平面几何竞赛题定理

2024-12-10

平面几何竞赛题定理（精选15篇）

1.平面几何竞赛题定理篇一

1、勾股定理(毕达哥拉斯定理)

2、射影定理(欧几里得定理)

3、三角形的三条中线交于一点，并且，各中线被这个点分成2：1的两部分

4、四边形两边中心的连线的两条对角线中心的连线交于一点

5、间隔的连接六边形的边的中心所作出的两个三角形的重心是重合的。

6、三角形各边的垂直一平分线交于一点。

7、从三角形的各顶点向其对边所作的三条垂线交于一点

8、设三角形ABC的外心为O，垂心为H，从O向BC边引垂线，设垂足不L，则AH=2OL9、三角形的外心，垂心，重心在同一条直线上。

10、(九点圆或欧拉圆或费尔巴赫圆)三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上，11、欧拉定理：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线(欧拉线)上

12、库立奇*大上定理：(圆内接四边形的九点圆)圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆。

13、(内心)三角形的三条内角平分线交于一点，内切圆的半径公式：r=(s-a)(s-b)(s-c)ss为三角形周长的一半

14、(旁心)三角形的一个内角平分线和另外两个顶点处的外角平分线交于一点

15、中线定理：(巴布斯定理)设三角形ABC的边BC的中点为P，则有AB2+AC2=2(AP2+BP2)

16、斯图尔特定理：P将三角形ABC的边BC内分成m:n，则有

n×AB2+m×AC2=(m+n)AP2+mnBC17、波罗摩及多定理：圆内接四边形ABCD的对角线互相垂直时，连接AB中点M和对角线交点E的直线垂直于CD18、阿波罗尼斯定理：到两定点A、B的距离之比为定比m:n(值不为1)的点P，位于将线段AB分成m:n的内分点C和外分点D为直径两端点的定圆周上

19、托勒密定理：设四边形ABCD内接于圆，则有AB×CD+AD×BC=AC20、以任意三角形ABC的边BC、CA、AB为底边，分别向外作底角都是30度的等腰△BDC、△CEA、△AFB，则△DEF是正三角形，21、爱尔可斯定理1：若△ABC和三角形△都是正三角形，则由线段AD、BE、CF的重心构成的三角形也是正三角形。

22、爱尔可斯定理2：若△ABC、△DEF、△GHI都是正三角形，则由三角形△ADG、△BEH、△CFI的重心构成的三角形是正三角形。

23、梅涅劳斯定理：设△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线和一条不经过它们任一顶点的直线的交点分别为P、Q、R则有 BPPC×CQQA×ARRB=

124、梅涅劳斯定理的逆定理：(略)

27、塞瓦定理：设△ABC的三个顶点A、B、C的不在三角形的边或它们的延长线上的一点S连接面成的三条直线，分别与边BC、CA、AB或它们的延长线交于点P、Q、R，则BPPC×CQQA×ARRB()=1.32、西摩松定理：从△ABC的外接圆上任意一点P向三边BC、CA、AB或其延长线作垂线，设其垂足分别是D、E、R，则D、E、R共线，(这条直线叫西摩松线)

34、史坦纳定理：设△ABC的垂心为H，其外接圆的任意点P，这时关于△ABC的点P的西摩松线通过线段PH的中心。

36、波朗杰、腾下定理：设△ABC的外接圆上的三点为P、Q、R，则P、Q、R关于△ABC交于一点的充要条件是：弧AP+弧BQ+弧CR=0(mod2∏).不用掌握

37、波朗杰、腾下定理推论1：设P、Q、R为△ABC的外接圆上的三点，若P、Q、R关于△ABC的西摩松线交于一点，则A、B、C三点关于△PQR的的西摩松线交于与前相同的一点

38、波朗杰、腾下定理推论2：在推论1中，三条西摩松线的交点是A、B、C、P、Q、R六点任取三点所作的三角形的垂心和其余三点所作的三角形的垂心的连线段的中点。

39、波朗杰、腾下定理推论3：考查△ABC的外接圆上的一点P的关于△ABC的西摩松线，如设QR为垂直于这条西摩松线该外接圆珠笔的弦，则三点P、Q、R的关于△ABC的西摩松线交于一点

40、波朗杰、腾下定理推论4：从△ABC的顶点向边BC、CA、AB引垂线，设垂足分别是

D、E、F，且设边BC、CA、AB的中点分别是L、M、N，则D、E、F、L、M、N六点在同一个圆上，这时L、M、N点关于关于△ABC的西摩松线交于一点。

41、关于西摩松线的定理1：△ABC的外接圆的两个端点P、Q关于该三角形的西摩松线互相垂直，其交点在九点圆上。

42、关于西摩松线的定理2(安宁定理)：在一个圆周上有4点，以其中任三点作三角形，再作其余一点的关于该三角形的西摩松线，这些西摩松线交于一点。

43、卡诺定理：通过△ABC的外接圆的一点P，引与△ABC的三边BC、CA、AB分别成同向的等角的直线PD、PE、PF，与三边的交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线。

44、奥倍尔定理：通过△ABC的三个顶点引互相平行的三条直线，设它们与△ABC的外接圆的交点分别是L、M、N，在△ABC的外接圆取一点P，则PL、PM、PN与△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线的交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线

45、清宫定理：设P、Q为△ABC的外接圆的异于A、B、C的两点，P点的关于三边BC、CA、AB的对称点分别是U、V、W，这时，QU、QV、QW和边BC、CA、AB或其延长线的交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线

46、他拿定理：设P、Q为关于△ABC的外接圆的一对反点，点P的关于三边BC、CA、AB的对称点分别是U、V、W，这时，如果QU、QV、QW与边BC、CA、AB或其延长线的交点分别为ED、E、F，则D、E、F三点共线。(反点：P、Q分别为圆O的半径OC和其延长线的两点，如果OC2=OQ×OP 则称P、Q两点关于圆O互为反点)

47、朗古来定理：在同一圆同上有A1B1C1D14点，以其中任三点作三角形，在圆周取一点P，作P点的关于这4个三角形的西摩松线，再从P向这4条西摩松线引垂线，则四个垂足在同一条直线上。

48、九点圆定理：三角形三边的中点,三高的垂足和三个欧拉点[连结三角形各顶点与垂心所得三线段的中点]九点共圆[通常称这个圆为九点圆[nine-point circle],或欧拉圆,费尔巴哈圆.49、一个圆周上有n个点，从其中任意n-1个点的重心，向该圆周的在其余一点处的切线所引的垂线都交于一点。

50、康托尔定理1：一个圆周上有n个点，从其中任意n-2个点的重心向余下两点的连线所引的垂线共点。

51、康托尔定理2：一个圆周上有A、B、C、D四点及M、N两点，则M和N点关于四个三角形△BCD、△CDA、△DAB、△ABC中的每一个的两条西摩松的交点在同一直线上。这条直线叫做M、N两点关于四边形ABCD的康托尔线。

52、康托尔定理3：一个圆周上有A、B、C、D四点及M、N、L三点，则M、N两点的关于四边形ABCD的康托尔线、L、N两点的关于四边形ABCD的康托尔线、M、L两点的关于四边形ABCD的康托尔线交于一点。这个点叫做M、N、L三点关于四边形ABCD的康托尔点。

53、康托尔定理4：一个圆周上有A、B、C、D、E五点及M、N、L三点，则M、N、L三点关于四边形BCDE、CDEA、DEAB、EABC中的每一个康托尔点在一条直线上。这条直线叫做M、N、L三点关于五边形A、B、C、D、E的康托尔线。

54、费尔巴赫定理：三角形的九点圆与内切圆和旁切圆相切。

55、莫利定理：将三角形的三个内角三等分，靠近某边的两条三分角线相得到一个交点，则这样的三个交点可以构成一个正三角形。这个三角形常被称作莫利正三角形。

56、牛顿定理1：四边形两条对边的延长线的交点所连线段的中点和两条对角线的中点，三条共线。这条直线叫做这个四边形的牛顿线。

57、牛顿定理2：圆外切四边形的两条对角线的中点，及该圆的圆心，三点共线。

58、笛沙格定理1：平面上有两个三角形△ABC、△DEF，设它们的对应顶点(A和D、B和E、C和F)的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线。

59、笛沙格定理2：相异平面上有两个三角形△ABC、△DEF，设它们的对应顶点(A和D、B和E、C和F)的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线。60、布利安松定理：连结外切于圆的六边形ABCDEF相对的顶点A和D、B和E、C和F，则这三线共点。

2.平面几何竞赛题定理篇二

梅涅劳定理:设三角形△ABC三边 (所在直线) BC、CA、AB被一直线分别截于点X、Y、Z, 则有BX/XC·CY/YA·AZ/ZB=-1.

