立体几何证明线面平行

立体几何证明线面平行（共10篇）

1.立体几何证明线面平行 篇一

一，面外一条线与面内一条线平行，或两面有交线强调面外与面内

二，面外一直线上不同两点到面的距离相等，强调面外

三，证明线面无交点

四，反证法(线与面相交，再推翻)

五，空间向量法，证明线一平行向量与面内一向量(x1x2-y1y2=0)

2

【直线与平面平行的判定】

定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

【判断直线与平面平行的方法】

(1)利用定义：证明直线与平面无公共点;

(2)利用判定定理：从直线与直线平行得到直线与平面平行;

(3)利用面面平行的性质：两个平面平行，则一个平面内的直线必平行于另一个平面

3

2.立体几何证明线面平行 篇二

利用向量方法判断空间位置关系, 其难点是线面平行与面面垂直关系问题.应用下面的两个定理, 将可建立一种简单的程序化的解题模式.

定理1 设$\overrightarrow{{\displaystyle {\rm M}A}}$、$\overrightarrow{{\displaystyle {\rm M}B}}$不共线, $\overrightarrow{{\displaystyle {\rm P}Q}}=x\overrightarrow{{\displaystyle {\rm M}A}}+y\overrightarrow{{\displaystyle {\rm M}B}}(x‚y\in \mathbf{R})$, 则

① P∈平面MAB⇔PQ⊂平面MAB;

② P平面MAB⇔PQ//平面MAB.

定理2 设向量$\overrightarrow{{\displaystyle AB}}$、$\overrightarrow{{\displaystyle AC}}$不共线, $\overrightarrow{{\displaystyle DE}}$、$\overrightarrow{{\displaystyle DF}}$不共线, 则:平面ABC⊥平面DEF⇔存在实数λ, μ, 使$\overrightarrow{{\displaystyle AB}}\cdot (\lambda \overrightarrow{{\displaystyle DE}}+\mu \overrightarrow{{\displaystyle DF}})=0$, 且$\overrightarrow{{\displaystyle AC}}\cdot (\lambda \overrightarrow{{\displaystyle DE}}+\mu \overrightarrow{{\displaystyle DF}})=0.$

例1 在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中, O是B1D1的中点, 求证:B1C//平面ODC1.

证明:设$\overrightarrow{{\displaystyle C{}_{1}B{}_1}}=\mathit{a}‚\overrightarrow{{\displaystyle C{}_{1}D{}_1}}=\mathit{b}‚\overrightarrow{{\displaystyle C{}_{1}C}}=\mathit{c}$, 则

$B{}_{1}C=\mathit{c}-\mathit{a}‚\overrightarrow{{\displaystyle C{}_1{\rm O}}}=\frac{1}{2}(\mathit{a}+\mathit{b})‚\overrightarrow{{\displaystyle {\rm O}D{}_1}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{{\displaystyle B{}_{1}D{}_1}}=\frac{1}{2}(\mathit{b}-\mathit{a})‚\overrightarrow{{\displaystyle {\rm O}D}}=\overrightarrow{{\displaystyle {\rm O}D{}_1}}+\overrightarrow{{\displaystyle D{}_{1}D}}=\frac{1}{2}(\mathit{b}-\mathit{a})+\mathit{c}.$

若存在实数 x, y, 使$\overrightarrow{{\displaystyle B{}_{1}C}}=x\overrightarrow{{\displaystyle {\rm O}D}}+y\overrightarrow{{\displaystyle {\rm O}C{}_1}}‚$则

$\begin{array}{l}\mathit{c}-\mathit{a}=x[\frac{1}{2}(\mathit{b}-\mathit{a})+\mathit{c}]+y[-\frac{1}{2}(\mathit{a}+\mathit{b})]\\ =-\frac{1}{2}(x+y)\mathit{a}+\frac{1}{2}(x-y)\mathit{b}+x\mathit{c}.\end{array}$

因为 a、b、c 不共面,

所以

得$x=1‚y=1‚\overrightarrow{{\displaystyle B{}_{1}C}}=\overrightarrow{{\displaystyle {\rm O}D}}+\overrightarrow{{\displaystyle {\rm O}C{}_1}}.$

又因为B1平面ODC1,

所以B1C//平面ODC1.

例2 在斜三棱柱ABC—A1B1C1中, 侧面AA1B1B⊥底面ABC1, 侧棱AA1与底面ABC成60°角, AA1=2, △ABC是边长为2的正三角形, 其重心为G, E是线段BC1上一点, 且$BE=\frac{1}{3}BC{}_1$.求证:G1E//侧面AA1B1B.

证明:因为侧面AA1B1B⊥底面ABC,

所以侧棱AA1与底面ABC所成的角就是∠A1AB, ∠A1AB=60°.

由A1A=AB=2, 知△A1AB为正三角形.

