梯形中位线教案

梯形中位线教案（6篇）

1.梯形中位线教案 篇一

三角形中位线教案设计

三角形中位线教案设计

一、教学目标

1.掌握中位线的概念和三角形中位线定理

2.掌握定理“过三角形一边中点且平行另一边的直线平分第三边”

3.能够应用三角形中位线概念及定理进行有关的论证和计算，进一步提高学生的计算能力

4.通过定理证明及一题多解，逐步培养学生的分析问题和解决问题的能力

5. 通过一题多解，培养学生对数学的兴趣

二、教学设计

画图测量，猜想讨论，启发引导.

三、重点、难点

1.教学重点：三角形中位线的概论与三角形中位线性质.

2.教学难点：三角形中位线定理的证明.

四、课时安排

1课时

五、教具学具准备

投影仪、胶片、常用画图工具

六、教学步骤

【复习提问】

1.叙述平行线等分线段定理及推论的内容(结合学生的叙述，教师画出草图，结合图形，加以说明).

2.说明定理的证明思路.

3.如图所示，在平行四边形ABCD中，M、N分别为BC、DA中点，AM、CN分别交BD于点E、F，如何证明 ?

分析：要证三条线段相等，一般情况下证两两线段相等即可.如要证 ，只要 即可.首先证出四边形AMCN是平行四边形，然后用平行线等分线段定理即可证出.

4.什么叫三角形中线?(以上复习用投影仪打出)

【引入新课】

1.三角形中位线：连结三角形两边中点的线段叫做三角形中位线.

(结合三角形中线的定义，让学生明确两者区别，可做一练习，在 中，画出中线、中位线)

2.三角形中位线性质

了解了三角形中位线的定义后，我们来研究一下，三角形中位线有什么性质.

如图所示，DE是 的一条中位线，如果过D作 ，交AC于 ，那么根据平行线等分线段定理推论2，得 是AC的中点，可见 与DE重合，所以 .由此得到：三角形中位线平行于第三边.同样，过D作 ，且DE FC，所以DE .因此，又得出一个结论，那就是：三角形中位线等于第三边的`一半.由此得到三角形中位线定理.

三角形中位线定理：三角形中位城平行于第三边，并且等于它的一半.

应注意的两个问题：①为便于同学对定理能更好的掌握和应用，可引导学生分析此定理的特点，即同一个题设下有两个结论，第一个结论是表明中位线与第三边的位置关系，第二个结论是说明中位线与第三边的数量关系，在应用时可根据需要来选用其中的结论(可以单独用其中结论).②这个定理的证明方法很多，关键在于如何添加辅助线.可以引导学生用不同的方法来证明以活跃学生的思维，开阔学生思路，从而提高分析问题和解决问题的能力.但也应指出，当一个命题有多种证明方法时，要选用比较简捷的方法证明.

由学生讨论，说出几种证明方法，然后教师总结如下图所示(用投影仪演示).

(l)延长DE到F，使 ，连结CF，由 可得AD FC.

(2)延长DE到F，使 ，利用对角线互相平分的四边形是平行四边形，可得AD FC.

(3)过点C作 ，与DE延长线交于F，通过证 可得AD FC.

上面通过三种不同方法得出AD FC，再由 得BD FC，所以四边形DBCF是平行四边形，DF BC，又因DE ，所以DE .

(证明过程略)

例 求证：顺次连结四边形四条边的中点，所得的四边形是平行四边形.

(由学生根据命题，说出已知、求证)

已知：如图所示，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.

求证：四边形EFGH是平行四边形.‘

分析：因为已知点分别是四边形各边中点，如果连结对角线就可以把四边形分成三角形，这样就可以用三角形中位线定理来证明出四边形EFGH对边的关系，从而证出四边形EFGH是平行四边形.

证明：连结AC.

∴ (三角形中位线定理).

同理，

∴GH EF

∴四边形EFGH是平行四边形.

【小结】

1.三角形中位线及三角形中位线与三角形中线的区别.

2.三角形中位线定理及证明思路.

七、布置作业

教材P188中1(2)、4、7

2.三角形中位线反思 篇二

李红梅

课改下新课标的实施，不但要求每个教师在课堂教学设计上、对学生评价问题上、学生学习方式上等方方面面都要有一个全新的认识和改变。更是要求教与学后教师与教师之间、教师与学生之间有所沟通、有所总结、有所思进。就这些方面下面就是我对“三角形中位线”的课后反思。

在《三角形中位线》的教学中，在《三角形中位线》的教学中，新课程在教材上紧紧围绕着三个目标设计的。这节课的教学目标有以下三点：1.经历概念的发生过程，提高分析能力，理解三角形的中位线概念，知道三角形的中线和中位线的区别。2.经历三角形中位线性质的探索过程，进一步提高和发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力；体会转化的思想方法，进一步感受图形的运动对构造图形的作用。3.掌握三角形中位线的性质定理，能运用三角形中位线定理进行计算和论证，解决简单的现实生活的问题，增强应用能力和创新意识。本节的教学重点和难点有以下两点：

