初二数学上勾股定理（10篇）
1.初二数学上勾股定理 篇一
几何公式和定理（初2）1 过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等 5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短平行公理 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行 9 同位角相等，两直线平行内错角相等，两直线平行 11 同旁内角互补，两直线平行 12两直线平行，同位角相等 13 两直线平行，内错角相等 14 两直线平行，同旁内角互补 15 定理 三角形两边的和大于第三边 16 推论 三角形两边的差小于第三边 17 三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于180° 18 推论1 直角三角形的两个锐角互余 19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21 全等三角形的对应边、对应角相等 22边角边公理(SAS)有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23 角边角公理(ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24 推论(AAS)有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25 边边边公理(SSS)有三边对应相等的两个三角形全等 26 斜边、直角边公理(HL)有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30 等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角）31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60° 34 等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形 36 推论 2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半 38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 39 定理 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 40 逆定理 和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合 42 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形 43 定理 2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线 44定理3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上 45逆定理 如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称 46勾股定理 直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a^2+b^2=c^2 47勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a、b、c有关系a^2+b^2=c^2，那么这个三角形是直角三角形
2.初二数学上勾股定理 篇二
——圆周角定理及其推论
一、新课导入 1.导入课题：
情景：如图，把圆心角∠AOB的顶点O拉到圆上，得到∠ACB.问题1：∠ACB有什么特点？它与∠AOB有何异同？
问题2：你能仿照圆心角的定义给∠ACB取一个名字并下个定义吗？
由此导入课题.（板书课题）2.学习目标：
(1)知道什么是圆周角，并能从图形中准确识别它.(2)探究并掌握圆周角定理及其推论.(3)体会“由特殊到一般”“分类” “化归”等数学思想.3.学习重、难点：
重点：圆周角定理及其推论.难点：圆周角定理的证明与运用.二、分层学习
1.自学指导：
（1）自学内容：教材第85页到第86页倒数第6行之前的内容.（2）自学时间：10分钟.（3）自学方法：完成探究提纲.（4）探究提纲： 1）圆周角的概念
①顶点在 圆上，并且两边 都与圆相交 的角叫做圆周角.②判别下列各图中的角是不是圆周角，并说明理由.② 猜一猜：一条弧所对的圆周角与圆心角有何数量关系？ ②量一量：用量角器量一量圆心角∠AOB和圆周角∠ACB.a.如图，∠ACB=∠AOB.b.你可以画多少个AB所对的圆周角？这些圆周角与∠AOB之间有什么数量关系？
可以画无数个.这些圆周角都等于∠AOB的一半.③想一想：在⊙O中任画一个圆周角∠BAC，圆心O与∠BAC可能会有几种位置关系？
有3种位置关系.③ 证一证：
a.当圆心O在∠BAC的一条边上时(如图1）:
b.当圆心O在∠BAC的内部时(如图2）：作直径AD，同a，得
.c.当圆心O在∠BAC的外部时(如图3）.作直径AD,同a,得
⑤归纳：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 一半.2.自学：学生可根据自学指导自主学习，相互交流.3.助学：（1）师助生：
①明了学情：关注学生能否探究、归纳和证明圆周角定理.②差异指导：根据学情进行个别指导或分类指导.（2）生助生：小组内交流、研讨.4.强化：
（1）圆周角定理的内容.（2）证明圆周角定理所体现的数学思想.（3）练习：如图，OA,OB,OC都是⊙O的半径，∠AOB=2∠BOC.求证：∠ACB=2∠BAC.证明：∵∠ACB=∠AOB,∠BAC=∠BOC,∠AOB=2∠BOC，∴∠ACB=2∠BAC.1.自学指导：
（1）自学内容：教材第86页最后5行至第87页例4.（2）自学时间：10分钟.（3）自学方法：完成探究提纲.（4）探究提纲：
①探究图中∠ACB，∠ADB和∠AEB的数量关系.1212
a.如图1，∵∠ACB=∠AOB,∠ADB=∠AOB,∠AEB=∠AOB，∴∠ACB = ∠ADB = ∠AEB.即同弧所对的圆周角 相等.b.如图2，AB=AE,∵AB=AE,∴∠AOB = ∠AOE.∵∠ACB=∠AOB, ∠ADE=∠AOE, ∴∠ACB = ∠ADE.即等弧所对的圆周角 相等.c.由此可得，同弧或等弧所对的圆周角 相等.d.练习：如图，点A、B、C、D在同一个圆上，四边形ABCD的对角线把四个内角分成8个角，1212121212这些角中哪些是相等的角？
∠1=∠4，∠2=∠7，∠3=∠6，∠5=∠8 ②半圆(或直径)所对的圆周角是 直角 ；90°的圆周角所对的弦是 直径.为什么？
因为半圆（或直径）所对的圆心角是180°，所以它所对的圆周角是90°，即直角.90°的圆周角所对的圆心角是180°，所以它所对的弦是直径.④ 如图，用直角曲尺检查半圆形的工件，哪个是合格的？为什么？
第二个工件是合格的.因为半圆所对的圆周角为直角.④如图, ⊙O的直径AB为10cm,弦AC为6cm, ∠ACB的平分线交⊙O于D,求BC，BD的长.∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴在RtACB中，BCAB2AC210262（.8cm）同理∠ADB=90°，又CD是∠ACB的平分线，∴∠DCA=∠DCB=∠ACB=45°, ∴∠DBA=∠DAB=45°,∴AD=BD.在RtADB中，AD2+BD2=AB2,∴BD1AB252cm.212⑤ 如图，你能设法确定一个圆形片的圆心吗？你有多少种方法？ 能，方法很多，例如：利用三角尺的直角可以找出两条直径（90°的圆周角所对的弦是直径），两直径交点就是圆心.2.自学：学生可在自学指导的指引下自主学习，相互交流.3.助学：
（1）师助生：
①明了学情：关注学生是否会完成任务.②差异指导：根据学情进行个别指导或分类指导.（2）生助生：小组内交流、研讨.4.强化：
（1）常规辅助线：遇直径，想直角.（2）点一名学生口答探究提纲中的问题②，点两名学生板演问题④，并点评.1.自学指导：
（1）自学内容：教材第87页“思考”到第88页“练习”之前的内容.（2）自学时间：7分钟.（3）自学方法：阅读课文，完成自学参考提纲.（4）自学参考提纲：
①什么叫圆内接多边形和多边形的外接圆？
如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.和BCD所对的圆心角，②在图中标出BAD这两个圆心角有什么关系？
∠BAD+∠BCD＝ 180 度，同理可得：∠ABC+∠ADC＝ 180 度.③圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角 互补.④练习：