取AB中点O, 则A1O⊥底面ABC, OC⊥AB.于是建立如图2的空间直角坐标系, 则$A(0,-1,0),B(0,1,0),C(\sqrt{3},0,0),A{}_1(0,0,\sqrt{3}).$

$\begin{array}{l}\text{由}\overrightarrow{{\displaystyle CC{}_1}}=\overrightarrow{{\displaystyle BB{}_1}}=\overrightarrow{{\displaystyle AA{}_1}}=\overrightarrow{{\displaystyle A{\rm O}}}+\overrightarrow{{\displaystyle {\rm O}A{}_1}}=(0,1,\sqrt{3}),\\ \overrightarrow{{\displaystyle {\rm O}C{}_1}}=\overrightarrow{{\displaystyle {\rm O}C}}+\overrightarrow{{\displaystyle CC{}_1}}=(\sqrt{3},1,\sqrt{3}),\overrightarrow{{\displaystyle {\rm O}B{}_1}}=\overrightarrow{{\displaystyle {\rm O}B}}+\overrightarrow{{\displaystyle BB{}_1}}=(0,2,\sqrt{3}),\end{array}$

知$C{}_1(\sqrt{3},1,\sqrt{3}),B{}_1(0,2,\sqrt{3}).$

因为G为△ABC的重心, 所以$G(\frac{\sqrt{3}}{3},0,0).$

因为$\overrightarrow{{\displaystyle BC{}_1}}=(\sqrt{3},0,\sqrt{3}),\overrightarrow{{\displaystyle AB{}_1}}=(0,3,\sqrt{3}),$

$\begin{array}{l}\text{所}\text{以}\overrightarrow{{\displaystyle {\rm O}E}}=\overrightarrow{{\displaystyle {\rm O}B}}+\overrightarrow{{\displaystyle BE}}=\overrightarrow{{\displaystyle {\rm O}B}}+\frac{1}{3}\overrightarrow{{\displaystyle BC{}_1}}\\ =(\frac{\sqrt{3}}{3},1,\frac{\sqrt{3}}{3}),\\ \overrightarrow{{\displaystyle GE}}=\overrightarrow{{\displaystyle G{\rm O}}}+\overrightarrow{{\displaystyle {\rm O}E}}=(0,1,\frac{\sqrt{3}}{3})=\frac{1}{3}\overrightarrow{{\displaystyle AB{}_1}}\\ =\frac{1}{3}\overrightarrow{{\displaystyle AB{}_1}}+0\overrightarrow{{\displaystyle AB}}\end{array}$

(或$\overrightarrow{{\displaystyle GE}}=(0,1,\frac{\sqrt{3}}{3})=\overrightarrow{{\displaystyle {\rm O}B}}+\frac{1}{3}\overrightarrow{{\displaystyle {\rm O}A{}_1}}).$

又GE⊄平面AA1B1C,

所以GE//平面AA1B1B.

例3 (2004年湖南) 如图3, 在底面是菱形的四棱锥P—ABCD中, $\angle ABC=60°,{\rm P}A=AC=a,{\rm P}B={\rm P}D=\sqrt{2}a$, 点E在PD上, 且PE ∶ED=2∶1.

在棱PC上是否存在一点F, 使BF//平面AEC?证明你的结论.

解:设$\overrightarrow{{\displaystyle A{\rm P}}}=\mathit{a},\overrightarrow{{\displaystyle AC}}=\mathit{b},\overrightarrow{{\displaystyle AD}}=\mathit{c}$.并设$\overrightarrow{{\displaystyle CF}}=\lambda \overrightarrow{{\displaystyle C{\rm P}}}(0<\lambda <1)$, 则

$\begin{array}{l}\overrightarrow{{\displaystyle BF}}=\overrightarrow{{\displaystyle BC}}+\overrightarrow{{\displaystyle CF}}=\overrightarrow{{\displaystyle AD}}+\lambda (\overrightarrow{{\displaystyle CA}}+\overrightarrow{{\displaystyle A{\rm P}}})\\ =\lambda \mathit{a}-\lambda \mathit{b}+\mathit{c},\\ \overrightarrow{{\displaystyle AE}}=\overrightarrow{{\displaystyle AD}}+\overrightarrow{{\displaystyle DE}}=\overrightarrow{{\displaystyle AD}}+\frac{1}{3}(\overrightarrow{{\displaystyle DA}}+\overrightarrow{{\displaystyle A{\rm P}}})\\ =\frac{1}{3}\mathit{a}+\frac{2}{3}\mathit{c}.\end{array}$

令$\overrightarrow{{\displaystyle BF}}=m\overrightarrow{{\displaystyle AC}}+n\overrightarrow{{\displaystyle AE}},$

即$\lambda \mathit{a}-\lambda \mathit{b}+\mathit{c}=\frac{1}{3}n\mathit{a}+m\mathit{b}+\frac{2}{3}n\mathit{c},$

则由 a、b、c不共面, 得

$\{\begin{array}{l}\lambda =\frac{1}{3}n‚\\ -\lambda =m‚\\ 1=\frac{2}{3}n.\end{array}$

解得$\lambda =\frac{1}{2}‚m=-\frac{1}{2}‚n=\frac{3}{2}.$

所以$\overrightarrow{{\displaystyle CF}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{{\displaystyle C{\rm P}}}‚$且$\overrightarrow{{\displaystyle BF}}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{{\displaystyle AC}}+\frac{3}{2}\overrightarrow{{\displaystyle AE}}.$

又因为B平面AEC,

所以当F为PC中点时, BF//平面AEC.

例4 在四棱锥P—ABCD中, PD⊥平面ABCD, PA与平面ABCD所成的角为60°, 在四边形ABCD中, ∠ADC=∠DAB=90°, AB=4, CD=1, AD=2.若PB的中点为M, 求证:平面AMC⊥平面PBC.

