二次函数与一元二次方程教案

二次函数与一元二次方程教案（精选19篇）

1.二次函数与一元二次方程教案 篇一

22.2二次函数与一元二次方程

本节主要内容是用函数的观念看一元二次方程，探讨二次函数与一元二次方程的关系。教材从一次函数与一元一次方程的关系入手，通过类比引出二次函数与一元二次方程之间的关系问题，并结合一个具体的实例讨论了一元二次方程的实根与二次函数图象之间的联系。这一节是反映函数与方程这两个重要数学概念之间的联系的内容。

【知识与能力目标】

掌握二次函数与一元二次方程的联系。【过程与方法目标】

经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系。【情感态度价值观目标】

1、经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，提高学生的分析能力与在探索过程中抽象概括能力。

2、培养学生团结合作学习的良好意识和积极进取的精神。

3、培养学生用联系的观点看问题。

【教学重点】

二次函数的图象和一元二次方程的联系。【教学难点】

培养学生的数形结合的意识和学会用数形结合的方法解决问题。

课前准备

多媒体课件等。

教学过程

一、导入新课

我们以前学习了一次函数，并从一次函数的角度看一元一次方程，认识了一次函数与一元一次方程的联系。今天节我们学习二次函数，并从二次函数的角度看一元二次方程，从而认识二次函数与一元二次方程的联系。

二、新课教学

问题如图（见教材图22.2-1），以40 m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线。如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h(单位：m)与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系

h＝20t－5t2。

考虑以下问题：

（1）小球的飞行高度能否达到15 m？如果能，需要多少飞行时间？（2）小球的飞行高度能否达到20 m？如果能，需要多少飞行时间？（3）小球的飞行高度能否达到20.5 m？为什么？（4）小球从飞出到落地要用多少时间？

教师引导学生阅读例题，请大家先发表自己的看法，然后解答．师生互动，完成上面4个问题。

（1）当小球飞行1s和3s时，它的飞行高度为15m。（2）当小球飞行2 s时，它的飞行高度为20 m。

（3）方程无实数根．这就是说，小球的飞行高度达不到20.5 m。

（4）当小球飞行0 s和4s时，它的高度为0 m。这表明小球从飞行到落地要用4 s．从上图来看，0 s时小球从地面飞出，4 s时小球落回地面。

从上面可以看出，二次函数与一元二次方程联系密切。一般地，我们可以利用二次函数y＝ax2＋bx＋c深入讨论一元二次方程ax2＋bx＋c＝0。

问题2 观察下列函数图像回答下列问题：

（1）y＝x2＋x－1；（2）y＝x2－4x＋4；（3）y＝x2－x＋2．

① 二次函数 y＝x2＋x－1 的图象与 x 轴有______个交点，则一元二次方程 x2＋x－1＝0 的根的判别式Δ______0。

②二次函数 y＝x2－4x＋4 的图像与 x 轴有______个交点，则一元二次方程 x2－4x＋4＝0 的根的判别式Δ______0。

3二次函数 y＝x2－x＋2 的图象与 x 轴________公共点，则一元二次方程 x2－x○＋2＝0 的根的判别式Δ______0。

三、归纳总结

从二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象可以得出如下结论：

（1）如果抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当x＝x0时，函数值是0，因此x＝x0是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根。

（2）二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点．这对应着一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根。

（3）利用函数图象求一元二次方程的根步骤：（1）作函数图象；（2）确定根所在的范围；

（3）通过取平均数的方法不断缩小根所在的范围，直至符合题目要求。

四、巩固练习

1.不与x轴相交的抛物线是（）

A.y = 2x2 – 3

B.y=－2 x2 + 3

C.y= －x2 – 3x

D.y=－2(x+1)2－3 2.若抛物线 y = ax2+bx+c= 0，当 a>0，c<0时，图象与x轴交点情况是（）A.无交点

B.只有一个交点 C.有两个交点

D.不能确定

3.利用函数图象求方程x2－2x－2＝0的实数根（结果保留小数点后一位）。

解：画出函数y＝x2－2x－2的图象（下图），它与x轴的公共点的横坐标大约是－0.7，2.7。

所以方程x2－2x－2＝0的实数根为

x1≈－0.7，x2≈2.7．

我们还可以通过不断缩小根所在的范围估计一元二次方程的根。

五、课堂小结

今天你学习了什么？有什么收获？

2.二次函数与一元二次方程教案 篇二

论文中,笔者以二次函数与一元二次方程为例,将课前预习、引导学生仔细观察、大胆联想、给学生思考的空间和拓展延伸等各种教学手段融合在课堂教学中,激发和培养中学生对学习数理化的兴趣,提高学生的自学能力。

1 教学模式与手段

1.1 课前预习

(1)二次函数y=ax2+bx+c的图像为抛物线,在__________条件下抛物线与x轴有两个交点;在__________条件下抛物线与x轴只有一个交点;在_______________条件下抛物线与x轴没有交点。

(2)若a>0,b>0,c>0,△>0,那么抛物线y=ax2+bx+c经过_______________象限。

(3)用手沿斜上方抛出一个重物,物体抛出的高度y(m)与物体运动的时间t(s)的关系为y=-t2+5t+3。(1)经过_____时间,物体达到它的最高点?最高点的高度是_____?(2)经过_____秒,物体落在地面上?落地点与抛出位置的水平距离为____________。

(4)一元二次方程ax2+bx+c=0的根与二次函数y=ax2+bx+c图像之间的关系为_______________。

(5)一元二次方程ax2+bx+c=h的根与二次函数y=ax2+bx+c图像之间的关系为_______________。

1.2 引导学生仔细观察、大胆联想

问题:函数y=ax2+bx+c的图像以x=1/3为对称轴,与x轴相交于-1和1两点,图像顶点坐标为(1/3,-1)根据信息你能得到关于系数a,b,c的一些什么结论?

分析点拨:

(1)a>0;(2)-1<c<0;(3)b2-4ac>0;(4)∵x=1/3,∴2a=-3b;(5)由(1)(4)得b<0;(6)由(1)(2)(5)得abc>0;(7)考虑x=1时y<0,所以有a+b+c<0;(8)又x=-1时y>0,所以有a-b+c>0;(9)考虑顶点的纵坐标,有

1.3 给学生思考的空间

你能利用二次函数的图像估计一元二次方程x2+2x-10=0的根吗?

分析解答:

(1)用描点法作二次函数y=x2+2x-10的图像。

(2)观察估计二次函数y=x2+2x-10的图像与x轴的交点的横坐标;由图像可知:图像与x轴有两个交点,其横坐标一个在-5与-4之间,另一个在2与3之间,分别约为-4.3和2.3。

(3)确定方程x2+2x-10=0的解,由此可知,方程x2+2x-10=0的近似根为:x1≈-4.3,x2≈2.3。

1.4 拓展延伸

利用二次函数的图像求一元二次方程x2+2x-10=3的近似根。

(1)用描点法作二次函数y=x2+2x-10的图像。

(2)作直线y=3。

(3)观察估计抛物线y=x2+2x-10和直线y=3的交点的横坐标;由图像可知,它们有两个交点,其横坐标一个在-5与-4之间,另一个在2与3之间,分别约为-4.7和2.7。

(4)确定方程x2+2x-10=3的解,由此可知,方程x2+2x-10=3的近似根为:x1≈-4.7,x2≈2.7。

在小组成果对比中,同学们发现有个小组的图像和别人的不同,起初有些议论,笔者就请了这个小组的成员上了讲台发言。原来他们把方程x2+2x-10=3转化成了x2+2x-13=0,这样问题就转化成前面已经解决了问题了。

附创新解法2:

(1)原方程可变形为x2+2x-13=0;(2)用描点法作二次函数y=x2+2x-13的图像;(3)观察估计抛物线y=x2+2x-13和x轴的交点的横坐标。由图像可知,它们有两个交点,其横坐标一个在-5与-4之间,另一个在2与3之间,分别约为-4.7和2.7。(4)确定方程x2+2x-10=3的解;由此可知,方程x2+2x-10=3的近似根为:x1≈-4.7,x2≈2.7。

同学们明白了这种解法的简洁原因,笔者也不失时机地向全班同学强调了数学学习中“化陌生为熟悉、化繁为简”的化归思想的重要性。

2 结语

总之,必须改变传统的“黑板+粉笔”的教学模式,让学生也参与到老师的教学过程中,这样才能全面提高学生的自学能力。此论文中,笔者以二次函数与一元二次方程为例,将课前预习、引导学生仔细观察、大胆联想、给学生思考的空间和拓展延伸等教学手段相结合,利用现代教育技术手段实施中的趣味性等多种可行的措施来激发和培养中学生对学习数理化的兴趣,提高学生的自学能力。在浓烈的兴趣下培养他们的思辨,表达,探索各方面的综合能力,让不同层次的学生得到发展。

参考文献

[1]王道俊,王汉阑.教育学[M].人民教育出版社,1989.

[2]王大顺.教育心理学[M].兰州大学出版社,2002.

[3]廖伯琴.中学数学课程改革的目标与实施[M].高等教育出版社,2003.

3.二次函数与一元二次方程教案 篇三

二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像是一条抛物线，这条抛物线与x轴有三种位置关系：（1）有两个交点；（2）只有一个交点；（3）没有交点.

当抛物线与x轴有两个交点时，这两个交点大致有下列三种位置关系：（1）同在原点的右边；（2）同在原点的左边；（3）在原点的两旁.

因为x轴上点的纵坐标都是0，所以研究上述问题，就变为研究一元二次方程ax2+bx+c（a≠0）的根的判别式、根与系数的关系的问题了.

对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），若Δ=b2-4ac>0，则该函数的图像与x轴必有两个交点，这两个交点的位置与一元二次方程ax2+bx+c（a≠0）的根与系数的关系对应如下：

设一元二次方程ax2+bx+c（a≠0）的两根为x1、x2则有

1. 若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像与x轴的两个交点同在原点左边时：x1+x2<0，且x1x2>0.

2. 若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像与x轴的两个交点同在原点右边时：x1+x2>0，且x1x2>0.

3. 若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像与x轴的两个交点位于原点两旁时：x1x2<0.

解决有关二次函数的图像与x轴的交点的位置问题，一定要同时考虑一元二次方程ax2+bx+c（a≠0）的根的判别式和根与系数的关系. 在这类问题中，我们经常会遇到这种类型的题：

通过以上三个例题的两种解题方法来看，利用数形结合的思想，不失是一种很好的解题途径，可以使复杂的计算简单化，有利于提高解题效率.

4.二次函数与一元二次方程教案 篇四

1、等式：用等号把两个值相等的量或式子连接起来得到的式子称为等式。

2、方程：含有未知数的等式叫做方程。

注意：

(1)等式中必须含有等号，故不含等号的式子就不是等式;

(2)方程必须是等式，并且含有未知数，两个条件须同时具备;

(3)方程中可以含有几个未知数。

例题1、下列式子中，哪些是等式?哪些是方程?

