方程的左边没有常数项，等号两边同减去20.3x－4x＝－25－20.问题3：以上变形依据是什么？
等式的性质1.归纳：像上面那样把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项。
师生共同完成解答过程，或用框图表示。
问题4：以上解方程中“移项”起了什么作用？
学生讨论、回答，师生共同整理：
通过移项，含未知数的项与常数项分别位于方程左右两边，使方程更接近于x＝a的形式。
师：解方程时，要合并同类项和移项。前面提到的古老的代数书中的“对消”与“还原”，指的就是“合并同类项”和“移项”。
三、尝试运用，加深巩固
师出示教材例3.解下列方程：（1）3x＋7＝32－2x；（2）x－3＝32x＋1.教师引导学生按照框图所展示的过程，共同完成本例。
练习：课本第90页练习1.四、小结
谈谈本节课你的收获。
五、作业
习题3.2第2，3题。
6.高二数学上册第一章检测试题 篇六
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)
1.下面进位制之间转化错误的是( )
A.101(2)=5(10) B.27(8)=212(3)
C.119(10)=315(6) D.31(4)=62(2)
[答案] D
[解析] 101(2)=1×22+0×2+1=5，故A对;27(8)=2×8+7=23,212(3)=2×32+1×3+2=23，故B对;315(6)=3×62+1×6+5=119，故C对;31(4)=3×4+1=13,62(2)=6×2+2=14.故D错.
2.下面赋值语句中错误的是( )
A.x=2 B.a+b=1
C.a=a+b D.s=s-2
[答案] B
3.利用秦九韶算法公式，计算多项式f(x)=3x4-x2+2x+1，当x=2时的函数值，则v3=( )
A.11 B.24 C.49 D.14
[答案] B
[解析] v0=a4=3，v1=v0x+a3=6，v2=v1x+a2=11，v3=v2x+a1=24.
4.求使1+2+3+…+n>100的最小整数n的值，下面算法语句正确的为( )
[答案] B
[解析] A中，由于n=n+1语句在S=S+n前面，故S加上的第一个数为2，不是1，故A错;C中不满足S≤100，跳出循环时，n的值只比符合要求的值大1，但语句n=n-2却减了2，故C中输出的n值是使1+2+…+n≤100成立的最大n值，故C错;D中条件S>100，由WHILE语句规则知条件不满足时，即跳出循环，故此程序中循环体一次也不执行，因此输出的n值为1，故D错，∴选B.
5.下列程序框图表示的算法运行后，输出的结果是( )
A.25 B.50 C.125 D.250
[答案] C
[解析] 由程序框图中的赋值语句S=S×5知，后一个S是前一个S的5倍，每循环一次S的值扩大为原来的5倍，由a初值为1，步长为1，到a>3结束循环，故循环了3次，∴S=1×53=125.
6.如图是一个算法的程序框图，若循环体只执行了一次，且输出的结果是，则其输入的x值为( )
A. B.
C.e D.e2
[答案] A
[分析] 知道输出的结果，求输入的x值，需要利用逆向思维才能准确解答，要充分利用条件x≤0.
[解析] ∵循环体只执行了一次，
∴输入的x>0，且执行赋值语句x=lnx后，应有x≤0，
∵输出结果为，∴ex=，∴x=-1，
∴lnx=-1，∴x=.故输出的x值为.我们也可以利用代入检验法排除B，C，D选项，从而得到A.
[点评] ∵只循环了一次，且条件为x≤0，∴x>0且lnx≤0，因此排除C、D，再结合输出结果为知x=.
7.用更相减损术求30和18的最大公约数时，第三次作的减法为( )
A.18-12=6 B.12-6=6
C.6-6=0 D.30-18=12
[答案] B
8.下面程序运行时，从键盘输入4，则输出结果为( )
A.4 B.8
C.15 D.2
[答案] C
[解析] 此程序语句表达的是分段函数f(x)=，从键盘输入x的值x0求函数值f(x0)，
∴f(4)=42-1=15.
9.如图所示程序框图所表示的算法的功能是( )
A.计算1+++…+的值
B.计算1+++…+的值
C.计算1+++…+的值
D.计算1+++…+的值
[答案] C
[解析] n初值为1，由n=n+2知求的是奇数的倒数的和，由i>50时循环结束知，共加了50项，故最后一项为=.
10.计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A～F共16个计数符号，这些符号与十进制数的对应关系如下表：
例如，用十六进制表示：E+D=1B，则A×B(“×”表示通常的乘法运算)等于( ) A.6E B.72 C.5F D.B0 [答案] A [解析] 在十进制中，A×B=10×11=110.
∵110=16×6+14，
∴在十六进制中A×B=6E.故选A.
11.下列程序
运行结束时，i的值为( )
A.10 B.11
C.12 D.13
[答案] D
12.一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果为，则判断框中应填入的条件是( )
A.i<4 B.i<5
C.i≥5 D.i<6
[答案] D
[解析] 该算法是求+++…+的值，因输出结果为，则=++++，故填i<6.
二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)
13.读程序回答问题.
INPUT n
i=1
sum=0
WHILE i<=n
sum=sum+i/(i+1)
i=i+1
WEND
PRINT sum
END
(1)若输入n=3，输出的结果为________.
(2)此程序对应的计算式子是________________.
[答案] (1) (2)+++…+
14.下面程序框图运行后，
(1)若*处表达式为S=2S+1，则输出结果为________.
(2)若输出结果为8，则处理框*处可填________.
[答案] (1)15 (2)S=2S
[解析] (1)∵S=2S+1，∴A=0循环后S=3;A=1循环后S=7;A=2循环后S=15，A=3不满足A<3跳出循环，输出S的值15.
(2)A从0变到2循环三次，设表达式为f(S)，则有f(f(f(1)))=8，
∵23=8，∴可以填S=2S.(答案不惟一)
15.下面的程序框图运行时，循环体执行的次数是______次.
[答案] 499
[解析] i初值为2，步长为2，依次取值2,4,6,8，…，1000.当i=1000时跳出循环，故循环了499次.
16.(2010・湖南理，12)如下图是求12+22+32+…+1002的值的程序框图，则正整数n=________.
[答案] 100
[解析] 因为第一次判断执行后，s=12，i=2，第二次判断执行后，s=12+22，i=3，而题目要求计算12+22+32+…+1002，故n=100.
三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17.(本题满分12分)某居民小区的物业部门每月向居民收取一定的物业费，收费办法为：住房面积不超过100m2的每月20元，超过部分每30m2每月加收10元(不足30m2以30m2计算).若该小区住房面积最大为150m2，试设计一个程序，求出每户居民应收取的物业费.
[解析] 设一户居民的住房面积为am2，应收物业费为b元，则
b=，根据这个函数用条件语句写出程序如下：
INPUT a
IF a<=100 THEN
b=20
ELSE
IF a<=130 THEN
b=30
ELSE
b=40
END IF
END IF
PRINT “b=”;b
END 18.(本题满分12分)画出求下面n个数的和的程序框图.(n∈N*).
，，，，…，.
[解析]
19.(本题满分12分)根据下列程序框图写出算法语句：
[解析] INPUT “n=”;n
i=1，S=0
WHILE i<=n
20.(本题满分12分)把区间[0,1]10等分，求函数y=+|x-2|在各分点的函数值，写出算法语句.
[解析] 把区间[0,10]10等分，故步长为0.1，∴用x=x+0.1表达，y=+|x-2|，用y=SQR
21.(本题满分12分)画程序框图，求使1+2+22+…+2n<1000成立的最大整数n.
[解析]
[点评] T=1+21+22+…+2i，用T<1000作为判断条件，当条件不成立时，T对应的i值已比要求的n值大1，由于i=i+1在语句T=T+2i后，故这时i的值比要求的n值大了2，故用n=i-2得到符合要求的n的值后输出.