逆定理 (梅涅劳定理) :设三角形△ABC三边 (所在直线) BC、CA、AB上各取一点X、Y、Z满足关系BX/XC·CY/YA·AZ/ZB=-1, 则此三点X、Y、Z共线.

帕斯卡定理: 对于任意一个内接于非退化的二阶曲线的简单六点形, 它的三双对边的交点在一直线上.

命题:圆上六点A、B、C、D、E、F, AB与DE交于P, BC与EF交于Q, CD与FA交于R, 求证P, R, Q共线.

证法2:利用帕斯卡定理证明.

证明:如图1, 设简单六点形ABCDEF内接于圆, 其三对对边AB与DE, BC与EF, CD与FA的交点分别为P, R, Q, 圆显然是非退化的二阶曲线, 根据利用帕斯卡定理, P, R, Q共线.

本命题证明的证法1是利用梅涅劳定理证明, 证明时需要运用一定的技巧, 有一定的难度.本命题的证法2是利用帕斯卡定理证明的, 证明过程十分简洁, 达到了事半功倍的效果.利用高等几何理论可以统一初等几何的某些问题, 提高推广问题的能力, 开阔视野, 加强高等几何和初等几何的联系, 有利于更深刻地认识和掌握初等几何, 并指导初等几何的教学与研究.能够在更高层面上理解几何空间的基本特性、研究方法及其内在联系, 深刻体会几何的本质.

摘要：本文利用梅涅劳定理与帕斯卡定理证明同一个几何命题, 体现命题与命题之间的关系, 揭示定理与定理之间的内在联系.表明高等几何的原理和方法在初等几何的应用中的指导意义.

关键词：梅涅劳定理,帕斯卡定理,几何命题

参考文献

[1]朱德祥.高等几何[M].北京:高等教育出版社, 1983.

3.几何定理的机器证明篇三

几千年来，人们解几何题的招数，层出不穷，争奇斗艳，概括起来，不外这4类：检验、搜索、归约和转换，50多年来，数学家和计算机科学家费尽心思，循循善诱，把个中奥秘向计算机传授，使得计算机解几何题的能力日新月异，大放光彩，除了灵机一动加辅助线，或千变万化的问题转换之外，前3种方法计算机都学得十分出色了，用机器帮助，以至在某种程度上代替学者研究几何，帮助乃至代替老师指导学生学习几何，已经从古老的梦想变为现实。

在几何定理机器证明中，采用代数方法，引进坐标，将几何定理的叙述用代数方程的形式重新表达，证明问题就转化成判定是否能从假设的代数方程推出结论的代数方程的问题，这样把几何问题代数化，自笛卡尔以来已是老生常谈，并无实质困难，然而代数化的过程，坐标点的选取和方程引进的次序都可能影响到后续证明的难度，甚至由于技术条件的限制，影响到证明是否可能完成，也就是说，几何问题化成纯代数问题之后，也并不见得一定容易，更不能说就能实现机械化了，这不仅是因为解决这些代数问题的计算量往往过大，令人望而却步，还因代表几何关系而出现的那些代数等式或不等式常常杂乱无章，使人手足无措，从这些杂乱无章的代数关系式中要找出一条途径，以达到所要证的结论，往往要用到高度的技巧，换句话说，即使你不怕计算，会用计算机来算，也不知道从何算起。

解几何题是思维的体操，是十分有吸引力的智力活动之一，图形的直观简明，推理的曲折严谨，思路的新颖巧妙，常给人以美的享受，许多青少年数学爱好者，往往首先是对几何有了浓厚的兴趣，用计算机证明几何问题，如果仅限于用平凡而繁琐的数值计算代替巧妙而难于入手的综合推理，则未免大煞风景，通过计算机的大量计算判断命题为真，确实是证明了定理，这是有严谨理论基础的，但这样的证明写出来只是一大堆令人眼花缭乱的算式、数字或符号，既没有直观的几何意义，又难于理解和检验，这跟几何教科书上十行八行就说得明明白白的传统风格的证明大相径庭，如果计算机给出的这一堆难于理解和检验的数据也算是几何问题的解答，这种解答只能叫做不可读的解答。

4.《平面向量基本定理》教案篇四

1.知识与技能：

了解平面向量基本定理及其意义, 理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示；能够在具体问题中适当地选取基底,使其他向量都能够用基底来表示。

2.过程与方法：

让学生经历平面向量基本定理的探索与发现的形成过程,体会由特殊到一般和数形结合的数学思想，初步掌握应用平面向量基本定理分解向量的方法，培养学生分析问题与解决问题的能力。

3.情感、态度和价值观

通过对平面向量基本定理的学习,激发学生的学习兴趣,调动学习积极性,增强学生向量的应用意识,并培养学生合作交流的意识及积极探索勇于发现的学习品质.二、教学重点：平面向量基本定理.三、教学难点：平面向量基本定理的理解与应用.四、教学方法：探究发现、讲练结合五、授课类型：新授课

六、教具：电子白板、黑板和课件

七、教学过程：

（一）情境引课，板书课题

由导弹的发射情境，引出物理中矢量的分解，进而探究我们数学中的向量是不是也可以沿两个不同方向的向量进行分解呢？

（二）复习铺路，渐进新课

在共线向量定理的复习中，自然地、渐进地融入到平面向量基本定理的师生互动合作的探究与发现中去，感受着从特殊到一般、分类讨论和数形结合的数学思想碰撞的火花，体验着学习的快乐。

（三）归纳总结，形成定理

让学生在发现学习的过程中归纳总结出平面向量基本定理，并给出基底的定义。

（四）反思定理，解读要点

反思平面向量基本定理的实质即向量分解，思考基底的不共线、不惟一和非零性及实数对的存在性和唯一性。

（五）跟踪练习，反馈测试

及时跟踪练习，反馈测试定理的理解程度。

（六）讲练结合，巩固理解

即讲即练定理的应用，讲练结合，进一步巩固理解平面向量基本定理。

（七）夹角概念，顺势得出

不共线向量的不同方向的位置关系怎么表示，夹角概念顺势得出。然后数形结合，讲清本质：夹角共起点。再结合例题巩固加深。

（八）课堂小结，画龙点睛

回顾本节的学习过程，小结学习要点及数学思想方法，老师的“教 ”与学生的“学”浑然一体，一气呵成。

（九）作业布置，回味思考。

布置课后作业，检验教学效果。回味思考，更加理解定理的实质。

七、板书设计：

1.平面向量基本定理：如果

是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数，使

.2.基底：

(1)不共线向量

叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；

(2)基底：不共线，不唯一，非零

(3)基底给定，分解形式唯一，实数对

存在且唯一；

(4)基底不同，分解形式不唯一，实数对

可同可异。

例1 例2

3.夹角

：

（1）两向量共起点；

（2）夹角范围：

例3

4.小结

5.平面向量基本定理(教学设计) 篇五

教学设计

教材分析：

分析基本定理在教材中的作用，让学生有目标性地学习．教学目标：

1．通过作图法理解并掌握平面向量基本定理的内容及含义．

2．深刻理解向量的基底表示的意义及作用，会将平面内的任意一个向量用一组基底表示． 2．理解平面上两个向量的夹角的概念及范围，掌握平面内两个向量的位置关系． 3．会用平面向量基本定理解决向量相互表示的问题．教学重难点：