(1)−1+7=6

(2)x+7=6

(3) x+7

(4)x+7=7−x

(5)4+7=7十4

(6)y3=1

(7)4x+y=7

方程中的项、系数、次数等概念

1、项：在方程中，被“+”、“-”，号隔开的每一部分(包括这部分前面的“十”、“-”号在内)称为一项。

2、未知数的系数：在一项中，写在未知数前面的数字或表示已知数的字母叫做未知数的系数。

3、项的次数：在一项中，所有未知数的指数和称为这一项的次数。

4、常数项：不含未知数的项，称为常数项。

列方程的方法

1、列方程：为了求得未知数，在未知数和已知数之间建立一种等量关系，就是列方程。

2、列方程可分两步进行：第一步先根据题设条件设未知数;第二步要找到未知数和已知数之间的等量关系，从而得到方程。

例题2、根据条件列方程：

(1)某数的平方与它的4倍互为相反数

(2)某数的相反数与8的差等于这个数的倒数

(3)购买一本书，打八折比打九折少花2元钱，求这本书的原价

例题3、根据下列条件列出方程：

(1)a与6两数和的平方等于1

(2)a与6两数平方的和等于1

方程的解

方程的解和解方程

方程的解：使方程的左右两边相等的未知数的值叫做方程的解

解方程：求方程的解的过程叫做解方程

注意：

(1)方程的解一定能使方程左右两边的值相等;

(2)方程的解和解方程是两个不同的概念，它们一个是求得的结果，一个是变形的过程，要区别开，方程的解中的“解”是名词，解方程概念中“解”是一个动词。

方程的解

一元一次方程的概念

1、概念：在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的次数是一次的方程叫一元一次方程。如：x+7=7−x

2、一元一次方程的最简形式：ax=b(a≠0)

3、一元一次方程的标准形式: ax+b=0(a≠0)

注意：理解一元一次方程的概念应把握：

(1)是一个方程;

(2)只含有一个未知数;

(3)未知数的次数是1;

(4)化简后未知数的系数不能为0;

(5)分母不能含有未知数。

等式基本性质

1：等式两边同时加上(或减去)同一个数或同一个代数式，所得结果仍是等式。

2：等式两边同时乘以同一个数(或除以同一个不为零的数)，所得结果仍是等式。

注意：

(1)运用等式基本性质1时，一定要注意等式两边同时加上<或减去)同一个数或同一个代数式，才能保证所得结果仍是等式，这里要特别注意“同时”和“同一个”;

(2)运用等式基本性质2时，除了要注意等式两边同时乘以(或除以)同一个数，才能保证所得结果仍是等式以外，还必须注意，等式两边不能都除以O，因为0不能作除数或分母;

(3)等式还有其他的一些性质，在解方程中也时常会用到，它们是：对称性：如果a=b，那么b=a.即等式的左、右两边交换位置，所得结果仍是等式。

传递性：如果a=b，且b=c，那么a=c。这条性质也叫做等量代换。

利用等式的基本性质解一元一次方程

1、求方程的解的过程叫做解方程

2、具体步骤如下：

(1)利用等式的性质解一元一次方程，一般是先利用等式性质1，然后再利用等式性质2，将ax=−b变形为x=−ba即可。

(2)移项法则：方程中的任何一项，都可以在改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫做移项，这个法则称为移项法则，移项的根据是等式的基本性质1。

注意：

(1)移项时，不要忘记对移动的项变号，如从3+4x=7得到4x= 7+3，是错误的;

(2)没移项时，不要误以为有移项，如从−5=x，得到x= 5，这样的错误其原因在于对运用用等式的性质与移项的区别没有分清;

(3)去括号的方法：括号外的因数是正数，去括号后各项的符号不变，括号外的因数是负数，去括号后各项符号应变号;

5.二次函数与一元二次方程教案 篇五

1.教学目标

1.能够从实际问题中抽象出二次函数关系，并运用二次函数及性质解决面积最大值问题；

2.能根据实际意义求出自变量的取值范围；

3.在探究二次函数的实际意义中学会分析问题，体会数学建模思想以及数学与生活的紧密联系性。

2.教学重点/难点

将实际问题转化为二次函数问题，并能用配方法或公式法求出顶点坐标。

3.教学用具 4.标签

教学过程

一、设计问题，创设情境

师：八年级我们学习了一次函数，同学们回顾一下：我们都是从哪些方面学习了一次函数？

学生回答

师：仿照一次函数的学习过程，我们已经学习了二次函数的定义、图像与性质。本节课我们将要学习实际问题与二次函数，在正式学习新课之前，大家做一做下面的问题：

出示问题1：用总长为40m的篱笆围成矩形场地，（1）怎样围成一个面积是75m²的矩形场地？（2）能否围成一个面积是150m²的矩形场地，若能说出围法；若不能，说明理由。学生独立完成，教师巡视指导，完成后，学生讲解做法，教师适当引导，若存在问题，其他学生补充。

（3）设矩形一边的长度为xm，面积为ym²，求矩形的最大面积。

师生活动：引导学生写出函数关系式，教师出示函数图像，学生结合图像求出矩形的最大面积。

追问：能否围成面积为130m²，80m²的矩形，你能马上判断出来吗？ 学生判断。

设计说明：学生在接触实际问题与二次函数之前，已经学习了实际问题与一元二次方程，从一元二次方程实际问题引入，学生比较容易接受，另一方面也让学生体会到一元二次方程与二次函数之间的联系。同时，通过解决此问题，能使学生初步了解运用二次函数的知识解决实际问题的一般步骤。

二、信息交流，例题讲解

在现实生活中，人们为了节省材料，常常借助墙作为花圃的一边，此时你能解决这个问题吗？

问题2：欲用长为60m的篱笆，围成一个矩形的花圃，花圃一面靠墙，怎样围才能使花圃的面积最大？最大面积是多少？

师生活动：１．学生尝试，教师巡视指导，若做题过程中存在困难，小组讨论； 2． 学生尝试解答题目，初步形成做题思路。如果存在不足或者错误的地方，其他同学给予补充或者改正，教师适当引导，如果展示学生没有错误但巡视过程中存在共性的错误，注意及时纠正；

3． 师生规范做题过程，教师板书过程。4． 学生修改完善做题。

教学预设：１．学生设AD的长度为xm； 2.学生设AB的长度为xm； 3.学生用公式法求顶点坐标；

4．学生用配方法求顶点坐标。

以上预设，无论出现哪种情况都应该给予学生肯定，并鼓励学生根据具体问题以及自己对知识的掌握情况，灵活选择。

设计说明：通过问题1（3），学生已经对该类问题有了大致的了解，首先让学生自己去做，一方面给了学生自主学习的机会，另一方面，学生通过做题可以意识到自己在做题过程中存在的问题。

三、变式演练，对比学习

师：在我们现实生活中，墙的长度不是无限的，如果我们限定墙长为20m，你如何围成面积最大的矩形？大家尝试一下。

师生活动：1.教师出示问题，学生尝试； 2.如果存在问题，小组内进行讨论； 3.师生分析解题过程。

设计说明：在求面积最大问题中，应该有两种情况：1.顶点取值在自变量的取值范围内；2.顶点取值不在自变量的取值范围内。通过追问，让学生接触第二种情况，并且对前一道题目进行改编，能形成很好的对比，一方面让学生认知到这两种情况，更一方面有利于学生在做题的过程中全面思考。

思考：通过这几道题目，大家思考一下，如何用二次函数求面积的最大值？ 师生活动：学生自己归纳，若存在问题，教师引导学生由具体例题出发，进行归纳，若不完善，其他同学进行补充。

设计说明：根据新课标要求，课堂不应该是单纯的教师教，学生学，学生通过自己进行归纳，不仅能进一步明确做题过程，而且相对于老师直接给出归纳，更有利于学生进行理解与掌握。

四、巩固训练，当堂检测

1.某地区要建一个矩形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长 14m），如果用50m长的栅栏围成该养鸡场，设靠墙的栅栏长度为xm，则x的取值范围是。设计说明：本节课中，自变量的取值范围作为一个难点，好多同学考虑不全面，通过练习，进一步提高学生思考问题的全面性。

2.如图，有长为30m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为18m），围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，请求出矩形花圃的最大面积。

设计说明：通过练习，让学生学会举一反三，进一步巩固本节课的学习内容，再次体会用二次函数相关的数学知识来解决实际问题，加深对二次函数的认识。

师生活动：

1.教师出示问题，学生独立完成。

2.学生根据问题答案小组内互批，交流，并改错。

设计说明:本环节放在小结前，起到练习，检测双用的效果，前面学生已经思考了用二次函数解决实际问题的一般过程，并且接触了相关内容。让学生带着相关知识独立完成，在巩固本节课知识的基础上，能够很好的检测学生在本节课的学习情况，同时采取小组内互批的形式，一方面及时纠正在学习中存在的问题，另一方面有利于学生在发现别人问题的同时提醒自己，加深学生对题目的理解。

四、反思小结，观点提炼

我的收获（知识，方法）； 我出现的错误 ； 我应注意 ；

设计说明：通过谈收获，使学生梳理本节所学知识，在梳理的过程中，找出自己出现的错误，并及时反思自己自己做题过程中应注意的问题，既能让学生很好的发现自己的不足，及时改正，也能通过在班内共交流，提醒其他学学习中容易出现的失误。

五、推荐作业，分层演练： 必做题：

1.课本51页第1题

2.用长20m的篱笆，一面靠墙围成一个长方形的园子(墙长12m），求园子的最大面积是多少？

选做题：用一段长为40米的篱笆围成一边靠墙的草坪，墙长16米，当这个矩形的长和宽分别为多少时，草坪面积最大？最大面积为多少？

课外实践：寻找你身边与本节课相关的问题,自编一题,组内交流.。

设计说明：作业分为必做题与选做题。既保证所有的学生在学习过程中有的吃，也保证了学有余力的同学吃的饱。必做题中，1.巩固求顶点坐标；2.继续巩固加强本节课的练习。

本节课作为实际问题与二次函数的初始课，考虑到学生们的学习能力与接受能力，并没有过多设计到顶点不在取值范围内的提醒，因此在作业中设计为选做题，让学有余力的学生巩固此类问题，也为以后学习做铺垫。课外实践活动题，充分让学生体会数学与生活息息相关，同时，通过组内互相交流，进一步巩固本节课所学知识。

6.二次函数与一元二次方程教案 篇六

关键词：函数,方程思想,数学教学

文献中, 原题是求一个函数y = x +槡x ( 2 - x) 的值域.作者给出了四种解法, 有通法, 也有精妙的构思. 但笔者在看到第一种解法, 即利用函数与方程的关系, 将函数问题转化为二次方程判别式问题的方法时, 觉得这种解法的解释不够完美, 不能很好地解释函数与方程的关系. 所以希望能做补充和解释, 不当之处, 望各位同行批评指正. 现将原解答摘抄如下:

但函数的定义域为{ x|0≤x≤2} , 而Δ≥0仅保证关于x的方程1在实数集R上有实数根, 但不能确保实数根在区间[0, 2]内, 即不能确保方程1在[0, 2]上有实数根, 因此, 由Δ≥0求出的y的范围可能比y的实际范围大, 故函数的值域不一定恰好是[1 -21/2, 1 +21/2], 因此采取以下的方法进一步确定原函数的值域.