22.(本题满分14分)百钱买百鸡问题：用100元钱买100只鸡，公鸡每只5元，母鸡每只3元，小鸡3只1元，问公鸡、母鸡、小鸡各买多少只?
7.数学必修五第一章知识点 篇七
2、等差数列中
(1)等差数列公差的取值与等差数列的单调性。
(2)也成等差数列。
(3)两等差数列对应项和(差)组成的新数列仍成等差数列。
(4)仍成等差数列。
(5)“首正”的递等差数列中，前项和的最大值是所有非负项之和;“首负”的递增等差数列中，前项和的最小值是所有非正项之和;
(6)有限等差数列中，奇数项和与偶数项和的存在必然联系，由数列的总项数是偶数还是奇数决定。若总项数为偶数，则“偶数项和“奇数项和=总项数的一半与其公差的积;若总项数为奇数，则“奇数项和—偶数项和”=此数列的中项。
(7)两数的等差中项惟一存在。在遇到三数或四数成等差数列时，常考虑选用“中项关系”转化求解。
(8)判定数列是否是等差数列的主要方法有：定义法、中项法、通项法、和式法、图像法(也就是说数列是等差数列的充要条件主要有这五种形式)。
3。等比数列中：
(1)等比数列的符号特征(全正或全负或一正一负)，等比数列的首项、公比与等比数列的单调性。
(2)两等比数列对应项积(商)组成的新数列仍成等比数列。
(3)“首大于1”的正值递减等比数列中，前项积的最大值是所有大于或等于1的项的积;“首小于1”的正值递增等比数列中，前项积的最小值是所有小于或等于1的项的积;
(4)有限等比数列中，奇数项和与偶数项和的存在必然联系，由数列的总项数是偶数还是奇数决定。若总项数为偶数，则“偶数项和”=“奇数项和”与“公比”的积;若总项数为奇数，则“奇数项和“首项”加上“公比”与“偶数项和”积的和。
(5)并非任何两数总有等比中项。仅当实数同号时，实数存在等比中项。对同号两实数的等比中项不仅存在，而且有一对。也就是说，两实数要么没有等比中项(非同号时)，如果有，必有一对(同号时)。在遇到三数或四数成等差数列时，常优先考虑选用“中项关系”转化求解。
(6)判定数列是否是等比数列的方法主要有：定义法、中项法、通项法、和式法(也就是说数列是等比数列的充要条件主要有这四种形式)。
4。等差数列与等比数列的联系
(1)如果数列成等差数列，那么数列(总有意义)必成等比数列。
(2)如果数列成等比数列，那么数列必成等差数列。
(3)如果数列既成等差数列又成等比数列，那么数列是非零常数数列;但数列是常数数列仅是数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件。
(4)如果两等差数列有公共项，那么由他们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数。
如果一个等差数列与一个等比数列有公共项顺次组成新数列，那么常选用“由特殊到一般的方法”进行研讨，且以其等比数列的项为主，探求等比数列中那些项是他们的公共项，并构成新的数列。
5。数列求和的常用方法：
(1)公式法：①等差数列求和公式(三种形式)，
②等比数列求和公式(三种形式)，
(2)分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和。
(3)倒序相加法：在数列求和中，若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和(这也是等差数列前和公式的推导方法)。
(4)错位相减法：如果数列的`通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法，将其和转化为“一个新的的等比数列的和”求解(注意：一般错位相减后，其中“新等比数列的项数是原数列的项数减一的差”!)(这也是等比数列前和公式的推导方法之一)。
(5)裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和
(6)通项转换法。
如何快速学好数学
一、课内重视听讲，课后及时复习。
新知识的接受，数学能力的培养主要在课堂上进行，所以要特点重视课内的学习效率，寻求正确的学习方法。上课时要紧跟老师的思路，积极展开思维预测下面的步骤，比较自己的解题思路与教师所讲有哪些不同。特别要抓住基础知识和基本技能的学习，课后要及时复习不留疑点。
首先要在做各种习题之前将老师所讲的知识点回忆一遍，正确掌握各类公式的推理过程，庆尽量回忆而不采用不清楚立即翻书之举。
认真独立完成作业，勤于思考，从某种意义上讲，应不造成不懂即问的学习作风，对于有些题目由于自己的思路不清，一时难以解出，应让自己冷静下来认真分析题目，尽量自己解决。在每个阶段的学习中要进行整理和归纳总结，把知识的点、线、面结合起来交织成知识网络，纳入自己的知识体系。
二、适当多做题，养成良好的解题习惯。
要想学好数学，多做题目是难免的，熟悉掌握各种题型的解题思路。刚开始要从基础题入手，以课本上的习题为准，反复练习打好基础，再找一些课外的习题，以帮助开拓思路，提高自己的分析、解决能力，掌握一般的解题规律。
对于一些易错题，可备有错题集，写出自己的解题思路和正确的解题过程两者一起比较找出自己的错误所在，以便及时更正。
8.九年级上册数学第一章知识点 篇八
什么是实数
实数释义：有理数和无理数的统称。
数学上，实数定义为与数轴上的实数，是有理数和无理数的总称。数学上，实数定义为与数轴上的实数，点相对应的数。实数可以直观地看作有限小数与无限小数，实数和数轴上的点一一对应。
虚数不是实数。
|a|表示的是a的绝对值。
虚数的定义：在数学中，虚数就是形如a+bxi的数，其中a,b是实数，且b≠0,i² = - 1。
实数性质
封闭性
实数集对加、减、乘、除(除数不为零)四则运算具有封闭性，即任意两个实数的和、差、积、商(除数不为零)仍然是实数。
有序性
实数集是有序的，即任意两个实数a、b必定满足并且只满足下列三个关系之一：ab。
传递性
实数大小具有传递性，即若a>b，且b>c，则有a>c。
阿基米德性质
实数具有阿基米德性质，即(倒A)a，b∈R ，若a>0，则∃正整数n，na>b。
稠密性
R实数集具有稠密性，即两个不相等的实数之间必有另一个实数，既有有理数，也有无理数。
完备性
作为度量空间或一致空间，实数集合是个完备空间
初三数学重要知识点归纳
1、圆的轴对称性
圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。
2、圆的中心对称性
圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。
数学利用旋转性质作图知识点
旋转有两条重要性质：
(1)任意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;
(2)对应点到旋转中心的距离相等，它是利用旋转的性质作图的关键。
步骤可分为：
①连：即连接图形中每一个关键点与旋转中心;
②转：即把直线按要求绕旋转中心转过一定角度(作旋转角)
③截：即在角的另一边截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点;
9.初中数学第一章有理数 篇九
（一）一、教材分析
1、教学内容
本节课是人教版《义务教育课程标准实验教科书·数学·七年级（上）》第一章第2节第三课时的内容，主要介绍了相反数的概念，求一个数的相反数的方法及符号的化简。
