一道高中函数数学题

一道高中函数数学题（17篇）

1.一道高中函数数学题 篇一

教学目标

1、通过对幂函数概念的学习以及对幂函数图像和性质的归纳与概括，让学生体验数学概念的形成过程，培养学生的抽象概括能力。

2、使学生理解并掌握幂函数的图像与性质，并能初步运用所学知识解决有关问题，培养学生的灵活思维能力。

教学难点

幂函数图像和性质的发现过程

教学重点

幂函数的性质及运用

教学过程

一、教学导入

数学和日常生活是密不可分的，观察下列问题中的函数个有什么共同特征?

(1)如果李斯在超市买了每支1元的水笔n(支)，那么他应支付p=n元。这里p是n的函数。

(2)如果正方形的边长a，那么正方形的面积为S=a2 ，这里S是a的函数。

(3)如果立方体的边长a，那么立方体的体积为V=a3 ，这里V是a的函数。

(4)如果正方形的面积为S，那么这个正方形的边长为a=S ，这里a是S的函数。

(5)如果壮壮t(s)内骑车行进了1(km)，那么他骑车的平均速度为v=t-1 ( )，这里v是t的函数。

由学生讨论，总结，即可得出：p=n，S=a2 ，V=a3 ，a=S ，v=t-1 都是自变量的若干次幂的形式。

这节课，我们将来共同学习另一种函数——幂函数(老师板书课题)

二、讲授新课

1、定义：一般地，函数y=xa 叫做幂函数，其中x是自变量，a是实常数。

判断一个函数是否是幂函数?注意：①是否为幂的形式;②自变量是幂的底数，指数可以是任意实数。

例1、(1)y=xa 与y=ax 一样吗?

(2)在函数y=x+2，y=1，y=x2+x，y=2x2+3，y= 中，哪几个函数是幂函数?

(3)已知幂函数y=f(x)的图像过点(2， )，试求出这个函数的解析式。

三、课外作业

P49习题2—5 A组 1、2

教学后记

本节课主要从五个具体幂函数中认识幂函数的一些性质，画五个幂函数的图像并由图像概括其性质是教学中可能遇到的困难，所以要注意引导学生亲自动手画图像、分组讨论等形式，让学生自己去探究，把主动权交给学生。

2.一道高中函数数学题 篇二

这是一道三角函数综合题，涉及三角函数同角之间的关系、三角恒等变换、正余弦定理的使用(如边角互化)、解析几何的解题思想等．入手并不困难，但对转化过程的思维要求较高，本题希望通过“抛砖引玉”的形式进行交流与探讨，提高思维的灵活性与广阔性，并根据解题结果对教学方法进行反思．

一、解法探究

思路1:因为面积可以选用，故学生会想到把角转化成边来处理．

所以2sin Bcos C=3sin Ccos B，由正弦和余弦定理得:

所以，所以△ABC的面积最大值为.

思路2:学生在边角转化的过程中，适当保留一部分边角，不完全转化，再把面积公式转化到角上去，简化了过程．

解法2:由题可得:因为，所以2tan B=3tan C，所以．所以2sin Bcos C=3sin Ccos B，所以2bcos C

当且仅当时取等号，所以△ABC的面积最大值为.

注:关于等式a=bcos C+ccos B的证明可以用余弦定理证明，也可以由sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C，从而再由正弦定理可得;

思路3:把正切的问题转化成边的问题，考虑直角三角形中边角关系，用k来沟通边之间的关系．

思路4:通过建系的方法来处理，从而把问题代数化．可能利用正切与斜率的关系来处理．

所以△ABC的面积最大值为.

思路5:用解法1中得到的结果，在过程中进行建系，也能达到转化的目的．

所以2a2+2b2-2c2=3a2+3c2-3b2，所以a2=5b2-5.

3.一道高中函数数学题 篇三

笔者把这一道题目放进了学校的数学竞赛辅导课上，经过学生精彩的讨论、认真的探究，得到了其它的解法，并推导了一系列的结论.

1. 启发探究

笔者先把该题目呈现出来，几分钟后，不少学生都想到了类似组委会提供的解法.

4. 教后感悟

有效地实现数学思维活动教学的前提条件是学生的主动参与，因此教师在教学过程中，应避免满堂灌，要尊重学生思维活动过程，让其问题暴露出来，尽管可能是走弯路甚至是错误的.教师提供机会让其表达出来后，才能使他们感觉到被尊重，他们才愿意参与探究.有研究表明，高中阶段的学生主要是以理论型为主的抽象逻辑思维.这给我们启示：既不要低估学生的能力，也不必过高地估计，而要正确把握学生能力的“最近发展区”来提出问题.先让学生尝试，看能否解决它.然后再将问题进行变式探究，问题可以是横向的，拓展题目的宽度，亦可以是纵向的，挖掘题目的深度，不能就题论题，否则就会从此错过精彩.

4.函数是高中数学的主线 篇四

一是考查二次函数、不等式以及函数的最值问题.对于二次函数，高考有着较高的考查要求，应熟练掌握二次函数及其有关问题的解法.在研究函数的单调性以及最值问题时，要善于运用基本不等式以及函数的单调性进行求解.二是考查函数的图像问题，这是高考考查的热点题型，其特点是给出函数图象，求函数解析式或确定其中的参数取值范围.解决这类问题时，要善于根据函数图象分析研究函数的性质，从定义域、值域、对称性、单调性、经过的特殊点等方面获取函数的性质，从而确定函数的解析式或其中的参数取值范围.三是考查导数的几何意义，这是高考对导数考查的一个重要内容和热点内容，涉及曲线的切线问题都可考虑利用导数的几何意义解决，求解这类问题时，要始终以“切点”为核心，并注意对问题进行转化.四是考查分段函数、函数的单调性以及分类讨论思想，这些都是高考的重要考点.五是考查函数、导数、不等式的综合问题是近几年高考的一个热点题型，这类问题以“参数处理”为主要特征，以“导数运用”为主要手段，以“函数的单调性、极值、最值”为结合点，往往涉及到函数、导数、不等式、方程等多方面的知识，需要综合运用等价转换、分类讨论、数形结合等重要数学思想方法.三角函数在高考中的要求较低，解答题作为第一个题，是绝大多数考生应该得分的一个题。但也有一些考生没有得分或者得分不全，主要有以下几个原因：

一、公式不熟或者不能灵活运用。三角函数的考查主要是公式的考查，不能熟记公式或不能灵活运用公式都将是我们失分的主要原因。

二、方法不能完全到位。在任何一个章节和单元，都有其独特的方法，若不能很好地运用，也将使学生失去主动得分的机会，因此平常训练时要留意。

5.高中数学幂函数教案设计 篇五

教学目标：

1、掌握幂函数的概念;熟悉α=1，2，3，?， -1时的1幂函数的图象和性质;能利用幂函数的性质 解决实际问题。

2、通过学生对情境的观察、思考、归纳、总结形成结论，培养学生的发现问题，解决问题的力。

二、教学重难点：

重点：幂函数的定义，图象与性质。

难点：幂函数的图象与性质。

三、教学准备：

教师：将幂函数 图象提前画在小黑板上。

四、教学导图：

情境引入 函数的概念幂 课堂练习

画出α=1，2，3，?，-1图象

师生交流归纳出五个具体幂函数的性质

课堂练习例题分析 课堂小结 课后作业

教学设计

教学过程：

(一)教学内容：幂函数概念的引入。

设计意图：从学生熟悉的背景出发，为抽象出幂函数的概念做准备。这样，既可以让学生体会到幂函数来自于生活，又可以通过对这些案例的观察、归纳、概括、总结出幂函数的一般概念，培养学生发现问题、解决问题的能力。

师生活动：

教师：前面我们学习了指数函数与对数函数，这两类描述客观世界变化规律的数学模型。但是同学们知道，不是所有的客观世界变化规律都能用这两种数学模型来描述。今天，我们将学习新的一类描述客观世界变换规律的数学模型，也就是本书二点三节的幂函数。首先我们来看这样几个实际问题。第一个问题，如果老师现在准备购买单价为每千克1元的蔬菜W千克，老师总共需要花的钱P是多少?

教师：非常好，老师总共需要花的钱P=W。第二个问题，如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S等于多少?

教师：回答的非常正确。面积S= . 下面的问题都很简单，请同学们跟上老师的思路。第三个问题，如果正方体的边长为a，那么他的体积V等于多少了?

教师：对。正方体的体积V= 。第四个问题，如果已知一个正方形面积等于S，那么这个正方形边长a等于多少了?

教师：非常正确。通过前面对指数幂的学习，根式与分数指数幂是可以相互转换的，所以根号下S就等于S的二分之一次方。那么我们的边长a= 。最后一个问题，认真听，某人 内骑自行车行进了1KM，那他的平均速度v等于多少?

教师：回答非常正确。因为我们知道v×t=s

所以v= = 。好，现在我们一起来观察黑板上这五个具体表达式，我们可以看出第一个表达式中P是W的函数，那第二个表达式了?