∵ 0≤x≤2,

∴ ymin= 0.

把y = 1 +21/2代入方程1,

解得x = 1 +21/2/2∈[0, 2].

即当x = 1 +21/2/2时, y取得最大值1 +21/2.

∴原函数的值域为[0, 1 +21/2].

在评注中, 作者提到该解法是学生容易想到的方法, 但若考虑不细致, 容易将值域求错.

笔者认为, 这个思路虽然能解决此题, 但若换成另一题, 未必适用. 同时, 对于错误的形成, 分析得不够明确, 事实上, 学生易错此题并不只是考虑不细致, 而是对函数与方程思想理解得似是而非. 笔者接下来举例, 说明上述方法的缺点.

变式: 求函数

此题若仍按上述解法, 得到方程两边平方得

又由Δ≥0, 解得y≥3或y≤ - 3, 又此函数定义域为R,

按上法分析, 值域即为{ y| y≥3或y≤ - 3} .

而此题正确答案是[3, + ∞ ) .

为什么会出现这样的答案? 原题给出的解答是:故 y > x, 当 x > 0 时, y > 0; 当 x < 0 时, . 因此, 原函数的值域为[3, + ∞ )

事实上, 等价条件转化中, 学生为什么总会漏掉条件?往往是因为对于条件转化中两个条件是否等价并不明确, 包括这两道题的作者的解法对此问题阐述得也不够明确.这样去找条件限制值域, 显得目标不够明确, 往往只是抓住题目中的一个必要条件, 这样的条件如何找? 学生往往会很迷茫. 那么, 这种题目产生错解的原因究竟是什么呢? 我们先以原题举例.

( y - x) 2= x ( 2 - x) 已经包含着函数的定义域为{ x | 0≤x≤2} 这一事实. 所以, 错解的原因并不是定义域的问题.

的等价形 式明显不 是, 因为含有两个方程, 使得有根的y才是使得值域范围变大的原因.

笔者给出的解答如下:

这样, 我们就可以将一个函数求值域的问题, 转化为一个含参数y的关于x的二次方程有解的问题, 而由等价条件, ( y - x) 2= x ( 2 - x) 不但应该有解, 解的范围还应该满足y≥x.

那么, 这就变成了一个一元二次方程根的分布的问题.

两边平方整理得

若方程的根均满足x > y, 则根据根的分布的知识, 有, 解得y < 0.

即若要保证x≤y时有根, 需要同时满足

即原函数的值域为[0, 1 +21/2].

注意到, 笔者的任何转化都是等价的, 所以求出的结果当然无需检验或者细致地重新考虑各个条件, 结果一定是正确的. 首先的值域问题即为关于x的方程中使得方程有根的y的范围的问题, 这属于函数与方程思想的范围. 而接下来我们只需要研究无理方程有根的问题, 即转化为等价形式

笔者在教学过程中发现, 学生在解题时, 对于判别式法这一求值域的有力工具往往用不好, 只能注意到Δ≥0这一个条件, 这就导致了往往结果是正确的, 但求值域的过程是有问题的. 笔者上面列举的思路其实可以作为解决这一类型函数的通法. 这样就避免了前面原题和变式作者给出的解答学生无法理解的情况.

我们用同样的思路解答笔者给出的变式.

笔者所举例的变式解法非常多, 如三角换元、导数法, 或者利用“数形结合”的构造法. 但本文旨在说明这种类型函数, 用函数与方程的想法解题时如何避免探讨非等价条件解错值域. 这里就不一一将其他方法列举, 只说明这些方法都是可行的, 读者若感兴趣, 可自行证明.

参考文献

7.二次函数与一元二次方程教案 篇七

1. 函数f(x)=x2-log12x的零点个数为______.

2. 我们将一系列值域相同的函数称为“同值函数”.已知f(x)=x2-2x+2，x∈［-1,2］，试写出f(x)的一个“同值函数”______.

3. 已知f(x)=ax7+x5-bx+2，且f(-5)=17，则f(5)=________.

4. 定义两种运算：ab=a2-b2，ab=(a-b)2，则函数f(x)=2x(x2)-2的奇偶性为______.5. 已知点A(3,3)，B(-1,5),直线y=ax+1与线段AB有公共点，则实数a的取值范围是______.6. 据有关资料统计，通过环境整治，某湖泊污染区域S(km2)与时间t（年）可近似看作指数函数关系.已知近2年污染区域由0.16km2降至0.04km2，则污染区域降至0.01km2还需要______年.

7. 二次函数f(x)=ax2+bx+c(x∈R)的部分对应值如下表：

x-3-2-101234

f(x)6m-4-6-6-4n6

不求a,b,c的值，可以判断方程ax2+bx+c=0的两根所在的区间是______.

8. 定义在(-∞,+∞)上的偶函数f(x)满足f(x+1)=-f(x)，且在［-1,0］上是增函数，下面是关于f(x)的判断：① f(x)是周期函数；② f(x)的图象关于直线x=1对称;③ f(x)在［0，1］上是增函数;④ f(2)=f(0).其中正确的判断是______.（把你认为正确的都填上）

9. 将下面四个函数图象分别与下面四个现实情境相匹配.

情境A：一份30分钟前从冰箱里取出来，然后被放到微波炉里加热，最后放到餐桌上的食物的温度（将0时刻确定为食物从冰箱里被取出来的那一刻）；

①②

③④

情境B：一个1970年生产的留声机从它刚开始的售价到现在的价值（它被一个爱好者收藏，并且被保存得很好）；

情境C：从你刚开始放水洗澡，到你洗完后把它排掉这段时间浴缸里水的高度；

情境D：根据乘客人数，每辆公交车一趟营运的利润.

其中情境A、B、C、D分别对应的图象是______.

10. 已知函数f(x)=log3x+2(x∈［1,9］)，则函数y=［f(x)］2+f(x2)的值域是______.

11. 若［x］表示不超过x的最大整数，如［e］=2，［-2.27］=-3，则对于函数f(x)=x-［x］,有下列命题：① 函数y=f(x)的定义域为R，值域为［0,1］；② 函数y=f(x)为偶函数；③ 函数y=f(x)在R上是增函数；④ 函数y=f(x)是周期函数；⑤ 方程f(x)=12有无数解.其中正确的命题序号为______.

二、 解答题

12. 据预测，某旅游景区游客人数在500至1 300人之间，游客人数x（人）与游客的消费总额y（元）之间近似地满足关系：y=-x2+2 400x-1 000 000.

(1) 当该景区游客消费总额不低于400 000元时，求景区游客人数的范围;

(2) 当景区游客的人数为多少人时，游客的人均消费最高？并求游客的人均最高消费额.

13. 某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3 000元，可全部租出；当每辆车的月租金增加50元时，未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元.

(1) 当每辆车的月租金定为3 600元时，能租出多少辆车？

(2) 当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大收益是多少？

14. 已知函数f(x)=x2ax+b（a，b为常数），且方程f(x)-x+12=0有两个实根x1=3,x2=4.

(1) 求函数f(x)的解析式；

(2) 若当x∈(-3,2)时，有不等式f(x)+x＜2x3-k6-3x恒成立，求k的取值范围.

15. 如右图，用长为16米的篱笆，借助墙角围成一个矩形ABCD，在P处有一棵树与两墙的距离分别为a米（0＜a＜12）和4米.若此树不能被圈在矩形外，求矩形ABCD面积的最大值M.

16. 设a，b∈R且a≠2，定义在区间(-b,b)内的函数f(x)=lg1+ax1+2x是奇函数.

（1） 求b的取值范围；

（2） 讨论函数f(x)的单调性.

8.二次函数与一元二次方程教案 篇八

课题：　一次函数与方程、不等式

课型：新授

主备人：

集体备课时间：

审核：

一．教学目标：

1．经历实际问题中的数量关系的分析、抽象初步体会一元一次不等式与一元一次方程、一次函数的内在联系.2．了解不等式、方程、函数在解决问题过程中的作用和联系.3．通过解决实际问题，使学生认识数学与人类生活的密切联系以及对人类历史发展的作用，并以此激发学生学习数学的信心和兴趣.二．教学重难点：

1通过具体实例，初步体会一次函数、一元一次方程和一元一次不等式的内在联系．

2.了解不等式、方程、函数在解决问题过程中的作用和联系.三．教学过程

复习：

（1）方程2x＋4＝0解是_______；

（2）不等式2x＋4＞0的解集为________；

（3）不等式2x＋4＜0的解集为________.二、探索归纳

1．一次函数y＝2x＋4的图像是一条经过点（，），点（，）的直线．

2．试根据一次函数y＝2x＋4的图像说出方程2x＋4＝0的解和不等式2x＋4＞0、2x＋4＜0的解．

归纳总结：

一次函数、一元一次方程、一元一次不等式有着紧密的联系.已知一次函数的表达式，当其中一个变量的值确定时，可以由相应的一元一次方程确定另一个变量的值．

当其中一个变量的取值范围确定时，可以由相应的一元一次不等式确定另一个变量的取值范围．

三、例题讲解

例　一根长25cm的弹簧，一端固定，另一端挂物体.在弹簧伸长后的长度不超过35cm的限度内，每挂1kg质量的物体，弹簧伸长0.5cm.设所挂物体的质量为x

kg，弹簧的长度为y

cm.写出y与x之间的函数表达式，画出函数图像，并求这根弹簧在所允许的限度内所挂物体的最大质量．

你还能用什么方法解决这个问题？

四、课堂小结

这节课你有什么收获？

五、布置作业

1、一次函数y=-3x-9,当函数值y大于-3是，自变量x的取值范围是。

2、如图，一次函数y=kx+b的图象经过A、B两点，则kx+b＞0解集是。

3、图中两直线L1，L2的交点坐标可以看作方程组（）的解．

A．

B.C．

D.4、甲、乙两地相距600千米，快车匀速走完全程需10小时，慢车匀速走完全程需15小时，两车分别从甲、乙两地同时相向而行，求从出发到相遇，两车的距离y（千米）与行驶时间x（时）的函数关系式，指出自变量x的取值范围，并在坐标系中画出函数的图象．

5、如图，L1，L2分别表示一种白炽灯和一种节能灯的费用y(费用=灯的售价+电费，单位：元)与照明时间x(h)的函数图像，假设两种灯的使用寿命都是2000h，照明效果一样．

(1)根据图像分别求出l1，l2的函数关系式．

(2)当照明时间为多少时，两种灯的费用相等?

