相似三角形的证明思路

相似三角形的证明思路（18篇）

1.相似三角形的证明思路 篇一

“图形的相似”是初中数学的内容之一,相似三角形的判定、性质和应用是其中最重要的内容,从历史上看,相似三角形很早就已经为人们所认识. 大约公元前20世纪,在古巴比伦泥版文献中就已经出现相似三角形的应用问题;公元前6 世纪,古希腊的工程师欧帕里诺斯在设计隧道挖掘工程时就可能运用了相似三角形的性质;古希腊几何学的鼻祖泰勒斯曾多次利用相似三角形的性质来解决相关测量问题;我国古代数学著作《九章算术》中的远距离测量技术也是以相似三角形的性质为基础的. 下面来讲些实例.

我国明末清初时的“梅氏数学家家族”祖孙四代人,共有十多位数学家. 其主要代表人物是梅文鼎和他的孙子梅珏成.

这里有一则关于梅珏成的记载:一天,他外出游玩时,看见路边有几个农民正在测量一块直角三角形形状的田地. 他就走过去,询问起来. 原来这几个农民想在这块直角三角形田上砌一个正方形的池子,并要求这个正方形的面积尽可能大.

梅珏成问明了两个测量出来的数字(一条直角边长24 米,另一条直角边长10尺)以后,说:“这很简单,只要设所求的正方形边长为x,利用两个相似三角形的对应边成比例关系,即可得:24∶x=10∶(10-x),(尺),即为所求. ”

几个农民听完后,连声称赞道:“先生真了不起!我们对算术可是一窍不通. ”亲爱的同学,你可听明白了梅珏成的话没有?

我国《九章算术》勾股章有如下两道问题,你能写出解题过程吗?

例1今有邑方二百步,各开中门.出东门一十五步有木.问:出南门几何步而见木?(如图1)

例2今有井径五尺,不知其深.立五尺木于井上,从木末望水岸,入径四寸. 问:井深几何?(如图2)

古希腊几何学的鼻祖泰勒斯年轻时游历埃及,测得金字塔的高度.请你复原泰勒斯的测量方法.(参见图3)

古希腊第八大岛屿———萨默斯岛上有一条修建于公元前6 世纪的供水萨默斯隧道,如图4,隧道长1 036 米,横截面宽和高各为1.8 米,笔直地穿过了一座小山.为了缩短建成时间,设计者欧帕里诺斯让工程队从小山两边同时开始挖掘,两队在山体中间会合.

试想,在2500 多年前,没有任何现代化的仪器,如何保证两支工程队不偏不倚正好在山底的某处相遇?令人惊叹的是,欧帕里诺斯做到了,隧道一线贯通,两支工程队会合得天衣无缝.他是怎么做到的呢?与我们所学的相似三角形有什么关系呢?你想知道其中的奥秘吗?

欧帕里诺斯实质是聪明地运用了相似三角形知识(定义、判定定理),保证了四点共线,才创造了一个水利工程奇迹.

他是这样解决这个问题的:要在两个入口A与B之间挖一条隧道.从B点处出发任作一直线段BC,过C作BC的垂线CD,然后,依次作垂线DE、EF、FG、GJ,直至接近A点.在每一条线段的一个端点处能看到另一个端点.在最后一条垂线GJ上选取点J,使得AJ垂直GJ.设AK为CB的垂线,K为垂足,则AK=CD-EF-GJ,BK=DE+FG-BC-AJ.再在BC和AJ上分别取点L和点N,过点L和点N分别作BC和AJ的垂线,在两垂线上分别取点M和点P,使得,于是有Rt△BLM、Rt△BKA、Rt△ANP为一组相似三角形,因此,点P、A、B、M在一条直线上.所以,只需保证在隧道挖掘过程中,工人始终能看见点P和点M的标识即可.

2.如何判定相似的三角形 篇二

相似三角形判定，供参考。

一、判定两个三角形相似的基本定理.

1、如果两个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

2、如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。

3、如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。 .

二、相似三角形最基本的图形需熟练掌握

1、A型，直线D E截两边可得 4个三角形与原AA B C相似.

2 、X型，直线D E截两边延长线可得2个三角形与原AA BC相似.

3、公共角

因此，两个相似三角形经过平移、 旋转、 翻折后依然相似.

4、两个全等的三角形一定（肯定）相似。

5、两个等腰直角三角形一定（肯定）相似（两个等腰三角形，如果其中的任意一个顶角或底角相等，那么这两个等腰三角形相似）

6、两个等边三角形一定（肯定）相似。

7、直角三角形相似判定定理

（一）斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。

（二）直角三角形被斜边上 的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，并且分成的两个直角三角形也相似。

三、三角形判定的例题分析

例在一次数学活动课上，老师带领学生去测教学楼的高度，在阳光下测得身高1.6 5 m的甲同学的影长 BA为 1.1 m， 与此同时， 测得教学楼的影长 D F为 1 2 .1 m， 如图1所示。请你根据已测得的数据，求教学楼 DE的高度。（精确到0.1m）

图1 图2

分析：这里我们把太阳光看作为平行光线， 即如图2中的AC与EF互相平行， 于是本问题可以转化在?ABC和?FDE中，利用 AC∥EF证得?ABC∽?FDE.由相似三角形对应边成比例可以求出DE的长。

解： 如图2

∵AC∥EF

∴∠CAB=∠EFD

又∵CB⊥AB，ED⊥FD

∴∠CBA=∠EDF=90°

∴?ABC～?FDE

∴BC/DE=BA/DF

即1.65/DE=1.1/12.1

∴DE≈18.2（m）

因此，教学楼DE的高度约为18.2m.

点评：本题目借助相似三角形的性质解决实际问题，关键是寻找二角形相似的条件，利用太阳光是平行光以及人、楼与地难亩画出相应的图形构造相似三角形，然后通过相似三角形对应边成比例得出关系式求解。

3.相似三角形的判定教案 篇三

一、尊重学生主体地位

本课以学生的自主探究为主线：课前学生自己对比例线段的运用进行整理。这样不仅复习了所学知识，而且可以使学生逐渐学会反思、总结，提高自主学习的能力;课堂上学生亲身体验“实验操作—探索发现—科学论证”获得知识(结论)的过程，体验科学发现的一般规律;解决问题时学生自己提出探索方案，学生的主体地位得到了尊重;课后学有余力的学生继续挖掘题目资源，发展的眼光看问题，观察运动中的“形异实同”，提高学习效率，培养学生思维的深刻性。

2 教师发挥主导作用

在探究式教学中教师是学生学习的组织者、引导者、合作者、共同研究者，鼓励学生大胆探索，引导学生关注过程，及时肯定学生的表现，鼓励创新，哪怕是微小的进步或幼稚的想法都给予热情的赞扬。备课时思考得更多的是学生学法的突破，上课时教师只在关键处点拨，在不足时补充。教师与学生平等地交流，创设民主、和谐的学习氛围，促进教学相长。

3 提升学生课堂关注点

学生在体验了“实验操作——探索发现——科学论证”的学习过程后，从单纯地重视知识点的记忆、复习变为有意识关注学习方法的掌握，数学思想的领悟。如在原问题的取点中教师小结了从特殊到一般的归纳，学生在探究矩形的比值时就能意识地把解决特殊问题的策略、方法迁移到解决一般问题中去。在课堂小结中，学生也谈到了这点体会，而且还感悟了一题多解、一题多变等数学学习方法。

4.相似三角形的说课稿 篇四

从几何对象研究的大背景出发，给学生一个研究问题的基本途径。从而让学生自然明白本节课的学习目标：相似三角形的性质。

(二)提出问题，感受价值，探究解决

师：就你目前掌握的知识，你能说出相似三角形的1-2条性质吗?并说明你的依据。

生：相似三角形的对应角相等，对应边成比例。根据是相似三角形的定义。

师：对于相似三角形而言，边和角的性质我们已经得到，除边角外你认为还有哪些量之间的性质值得我们研究呢?