重点：平面向量基本定理的内容，向量基底的意义及应用；难点：平面向量基本定理的应用．

教学方法：CAI课件、图形模拟法、形成性归纳与总结．课时安排：1课时．教学过程： Ⅰ 新课导入

【回顾】：向量数乘运算．（重点回顾几何意义及作图方法）【图片】：

幻灯片1

（展示生活中许多结构与矢量的联系）

【引入】：物理中力的合成与分解．

幻灯片2

（展示物理学中力的合成与分解）

【问题】：力是物理学中的矢量，矢量也就是数学中的向量，那么平面内的任一向量a能否都可以表示成1e12e2的形式呢？

Ⅱ 新课讲授

一、知识点精讲 1．作图分析

幻灯片3 幻灯片4 2．形成结论

幻灯片5 幻灯片6 3．练习

幻灯片7 Ⅲ 课时小结

本节课学习了平面向量的基本定理，注意基本定理的应用与向量的互相表示，这是重点，也是难点，同时还是以后学习向量坐标运算以及空间向量的基础． Ⅳ 课后作业

（两个例题，巩固练习）

（归纳整理向量夹角的定义）

（动态展示向量的合成与分解）

（学生训练）

（归纳整理平面向量基本定理的内容）

6.直线与平面平行判定定理说课稿篇六

一、教材分析

本节课是在人教版数学必修二第二章第二节直线与平面平行的判定。主要学习直线和平面平行的判定定理，以及初步应用。它与前面所学习的平面几何中两条直线的位置关系以及立体几何中直线与平面的位置关系等知识都有密切的关系，而其本身就是判断直线与平面平行的的一个重要的方法；同时又是后面将要学习的平面与平面位置关系的基础，又是连接线线平行和面面平行的纽带！

二、教学目标

考虑到学生的接受能力和课容量以及《课程标准》的要求，本节课只要求学生在线面平行定义的基础上探究线面平行的判定定理并进行定理的初步运用。故而本节课教学目标为：

知识方面：通过对图片，实例的观察以及实践操作，初步感知直线与平面平行的判定定理。

能力方面：通过直观感知操作确认归纳线面平行的判定定理，并将归纳用客观论证说明，并能运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题，进一步培养学生的空间观念情感方面:让学生亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣

三、教学难点与重点

由于学生的抽象概括能力，空间想象力还有待提高，线面平行的定义比较抽象，要让学生体会“直线与平面无公共点”有一定困难，线面平行的判定的发现有一定隐蔽性，所以我确定本节的重点是：通过观察和操作确认直观感知概括出线面平行的判定定理

难点是：应用反证法客观证明直观感知及确认定理。

四、教学过程

（一）、复习空间直线的位置关系及空间直线与平面的位置关系，为课程的进展做好必备知识的准备

(二).定理的探求

本环节是教学的第一个重点，分四步

a创设情境，感知概念

用多媒体展示日常生活中的常见线面平行的实例提出思考问题：如何判定一条直线与一个平面平行？

b观察归纳，猜想定理

将事例转化为具体的直线与平面，通过提问逐渐引导学生思考平外一条直线与平面内的一条直线平行是否可以得到直线与平面平行。教师用准备好的直角梯形演示平面外一条直线与平面内的一条直线平行时，该直线与平面给人平行的印象，引导学生有直观感受猜想出当直线与平面内一条直线平行时，该直线与平面平行。

c客观证明，确认定理

教师带领学生将猜想出的结果用反证法进行客观的论证说明，确认猜想正确并给出定理的文字描述，及符号描述。这一环节深化猜想，是其具有较强的确定性，使学生经历从实际背景中抽象出几何概念的全过程，从而形成完整和正确的概念，最后通过客观证明，加紧学生对定理形成，这种立足于感性认识的归纳过程，即由特殊到一般，由具体到抽象，既有利于学生对定理本质的理解，又使学生的抽象思维得到发展，培养学生几何直观能力。d质疑反思，深化定理

强调定理中的条件以及应注意的问题。

判断正误：如果a,b是两条直线，并且a平行于b，那么a平行于经过b的任何平面

（突出一条线在面内，一条线在面外）

强调深化平面与直线平行的必须条件a在平面内，b在平面外，a平行于b

（三）定理初步应用

课本例一

空间四边形相邻两边中点的连线，平行于经过另外两边的平面

考虑到学生处于初学阶段，此题可以帮助学生由线面的感性认识上升的理性认识。练习，第一题，找出长方体ABCD-A’B’C’D’与AB平行的面及与AA’平行的面，与AD平行的面。让学生对定理的条件进一步理解加深巩固。

（四）反思提高，小结课程

教师给出问题：

1.通过这节课的学习，你学会了哪些线面平行的方法？

2.证明线面平行时，注意哪些问题？

侧重三点：

（1）归纳线面平行的判断方法

一、定义

二、判定定理

（2）说明本课蕴含转化、类比、归纳、猜想等数学思想方法，强调“平面化”是解决立体几何问题的一般思路

（五）布置作业

在学习定理之后，让学生自己应用定理自主做题，通过运用更深刻的掌握定理，加深巩固。

五、板书设计（略）

六、教学媒体使用

在教学过程中，用多媒体展示复习的知识，以及教学过程中的图片，使学生在较短的时间内回顾所学知识，并直观感受生活中直线与平面平行的例子，将抽象的想象用多媒体展示图片具体化，并提高课堂时间的利用率。

七、教法学法

教法：通过对大量实例、图片的观察感知，模型的分析猜想，实验直观感知发现线面平行的判定定理。学生在问题的带动下，进行主动的思维活动，经历从现实生活中抽象出几何图形和几何问题的过程，体会转化、归纳、猜想等数学思想方法在解决问题中的作用，发展学生的合情推理能力和空间想象力，培养学生的质疑、思辨、创新的精神。并在课程结束时，对整堂课的内容进行归纳总结，使学生能够系统的掌握所学知识。

学法：课前安排学生列举生活中线面平行的实例，从中体现出学生活跃的思维，浓厚的兴趣，强烈的参与意识和自主探究能力，在初中学生已经掌握了平面内证明线线平行的方法，前面又刚刚学过在空间中直线的位置关系，以及直线与平面的位置关系，对空间概念的建立有一定基础，因而以采用观察归纳猜想论证的方法学习本课。

八、教学反思

7.初中数学几何概念和定理教学探析篇七

一、重视概念和定理的引入方法

首先, 教师要在课堂教学中抓准时机, 将几何概念和定理自然地引出来, 进一步揭示其产生的基础和背景, 使学生能够在充分理解的基础上掌握和运用几何概念和定理。由于几何概念和定理是前人从生活中抽象出来的精辟的理性认知, 单纯让学生死记硬背, 教学效率必然不会理想。因此, 数学教师要选择恰当的时机来引入概念和定理, 并引导和帮助学生完成从感性认识到理性认识的过渡。而这就要求教师在课前做好充足的准备工作, 为学生提供丰富的直观资料。比如, 在平行线概念的教学中, 教师可以利用铁路两条笔直平行的铁轨、汽车行驶后留下的车轮印等来引出这一概念。在课堂的一开始, 教师可以先让学生观察铁轨和车轮印有什么共同之处, 并对其特点进行分析, 在此基础上引出平行线的概念, 最后让学生根据自己对概念的理解列举更多的实例, 巩固对知识的掌握。在引入几何概念和定理的过程中, 教师要注意, 生活实例并不是几何概念和定理, 有的生活实例遗漏了概念和定理的某些本质属性, 有的包括了非本质属性, 这就要求教师做好引导部分的教学, 防止学生对概念和定理的曲解, 走向另一个极端。

其次, 初中几何的各部分知识虽然是独立的, 但教材也遵循着循序渐进、逐步深入的原则来安排教学内容, 而且这些内容是具有系统性、联系性的。因此, 在几何概念和定理教学中, 教师不能生硬地灌输给学生, 而要在他们已经掌握了某些概念和定理的基础上引入新的学习内容, 让学生认识到新旧知识间的联系, 同时要揭示新旧知识间的矛盾, 使他们认识到学习新概念和定理的必要性。而这就要求初中数学教师在备课环节全面深入地分析新的几何概念和定理在整个系统中的位置和作用。

二、探索多种定理证明方法

几何是集思维和方法于一体的知识, 一个定理的证明往往有多种方法, 这些方法又常常涉及到许多数学知识。因此, 定理教学中不仅要考虑到定理证明的分析和综合, 还要考虑到其他可能的证法, 要有效地抓住定理教学的机会, 使学生综合运用所学知识, 同时培养他们的数学思维、渗透数学学习方法。具体的教学中, 首先, 教师要善于通过自己的行为影响、带动学生。如果教师在思想上十分重视定理证明的多样化, 必然在平时教学中表现出来, 学生受其影响在解决问题的时候就会从多个角度加以思考。事实上, 有些数学教师不会耐心引导学生去探究方法, 而是简单地讲解定理的意思或者选择一种最简单的证明方法传授给学生, 虽然从某种意义上讲达到了让学生易于理解的目的, 但是却使学生的思维被禁锢, 无法得到多方面的发展。久而久之, 必然导致学生觉得几何定理枯燥乏味, 加之几何定理学习本身具有抽象性, 就会使学生失去对几何定理学习的信心和耐心。其次, 在定理教学时, 教师要注意引导、启发学生去探索定理的其他证法, 这样既有利于加深学生对定理的理解, 又有利于培养学生综合运用知识的能力。此外, 教师还必须注意可能出现的错误证法, 究其错误原因, 防止或减少错误的发生。比如, 在讲三角形内角和定理的证明时, 我先启发学生发现第一种证明方法中蕴含的思想和方法, 然后给学生充分的时间去积极思考, 热烈讨论, 探索其他方法, 学生在探索的过程中不断体会本节课的中心数学思想——转化思想, 同时积极讨论使课堂气氛达到了高潮, 学生都争先恐后地表达自己的想法, 极大地带动了中下层学生课堂参与性。最令我高兴的是学生找到了六种证明方法, 还有一些学生找到的方法超出我的预料, 虽然是错误的但也带给无数的惊喜, 使我感叹学生的创造力和想象力。