2、本节教材内容的地位和作用
“相反数”是初中数学的重要内容，它是在研究了负数的基础上，遵循过渡时期学生的认知特点，既把小学所学的正数、零和初中的负数知识紧密结合起来，又为学生以后顺利掌握绝对值的意义，进行有理数运算打下基础。在以后将要学习的二次根式、方程、函数和相关学科等知识领域都有所渗透。因此，这节课内容对今后的学习具有重要作用。
3、教学重、难点
重点：理解相反数的意义及双重符号的化简；难点：“-a”的理解和双重符号的化简
二、教学目标分析
根据教学大纲要求，教材的具体内容及初一学生的认知特征，确定教学目标如下：
知识目标：（1）、让学生理解相反数的意义及其特征性质；（2）会求一个数的相反数（3）能根据相反数的意义，化简含有双重符号的数。
能力目标：(1)经过观察、思考、分析、发现等学习过程，培养学生分析问题和解决问题的能力。(2)通过对“-a”的理解，培养学生抽象思维能力。(3)由实例出发引导学生得出相反数的特征性质，培养学生从实际问题中抽象出数学问题的能力。
情感目标：(1)通过一系列探求活动，使学生获得解决问题的一些策略，体验成功的喜悦。建立自信心。(2)体会从特殊到一般的辨证唯物主义观点。
三、教法分析与学法指导
“启发引导 突出问题 遵循原则 鼓励探索”将始终贯穿于整个教学环节，本节课采用了启发、探讨式教学方法，在教学中遵循学生的认知规律和兴趣特点，激励学生去想、去思考，以小组讨论、自由辩论等方式，鼓励学生积极发言，主动参与。本节课主要指导学生在获取知识的过程中，学会观察、思考以及由特殊到一般的类比推理方法，养成大胆参与，主动学习的习惯，变“学会”到“会学”。
四、教学过程分析 教学过程设计流程：
（一）、创设情境、引入新课
多媒体显示：两个人从某地反向行走4米。
提 问 ：“两个人都行走了4米”能完全表述此动画意思吗？用数学语言怎么表示？ 再 问 ：+4和-4包含了几层意思？ 将互为相反的两个数融入学生的生活实际，使之得到初步感知。观 察 ： +4和-4在数轴上的位置关系。
再 观 察 ：数轴上与原点的距离是2的点有 个，分别在原点的 边，这些点表示的数是 ；与原点的距离是5的点有 个，分别在原点的 边，这些点表示的数是。若a是一个整数，在数轴上与原点的距离是a的点有几个，分别在原点的左边还是右边，这些点表示的数是什么。
引入数轴，将实际问题抽象到数学问题，为下一步概念的形成做铺垫。
（二）、自主探索，形成概念
问题：+4和-4，+2 和-2，+5和-5，+a和-a每组数有什么相同？什么不同？ 让学生分组观察讨论，发表见解，引导发现它们“符号不同，数字相同”。深入问题1：+4和-2这组数也具有上述特点吗？
深入问题2：“符号不同”体现在数轴上是什么意思？
随着问题的深入，学生可以进一步认识到每组数都含有“只有符号不同”和数轴上“方向相反”两个意思。
问题3：+3这个数有上述特点吗？ 使学生认识到相反数是成对出现的。综合以上各点引导学生得出相反数的概念，只有符号不同的两个数互为相反数。观察思考：数轴上表示相反数的两个点和原点有什么关系？
在以上数轴和数的结合中，学生可以很容易发现：数轴上表示相反数的两个点分别在原点左右，到原点的距离相等，是关于原点对称的。
练一练：
1、写出下列各数的相反数6，-8，-3.9，5/2，-2/11，100，0
（三）、继续探究，深入理解
问题一：从练习1中，你发现了什么规律？
引导学生理清思路，观察、讨论，发现1 ：一个正数的相反数是一个负数，一个负数的相反数是一个正数，0的相反数仍是0。发现2：在一个正数的前面添上“-”号就成为它的相反数。由此类推出：在任意一个数前面添上“-”号就表示原数的相反数。填一填 ：+5 5，100 +100，+a a（填上=、< 或 >）
让学生发现：在一个数前面添上“+”号表示这个数本身。说一说：这些数表示的意义？并化简这些数
-（-68），-（+0.75），+（-3/5），-（+3.8），-（-x），+（-m）试一试 ：化简-{+[-（-9）]} 活动安排循序渐进，由浅入深，从有理数的意义到双重符号乃至多重符号的化简，起到分散难点，逐一突破的目的。
（四）、巩固练习，拓展思维 基础知识题：
1、判断正误（1）任意一个数都有相反数（）（2）正数与负数互为相反数（）（3）若两个数互为相反数，则这两个数一定是一个正数和一个负数（）
2、如果a+b=0，那么（）
A、a、b两个数中一个为正数，一个为负数；B、a、b两数中至少有一个为0； C、一定有a=b=0；D、a、b互为相反数。
能力提高题：
4、如果x+（-4）=0，（+16）+y=0，试求x 2 +y的值。
发展思维题：如果a、b表示有理数，在什么条件下，a+b和a-b互为相反数？ 以上不同层次的练习设置不但可以照顾差生，还可以解放优生，同时也能调动中层学生的积极性，努力达到抓两头，促中间的效果。
（五）、回顾总结，发展情感 回顾：这节课有哪些收获？ 学生回顾之后，加以评价，将零散的知识归纳整理，引导学生感知数学方法，体会辩证思想。
（六）、布置作业，回归实践 ：教科书第14页的2题，18页的3题；
10.初中数学第一章有理数 篇十
高一年级数学学科必修1第一章质量检测试题参赛试卷
宝鸡石油中学
巨晓妮
一、选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分，将答案直接填在下表中）
1.下列各组对象中不能形成集合的是()．．（A）高一数学课本中较难的题（B）高二(2)班学生家长全体（C）高三年级开设的所有课程
（D）高一(12)班个子高于1.7m的学生 2． 已知全集U={0，2，4，6，8，10}，集合A={2，4，6}，B＝{1}，则UA∪B等于（）（A）{0，1，8，10}（B）{1，2，4，6}（C）{0，8，10}（D）Φ 3．下列关系中正确的个数为（）①0∈{0}，②Φ{0}，③{0，1}{（0，1）}，④{（a，b）}＝{（b，a）}
（A）1
（B）2
（C）3
（D）4 4．下列集合中表示空集的是()（A）{x∈R|x＋5＝5}（B）{x∈R|x＋5＞5} 2（C）{x∈R|x＝0} 2（D）{x∈R|x＋x＋1＝0} x2y45．方程组的解集为（）
2xy3（A）{2，1}（B）{1，2}（C）{（2，1）}（D）（2，1）6．设全集U{1，2，3，4，5，7}，集合A{1，3，5，7}，集合B{3，5}，则（）（A）UAB（B）U(CUA)B（C）UA(CUB)（D）(CUA)(CUB)
B{x|m1x2m1}，7．已知集合A{x|2≤x≤7}，且B，若ABA，则（）
（A）－3≤m≤4（B）－3m4（C）2m4（D）2m≤4 8．设P、Q为两个非空实数集合，定义集合P+Q={ab|aP,bQ},若P{0,2,5}, Q{1,2,6}，则P+Q中元素的个数是（）
（A）9（B）8（C）7（D）6 9．若集合A1，A2满足A1A2A，则称（A1，A2）为集合A的一个分拆，并规定：当 且仅当A1=A2时，（A1，A2）与（A2，A1）为集合A的同一种分拆，则集合A{1，2，3 }的不同分拆种数是（）
爱学啦高中学习网 爱学啦高中学习网，各科学习方法免费试卷教案课件视频与大家分享
（A）27（B）26（C）9（D）8 10．已知全集I{x|xR}，集合A{x|x≤1或x≥3}，集合B{x|kxk1，kR}，且(CIA)B，则实数k的取值范围是（）
（A）k0或k3（B）2k3（C）0k3（D）1k3
