函数复习小结一

函数复习小结一（精选14篇）

1.函数复习小结一 篇一

第26章 《二次函数》小结与复习（1）

授课时间： 年 月 日 教学目标：

理解二次函数的概念，掌握二次函数y＝ax2的图象与性质；会用描点法画抛物线，能确定抛物线的顶点、对称轴、开口方向，能较熟练地由抛物线y＝ax2经过适当平移得到y＝a(x－h)2＋k的图象。重点难点：

1．重点：用配方法求二次函数的顶点、对称轴，根据图象概括二次函数y＝ax2图象的性质。2．难点：二次函数图象的平移。教学过程：

一、结合例题精析，强化练习，剖析知识点

1．二次函数的概念，二次函数y＝ax2(a≠0)的图象性质。

例：已知函数y(m2)xm2m4是关于x的二次函数，求：(1)满足条件的m值；(2)m为何值时，抛物线有最低点?求出这个最低点．这时当x为何值时，y随x的增大而增大?(3)m为何值时，函数有最大值?最大值是什么?这时当x为何值时，y随x的增大而减小? 学生活动：学生四人一组进行讨论，并回顾例题所涉及的知识点，让学生代表发言分析解题方法，以及涉及的知识点。

教师精析点评，二次函数的一般式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)。强调a≠0．而常数b、c可以为0，当b，c同时为0时，抛物线为y＝ax2(a≠0)。此时，抛物线顶点为(0，0)，对称轴是y轴，即直线x＝0。(1)使y(m2)xm2m4是关于x的二次函数，则m2＋m－4＝2，且m＋2≠0，即：

m2＋m－4＝2，m＋2≠0，解得；m＝2或m＝－3，m≠－2(2)抛物线有最低点的条件是它开口向上，即m＋2＞0，(3)函数有最大值的条件是抛物线开口向下，即m＋2＜0。抛物线的增减性要结合图象进行分析，要求学生画出草图，渗透数形结合思想，进行观察分析。

强化练习；已知函数y(m1)xm2m是二次函数，其图象开口方向向下，则m＝_____，顶点为_____，当x_____0时，y随x的增大而增大，当x_____0时，y随x的增大而减小。2。用配方法求抛物线的顶点，对称轴；抛物线的画法，平移规律，例：用配方法求出抛物线y＝－3x2－6x＋8的顶点坐标、对称轴，并画出函数图象，说明通过怎样的平移，可得到抛物线y＝－3x2。

学生活动：小组讨论配方方法，确定抛物线画法的步骤，探索平移的规律。充分讨论后让学生代表归纳解题方法与思路。

教师归纳点评：

(1)教师在学生合作讨论基础上强调配方的方法及配方的意义，指出抛物线的一般式与顶b24ac－b2点式的互化关系： y＝ax＋bx＋c————→y＝a(x＋)＋

2a4a(2)强调利用抛物线的对称性进行画图，先确定抛物线的顶点、对称轴，利用对称性列表、描点、连线。

(3)抛物线的平移抓住关键点顶点的移动，分析完例题后归纳；

投影展示：

强化练习：

(1)抛物线y＝x2＋bx＋c的图象向左平移2个单位。再向上平移3个单位，得抛物线y＝x2－2x＋1，求：b与c的值。(2)通过配方，求抛物线y＝x2－4x＋5的开口方向、对称轴及顶点坐标，再画出图象。3．知识点串联，综合应用。

例：如图，已知直线AB经过x轴上的点A(2，0)，且与抛物线y＝ax2相交于B、C两点，已知B点坐标为(1，1)。(1)求直线和抛物线的解析式；

(2)如果D为抛物线上一点，使得△AOD与△OBC的面积相等，求D点坐标。

学生活动：开展小组讨论，体验用待定系数法求函数的解析式。

教师点评：(1)直线AB过点A(2，0)，B(1，1)，代入解析式y＝kx＋b，可确定k、b，抛物线y＝ax2过点B(1，1)，代人可确定a。

求得：直线解析式为y＝－x＋2，抛物线解析式为y＝x2。

(2)由y＝－x＋2与y＝x2，先求抛物线与直线的另一个交点C的坐标为(－2，4)，S△OBC＝S△ABC－S△OAB＝3。∵ S△AOD＝S△OBC，且OA＝2 ∴ D的纵坐标为3 又∵ D在抛物线y＝x2上，∴x2＝3，即x＝±3 ∴ D(－3，3)或(3，3)强化练习：函数y＝ax2(a≠0)与直线y＝2x－3交于点A(1，b)，求：(1)a和b的值；

(2)求抛物线y＝ax2的顶点和对称轴；

(3)x取何值时，二次函数y＝ax2中的y随x的增大而增大，(4)求抛物线与直线y＝－2两交点及抛物线的顶点所构成的三角形面积。

二、课堂小结

2.函数复习小结一 篇二

(1) 一般式:f (x) =ax2+bx+c (a≠0)

(2) 顶点式:f (x) =a (x-m) 2+n (a≠0)

(3) 两根式:f (x) =a (x-x1) (x-x2) (a≠0)

求二次函数解析式的方法:待定系数法.根据所给条件的特征, 可选择一般式、顶点式或两根式中的一种来求.

已知三个点的坐标时, 宜用一般式;

已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大 (小) 值有关时, 常使用顶点式;

已知抛物线与x轴有两个交点, 且横坐标已知时, 选用两根式求更方便.

2.二次函数的图象和性质

二次函数f (x) =ax2+bx+c (a≠0) 的图象是一条抛物线, 对称轴方程为, 顶点坐标是

3.二次项系数是正数的二次函数、一元二次方程和一元二次不等式间的主要关系

二次函数f (x) ax2+bx+c (a≠0) , 当Δ>0时, 图象与x轴有两个交点M1 (x1, 0) 、M2 (x2, 0) ,

4.二次函数f (x) =ax2+bx+c (a≠0) 在区间[m, n]上的最值, 一般分为三种情况讨论.

5.二次方程f (x) =ax2+bx+c=0 (a≠0) 的根的分布问题, 一般情况需要从三个方面考虑

(1) 判别式

(2) 区间端点函数值的正负

(3) 对称轴与区间端点的关系

设x1, x2是实系数二次方程ax2+bx+c=0 (a>0) 的两实的分布范围与二次方程系数之间的关系如下表所示根.

思考:若a<0, 则上述性质3、4、5该如何改变

[典型范例]

题型一:二次函数解析式的求法

例1:若二次函数f (x) 满足f (2) =-1, f (-1) =-1且f (x) 的最大值是8, 试确定此二次函数.

分析:确定二次函数可采用待定系数法, 有三种形式, 可根据条件灵活运用。

解:方法一, 设f (x) =ax2+bx+c=0 (a≠0) , 依题意有

方法二, 设f (x) =a (x-m) 2+n (a≠0) .

方法三, 依题意知:f (x) +1=0的两根为x1=2, x2=-1

故可设f (x) +1=a (x-2) (x+1) ,

即f (x) =ax2-ax-2a-1.

又函数有最大值ymax=8, 即

解之, 得a=-4或a=0 (舍去) .

∴函数解析式为f (x) =-4x2+4x+7.

点评:二次函数的解析式有三种形式:

(1) 一般式:f (x) =ax2+bx+c (a≠0)

(2) 顶点式:f (x) =a (x-h) 2+k (a≠0)

(3) 两点式:f (x) =a (x-x1) (x-x2) (a≠0)

具体用哪种形式, 可根据具体情况而定.

题型二:二次函数的值域和最值

例2:已知函数的最大值为2, 求a的值.

分析:令t=sinx, 问题就可转化二次函数的区间最值问题

解:令t=sinx, t∈[-1, 1],

点评:

(1) 要注意抛物线的对称轴所在位置对函数最值的影响.

(2) 解二次函数求最值问题, 分三种类型:

(1) 顶点固定, 区间固定;

(2) 顶点含参数, 区间固定;

(3) 顶点固定, 区间变动.题型三:一元二次方程根的分布

例3:已知函数f (x) =x2- (2a-1) x+a2-2与非负x轴至少有一个交点, 求a的取值范围.

分析:由题知关于x的方程x2- (2a-1) x+a2-2=0至少有一个非负实根, 应分情况处理.

解法一:由题知关于x的方程x2- (2a-1) x+a2-2=0至少有一个非负实根, 设根为x1, x2

∴函数f (x) =x2- (2a-1) x+a2-2与非负x轴至少有一个交点时, 其取值范围为.