教师：非常好，第三个表达式了?

教师：第四个表达式了?

教师：第五个了?

教师：大家回答得非常正确。如果将上面的函数自变量全用x代替，函数值全用y来代替，那么我们可以得到第一个表达式为。。。。。。

教师：第二个表达式?

教师：第三个表达式?

教师：第四个表达式?

教师： 第五个表达式?

教师：回答的非常好。那现在请同学们仔细观察老师用x，y写成的这五个函数它们有哪些共同特征。等一下请同学起来给大家分享一下你观察的结果。给大家一分钟时间思考。(一分钟后。。。)有那个同学主动给大家分享一下你得出哪些共同特征?

教师：还有其他的共同特征吗?

教师：同学们都回答的非常正确哈。以后了我们就把具有这样性质的函数叫做幂函数。现在我们来给幂函数下个确的定义。一般的，他形如 的函数叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数。同学们一定要注意，幂函数与前面学习的指数函数对数函数一样，都是形式化 定义，必须具有定义所给的形式，才能叫做幂函数，否者都不是幂函数。

(二)教学内容： 幂函数与指数函数的区别与联系。

设计意图：巩固幂函数的概念，让学生回顾前面学过的幂函数的特例，较少陌生感，并且用联系的观点，让学生比较幂函数与指数函数的区别，从而加深对幂函数概念的的理解与掌握。

师生活动：

教师：有的同学已经发现，今天学习的幂函数与前面学习的指数函数形式上有些相似，但是老师高手你们她们两个函数有着本质的区别。黑板上已经有五个幂函数的具体例子，请同学们说几个前面学习过的指数函数的例子。

教师：非常好。还有其他的吗?

教师：那现在我们通过观察黑板上的例子找到这两个函数本质上的区别与联系.同学们发现了吗?她们有哪些相同点?哪些不同点?

教师：不同了?

教师：回答非常正确哈。所以同学们一定不要混淆了这两类函数，记清楚那个函数的自变量在底数，那个函数的自变量在指数。我们已经明确给出了幂函数的定义，并且却别了幂函数与指数函数。现在我们来做一个练习。

(三)教学内容：课堂练习

设计意图：进一步巩固幂函数概念的理解.

师生活动：

教师： 练习，判断下列函数是否为幂函数 。请同学么能严格按照定义，自己动手做一下这几个题目。好。。。第一个是幂函数吗?

教师：为什么了?

教师：非常正确，第二个?

教师：很好，第三个了?

教师：到底是还不是?好好根据定义判断，也不要忘了形式间的等价转换。

教师：对的，它是一个幂函数，因为我们知道 ，所以根据定义就是一个幂函数。第四个了?

6.高中数学幂函数测试题 篇六

一、选择题

1、等于

A.- B.- C. D.

2、已知函数f(x)= 则f(2+log23)的 值为

A. B. C. D.

3、在f1(x)=x ，f2(x)=x2，f3(x)=2x，f4(x)=log x四个函数中，x1>x2>1时，能使 [f(x1)+f(x2)]

A .f1(x)=x B.f2(x)=x2C.f3(x)=2x D.f4(x)=log x

4、若函数y (2-log2x)的值域是(-,0),那么它的定义域是( )

A.(0,2)B.(2,4)C.(0,4)D.(0,1)

5、下列函数中，值域为R+的是

(A)y=5 (B)y=( )1-x(C)y= (D)y=

6、下列关系中正确的是()

(A)( ) ( ) ( ) (B)( ) ( ) ( )

(C)( ) ( ) ( ) (D)( ) ( ) ( )

7、设f:xy=2x是AB的映射，已知集合B={0,1,2,3,4},则A满足()

A.A={1，2，4，8，16} B.A={0，1，2，log23}

C.A {0,1,2,log23} D.不存在满足条件的集合

8、已知命题p：函数 的值域为R，命题q：函数

是减函数。若p或q为真命题，p且q为假命题，则实数a的取值范围是

A.a1 B.a2 C.12 D.a1或a2

9、已知函数f(x)=x2+lg(x+ ),若f(a)=M,则f(-a)=

A2a2-MBM-2a2C2M-a2Da2-2M

10、若函数 的图象与x轴有公共点，则m的取值范围是()

A.m-1 B.-10 C.m1 D.01

11、方程 的根的情况是 ()

A.仅有一根 B.有两个正根

C.有一正根和一个负根 D.有两个负根

12、若方程 有解，则a的取值范围是 ()

A.a0或a-8 B.a0

C. D.

二、填空题：

13、已知f(x)的定义域为[0，1]，则函数y=f[log (3-x)]的定义域是__________.

14、若函数f(x)=lg(x2+ax-a-1)在区间[2,+]上单调递增,则实数a的`取值范围是_________.

15、已知

.

16、设函数 的x取值范围.范围是。

三、解答题

17、若f(x)=x2-x+b，且f(log2a)=b，log2[f(a)]=2(a1).

(1)求f(log2x)的最小值及对应的x值;

(2)x取何值时，f(log2x)>f(1)且log2[f(x)]

18、已知函数f(x)=3x+k(k为常数)，A(-2k，2)是函数y=f-1(x)图象上的点.

(1)求实数k的值及函数f-1(x)的解析式;

(2)将y=f-1(x)的图象按向量a=(3，0)平移，得到函数y=g(x)的图象，若2f-1(x+ -3)-g(x)1恒成立，试求实数m的取值范围.

19、已知函数y= (a2x) ( )(24)的最大值为0，最小值为- ，求a的值.

20、已知函数 ，

(1)讨论 的奇偶性与单调性;

(2)若不等式 的解集为 的值;

(3)求 的反函数 ;

(4)若 ，解关于 的不等式 R).

21、定义在R上的单调函数f(x)满足f(3)=log 3且对任意x，yR都有f(x+y)=f(x)+f(y).

(1)求证f(x)为奇函数;

(2)若f(k3 )+f(3 -9 -2)<0对任意xR恒成立，求实数k的取值范围.

22、定义在R上的函数f(x)是最小正周期为2的奇函数,且当x(0,1)时,

f(x)= .

(Ⅰ)求f(x)在[-1,1]上的解析式;(Ⅱ)证明f(x)在(0,1)上时减函数;

(Ⅲ)当取何值 时,方程f(x)=在[-1,1]上有解?

[来源:学+科+网Z+X+X+K]

参考答案：

1、解析：=a (-a) =-(-a) =-(-a) .

答案：A

2、解析：∵3<2+log23<4，3+log23>4，

f(2+log23)=f(3+log23)=( )3+log23= .

答案：D

3、解析：由图形可直观得到：只有f1(x)=x 为“上凸”的函数.

答案：A

4、解析:∵y= (2-log2x)的值域是(-,0),

由 (2-log2x)0,得2-log2x1.

log2x1.02.故选A.

答案:A

5、B

6、解析：由于幂函数y= 在(0，+ )递增，因此( ) ( ) ，又指数函数y= 递减，因此( ) ( ) ，依不等式传递性可得：

答案:D

7、C

8、命题p为真时，即真数部分能够取到大于零的 所有实数，故二次函数 的判别式 ，从而 ;命题q为真时， 。

若p或q为真命题，p且q为假命题，故p和q中只有一个是真命题，一个是假命题。

若p为真，q为假时，无解;若p为假，q为真时 ，结果为12，故选C.

9、A

10、B

[解析]： ，画图象可知-10

11、C

[解析]：采用数 形结 合的办法，画出图象就知。

12、解析：方程 有解，等价于求 的值域∵，则a的取值范围为

答案：D

13、解析：由0log (3-x)1 log 1log (3-x)log

3-xx .

答案：[2， ]

14、- 2,且x=2时,x2+ax-a-1>0答案:(-3,+)

15、8

16、由于 是增函数， 等价于 ①

1)当 时， ， ①式恒成立。

2)当 时， ，①式化为 ，即

3)当 时， ，①式无解

综上 的取值范围是

17、解：(1)∵f(x)=x2-x+b，f(log2a)=log22a-log2a+b.由已知有log22a-log2a+b=b，

(log2a-1)log2a=0.∵a1，log2a=1.a=2.又log2[f(a)]=2，f(a)=4.

a2-a+b=4，b=4-a2+a=2.

故f(x)=x2-x+2，从而f(log2x)=log22x-log2x+2=(log2x- )2+ .

当log2x= 即x= 时，f(log2x)有最小值 .

(2)由题意 0

18、解：(1)∵A(-2k，2)是函数y=f-1(x)图象上的点，

B(2，-2k)是函数y=f(x)上的点.

-2k=32+k.k=-3.

f(x)=3x-3.

y=f-1(x)=log3(x+3)(x>-3).

(2)将y=f-1(x)的图象按向量a=(3，0)平移，得到函数y=g(x)=log3x(x>0)，要使2f-1(x+ -3)-g(x)1恒成立，即使2log3(x+ )-log3x1恒成立，所以有x+ +2 3在x>0时恒成立，只要(x+ +2 )min3.

又x+ 2 (当且仅当x= ，即x= 时等号成立)，(x+ +2 )min=4 ，即4 3.m .

