中财自主招生简章

11.中财自主招生简章 篇十一

筑梦计划、自强计划、圆梦计划……近日，北京大学、清华大学等高校陆续发布2016年农村学生单独招生（高校专项计划）简章。今年，全国将有95所教育部直属高校和其他自主招生试点高校，共同承担高校专项计划，各校招生计划不少于本科招生规模的2%，录取标准可降至一本线。

从2012年起，我国开始启动国家扶贫定向招生计划，当年增加l万名重点大学招生计划，面向集中连片特殊困难地区参加全国统考的考生，实行定向招生。这一计划发展到2015年，招生规模达到5万人。国家扶贫定向招生计划，为贫困地区农村学生进重点大学创造了机会，有力地缩小了贫困地区与发达地区的一本录取率差异。但对于这一计划，社会舆论也存在质疑，认为是重点大学降低录取标准录取贫困地区学生。要把国家扶贫定向招生计划做好，避免“降低录取标准”的质疑，最适合的办法，就是由高校实行面向贫困地区农村学生的自主招生。

目前，国家针对农村学生的招生计划，包括国家计划、高校计划、地方计划。其中，国家扶贫定向招生计划的大部分招生计划，是安排在高考集中录取的提前批招生，由符合条件的贫困地区农村学生报考，高校根据考生报考情况录取。这种录取方式，虽然增加了贫困地区农村学生的录取机会，但也存在两方面问题：其一，难以对贫困地区农村学生的综合素质进行评价，无法了解他们的真实情况——一些当地的有权有势者，就利用这一计划，把户籍迁到贫困地区，挤占属于当地学生的机会。另外，在贫困地区还有城镇户籍学生和农村户籍学生，简单以贫困地区户籍为报考依据，可能导致优惠措施无法真正落到贫困地区农村学生身上。其二，由于针对贫困地区农村学生的招生，属单列计划，这给其他考生的感觉是，高校为此降低录取标准，由此引发针对这一计划的质疑，包括是不是制造新的不公平，会不会影响大学的生源质量等。采用自主招生方式可避免以上问题。

确保公信力将优惠真正落到农村学生身上

首先，高校通过自主招生可以进一步了解贫困地区农村学生的家庭环境和教育背景，甄别出不符合优惠条件的学生，把优惠给真正的贫困地区农村学生。针对农村学生专项招生计划中出现的弄虚作假问题，今年的农村学生专项计划，特别强调考生本人及其父母或法定监护人户籍地，须在本省区市实施区域的农村，考生本人须具有当地连续3年（含）以上户籍和当地高中连续3年学籍并实际就读、符合当年统一高考报名条件。这要求每所高校在招生时严格进行审核。

复旦大学2016年农村学生专项计划“腾飞计划”有重大改革：今年招生计划不超过400人，占总招生计划的13%以上，并取消往年的笔试、面试环节，同时，可享受学校全额资助进行海外交流。复旦大学的这一做法，得到不少舆论点赞，称之为给农村学生送上的一份厚礼，免去了农村学生到沪参加笔试、面试的费用。这听上去确实是为农村学生着想，可是，没有笔试、面试，大学如何了解学生的真实情况？如何通过审核学生的材料决定自主招生入围名单？如果仅仅是为了免去学生笔试、面试的费用而取消笔试、面试，却由此让农村学生专项计划被钻空子，那就得不偿失了。对于农村专项计划，保证这一计划能公平公正地执行，将优惠落到真正符合条件的贫困地区学生身上，这是关键。而减轻学生负担和保障公信力，完全可以两全其美。

国外大学在进行自主招生时，也是不举行笔试和面试，而是通过审核学生的材料决定录取。但有两个前提：一是有统一的测试，作为评价依据，二是学生提供的材料，包括身份信息、学业成绩、社会公益服务表现等，有很强的公信力。而我国高校在自主招生时，却缺乏这两个前提，高校针对农村学生推出的专项计划，也缺乏这两大前提，尤其是学生提供的材料，很可能存在弄虚作假的情况。从2012年国家实施扶贫定向招生计划以来，一些有权有势者就在打这一计划的主意，把孩子的户籍从城市迁到农村，把学籍挂在农村却在城市学校读书，还有的在申报专项计划时，编造学业材料，这就侵占了本属于农村学生的权利，也滋生招生乱象。对此，高校在推进专项计划时，有必要举行笔试、面试，以考察了解学生的真实情况，做出具有公信力的判断。

对于农村学生参加高校的笔试、面试，舆论担心会增加学生负担。一是笔试、面试的交通食宿费，二是面试题目不适合农村学生。这两方面的担心，完全可以有效化解。关于面试内容问题，在农村学生专项计划中，根本就不存在，因为这是专门针对农村学生的计划，考查对象都是农村学生，和自主招生中有城市考生、农村考生是不同的，剩下的就只有成本问题了，而解决成本问题，有现成的好办法。

首先，学校可以免除这些学生的交通食宿费用，这也是国外大学通常的做法，清华大学早在2012年就启动了“自强计划”，为入围笔试、面试的农村学生提供来京面试的全部往返费用以及食宿。复旦大学如果要减轻学生的经济负担，难道拿不出这笔费用？如果没有费用，又如何推进海外交流计划？

其次，笔试可以采取全国分考点的办法进行，面试可以采取校友面试、电话面试等多种方式。据报道，取消农村学生赴沪考试后，复旦大学将组织百余教师组成的招生宣传队伍，前往28个省份的边远、贫困、民族等地县一级，走访300余所符合国家相关政策规定、生源优秀的中学。既然复旦大学可以派出百余教师走出去，那么，为何不借此在各地统一笔试，以及在当地面试呢？另外，派出百余名老师出差的费用完全可以用来支付学生来沪的交通食宿费。

农村专项计划需要不断探索改革，但探索改革，要真正有利于学生，而不是做表面文章。或许学校会以取消笔试、面试的方式，获得网友点赞来论证改革的“民心所向”与成功，但不能忽视的问题是，很多网友并不了解整个招生过程，他们会在有人钻空子时，要求严格审核，公布笔试、面试成绩，又会在另一个时候为取消笔试、面试叫好。正是因为如此，改革不能被舆论左右，而应该由学校专业的招生委员会做出决定。以独立的招生委员会来推进高校的自主招生改革，这是我国推进包括农村专项计划在内的自主招生改革，必须建立的改革机制。公信力是包括农村学生专项计划在内的自主招生的生命力所在，推进农村学生专项计划，必须以树立公信力为基础，做好顶层设计。服务好学生，与保障公信力是不矛盾的。endprint

建立多元评价体系关注农村学生综合素质

在自主招生过程中，学校会关注贫困地区农村学生的综合素质以及发展潜能，考查学生的素质和潜能是否达到本校的招生标准，虽然表面上看，获得专项计划机会的学生，也是降低录取分数，录取优惠也是很多舆论关注的焦点，比如，清华大学优惠分值为30至60分四档，最高可降分60分录取；获得北京大学入选资格考生，在高考录取时最高可获降至当地一本线录取的优惠政策；北京师范大学将根据招考情况给予资格考生文科降40分、理科降60分的优惠政策。但这并非农村学生专项招生计划的“看点”。对于北京大学、清华大学等高校推进的农村学生单独招生计划，应该关注的是，这一计划如何建立对贫困地区农村学生的多元评价体系，而不用单一的分数评价农村学生。