二、填空题（本题共5小题；每小题5分，共25分．把答案填在题中横线上）11．满足条件{1，3}∪M＝{1，3，5}的所有集合M的个数是.12．设A = x,yy4x6，B =x,yy5x3，则A∩B =_______.13．若A={0，1，2，4，5，7，8}，B={1，3，6，7，9}，C={3，4，7，8}，那么集合
（A∩B）∪C=____________________.14． 已知AB3，(CUA)(CUB)xNx9且x3，CUAB4,6,8，ACUB1,5，则A= ,CUAB。
15.定义A－B={x|xA且xB}, 若A={1，2，3，4，5}，B={2，3，6}，则A－（A－B）=
.三、解答题：（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．（本小题12分）用列举法表示下列集合：
(1)A＝｛x∈Z｜6∈N｝ 2x2(2)B＝｛y｜y＝－x＋6，x∈N，y∈N｝
2(3)C＝｛(x，y)|y＝－x＋6，x∈N，y∈N｝
17.（本小题12分）某班共有27人参加数学、物理、化学兴趣小组，其中参加数学兴趣小组的有21人，参加化学兴趣小组的有10人，参加物理兴趣小组的有17人，同时参加数学、物理兴趣小组的有12人，参加数学、化学兴趣小组的有6人，三个兴趣小组都参加的有2人。问同时参加化学、物理兴趣小组的有几人？
爱学啦高中学习网 爱学啦高中学习网，各科学习方法免费试卷教案课件视频与大家分享
18.（本小题12分）已知集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A={x||x－2|＜1 x∈N+}，x1﹤0 x∈N+ }, x2试写出A∩B，A∪B,(CuA)∪B, A∩(CuB),(CuA)∩(CuB)(CuA)∪(CuB)． B={x|
19.（本小题12分）已知集合A＝｛x｜ax＋2x＋3＝0，a∈R，x∈R｝．
2B＝｛x｜x2－2x－3＝0｝，(1)若A中只有一个元素，求a的值，并求出这个元素；(2)若A∩B＝A，求a的取值范围．
20.（本小题13分）已知M={x| 2≤x≤5}, N={x| a+1≤x≤2a1}，若MN，求实数a的取值范围。
爱学啦高中学习网 爱学啦高中学习网，各科学习方法免费试卷教案课件视频与大家分享
21.（本小题14分）已知集合A＝{x|x2axa2190}，B＝{x|x25x60}是否存在实数a使得集合A，B能同时满足以下三个条件：①A≠；②ABB；③A≠B．若存在，求出这样的实数a；若不存在，说明理由．
高一年级数学学科必修1第一章质量检测试题参赛试卷
参考答案
宝鸡石油中学
巨晓妮
一．选择题：
1.A 集合中的元素必须是确定的。2．A UA=0,8,10，故
U
A∪B等于{0，1，8，10}。
爱学啦高中学习网 爱学啦高中学习网，各科学习方法免费试卷教案课件视频与大家分享
3．A ②对，①③④错。
4．D 方程x2＋x＋1＝0没有实数根。5．C 注意方程组的解为有序实数对。6．C 因为BA。
2m1m17．D 依题意，BA，所以m122m4。
2m178．B 共9类。但结果6重复，只能算一个，故有8个元素。
9．A 分A1,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}讨论，结果为1+23+43+8=27。10．A CIA{x|1x3},要使(CIA)B，必须k>3或k+1<1。二．填空题：
11．4 M中一定含有5，故集合M的个数等于集合{1，2}子集的个数。12．{（1，2）} 解方程组得结果。
13．{1，3，4，7，8} AB{1,7}，故（A∩B）∪C={1，3，4，7，8}。
14．{1，3，5}，{0，2，7} 由题薏，全集U={0，1，2，3，4，5，6，7，8}，借助韦恩图可得，A{1,3,5},B{3,4,6,8}，CUAB{0，2，7}。
15.｛2，3｝.解析：由A－B={x|xA且xB}, 得，A－B＝｛1，4，5｝，故A－（A－B）＝｛2，3｝.三．解答题： 16.解：（1）2-x=1，2，3，6，所以x=1，0，-1，-4 故A={1，0，-1，-4}。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。4分
（2）由y06x6，xN,x0,1,2
y6,5,2，所以B={6，5，2}。。。。。。。。。。。。。。。。。8分
（3）根据第（2）题过程得，C={（0，6），（1，5），（2，2）}。。。。。。。12分 17.解：设同时参加化学、物理兴趣小组的有x人。。。。。。。。。。。。。。。1分
画出韦恩图可得。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。5分 三门都参加的2人，只参加数、理两门的10人，只参加数、化两门的4人，只参加数学一门的5人，只参加物理一门的(5-x)人，只参加化学一门的(4-x)人。。。。。。7分
所以，5+10+4+2+(5-x)+x+(4-x)=27,x=3。。。。。。。。。。。。。。。。。11分 故同时参加化学、物理兴趣小组的有3人。。。。。。。。。。。。。。。。。。。12分 18.略（每步2分，共12分）
19.解：(1)当a＝0时，A＝｛x｜2x＋3＝0，x∈R｝＝｛－3｝，适合题意。。。。2分 211当a≠0时，△＝4－12a＝0，得a＝，A＝｛－3｝．故所求a的值为0或。。5分．
33(2)由A∩B＝A得AB，B＝｛－1，3｝。。。。。。。。。。。。。。。。。。6分
爱学啦高中学习网 爱学啦高中学习网，各科学习方法免费试卷教案课件视频与大家分享
当△＝4－12a＜0，即a＞
1时，A＝，A∩B＝A成立。。。。。。。。。。。7分 3当若A中只有一个元素时，由(1)可知AB不成立。。。。。。。。。。。。。8分
1得，a＝－1，A＝｛－1，3｝B。。。。。。。。。10分 a1综上所述，所求a的值为a＞或a＝－1.。。。。。。。。。。。。。。。。。。12分
320.解：当N时，a12a1a2符合题意。。。。。。。。。。。。5分 当△＞0时，由－1＋3＝－a12a1当N时，要使MN，必须有a122a3。。。。。。11分
2a15综上，a9。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。13分
21.解：集合B可以求出，由A是非空集合，且A中所有元素应是B中的元素，同时A中的元素可以是唯一的，解题时可基于以上思路进行．
由已知条件得，B＝{2，3}，又ABB，且A≠B，∴A。。。。。。。。。2分 B．又∵A≠，∴A＝{2}或A＝{3}。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。3分． 当A＝{2}时，将x＝2代入方程x2axa2190，得a＝－3或a＝5。。。。4分 若a＝－3，则A＝{2，－5}；
若a＝5，则A＝{2，3}，均与A＝{2}矛盾，∴a≠－3且a≠5。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。7分。
22当A＝{3}时，将x＝3代入方程xaxa190，得a＝－2或a＝5。。。。8分