点评:本题利用根与系数的关系和二次函数的图象特征将方程的根的分布问题转化为不等式进行处理。

题型四:与二次函数有关的恒成立问题

例4.是否存在实数a, b, c, 使函数f (x) =ax2+bx+c的图象经过M (-1, 0) , 且满足条件“对一切实数x, 都有.

分析:可以从求值和恒成立的角度剖析本题.

(1) 从求值的角度讲, 欲求a, b, c的值需建立关于.

(2) 从恒成立的角度讲ax2+bx+c≥0 (a≠0) 恒成立, 只要a>0, Δ≤0即可ax2+bx+c≤ (a≠0) 恒成立, 只要a<0且Δ≤0即可.

解:因为图象经过M (-1, 0) , 所以a-b+c=0

又因为∴当x=1时, 1≤f (1) ≤1, 所以f (1) =1即a+b+c=1从而

点评:

(1) 利用1≤f (1) ≤1得出f (1) =1是本题的巧妙之处。

(2) 若ax2+bx+c>0 (a≠0) 恒成立, 只要a>0, Δ<0即可

若ax2+bx+c<0 (a≠0) 恒成立, 只要a<0, Δ<0即可

若ax2+bx+c≥0 (a≠0) 恒成立, 只要a>0, Δ≤0即可

3.函数复习小结一 篇三

用

专题一 高考函数与导数命题动向

高考命题分析

函数是数学永恒的主题，是中学数学最重要的主干知识之一；导数是研究函数的有力工具，函数与导数不仅是高中数学的核心内容，还是学习高等数学的基础，而且函数的观点及其思想方法贯穿于整个高中数学教学的全过程，高考对函数的考查更多的是与导数的结合，发挥导数的工具性作用，应用导数研究函数的性质、证明不等式问题等，体现出高考的综合热点．所以在高考中函数知识占有极其重要的地位，是高考考查数学思想、数学方法、能力和素质的主要阵地．

高考命题特点

函数与导数在高考试卷中形式新颖且呈现出多样性，既有选择题、填空题，又有解答题．其命题特点如下：

(1)全方位：近年新课标的高考题中，函数的知识点基本都有所涉及，虽然高考不强调知识点的覆盖率，但函数知识点的覆盖率依然没有减小．

(2)多层次：在近年新课标的高考题中，低档、中档、高档难度的函数题都有，且题型齐全．低档难度题一般仅涉及函数本身的内容，诸如定义域、值域、单调性、周期性、图象等，且对能力的要求不高；中、高档难度题多为综合程度较高的试题，或者函数与其他知识结合，或者是多种方法的渗透．

(3)巧综合：为了突出函数在中学数学中的主体地位，近年高考强化了函数与其他知识的渗透，加大了以函数为载体的多种方法、多种能力(甚至包括阅读能力、理解能力、表述能力、信息处理能力)的综合程度．

(4)变角度：出于“立意”和创设情景的需要，函数试题设置问题的角度和方式也不断创新，重视函数思想的考查，加大了函数应用题、探索题、开放题和信息题的考查力度，从而使函数考题显得新颖、生动、灵活．

(5)重能力：以导数为背景与其他知识(如函数、方程、不等式、数列等)交汇命题．利用导数解决相关问题，是命题的热点，而且不断丰富创新．解决该类问题要注意函数与方程、转化与化归、分类讨论等数学思想的应用．综合考查学生分析问题、解决问题的能力和数学素养．

高考动向透视

函数的概念和性质

函数既是高中数学中极为重要的内容，又是学习高等数学的基础．函数的基础知识涉及函数的三要素、函数的表示方法、单调性、奇偶性、周期性等内容．纵观全国各地的高考试题，可以发现对函数基础知识的考查主要以客观题为主，难度中等偏下，在解答题中主要与多个知识点交汇命题，难度中等．

【示例1】►(2011·安徽)设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，则f(1)＝()．

A．－3B．－1C．1D．

3解析 法一 ∵f(x)是定义在R上的奇函数，且x≤0时，f(x)＝2x2－x，∴f(1)＝－f(－1)＝－2×(－1)2＋(－1)＝－3.故选A.法二 设x＞0，则－x＜0，∵f(x)是定义在R上的奇函数，且x≤0时，f(x)＝2x2－x，∴f(－x)＝2(－x)2－(－x)＝2x2＋x，又f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝－2x2－x，∴f(1)＝－2×12－1＝－3，故选A.答案

A

本题考查函数的奇偶性和函数的求值，解题思路有两个：一是利用奇

函数的性质，直接通过f(1)＝－f(－1)计算；二是利用奇函数的性质，先求出x＞0时f(x)的解析式，再计算f(1)．

指数函数、对数函数、幂函数

指数函数在新课标高考中占有十分重要的地位，因此高考对指数函数的考查有升温的趋势，重点是指数函数的图象和性质，以及函数的应用问题．对于幂函数应重点掌握五种常用幂函数的图象及性质，此时，幂的运算是解决有关指数问题的基础，也要引起重视．对数函数在新课标中适当地降低了要求，因此高考对它的考查也会适当降低难度，但它仍是高考的热点内容，重点考查对数函数的图象和性质及其应用．

1【示例2】►(2011·天津)已知a＝5log23.4，b＝5log43.6，c＝5log30.3，则()．

A．a＞b＞cB．b＞a＞cC．a＞c＞bD．c＞a＞b

1010

解析 因为c＝5－log30.3＝5log33，又log23.4＞log3 3.4＞log331＞log43.6＞0，且指数函数y＝5x是R上的增函数，所以a＞c＞b.故选C.答案

C

本题主要考查指数函数单调性的应用、对数式的大小比较．一般是利

用指数函数单调性进行比较．对数式的比较类似指数式的比较，也可以寻找中间量．

函数的应用

函数的应用历来是高考重视的考点，新课标高考更是把这个考点放到了一个重要的位置．相对于大纲的高考，新课标高考无论在考查内容上还是力度上都有所加强，这主要体现在函数与方程方面，函数与方程已经成为新课标高考的一个命题热点，值得考生重视．

【示例3】►(2011·山东)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x＜2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为()．

A．6B．7C．8D．9

解析 由f(x)＝0，x∈[0,2)可得x＝0或x＝1，即在一个周期内，函数的图象与x轴有两个交点，在区间[0,6)上共有6个交点，当x＝6时，也是符合要求的交点，故共有7个不同的交点．故选B.答案

B

本小题考查对周期函数的理解与应用，考查三次方程根的求法、转化

与化归思想及推理能力，难度较小．求解本题的关键是将f(x)＝x3－x进行因式分解，结合周期函数的性质求出f(x)＝0在区间[0,6]上的根，然后将方程f(x)＝0的根转化为函数图象与x轴的交点问题．

导数的概念及运算

从近两年的高考试题来看，利用导数的几何意义求曲线在某点处的切线方程是高考的热点问题，解决该类问题必须熟记导数公式，明确导数的几何意义是曲线在某点处切线的斜率，切点既在切线上又在曲线上．

【示例4】►已知点P在曲线f(x)＝x4－x上，曲线在点P处的切线平行于直线3x－y＝0，则点P的坐标为________．

解析 由题意知，函数f(x)＝x4－x在点P处的切线的斜率等于3，即f′(x0)＝4x0

－1＝3，∴x0＝1，将其代入f(x)中可得P(1,0)． 答案

(1,0)

本题主要考查导数的几何意义及简单的逻辑推理能力． 利用导数求函数的单调区间、极值、最值

从近两年的高考试题来看，利用导数研究函数的单调性和极、最值问题已成为高考考查的热点．解决该类问题要明确：导数为零的点不一定是极值点，导函数的变号零点才是函数的极值点；求单调区间时一定要注意函数的定义域；求最值时需要把极值和端点值逐一求出，比较即可．

【示例5】►已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点x＝1处的切线l不过第四象限且斜率为3，又坐标原点到切线l的距离为有极值．

(1)求a，b，c的值；

(2)求y＝f(x)在[－3,1]上的最大值和最小值． 解(1)由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，得 f′(x)＝3x2＋2ax＋b.当x＝1时，切线l的斜率为3，可得2a＋b＝0.① 22