关注针对贫困地区农村学生的降分幅度，很可能给公众留下这是高校降低录取标准的印象，进而引发争议：难道补偿高考公平、教育公平，就是降低高校的录取标准码？其实，这不是简单的降分，而是改变原来用单一分数标准评价学生的做法，对农村学生进行多元评价，结合高考分数、农村学生的高中学业水平成绩、大学面试考查和其所处的地区教育环境、家庭情况进行综合评价录取，这和5%的自主招生中，对有学科特长、创新潜质的学生，适当降低录取分数是同样的道理。这些学生的整体能力和素质，完全达到学校的招生标准，只是在不同的评价指标中表现各不相同而已。

拿清华大学的专项招生计划来说，清华大学在考生通过资格审核后，还将组织专家组，从学生的家庭经济情况、自强精神、高中学习发展特点及全过程表现（包括平时学业成绩，学科获奖情况，参与课外研究或学习情况，参与社会工作、社团活动、社会实践、志愿公益活动情况，综合获奖及突出事迹的情况）、个人陈述及推荐情况多方面进行综合评审。所以，舆论应该关注大学针对农村学生的多元评价体系，而不是看最后的录取优惠是多少。对于通过综合评价被大学录取的学生，要打破原来的分数标准观，建立新的多元评价标准观——不能把降低录取分数视为降低录取标准，因为分数只是对学生的一方面评价指标。这种多元评价体系，现在适用于贫困地区农村学生，今后还将推广到其他考生，以便考查学生除分数之外的其他能力与素质。

考虑到贫困地区农村学生所接受教育比其他学生薄弱，家庭条件也更加艰苦，因此，在综合评价中引入地区教育因素和家庭环境因素，对来自薄弱教育地区和贫困家庭的学生进行适当的加分评价，是推进教育公平、高考公平的合理选择——让教育起点不同、教育过程也不公平的学生，用一张试卷的分数进行竞争，貌似分数公平，实质并不公平，这正是我国农村考生在高考升学中，虽升学率越来越高，可进重点大学的概率却减少的原因。

在美国，对来自教育薄弱地区、贫困家庭的学生，也是采取这种多元评价方式的。假如有两个学生，一个学生来自富裕家庭，一个来自贫困家庭，来自贫困家庭的学生的SAT（美国高中学术能力评估测试）分数低于富裕家庭学生，而且高中学业成绩也落后于富家子弟，但大学经考察他发现，由于他要勤工助学，每天用在学习上的时间远远少于富家子弟，因此也录取了他。学校认为，他在这样的家庭环境中，用这么少的时间能取得这样的学习成绩，也是优秀的。换言之，对贫困地区学生降低录取分数，不是降低标准，而是综合评价其所处的教育环境、家庭环境做出的多元评价，是对其所处薄弱教育环境和贫困家庭环境的校正和补偿。这既让大学招生扮演了社会公正调节器的角色，也引导了贫困地区学校关注学生综合素质的培养。

12.中财自主招生简章 篇十二

2003年教育部推出在全国22所高校试点自主招生的方案,自主招生作为高考改革的一种信息,开始进入人们视野。目前,有自主招生权的高校己由2003年的22所、2004年的28所,扩大到2008年的68所,2012年达到76所之多。面对发展如此迅猛的自主招生制度,各界人士对此褒贬不一,自主招生制度是否真正有利于我国优秀人才的培养和大学办学水平的提高,也受到了大家的质疑。

1 高考制度下的招生权

从中世纪大学出现以后,对于大学的定位也随着时代的变迁逐步改变,概括来说,大学应该立足现实,着眼于社会的长远发展,尊重知识、追求真理、保持客观的立场而不为政治经济利益所驱动,充满对人类社会发展的深切人文关怀,对高品位文化的蓄养,对理想主义的超凡脱俗的追求。即大学不仅要传播知识、发展科技、服务社会,更应该超越社会,走在社会的前列。

我国高考制度实行已久,现行的高考制度主要以全国统一考试,集中录取和统一的高考招生计划的方式施行。在此招生制度下,大学没有独立的招生权力,而是主要依附于政府,服务于政府。由政府制定高考统一考试的时间,录取的步骤及要求,各地区及各专业的招生计划。只要考生的分数达到报考高校的录取线,学校就必须招录考生。在此高考招生下,政府掌握着高考和招生的大权,学校处于被支配的弱势地位,学校招收的学生只能单纯凭借分数“一刀切”,高校对考生的素质水平,能力水平都得不到直观的考核和评价。另外,对于许多在某方面有特殊才能,值得高校培养,将来极有可能会成为国家栋梁的学生也会因为高考分数的“一刀切”被拒之大学的门外。

虽然高考的招生制度对于大学而言,不利于大学本身对人才的筛选,使大学完全处于被支配、被控制的地位。但高考制度是伴随我国计划经济期间产生的人才选拔制度,它适应了当时的社会发展对人才的分层和当时国家经济建设对人才的急切需求。也可以说,高考制度是在我国计划经济时期最高效的人才选拔模式和维持社会稳定的方式。所以几十年来,政府一直紧握招生大权,实行高考这种相对公平公正,被大家相对比较接受的竞争机制。

2 自主招生制度下的招生权

随着计划经济被市场经济逐步取代的社会现状,高校开始争取独立的招生权力,它们迫切希望根据自身对人才的判断和培养为社会提供优秀人才。自此,2003年教育部推出在全国22所高校试点自主招生的方案颁布,自主招生制度就开始如火如荼地迅猛发展。招生权由之前的完全由政府把握到现在下放部分权力到高校,高校开始有了一定的招生权。从开始试点自主招生到现在,高校自主招生已经进行了9年,在这段时间里,高校不断总结摸索着各自的招生经验,使其自主招生顺利实施和进行。

以北京大学为例,北京大学作为第一批教育部推出的试点自主招生高校之一,在自主招生几年中不断进行改进和创新。在《北京大学2003年自主招生办法》文件中规定:自主招生对象,不仅要求学习综合成绩特别突出,思想道德品质优秀,而且要具有超常的创新和实践能力,在科技创新方面有优异成绩或者在文学、艺术等方面具有特殊才能。这些学生在经过北京大学文化课考核和专家组面试通过之后能享受高考成绩在当地录取线下20分以内被正常录取,而且录取后,学校会根据学生的特长和高考成绩确定录取专业,而并不是由学生自主选择专业。这种根据学生特长由学校进行专业分配的方式,打破了之前由分数决定专业,从而导致部分学生无法发挥自身优势选择合适专业的弊端。进而,北京大学在自主招生基础上又于2010年首次试行“中学校长实名推荐制”,由获得北京大学“实名推荐制”资质的中学校长可按分配名额推荐优秀学生。北京大学根据中学校长所推荐学生的具体情况,安排相关学科的专家组对学生报名资料进行审核。合格者将免于参加北京大学自主招生笔试而直接进入面试,面试合格者在高考录取时将享受北京大学一批次录取线下降30分录取的政策;具备教育部规定的保送资格的学生,可向北京大学申请相关专业的保送资格。可以说校长实名推荐制进一步对高校自主招生权力进行了诠释,让高校能够真正招收到适合本学校适合本专业的学生。

从单一的自主招生到现在多元的自主招生模式,各个高校在自主招生过程中不断探索和改进,可见高校对于自主招生及能够自主选择人才资源的重视和肯定。在自主招生过程中,高校充分发挥了其主动性,发挥了其培养人才的基本角色。不再是单纯依附于政府,而是由政府和高校协同作战,共同提高人才的选拔模式。

3 招生权的归属

艾萨克·康德尔在《教育的新时代——比较研究》一书中指出,教育既然是社会稳定和公民品德的基础,它的进步和发展就成为每一个国家最大的社会政治单位(国家)所关心的事。教育既然肩负着维持社会稳定的重任,那国家和政府对于大学的教育应该是进行垄断还是协同管理?对于高校的招生是应该集权还是放权?