a.如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BOD＝100°，则∠BAD＝ 50°，∠BCD＝ 130°.b.如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为CD延长线上一点.若∠B=110°，求∠ADE的度数.∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠B+∠ADC=180°，又∠ADC+∠ADE=180°，∴∠ADE=∠B=110°.c.求证：圆内接平行四边形是矩形.∵圆内接四边形对角互补，而平行四边形对角相等，∴圆内接平行四边形四个角都是直角.∴圆内接平行四边形是矩形.d.已知：如图，两个等圆⊙O1和⊙O2都经过A，B两点，经过点A的直线与两圆分别交于点C，D，经过点B的直线与两圆分别交于点E，F．若CD∥EF，求证：四边形EFDC是平行四边形.连接AB.∵四边形ABEC是⊙O1的内接四边形，∴∠C+∠ABE=180°.又∵四边形ABFD是⊙O2的内接四边形.∴∠D+∠ABF=180°.又∵∠ABE+∠ABF=180°.∴∠C+∠D=180°.∴CE∥DF.又∵CD∥EF，∴四边形EFDC是平行四边形.2.自学：学生可结合自学指导自主学习.3.助学：（1）师助生：
①明了学情：明了学生自学提纲的答题情况.②差异指导：根据学情进行个别指导或分类指导.（2）生助生：生生互动，交流研讨.4.强化：
（1）圆内接四边形的性质.（2）让学生完成自学参考提纲中的第④题，并点评.（3）练习：圆内接四边形ABCD中，∠A、∠B、∠C的度数的比是2∶3∶6，求四边形ABCD各内角的度数.解：∵∠A∶∠C＝2∶6,∠A+∠C＝180°, ∴∠A＝45°，∠C＝135°.又∠A∶∠B＝2∶3, ∴∠B＝67.5°，∠D＝180°-∠B＝112.5°.三、评价
1.学生的自我评价（围绕三维目标）：这节课你学到了哪些知识？在哪些方面还感到比较困难？
2.教师对学生的评价：
（1）表现性评价：点评学生学习的态度、积极性、小组探究协作情况以及存在的问题等.（2）纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价（教学反思）：
（1）这节课首先是类比圆心角得出圆周角的概念.在探究圆周角与圆心角关系过程中，要求学生学会使用分类讨论以及转化的数学思想解决问题，同时也培养了学生勇于探究的精神.其次，本节课还学习了圆内接四边形定义及圆内接四边形的性质，通过例题和习题训练，可以使学生在解答问题时灵活运用前面的一些基础知识，从中获取成功的经验，建立学习的自信心.（2）圆周角定理的证明分了三种情况探讨，这里蕴含着重要的数学思想——分类思想，教材中多处闪烁着分类思想的光环:三角形分类、方程的分类等，故教学过程中要整理相互交融的知识结构，加强分类思想的渗透.(时间：12分钟满分：100分)
一、基础巩固（80分）
1.(10分)下列四个图中，∠x是圆周角的是（C）
2.(10分)如图,⊙O中，弦AB、CD相交于E点，且∠A=40°，∠AED=75°，则∠B=（D）
A.15°
B.40°
C.5°
D.35°
3.(10分)如图，⊙O的直径AB与弦CD垂直，且∠BAC=40°，则∠BOD= 80°.4.(10分)如图，点B、A、C都在⊙O上，∠BOA＝110°，则∠BCA＝ 125°.5.(10分)如图，⊙O中，弦AD平行于弦BC，∠AOC=78°，求∠DAB的度数．
解：∵AD∥BC，∴∠DAB=∠B.又∵∠B=∠AOC=39°.∴∠DAB=39°.6.(10分)如图，⊙O的半径为1，A,B,C是⊙O上的三个点，且12∠ACB=45°，求弦AB的长.解：连接OA、OB.∵∠BCA=45°,∴∠BOA=2∠BCA=90°.又OA=OB,∴△AOB是等腰直角三角形.∴ABOA2OB22OA22OA2.7.(10分)如图，A,P,B,C是⊙O上的四点，∠APC=∠CPB=60°，判断△ABC的形状并证明你的结论.解：△ABC是等边三角形.证明如下： ∵∠APC=∠ABC=60°，∠CPB=∠BAC=60°，∴∠ACB=180°-∠ABC-∠BAC=60°，∴△ABC是等边三角形.8.(10分)如图，已知A，B，C，D是⊙O上的四点，延长DC，AB相交于点E，若BC=BE．求证：△ADE是等腰三角形．
证明：∵∠A+∠BCD=180°,∠BCE+∠BCD=180°.∴∠A=∠BCE.∵BC=BE, ∴∠E=∠BCE,∴∠A=∠E, ∴AD=DE, ∴△ADE是等腰三角形.二、综合应用（10分）
9.(10分)如图，已知EF是⊙O的直径，把∠A为60°的直角三角板ABC的一条直角边BC放在直线EF上，斜边AB与⊙O交于点P，点B与点O重合；将三角形ABC沿OE方向平移，使得点B与点E重合为止．设∠POF=x°，则x的取值范围是 30≤x≤60 ．
三、拓展延伸（10分）
10.(10分)如图，BC为半圆O的直径，点F是BC上的中点，上一动点（点F不与B、C重合），A是BF设∠FBC=α，∠ACB=β．
3.初二数学上勾股定理 篇三
一、教学目标：
知识与技能：正确理解并掌握相似三角形的判定定理的证明方法
过程与态度: 让学生经历从实验探究到归纳证明的过程，发展学生的合情推理能力。情感态度与价值观：让学生在演绎推理的过程中体验成功的快乐
二、教学重难点：
重点：相似三角形的判定定理的证明过程 难点：相似三角形的判定定理的运用
三、教学过程：
（一）提出问题，导入新课
在上节课中，我们通过类比两个三角形全等的条件，寻找并探究判定两个三角形相似的条件，我们得出的结论是怎样的？您能证明它们一定成立吗？
目的：通过学生回顾复习已得结论入手，激发学生学习兴趣。
（二）合作探究，学习新知：
命题
1、两角分别相等的两个三角形相似。如何对文字命题进行证明？与同伴进行交流.目的：通过学生回顾证明文字命题的步骤入手，引导学生进行画图，写出已知，求证。第一步：引导学生根据文字命题画图，第二步：根据图形和文字命题写出已知，求证。
已知：如图，在△ABC和△A’B’C’中，∠A=∠A’，∠B=∠B’。求证: △ABC∽△A’B’C’。
第三步：写出证明过程。（分析现在能说明两个三角形相似的方法只有相似三角形的定义，我们可以利用这一线索进行探索，已知两角对应相等，根据三角形内角和定理可以推出第三个角也相等，从而可得三角对应相等，下一步，我们只要再证明三边对应成比例即可。根据平行线分线段成比例的推论，我们可以在△ABC内部或外部构造平行线，从而构造出与△A’B’C’全等的三角形。）
证明：在△ABC的边AB（或延长线）上截取AD=A’B’,过点D作BC的平行线，交AC于点E,则∠ADE=∠B,∠AED=∠C,(平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例)。
过点D作AC的平行线，交BC于点F,则(平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例)。
∴____________
∵DE∥BC，DF∥AC
∴四边形DFCE是平行四边形。
∴DE=CF
∴____________ ∴____________
而∠ADE=∠B, ∠DAE=∠BAC, ∠AED=∠C, ∴____________
∵∠A=∠A’, ∠ADE=∠B’, AD=A’B’，∴△____≌△____
∴△ABC∽△A’B’C’.通过证明，我们可以得到命题1是一个真命题，从而得出相似三角形判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似。现在，我们已经有两种判定三角形相似的方法。
下面我们可以类比前面的证明方法，来继续证明命题2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。能自己试试吗？
鼓励学生积极思考，模仿前面的证明过程进行证明。可让学生板书过程，或老师在学生中寻找资源，通过投影修正过程中存在的问题。
通过证明，学生可以得到相似三角形判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。下面让每个学生独立完成三边成比例的两个三角形相似的证明。从而得到相似三角形判定定理：三边成比例的两个三角形相似。
（三）运用知识解决问题
例1 已知：如图是一束光线射入室内的平面图，•上檐边缘射入的光线照在距窗户2.5m处，已知窗户AB高为2m，B点距地面高为1.2m，求下檐光线的落地点N•与窗户的距离NC．
例2 如图，等腰直角三角形ABC中，顶点为C，∠MCN=45°，试说明△BCM∽△ANC．
例3 在ABCD中，M，N为对角线BD的三等分点，连接AM交BC于E，连接EN并延长交AD于F．（1）试说明△AMD∽△EMB；（2）求
FN的值． NE
相似三角形的判定定理的选择：1.已知有一角相等，可选判定定理1和2；2.已知有两边对应成比例，可选判定定理2和3。
（四）学习小结：
通过本节课的学习，你学会了哪些知识和方法？哪里还有困惑？
（五）布置作业：
4.初二上学期数学教学工作总结 篇四
本人本学期继续担任初二（2）、（3）班的数学教学工作,其中初二(3）班基础较差.总体上看,学生 学习欠缺主动性和积极性。通过一年多的努力也取得了一定的效果，但数学成绩仍不够理想，并未达到预期的教学目标。深感数学教师难当，因为要大面积的提高数学成绩，必须花很大气力。否则功亏一篑。下面就谈谈本期的主要实践方法：
1、学习新课标，挖掘教材，熟练的使用课件，将课件与教材有机的结合起来，进一步把握知识点和考点。
2、扣紧数学学科的特点，采用不同形式的教学方法，激发学生的学习兴趣。
数学科的特点：（1）与日常生活、生产联系紧密；（2）思维能力、空间观念强、针对这些特点，在教学过程中，要使学生适应日常生活，进一步培养运算能力，思维能力和空间观念，能够运用所学知识解决简单的实际问题，培养学生的数学创新意识，良好个性、品质以及初步的辩证唯物主义观点，同时，在教学过程我常用激励性的语言来夸奖学生，比如说：“你的想法很奇特”.“你很爱动脑筋”......3、抓好练习。老师在讲完新课后，学生一般都听得懂，要落实到位，就一定要练到位。就要为学生提供练习的机会。做到：新知识及时练、易混知识对比练、主要知识加强练。对教材中的一些重点、难点、关键的知识。在题目的数量和质量上下功夫。（4）、每天让科代表找一题抄在黑板上。通过观察、提问、小测验、章节测验等方法，及时评估练习效果，通过评估能激发学生的练习动机，让学生明白自己掌握的程度。