当x＝3时，y＝f(x)有极值，则f′3＝0，可得

4a＋3b＋4＝0②

由①②解得a＝2，b＝－4.设切线l的方程为y＝3x＋m 10

由原点到切线l的距离为10，|m|10则＝，解得m＝±1.3＋110∵切线l不过第四象限∴m＝1，由于切点的横坐标为x＝1，∴f(1)＝4，∴1＋a＋b＋c＝4 ∴c＝5.(2)由(1)可得f(x)＝x3＋2x2－4x＋5，10

2x＝时，y＝f(x)10

3∴f′(x)＝3x＋4x－4.令f′(x)＝0，得x＝－2，x＝3.f(x)和f′(x)的变化情况如下表：

229

5在x＝3处取得极小值f3＝27又f(－3)＝8，f(1)＝4，95

∴f(x)在[－3,1]上的最大值为13，最小值为27.在解决类似的问题时，首先要注意区分函数最值与极值的区别．求解

函数的最值时，要先求函数y＝f(x)在[a，b]内所有使f′(x)＝0的点，再计算函数y＝f(x)在区间内所有使f′(x)＝0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得．

突出以函数与导数为主的综合应用

高考命题强调“以能力立意”，就是以数学知识为载体，从问题入手，把握数学学科的整体意义，加强对知识的综合性和应用性的考查．中学数学的内容可以聚合为数和形两条主线，其中数是以函数概念来串联代数、三角和解析几何知识，我们可以把方程看作函数为零，不等式看成两个函数值的大小比较、数列、三角则是特殊的一类函数．所以，高考试题中涉及函数的考题面很广．新课标高考对有关函数的综合题的考查，重在对函数与导数知识理解的准确性、深刻性，重在与方程、不等式、数列、解析几何等相关知识的相互联系，要求考生具备较高的数学思维能力和综合分析问题能力以及较强的运算能力，体现了以函数为载体，多种能力同时考查的命题思想．

【示例6】►(2011·福建)已知a，b为常数，且a≠0，函数f(x)＝－ax＋b＋axln x，f(e)＝2(e＝2.718 28„是自然对数的底数)．(1)求实数b的值；(2)求函数f(x)的单调区间．

(3)当a＝1时，是否同时存在实数m和M(m＜M)，使得对每一个t∈[m，M]，直

1

线y＝t与曲线y＝f(x)x∈e，e都有公共点？若存在，求出最小的实数m和最

大的实数M；若不存在，说明理由． 解(1)由f(e)＝2得b＝2.(2)由(1)可得f(x)＝－ax＋2＋axln x.从而f′(x)＝aln x.因为a≠0，故

①当a＞0时，由f′(x)＞0得x＞1，由f′(x)＜0得0＜x＜1； ②当a＜0时，由f′(x)＞0得0＜x＜1，由f′(x)＜0得x＞1.综上，当a＞0时，函数f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1)；当a＜0时，函数f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)．(3)当a＝1时，f(x)＝－x＋2＋xln x，f′(x)＝ln x.1

由(2)可得，当x在区间e，e内变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：



m＝1，21

又2－e2，所以函数f(x)x∈ee的值域为[1,2]．据此可得，若则

M＝2.1

对每一个t∈[

m，M]，直线y＝t与曲线y＝f(x)x∈ee都有公共点；

1

并且对每一个t∈(－∞，m)∪(M，＋∞)，直线y＝t与曲线y＝f(x)x∈e，e都

没有公共点．

综上，当a＝1时，存在最小的实数m＝1，最大的实数M＝2，使得对每一个t1

∈[m，M]，直线y＝t与曲线y＝f(x)x∈e，e都有公共点．



本题主要考查函数、导数等基础知识．考查推理论证能力、抽象概括

4.函数复习小结一 篇四

1． AB和平面M所成的角为，AC在平面M内，AC和AB在平面M内的射影AB1所成的角是，设∠BAC=,则coscoscos

2． 在二面角MlN的面M内，有直角三角形ABC,斜边BC在棱上，若A在平面内N的射影为D,且∠ACD=1，∠ABD=2，二面角为，则sin2sin21sin22

x2y23． 设F1,F2为椭圆221（a>b>0）的焦点，M是椭圆上一点，若∠F1MF2=

ab则SF1MF2=b2tan2，b1e

2.ax2y24． 设F1,F2为双曲线221（a>b>0）的焦点，M是双曲线上一点，若∠F1MF2=,ab则SF1MF2=b2cot2，be21.ax2y25．已知椭圆221（a>b>0）上一点，F1,F2为左右两焦点，∠PF1F2=，ab∠P F2F1=，则ecacos2.cos2x2y2x2y26.设直线ykxb与椭圆221(双曲线221)相交于不同的两点

ababb2x0b2x0A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点为M(x0,y0),则k2(k2).ay0ay07.过抛物线y22px(p0)的焦点F作倾斜角为 的直线交抛物线于A,B两点，则线段AB2Psin2

函数图像的对称问题(小结)函数问题的对称性问题是函数性质的一个重要方面，也是历年高考热点问题之一，除了常见的自身对称（奇偶函数的对称性），两函数图像对称（原函数与反函数的对称性）以外，函数图象的对称性还有一些图像关于点对称和关于直线对称的两类问题，在这里，两函．．数图象关于某直线对称或关于某点成中心对称与函数自身的对称轴或对称中心是有本质区．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．别的，注意不要把它们相混淆。造成解题失误，下面就这些问题给出一般结论，希望对同学们有帮助。

一、同一个函数图象关于直线的对称 结论1：设a,b均为常数，函数yf(x)对一切数学x都满足f(ax)f(bx)，则函数的图象关于直线xab对称。2推论1：在直角坐标系中，满足f(ax)f(ax)的函数y=f(x)关于直线x=a对称（其中a为常数）

推论2：在直角坐标系中，满足f(ax)f(xa)的函数的图象关于直线x=0对称。例1 已知函数的定义域为

R，且对于一切实数

x

满足，当x[2,7]时，f(x)(x2)2 f(x2)f(2x),f(x7)f(7x),，当x[16,20]时，求函数g(x)2xf(x)的表达式。

解：由

f(x2)f(2x),f(x7)f(7x)知，函数yf(x)的图象关于直线x=2和x=7

对

称，且

有f(x)f[(x2)2]f[2(x2)]f(4x)f[7(3x)]f[7(x3)]f(x10)f(x10)f(x)

当x[16,17]时，x10[6,7]，此时f(x)f(x10)(x102)2(x12)2； 当x(17,20]时，x20(3,0),4(x20)[4,7]，f(x)f(x20)f[4(x20)][4(x20)2]2(x22)2，22x(x12)(16x17)g(x)=

22x(x22)(17x20)

二、两个函数图象关于直线的对称

结论2：在同一直角坐标系中，函数yf(ax)与函数yf(bx)的图象关于直线xba对称（其中a，b均为常数）2推论1：在直角坐标系中，函数yf(ax)与函数yf(ax)的图象关于直线x=0对称。推论2：在直角坐标系中，函数yf(ax)与函数yf(xa)的图象关于直线x=a对称（其中a为常数）。例2 设函数f(x)2x1,g(x)21x，则它们的图象（）

A．关于原点中心对称

B．关于直线x=0对称 C．关于直线x=1对称

D．既不成中心对称也不成轴对称

解析：由推论1知，这两个函数图象的对称轴方程为x=0，即y轴，故应选B。

三、同一个函数图象关于点成中心对称

结论3：设a，b均为常数，函数yf(x)对一切实数x都满足f(ax)f(ax)2b，则函数yf(x)的图象关于点(a,b)成中心对称图形。例2 已知函数yf(x)满足f(x)f(x)2002，求f1(x)f1(2002x)的值。

解：由已知，在等式f(ax)f(ax)2b中，令a=0，2b=2002，则函数yf(x)关于点(0,1001)对称，根据原函数与其反函数的关系，知函数yf1(x)关于点(1001,0)对称。f1(x1001)f1(1001x)0

将上式中的x用x－1001换，得f1(x)f1(2002x)=0。

bac,)2

2四、两个函数图象关于点成中心对称

结论4：设a，b，c均为常数，则函数 yf(ax)与ycf(bx)关于点(成中心对称图形。

例4 已知函数yf(x)是定义在实数集R上的函数，那么yf(6x)与yf(x4)的图象（）

A．关于直线x=5对称

B．关于直线x=1对称

C．关于点(5,0)对称

D．关于点(1,0)对称

解析：由题意，已知式变形为yf(x4)，yf(6x)，则有a=4，b=6，c=0。

由结论4知，yf(6x)与yf(x4)关于点((1,0)对称，故应选择D。

5.一次函数复习课 篇五

本课是基于清华同方知好乐“电子书包”1对1数字化环境下, 学生个性化学习的一节复习课.学习内容是人教版八年级下册“一次函数”的复习课.