现代高等教育耗资巨大,大学不可能在经费、物资、人力等方面完全独立,因此大学在取得相应的国家人、财、物力支持的同时,必然向国家承担相应的责任和义务,通过高考制度选拔人才适应了民众对公正公平的需求,稳定了民众的情绪,维持了社会的稳定。同时,自主招生制度即是政府放权给高校的标志,高校在依附于政府的同时,拥有了自主的权力,自主选择部分学生进行培养,真正实现大学自主培养人才的本色,在为社会培养人才的同时,更为超越社会,走在社会前列而努力。高校自主招生权力的拥有,是政府和高校之间权力合理分配的体现,政府和高校是相互依存相互成长的,高校不可能完全独立于政府,但拥有独立的招生自主权是必不可少的,同时也是目前市场经济的迫切需求。

参考文献

[1]郑若玲.自主招生是一把双刃剑[J].北京:科学时报,2010-03-04.

[2]庞守兴.质疑高校自主招生改革方案[J].教育发展研究,2003(10).

13.四川农业大学自主招生简章 篇十三

四川农业大学2017年自主招生简章

四川农业大学是一所具有百年办学历史，以生物科技为特色，农业科技为优势，多学科协调发展的国家“211工程”重点建设大学，也是教育部本科教学工作水平评估优秀高校。为了进一步深化高等学校考试制度改革，推进中学素质教育的深入实施，根据《国家中长期教育改革和发展规划纲要(2010-2020)》及《教育部关于进一步完善和规范高校自主招生试点工作的意见》(教学[2014]18号)，结合我校实际，制定本简章。

一、领导机构

学校成立自主招生工作领导小组，负责自主招生工作的组织及实施，并在招生监察工作领导小组的全程监督下进行。

二、招生省份、计划及招生专业

招生省份：四川省

招生计划：120名

招生专业：生物技术、食品科学与工程、人力资源管理、财务管理、农林经济管理、土地资源管理、园林、土木工程、建筑学、工程管理。

三、报名条件

1.考生具备坚定的爱国主义信念，政治思想品德合格、诚实守信、遵纪守法;

2.具备参加全国普通高等学校统一招生考试报名资格;

3.考生具备下列条件之一：

(1)高中阶段获得数学、物理、化学、生物等学科竞赛省级及以上奖励;

(2)高中阶段参加创新实践活动(竞赛、科研课题、创新训练等)，展示出较好的创新潜质并能提供主要成果证明材料(竞赛获奖、论文、专利、科研课题开题(结题)报告或其它创新性成果，考生须深度参与，并至少是其中某部分的主要完成人);

(3)对所报专业有着浓厚兴趣，在某一学科领域展现出较强的学科特长并能提供相关证明材料。

4.生物技术、园林、土木工程、食品科学与工程、工程管理、建筑学专业仅限理科生报考，人力资源管理、财务管理、农林经济管理、土地资源管理专业文理科生均可报考。

四、报名方式

1.报名时间：2017年3月22日—2017年4月5日

2.报名方式：凡符合我校自主招生报名条件的高中毕业生，登录“试点高校自主招生报名系统”(以下简称报名系统) ，按要求如实填写报名信息，并下载打印。由所在中学审核签署推荐意见并加盖公章(共两份，一份邮寄学校，一份参加自主招生考核时现场出示)。

3.材料邮寄：将以下材料装订成册(A4规格)，于2017年4月15日前(邮件接收以收件日邮戳为准)，通过中国邮政EMS寄送至四川省成都市温江区惠民路211号四川农业大学招生就业处(邮编：611130)。信封显著位置注明“自主招生申请材料”字样。

(1)《四川农业大学2017年普通自主招生申请表》1份(中学审核盖章)

(2)考生身份证或户口薄复印件1份

(3)高中阶段参加社会实践活动情况复印件1份

(4)高中阶段主要获奖证书及其它相关材料复印件1份

注：以上申请材料概不退还，请做好备份;所寄材料内容须与报名系统填报信息内容一致，《四川农业大学2017年普通自主招生申请表》编号须与报名系统一致，否则报名无效。

五、考核办法

1.初审

学校将组织专家组对学生报名材料进行综合评审(包括考生个人陈述、学业表现、思想品德与社会实践等)，结合我校人才培养目标、学科特色以及自主招生考核相关要求确定参加考核的考生名单。

初审通过名单将于4月30日前在学校本科招生网、报名系统及四川省教育考试院网进行公示。学生可登陆报名系统查询，学校不再另行通知。

2.收费

通过初审的学生于5月8至日5月20日通过报名系统缴纳报名及考核费，缴费标准：130元/生〔川发改价格(2012)641号〕。家庭经济困难学生可申请退费(于综合考核当日凭乡镇及以上政府或民政部门出具的家庭经济困难证明办理)。

3.考核

考核方式为综合考核。综合考核含综合测试(笔试)和“无领导小组讨论”(面试)两部分。综合考核根据专业学科特色以及培养要求，主要考查学生学科特长、创新潜质等情况。考核过程全程录像，专家名单和面试顺序由抽签随机确定。请考生于6月3日至6月9日中午12：00，通过报名系统确认参加综合考核并打印准考证。

综合考核时间：2017年6月11日

综合考核地点：四川农业大学成都校区(成都市温江区惠民路211号)

4.考核成绩：总分100分，其中，综合测试成绩60分，“无领导小组讨论”成绩40分。

注意事项：考生参加考核时须现场出示准考证和身份证原件 ，否则不能参加考核。

六、确定入选资格及公示

1.入选

我校将根据考核成绩由高到低排名拟定具备自主招生资格考生名单，报学校招生工作领导小组审核确定。

2.公示

获得我校自主招生资格的`考生，我校将根据考生学科专业特长确定考生可报考的相应专业范围。考生名单将于6月22日前在学校本科招生网、报名系统及四川省教育考试院网进行公示。

七、志愿填报

按四川省教育考试院统一安排和我校要求填报自主招生志愿。

八、录取

获得我校自主招生资格的考生须参加2017年全国普通高考，且高考成绩达到本科第一批同科类省定录取控制线，按专业志愿，以高考成绩从高到低予以录取。录取名单将按照主管单位的统一安排，在学校本科招生网、报名系统及四川省教育考试院网进行公示。