4、让优生带差生，及时检查基础概念和基础知识，尽量不让每个学生掉队。
5、建立良好的师生关系，有利于师生共同进步。
师生关系是班级人际关系中最重要的一个方面。师生关系如果出现问题，会造成学生对老师没有亲近感，缺少信任感，甚至产生厌恶感。这样必然使学生在教育过程中缺少积极性，产生被动感，在行动上偏离教育目标，甚至与科任老师产生对抗的心态。因此在教育过程中建立良好的师生关系是必要的，要与学生建立好的关系,我的做法是多与学生接触、多关心学生的生活、在课后多与学生谈心等等。
6、作业及时批改，对于作业存在的问题及时纠正。
课后作业是不可缺的一部分是反馈当天所学内容的最好方法，因此作业必须勤批改并做到有错必改的好习惯。
7、多听课、讲公开课。
5.数学史 勾股定理 篇五
2014071137 朱燕
初等几何中最引人注目的，也是最著名最有用的一个定理，就是所谓的毕达哥拉斯定理:在任何直角三角形中，斜边上的正方形等于两条直角边上的正方形之和。如果有一个定理可以当之无愧地算是数学史上的“菁华”，那么毕达哥拉斯定理大概 就是主要的候选者了，因为它可能是数学史上第一个真正名副其实的定理。但把这个著名的定理归功于毕达哥拉斯，似乎心里总不是那么踏实。其实在古代印度和中国的有些著作中也可以见到对该定理的阐述，这些著述的时期至少可以上溯至毕达哥拉斯的时代以前。很可能是毕达哥拉斯或他那著名的哥老会的某个成员，第一个对该定理提供了合乎逻辑的演绎证明。
在E.S.卢米斯的著作《毕达哥拉斯命题》第二版中，他搜集了这个著名定理的370种证明，并加以分类整理。
印度数学家兼天文学家巴斯卡拉给出了毕达哥拉斯定理的两种证明：其中一种如图一所示，由相似直角三角形可见cbbm，caan，即是cmb，cna，相加得到
22a2b2cmnc2.这个证明在17世纪由英国数学家丁·瓦里斯（1616-1703）重新发现。
图一
美国第二十任总统J·A·伽菲尔德极富创造力，他当学生时就对初等数学表现出热切的兴趣和良好的能力。他在和一些国会议员讨论数学问题时灵机一动想出来了一种非常漂亮的毕达哥拉斯定理的证明。即先用梯形面积公式，然后再把梯形面积表为它分成的三个直角三角形面积之和。这样求得的梯形面积表达式相等。故有：abab/22ab/2c2/2，即a22abb22abc2
从而：abc
如图二 222
图二
6.八年级数学专题-勾股定理 篇六
17．1 勾股定理
第1课时 勾股定理(1)
了解勾股定理的发现过程，理解并掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理，能应用勾股定理进行简单的计算．
重点
勾股定理的内容和证明及简单应用．
难点
勾股定理的证明．
一、创设情境，引入新课
让学生画一个直角边分别为3
cm和4
cm的直角△ABC，用刻度尺量出斜边的长．
再画一个两直角边分别为5和12的直角△ABC，用刻度尺量出斜边的长．
你是否发现了32＋42与52的关系，52＋122与132的关系，即32＋42＝52，52＋122＝132，那么就有勾2＋股2＝弦2.对于任意的直角三角形也有这个性质吗？
由一学生朗读“毕达哥拉斯观察地面图案发现勾股定理”的传说，引导学生观察身边的地面图形，猜想毕达哥拉斯发现了什么？
拼图实验，探求新知
1．多媒体课件演示教材第22～23页图17.1－2和图17.1－3，引导学生观察思考．
2．组织学生小组合作学习．
问题：每组的三个正方形之间有什么关系？试说一说你的想法．
引导学生用拼图法初步体验结论．
生：这两组图形中，每组的大正方形的面积都等于两个小正方形的面积和．
师：这只是猜想，一个数学命题的成立，还要经过我们的证明．
归纳验证，得出定理
(1)猜想：命题1：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2.(2)是不是所有的直角三角形都有这样的特点呢？这就需要对一个一般的直角三角形进行证明．到目前为止，对这个命题的证明已有几百种之多，下面我们就看一看我国数学家赵爽是怎样证明这个定理的．
①用多媒体课件演示．
②小组合作探究：
a．以直角三角形ABC的两条直角边a，b为边作两个正方形，你能通过剪、拼把它拼成弦图的样子吗？
b．它们的面积分别怎样表示？它们有什么关系？
c．利用学生自己准备的纸张拼一拼，摆一摆，体验古人赵爽的证法．想一想还有什么方法？
师：通过拼摆，我们证实了命题1的正确性，命题1与直角三角形的边有关，我国把它称为勾股定理．
即在我国古代，人们将直角三角形中短的直角边叫做勾，长的直角边叫做股，斜边叫做弦．
二、例题讲解
【例1】填空题．
(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝8，b＝15，则c＝________；
(2)在Rt△ABC中，∠B＝90°，a＝3，b＝4，则c＝________；
(3)在Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝10，a∶b＝3∶4，则a＝________，b＝________；
(4)一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为________；
(5)已知等边三角形的边长为2
cm，则它的高为________cm，面积为________cm2.【答案】(1)17(2)(3)6 8(4)6，8，10(5)
【例2】已知直角三角形的两边长分别为5和12，求第三边．
分析：已知两边中，较大边12可能是直角边，也可能是斜边，因此应分两种情况分别进行计算．让学生知道考虑问题要全面，体会分类讨论思想．
【答案】或13
三、巩固练习
填空题．
在Rt△ABC中，∠C＝90°.(1)如果a＝7，c＝25，则b＝________；
(2)如果∠A＝30°，a＝4，则b＝________；
(3)如果∠A＝45°，a＝3，则c＝________；
(4)如果c＝10，a－b＝2，则b＝________；
(5)如果a，b，c是连续整数，则a＋b＋c＝________；
(6)如果b＝8，a∶c＝3∶5，则c＝________．
【答案】(1)24(2)4(3)3(4)6(5)12
(6)10
四、课堂小结
1．本节课学到了什么数学知识？
2．你了解了勾股定理的发现和验证方法了吗？
3．你还有什么困惑？
本节课的设计关注学生是否积极参与探索勾股定理的活动，关注学生能否在活动中积极思考、能够探索出解决问题的方法，能否进行积极的联想(数形结合)以及学生能否有条理地表达活动过程和所获得的结论等．关注学生的拼图过程，鼓励学生结合自己所拼得的正方形验证勾股定理． 第2课时 勾股定理(2)
能将实际问题转化为直角三角形的数学模型，并能用勾股定理解决简单的实际问题．
重点
将实际问题转化为直角三角形模型．
难点
如何用解直角三角形的知识和勾股定理来解决实际问题．
一、复习导入
问题1：欲登12米高的建筑物，为安全需要，需使梯子底端离建筑物5米，至少需要多长的梯子？
师生行为：
学生分小组讨论，建立直角三角形的数学模型．
教师深入到小组活动中，倾听学生的想法．
生：根据题意，(如图)AC是建筑物，则AC＝12
m，BC＝5
m，AB是梯子的长度，所以在Rt△ABC中，AB2＝AC2＋BC2＝122＋52＝132，则AB＝13
m.所以至少需13
m长的梯子．
师：很好！
由勾股定理可知，已知两直角边的长分别为a，b，就可以求出斜边c的长．由勾股定理可得a2＝c2－b2或b2＝c2－a2，由此可知，已知斜边与一条直角边的长，就可以求出另一条直角边的长，也就是说，在直角三角形中，已知两边就可求出第三边的长．
问题2：一个门框的尺寸如图所示，一块长3
m、宽2.2
m的长方形薄木板能否从门框内通过？为什么？
学生分组讨论、交流，教师深入到学生的数学活动中，引导他们发现问题，寻找解决问题的途径．
生1：从题意可以看出，木板横着进，竖着进，都不能从门框内通过，只能试试斜着能否通过．
生2：在长方形ABCD中，对角线AC是斜着能通过的最大长度，求出AC，再与木板的宽比较，就能知道木板是否能通过．
师生共析：
解：在Rt△ABC中，根据勾股定理AC2＝AB2＋BC2＝12＋22＝5.因此AC＝≈2.236.因为AC>木板的宽，所以木板可以从门框内通过．
二、例题讲解
【例1】如图，山坡上两棵树之间的坡面距离是4米，则这两棵树之间的垂直距离是________米，水平距离是________米．
分析：由∠CAB＝30°易知垂直距离为2米，水平距离是6米．
【答案】2 6
【例2】教材第25页例2
三、巩固练习
1．如图，欲测量松花江的宽度，沿江岸取B，C两点，在江对岸取一点A，使AC垂直江岸，测得BC＝50米，∠B＝60°，则江面的宽度为________．
【答案】50米
2．某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达地点B
200米，结果他在水中实际游了520米，求该河流的宽度．
【答案】约480
m
四、课堂小结
1．谈谈自己在这节课的收获有哪些？会用勾股定理解决简单的应用题；会构造直角三角形．
2．本节是从实验问题出发，转化为直角三角形问题，并用勾股定理完成解答．
这是一节实际应用课，过程中要充分发挥学生的主导性，鼓励学生动手、动脑，经历将实际问题转化为直角三角形的数学模型的过程，激发了学生的学习兴趣，锻炼了学生独立思考的能力． 第3课时 勾股定理(3)