9.二次函数复习教案 篇九

一、备考策略：

通过研究分析近5年德州中考试题，二次函数中考命题主要有以下特点（1）二次函数的图象和性质，以选择题和填空题为主。

（2）直接考察二次函数表达式的确定的题目不是很多，大多与其他知识点相融合，以解答题居多。

（3）二次函数与方程结合考察以解答题居多，与不等式结合以选择题为主。（4）二次函数图象的平移考察以选择题和填空题为主。（5）二次函数的实际应用，以解答题为主。

二、.命题热点：

（1）二次函数的图象和性质。（2）二次函数表达式的确定。

（3）二次函数与方程和不等式的关系。

（4）抛物线型实际问题在二次函数中的应用。（5）应用二次函数的性质解决最优化问题。

三、教学目标：

1、掌握二次函数的定义、图象及性质。

2、会用待定系数法求二次函数解析式。

3、能运用二次函数解决实际问题。教学重点：

二次函数图象及其性质，并利用二次函数解决实际问题。教学难点：

二次函数性质的灵活运用，能把实际问题转化为二次函数的数学模型。

四、教学过程：

（一）基础知识之自我建构

（二）考点梳理过关

考点一、二次函数的定义 1.什么是二次函数？

2.二次函数的三种基本形式

(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)；

(2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，由顶点式可以直接写出二次函数的顶点坐标是(h，k)；

(3)交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1，x2是图象与x轴交点的横坐标．

达标练习1.(2017·百色中考)经过A(4,0),B(-2,0), C(0,3)三点的抛物线解析式是__________.考点二、二次函数的图象和性质

达标练习

2、(2017·衡阳中考)已知函数y=-(x-1)2图象上两点A(2,y1),B(a,y2),其中a>2,则y1与y2的大小关系是：y1________y2(填“<”“>”或“=”).考点三、二次函数的图象与系数a,b,c的关系

达标练习

3、(2017·烟台中考)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,对称轴是直线x=1,下列结论: ①ab<0;②b2>4ac;③a+b+2c<0;④3a+c<0.其中正确的是（）A.①④

B.②④

C.①②③

D.①②③④ 考点四

二次函数图象的平移

达标练习

4、(2017·常德中考)将抛物线y=2x2向右平移3个单位,再向下平移5个单位,得到的抛物线的表达式为（）

A.y=2(x-3)2-5 B.y=2(x+3)2+5 C.y=2(x-3)2+5 D.y=2(x+3)2-5 考点五

二次函数与方程和不等式

达标练习5、1.(2017·徐州中考)若函数y=x2-2x+b的图象与坐标轴有三个交点,则b的取值范围是（）

A.b<1且b≠0

B.b>1

C.0

D.b<1 【答题关键指导】

二次函数与一元二次方程的关系

(1)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴有两个交点,则两个交点的横坐标是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个解.(2)二次函数的图象与x轴交点的个数由相应的一元二次方程的根的判别式的符号确定.2、(2017·咸宁中考)如图,直线y=mx+n与抛物线y=ax2+bx+c交于A(-1,p),B(4,q)两点,则关于x的不等式mx+n>ax2+bx+c的解集是____________.考点六

二次函数的实际应用 列二次函数解应用题的两种类型 1.未告知是二次函数

（如求最大利润,最大面积等最优化问题）2.已告知二次函数图象

(如涵洞、桥梁、投篮等抛物型问题)

五、堂清检测

4、六、作业

必做题：

10.函数与方程思想二轮复习直播 篇十

高考对函数与方程思想的考查，一般是通过函数与导数试题、三角函数试题、数列试题或解析几何试题进行考查，重点是通过构造函数解决最大值或者最小值问题，通过方程思想求解一些待定系数等.函数与方程思想在高考中，无处不在，填空题与解答题中都会出现，是高考数学最最重要的思想方法之一.

方法指要

1.函数与方程思想的含义

（1）函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，是对函数概念的本质认识，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决的思想方法.

（2）方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决的思想方法.

2.函数与方程的思想在解题中的应用

（1）函数与不等式的相互转化，对于函数y=f（x），当y>0时，就化为不等式f（x）>0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式.

（2）数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题的方法是十分重要的.

（3）解析几何中的许多问题，需要通过解二元方程组才能解决.这都涉及到二次方程与二次函数的有关理论.

（4）立体几何中有关线段、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决.

典例精析

一、利用函数与方程的思想解决方程根的问题

例1（1）如果方程cos2x-sinx+a=0在（0，π2]上有解，则a的取值范围是.

（2）函数f（x）=lnx-x2+2x（x>0），x2-2x-3（x≤0）的零点个数为.

分析：（1）可分离变量为a=-cos2x+sinx，转化为确定的相关函数的值域.

（2）转化为方程的根的个数或两个函数的图象的交点问题.

解：法1：设f（x）=-cos2x+sinx（x∈（0，π2]）.

显然当且仅当a属于f（x）的值域时，a=f（x）有解.

因为f（x）=-（1-sin2x）+sinx=（sinx+12）2-54，

且由x∈（0，π2]知sinx∈（0，1].易求得f（x）的值域为（-1，1].

故a的取值范围是（-1，1].

法2：令t=sinx，由x∈（0，π2]，可得t∈（0，1].

将方程变为t2+t-1-a=0.

依题意，该方程在（0，1]上有解.

设f（t）=t2+t-1-a.其图象是开口向上的抛物线，对称轴t=-12，

如图所示.

因此f（t）=0在（0，1]上有解等价于f（0）<0，f（1）≥0， 即-1-a<0，1-a≥0，所以-1

故a的取值范围是（-1，1].

（2）当x≤0时，f（x）=x2-2x-3，

由f（x）=0，即x2-2x-3=0，解得x=-1或x=3.

因为x≤0，所以x=-1.此时函数f（x）只有一个零点.

当x>0时，f（x）=lnx-x2+2x，

令f（x）=0，得lnx=x2-2x，如图，分别作出函数y=lnx与y=x2-2x（x>0）的图象，由图可知两个函数图象有两个交点，所以此时函数f（x）有两个零点.

综上知，函数f（x）的零点有三个.

解后反思：方程有解问题一般有两种解法：一是通过参变量分离，转化为函数的值域问题；二是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式（不熟悉时，需要作适当变形转化为两个熟悉的函数），然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解的个数.

二、利用函数与方程的思想解决不等式恒成立问题

例2设函数f（x）=cos2x+sinx+a-1，已知不等式1≤f（x）≤174对一切x∈R恒成立，则a的取值范围是.

分析：本题中先利用参数a表示出最大值与最小值，其最大值小于或等于174，最小值大于或等于1，这样就满足了题目中的不等关系，从而求出参数的取值范围.把恒成立问题转化为最值问题是常用的思想方法.

解：f（x）=cos2x+sinx+a-1=1-sin2x+sinx+a-1=-（sinx-12）2+a+14.

因为-1≤sinx≤1，所以当sinx=12时，函数有最大值f（x）max=a+14，

当sinx=-1时，函数有最小值f（x）min=a-2.

因为1≤f（x）≤174对一切x∈R恒成立，

所以f（x）max≤174且f（x）min≥1，

即a+14≤174，a-2≥1，解得3≤a≤4，

所以a的取值范围是[3，4].

解后反思：（1）在解决不等式问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，利用函数的图象和性质解决问题；（2）函数f（x）>0或f（x）<0恒成立，一般可转化为f（x）min>0或f（x）max<0；已知恒成立求参数范围可先分离参数，然后利用函数值域求解.

三、利用函数与方程思想求解数列中的最值问题

例3（1）已知数列{an}是一个等差数列，且a2=1，a5=-5.则{an}前n项和Sn的最大值为.

（2）已知向量a=（2，-n），b=（Sn，n+1），n∈N*，其中Sn是数列{an}的前n项和，若a⊥b，则数列{anan+1an+4}的最大项的值为.

分析：（1）先列出关于a2和a5的方程组，通过解方程组求出数列的首项和公差，写出an.再求前n项和Sn，整理成关于n的二次函数，求其最大值.（2）先求数列{an}的通项公式，再将anan+1an+4表示成关于n的函数，并求其最大值.

解：（1）设{an}的公差为d，由已知条件，

a1+d=1，a1+4d=-5，解出a1=3，d=-2.所以an=a1+（n-1）d=-2n+5.

于是，Sn=na1+n（n-1）2d=-n2+4n=4-（n-2）2.

所以n=2时，Sn取到最大值4.

（2）依题意得a·b=0，即2Sn=n（n+1），Sn=n（n+1）2.

当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n（n+1）2-n（n-1）2=n；

又a1=1，因此an=n，

anan+1an+4=n（n+1）（n+4）=nn2+5n+4=1n+4n+5≤19，

当且仅当n=4n，n∈N*，即n=2时取等号，因此数列{anan+1an+4}的最大项的值是19.

解后反思：数列最值问题中应用函数与方程思想的常见类型：

（1）数列中的恒成立问题，转化为最值问题，利用函数的单调性或不等式求解.

（2）数列中的最大项与最小项问题，利用函数的有关性质或不等式组an-1≤an，an≥an+1或an-1≥an，an≤an+1求解.

（3）数列中前n项和的最值：转化为二次函数，借助二次函数的单调性或求使an≥0（an≤0）成立时最大的n值即可求解.

四、利用函数与方程思想求解解析几何中的方程，定值与最值问题

例4平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的离心率为32，左、右焦点分别是F1，F2.以F1为圆心，3为半径的圆与以F2为圆心，1为半径的圆相交，且交点在椭圆C上.

（1）求椭圆C的方程.

（2）设椭圆E：x24a2+y24b2=1，P为椭圆C上任意一点.过点P的直线y=kx+m交椭圆E于A，B两点，射线PO交椭圆E于点Q.

（i）求|OQ||OP|的值；（ii）求△ABQ面积的最大值.

分析：（1）建立关于a，b，c的方程，进而求出a，b；（2）（i）对点P坐标舍而不求，并设|OQ||OP|=λ，求出Q点坐标，进而代入椭圆E方程，利用方程思想求出λ；（ii）把△ABQ面积表示成关于某个变量的函数，进而求出该函数的最大值.

解：（1）由题意知2a=4，则a=2，

又ca=32，a2-c2=b2，可得b=1，

所以椭圆C的方程为x24+y2=1.

（2）由（1）知，椭圆E的方程为x216+y24=1，

（i）设P（x0，y0），|OQ||OP|=λ，由题意知Q（-λx0，-λy0）.

因为x204+y20=1，且（-λx0）216+（-λy0）24=1，即λ24（x204+y20）=1，

所以λ=2，即|OQ||OP|=2.

（ii）设A（x1，y1），B（x2，y2）.

将y=kx+m代入椭圆E的方程，

可得（1+4k2）x2+8kmx+4m2-16=0，

由Δ>0，可得m2<4+16k2，①

则有x1+x2=-8km1+4k2，x1x2=4m2-161+4k2，

所以|x1-x2|=416k2+4-m21+4k2.