课前, 林老师精心设计了一次函数复习课学案, 制作了一次函数复习课微课.学生在课前用“电子书包”打造的虚拟课堂进行自主复习本节课相关知识点, 并利用电子书包交流平台与同学交流, 增强学习效果.老师实时把控学生的作业情况, 以便课堂上进行有针对性地讨论讲评.

课堂上林老师通过电子书包多媒体的解析功能, 利用微课、音频、动画、图片等多种媒体的配合展现, 使学生更自主、更有兴趣进行学习, 极大地提高了课堂效果, 实现了学生的个性化学习.学生利用电子书包做题, 哪道题错误率最高, 教师通过电子书包的一体机实时掌握, 从而有针对性地讲题, 实现高效率的课堂.

林老师的这个初中数学复习课教学案例, 打破了传统数学复习课堂上教师一言堂的束缚、改变了因题海战役而显得枯燥无味的现状, 让学生在合作中、趣味中不断地展示自我.

【案例亮点】

亮点1:课前先学应用微课, 基础薄弱的学生可“笨鸟先飞”

对基础薄弱的学生而言, 只看课本、导学案对知识的理解会有困难, 若这时有“老师”适时地给予辅导, 将会大大树立其学习的信心.

本节课, 林老师预先将本章复习课录制成微课的形式, 让学生“哪里不懂点哪里”, 一遍没看懂可多看几遍, 提供个性化先学辅导.

亮点2:以学定教, 技术促教

本节复习课教师通过对学生的作业反馈, 实时检测及时反馈了解学情, 确定教学的内容.利用电子书包的微课素材, 学生可以反复学习, 让部分基础不好的学生学习不再吃力.利用“电子书包”做一些动手仿真实验, 让学生在“玩”中学, 既直观, 又记忆深刻.

亮点3:课堂应用微课, 让自主学习不再盲目, 展示形式更多样

本节课, 林老师将拓展练习中的第2题录制成微课.改变传统的“教→学”为“技术支持的学→教”, 进行“知识传授”与“知识内化”两个认知环节的优化, 大大提升了学生自主探索学习能力.在课堂上, 不会做题的学生可以观看教师录制的微课实现1对1的辅导学习, 让后进生也有机会上台展示自己, 极大地提高了他们的学习积极性.

亮点4:课后作业应用微课, 实现个性化的一对一辅导

课后, 学生可以继续上电子书包进行学习“一次函数”相关知识点的复习微课, 实现个性化的一对一辅导.

【教学反思】

在2015年11月29日我有幸在肇庆端州中学上了一节人教版数学八年级下《一次函数》的复习课.在上课之前, 我很迷茫过, 苦苦思索这节复习课我该如何上, 如何上数学复习课能让课堂教学更有效.在富丽中学陈晋威老师和“电子书包”技术员婷如的帮助下, 我成功地完成了这节公开课.下面我对这节课的教学设计、教学过程和教学效果做如下反思.

1. 借助“电子书包”的在线测评, 来确定教学内容.

在本节课上课之前, 我通过电子书包发布本节课的“课前先学学案”.

电子书包能够即时地将学生的解题结果进行动态数据反馈, 让我在课前第一时间把握全班学情, 了解每个学生的学习状况, 从学习者的角度出发, 针对学生存在的问题及时调整教学, 确定教学的内容。

2. 借助“电子书包”的微课教学, 来提高学习效率。

满堂灌的教学模式已经不适应素质教育的要求, 学生渴求自主学习而不是被动接纳.在本节复习课中, 我将课堂典型例题录制成微课, 在例题中设置题目的“分层提示”, 让学生“哪里不会点哪里”, 使学生从“要我学”转变为“我要学”, 极大地提高了课堂学习效率。

3. 借助“电子书包”的仿真实验, 来优化学习效果.

在本节复习课中, 我利用“电子书包”做动手仿真实验, 让学生在“玩”中学, 极大地优化了学生学习效果。

例如, 在讲解一次函数y=kx+b的图象和性质时, 我设计让学生控制k、b值, 观察图象如何变化, 让学生直观感受k是如何控制直线的倾斜程度、b是如何控制与y轴的交点的.利用电子书包展示动手仿真实验, 让学生既直观, 又记忆深刻。

本节复习课借助现代信息技术, 利用电子书包实现双课堂教学, 让学生在自主、合作、探究等多样化的学习方式背景下学习, 在网络环境下学习, 从不同角度、不同层面实现学生个性化学习, 实现教师多元化、移动化教学.

课堂教学是一门遗憾的艺术.反思教学, 我发现自己对微课制作、电子书包云平台的操控还有待加强.今后我会在教学中在不断反思、总结、提升。

【专家点评】

对于电子书包这一网络新技术, 林老师在教学设计、微课制作、课堂控制等方面都应用地很好。

利用电子书包, 使学生“仿真”听课, 对一些较难的问题, 在电子书包的教学设计中进行重点设计, 从学习者的角度出发, 针对学生的问题及时调整教学, 确定教学内容, 并将课堂上的案例制成微课, 在题目中设置“分层提示”, 实现个性化教学。

电子书包中的“仿真实验”让学生动手实践, 使学习游戏化、竞赛化, 使学习生动活泼, 吸引学生的注意力, 亲临其境, 全神贯注投入学习中, 借助于电子书包, 使教学形象直观, 学生印象深刻。

总之, 本案例通过电子书包多媒体的解析功能, 互联网的高速信息传递功能, 用微课、音频、动画、图片等多种媒体的融合展现, 实现个性化的教学, 提高教学效果。

———知好乐教研团队:梁锦鹏

6.《函数复习》教学反思 篇六

首先：锐角三角函数首先是放在直角三角形中研究的，显示的是边角之间的关系。锐角三角函数值是边与边之间的比值，锐角三角函数沟通了边与角之间的联系，它是解直角三角形最有力的工具之一。

这节课主要是概念教学，要使学生明确概念的背景、作用、概念中有哪些规定、限制等问题，因此，我在引入锐角三角函数概念的时候，我先设计了两道题：一是问直角三角形的三边之间有什么关系，学生很快想到勾股定理;二是问直角三角形中两锐角之间有何关系，学生也可以想到两角互余。然后我从学生的认知水平出发又提出问题：

(1)如图Rt△ABC中，AC=3，BC=4，求AB=?

(2)如图Rt△ABC中，AC=3，∠B=40°，求AB=?

对于第一个问题，学生在对勾股定理的已有认知基础上，很容易求出AB，但对第二个问题，则不够条件求AB了。我就顺势导出这就是今天要学习的直角三角形的边角关系――锐角三角函数，从而引出课题。我认为在引入新课这个环节我设计的很好，既复习了旧知识，又为新课做好了铺垫，同时激发了学生的求知欲望，这是一个成功之处。

第二是：我画出三个直角三角形，并设计了几个填空，这些填空就是：对比斜、邻比斜、对比邻、邻比对，等学生完成简单的填空后，我引入了正弦，余弦，正切的定义，写法，这样可以让学生在数形结合的情况下，掌握好锐角三角函数的相关定义。从课堂效果来看，这种方法，学生还是容易明白的。这是成功之二。

我在教学中还注重解题方法的总结，本节课有一道例题，是这样设计的：

例1：求出如图所示的Rt△ABC中∠A的四个三角函数值.