证明:建立如图4所示的坐标系, 易得A (2, 0, 0) , C (0, 1, 0) , B (2, 4, 0) .

由PD⊥面ABCD, 得∠PAD为PA与面ABCD所成的角, 从而, 在Rt△PAD中,

$\angle {\rm P}AD=60°,{\rm P}D=AD\tan 60°=2\sqrt{3},$

得${\rm P}(0,0,2\sqrt{3}),{\rm M}(1,2,\sqrt{3}).$

所以$\overrightarrow{{\displaystyle CA}}=(2,-1,0),\overrightarrow{{\displaystyle C{\rm M}}}=(1,1,\sqrt{3}),\overrightarrow{{\displaystyle C{\rm P}}}=(0,-1,2\sqrt{3}),\overrightarrow{{\displaystyle CB}}=(2,3,0).$

设$\mathit{p}=\lambda \overrightarrow{{\displaystyle CA}}+\mu \overrightarrow{{\displaystyle C{\rm M}}}=(2\lambda +\mu ,-\lambda +\mu ,\sqrt{3}\mu )(\lambda ,\mu \in \mathbf{R})$, 令

$\{\begin{array}{l}\mathit{p}\cdot \overrightarrow{{\displaystyle C{\rm P}}}=(\lambda -\mu )+6\mu =0‚\\ \mathit{p}\cdot \overrightarrow{{\displaystyle CB}}=(4\lambda +2\mu )+(-3\lambda +3\mu )=0‚\end{array}$

得λ+5μ=0.

取λ=5, μ=-1, 得

$\begin{array}{l}(5\overrightarrow{{\displaystyle CA}}-\overrightarrow{{\displaystyle C{\rm M}}})\cdot \overrightarrow{{\displaystyle C{\rm P}}}=0‚\\ (5\overrightarrow{{\displaystyle CA}}-\overrightarrow{{\displaystyle C{\rm M}}})\cdot \overrightarrow{{\displaystyle CB}}=0.\end{array}$

所以平面AMC⊥平面PBC.

例5 如图5, 四边形ABCD是边长为2的正方形, PA⊥平面ABCD, DE//PA, PA=2DE=AB, 求证:平面PEC⊥平面PAC.

证明:由DE//PA, PA⊥平面ABCD, 得DE⊥平面ABCD, 于是建立如图的直角坐标系.易知,

$\overrightarrow{{\displaystyle A{\rm P}}}=(0‚0‚2)‚\overrightarrow{{\displaystyle AC}}=(2‚-2‚0)‚\overrightarrow{{\displaystyle E{\rm P}}}=(0‚2‚1)‚\overrightarrow{{\displaystyle {\rm P}C}}=(2‚-2‚-2)$.令

$\{\begin{array}{l}(\lambda \overrightarrow{{\displaystyle A{\rm P}}}+\mu \overrightarrow{{\displaystyle AC}})\cdot \overrightarrow{{\displaystyle E{\rm P}}}=0‚\\ (\lambda \overrightarrow{{\displaystyle A{\rm P}}}+\mu \overrightarrow{{\displaystyle AC}})\cdot \overrightarrow{{\displaystyle {\rm P}C}}=0‚\end{array}$

得2μ-λ=0.

取λ=2, μ=1, 得

$\begin{array}{l}(2\overrightarrow{{\displaystyle A{\rm P}}}+\overrightarrow{{\displaystyle AC}})\cdot \overrightarrow{{\displaystyle E{\rm P}}}=0‚\\ (2\overrightarrow{{\displaystyle A{\rm P}}}+\overrightarrow{{\displaystyle AC}})\cdot \overrightarrow{{\displaystyle {\rm P}C}}=0‚\end{array}$

所以平面PEC⊥平面PAC.

3.关于线面平行问题的探讨 篇三

【例１】 如图,E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点,

求证：(1) 四点E,F,G,H共面；

(2) BD∥平面EFGH,AC∥平面EFGH．

分析 (1) 要证明E,F,G,H四点共面,可以根据公理3的第3个推论,证明这四点所在的两条直线EH和FG平行,或者直线EF和HG平行；

(2) 易得,BD∥FG,AC∥EF,从而根据线面平行的判定定理证明。

解 (1) ∵E,F分别为AB,BC的中点,∴EF∥AC.

同理HG∥AC,从而EF∥HG,

∴直线EF和直线HG可以确定一个平面α,

∵E∈直线EF,直线EFα,∴E∈α.

同理,F,G,H∈α.

故E,F,G,H四点共面.

(2) 由(1)知,EF∥AC,又∵EF面EFGH,AC面EFGH,∴AC∥面EFGH.

同理,BD∥面EFGH.

点拨 本题是苏教版数学必修2第36页习题第3题,第(2)问主要考查线面平行的判定定理,比较简单。

【探究一】 将上例改为：E,F,G分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD的中点,试在边DA上找一点H,使得四点E,F,G,H共面,并讨论当BD和AC满足什么关系时,四边形EFGH为菱形、正方形？

分析 本题可以利用线面平行的性质定理,将HG看成是平面EFGH与平面ACD的交线,从而EF∥HG,从而易知四边形EFGH为平行四边形,再根据边的关系进一步探讨平行四边形ABCD的形状。

解 ∵E,F分别为边AB,BC的中点,

∴EF∥AC.

