福州大学高等代数考研经验

福州大学高等代数考研经验（精选10篇）

1.福州大学高等代数考研经验 篇一

天津大学硕士研究生入学考试业务课考试大纲

课程编号：836课程名称：高等代数（含解析几何）

一、考试的总体要求

要求考生比较系统地理解高等代数的基本概念和基本理论，掌握代数的基本方法，要求考生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、运算能力、综合运用所学的知识分析和解决问题的能力。

二、考试的内容及比例

1．多项式：数域，二元多项式、整除、最大公因式、互素、不可约多项式、因式分解定理、重因式、多项式、函数、复系数与实系数多项式的因式分解，有理系数多项式，多元多项式。

2．行列式：排列，n阶行列式的定义，n阶行列式的性质及计算，行列式展开（按一行(一列)展开，拉普拉斯定理）克莱姆法则。

3．矩阵：矩阵的概念，矩阵的运算，逆矩阵、矩阵乘积的行列式、分块矩阵、初等矩阵、初等变换，分块矩阵和初等变换及其应用，矩阵的秩。

4．线性方程组：n维向量空间，n维向量的线性相关性，向量组的极大线性无关组，向量组的秩和线性方程组的解法、有解的判别原理、解的结构。

5．二次型：二次型及其矩阵表示，二次型的标准型、唯一性、化二次型为标准型，正定二次型。

6．线性空间：集合、映射、线性空间的定义与性质。基、维数与坐标、基变换与坐标变换，线性子空间，子空间的交与和，直和，线性空间的同构。

7．线性变换的定义及其运算，线性变交换的矩阵，特征值与特征向量，对角矩阵，线性变换的值域与核、不变子空间。

8．λ-矩阵：λ-矩阵的概念，λ的矩阵在初等变换下的标准型，行列式因子，不变因子，及初等因子，矩阵相似的条件，矩阵的若当标准型及理论推导。

9．欧几里德空间：欧几里德空间的定义与基本性质，标准正交基，欧氏空间的同构和正交变换，子空间及其正交系，正交补，对称矩阵的标准形。向量到子空间的距离，最小二乘法，酉空间。

各部分占10%左右。

三、考试的题型及比例

1．填空题15%。2．计算题40%。3．证明题45%。

四、考试形式及时间

考试形式均为笔试。考试时间为三小时。（满分150分）

2.福州大学高等代数考研经验 篇二

7月中旬开始胡乱看书，高数、线代、概论每天轮着看，看了两个多星期，一头雾水！每天闷在家里扛不住了！

和一个学姐聊天，她告诉我，复习数学的时候不能一起复习，应该分开看：高数---线性代数---概率论！我尝试了一下，还真有用！自己把书上的知识点总结了一下，现在复习效果很好！

搜集1000份资料，报再多的辅导班都不如自己总结！跟大家分享一下我整理的数学资料，2011的研友们，坚持就是胜利！

------------------------高等数学：

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考研数学公式最新总结大全高等数学，线性代数，概率统计(比较综合)------------------------线性代数：

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2010年全国硕士研究生入学考试数学一试题 2010年全国硕士研究生入学考试数学二试题 2010年全国硕士研究生入学考试数学三试题 2009年数学真题

2009年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及答案 2009年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及答案 2009年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题及答案 2008年数学真题

2008年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及答案 2008年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及答案 2008年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题及答案 2008年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题及答案 2007年数学真题

2007年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及答案 2007年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及答案 2007年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题及答案 2007年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题及答案 2006年数学真题

2006年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及答案 2006年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及答案 2006年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题及答案 2006年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题及答案 2005年数学真题

2005年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及答案 2005年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及答案 2005年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题及答案------------------------考研经验（常看看，给自己鼓励！）： 怎样合理规划考研复习（好的方法，事半功倍）

学习计划的制定：考研复习阶段分析（计划+执行+坚持=考研成功）跨校考研注意事项（跨校的同学一定看看）考研第一考上清华研究生的经历（坚持就是胜利）

------------------------导师信息库：

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还有很多，听学姐说10月之前都是混战，大家都在搜集资料，包括政治、数学、英语、专业课的资料，还有自己想报考的学校的资料等等。

报考本校的话还算容易，报考外校的话比较困难，自己如果信息闭塞的话会吃亏！所以大家晚上上完自习回来有时间的话还是要经常上网看看，及时了解各方面的信息，千万不要闷着头复习！

3.高等代数教学论文 篇三

高等代数教学中的几点感悟

文/宋雪丽

摘 要：在大学数学课程中，高等代数是其中一门十分重要的科目。结合教学实践，谈了一些感悟。

关键词：内容;概念;方法

高等代数是大学数学课程中一门重要的专业基础课程，为后继课程提供必不可少的数学理论基础知识，一般都在大学一年级开设。由于该课程是学习大学后继相关课程的基石，同时也是研究其他学科的工具，许多高等院校都将高等代数列为研究生招生考试课程，因此，该课程在整个专业课程体系中地位很高。由于该课程的抽象性和枯燥性，许多初学者往往觉得学起来很困难。因此，作为高校教师，如何培养学生对高等代数的学习兴趣，提高高等代数的课堂教学质量显得尤为重要。结合多年的教学实践经验，下面我谈谈在《高等代数》教学中的一些感悟。

一、尽量与中学数学内容相联系

高等代数课程中的许多教学内容与中学数学有着紧密的联系。例如数与数域，中学教材中有整数、有理数、实数及复数。高等代数中介绍了数域的概念;多项式，在中学数学教材中就有多项式的加、减、乘、除四则运算法则。在高等代数中严格定义了多项式的次数及加法、减法、乘法运算，介绍了多项式的整除理论及最大公因式理论;方程，中学教材中有一元一次方程、一元二次方程的求解方法、一元二次方程根与系数的关系。高等代数中介绍一元n次方程根的定义、复数域上一元n次方程根与系数的关系及根的个数、实系数一元n次方程根的特点、有理数一元n次方程根的性质及其求法;方程组，中学教材中有二元一次方程组、三元一次方程组的消元解法。高等代数中有n元一次线性方程组的行列式解法(克拉默法则)和矩阵消元解法、线性方程族解的判定及解与解之间的关系;空间与图形，中学教材中有平面与空间向量的长度与夹角，高等代数中有欧式空间向量的长度和夹角。