1、本节教学的重点是三角形的中位线定理。

2、三角形的中位线定理的证明、运用有较高的难度，是本节教学的难点。

在课堂导入中，我以创设问题情景的形式，激起学生探索的欲望，激发学习的兴趣。问题是：探索如何测量一个池塘的边上AB两点之间的宽度？办法是只要在池塘外取一点C，取 CA的中点D，在取CB的中点E，此时只需求的DE的长度,就可知AB的长度，这是为什么呢？此时教材体现的是人人是在学习有用的数学。对于导入中设计的这个问题，班级里即使是基础非常差的学生也被吸引到思考的队伍中。引入恰到好处，体现了数学的实用性，数学来源于生活，同时充分激发了学生的学习兴趣。

带着强烈的学习动机，学生们进行合作学习，内容如下：剪一刀，将一张三角形纸片剪成一张三角形和一张梯形纸片，（1）如果要求剪得的两张纸片能拼成平行四边形，剪痕的位置有什么要求？（2）要把所剪得的两个图形拼成一个平行四边形，可将其中的三角形作怎样的图形变换？这样安排的目的一是能出现三角形中位线，引出本节学习的课题；二是为证明三角形中位线的定理埋下伏笔，也是有助于用运动的思想来思考数学问题。此时教学体现的是人人都能获得必需的数学。探究新知识时，采用猜想—验证—归纳—应用的教学步骤，使学生的思维一直处于兴奋状态。特别在讨论后的交流这个环节中，让学生发挥自己的主观能动性。三角形的中位线的性质定理的简单应用，学生们也都能掌握，这个定理在实际生活中的应用事非常广泛的，这一安排体现了标准中的一、二。但是三角形中位线的证明并不是很多学生能想到的，教师的分析不管如何精彩，辅助线的添法不管如何巧妙，学生能否在证明中提高能力，这是个长久的过程，所以此时教学体现的是不同的人在数学上有不同的发展。

巩固新知时的练习设计，对不断变化的图形的中点四边形进行探索，能使学生从中总结方法，发现规律，提高能力。

不足之处：

课前应让学生做好预习，以便课堂上有更多的时间独立思考定理的其他证法，在开课的时候介绍中位线的时候，老师的速度偏慢，而且没有让学生对于性质的证明给予具体的操作。

课件的练习题有几个没有把答案打到上面，学生没有看到。

3.三角形的中位线课件 篇三

教学目标：

知识与能力目标： 理解并掌握三角形中位线的概念，性质，会利用三角形中位线的性质解决有关问题。培养学生解决问题的能力和空间思维能力。

过程与方法目标：1，经历探索三角形性质的过程，让学生动手实践，自主探索，合作交流。

2，通过对问题的探索研究，培养学生大胆猜想。合理论证的科学精神，培养思维的灵活性。

情感与评价目标：通过学生的团结协作，交流，培养学生友好相处的感情。体会数学学科的价值，建立正确的数学学习观。

教学的重点，难点：探索并运用三角形中位线的性质，是本课的重点。从学生年龄特点考虑，证明三角形中位线性质定理的辅助线的添法和性质的灵活应用，运用转化思想解决有关问题是本课的难点。破这个难点，必须理解三角形中位线与中线的区别这个关键问题，正确应用已有的知识，发现并寻找比较的方法。

教学方法：要“授之以鱼”更要“授之以渔”。数学教学不仅要教给学生数学知识，而且还要提示获取知识的思维过程，发展思维能力，是培养能力的核心。对于三角形中位线定理的引入采用发现法 ，在教师的引导下，学生通过探索，猜测等自主探究，合作交流的方法先获得结论再去证明。在此过程中，注重对证明思路的启发和数学思想方法的渗透，提倡证明方法的多样性，而对于定理的证明过程，则运用多媒体演示。

教具和学具的准备： 教具：多媒体，投影仪，三角形纸片，剪刀。学具：三角形纸片，剪刀，刻度尺，量角器。

教学过程：本节课分为六个环节：设景激趣，引入新课——引导探究，获得新知——拼图活动，探索定理——巩固练习，感悟新知——小结归纳，当堂检测， 作业布置

一. 创设问题情景，激发学习兴趣。

问题：你能将任意一个三角形分成四个全等的三角形吗?这四个三角形能拼凑成一个平行四边形吗?

设计意图：这一问题激发了学生的学习兴趣，学生积极主动的加入到课堂教学中，课堂气氛变得较为和谐，课堂也鲜活起来。

学生想出了这样的方法:顺次连接三角形没两边的中点，看上去就得到了四个全等的三角形。

二. 动手实践，探究新知。

1.探究三角形中位线的定义。

问题：你有办法验证吗?

学生的验证方法较多，其中较为典型的方法

生1：沿DE,EF,DF将画在纸上的三角形ABC剪开，看四个三角形能否重合。

生2：分别测量四个三角形的三边长度，判断是否可利用“SSS”来判定三角形全等。

生3：……

师：多媒体课件展示重合法。

引导：上述同学都采用了实验法，存在误差，那么如何利用推理论证的方法验证呢?

师：把连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。(板书)

2.探究三角形中位线定理。

问题：三角形的中位线与第三边有怎样的关系呢?在前面的图中你能发现什么结论呢?(学生的思维开始活跃起来，同学之间开始互相讨论，积极发言)

学生的猜想结果：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半、(板书)

师：如何证明这个猜想的命题呢?