设计意图：

我们常常会说：提出问题比解决问题更重要。但是作为教师，我们应该清醒地认识到，学生提出问题的能力是需要逐步培养的。此处设问就是要培养学生提出问题的能力。我希望学生能提出周长、面积、对应高、对应中线、对应角平分线之间的关系来研究，甚至于我更希望学生能提出所有对应线段之间的关系来研究。估计学生能提出这其中的一部分问题。如果学生能提出这些问题(如相似三角形周长之比等于相似比等)，就说明他的生活经验的直觉已经在起作用了。如果学生提不出这些问题，说明他的生活直觉经验还没有得到激发，我可以利用前面提到的放大镜问题、大小两幅地图问题等逐步启发，激发学生的一些源自生活化的思考，从而回到预设的教学轨道。

师：对于同学们提出的一系列有价值的问题，我们不可能在一节课内全部完成对它们的研究，所以我们从中挑出一部分内容先行研究。比如我们来研究周长之比，面积之比，对应高之比的问题。

师：为了让同学们感受到我们研究问题的实际价值。我们来看一个生活中的素材：

给形状相同且对应边之比为1：2的两块标牌的表面涂漆。如果小标牌用漆半听，那么大标牌用漆多少听?

师：(1)猜想用多少听油漆?(2)这个实际问题与我们刚才的什么问题有着直接关联?

生：可能猜半听、1听、2听、4听等。同时学生能感受到这是与相似三角形面积有关的问题。

设计意图：从学习心理学来说，如果能知道自己将要研究的知识的应用价值，则更能激发起学生学习的内在需求与研究热情。

师：同学们的猜测到底谁的对呢?请允许老师在这儿先卖个关子。让我们带着这个疑问来对下面的问题进行研究。到一定的时候自然会有结论。

情境一：如图，ΔABC∽ΔDEF，且相似比为2：1，DE、EF、FD三边的长度分别为4，5，6。(1)请你求出ΔABC的周长(学生只能用相似三角形对应边成比例求出ΔABC的三边长，然后求其周长)

(2)如果ΔDEF的周长为20，则ΔABC的周长是多少?说出你的理由。(通过这个问题的研究，学生已经可以得到相似三角形周长之比等于相似比的`结论)

(3)如果ΔABC∽ΔDEF，相似比为k：1，且ΔDEF三边长分别用d、e、f表示，求ΔABC与ΔDEF的周长之比。

结论：相似三角形的周长之比等于相似比。

情境二：

师：相似三角形周长比问题研究完了，下面我们该研究什么内容了?

生：面积比问题。

师：那么对于相似三角形的面积比问题你打算怎样进行研究?请你在独立思考的基础上与小组同学一起商量，给出一个研究的基本途径与方法。

设计意图：人类在改造自然的过程中，会遇到很多从未见过的新情境、新课题。当我们遇到新问题的时候，确定研究方向与策略远比研究问题本身更有价值。如果你的研究方向与研究策略选择错误的话，你根本就不可能取得好的研究成果。而这种确定研究问题基本思路的能力也是我们向学生渗透教育的重要内容。所以对于相似三角形面积比的研究，我认为让学生探索所研究问题的基本走向与策略远比解题的结论与过程更有价值。

(师)在学生交流的基本研究方向与策略的基础上，与学生共同活动，作出两个三角形的对应高，通过相似三角形对应部分三角形相似的研究得到“相似三角形的对应高之比等于相似比”的结论。进而解决“相似三角形的面积比等于相似比的平方”的问题。体现教材整合。

(三)拓展研究，形成策略，回归生活

拓展研究一：由相似三角形对应高之比等于相似比，类比研究相似三角形对应中线、对应角平分线之比等于相似比的性质;(留待下节课研究，具体过程略)

拓展研究二：由相似三角形研究拓展到相似多边形研究

师：通过上述研究过程，我们已经得到相似三角形的周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方。那么这些结论对一般地相似多边形还成立吗?下面请大家结合相似五边形进行研究。

情境三：如图，五边形ABCDE∽五边形A/B/C/D/E/ ，相似比为k，求其周长比与面积之比。

说明：对于周长之比，可由学生自行研究得结论。对于面积之比问题，与前面一样，先由学生讨论出研究问题的基本方向与策略——转化为三角形——来研究。然后通过师生活动合作研究得结论。

拓展结论1：相似多边形的周长之比等于相似比;

相似多边形的面积之比等于相似比的平方。

(结合相似五边形研究过程)

拓展结论2：相似多边形中对应三角形相似，相似比等于相似多边形的相似比;

相似多边形中对应对角线之比等于相似比;

进而拓展到：相似多边形中对应线段之比等于相似比等。

回归生活一：

师：通过前面的研究，我们得到了有关相似形的一系列结论，现在让我们回头来看前面的标牌涂漆问题。你能确定是几听吗?如果把题中的三角形条件改成更一般的“相似形”你还能解决吗?

回归生活二：(以师生聊天的方式进行)

其实我们生活中对相似形性质的直觉解释是正确的，线段、周长都属于一维空间，它的比当然等于相似比，而面积就属于二维空间了，它的比当然等于相似比的平方了，比如两个正方形的边长之比为1：2，面积之比一定为1：4。甚至在此基础上我们也可以想像：相似几何体的体积之比与相似比的关系是什么?

生：相似比的立方。

设计意图：新课程标准指出“数学教学活动要建立在学生已有生活经验的基础上---”;教育心理学认为：“源于学生生活实际的教育教学活动才更能让学生理解与接受，也更能激发学生的学习热情，从而导致好的教学效果”;于新华老师在一些教研活动中曾经说过：“源于学生的生活经验与数学直觉来展开教学设计，构建知识，发展能力，最终还要回到学生的生活经验理解上来，形成新的数学直觉。这才是教学的最高境界。”

而我的设计还有一个意图就是向学生渗透从生活中来回到生活中去的思想，让学生体会学好数学的重要性。

(四)操作应用，形成技能

课内检测：

1.已知两上三角形相似，请完成下面表格：

相似比 2

对应高之比 0.5

周长之比 3 k

面积之比 100

2.在一张比例尺为1：的地图上，一块多边形地区的周长为72cm,面积为200cm2，求这个地区的实际周长和面积。

设计意图：落实双基，形成技能

(五)习题拓展，发展能力

已知，如图，ΔABC中，BC=10cm，高AH=8cm。点P、Q分别在线段AB、AC上，且PQ∥BC，分别过点P、Q作BC边的垂线PM、QN，垂足分别为M、N。我们把这样得到的矩形PMNQ称为△ABC的内接矩形。显然这样的内接矩形有无数个。

(1)小明在研究这些内接矩形时发现：当点P向点A运动过程中，线段PM长度逐渐变大，而线段PQ的长度逐渐变小;当点P向点B运动的过程中，线段PM逐渐变小，而线段PQ的长度逐渐变大，根据此消彼长的想法，他提出一个大胆的猜想：在点P的运动过程中，矩形PQNM的面积s是不变的。你认为他的猜想正确吗?为什么?

(2)在点P的运动过程中,矩形PMNQ的面积有最大值吗?有最小值吗?

答： 最大值， 最小值(填“有”或“没有”)。请你粗略地画出矩形面积S随线段PM长度x变化的大致图象。

(3)小明对关于矩形PMNQ的面积的最值问题提出了如下猜想：

①当点P为AB中点时，矩形PMNQ的面积最大;

②当PM=PQ时，矩形PMNQ的面积最大。

你认为哪一个猜想较为合理?为什么?