因为直线y=kx+m与y轴交点的坐标为（0，m），

所以△OAB的面积S=12|m||x1-x2|

=216k2+4-m2|m|1+4k2

=2（16k2+4-m2）m21+4k2

=2（4-m21+4k2）×m21+4k2.

设m21+4k2=t.将y=kx+m代入椭圆C的方程，

可得（1+4k2）x2+8kmx+4m2-4=0，

由Δ≥0，可得m2≤1+4k2.②

由①②可知0

因此S=2（4-t）t=2-t2+4t.

故S≤23，当且仅当t=1，即m2=1+4k2时，S取得最大值23，

由（i）知，△ABQ的面积为3S，

所以△ABQ面积的最大值为63.

解后反思：在解析几何中，方程问题和定点定值问题，一般采用方程思想求解，而最值问题常常采用函数思想.值得关注的是，解析几何中的最值是高考的热点，也是难点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个（或者多个）变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决.

（作者：宋涛，如皋市第一中学）

11.高中数学函数与方程的思想探析 篇十一

1. 函数的思想

就是利用函数的图像和性质分析问题,通常将一些方程、不等式的问题转化为函数的问题。具体体现有求方程的根的问题、不等式恒成立的问题,特别是一些超越方程或超越不等式中,巧用函数的思想,会使问题迎刃而解。

2. 方程的思想

就是把函数构造成方程,利用方程进一步研究方程的思想。具体体现有求函数的值域的问题、解析几何中直线与圆锥曲线的位置关系问题,都可利用解二元方程组来巧妙解决。

二、典例分析

1.(题型1)构造函数,并利用函数的图像和性质来解决有关问题

例1 若x1满足2x+2x=5,x2满足2x+2log2(x-1)=5,求x1+x2的值。

分析:方程2x+2x=5与方程2x+2log2(x-1)=5都是超越方程,其中方程的根都是不能直接求解,所以应找到两个方程之间的联系,转化为函数的思想来解答。

解:由2x+2x=5⇒2x=5-2x⇒

2x+2log2(x-1)=5⇒2log2(x-1)=5-2x⇒

由(1)式知x1可以看做函数y=2x-1与函数y=5/2-x的产生的交点A的横坐标;

由(2)式知x2可以看做函数y=log2(x-1)与函数y=5/2-x产生的交点B的横坐标。

而y=2x-1与y=log2(x-1)分别由y=2x与y=logx同时向右平移一个单位得到y=2x与y=logx函数图像关于y=x对称,即y=2x-1与log2(x-1)函数图像关于y=x-1直线对称。因为y=x-1与y=5/2-x互相垂直,其交点C坐标为(7/4,3/4),同时A、B两点关于C点对称,所以x1+x2=2×7/4=7/2。

点评:本例由已知方程构成函数,巧用指对函数图像的对称性来巧妙地解决问题。

变式:设a,b∈R且(a-1)3+2002(a-1)=-1,(b-1)3+2002(b-1)=1,求a+b的值。

分析:观察已知条件中结构形式,构造函数f(x)=x3+2002x,有f(a-1)=-f(b-1),知y=f(x)为奇函数且y=f(x)在R递增的,f(a-1)=f(1-b)⇒a-1=1-b⇒a+b=2。

例2 设不等式2x-1>m(x2-1)对满足的一切实数恒成立,求实数的取值范围。

分析:不等式f(x)≥g(x)恒成立,往往都是构造F(x)=f(x)-g(x),往求F(x)min,使得F(x)min≥0,即可达到解决问题的目的。若构造二次函数F(x)=2x-1-m(x2-1),m∈[-2,2],往求F(x)min,利用分类讨论思想较为复杂化,若变换以m为主元,x为辅元,即一次函数F(m)=(x2-1)m-(2x-1),-2≤m≤2,往求F(m)max,即可使得F(m)max<0。

只要,

∴实数x的取值范围为。

点评:本例将不等式恒成立问题构造函数,利用函数的性质巧妙解决问题。

2.(题型2)建立方程,利用方程的思想解决有关问题

例3 如果函数的最大值是4,最小值是-1,求实数的值。

分析:函数的定义域为R,值域为-1≤y≤4,由转化为yx2-ax+y-b=0关于x的一元二次方程有实数根,使用到别式。

解:定义域为R⇒yx2-ax+y-b=0有实数根⇒(-a)2-4y(y-b)≥0⇒4y2-4by-a2≤0。

∵-1≤y≤4,∴4y2-4by-a2-=0产生有两根-1,4。

点评:本例巧妙地将函数问题转化成方程根的问题解决问题。

例4 已知函数f(x)=ax+x2-xlna(a>0,a≠1)。

(1)当a>1时,求证:函数f(x)在(0,+∞)单调递增。

(2)若函数y=f(x)-t-1有三个零点,求的值。

分析:函数y=f(x)-t-1有三个零点转化方程f(x)-t-1=0有三个根,再转化成f(x)=t±1方程有三个根,再转化成函数y=f(x)与函数y==t±1有三个交点,利用函数与方程思想相互转化。

解:(1)f'(x)=axlna+2x-lna=(ax-1)lna+2x。

∵x>0,a>1,∴ax>1,ax-1>0,lna>0,2x>0。

∴(ax-1)lna+2x>0,即f'(x)>0。∴y=f(x)在(0,+∞)是单调递增的。

(2)函数y=|f(x)-t|-1有三个零点圳方程|f(x)-t|-1=0有三个根⇔f(x)=t±1方程有三个根⇔函数y=f(x)与函数f=t±1有三个交点。

由(1)式知当a>1时,函数f(x)在(0,+∞)单调递增,∵f'(x)=(ax-1)lna+2x,当a>1时,若x<0时ax-1<0 lna>0,2x<0,∴(ax-1)lna<0,f'(x)<0。

∴当a>1时,y=f(x)在(-∞,0)单调递减。

当00时,ax-1<0 lna<0,2x>0,∴(ax-1)lna<0,f'(x)>0。

当a>1时,y=f(x)在(-∞,0)单调递增。

当00 lna<0,2x<0。

∴(ax-1)lna<0,f'(x)<0。

当0

∴y=f(x)在(-∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增。

∵y=f(x)与y=t±1有三个不同的交点,又∵t+1>t-1,∴y=t-1=f(0)=1时,且t=2时满足要求。

∴t=2。

点评:本例巧妙利用函数与方程相互转化的思想解决问题。

12.初二二次函数教案 篇十二

(1)分解因式与整式的乘法是一种互逆关系;

(2)分解因式的结果要以积的形式表示;

(3)每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来的多项式 的次数;

(4)必须分解到每个多项式不能再分解为止。

活动5：应用新知

例题学习：

P166例1、例2(略)

在教师的引导下，学生应用提公因式法共同完成例题。

让学生进一步理解提公因式法进行因式分解。

活动6：课堂练习

1.P167练习;

2. 看谁连得准

x2-y2 (x+1)2

9-25 x 2 y(x -y)

x 2+2x+1 (3-5 x)(3+5 x)

xy-y2 (x+y)(x-y)

3.下列哪些变形是因式分解，为什么?

(1)(a+3)(a -3)= a 2-9

(2)a 2-4=( a +2)( a -2)

(3)a 2-b2+1=( a +b)( a -b)+1

(4)2πR+2πr=2π(R+r)

学生自主完成练习。

通过学生的反馈练习，使教师能全面了解学生对因式分解意义的理解是否到位，以便教师能及时地进行查缺补漏。

活动7：课堂小结

从今天的课程中，你学到了哪些知识?掌握了哪些方法?明白了哪些道理?

学生发言。

通过学生的回顾与反思，强化学生对因式分解意义的理解，进一步清楚地了解分解因式与整式的乘法的互逆关系，加深对类比的数学思想的理解。

活动8：课后作业

课本P170习题的第1、4大题。

学生自主完成

通过作业的巩固对因式分解，特别是提公因式法理解并学会应用。

板书设计(需要一直留在黑板上主板书)

15.4.1提公因式法 例题

1.因式分解的定义

13.22.1.1-二次函数(教案) 篇十三

22.1.1 二次函数教案

教学目标

【知识与技能】

1.能结合具体情境体会二次函数的意义，理解二次函数的有关概念.2.能够表示简单变量之间的二次函数关系.【过程与方法】

通过具体问题情景中的二次函数关系了解二次函数的一般表述式，在类比一次函数、反比例函数表达式时感受二次函数中二次项系数a≠0的重要特征.【情感态度】

在探究二次函数的学习活动中，体会通过探究发现的乐趣.教学重点

结合具体情境体会二次函数的意义，掌握二次函数的有关概念.教学难点

1.能通过生活中的实际问题情境，构建二次函数关系； 2.重视二次函数y=ax2+bx+c中a≠0这一隐含条件.教学过程

一、情境导入，初步认识

展示执实心球图片，体验体育中的数学

二、温故知新

1.什么叫做函数？（学生回顾）2.我们学过哪些函数？（PPT展示）

三、探究新知

问题1 如图所示是一个棱长为xcm的正方体，它的表面积为ycm2,则y与x之间的关系式可表示为

，y是x的函数吗？

问题2 多边形的对角线总数d与边数n有什么关系？可以想出,如果多边形有n条边,那么它有

个顶点,从一个顶点出发,连接与这点不相邻的各顶点,可以作

条对角线，用n的式子表d为：

。示这里d是n的函数吗？

全班同学合作交流，共同完成上面的问题，教师全场巡视，发现问题可给予

1个别指导.在同学们基本完成情形下，教师再针对问题2，解释d=n(n-3)而不是

2d=n(n-3)的原因.【教学说明】上述活动的目的在于引导同学们能通过具体问题情境建立二次函数关系式，体会二次函数是刻画实际生活中自变量与因变量的关系的重要模型之一.11思考函数y=6x2，m=n2-n,y=20x2+40x+20有哪些共同点？

22【教学说明】在同学们相互交流、发言的过程中，教师应关注：（1）语言是否规范；（2）是否抓住共同点；（3）针对少数同学可能进一步探索出其不同点等问题应及时引导，让同学们在轻松快乐的环境中进入二次函数的学习.【归纳结论】上述三个函数都是用自变量的二次式表示的，从而引出二次函数定义.一般地，形如y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，a≠0)的函数，叫做二次函数.其中x是自变量，a、b、c分别是二次项系数，一次项系数和常数项.【教学说明】

针对上述定义，教师应强调以下几个问题：（1）关于自变量x的二次式必须是二次整式，即可以是二次单项式、二次二项式和二次三项式；（2）二次项的系数a≠0是定义中不可缺少的条件，若a=0，则它是一次函数；（3）二次项和二次项系数不同，二次项指ax2,二次项系数则仅是指a的值；同样，一次项与一次项系数也不同.四、运用新知，深化理解 1.下列函数中，哪些是二次函数，哪些不是？若是二次函数，指出它的二次项系数、一次项系数和常数项：