生：先将文字命题转化为几何问题，然后证明。

已知：如图，DE是△ABC的 中位线

求证：DE∥BC，DE=1/2 BC

学生思考后教师启发：要证明两直线平行，可以利用“三线八角”的有关能容进行转化，而要证明一条线段等于另一条线段长度的一半，可采用将较短的线段延长一倍，或者截取较长线段的一半等方法进行转化归纳。

(学生积极讨论，得出几种常用方法，大致思路如下)

生1：延长DE至F，使EF=DE，连接CF，由△ADE≌△CFE，得AD=CF，从而BD=CF，所以，四边形DBCF为平行四边形。得DE∥BC，DE=1/2 BC (一名学生板演，其他学生在练习本上书写过程，幻灯片展示。)

生2：延长DE到F，使EF=DE，利用对角线互相平分的四边形是平行四边形，可得AD=FC，AD∥FC，由此可得到结论。

生3：过点C作CF∥AB，与DE延长线交于F，通过证△ADE≌△CFE，可得AD=FC,AD∥ FC,由此得结论。

师：还有其它不同方法吗?

(学生面面相觑，学生4举手发言)

生4：利用△ADE∽△ABC且相似比为1：2，

师：很好，大家要像这位同学学习，用变化的，动态的，创新的观点来看问题，努力寻找更好更简捷的方法。

这个结论为我们以后解决平行问题，线段的2倍或1/2提供了新的思路。

设计意图:一题引导学生从多个角度证明，丰富学生的联想，开拓了学生的思维

三，学以致用。

师：请同学们自己画一个三角形，画出他的中线，中位线，(一生板演，师巡视指导区别)。待学生完成后，进行变式提问。

问：一个三角形中最多可以画几条中线，中位线。说出他们的联系和区别。(学生交流，探索，思考，验证。)

生：都是三角形内部与边的中点有关的线段，但中位线平行于第三边且等于第三边的一半，三角形的.一条中线把三角形分成两个面积相等的小三角形。

问：你能利用三角形中位线地理说明本节课开始提出的趣题的合理性吗?(学生争先恐后回答，课堂气氛活跃)

做一做：任意一个四边形，将其四边的中点依次连接起来所得新四边形的形状有特征?

当学生不会添辅助线时，教师再作启发，这么多的中点我们会想到什么呢?四边形的问题又可以转化成什么图形的问题呢?使学生能够连结对角线。(学生积极思考发言，师生共同完成此题目的最常见的证法。) 设计意图：学以致用的体验，使学生感受到数学学习是有趣的、丰富的、有价值的.

拓展训练：如果将上例中的“任意四边形”改为“平行四边形，矩形，菱形。正方形”结论又会怎么样呢?(学生课后讨论)

四. 本节小结。

本节课你有什么收获?(小组讨论后，学生总结)

1、回顾知识

2、总结方法

设计意图：这是一次组织与情感的交流，浓缩知识点，突出内容本质，渗透思想、方法.培养自我反馈，自主发展的意识。

五. 当堂检测：如图， △ ABC中，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，若AB=10cm，AC=6cm，求四边形ADEF的周长。

设计意图：当堂检测实现了知识向能力的转化，让学生主动用所学知识和方法寻求解决问题的策略.达到学以致用提高课堂效率。

六，布置作业。

书面作业：教科书94页习题3.3 1.2.3.4

4.梯形中位线教案 篇四

在我的教学工作中，我紧密联系教科书的同时，又会有所创新，我将和大家分享《三角形的中位线》的教学。

《三角形的中位线》所要探究的三角形中位线定理是学生以前从未接触过的内容。因此，在教学中通过创设有趣的情境问题，激发学生的学习兴趣，注重新旧知识的联系，强调直观与抽象的结合，鼓励学生大胆猜想，大胆探索新颖独特的证明方法和思路，让学生充分经历“探索—发现—猜想—证明”这一过程，体会合情推理与演绎推理在获得结论的过程中发挥的作用，同时渗透归纳、类比、转化等数学思想方法。通过本节课的学习，应使学生理解三角形中位线定理不仅指出了三角形的中位线与第三边的位置关系和数量关系，而且为证明线段之间的位置关系和数量关系（倍半关系）提供了新的思路，从而提高学生分析问题、解决问题的能力。

而学生已经学习过有关平行四边形的性质和判定，所以我们要借助于平行四边形的有关知识进行探索和证明。在此过程中注重知识的迁移同时重点渗透转化、类比、归纳的数学思想方法，使学生的优势得以发挥，劣势得以改进，从而提高学生的整体水平。以下是我的教学过程：

（一）教学目标 1.知识目标

（1）了解三角形中位线的概念。

（2）掌握三角形中位线定理的证明和有关应用。2.能力目标（1）经历“探索—发现—猜想—证明”的过程，进一步发展推理论证能力。（2）能够用多种方法证明三角形的中位线定理，体会在证明过程中所运用的归纳、类比、转化等数学思想方法。

（3）能够应用三角形的中位线定理进行有关的论证和计算，逐步提高学生分析问题和解决问题的能力。

3.情感目标

通过学生动手操作、观察、实验、推理、猜想、论证等自主探索与合作交流的过程，激发学生的学习兴趣，让学生真正体验知识的发生和发展过程，培养学生的创新意识。

（二）教学重点与难点

教学重点：三角形中位线的概念与三角形中位线定理的证明.教学难点：三角形中位线定理的多种证明。

（三）教学方法与学法指导

对于三角形中位线定理的引入采用发现法，在教师的引导下，学生通过探索、猜测等自主探究的方法先获得结论再去证明。在此过程中，注重对证明思路的启发和数学思想方法的渗透，提倡证明方法的多样性，而对于定理的证明过程，则运用多媒体演示。