解：∵在Rt△ABC中，BC=8,AC=15,

∴AB=

sinA=

cosA=

tanA=

我以填空的形式，帮助学生做好一些脚手架，我认为在普通班是必要的，也是对学生的解答有帮助性的作用。在实际教学过程中，学生都能做出这题，所以我只是略略讲解后就开始进行相关练习。可是在做A组第一题：“Rt△DEC中，∠E=90b，CD=10，DE=6，求出∠D的四个三角函数值。”这道题中，有部分学生出现不知怎么下笔的情况。这就说明了我讲解的时候还是少了一个归纳的步骤：如何求解直角三角形，以及最少需要几个条件。帮助学生归纳出求三角函数的方法。应该指出为什么要运用勾股定理，让学生明确求四个三角函数必须知道三条边。这样在做练习时他们就能确定解题思路，明确预见利用勾股定理求出CE。这也是本课课不足之处。

另外，在突破本节课的教学难点时，我设计了一道有一个公共角的三个直角三角形，突破了直角三角形的大小，利用相似三角形的性质，让学生体会到，四个三角函数值只与角的大小无关，与三角形的边长无关。

在课后反思中，我打算在下一次教学设计进行修改，对于水平比较低的班级，可以按填空的开形式出现。并得出三角函数的定义，也可以尝试不填空，让学生自主探索，看学生能不能找到对比斜，邻比斜，对比邻的大小不变的规律性。

7.函数复习小结一 篇七

课题：《二次函数》第二课时（教学反思）

（课型：复习课）

“二次函数的应用”是九年级数学课程中的难点内容，与生活实际密切联系，学生对生活中的“二次函数”感知颇浅，针对学生的认知特点，设计时做了如下思考：

一、按知识发展与学生认知顺序，设计教学流程：首先由一道简单的二次函数引例帮助学生复习了有关二次函数的图像及其性质，从而才能函数应用上运用自如，如鱼得水；借助问题链复习旧知，辅之基本图形夯实基础；

二、教学过程中注重引导学生对数学思想的运用和理解：如课后练习题运用数形结合的思想，让学生掌握二次函数的图像性质；

三、教学过程中注重引导学生多动手多思考，小组合作：如例题3画二次函数的图像，让学生先自己动手画，然后小组进行交流讨论，最好老师点评，起到很好的效果．

在课堂教学中，我注意倾听学生的发言，特别是对于插话的内容，帮助他们澄清错误概念，提醒他们重视推理的前提，引导他们挖掘隐含条件，启发他们总结解题规律，掌握变换的方法，使大家主动探索中发现问题，解决问题，从而学到思想、学到方法，在教学中药重视学生之间、师生之间的讨论和交流，教师学会察言观色及时得到反馈信息，利用生成资源查漏补缺，来达到教学目的．

这堂课老师教得轻松，学生学得愉快，每个学生都参与到活动中去，投入到学习中来，使学习的过程充满快乐和成功的体验，促使学生自主学习，勤于思考和勇于探究，形成良好的学习品质．由于这堂课活动大，热热闹闹中，胆大、性格开朗的学生特别活跃，也容易引起老师的注意，而对那些胆小性格较内向的学生就注意不够．个别理解能力和接受能力慢一些的学生，给予他们的帮助还不到位，这些学生课后作业完成不够．

8.函数复习小结一 篇八

一、明确复习重点

（一）要深入研究《考试说明》

数学高考对知识的要求由低到高分为“了解”、“理解”和“掌握”三个层次.《考试说明》指出：“对基本知识和基本技能的考查，既注意全面又突出重点，对支撑数学学科知识体系的主干知识，考查时保持较高的比例，并达到必要的深度.”通过对《考试说明》研究，三角恒等变换内容已淡化，三角函数的类型也只是正弦、余弦、正切，而三角函数的图像、倍角公式和正余弦定理依然是不变的重点，图像可以适当关注对称性和周期性.

（二）要深入分析历年高考试题

1.新课标近五年高考理科三角函数试题分析：

2.新课标近五年高考文科三角函数试题分析:

通过分析，我们可以看出，三角函数题目大多以容易或中等难度的题为主，从题型设计来看，大致是2道小题1道大题(或3道小题);从考查内容来看，主要考查对三角函数有关概念、性质的理解，对基本公式的运用.具体主要有三类：(1)三角式的化简与求值;(2)三角函数的性质与图像;(3)解三角形及其应用.值得指出的是，新课标卷17题多是以解三角形的实际应用出题，但综合各省市试题来看，多以三角函数结合解三角形，可能还结合平面向量.解这类题目，要利用平面向量的运算，用三角公式将函数式化为标准形式：y=Asin(ωx+准)+B，或y=Acos(ωx+准)+B，然后结合正余弦定理做出解答.

所以，在二轮复习中我们既要加强对《考试说明》的学习，又要加强对高考试题的分析.《考试说明》是高考命题的依据，而高考试题是《考试说明》要求的具体化.

二、强化基础知识

二轮复习要在形成知识体系上下工夫，注重知识的不断深化，新知识应及时纳入已有知识体系，关注知识之间的内在联系，使模糊的清晰起来，缺失的填补起来，杂乱的条理起来.应构建知识网络，网络应当是立体的、交叉的，单一的线状连接难以适应变化.

高考数学历来注重基础知识和基本技能的考查，虽然高考数学试题不可能考查单纯背诵、记忆的内容，不会直接考查课本上的原题，但高考试题大多能在课本上找到它的“根”，不少高考题就是对课本原题的变型、改造及综合.比如2009年新课标文理17题是解三角形的应用，为必修五1.2例2的变式，而2012年的17题更是课本常见的解三角形题型.虽然现在高考试题力求体现新课改理念，但不论怎么新，解题的数学模型仍要以课本上重点数学知识为基础，所以夯实基础仍是重中之重，扎实的数学基础是成功解题、获取高分的关键，要防止忽视基础、专攻难题的不良倾向，真正做到：基本概念清晰明了，基本运算熟练正确，基本方法运用得当，书面表达规范准确.

三、提炼思想方法

怎样有效提高学生的解题能力?现在提倡高效课堂，有些老师往往着眼于多举例子，似乎学生做题越多越高效.我认为，不着重启发学生思路、推进其思维过程的课堂就不是高效课堂.只有让学生的“脑”和“手”都动起来，并使之在数学方法上有了突破，在数学思维能力上有了提升，才能称为高效.可以说，“知识”是基础，“方法”是手段，“思想”是深化，提高数学素质的核心就是加强学生对数学思想方法的认识和运用，数学素质的综合体现就是“能力”.因此，在二轮复习时应对高中数学涉及的四种主要思想方法即“函数与方程”、“数形结合”、“分类讨论”、“等价转化”进行专题研究，并在解题活动中注意提炼，而这些思想方法在各内容中侧重点各有不同.比如三角函数中公式及性质之类的内容较多，“等价转化”和“数形结合”的思想在三角函数这章中贯穿始终.

例如：若动直线x=a与函数f (x) =sinx和g (x) =cosx的图像分别交于M、N两点，则|MN|的最大值为(B)

分析：将两点之间的距离转化为三角函数的最值求解，而转化为三角函数的过程则运用了差角正弦公式的转化，体现了转化和数形结合的思想.

四、加强专题训练

高考命题强调全面考查考生的数学能力.在二轮复习中我主张将历年高考试题按内容分类，经过筛选组成专题让学生练习.但选题时做到既要纵选，又要横选.例如，我在编三角函数资料时，除了把本省近五年高考三角函数试题编出来给学生练习外, 还选一些外省的比较新颖的试题让学生练习.例如：(2010年重庆卷文15)如题(15)图，图中的实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线C，各段弧所在的圆经过同一点P(点P不在C上)且半径相等.设第i段弧所对的圆心角为

通过专题训练，使学生学会综合运用所学数学知识、思想和方法对新的信息、情境和设问进行分析(下转第12页)(上接第6页)与加工，独立思考，研究探索，解决问题，增强实践能力和创新意识.有利于学生了解认识新形势下高考试题，适应高考新要求.

五、注重引导学生进行总结与反思

每次考试或练习，教师讲评后要引导学生及时总结反思，总结试卷中试题涉及的知识点，采用了哪些解题方法，反思自己错误的原因，要把当时解题思路的误区进行剖析，并补充好的解法.

例如：已知求tanα的值.

【错点分析】本题利用平方关系求出sinα-cosα的值，再通过解方程组的方法可解得sinα、cosα的值.但在解题过程中忽视了sinαcosα<0这个隐含条件来确定角α范围，主观认为sinα-cosα的值可正可负从而造成增解.

平时做练习题时，我都要求学生把选择题和填空题的主要过程写在试卷上，一是节省草稿纸，高考只一张草稿纸，养成只用一张草稿纸的习惯;二是等以后复习时能知道当时自己的思路误区在哪里，让学生养成整理“错题集”的习惯.只有这样不断地反思，才能真正做到：退一步———触发灵感，进一步———认清本质，串一串———融会贯通，议一议———豁然开朗，从而提高练习的实效.