三、抓住概念和定理的本质, 促进学生理解

几何定理是我们对研究对象的本质属性的概括, 措辞更是精炼, 每个字词都有其重要的作用。为了深刻领会概念和定理的含义, 教师不仅要注意对概念和定理论述时用词的严密性和准确性, 还要及时纠正学生用词不当及概念和定理认识上的错误, 这有利于培养学生严密的逻辑思维习惯, 使他们逐步养成对定义的深入钻研, 逐字逐句加以分析, 认真推敲的良好习惯。例如, 在讲解等腰三角形概念时, 一定要强调概念中的有两条边相等的“有”字, 而不是只有两条边相等的“只有”二字。前面的有两条边相等包括了两种情况:一是只有两条边相等的等腰三角形, 即腰与底不相等的等腰三角形;二是三条边相等的等腰三角形又叫等边三角形, 而后面的仅仅涉及到一种情况, 排除了等边三角形也是等腰三角形的这一特殊情况。又如, 不在同一直线上的三点确定一个圆, 若改写成三点确定一个圆, 得出一个新命题, 它既包括了三点在同一直线上又包括了三点不在同一直线上的两种情形, 而在同一直线上的三点不可能确定一个圆, 即圆上任意三点都不在同一直线上。所以将不在同一直线上三点确定一个圆写成三点确定一个圆是不成立的。因此, 在讲述此概念时应突出“不在同一直线上”这句话。

概念和定理是几何证明的基础, 有效的定理教学有助于学生对证明全面的理解;有利于教师使用较规范的数学语言表达证明过程, 有利于教师清晰而有条理地表述自己思想, 有利于激发学生对数学证明的兴趣心。新的教学理念对教师提出更高的要求, 作为教育工作者, 我们只有在教育教学的实践中多总结、多反思、大胆创新, 才能跟上时代的步伐!

摘要：随着初中新课程的改革, 初中数学的教学内容和方法也发生了很大的变化, 几何与代数成为初中数学教学内容的重要组成部分。不同于代数知识内容的简单性, 几何内容十分丰富, 涉及面广, 理论性强的原理、公式也较多, 证明过程复杂, 这就对学生的立体思维能力和想象能力提出了很高的要求, 也给教师的教学工作增加了难度。因此, 加强对初中数学几何概念和定理的研究, 探索有效的教学策略, 值得每一位数学教育工作者重视。

关键词：初中数学,几何定理,教学效率

参考文献

[1]朱宁.浅谈初中几何教学[J].教育教学论坛, 2011 (16) .

8.平面几何竞赛题定理篇八

【关键词】初中数学教学几何定理策略

对于几何定理的教学中，教学策略的有效选择非常重要。教师要善于将抽象的知识具象化，将一些具体的内容融入到学生熟悉的生活中加以体验。这会让学生对于教学知识点更容易理解与接受，也能够化解很多理解上的障碍。在这样的基础上才能够提升知识教学的成效。

一、让学生在画图中体验几何定理

让学生在画图中来增进对于几何定理的体验，这是一种很好的教学模式，这也会让学生在知识的应用中深化对于很多定理的理解与吸收。初中阶段学生们接触到的大部分几何定理都不算太复杂，很多知识点都可以在生活中得以验证。这给学生的知识体验提供了很好的平台。教师可以创设一些好的教学活动，让学生在动手作图的过程中来对于很多定理有更为直观的感受。同时，这也是对于很多定理展开有效验证的教学过程，这些都会让学生对于知识点的掌握更加牢固。

例如，学到定理“三角形两边的和大于第三边”时，可以让学生用直尺画出任意一个三角形，并测量出三条边的长度，并按照定理进行计算，看结论是否与定理一致。又比如，学到定理“两直线平行，同位角相等”时，让同学们在纸上画出两条平行的直线，再画出一条同时与两条直线相交的直线，找出它们的同位角，用量角器进行测量，看结果是否相同。让学生自己来画图，这首先能够给学生的知识应用与实践提供良好的空间；同时，学生也可以在过程中对于很多内容展开检验。这些都会增进学生对于几何定理的理解与认知，并且能够让学生对于相应的知识点有更好的掌握。

二、注重对于学生想象力的激发

初中阶段的几何教学中学生们会逐渐接触到立体几何的内容，虽说很多知识点并不复杂，但是，对于初次接触的学生而言还是存在理解上的障碍。在立体几何知识的学习中，学生的空间想象能力非常重要，这是让学生能够更好的理解很多图形的特点以及变化规律的基础。正是因为如此，想要深化学生对于几何定理的理解与认知，教师要加强对于学生想象力的培养，这将会极大的提升学生的知识理解能力。教师可以将具体的知识点融入到学生熟悉的生活场景中加以讲授，这会为学生的想象力提供良好的平台，也会让学生对于很多内容有更好的领会。

几何定理的理论性和抽象性较强，在教学中，充分发挥学生的想象力也是加强定理记忆的一种好方法。在学到某些定理时，可以让同学们想一下生活中满足几何定理条件的事物，加深同学们对这条定理的印象。当记不起定理内容时，只要想起相应的事物就很容易想起定理的知识。比如，定理“平行线永远不会相交”的学习，就可以想象生活中存在平行关系的事物，比如平房的屋顶和地面，它们永远不会相交，所以平行线也不可能相交。这些都是很好的教学范例，能够极大的促进学生对于几何定理的理解与领会。教师要善于利用一些灵活的教学方法与教学模式，这对于促进学生的知识吸收将会很有帮助。

三、生活化几何定理的教学

生活化几何定理的教学同样是一个很好的突破口，这对于提升学生的知识掌握程度将会起到很大的推动。对于很多抽象的几何定理，想要让学生深化对其的理解与认知，最有效的办法就是将它融入到学生们熟悉的生活场景中加以体验。教师可以结合具体的教学内容创设一些生活化的教学情境，让学生们结合生活实例来对于相应的几何定理加以认知。这首先会降低知识理解上的难度，也会为学生的知识领会提供积极推动。在这样的教学过程中才能够帮助学生对于几何定理有更好的认知，这也是提升课堂教学效率的一种有效方式。

老师在备课时，要将定理知识与实际生活紧密联系起来，用我们生活中最普通的现象解释难懂的理论知识。比如，在学到“两条直线平行，内错角相等”这条定理时，可以利用多媒体课件，向同学们展示盘山公路两次拐弯平行时的内错角图示，引导学生进行多方位、多角度的思考。这种做法也会激发同学们对生活中类似现象的思考，提高他们在生活中发现、推导几何定理的能力。让几何定理的教学与学生熟悉的生活情境相结合，这是一种很有效的教学策略，这也是提升知识教学效率的一种有效模式。

结语

几何定理的教学是初中数学教学中的一个难点，如何能够有效的突破这个教学难点，这需要教师在教学方法上有灵活选择。教师可以让学生在画图中体验几何定理，也可以透过生活化的教学模式突破学生理解上的障碍，这些都是很好的教学模式。培养学生的想象力也非常重要，这同样能够深化学生对于几何定理的理解与认知，并且有效提升知识教学的效率。

【参考文献】

[1] 王翠巧. 探析初中数学几何教学方法[J]. 学周刊，2013年02期.

[2] 吴才鑫. 浅析几何知识与初中数学教学[J]. 教育教学论坛，2013年34期.

[3] 丁焱鑫. 试谈初中数学几何教学[J]. 中学生数理化（高中版·学研版），2011年02期.