九、监督机制

1.我校自主招生工作遵循公平、公正、公开的原则，严格选拔程序，录取结果公开透明。学校纪检监察部门全程参与，接受社会监督和投诉。监督电话：0835-2882561，028-86293282。

2.申请人应本着诚信原则，如实填写申请表和相关材料;所在中学应本着高度负责的精神推荐申请者，如实填写表中各项内容;学校将组织专家对发明、专利等材料进行严格审核，如有弄虚作假，一经查实，立即取消自主招生报名资格，并将情况上报省级招生考试机构处理;已被录取或取得学籍者，由学校取消其入学资格或学籍。

十、声明：我校未委托任何个人或中介组织代理自主招生事宜，未举办任何形式的辅导班。

十一、联系方式

通信地址：四川省成都市温江区惠民路211号

收件单位：四川农业大学招生就业处

邮 编：611130

联系电话：028-86290999,86291999，传真：028-86291220

网 址：www.sicau.edu.cn或zs.sicau.edu.cn

十二、本简章由四川农业大学招生就业处负责解释

四川农业大学招生就业处

14.中财自主招生简章 篇十四

来源：互联网

2013自主招生正式启动！为了帮助2013届的高三考生与家长更好的为高校自主招生进行准备，特此整理了香港大学2013年自主招生自荐信范文，自主招生个人陈述，自主招生推荐信，希望为考生们提供服务，供考生和家长们参考。

香港的多元化、国际化、秩序井然的社会深深吸引我。我幼小的心灵就强烈地渴望认识香港，认识中国，认识世界。我暗下决心一定要考到香港大学，这所公认亚洲最好的大学。香港大学拥有先进的教学理念，例如全人教育，这正和我兴趣广泛的个人性格相适应，除此之外它还能够提供一个全英语的教学环境。

我是一个热爱旅游的人，在英国游学的旅途中我徒步走完了每一个学院，我惊讶地发现历史悠久的牛津直到今天依然讲古建筑保存的完好无损，相比之下，拥有五千年历史的中国的建筑文物在日新月异的发展中却遭到了破坏。因此，我深切意识到文物保护的重要性并热衷于进入HKU学习建筑文物保护专业，将来可以致力于建筑文物和城市文物的保护发展。

我从小就有着很强的社会责任感。我认为生命的价值在于为社会创造价值。我曾经养老病院与老人们亲切沟通。在交谈中，我发现了这些社会的弱势群体需要得到社会的关心与帮助。这是需要耐力和勇气的工作，这与我执着认真的性格十分契合，我愿意进入HKU学习社会工作学，将来做一名热情，乐于助人的社会工作者。

15.中财自主招生简章 篇十五

自主招生的目的是有利于高校选拔人才, 这是扩大高校招生自主权的有效举措之一.其试题的主要特点是:①知识面宽, ②方法新活, ③“难度”定位介于高考和联赛之间.

试题来源主要有:①据高等数学的知识与方法编拟;②初等数学研究成果借鉴或改编;③前些年高考、自招与各类竞赛 (如全国联赛、希望杯、国外赛题) 等深受广大师生好评的试题主要部分改编;④命题者自编题.

高效快速解答这些试题, 没有固定模式可循, 根据笔者的体会, 可做如下简单概括总结:

解答三步曲:审题—决策—规范.

“审题”的要领是抓主征, 在阅读题目的过程中必然发现:在所有的条件中有一个主要条件, 从中发现其主要特征, 如几何特征、代数特征、新定义背景等等, 往往是有效解题的突破口.

“决策”即从主征入手, 迅速“看透”问题的本质, 获得解题思路;必要时需转化与化归问题.这是自招类试题最具创意和魅力之处.

“规范”即将上述“审题”和“决策”获取的解题信息和解题思路以较为完美的形式快速而简捷地书写整理好.注意体现解题创意的关键步骤, 骨架与主体线条要条理而清晰.

本文首先以集合内容和方法为例来解读其要义.

集合论是数学大厦的基石, 以集合为载体可以承载丰富的知识、方法和数学思想, 可以有效考查数学阅读理解能力、即时学习能力、创新意识等素质和能力, 因此是自主招生、保送生考试、高考、竞赛等各级各类考试命题的理想素材.

1 解读集合“本质属性”

集合的表示方法主要是描述法, 其基本形式为{x|p (x) }, 这里p (x) 是代表元素x所具有的公共属性, 解读其确切含义必要时转化问题是解题的突破口.

例1 (2006年清华自招题) 求由某些正整数组成的集合 (至少含有2个元素) , 使得集合中各数的和等于这些数的积.

解析 解读此集合元素的公共属性“各数之和等于各数之积”, 是有效解题的关键.

所求集合必然是有限集, 否则没有通常意义的和与积.

设它由a1<a2<…<an这n (n≥2) 个正整数组成.则

a1+a2+…+an=a1a2…an.

所以,

nan≥a1+a2+…+an

=a1a2…an

≥1·2·3·…· (n-1) an.

即 n≥1·2·3·…· (n-1) .

若n>3, 则n-1>2, n-2≥2, 得

1·2·3·…· (n-1)

≥ (n-1) ·2>n,

矛盾!由此可知2≤n≤3.

于是, 至多有如下两种可能:

若n=3, 则由3a3>a1+a2+a3=a1a2a3得a1a2<3, 故a1=1, a2=2, 立得a3=3;

若n=2, 则由3a2>a1+a2=a1a2得a1<2, 故a1=1, 但是1+a2=1·a2不成立, 故n≠2.

综上, 这样的集合为{1, 2, 3}.

评注 顺利解决本题的关键是:将公共属性“各数之和等于各数之积”进行符号化处理为“a1+a2+…+an=a1a2…an”然后再进一步缩小变量n的取值范围.读者还可尝试其它解法.此题还曾作为2009年上海交大自招试题 (第4题) , 有兴趣的读者可尝试研究如下变式问题:

1.对于n∈N* (n≥2) , 是否存在a1, a2, …, an∈N*使得a1+a2+…+an=a1a2…an?

2.对于n∈N* (n≥2) , 是否存在互不相等的a1, a2, …, an∈R使得a1+a2+…+an=a1a2…an?

例2 (2011年复旦千分考) 设S是由任意n≥5个人组成的集合, 若S中任意4个人当中都至少有1个人认识其余3个人, 那么下面的判断中正确的是 ( ) .

(A) S中没有人认识S中所有的人

(B) S中至少有1人认识S中所有的人

(C) S中至多有2人不认识S中所有的人

(D) S中至多有2人认识S中所有的人

解析 根据题设条件, 从解读集合S的含义入手, 举例验证或排除, 是正确的需要给予严格证明.

若S中所有人都相互认识, 显然符合题设条件, 从而AD都错;若a, b, c是S中的3人, 它们中的任何一个人都不认识其他任何人, 而除了这3人之外, 其他n-3个人都认识所有的人, 显然这样的集合符合题目要求, 故C错.用排除法可得B为正确.