9.《二次函数复习》评课稿 篇九

作为一名有十几年从事数学工作的教师，我很欣赏张老师的教学风格，语言规范、声音清脆、情感充沛、思路清晰；引导简洁、激励到位、点拨准确、归纳具体；启发性大、针对性强、逻辑合理。课堂中即对二次函数的定义和三种解析式、图像和性质等双基的落实，特别是借助“八字”形象记忆法帮助学生理解性质很贴切，也引导学生经历从解析式到图像再到性质的数学过程，注重培养学生利用配方法进行函数解析式的演变，利用待定系数法结合所给条件，最佳选择方法求函数解析式，从而提高学生解决实际问题的能力，渗透数形结合思想。特别是关注中考热点、难点问题，如判别曲线与x轴的交点情况，a、b、c的符号与图像的情况。三个二次的关系，动点问题。听后很解渴，是一节上层的复习课。

但是我认为此课也有不足：一是教学节奏过快，中等以下的学生不一定跟上，由于是一课时，涉及二次函数的所有内容都要串上来，教师不得已采用了加快节奏的策略，尖子生能跟并理解，对大部分学生不利。二是个别基础点应该用基础题型夯实，如定义（a≠0）的利用，一般式变顶点式，确定对称轴、顶点。已知三点确定解析式等，使学生基本题型分必得。三是要是一轮复习的话，一课时内容较多，特别是那些难点、热点仅凭教师、学生一说而过恐怕不行，必须一个个敲定。

10.《二次函数复习课》教学反思 篇十

福鼎七中 周克锋2010.5.20

二次函数对学生来讲，既是难点又是重点，通过我对这一章的教学，让我学到很多道理和教学方法。下面是我对二次函数的复习课的一些反思感受：首先，我认为在课堂上，我对知识的掌握还是有一定的欠缺，把二次函数用自己的眼光和感受想象的太简单，但是对于学生而言，这又是一个重点，尤其是一个难点。所以我课堂上有的习题深度没有掌握好，没有做到面向全体。

其次，本节课体现的是分层教学，而我只是在后面的比赛中简单的体现分层，对于提问中得分层，习题中的分层还是做的不够好，这说明我对于分层教学的这种方法还是有待于进一步的提高，应该真正的站在学生的角度来分层。

第三，课堂上的语言不够精辟，尤其是评价性的话语很少，很单调。没有做到让学生为我的一句话而振奋，没有因为为了争得我的一句话而好好做题等等，这是我一直以来欠缺的一个重要点。

那么针对以上几点，我从自己的角度思考，收获了以下这些：

1.上课之前一定要反复的推敲，琢磨课本，找出本节课知识的“灵魂”，然后站在学生的角度，仔细研究，如何讲授学生们才能愿意听，才能听得明白。尤其不能把学生想像的水平很高，不是不自信，而是不能把学生逼到“危险之地”，以免打击自尊心，熄灭刚刚点燃的兴趣之光。真正做到“低起点”。

2.既然选择和实施了分层教学，就应该多下功夫去琢磨，去进行它。既然是分层就应该把它做到“顺其自然”，而不仅仅是一种形式。在分层的同时应该找到一个点，就是说，这个点上的问题是承上启下的，是应该全班都能够掌握的。对于尖子生，不能在课堂上想让他们吃饱，对于他们应该在课下，或者是采用小纸条的方法单独来测试，不能为了他们的能力把题目难度定的过高。再者，分层应该体现在一节课的所有环节，例如，在提问时，对于一个问题应该分层次来提，来回答。

3.应该及时地，迅速的提高自己的言语水平。

一堂课的精彩与否，教师的课堂语言也是很重要的一个方面，例如一节课的讲授过程，或者是对于学生的评价等等。

督促自己多读书，多练习，以丰富自己的语言。

11.函数复习小结一 篇十一

一、巧借函数的奇偶性, 探究函数的对称性

以上各结论均是借助构造函数, 利用函数的奇偶性, 研究函数f (x) 本身的对称性, 在教学中可以发挥小组的团队作用, 通过小组的合作交流, 大多数问题都是可以自行解决的.

二、借助函数对称性的结论, 继续探究函数的周期性

12.离散数学函数复习题答案 篇十二

一、选择题（每题3分）

1、设A{a,b,c},B{1,2,3}，则下列关系中能构成A到B函数的是（C）

A、f1{a,1,a,2,a,3}B、f2{a,1,b,1,b,2}

C、f4{a,1,b,1,c,1}D、f1{a,1,a,2,b,2,c,3}

2、设R、Z、N分别为实数集、整数集，自然数集，则下列关系中能构成函数的是（B）

A、{x,y|(x,yN)(xy10)}B、{x,y|(x,yR)(yx2)}

C、{x,y|(x,yR)(y2x)}D、{x,y|(x,yZ)(xymod3)}

3、设Z为整数集，则二元关系f{a,baZbZb2a3}（B）

A、不能构成Z上的函数B、能构成Z上的函数

C、能构成Z上的单射D、能构成Z上的满射

4、设f为自然数集N上的函数，且f(x)

10若x为奇数若x为偶数，则f（D）

A、为单射而非满B、为满射而非单射C、为双射D、既非单射又非满射

5、设f为整数集Z上的函数，且f(x)为x除以5的余数，则f（D）

A、为单射而非满B、为满射而非单射C、为双射D、既非单射又非满射

6、设R、Z分别为实数集、整数集，则下列函数为满射而非单射的是（C）

A、f:RR,C、f:RZ,A、f:RR,C、f:RR,f(x)x6B、f:RR,f(x)[x]D、f:RR,2f(x)(x6)f(x)x6x 627、设R、R、Z分别为实数集、非负实数集、正整数集，下列函数为单射而非满射的是（B）f(x)x7x1 B、f:ZR,f(x)lnx； f(x)xD、f:RR,f(x)7x

18、设Z、N、E分别为整数集，自然数集，偶数集，则下列函数是双射的为（A）

A、f : ZE , f(x)2xB、f : ZE , f(x)8x

C、f: ZZ,f(x)8D、f : NNN,f(n)n,n1

9、设X3,Y4，则从X到Y可以生成不同的单射个数为（B）．

A、12B、24C、64D、8110、设X3,Y2，则从X到Y可以生成不同的满射个数为（B）．

A、6B、8C、9D、6411、设函数f:BC，g:AB都是单射，则fg:AC（A）

A、是单射B、是满射C、是双射D、既非单射又非满射

12、设函数f:BC，g:AB都是满射，则fg:AC（B）

A、是单射B、是满射C、是双射D、既非单射又非满射

13、设函数f:BC，g:AB都是双射，则fg:AC（C）

A、是单射B、是满射C、是双射D、既非单射又非满射

14、设函数f:BC，g:AB，若fg:AC是单射，则（B）

A、f是单射B、g是单射C、f是满射D、g是满射

15、设函数f:BC，g:AB，若fg:AC是满射，则（C）

A、f是单射B、g是单射C、f是满射D、g是满射

16、设函数f:BC，g:AB，若fg:AC是双射，则（D）

A、f,g都是单射 B、f,g都是满射 C、f是单射, g是满射 D、f是满射, g是单射

二、填充题（每题4分）

1、设Xm,Yn，则从X到Y有2mn 种不同的关系，有nm 种不同的函数．

2、设Xm,Yn，且mn，则从X到Y有Anm 种不同的单射．

3、在一个有n个元素的集合上，可以有2不同的双射．

1，若x为奇数



4、设f为自然数集N上的函数，且f(x)x

若x为偶数2，n

种不同的关系，有nn 种不同的函数，有n!种,则f(0)0，f[{0}]{0}，f[{1,2,3}]{1}，f[{0,2,4,6,}]N．

5、设f,g是自然数集N上的函数,xN,f(x)x1,则fg(x)2x1，gf(x)2(x1)．

g(x)2x，三、问答计算题（每题10分）

1、设A{2，3，4}，B{2，4，7，10,12}，从A到B的关系

R{a,baA,bB,且a整除b}，试给出R的关系图和关系矩阵，并说明此

关系R及其逆关系R1是否为函数？为什么？

解：R{2,2,2,4,2,10,2,12,3,12,4,4,4,12}，则R的关系图为：

R的关系矩阵为MR



100

000

1

1 1

关系R不是A到B的函数，因为元素2，4的象不唯一

逆关系R1也不是B到A的函数 因为元素7的象不存在．

2、设Z为整数集，函数f：ZZZ，且f(x,y)xy，问f是单射还是满射？ 为什么？并求f(x,x),f(x,x)．

解：xZ, 0,xZZ，总有f(0,x)x，则f是满射；

对于1,2,2,1ZZ,，有f(1,2)3f(2,1)，而1,22,1，则f非单射；

f(x,x)2x,f(x,x)0．

3、设A{1,2}，A上所有函数的集合记为AA, “”是函数的复合运算，试给出AA上运算“”的运算表，并指出AA中是否有幺元，哪些元素有逆元？ 解：因为A2，所以A上共有224个不同函数，令A

f

1(1)1,f(2)2;