1．利用勾股定理证明：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．
2．利用勾股定理，能在数轴上找到表示无理数的点．
3．进一步学习将实际问题转化为直角三角形的数学模型，并能用勾股定理解决简单的实际问题．
重点
在数轴上寻找表示，，…这样的表示无理数的点．
难点
利用勾股定理寻找直角三角形中长度为无理数的线段．
一、复习导入
复习勾股定理的内容．
本节课探究勾股定理的综合应用．
师：在八年级上册，我们曾经通过画图得到结论：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．你们能用勾股定理证明这一结论吗？
学生思考并独立完成，教师巡视指导，并总结．
先画出图形，再写出已知、求证如下：
已知：如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，AB＝A′B′，AC＝A′C′.求证：△ABC≌△A′B′C′.证明：在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，根据勾股定理，得BC＝，B′C′＝.又AB＝A′B′，AC＝A′C′，∴BC＝B′C′，∴△ABC≌△A′B′C′(SSS)．
师：我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在数轴上表示出所对应的点吗？
教师可指导学生寻找像长度为，，…这样的包含在直角三角形中的线段．
师：由于要在数轴上表示点到原点的距离为，，…，所以只需画出长为，，…的线段即可，我们不妨先来画出长为，，…的线段．
生：长为的线段是直角边都为1的直角三角形的斜边，而长为的线段是直角边为1和2的直角三角形的斜边．
师：长为的线段能否是直角边为正整数的直角三角形的斜边呢？
生：设c＝，两直角边长分别为a，b，根据勾股定理a2＋b2＝c2，即a2＋b2＝13.若a，b为正整数，则13必须分解为两个平方数的和，即13＝4＋9，a2＝4，b2＝9，则a＝2，b＝3，所以长为的线段是直角边长分别为2，3的直角三角形的斜边．
师：下面就请同学们在数轴上画出表示的点．
生：步骤如下：
1．在数轴上找到点A，使OA＝3.2．作直线l垂直于OA，在l上取一点B，使AB＝2.3．以原点O为圆心、以OB为半径作弧，弧与数轴交于点C，则点C即为表示的点．
二、例题讲解
【例1】飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方4800米处，过了10秒后，飞机距离这个男孩头顶5000米，飞机每小时飞行多少千米？
分析：根据题意，可以画出如图所示的图形，A点表示男孩头顶的位置，C，B点是两个时刻飞机的位置，∠C是直角，可以用勾股定理来解决这个问题．
解：根据题意，得在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5000米，AC＝4800米．由勾股定理，得AB2＝AC2＋BC2，即50002＝BC2＋48002，所以BC＝1400米．
飞机飞行1400米用了10秒，那么它1小时飞行的距离为1400×6×60＝504000(米)＝504(千米)，即飞机飞行的速度为504千米/时．
【例2】在平静的湖面上，有一棵水草，它高出水面3分米，一阵风吹来，水草被吹到一边，草尖齐至水面，已知水草移动的水平距离为6分米，问这里的水深是多少？
解：根据题意，得到上图，其中D是无风时水草的最高点，BC为湖面，AB是一阵风吹过水草的位置，CD＝3分米，CB＝6分米，AD＝AB，BC⊥AD，所以在Rt△ACB中，AB2＝AC2＋BC2，即(AC＋3)2＝AC2＋62，AC2＋6AC＋9＝AC2＋36，∴6AC＝27，AC＝4.5，所以这里的水深为4.5分米．
【例3】在数轴上作出表示的点．
解：以为长的边可看作两直角边分别为4和1的直角三角形的斜边，因此，在数轴上画出表示的点，如下图：
师生行为：
由学生独立思考完成，教师巡视指导．
此活动中，教师应重点关注以下两个方面：
①学生能否积极主动地思考问题；
②能否找到斜边为，另外两条直角边为整数的直角三角形．
三、课堂小结
1．进一步巩固、掌握并熟练运用勾股定理解决直角三角形问题．
2．你对本节内容有哪些认识？会利用勾股定理得到一些无理数，并理解数轴上的点与实数一一对应．
本节课的教学中，在培养逻辑推理的能力方面，做了认真的考虑和精心的设计，把推理证明作为学生观察、实验、探究得出结论的自然延续，注重数学与生活的联系，从学生的认知规律和接受水平出发，这些理念贯彻到课堂教学当中，很好地激发了学生学习数学的兴趣，培养了学生善于提出问题、敢于提出问题、解决问题的能力．
17.2 勾股定理的逆定理
第1课时 勾股定理的逆定理(1)
1．掌握直角三角形的判别条件．
2．熟记一些勾股数．
3．掌握勾股定理的逆定理的探究方法．
重点
探究勾股定理的逆定理，理解并掌握互逆命题、原命题、逆命题的有关概念及关系．
难点
归纳猜想出命题2的结论．
一、复习导入
活动探究
(1)总结直角三角形有哪些性质；
(2)一个三角形满足什么条件时才能是直角三角形？
生：直角三角形有如下性质：(1)有一个角是直角；(2)两个锐角互余；(3)两直角边的平方和等于斜边的平方；(4)在含30°角的直角三角形中，30°的角所对的直角边是斜边的一半．
师：那么一个三角形满足什么条件时，才能是直角三角形呢？
生1：如果三角形有一个内角是90°，那么这个三角形就为直角三角形．
生2：如果一个三角形，有两个角的和是90°，那么这个三角形也是直角三角形．
师：前面我们刚学习了勾股定理，知道一个直角三角形的两直角边a，b与斜边c具有一定的数量关系即a2＋b2＝c2，我们是否可以不用角，而用三角形三边的关系来判定它是否为直角三角形呢？我们来看一下古埃及人是如何做的？
问题：据说古埃及人用下图的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结、4个结、5个结的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角．
这个问题意味着，如果围成的三角形的三边长分别为3，4，5，有下面的关系：32＋42＝52，那么围成的三角形是直角三角形．
画画看，如果三角形的三边长分别为2.5
cm，6
cm，6.5
cm，有下面的关系：2.52＋62＝6.52，画出的三角形是直角三角形吗？换成三边分别为4
cm，7.5
cm，8.5
cm，再试一试．
生1：我们不难发现上图中，第1个结到第4个结是3个单位长度即AC＝3；同理BC＝4，AB＝5.因为32＋42＝52，所以我们围成的三角形是直角三角形．
生2：如果三角形的三边长分别是2.5
cm，6
cm，6.5
cm.我们用尺规作图的方法作此三角形，经过测量后，发现6.5
cm的边所对的角是直角，并且2.52＋62＝6.52.再换成三边长分别为4
cm，7.5
cm，8.5
cm的三角形，可以发现8.5
cm的边所对的角是直角，且有42＋7.52＝8.52.师：很好！我们通过实际操作，猜想结论．
命题2 如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．
再看下面的命题：
命题1 如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2.它们的题设和结论各有何关系？
师：我们可以看到命题2与命题1的题设、结论正好相反，我们把像这样的两个命题叫做互逆命题．如果把其中的一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题．例如把命题1当成原命题，那么命题2是命题1的逆命题．
二、例题讲解
【例1】说出下列命题的逆命题，这些命题的逆命题成立吗？
(1)同旁内角互补，两条直线平行；
(2)如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等；
(3)线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；
(4)直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半．
分析：(1)每个命题都有逆命题，说逆命题时注意将题设和结论调换即可，但要分清题设和结论，并注意语言的运用；
(2)理顺它们之间的关系，原命题有真有假，逆命题也有真有假，可能都真，也可能一真一假，还可能都假．
解略．
三、巩固练习
教材第33页练习第2题．
四、课堂小结
师：通过这节课的学习，你对本节内容有哪些认识？
学生发言，教师点评．
本节课的教学设计中，将教学内容精简化，实行分层教学．根据学生原有的认知结构，让学生更好地体会分割的思想．设计的题型前后呼应，使知识有序推进，有助于学生理解和掌握；让学生通过合作、交流、反思、感悟的过程，激发学生探究新知的兴趣，感受探索、合作的乐趣，并从中获得成功的体验，真正体现学生是学习的主人．将目标分层后，满足不同层次学生的做题要求，达到巩固课堂知识的目的．
第2课时 勾股定理的逆定理(2)
1．理解并掌握证明勾股定理的逆定理的方法．
2．理解逆定理、互逆定理的概念．
重点
勾股定理的逆定理的证明及互逆定理的概念．
难点
理解互逆定理的概念．
一、复习导入
师：我们学过的勾股定理的内容是什么？
生：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2.师：根据上节课学过的内容，我们得到了勾股定理逆命题的内容：如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．