又∵EF面ACD,AC平面ACD,

∴EF∥面ACD.

∵E,F,G,H四点共面,即平面EFGH∩平面ACD=HG,

从而,EF∥HG,故HG∥AC,

∴H为边DA的中点.

易得EF

瘙 綊 12AC,GH

瘙 綊 12AC,∴EF

瘙 綊 GH,

故四边形EFGH为平行四边形.

当EF=FG,即12AC=12BD,也即AC=BD时,四边形EFGH为菱形；

当AC⊥BD时,有EF⊥FG,从而,当AC=BD且AC⊥BD时,四边形EFGH为正方形.

【探究二】 如果将例1中的E,F,G,H是各边中点弱化,改为：在空间四面体ABCD中,E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA上的点,且满足AEEB=AHHD,CFFB=CGGD,结论还成立吗？

分析 要证明四点共线以及线面平行,只要找到线线平行就可以了。例1中,遇到中点经常联系到中位线得到平行,其实,得到平行的方法还有很多,思维不能定势,在做立体几何题目的时候要注意思维的灵活性,抓住线面平行判定的常用方法,找准线线平行就可以了。

点拨 证明线面平行的方法一般有三种：定义法、线面平行的判定定理、面面平行的性质。而在高考中,常见的是运用判定定理来证明,这就需要在平面内找一条直线与已知直线平行。上面这几个题目找平行线都不难,下面我们再分析一下,一般情况下如何找平行线。

【例2】 如图,正方体ABCDA1B1C1D1中,M,N分别是B1C,BD的中点,求证：MN∥平面AA1B1B．

分析 只要在平面AA1B1B中找到一条直线与MN平行即可。一种方法,因为M,N分别是B1C,BD的中点,容易联想到中位线,连接AB1和AC,易得MN∥AB1；其次,可以将点C看成投影中心,MN在平面AA1B1B的投影正好是AB1,故MN∥AB1。除了用判定定理之外,本题还可以取BC的中点G,通过证明平面MNG∥平面AA1B1B得到MN∥平面AA1B1B。

解 连接AB1和AC,因为M,N分别是B1C,AC的中点,故MN∥AB1,又MN平面AA1B1B,AB1平面AA1B1B,所以,MN∥平面AA1B1B.

【探究一】 将原题改为：正方体ABCDA1B1C1D1中,点N在BD上,点M在B1C上,且CM=DN,求证：MN∥平面AA1B1B.

分析 将中点弱化为线段上的点,并没有改变由线线平行得到线面平行的本质,只是在找平行线时遇到了困难。用中心投影的方法,本题非常简单,但是不用这个方法,怎么找出交线呢？显然,CN必和AB相交,设交点为E,CM∩A1B1=B1,从而,B1E可看做是过MN的平面CMN与平面AA1B1B的交线,若结论MN∥平面AA1B1B成立,根据线面平行的性质定理,必有MN∥B1E,也就是说,只要我们能够证明MN∥B1E,就可以证明最终的结论了。而要证明MN∥B1E,根据已知条件,结合正方体的特点,证明并不难。

证明 如图,延长CN交直线AB于点E,连接B1E.∵CM=DN,∴CMMB1=DNNB,而DNNB=CNNE,从而CMMB1=CNNE,即有MN∥B1E,又MN平面AA1B1B,B1E平面AA1B1B,所以MN∥平面AA1B1B.

点拨 本题是将线面平行的问题放在正方体这个背景中,但是,实际解决问题时,我们完全可以仅仅将这个问题放在四棱锥B1ABCD中,适当改变相应的条件。

【探究二】 如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD为菱形,∠BAD=60°,Q为AD的中点,点M在线段PC上,PM=tPC,试确定实数t的值,使得PA∥平面MQB.

分析 如图,MN是过PA的平面PAC与平面MQB的交线,若PA∥平面MQB,则有PA∥MN,从而t=PMPC=ANAC=ANAN+NC=AQAQ+BC=13。

解 连接AC交BQ于点N,则过PA的平面PAC与平面MQB的交线为MN,若PA∥平面MQB,由线面平行的性质定理,知PA∥MN.从而,t=PMPC=ANAC,

又在菱形ABCD中,有ANNC=AQBC=12,所以ANAC=ANAN+NC=11+2=13,即t=13.

点拨 解决这类探究性的命题,其基本方法就是将结论当作已知条件。立体几何中这类题型往往不是很难,只要能够抓住条件,如本题,充分运用线面平行的判定、性质定理,化难为易。

总结:本文通过两个例题,对高考中常见的线面平行这一类重要证明题型做了简单的分析,并根据例题进一步展开,探讨一般情况下如何找线线平行,进而根据判定定理来证明线面平行,当然,线面平行大体上有三种证法,由于篇幅限制,本文主要对判定定理进行了拓展,希望对同学们在复习这部分内容时有所帮助。

牛刀小试

1. (2011•北京卷改)如图,在四面体PABC中,PC⊥AB,点D,E,F,G分别是棱AP,AC,BC,PB的中点．

(1) 求证：DE∥平面BCP；

(2) 求证：四边形DEFG为矩形.