（四）教具和学具的准备

教具：多媒体、投影仪、三角形纸片、剪刀、常用画图工具。学具：三角形纸片、剪刀、刻度尺、量角器。

（五）、教学过程

1.一道趣题——课堂因你而和谐 问题：你能将任意一个三角形分成四个全等的三角形吗？这四个全等三角形能拼凑成一个平行四边形吗？（板书）

（这一问题激发了学生的学习兴趣，学生积极主动地加入到课堂教学中，课堂气氛变得较为和谐，课堂也鲜活起来了。）

学生想出了这样的方法：顺次连接三角形每两边的中点，看上去就得到了四个全等的三角形．

如图中，将△ADE绕E点沿顺（逆）时针方向旋转180°可得平行四边形ADFE。问题：你有办法验证吗？

2.一种实验——课堂因你而生动

学生的验证方法较多，其中较为典型的方法如下：

生1：沿DE、DF、EF将画在纸上的△ABC剪开，看四个三角形能否重合。生2：分别测量四个三角形的三边长度，判断是否可利用“SSS”来判定三角形全等。

生3：分别测量四个三角形对应的边及角，判断是否可用“SAS、ASA或AAS”判定全等。

引导：上述同学都采用了实验法，存在误差，那么如何利用推理论证的方法验证呢？

3.一种探索——课堂因你而鲜活

师：把连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．（板书）问题：三角形的中位线与第三边有怎样的关系呢？在前面图1中你能发现什么结论呢？

（学生的思维开始活跃起来，同学之间开始互相讨论，积极发言）学生的结果如下：DE∥BC，DF∥AC，EF∥AB，AE=EC，BF=FC，BD=AD，△ ADE≌△DBF≌△EFC≌△DEF，DE=BC，DF=AC，EF=AB „„

猜想：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。（板书）师：如何证明这个猜想的命题呢？

生：先将文字问题转化为几何问题然后证明。

已知：DE是ABC的中位线，求证：DE//BC、DE=BC。

学生思考后教师启发：要证明两条直线平行，可以利用“三线八角”的有关内容进行转化，而要证明一条线段的长等于另一条线段长度的一半，可采用将较短的线段延长一倍，或者截取较长线段的一半等方法进行转化归纳。

（学生积极讨论，得出几种常用方法，大致思路如下）

生1：延长DE到F使EF=DE，连接CF,由

可得AD

FC．

生2：延长DE到F使DE=EF，连接AF、CF、CD,利用对角线互相平分的四边形ADCF是平行四边形，可得AD

FC． 生3：将ADE绕E点沿顺（逆）时针方向旋转180°，使得点A与点C重合，即

ADE≌CFE，可得AD

FC．

FC，再由AD=BD，得BD

FC，所以上面通过三种不同方法得出AD

四边形DBCF是平行四边形，DF BC，又因DE，所以DE.师：还有其它不同方法吗？

（学生面面相觑，学生4举手发言）4.一种创新——课堂因你而美丽

生4：过点D作DF//BC交AC于点F ,则 ADF∽ABC 可得

E是AC中点 所以

AE=AF 即

E点与F点重合

1所以

DE//BC 且 DE=BC

2（笔者事先只局限于思考利用平行四边形及三角形相似的性质解决问题，没想到学生的发言如此精彩，为整个课堂添加了不少亮色。）

师：很好，好极了！这种证法在数学中叫做同一法，连老师也没想到。太棒了，大家要向生4学习，用变化的、动态的、创新的观点来看问题，努力去寻找更好更简捷的方法。

5.一种思考——课堂因你而添彩

问题：三角形的中位线与中线有什么区别与联系呢？ 容易得出如下事实：都是三角形内部与边的中点有关的线段．但中位线平行于第三边，且等于第三边的一半，三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分．（学生交流、探索、思考、验证）

6.一种照应——课堂因你而完整 问题：你能利用三角形中位线定理说明本节课开始提出的趣题的合理性吗？（学生争先恐后回答，课堂气氛活跃）

7.一种应用——课堂因你而升华 做一做：任意一个四边形，将其四边的中点依次连接起来所得新四边形的形状有什么特征？

（学生积极思考发言，师生共同完成此题目的最常见解法。）已知：四边形ABCD，点E、F、G、H 分别是四边的中点，求证：四边形EFGH是平行四边形。证明：连结AC ∵ E、F分别是AB、BC的中点，∴ EF是ABC的中位线，∴ EF∥AC且EF=AC，同理可得：GH∥AC 且GH=AC，∴ EFGH，∴四边形EFGH为平行四边形。（板书）其它解法由学生口述完成。