9.平面几何竞赛题定理篇九

http://，由图形特征可构造以BM、CN为边的两个三角形，并证明这两个三角形全等。考虑BAC的平分线与BC边的垂直平分线相交于点P，于是连接PB、PC，则利用垂直平分线和角平分线的知识即可解决。

证明：因AP是角平分线，PMAB，PNAC，故PM=PN 又因PD是BC的垂直平分线，故PB=PC 因PB=PC，PM=PN，故RtPBMRtPCN

BMCN

10.平面几何竞赛题定理篇十

第十一讲勾股定理与应用

在课内我们学过了勾股定理及它的逆定理．

勾股定理直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即

a2+b2=c2．

勾股定理逆定理如果三角形三边长a，b，c有下面关系：

a2+b2=c2

那么这个三角形是直角三角形．

早在3000年前，我国已有“勾广三，股修四，径阳五”的说法．

关于勾股定理，有很多证法，在我国它们都是用拼图形面积方法来证明的．下面的证法1是欧几里得证法．

证法1 如图2-16所示．在Rt△ABC的外侧，以各边为边长分别作正方形ABDE，BCHK，ACFG，它们的面积分别是c2，a2，b2．下面证明，大正方形的面积等于两个小正方形的面积之和．

过C引CM∥BD，交AB于L，连接BG，CE．因为

AB=AE，AC=AG，∠CAE=∠BAG，所以△ACE≌△AGB(SAS)．而

所以 SAEML=b2． ①

同理可证 SBLMD=a2． ②

①+②得

SABDE=SAEML+SBLMD=b2+a2，即 c2=a2+b2．

证法2 如图2-17所示．将Rt△ABC的两条直角边CA，CB分别延长到D，F，使AD=a，BF=b．完成正方形CDEF(它的边长为a+b)，又在DE上截取DG=b，在EF上截取EH=b，连接AG，GH，HB．由作图易知

△ADG≌△GEH≌△HFB≌△ABC，所以

AG=GH=HB=AB=c，∠BAG=∠AGH=∠GHB=∠HBA=90°，因此，AGHB为边长是c的正方形．显然，正方形CDEF的面积等于正方形AGHB的面积与四个全等的直角三角形(△ABC，△ADG，△GEH，△HFB)的面积和，即

化简得 a2+b2=c2．

证法3 如图2-18．在直角三角形ABC的斜边AB上向外作正方形ABDE，延长CB，自E作EG⊥CB延长线于G，自D作DK⊥CB延长线于K，又作AF，DH分别垂直EG于F，H．由作图不难证明，下述各直角三角形均与Rt△ABC全等：

△AFE≌△EHD≌△BKD≌△ACB．

设五边形ACKDE的面积为S，一方面

S=SABDE+2S△ABC，①

另一方面

S=SACGF+SHGKD+2S△ABC． ②

由①，②

所以 c2=a2+b2．

关于勾股定理，在我国古代还有很多类似上述拼图求积的证明方法，我们将在习题中展示其中一小部分，它们都以中国古代数学家的名字命名．

利用勾股定理，在一般三角形中，可以得到一个更一般的结论．

定理在三角形中，锐角(或钝角)所对的边的平方等于另外两边的平方和，减去(或加上)这两边中的一边与另一边在这边(或其延长线)上的射影的乘积的2倍．

证(1)设角C为锐角，如图2-19所示．作AD⊥BC于D，则CD就是AC在BC上的射影．在直角三角形ABD中，AB2=AD2+BD2，①

在直角三角形ACD中，AD2=AC2-CD2，②

又

BD2=(BC-CD)2，③

②，③代入①得

AB2=(AC2-CD2)+(BC-CD)

2=AC2-CD2+BC2+CD2-2BC·CD

=AC2+BC2-2BC·CD，即

c2=a2+b2-2a·CD． ④

(2)设角C为钝角，如图2-20所示．过A作AD与BC延长线垂直于D，则CD就是AC在BC(延长线)上的射影．在直角三角形ABD中，AB2=AD2+BD2，⑤

在直角三角形ACD中，AD2=AC2-CD2，⑥

又

BD2=(BC+CD)2，⑦

将⑥，⑦代入⑤得

AB2=(AC2-CD2)+(BC+CD)2

=AC2-CD2+BC2+CD2+2BC·CD

=AC2+BC2+2BC·CD，即

c2=a2+b2+2a·cd． ⑧

综合④，⑧就是我们所需要的结论

特别地，当∠C=90°时，CD=0，上述结论正是勾股定理的表述：

c2=a2+b2．

因此，我们常又称此定理为广勾股定理(意思是勾股定理在一般三角形中的推广)．

由广勾股定理我们可以自然地推导出三角形三边关系对于角的影响．在△ABC中，(1)若c2=a2+b2，则∠C=90°；

(2)若c2＜a2+b2，则∠C＜90°；

(3)若c2＞a2+b2，则∠C＞90°．

勾股定理及广勾股定理深刻地揭示了三角形内部的边角关系，因此在解决三角形(及多边形)的问题中有着广泛的应用．

例1 如图2-21所示．已知：在正方形ABCD中，∠BAC的平分线交BC于E，作EF⊥AC于F，作FG⊥AB于G．求证：AB2=2FG2．

分析注意到正方形的特性∠CAB=45°，所以△AGF是等腰直角三角形，从而有AF2=2FG2，因而应有AF=AB，这启发我们去证明△ABE≌△AFE．

证因为AE是∠FAB的平分线，EF⊥AF，又AE是△AFE与△ABE的公共边，所以

Rt△AFE≌Rt△ABE(AAS)，所以 AF=AB． ①

在Rt△AGF中，因为∠FAG=45°，所以

AG=FG，AF2=AG2+FG2=2FG2． ②

由①，②得

AB2=2FG2．

说明事实上，在审题中，条件“AE平分∠BAC”及“EF⊥AC于F”应使我们意识到两个直角三角形△AFE与△ABE全等，从而将AB“过渡”到AF，使AF(即AB)与FG处于同一个直角三角形中，可以利用勾股定理进行证明了．

例2 如图2-22所示．AM是△ABC的BC边上的中线，求证：AB2+AC2=2(AM2+BM2)．

证过A引AD⊥BC于D(不妨设D落在边BC内)．由广勾股定理，在△ABM中，AB2=AM2+BM2+2BM·MD． ①

在△ACM中，AC2=AM2+MC2-2MC·MD． ②

①+②，并注意到MB=MC，所以

AB2+AC2=2(AM2+BM2)． ③

如果设△ABC三边长分别为a，b，c，它们对应边上的中线长分别为ma，mb，mc，由上述结论不难推出关于三角形三条中线长的公式．

推论 △ABC的中线长公式：

说明三角形的中线将三角形分为两个三角形，其中一个是锐角三角形，另一个是钝角三角形(除等腰三角形外)．利用广勾股定理恰好消去相反项，获得中线公式．①′，②′，③′中的ma，mb，mc分别表示a，b，c边上的中线长．

例3 如图2-23所示．求证：任意四边形四条边的平方和等于对角线的平方和加对角线中点连线平方的4倍．

分析如图2-23所示．对角线中点连线PQ，可看作△BDQ的中线，利用例2的结论，不难证明本题．

证设四边形ABCD对角线AC，BD中点分别是Q，P．由例2，在△BDQ中，即

2BQ2+2DQ2=4PQ2+BD2． ①

在△ABC中，BQ是AC边上的中线，所以

在△ACD中，QD是AC边上的中线，所以

将②，③代入①得

=4PQ2+BD2，即

AB2+BC2+CD2+DA2=AC2+BD2+4PQ2．

说明本题是例2的应用．善于将要解决的问题转化为已解决的问题，是人们解决问题的一种基本方法，即化未知为已知的方法．下面，我们再看两个例题，说明这种转化方法的应用．

例4 如图2-24所示．已知△ABC中，∠C=90°，D，E分别是BC，AC上的任意一点．求证：AD2+BE2=AB2+DE2．

分析求证中所述的4条线段分别是4个直角三角形的斜边，因此考虑从勾股定理入手．

证 AD2=AC2+CD2，BE2=BC2+CE2，所以

AD2+BE2=(AC2+BC2)+(CD2+CE2)=AB2+DE2

例5 求证：在直角三角形中两条直角边上的中线的平方和的4倍等于斜边平方的5倍．

如图2-25所示．设直角三角形ABC中，∠C=90°，AM，BN分别是BC，AC边上的中线．求证：

4(AM2+BN2)=5AB2．

分析由于AM，BN，AB均可看作某个直角三角形的斜边，因此，仿例4的方法可从勾股定理入手，但如果我们能将本题看成例4的特殊情况——即M，N分别是所在边的中点，那么可直接利用例4的结论，使证明过程十分简洁．

