11复变函数

11复变函数（共10篇）（共10篇）

1.11复变函数篇一

第一章

复数与复变函数

教学课题：第一节复数

教学目的：

1、复习、了解中学所学复数的知识；

2、理解所补充的新理论；

3、熟练掌握复数的运算并能灵活运用。

教学重点：复数的辐角教学难点：辐角的计算教学方法：启发式教学

教学手段：多媒体与板书相结合教材分析：复变函数这门学科的一切讨论都是在复数范围内进行的，它是学好本们课程的基础。因此，复习、了解中学所学复数的知识，理解所补充的新理论，熟练掌握复数的运算并能灵活运用显得尤为重要。教学过程：

1、复数域：

每个复数z具有xiy的形状，其中别称为

x和yR，i1是虚数单位；

x和y分z的实部和虚部，分别记作xRez，yImz。

复数z1x1iy1和z2x2iy2相等是指它们的实部与虚部分别相等。

z可以看成一个实数；如果Imz0，那么z称为一个虚数；如果Imz0，而Rez0，则称z为一个纯虚数。如果Imz0，则复数的四则运算定义为：

(a1ib1)(a2ib2)(a1a2)i(b1b2)(a1ib1)(a2ib2)(a1a2b1b2)i(a1b2a2b1)

(a1ib1)a1a2b1b2a2b1a1b2)2i 222(a2ib2)a2b2a2b2复数在四则运算这个代数结构下，构成一个复数域，记为C。

2、复平面：

C也可以看成平面R，我们称为复平面。

2作映射：CR2:zxiy(x,y)，则在复数集与平面R2之建立了一个1-1对应。横坐标轴称为实轴，纵坐标轴称为虚轴；复平面一般称为z-平面，w-平面等。

3、复数的模和辐角

复数可以等同于平面中的向量，z(x,y)xiy。

x2y2向量的长度称为复数的模，定义为：|z|；

向量与正实轴之间的夹角称为复数的辐角，定义为：Argzarctany2i（kZx）。

tany,Argz我们知道人亦非零复数有无限多个辐角，今以xargz表示其中的一个特定值，并称合条件

argz的一个为主值，或称之为z的主辐角。于是，Argzargz2k,(k0,1,2,)。注意，当z=0时辐角无异议。当z0时argz表示z的主辐角,它与反正切Arctan的主值arctan（argz，arctan）

22yxy有如下关系xyxyarctan,当x0,y0;x,当x0,y0;2yarctan,当x0,y0;argzx(z0)yarctan,当x0,y0;x-,当x0,y0;2复数的三角表示定义为：z|z|(cosArgzisinArgz)；复数加法的几何表示：设z1、z2是两个复数，它们的加法、减法几何意义是向量相加减，几何意义如下图：

yz2z1z2z2z1xz1z20z2关于两个复数的和与差的模，有以下不等式：（1）、|z1z2||z1||z2|；（2）、|z1z2|||z1||z2||；（3）、|z1z2||z1||z2|；（4）、|z1z2|||z1||z2||；（5）、|Rez||z|,|Imz||z|；（6）、|z|2zz；例1 试用复数表示圆的方程：

a(x2y2)bxcyd0

（a0）

其中，a,b,c,d是实常数。

解：方程为

azzzzd0，其中(bic)。

例

2、设z1、z2是两个复数，证明

z1z2z1z2,z1z2z1z2

12z1z1

利用复数的三角表示，我们可以更简单的表示复数的乘法与除法：设z1、z2是两个非零复数，则有 z1|z1|(cosArgz1isinArgz1)z2|z2|(cosArgz2isinArgz2)

则有

z1z2|z1||z2|[cos(Argz1Argz2)isin(Argz1Argz2)]

即|z1z2||z1||z2|，Arg(z1z2)Argz1Argz2，其中后一个式子应理解为集合相等。

同理，对除法，有

z1/z2|z1|/|z2|[cos(Argz1Argz2)isin(Argz1Argz2)]

即|z1/z2||z1|/|z2|，Arg(z1/z2)Argz1Argz2，其后一个式子也应理解为集合相等。

例

3、设z1、z2是两个复数，求证：

|z1z2|2|z1|2|z2|22Re(z1z2)，例

4、作出过复平面C上不同两点a,b的直线及过不共线三点 a,b,c的圆的表示式。解：直线：Imza0； bazaca)0 圆：Im(zbcb4、复数的乘幂与方根

利用复数的三角表示，我们也可以考虑复数的乘幂：

abc

zn|z|n(cosnArgzisinnArgz)rn(cosnisinn)从而有znz,当r1时,则得棣莫弗(DeMoivre)公式1，则 znn

令znzn|z|n[cos(nArgz)isin(nArgz)]

进一步，有

11zn|z|[cos(Argz)isin(Argz)]

nn1n共有n-个值。

例

4、求4(1i)的所有值。解：由于1i2(cos4isin)，所以有 4411(2k)isin(2k)] 4444(1i)82[cos4(1i)82[cos(16kk)isin()]2162其中，k0,1,2,3。

5、共轭复数

复数的共轭定义为：zxiy；显然zz,ArgzArgz,这表明在复平面上,z与z两点关于实轴是对称的

我们也容易验证下列公式：(1),zz,z1z2z1z2,(2),z1z2z1z2,(2z1z)1(z20),z2z2zzzz ,Imz,22i(4),设R(a,b,c)表示对于复数a,b,c的任一有理运算,则(3),zzz,RezR(a,b,c)R(a,b,c)

6、作业：

2.11复变函数篇二

复变函数这门数学分支在数学理论和实际中都有非常强大应用性。而解析函数是复变函数特有的内容, 在复变函数理论中起着重要的作用, 解析函数在理论和实际中都有着广泛的应用, 所以对解析函数的理论及应用进行分析有非常大的必要性。