对于B的证明:

认识的总人次至少为3C${}_n^4$, 而

$\begin{array}{l}\left[\frac{3\text{C}{}_n^4}{\text{C}{}_n^2}\right]=\left[\frac{(n-2)(n-3)}{4}\right]\\ \ge \left[\frac{3\times 2}{4}\right]\\ =1(n\ge 5),\end{array}$

由抽屉原则可知:S中至少有1人认识S中所有的人.

2 解读集合的运算含义

集合运算主要是指集合的子交并补运算, 以此为基础可以类比迁移定义新概念、新运算, 考查即时学习能力与迁移创新意识.

例3 (2008年浙江大学) 已知集合A=$x|(x-1){}^2+(y-2){}^2\le \frac{5}{4}$, B={ (x, y) ||x-1|+2|y-2|≤a}, A⊆B, 求实数a的取值范围.

解析 寻求几何意义, 画图观察需要圆面在矩形内部, 寻找临界值即可得$a\ge \frac{5}{2}$.巧的是:同年中科大的试题是:将$\frac{5}{4}$改为$\frac{4}{5}$ (其它不动) , 答案为[2, +∞) .

例4 (2010年清华等五校联考) 已知f (x) 是定义在R上的奇函数, 且当x<0时f (x) 单调递增, f (-1) =0.设φ (x) =sin2x+mcos x-2m, 集合M=m|∀x∈$0,\frac{\text{π}}{2}$, φ (x) <0, N=m|∀x∈$0,\frac{\text{π}}{2}$, f (φ (x) ) <0, 求M∩N.

解析 易得

f (x) <0⇔x<-1或0<x<1,

于是

N=m|∀x∈$0,\frac{\text{π}}{2}$, f (φ (x) ) <0

=m|∀x∈$0,\frac{\text{π}}{2}$,

φ (x) <-1或0<φ (x) <1;

于是

M∩N=m|∀x∈$0,\frac{\text{π}}{2}$, φ (x) <-1.

由φ (x) <-1得

cos2x-mcos x+2m-2>0.

令cos x=t∈[0, 1], 则问题转化为:不等式t2-mt+2m-2>0在t∈[0, 1]恒成立时m的取值范围, 即

$m>\frac{t{}^2-2}{t-2},$

可得

$h(t)=\frac{t{}^2-2}{t-2}=\lambda +\frac{2}{\lambda }+4$

在λ∈[-2, -1]的最大值为$4-2\sqrt{2}$, 即$m>4-2\sqrt{2}$, 即

${\rm M}{\displaystyle \cap {\rm N}}=(4-2\sqrt{2},+\infty ).$

例5 (高考改编题) 设a, b是两个实数, A={ (x, y) |x=n, y=na+b, n是整数}, B={ (x, y) |x=m, y=3m2+15, m是整数}, 且A∩B≠Ø;C={ (x, y) |x2+y2≤144}是xOy平面内的集合, 则有序数对 (a, b) ∈C成立的个数为 ( ) .

(A) 0 (B) 1

(C) 2 (D) 可能多于2个

解析 本题是以集合形式设计的多参数存在性问题, 根据集合及其运算的意义, 问题可有以下转化途径:由条件“A∩B≠Ø”, 可得nx+y=3n2+15为本题主条件, 其中涉及3个变量, 从不同角度分析, 可得不同的解题思路, 如视x, y为主变量寻求几何意义, 有

法1 假设存在, 由A∩B≠Ø得点P (a, b) 在直线l:nx+y=3n2+15上, 点O到l的距离

$\begin{array}{l}d=\frac{|3n{}^2+15|}{\sqrt{n{}^2+1}}\\ =3\left(\sqrt{n{}^2+1}+\frac{4}{\sqrt{n{}^2+1}}\right)\\ \ge 12,\end{array}$

当且仅当n2=3即$n=\pm \sqrt{3}$时取等号, 而n是整数, 故d>12, 即a2+b2>144.

而由 (a, b) ∈C得a2+b2≤144, 矛盾!故不存在, 选A.

若视x, y为主变量并从“消元”角度思考, 可有

法2 假设存在, 可得b=3n2-na+15, 代入a2+b2≤144得

(1+n2) a2-2n (3n2+15) a

+ (3n2+15) 2-144≤0. (1)

由n是整数知其判别式

Δ=-36 (n2-3) 2<0,

又1+n2>0, 故不等式 (1) 无实数解, 进而不存在 (a, b) , 选A.

若视n为主变量, 可有

法3 由A∩B≠Ø得

3n2-na+15-b=0, (2)

将 (2) 式看成关于n的二次方程, 则其

Δ=a2-12 (15-b) ≥0, (3)

即 12b-180≥-a2.

又a2+b2≤144, (4)

于是

12b-180≥-a2≥b2-144,

(b-6) 2≤0,

故只有b=6, 代入 (3) 得a2≥108, 代入 (4) 得a2≤108, 故只有a2=108.

将$a=\pm 6\sqrt{3},b=6$代入 (2) 式整理得

$\left(n\pm \sqrt{3}\right){}^2=0$, 即$n=\pm \sqrt{3}\notin \mathbf{{\rm Z}}.$

因此不存在, 选A.

3 新定义型问题

例6 (2010年复旦自招题) 设集合X是实数集R的子集, 如果点x0∈R满足:对任意a>0, 都存在x∈X, 使得0<|x-x0|<a, 称x0为集合X的聚点.用Z表示整数集, 给出下列集合:

①$\frac{n}{n+1}|n\in \mathbf{{\rm Z}},n\ge 0$;

②R＼{0};

③$\frac{1}{n}|n\in \mathbf{{\rm Z}},n\ne 0$;

④整数集Z.

其中以0为聚点的集合有 ( ) .

(A) ②③ (B) ①④

(C) ①③ (D) ①②④

解析 根据“聚点”的定义, 其含义应理解为:以任意无穷小为半径, 以x0为圆心的圆内都至少有x的一个元素 (不包括x0) .以此逐一验证即可:

对于集合①, 按从小到大顺序列举有$0,\frac{1}{2},\frac{2}{3},\frac{3}{4},\frac{4}{5}‚\cdots$, 可取$a=\frac{1}{3}$, 则不存在x∈$\frac{n}{n+1}|n\in \mathbf{{\rm Z}},n\ge 0$满足$0<|x-0|<\frac{1}{3}$;对于②③, 显然以0为聚点;对于④, 只要取a<1, 如$a=\frac{1}{2}$ (取法不唯一) , 有:不存在x∈Z满足$0<|x-0|<\frac{1}{2}.$

综上, 选A.

评注 “聚点”是高等数学中的一个重要概念, 将高等数学中的一些重要概念、结论改编成中学生可以接受的试题, 在高考和自主招生中是常见的.其解答要领就是解读新定义概念的内涵, 如“聚点”主要解读不等式“0<|x-x0|<a”的含义 (可偏重于几何意义) .

这样的例子在高考和自招题中很多, 如:

1. (2010年高考四川卷) 设非空集合S是复数集C的子集, 对任意x, y∈S, 都有x+y, x-y, xy∈S, 则定义集合S是C上的封闭集.给出如下4个命题:

①S={a+bi|a, b∈Z, i是虚数单位}是封闭集;

②若S是封闭集, 则0∈S;

③封闭集一定是无限集;

④若S是封闭的, 则满足S⊆T⊆C的任意集T也是封闭的.