证连接MN，利用例4的结论，我们有

AM2+BN2=AB2+MN2，所以 4(AM2+BN2)=4AB2+4MN2． ①

由于M，N是BC，AC的中点，所以

所以 4MN2=AB2． ②

由①，②

4(AM2+BN2)=5AB2．

说明在证明中，线段MN称为△ABC的中位线，以后会知道中位线的基本性质：“MN∥AB且MN=图2-26所示．MN是△ABC的一条中位线，设△ABC的面积为S．由于M，N分别是所在边的中点，所以S△ACM=S△BCN，两边减去公共部分△CMN后得S△AMN=S△BMN，从而AB必与MN平行．又S△=

高相ABM同，而S△ABM=2S△BMN，所以AB=2MN．

练习十一

1．用下面各图验证勾股定理(虚线代表辅助线)：

(1)赵君卿图(图2-27)；

(2)项名达图(2-28)；

(3)杨作枚图(图2-29)．

2．已知矩形ABCD，P为矩形所在平面内的任意一点，求证：PA2+PC2=PB2+PD2．

(提示：应分三种情形加以讨论，P在矩形内、P在矩形上、P在矩形外，均有这个结论．)

3．由△ABC内任意一点O向三边BC，CA，AB分别作垂线，垂足分别是D，E，F．求证：

AF2+BD2+CE2=FB2+DC2+EA2．

4．如图2-30所示．在四边形ADBC中，对角线AB⊥CD．求证：AC2+BD2=AD2+BC2．它的逆定理是否成立？证明你的结论．

5．如图2-31所示．从锐角三角形ABC的顶点B，C分别向对边作垂线BE，CF．求证：

11.平面几何竞赛题定理篇十一

[关键词] 拉格朗日中值定理；解析几何；高考

近几年，以高等数学为背景的高考命题成为热点，许多省市高考试卷有关导数的题目往往可以用拉格朗日中值定理解决，此外，拉格朗日中值定理在解析几何中也有巧妙的应用. 本文将通过一些不同类型的圆锥曲线问题，利用拉格朗日中值定理解答，并与中学数学的解法做比较，体现高观点解题的优点，并由此探索发现一些美妙的规律.

拉格朗日中值定理：若函数f（x）满足如下条件：

（Ⅰ）f（x）在闭区间[a，b]上连续；

（Ⅱ）f（x）在开区间（a，b）内可导，

解析几何的计算量之大、综合性之强、思维性之严密一直令许多学生望而生畏，而运用高等数学中的“拉格朗日中值定理”解决本文中的一类问题显得思路清晰、干净利落，很好地解决了解析几何的繁难问题. 拉格朗日中值定理是高等数学的一个重要定理，把这些定理与中学数学的知识联系起来，不仅可以使我们加深对现代数学的理解，而且能使我们更好地把握中学数学的本质和关键，从而使学生感受到高等数学与初等数学的联系，增加学习的兴趣.

12.平面几何竞赛题定理篇十二

所谓平面向量基本定理指的是:a, b是同一平面内的两个不共线的向量, 那么对于这一平面内的任一向量c来说, 有且仅有一组数x, y, 能够满足c=xa+yb, 在这其中a, b被称为这一平面内所有向量的一组基底.

对定理的理解:

(1) 实数对 (a, b) 存在的唯一性:平面内任一向量c均可以用给定的基底a, b线性表示成c=xa+yb, 且这种表示是唯一的, 其集合意义是任一向量都可以两个不平行的方向分解成两个向量的和, 且分解是唯一的.

(2) 基底的不唯一性:平面内任意两个向量, 只要不共线, 便可以作为平面内全体向量的一组基底.

(3) “定理”展性:“定理”以二维向量空间为依托, 可以拓广到n维向量空间.

从以往高考对平面向量定理的考查角度来说, 主要从以下几个方面进行考查:第一, a, b作为平面向量基底时的限制条件;第二, 对于定义中x, y存在的唯一性的理解与记忆;第三, 通过平面向量基本定理的定义, 解决向量的线性问题.这三方面的考查在高考中经常出现, 因此本文主要从这三点出发, 通过典型的实例对其进行讲解.

例1 已知f1, f2是某一平面向量的基底, 如果a=f1+λf2, b=-2λf1-f2同样也是一组平面向量的基底, 那么λ∈.

解析从这道例题我们可以得到这样的限制条件, 因为a, b是平面向量的基底, 所以我们可以从平面向量基本定理的定义出发得到, a, b不能够共线, 用数学公式来表示就是b=μa (μ∈R) , 将已知的式子代入就可以得到-2λf1-f2=μ (f1+λf2) , 将式子整理后得到:-2λ=μ, -1=μλ.解这一方程组我们可以得到undefined, 因此这一例题的答案也就得到了, 即是undefined

总结要想将两个向量当作是某个平面向量的基底, 就必须要满足这两个向量不共线这一个充分必要条件, 不共线的数学判别式为b=μa (μ∈R) 这个式子不成立, 在对平面向量的基本定理的理解时应该充分注意到这一点.将这一点作为平面向量最基础的知识, 牢牢掌握.

例2 在某一平面N中有这样两个向量a, b, 它们彼此不共线, 而向量c是平面N中的任意向量, 那么关于x的方程:ax2+bx+c=0的解的情况是____.

解析通过题目的已知条件分析, 因为ax2+bx+c=0, 所以可得到c=-ax2-cx.又因为c是平面中的任意向量, 所以可以得到c=λa+μb, 并且对于特定的c而言, λ, μ是唯一的, 那么我们就可以得到-x=μ, -x2=λ, 经过整理后我们很容易能够得到-λ=μ2.又由于c是任意一个向量, 所以我们可以推出x最多只能有一个解.

总结通常将这样平面向量与一元二次方程相结合的题目放在学生面前时, 学生常常会按照以前的思维定式根据所给的方程去求解其对应的Δ, 然后再根据Δ与0的关系来判断根的情况, 如果Δ大于0, 那么就有两个根, 如果Δ小于0, 那么就没有根, 如果Δ等于0, 那么就有两个相等的根.但是采用这样传统的方法并不能求得最终的结果, 经过分析不难看出产生这种错误思维的一个重要原因就是, 学生根本没有充分的理解和掌握平面向量基本定理的概念, 没有形成一种用向量的定理去分析问题的思维.因此, 学生在平时学习和做题的过程中应该充分的理解和掌握平面向量基本定理的概念, 并能够利用它进行一些相关题目的解答.

例3O是△ABC的外心, 并且这个三角形的边undefined, 如果undefined, 那么 (x, y) =____.

分析经过分析我们可以作出上面的图形, 根据平行四边形法则, 也就是需要计算出平行四边形AMON的两条边AM, AN的长度就可以了, 我们可以利用三角形的有关知识对其进行求解.

解根据余弦定理我们可以很容易得到:

undefined

∴该题目的结果undefined

总结这一类型的问题是一种平面向量基本定理的基本应用方式, 关系到两个不共线的向量线性问题的使用方法, 通常情况下这种条件下有两种较为常用的方法, 即利用三角形的有关知识, 将平面向量的问题转换成几何性质的问题进行解答;另外一种就是创建一个平面直角坐标系, 将原有的集合问题转换成代数的形式, 这种方法是一种典型的数形结合的方法, 在数学中应用较为常见.学生在刚开始接触这道例题时很难找到相应的解题方法, 但是如果采用以上两种方法中的任意一种方法, 都可以轻易地找到突破口, 下面的关键问题就是在于运算上的准确性了.

上述例题经过简单的转化后还可以成为这样一道例题:

例4 已知O是三角形的外心, 且AB=2, AC=3, x+2y=1, 如果undefined, 且xy≠0, 那么cos∠BAC=____.

分析这道题目利用集合的方法进行解答的话存在一定的困难, 因此我们可以考虑利用建立平面直角坐标系的方法进行求解.