1 解析函数的概念

如果函数f (z) 不仅在z0处可导, 而且在z0的某个邻域内的任意一点可导, 则称f (z) 在z0解析。

如果f (z) 在区域D内的任一点解析, 则称f (z) 在区域D内解析。

注:1) 如果f (z) 在区域D内解析, 那么D内每一点都是它的内点, 从而D是开区域。

2) 如果说函数f (z) 在闭圆盘z≤1上解析, 指的是在包含该圆盘的某个区域内解析。

3) f (z) 在z0解析, 则f (z) 在z0可导;f (z) 在z0可导, 则f (z) 在z0不一定解析。但是f (z) 在区域D内解析和可导是等价的。

4) 一个解析函数不可能仅在一个点或一条曲线上解析;所有解析点的集合必为开集。

2 函数解析的判定

2.1 根据解析函数的定义判定

要考察函数在某一点的解析性, 首先看函数在该点是否有定义, 然后看函数在该点及其邻域内是否可导。

例:因为f (z) =z2在整个复平面上处处可导, 且f' (z) =2z则由解析的定义知f (z) 在整个复平面上解析。

2.2 根据初等函数的解析性判定

若复变数函数为初等函数, 则可根据初等函数的解析性进行判定

1) 指数函数ez在整个复平面上解析;

2) 对数函数Lnz的主值函数和各个分支在除去原点和负实轴外的每一点解析;

3) 幂函数zα, α为正整数时, 幂函数在整个复平面上解析;α为负整数时, 幂函数在除原点外的复平面上解析;α为既约分数、无理数、虚数时, 在除去原点和负实轴的复平面上解析。

4) sinz, cosz在整个复平面上解析;tanz, cotz, secz, cscz在各自的定义域内解析

5) shz, chz在整个复平面上解析。

2.3 根据定理判定

定理:函数f (z) =u (x, y) +iv (x, y) 在区域D内解析的充分必要条件是:u (x, y) , v (x, y) 在D内可微, 并且在区域D上满足柯西—黎曼方程:

定理:函数f (z) =u (x, y) +iv (x, y) 在区域D内解析的充分条件是:ux, uy, vx, vy在D内连续, 并且u (x, y) , v (x, y) 在区域D上满足柯西—黎曼方程:

例:讨论函数f (z) =2x (1-y) +i (x2-y2+2y) 的解析性。

解:因为u=2x (1-y) , v=i (x2-y2+2y)

3 解析函数的应用

3.1 解析函数在复变函数中的应用

解析函数是复变函数中的一类重要的函数, 函数的解析性对于复变函数定积分的计算、调和函数、留数定义及留数理论、保形映照的一般理论等方面都要用到解析函数的概念。而求满足一定边界条件的解析函数的一类问题, 这是解析函数论在许多理论和实际问题中应用极为广泛的一个重要分支, 而黎曼边值问题和希尔伯特边值问题是其中两个最典型的例子。

例黎曼边值问题

设L为复平面上一组有向的光滑曲线, 把平面分割为若干个连通区域, 要求一分区全纯函数 (即在上述每一个连通区域内全纯) φ (z) , 使Φ+ (t) =G (t) Φ- (t) +g (t) (t∈L) 中G (t) 、g (t) 都是已知函数, 而Φ+ (t) 和Φ- (t) 分别表示当z从L的正侧 (即沿L正向前进时的左侧) 和负侧 (右侧) 趋于L上一点时φ (z) 的极限值也就是边值。此外还要求φ (z) 在无穷远处至多有一极点。如果L中含有开口弧段, 则也应说明要求φ (z) 在L的端点附近的性态:具有不到一阶的奇异性。在G (t) , g (t) 满足一定的条件时, 这一问题已完全解决。

3.2 解析函数在实际中的应用

复变函数是数学分支中应用性很强的一门学科, 人们利用复变函数理论可以解决了很多实际问题, 而解析函数在复变函数的应用中又起着重要的作用。

在航空工业中, 要根据升力的大小来设计翼型, 不仅要使飞机能在空中飞行, 而且对是否符合起飞和降落快慢也有要求。根据解析函数在流体力学理论中的应用, 可以应用解析函数可以计算飞机在飞行时空气对机翼的升力。

解析函数在电学中也有应用, 例如可以根据保形映照来求静电场。

参考文献

[1]苏变萍, 陈东立.复变函数与积分变换[M].北京:高等教育出版社, 2010.

[2]同济大学数学系.高等数学[M].北京:高等教育出版社, 2007.

3.复变函数在物理方面的应用篇三

【关键词】保角变换解析函数反三角变换电容器

1 引言

在19世纪，复变函数的理论经过法国数学家柯西，德国数学家黎曼和魏尔斯特拉斯的巨大努力，已经形成了非常系统的理论，并且深刻地渗入到代数学，解析数论，微分方程，概率统计，计算数学和拓扑学等数学分支，同时，它在热力学和电学等方面也有很多应用，20世纪以来，复变函数已被广泛地应用在理论物理，随着社会越来越快的发展，一些精高技术与复变函数有了很大的联系，比如：解决如何把截面为两平行圆柱变为两平行板，从而研究两平行圆柱单位长度的电容，电势的问题.了解复变函数与实际生活中物体的用途有很重要的意义，从以下几个方面谈论复变函数在物理方面的应用.

2 结合复变函数对非平行板电容器进行了分析

从电动力学出发，结合复变函数对平行板电容器进行了分析，找到非平行板电容器电容的一种算法，并通过实例分析了他们在实际中的应用.

设函数为复变函数.取对数函数为复变函数，

，令代入上式有： .

比较得，.

当为常数时，平面上为平行于纵轴的的直线族，而在平面，常数的同心圆（弧）族.

当常数时，在平面上为平行于横轴的，直线族，在z平面上为=常数的径向直线族.

可以确定边界条件：

，; ， .

，; ，.

为负电极板与X轴夹角，为正电极板与X轴夹角，-.