若a＝－2，则A＝{3，－5}；若a＝5，则A＝{2，3}，均与A＝{3}矛盾，∴a≠－2且a≠5．。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。12分 综上所述，满足条件的实数a不存在．。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。14分
11.第一章生活中的数学美 篇十一
核心提示：美国数学家克莱因曾对数学美作过这样的描述：“音乐能激发或抚慰情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得智慧，科技可以改善物质生活，但数学却能提供以上一切。”作为科学的语言，数学具有一般语言文学与艺术共有的美的特征，这就是数学在其内容结构与方法上都具有的某种美，但数学美又有自身的独特含义。简单的说，数学美有四个方面的表现形式：和谐美、对称美、简洁美、奇异美
一、和谐美。
一、和谐美
1是一个最简单的数，但同时可以说一切数起源于1。越来越复杂的数系，如：自然数，由1演变出所有自然数：2、3、4、5、6，…，后来再加进它们的相反数：-
1、-
2、-
3、-
4、…；它们依然是和谐的，而且起源于1。黄金分割数0.618，它不仅仅是一个小数，它却是生活中和谐美的代言人。在日常生活中，最和谐悦目的矩形，如电视屏幕、写字台面、书籍、衣服、门窗等，其短边与长边之比为0.618，你会因此比例协调而赏心悦目。甚至连火柴盒、国旗的长宽比例设计，都恪守0.618值。在音乐会上，报幕员在舞台上的最佳位置，是舞台宽度的0.618之处；二胡要获得最佳音色，其“千斤”则须放在琴弦长度的0.618处。最有趣的是，在消费领域中也可妙用0.618这个“黄金数”，获得“物美价廉”的效果。据专家介绍，在同一商品有多个品种、多种价值情况下，将高档价格减去低档价格再乘以0.618，即为挑选商品的首选价格。古希腊断臂维纳斯、雅典娜女神和“海姑娘”阿曼达，其体型结构比例完全符合黄金分割率(在躯干部分，乳房位置的上下长度比；咽喉至头顶和至肚脐之比；膝盖至脚后跟和至肚脐之比等，都是黄金分割数0.618的近似数)，美妙绝伦。可见，黄金分割的美，无处不在，它充分体现了生活中的数学美。
二、对称美
在古代“对称”一词的含义是“和谐”、“美观”。事实上，译自希腊语的这个词，原义是“在一些物品的布置时出现的般配与和谐”。毕达哥拉斯学派认为，一切空间图形中，最美的是球形；一切平面图形中，最美的是圆形。圆是中心对称圆形――圆心是它的对称中心，圆也是轴对称图形――任何一条直径都是它的对称轴。对称美的形式很多，人们对于对称美的追求是自然的、朴素的。对称的建筑物、对称的图案，是随处可见的。如我们喜爱的对数螺线、雪花，知道它的一部分，就可以知道它的全部。绘画中利用对称，文学作品中也有对称手法。在数学中则表现在几何图形中有点对称、线对称、面对称。在几何图形中还有一些深层次的对称美：如图，虽然黄金分割点（在0.618处）不是对称点，但若将左端点记为Ａ，右端点记为Ｂ，黄金分割点记为C，则ＡＣ＝0.618ＡＢ；而且Ｃ关于中点的对称点Ｄ也是Ａ的黄金分割点（因为ＢＤ＝0.618ＡＢ）；再进一层看，Ｄ又是ＡＣ的黄金分割点，Ｃ是ＤＢ的黄金分割点。类似一直讨论下去，这可视为一种连环对称。
三、简洁美
简洁、有效、经济给人以美感，繁琐、臃肿、无谓的消耗则给人以相反的感觉。数学不愿意把１亿写成100000000，而写成108，更不愿意把一亿分之一
写成，而乐于写成10-8。欧拉给出的公式：V－Ｅ＋Ｆ＝２，堪称“简洁美”的典范。世间的多面体有多少？没有人能说清楚。但它们的顶点数Ｖ、棱数Ｅ、面数Ｆ，都必须服从欧拉给出的公式，一个如此简单的公式，概括了无数种多面体的共同特性，能不令人惊叹不已？由它还可派生出许多同样美妙的东西。如：平面图的点数Ｖ、边数Ｅ、区域数Ｆ满足V－Ｅ＋Ｆ＝２，这个公式成了近代数学两个重要分支——拓扑学与图论的基本公式。由这个公式可以得到许多深刻的结论，对拓扑学与图论的发展起了很大的作用。
数学的简洁美，并不是指数学内容本身简单，而是指数学的表达形式、数学的证明方法和数学的理论体系的结构简洁。如数“1”，小至一个原子、粒子；大至一个太阳、一个宇宙……宇宙万物，均可以用“1”来表示。又如公式“C＝2πR”中的周长与半径有着简洁和谐的关系，一个传奇的数“π”把它们紧紧相连。简单举例：计算。面对这个计算题，若贸然用一般的通分的方法来解决，会带来繁杂的计算。当仔细审视这题的特点，发现每一项的分数的分子皆是1，而分母可分别分拆成两个相连的自然数之积，即1×2,2×3,3×4,4×5,5×6,6×7,7×8,8×9,9×10，于是，立即使我们联想到，把每个分数都分拆成两个分数之差。这样一来，尽管计算过程中分数的项数增加了一倍，但出现正负相间的两个相同的分数，中间的项对消了，只剩下首末两项，从而很快获得结果，即。这一简洁的解法，给人以美的享受。我们最常见的钱币为什么只有1、2、5（分、角、元）这三个面值呢？因为只要有了这三个面值，就可以简单支付任何数目的款项，这就蕴藏了数学的简单统一美。
四、奇异美
在中小学数学教材中，很多内容都反映了数学的奇异美。如：用七块板可以拼成一个最简单的正方形，也可以拼出千变万化的复杂图案：如人形、鸟兽、花草、房屋等。通过七巧板拼图练习，学生感到图案之多，出人意料；图形之美，妙趣横生。又如：解答“等差数列｛an｝中a2＋a5＋a12＋a15＝36，求S16。” 分析：由已知可列出首项与公差之间的关系，但两个未知数一个方程一般无法求解。这可到了“山穷水复疑无路”了，这时突然注意到下标特点，第一项下标和第四项下标之和为17，第二项、第三项下标之和为17，所以利用等差数列的性质a1+a16=a2+a17=a5+a12 这又变成了“柳暗花明又一村”了，这是出人意料令人震惊的美，解答这样的题无疑是一种精神上的享受，我们会从恍然大悟中得到答案，体会到一种奇异的美感。再如：椭圆与正弦曲线会有什么联系吗？做一个实验，把厚纸卷起做成一个圆筒，斜割这一圆筒成两部分。如果不拆开圆筒，那么截面将是椭圆；如果拆开圆筒，切口形成的即是正弦曲线。这其中的玄妙是不是很奇异、很美。
我们真切地体会到：数学使我们的生活变得更加美丽。
第二章 数学中的对称美
对称通常是指图形或物体对某个点，直线或平面而言，在大小、形状和排列上具有一一对应关系，在数学中，对称的概念略有拓广常把某些具有关连或对立的概念视为对称，这样对称美便成了数学中的一个重要组成部分，对称美是一个广阔的主题，在艺术和自然两方面都意义重大，数学则是它根本，美和对称紧密相连。
大自然中具备对称美的事物有许许多多，如枫叶、雪花等等，对称本身就是一种和谐、一种美。在数学中的应用也非常广泛，如：大家都非常熟悉的轴对称图形等等，其实根据对称原理在小学数学中各知识领域，均可发现这一规律的应用。如何让学生掌握对称这一基本原理去解决一些实际问题，找到事物之间的内在统一性，用数学的思想去内化这一即简单，又蕴涵深刻哲理的原理，这需要我们深层了解隐藏在问题后面的本质特征，现根据笔者在教学中发现的一些案例，来阐述如何发现数学中的对称美。
一、从回文数中得到启发，巧解等差数列