8.一种引申——课堂因你而让人回味无穷 问题：如果将上例中的“任意四边形”改为“平行四边形、矩形、菱形、正方形”，结论又会怎么样呢？（学生作为作业完成。）

9.一句总结——课堂因你而彰显无穷魅力

学生总结本节内容：三角形的中位线和三角形中位线定理。（另附作业）本节课以“如何将一个任意三角形分为四个全等的三角形”这一问题为出发点，以平行四边形的性质定理和判定定理为桥梁，探究了三角形中位线的基本性质和应用。在本节课中，学生亲身经历了“探索—发现—猜想—证明”的探究过程，体会了证明的必要性和证明方法的多样性。在此过程中，笔者注重新旧知识的联系，同时强调转化、类比、归纳等数学思想方法的恰当应用，达到了预期的目的。

5.梯形中位线教案 篇五

第十四讲 中位线及其应用

中位线是三角形与梯形中的一条重要线段，由于它的性质与线段的中点及平行线紧密相连，因此，它在几何图形的计算及证明中有着广泛的应用．

例1 如图2-53所示．△ABC中，AD⊥BC于D，E，F，△ABC的面积．

分析 由条件知，EF，EG分别是三角形ABD和三角形ABC的中位线．利用中位线的性质及条件中所给出的数量关系，不难求出△ABC的高AD及底边BC的长．

解 由已知，E，F分别是AB，BD的中点，所以，EF是△ABD的一条中位线，所以

由条件AD+EF=12(厘米)得

EF=4(厘米)，从而 AD=8(厘米)，由于E，G分别是AB，AC的中点，所以EG是△ABC的一条中位线，所以

BC=2EG=2×6=12(厘米)，显然，AD是BC上的高，所以

例2 如图 2-54 所示．△ABC中，∠B，∠C的平分线BE，CF相交于O，AG⊥BE于G，AH⊥CF于H．

(1)求证：GH∥BC；

(2)若AB=9厘米，AC=14厘米，BC=18厘米，求GH．

分析 若延长AG，设延长线交BC于M．由角平分线的对称性可以证明△ABG≌△MBG，从而G是AM的中点；同样，延长AH交BC于N，H是AN的中点，从而GH就是△AMN的中位线，所以GH∥BC，进而，利用△ABC的三边长可求出GH的长度．

(1)证 分别延长AG，AH交BC于M，N，在△ABM中，由已知，BG平分∠ABM，BG⊥AM，所以

△ABG≌△MBG(ASA)．

从而，G是AM的中点．同理可证

△ACH≌△NCH(ASA)，从而，H是AN的中点．所以GH是△AMN的中位线，从而，HG∥MN，即

HG∥BC．

(2)解 由(1)知，△ABG≌△MBG及△ACH≌△NCH，所以

AB=BM=9厘米，AC=CN=14厘米．

又BC=18厘米，所以

BN=BC-CN=18-14=4(厘米)，MC=BC-BM=18-9=9(厘米)．

从而

MN=18-4-9=5(厘米)，说明(1)在本题证明过程中，我们事实上证明了等腰三角形顶角平分线三线合一(即等腰三角形顶角的平分线也是底边的中线及垂线)性质定理的逆定理：“若三角形一个角的平分线也是该角对边的垂线，则这条平分线也是对边的中线，这个三角形是等腰三角形”．

(2)“等腰三角形三线合一定理”的下述逆命题也是正确的：“若三角形一个角的平分线也是该角对边的中线，则这个三角形是等腰三角形，这条平分线垂直于对边”．同学们不妨自己证明．

(3)从本题的证明过程中，我们得到启发：若将条件“∠B，∠C的平分线”改为“∠B(或∠C)及∠C(或∠B)的外角平分线”(如图2-55所示)，或改为“∠B，∠C的外角平分线”(如图2-56所示)，其余条件不变，那么，结论GH∥BC仍然成立．同学们也不妨试证．

例3 如图2-57所示．P是矩形ABCD内的一点，四边形BCPQ是平行四边形，A′，B′，C′，D′分别是AP，PB，BQ，QA的中点．求证：A′C′=B′D′．

分析 由于A′，B′，C′，D′分别是四边形APBQ的四条边AP，PB，BQ，QA的中点，有经验的同学知道A′B′C′D′是平行四边形，A′C′

与B′D′则是它的对角线，从而四边形A′B′C′D′应该是矩形．利用ABCD是矩形的条件，不难证明这一点．

证 连接A′B′，B′C′，C′D′，D′A′，这四条线段依次是△APB，△BPQ，△AQB，△APQ的中位线．从而

A′B′∥AB，B′C′∥PQ，C′D′∥AB，D′A′∥PQ，所以，A′B′C′D′是平行四边形．由于ABCD是矩形，PCBQ是平行四边形，所以

AB⊥BC，BC∥PQ．

从而

AB⊥PQ，所以 A′B′⊥B′C′，所以四边形A′B′C′D′是矩形，所以

A′C′=B′D′． ①

说明 在解题过程中，人们的经验常可起到引发联想、开拓思路、扩大已知的作用．如在本题的分析中利用“四边形四边中点连线是平行四边形”这个经验，对寻求思路起了不小的作用．因此注意归纳总结，积累经验，对提高分析问题和解决问题的能力是很有益处的．