（设非平行板电容器板长为，宽为，板间电压为，量为极板间延长交于，夹角

为，两板间窄端和宽端到原点距分别为，.，板间距为）.

由边界条件：作平面图所示：

由保角变换，原电容器成为与横轴，纵轴平行的平行板电容器.

求得板间距为：，板宽.

板面积为：.

电容器==. （1）

例设非平行板电容器的极板=0.8，极板宽=0.2，=，=0.4，=0.8，极板的带电量=4.910C，求此电容的电容.

解由（1）式此电容器的电容

C==.

（1）式是针对一般情况下的非平行板电容器推出的计算电容的公式，在应用中要注意其是否满足条件.

3 计算两平行圆柱的电容，电势

已经把平面平行圆柱的横截面变换成平面上是平行板的横截面，则根据图（2）可视为平行板电容器问题处理.平面上，细和粗的两平行圆柱所带的单位长度电量为和-之间的电压为，同样，在平面上所带电量和电压也是不变的，其电容值比变，进而，也可以计算出平面上截面为细和粗的两平行圆柱的电势，用平行电容器电容公式，可求出平面上（图2）平行板电容器每单位长度电容值为

有（8）式 ;. （2）

;. （3）

由（2）式和（3）分别消去和，得出对平行板电容器每单位长度带电量为（变换前后电量不变）的图2来说，可利用静电长的高斯定理計算其电场强度为，选带负电极板的电势为0.

两极板间的电势差与变换前的电势差（电压）相同，为了计算半径不同的两平行圆柱的电势，任选图2中处（两极板之间）则是对应平面上的第个圆柱面（环），其半径为，从图

2来分析电势，并考虑与电场强度的关系得：

4 解析函数在流体力学中的应用

设在区域内有一无源，漏的无旋流动，从以上的讨论，即知其对应的复速度为解析函数，我们称函数.

对于无源，漏的无旋流动，复势总是存在的.令为某一流动的复势，我们称为所述流动的势函数.称（为实常数）为势线，称为所流动的流函数，称（为实常数）为流线.

因为，

所以， .

又因为流线上点的速度方向与该点的切线方向一致，即该线的微分方程为：

即.

而为调和函数，我们有，于是 .

所以是流线方程的积分曲线.

注流线与势线在流速不为零的点处互相正交.

例设复势为试确定流线，势线和速度

解令则=

所以势函数和流函数为 .

故势线及流线是互相正交的两族等势双曲线，在点的速度为：

通过上面的讨论，我们知道，利用解析函数多电场进行研究是十分理想的，它可将对电场的电位和电通的研究联系起来，克服了分别研究的复杂手续，而且使问题得到简化.但找出这样的解析函数是极不容易的.因此，一般是将问题反转过来，不是根据电场去找解析函数，而是先研究一些不同的解析函数，找出它们所表示的电场图形，再由这些电场的图形，推出带电导体的形状.

【参考文献】

[1]梁困淼.数学物理方法[M].第三版.北京：高等教育出版社，

1998：426-444

[2]游荣义.椭圆柱形电容器电容[J].大学物理， 2001，20（12）：

26-27

[3]孙清华，孙昊.复变函数内容，方法与技巧.武汉：华中科技大学出版社，2003

[4]肖红.实验物理教程[M].合肥：中国科学技术大学出版社，1998：243-249

4.复变函数与数学分析的比较篇四

姓名:***学号:***

复变函数在数学分析中的教学中具有非常重要的意义,复变函数与数学分析具有很多共同点,但是也有较多的不同,虽有不同,但复变函数中的很多知识点都是数学分析的推广,是数学分析的加深.数学分析与复变函数的相同点:

1.二者的定义相同，都是由一个对应法则从一个区域到另一个区域映射；实数域上的函数与复变函数在进行加、减、乘、除及复合时具有相同的性质；都具的基本初等函数，如指数函数，对数函数，幂函数等；

2.二者都具有极限和连续性，对数学分析中的一些比较重要的定理，如维尔斯特拉斯定理，区间套定理，有限覆盖定理在复数集也成立；

3.二者都具有积分，并且积分定义形式类似，都可用类似黎曼积分定义的形式来表述，在此就不详细说明了，实函数与复变函数中积分都有相同的运算法则；

4.二者都有数项级数和函数项级数，并且结构类似，函数项级数的收敛性都可用柯西一致收敛原理，魏尔斯特拉斯判别法来判断，函数都可以有泰勒展式，并且形式一致。

数学分析与复变函数的不同点:

数学分析和复变函数研究的是定义在数域上的函数，数学分析研究实数上的函数，复变函数研究复数领域的函数。由于定义域的不同，而导致了数学分析和复变函数有很多的差异。

1.极限

复变函数研究定义域上自变量趋近于其一个聚点的极限，数学分析中可研究自变量趋近于某一点的极限，也可研究趋近于无穷大的极限，也可以研究单侧极限，研究范围比复变函数要广。

2.求导与微分

5.11复变函数篇五

一.教学目标

1.理解反正弦、反余弦、反正切的意义，并会用反三角符号表示角.

2.掌握用反三角表示中的角.

二.教具

直尺、投影仪

三.教学过程

1.设置情境

由函数的定义知，对定义域中的任一元素，在值域中都有一个元素使，我们知道，存在反函数时，上述值域中的元素不仅存在，而且惟一，这时可以用表示，记作。

到目前为止，我们已经学习了正弦、余弦、正切三种重要的三角函数.试问，三角函数是否具有反函数属性，即能否用三角函数值反映角的大小呢?如果能，又怎样表示呢?本节课就来讨论这个问题，

2.探索研究

请同学回忆一下

(1) ，，，的诱导公式.

(2)师：，，分别表示与的正弦值相等，与的余弦值相等，与的正切值相等，能否说它们表示的角也相等?为什么?