回文数有许多如：2002年就是一个回文数，下一个回文数就要等到2112年，整数乘法中最有趣的一个回文数就是：1×1=1，11×11=121，111×111=12321。根据这一规律可以巧算出：111111111×111111111=***21，学生对于回文数这一特殊结果，大都觉得非常惊讶，对此产生浓厚的兴趣，感叹数的对称美。对称作为一种美,在宇宙万物中成为一个永恒的定理，就象有阴就有阳，有黑就有白一样，说的更玄乎一些，像现代物理学理论中所推论的那样有正物质就有反物质，如，我们生活中所看到感受到的一切客观事物都是正物质，同样宇宙中也存在我们看不见的能量和正物质一样相等的反物质，这样宇宙才均衡，就像宇宙中有你，同样也存在着“反你”，如果有一天“你们”一握手，那么你和“反你”就顿时消失，就像5+（-5）=0一样，说来有些荒唐，可是这种设想在解答一些难题时，却显得巧妙、易懂。如在小学对程度比较好的学生上等差数列求和时，大都用公式：（首项+末项）×项数÷2来教学，可对于小学生要掌握和理解有一定困难。如一道“有女不善织”的古代算术题：有位妇女不善织布，她每天织的布都比上一天要减少一些，减少 的数量是相等的，她第一天织了五尺，最后一天织了一尺，一共织了三十天，她一共织了多少尺布？这题的难点在于除了第一天和最后一天，中间每天织的布不是整数，而且每天比上一天少织多少布也不易求。可运用对称的思想是这样解答的：假设还有另一位姑娘也和这位妇女一样织布，只不过她与这位妇女织布的情况刚好相反：姑娘每天织的布都比上一天要增加一些，增加的数量是相等的，她第一天织一尺，最后一天织五尺，也织了三十天，由此可知，姑娘和妇女所织布的总长度是相等的，妇女所织的布每天减少的数量与姑娘织布每天增加的布的数量是相等的，因此每天两人共织的布为六尺，三十天共织6×30=180尺，每人织90尺。这题的巧妙之处在于将抽象的一组等差数列求和转化为形象生动的形似回文数一般的对称求和方法，也和物理学中所说的正物质和反物质有异曲同工之妙。其实做为等差数列求和都可以用这种思路解答，运用对称的思维来理解等差数列比单纯讲求和公式要形象、生动的多。
二、从轴对称图形中发现对称原理的运用
根据轴对称图形的一半和对称轴可以精确的画出轴对称图形的另一半图形，这是在教学了轴对称图形后常见的习题。在数学中，轴对称图形同时也为人们研究数学提供了某些启示，例如它在博弈问题中也常运用这一原理。如：桌面上有21个棋子，排成一排，你一次可以拿一粒也可以拿两粒棋子，甚至可以拿三个棋子。想拿哪里的棋子都行，不必按顺序拿，但拿两粒或三粒棋子时必须是相邻的即中间没有空隔或其他棋子，问：“两人轮流拿谁拿到最后一粒谁赢，你如果先拿能保证赢吗？”这题看上去挺复杂，按排列组合众多拿法要想一一分析清楚太费力，其实运用对称原理就非常简单，先拿的人只要先拿走中间一粒，即第十一粒棋，这样左、右两边各剩十粒，这样对方拿左边的棋子，你就拿右边的棋子，并且个数和位置和他对称，如果对方拿右边的棋子，你就按照他拿左边的棋子，总之只要保持左、右两边的棋子剩下的个数和位置一样，只要他有的拿，你也有的拿，因此最后一粒必然落入你手中，因此先拿必胜，如果棋子是20粒（偶数个），你就先拿中间的两粒，让左右两边各剩9粒棋子，这样你就必胜。类似的题目还有如：用若干一元的硬币两人轮流将它摆在一个大圆盘上，要求硬币之间不能重叠，谁摆不下谁算输，是先摆赢还是后摆赢？显然根据对称原理，先摆的人只要先占住圆心，以后对方摆哪你就照他在对面对称着摆出，只要他有
空间摆，那么在相对称的地方也必定有空间摆，直至对方摆不下为止，对方先输。其实这两题的思维方法都来自轴对称图形的基本特征，教师在教学完轴对称图形的内容后可以适当的渗透这方面的知识，学生即乐于学习，又加深对轴对称图形知识的运用和深层理解，发现对称的美，感受到数学的魅力。
三、在方程解题中渗透对称思想，帮助学生从算术思维到代数思维的转变。
大家都知道算术思维是逆向思维，而方程思维是顺向思维。用方程的思维可以解答一些算术方法较难解决的问题。可小学生对算术的解法根深蒂固，可对方程的解法却始终有排斥的心理。如六年级下册的正反比例应用题，许多学生用算术解都做的出来，可是用比例解却总是搞不清正反比例，原因在于他们受算术解法知识的负迁移影响，努力去找问题的答案而不是去找不变的量，对方程缺乏深层的理解，没有认识到方程本身就是运用对称的原理，不论正反比例关键是要找到不变的量，方程的左边和右边就像轴对称图形的左右两边虽然不完全一样但是大小一样。左边和右边找到了不变的量也就找到了方程。同样的在解方程中也可运用对称的原理使得问题简单的多，如：解方程：5x+6=3x+11这题方程的左右两边都有x时如果用初中的知识移项很好解答，可在小学用方程对称的原理也很容易解答：如果方程的左右两边同时拿走3 x，方程左右两边还成立吗？显然依然相等，因此这题就简化为：2 x+6=11，这样的思维方法每个学生都明白，同时也加深了对方程的理解。
“对称”在数学上的表现是普遍的：轴对称、中心对称、对称多项式等，从奇偶性上也可以视为对称，从运算关系角度看互逆运算也可看为对称关系，还有许许多多的地方都体现出它的魅力，就像亚里士多德所说的那样：虽然数学没有明显地提到善和美，但善和美也不能和数学完全分离。因为美的主要形式就是秩序、匀称和确定性，这些正是数学所研究的原则。我们做为新课程理念指导下的教师不仅要传授学生知识，更重要的是要培养学生发现美、创造美的能力，让学生在学数学的过程中发现数学的美，深深的被数学的魅力感动，进一步提高了数学素养，努力去探索世界的真、善、美，就像一位物理学家所说的那样：如果一个理论它是美的，那它一定是个真理。
第三章 数学中的符号美
符号常常比发明它们的数学家更能推应。—F·克莱茵
教学也是一种语言，且是现存的结构与内容方面最完美的语言。„„可以说，自然用这个语言讲话超世主已用它说过话，而世界的保护者继续用它讲话。—C·戴尔曼
人总想给客观事物赋于某种意义和价值，利用符号认识新事物，研究新问题，从而使客观世界秩序化，这便创造了科学、文化、艺术、„„
符号就是某种事物的代号，人们总是探索用简单的记号去表现复杂的事物，符号也正是这样产生的。
文字是用声音和形象表达事物的符号，一个语种就是一个“符号系统”。这些符号的组合便是语言。
人们试图用“精密”的方法研究艺术，这在很大程度上依靠符号，“艺术符号学”这门新兴学科应运而生了，它是美学的一个部分。
1961年，苏联数学家科尔莫哥洛夫把统计学分析应用到诗歌语言研究中，把语言中的转换和其他符号学系统中的转换相比较，论述了符号学的一般意义。
符号对于数学的发展来讲更是极为重要的，它可使人们摆脱数学自身的抽象与约束，集中精力于主要环节，这在事实上增加了人们的思维能力。没有符号去表示数及其运算，数学的发展是不可想象的。
数是科学的语言，符号则是记录、表达这些语言的文字。正如没有文字，语言也难以发展一样。几乎每一个数学分支都是靠一种符号语言而生存，数学符号是贯穿于数学全部的支柱。
古代数学的漫长历程、今日数学的飞速发展；
十七、十八世纪欧洲数学的兴起、我国几千年数学发展进程的缓慢，这些在某种程度上也都归咎于数学符号的运用得当与否，简练、方便的数学符号对于书写、运算、推理来讲，都是何等方便！反之，没有符号或符号不恰当、不简练，是必影响到数学的推理和演算。
然而，数学符号的产生(发明)、使用和流传(传播)却经历了一个十分漫长的过程。这个过程的始终贯穿着自然、和谐与美。
古埃及和我国一样，是世界上四大文明古国之一。早在四千多年以前，埃及人已懂得了数学，在数的计算方面还会使用分数，不过他们是用“单位分数”(分子是1的分数)进行运算的。此外，他们还能计算直线形和圆的面积，他们知道了圆周率约为3.16，同时也懂得了棱台和球的体积计算等。可是记数他们却是用下面的符号(这里面多是写真，显然包含着美)进行的： 10 100 1000 10000 100000 1000000这样书写和运算起来都不方便，比如要写数2314，就要用符号表示。