通过以上分析，高等代数与中学数学在内容上有很多相关联的地方。不同的是中学数学知识比较浅显，面也比较窄，而高等代数将中学数学的内容拓宽了许多，同时也抽象了许多。因此作为老师，要正确地引导学生以较高的观点去认识中学教学内容。例如，通过线性方程组的矩阵解法、有解判别定理以及解的结构所反映的辨证思想，指导学生对中学数学的加减消元法本质的认识。高等代数中有许多概念，有些概念比较抽象，学生也不明白这个概念有什么用。这种情况下，老师在讲课时，可以先不必马上讲出这个概念，可从学生所熟悉的中学知识出发，由具体到抽象，慢慢地转到主题上。

二、深刻理解概念

高等代数中概念很多，几乎每一章节都涉及到了概念，而且有些概念还很相似，好多题的证明都要通过概念来证明。因此，在教学中，要让学生深刻理解、体会概念。譬如，阶行列式的定义，是由所有位于不同行不同列的n个元素乘积的代数和得到的。(www.fwsir.Com)只有深刻明白了这个定义，才能用行列式的定义来解题。还有多项式中，零多项式与零次多项式的区别，线性空间的同构与欧几里得空间的同构的相似点和区别。

俗话说：“书读百遍，其义自见”，要告诫学生多读几遍书，多思考，思考得多了，自然就理解了。只有理解概念了，才能在解题中熟练、灵活地运用这些概念来证明。

三、课堂上注重教学方法

教师的教学方法是影响学生学习方式的重要因素，在培养学生的创新能力方面起到重要作用。为了上好每一堂课，老师一定要注意教学方法。我曾参加了全国高校教师网络培训课程，听了张贤科老师主讲的高等代数，受益很多。张老师在讲一些高等代数内容时，根本没有按课本思路去讲，有些性质的证明运用其他方法来证。大家都知道高等代数中很多章节内容是彼此相关联的。老师在讲课中，没必要完全照课本来讲，例如，讲一个定理或一条性质的证明，可以运用以前所学的知识证出来，老师可鼓励学生运用不同的方法来证明，激发学生的思维能力，这样学生也会觉得不是太枯燥。

上课时切忌照本宣科，要说课，这节课大家需要掌握什么，教学大纲的要求，考试要考的知识，重点、难点是什么，使学生清楚这节课堂的目的，做到有的放矢。代数学的一些重要内容，例如集合的线性运算、八条运算规则、等价关系等经常出现的内容，我们采用类比的方法进行讲授，使学生能触类旁通，举一反三。对于一些难于理解的定理的证明，则着重介绍证明思想及每个证明阶段的技巧和预备知识，并要求学生课后复习。对于一些较抽象的概念，在讲授之前，应尽可能地介绍它们的应用背景或简单例子，启发学生思维从具体到抽象升华。

针对高等代数这门课程的.特点，应注意传统教学手段与现代化教学手段相结合。概念性知识较多的章节可以应用多媒体技术，而对那些理论证明较多，难以理解的内容，则采用传统的教学手段，一步步引导学生推理验证，更易于让学生接受、掌握。

四、培养学生数学思维的审美性

数学同其他学科一样，蕴含着美，存在着美的价值。代数学这朵奇葩，更以其高度的抽象性，理论的严谨性，应用的广泛性，在数学王国里独领风骚，展现出其多姿多彩的迷人风貌。

高等代数的美是内在的、深沉的、含蓄的，不易被大家所发现、接受。这就要求我们在教学中注意引导学生挖掘数学美，审视数学美，追求数学美，创造数学美。只有如此，我们才能将抽象的概念、空洞的定理、刻板的推导、繁琐的计算、枯燥的理论变换成一种美的享受，美的追求。这对诱发学生的求知欲，激发学生的学习兴趣，提高学生的学习效率起着极大的推动作用。

高等代数中，蕴含着许多数学特有的美，数学的语言美在高等代数中表现得淋漓尽致。数学语言是一种科学的语言，它除具有一般语言文字和艺术共有的特点外，更有“符号化”的特点。例如，用AX=B，其中A=(aij)mn，表示一个有m个方程n个未知量的线性方程组，多么简洁明快。另外，高等代数的美也体现在证明过程的逻辑严密上，许多定理的证明层层递进，严丝合缝，看懂了一个证明，就能给人一种惊叹佩服、赏心悦目的感觉。

总之，高等代数中的数学美无处不在，只要我们教师在教学过程中用心去揭示，从美的角度去挖掘，并积极引导学生去欣赏、体味定能感觉美不胜收，回味无穷，教学质量必将提高。

注：西安科技大学博士启动基金资助项目(QDJ040)。

4.福州大学高等代数考研经验 篇四

升本老师的邀请，将以前我复习高等数学的一点经验或想法，供学弟学妹们借鉴，说得不好的地方请见谅。江西理工大学专升本的理科，高等数学是非常重要的科目，占了150分，好久没看过高等数学了，一开始，我心里也很紧张，对于能否学好心里没底，由于从小对数学感兴趣，我静下心来认真复习，最终取得了不错的成绩。总结自己的学习经验，我觉得学好数学要注意两点，一是培养自己的引导性思维，二是在学习中下苦功夫。和其他科目比起来，数学是一门比较抽象的学科，需要死记硬背的内容较少，逻辑推理和运算是掌握的重点。我觉得，在日常学习中，考生要培养自己的引导性思维，提高想象力和联想力，进而提高解题能力。引导性思维，就是通过基本概念发散思考，联想到接下来的解题思路，在解题时能够举一反三。做到这一点，数学学习才能游刃有余，解题才能顺利地进行。