19、y= (a2x)loga2( )=-loga(a2x)[- loga(ax)]

= (2+logax)(1+logax)= (logax+ )2- ,

∵24且- 0,logax+ =0,即x= 时，ymin=- .

∵x1, a1.

又∵y的最大值为0时，logax+2=0或logax+1=0,

即x= 或x= . =4或 =2.

又∵01,a= .

20、(1) 定义域为 为奇函数;

，求导得 ，

①当 时， 在定义域内为增函数;

②当 时， 在定义域内为减函数;

(2)①当 时，∵ 在定义域内 为增函数且为奇函数，

;

②当 在定义域内为减函数且为奇函数，

;

(3)

R);

(4) ，

;①当 时，不等式解集为 R;

②当 时，得 ，

不等式的解集为 ;

③当

21、(1)证明：f(x+y)=f(x)+f(y)(x，yR)，①

令x=y=0，代入①式，得f(0+0)=f(0)+f(0)，即f(0)=0.

令y=-x，代入①式，得f(x-x)=f(x)+f(-x)，又f(0)=0，则有

0=f(x)+f(-x).即f(-x)=-f(x)对任意xR成立，所以f(x)是奇函数.

(2)解：f(3)=log 3>0，即f(3)>f(0)，又f(x)在R上是单调函数，所以f(x)在R上是增函数，又由(1)f(x)是奇函数.

f(k3 )<-f(3 -9 -2)=f(-3 +9 +2)，k3 <-3 +9 +2，

3 -(1+k)3 +2>0对任意xR成立.

令t=3 >0，问题等价于t -(1+k)t+2>0对任意t>0恒成立.

22、 (Ⅰ)解:当x(-1,0)时,-x(0,1).∵当x(0,1)时,f(x)= .

f(-x)= .又f(x)是奇函数,f(-x)=-f(x)= .f(x)=- .

∵f(-0)=-f(0),f(0)=0.又f(x)是最小正周期为2的函数,对任意的x有f(x+2)=f(x).

f( -1)=f(-1+2)=f(1).另一面f(-1)=-f(1),-f(1)=f(1).f(1)=f(-1)=0.f(x)在[-1,1]上的解析式为

f(x)= .

(Ⅱ)对任意的0x21,f(x1)-f(x2)= - = = = 0,因此f(x)在(0,1)上时减函数;

(Ⅲ)在[-1,1]上使方程f(x)=有解的的 取值范围就是函数f(x)在[-1,1]上的值域.当x(-1,0)时,2 ,即2 . f(x)=.又f(x)是奇函数,f(x)在(-1,0)上 也是减函数,当x(-1,0)时有- f(x)=- - .f(x)在[-1,1]上的值域是(- ,- ){0｝( , ).故当

7.探讨高中数学三角函数教学 篇七

一、三角函数教学困难

1.概念记忆困难

虽说高中生已经具备了学习三角函数的基础, 但很多学生对三角函数的概念还是一知半解, 对各种诱导公式、转换公式的记忆相当模糊.初中的三角函数注重考查学生对有关公式的理解, 而高中的三角函数更多的是考查学生对公式的应用和变形.高中的三角函数教学是从对简单函数的推导和变形开始的, 要求学生有较强的推导能力.如果学生对三角函数的学习仅仅停留在记忆上, 却忽略对三角函数方程式和几何意义的理解, 必然难以学好三角函数.

2.公式推理困难

在高中三角函数教学中, 正弦定理、余弦定理、诱导公式、和差角公式、二倍角公式、三倍角公式、和差 化积公式、积化和差公式等一系列公式的推理给学生带来了巨大的困难.很多学生在做题的过程中, 难以确定具体的公式内容, 自然也就难以学好三角函数.如此众多的公式要求学生准确快速地反应、记忆, 必然是难以实现的, 教师必须寻求高效的公式转换记忆策略.

3.综合运用困难

三角函数的知识已经渗透到高中数学的方方面面, 无论是填空题、计算题还是简答题, 都离不开它的帮助.笔者在长期的三角函数教学中发现, 很多学生难以意识到何时该用三角函数求解, 特别是对于一些隐性的函数问题.此外, 很多学生虽然意识到要用三角函数知识, 却不清楚具体该用哪一类.高中数学对三角函数的考查往往是综合、全面的, 这就要求学生必须熟练掌握各类三角函数的概念、性质、诱导公式等.同时, 三角函数 与向量、几何图形、重要不等式、二次函数等知识也有着密切的联系, 教师必须对学生实施综合的三角函数教学.

二、三角函数教学策略

1.巧施策略, 深化学生记忆

对于三角函数的教学, 首先要保证的是学生对各类三角函数的定义、公 式的记忆.只有学生 记得熟、记得准, 在函数解题中才会更加得心应手.笔者相信, 结合三角形的边角知识对学生进行三角函数定义的教学应该不是问题.笔者在此 将对三角 函数的诱 导公式进 行总结, 为学生提供巧妙的、深刻的记忆方法.

例如, 在三角函数的诱导公式教学 中, 笔者常常 假设一个任意角α, 要求学生掌握这些诱导公式的记忆, 如sin (2kπ) =sinα、tan (2kπ) =tanα等.对于此类公式的记忆, 笔者提出:终边相同的角为同一三角函数.又如, sin (π+α) =-sinα、cos (-α) =cosα、sin (2π-α) = -sinα、sin (π/2+α) =cosα、cos (3π/2+α) =sinα等.因此, 我们得到以下记忆规律.

1奇变偶不变:对于三角函数中的变角kπ/2±α, 当k为奇数时, 需要变换函数类型;当k为偶数时, 函数类型不变.

2符号看象限:诱导公式的正负号是视α为锐角时得到的函数值的正负而定.

3一全正, 二正弦, 三两切, 四余弦:这是用来 记忆各类三角函数在各个象限里的正负号规律.

此外, 对于一系列复杂的三角函数公式 (如:sinα=3sinα-4sin3α、sinαcosβ=1/2[sin (α+β) +sin (α-β) ]等) 、三角函数的半角公式、多倍角公式及和差化积公式等, 我们必须实施推导教学, 将各类三角函数公式的推导过程传授给学生, 使学生在遗忘的情况下, 也可以进行自主推导和验证, 从而达到高效记忆的效果.

2.精选习题, 三角函数解题技巧教学

对于高中三角函 数教学, 大量的训 练是必不 可少的.但是, 教师在对学生进行大量训练的同时, 必须坚持习题精选优化原则.教师在选取三角函数的练习题时, 最好选取一些典 型的高考 真题, 让学生在 练习的过 程中, 体会到高考数学的特点.同时, 注意题目的难度和适用阶段, 实施分段教学, 对学生实施分层布置作业, 切忌一味地追求难度和复杂性.

8.高中数学的函数教学研究 篇八

关键词：函数概念 数学教学

在高中数学教学中，函数内容贯穿整个高中数学的学习，它是高中数学教学的一个重点和难点。高考注重对函数的概念特别是函数思想进行考查，且题型灵活。新教材中对函数知识做了一些增减，作为一名高中数学教师，我们应准确把握函数的教材定位，考点及与其他知识的结合点，提高教学的时效性，指导学生理解函数的本质。

一、重点把握几个重要的概念

1. 函数解析式与定义域。当函数由解析式给出时，其定义域为使解析式有意义的自变量的取值集合；当函数由实际问题给出时，其定义域不仅要使解析式有意义还要满足问题所包含的实际意义。

例如，某单位拟建一座平面图为矩形的污水池，现有材料长100米，求平面图形的面积S与矩形长x的函数解析式？如设矩形的长为x米，那么函数关系式为：S=x（50-x）。似乎没有问题，但如果仔细分析，会发现自变量x的范围没确定，因x有实际含义，不能为负，且面积应为正，故不能取全体实数；所以应补上自变量的范围：0＜x＜50。即：函数关系式为：S=x（50-x）（0＜x＜50）。

可见，在用函数方法解决实际问题时，不仅要注意到自变量的取值要使得解析式有意义，还要注意实际问题隐含的限制。否则，学生做完题，自以为做对了，结果不能得全分。考虑问题全面，可以很好地培养学生解题思维的严密性。

2. 函数单调性与定义域。函数的单调区间是定义域的子集，定义中的两个自变量是相对于单调区间具有任意性，不能用特殊值代替。单调性是函数的一个局部性质，一个函数在不同的区间上可以有不同的单调性。

3. 函数奇偶性与定义域。定义域在数轴上关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要不充分条件，所以判断函数的奇偶性要优先考虑函数的定义域。奇偶函数在对称区间上的单调性为“奇同偶反”。

4. 函数和不等式。函数与不等式的结合紧密，如求函数的定义域，求函数的单调区间，求函数的最值、极值等，都要用到不等式（组）的解法，而不等式本身也是一个难点。在教学中，我们要让学生打好不等式的基础，这样才能为函数学习创造条件。