(4)设图中线段PM的长度为x，请你建立矩形PQNM的面积S关于变量x的函数关系式。

设计意图：将课本基本习题改造成发展学生能力的开放型问题研究，体现了课程整合的价值。

(六)作业 (略)

5.相似三角形的应用教学设计 篇五

一、知识要点：

（一）相似三角形的应用主要有如下两个方面

1．测高（不能直接使用皮尺或刻度尺度量的）；

2．测距（不能直接测量的两点间的距离）。

（二）测高的方法

测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例”的原理解决。

（三）测距的方法

测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。

1．如图甲所示，通常可先测量图中的“线段”BD、DC、DE的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出AB的长.2．如图乙所示，可先测AC、DC及DE的长，再根据相似三角形的性质计算AB的长。

二、例题解析：

例1.如图，AB、CD相交于点O，且AC∥BD，则OA·OD＝OC·OB吗？为什么？

解：∵AC∥BD

∴∠B＝∠A，∠D＝∠C

∴△OBD∽△OAC

∴

∴OA·OD＝OB·OC 1

因此OA·OD＝OC·OB成立．

例2.如图，物AB与其所成像A′B′平行，孔心O到蜡烛头A的距离是36cm，到蜡烛头的像A′的距离是12cm，你知道像长是物长的几分之几吗？你是怎样知道的？

解：∵AB∥A′B′

∴∠ABO=∠A′B′O

又 ∵ ∠AOB=∠A′OB′

∴△AOB∽△A′OB′

∴

∵AO=36cm，A′O=12cm

∴ 则

答：像长与物长之比为

．

例3.如图：小明欲测量一座古塔的高度，他站在该塔的影子上前后移动，直到他本身影子的顶端正好与塔的影子的顶端重叠，此时他距离该塔18 m，已知小明的身高是1.6 m，他的影长是2 m．

(1)图中△ABC与△ADE是否相似?为什么?

(2)求古塔的高度．

解：(1)△ABC∽△ADE．

∵BC⊥AE，DE⊥AE ∴∠ACB=∠AED=90°

∵∠A=∠A ∴△ABC∽△ADE(2)由(1)得△ABC∽△ADE ∴

∵AC=2m，AE=2+18=20m，BC=1.6m ∴

∴DE=16m 答：古塔的高度为16m 例4.如图，我们想要测量河两岸相对应两点A、B之间的距离(即河宽)，你有什么方法？3

方案1：如上左图，构造全等三角形，测量CD，得到AB=CD，得到河宽。

方案2：如上右图，先从B点出发与AB成90°角方向走50m到O处立一标杆，然后方向不变，继续向前走10m到C处，在C处转90°，沿CD方向再走17m到达D处，使得A、O、D在同一条直线上．那么A、B之间的距离是多少？

解：∵AB⊥BC，CD⊥BC

∴∠ABO=∠DCO=90°

又 ∵ ∠AOB=∠DOC

∴△AOB∽△DOC

∴

∵BO=50m，CO=10m，CD=17m

∴AB=85m

答：河宽为85m．

例5.已知：如图，阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下1.5m宽的亮区DE。亮区一边 4 到窗下的墙脚距离CE=1.2m，窗口高AB=1.8m，求窗口底边离地面的高BC？

分析：作EF⊥DC交AD于F。则，利用边的比例关系求出BC。

解：作EF⊥DC交AD于F。因为AD∥BE，所以，所以

又因为，所以。因为AB∥EF，AD∥BE，所以四边形ABEF是平行四边形，所以EF=AB=1.8m。所以

m。

例6.用一个正方形完全盖住边长分别为3厘米、4厘米、5厘米的一个三角形，这个正方形的边长最小是多少？

分析：设

则能完全盖住是直角三角形，其中，EG为斜边。显然，边长为4cm的正方形的正方形ABCD，如图所三边EF、FG、GE分别长3cm，4cm，5cm，但不是最小的，可以设想一个完全盖住

示，此时正方形的边长

解：设，则，而

即，于是，整理后可解得：

所以要完全盖住

三、课后练习： 的最小正方形边长

1．一位同学想利用树影测量树高，他在某一时刻测得长为1m的竹竿影长0.9m，但当他马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，如图，他先测得留在墙上的影高1.2m，又测得地面部分的影长2.7m，他求得树高是多少？

2.测量河宽AB，先从A处出发，沿河岸走100步到C处，在C处立一根杆标，然后沿AC继续朝前走20步到D处，在D处，转过90°角沿DE方向再走32步，到达E处，并使河对岸的B处（目标物）和C、E同在一直线上，问测得河宽为多少米？（1步约等于0.75m）

3．一油桶高0.8m，桶内有油，一根木棒长1m，从桶盖小口斜插入桶内，一端到桶底，另一端到小口，抽出木棒，量得棒上浸油部分长0.8m，求桶内油面的高度。

练习答案：

1．提示：作CE//DA交AB于E，树高是4.2m。

2．点拨：利用相似三角形的判定和性质。

解：因为B、C、E在同一直线 所以

又因为

所以（步）

答：河宽约为120m。

6.相似三角形的证明思路 篇六

学习目标：

1.通过探索与交流，得出两个三角形只要具备两个角对应相等，即可判断两个三角形相似的方法。

2.尝试判断两个三角形相似，并能解决生活中一些简单的实际问题。

学习重点：

1.两个三角形相似的条件(一)的应用。

2.了解两个三角形相似的条件(一)的探究思路和应用。

学习难点：经历“操作—观察—探索—说理”的数学活动过程，发展合情推理和有条理的表达能力。

教学过程：

一、与书本合作

1._______的两个三角形叫做相似三角形。

2.已知△ABC∽△DEF，且∠A=80°，∠B=30°，则∠F=___;AB=2, DE=1, BC=3，则EF=____。

3.在△ABC和△DEF中，且∠A=40°，∠B=80°，∠D=80°，∠E=60°，△ABC和△DEF是否相似?为什么?

【第1题复习相似三角形的定义，为本节课的探究活动做准备;第2题让学生回顾相似三角形的简单性质，为解决情境中的难题作铺垫;第3题检查学生的预习，为学习新知做准备。】

二、与同学合作

（一）情境引入

1805年，拿破仑率领大军与德俄联军在莱茵河作战。当时德俄联军在北岸步阵，法军在南岸，中间隔着很宽的莱茵河。法军要开炮轰击德俄联军，必须知道河的宽度。拿破仑为此大伤脑筋，站在南岸远望德俄阵地。

忽然，他观察到对面岸边的一个标志O，于是他想出了一个测量河宽的办法。他在自己的岸边选点A、B、D，使得AB⊥AO, DB⊥AB，然后确定DO和AB的交点C。然后测得AC=120米，CB=60米，BD=250米。

你能帮助他算出莱茵河的宽度吗?

【用历史小故事引入，能激发学生的学习兴趣与探究欲望。】

(二) 探究学习

1.尝试

小明用白纸遮住了3个三角形的一部分，你能画出这3个三角形吗?

(1)在图中，若∠A=∠A′，∠B=∠B′，AB=A′B′，那么(1)和(2)中的两个三角形全等吗?

(2)若∠A=∠A″，∠B=∠B″，A″B″=AB，那么(1)和(3)中的两个三角形相似吗?

【老师给予方法指导，画出三角形，并测量各组边的长度，对照定义，计算是否成比例，为了节约时间，让学生分工合作。】

2. 概括总结

由此得判定方法一：如果两个三角形中，有两组角对应相等，那么这两个三角形相似。

几何语言：在△ABC与△A″B″C″中

【在此过程中，给学生充分的时间画图、观察、比较、交流，最后通过活动让学生用语言概括总结。学生自己通过动手操作、实验得出判定条件，能产生自豪感及满足感，培养自信心及逻辑推理能力。】

与老师合作：

例1：在△ABC和△DEF中，以下三个条件中，哪些能使△ABC与△DEF相似?

例2：关于三角形相似下列叙述不正确的是( )。

A.有一个底角对应相等的两个等腰三角形相似

B.有一个角对应相等的两个等腰三角形相似

C.所有等边三角形都相似

D.顶角对应相等的两个等腰三角形相似

【例1、例2是对刚刚所学判定方法的简单应用，学生能够较轻松地解决问题，从而产生自豪感及成就感，培养自信心。】

例3：如图，△ABC中，DE∥BC，分别交另外两边于点D、E。问：△ADE与△ABC相似吗?为什么?

【变式】如图，△ABC中，DE∥BC，分别交另外两边的延长线(反向延长线)与点D、E，问：△ADE与△ABC相似吗?为什么?