生：不能，因为在0～间对一个已知的三角函数值一般都有两个角度与它对应.

师：对，同学们知道，利用诱导公式，我们可以求得任意角三角函数值，反过来，如果已知一个角的三角函数值，我们利用诱导公式也将能求出中与之对应的角.这两个过程是互逆的，已知角x求它的正弦值、余弦值、正切值是唯一的，而已知角的正弦值、余弦值、正切值求角在不同范围内可以是一个、二个，也可以是无数多个不同的解.

(板书课题——已知三角函数值求角(一))

请同学们看一个例题：

【例1】(1)已知，且，求 .

(2)已知，且，求的取值集合.

师生共同分析：

(1)由正弦函数在闭区间上是增函数和 .可知符合条件的角有且只有一个，即，于是 .

(2)因为，所以是第一或第二象限角，由正弦函数的单调性和可知，符合条件的角有且只有两个，即第一象限角或第二象限角，∴所求的的集合是 .

下面给出反正弦概念，请看投影：

观察上图，根据正弦函数的图像的性质，为了使符合条件的角有且只有一个，我们选择闭区间作为基本范围，在这个闭区间上，符合条件的角，叫做实数的反正弦，记作，即，其中，且 .

表示的意义：表示一个角，角的特点是①角的正弦值为x，因此角的大小受x的限制;②并不是所有满足的角都可以，只能是范围内满足的角;③由于x为角的正弦值，所以x的值在[-1，1]范围内.

例如，， .那么例1中第(2)小题答案可以写成 .

练习(投影)

(1) 是什么意思?

(2)若，，则 .

(3)若，， .

参考答案：

(1)表示上正弦值等于的那个角，其实应是，故记作

(2)这个应该是，因此

(3) ，它不是特殊角，故只能这样抽象表示了.

下面再来建立反余弦概念.

先看下面例题：

【例2】(1)已知，且，求 ;

(2)已知，且，求的取值集合.

师生共同分析：

解：(1)由余弦函数在闭区间上是减函数和，可知符合条件的角有且只有一个，这个角为钝角，利用计算器并由，可得，所以 .

(2)因为，所以是第二或第三象限角，由余弦函数的单调性和.

可知符合条件的角有且只有两个，即第二象限角或第三象限角，于是所求的的集合是 .

下面我们来给出反余弦定义，先看投影

观察上图，根据余弦函数图像的性质，为了使符合条件的角有且只有一个，我们选择闭区间作为基本的范围，在这个闭区间上，符合条件的角，叫做实数的反余弦，作，即，其中，且 .

由学生根据反正弦的意义说明反余弦的意义：

表示的意义：表示一个角，角的特点是①角的余弦值为x，因此角的大小受x的限制;②并不是所有满足的角都可以，只能是范围内满足的角;③由于x为角的余弦值，所以x的值在[-1，1]范围内.

例如

那么，例2的第(2)题的答案可以写成.

练习(投影)

(1) ，，求 ;

(2)已知，，求 ;

(3)已知，，求 .

参考答案：

(1) ，当时， ;当时，，∴ 或 .

(2)∵ ，∴ 或

(3) ，或 .

最后，我们来尝试用反三角表示角，请看投影.

【例3】(1)已知，且，求 (用弧度表示);

(2)已知，且，求的取值集合.

解：(1)利用计算器并由

可得，所以 (或 )也可写成

(2)由正弦函数的单调性和

可知角，角的正弦值也是，所以所求的的集合是或

注：本例第(2)小题的结果实际上就是

3.演练反馈(投影)：

(1)若，，则的值为( )

A. B. C. D.

(2)若，集合，且，则的值为___________.

(3) .

参考答案：

(1)B.说明：应为钝角，故只有B.

(2) ，说明，只有，故

(3)∵

∴

4.总结提炼

(1)反三角函数的概念是中学数学较难理解的概念之一，它之所以难以理解是由于三角函数在其整个定义域内并不存在反函数，只有在某一特定区间才存在反函数因此，反三角函数的值域也就被限制在某一区间内，这个区间常称为反三角函数的主值区间，如，分别为反正弦、反余弦主值区间.解题出错，往往是主值区间概念不清.

(2)由反正弦、反余弦定义，不难得：

，

(3)用反三角表示中角

已知函数值	范围	值及位置
		在轴正半轴
		或
		或
		或


		或
		或
		或

四.板书设计

课题

例1

反正弦概念

例2

反余弦概念

例3

用反三角函数表示角

演练反馈

6.复变函数中定积分的计算篇六

1参数方程法

对于积分曲线C为不封闭曲线的定积分, 可以考虑参数方程法进行计算。用参数方程法计算定积分可以根据不同情况由两种方法进行计算。

1.1通过化为两个二元实变函数的积分进行计算

由z=x+iy, f (z) =u (x, y) +iv (x, y) , 可得

1.2化为参变量的定积分进行计算

对于例1, 我们可以化为参变量的定积分, 按照这种方法进行计算。

从而,

2根据柯西定理及推论进行计算

2.1定理1 (柯西定理)

设C是一条简单正向闭曲线, f (z) 在以C为边界的有界闭区域D上解析, 则。

2.2定理2 (柯西定理推论)

3根据柯西积分公式进行计算

用柯西积分公式进行计算时, 先对曲线C的解析性做判断, 然后按照下列步骤进行:首先注意C应该为正向闭曲线, 若f (z) 在C所围的区域里解析, 则根据柯西定理, C乙f (z) dz=0。若f (z) 在C所围的区域里不解析, 再分以下两种情况:

(2) 当f (z) 有n个不解析点时, 做以不解析点为圆心的正向圆周C1, …, Cn, 半径足够小, 则由柯西定理的推论,

解:当C为|z-2|=1时,

4利用高阶导数公式进行计算

解:因为cosπz在复平面上处处解析, 所以由定理4,

5利用留数定理进行计算

利用留数定理计算定积分的步骤:

(1) 找出C所围区域内f (z) 的所有孤立奇点, 设为z1, z2, …, zn。

(2) 对每个孤立奇点zi, 分别求Res (f, zi) 。

(3) 利用留数定理求定积分:

参考文献

[1]苏变萍, 陈东立.复变函数与积分变换[M].北京:高等教育出版社, 2010.