2. 如图,平面内两个正方形ABCD与ABEF,点M,N分别在对角线AC,FB上,且AM∶MC=FN∶NB,沿AB折成直二面角.

(1) 证明：折叠后MN∥平面CBE；

(2) 若AM∶MC=2∶3,在线段AB上是否存在一点G,使平面MGN∥平面CBE？若存在,试确定点G的位置.

【参考答案】

1. (1) 证明：∵D,E分别为AP,AC的中点,

∴DE∥PC.

又DE平面BCP,PC平面BCP,

∴DE∥平面BCP;

(2) ∵点D,E,F,G分别是棱AP,AC,BC,PB的中点．

∴DE∥PC∥FG,DG∥AB∥EF,

∴四边形DEFG为平行四边形．

又∵PC⊥AB,∴DE⊥DG,

从而平行四边形DEFG为矩形．

2. (1) 延长AN交BE于点H,则由AF∥BE知,ANNH=FNNB,而FNNB=AMMC,所以AMMC=ANNH,从而MN∥CH.

又因为MN平面CBE,CH平面CBE,所以MN∥平面CBE；

(2) 若平面MGN∥平面CBE,由平面ABC∩平面MNG=MG,平面ABC∩平面CBE=CB知MG∥BC,从而AGGB=AMMC=23.

4.构造比例线段证明线面平行 篇四

（1）平面PAB平面PMC（2）直线PB//平面EMC2、如图，ABD和BCD都是等边三角形，E、F、O分别是AD、BD、AC的中点，G是OC的中

D

点；（1）求证：BDFG；（2）求证：FG//平面BOE。

E

G

C A3、如图所示，正四棱锥P—ABCD的各棱长均为13，M，N分别为PA，BD上的点，且PM∶MA=BN∶ND=5∶8.求证：直线MN∥平面PBC；

4、正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE、BD上各有一点P、Q，且AP=DQ.求证：PQ∥平面BCE.变式．如图，ABCD与ABEF是两个全等矩形，且不在同一平面内，点P、Q分别是对角线AE、BD上的点，当P，Q满足什么条件时，PQ∥平面CBE？说明理由。

F

P A D5、已知P为△ABC所在平面外一点，G1、G2、G3分别是△PAB、△PCB、△PAC的重心.（1）求证：平面G1G2G3∥平面ABC；（2）求S△G1G2G3∶S△ABC.8、（2009通州第四次调研）在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G分别是AB、A1D1、C1D1的中点（如图）。

（1）求证：B1G⊥CF；（2）若P是A1B1上的一点，BP∥平面ECF，求A1P∶A1B1的值。

D1F A1 1

D

5.高中立体几何证明平行的专题 篇五

一、利用三角形及一边的平行线a.利用中位线

b.利用对应线段成比例

（a）、利用中位线

例

1、如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，E是PC的中点。求证： PA ∥平面BDE

例

2、如图，三棱柱ABC—A1B1C1中，D为AC的中点.求证AB1//平面BC1D

例

3、在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，AB=

练习

1、ABCDA1B1C1D1是正四棱柱，E是棱BC的中点。求证：BD1//平面C1DE1DC，E为PD中点.求证：AE∥平面PBC；

2练习

2、在三棱柱ABCA1B//平面ADC1； 1B1C1中，D为BC中点.求证：A

B

1B

C1

练习

3、如图所示, 四棱锥PABCD底面是直角梯形, BAAD,CDAD,CD=2AB, E为PC的中点,证明: EB//平面PAD;

练习

4、如图所示，正三棱柱ABC—A1B1C1中，D是BC的中点，试判断A1B与平面ADC1的位置关系，并证明你的结论.（b)、利用对应线段成比例

例

4、如图：S是平行四边形ABCD平面外一点，M、N分别是SA、BD上的点，且

SDC

AMBN

=，求证：MN∥平面SMND

例

5、在正方体ABCD—A1B1C1D1中，P、Q分别是AD1、BD上的点，且AP=BQ，求证：PQ∥平面DCC1D1。

1A

A

二、利用平行四边形的性质

例6．如图，四棱锥P－ABCD的底面是平行四边形，点E、F 分别为棱AB、PD的中点．求证：AF∥平面PCE；

例

7、如图，已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，过A作AE⊥CD，垂足为E，G、F分别为AD、CE的中点，现将△ADE沿AE折叠，求证：FG∥面BCD；

例

8、正方体ABCD—A1B1C1D1中O为正方形ABCD的中心，M为BB1的中点，求证： D1O//平面A1BC1;

例

9、在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，AB=

DC，E为PD中点.求证：AE∥平面PBC

2练习

5、四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，M、N分别是AB、PC的中点，求证：MN∥平面

PAD；

练习

6、如图，在正方体ABCD——A1B1C1D1中，O是底面ABCD对角线的交点.求证：C1O//平面AD1B1.练习

7、已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，E、F分别是

AB、PD的中点．求证：AF//平面PEC

P

A

E

B

C

练习

8、在三棱柱ABC-A1B1C1中，M，N分别是CC1，AB的中点．求证：CN //平面AB1M．

C

1A1

M

B1

C

A

B

3利用平行线的传递性

例

10、已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，D, E, F分别为AA1, CC1, AB的中点，M为BE的中点, AC⊥BE.求证：C1D∥平面B1FM.F