由此得：平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似。(平行得相似)

几何语言：∵DE∥BC

【在解决例3的过程中，给学生充分的时间画图、观察、比较、交流，最后通过活动让学生用语言概括总结。学生通过自己动手操作、实验得出判定条件，能产生自豪感及满足感，培养自信心及逻辑推理能力。例3既是对所学判定方法的应用，同时又能得出相似三角形的另一种特殊的判定方法。】

（三）能力提升

1. 解决拿破仑的难题

AB⊥AO, DB⊥AB, AC=120米。CB=60米，BD=250米，求：AO的长度。

2. 如图，Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，你能找出几组相似三角形?并说明理由。

3. 过△ABC的边AB上一点D作一条直线与另一边AC相交，截得的小三角形与△ABC相似，这样的直线有几条?请把它们一一作出来。

【能力提升题，让学生巩固所学内容并进行自我检验与评价，既面向全体学生，又因材施教，照顾到学有余力的学生，体现分层教学。尤其在第3题重在渗透分类讨论的思想。】

（四）归纳总结

你有哪些方法判断两三角形是否相似?

(1)两三角形中两组角对应相等;

(2)平行得相似(A型，8字型);

(3)你还有什么疑问有待解决?

【让学生自己小结，活跃了课堂气氛，做到全员参与，理清了知识脉络，强化了重点，培养了学生口头表达能力。】

三、与家长合作

1.和家长交流你今天所学的判定三角形相似的方法;

2.利用周末时间和家长一起用三角形相似的原理测量你家所在住宅楼的高度。

教学反思：

这节课的主要教学目标是让学生在亲自操作、探究的过程中，获得三角形相似的第一个简单的识别方法;培养学生提出问题、解决问题的能力;从整堂课学生的表现看到，这节课基本上实现了以上目标。

上完本节课，我有以下几点感受：

1.在情景引入中，学生突然眼前一亮，很感兴趣，迫切地想学会本节课的知识来解决拿破仑的难题。于是，学生积极参与探究学习中去测量三角形边的长度，并测量计算比例关系，从而得出三角形相似的第一个简单的识别方法：两角对应相等的两三角形相似。

2.这节课给学生提供了很多自主学习、自主操作、自主活动的机会，尤其是新知的探究活动，画一画、量一量、算一算。这些设计都能给学生提供自主探索新知的空间，体现了学生是数学学习的主人的新理念，让学生悟出学习方法和途径，培养学生独立学习的能力，所有问题的结果都由学生自己操作、判断得出，学生在此学习过程中有成就感和自豪感。

7.《探索三角形相似的条件》测试题 篇七

——罗素（英国哲学家、逻辑学家，1872–1970）

一、选择题（每小题5分，共30分）

1. 下列四组图形中，必然相似的是（）.

A. 有一个角是40°的两个等腰三角形

B. 有三个角对应相等的两个四边形

C. 有一个角是105°的两个等腰三角形

D. 邻边之比为1∶3的两个平行四边形

2. 如图1，△APD中，∠APD＝90°，AP＝PB＝BC＝CD，则下列结论中成立的是（）.

A. △PAB∽△PCA B. △PAB∽△PDA

C. △ABC∽△DBA D. △ABC∽△DCA

3. 如图2，△ABC中，P为AC上一点，有下列四个条件：①∠APD=∠B；②∠ADP=∠C；③AD•AB=AP•AC；④AB•AP=AC•AD.其中能判定△ADP∽△ACB的条件是（）.

A. ①②④B. ①③④C. ②③④D. ①②③

4. 如图3，在梯形ABCD中，AD∥EF∥BC.AD=8，BC=12，=.BD交EF于O.OE与OF的关系是（）.

A. OE﹥OFB. OE﹤OFC. OE=OFD. 不能确定

5. 如图4，AB∥CD∥EF，则图中相似三角形的对数为（）.

A． 1B． 2C． 3D． 4

6. 使△ABC和△A′B′C′不相似的条件是（）.

A. ∠A=∠A′=45°，∠B=26°，∠B′=109°

B. AB=1，AC=1.5，BC=2，A′B′=4，A′C′=2，B′C′=3

C. ∠A=∠B′，AB=2，AC=2.4，A′B′=3.6，B′C′=3

D. AB=3，AC=5， BC=7，A′B′=，A′C′=，B′C′=

二、填空题（每小题5分，共30分）

7. 在图5和图6中， 要证明△ADE∽△ABC，只需（填一个条件） ．

8. 如图7，△ABC中，BC=1，E、M和F、N分别是AB和AC的三等分点，则EF+MN=．

9. 如图8，AB是斜靠在墙上的一个梯子.梯脚B距墙1.4 m.梯上一点D距墙1.2 m，BD长0.5 m.则梯长为m．

10. 如图9，△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点（DE与BC不平行），当或或时，△ADE与△ABC相似.

11. 如图10，△ABC中，∠AED=∠B，DE=6，AB=10，AE=8，则BC=.

12. 如图11，∠ABC=∠CDB=90°，AC=a，BC=b，当BD=时，△ABC∽△CDB．

三、解答题

13. （10分）如图12，在△ABC中，AB=AC.AD⊥BC于D，DE⊥AB于E．求证：CD2=AB•BE．

14. （10分）如图13，∠1=∠3，∠B=∠D，AB=DE=5，BC=4．

（1）求证：△ABC∽△ADE；

（2）求AD的长．

15. （10分）我侦察员在距敌方200 m处发现了敌人的一座建筑物，但不知其高度，又不能靠近建筑物测量.机灵的侦察员把食指竖直举在右眼前，闭上左眼，并将食指前后移动，使食指恰好将该建筑物遮住.若此时眼睛到食指的距离为40 cm，食指的长为8 cm，你能根据上述条件计算出敌方建筑物的高度吗？请说出你的思路.

8.相似三角形的证明思路 篇八

相似三角形的相关知识是初中学段几何知识的一个重要学习内容，在整个初中教学中占重要地位。它是在学习了全等三角形知识以后的进一步拓广和发展，教学中也是很难把握的一部分内容。徐老师这节课主要是在复习相似三角形的判定知识的基础上进一步熟练应用。教学中徐老师设计了几个实际生活中的例子，让学生结合例子去体会如何把生活问题转化为数学问题来解决，也能使学生学会在今后的生活中用数学知识解决更多的生活问题。

听了徐老师这节课感受颇深，以下是本人的一点粗浅认识：

首先，本节课目的性很强，即围绕一个知识点——相似三角形的应用来展开。设计的教学问题“生活化”，能有效的调动学生学习兴趣，唤起学生的求知欲。选择的题目很典型，使学生对课本中的习题有更深层次的了解，特别是第2个问题，开放性很强。开放性问题是极富有教育价值的数学问题，能培养学生思维的灵活性、发散性和深刻性，锻炼学生解决问题的能力。

其次，对问题的处理过程，都是教师提出问题，学生思考，再讨论交流，自己解决问题，教师绝对没有包办，很好的体现了学为主体的课标要求。

第三，在问题的评析过程中，体现了教师教学的严谨性。先是学生自己寻找发现解题步骤中不合适的步骤，教师再规范，学生修改后，教师又出示了中考评分标准，让学生对照评分标准，再去修改自己的解题过程，使学生及早感知到如何正确的书写解题过程，才能得高分。

第四，教师备课细致到位，基本功扎实，从板书、语言的简练上都能体会到。教学环节语言过渡自然，如从“让我们走到社区去－再走到数学兴趣小组中看看”等。教师亲和力强，处理问题过程中，不急不躁，具有大师风范。

9.相似三角形的判定数学教学教案 篇九

《相似三角形的判定》是在学生认识相似图形，了解相似多边形的性质的基础上进行学习的，是本章的重点内容。本课时首先利用“平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的三角形与原三角形相似。”证明两个三角形相似，然后引导学生通过测量来探究得到两角分别相等的两个三角形相似，继而引导出相似三角形的判定：“两角分别相等的两个三角形相似”。通过类比的方法进一步研究三角形相似的条件，是今后进一步研究其他图形的基础。

通过这节课的教学，我有以下几点反思： 成功方面：

1、绝大多数学生都能参与到数学活动中来。

2、通过出示学习目标，让学生对本节课的学习内容有清楚的认识，学生明确了本节课的学习任务;

3、通过对两角分别相等的两个三角形相似定理及推论的观察-探索-猜测-证明，部分学生理解并掌握了两角分别相等的两个三角形相似定理及推论;

5、通过学习，部分学生能运用本节课所学的知识进行相关的计算和证明;

6、本节课基本调动了学生积极思考、主动探索的积极性。 存在的不足之处是：

1、少数学生不理解相似比具有顺序性，在写相似三角形时不注意字母的对应关系，在找对应边时很容易出错;

2、少数学生在自主探究中，不知如何观察，如何验证;

3、少数学生在探究两角分别相等的两个三角形相似定理时，不会用学过的知识进行证明;

4、学生做练习时不细心，出现常规错误，做题的正确率较低;

10.判断三角形相似三绝招 篇十

第一招：两组角对应相等的两个三角形相似

例1 如图1，在Rt△ABC中，已知∠BAC=90°，AB=AC=2.点D在BC上运动（不能到达点B）.过D作∠ADE=45°，DE交AC于E．求证：△ABD∽△DCE．

分析：△ABD、△DCE中已有一组相等的角，即∠B=∠C.若再能找到一组相等的角，即可证明△ABD∽△DCE．

证明：∵∠BAC=90°，AB=AC，

∴∠B=∠C=45°．

又∵∠B+∠BAD=∠ADC=∠ADE+∠EDC，而∠B=∠ADE=45°，

∴∠BAD=∠EDC.