师：命题2是命题1的逆命题，命题1我们已证明过它的正确性，命题2正确吗？如何证明呢？
师生行为：
让学生试着寻找解题思路，教师可引导学生理清证明的思路．
师：△ABC的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2.如果△ABC是直角三角形，它应与直角边是a，b的直角三角形全等，实际情况是这样吗？
我们画一个直角三角形A′B′C′，使B′C′＝a，A′C′＝b，∠C′＝90°(如图)，把画好的△A′B′C′剪下，放在△ABC上，它们重合吗？
生：我们所画的Rt△A′B′C′，(A′B′)2＝a2＋b2，又因为c2＝a2＋b2，所以(A′B′)2＝c2，即A′B′＝c.△ABC和△A′B′C′三边对应相等，所以两个三角形全等，∠C＝∠C′＝90°，所以△ABC为直角三角形．
即命题2是正确的．
师：很好！我们证明了命题2是正确的，那么命题2就成为一个定理．由于命题1证明正确以后称为勾股定理，命题2又是命题1的逆命题，在此，我们就称定理2是勾股定理的逆定理，勾股定理和勾股定理的逆定理称为互逆定理．
师：但是不是原命题成立，逆命题一定成立呢？
生：不一定，如命题“对顶角相等”成立，它的逆命题“如果两个角相等，那么它们是对顶角”不成立．
师：你还能举出类似的例子吗？
生：例如原命题：如果两个实数相等，那么它们的绝对值也相等．
逆命题：如果两个数的绝对值相等，那么这两个实数相等．
显然原命题成立，而逆命题不一定成立．
二、新课教授
【例1】教材第32页例1
【例2】教材第33页例2
【例3】一个零件的形状如图所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角．工人师傅量出了这个零件各边的尺寸，那么这个零件符合要求吗？
分析：这是一个利用直角三角形的判定条件解决实际问题的例子．
解：在△ABD中，AB2＋AD2＝9＋16＝25＝BD2，所以△ABD是直角三角形，∠A是直角．
在△BCD中，BD2＋BC2＝25＋144＝169＝132＝CD2，所以△BCD是直角三角形，∠DBC是直角．
因此这个零件符合要求．
三、巩固练习
1．小强在操场上向东走80
m后，又走了60
m，再走100
m回到原地．小强在操场上向东走了80
m后，又走60
m的方向是________．
【答案】向正南或正北
2．如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A，B两个基地前去拦截，6分钟后同时到达C地将其拦截．已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，航向为北偏西40°，求甲巡逻艇的航向．
【答案】解：由题意可知：AC＝120×6×＝12，BC＝50×6×＝5，122＋52＝132.又AB＝13，∴AC2＋BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，∴∠CAB＝40°，航向为北偏东50°.四、课堂小结
1．同学们对本节的内容有哪些认识？
2．勾股定理的逆定理及其应用，熟记几组勾股数．
7.数学勾股定理教学设计2 篇七
[教学目的]：
1、知识目标：让学生了解勾股定理的推导和证明，并能熟练地运用勾股定理求出直角三角形中边的长度；
2、能力目标：通过图形的观察、拼接和定理的证明，强化学生数形结合的思想，通过探究勾股定理的不同证明方法，开发学生的发散性思维；
3、情感与态度：通过对勾股定理有关历史的了解，让学生认识到历史悠久的中华文明，从而激发他们对数学学习的兴趣及对祖国的热爱之情。
[教学重点]：勾股定理的内容及证明 [教学难点]：用拼图方法证明勾股定理 [教学方法]：讲解、观察、分析、演示
[教学用品]：多媒体、自制教具、勾股定理演示仪 [教学内容与过程]：
一、引出课题：
在前面，我们学习了直角三角形的有关知识，这节课我们进一步学习和探究直角三角形的三边之间的特有性质—勾股定理。
展示教学幻灯片一（1）教学情景一： 首先，让学生在练习本上完成如下作图(图一)： 展示教学幻灯片二
做一做、量一量：作一个直角三角形，使它的两个直角边分别 为3cm和4cm，并量出它的斜边长度。
（图一）
（图二）（2）教学情景二： 展示教学幻灯片三
让学生在练习本上完成作图二，教师演示、小结
画一画、算一算：分别以图一的直角三角形的三边为边。作三个正方形，得到图二，这三个正方形的面积有何关系？
通过作图发现：
（在展示教学幻灯片三时，先小结：）图一中直角三角形的斜边长是5厘米；
展示教学幻灯片四，并小结： 图二中正方形的面积存在如下关系：以斜边为边的正方形的面积，恰好等于以两直角边为边的正方形的面积之和，即：
3＋ 4＝
5一边讲解，一边展示展示教学幻灯片四，然后，用勾股定理演示仪向学生演示面积出入相补的原理，引导学生发出由个别到一般 的思考，接着，引出课题，并且展示教学幻灯片五
引出课题：是否所有的直角三角形都具有这个性质呢？即任作△ABC，∠C是直角，BC＝a，AC＝b，AB＝c，那么a2 ＋ b2 ＝ c2 是否成立呢？
二、探究新知：
将事先准备好的两套自制教具向学生展示并分发下去，让学生拼凑图形，要求将每一套图片拼成两个新的大正方形，看谁拼得又快又好（可以让两名学生在黑板上拼接并粘贴好），如下图：
（图三）
（图四）
引导学生观察、分析，发现：甲、乙两个正方形的面积相等，即： c2 + 0.5ab•4 = a2 + b2 + 0.5ab•4
∴ a2 + b2 = c2 由此得到下面的定理（展示教学幻灯片六）：
勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和，等于斜边c 的平方，即a2 + b2 = c2 <探 究>：能不能只利用图三，来证明勾股定理呢？
（让学生观察、讨论，在教师的引导下写出证明过程）：
因为图中大正方形的面积等于小正方形的面积与四个三角形的面积之和，即：
（a+b）2 = c2 + 0.5ab•4 a2 +2ab +b2 = c2+2ab ∴ a2 + b2 = c2(点评)：据不完全统计，勾股定理的证明方法已有400多种，大家可以查阅有关资料去了解，或思考其他的证明方法。
根据勾股定理的公式，对于一个直角三角形，我们只要知道它的任意两边长，就能求出第三边的长。
三、练习巩固：（展示教学幻灯片七）
练习
1、<说一说>：如图，在等腰三角形ABC中，已知AB＝AC＝13cm，BC＝10cm。⑴你能算出BC边上的高AD的长吗？ ⑵△ABC的面积是多少呢？
（图五）
（展示教学幻灯片八）
练习
2、图中是一个边长为a厘米的正方形，两条对角线交于点O，回答：
⑴图中有多少个直角三角形 ⑵△ABC的面积是多少呢？
（图六）
四、小结提高：
(1)（展示教学幻灯片九）这节课我们学习的内容是勾股定理，这个定理向我们揭示了直角三角形三边之间的数量关系，它是一个十分重要而著名的定理，在许多领域存在重要的应用价值。
(2)（展示教学幻灯片十）向学生简单介绍勾股定理的来历，解释“勾、股、弦”的含义。
（3）激励：同学们，中华文化源远流长，希望大家努力学习，继承和发扬中华文明，让我们伟大的民族雄立于世界民族之林！
五、作业布置： 见教材第98页第2题
六、板书内容设计：
1、标题：勾股定理
2、练习题
3、勾股定理的内容
4、自制教具的粘贴
5、勾股定理的证明
七、教学评价：
教学过程评价：
1、关注学生是否积极参加探索勾股定理的活动，关注学生能否在活动中积极思考，能够探索出解决问题的方法，能否进行积极的联想（数形结合）以及学生能否有条理的表达活动过程和所获得的结论等；
2、关注学生的拼图过程，鼓励学生结合自己所拼得的正方形验证勾股定理。
知识性评价：
1、学生是否掌握勾股定理内容及证明，体会数形结合的思想
2、学生是否能熟练运用勾股定理解决实际问题，内化知识形成技巧
课后自我评价：
8.八年级数学勾股定理经典例题解析 篇八
经典例题透析
类型一：勾股定理的直接用法
1、在Rt△ABC中，∠C=90°
(1)已知a=6， c=10，求b， (2)已知a=40，b=9，求c; (3)已知c=25，b=15，求a.
思路点拨: 写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。
解析：(1) 在△ABC中，∠C=90°，a=6，c=10,b=
(2) 在△ABC中，∠C=90°，a=40，b=9,c=
(3) 在△ABC中，∠C=90°，c=25，b=15,a=
举一反三
【变式】:如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少?
【答案】∵∠ACD=90°
AD=13, CD=12
∴AC2 =AD2-CD2
=132-122
=25
∴AC=5
又∵∠ABC=90°且BC=3
∴由勾股定理可得
AB2=AC2-BC2
=52-32
=16
∴AB= 4
∴AB的长是4.
类型二：勾股定理的构造应用
2、如图，已知：在 中， ， ， . 求：BC的长.
思路点拨：由条件 ，想到构造含 角的直角三角形，为此作 于D，则有
， ，再由勾股定理计算出AD、DC的长，进而求出BC的长.
解析：作 于D，则因 ，
∴ ( 的两个锐角互余)
∴ (在 中，如果一个锐角等于 ，
那么它所对的直角边等于斜边的一半).
根据勾股定理，在 中，
.
根据勾股定理，在 中，
.
∴ .
举一反三【变式1】如图，已知： ， ， 于P. 求证： .
解析：连结BM，根据勾股定理，在 中，
.
而在 中，则根据勾股定理有
.