二、充分调动学生学习函数的积极性，提高课堂效率

在高中函数的教学中，先要了解和掌握学生的基础知识状况，根据教学内容的特点，尽量利用形式多样的教学方法，为学生学习创设一种愉快的情境，遵循学生认知特点，关注不同层次学生掌握知识的情况，让学生体会学懂的喜悦感。如在讲函数图像及性质时，可以让学生先动手画图像，引导学生根据图像观察函数所具有的性质，提问一些动手能力较强的同学。同时，我们还要给回答者足够的时间，对学生回答对的地方要及时予以肯定，进而增强学生信心。

三、运用函数性质，提高分类讨论能力

含有字母参数的问题，要结合函数的意义，对字母的取值进行分类，分类要注意不重不漏。

例：解不等式logm(x+1-m)>1。

解析:由于底数m为参数,所以需分01两类,故原不等式的解集为以下两个不等式组的并集:

(1)00；x+1-m

或(2)m>1；x+1-m>0；x+1-m>m

(1)的解集为{x|m-1

(2)的解集为{x|x>2m-1}。

故当01时,原不等式的解集为{x|x>2m-1}。

四、函数模型及其应用

作为对考生能力和素质的考查，高考加强了对函数的综合应用的考查力度，几种增长型函数模型的应用可能成为今后高考的生长点。函数除了与前述知识的结合外，还可涉及到三角、立体几何、解析几何，甚至呈现于概率知识中，它具有题源丰富、跨学科综合的特点。只有弄清题目的条件，并注意挖掘题目的隐含条件，才能把握问题的主线，明确问题的实质，运用有关知识进行转化。

解答函数模型题一般步骤是:（1）阅读理解材料，读懂题目所叙述的实际问题的意义，领悟其中的数学本质，理顺题目中量与量的位置关系、数量关系，对照自己平时所掌握的数学模型，把实际问题抽象为数学问题。（2）建立函数关系，即根据各个量的关系，建立目标函数。（3）运用函数知识，解决数学问题，得出结论并给出实际问题的结论。

五、关注新教材中幂函数、分段函数的教学

幂函数仅限于五个常见函数，即指数为1、2、3、-1、1/2,应用幂函数知识解题时，强调学生要重视数形结合的数学思想；由题设条件及函数性质作出示意图，再由图像得出进一步的结论，可使问题变得更加简单。

分段函数的对应关系是借助几个不同的表达式来表示的。處理相关问题时，我们首先要确定自变量的值属于哪一个区间，从而选定相应关系式代入计算，特别要注意分段区间端点的取舍。在教学中，教师要让学生接受一个正确的概念，即分段函数是一个函数，只是每一段自变量变化所遵循的规律不同。

总之，高中函数的教学效果取决于教师有效地教和学生有效的学。教师作为学生学习的引领者，应用多种教学方式，如多媒体教学，数学实物模型教学，数形结合教学，图像法教学等，化难为易，由浅入深，帮助学生克服畏难情绪。只有这样，学生才能自觉地用函数思想解题，解题中善于总结一些解题技巧，掌握解题的思维方式，从而做到对函数的有效学习。

（责编 闫祥）

9.反函数高中数学说课稿 篇九

依据教学大纲、考试说明及学生的实际认知情况，设计目标如下：

1、知识与技能：

（1）了解互为反函数的函数图像间的关系，并能利用这一关系，由已知函数的图像作出反函数的图像。

（2）通过由特殊到一般的归纳，培养学生探索问题的能力。

2、过程与方法：由特殊事例出发，由教师引导，学生主动探索得出互为反函数的函数图像间的关系，使学生探索知识的形成过程，本可采用自主探索，引导发现，直观演示等教学方法，同时渗透数形结合思想。

3、情感态度价值观：通过图像的对称变换是学生该授数学的对称美和谐美，激发学生的学习兴趣。

重点难点

根据教学目标，应有一个让学生参与实践，发现规律，总结特点、归纳方法的探索认知过程。特确定：

重点：互为反函数的函数图像间的关系。

难点：发现数学规律。

教学结构

教学过程设计

创设情景，引入新课

1、复习提问反函数的概念。

学生活动学生回答，教师总结

（1）用y表示x

（2）把y当自变量还是函数

提出问题，探究问题

一、画出y=3x-2的图像，并求出反函数。

●引导设问1原函数中的自变量与函数值和反函数中的自变量函数值什么关系？

学生活动学生很容易回答

原函数y=3x-2中反函数中

y:函数x：自变量x:函数y：自变量

●引导设问2在原函数定义域内任给定一个都有唯一的一个与之对应，即在原函数图像上，那么哪一点在反函数图像上？

学因为=3-2成立，所以成立即(,)在反函数图像上。

●引导设问3若连结BG，则BG与y=x什么关系？点B与点G什么关系？为什么？点B再换一个位置行吗？

学生活动学生根据图形很容易得出y=x垂直平分BG，点B与点G关于y=x对称。学生证法可能有OB=OG,BD=GD等。

▲教师引导教师用几何花板，就上面的`问题追随学生的思路演示当在y=3x-2图像变化时(,)也随之变化但始终有两点关于y=x对称。

●引导设问4若不求反函数，你能画出y=3x-2的反函数的图像吗？怎么画？

学生活动有了前面的铺垫学生很容易想到只要找出点G的两个位置便可以画出反函数的图像。

●引导设问5上题中原函数与反函数的图像，这两条直线什么关系？

学生活动由前面容易得出（关于y=x对称）

●引导设问6若把当作原函数的图像，那么它的反函数图像是谁？

学生活动由图中可以看出关于y=x相互对称所以他的反函数图像应是，另外由上节课原函数与反函数互为反函数也可得。

●引导设问7以上是一个特殊的函数，图像为直线，若对一个一般的函数图像你能根据上题的原理画出反函数的图像吗？如图是的图像，请你猜想出它的反函数图像。

学生活动由上题学生不难得出做y=x的对称图像（教师配合动画演示）

●引导设问8通过上面的两个问题我们可以得出原函数图像与反函数图像有什么关系？

▲学生总结，教师补充结论

（1）一个函数若存在反函数则原函数和反函数的图像关于y=x这条直线对称。

（2）一个函数若存在反函数则这两个函数许违反寒暑，若把其中一个图像当作原函数图像则另一个图象便是反函数图像。

习题精炼，深化概念

●引导设问9根据图像判断函数有没有反函数？为什么？对自变量加上什么条件才能有反函数？

学生活动学生从图中可以发现在原函数中可以有两个不等的自变量与同一个y相对应，当我们用y表示x后，对一个y会有两个x与之对应，所以应加上自变量的范围，使得原函数是从定义域到值域的一一映射。如：加上x>0;x<0;x等等

●引导设问10什么样的函数具有反函数？

▲教师引导学生总结如果一个函数图像关于y=x对称后还能成为一个函数的图像，那么这个函数就有反函数，这个图像就是反函数的图像。这与反函数定义相对应。即定义域到值域的一一映射，这样的函数具有反函数，而单调函数具备这个特点，所以单调函数一定有反函数。

●引导设问11通过上图我们发现保留图像的单调增(减)的部分，那么它的反函数也为单调增（减）的。在看一下前面的几个例子你能得到什么样的结论？

学生活动通过观察学生容易得到“单调函数的反函数与原函数的单调性一致”然后教师进一步追问为什么？（由前面我们知道若一个函数存在反函数则x与y之间是一个对一个的关系，而原函数是增函数即x越大y也越大，当然y越大x也越大。）

●引导设问12由图中原函数的图像作出反函数的图像，并回答原函数的定义域值域与反函数的定义域值域有什么关系？

学生活动由上面结论很容易做出通过图形的样式使学生进一步认识到原函数的定义域值域是反函数的值域定义域。

总结反思，纳入系统：

内容总结：

1、在原函数图像上，那么(,)在反函数图像上。

2、与(,)关于y=x对称。

3、原函数和反函数的图像关于y=x这条直线对称。

思想总结：

由特殊到一般的思想，数形结合的思想

布置作业，承上启下

10.一道高中函数数学题 篇十

标题的后给出，让学生在经历整个探索过程后，还回味在探索，发现的成功喜悦中，猛然回头，哦，原来知识点已经轻松掌握，同时也是对本节课内容的小结.

(六)概括升华

三角函数的诱导公式口诀：即“奇变偶不变，符号看象限”.

设计意图

简便记忆公式.

(七)练习强化

求下列三角函数的值：(1)sin(-1000 ); (2)cos(-20400).

设计意图

本练习的设置重点体现一题多解，让学生不仅学会灵活运用应用三角函数的诱导公式，还能养成灵活处理问题的良好习惯.这里还要给学生指出课本中的“负角”化为“正角”是针对具体负角而言的.

学生练习

化简：(例题)

设计意图

重点加强对三角函数的诱导公式的综合应用.

(八)小结

1.小结使用诱导公式化简任意角的三角函数为锐角的步骤.

2.体会数形结合、对称、化归的思想.

3.“学会”学习的习惯.

(九)作业

1.课本P-27,第1,2,3小题;

2.附加课外题 略.