我参加了星原专升本的辅导班（扣扣：1793778090）。每次上课时，我都认真听老师讲解，认真理解和记忆基本概念、公式，这是提高数学学习的基础。老师讲解习题时，我注意掌握对习题的分析思路和推理逻辑，从中开阔思维，培养引导性思维。如果考生在老师讲解习题时仅机械背记解题过程，则只能掌握同种习题的解法，遇到习题稍加变动，可能就束手无策。通过培养自己的引导性思维，我数学越学越有兴趣，感觉解题思路也越来越开阔，老师讲解习题时我也常能举一反三，不仅对同种习题游刃有余，而且对一些变形的题目，也能多想几个为什么，从中找出解题的头绪，继而顺利解答。

5.考研数学一线性代数公式 篇五

1.n行列式共有n2个元素，展开后有n!项，可分解为2n行列式； 2.行列式的重要公式：

①、主对角行列式：主对角元素的乘积；

n(n1)

②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)③、上、下三角行列式（④、◤

◥◣

2；）：主对角元素的乘积；

n(n1)

2和

◢

：副对角元素的乘积(1)

AC

OBAO

CB

；、CB

AO

OB

AC

(1)

mn

⑤、拉普拉斯展开式：

ABAB

⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； 3.证明

①、A0的方法：

；③构造齐次方程组Ax

0

AA，证明其有非零解；④证明r(A)

n

⑤证明0是其特征值；

2、矩阵

1.是n阶可逆矩阵：

A0（是非奇异矩阵）；

A



r(A)n

A

（是满秩矩阵）

有非零解；的行（列）向量组线性无关；

0

齐次方程组Ax

bR

n，Ax

b

总有唯一解；

A

与E等价；

可表示成若干个初等矩阵的乘积； 的特征值全不为0；

T

AA



AA

A

是正定矩阵；的行（列）向量组是Rn的一组基； 是Rn中某两组基的过渡矩阵；

AAAE

*

A

2.对于n阶矩阵A：AA*3.(A



1无条件恒成立；

1)(A)

T

T

**1

(A

1)

T

(A)

*

*

T

(A)

*T

(A)

1

T*

1

(AB)BA

T

(AB)BA

*

(AB)B

1

A

4.矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和； 5.关于分块矩阵的重要结论，其中均A、B可逆：

若

A1A



A

2

As



1，则：Ⅰ、AA1A2As

；Ⅱ、A



1A1

1

1

A

2

As

O

11

1

；

A

②、

OA

④、

O

OBCB



1AOO1BA

1

O

；（主对角分块）③、

BCB



11

AO

1

O

1A

1

B

；（副对角分块）

O1B

1

AO

1

B

A

；（拉普拉斯）⑤、

COBA

1

1BCA

；（拉普拉斯）

3、矩阵的初等变换与线性方程组

1.一个m

n

矩阵A，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：F

ErOOOmn；

等价类：所有与A等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵； 对于同型矩阵A、B，若r(A)

r(B)AB；

2.行最简形矩阵：

①、只能通过初等行变换获得；②、每行首个非0元素必须为1；③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0；

3.初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）

①、若(A,E)(E,X)，则A可逆，且X②、对矩阵(A,B)做初等行变化，当

A

r

A

E



1；

就变成A

1

变为时，B

B，即：(A,B)(E,A1B)；

r

c

③、求解线形方程组：对于n个未知数n个方程Ax

b，如果(A,b)(E,x)，则A可逆，且x

A



1b；

4.初等矩阵和对角矩阵的概念：

①、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；

1

②、





2

n，左乘矩阵A，i乘A的各行元素；右乘，i乘A的各列元素；

③、对调两行或两列，符号E(i,5.矩阵秩的基本性质：

①、0r(Amn)min(m

⑥、r(A

j)，且E(i,j)



1

E(i,j)，例如：1



1

1



1

1；,n)；②、r(A)r(A)

T；③、若A

B，则r(A)r(B)；④、若P、Q可逆，则

；（※）

r(A)r(PA)r(AQ)r(PAQ)

；（可逆矩阵不影响矩阵的秩）⑤、max(r(A),r(B))；（※）⑦、r(AB)

min(r(A),r(B))

r(A,B)r(A)r(B)

B)r(A)r(B)

n

；（※）

⑧、如果A是m矩阵，B是ns矩阵，且AB

0

n

0，则：（※）

Ⅰ、B的列向量全部是齐次方程组AXⅡ、r(A)r(B)

解（转置运算后的结论）；；

⑨、若A、B均为n阶方阵，则r(AB)

r(A)r(B)n

6.三种特殊矩阵的方幂：

①、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量）行矩阵（向量）的形式，再采用结合律；

1

②、型如0

0

a10

cb1的矩阵：利用二项展开式；③、利用特征值和相似对角化：

7.伴随矩阵：

n



①、伴随矩阵的秩：r(A*)

10

r(A)nr(A)n1r(A)n1

*

1

*；

②、伴随矩阵的特征值：

A



(AXX,AAAAX

A



X)

；③、A*

AA



1、A

*

A

n

18.关于A矩阵秩的描述：

①、r(A)n，A中有n阶子式不为0，n1阶子式全部为0；（两句话）

②、r(A)

n，A中有n阶子式全部为0；③、r(A)

n，A中有n阶子式不为0；

9.线性方程组：Axb，其中A为mn矩阵，则：

①、m与方程的个数相同，即方程组Axb有m个方程；

②、n与方程组得未知数个数相同，方程组Ax

b

为n元方程；

10.线性方程组Axb的求解：

①、对增广矩阵B进行初等行变换（只能使用初等行变换）；②、齐次解为对应齐次方程组的解；

③、特解：自由变量赋初值后求得；

4、向量组的线性相关性

11.①、向量组的线性相关、无关 Ax0有、无非零解；（齐次线性方程组）

②、向量的线性表出Axb是否有解；（线性方程组）③、向量组的相互线性表示 AXB是否有解；（矩阵方程）

12.矩阵Amn与Bln行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组Ax0和Bx0同解；(P101例14)13.14.r(AA)r(A)

n

T

；(P101例15)