例4 如图2-58所示．在四边形ABCD中，CD＞AB，E，F分别是AC，BD的中点．求证：

分析 在多边形的不等关系中，容易引发人们联想三角形中的边的不

形中构造中位线，为此，取AD中点．

证 取AD中点G，连接EG，FG，在△ACD中，EG是它的中位线(已知E是AC的中点)，所以

同理，由F，G分别是BD和AD的中点，从而，FG是△ABD的中位线，所以

在△EFG中，EF＞EG-FG． ③

由①，②，③

例5 如图2-59所示．梯形ABCD中，AB∥CD，E为BC的中点，AD=DC+AB．求证：DE⊥AE．

分析 本题等价于证明△AED是直角三角形，其中∠AED=90°．

在E点(即直角三角形的直角顶点)是梯形一腰中点的启发下，添梯形的中位线作为辅助线，若能证明，该中位线是直角三角形AED的斜边(即梯形另一腰)的一半，则问题获解．

证 取梯形另一腰AD的中点F，连接EF，则EF是梯形ABCD的中位线，所以

因为AD=AB+CD，所以

从而

∠1=∠2，∠3=∠4，所以∠2+∠3=∠1+∠4=90°(△ADE的内角和等于180°)．从而

∠AED=∠2+∠3=90°，所以 DE⊥AE．

例6 如图2-60所示．△ABC外一条直线l，D，E，F分别是三边的中点，AA1，FF1，DD1，EE1都垂直l于A1，F1，D1，E1．求证：

AA1+EE1=FF1+DD1．

分析 显然ADEF是平行四边形，对角线的交点O平分这两条对角线，OO1恰是两个梯形的公共中位线．利用中位线定理可证．

证 连接EF，EA，ED．由中位线定理知，EF∥AD，DE∥AF，所以ADEF是平行四边形，它的对角线AE，DF互相平分，设它们交于O，作OO1⊥l于O1，则OO1是梯形AA1E1E及FF1D1D的公共中位线，所以

即 AA1+EE1=FF1+DD1．

练习十四

1．已知△ABC中，D为AB的中点，E为AC上一点，AE=2CE，CD，BE交于O点，OE=2厘米．求BO的长．

2．已知△ABC中，BD，CE分别是∠ABC，∠ACB的平分线，AH⊥BD于H，AF⊥CE于F．若AB=14厘米，AC=8厘米，BC=18厘米，求FH的长．

3．已知在△ABC中，AB＞AC，AD⊥BC于D，E，F，G分别是AB，BC，AC的中点．求证：∠BFE=∠EGD．

4．如图2-61所示．在四边形ABCD中，AD=BC，E，F分别是CD，AB的中点，延长AD，BC，分别交FE的延长线于H，G．求证：∠AHF=∠BGF．

5．在△ABC中，AH⊥BC于H，D，E，F分别是BC，CA，AB的中点(如图2-62所示)．求证：∠DEF=∠HFE．

6．如图2-63所示．D，E分别在AB，AC上，BD=CE，BE，CD的中点分别是M，N，直线MN分别交AB，AC于P，Q．求证：AP=AQ．

6.三角形的中位线观课报告 篇六

张老师这节课通过生活中的情境问题——平分蛋糕入手创设了一个现实情景，让学生根据生活经验思考，带着问题去学习，将生活问题数学化，激发了学生的探索欲望。教学基本功非常扎实，讲课充满激情，教学上很有创新意识，整个教学过程始终围绕教学目标展开，层次清楚，环节紧凑，并注意引导学生通过观察、分析、动手实践、自主探索、合作交流等活动，突出体现学生对知识的获取和能力的培养。

一、体现目标、评价、教学一致性，实现三位一体

这节课的教学目标明确：

1、通过画图、剪拼三角形等活动，理解三角形的中位线概念并能画出给定三角形的中位线。

2、经历动手-猜想-证明三角形中位线定理的探索过程，体会转化思想，提高逻辑推理能力。

3、在练习过程中能灵活运用三角形中位线定理进行计算和证明，提高分析问题、解决问题的能力。并针对每一个目标制定了一个评价方案：①通过提问，评价学生是否能用自己的语言为三角形中位线下定义，并利用练习评价目标的达成情况；②通过第二环节的个别提问和小组展示评价学生能否探究得出三角形中位线定理，评价目标的达成情况；③通过第三环节，一般与特殊的转化，引导学生逐步深入思考，探索问题解决的方法，感受万变不离其中的数学本质，评价目标的达成情况。针对每一个目标，设计评价及时掌握学生的目标达成情况。

二、以活动为主线，发现问题并探究解决方案

新课标指出：“学生是数学学习的主人”，教师要“向学生提供充分从事数学活动的机会”，并指出：“动手实践、自主探索、合作交流是学生学习数学的重要方式”。因此在设计时“要珍视学生独特的感悟、体验和理解”，这节课设计分蛋糕的情境，并将蛋糕抽象成三角形这一几何图形，将生活问题数学化，并得出三角形中位线的概念；通过动手量、拼等活动猜想三角形中位线与第三边的关系，并尝试用几何推理进行验证。在教学过程中，既有教具的实物演示，也有结合图形的具体分析；既有学生方案的投影展示，也有几何画板的动态演示；既有学生的板演，也有课件的呈现。让学生感悟数学来源于生活，并服务于生活。通过多样化的内容呈现形式，让学生经历探索、猜想、验证的过程，引导学生积极主动地思考。