（1）y=(x+2)(x-2);(2)y=3x(2-x)+3x2;(3)y=1-2x+1;x2(4)y=1-3x2.2.说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项。（1）y=-x2+58x-112（2）y=πx2（3）y=x(1+x)（4）s=3－2t²(5)y=3(x－1)²+1

五、拓展探究

已知函数y=(m+1)xm2-2m-1 mm3xm是二次函数，求出它的解析式。【教学说明】这个环节的教学自主性很强，可让同学们分小组完成，对优胜小组给予鼓励，培养学生团队精神，让部分学生分享成功的快乐。

学生探究后老师用PPT展示答案。拓展练习：

a1y(a1)x是二次函数，求常数a的值。学生小组合作解答。

六、师生互动，课堂小结 1.二次函数的定义；

2.熟记二次函数y=ax2+bx+c中a≠0,a、b、c为常数的条件.【教学说明】本环节设置的目的在于让学生进一步认识二次函数的相关定义，教师可与学生一起回。

七、随堂演练

1.下列函数是二次函数的是（）

A.y=2x+1

B.y=-2x+1

C.y=x2+2

D.y=

x-2 2.二次函数y=3x2-2x-4的二次项系数与常数项的和是（）

A.1

B.-1

C.7

D.-6 3.已知函数y=(a-1)x2+3x-1,若y是x的二次函数，则a的取值范围是。

4.某种商品的价格是2元，准备进行两次降价，如果每次降价的百分率都是x，则经过两次降价后的价格y（单位：元）与每次降价的百分率x的函数关系式是。

5.正方形的边长为10cm，在中间挖去一个边长为xcm的正方形，若剩余部分的面积为ycm2，则y与x的函数关系式是

，x的取值范围为。

学生练习后集体订正。课后作业

14.二次函数与一元二次方程教案 篇十四

初中数学教材对函数的定义是:在某一个变化的过程中, 有变量x和y, 当给定一个x值时, 就有相应的y值与其对应, y就被定义为x的函数.在初中函数的定义中, 只要有一个x值就能确定一个y值, 有一个y值就能确定一个x值.一元函数的数学表达式是y=kx+b (k非零) , 其中当b为零时就是正比例函数, 通过该公式更能明晰地看到x和y的一一对应关系, 只要确定了x (y) , 就能确定唯一的y (x) 与之对应.在初中数学中x和y组成了一对有序实数对.

初中生还应该学会描绘一次函数的图像.通过求对应值、连线、画图, 学生知道了一次函数是一条直线.在坐标轴上只要求出交点坐标并连线, 那么这条直线就是y=kx+b的图像, 其中正比例函数是过原点的直线.在此基础上, 初中生要知道一次函数图像的性质, 例如, 在k>0, b>0时图像经过第一象限、第二象限和第三象限;而在k>0, b<0时, 图像经过第一象限、第三象限和第四象限, 并且在k>0时, 直线与x轴夹角为锐角, 反之为钝角.教师要给初中生灌输这样的观念, 凡是满足y=kx+b的x与y的值所对应的点 (x, y) 一定在直线y=kx+b上.

以y=4x+8为例, 学生在看到这个函数时应该知道函数经过第一、二、三象限, 函数与x轴的交点是 (-2, 0) , 与y轴的交点是 (0, 8) , 函数图像和x轴的夹角是锐角.

初中生刚刚从小学阶段上来, 在学习方式和学习方法上还很不适应, 教师在教授一元一次函数时, 不能仅仅依靠课本的内容进行教学, 这样容易导致学生产生腻烦情绪, 丧失学习一元函数的兴趣.教师在实际教学中可以采取多媒体教学方式进行教学, 多媒体教学方式可以直观地反映出教学的内容, 给学生一目了然之感, 让学生在初步理解一元函数的内容时省时省力, 这样就可以克服学生学习新知识的恐惧感, 让学生以轻松愉悦的心情去面对初中数学的学习.另外, 初中数学老师在设置教学情境时要选取学生熟悉的生活场景, 利用学生已有的生活经验进行数学教学可以让数学知识更容易被学生接受.例如, 教师可以选取生活中购物或者消费的情境设置一元函数习题, 让学生深刻地记忆一元函数相关知识.最后, 教师还要鼓励学生多动手做题, 一元函数涉及画图像、识象限等方面的问题, 初中生在刚刚学习这方面的知识时, 如果不能动手练习而只靠自己想象, 很难真正理解一元一次函数的本质.教师可以组织学生进行小组互助学习, 在小组中教师要鼓励对一元函数知识掌握好的同学帮助其他学生进步, 鼓励性格开朗的学生担任小组长和其他小组的成员沟通和接洽, 经过一段时间的小组学习, 教师还可以组织小组竞赛, 给学生一个积极竞争、健康向上的学习氛围, 同时也能够让同学之间了解到自己学习的不足, 给自己一个客观的评价.

二、一次函数与一元一次方程和一元一次不等式之间的关系

从数学表达式上看, 一元函数的表达式是y=kx+b, 一元一次方程的表达式是kx+b=0, 一元一次不等式的表达式是kx+b> (<) 0.由此可见, 一元一次方程式表达的是函数y=0时x的数值, 而一元一次不等式解决的是y>0或者y<0时x的取值范围.以下举例说明:

以y=3x+6为例, 该函数过第一象限、第二象限和第三象限, 与x轴和y轴的交点分别是 (-3, 0) , (0, 6) .当y=0时, 该函数变为一元一次方程, 其解为x=-3;当y>0时, 该函数变为一元一次不等式, x的取值氛围是大于-3.通过图像观察可知, 一元一次方程的解是一元一次函数与x轴交点的横坐标;而一元一次不等式在k>0时, y>0在交点的右边, y<0在交点的左边, 当k<0时结论相反.

由以上论述可知, 一元一次函数与一元一次方程和一元一次不等式之间是相互联系的, 它们在本质上相互渗透, 一元一次方程和一元一次不等式在解法上都可以通过观察一元一次函数得到, 所以, 当学生熟悉了一元一次函数的性质和图像特征时, 一元一次方程和一元一次不等式的问题就迎刃而解了.一次函数和一元一次方程以及一元一次不等式均反映了客观事物变化规律, 函数描述的是事物变化的过程, 方程描述的事物在某一点的状态, 即事物变化过程中的某一瞬间的情况, 而不等式则反应了在变化过程中的某一方面或者某一侧面, 是范围和片段的概念.通过函数、方程和不等式之间的联系和理解, 教师要把数形结合的概念深入到学生的思维中去.

总之, 教师在教学中应该有意识地把这三方面的知识串联在一起, 让学生在学习完一元一次函数之后, 能够迅速地理解一元一次方程和一元一次不等式的相关知识, 做到融会贯通、举一反三, 这样学生才能真正掌握初中数学这三方面的重要知识.

摘要：根据初中数学教材的安排, 在七年级学生需要了解一元一次方程及其解法, 七年级下半学期学生还要学习一元一次不等式相关知识, 而在八年级学生要学习一次函数的知识, 并在此基础上了解一次函数的图像.初中生一般对于这三方面知识学习得比较透彻, 但是对于三者之间的联系, 学生知之甚少, 在这方面需要教师的指导.教师应该教会学生把这三方面的知识贯穿到一起, 如果学生能够通透地理解这三方面的知识, 那么初中数学的学习将会容易许多.

关键词：一次函数,一元一次方程,一元一次不等式,关系

参考文献

[1]雷勇.一元一次不等式和一元一次不等式组教与学[J].天府数学, 1999.

[2]严惠.五种版本数学教材中一元一次方程内容的比较[D].硕士学位论文, 2007.

[3]陈克隆, 董杰.彰显数学文化的一元一次方程的教学案例及其思考[J].内蒙古师范大学学报, 2012.

[4]周志英.初中数学教材函数内容处理的比较研究[D].硕士学位论文, 2008.

[5]蒋丽华.教学设计:实际问题与一元一次不等式 (组) [J].北京教育学院学报, 2006.

15.第4讲 一次函数与二次函数 篇十五

一次函数的图象是直线，性质很简单，考查到的仅仅是其单调性，而二次函数与二次方程、二次不等式之间有着紧密的联系，另外三次函数的导数也是二次函数.因此，二次函数的考查一直是高考的热点问题，同时会借助二次函数考查代数推理能力，像三角函数、解析几何中都可能用到相关知识.这部分内容在高考中直接考查在5分左右，结合其它知识考查就更多些.

命题特点

结合高考特点分析，这部分内容主要从以下几个方面命题：（1）会根据条件求二次函数的解析式；（2）二次函数的图象及其性质；（3）利用二次函数的对称性和单调性求区间上的最值；（4）三个二次式之间的关系和相互转化应用.

1. 二次函数的解析式主要根据其解析式及函数图象特点找到解题突破口，布列方程组.

例1 已知二次函数f（x）满足f（2）=-1， f（-1）=-1，且f（x）的最大值为8，求二次函数f（x）的解析式.

解析 法1：利用一般式.设f（x）=ax2+bx+c（a≠0），

[4a+2b+c=-1，a-b+c=-1，4ac-b24a=8，]解得[a=-4，b=4，c=7，]

∴所求二次函数为f（x）=-4x2+4x+7.

法2：利用顶点式.设f（x）=a（x-m）2+n，

∵f（2）=f（-1），

∴抛物线对称轴为x=[2+（-1）2]=[12]，即m=[12].

又根据题意，函数最大值ymax=8，

∴n=8，∴f（x）=[a（x-12）2+8].

∵f（2）=-1，∴[a（2-12）2+8=-1]，解得a=-4.

∴f（x）=-4[（x-12）2+8]=-4x2+4x+7.

法3：利用两根式.由题意知f（x）+1=0的两根为x1=2，x2=-1，

故设f（x）+1=a（x-2）（x+1），即f（x）=ax2-ax-2a-1.

又函数有最大值ymax=8，即[4a（-2a-1）-a24a=8]，

解得a=-4或a=0（舍）.

∴所求函数的解析式为f（x）=-4x2-（-4）x-2×（-4）-1=-4x2+4x+7.

点拨 求二次函数解析式主要是用待定系数法，根据题目条件合理选择方法，布列方程求解.二次函数解析式主要有三种形式.三点式：直接通过代点解三元方程组解答；顶点式：找到抛物线顶点，设顶点式求解；零点式：通过对应二次方程的根，设方程求解.具体用哪种形式应根据题目条件决定，减少计算.

2. 二次函数区间上的最值，主要是数形结合和函数单调性综合应用，是考查热点.

例2 函数f（x）=2x2-2ax+3在区间[-1，1]上最小值记为g（a）.

（1） 求g（a）的函数表达式；

（2） 求g（a）的最大值.

解析 （1）①当a<-2时，函数f（x）的对称轴x=[a2]<-1，则g（a）=f（-1）=2a+5.

②当-2≤a≤2时，函数f（x）的对称轴x=[a2]∈[-1，1]，则g（a）=[fa2]=3-[a22].