∴
又∵ (已知)，
∴ .
在 中，根据勾股定理有
，
∴ .
【变式2】已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。求：四边形ABCD的面积。
分析：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结AC，或延长AB、DC交于F，或延长AD、BC交于点E，根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。
解析：延长AD、BC交于E。
∵∠A=∠60°，∠B=90°，∴∠E=30°。
∴AE=2AB=8，CE=2CD=4，
∴BE2=AE2-AB2=82-42=48，BE= = 。
∵DE2= CE2-CD2=42-22=12，∴DE= = 。
∴S四边形ABCD=S△ABE-S△CDE= AB•BE- CD•DE=
类型三：勾股定理的实际应用
(一)用勾股定理求两点之间的距离问题
3、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60°方向走了 到达B点，然后再沿北偏西30°方向走了500m到达目的地C点。
(1)求A、C两点之间的距离。
(2)确定目的地C在营地A的什么方向。
解析：(1)过B点作BE//AD
∴∠DAB=∠ABE=60°
∵30°+∠CBA+∠ABE=180°
∴∠CBA=90°
即△ABC为直角三角形
由已知可得：BC=500m，AB=
由勾股定理可得：
所以
(2)在Rt△ABC中，
∵BC=500m，AC=1000m
∴∠CAB=30°
∵∠DAB=60°
∴∠DAC=30°
即点C在点A的北偏东30°的方向
举一反三
【变式】一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?
【答案】由于厂门宽度是否足够卡车通过，只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于CH.如图所示，点D在离厂门中线0.8米处，且CD⊥AB， 与地面交于H.
解：OC=1米 (大门宽度一半)，
OD=0.8米 (卡车宽度一半)
在Rt△OCD中，由勾股定理得：
CD= = =0.6米，
CH=0.6+2.3=2.9(米)>2.5(米).
因此高度上有0.4米的余量，所以卡车能通过厂门.
(二)用勾股定理求最短问题
4、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造，某地有四个村庄A、B、C、D，且正好位于一个正方形的四个顶点，现计划在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图实线部分.请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线.
思路点拨：解答本题的思路是：最省电线就是线路长最短，通过利用勾股定理计算线路长，然后进行比较，得出结论.
解析：设正方形的边长为1，则图(1)、图(2)中的总线路长分别为
AB+BC+CD=3，AB+BC+CD=3
图(3)中，在Rt△ABC中
同理
∴图(3)中的路线长为
图(4)中，延长EF交BC于H，则FH⊥BC，BH=CH
由∠FBH= 及勾股定理得：
EA=ED=FB=FC=
∴EF=1-2FH=1-
∴此图中总线路的长为4EA+EF=
3>2.828>2.732
∴图(4)的连接线路最短，即图(4)的架设方案最省电线.
举一反三
【变式】如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高AB为4cm，BC是上底面的直径.一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程.
解：
如图，在Rt△ABC中，BC=底面周长的一半=10cm， 根据勾股定理得
(提问：勾股定理)
∴ AC= = = ≈10.77(cm)(勾股定理).
答：最短路程约为10.77cm.
类型四：利用勾股定理作长为 的线段
5、作长为 、、的线段。
思路点拨：由勾股定理得，直角边为1的等腰直角三角形，斜边长就等于 ，直角边为 和1的直角三角形斜边长就是 ，类似地可作 。
作法：如图所示
(1)作直角边为1(单位长)的等腰直角△ACB，使AB为斜边;
(2)以AB为一条直角边，作另一直角边为1的直角 。斜边为 ;
(3)顺次这样做下去，最后做到直角三角形 ，这样斜边 、、、的长度就是
、、、。
举一反三 【变式】在数轴上表示 的点。
解析：可以把 看作是直角三角形的斜边， ，
为了有利于画图让其他两边的长为整数，
而10又是9和1这两个完全平方数的和，得另外两边分别是3和1。
作法：如图所示在数轴上找到A点，使OA=3，作AC⊥OA且截取AC=1，以OC为半径，
以O为圆心做弧，弧与数轴的交点B即为 。
类型五：逆命题与勾股定理逆定理
6、写出下列原命题的逆命题并判断是否正确
1.原命题：猫有四只脚.(正确)
2.原命题：对顶角相等(正确)
3.原命题：线段垂直平分线上的点，到这条线段两端距离相等.(正确)
4.原命题：角平分线上的点，到这个角的两边距离相等.(正确)
思路点拨：掌握原命题与逆命题的关系。
解析：1. 逆命题：有四只脚的是猫(不正确)
2. 逆命题：相等的角是对顶角(不正确)
3. 逆命题：到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.(正确)
4. 逆命题：到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上.(正确)
总结升华：本题是为了学习勾股定理的逆命题做准备。
7、如果ΔABC的三边分别为a、b、c，且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判断ΔABC的形状。
思路点拨：要判断ΔABC的形状，需要找到a、b、c的关系，而题目中只有条件a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，故只有从该条件入手，解决问题。
解析：由a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，得 ：
a2-6a+9+b2-8b+16+c2-10c+25=0,
∴ (a-3)2+(b-4)2+(c-5)2=0。
∵ (a-3)2≥0, (b-4)2≥0, (c-5)2≥0。
∴ a=3，b=4，c=5。
∵ 32+42=52,
∴ a2+b2=c2。
由勾股定理的逆定理，得ΔABC是直角三角形。
总结升华：勾股定理的逆定理是通过数量关系来研究图形的位置关系的,在证明中也常要用到。
举一反三【变式1】四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积。
【答案】：连结AC
∵∠B=90°，AB=3，BC=4
∴AC2=AB2+BC2=25(勾股定理)
∴AC=5
∵AC2+CD2=169，AD2=169
∴AC2+CD2=AD2
∴∠ACD=90°(勾股定理逆定理)
【变式2】已知:△ABC的三边分别为m2-n2,2mn,m2+n2(m,n为正整数,且m>n),判断△ABC是否为直角三角形.
分析:本题是利用勾股定理的的逆定理， 只要证明:a2+b2=c2即可
证明：
所以△ABC是直角三角形.
【变式3】如图正方形ABCD，E为BC中点，F为AB上一点，且BF= AB。
请问FE与DE是否垂直?请说明。
【答案】答：DE⊥EF。
证明：设BF=a，则BE=EC=2a, AF=3a，AB=4a,
∴ EF2=BF2+BE2=a2+4a2=5a2;
DE2=CE2+CD2=4a2+16a2=20a2。
连接DF(如图)
DF2=AF2+AD2=9a2+16a2=25a2。
∴ DF2=EF2+DE2,
∴ FE⊥DE。
经典例题精析
类型一：勾股定理及其逆定理的基本用法
1、若直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是20，求此直角三角形的面积。
思路点拨：在直角三角形中知道两边的比值和第三边的长度，求面积，可以先通过比值设未知数，再根据勾股定理列出方程，求出未知数的值进而求面积。
解析：设此直角三角形两直角边分别是3x，4x，根据题意得：
(3x)2+(4x)2=202
化简得x2=16;
∴直角三角形的面积= ×3x×4x=6x2=96
总结升华：直角三角形边的有关计算中，常常要设未知数，然后用勾股定理列方程(组)求解。
举一反三 【变式1】等边三角形的边长为2，求它的面积。
【答案】如图，等边△ABC，作AD⊥BC于D
则：BD= BC(等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合)
∵AB=AC=BC=2(等边三角形各边都相等)
∴BD=1
在直角三角形ABD中，AB2=AD2+BD2，即：AD2=AB2-BD2=4-1=3
∴AD=
S△ABC= BC•AD=
注：等边三角形面积公式：若等边三角形边长为a，则其面积为 a。
【变式2】直角三角形周长为12cm，斜边长为5cm，求直角三角形的面积。
【答案】设此直角三角形两直角边长分别是x，y，根据题意得：
由(1)得：x+y=7，
(x+y)2=49，x2+2xy+y2=49 (3)
(3)-(2)，得：xy=12
∴直角三角形的面积是 xy= ×12=6(cm2)
【变式3】若直角三角形的三边长分别是n+1，n+2，n+3，求n。
思路点拨：首先要确定斜边(最长的边)长n+3，然后利用勾股定理列方程求解。
解：此直角三角形的斜边长为n+3，由勾股定理可得：
(n+1)2+(n+2)2=(n+3)2
化简得：n2=4
∴n=±2，但当n=-2时，n+1=-1<0，∴n=2
总结升华：注意直角三角形中两“直角边”的平方和等于“斜边”的平方，在题目没有给出哪条是直角边哪条是斜边的情况下，首先要先确定斜边，直角边。
【变式4】以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是( )
A、8，15，17 B、4，5，6 C、5，8，10 D、8，39，40
解析：此题可直接用勾股定理的逆定理来进行判断，
对数据较大的可以用c2=a2+b2的变形：b2=c2-a2=(c-a)(c+a)来判断。
例如：对于选择D，
∵82≠(40+39)×(40-39)，
∴以8，39，40为边长不能组成直角三角形。
同理可以判断其它选项。 【答案】：A
【变式5】四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积。
解：连结AC
∵∠B=90°，AB=3，BC=4
∴AC2=AB2+BC2=25(勾股定理)
∴AC=5
∵AC2+CD2=169，AD2=169
∴AC2+CD2=AD2
∴∠ACD=90°(勾股定理逆定理)
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD= AB•BC+ AC•CD=36
类型二：勾股定理的应用
2、如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN=30°，点A处有一所中学，AP=160m。假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响?请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒?