[2]同济大学数学系.高等数学[M].北京:高等教育出版社, 2007.

7.11复变函数篇七

摘要：本文分别从实积分新解法、数学建模及实验三个方面入手，研究了复变函数课程的实践性教学改革问题.首先给出了培养学生多元思维能力的方法，然后从数学建模和实验方面探讨了学生应用能力和实践能力的培养.

关键词：复变函数实践性教学教学改革

近年来，随着科学技术的快速发展，复变函数的相关理论已被广泛应用到理论物理、空气动力学、流体力学、解析数论、信号处理和天体力学等领域.经过大量教学工作者的努力，复变函数课程建设方面已经取得了显著的成就，但是仍然存在许多问题：课程的严密性被过分强调，教师在讲课时过于注重定理的证明过程，很少提到定理的背景知识，更不会讨论如何利用该定理解决现实问题.这种教学方式导致学生对复变函数课程的学习缺乏兴趣，已经不能满足当今学生的需求.

近年来，上述现象已经引起了广大教育工作者的反思，众多国内外学者已经对该问题进行了研究，并提出了一系列改进方法.唐笑敏对复变函数教学过程中存在的问题进行了系统的分析，并且提出了一系列改革设想[1].郑玉辉提出可以通过类比教学与改变考核方式激发学生学习兴趣，以求达到最好的教学效果[2].朱建民和李颖从可视化教学方面对复变函数课程的许多内容进行了分析，指出了大部分内容都可以从几何方面进行刻画[3].文[4]和[5]指出数学建模方法可以作为一种重要的工具，有效提高学生的创新能力.文[6]分析了Matlab软件在复变函数课程教学中的应用.本文将从三个方面讨论复变函数课程的实践性教学改革问题.

1.利用新方法求实积分，培养学生的多元思维能力

反常积分的计算是一个比较复杂的问题，而且没有统一的方法，如果能够利用复变函数的相关理论求解，就会极大地简化计算过程.例如在计算Frensnel积分？蘩■■cosx■dx时，若采用常规方法求解，计算量将会极其巨大，但是如果能够采用复变函数的相关理论求解，那么不仅求解方法多样，问题也将变得较简单，对于该问题我们可以用下面三种方法求解.

1.1利用柯西积分定理求解

首先构造辅助函数f（z）=e■，并取中心角为■，半径为R，起始边在x轴上的扇形的边界C■为积分路径，由柯西积分定理得■e■dz=0，再将左边积分分为三段可以得到：？蘩■■e■dx+？蘩■e■+？蘩■■e■e■dx=0，其中Г■为扇形的曲线弧部分.最后令R→+∞，经过计算可知■e■dz→0，并利用泊松积分？蘩■■e■dx=■，所以？蘩■■cosx■dx=■.

1.2利用Laplace变换求解

Laplace变换可将实函数f（t）转化为特殊的复变函数F（s），是常用的一种变换，具体的变换公式为F（s）=？蘩■■f（t）e■dt，其中实数t≥0，s为复数.为了简化计算过程，可以辅助函数f（t）=？蘩■■cos（tx■）dx，由Laplace变换得

F（s）=■？蘩■■■dy=■■

通过逆变换得：f（t）=■？蘩■■F（s）e■ds=■■.令t=1，可得？蘩■■cosx■dx=■.

1.3利用傅里叶变换求解

在实积分计算过程中，合理利用傅里叶变换同样能够起到化繁为简的作用.为了计算Frensnel积分，首先令x■=t，利用换元法可得？蘩■■cosx■dx=■？蘩■■■dt，对函数f（t）=■（t>0）进行傅里叶变换得：F（w）=2？蘩■■■dt=■，取w=1，则？蘩■■■dt=■，因此？蘩■■cosx■dx=■.

2.在教学过程中穿插数学建模实例，培养学生应用能力

复变函数课程的理论体系非常严密，如果教师严格按照教科书讲解，学生就会感觉枯燥无味，从而逐渐失去学习兴趣。若能够将数学建模实例应用到复变函数的教学过程中，学习的积极性必定就会有所提高.在教学过程中，可以分别从概念、定理及知识应用等方面穿插数学建模案例，帮助学生理解相应知识点.

例如，辐角是复变函数中的一个难点，大部分学生对辐角的性质理解不够全面，为了帮助学生深刻理解这个知识点，可以构造实例：三角形的三个内角和为什么必须等于π？目前关于该问题的证明方法比较多，我们可以利用辐角的性质证明，具体做法是：首先构造三个复数z■、z■和z■，它们对应同一个三角形的三个顶点，其中相应的对角分别是α、β和γ，于是α=arg■，β=arg■，γ=arg■，利用■·■·■=-1，以及辐角的性质得：

α+β+γ=arg（-1）+2kπ=π+2kπ（k=0，±1，±2…）

再根据α+β+γ∈（0，3π）内可知：α+β+γ=π.学生掌握该模型的算法后，必定能够更全面地理解辐角概念，当介绍复导数时，除了利用伸缩率解释外，还可以借助实函数导数的物理意义解释，如质点运动的速度、电流强度等.

保形映射也是较重要的一个概念，研究表明保形映射在电力学中具有重要作用.为了保证学生理解该概念，可以假设有两个同心金属圆柱与z平面的截线为圆周|z|=r■和|z|=r■（0

？覬（z）=■[2lnz-（lnr■+lnr■）]

对于在复变函数教学过程中如何突出数学建模思想，需要相关学者做更深入的研究，需要发现更多与复变函数理论有关的应用实例.若能有效地将数学建模实例贯穿到复变函数理论教学中，则必定能够更好地帮助学生理解相关知识点，通过两者的有效结合，学生的学习兴趣和应用能力必定会有所提高.