0

维向量线性相关的几何意义：

；③、,,线性相关 

,,

①、线性相关

②、,线性相关

共面；

,

坐标成比例或共线（平行）；

15.线性相关与无关的两套定理：

若1,2,,s线性相关，则1,2,,s,s1必线性相关；

若1,2,,s线性无关，则1,2,,s1必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶）若r维向量组A的每个向量上添上n

r

个分量，构成n维向量组B：

若A线性无关，则B也线性无关；反之若B线性相关，则A也线性相关；（向量组的维数加加减减）简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；

16.向量组A（个数为r）能由向量组B（个数为s）线性表示，且A线性无关，则r

向量组A能由向量组B线性表示，则r(A)向量组A能由向量组B线性表示

AXB

r(B)

s

(二版P74定理7)；

；（P86定理3）

r(A)r(A,B)

有解；

（P85定理2）

向量组A能由向量组B等价r(A)①、矩阵行等价：A~

cr

r(B)r(A,B)

（P85定理2推论）

P1P2Pl

17.方阵A可逆存在有限个初等矩阵P1,P2,,Pl，使A

BPAB；

0

（左乘，P可逆）

Ax0

与Bx同解

18.19.20.21.②、矩阵列等价：A~BAQB（右乘，Q可逆）；③、矩阵等价：A~BPAQB（P、Q可逆）； 对于矩阵Amn与Bln：

①、若A与B行等价，则A与B的行秩相等；

②、若A与B行等价，则Ax0与Bx0同解，且A与B的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性； ④、矩阵A的行秩等于列秩； 若AmsBsnCmn，则：

①、C的列向量组能由A的列向量组线性表示，B为系数矩阵；

②、C的行向量组能由B的行向量组线性表示，AT为系数矩阵；（转置）

齐次方程组Bx0的解一定是ABx0的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需证明；

①、ABx0 只有零解Bx0只有零解；②、Bx0 有非零解ABx0一定存在非零解； 设向量组Bnr:b1,b2,,br可由向量组Ans:a1,a2,,as线性表示为：（P110题19结论）

（BAK）

其中K为sr，且A线性无关，则B组线性无关r(K)r；（B与K的列向量组具有相同线性相关性）（必要性：rr(B)r(AK)r(K),r(K)r,r(K)r；充分性：反证法）

(b1,b2,,br)(a1,a2,,as)K

m

注：当rs时，K为方阵，可当作定理使用； 22.①、对矩阵Amn，存在Qnm，AQEm r(A)

②、对矩阵Amn，存在Pnm，PA

En、Q的列向量线性无关；（P87）、P的行向量线性无关；

r(A)n

23.若*为Ax

b的一个解，1,2,,nr为Ax

0的一个基础解系，则*,1,2,,nr线性无关

5、相似矩阵和二次型

1.正交矩阵

AAE

T

或A

1A

T

（定义），性质：

10

ijij

(i,j1,2,n)

①、A的列向量都是单位向量，且两两正交，即aiTaj②、若A为正交矩阵，则A

1A

T；

也为正交阵，且

A1；

③、若A、B正交阵，则AB也是正交阵；注意：求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化和单位化； 2.施密特正交化：(a1,a2,,ar)

b1a1；

b2a2

[b1,a2][b1,b1]

b

1

[b1,ar][b1,b1]

b1

[b2,ar][b2,b2]

b2

[br1,ar][br1,br1]

br1

brar

;

3.对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交； 4.①、A与B等价 A经过初等变换得到B；

PAQB，P、Q可逆； r(A)r(B)，A、B同型； ②、A与B合同 CTACB，其中可逆；

TT

xAx与xBx有相同的正、负惯性指数； ③、A与B相似 P1APB； 5.相似一定合同、合同未必相似；

若C为正交矩阵，则CTACBAB，（合同、相似的约束条件不同，相似的更严格）； 6.n元二次型xTAx为正定：

T

6.福州大学高等代数考研经验 篇六

每一门学科都有它的发展历史，偏文的学科会更多的关注历史发展，偏理的学科很多都是教师随口带过，很少做深入的研究。但事实表明每一门学科史的学习都会对该门学科学习带来帮助，所以高中代数这门学科中我们也引入了数学史。通过数学史的学习让学生更深入的了解数学，持着知其然知其所以然的态度去研究数学，这会为高等代数的学习带来事半功倍的效果。

1 数学史对高等代数学习的积极作用

1.1 有利于激发学生对高等代数的学习兴趣

高等代数知识具有较强的逻辑性并且知识过于抽象，学生在学习的过程中会明显感到吃力，对很多知识点难以理解，并且在学习的过程中过于枯燥，高等代数的挂科率一直比较高[1].