③当a>2时，函数f（x）的对称轴x=[a2]>1，

则g（a）=f（1）=5-2a.

综上所述，g（a）=[2a+5，a<-2，3-a22，-2≤a≤2，5-2a，a>2.]

（2） ①当a<-2时，g（a）<1.

②当-2≤a≤2时，g（a）∈[1，3].

③当a>2时，g（a）<1.

由①②③得，g（a）max=3.

点拨 二次函数在区间上的最值主要是通过二次函数的单调性确定最值点，研究区间和对称轴的关系.二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动.不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论；二次函数的单调性问题主要依据二次函数的对称轴进行分析讨论求解.

3. 三个二次式之间关系密切，充分利用转化和数形结合思想，将三者有机结合是关键.

例3 已知函数f（x）=x2-3x+m，g（x）=2x2-4x，若f（x）≥g（x）恰在x∈[-1，2]上成立，则实数m的值为 .

答案 2

解析 由题意，x2-3x+m≥2x2-4x，即x2-x-m≤0的解集是[-1，2]，所以m=2.

点拨 本题关键是现将f（x）≥g（x）通过作差变为二次不等式，由题意知-1和2恰好是对应方程的两根，直接求解.二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，而二次函数又是“三个二次”的核心，通过二次函数的图象贯穿为一体. 因此，有关二次函数的问题，数形结合是探求解题思路的有效方法. 用函数思想研究方程、不等式问题是高考命题的热点. 抓住二次方程的根是对应二次函数图象与x轴交点的坐标，是对应二次不等解集端点这一关键解题.

4. 二次函数综合应用主要是将解决含参数的问题和可化为二次式的问题.

例5 已知函数g（x）=ax2-2ax+1+b（a≠0，b<1），在区间[2，3]上有最大值4，最小值1，设函数f（x）=[g（x）x].

（1） 求a，b的值及函数f（x）的解析式；

（2） 若不等式f（2x）-k·2x≥0在x∈[-1，1]时有解，求实数k的取值范围.

解析 （1） g（x）=ax2-2ax+1+b，由题意得，

①[a>0，g（2）=1+b=1，g（3）=3a+b+1=4，]得[a=1，b=0.]

nlc202309032056

②[a<0，g（2）=1+b=4，g（3）=3a+b+1=1，]得[a=-1，b=3>1.（舍）]

∴a=1，b=0，g（x）=x2-2x+1，f（x）=x+[1x]-2.

（2） 不等式f（2x）-k·2x≥0，即2x+[12x]-2≥k·2x，

∴k≤[12x2]-2·[12x]+1.

设t=[12x]，则k≤t2-2t+1.

∵x∈[-1，1]，故t∈[12，2].

记h（t）=t2-2t+1，∵t∈[12，2]，

∴h（t）max=1，故所求k的取值范围是（-∞，1].

点拨 本题第一问涉及二次函数解析式和区间上的最值问题，由于二次项系数符号不确定有必要分类讨论.这里还要注意函数对称轴是确定的x=1这一条件，从而可以得到最值点只能是区间端点.第二问就是通过换元将指数式转化为二次函数的，这在函数中是很常见的方法.解决二次函数问题抓住二次项系数符号、对称轴、单调性这些重要研究元素，还有很多非二次函数可通过换元变为二次函数处理，但一定要注意变量范围.

备考指南

1. 掌握好二次函数的有关性质（单调性、对称性等），这是解题的基本理论依据.

2. 抓住三个二次式的关系，并能进行相互间的转化，以二次函数的图象为载体，利用数形结合的思想，解决二次函数的单调区间、二次函数在给定区间上的最值以及与此有关的参数范围的问题.

3. 会用转化思想，将可化为二次函数的问题通过换元变为二次函数，利用二次函数性质处理.

限时训练

1. 函数[f（x）=ax2-（a-1）x-3]在区间[[-1，+∞）]上是增函数，则实数a的取值范围是（ ）

A. [（-∞，13]] B. [（-∞，0]]

C. [（0，13]] D. [[0，13]]

2. 设abc>0，二次函数f（x）=ax2+bx+c的图象可能是 （ ）

[y][x] [O][O][O][O] [y] [y] [y] [x] [x] [x]

A B C D

3. 已知f（x）=[x2]+bx+c且f（-1）=f（3），则 （ ）

A. f（-3）

C. f（[52]）

4. 若函数[y=log2（mx2-2mx+3）]的定义域为R，则实数m的取值范围是 （ ）

A. （0，3） B. [0，3）

C. （0，3] D. [0，3]

5. 设二次函数f（x）=[ax2+bx+c]，如果[f（x1）=f（x2）][（x1≠x2）]，则f[（x1]+[x2）]= （ ）

A. -[b2a] B. -[ba]

C. c D. [4ac-b24a]

6. 若f（x）=x2-x+a，f（-m）<0，则f（m+1）的值 （ ）

A. 正数 B. 负数

C. 非负数 D. 与m有关

7. 已知y=f（x）是偶函数，当x>0时，f（x）=（x-1）2，若当x∈[-2，-[12]]时，n≤f（x）≤m恒成立，则m-n的最小值为 （ ）

A. [13] B. [12]

C. [34] D. 1

8. 设[b>0]，二次函数[y=ax2+bx+a2-1]的图象为下列之一，则a的值可能为 （ ）

[y][x] [O] [y][x] [O] [y][x] [O] [y][x] [O]

A. [-1-52] B. [-1+52]

C. 1 D. -1

9. 已知一元二次不等式[f（x）>0]的解集为[x|-1

A. [x|x<-1或x>2] B. [x|-1

C. [x|x>2] D. [x|x>1]

10. 已知函数f（x）=[x2+ax，x≤1，ax2+x，x>1，]则“a≤-2”是“f（x）在R上单调递减”的 （ ）

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

11. 函数f（x）=x2+2x-3，x∈[0，2]的值域为 .

12. 已知函数f（x）=x2+bx+1是R上的偶函数，则实数b= ，不等式f（x-1）

13. 设f（x）与g（x）是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若函数y=f（x）-g（x）在x∈[a，b]上有两个不同的零点，则称f（x）和g（x）在[a，b]上是“关联函数”，区间[a，b]称为“关联区间”. 若f（x）=x2-3x+4与g（x）=2x+m在[0，3]上是“关联函数”，则m的取值范围为 .

14. 已知f（x）=m（x-2m）（x+m+3），g（x）=2x-2. 若同时满足条件：①?x∈R，f（x）<0或g（x）<0；②?x∈（-∞，-4），f（x）g（x）<0，则m的取值范围是 .

15. 已知二次函数f（x）的图象过点A（-1，0），B（3，0），C（1，-8）.

（1）求f（x）的解析式；

（2）求f（x）在x∈[0，3]上的最值；

（3）求不等式f（x）≥0的解集.

16. 已知函数f（x）=ax2+bx+c（a>0，b∈R，c∈R）.

（1）若函数f（x）的最小值是f（-1）=0，且c=1，F（x）=[f（x），x>0，-f（x），x<0，]求F（2）+F（-2）的值；

（2）若a=1，c=0，且|f（x）|≤1在区间（0，1]上恒成立，试求b的取值范围.

17. 已知函数[f（x）=x2+2x]，

（1）若[x∈[-2，a]]，求[f（x）]的值域；

（2）若存在实数t，当[x∈[1，m]]时，[f（x+t）≤3x]恒成立，求实数m的取值范围.

18. 设函数f（x）=x2+|2x-a|（x∈R，a为实数）.

（1）若f（x）为偶函数，求实数a的值；

（2）设a>2，求函数f（x）的最小值.

16.二次函数超级经典课件教案 篇十六

1、 从实际情景中让学生经历探索分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，

进一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系。 2、 理解二次函数的概念，掌握二次函数的形式。

3、 会建立简单的二次函数的模型，并能根据实际问题确定自变量的取值范围。 4、 会用待定系数法求二次函数的解析式。 教学重点：二次函数的概念和解析式

教学难点：本节“合作学习”涉及的实际问题有的较为复杂，要求学生有较强的概括能力。 教学设计：

一、创设情境，导入新课

问题1、现有一根12m长的绳子，用它围成一个矩形，如何围法，才使举行的面积最大?小明同学认为当围成的矩形是正方形时 ，它的面积最大，他说的有道理吗? 问题2、很多同学都喜欢打篮球，你知道吗：投篮时，篮球运动的路线是什么曲线?怎样计算篮球达到最高点时的高度?

这些问题都可以通过学习俄二次函数的数学模型来解决，今天我们学习“二次函数”(板书课题)

二、合作学习，探索新知

请用适当的函数解析式表示下列问题中情景中的两个变量y与x之间的关系： (1)面积y (cm2)与圆的半径 x ( Cm )

(2)王先生存人银行2万元,先存一个一年定期，一年后银行将本息自动转存为又一个一年定期,设一年定期的年存款利率为文 x 两年后王先生共得本息y元;(3)拟建中的一个温室的平面图如图,如果温室外围是一个矩形，周长为12Om , 室内通道的尺寸如图,设一条边长为 x (cm), 种植面积为 y (m2)

x

(一) 教师组织合作学习活动：

1、 先个体探求，尝试写出y与x之间的函数解析式。

2、 上述三个问题先易后难，在个体探求的基础上，小组进行合作交流，共同探讨。 (1)y =πx2 (2)y = (1+x)2 = 20000x2+40000x+20000 (3) y = (60-x-4)(x-2)=-x2+58x-112

(二)上述三个函数解析式具有哪些共同特征? 让学生充分发表意见，提出各自看法。

教师归纳总结：上述三个函数解析式经化简后都具y=ax2+bx+c (a,b,c是常数, a≠0)的形式.

板书：我们把形如y=ax2+bx+c(其中a,b,C是常数，a≠0)的函数叫做二次函数(quadratic funcion)

称a为二次项系数， b为一次项系数，c为常数项，

请讲出上述三个函数解析式中的二次项系数、一次项系数和常数项 (二) 做一做

1、 下列函数中，哪些是二次函数? (1)y?x (2) y??