3.将实验与理论相结合，提高学生的实际操作能力

随着社会的快速发展及计算机软件的不断改进，很多需要经过复杂计算的理论问题都可以借助计算机实验完成，复变函数相关理论的实验主要借助于Matlab软件完成，该软件具有良好的数值计算功能，如果能在复变函数的理论教学中穿插实验，学生学习的积极性必定就会有所提高.

对于任意一个复数，模、虚部、实部及辐角主值等知识点必须完全掌握，若采用常规的方法计算，则不仅计算过程过于繁琐，而且会花费大量时间，如果使用Matlab软件，上述问题的计算将会变得非常简单，仅需要输入几个命令即可完成，当计算复数z=■的模、虚部、实部及辐角主值时，只要在Matlab软件的编程窗口输入abs（z）、imag（z）、real（z）和angle（z）等命令，即可快速求出real（z）=3.3，imag（z）=9.6，abs（z）=10.1，angle（z）=1.2.另外，对于一些复数形式的初等函数只要借助相应的Matlab命令，也可快速求出相应的结果.

另外，在计算“大范围”积分问题时，恰当利用留数理论可以收到事半功倍的效果，然而留数的计算问题往往较复杂，此时如果能借助计算机软件快速求出留数，将会极大地简化计算过程，如果被积函数是有理分式函数，只需利用留数定理和Matlab软件中的residue命令就能快速求出结果，若被积函数为其他形式，计算过程则稍显复杂.例如在计算■■dz时，直接利用留数定理可知：■■dz=2πi■■

若采用常规的方法计算留数将会非常麻烦，Matlab软件会使计算过程变得十分简单，经过分析可知在圆|z|<1内被积函数仅有一个一阶极点z=0，根据一阶极点的留数的计算规则可得：■■=■[（z-0）■].因此，在计算该留数时，仅需要使用以下Matlab语句：

syms z

limit（（z-0）*（z*sin（z））/（1-exp（z））^3，？謖z？謖，0）

我们立即可以得到■■=-1，于是所求积分的值为-2πi.

总之，Matlab的应用范围较广，不仅上面提到的复数和复积分问题可以利用该软件求解，而且复变函数中的泰勒级数、拉格朗日展开式、Laplace变换及傅里叶变换等问题都可以用该软件完成.教师在教学过程中如果能够借助该软件适当地开展数学实验，那么既可以克服常规教学方法中过于注重理论计算的缺点，又可以通过实验提高学生的学习兴趣.

参考文献：

[1]唐笑敏，刘太顺，胡璋剑.高师院校复变函数课程教学改革的探索[J].大学数学，2011，27（1）：12-15.

[2]郑玉辉，程东旭，钱晓惠.复变函数与积分变换的教学实践[J].宜春学院学报，2012，34（4）：137-138.

[3]朱建民，李颖.复变函数的可视化问题[J].大学数学，2011，27（1）：175-178.

[4]徐龙封.在教学中培养学生数学建模思想[J].安徽工业大学学报（社会科学版），2004，21（2）：114-115.

[5]许先云，杨永清.突出数学建模思想培养学生创新能力[J].大学数学，2007，23（4）：137-140.

[6]麻桂英，陈全新.用MATLAB提高《复变函数》教学质量[J].阴山学刊，2009，23（2）：74-76.

8.11复变函数篇八

1 注重教师形象强调学习意义

第一堂课上课一定要注意老师自身的形象,注重仪表让学生觉得你是一位有品位的教师。老师的一言一行,穿着打扮都会在学生的心目中留下深刻印象,学生渴望从教师身上学到一切有用的知识。你想在学生心目中留下一个怎样的形象最好就在第一堂课中给学生这种印象。给学生上第一堂课要做到亲切友好,易于接近,不要让学生对你敬而远之,要建立良好的师生关系。因为只有亲其师才能信其道。

第一堂课应该强调学习复变函数[1]与积分变换的意义。当我们发现知识对我们的意义时,学得最好。讲一些本课程的来龙去脉,复变函数与积分变换[2]以高等数学为先修课,一些专业课程,例如,电磁场与电磁波，电路,自动控制,信号系统等,在本课程后开设,它为某些专业课提供必备的数学理论与数学基础。高等数学的主要内容是实函数的微积分,复变函数实际上是将微积分推广到复数域上,研究的内容基本和微积分类似,微分、积分、级数等,几何理论等等,复函数有很多性质和实函数性质类似,但也有很多是本质的不同,学习复变函数要注意复变函数和实变函数的区别和联系,抓住这些就更容易学好这门课。复变函数与积分变换是一门内容丰富、应用广泛的数学学科,它的建立和发展与解决实际问题的需要联系密切,其理论与方法被广泛应用在自然科学的许多领域,是机械、电子工程、控制工程,理论物理与流体力学,弹性力学等专业理论研究和实际应用中不可缺少的数学工具。让学生对学习这门课程有个总体的规划。熟悉学时分配及基本要求,准备适当的参考书。

2 明确教学目的抓好趣味教学

教学首要目的便是培养、激发学生对本门课程学习的兴趣。比如俄国的茹柯夫斯基在设计飞机的时候,就用复变函数论解决了飞机机翼的结构问题,他在运用复变函数论解决流体力学和航天力学方面的问题上也做出了贡献。在教学过程中不失时机地向学生介绍相关数学家的人物传记。比如:拉普拉斯变换,介绍拉普拉斯[3](Pierre-Simon Laplace,1749-1827)是法国分析学家、概率论学家和物理学家,法国科学院院士。拉普拉斯曾任拿破仑的老师,所以和拿破仑结下不解之缘。拉普拉斯和当时的拉格朗日(Lagrange)、勒让德(Legendre)并称为法国的3L,不愧为十九世纪初数学界的巨擘泰斗。另外,著名的欧拉公式eix=cosx+isinx,它指出了三角函数与指数函数间的联系,非常值得学习。由此,引导学生自发查阅其他数学家故事,自觉学习数学家的品质,激发学生学习兴趣。只有学得有趣,才会产生学习的欲望,主动去学,才能学得好。