∴△ABD∽△DCE．

点评：“两组角对应相等的两个三角形相似”是判定三角形相似最简单、好用的方法.在应用时，注意寻找“∠A+∠B=∠C+∠D，由∠B=∠D，则∠A=∠C”类型的角的相等关系．

第二招：两组边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似

例2 如图2，△ABC、△DCE、△FEG是三个全等的等腰三角形，底边BC、CE、EG在同一直线上，且AB=，BC=1.连接BF．

求证：△BFG∽△FEG．

分析：△BFG与△FEG有一个公共角∠G.已知条件告诉了等腰三角形的边长，现只需证明夹∠G的两组边对应成比例，即可证明△BFG∽△FEG．

证明：由题意知FG=FE=AB=，EG=BC=1，BG=3BC=3.

∴==，==.

∴=．

又∵∠G=∠G，

∴△BFG∽△FEG.

点评：利用“两组边对应成比例且夹角相等”判定三角形相似，类似于三角形全等的“边角边”的判定方法.运用时注意把握好两边与夹角的位置关系．

第三招：三组边对应成比例的两个三角形相似

例3 如图3，在2×5的正方形网格中（每个小正方形边长均为1），有格点△ABC和格点△ADE．

（1）证明：△ABC∽△ADE；（2）求∠1+∠2．

分析：（1）△ABC、△ADE中，角之间的相等关系不明显，所以第一招、第二招都不好使用.考虑到△ABC、△ADE是正方形网格中的格点三角形，可以利用勾股定理求得各边的长，然后判定三组对应边是否成比例，从而确定三角形相似与否．（2）利用相似三角形的性质，求出∠ADE的大小，即可计算出∠1+∠2．

解：（1）由勾股定理得：

AD==，DE==，AB==，AC==．

又因为AE=5，BC=2，所以==，= ，==.

∴==.

∴△ABC∽△ADE．

（2）因为△ABC∽△ADE，所以∠ADE=∠ABC=90°+45°=135°，故∠1+∠2=180°－135°=45°．

11.相似三角形的证明思路 篇十一

1 教法——发生教学法

发生教学法是基于HPM视角下教学设计优先选择的教学方法, 这种方法对概念、定理的学习比较适用, 对于应用相似三角形的性质同适用, 我们可以遵循这种教学法的原则:

(1) 教师了解所教主题的历史; (2) 理解该主题历史进化的关键步骤; (3) 在现代情境下重构推动进化的关键思想或问题, 使之在教学上适合介绍新的概念、方法或理论; (4) 上述重构的步骤按从易到难的系列问题给出, 后面的问题建立在前面问题的基础上, 采取有序的问题驱动模式。

教学设计中的教法采取的是发生教学法, 以该知识进化的关键步骤为顺序, 由易到难, 在符合学生认知水平的情况下, 设计系列问题, 体现了知识的历史知识发展的连贯性和学生学习的系统性。

2 教学设计

2.1 发现问题, 主动探索, 历史重现

师:展示金字塔的图片, 简要讲解金子塔的来历, 动态展示金子塔的几何图形。以图片的视觉效应将学生带入课堂, 做好学习新课的准备。教师讲解相关历史知识使学生学习兴趣浓厚, 动态的图形展示激发学生自己发现问题、提出问题。

问题1:古希腊几何鼻祖泰勒斯是非常著名的数学家。有一天, 国王想考考泰勒斯, 就问他:你能测出金字塔的高度吗?假如你是泰勒斯, 你能够用桌上的工具想出测金字塔高的方法吗?

【设计意图】问题1的引入自然合理, 是学生解决问题的动力源泉。

生:用长直尺比划, 想直接测量出山的高度, 但显然直尺没有山高, 放弃了这种方法。

师:提醒学生, 金子塔很高, 古代是没有办法用工具直接测出山高。

生:部分同学打开电筒, 有少部分学生发现山的影子可以测量, 有极少的同学在操控木棒。

【设计意图】让学生大胆想象, 经历古人测量金字塔时的思考过程, 领会解决问题步骤的缘由, 有助于后面步骤的理解。

问题2:要求学生测出三个木棒在光下的影长, 并完成下表。 (精确度要求:木棒影长与木棒长度, 木棒影长/木棒长度的计算精确到0.1。)

【设计意图】教师引导学生经历古人的思考过程, 且问题2可操作性强, 学生容易理解, 部分学生可能会想到用相似三角形的性质去解决问题。

师:用投影仪将一组学生的表格展示出来 (表1) .

师:启发学生发现了什么?

生:大部分学生能够发现木棒长度比木棒影长都是为2.0。

师: (出示太阳光照射两根木的棒的图片) , 说明由于太阳距离我们太远, 所以光线是平行的, 而手电筒的光线也是平行的, 所以可以充当太阳光。将几何图形展示在PPT上。你们能证明为什么是定值吗?

生:证明。

【设计意图】让学生自己发现定值问题, 提出问题, 猜测结论, 证明结论, 而此过程正是古代数学家泰勒斯在测量金子塔高度时所经历的理论推导过程。为后面问题的解决奠定了基础, 让学生获得了成功的体验, 学习动机增强。

师:如果我们将图1中高的木棒看成金子塔, 你能够测出塔高吗?

生:开始操作, 列出公式, 计算。

师:PPT展示几何图形和完整的解题过程。

2.2 合作探究, 渗透方法

问题3:同学们, 除了用这种方法你还可以用其他方法测树高吗?小组讨论, 设计方案。

师:学生可能想到的如下图 (图2~5) :

师:分析学生的设计方案, 解释方案的合理性。以问题4的形式讲解图2的方法, 并解释这种方法是古代九章算术中的一种方法, 同学们真聪明!

问题4:已知一座山在木标 (EC) 西, 山与木标的距离 (EF) 53米, 木标高8米。人 (NM) 站在木标东3米, 望见木稍 (C) 与山尖 (P) 三点成一线, 人眼以下高MN=1.5米, 问山的高度是多少? (《九章算术》卷九〈二十三〉)

师:引导学生没有太阳光, 还能测出山的高度吗。

师:引导学生借助自己的眼睛。

展示完整的过程。

解:设山高为因, 因为△OPC∽△ACB (见图6)

问题5:当泰勒斯测出金子塔的高度后, 更加德高望众了。但国王还是不满意, 又出了新的问题, 如图7, 如果国王站在金字塔的A点, 泰勒斯站在B点, 你能测出A、B之间的距离吗?

师:展示完整的过程。

师:泰勒斯用“间接法”求出两点间的距离, 其方法一直延用至今。这也是我们今后求不能直接测量两点间距离常用的方法。

【设计意图】此方法是求不能直接测量物体间长度常用的方法, 也是教学目标中要掌握的方法之一。

2.3 归纳小结, 巩固训练

师:PPT展示前面三种相似三角形的模型, 小结做题步骤。

【设计意图】及时巩固训练, 加强学生对知识的应用, 且例题的难度中等, 也出现了尺规作图题, 培养学生对几何空间能力的形成。

2.4 学生总结, 布置作业

师:在数学历史的长河中, 人们对相似三角形应用的研究保持着热情, 我们今天学习了这个知识, 你们能谈谈对该知识的感受吗?