A

1D

A

练习

9、三棱柱ABC—A1B1C1中，若D为BB1上一点，M为AB的中点，N为BC的中点.求证：MN∥平面A1C1D；

4利用面面平行

例

6.立体几何证明线面平行 篇六

1、（1）∵∠1=∠A（已知），∴∥，（）；

（2）∵∠3=∠4（已知），∴∥，（）

（3）∵∠2=∠5（已知），∴∥，（）；

（4）∵∠ADC+∠C=180º（已知），∴∥，（）

.2，如图，（1）∵∠ABD=∠BDC（已知），∴∥，（）；

（2）∵∠DBC=∠ADB（已知），∴∥，（）；

（3）∵∠CBE=∠DCB（已知），∴∥，（）；

（4）∵∠CBE=∠A，（已知），∴∥，（）；

（5）∵∠A+∠ADC=180º（已知），∴∥，（）；

（6）∵∠A+∠ABC=180º（已知），∴∥，（）

.7、如图2-56

①∵AB//CD（已知），∴∠ABC=__________（）

____________=______________（两直线平行，内错角相等），∴∠BCD+____________=180（）

②∵∠3=∠4（已知），∴____________∥____________（）

③∵∠FAD=∠FBC（已知），∴_____________∥____________（）

8、如图2-57，直线AB，CD，EF被直线GH所截，∠1=70，∠2=110，∠3=70．求证：AB//CD．

证明：∵∠1=70，∠3=70（已知），∴∠1=∠3（）

∴ ________∥_________（）

∵∠2=110，∠3=70（），∴_____________+__________=______________,∴_____________//______________,∴AB//CD（）．

9.如图2-58，①直线DE，AC被第三条直线BA所截，则∠1和∠2是________，如果∠1=∠2，则_____________//_____________,其理由是（）．

②∠3和∠4是直线__________、__________，被直线____________所截，因此____________//____________．

∠3_________∠4,其理由是（）．

10.如图2-59，已知AB//CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，求证∠1+∠2=90．

证明：∵BE平分∠ABC（已知），∴∠2=_________（）

同理∠1=_______________,∴∠1+∠2=1____________（）

2又∵AB//CD（已知），∴∠ABC+∠BCD=__________________（）

∴∠1+∠2=90（）



11、如图2-60，E、F、G分别是AB、AC、BC上一点．

①如果∠B=∠FGC，则_______//______,其理由是（）②∠BEG=∠EGF，则__________//_______，其理由是（③如果∠AEG+∠EAF=180，则________//_______，其理由是（12.如图2-61，已知AB//CD，AB//DE，求证：∠B+∠D=∠BCF+∠DCF．

证明： ∵AB//CF（已知），∴∠______=∠________（两直线平行，内错角相等）．

∵AB//CF，AB//DE（已知），∴CF//DE（）

∴∠_________=∠_________（）

∴∠B+∠D=∠BCF+∠DCF（等式性质）．

13如图，AB∥DE，试问∠B、∠E、∠BCE有什么关系．

解：∠B＋∠E＝∠BCE

过点C作CF∥AB，则B____（）

又∵AB∥DE，AB∥CF，∴____________（）

∴∠E＝∠____（）））

∴∠B＋∠E＝∠1＋∠2

即∠B＋∠E＝∠BCE．阅读理解并在括号内填注理由：如图，已知AB∥CD，∠1＝∠2，试说明EP∥FQ．证明：∵AB∥CD，∴∠MEB＝∠MFD（）

又∵∠1＝∠2，∴∠MEB－∠1＝∠MFD－∠2，即 ∠MEP＝∠______

7.立体几何证明线面平行 篇七

判定：a用向量，方向向量平行b一条直线平行于另一个平面，则它平行于它所在平面与那个平面的交线。C若一平面与两平行平面相交，则两交线平行。D同时与一平面垂直的两直线平行。E同时平行于一条直线的两直线平行。

性质：貌似没啥性质，一般是证明线面关系的时候先证明线线关系。

2.线线垂直

判定：a向量，方向向量垂直b直线垂直于平面，则直线与平面中的任意直线都垂直c第一条直线与第二条直线平行，第一条垂直于第三条，则第二条也垂直于第三条d把两直线放在一个平面中，利用平面几何各种判定方法，如等腰三角形的底和高等。E（重点）三垂线定理：平面内的一条直线，如果和过平面的一条斜线在平面内的射影垂直，那么它就和这条斜线垂直。三垂线逆定理：在平面内的一条直线，如果和过平面的一条斜线垂直，那么它也垂直于斜线在平面内的射影。（这个比较重要，记不住的话找一下例题，多看看图就好了）性质：貌似也没什么性质，一般也是要证明线面关系的时候用到它。注意：第一条直线垂直于第二条直线，第一条直线垂直于第三条直线，则第二条直线与第三条直线可垂直可平行也可普通相交。

3,线面平行

判定：a面外一条线与面内一条线平行。（常用）b空间向量法，证明线一平行向量与面内一向量（x1x2-y1y2=0）（常用）c面外一直线上不同两点到面的距离相等d证明线面无交点（定义）e反证法（线与面相交，再推翻）