3 学习方法指导师生共同进步

对于大二学生,有一定的自学能力。但面对《复变函数与积分变换》这门课程,课时少,内容广泛,枯燥。师姐师兄的学习方法值得借鉴。老生常谈的五部曲非常有用,它们是:预习、听课、复习、作业、答疑。学习时抓住复变函数和高等数学的异同点。教师强调以后学习中会抓好章节复习课的教学,让学生有准备。经验告诉我们,课后复习温故知新,学完每1-2个章节应及时做好小结。学生归纳出重点、疑点、易错点。可借助计算机教学,省时、直观。进一步提炼数学方法,有的一题多解。如类比法:在复变函数以“解析函数”为中心,类比高等数学中“函数的导数”概念,“复变函数的积分”类比“高等数学的积分学”,“泰勒级数”与“洛朗级数”对比,“Fourier变换”与“Laplace变换”性质,简单应用对比。让学生回头看学过的东西,简单明了。

另外,适当开设讨论课,让学生提前准备。如“幂级数”学完后,“洛朗级数”开设对比讨论课。复变函数与积分变换的教学虽然课时少,但适当加强讨论课的教学以培养学生的自主学习能力很必要,拿出部分内容让学生走上讲台,让学生开始实现从“听众”到“演员”的角色转换,体现学生在学习中主体地位,同时培养了学生分析问题,运用所学的知识解决问题的能力,从而提高学生的素质。

总而言之,我们要尽量让课堂教学的形式多样,可以制作精美的课件,只要我们有这份认真对待工作的热情,我们就一定会认真上好以后的每一堂课的。《复变函数与积分变换》的教学是一门综合教学技能,更是一门艺术,如何提高其教学成效,培养学生的学习能力,还需要我们认真研究和不断探索。

摘要：本文从三个方面给出了《复变函数与积分变换》的教学的实践探索,有利于教学。

关键词：复变函数,积分变换,教学,实践

参考文献

[1]西安交通大学高等数学教研室.复变函数[M].4版.高等教育出版社.

[2]张元林.积分变换[M].4版.高等教育出版社.2003.

9.《复变函数》教学设计的几点体会篇九

就教学内容来讲, 在教学计划规定的学时内, 要面面俱到的讲授每章每节的内容是不可行的。但是仅对教材内容进行简单取舍, 就会破坏知识的系统性, 给学生的学习造成困难。在反复阅读教材兼顾教材本身内在规律和系统的基础上确定了教学内容, 精选讲课内容。

在教学设计上, 具体做法是:

1 对学生理解的内容少讲, 对学生初次接触、影响全局的重点难点内容在课堂上要用足够的时间详细地讲解, 其中包括问题的引出、概念的实质、命题、定理的论证方法都应作明确的、深入浅出的阐述。对难点一定要进行剖析, 设法化难为易。对概念、方法类似的内容要着重介绍处理问题的思路和方法, 引导学生利用对比方法, 找出它们之间的异同, 学会举一反三。

2 讲授复数与复变函数一章时, 由于教材中多数内容学生已接触过, 只是提出让学生注意与中学内容的衍接, 适当复习。在课堂上对复变函数、映射等概念侧重介绍, 而对复数及代数运算让学生课后阅读, 或在课堂上抽一定时间指导学生阅读。对复变函数的极限、连续性, 引导学生将其转化为二个实二元函数的极限与连续性;函数解析性是学生初次接触的内容, 有一定难度, 它又是后续几章的基础, 必须用一些时间详细讲解。关于复变函数的积分, 学生们常常认为复积分与实积分完全不相同, 理解上发生一些混乱, 对积分问题的处理上更是感到无从下手。学生在修完高等数学时对实积分的概念已有了清楚的理解, 对积分的计算有了相当数量的训练。此时复变函数课完全可以借助已有的知识来讲复积分, 在教学中, 可以在比较复积分与实积分差异之处的同时适当的突出并利用它们的相似点, 利用已学会的实积分来弄懂复积分。复积分与实积分的基本思想是一致的, 利用和依托实积分的学习来讨论复积分, 自然畅通, 易教易学。而且会加强学生对数学知识整体的把握和认识以及应用能力, 减少对《复变函数》课的神秘感。在讲解解析函数和调和函数的关系的内容时, 就是集中讲解解析函数f (z) =u+iv的实部u (或虚部v) 如何求虚部v (或实部u) 的方法应强调指出:当v是u的共轭调和函数时, u+iv是解析的;而当u是v的共轭调和函数时, u+iv一般情况下并不是解析的。并通过例证充分阐述这里的共轭概念不具有对称性。讲泰勒级数时, 它与高等数学中相关内容有相似之处, 主要是通过比较进行拓展方面的讲授。

3《复变函数》课教学中, 应把函数解析性的研究、复积分、洛朗级数、留数作为重点内容。很多内容通过对比、总结, 注意异同, 使学生巩固加深对知识的理解, 从而达到异中见同、触类旁通、条理分明、重点突出, 达到事半功倍的效果。另外, 挖掘教材中例题与习题的潜力, 用新知识新方法解决以往的例题、习题, 从而加强了新旧知识的联系, 还可找出一些规律。学生也从中领悟到随着问题的解决, 就会产生新的理论、新的方法。

4 讲授内容论理透彻, 主次分明, 重点突出, 板书整齐。对重要内容以及易出错的地方要详细、反复讲。对新概念、思想、方法, 讲的速度要慢些, 引起学生注意。对学生已经知道或可以略的, 讲的速度可以快些。不论快慢, 都要使学生听清楚。丰富的讲课内容, 精彩的语言表达, 辅之以姿式助讲课等会吸引学生的注意力, 造成一个良好的课堂秩序, 从而提高课堂效果。

总之, 教与学的关系是以学为主, 教是服务于学, 启发于学, 促进于学。在教学活动中, 教师应具有主导作用, 要以讲导思、以学促思、指导得当, 在有限的教学时间里, 发挥应有的作用。

摘要：启迪学生思维, 提高课堂教学效果。

关键词：教学效果,教学改革,教学质量

参考文献

[1]西安交通大学高等数学教研室.复变函数 (第五版) [M].北京:高等教育出版社, 1996.