其中正确命题的序号有____. (把你认为正确命题的序号都填上)

提示:把握“封闭集”的含义, 答案为:①②.

2. (2008年复旦自招题) 设A={a1, a2, a3}是由3个元素所组成的集合, 且T是A的子集族, 满足性质:空集和A属于T, 并且T中任意2个元的交集和并集还属于T, 问所有可能的T的个数为 ( ) .

(A) 29 (B) 33 (C) 43 (D) 59

提示:A共有8个子集, 按适合题意的T中含有元素的个数分类列举可得29个, 选A.

3. (2007年清华自招题) 对于集合M⊆R2 (表示二维点集) , 称M为开集, 当且仅当∀P0∈M, ∃r>0, 使得{P∈R2||PP0|<r}⊆M.判断集合{ (x, y) |4x+2y-5>0}与{ (x, y) |x≥0, y<0}是否为开集, 并证明你的结论.

提示:解读“开集”的含义即可.

∀P0= (a, b) ∈M={ (x, y) |4x+2y-5>0}.则点 (a, b) 到直线l:4x+2y-5=0的距离为$d=\frac{4a+2b-5}{2\sqrt{5}}$, 取r∈ (0, d) , 则有{P∈R2||PP0|<r}⊆M, 故M={ (x, y) |4x+2y-5>0}为开集;

Q={ (x, y) |x≥0, y>0}不是开集, 事实上, 只要取点P0= (0, b) (b>0) 即可知:不存在r>0, 使得{P∈R2||PP0|<r}⊆Q.

根据开集的几何意义, 也可直接画图观察.

4 新运算型问题

例7 (2009年复旦自招题) 设X={0, 1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9}, 定义在X上的运算♁如下:对任意m, n∈X, m♁n等于m+n除以10的余数, 给定初值n0∈X, 记n1=n0♁n0, nk=nk-1♁n0, k=1, 2, 3, …, 则使得数列{nk}取遍X中所有元素的初值n0的集合是 ( ) .

(A) 空集 (B) X

(C) {1, 3, 9} (D) {1, 3, 7, 9}

解析 根据题目的要求, 结合“运算♁”的含义可得:要使{nk}取遍X中所有元素, 只要n0不是2与5的倍数, 故n0的取值集合为{1, 3, 7, 9}, 选D.

例8 (2003年复旦保送生试题) 定义闭集合S, 若a, b∈S, 则a+b∈S, a-b∈S.

(Ⅰ) 举一例, 真包含于R的无限闭集合;

(Ⅱ) 求证对任意两个闭集合S1, S2⊂R, 存在c∈R, 但c∉S1∪S2.

解析 (Ⅰ) 闭集如整数集Z, 有理数集Q, 等;

(Ⅱ) 用反证法.假设不存在c∈R但c∉S1∪S2.

即∀x∈R, 有x∈S1∪S2.所以S1∪S2=R.

因为S1, S2⊂R, 所以S1≠S2.则必∃a1∈S1而a1∉S2;∃a2∈S2而a2∉S1.

若a2-a1∈S1, 则 (a2-a1) +a1=a2∈S2, 矛盾!

若a2-a1∈S2, 则a2- (a2-a1) =a1∈S2, 矛盾!

故假设不成立, 即存在c∈R, 但c∉S1∪S2.

评注 本题需要理解抽象符号含义, 解读主条件“若a, b∈S, 则a+b∈S, a-b∈S”的含义.对于否定性命题的证明, 常常使用反证法.而本题用到一个知识点:含有一个量词的复合命题的否定表达方法.以此为素材的高考题有2007年北京卷理20题:

已知集合A={a1, a2, …, ak} (k≥2) , 其中ai∈Z (i=1, 2, …, k) , 由A中的元素构成两个相应的集合:S={ (a, b) |a∈A, b∈A, a+b∈A}, T={ (a, b) |a∈A, b∈A, a-b∈A}其中 (a, b) 是有序数对, 集合S和T中的元素个数分别为m和n.若对于任意的a∈A, 总有-a∉A, 则称集合A具有性质P.

(Ⅰ) 检验集合{0, 1, 2, 3}与{-1, 2, 3}是否具有性质P并对其中具有性质P的集合, 写出相应的集合S和T;

(Ⅱ) 对任何具有性质P的集合A, 证明:$n\le \frac{k(k-1)}{2}$;

(Ⅲ) 判断m和n的大小关系, 并证明你的结论.

5 容斥原理的应用

例9 (2009年浙大自招题) 给出5个数字1, 2, 3, 4, 5, 排列这5个数字, 要求第1个到第i (1≤i≤4) 个位置不能由1, 2, …, i的数字组成, 如21534不可, 因为第1位到第2位由1, 2组成, 同理32145也不可.求满足要求的所有可能的组合数.

解析 用容斥原理解决:令Ai (1≤i≤4) 为1, 2, 3, 4, 5的排列所组成的集合, 它的任一个元素的前i个数是1, 2, …, i的一个排列.用|A|表示集合A中元素的个数, 则

|A1|=4!=24,

|A2|=2!×3!=12,

|A3|=3!×2!=12,

|A4|=4!=24,

|A1∩A2|=3!=6,

|A1∩A3|=2!×2!=4,

|A1∩A4|=3!=6,

|A2∩A3|=2!×2!=4,

|A2∩A4|=2!×2!=4,

|A3∩A4|=3!=6,

|A1∩A2∩A3|=2!=2,

|A1∩A2∩A4|=2!=2,

|A1∩A3∩A4|=2!=2,

|A2∩A3∩A4|=2!=2,

|A1∩A2∩A3∩A4|=1.

所以,

|A1∪A2∪A3∪A4|

=24+12+12+24-6-6-6

-4-4-4+2+2+2+2-1

=49.

故满足要求的所有可能的组合数为120-49=71.

6 集合与函数交汇

例10 (2008年交大冬令营试题) 已知f (x) 为二次函数, 且集合A={x|f (x) =x, x∈R}, B={x|f (f (x) ) =x, x∈R}.若A=Ø, 是否有B=Ø 并证明你的结论.

解析 没有.设

f (x) =ax2+bx+c (a≠0) .

法1 (分解解析式)

f (x) -x=ax2+ (b-1) x+c=0

无实数根,

Δ= (b-1) 2=4ac<0;

f (f (x) ) -x=0,

即 a (ax2+bx+c) 2

+b (ax2+bx+c) +c-x=0,

a (ax2+bx+c) 2-ax2+ax2

+b (ax2+bx+c) +c-x=0,

a (ax2+bx+c-x) (ax2+bx+c+x)

+ (b+1) ax2+ (b2-1) x+c (b+1) =0,

a[ax2+ (b-1) x+c][ax2+ (b+1) x+c]

+ (b+1) [ax2+ (b-1) x+c]=0,

[ax2+ (b-1) x+c]

·[a2x2+a (b+1) x+b+c+1]=0.

于是有

ax2+ (b-1) x+c=0,

或 a2x2+a (b+1) x+ac+b+1=0.