数学史记载了数学的起源，知识点的来源以及数学家在研究数学中发生的故事。这为高等代数枯燥的学习中增添了一抹神秘的色彩，学生通过学习知识点的起源能够更好的了解知识点，在以后的应用中会更灵活。高等代数不再是数字的罗列和符号的贯穿，更是一门充满丰厚底蕴的科学。

1.2 有利于学生对高等代数更深入的探究

在高校的学习中有一部分人存在只要不挂科，能够顺利毕业就好的心态，很少对学习科目深入研究，这对学生的学习发展和职业发展都不利，我国的科学研究领域也需要更多的人才，所以让学生能够自觉的更深入了解每门学科是我们高校教师需要考虑的[2].高等代数作为比较枯燥的学科，让学生能够自主深入的去研究更是一个挑战。数学史的学习可以给学生对高等代数的深入研究提供一个研究依据，枯燥的数字和符号还原回数学史中即变成鲜活的故事，每一个符号后面都记载着数学家的心血和印记。比如：证明五次或五次以上的方程不可能有代数解的这个问题，耗费了三个多世纪都没有被成功解决，最后由法国青年数学家伽罗华给证明了，伽罗华最后因为一次决斗结束了年仅 21 岁的生命。学生通过了解这些数学史的发展，会更加珍惜数学发展的不易，能在今天轻而易举学习着耗时几个世纪的研究成果会让学生倍加珍惜[3].而数学家的故事也会激发学生对数学的浓厚兴趣，以他们为榜样更好的投入到数学的研究中。

1.3 有利于提高学生的创造力

在新课改的要求下，现在学校越来越重视学生综合能力的提升，特别是创造力。高校作为最高的学府更应该重视学生的创造力、想象力等综合能力的提升，为即将步入社会的学生提供更好的学习机会，提高学生的各项能力，让这些能力为学生将来的生活和工作保驾护航。学生通过数学史的学习会激发学生的创造力，名流千古的数学家们成为了学生们精神领袖，学生们会更加积极的去创造属于自己的解题方式，深入的研究数学，并且希望将来自己也可以成为一个可以为后世造福的数学家，这些精神支柱会更好的提高学生的创造力，在为学生自身发展奠定基础的同时也为社会科学发展培养了可用人才。

2 数学史在高等代数中应用应注意的问题

2.1 对数学史重视过度

数学史相对于枯燥的数学公式及计算是比较容易引起学生兴趣的，学生对课堂的投入也会让教师在教授数学史时产生满足感。这导致在高等代数的.学习中数学史的学习时间所占的比例过于大，影响高等代数中知识点的学习。这种情况容易使学生的学习本末倒置，数学史的引入为的是更好的学习高等代数而不是取代高等代数的学习。

2.2 对数学史的学习过于肤浅

数学史的学习除了激发学生对高等代数的学习兴趣外，更是为了学生更好的了解数学知识的来源，让学生在数学史的学习中更深入的理解知识点，从而更好的运用知识。教师在讲述数学史的时候如果过于肤浅的以阅读形式向学生介绍，并达不到学生学习数学史的目的，学生像听故事一样的一带而过，完全掌握不到要点，这不仅对学生高等代数的学习没有帮助，更是对上课时间的浪费。

3 数学史在高等代数中应用措施

3.1 合理引用数学史

数学史记录着整个数学科学的发展过程，每一个数学发现都被详细的记录其中，通过数学史的学习我们可以了解到知识点的起源，能够和数学家一起走一遍知识点发现的路程，这样学生对知识点的印象会更深刻，但是如果教师在课程的讲解过程中过度的重视数学史的学习，将导致学生的学习时间不足，这会严重影响教学进度。所以教师要根据教学进度合理的引用相关数学史，让数学史更好的为高等代数的学习服务。

3.2 重视数学史在高等代数中的作用

数学史的引用不是一个形式，它是为了更好的服务于高等代数，让学生在了解知识点的背景下更好的掌握知识点，为高等代数的学习提供一个更好的方式。所以高校教师一定要重视数学史在高等代数教学中的作用。教师在备课时根据知识点选取数学史上的相关片段为学生讲解，让学生在了解数学史的同时将知识融会贯通，同时也给枯燥的课堂增添一笔亮丽的色彩，让学生在枯燥静态的高等代数学习中看到鲜活的数学发展影像，更好的激发学生对高等代数的兴趣，从而掌握高等代数知识。

4 结语

数学作为一门科学学科，不仅仅是计算和数字罗列更是一门科学艺术，传统的高等代数教学，我们只注重了对知识点的灌输，忽略了数学发展史的学习，这使得数学的艺术性被埋没。

7.考研备考指导 线性代数复习建议 篇七

从今年的线性代数部分的出题情况我们可以看出，线性代数的三个选择、填空题，即是数一、数叁的5、6、13题，数二的7、8、14题。第一题考查分块矩阵的的运算与向量组的线性表示，第二题考查矩阵的相似(这e是实对称矩阵的特殊情况)，第叁题考查伴随矩阵与矩阵的行列式，考查内容简单明确、覆盖面广，与解答题互为补充。线性代数题的难度不大，都是一些基础的知识，但是由于计算比较复杂，极易出现错误，考生因为粗心大意而算错的概率很大。在此，我们给2014届的考生提出如下建议。

一、 注重基础，构建知识体系

基本概念、基本方法、基本性质一直是考研数学的重点。线性代数的概念比较抽象，方法与性质也有相应的适用条件。有些同学在考场上，不知道试题要考查什么，该怎样下手，不知道该用哪个公式。我们建议考生在复习中一定要重视基础知识，要复习所有的定义、定理、公式，做足够多的基础题来帮助巩固基本知识。

线性代数的知识点是三大科目e最少的，但基本概念和性质较多，他们之间的联系也比较紧密。考生特别要根据v年线性代数考试的两个大题内容，找出所涉及到的概念与方法之间的联系与区别。例如：线性方程组的叁种形式之间的联系与转换r行列式的计算与矩阵运算之间的联系与差别r实对称阵的对角化与实二次型化标准型之间的联系等。掌握他们之间的联系与区别，对大家处理其他低分值试题也是有助益的。 （来源：考研教育网）

二、 参照大纲，提高综合能力

大纲作为指导性文件，对命题、应试双方都是有约束力的。数学的复习要强化基础，随时参考适当的教科书，比如同济版的《线性代数》(第三版)或北大版的`《高等代数》(上册)。有的考生认为复习到这个阶段就可以抛开课本搞题海战术了，这是舍本逐末。建议大家要边看书、边做题，通过做题来巩固概念、方法。同时，考生最好选择一本考研复习资料参照着学习，这样有利于知识能力的迁移，有助于在全面复习的基础上掌握重点。