思路点拨：(1)要判断拖拉机的噪音是否影响学校A，实质上是看A到公路的距离是否小于100m, 小于100m则受影响，大于100m则不受影响，故作垂线段AB并计算其长度。(2)要求出学校受影响的时间，实质是要求拖拉机对学校A的影响所行驶的路程。因此必须找到拖拉机行至哪一点开始影响学校，行至哪一点后结束影响学校。
解析：作AB⊥MN，垂足为B。
在 RtΔABP中，∵∠ABP=90°，∠APB=30°， AP=160，
∴ AB= AP=80。 (在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半)
∵点 A到直线MN的距离小于100m,
∴这所中学会受到噪声的影响。
如图，假设拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶到点C处学校开始受到影响，那么AC=100(m)，
由勾股定理得： BC2=1002-802=3600,∴ BC=60。
同理，拖拉机行驶到点D处学校开始脱离影响，那么，AD=100(m)，BD=60(m),
∴CD=120(m)。
拖拉机行驶的速度为 : 18km/h=5m/s
t=120m÷5m/s=24s。
答：拖拉机在公路 MN上沿PN方向行驶时，学校会受到噪声影响，学校受影响的时间为24秒。
总结升华:勾股定理是求线段的长度的很重要的方法,若图形缺少直角条件,则可以通过作辅助垂线的方法,构造直角三角形以便利用勾股定理。
举一反三 【变式1】如图学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角而走“捷径”，在花园内走出了一条“路”。他们仅仅少走了__________步路(假设2步为1m)，却踩伤了花草。
解析：他们原来走的路为3+4=7(m)
设走“捷径”的路长为xm，则
故少走的路长为7-5=2(m)
又因为2步为1m，所以他们仅仅少走了4步路。【答案】4
【变式2】如图中的虚线网格我们称之为正三角形网格，它的每一个小三角形都是边长为1的正三角形，这样的三角形称为单位正三角形。
(1)直接写出单位正三角形的高与面积。
(2)图中的平行四边形ABCD含有多少个单位正三角形?平行四边形ABCD的面积是多少?
(3)求出图中线段AC的长(可作辅助线)。
【答案】(1)单位正三角形的高为 ，面积是 。
(2)如图可直接得出平行四边形ABCD含有24个单位正三角形，因此其面积 。
(3)过A作AK⊥BC于点K(如图所示)，则在Rt△ACK中， ，
，故
类型三：数学思想方法(一)转化的思想方法
我们在求三角形的边或角，或进行推理论证时，常常作垂线，构造直角三角形，将问题转化为直角三角形问题来解决.
3、如图所示，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF，若BE=12，CF=5.求线段EF的长。
思路点拨：现已知BE、CF，要求EF，但这三条线段不在同一三角形中，所以关键是线段的转化，根据直角三角形的特征，三角形的中线有特殊的性质，不妨先连接AD.
解：连接AD.
因为∠BAC=90°，AB=AC. 又因为AD为△ABC的中线，
所以AD=DC=DB.AD⊥BC.
且∠BAD=∠C=45°.
因为∠EDA+∠ADF=90°. 又因为∠CDF+∠ADF=90°.
所以∠EDA=∠CDF. 所以△AED≌△CFD(ASA).
所以AE=FC=5.
同理：AF=BE=12.
在Rt△AEF中，根据勾股定理得：
，所以EF=13。
总结升华：此题考查了等腰直角三角形的性质及勾股定理等知识。通过此题，我们可以了解：当已知的线段和所求的线段不在同一三角形中时，应通过适当的转化把它们放在同一直角三角形中求解。
(二)方程的思想方法
4、如图所示，已知△ABC中，∠C=90°，∠A=60°， ，求 、、的值。
思路点拨：由 ，再找出 、的关系即可求出 和 的值。
解：在Rt△ABC中，∠A=60°，∠B=90°-∠A=30°，
则 ，由勾股定理，得 。
因为 ，所以 ，
， ， 。
总结升华：在直角三角形中，30°的锐角的所对的直角边是斜边的一半。
举一反三：【变式】如图所示，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求EF的长。
解：因为△ADE与△AFE关于AE对称，所以AD=AF，DE=EF。
因为四边形ABCD是矩形，所以∠B=∠C=90°，
在Rt△ABF中， AF=AD=BC=10cm，AB=8cm，
所以 。 所以 。
设 ，则 。
在Rt△ECF中， ，即 ，解得 。
9.七年级数学勾股定理全章复习 篇九
一、复习要求：
1．体验勾股定理的探索过程；已知直角三角形的两边长，会求第三边长。
2．会用勾股定理知识解决简单问题；会用勾股定理逆定理判定直角三角形。
3．会用勾股定理解决有关的实际问题。
二、知识网络：
三、知识梳理：
1、勾股定理
(1)重视勾股定理的三种叙述形式：
①在直角三角形斜边上的正方形等于直角边上的两个正方形(《几何原本》)．
②直角三角形直角边上的两个正方形的面积之和等于斜边上的正方形的面积．
③直角三角形斜边长度的平方，等于两个直角边长度平方之和．
从这三种提法的意义来看，勾股定理有“形的勾股定理”和“数的勾股定理”之分。
(2)定理的作用：
①已知直角三角形的两边，求第三边。
②证明三角形中的某些线段的平方关系。
③作长为的线段。
勾股定理揭示的是平面几何图形本身所蕴含的代数关系。利用勾股定理探究长度为，„„的无理数线段的几何作图方法，并在数轴上将这些点表示出来，进一步反映了数与形的互相表示、相互交融，加深对无理数概念的直观认识。
(3)勾股定理的证明：
经典证法有：①欧几里得证法②赵爽《勾股圆方图注》证法③刘徽《青朱出入图》证法④美国总统加菲的证明⑤印度婆什迦罗的证明⑥面积法证明；除此之外，还有文字证明、拼图证明和动态证明。(4)勾股定理的应用：
勾股定理只适用于直角三角形，首先分清直角及其所对的斜边。当已知中没有直角时，可作辅助线，构造直角三角形后，再运用勾股定理解决问题。求线段的长度，常常综合运用勾股定理和直角三角形的其它性质，等腰三角形的性质，轴对称的性质来解决。
2、勾股定理的逆定理
(1)勾股定理的逆定理的证明方法，也是学生不熟悉的，引导学生用所学过的全等三角形的知识，通过
构造一个三角形与直角三角形全等，达到证明的目的。
(2)逆定理的作用：判定一个三角形是否为直角三角形。
(3)勾股定理的逆定理是把数转化为形，是利用代数计算来证明几何问题。要注意叙述及书写格式。
运用勾股定理的逆定理的步骤：
①首先确定最大的边(如c)
②验证：
若
当
当
与
是否具有相等关系：，则△ABC是以∠C为90°的直角三角形。时，△ABC是锐角三角形； 时，△ABC是钝角三角形。
(4)通过总结归纳，记住一些常用的勾股数。如：3，4，5；5，12，13；6，8，10；8，15，17；9，40，4l；„„以及这些数组的倍数组成的数组。勾股数组的一般规律：
丢番图发现的：式子
毕达哥拉斯发现的：
柏拉图发现的：，，(，的整数)
(的正整数)(的整数)
3、注意总结直角三角形的性质与判定。
(1)直角三角形的性质：
角的关系：直角三角形两锐角互余。
边的关系：直角三角形斜边大于直角边。
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。
边角关系：直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半。
双垂图中的线段关系。
(2)直角三角形的判定：
①有一个角是直角的三角形是直角三角形。
②有两个角互余的三角形是直角三角形。
③两边的平方和等于第三边的平方的三角形是直角三角形。(最长的边的平方等于另外两边的平方和的三角形是直角三角形)
4、已知直角三角形的两边长，会求第三边长。
设直角三角形的两直角边为a，b，斜边长为c，由勾股定理知道：得：，。变形，因此已知直角三角形的任意两边，利用勾股定理可求出第三条边。
5、当直角三角形中含有30°与45°角时，已知一边，会求其它的边。
(1)含有30°的直角三角形的三边的比为：1：1：2：3，则三边
的比为1：：2)。
：2。(一个三角形的三个内角的比为
(2)含有45°的直角三角形的三边的比为：1：1：
(3)等边三角形的边长为，则高为，面积为。
6、典型方法的总结：
(1)斜三角形转化为直角三角形
(2)图形的割、补、拼接
(3)面积法与代数方法证明几何问题
四、例题分析
1．如图，把一副三角板如图甲放置，其中∠ACB=∠DEC=90°，∠A=45°，∠，D=30°，斜边AB=6cm，DC=7cm，把三角板DCE绕点C顺时针旋转15°得到△如图乙．这时AB与
(1)求
(2)求线段
(3)若把三角板
相交于点O，与AB相交于点F． 的度数： 的长．
绕着点C顺时针再旋转30°得，这时点B在的内部、外部、还是边上?证明你的判断．
解：(1)∵ ∠2=15°，∠
=90°，∴ ∠1=75°．又∵ ∠B=45°，∴
(2)连结
∵
又∵
∴
又∵
∴。，． ,，.，∵
又∵
在(3)点B在，∴，∴ 中，内部。
于点。。
理由如下：设BC(或延长线)交
∵，在中，又∵，即，∴ 点B在内部。
2．如图，P是等边三角形ABC内的一点，连结PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP，连结CQ．
(1)观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论．
(2)若PA：PB：PC=3：4：5，连结PQ，试判断△PQC的形状，并说明理由．
解：(1)猜想：AP=CQ
证明：在△ABP与△CBQ中，∵ AB=CB，BP=BQ，∠ABC=∠PBQ=60°
∴ ∠ABP=∠ABC-∠PBC=∠PBQ-∠PBC=∠CBQ
∴ △ABP≌△CBQ ∴ AP=CQ
(2)由PA：PB：PC=3：4：5 可设PA=3a，PB=4a，PC=5a
连结PQ，在△PBQ中，由于PB=BQ=4a，且∠PBQ=60°
∴ △PBQ为正三角形 ∴ PQ=4a
于是在△PQC中，∵
∴ △PQC是直角三角形
3．如图(1)所示为一上面无盖的正方体纸盒，现将其剪开展成平面图，如图(2)所示．已知展开图中每个正方形的边长为1．
(1)求在该展开图中可画出最长线段的长度?这样的线段可画几条?