后来他们把符号作了简化而成为：
古代巴比伦人(巴比伦即当今希腊一带地方)计算使用的是六十进制，当然它也有其优点，因为60有约数2、3、4、5、6、10、12、15、30、60等，这样在计算分数时会带来某种方便(现在时间上的小时、分、秒制及角的度制，仍是六十进制)。巴比伦人已经研究了二次方程和某些三次方程的解法。他们在公元前2000年就开始将楔形线条组成的符号(称为楔形文字)刻在泥板上，然后放到烈日下晒干。同样他们也是用楔形文字表示数的(简洁、粗犷)：
我国在纸张没有发明以前，已经开始用“算筹”进行记数和运算了。“算筹”是指用来计算用的小竹棍(或木、骨棍)，这也是世界上最早的计算工具。用“算筹”表示数的方法是：
记数时个位用纵式，其余位纵横相间，故有“一纵十横，百立千僵”之说。数字中有0时，将其位置空出，比如86021可表示为：
甲骨文字中数字是用下面符号表示的(形象、自如)：
阿位伯数字未流行以前，我国商业上还通用所谓“苏州码”的记数方法(方便、明快)：
它在计数和运算上已带来较大方便。在计数上欧洲人开始使用的是罗马数字：
阿拉伯数字据说是印度人发明的，后传入阿拉伯国家，经阿拉伯人改进、使用，因其简便性而传遍整个世界，成为通用的记数符号。
第四章 在语言中体味数学之美
数学美是一种真实的美，是反映客观世界并能动地改造客观世界的科学美。数学美不仅有表现的形式美，而且有内容美与严谨美；不仅有具体的公式、定理美，而且有结构美与整体美；不仅有语言精巧美，而且有方法美与思路美；不仅有逻辑抽象美，而且有创造美与应用美。在数学教学中，我们应积极创设机会，让学生走近数学语言，体会数学语言给我们带来的数学之美；营造氛围，让学生走进数学语言，学习用数学语言表达。
一、在阅读书面文字时感受数学的概括美。
叶圣陶先生很强调阅读，称其为“美读”。在数学教学中，我们同样要重视引导学生阅读，包括读概念、定律、法则、题目等，要让学生通过阅读时的语气选择、语速变化、语调起伏、语音高低，理解文字所要表达的意思，感受数学语言带来的精确、简练、概括之美。例如，教学“周长”的概念，通过观察、比较、归纳后，揭示了周长的概念：“围成一个图形的所有边长的总和，叫做这个图形的周长。”先让学生各自初读，然后找出关键词；再以小组形式进行研读，讨论每个人找出的关键词是否合理；最后全班进行品读，让学生抓住“围成”、“所有”、“总和”等词语，生动地、有感情地朗读，在不知不觉中，在轻松愉悦的气氛中，学生自然地接受、掌握了周长的概念，体会数学语言意蕴美的同时感受到数学概念中的美。再如，教学《用字母表示数》中的简写规则：“数和字母相乘a×4= 4·a=4 a；1和字母相乘1×x= x；字母和字母相乘a×b= a·b=ab；两个相同字母相乘a×a= a·a= a2，a2读作a的平方。”通过学生的自主阅读和交流汇报，找出这段话中值得注意的地方，获取有用的数学信息，这样的阅读对学生来说印象深刻，同时又能在数学语言中感受到数学的概括之美。
二、在倾听教师语言时体会数学的精致美。
作为一名数学教师，应该清楚地认识到，掌握审美化教学语言艺术，是教学取得成功的一个重要条件，课堂上一句句精心设计的、闪耀着智慧火花、透露着美感的数学语言，能把模糊的事理讲清楚，能把枯燥无味的数学内容讲生动，能把静态的现象讲活起来，学生在倾听之后会主动地追问和探索，使学生的思维处于活跃状态，从而大大提高学习效率。
1、教师语言的科学性。
数学是一门严密、精确的科学，数学语言表述必须严谨、科学，尤其是小学阶段，学生正在打基础，正在初步感受数学美，教学中对各种数学概念以及逻辑关系的表达要求就更高。一方面，教师在引入概念时要讲究科学美，一般来说，数学教材上的概念表述都经过了千锤百炼，反复推敲，是权威和科学的。在引入新概念时，可以先举日常生活中的例子激发学生的兴趣，形成感性认识，但最后必须按照大纲要求进行严密的逻辑推导，推出新的结论，引入新的知识点，并对新的术语进行准确表述。另一方面，教师语言要规范、标准。教师不同于其他行业人员，说的每一句话在学生心中都具有权威性，换句话说，教师的语言能使学生直接而快速地感受到学科魅力。尤其是数学语言，要发音准确、吐字清晰、措辞精当。如“除以”和“除”不能混为一谈；“39是13的倍数”不能说成“39是倍数”等。教师还要有足够的敏感性，发现学生表述中概念模糊或者发音含糊，都要立即纠正。
2、教师语言的引导性。
在课堂教学中，教师既要保证核心内容表述上的严谨性，说话又要富有启发性，引导学生进行发散性思考，让学生一步步接近数学所带来的美感。如，在《分数的初步认识》这节课中，学生不能准确地说好“把谁平均分了，平均分成了几份，谁是谁的几分之一。”要说好这句话，首先要建立在理解的基础上，还要有正确的说话思路，这时，教师就要适当地给予启发和引导，让学生一步一步地完整地表达出来：先说“把谁平均分了”，再说“平均分成了几份”，然后说“谁是谁的几分之一”，最后让学生把这句话连起来。再如，“18÷3”这道算式，教师引导性地提出：“把18平均分成3份，每份是多少？”以及“18里含有几个3？”两种说法之后，提问学生还可以有哪些说法，学生在教师的引导下踊跃发言，提出“18除以3得多少？3的多少倍是18？被除数是18，除数是3，商是多少？两个因数的积是18，其中一个因数是3，另一个因数是多少？”等各种说法。这样由浅入深，循序渐进，学生一步一步地完整地表达了出来，感受到教师引导性语言中的逻辑美。又如，教学《一位数除两位数》时，按照以下六步，引导学生从具体实例中有条理地归纳出计算法则：①分一分，把2根小棒平均分成2份，每份是几根？把4捆小棒（每捆10根）平均分成2份，每份是几根？上面两部分小棒合起来共是多少根？42根小棒（4捆加2根）平均分成2份，结果怎样？②刚才我们是怎样分42根小棒的？会列算式吗？这是一道一位数除两位数的计算，用竖式又应该怎样算呢？③谁能根据分小棒的过程说出42÷2的计算方法？④商十位上的“2”是怎样得来的?这个“2”为什么要写在十位上？个位上为什么是“1”？谁能完整地说出计算过程？⑤把42÷2依次改为36÷3、88÷
4、÷2、88÷8等，让学生随着题目的变化进行完整的试算练习。⑥想一想，上面几题我们都是怎样算的？一个数除两位数，先除
位上的数，商就写
在，再除
，商
。教学中，通过教师富有逻辑性地语言引导，教给学生正确的思维方法，逐步让学生从一些具体的数学事实、数学现象中把握住事物的本质特征，总结出数学的基本原理和规律，从而使其认识水平从感性上升到理性，循序渐进地获得数学之美。
3、教师语言的情感性。
“请动于中而言溢于表，才能打动学生的心，使学生产生强烈的共鸣，受到强烈的感染”，这是指教师的语言要亲切甜美，充满感情色彩，尤其是小学教师，教学语言只有“甜美”才有儿童情趣，才会符合儿童感知觉的特征，才能在无形中陶冶学生的情操、塑造学生的灵魂。教师的语言甜美，既能放松学生的心理，又能激发学生的求知欲，能让学生在轻松、愉快、舒畅、自然的情绪中，集中精力、开拓思路、认真学习。因此，教师一个鼓励的眼神，一句甜美的语言，会让学生心里甜滋滋的，学生会对你充满敬意，喜欢你以至于喜欢你所教的学科。例如，平时经常在课堂上听到的“你真聪明”、“你真棒”等表扬的语言对学生是一种鼓励，哪怕是带有批评性质的语言也应该委婉一点，如面对老师的提问，被请起来的学生没有回答，教师这样说：“刚才这位同学可能正在默默地思考，准备考虑成熟一些再说，现在请别的同学先回答吧！”这时，回答不出的孩子就会自觉地觉得自己不对，老师不但没有批评反而给予肯定，心里很感激老师，学习自然会更专心。俗话说“良言一句三冬暖，恶语伤人六月寒”，因此，教师说话要“甜美”一点，因为亲切而充满关爱的语言，不但使学生喜欢和乐意接受，而且能塑造学生美好的心灵，进而为学生领悟数学美、欣赏数学美打下坚实的情感基础，提高教学效果。