Δ1= (b-1) 2-4ac<0;

Δ2=a2 (b+1) 2-4a2 (ac+b+1)

=a2[ (b-1) 2-4ac-4]

<-4a2

<0.

故均不存在实数根.

法2 (结合几何意义来理解) 若a>0, 则f (x) >x, 于是f (f (x) ) >f (x) >x;若a<0, 则f (x) <x, 于是f (f (x) ) <f (x) <x.所以f (f (x) ) =x没有实数根.

法3 (反证法) 若存在f (f (x0) ) =x0, 令f (x0) =t, 则f (t) =x0, 即 (t, x0) 是y=f (x) 图像上的点;又f (x0) =t, 即 (x0, t) 也是y=f (x) 图像上的点.显然这两点不重合, 且关于直线y=x对称.而y=f (x) =ax2+bx+c是连续函数, 故y=f (x) 与直线y=x必有交点, 从而f (x) =x有实数根, 矛盾!

评注 类似地, 可解2009年交大自招题:若f (f (x) ) =x有唯一不动点, 则f (x) =x也有唯一不动点.这类试题在自招等选拔性考试中经常出现, 再如:

1. (2010年浙江大学自招题改编) 设M={x|f (x) =x}, N={x|f (f (x) ) =x}.

(Ⅰ) 求证M⊆N;

(Ⅱ) 若f (x) =ax2-1 (a, x∈R) , 且M=N≠Ø, 求a的值;

(Ⅲ) f (x) 为单调递增函数时, 是否有M=N?并证明.

提示: (Ⅱ) a值的集合为$-\frac{1}{4},\frac{3}{4}$;

(Ⅲ) 用反证法即可.本题可推广:

令f1 (x) =f (x) , fn (x) =f1 (fn-1 (x) ) , n≥2, N={x|fn (x) =x}, 则

(Ⅰ) M⊆N;

(Ⅱ) f (x) 为单调递增函数时, 有M=N.

注意:当f (x) 为单调减函数时未必有M=N, 例如:f (x) =-x, 易得M={x|f (x) =x}={0}, 而N={x|f (f (x) ) =x}={0, 1}, 显然M≠N.

2. (2012年北大保送生试题第二题) 已知f (x) 是一个二次函数, 且a, f (a) , f (f (a) ) , f (f (f (a) ) ) 成正等比数列, 求证:f (a) =a.

7 集合与映射、计数综合

例11 (全国联赛题改编) 若集合A1, A2满足A1∪A2=A, 则称 (A1, A2) 为集合A的一种分拆, 并规定当且仅当A1=A2时 (A1, A2) 与 (A2, A1) 为集合A的同一种分拆, 则

(Ⅰ) 集合A={1, 2, 3}的不同分拆的种数为___;

(Ⅱ) 若A={a1, a2, …, an}, 则其分拆数为___;

(Ⅲ) 满足A1∪A2∪…∪Ak={a1, a2, …, an}的集合有序组 (A1, A2, …, Ak) 有多少组?为什么?

解析 (Ⅰ) 根据集合“分拆”的定义, 依集合A1所含元素的个数分类讨论如下:

(ⅰ) 当A1=Ø时A2={1, 2, 3}, 只有一种分拆;

(ⅱ) 当A1为单元素集 (有3种情况) 时A2必须至少包括除该元素之外的两个元素, 有2种情况, 此时有6种分拆;

(ⅲ) 当A1为含有2个元素的集合 (有3种情况) 时A2必须包括除这两个元素之外的那个元素, 还有可能包括A1的2个元素中的一个或两个, 故此时有12种分拆;

(ⅳ) 当A1为含有3个元素的集合 (即A1=A) 时A2可能含0个、1个、2个或3个元素即有23种情况, 故此时有23种分拆;

因此总的分拆数为1+6+12+8=27种, 选A.

(Ⅱ) 若A={a1, a2, …, an}, 则其分拆数为3n.可以用数学归纳法证明 (此略) .

这里给出用乘法原理的一种理解, 考察每一个元素在分拆中与集合A1, A2的关系, 任何一个元素都有且只有3种可能:只属于集合A1, 或只属于集合A2, 或既属于集合A1又属于集合A2.因此所有分拆数为3n个.

(Ⅲ) 满足A1∪A2∪…∪Ak={a1, a2, …, an}的集合有序组 (A1, A2, …, Ak) 的组数为 (2k-1) n, 证明仿照 (Ⅱ) 用乘法原理 (略) .

评注 变式题: (2003年上海交大自招题) 有n个元素的集合分为两个部分, 空集除外, 可有___种分法. (答案:2n-1-1)

例12 (全国联赛题改编) 已知实数集A={1, 2, 3, …, 100}, B={1, 2, 3, …, 50}, 若映射f:A→B中B中每个元素都有原象, 且f (1) ≤f (2) ≤f (3) ≤…≤f (100) , 则这样的映射共有___个.

解析 问题即:满足B的每个元素都有原象, 需要把A中的元素分为每组非空的50组, 只要从1, 2, 3, …, 100之间的99个空隙选择49个放入49块隔板即可, 故有C${}_{99}^{49}$个满足条件的映射.

一般地, 集合A, B中分别有m, n个元素, 满足条件f (a1) ≤f (a2) ≤…≤f (am) 且B的每个元素都有原象的映射f:A→B共有C${}_{m-1}^{n-1}$个.

若去掉条件“B中每个元素都有原象”呢?提供以下两种思路:

设B中这50个元素的原象数分别为xi (i=1, 2, …, 50) , xi∈N, 且

x1+x2+…+x50=100. (1)

问题转化为求不定方程 (1) 自然数解的个数.令yi=xi+1则转化为:

求不定方程y1+y2+…+y50=150的正整数解的个数.

这又相当于从149个空隙中选择49个放置隔板的方法种数即C${}_{99}^{49}$.

一般地, 不难得到:若集合A, B中分别有m, n个元素, 满足条件f (a1) ≤f (a2) ≤…≤f (am) 的映射f:A→B共有C${}_{m+n-1}^{n-1}$个.

等价于说:不定方程x1+x2+…xm=n (m, n∈N, m, n≥2) 的自然数解有C${}_{n+m-1}^{m-1}$组.

例13 (2011年中科大保送生面试题) 设Sn={1, 2, 3, …, n}, f (x) 是Sn到自身的一一映射.

(Ⅰ) f (x) 有多少种?

(Ⅱ) 讨论n=4, 5时, 满足f (f (i) ) =i (i∈Sn) 的个数;

(Ⅲ) 将 (Ⅱ) 的结果推广到n.

解析 答案为:

(Ⅰ) n!; (Ⅱ) 10, 26;$(\mathrm{Ⅲ}){\displaystyle \sum _{k=0}^{\left[\frac{n}{2}\right]}\frac{\text{A}{}_n^{2k}}{2{}^{k}k!}}.$

这里重点解读 (Ⅲ) , 即下述问题:

函数f (x) 的定义域和值域都是{1, 2, 3, …, n} (n≥2) , 满足f (f (x) ) =x, 则这样的函数共有多少个?