(2)试比较立体图中∠BAC与平面展开图中的大小关系?
解：(1)在平面展开图中可画出最长的线段长为
如图(1)中的∵
∴，在中，由勾股定理得：
。．
答：这样的线段可画4条(另三条用虚线标出)．
(2)∵ 立体图中∠BAC为平面等腰直角三角形的一锐角，∴ ∠BAC=45°．
在平面展开图中，连接线段
又∵
由勾股定理的逆定理可得
又∵
∴ △，为等腰直角三角形． ∴
．，为直角三角形．，由勾股定理可得：。
10.初二数学上勾股定理 篇十
因式分解
1.因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解；注意：因式分解与乘法是相反的两个转化.2．因式分解的方法：常用“提取公因式法”、“公式法”、“分组分解法”、“十字相乘法”.3．公因式的确定：系数的最大公约数·相同因式的最低次幂.注意公式：a+b=b+a；a-b=-(b-a)；(a-b)2=(b-a)2；(a-b)3=-(b-a)3.4．因式分解的公式：
(1)平方差公式： a2-b2=（a+ b）（a-b）；
(2)完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2,a2-2ab+b2=(a-b)2.5．因式分解的注意事项：
（1）选择因式分解方法的一般次序是：一 提取、二 公式、三 分组、四 十字；
（2）使用因式分解公式时要特别注意公式中的字母都具有整体性；
（3）因式分解的最后结果要求分解到每一个因式都不能分解为止；
（4）因式分解的最后结果要求每一个因式的首项符号为正；
（5）因式分解的最后结果要求加以整理；
（6）因式分解的最后结果要求相同因式写成乘方的形式.6．因式分解的解题技巧：（1）换位整理，加括号或去括号整理；（2）提负号；（3）全变号；（4）换元；（5）配方；（6）把相同的式子看作整体；（7）灵活分组；（8）提取分数系数；（9）展开部分括号或全部括号；（10）拆项或补项.7．完全平方式：能化为（m+n）2的多项式叫完全平方式；对于二次三项式x2+px+q，有“ x2+px+q是完全平方式
分式
Apq22”.1．分式：一般地，用A、B表示两个整式，A÷B就可以表示为B的形式，如果B
A
中含有字母，式子B 叫做分式.整式有理式分式2．有理式：整式与分式统称有理式；即.3．对于分式的两个重要判断：（1）若分式的分母为零，则分式无意义，反之有意义；
（2）若分式的分子为零，而分母不为零，则分式的值为零；注意：若分式的分子为零，而分母也为零，则分式无意义.4．分式的基本性质与应用：
（1）若分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变；
（2）注意：在分式中，分子、分母、分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变； 即
分子分母
分子分母
分子分母
分子分母
（3）繁分式化简时，采用分子分母同乘小分母的最小公倍数的方法，比较简单.5．分式的约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分；注意：分式约分前经常需要先因式分解.6．最简分式：一个分式的分子与分母没有公因式，这个分式叫做最简分式；注意：分式计算的最后结果要求化为最简分式.acac,bdbd7．分式的乘除法法则：
n
n
a
b
cd
adad
bcbc
.aa
n.（n为正整数）
b
8．分式的乘方：b
.9．负整指数计算法则：
（1）公式： a0=1(a≠0),a-n=a(a≠0)；（2）正整指数的运算法则都可用于负整指数计算；
a
（3）公式：b
n
n
ba
n
a
nm，b
ba
mn；
（4）公式：（-1）-2=1，（-1）-3=-1.10．分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分；注意：分式的通分前要先确定最简公分母.11．最简公分母的确定：系数的最小公倍数·相同因式的最高次幂.a
bc
abc
ab
cd
adbd
bcbd
adbcbd
12．同分母与异分母的分式加减法法则：
c
;
.13．含有字母系数的一元一次方程：在方程ax+b=0(a≠0)中,x是未知数,a和b是用字母表示的已知数，对x来说，字母a是x的系数，叫做字母系数，字母b是常数项，我们称它为含有字母系数的一元一次方程.注意：在字母方程中,一般用a、b、c等表示已知数，用x、y、z等表示未知数.14．公式变形：把一个公式从一种形式变换成另一种形式，叫做公式变形；注意：公式变形的本质就是解含有字母系数的方程.特别要注意：字母方程两边同时乘以含字母的代数式时，一般需要先确认这个代数式的值不为0.15．分式方程：分母里含有未知数的方程叫做分式方程；注意：以前学过的，分母里不含未知数的方程是整式方程.16．分式方程的增根：在解分式方程时，为了去分母，方程的两边同乘以了含有未知数的代数式，所以可能产生增根，故分式方程必须验增根；注意：在解方程时，方程的两边一般不要同时除以含未知数的代数式，因为可能丢根.17．分式方程验增根的方法：把分式方程求出的根代入最简公分母（或分式方程的每个分母），若值为零，求出的根是增根，这时原方程无解；若值不为零，求出的根是原方程的解；注意：由此可判断，使分母的值为零的未知数的值可能是原方程的增根.18．分式方程的应用：列分式方程解应用题与列整式方程解应用题的方法一样，但需要增加“验增根”的程序.数的开方
1．平方根的定义：若x2=a,那么x叫a的平方根，（即a的平方根是x）；注意：（1）a叫x的平方数，（2）已知x求a叫乘方，已知a求x叫开方，乘方与开方互为逆运算.2．平方根的性质：
（1）正数的平方根是一对相反数；（2）0的平方根还是0；（3）负数没有平方根.3．平方根的表示方法：a的平方根表示为也可以认为是一个数开二次方的运算.4．算术平方根：正数a的正的平方根叫a的算术平方根，表示为平方根还是0.5．三个重要非负数： a2≥0 ,|a|≥0，0.6．两个重要公式：（1）a
a
a
和
a
.注意：
a
可以看作是一个数，a
.注意：0的算术
a
≥0.注意：非负数之和为0，说明它们都是
a
;(a≥0)
（2）
(a0)a
a
a(a0)
.7．立方根的定义：若x3=a,那么x叫a的立方根，（即a的立方根是x）.注意：（1）a叫x的立方数；（2）a的立方根表示为8．立方根的性质：
（1）正数的立方根是一个正数；（2）0的立方根还是0；
a
；即把a开三次方.（3）负数的立方根是一个负数.9．立方根的特性：
aa
.10．无理数：无限不循环小数叫做无理数.注意：和开方开不尽的数是无理数.11．实数：有理数和无理数统称实数.
有理数实数
无理数12．实数的分类：（1）
正有理数
0
负有理数
有限小数与无限循环小
数
正无理数无限不循环小数负无理数
（2）
.13．数轴的性质：数轴上的点与实数一一对应.14．无理数的近似值：实数计算的结果中若含有无理数且题目无近似要求，则结果应该用无理数表示；如果题目有近似要求，则结果应该用无理数的近似值表示.注意：（1）近似计算时，中间过程要多保留一位；（2）要求记忆：21.414
52.236.31.732
正实数
实数0
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