A

{f1,f2,f3,f4}，其中：

f(1)1,f(2)1;f(1)2,f(2)2;f(1)2,f4(2)1

A

f1为A中的幺元，f1和f4有逆元．

4、设R为实数集，函数f：RRRR，且f(x,y)xy,xy，问f是双射吗？为什么？并求其逆函数f



1(x,y)及ff(x,y)．

解： x1,y1,x2,y2RR，若f(x1,y1)f(x2,y2)，有x1y1,x1y1x2y2,x2y2，则x1,y1x2,y2，故f是单射；

2且f(x,y)xy,xyu,v，则f是满射，故为双射； xyxy, ； 22

ff(x,y)f(xy,xy)f(2x,2y)． f

1

u,vRR，令x

uv，y

uv，则x,yRR，(x,y)

四、证明题（每题10分）

1、设函数f：AB，g：BC，g和f的复合函数gf：AC，试证明：如果gf是双射，那么f是单射，g是满射． 证明：x1,x2A且f(x1)f(x2)B，则gf(x1)g[f(x1)]g[f(x2)]gf(x2)，因gf是单射，有x1x2，故f是单射；

cC，因gf是满射，aA，使cgfa()g[fa()]，而f(a)B，故g是满射．

注：如果gf是单射，那么f是单射；如果gf是满射，那么g是满射．

2、设f是A上的满射，且fff，证明：fIA．

证明：因f是满射，则对aA，存在a1A，使得f(a1)a，则ff(a1)f[f(a1)]f(a)，由 fff，知a1a，于是f(a)a，由a的任意性知fIA．

3、设函数f：AB，g：BA，证明：若f证明： 因f



11

g,fg

1，则gfIA,fgIB．

g,则yB,g(y)f

1

(y)xA，有g(y)x,f(x)y，于是，对yB，有fg(y)f[g(y)]f(x)yIB(y)，知fgIB；

1

又fg1，则对xA,f(x)g(x)y，有f(x)y,g(y)x，于是，对xA，有gf(x)g[f(x)]g(y)xIA(x)，知gfIA．

4、设函数f：AB，g：BA，证明：若gfIA,fgIB，则f



1g,fg

1

．

证明：因恒等函数IA是双射，则gf是A上的双射，有f是单射，g是满射； 同样，恒等函数IB是双射，则gf是B上的双射，有f是满射，g是单射； 所以，f和g都是双射函数，其反函数都存在，故有f注：设函数f：AB，g：BA，证明： f

1

1

g,fg

1

1

．

g,fg

 gfIA,fgIB．

5、设函数f：AB，g：B(A)，对于bB，g(b){xxAf(x)b}，(A)为A的幂集，证明：如果f是A到B的满射，则g是B到(A)的单射．

13.函数复习小结一 篇十三

（加强基础知识练习，祝你数学学习进步）

1、形如y=（其中a,b,c是常数，a≠0）的函数叫做二次函数。

自变量的取值范围是。

2、二次函数y=ax(a≠0)的图象是，它关于对称，顶点是。当a＞0时，抛物线的向上，顶点是抛物线上的；当a＜0时，抛物线的开口，顶点是抛物线上的。

函数y=(ax+m)(a≠0)的图象可以由函数y=ax(a≠0)的图象向（当m＜0）或向（当m＞0）平移个单位得到。

函数y=(ax+m)+k(a≠0)的图象可以由函数y=ax(a≠0)的图象先向右（当m＜0）或向左（当m＞0）平移个单位，再向上（k＞0）或向下（当k＜0）平移个单位得到，顶点是，对称轴是直线。

3、二次函数y=ax+bx+c(a≠0)的图象是一条，它的对称轴是直线，顶点坐标是。当a＞0时，抛物线的开口，顶点是抛物线上的；当a＜0时，抛物线的开口，顶点是抛物线上的。

对于二次函数y=ax+bx+c(a≠0)，若a＞0，则当x≥时，y随x的增大而增大，当x ≤时，1 2222222

y随x的增大而，当x=时，y最小值=；若a＜0，则当x≤时，y随x的增大而，当x≥时，y随x的增大而减小，b当x=时，y最大值=。2a4a4、主要方法和和技能

（1）用描点法画二次函数的图象。

（2）利用图象求一元二次方程的解。

（3）求二次函数的最大值或最小值。

14.函数复习小结一 篇十四

一、学会整理, 突破综合, 是一轮复习的根本

在一轮总复习时, 若没有扎实的基础做后盾, 临时突击, 猜题押题绝对取不了好成绩.抓好基础是一个系统工程, 必须在第一轮复习的全过程中一步一个脚印, 扎扎实实地走过来, 在高三第一轮总复习时, 进行一次系统的强化总结, 在理解上下功夫, 逐章地形成合理的知识网络结构, 并随着复习的深入, 注意挖掘知识的内在联系, 也即学会整理, 学会综合.

学会整理是指整理知识系统, 重视知识结构, 注意知识间的联系.从纵向按章节整理, 从横向按块整理, 从知识的重难点上下功夫, 力争通过第一轮复习对所学的知识有一个系统的认识与理解.抓基础、成系统是一轮复习的根本所在.

例如, 整理出数学的基本知识要点, 以代数中的“排列组合问题”为例, 它的基本知识方法和基本常用公式如下.

(1) 基本知识方法:分类相加, 分步相乘, 有序排列, 无序组合.解排列组合问题的规律是:相邻问题捆绑法, 不邻问题插空法, 多排问题单排法, 定位问题优先法, 多元问题分类法, 有序分配问题法, 选取问题先排后排法, 至多至少问题间接法等.

(2) 基本常用公式:

排列数与组合数的关系是:

组合数性质公式:

二项式定理公式:

二项展开式的通项公式:

突破综合是指在复习时要能处理学科内的小综合 (如函数、不等式、方程、数列的小综合, 向量和三角函数的小综合等) , 在此基础上也要会对学科内的大综合进行处理 (如代数、几何、三角间的大综合, 甚至与化学、物理相结合的跨学科综合等) .综合性的题目其设问的编排也往往是由浅入深.在日常学习中, 应重视课本, 重视基础知识, 强调基本技能的训练和自己做错的错题的收集整理, 通过一轮复习对复习的知识有一个系统的认识和初步学会解决综合性 (知识的交汇性) 问题.

1. 学科内的小综合

(1) 函数与方程、不等式的综合.

例1对于函数有真命题:f (x) 在区间[m, n] (m

(1) 求实数a的取值范围A;

(2) 设关于x的方程的两根为x1, x2, 问是否存在实数p, 使得对任意的a∈A及t∈[-1, 1], 不等式p2+tp+1≥|x1-x2|恒成立?若存在, 求出p的取值范围, 否则说明理由.

分析:此题是一个不等式与函数相结合的恒成立问题, 化解的关键是将不等式中的变量分离, 以避免繁复的讨论;此题的第二个问题还涉及到集合、方程等知识, 综合性较高, 化解时要注意正确进行转化与计算, 如韦达定理、利用函数的单调性求值域问题、等价转化问题等知识.

解: (1) 因f (x) 在[-1, 1]上是递增函数, 它成立的充要条件是x2-ax-2≤0对于任意的x∈[-1, 1]恒成立.

采用分离系数法, 可得:若x=0, 则a∈R;若x>0, 则而在 (0, 1]上是递增函数, 的最大值为-1, 所以a≥-1;若x<0, 则而在[-1, 0) 上是递增函数, 的最小值为1, 所以a≤1.这样结合以上三种情况, 取交集可得a∈[-1, 1], 即A=[-1, 1].