三、这节课的不足在于学生动手剪、拼时由于工具的使用不够熟练，耽搁了一点时间，以及时间的分配上不是很合理，导致当堂检测没有完成。几个小建议：⑴对学生今后的小组探究活动，还要进一步加强训练、指导，在小组活动前要提出明确的要求，在活动中要加强巡视和指导，以激发学生探究的热情，发挥课堂探究的最大效益。⑵要注意提问的有效性。⑶老师少讲，少包办，多让学生展示，学生在回答时老师不要迫不及待地打断、重复或提示。⑷合理分配时间。⑸在如何调动课堂气氛上要动一番脑筋。

总之，本节课利用学生生活中的问题，让学生经历将实际问题数学化的过程，体会“生活中处处有数学，生活中时时用数学”。教

师的角色是引导者、合作者、组织者，通过数学活动与小组的交流，让学生有更多的展现自我的机会，并给予鼓励。

三角形的中位线》效果分析本节课的课前的问题情境为学生营造了轻松愉悦的氛围，使得学生乐于参与课堂。绝大多数学生能够认真思考，踊跃发言，大胆质疑，积极参与课堂活动，下面我针对目标达成情况进行具体分析：1学生能够能用自己的语言为三角形中位线下定义，99%的同学能够完整准确地找出给定三角形的中位线，并完成练习一，个别同学找得不全。2学生能够通过拼、量等方法猜想三角形中位线与第三边关系，并在拼的过程中，感受三角形转化为平行四边形的转化思想。在小组交流的基础上，部分同学能够给出证明方法并在全班范围分享，99%的同学能够能整理出证明的思路。3学生能够运用三角形中位线定理解决简单问题，90%以上学生能完成抢答练习，但是对于第（1）小题的几何语言表述不是特别规范，通过练习，到第（5）小题表述较为准确，对于四边形中点所构成的形状证明问题，一般与特殊的转化，引导学生逐步深入思考，探索问题解决的方法80%以上同学能灵活应用三角形中位线定理，独立完成

本课是以平行四边形的有关知识为基础，引出三角形中位线的概念，进而探索研究三角形中位线的性质，最后利用性质定理进行有关的论证和计算，步步衔接，层层深入，形成知识的链条。学好本课不仅为以后梯形中位线打下良好的基础，做好了铺垫而且为今后证明

线段平行和线段倍分关系提供了重要的方法和依据。可见，三角形中位线在整个知识体系中占有相当重要的作用，起到承上启下的作用。

今天王老师、郑老师和吴老师共同展示了同一节课，三位老师教学基本功非常扎实，或字体潇洒流畅，或充满激情，教学上很有创新意识，都是深受学生喜爱的优秀教师。整个教学过程始终围绕教学目标展开，层次比较清楚，环节紧凑，并注意引导学生通过观察、分析、动手实践、自主探索、合作交流等活动，突出体现了学生对知识的获取和能力的培养。具体体现在以下几个方面：

1、充分展现概念的生成过程。在教学三角形中位线的定义时，三位老师没有直接把“连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线”这个定义直接地呈现给学生，而是通过生活中的实例（王老师：测量池塘的宽度，郑老师：测量校园池塘两点之间的距离，吴老师：测量和平中学食堂两个入口的宽度）自然呈现；再利用三角形的中位线性质来解释生活中的实例，使学生更深的体会“数学来源于生活，应用于生活”的道理，很真实，很自然。

2、充分运用比较的方法，突出重点。比较指的是人脑把一些事物和现象放在一起进行对比的思维过程。在教学中充分运用比较的方法，有助于突出教学重点，突破教学难点，从而扎实地掌握数学知识，发展逻辑思维能力。在学习了三角形的中位线之后，三位老师都让学生和初一（下）学过的三角形的中线作比较，其中吴老师采用表格的形式，更是直观，符合学生认知的特点。

3、注重学生的自主探索。学生所要学习的知识不应当都以定论的形式呈现，而是应当给学生提供进行探索性的学习的机会，作为教师需要的是加以适当的点拨。三角形的中位线定理既是本课的教学重点也是难点，郑老师和吴老师提供三角形纸片给学生，让他们通过小组合作的方式进行观察、思考和讨论交流，较好地体现了学生的主体性和教师的主导性。不仅使学生经历了知识的形成过程，而且使学生在获取知识的过程中，学会了与他人的合作与交流，有助于自身素质的提高。

4、重视几何语言的描述。在讲到三角形中位线定理时，三位老师在板书上都做了几何语言描述，但如果能要求学生在书本上也这样记录可能效果会更好，因为这种好习惯的培养将使学生在以后上几何知识的学生中收益匪浅。

5、要机智、智慧地利用好课堂生成。华东师大教育系叶澜教授曾作过这样精辟的论述：“课堂应是向未知方向挺进的旅程，随时都可能发现意外的通道和美丽的图景，而不是一切都必须遵循固定线路而没有激情的行程。” 三位老师在关注学生在课堂中的生成做得还不到位，还有待提高。