解设∠BAC=α, 点M, N分别为AB, AC的中点, 那么, B (2cosα, 2sinα) , C (3, 0) , 假设点undefined

∵已知ON⊥AB, 而且将AB平分,

undefined

点O的坐标为undefined

又 ∵已知undefined, 且xy≠0, 将其代入就可以得到方程组:undefined

又 ∵x+2y=1, 将其代入就可以得到undefined

上述这种解题方法在日常的练习中经常看到, 但是这种方法的运算量较大, 学生在具体运算的时候很容易出现错误, 尤其在考试的时候, 常常花费了大量的时间, 但是最后却在这道题上拿不到分.我们还可以利用下面这种更加简便的方法.

通过仔细观察x+2y=1这一式子, 我们能够联想到这样一个定理:undefined不共线, 那么要想使A, B, C三点共线的充分必要条件就是, 有这样一个实数组x, y, 能够使undefined, 与此同时满足x+y=1.

根据这一定理, 上述这一例题就可以这样来解:因为undefined, 又因为x+2y=1, 所以, 点O, B, M处于同一条直线上, 也就是说BM垂直平分AC, 所以, △BAC是一个等腰三角形, 那么根据余弦定理可知, undefined

总结上述这一定理在向量问题中的应用较为广泛, 在多次的高考题目中都有出现和应用, 平面向量定理与共线向量定理二者相互结合应用, 能够使一些原本复杂的问题变得简单、明了, 对于学生灵活掌握向量问题有着重要的意义和作用.

4.平面向量基本定理除了上述的一些应用方法外, 在一些证明性的题目中也有广泛的应用.

例5 已知a, b, c三者都不为0, 并且 (a·b) c= (b·c) a=0, 证明:a//c.

证明如果a, c两者之间不是相互平行, 那么由已知 (a·b) c= (b·c) a=0, 就能够得到a·b=b·c=0.又因为b=λ1a+λ2b (λ1, λ2∈R) , 在等式的两边同时与b做数量积就能够得到这样的等式b2=λ1 (a·b) +λ2 (b·c) =0, 那么很显然得到b=0, 这样与题目给出的已知条件正好相反.所以a//c.

例6 已知向量undefined和undefined是两个不共线的向量, 点P是直线P1P2上P1, P2以外的点, 并且满足undefined, 证明:x+y=1.

证明 ∵从已知可以看出, P1, P2, P三点在同一条线上,

∴就会存在这样一个数α∈R使得undefined, 亦即undefined.根据平面向量基本定理概念中实数对的唯一性, 我们可以得到以下方程组:undefined

总之, 向量是“形”与“数”的结合体, 用来表示一个既有大小又有方向的量, 是几何与代数知识的交会点.由于这种独特的“数形”特征, 决定了向量具有几何形式和代数形式的双重身份, 所以运用向量方法解题, 能使问题的解决形象化、算法化、简洁化.运用平面向量基本定理解决向量有关问题时, 关键是对于概念的深刻理解并注意灵活运用, 这样, 在夯实基础的同时, 将提高我们的综合运用能力和创新能力.

摘要：在高中数学教学中平面向量一直是一个重点内容, 这一部分的内容在数学各个方面都有较广的应用, 重视这一方面内容的学习对于学生数学成绩的提高有着重要的意义.本文主要从平面向量的基本定理出发, 利用各种教学中的实例, 针对其在向量内容中的应用进行探讨.

关键词：平面向量,基本定理,应用

参考文献

[1]唐兴中.平面向量基本定理及其应用.中学数学月刊, 2007 (9) .

[2]朱峰.平面向量基本定理的应用.中学数学月刊, 2003 (5) .

13.初中数学竞赛几何练习题篇十三

1、如图1，在△ABC中，AD⊥BC 于D，AB+BD=CD。证明∠B=2∠C。

2、如图2，在△ABC中，AB=AC。D，E分别是BC，AC 上的点。问∠BAD与∠CDE满足什么条件时，AD=AE。

ABDEC3、如图3，六边形ABCDEF 中，∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=∠F，且AB+BC=11，FA-CD=3。求BC+DE 的值。

FAEDB

4.如图4，在凸四边形ABCD中，∠ABC=300，∠ADC=600，AD=DC。证明BD2 =AB2 +BC

2AC

DCB

5、如图5，P是△ABC边BC上一点，PC=2PB。已知∠ABC=450，∠APC=600。求∠ACB 的度数。

6、如图6中，在△ABC中，BC=a，AC=b，以AB为边向外作等边三角形△ABD。问∠ACB为多少度时，点C与点D的距离最大？

CABD

7、如图7，在等腰△ABC中，AB=AC，延长AB到D，延长CA到E，连DE，有AD=BC=CE=DE。证明：∠BAC=100°。

EABD第七题C

8、如图8，在△ABC中，AD是边BC上的中线，AB=√2，AD=√6，AC=√26。求∠ABC的度数。

D9、如图9，在△ABC的外面作正方形ABEF和ACGH，AD⊥BC于D。延长DA 交FH于M。证明：FM=HM。

10、如图10，P，Q，R分别是等边△ABC三条边的中点。M是BC上一点。以MP为一边在BC同侧作等边△PMS。连SQ。证明 RM=SQ.ASPQB

RMC

11、如图11，在四边形ABCD 中，AB=a，AD=b，BC=CD.对角线AC平分∠BAD。问a与b符合什么条件时，有∠D+∠B=180°

DCAB

12、如图12，在等腰△ABC中，AD是边BC 上的中线，E是△ADB内任一点，连 AE，BE，CE。证明：∠AEB＞∠AEC。

AEB13、如图，在凸四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，DC

∠BCD=120°证明：BC+CD=AC。

ABCD

14、如图14，在△ABC中，AD是边BC上的中线，点M在AB上，点N在AC上。已知∠MDN=90°，BM2+CN2=DM2+DN2。证明：AD2= 1/4（AB2+AC2）

ANMBDC

15、如图，在△ABC中，∠A=90°AD垂直BC交于D，∠BCA的平分线交AD于F，交AB于E，FG∥BC，交AB于G，AE=4，AB=14，求BG的长。

CDFA

16．如图Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于D，作CE垂直BD交BD延长线于E，过A作AH⊥BC交BD于M，试猜想BM与CE的大小关系，并证明你的结论。

EGB

14.平面几何竞赛题定理篇十四

1.教材分析

三角形是贯穿义务教育和高中教育的几何课程内容,三角形知识和几何思维水平都是螺旋上升的。在学生初中学习过解直角三角形知识,高中学习过三角变换知识的基础上,正弦定理探索任意三角形的边长和角度之间的定量联系。之后,随着三角函数图像和性质的继续研究,可以处理三角形中的范围与最值问题。可见,正弦定理承前启后,是对初中三角形和圆的知识的又一次应用,也是坐标法作用的一次体现。其实,利用三角变换知识,可以证明正弦定理和余弦定理是等价的。正弦定理和余弦定理作为三角形边角关系的代数表达,沟通了代数和几何这两大数学分支的联系,给我们带来了极大的计算优势,尽享不作或少作辅助线之便捷。它既是对初中解直角三角形内容的延伸,也是解决测量、航行、几何及工业问题的重要工具,具有广泛的应用价值。正弦定理的实质是揭示了三角形对边和对角正弦的数量关系。正弦定理是解三角形基本的、有力的工具,也是几何计算的基础。

沪教版教材中正弦定理的证明主要有作高法、等面积法和外接圆法,囿于教材编写的顺序,向量方法不可用。

2.学情分析

我所任教班级的大多数学生对数学的兴趣较高,数学基础较好,有一定的推理能力和创新能力。从教育价值角度看,实验归纳和逻辑推理都重要,让学生经历“直观感知、特例猜想、操作确认、思辨论证”的理性认识事物的过程是可能的,也是必须的。正弦定理的学习必须让学生参与结论生成的全过程,加强学生推理论证能力的培养。

[问题提出]

本文拟结合沪教版高一年级第二学期数学教材中《正弦定理(1)》的教学设计,谈如何培养学生的几何思维能力。

[教学设计]

(一)教学目标

1.掌握用两边夹角表示三角形面积的公式,懂得三角形任一边与其对角正弦比值的几何意义,初步运用正弦定理解决一些简单的问题。

2.经历观察、猜想、证明的过程,掌握推导正弦定理的方法。

3.感受几何、三角、代数的多样统一,欣赏正弦定理的对称、美好、和谐,体验分类讨论、数形结合的思想。

(二)重点和难点

教学重点:正弦定理的发现与证明,正弦定理的简单应用。

教学难点:正弦定理的猜想和求证;已知两边和其中一边的对角求其他角时,解的个数的确定。

(三)教学过程

正弦定理教学的流程为:从实际问题懂得引进正弦定理的必要性→抽象概括出解三角形问题内涵及符号表征→猜想三角形边角关系的正弦定理→证明正弦定理→欣赏正弦定理→典型问题求解→反思总结,形成体系。在教学设计前,教师需要关注学生已经知道了什么?还需要知道什么?需要教师提供什么样的帮助?教师准备给学生哪些观点?培养学生哪些几何思维能力?正弦定理的教学始于观察,基于试验,成于逻辑推理,升华于数学审美。