三、分类训练，培养应变能力

近十年特别是近叁年的研究生入学考试试题，加强了对考生分析问题和解决问题能力的考核。在线性代数的两个大题中，基本上都是多个知识点的综合。从而达到对考生的运算能力、抽象概括能力、逻辑思维能力和综合运用所学知识解决实际问题的能力的考核。建议在打好基础的同时，加强常见题型的训练(v年真题是很好的训练材料)，边做边总结，以加深对概念、性质内涵的理解和应用方法的掌握，这样才能够做到举一反三，全面地应付试题的变化。

总之，考生在复习线性代数的时候要注重基础，打好基本功，并结合一些综合性的试题培养自己的分析解决问题能力，加深对知识的理解。一些考生在复习时过分追求难题，而对基本概念，基本方法和基本性质重视不够，投入不足，我们考研数学辅导老师警醒大家这样做是不对的，应该及时纠正。 （来源：考研教育网）

8.福州大学高等代数考研经验 篇八

在一张考研数学试卷中，线性代数这一学科所占的分值为34分，通常由两道选择题、一道填空题(每道题4分)、两道解答题(每道题11分左右)组成，通过冲刺阶段的学习，我们的目标是至少可以拿到30分，

整个线性代数的课程可以分为六个章节：行列式、矩阵、线性方程组、特征值与特征向量、二次型。为了说明每个章节的学习重心，我们将近十年的考研数学试卷(包括数学一、数学二和数学三)做了一个统计，得到了每个章节的题量和分值分布。

(1)行列式。近十年的试卷中，直接考查行列式的有6道题，共24分。首先，从题量上看，直接考察行列式的题目出现的频率是比较低的，不是每年都考，但是，行列式与后续各个章节都有联系，所以，更多的是以间接方式考查。其次，从平均分上看，多以选择或填空题的形式考查。

(2)矩阵。近十年试卷中，考查矩阵的有19道题，共84分。从题量上看，矩阵这块是每年必考题，从平均分上看，也是多以选择或填空题的形式考查。行列式与矩阵对应教材上的前四个模块，这两部分的内容都是以小题为主，这类题目的特点是：计算量不大，重在理解思想方法，所以，在上课的时候，学生应该是以听课为主;但是，与行列式相比，矩阵这一块的考点更多一些。

(3)向量。近十年来，向量共考了17道题，占110分。从平均分上看，从向量开始出现解答题。而线性代数的解答题有两个特点，一个是比较综合，比如，向量这块的题目可能会综合了行列式、矩阵以及后面的线性方程组、秩的相关知识;另一个是计算量比较大。所以，在学这一部分的知识时，首先要把基础知识学好，另外，需要动手计算、多练习，

(4)线性方程组，共考了16道题，占135分。从平均分上看，这部分的题以解答题为主。而且，线性方程组是线性代数其半部分内容的理论核心，这部分的题目比较综合，而且计算量大。

(5)特征值与特征向量，考了22道题，占192分。这部分无论是题量还是分值，都是最多的，形式以解答题为主，计算量也是最大的。

(6)二次型，考了14道题，占88分。这部分考题也是以小题为主，但也会考解答题，特别是最近几年，二次型这块出解答题的可能性越来越大。

通过以上的分析，我们会发现，线性代数的核心就集中在线性方程组、特征值与特征向量这两个章节。总的来说，我们的线性代数要考高分，关键是解答题，而能出解答题的地方就集中在线性方程组、特征值与特征向量这两个章节，所以，这两个章节应该成为考生学习的重中之重。

9.福州大学高等代数考研经验 篇九

来源：文都考研命题研究中心 考研复习已经进入冲刺阶段，相信同学们已经系统地复习了一遍考研数学的内容，那接下来该如何复习，文都考研数学的辅导老师们在这以如何做好线性代数冲刺复习给同学们几点建议，供同学们分享：

一、理解透彻线性代数中的基本概念、性质和定理。

基本概念、性质和定理一直是考研数学的重中之重，线性代数更是如此，且线性代数的概念比较多、比较抽象，所以同学们在冲刺复习时，不仅要每天坚持看这些基本概念、性质和定理，文都考研命题研究中心编的《迷你掌中宝—考研数学必备手册》小巧方便携带，同学们可以带在身上，方便轻松记忆公式、概念、图表等。同时同学们尽量能会用基本概念推导出重要性质和定理，这样就会理解地比较透彻，不会用错。

二、多做综合性题并总结做各类综合题的方法技巧。

线性代数这门课程各章联系相当紧密，考试题目大部分是综合题，所以同学们在冲刺复习时，多注重分析这些重要内容的联系和区别，例如行列式性质和矩阵性质之间的联系和区别、向量的线性表示和非齐次线性方程组解之间的联系、实对称阵的对角化和实二次型化标准形之间的联系等。掌握好这些联系和区别，多做一些综合性题，把各个知识点融会贯通起来，同时多总结做各类综合题的方法技巧，以便得心应手地对付各种考研题。

三、养成做题仔细的习惯。

大部分学生都认为线性代数是考研数学中最简单的，最容易得分的，但考试下来成绩却不理想。好多同学都说：“太粗心了，做错了一步，答案就错了。”的确线性代数考题的灵活性比较大，有些同学就跨度比较大的做几步，结果就出错了，所以同学们在复习做题中就要养成仔细的好习惯，不能说不是考试，就敷衍做几步。