性质：平面外一条直线与此平面平行，则过这条直线的任意平面与此平面的交线与该直线平行。

4.线面垂直

判定:a一条线和平面内两条相交直线都垂直,那么这条直线和这个平面垂直b两个平面垂直,其中一个平面内的直线垂直两平面的交线，那么这条直线和这个平面垂直c直线的方向向量与平面的法向量平行

性质：如果两条直线同时垂直一个平面，那么这两条直线平行。

5.面面平行

判定a一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面平行,则这两个平面平行。（常用）b如果两平面同时垂直于一条直线，则两平面平行（大题一般不用）

性质：a两个平面平行，在一个平面内的任意一条直线平行于另外一个平面b两个平面平行，和一个平面垂直的直线必垂直于另外一个平面c两个平行平面，分别和第三个平面相交，交线平行d平行平面所截的线段对应成比例（这个是推论，不好描述，书上或练习册上应该有类似的题）

6.面面垂直

判定：一个面如果过另外一个面的垂线，那么这两个面相互垂直

8.立体几何证明线面平行 篇八

【2013年高考会这样考】

考查相似三角形的判定和性质定理的应用及直角三角形的射影定理的应用．

【复习指导】

复习本讲时，只要掌握好教材上的内容，熟练教材上的习题即可达到高考的要求，该部分的复习以基础知识、基本方法为主，掌握好解决问题的基本技能即可

.基础梳理

1．平行截割定理

(1)平行线等分线段定理及其推论 ①定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在任一条(与这组平行线相交的)直线上截得的线段也相等．

②推论：经过梯形一腰的中点而且平行于底边的直线平分另一腰．

(2)平行截割定理及其推论 ①定理：两条直线与一组平行线相交，它们被这组平行线截得的对应线段成比例． ②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，截得的三角形与原三角形的对应边成比例．

(3)三角形角平分线的性质 三角形的内角平分线分对边成两段的长度比等于夹角两边长度的比．

(4)梯形的中位线定理 梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半．

2．相似三角形

(1)相似三角形的判定

①判定定理

a．两角对应相等的两个三角形相似．

b．两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．

c

②推论：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．

③直角三角形相似的特殊判定

斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似．

(2)相似三角形的性质 相似三角形的对应线段的比等于相似比，面积比等于相似比的平方．

(3)直角三角形射影定理

直角三角形一条直角边的平方等于该直角边在斜边上射影与斜边的乘积，斜边上的高的平方等于两条直角边在斜边上射影的乘积．

双基自测

1．如图所示，已知a∥b∥c，直线m、n分别与a、b、c交于点A，B，C和A′，3B′，C′，如果AB＝BC＝1，A′B′＝2，则B′C′＝________.相似的三角形________．2．如图所示，BD、CE是△ABC的高，BD、CE交于F，写出图中所有与△ACE

3．(2011·西安模拟)如图，在△ABC中，M、N分别是AB、BC的中点，AN、CM交于点O，那么△MON与△AOC面积的比是________．

4．如图所示，已知DE∥BC，BF∶EF＝3∶2，则AC∶AE＝______，AD∶DB＝________.5．(2010·广东)如图，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB＝AD＝a，CDa＝2E、F分别为线段AB、AD的中点，则EF＝________.考向一平行截割定理的应用

【例1】►(2011·广州测试(二))在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝2，BC＝5，点E、AE3F分别在AB、CD上，且EF∥AD，若EB4EF的长为________．

【训练1】 如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥CD，若BC＝3，DE＝2，DF＝1，则AB的长为________．

考向二 相似三角形的判定和性质的应用

【例2】►已知，如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC，点D是垂足． 求证：BC2＝2CD·AC.5，DE＝6，则BF＝________.3【训练2】(2011·惠州调研)如图，在△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，AE∶AC＝3∶

考向三 直角三角形射影定理的应用

【例3】►已知圆的直径AB＝13，C为圆上一点，过C作CD⊥AB于D(AD＞BD)，若CD＝6，则AD＝________.【训练3】 在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AD∶BD＝2∶3.则△ACD与△CBD的相似比为________．

高考中几何证明选讲问题(一)

从近两年新课标高考试题可以看出，高考主要以填空题的形式考查平行截割定理和相似三角形判定定理的应用，难度不大．

9.立体几何证明线面平行 篇九

一、空间向量及其数量积

1、在空间，既有大小又有方向的量称为空间向量。用AB或a表示，其中向量的大小称为向量的长度或

或a。正如平面向量可用坐标(x,y.)表示，空间向量也可用坐标(x,y,z)表示。若已知点A坐标为（x1，y1，z1）,点B坐标为（x2，y2，z2）则向量AB=（x2-x1，y2-y1，z2-z1）即是终点坐标减起点坐标。222在空间，知道向量=（x，y，z

xyz 

2、空间向量数量积

① 已知两个非零向量a、b，在空间任取一点O，作OA=a，OB=b，则角∠AOB叫向量a与b的夹角，记作＜a，b＞规定，若0≤＜a，b＞≤，若＜a，b＞=

⊥。

② 已知空间两个向量a、b

COS＜a，b＞叫向量a、b的数量积，记作ab

COS＜，＞若⊥a＝０

③ 若已知空间向量a＝（x1，y1，z1），b＝（x2，y2，z2）则ab＝x1x2+y1y2+z1z2，COS＜a，，称a与b垂直，记作a2

x1x2y1y2z1z

2x1y1z1x2y2z2222222

例１ 如图，已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA=900,D1、E1分别为A1B1、A1C1中点，若BC=CA=CC1，求向BD1与AE1所成角的余弦值。