(2) 由题意关于x的方程可化为即x2-ax-2=0, 因a∈[-1, 1], 结合韦达定理, 可得因此不等式p2+tp+1≥|x1-x2|恒成立, 即指p2+tp+1≥3恒成立, 这里可采用分离变量求系数, 即可化为tp≥2-p2, t∈[-1, 1], 若p=0, 则不成立;若p>0, 则因t∈[-1, 1], 即可得p2-p-2≥0, 所以p≥2.若p<0, 则因t∈[-1, 1], 即可得p2+p-2≥0, 所以p≤-2.这样结合以上三种情况, 可得{p|p≥2或p≤-2}.

【点评】此题是一个典型的不等式与函数恒成立问题相结合的题型, 这个题的两个小题变量分离后的处理方法又各不一样, 第 (1) 问是已知二次函数变量x取值范围, 求参数a的范围;第 (2) 问是已知参数t的范围, 求二次函数变量p的范围, 然后处理的原理一样, 就是采用g (x) ≤a (包括g (x) ≥a) 恒成立问题, 通过转化为a≥g (x) (或g≤f (x) ) 来求g (x) 的最大值 (或最小值) 的方法.

(2) 函数与导数的综合.

例2已知函数在上是单调函数, 求实数a的取值范围.

分析:此题要求参数a的取值范围, 关键是列出函数f (x) 单调时需要满足的条件, 若用二次函数的图象分析解之, 则不可避免需要烦锁的讨论, 因增加解题步骤, 也会增加解题的出错率.因此此题宜先求导, 然后分离系数, 再求最值, 当然因单调有两种情况, 需要讨论分析.

解:因对函数f (x) 求导可得:

若函数f (x) 单调递增, 则f′ (x) ≥0, 也即-ax2+4x-a≥0恒成立,

若函数f (x) 单调递减, 则f′ (x) ≤0, 也即-ax2+4x-a≤0恒成立, 则分离系数可得

【点评】此题若采用二次函数图象用分类讨论解, 则需对二次函数的对称轴进行讨论, 还需对单调性进行讨论, 也需对二次项系数a进行讨论, 至少需要进行三级讨论, 运算时肯定较烦琐.若采用分离系数法解之, 则避免了二级讨论, 而且使解法简洁明了, 优势不言自明.

2. 学科内的大综合

(1) 解析几何与三角函数.

例3已知平面上点P∈{ (x, y) | (x-2cosα) 2+ (y-2sinα) 2=16 (α∈R) , 则满足条件的点P在平面上所组成图形的面积是 () .

(A) 36π (B) 32π

(C) 16π (D) 4π

分析:此题是一个解析几何中的圆与代数中的三角函数、集合等知识相交汇的问题, 解题时需要“动”、“静”结合, 综合性要求较高.

解:如图1, 点P的轨迹是一个环带区域, 面积是大圆面积减去小圆面积, 即S=π× (4+2) 2-π×22=32π.

【点评】此题解答的关键是以形助数, 数形结合, 一“动”一“静”显示运动轨迹, 在解题时要充分注意数形结合的作用和集合所表示的意义.

(2) 平面向量与解析几何的综合.

例4 (2010年嘉兴二模) 设F是椭圆的左焦点, 直线l为对应的准线, 直线l与x轴交于P点, MN为椭圆的长轴, 已知且求椭圆的标准方程.

分析:平面向量与圆锥曲线结合的题目, 关键是确定点的坐标、位置, 以通过平面向量得出他们的几何关系或建立方程, 从而达到向量关系与坐标关系的互译.

所以c=2, b2=a2-c2=12.

【点评】此题是平面向量与圆锥曲线相结合的一个典型问题, 通过平面向量的载体, 清楚地表达了圆锥曲线的基本关系.解题的关键是充分利用平面向量的坐标式或几何意义, 以架起圆锥曲线与平面向量之间的桥梁.

(2) 方程与线性规划的综合.

例5 (2010年金丽衢二模) 若方程x2+ (1+a) x+1+a+b=0的两根分别为椭圆、双曲线的离心率, 则的取值范围是 () .

分析:此题初看是一个解析几何问题, 再看是一个不等式问题, 即两根分别取 (0, 1) , (1, +∞) , 结合图象得到一个二次函数图, 如图2所示, 则可得f (0) >0, f (1) <0, 然后通过不等式的放缩也可得出正确答案.但采用不等式放缩法, 操作与理解都有很大困难, 此题若构造一个线性规划, 便可轻松解答.

解:此题初看是一个解析几何问题, 实际上是一个不等式问题, 即两根分别取 (0, 1) , (1, +∞) , 结合图象得到一个二次函数图, 如图2所示, 则可得f (0) >0, f (1) <0, 这时考虑到两个不等式等条件, 构造出线性规划方案, 列出线性条件画出线性区域, 如图3, 解方程组得出点A坐标, A (-2, 1) , 则即表示阴影区域内的点与原点连线的斜率的取值范围, 故则选A.

【点评】此题是一个典型的不等式问题, 但若采用不等式的放缩法求解, 会造成思路难以形成, 解题缺少方向等困难, 从而增加解题难度.若构造一个线性规划问题, 结合规则问题中的斜率求法, 此题不但解题方向明确, 而且步骤清晰, 结果明了.

第一轮复习时, 学生往往去背课本定理、公式和法则, 而不重视知识发生发展的过程;解选择题只重答案, 不重视推理过程;对解答题往往选型对号, 然后去模仿一个解答, 这是学生学习中的通病, 不克服, 不能真正学好数学.在系统复习各章节的知识时要注重复习知识发生发展的过程, 从过程中发现“联系”, 提炼“思想”;解题时要重视推理过程, 特别在理解上下功夫.

二、应用创新, 强化能力, 是二轮复习的核心

在一轮复习时, 学生要在数学问题的提出、分析和解决过程中, 亲历数学问题的发现过程、探索过程, 解决问题的方法过程和问题结论的深化过程.通过主动的探索, 在数学的思维活动中逐步提高数学能力, 形成创新意识.因此, 应用创新、强化能力是第二轮复习的核心所在.

数学第二轮复习时还是要做相当数量的题目, 但要明确, 做题不是目的, 做题的目的在于通过做题加深对知识的理解, 在理解的基础上总结规律和经验, 形成理性认识, 进一步概括形成数学思想;在解题实践中要学会创新, 锤炼思想, 在运用中加深理解, 如此循环往复, 解题能力会得到综合提高.高考是能力型考试, 它不仅要求考查学生对高阶段数学知识的掌握情况, 而且以这些知识为材料, 还要考查学生运用知识和方法的学科能力和一般能力, 因此要强化能力训练.

(1) 创新型问题分为几种, 常见的有解析式创新、自定义创新、常见结论的创新等.在此列出几种结论的创新.

结论1:已知圆x2+y2=r2, 圆上有一点P (x0, y0) , 则以点P (x0, y0) 为切点的切线方程xx0+yy0=r2.

结论2:已知双曲线双曲线上有一点P (x0, y0) , 则以点P (x0, y0) 为切点的切线方程为

结论3;已知椭圆椭圆上有一点P (x0, y0) , 则以点P (x0, y0) 为切点的切线方程为

结论4:已知抛物线y2=2px, 抛物线上有一点P (x0, y0) , 则以点P (x0, y0) 为切点的切线方程为yy0=px0+px.

通过对圆锥曲线切线公式的研究, 一方面推证了一个实用的结论, 另一方面也体味到了数学中的和谐美.切线公式均由原曲线方程变形得到, 一半变量变一半变量不变, 既保留了原味, 又体现了创新, 动静结合, 妙趣横生.

(2) 能力型问题一般分为构造型问题和存在型问题.

存在型问题能力要求比较高, 需要有扎实的基础和熟练的解题技巧和方法, 对于是否存在要以存在时求之, 当然也要对求得的值进行检验和分析, 以得出正确的结论.

强化能力, 没有良好的训练, 是难以实现的.数学能力的培养、发展和形成是伴随着数学知识的形成与发展的, 在训练中, 要克服重视结果、轻视过程的倾向, 避免大量重复练习的“题海”战术, 要精选习题、注意分析、重视解题过程、总结规律, 使数学能力在知识的积累, 形成系统化和网络化的过程中得到大幅度提高和发展.强化能力, 学会解题, 这是一轮复习的核心所在.