参考文献

[1]汪晓勤.HPM视角下二元一次方程组概念的教学设计[J].中学数学教学参考, 2003 (5) .

[2]徐章韬, 汪晓勤, 梅全熊.发生教学法:从历史到课堂[J]数学教育学报, 2010.2.

[3]义务教育数学课程标准 (2011版) [M].北京师范大学出版社, 2011.

[4]肖作政.九章算术今解.[M]辽宁人民出版社, 1990.5.

[5]张红.数学简史[M]科学出版社, 2008.1.

[6]李文林.数学史概论[M]高等教育出版社, 2010.9.

12.相似三角形的证明思路 篇十二

一、教材分析：

1、三维目标：

（1）知识目标：相似多边形的周长比、面积比与相似比的关系及应用。

（2）能力目标：经历探索相似多边形的性质的过程，培养学生的探索能力，利用相似多边形的性质解决实际问题，训练学生的应用能力。

（3）德育渗透：学生通过交流、归纳，总结相似多边形的周长比、面积比与相似比的关系，体会知识迁移、温故知新的好处；应用相似多边形的周长比，面积比解决实际问题，增强学生对知识的应用意识。

2、教学重、难点： 重点：（1）相似多边形的周长比、面积比与相似比的关系的推导及运用。（2）用相似多边形的性质解决实际问题。

难点：相似多边形性质的灵活运用，及对“相似多边形面积的比等于相似比的平方”性质的理解，特别是对它的反向应用的理解，即对“面积比求相似比”的理解。

二、教学方法。

为了充分调动学生学习的积极性，使学生变被动学习为主动愉快的学习，使几何课上得有趣、生动和高效，教学中从简单到复杂，也就是从三角形到多边形的一个过程。教材并没有对结论进行严格的证明，教师在教学时应根据实际情况适当补充结论的证明方法，引导好学生从直观发现向逻辑推理过渡，培养学生的逻辑推理能力的同时，也为后续学习打下基础。在教学中，启发、诱导应贯穿于始终。

三、学法指导。

采用类比、转化的方法，以多种手段辅助教学，引导学生预习教材内容，养成良好的自学才惯，启发学生发现问题、思考问题，培养学生逻辑思维能力。逐步设疑，引导学生积极参与讨论，肯定成绩，使其具有成就感，提高他们学习的兴趣和学习的积极性。

四、教学过程的设计。

1、引入新课：

首先请同学们利用相似三角形的性质解决以下问题： 已知ΔABC∽ΔA B C ,且AB=3,BC=4,CA=5, A B =6.求ΔABC 与ΔA B C 的相似比，周长比，面积比？

说明：本节课通过相似的计算问题入手，既复习了相似三角形的基本性质，又使学生直接感受周长，面积问题与相似图形的关系，学生不一定能完成周长比面积比，问题可以先放置。但可以让学生清楚本节课所研究的问题，为后续学习做好铺垫。

2、自主预习：

自学：课本149页至151页 自学指导：（1）回顾相似三角形的性质

（2）利用等比性质推三角形周长比和相似比的关系。利用相似三角形的性质进一步推相似三角形面积比和相似比的关系。

（3）将四边形转化为三角形，解决有关相似多边形的周长比和面积比与相似比的关系

3、合作解疑：（1）已知ΔABC∽ΔA B C，相似比为。① 请你写出图中所有成比例的线段。② ΔABC与ΔA B C 的周长比是多少?你是怎样做的？ ③ ΔABC的面积如何表示？ΔA B C 的面积呢？ΔABC与ΔA B C 的面积比是多少？与同伴交流。说明：该问题是上节课的引例，学生比较熟悉，设计目的在于引导学生对旧知问题进行联系，不断思考问题的解决方式，渗透转化的思想方法。教学说明：

教学时要注意引导学生如何将边长与周长联系，如何求面积。计算的基本方法：利用等比性质通过边长比求面积比，渗透了数形结合的思想；作出高求面积，突出转化思想。这些思想方法的教学既是为题目本身服务的，又是必须向学生渗透的。（2）课本中议一议

说明：进一步研究相似四边形的情况。利用这种方法将四边形换成五边形、六边形等其他多边形，那么也有相同的结论。

由此可知：相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。

教学说明：本例的证明过程比较复杂，通过前面的铺垫学生对证明步骤应该不陌生，特别是利用等比性质将边长统一成周长的证明步骤体现了数学的严谨性。教学时并不要求学生掌握，知道如何得到的就行了。

4、反馈检测：

（1）课本随堂练习1，知识技能1题，2题。

（2）如图所示是某城市地图的一部分，比例尺为1：100000.①设法求出图上环形路的总长度，并由此求出环形快速路的实际长度。②估计环形快速路所围成的区域的面积，你是怎样做的？与同伴交流。

解：①量出图上距离约为20cm，则实际长度约为20千米。②图上区域围成的面积约为23.7 cm ².根据相似多边形面积的比等于相似比1：100000的平方，则实际区域的面积约为23.7平方千米。

5、作业设计：

课本习题4.11 必作题：知识技能3，4题 选择题：153页6题

6、回顾反思：

（1）总结归纳相似多边形的性质？

（2）在学习相似形的性质时我们运用过哪些数学方法？ 说明：两个问题概括了与相似形性质有关的大部分内容，教学的落脚点就是使学生会合理准确地使用这些性质，这就要求学生必须对知识的变化过程非常清楚、同时对每部分的关系心中有数。

五、教学设计与反思。

这节课，我们主要在如何把传授知识与培养能力有机地结合起来作了些尝试，具体地说，表现在：

（1）针对初中数学的特点，结合本节课的内容，制定了明确的教学目标。

（2）相似多边形的性质重点强调“用”，它是为计算和探究其它知识服务的，本课设计着重培养学生的应用意识和数学建模思想，简单地说就是使学生明确什么时候用相似比，什么时候用边之比，什么时候用角相等。这样能更好地培养学生的思维能力和实践能力，也使学生从中领悟到数学来源于实践，又反过来作用于实践的辨证唯物主义观点。

13.《相似三角形》教学反思 篇十三

这节课是在学习完“相似三角形判定定理一”后的一节习题课，相似三角形是初中数学学习的重点内容，对学生的能力培养与训练，有着重要的地位，而“相似三角形判定定理一”又是相似三角形这章内容的重点与难点所在，“难”的不是定理的本身，而是要跟以前学过的“角的等量关系”证明联系紧密，综合性比较强，因此对定理的运用也带来的障碍。

我选择的内容是“相似三角形判定定理一”应用的一个方面，这是根据对最近几年中考、各区县模拟考的压轴题的研究，发现全等三角形证明当中，我们可以找到“一条直线上有三个相等的角”这样的条件原型，所以在这节课就是基于这样的原型，选择了相关内容，试图从一个侧面突破这章教学的难点。

通过建立数学模型，引导学生使用化归思想。要让学生善于学习，促进他们通法的掌握是重要途径之一。化归思想与转化思想不同，主要是化归思想必须有一归结的目标，也就是老经验。因此，在教学实践中，我采用了下列两个做法：一是建立“一线三等角”的数学模型，让学生在实验操作中探寻出折纸问题中的数学问题本质特征。并把它上升为一种理论，指导其他问题的解决。二是采用探究条件的转化，使问题表象发生变化，引导学生去伪存真，还原出数学问题的本质。

14.浅谈相似三角形中的动点问题 篇十四

例1 如图1, 在Rt△ABC中, 已知OA=12厘米, OB=6厘米, 点P从点O开始沿OA边向点A以1厘米/秒的速度移动;点Q从点B开始沿BO边向O以1厘米/秒的速度移动, 如果P, Q同时出发, 用t (秒) 表示移动的时间 (O≤t≤6) , 那么当t为何值时, △POQ与△AOB相似?