解析如下:设f (x) 的定义域为Sn={1, 2, 3, …, n}, 将Sn中元素分成两类:

(1) M={x|f (x) =x, x∈Sn};

(2) N={x|f (x) ≠x, x∈Sn}.

当x∈M时显然满足条件f (f (x) ) =x;当x∈N时, 设f (x) =y (y≠x) , 则f (f (x) ) =f (y) .又由题设知f (f (x) ) =x, 所以f (y) =x (x≠y) ;必有y∈N即f (x) ∈N.所以集合N中元素的个数必为偶数个, 且可按如下方式分组:

若f (x) =y, f (y) =x (y≠x) , 则将x, y视为一组 (可以称为一个“二元循环”:x→y→x (y≠x) ) , 下面根据上述 (1) (2) 来建立函数:

设集合N中元素个数为2i (i∈N) .

当i=0即N=Ø时, 满足条件的函数只有一个, 即f (x) =x, x∈{1, 2, …, n};

当i≠0时, 从集合A的n个元素选出2i (≤n) 个元素, 构成集合N, 再将N中元素平均分成i组, 对每一组的两个元素按照二元循环建立对应关系, 所有方法数为$\frac{\text{C}{}_n^2\text{C}{}_{n-2}^2\cdots \text{C}{}_{n-2(i-1)}^2}{i!}.$

对于集合A中余下的n-2i个元素, 使它们与自己对应即可, 此时只有一种方法.

所以, 当集合N的元素个数为2i (i∈N*) 且$i\le \frac{n}{2}$时, 满足f (f (x) ) =x的函数总数为$\frac{\text{C}{}_n^2\text{C}{}_{n-2}^2\cdots \text{C}{}_{n-2(i-1)}^2}{i!}.$

由加法原理可得, 满足f (f (x) ) =x的函数总数为

$\begin{array}{l}1+{\displaystyle \sum _{1\le i\le \frac{n}{2}}\frac{\text{C}{}_n^2\text{C}{}_{n-2}^2\cdots \text{C}{}_{n+2-2i}^2}{i!}}(n\ge 2)\\ ={\displaystyle \sum _{k=0}^{\left[\frac{n}{2}\right]}\frac{\text{A}{}_n^{2k}}{2{}^{k}k!}}.\end{array}$

评注 1.由于定义域与值域同为{1, 2, 3, …n}, 故函数f (x) 为一一映射, 具有反函数, 可设为f-1 (x) , 则有

f (f (x) ) =x⇔f (x) =f-1 (x) ⇔f (x) 的图像关于直线y=x对称.

2.原型题有2006年高考浙江卷理第 (10) 题:若函数f:{1, 2, 3}→{1, 2, 3}满足f (f (x) ) =f (x) , 则这样的函数f (x) 个数共有 ( ) .

(A) 1个 (B) 4个 (C) 8个 (D) 10个

顺利解答本题的难点在于:一是能否深刻理解映射与函数的概念及其相互关系;二是如何理解符号f (f (x) ) =f (x) 的含义.由于研究对象 (集合中的元素) 不多 (只有3个) , 考虑使用列举法, 可据象集合所含元素的个数为分类标准, 讨论如下:

记定义域为A={1, 2, 3}, 值域为C.

第一类, C中恰含1个元素.此类映射的共同点是:A中的每一个元素都对应选中的元素, 这样的映射有3个, 如图1.

第2类, C中恰含2个元素.此类映射的共同点是:C中选出的元素的原象必须是自身, A中剩下的那个元素可以对应C中选出的元素中的任何一个, 这样的映射有C${}_3^2$=6个, 如图2.

第3类, C中恰含3个元素, 此类映射的特征是:C中选出的元素的原象必须是其自身, 这样的映射只有1个, 如图3.

总之, 满足题意的函数f (x) 共有10个.

上述试题和做法都有推广价值.对于第2类:除了元素的自对应外, 集合A中的其它元素的象从上述自对应的象中任意取.即:设f (x) 的定义域为A, 值域为B (⊆A) , 且满足f (f (x) ) =f (x) , 则

(Ⅰ) 当x∈B时, 必有f (x) =x;

(Ⅱ) 当x∈A-B时, x可与B中任意元素对应.

证明如下:

(Ⅰ) 当x∈B时, 存在x0∈A使得f (x0) =x, 所以f (f (x0) ) =f (x) ;又由题设知f (f (x0) ) =f (x0) , 所以f (x) =f (x0) =x.

(Ⅱ) 当x∈A-B时, 在B中任取一个元素y, 使得f:x→y即f (x) =y;于是f[f (x) ]=f (y) ;又由y∈B, 及 (Ⅰ) 可知f (y) =y, 所以f[f (x) ]=y=f (x) .

所以, 当x∈A-B时, 令x与B中任意元素对应, 均满足条件f (f (x) ) =f (x) .

根据上述结论, 我们可以解决如下一般问题:

推广1 函数f:{1, 2, 3, …, n}→{1, 2, 3, …, n}满足f (f (x) ) =f (x) , 则这样的函数共有多少个?

解析 设集合B中的元素个数为i, 则函数f (x) 可以按下述方式建立:

从集合A中的n个元素中选出i个元素, 构成集合B, 并使B中的元素与自己对应, 共有C${}_n^i$种方法;对于集合A中余下的n-i个元素, 每个元素均可与B中的任意元素对应, 共有in-1种方法.由分步计数原理可得:当集合B中元素个数为i时满足f (f (x) ) =f (x) 的函数f (x) 的个数共有Cinin-i;……;由分类加法计数原理可得, 满足f (f (x) ) =f (x) 的函数f (x) 的个数为${\displaystyle \sum _{i=1}^n\text{C}}{}_n^{i}i{}^{n-i}$.如:

(1) 函数f:{1, 2, 3, 4}→{1, 2, 3}满足f (f (x) ) =f (x) , 则这样的函数共有多少个?

(提示:4只能当成余下的元素来处理, 答案为18)

(2) 函数f:{1, 2, 3}→{1, 2, 3}满足f (f (f (x) ) ) =f (x) , 则这样的函数f (x) 共有多少个? (答案:19)

推广2 将问题一般化呢?比如:

(1) f:{1, 2, …, n}→{1, 2, …, n}, 满足f (f (f (x) ) ) =f (x) 的函数f (x) 共有多少个?

(2) f:{1, 2, …, n}→{1, 2, …, n}, 满足$\underset{k\text{个}f}{{\displaystyle f(\cdots f(f(x)))}}=f(x)$的函数f (x) 共有多少个?

(3) f:{1, 2, …, n}→{1, 2, …, n}, 满足$\underset{k\text{个}f}{{\displaystyle f(\cdots f(f(x)))}}=x$的函数f (x) 共有多少个?

(4) 设A={1, 2, …, n}, 若函数f (x) 的定义域与值域都是A, 则满足$\underset{k\text{个}f}{{\displaystyle f(\cdots f(f(x)))}}=f(x)$的函数f (x) 共有多少个?

(5) 设A={1, 2, …, n}, 若函数f (x) 的定义域与值域都是A, 则满足$\underset{k\text{个}f}{{\displaystyle f(\cdots f(f(x)))}}=x$的函数共有多少个?

有兴趣的同学可作进一步探究.

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