设计意图

加强学生对三角函数的诱导公式的记忆及灵活应用，附加题的设置有利于有能力的同学“更上一楼”.

11.如何提高高中数学函数教学效率 篇十一

【关键词】高中函数 教学效率 主动自主学习 概念本质理解

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2016）02-0147-02

在很多人眼中数学不仅抽象并难以理解，也没有什么实际作用。大部分学生都只是将数学作为一门考试科目来学习，死记公式，找解题技巧，套用例题，所学数学知识完全是用来应付考试，并没有真正体会到数学的魅力。这有一个很重要的原因就是老师和同学一样，在这个以分数，成绩为衡量学生好坏的主要标准的社会，忽略了数学学习的乐趣，只是教给学生抽象的内容，照搬课本，套用经典题目的解题技巧。这样对学生学习数学并没有很大帮助，因为只有理解并真正有了兴趣，学习才有乐趣，才能提高效率，激起学生的学习动力。

一、重视扎实的基础，由浅入深

很多同学在初中时学习的游刃有余，但进入高中之后，心理压力增大，课程内容不仅增加，知识学习的难度也更大，因此学习状态并不让人满意，加之与之前初中相对比，心里容易产生波动。而教师应该对学生的学习以及生活状态做到充分的了解，对其初中所学知识进行复习和巩固，帮助学生搭建初高中知识直接连接的桥梁，并有足够的耐心对其学习上遇到的问题给予帮助和鼓励。

在学习新知识的同时，对已学内容要进行复习，为以后的学习打下扎实基础，养成良好习惯。函数是从常量到变量的转变，因此学生要打破原有的思维定势。遇到知识难点时，对学生加以引导，使其能循序渐进的理解。数学教学的一大基础就是概念，教师应该让学生对函数的定义和概念有深刻的理解，进而更好地学习和运用函数。虽然学生在初中已对函数有了一定接触，这是不够的，这就需要在高中教学中对其深入学习，对函数中一些基本概念及其求解方法有一定的掌握，如单调性，求导方法，最值，换元等。老师也需要将抽象的数学形象化，借助图形动画等，加深学生的理解。同时练习题与作业也函数教学中必不可少的一环，对巩固基础知识有很好的作用。

二、联系数学与实际生活，提高学生兴趣

教师对学生的学习只能起到一定的铺垫与引导作用，更重要的是要学生自主学习，主动探究。兴趣是最好的导师，教学需要激发学生对数学的热情与学习动力，并产生学习的乐趣，这样才能使学习效率得以提高，同时也提高了教学的效率。

数学不是枯燥的，抽象的，它有自己独特的魅力。函数作为一个数学模型，可以用来解决生活中很多的实际问题。并不是像有些人说的，买菜还要计算微积分吗？商场的打折促销，公司员工的工作与报酬，甚至彩票等都能用到函数，我们需要考虑函数的单调性，最值以及变化趋势等。

在教学过程中结合生活实际，以生活中常见的现象或问题作为例子，不仅使数学教学变得更有乐趣，也会让学生对抽象的数学问题理解的更透彻，并且印象更加深刻。很多数学家被数学之美所吸引，他们也有各种各样有趣的故事，如果在教学过程中加以引入，不仅能活跃课堂气氛还能对扩展课外知识，提高学生学习热情的同时也使教学效率有了改善。

三、以函数本质为出发点

中国数学家华罗庚说，新的数学方法和概念，常常比解决数学问题本身更重要。函数教学不可忽略其本质，需要学生理解它们的同时灵活运用它们，使学生们建立一个完整的数学思维。学生对函数性质的理解就是从本质上对函数进行学习，从具体问题中提取数学模型，理解函数本质。对事物本质的探究不仅能加深学生对概念本质的理解，还能使其养成良好的思维模式，提高学习效率。

函数不仅在考试中占有很大比重，同时也是数学教学的核心，渗透到了数学和生活中很多领域。一切学习都以兴趣和热情为动力，只有理解并真正有了兴趣，学习才有乐趣，才能提高效率，激起学生的学习动力。要想提高教学效率就要将生活中的实际问题与其结合，从中抽象出数学函数模型，并循序渐进，从难到易，引导学生们自主学习，激发起学习兴趣，提高教学效率。

参考文献：

[1]涂晓勇.新课标下高中数学函数教学之我见[J].速读旬刊， 2014.

[2]高天富.如何提高高中数学函数教学效率策略探讨[J].数理化学习，2014，04期.

[3]陆英英.试论如何提高高中数学函数教学的效率[J].数学学习与研究，2012，23期：133-133.

12.高中数学函数分类讨论解题探析 篇十二

一、高中数学函数分类讨论思想渗入高中数学解题过程的作用

1. 高中数学函数解题教学现状

函数是高中数学的主体内容, 它与高中数学很多内容都密切相关, 通过对函数的研究, 能够认识函数的性质、图象及其初步的应用, 因此函数思想在高中数学解题中的应用就显得尤为重要[1]. 高中数学学科对学生的逻辑思维能力要求较高, 尤其是高中数学知识中的函数知识, 这一部分知识十分抽象, 用明了的数轴来反映出一定的数学规律. 高中数学函数是在初中代数的基础上进行教学的, 这就表明了高中数学函数是代数的升华, 涉及到了函数的增长规律和解的分布规律, 在进行解题的教学过程中, 要帮助学生能够寻找到数轴的规律, 让学生更加全面的寻找到函数问题的结果.因此, 想要做好高中数学函数解题教学工作, 不仅仅要帮助学生树立良好的理科思维体系基础, 还要帮助学生形成深度剖析函数习题规律, 勤加练习函数习题的学习习惯. 但是, 在目前的高中数学函数解题教学过程中, 往往存在着数学教师的函数解题方法不够系统的情况, 这就导致高中数学教学过程只是单纯的沦为公式的背诵过程, 学生面对稍有难度的数学函数习题往往一筹莫展. 针对这样的情况, 就需要在对高中数学函数解题教学现状的总结基础上, 寻找出相应的改进手段.

2. 高中数学函数分类讨论思想渗入高中数学解题过程作用

面对新时期教育部门提出的课程标准, 数学教育必须进行多方面的调整, 而教师将面对各种不同的考验与挑战[2]. 从高中数学函数解题教学现状, 可以看出, 在进行高中数学函数解题教学的过程中, 要对高中数学函数分类讨论进行组合设计, 保证学生能够通过接受高中数学函数分类讨论思想, 开阔高中生的学习视野, 并帮助学生快速的明确一个数学函数问题的具体类型. 在这样的背景下, 通过进行高中数学函数分类讨论思想应用探究, 可以充分的发掘出该教学方式的优点, 让学生迅速的调用自己的知识储备, 迅速的找寻到解决这个函数问题的解题方法.

例1 令, 则x2+ 2y2= 16 ( 0≤x≤4, 0≤y≤2 槡2 ) , 则函数化为以u为参数的直线族y = x - u, 它与椭圆x2+ 2y2= 16 在第一象限的部分有公共点时直线y = x - u在y轴上截距的最大值与最小值为:.

分析: 等式右边根号内同为t的一次式, 如用简单的换元无法转化为二次函数求最值, 故用常规方法比较难. 如联想到直线的截距, 数形结合换元后, 以形助数, 则可轻松解决.

传统的函数的等式右边根号内同为x的二次式, 一般都是用简单的用换元法, 令很难用x表示t通过二次函数解决问题. 如果能引导学生学会借助于数形结合的方法来解决问题, 学生就容易理解, 也容易学会用换元的方法来解题, 效果就会更好.

二、高中数学函数分类讨论思想渗入高中数学解题过程策略探析

1. 利用高中数学函数分类讨论思想快速明确函数问题类型

为了让高中数学函数分类讨论思想发挥出应有的作用, 在进行高中数学函数解题教学的过程中, 要为每一道数学函数问题进行深度的剖析. 具体的来说, 就是在进行一道数学函数问题的解题过程之前, 数学教师指引学生进行对函数习题的解读, 寻找到这一问题的解决途径, 进而在后续的过程更加高效的完成函数计算. 然后, 就可以帮助学生在解题的过程中, 形成自身的独特解题理念, 促进学生的函数解题效率提升. 与此同时, 教师可以利用高中数学函数分类讨论思想, 在传统的教学方法上添加自己的教学理念, 更加充分的调动学生学习的主观能动性.

例如, 在进行高中数学教学函数解题的教学过程中, 为了解决学生难以入手的问题. 高中数学教师就可以根据函数习题的类型, 对传统的函数问题分为“确定函数解的个数问题”“函数的单调性问题”“函数的间断点问题”, 并对这些不同类型的问题进行分类处理.通过这样的方式, 就可以让学生自主的进行函数解题方法的总结研究, 在课堂上营造浓厚的数学学习氛围, 促进高中生函数解题效率的提升.

2. 优化高中数学函数分类模式

在进行高中数学函数分类讨论思想的插入过程中, 高中数学教师要有针对性的进行高中函数解题数学教学模式的更新, 让高中生倾向于在进行函数解题之前, 进行对函数问题的分析, 找寻出恰当的解题方法促进高中数学教学效率的提升.