三、在学生语言表述中感受数学的逻辑美。
对于一个小学生来说，语言的逐步掌握和不断发展，会日益丰富思维内容，提高思维能力，同时也能在这其中感受、经历、创造出数学之美。让学生体味数学之美要贯穿于小学数学教学过程的始终，培养学生语言的表达和运用的能力也要贯穿于小学数学教学过程的始终。这就需要使学生通过“说题意”、“说发现”、“说过程”、“说算理”、“说方法”、“说规律”等一系列的“语言表述”，把认识数学的活动、思维的结果表达出来，从而达到既掌握数学基础知识，又能在语言中得到数学美的熏陶的目的。
1、说题意，感受简约美。
数学具有很强的学科特点，所以学生在用语言表达数学题意的时候，重点是说得完整、准确、简练、条理，而不同于语文教学中“说得形象、生动”。如两
名学生看图各编一道题目：①妈妈买来9个苹果，小军吃了2个，还剩几个？②妈妈买来9个又红又大又香的苹果，贪吃的小军一连吃了2个，还剩几个？第②题虽比第①题讲得生动具体，但偏离了数学学科特点，数学不是研究事物外部的特征和属性，而是研究数量之间的关系，因而语言表达的重点应在数量关系的分析上，而不必在文字描述上花大的“笔墨”，这样才能有利于学生体会数学中的简约之美。
2、说发现，感受变换美。
让学生观察主题图、演示、图形后，要求学生说一说看到了什么，发现了什么，提一提相关的数学问题，促使学生有话可说的同时感受数学命题中的变换美。如，教学《两位数加减两位数》，创设“小兔拔萝卜”的情境，灰兔拔了36个萝卜，白兔拔了28个萝卜。师：从图中比发现了什么？能把你的发现编成数学问题吗？生1：哪只兔子拔的萝卜多？哪只兔子拔的萝卜少？生2：两只兔子一共拔了多少个萝卜？生3：灰兔比白兔多拔了多少个萝卜？生4：白兔比灰兔少拔了多少个萝卜？生5：灰兔给白兔几个萝卜两人就同样多？„„这样，让学生在情境中去发现，去寻找数学问题，成为一个数学问题的发现者。一方面可以激发学生的学习兴趣，另一方面可以让学生从不同的数学发现中感受到变换美，从而有效促进学生积极主动地参与到学习活动中去。
3、说过程，感受形式美。
在数学概念的教学中，如果只强调学生死记硬背结论，而忽视知识发生过程的教学，那么学生不仅对概念的理解会不深不透，而且更不能在其中体会到数学概念推理过程中的形式美。学生形成概念的过程，一般按“实践操作——形成表象——语言内化——抽象概括”的思维程序进行，如，教学《能被3整除的数的特征》时，采用四个步骤。第一步，通过操作具体感知。首先，让学生准备一张数位顺序表和一盒小棒，并在个位、十位、百位上依次摆小棒，然后再扩展到千位、万位„„，在学生摆小棒时，要求思考三个问题：①摆出了一个什么数？②用了几根小棒？③摆的数能被3整除吗？第二步，借助表象进行思考。生1：我摆的是501，用了6根小棒，501能被3整除。生2：我摆的是324，用了9根小棒，324能被3整除。生3：我摆的是102，用了3根小棒，102能被3整除。生4：我摆的是314，用了8根小棒，314不能被3整除。„„第三步，语言内化。引导学生分析思考：摆的数有的能被3整除，这个数与小棒的根数有什么关系？让学生各抒己见。第四步，抽象概括。学生通过讨论，总结出：一个数各个数位上的数的和是3、6、9„„的数能被3整除，各个数位上的数的和是1、2、4、5、7、8„„的数不能被3整除，并由此概括出：一个数各个数位上的数的
和能被3整除，这个数就能被3整除。这样，通过直观操作与语言表达协同活动、相互支持和调节，学生就能够比较准确地抽象和概括出能被3整除的数的特征，并在说过程之中感受到数学概念的形式美。
4、说算理，感受辩证美。
思维是有逻辑的，它是一种确定的、前后一贯的、有条有理的、有根有据的。因此在教学中，我们要根据一定的逻辑顺序，教给学生辩证的思维方法，使学生思维的同时感觉到数学美。如计算教学中不仅要掌握计算法则，更重要的是要理解计算的道理。在教学完减法算式中各部分之间的关系后，出示了一道求未知数的题目：Χ―34=62。这时老师引导学生说出：Χ在这道减法算式中是什么数？怎样求出Χ是多少？是根据减法算式中的什么关系来求的？学生可以根据已学的知识，求出Χ的值，并说出求Χ的依据和方法。最后归纳出应用减法算式中各部分之间的关系，可以求出减法算式中的未知数，从而真正掌握了求未知数的方法和算理，也较好的锻炼了学生的语言表达能力。再如教学笔算进位加：34+28，就是4和8、3和2对齐，从个位4和8相加，4加8等于12，满十向十位进1。由于有了这样说的基础，在以后教学分数、小数四则混合运算或有括号的算式都可进行。通过以上“说”的训练，使学生说算理时有根有据，语言表达越来越流畅，思维越来越开阔，认识算理中的辩证美也越来越深刻。
5、说方法，感受应用美。
辨证唯物主义认为，客观事物总是互相影响、互相作用、普遍联系的。“解决实际问题”中的数量关系也是如此，它的条件与条件、条件与问题之间，总是直接地或间接地、明显地或隐蔽地相互联系着，这也是数学美的所在之处。因此，分析“解决实际问题”的过程中，要引导学生在通过寻找、捕捉、挖掘和组合的基础上，说出条件之间、条件与问题之间的种种联系，以帮助学生进一步强化数量关系。“解决实际问题”的教学重点也落在了训练如何有条理地说“方法”上来。如教学两步计算应用题：手工小组做了56朵红花，做的紫花比红花多18朵。一共做了多少朵花？教师可以让学生讲述分析问题以及解决问题的方法：要求一共做了多少朵花，必须先求出紫花有多少朵，即56+18=74（朵）；再求出红花和紫花一共有多少朵，即56+74=130（朵）。另外，在应用所学会的数学方法解决问题时，让学生按照“已知＿和＿，可以求出＿；要求＿必须先求出＿”的句式去说，可以帮助学生明确思维顺序，又使学生在解题方法的叙述中感受到数学的应用之美。
6、说规律，感受典型美。
在学习一些规律、性质、结论时，也要注意培养学生观察、分析、推理的能力，以及有序地表述和感受数学规律中典型美的能力。如在进行“因数和积的关系”内容教学时，学生可以通过观察分析表述：一个因数（25）不变，另一个因数分别扩大5倍、10倍、100倍、500倍，积也随着扩大5倍、10倍、100倍、500倍；又一个因数（25）不变，另一个因数分别缩小5倍、10倍、100倍、500倍，积也随着缩小5倍、10倍、100倍、500倍，从而顺利的推理出“一个因数不变，另一个因数扩大（或缩小）若干倍，积也扩大（或缩小）相同的倍数”。在这个口述的推导过程中和规律的时候，不仅引导了学生借助语言对感性材料进行概括，又有利地培养了学生感受数学美、创造数学美的能力。
【初中数学第一章有理数】推荐阅读：
有理数的加法初中数学教案07-31
初中数学第一课课件09-22
初中数学数轴09-17
初中数学分式09-18
高中数学第一章推理与证明2综合法和分析法教材基础北师大选修2-2讲解06-09
初中数学研修心得07-16
初中数学经典题型08-10
初中数学课堂效率08-19
初中数学年度总结09-10