6、教师的作用在这节课得到很好的发挥。具体体现在以下三个方面：点拨到位、引导恰如其分、评价恰当

7、几个小建议：

1、对学生今后的小组探究活动，还要进一步加强训练、指导，在小组活动前要提出明确的要求，在活动中要加强巡视和指导，以激发学生探究的热情，发挥课堂探究的最大效益。

2、要注意提问的有效性。

3、老师少讲，少包办，多让学生展示，学生在回答时老师不要迫不及待地打断、重复或提示。

4、合理分配时间。

5、在如何调动课堂气氛上要动一番脑筋。

任何一节课都不可能十全十美，“只要是真实的，就会有缺憾”，一节课如果能做到以下几点，或许算是比较理想的课堂教学了：

（一）有反映数学本质激发学习兴趣和求知欲望的问题情境，能引发学生积极思索、尝试探究。

都说兴趣是最好的老师，怎样让你的数学课吸引学生的注意力，期待你数学课而不是一种折磨，不同的老师有不同的手段，比如：个人魅力，语言幽默、风趣，气质高贵；爱自己的学生，让学生感受到你的爱；但怎样让你的学生喜欢你的课堂又要提高成绩，恐怕我们得在每节课的引入方面下一番功夫了。

（二）在教学方法和手段上有突破学习难点的措施，帮助学生理解，实现有意义学习。比如：画一个角等于已知角的处理。（打台球）

（三）在教学设计和教学策略上有吸引人的亮点或创新，能引发同行思考、学习借鉴。亮点能吸引人的眼球，理想的课堂教学都有自己的亮点，“教无定法，贵在得法”，得法之处其实就是亮点，如果这个亮点一般的人没有想到，或者想到了但没有实施的行为，他做了，而且做得较为成功，那么这个亮点更能吸引人的眼球，引人思考，这就是创新，可以供同行学习借鉴。

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本节课是三角形的中位线第1课时，主要研究的是：经历探索三角形中位线定理等重要命题的过程，发展合情推理能力；能运用三角形中位线定理解决简单的应用问题.下面我就本节课的教学中具体环节和教学方法进行反思.首先，环节一：创设情境、提出问题.在教学中通过创设有趣的情境：“如图(两个三角形)：有位幼儿园的教师给四个小朋友分一块三角形蛋糕，要使得分成的四块蛋糕面积相同，你有哪些方法？”这里创设了一个现实情景，让学生根据生活经验思考，带着问题去学习，将生活问题数学化，激发学生探索欲望.教学中学生积极思考，两种方法解决问题，从而引出课题：三角形的中位线.其次，本节课的重点内容是“探求新知、合作交流”.为此我设计了两个活动完成.活动1：探究中位线性质：

请同学们自己用手中的直尺作任意一个三角形，并作出一条中位线，仔细观察图形中的边和角，你发现了什么？请借助你手中的直尺和量角器验证你的发现？

为此我设计的学生活动是：

1、个人独立观察，测量，猜测得出中位线与第三边的关系；

2、小组为单位交流结果.通过这个环节，对提出问题的思考和解决揭示三角形中位线与底边的关系.学生通过独立思考与分组动手操作，激发学生学习的兴趣，增加学生的感性认识，同时培养了学生合作的良好习惯，体现学生学习的过程，并培养学生的合作意识.同时，我又利用几何画板演示边的长短和角的关系.针对中位线的位置与数量关系，演示分为两步：

1、改变三角形的形状，即改变角的大小

2、改变底边的长度.两步演示，让学生观察变化过程中变化过程.数学实物或教具做实验和几何画板做实验,发挥各自的优势，相互补充.紧接着我提出疑问：三角形中位线的性质只是我们通过直接的观察得到的，它一定是正确的吗？让人总感觉到有点不敢相信，能不能让我们通过推理的方式把它的正确性加以验证呢？

从而引导学生思考理论论证三角形中位线的方法，这也是本节课的重点难点.活动2：证明中位线定理

为降低问题难度，我引导学生利用三角形图片，通过剪拼、旋转等方式，将一个三角形转化成平行四边形，思考辅助线的做法，发动学生以小组为单位，放手让学生思考，评论，探究解决问题的多种办法.引导学生进行证法的探究并及时表扬、鼓励，培养了学生的发散思维，创造能力，加强学生对定理的理解，培养了学生归纳概括的能力.在学生讲解过程，师生对话，生生对话，分析辅助线添加方法和理由即延长和截取，帮助学生理解添加辅助线的技巧.本班学生基础知识比较扎实，接受新知识的意识较强，对于本章有关平行四边形的性质和判定的内容掌握较好，证明过程比较顺利完成.证明过程之后对定理内容我让学生总结定理，一个题设两个结论，（一个是位置关系，一个是数量关系，根据需要选用相应的结论）它提供了一种证明直线平行和线段数量关系的新方法，应用定理的关键是找出结合定理的基本条件，并思考更多种添加辅助线的方法证明中位线定理.整个教学环节中，学生充分经历“探索—发现—猜想—证明”这一过程，体会合情推理与演绎推理在获得结论的过程中发挥的作用，同时渗透归纳、类比、转化等数学思想方法.通过本节课的学习，应使学生理解三角形中位线定理不仅指出了三角形的中位线与第三边的位置关系和数量关系，而且为证明线段之间的位置关系和数量关系（倍分关系）提供了新的思路，从而提高学生分析问题、解决问题的能力.本节课以“问题”为出发点，再以已学的定理为桥梁，探究了三角形中位线的基本性质和应用.在本节课中，学生亲身经历了“探索—发现—猜想—说理”的探究过程，体会了说理的必要性和说理方法的多样性.我深深地感到一个理想的课堂应该是走进孩子们的心里、听到孩子们心声的课堂.因为只有融入了孩子们发自内心的感受和爱，课堂才会更加精彩！