例如, 在进行高中数学函数解题教学模式的研究过程中, 要充分的注意到对于传统的高中函数解题教学方式的改革和探索, 将总结出函数问题类型放置在高中数学解题过程的优先级地位, 通过持续优化的教学过程来激发对于高中数学函数解题过程中的独立意识, 切实提升高中数学函数解题教学能力.

例2 求函数的最小值

解: 把看作点A ( x, 0) 与点B ( 0, 2) 的距离, 看作是点A ( x, 0) 与点C ( 4, 1) 间的距离, 如图1, 不难得出, 这个函数的最小值是| B'C | =5.

分析: 如果仅从代数的角度此题很难入手, 因此思维就要大胆的突破.联想到像两点间距离公式求解.如果在教学中利用函数分类模式引导学生去思考和分析, 引导学生从图形角度思考走出局限于代数的思考范围, 就可以帮助学生很好的实现思维的突破.达到正确解题的目的.

3. 勾勒新型高中数学函数分类结构

为了发挥出高中数学函数分类讨论思想在函数解题中的作用, 提升学生的高中数学函数解题效率. 因此, 在进行高中数学函数分类结构设计过程中, 就要根据高中生的特点, 优化高中数学教学形式, 进而有效促进高中函数解题效率的提升.

例如, 在进行高中函数解题数学的“求函数的单调性”的教学过程中, 学生通过初中代数的函数基础学习, 已经掌握了一定的函数解题基础, 在这样的背景下, 教师就可以让学生自主思考相应的解题方法. 然后, 让学生利用合适的函数解题方法进行对后续问题的分析, 帮助学生快速提升自身的函数解题效率.

例3 (首届创新杯全国数学邀请赛第二试试题) 若x、y为正实数, 且x + y = 4 求的最小值______.

解:设AB=4, AP=x, PB=y, AE=1, BD=2.因为, ED连线交AB与C.所以.故的最小值是5.

分析: 从代数式的形式可知, 求它们的和实际上是求两个Rt△的斜边的和, 所以转化为几何图形, 用数形结合求解.

综上所述, 在进行高中数学函数分类讨论思想在高中函数解题教学中的应用过程中, 可以通过更新高中数学函数解题教学方法, 对原有的高中数学教学模式进行小规模的优化设计, 让学生快速的找到函数问题的解决方法, 促进学生函数问题解决效率的提升.

摘要：高中数学的函数学习中, 要针对学习内容多, 难度大的特点, 把高中数学函数分类讨论思想渗入高中数学解题过程, 启发学生思考并快速明确函数问题类型, 优化高中数学函数分类模式, 提高教学效果.

关键词：高中数学,函数分类讨论,解题,探析

参考文献

[1]刘见乐;罗敏娜;用函数思想指导高中数学解题[J].中国数学教育, 2011 (10) :45-46.

13.高中数学三角函数知识点总结 篇十三

sint=B/(A^2+B^2)^(1/2)

cost=A/(A^2+B^2)^(1/2)

tant=B/A

Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B降幂公式

sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2

cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2

14.一道高中函数数学题 篇十四

（一）教材分析：

学习正切函数的图象和性质，主要包括：定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性等，以及具体的应用。

（二）素质教育目标： 1.知识目标：

（1）用单位圆中的正切线作正切函数的图象；（2）用正切函数图象解决函数有关的性质； 2.能力目标：

（1）理解并掌握作正切函数图象的方法；

（2）理解用函数图象解决有关性质问题的方法； 3.德育目标：培养研究探索问题的能力；

（三）教学三点解析：

1.教学重点：用单位圆中的正切线作正切函数图象； 2.教学难点：性质的研究；

3.教学疑点：正切函数在每个单调区间是增函数，并非整个定义域内的增函数；

（四）教学过程设计 1．设置情境

前面我们研究了正、余弦函数的图象和性质，但常见的三角函数还有正切函数，今天我们来探讨一下正切函数的图象，以及它具有哪些性质。2．探索研究

由研究正、余弦函数的图象和性质的方法引出正切函数的图象和性质。下面我们也将利用单位圆中的正切线来绘制ytanx图象．

（1）用正切线作正切函数图象

1分析一下正切函数ytanx是否为周期函数？

○ f(x)taxn(sinx())coxs()xsinxtfaxn xcos()

∴ytanx 是周期函数，是它的一个周期．

我们还可以证明，是它的最小正周期．类似正弦曲线的作法，我们先作正切函数在一个周期上的图象，下面我们利用正切线画出函数ytanx，x

,的图象． 22

作法如下：

①作直角坐标系，并在直角坐标系

轴左侧作单位圆．

②把单位圆右半圆分成8等份，分别在单位圆中作出正切线．

③描点。（横坐标是一个周期的8等分点，纵坐标是相应的正切线）．

④连线．

图1

根据正切函数的周期性，我们可以把上述图象向左、右扩展，得到正切函数ytanx，(xR,xk2,kZ)的图象，并把它叫做正切曲线（如图1）．

图2

（2）正切函数的性质

请同学们结合正切函数图象研究正切函数的性质：定义域、值域、周期性、奇偶性和单调性．

①定义域：x|xk

②值域：R

③周期性：正切函数是周期函数，周期是． ,kZ 2

④奇偶性：tan(x)tanx，∴正切函数是奇函数，正切曲线关于原点O对称．

⑤单调性：由正切曲线图象可知：正切函数在开区间(强调：a.不能说正切函数在整个定义域内是增函数

b.正切函数在每个单调区间内都是增函数

c.每个单调区间都包括两个象限：

四、一或二、三 3．例题分析

【例1】求函数ytan(x2k,2k),kZ内都是增函数．

4)的定义域．

分析：我们已经知道了ytanz的定义域，那么ytan(x4)与ytanz有什么关系呢？令zx4，我们把ytan(x4)说成由ytanz和zx4复合而成。此时我们称ytan(x4)为复合函数，而把ytanz和zx4为简单函数

解：令zx4，那么函数ytanz 的定义域是z|zk,kZ 2

由 x4zk2，可得 xk4

所以函数ytan(x4)的定义域是{x|xk4,kZ}

解题回顾：这种解法可称为换元法，因此复合函数可通过换元法来求得。

练习1：求函数ytan(2x

【例2】不通过求值，比较下列各组中两个正切函数值的大小：

（1）与

；

4)的定义域。（学生板演。）（2）tan(1113)与tan()． 45分析：比较两个正切函数值的大小可联想到比较两个正、余弦函数值的大小。

比较两个正、余弦函数值的大小是利用函数的单调性来比较。注意点是应把相应的角化到正或余弦函数的同一单调区间内来解决．类比得到比较两个正切函数值的大小的解法

解：（1）90167173180

又 ∵ytanx，在(90,270)上是增函数

∴tan167tan17（2）∵tan(1111)tan＝tan 44tan(13132)tantan 555又 ∵0＜2＜＜，函数ytanx，x, 是增函数，5422221113)tan()． 即tan(54∴ tan4＜ tan解题回顾：比较两个正切型实数的大小，关键是把相应的角诱导到ytanx 的同一单调区间内，利用ytanx 的单调递增性来解决．

练习2：比较大小：

(1)tan138_____tan143（学生口答）（＜）(2)tan(1317)_____tan()（学生板演）（＞）45【例3】求f(x)tan2x的周期

3．总结提炼

（1）这节课我们采用类比的思想方法来学习正切函数的图象和性质

（2）正切函数的作图是利用平移正切线得到的，当我们获得一个周期上图象后，再利用周期性把该段图象向左右延伸、平移。

（3）正切函数的性质．

15.高中数学函数单调性解题方法探讨 篇十五

一、有关函数单调性的分析

1．苏教版高中教材中关于函数单调性的概念解释

一般的，设函数y=f(x)的定义域为A，区间ⅠA．如果对于区间I内的任意两个值x1,x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说y=f(x)在区间I上是单调增函数，I称为y=f(x)的单调增区间．如果对于区间I内的任意两个值x1,x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)那么就说y=f(x)在区间I上是单调减函数，I称为y=f(x)的单调减区间．如果函数y=f(x)在区间I上是单调增函数或单调减函数，那么就说函数y=f(x)在区间I上具有单调性．

2．函数单调性的作用

高中学生通过一次函数和二次函数的学习，已经初步的了解了函数的增减性问题．高中数学中的单调函数的学习要从函数的定义和概念出发进行了解和学习，函数的单调性是高中学生学习函数的最初了解，利用数学的符号和例子进行解释是最佳的方法，函数的单调性是一种变量的变化，学生会通过直观感受、文字描述和严格定义进行了解．函数的单调性是学习函数其他作用的基础，同时，函数的单调性也是解决一些数学问题的基础．

二、函数单调性的解题方法研究

1．用导数的知识来进行解答

可导函数的解题方法是在求导的基础上发展起来的，通常是比较简单的方法．求导是解析函数单调性的前提．高次函数和含参函数的单调性问题，也是利用求导解析函数单调性的最好方法．