解:根据题意, 分两种情况分析, 在Rt△AOB中, (1) 当undefined时, △POQ～△AOB, 则有undefined, 所以t=4秒;

(2) 当undefined时, △QOP～△AOB

则有undefined, 解得t=2秒。

故当t=4秒或t=2秒时, △POQ与△AOB相似。

例2 已知, 如图2, 在正方形ABCD中, AD=1, P是CD的中点, 点Q在BC上, 当BQ为何值中, 以D, A, P为顶点的三角形和以Q, C, P为顶点的三角形相似?

解:因为∠C=∠D=90°

若△ADP～△QCP,

则undefined, 即有undefined,

所以QC=1 即BQ=0.

若△ADP～△PCQ时, 则undefined,

即undefined, 所以undefined即undefined

15.相似三角形的证明思路 篇十五

例1 某市为了打造森林城市，树立城市新地标，实现绿色、共享发展理念，在城南建起了“望月阁”及环阁公园.小亮、小芳等同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量“望月阁”的高度，来检验自己掌握知识和运用知识的能力.他们经过观察发现，观测点与“望月阁”底部间的距离不易测得，因此经过研究需要两次测量，于是他们首先用平面镜进行测量.

方法如下：如图1，小芳在小亮和“望月阁”之间的直线BM上平放一平面镜，在镜面上做了一个标记，这个标记在直线BM上的对应位置为点C，镜子不动，小亮看着镜面上的标记，他来回走动，走到点D时，看到“望月阁”顶端点A在镜面中的像与镜面上的标记重合，这时，测得小亮眼睛与地面的高度ED=1.5米，CD=2米.然后，在阳光下，他们用测影长的方法进行了第二次测量，方法如下：如图1，小亮从D点沿DM方向走了16米，到达“望月阁”影子的末端F点处，此时，测得小亮身高FG的影长FH=2.5米，FG=1.65米.

如图1，已知AB⊥BM，ED⊥BM，GF⊥BM，其中，测量时所使用的平面镜的厚度忽略不计，请你根据题中提供的相关信息，求出“望月阁”的高AB的长度.

【解析】根据镜面反射原理结合相似三角形的判定方法得出△ABC∽△EDC，△ABF∽△GFH，进而利用相似三角形的性质得出AB的长.

因为△ABC∽△EDC，△ABF∽△GFH，

则[ABED]=[BCDC]，[ABGF]=[BFFH].

即[AB1.5]=[BC2]，[AB1.65]=[BC+182.5].

解得AB=99.

答：“望月阁”的高AB的长度为99米.

例2 如图2，小华为了测量所住楼房的高度，他请来同学帮忙，测量了同一时刻他自己的影长和楼房的影长分别是0.5米和15米.已知小华的身高为1.6米，那么他所住楼房的高度为多少？

【解析】在同一时刻，不同物体的物高与影长成比例.根据这一模型可以避免直接测量较高的物体如高楼、旗杆等的高度.只需测量出人与人影、楼影这些较易测量的长度就能计算出楼高.

由△BAC∽△EDF可得BC∶AC=EF∶DF，再将AC=1.6米，EF=15米，BC=0.5米代入，可求得大楼的高度为48米.

例3 如图3，小丽利用影长测量学校旗杆的高度.由于旗杆靠近一个建筑物，在某一时刻旗杆影子中的一部分映在建筑物的墙上，小丽测得旗杆AB在地面上的影长BC为20m，在墙上的影长CD为4m，同时又测得竖立于地面的1m长的标杆影长为2m，请帮助小丽求出旗杆的高度.

这个问题有以下三种构造相似模型的方法：

方法一：如图4，延长AD、BC交于点E.可知在没有建筑物的情况下旗杆的影子应为BE，根据标杆的有关情况即可知AB∶BE=1∶2.再由△EAB∽△EDC可得DC∶AB=EC∶EB，从而可求得EC=8m，EB=28m，则旗杆高度AB=14m.

方法二：如图5，过C作AD的平行线交AB于E.此时四边形ADCE为平行四边形，AE=DC=4m.而BE的影长即为BC，由已知可求得BE=10m.因此旗杆高为14m.

方法三：如图6，过点D作DE⊥AB于点E，易得BE=CD=4m，BC=DE=20m.AE的影长可看作DE，由标杆条件可得AE=10m，因此旗杆高度为14m.

除了测量高度，相似模型还应用于测量各种距离，如河面的宽度等，这样既简化了测量过程，也节约了操作成本.

其实，利用相似三角形模型解决实际问题，仅仅是它在生活应用中的一小部分.至于相似模型具体还能有哪些巧妙的应用，就等待着同学们再去探索！

16.三角形相似教学设计 篇十六

一、学习目标

知识与技能方面：

探索相似三角形、相似多边形的性质，会运用相似三角形、相似多边形的性质解决有关问题；

过程与方法方面：

培养学生提出问题的能力，并能在提出问题的基础上确定研究问题的基本方向及研究方法，渗透从特殊到一般的拓展研究策略，同时发展学生合情推理及有条理地表达能力。情感态度与价值观方面：

让学生在探求知识的活动过程中体会成功的喜悦，从而增强其学好数学的信心。

二、教学过程：

（一）类比研究，明确目标

师：同学们，回顾我们以往对全等三角形的研究过程，大家会发现，我们对一个几何对象的研究，往往从定义、判定和性质三方面进行。类似的我们对相似三角形的研究也是如此。而到目前为止，我们已经对相似形进行了哪些方面的研究呢？ 生：已经研究了相似三角形的定义、判别条件。师：那么我们今天该研究什么了？ 生：相似三角形的性质。

（二）提出问题，感受价值，探究解决

师：就你目前掌握的知识，你能说出相似三角形的1-2条性质吗？并说明你的依据。生：相似三角形的对应角相等，对应边成比例。根据是相似三角形的定义。

师：对于相似三角形而言，边和角的性质我们已经得到，除边角外你认为还有哪些量之间的性质值得我们研究呢？ 设计意图：

我们常常会说：提出问题比解决问题更重要。但是作为教师，我们应该清醒地认识到，学生提出问题的能力是需要逐步培养的。此处设问就是要培养学生提出问题的能力。我希望学生能提出周长、面积、对应高、对应中线、对应角平分线之间的关系来研究，甚至于我更希望学生能提出所有对应线段之间的关系来研究。估计学生能提出这其中的一部分问题。如果学生能提出这些问题（如相似三角形周长之比等于相似比等），就说明他的生活经验的直觉已经在起作用了。如果学生提不出这些问题，说明他的生活直觉经验还没有得到激发，我可以利用前面提到的放大镜问题、大小两幅地图问题等逐步启发，激发学生的一些源自生活化的思考，从而回到预设的教学轨道。

师：对于同学们提出的一系列有价值的问题，我们不可能在一节课内全部完成对它们的研究，所以我们从中挑出一部分内容先行研究。比如我们来研究周长之比，面积之比，对应高之比的问题。

师：为了让同学们感受到我们研究问题的实际价值。我们来看一个生活中的素材： 给形状相同且对应边之比为1：2的两块标牌的表面涂漆。如果小标牌用漆半听，那么大标牌用漆多少听？

师：（1）猜想用多少听油漆？（2）这个实际问题与我们刚才的什么问题有着直接关联？ 生：可能猜半听、1听、2听、4听等。同时学生能感受到这是与相似三角形面积有关的问题。

设计意图：从学习心理学来说，如果能知道自己将要研究的知识的应用价值，则更能激发起学生学习的内在需求与研究热情。

师：同学们的猜测到底谁的对呢？请允许老师在这儿先卖个关子。让我们带着这个疑问来对下面的问题进行研究。到一定的时候自然会有结论。

情境一：如图，ΔABC∽ΔDEF，且相似比为2：1，DE、EF、FD三边的长度分别为4，5，6。（1）请你求出ΔABC的周长（学生只能用相似三角形对应边成比例求出ΔABC的三边长，然后求其周长）

（2）如果ΔDEF的周长为20，则ΔABC的周长是多少？说出你的理由。（通过这个问题的研究，学生已经可以得到相似三角形周长之比等于相似比的结论）

（3）如果ΔABC∽ΔDEF，相似比为k：1，且ΔDEF三边长分别用d、e、f表示，求ΔABC与ΔDEF的周长之比。

结论：相似三角形的周长之比等于相似比。情境二：

师：相似三角形周长比问题研究完了，下面我们该研究什么内容了？ 生：面积比问题。师：那么对于相似三角形的面积比问题你打算怎样进行研究？请你在独立思考的基础上与小组同学一起商量，给出一个研究的基本途径与方法。