B

D1 1Ｃ

6练习：已知正方体ABCD—A1B1C1D1中，B1E1=D1F1=

F

C1B

1C

DB

二、利用向量证线线垂直与线面垂直

A1B

1，求向量BE1与DF1所成角的余弦值。

4例2 在正方体ABCD—A1B1C1D1中，求证A1C⊥平面AB1D1

CC

练习：在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P为DD1的中点，求证：B1O⊥平面PAC。

A

例3 如图，PA⊥矩形ABCD所在平面，M, N分别是AB ,PC中点（1）求证：MN⊥CD

（2）若∠PDA=45，求证：MN⊥平面PCD

6N M

B

C

练习：正方体ABCD—A1B1C1D1中，M是棱D1D中点，N是AD中点，P为棱A1B1上任一点。求证：NP⊥AM

作业：

A1

C1

M C 1.如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，E是BB1中点，O是底面ABCD中心，求证：OE⊥平面D1AC.2.如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，O ,M分别是BD1, AA1中点，求证：OM是异面直线AA1和BD1的公垂线.DA13、如图，直三棱柱ABC-—A1B1C1中，∠ACB=90，AC=1，CB=2，侧棱AA1=1，侧面AA1B1B的两

条对角线交点为D，B1C1的中点为M。求证：CD⊥平面BDM

6AB B1

4在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别为棱AB和BC的中点，M为棱B1B

上任一点，当

B1M

值为多少时能使D1M⊥平面EFB1 MB

A

E5、如图，ABC为正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，且AE=AB=2a，CD=a，F为BE中点，求证：AF⊥BD

C

A6、如图，已知直三棱柱ABC-A1B1C1中B1C1=A1C1，A1B⊥AC1。求证：A1B⊥B1C

Ａ

10.线面平行面面平行性质学案 篇十

2.2.3-2.2.4直线与平面平行及平面与平面平行的性质

【学习目标】

1、探究直线与平面平行的性质定理；

2、体会直线与平面平行的性质定理的应用；

3、通过图形探究平面与平面平行的性质定理； 图形表示：

三、例题演示

4、熟练掌握平面与平面平行的性质定理的应用。

【学习重点】

1、直线与平面平行的性质定理.2、通过直观感知，操作确认，概括并证明平面和平面平行的性质定理。

【学习难点】

1、直线与平面平行的性质定理的应用.2、平面和平面平行的性质定理的证明和应用。

一、旧知重现

1、直线与平面的位置关系：直线在平面外(直线与平面相交、直线与平面平行)、直线在平面内。

2、直线与平面平行的判定定理：平面_____一条直线与此平面______的一条直线______，则该直线与

此平面平行。可以用符号表示为：“_______________________________________________________”。

简记为“________________________________”.3、平面与平面平行的判定定理：一个平面内的_____条_________直线分别________于另一个平面，则

这两个平面平行。可以用符号表示为：“_____________________________________________________”。

简记为“________________________________”.二、新知探究

1、思考题：一条直线与一个平面平行，那么在什么条件下，平面内的直线与这条直线平行？

2、直线与平面平行的性质定理：______________________________________________________

_____________________________________________________

简证为：____________________________________________________

符号表示：____________________________________________________

图形表示：

3、思考题：当一个平面与另一个平面平行时，那么在什么条件下，一个平面内的直线与另一个平

面内的直线平行？

4、平面与平面平行的性质定理：______________________________________________________

_____________________________________________________

简证为：____________________________________________________

符号表示：____________________________________________________例

1、已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面。求证：另一条也平行于这个平面.例

2、求证:夹在两个平行平面间的平行线段相等.ADB

必修22.2.3—2.2.4直线与平面平行及平面与平面平行的性质多听、多思、多做，成功就在那里等你。

四、巩固训练

1、如图,E、H分别是空间四边形ABCD的边AB、AD的中点，平面α过EH分别交BC、CD于

2、已知AB、CD为异面线段，E、F分别为AC、BD中点，过E、F作平面α∥AB.（1）求证：CD∥α;F、G.求证：EH∥FG.2、求证：一条直线与两个相交平面都平行，则这条直线与这两个相交平面的交线平行.已知：如图,a∥α,a∥β,α∩β=b，求证：a∥b.3、判断下列结论是否成立：

① 过平面外一点，有且仅有一个平面与已知平面平行；（）② 若∥，∥，则∥；（）③平行于同一个平面的两条直线平行；（）

④ 两个平面都与一条直线平行，则这两个平面平行；（）

⑤ 一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交。（）

五、课后作业

1、如图，平行四边形EFGH的四个顶点分别在空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上，求证：BD∥面EFGH，AC∥面EFGH.（2）若AB=4，EF=，CD=2，求AB与CD所成角的大小.六、课后思考

1、直线与平面平行的性质与平面与平面平行的性质体现了什么数学思想？

2、上述两条性质有哪些方面的应用？

3、你能将线线平行、线面平行、面面平行三者之间的关系图示表示出来吗？

线线平行