比如2013年江苏高考中有这样一道题目:设函数f(x)=lnx-ax,g(x)=ex-ax，其中a为实数．求:(1)若函数f(x)在(1，+∞)上是单调减函数，且g(x)在(1，+∞)上有最小值，求a的取值范围．

解:因为f'(x)=1/x-a=(1-ax)/x，考虑到函数f(x)定义域为(0，+∞)，且f(x)在(1，+∞)上是单调减函数，所以a>0．令f'(x)<0得x>1/a，所以f(x)在区间(1/a，+∞)上是单调减函数．由于f(x)在(1，+∞)上是单调减函数，故(1，+∞)(1/a，+∞)，从而1/a≤1，所以得a≥1．令g'(x)=ex-a=0得x=lna，当x<lna时，g'(x)<0,g(x)单调递减;当x>lna时，g'(x)>0,g(x)单调递增;又g(x)在(1，+∞)上有最小值，所以lna>1，得a>e．所以，a的取值范围为(e，+∞)．

2．复合函数的解题技法

如果出现内外函数单调性相反，那么复合的函数就是一个减函数．如果内外函数的单调性相同就是增函数．在复合函数的解题过程中，可以把复合函数进行分解，分解成为内外两种函数，再对这两种函数的单调性进行分别的分析和研究，能够快速的得出复合函数的单调性，对于复合函数来说，分解是比较好的方法之一．

比如，判断复合函数f(x)=4x2+1的单调性，要首先区分出外层函数f(t)=4t，内层函数t=x2+1．由于内层函数是关于对称的偶函数，在(-∞，0)上递减，在(0，+∞)上递增;外层函数f(t)=4t作为指数函数，在(-∞，+∞)上递增．因此依据复合函数同增异减的特性可知，当x在(-∞，0)取值时，f(x)=4x2+1单调递减，当x在(0，+∞)取值时，f(x)=4x2+1单调递增．

3．用函数的图象解答

运用函数的图象可以看出函数区间的增减性趋势，然后进行解题．在单调的区间上如果图象中出现上升的形式，并且x值一直的增大，那么这种函数就是增函数．在函数单调性的教学过程中，教师可以让学生对常见的函数图象进行记忆，这对于解题是非常有帮助的．在函数的图象解题中还涉及到函数的奇偶性．奇函数在原点对称的区间上单调性相同，而偶函数在原点对称上单调性相反．

已知,(1)判断f(x)的奇偶性;(2)求证f(x)>0．在判断此函数为偶函数的前提下，在对第二问进行求证的时候，要证明x>0时，f(x)>0，也就是对进行验证就能减少运算的步骤．

4．函数的定义法解题技巧

已知函数f(x)=x3+sinx,x∈(-1,1)，若f(1-m)-f(m2-1)<0，求m的取值范围．

解:由函数的单调性定义可知，若函数y=f(x)在区间I上为单调增函数，且f(x1)<f(x2)，那么x1<x．判断出f(x)在区间(-1,1)上是单调增函数，因此，f(1-m)-f(m2-1)<0，可化为f(1-m)<f(m2-1)，根据单调性的定义可得1-m<m2-1,-1<1-m<1,-1<m2-1<1，从而求出m的取值范围为

16.一道高中函数数学题 篇十六

数学学科知识的精髓所在即表现为数学思想。而对于高中阶段的数学学科的学习而言，数学思想的核心又体现在函数与方程思想中。作为一名高中生，如果能掌握函数与方程的数学思想，就能够解决大量的问题，为看似难度较大的题目挖掘大量的隐含条件，在简化解题步骤的同时，提高解题质量和解题效率。

一、方程与函数思想

方程与函数思想，可以说是高中数学函数的基本思想，在历年高考中经常出现，而且是重点和难点。目前所学习的高中教材，大部分是以知识结构作为体系进行编写的，并且这其中所蕴含的各种数学教学思想，还是见于整个教材之中，所以，对于大多数的同学而言，如果只侧重于用一种方法解答题目，不会举一反三，很容易导致数学思想方法的主观随意性。函数思想的含义是：运用运动及变化的观点，可以用来建立函数关系，或是构造函数，并且运用函数的图像及性质分析问题，或者是转化问题，从而达到解决问题的目的；方程思想的含义是：分析数学教学问题中的各个变量间的等量关系，并据此建立方程，或者是方程组，也可以构造方程，并运用方程的各种性质分析问题、转化问题，进而解决问题。方程与函数的思想，在数学学习中，它非常强调对我们个人能力的培養，而且非常注重对我们的运算能力及逻辑思维能力的训练，让我们所学的知识尽量都运用到生产生活及实际工作中。与此同时，还可以了解题的技能及技巧，以及理解题目中蕴含的各种数学思想，使得我们可以主动的将所学的知识灵活的应用于生活实践以及以后的工作当中。首先，函数思想的核心在于：通过对函数关系中的相关图像及性质为出发点，展开对相关问题的分析。在具体的数学问题中，主要可以将题目已知条件中所给出的方程问题及不等式问题转换成为函数方面的问题。具体来说，通过自方程问题向函数问题的转化，可以通过对函数性质、图像的判定为方程求解提供相关的条件支持。同时，在实践教学中发现：对于题目中所给出的不等式恒成立问题，超越不等式问题，以及求解方程根等相关问题而言，若能够实现对函数思想的合理应用，则对于简化操作步骤而言有着重要的意义。其次，方程思想的核心在于：以函数关系为出发点，构造与函数关系所对应的方程表达式。进而，通过对所构造方程表达式的进一步分析，实现对相关问题的求解。具体来说，通过自函数问题向方程问题的转换，可以将常规意义上的函数转化成为方程表达式.同时，在具体的实践操作过程中，对于二元方程组的应用是最普遍的。特别是对于涉及函数值域，以及直线/圆锥曲线位置关系等问题的求解而言，通过对方程思想的应用，往往能够取得事半功倍的效果。

二、数形结合思想

数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思想为形象思想，有助于把握数学问题的本质。纵观多年来的高考试题可以发现，巧妙地运用数形结合思想方法解决一些抽象的数学问题，可以起到事半功倍的效果，数形结合的重点是 “以形助数”。数形结合的思想方法应用广泛，运用数形结合思想，不仅可以轻易直观的发现解题途径，而且还能避免复杂的计算与推理，大大简化解题过程，这在选择填空中更能显示其优越性。

三、化归、类比思想

化归、类比思想指的是对于需要解决的问题，将其转换归结为已有知识范围内的，可解问题的一种数学思想，简单的说就是将复杂化为简单，将陌生化为熟悉，也就是将抽象的问题，充分转化为具体直观的问题，更通俗的是将一般性的问题，经过转化，成为直观的、比较特殊的问题。而且，化归、类比思想可以说是高中数学函数中最常见、最基本的思想方法，以至于函数中，几乎一切问题的解决，几乎都是离不开化归、类比思想的。在高考中，很大部分的题目，他们的条件与目标的联系一般都不是显而易见的，只有通过不断地转化，我们才能有机会发现题目所给条件与目标之间他们的联系，从而可以慧姐吹来一个能够解决问题的方法。

四、整体结合思想

数形结合的含义是指在研究与解决数学问题的时候可以将反应问题的比较抽象的数量关系，通过与直观的平面以及空间图形相结合起来进行思考，从而得出解决问题的办法。图形整合也是通过抽象思维，与比较形象思维，有机的结合在一起来解决问题，这是一种很重要的数学解题方法。这种方法具有直观性已经灵活性的特点。

五、集合思想

集合的定义是一些特定的事物，他们所组成的整体，在这些事物中，他们中的每一个都称为这个集合的一个元素。我们可以把集合这种思想运用到日常的数学函数学习中，增强我们的集体意识，还可以利用高中数学的重要特点，也就是常说的严谨性，学会在逻辑用语中，我们应该认真看清题目，充分理解题目的意思，而且还应该能从题目所给的条件中，推敲出其他的条件，并且还可以分析出哪些条件是有用的，而哪些条件是无意义的。将那些有帮助的条件归为一个整体，为成功解题做好铺垫。

17.一道高中函数数学题 篇十七

（一）[任务分析]

“函数的奇偶性”是函数的一个重要性质，常伴随着函数的其他性质出现。函数奇偶性揭示的是函数自变量与函数值之间的一种特殊的数量规律，直观反映的是函数图象的对称性。利用数形结合的数学思想来研究此类函数的问题常为我们展示一个新的思考视角。函数的奇偶性也是今后研究三角函数、二次曲线等知识的重要铺垫，而且灵活地应用函数的奇偶性常使复杂的不等式问题、方程问题、作图问题等变得简单明了。[方法简述] 本节课有着丰富的内涵，是继函数单调性以后的又一个重要性质。教法上本着“以教师为主导，学生为主体，问题解决为主线，能力发展为目标”的指导思想，结合我校学生实际，主要采用“问题导引，分析、比较，自主探究，讲练结合”的教学方法。通过复习提问呈上其下的引入，通过观察图像，从具体到抽象的引入，通过与单调性研究方法的的类比的引入，使学生对函数的奇偶性先有了一定的感性认识；通过设置一条问题链，采用多角度的，启发式的，学生积极参与的，有思想交锋的方式，引导学生在自主学习与合作交流中经历知识的形成过程；通过层层深入的例题与习题的配置，引导学生积极思考，灵活掌握知识，使学生从“懂”到“会”到“悟”，提高思维品质，力求把传授知识与培养能力融为一体。[目标定位]