活动1:创设情景,激发兴趣,引入课题

上海市浦东新区的滴水湖是圆形人工湖,为测量该湖的半径,测量小组的学生沿湖边依次选取A、B、C三根标杆,测得AB=200m,并用测角仪测得∠BAC=5°,∠BCA=4°,不作辅助线,请你帮他们求出:(1) AC;(2)滴水湖的直径(精确到1m)。测量滴水湖的直径问题,可以引导学生进入一个新天地。

设计意图:通过创设情景,让学生在情景中获取经历和体验,激发学习动机,引起探究的欲望。强调不作辅助线,原有解直角三角形的知识不够用了,自然需要寻找新的工具。

为了研究方便,抽象出数学模型,在ΔABC中,AB=200,∠BAC=5°,∠BCA=4°,求:(1)AC;(2)ΔABC的外接圆的直径2R。

设计意图:一切思维都是从问题开始的。你没办法教人思考,你只能教那些供人思考的东西。问题引领,思维就有方向了。

一般化:在ΔABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,三角形的边与角的三角比有什么关系?

a与A——对应,比过去的BC与∠A的对应更为方便、精确、简便,并且在思想上、时间上或论述的篇幅上都更为经济。

我们把三角形的三边和它们的对角叫做三角形的元素,已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形。

设计意图:三角形作为平面几何最基本图形,可以放手让学生去抽象概括。在繁杂和简约之间,我们选择简约,作图标量简洁。符号化、形式化,这部分细小的教学内容具有丰富的求简思想。

提问:填写左下表,请你提出三角形任一条边及该边对角三角比关系的一个新结论。(说明:表格中的数据来源于课本70页的例1。)

设计意图:寻找一种能够自然地发现正弦定理的方法是困难的,过度引导和过度放手都不可取。我选择上述有一点测量误差的表格数据,只限于加减乘除运算和角的正弦,从简单到复杂,循序渐进,让学生去体验、去经历、去猜测、去交流,再去验证。学生想知道的不仅仅是已知的标准结果。教师若把猜想的部分隐瞒了,其实是把最有意义、最有启发的东西抽掉了。

活动2:特例引路,大胆猜想,“画板”支撑

提问:我们遇到一般问题时,是怎样处理的?

先从特殊事例入手,寻求答案或发现解法。先特殊、后一般是数学研究,也几乎是所有科学研究的规律,也是公民的重要素养之一。研究数学问题的程序是从简单到复杂。

从直角三角形入手分析,我借助《几何画板》进行动态数学实验(略)。设计意图:通过动态的几何图形演示,眼见为实,心悦诚服。在测量误差的范围内,让学生直观感受、、的不变性,延伸了有效的学习活动;让学生的思维保持积极探究的状态,丰富了学习方式,用较少的时间达到了相信猜想成立的效果。

活动3:言必有据,小心求证,滴水不漏

预案1:作高法

回归初中,从高入手,化“斜”为“直”,“高算”两次,分类讨论直角三角形、锐角三角形和钝角三角形,各个击破。这是学生最容易想到的方法。

预案2:等面积法

提问:如果不用三角形的高,还能表示三角形的面积吗?

在预案1中稍作变化,即得三角形面积公式。传统方法证明也需分类讨论。

在现实生活中,角和距离比较容易直接测量,借助笛卡尔坐标来计算比较方便。把三角形置于平面直角坐标系里去研究,面积公式证明有统一的坐标法(坐标法来源于三角比的坐标定义,不受三角形形状的限制,可作为普遍方法去掌握)。在教学中,教师应特别关注学生去想这个事情了没有。学生想出来更好,想不出来只要经历了、做过了也行。自然生成这一方法,需要复习任意角的概念,需要回忆研究方法的变化——放在平面直角坐标系下研究,选用几何代数化的方法。思维的起点是坐标,借助坐标表示高和面积,是对简洁美的追求。坐标法是一种几何意识,考虑角度不同,统一而灵活。学生想不出来,教师可直接给出坐标法。这是建构这一正弦定理和余弦定理坐标法推导的统一模型。多年教学实践表明,此时的学生们几何知识结构单一,虽然已经学了很多三角知识，但往往受困于三角公式繁多,想不到用坐标法统一证明三角形面积公式,需要教师采用讲授法为主的教学方式。

预案3:外接圆法

圆是最完美的平面图形。把三角形放到它的外接圆内来考察,三角形的边长成了弦长,三角形的内角转化成了圆周角,探究三角形的边角关系成了探索三角形外接圆中弦长与圆周角的关系,不难得出,并且也需分类讨论;揭示了两者比值不仅相等,而且为2R,指出了正弦定理为什么不取这一更简洁形式的原因。

提问:如何命名这一定理?

设计意图:如果学生能真正理解正弦定理及证明方法,就掌握了三角形边角转化的方法,形成了扩充和扩展自己几何、代数、三角知识结构的能力。在这里多花一些教学时间是值得的。

活动4:欣赏定理,运用定理,升华认识

文字语言:三角形中的任意一条边长与对角正弦的比值为常数2R。

符号语言:。

图形语言:略。

有边又有角,要么边化角,要么角化边。边角转换借半径,正弦定理的有用变形如下。

品味三角形各边与其对角的正弦严格对应,上下对称,体现了对称美、和谐美。正弦定理的建构,既是审美的过程,也是塑造美的过程。

设计意图:正弦定理体现了混乱中见有序,复杂中见简洁,多样中见统一的美感。边与角是辩证统一的,让学生感受到三角形边角关系的和谐性、统一性,欣赏正弦定理成了一种享受。

课堂练习:在ΔABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,(1).若∠A=45°,∠B=75°,b=8,求a;(2)若BC=12,∠A=60°,∠B=45。,求AC;(3)若a=3,,∠A=60。,求∠B。

由,知:①在已知两角(可知三个角）一边的情况下必选择正弦定理:②在已知两边及一边的对角的情况下,可选择正弦定理,再根据角A的范围或A+B+C=π确定角A;③。

活动5:学生先交流学习心得,教师后传授治学经验

今天我们研究了三角形中一类边角等量关系。

我们是如何研究的?

研究结果有什么用?

还有其他的变式关系吗?

一个定理,两种应用,三种证法。

正弦定理角边齐,角边转换借半径。

两角一边用正弦,两角对边慎处理。

体验:几何法化斜为直,分类作高法——辛苦;解析法事半功倍,统一坐标法——美妙。

设计意图:作为数学教师,课上要时刻关注学生的行为、思想、感情,锤炼学生喜爱的教学语言。亲其师,信其道,这是最重要的。

[自我反思]

今天认识正弦定理的一小步是明天提升几何思维能力的一大步,况且这一小步包含了众多的方法论内涵。“教学有法,而无定法”是由教学方法既有科学性,又有艺术性这一双重特性所决定的。每次教学正弦定理,我都或多或少、或明或暗有新的感悟。本课借用滴水湖问题宣情泄绪,效果较好。面对课堂教学实际,猜测这个正弦定理结论的开放度还不够高。现代教学的本质特征是探究与建构,表现为一系列有效的教学活动,让学生获得理性思维和情感体验。教师最重要的是在教学过程中确立学生的主体地位以及在教学中对学生情感、态度的关注和过程评价。巧妙创设情景,加强与信息技术的融合,关注科学性、思想性、艺术性、实效性,始终是课堂教学的内在要求。

[专家点评]

基于对教材内容的理解和研究,曹东辉老师撰写的教学设计有着比较丰厚的理论支撑,教学结构具有相当强的逻辑关系,教学过程以学生思维为主线,层分缕析、抽丝剥茧,充分体现出了体验与感悟。

三角形是数学学科中的基本图形,对三角形边角关系的研究纵贯初中和高中数学教学,横穿代数几何,既是核心概念知识,也是数学思想方法的重要载体。这一课例以“在高中数学教学中培养学生的几何思维能力”为标题,将教学的关注点聚焦于思维能力的培养,既有“以小见大”的立意,也有“从小到大”的发展。