10.关于复变函数论网络课程建设浅谈篇十

一、复函网络建设的意义

1. 提供便利的学习工具

首先,能够弥补课上紧张或溜号没有听到的学习内容由于网络学习不受时间和空间的限制,学生随时可以上网进行学习. 通过网络课程中课程教案以及疑难解析,使学生能够对课上错过的学习要点进行补充. 其次,能够加深对知识的理解. 复函课程是公认的几个比较抽象的理论课程之一,而复函网络课程建设当中有完整的多媒体课件,这些课件使得抽象的问题通过演示变得形象化和具体化,使学生对问题的理解有了较全面的认识,能够帮助学生对知识的进一步掌握.

2. 提供同学之间、师生之间交流的平台

由于网络课程具有开放性和共享性等特点,通过网络课程中问题讨论区和常见问题,对复函课程中不清楚的问题提出来进行探讨.

3. 体现一定的师范性和示范作用

从网络课程的发展看,不仅仅是大学,网络课程将来在中学以及小学也会逐步普及. 由于我院数学与应用数学专业学生是师范类,对这样的学生,通过复函网络课程的建立和学习,对他们不仅仅在学生知识上得到补充和加强,而且在师范性和示范性方面也起到潜移默化的作用,对他们将来从事教学工作起到启发和领悟作用.

二、复函网络建设的实施策略

1. 复函网络课程设置

第一,我们首先将课程建设内容设置成几个大块进行如课程简介,课程教学大纲,课程日历,教师信息,教学教材,课程通知,答疑讨论,课程作业,试题试卷库,课程管理等. 第二,我们对每个大块再设置成几个小块,如教学教材又设置为步进课程,综合辅导,习题训练,参考资料与相关链接,课外知识,名词术语等. 而对于小块中的步进课程又设置为多媒体课件,课程实录,课程研究,专题讲座,复函教案. 这样一步步设置,学生容易接受,也便于在网络上学习.

2. 网络材料的准备

第一,准备多媒体教学课件. 由于复变函数论是一门学生公认的理论比较抽象的课程之一,因此在设置课程时,在里面设置多媒体课件内容. 通过图像演示,更加形象具体地加深学生对知识的理解.

第二,准备网络课堂实录. 我们组织三个教师进行实践教学并录制部分课程,同时在网上搜集一些名师的录像课程. 把这些录像内容一并录入网络课程中,通过这些录像能进一步提高学生学习的兴趣,帮助学生理解复函的相关知识内容.

第三,准备课程各章节主要内容及疑难解析,这个内容的准备过程比较复杂,而且任务艰巨,是学生网络学习中的重要内容之一,其汇集了许多教师多年来对复函教学的教学经验和深刻体会. 通过网络课程的实施,也充分体会到其内容的重要性,因为学生进入学习和访问次数是相对比较多的.

第四,准备教案. 课程教案也是比较繁重的工作,主要是打印工作. 教案也是通过多名教师共同讨论和研究的,是多年教学经验的总结.

第五,准备阅读材料,阅读材料内容主要设置两项,一是复函教学研究性课题及论文,包括教师和学生近年发表的复函论文和毕业论文,以及网上搜索一些其他教师的论文. 二是复函方面数学专家及事迹,包括国内外的数学专家,比如华罗庚,陈景润,阿贝尔,柯西,莱布尼兹等等.

第六,网络材料的传入,这个环节可组织教师利用课余时间进行,一般都是利用双休日进行,材料的上传过程比较容易一些.

三、网络课程的实施过程

实施网络课程是复函网络建设的重要一环,主要是通过学生和教师进入网络课程来实现.

1. 指导学生进行网络课程学习

首先,指导学生登录和进入系统学习,不同的学科有各自不同的特点,要指导学生进入系统后重点看什么,学什么,以满足自己的学习需要; 而复函网络课程的学习也有其自身建设的特点,教师主要让学生抓住里面的步进课程、试题库和课程作业三大块,对里面的内容经常进入学习即可其次,指导学生怎么提出问题和发表见解或文章,要特别注意提问的准确性和专业性,主要是提出有关复函课程的问题. 发表见解时要尊重他人,自觉发表自己的看法. 第三,指导学生接收作业和提交作业的方法. 严禁复制和抄袭,特别强调说明雷同的内容都不给分,并要求重新提交.

2. 学生自主进行网络课程学习

在教师指导学生网络学习之后,就要引导学生自主学习,这一过程需要经过教师耐心指导. 首先,引导学生充分认识网络学习的益处,包括网络课程建设的意义. 其次,要引导学生经常进入网络系统学习,由于学生对网络学习还不能马上接受,因此教师要经常疏导,鼓励学生在浏览学习的同时,要努力在课程讨论区和课程问题栏目中提出问题特别是自己对课程中不清楚和不明白的问题要善于提出也要积极参与发表自己对别人问题的看法.

摘要：文章给出了复变函数论网络课程建设的意义、建设的策略和方法,通过课程建设,不仅便于学生对该课程的学习,而且加强了同学之间和师生之间的了解和联系,提高学生对课程的学习效率,充分体会到网络课程的重要性.

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