10.福州大学高等代数考研经验 篇十

§1 二次型的矩阵表示

一 授课内容：§1 二次型的矩阵表示

二 教学目的：通过本节的学习，掌握二次型的定义，矩阵表示，线性替换和矩阵的合同.三 教学重点：矩阵表示二次型

四 教学难点：二次型在非退化下的线性替换下的变化情况.五 教学过程：

定义：设P是一数域，一个系数在数域P中的x1,x2,,xn的二次齐次多项式

f(x1,x2,,xn)a11x122a12x1x22a1nx1xn(3)a22x22a2nx2xn…annxn称为数域P上的一个n元二次型，或者，简称为二次型.22例如：x1x1x23x1x32x2 就是有理数域上的一个4x2x33x323元二次型.定义1 设x1,x2,,xn，y1,y2,,yn是两组文字，系数在数域P中的一组关系式

x1c11y1c12y2c1nynxcycycy22112222nn (4)xncn1y1cn2y2cnnyn称为x1,x2,,xn到y1,y2,,yn的一个线性替换，或则，简称为线性替换.如果系数行列式 cij0，那么线性替换(4)就称为非退化的.二次型的矩阵表示：

·４８·令 aijaji，ij 由于 xixjxjxi,那么二次型(3)就可以写为

f(x1,x2,,xn)a11x12a12x1x2a1nx1xn a21x2x1a22x2a2nx2xn…+an1xnx1an2xnx2annxnnnaijxixj(5)

i1j1把(5)的系数排成一个nn矩阵

a11aA21an1a12a22an2a1na2n

ann它称为二次型(5)的矩阵.因为aijaji，i,j1,2,,n，所以

AA.我们把这样的矩阵称为对称矩阵，因此，二次型(5)的矩阵都是对称的.x1x2令X,于是，二次型可以用矩阵的乘积表示出来，xna11a21xnan1a12a22an2a1nx1a2nx2

annxnXAXx1x2x1x2a11x1a12x2a1nxnaxa22x2a2nxnxn211

axaxaxn22nnnn11aijxixj.i1j1nn故 f(x1,x2,,xn)XAX.·４９· 显然，二次型和它的矩阵是相互唯一决定的.由此还能得到，若二次型

f(x1,x2,,xn)XAXXBX

且 AA,BB，则，AB 线性替换的矩阵表示

c11c21令Ccn1c1ny1c22c2ny2,Y,那么，线性替换(4)可以写成，ycn2cnnnc12x1c11x2c21xcnn1c1ny1c22c2ny2

cn2cnnync12或者XCY.显然，一个非退化的线性替换把二次型还是变成二次型，现在就来看一下替换后的二次型与原二次型之间有什么关系.设 f(x1,x2,,xn)XAX，AA，(7)是一个二次型，作非退化的线性替换

XCY(8)得到一个y1,y2,,yn的二次型YBY.现在来看矩阵B与矩阵A的关系 把(8)代入(7)有

f(x1,x2,,xn)XAX(CY)A(CY)YCACYY(CAC)YYBY.容易看出，矩阵CAC也是对称的，事实上，(CAC)CACCAC.由此，即得

BCAC.定义2 数域P上nn矩阵A,B称为合同的，如果有数域P上可逆的nn矩阵C，使

BCAC.合同是矩阵之间的一个关系，不难看出，合同关系具有

·５０·(1)反身性 AEAE.(2)对称性 由 BCAC，即得A(C1)B(C1).(3)传递性 由A1C1AC1，A2C2A1C2，即得A2(C1C2)A(C1C2).因之，经过非退化的线性替换，替换后的二次型的矩阵与原二次型矩阵是合同的.§2 标准形

一 授课内容：§2 标准形

二 教学目的：通过定理的证明掌握二次型化为标准形的配方法.三 教学重点：化普通的二次型为标准形.四 教学难点：化普通的二次形为标准形的相应矩阵表示.五 教学过程：

I 导入

可以认为，在二次型中最简单的一种是只含有平方项的二次型 d1x12d2x2(1)dnxnII 讲授新课

定理1 二次型都可以经过非退化的线性替换变为平方和(1)的形式.不难看出，二次型(1)的.d100d2xn0000dn22=x1d1x12d2x2dnxnx2x1x2.xn反过来，矩阵是对角形的二次型就只含有平方项.定理2 在数域P上，任意一个对称矩阵都合同于一对角矩阵.定义 二次型f(x1,x2,,xn)经过非退化的线性替换所变成的平方和称为f(x1,x2,,xn)的一个标准形.·５１· 例 化二次型

f(x1,x2,x3)2x1x26x2x32x1x3

为标准形.解：作非退化的线性替换

x1y1y2x2y1y2 xy33则f(x1,x2,x3)2(y1y2)(y1y2)6(y1y2)y32(y1y2)y3

2222y122y24y1y38y2y32(y1y3)22y32y28y2y3

z1y1y3y1z1z3再令 z2y2或y2z2

yzzy3333222则f(x1,x2,x3)2z122z2.8z2z32z32z122(z22z3)26z3w1z1z1w1最后令 w2z22z3或z2w22w3

wzzw333322则 f(x1,x2,x3)2w122w2 6w3是平方和，而这几次线性替换的结果相当于作一个总的线性替换，3w1x1110101100w111x2110010012w2011w2.x001001001w00133w3用矩阵的方法来解 例 化二次型

f(x1,x2,x3)2x1x26x2x32x1x3

为标准形.101解：f(x1,x2,x3)的矩阵为A103.130

·５２·110C110取1,则A1C1AC1

001111020211001110103110024.001130001240101再取C2010，则A2C2A1C2

001021012001002010024010024.101240001042100再取C3012，则A3C3A2C3

001010010020010024012 021042001A3是对角矩阵，因此令

311010110011CC1C2C3110010012111，001001001001就有

200CAC020.006作非退化的线性替换

XCY

即得

22.f(x1,x2,x3)2y122y26y3

·５３·

§3 唯一性

一 授课内容：§3 唯一性

二 教学目的： 通过本节的学习，让学生掌握复二次型，实二次型的规范形，正(负)惯性指数，符号差.三 教学重点：复二次型，实二次型的规范形的区别及唯一性的区别.四 教学难点：实二次型的唯一性 五 教学过程：