设计意图：人类在改造自然的过程中，会遇到很多从未见过的新情境、新课题。当我们遇到新问题的时候，确定研究方向与策略远比研究问题本身更有价值。如果你的研究方向与研究策略选择错误的话，你根本就不可能取得好的研究成果。而这种确定研究问题基本思路的能力也是我们向学生渗透教育的重要内容。所以对于相似三角形面积比的研究，我认为让学生探索所研究问题的基本走向与策略远比解题的结论与过程更有价值。

（师）在学生交流的基本研究方向与策略的基础上，与学生共同活动，作出两个三角形的对应高，通过相似三角形对应部分三角形相似的研究得到“相似三角形的对应高之比等于相似比”的结论。进而解决“相似三角形的面积比等于相似比的平方”的问题。体现教材整合。

（三）拓展研究，形成策略，回归生活

拓展研究一：由相似三角形对应高之比等于相似比，类比研究相似三角形对应中线、对应角平分线之比等于相似比的性质；（留待下节课研究，具体过程略）拓展研究二：由相似三角形研究拓展到相似多边形研究

师：通过上述研究过程，我们已经得到相似三角形的周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方。那么这些结论对一般地相似多边形还成立吗？下面请大家结合相似五边形进行研究。

情境三：如图，五边形ABCDE∽五边形A/B/C/D/E/，相似比为k，求其周长比与面积之比。

说明：对于周长之比，可由学生自行研究得结论。对于面积之比问题，与前面一样，先由学生讨论出研究问题的基本方向与策略——转化为三角形——来研究。然后通过师生活动合作研究得结论。

拓展结论1：相似多边形的周长之比等于相似比； 相似多边形的面积之比等于相似比的平方。

（结合相似五边形研究过程）

拓展结论2：相似多边形中对应三角形相似，相似比等于相似多边形的相似比； 相似多边形中对应对角线之比等于相似比；

进而拓展到：相似多边形中对应线段之比等于相似比等。

（四）操作应用，形成技能

2．在一张比例尺为1：2000的地图上，一块多边形地区的周长为72cm,面积为200cm2，求这个地区的实际周长和面积。设计意图：落实双基，形成技能

（五）习题拓展，发展能力

设计意图：将课本基本习题改造成发展学生能力的开放型问题研究，体现了课程整合的价值。

（六）作业（略）

17.相似三角形的证明思路 篇十七

教学建议

知识结构

重点、难点分析

相似三角形的性质及应用是本节的重点也是难点.

它是本章的主要内容之一，是在学完相似三角形判断的基础上，进一步研究相似三角形的性质，以完成对相似三角形的定义、判定和性质的全面研究.相似三角形的性质还是研究相似多边形性质的基础，是今后研究圆中线段关系的工具.

它的难度较大，是因为前面所学的知识主要用来证明两条线段相等，两个角相等，两条直线平行、垂直等.借助于图形的`直观可以有助于找到全等三角形.但是到了相似形，主要是研究线段之间的比例关系，借助于图形进行观察比较困难，主要是借助于逻辑的体系进行分析、探求，难度较大.

教法建议

1。教师在知识的引入中可考虑从生活实例引入，例如照片的放大、模型的设计等等

2。教师在知识的引入中还可以考虑问题式引入，设计一个具体问题由学生参与解答

3。在知识的巩固中要注意与全等三角形的对比

(第1课时)

一、教学目标

1.使学生进一步理解相似比的概念，掌握相似三角形的性质定理1.

2.学生掌握综合运用相似三角形的判定定理和性质定理1来解决问题.

3.进一步培养学生类比的教学思想.

4.通过相似性质的学习，感受图形和语言的和谐美

二、教法引导

先学后教，达标导学

三、重点及难点

1.教学重点：是性质定理1的应用.

2.教学难点：是相似三角形的判定1与性质等有关知识的综合运用.

四、课时安排

1课时

五、教具学具准备

投影仪、胶片、常用画图工具.

六、教学步骤

[复习提问]

1.三角形中三种主要线段是什么?

2.到目前为止，我们学习了相似三角形的哪些性质?

3.什么叫相似比?

[讲解新课]

根据相似三角形的定义，我们已经学习了相似三角形的对应角相等，对应边成比例.

下面我们研究相似三角形的其他性质(见图).

建议让学生类比“全等三角形的对应高、对应中线、对应角平分线相等”来得出性质定理1.

性质定理1：相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分的比都等于相似比

∽ ，

教师启发学生自己写出“已知、求证”，然后教师分析证题思路，这里需要指出的是在寻找判定两三角形相似所欠缺的条件时，是根据相似三角形的性质得到的，这种综合运用相似三角形判定与性质的思维方法要向学生讲清楚，而证明过程可由学生自己完成.

分析示意图：结论→∽(欠缺条件)→∽(已知)

∽ ，

BM=MC，

∽ ，

以上两种情况的证明可由学生完成.

[小结]

本节主要学习了性质定理1的证明，重点掌握综合运用相似三角形的判定与性质的思维方法.

七、布置作业

教材P241中3、教材P247中A组3.

18.巧构相似三角形　妙证等积式 篇十八

例1如图1，在△ABC中，∠B=2∠C，试说明AC2=AB2+AB·BC.

分析：可将结论变形为 AC2=AB（AB+BC），故联想到构造一条长等于AB+BC的线段.延长AB至D，使BD=BC，连接CD，构成共边共角相似三角形，然后说明△ABC∽△ACD，从而使问题得以解决.

证明：延长AB至D，使BD=BC，連接CD，则∠BDC=∠BCD.又∠ABC=∠BDC+∠BCD，所以 ∠ABC=2∠BDC，又∠ABC=2∠ACB，所以∠ACB=∠BDC.

又∠CAB=∠DAC，

所以△ABC∽△ACD，得到AB ∶ AC=AC ∶ AD，即AC2=AB·AD=AB

·（AB+BD）=AB2+AB·BD=AB2+AB·BC.

例2如图２，等腰△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于点D，试说明BC2=2AC· CD .

分析：同样,结论可变形为BC2=AC· (2CD)， 故联想到构造一条长等于2CD的线段，因此可延长CD至E，使DE=CD，连接BE，构成共边共角相似三角形，然后说明△ABC∽△BEC，再列出比例式即可.

证明过程由同学们自己完成.

例3如图3，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，∠BAC=120°，试说明: ＡＢ·ＡＣ＝ＡＤ（ＡＢ＋ＡＣ）.

分析：由结论可联想到构造一条长等于AB+AC的线段，从而延长BA至E，使AE=AC，连接CE，有AD∥CE，可得到 △ABD∽△EBC，列出比例式，再通过等量代换，使问题获解.

解：延长BA至E，使AE=AC，连接CE.

由∠BAC=120°，得∠CAE=60°，又AE=AC，所以△ACE为等边三角形，则EC=AC，且∠E

=∠BAD=60°，所以EC∥AD，从而△ABD∽△EBC，所以BA : BE=AD : EC，即 AB·EC=BE·AD，而EC=AC，BE=AB+AE=AB+AC，所以ＡＢ·ＡＣ＝ＡＤ（ＡＢ＋ＡＣ）.

例4如图4，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，FG垂直平分AD，交AB、AD及BC的延长线于点F、E、G，试说明DG2=CG·BG.

分析：由于DG、CG、BG三条线段在同一条直线上，它们之间的比例关系难以确定，可尝试线段转移、等量代换，使之成为两个相似三角形的对应边.由于题设中有FG是AD的垂直平分线，联想到GA=GD，从而连接AG，构成共边共角三角形，通过证明△ABG∽△CAG，可使问题获解.

证明：连接AG，因为FG垂直平分AD，所以DG=AG，且∠ADG=∠DAG.又因为AD平分∠BAC，所以∠BAD=∠DAC，又因为∠BAG=∠BAD+∠DAG，∠ACG=∠DAC+∠ADG，所以∠BAG=∠ACG.