数学教学不仅仅是知识的教学、技能的训练，更应使学生的能力得到提高。本节课应使学生掌握函数奇偶性的定义，会用定义判断简单函数的奇偶性。在学生经历函数奇偶性的探究和应用过程中，体会数形结合、分类讨论等数学思想方法，进一步培养学生归纳、类比、迁移能力，增强学生的数学应用意识和创新意识。注重培养学生积极参与、大胆探索的精神以及合作意识；通过让学生体验成功，培养学生学习数学的信心。在教学中，重点应为理解函数奇偶性概念的本质特征；掌握函数奇偶性的判别方法。对高一学生来说，由于初中代数主要是具体运算，因而代数推理能力较弱，许多学生甚至弄不清代数形式证明的意义和必要性。因此教学难点是有关偶函数问题的证明，与培养驾驭知识、解决问题的能力。突出重点、突破难点的关键是设计有一定思维含量的问题与实例，引导学生思考、分析讨论，加深学生对函数奇偶性的认识与应用。结合直观的图形，充分发挥数形结合思想的功能，使学生的感性认识提高到理性认识。[课堂设计]

一、复习旧知、引入定义

基于学生前面已经学习过函数的单调性，先从复习函数单调性入手。问题1：回顾上一节课如何定义增函数、减函数？试举例说明。由学生回答，学生应该容易得出定义，单调增、减函数（定义略）

并能举出一些常见的单调函数，如一次函数，三次函数。

设计意图：从学生已学过的函数单调性复习引入，因为函数的单调性的定义是学生第一次接触用函数的对应关系的性质来刻画函数的性质，他不同于初中是通过图像看性质。学生在复习中体验用代数手段刻画函数性质的方法, 为后面用函数对应关系来刻画函数的奇偶性做好准备。为突破难点奠定基础。

问题2：判断下列两函数在其定义域内单调性如何？

反比例函数f(x)21 x二次函数f(x)x1 设计意图：让学生注意函数的单调性要分区间讨论。对于同一函数而言，不同的区间上可能会有不同的单调性，为后面研究函数的奇偶性要注意自变量的范围埋下伏笔。

图示学生举出的例子和以上两个例题，（1）f(x)2x（2）f(x)x3（3）f(x)2x1（4）f(x)1（5）f(x)x21 x引导学生观察图像。

思考：除了显示了函数的单调性，是否还有其他特征？

引导学生发现初中就学过的优美的对称性——中心对称、轴对称。问题3：能否用函数的对应关系来刻划其对称性？

让学生先观察、思考、交流讨论，教师再引导。

启发：首先注意到自变量的对称性可以用x与-x来刻画，相应的考察f(x)与f(-x)的关系。

（请5个同学到黑板上板演计算f(x)与f(-x)的，并判断相应函数值的特点。板书课题，引出定义）。函数奇偶性定义：

（1）如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)叫奇函数。

（2）如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)叫偶函数。

设计意图：引导学生通过函数值的特征来描述函数对应关系的性质，实现由形到数的转化，同时为归纳引出定义以及判断函数奇偶性做好准备。

二、定义理解、揭示本质

问题4：定义中那一句话对刻划函数的性质更实质？

学生阅读定义，回答问题。归纳：验证恒等式f(-x)=-f(x)或 f(-x)=f(x)的重要性。让学生根据定义判别以上5个函数的奇偶性，教师作出点评。

设计意图：让学生深刻理解定义，解释函数奇偶性的本质。把探求新知的权利交给学生,为学生提供宽松、广阔的思维空间，让学生主动参与到问题的发现、讨论和解决等活动上来．而且在探究交流过程中学生对函数奇偶性的认识逐步由感性上升到理性。

2x22x问题5：判断函数f(x) 的单调性如何？

x1引发学生思考讨论。学生可能会有两种结论，一是奇函数，二不是奇函数，让学生辨别，引起学生思维的交锋，教师给与宏观的指导，看准火候，及时点拨。引导学生注意定义中定义域的重要性，得出推论。

推论：奇偶函数的的定义域在轴上对应的点集关于原点对称。

设计意图：强调对定义域的考虑，既帮助学生准确理解定义，又对函数奇偶性的概念进行反面理解，同时使学生进一步熟悉判断奇偶性的方法，为引出推论做准备。问题6：有没有既是奇函数又是偶函数的函数？ 引导学生共同探究，得到f(x)=0,且定义域关于原点对称。共同归纳得到：函数按照奇偶性可分为四类：

A.是奇函数而不是偶函数 B.是偶函数而不是奇函数 C.既是奇函数而又是偶函数D.既不是奇函数又不是偶函数

设计意图：数学思维中最积极的的成分是问题，不断的提出问题，不断的解决问题，提出具有探究意义的问题，培养学生的探究意识，进一步完善函数奇偶性的概念。

三、手脑并用、概念应用

问题7：能否归纳函数奇偶性的判别方法及步骤：（1）求函数的定义域；（2）计算f(-x)（3）判断f(-x)与-f(x)或(x)是否相等；（4）下结论，指明是四类中的哪一类。在刚才归纳的基础上，学生练习例1:判断下列函数的奇偶性（１）f(x)xx31（２）f(x)2x43x2

（３）f(x)2x（４）f(x)1x2（５）f(x)f(x)a

x21

教师版书第一小题，学生口答第二小题，（3）、（4）（5）请三位学生板演。教师规范、订正版演。

设计意图：在归纳中掌握方法，巩固新知及时反馈，为灵活应用方法打下基础．

四、沟通联系、深化提高

例2 已知函数f(x)是奇函数，而且在(0,)上是增函数，f(x)在(,0)上是增函数还是减函数？并给出证明。

引导学生分析条件，探索思路，沟通已知与未知 的联系，实现单调性的转化。设计意图：沟通函数奇偶性与单调性的联系，揭示函数奇偶性对函数性质研究的作用。使学生进一步加深对知识的掌握，并体验数学在解决问题中的作用。

五、归纳小结、练习反馈 引导学生归纳小结（１）函数奇偶性的定义（２）判别函数奇偶性的方法（３）函数奇偶性的初步应用 设计意图：学生自己从所学到的数学知识、数学思想方法两方面进行总结，提高学生的概括、归纳能力．同时，学生在回顾、总结、反思的过程中，将所学知识条理化、系统化，使自己的认知结构更趋合理．注重数学思想方法的提炼，可使学生逐渐把经验内化为能力，从而走向一个新的制高点。反馈练习：课本P口答练习

在整个练习过程中，教师做好及时小结，加强对学生的个别指导，设计意图：巩固所学知识，进一步促进认知结构的内化，并且可使学生对自己的学习进行自我评价．也让教师及时了解学生的掌握情况，以便进一步调整自己的教学．

六、布置作业、引导复习

1．书面作业：P89 练习A2，练习B 1、2、3.2．研究与思考：

(1)若ｆ（ｘ）为奇函数，且ｘ＝０时与意义，则ｆ（０）＝？（2）判别函数的奇偶性

(3)在公共定义域上，函数的和、差、积、商的起偶性如何？

第一层次要求所有学生都要完成，第二层次则只要求学有余力的同学完成．研究思考的（1）（2）（３）不仅开阔了学生的思路，而且提高学生的探究热情。.设计意图：分层次作业既巩固所学，又为学有余力的同学留出自由发展的空间，培养学生的创新意识和探索精神。同时为下节课内容作好准备,将探究的空间由课堂延伸到课外.[教有所思] 这节课本着“课程标准为依据，教师为主导，学生为主体”的原则进行设计与教学，高中学生的思维水平已发展到辩证思维的形成阶段，从能力上讲，他们能通过观察、比较、归纳等方式来认识新知识。结合学生的特点及本节课的内容，在教学中采用了“问题导引，分析比较、自主探究、讲练结合”式的教学方法。通过问题激发学生求知欲，从学生已知问题已知的函数图形入手，使学生对函数的奇偶性有了一定的感性认识，并且形成各自对函数奇偶性概念的了解，再引导学生抓住实质，抛开个性的东西，抽取共性的内容，在相互交流、启发、补充、争论中，概括出定义，经历了知识的形成过程。使学生主动参与数学实践活动，在教师的有效指导下解决问题。应当说在知识的习得、能力的培养二个方面有收获，基本上达到了预期的教学目的。在概念－方法－应用当中，方法是本节课的重点。通过对问题3至问题6的分析、反思、深化，使学生的思维步步深入，在自我发现、自我解决问题的过程中，深刻理解了函数奇偶性的定义的实质。