在一个二次型的标准形中，系数不为零的平方项个数是唯一确定的，与所作的非退化的线性替换无关.二次型的矩阵的秩有时候就称为二次型的秩.至于标准形的系数就不是唯一的.例 二次型f(x1,x2,x3)2x1x26x2x32x1x3经过非退化的线性替换

3w1x111x0112w2 x0013w3得到标准形

22.2w122w26w3而经过非退化的线性替换

x1x2x3112112001y11y2 31y33就得到另一个标准形

1222y2y3.23这就说明，在一般的数域内，二次型的标准形不是唯一的，而与所作

2y12

·５４·的非退化的线性替换有关.下面只就复数域与实数域的情形来进一步讨论唯一性的问题.对于复数域的情形

设f(x1,x2,,xn)是一个复系数的二次型，则经过一个适当的非退化的线性替换后，f(x1,x2,,xn)变为标准形，不妨设标准形为

2d1y12d2y2dryr2，di0，i1,2,,r(1)易知，r就是f(x1,x2,,xn)的矩阵的秩.因为复数总可以开平方，我们再作一非退化的线性替换

1yz11d1yr1zr(2)dryr1zr1ynzn(1)就变为 z12z2zr2(3)(3)称为复二次型f(x1,x2,,xn)的规范形.显然，规范形完全被原二次型的矩阵的秩所决定.定理3 任意一个复系数的二次型，经过一个适当的非退化的线性替换可以变为规范形，规范形是唯一的.定理3换个说法就是，任意一个复的对称矩阵合同于一个形式为

11

00的对角矩阵.从而有，两个复对称矩阵合同的充分必要条件是它们的秩相等.·５５· 对于实数域的情形

设f(x1,x2,,xn)是一个实系数的二次型，则经过一个适当的非退化的线性替换，再适当排列文字的次序，可使f(x1,x2,,xn)变为标准形，d1y12dpy2dryr2(4)pdp1yp1di0 i1,2,,r，r就是f(x1,x2,,xn)的矩阵的秩.因为在实数域中，正实数总可以开平方，所以，再作一非退化的线性替换

1yz11d1yr1zr (5)dryr1zr1ynzn(4)就变为 z12z2pzp1zr(6)(6)称为实二次型f(x1,x2,,xn)的规范形.显然，规范形完全被r,p这两个数所决定.定理4(惯性定理)任意一个实数域上的二次型，经过一个适当的非退化的线性替换可以变为规范形，规范形是唯一的.定义3 在实二次型f(x1,x2,,xn)的规范形中，正平方项的个数p称为f(x1,x2,,xn)的正惯性指数，负平方项的个数rp称为f(x1,x2,,xn)的负惯性指数，它们的差p(rp)2pr称为f(x1,x2,,xn)的符号差.惯性定理也可以叙述为，实二次型的标准形中系数为正的平方项个数是唯一的，它等于正惯性指数，而系数为负的平方项个数也是唯一的，它等于负惯性指数.·５６·

§4 正定二次型

一 授课内容：§4 正定二次型

二 教学目的：通过本节的学习，让学生掌握正定(负定，半正定，半负定，不定)二次型或矩阵.(顺序)主子式的定义，掌握各种类型的判别法.三 教学重点：正定二次型.四 教学难点：判别方法 五 教学过程：

定义4 实二次型f(x1,x2,,xn)称为正定的，如果对于任意一组不全为零的实数c1,c2,,cn都有f(c1,c2,,cn)0.显然，二次型 f(x1,x2,,xn)x12xn2是正定的，因为只有在c1c2cn0时，c12cn才为零.一般的，实二次型 f(x1,x2,,xn)d1x12d2x2dnxn是正定的，当且仅当di0 i1,2,,n.可以证明，非退化的实线性替换保持正定性不变.定理5 n元实二次型f(x1,x2,,xn)是正定的充分必要条件是它的正惯性指数等于n.定理5说明，正定二次型f(x1,x2,,xn)的规范形为 y12yn(5)定义5 实对称矩阵A称为正定的，如果二次型XAX正定.因为二次型(5)的矩阵是单位矩阵E，所以一个实对称矩阵是正定的，·５７· 当且仅当它与单位矩阵合同.推论 正定矩阵的行列式大于零.定义6 子式

a11Pia21ai1a12a1ia22a2i(i1,2,,n)

ai2aii称为矩阵A(aij)nn的顺序主子式.定理6 实二次型

f(x1,x2,,xn)aijxixjXAX

i1j1nn是正定的充分必要条件为矩阵A的顺序主子式全大于零.例 判断二次型

22f(x1,x2,x3)5x12x2x34x1x28x1x34x2x3

是否正定.解：f(x1,x2,x3)的矩阵为

245212 425它的顺序主子式

52452120 50，0，221425因之，f(x1,x2,x3)正定.与正定性平行，还有下面的概念.定义7 设f(x1,x2,,xn)是一实二次型，对于任意一组不全为零的实数c1,c2,,cn，如果都有f(c1,c2,,cn)0，那么f(x1,x2,,xn)称为负定的；如果都有f(c1,c2,,cn)0，那么f(x1,x2,,xn)称为半正定的；

·５８·如果都有f(c1,c2,,cn)0，那么f(x1,x2,,xn)称为半负定的；如果它既不是半正定又不是半负定，那么f(x1,x2,,xn)就称为不定的.对于半正定，我们有

定理7 对于实二次型f(x1,x2,,xn)XAX，其中A是实对称的，下面条件等价：

(1)f(x1,x2,,xn)是半正定的.(2)它的正惯性指数与秩相等.(3)有可逆实矩阵C，使

d1d2CAC，其中，di0 i1,2,,n.dn(4)有实矩阵C使ACC.(5)A的所有主子式皆大于或等于零.注意：在(5)中，仅有顺序主子式大于或等于零是不能保证半正定性的.比如，f(x1,x2)xx12200x1x201x 就是一个反例.2