2

2

12

y?2x?x?1 (4)y?x(1?x) (3) 2

x

(5)y?(x?1)?(x?1)(x?1)

2、分别说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项： (1)y?x?1 (2)y?3x?7x?12 (3)y?2x(1?x) 3、若函数y?(m?1)x

2

m2?m

22

为二次函数，则m的值为 。

三、例题示范，了解规律

例1、已知二次函数 y?x?px?q当x=1时，函数值是4;当x=2时，函数值是-5。求这个二次函数的解析式。

此题难度较小，但却反映了求二次函数解析式的一般方法，可让学生一边说，教师一边板书示范，强调书写格式和思考方法。

练习：已知二次函数y?ax?bx?c ，当x=2时，函数值是3;当x=-2时，函数值是2。求这个二次函数的解析式。

例2、如图，一张正方形纸板的边长为2cm，将它剪去4个全等的直角三角形(图中阴影部分)。设AE=BF=CG=DH=x(cm) ,四边形EFGH的面积为y(cm2),求： (1) y关于x 的函数解析式和自变量x的取值范围。

(2) 当x分别为0.25，0.5，1.5，1.75时，对应的四边形EFGH的面积，并列表表

示。

22

H

C

F

A

E

B

方法：

(1)学生独立分析思考，尝试写出y关于x的函数解析式，教师巡回辅导，适时点拨。

(2)对于第一个问题可以用多种方法解答，比如： 求差法：四边形EFGH的面积=正方形ABCD的面积-直角三角形AEH的面积DE4倍。 直接法：先证明四边形EFGH是正方形，再由勾股定理求出EH2

(3)对于自变量的取值范围，要求学生要根据实际问题中自变量的实际意义来确定。 (4)对于第(2)小题，在求解并列表表示后，重点让学生看清x与y 之间数值的对应关系和内在的规律性：随着x的取值的增大，y的值先减后增;y的值具有对称性。 练习：

用20米的篱笆围一个矩形的花圃(如图)，设连墙的一边为x,矩形的面积为y,求： (1)写出y关于x的函数关系式.

4ac?b4a(2)当x=3时,矩形的面积为多少

?

四、归纳小结，反思提高

本节课你有什么收获?

五、布置作业 课本作业题

26.2二次函数的图像(1)

教学目标：

1、经历描点法画函数图像的过程;2、学会观察、归纳、概括函数图像的特征;3、

掌握型二次函数图像的特征;

4、经历从特殊到一般的认识过程，学会合情推理。 教学重点：

y?ax2型二次函数图像的描绘和图像特征的归纳

教学难点：

选择适当的自变量的值和相应的函数值来画函数图像，该过程较为复杂。 教学设计： 一、回顾知识

前面我们在学习正比例函数、一次函数和反比例函数时时如何进一步研究这些函数的? 先(用描点法画出函数的图像，再结合图像研究性质。) 引入：我们仿照前面研究函数的方法来研究二次函数，先从最特殊的形式即y?ax入手。因此本节课要讨论二次函数y?ax(a?0)的图像。 板书课题：二次函数y?ax(a?0)图像 二、探索图像

1、 用描点法画出二次函数 y?x和y??x图像 (1) 列表

①无论x取何值，对于y?x来说，y的值有什么特征?对于y??x来说，又有什么特征? ②当x取?

1

,?1??等互为相反数时，对应的y的值有什么特征? 2

2

(2) 描点(边描点，边总结点的位置特征，与上表中观察的结果联系起来). (3) 连线，用平滑曲线按照x由小到大的顺序连接起来，从而分别得到y?x和

y??x2的图像。

2、 练习：在同一直角坐标系中画出二次函数y?2x 和y??2x的图像。 学生画图像，教师巡视并辅导学困生。(利用实物投影仪进行讲评) 3、二次函数y?ax(a?0)的图像 由上面的四个函数图像概括出：

(1) 二次函数的y?ax图像形如物体抛射时所经过的路线，我们把它叫做抛物线，

(2) 这条抛物线关于y轴对称，y轴就是抛物线的对称轴。

(3) 对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点。注意：顶点不是与y轴的交点。 (4) 当a?o时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线上的最低点，图像在x轴的上

方(除顶点外);当a?o时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线上的最高点图像在x轴的 下方(除顶点外)。

(最好是用几何画板演示，让学生加深理解与记忆)

三、课堂练习观察二次函数y?x和y??x的图像

(2)在同一坐标系内，抛物线y?x和抛物线y??x的位置有什么关系?如果在同一个坐标系内画二次函数y?ax和y??ax的图像怎样画更简便?

(抛物线y?x与抛物线y??x关于x轴对称，只要画出y?ax与y??ax中的一条抛物线，另一条可利用关于x轴对称来画) 四、例题讲解

例题：已知二次函数y?ax(a?0)的图像经过点(-2，-3)。

(1) 求a 的值，并写出这个二次函数的解析式。

17.二次函数与一元二次方程教案 篇十七

知识技能：理解一次函数与二元一次方程(组)的关系，会用图象法解二元一次方程组。

情感态度：在探究活动中培养学生严谨的科学态度和勇于探索的科学精神，在师生、生生的交流活动中，学会与人合作，学会倾听、欣赏和感悟，体验数学的价值，建立自信心。

教学重难点

重点：一次函数与二元一次方程(组)关系的探索。

难点：综合运用方程(组)、不等式和函数的知识解决实际问题。

教学过程

(一)引入新课

多媒体播放一段发生在电信公司里的情景：一顾客准备办理上网业务，发现有两种收费方式：方式A以每分钟0.1元的价格按上网时间计费;方式B除收月基费20元外再以每分钟0.05元的价格按上网时间计费。顾客说他每月上网的费用按这两种收费方式计算都是一样多。求这位顾客打算每月上网多长时间?多少费用?

学生已经学习过列方程(组)解应用题,因此可能列出一元一次方程 或二元一次方程组，用方程模型解决问题。结合前面对一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间关系的探究，我自然地提出问题：一次函数与二元一次方程组之间是否也有联系呢?，从而揭示课题。

(二)进行新课

1、探究一次函数与二元一次方程的关系

填空：二元一次方程 可以转化为 ________。

思考：(1)直线 上任意一点 一定是方程 的解吗?(2)是否任意的二元一次方程都可以转化为这种一次函数的形式?

(3)是否直线上任意一点的坐标都是它所对应的二元一次方程的解?

2、探究一次函数图像与二元一次方程组的关系

(1)在同一坐标系中画出一次函数 和 的图象，观察两直线的交点坐标是否是方程组 的解?并探索：是否任意两个一次函数的交点坐标都是它们所对应的二元一次方程组的解?

此时教师留给学生充分探索交流的时间与空间，对学生可能出现的疑问给予帮助，师生共同归纳出：从形的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标。

(2)当自变量 取何值时，函数 与 的值相等?这个函数值是什么?这一问题与解方程组 是同一问题吗?

进一步归纳出：从数的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这个函数值是何值。

3、列一元二次不等式

例题：我市一家电信公司给顾客提供两种上网收费方式：方式A以每分0.1元的价格按上网时间计费;方式B除收月基费20元外再以每分0 .05元的价格按上网时间计费。如何选择收费方式能使上网者更合算?

解法1：设上网时间为 分，若按方式A则收 元;若按方式B则收 元。然后在同一坐标系中分别画出这两个函数的图象，计算出交点坐标 ，结合图象，利用直线上点位置的高低直观地比较函数值的大小，得到当一个月内上网时间少于400分时，选择方式A省钱;当上网时间等于400分时，选择方式A、B没有区别;当上网时间多于400分时，选择方式B省钱。

解法2：设上网时间为 分，方式B与方式A两种计费的差额为 元，得到一次函数： ，即 ，然后画出函数的图象，计算出直线与 轴的交点坐标，类似地用点位置的高低直观地找到答案。

注意：所画的函数图象都是射线。

4、习题

(1)、以方程 的解为坐标的所有点都在一次函数 _____的图象上。

(2)、方程组 的解是________,由此可知,一次函数 与 的图象必有一个交点,且交点坐标是________。

5、旅游问题

古城荆州历史悠久，文化灿烂。

18.二次函数与一元二次方程教案 篇十八

一、建立方程，解决多边形的边角问题

例1.如图所示，已知梯形ABCD中，CD=2, AC=姨%19，∠BAD=60°，求梯形的高。

思维分析：如图，作DE⊥AB于E，则DE为梯形的高h, DE=AD sin∠BAD，所以问题的关键是求AD。

解法一：∠BAD=60°，∴∠ADC=120°。

设∠DCA=θ，则∠DAC=60°-θ。

在△ACD中，由正弦定理，得。

二、充分挖掘隐含条件，发挥余弦定理建立方程的功能

例2.在一块直径为30cm的圆形铁板上，截去直径分别为20cm、10cm的圆形铁板各一块，现要求在所剩余的铁板中再截出同样大小的圆形铁板两块，求这两块圆形铁板的最大半径。

解：假设⊙O，⊙O1，⊙O2分别是题中直径为30cm, 20cm, 10cm的圆，截出的最大圆形铁板为⊙C1，⊙C2，它们的半径设为rcm。

由题意，⊙O与⊙O1，⊙O2相内切，⊙O1与⊙O2相外切，⊙O1，⊙O2与⊙O1，⊙O2相外切，且内切于⊙O。

所以O, O1, O2三点共线。

因此在所剩余的铁板中截出的最大圆形铁板⊙C1，⊙C2的半径是。

三、利用函数知识求最值

例3.如图, 在等边三角形ABC中, AB=a, O为△ABC的中心, 过O点的直线交AB边于点N, 求的最大值和最小值。

19.高中数学中函数与方程思想的互化 篇十九

关键词：高中数学;函数与方程;相互转化

函数与方程是两个不同的概念，但它们之间又有着密切的联系。对于函数y=f（x），当y=0时，就得到相应的方程f（x）=0，也可以把函数y=f（x）看作二元方程f（x）-y=0，函数y=f（x）的圖象与x轴交点的横坐标就是方程f（x）=0的实数根。方程f（x）=0的实数根就是函数y=f（x）的零点。因此，方程思想与函数思想可以相互转化，以下结合具体例题谈谈本人对这一部分内容的理解。

一、函数问题转化为方程问题求解

例1.如果函数y=的最大值是4，最小值是-1，求实数a，b的值。

解析：函数的定义域为R，由函数的最大值为4可知，存在实数x使得=4，即方程4x2-ax+4-b=0有实数根，所以？驻1=a2-16（4-b）≥0，又因为4是函数的最大值，所以对任意的x，≤4恒成立，即4x2-ax+4-b≥0恒成立，所以？驻2=a2-16（4-b）≥0，所以 a2-16（4-b）=0①。由函数的最小值是-1可知，存在实数x使得=-1，即方程x2+ax+b+1=0有实根，所以？驻2=a2-4（b+1）≥0，又因为-1是函数的最小值，所以对任意的x，≥-1恒成立，即x2+ax+b+1≥0恒成立，所以？驻2=a2-4（b+1）≤0，所以a2-4（b+1）=0②，由①②解得a=4b=3或a=-4b=3。

二、方程问题转化为函数问题求解

例2.若a>2，求方程x3-ax2+1=0在（0，2）的实根个数。

解析：设f（x）=x3-ax2+1，则f'（x）=x2-2ax=x（x-2a），∵02，

∴f'（x）<0，∴f（x）在（0，2）上是减函数，又∵f（0）=1>0，f（2）=-4a+1=-4a<0，所以f（x）在（0，2）上只有一个零点。所以方程x3-ax2+1=0在（0，2）只有一个实根。

评析：本题是一道求方程根的问题，我们构造函数，考虑这个函数的零点的个数，应用导数的方法判断这个函数在（0，2）上的单调性，并结合零点存在性定理，便可得出结论。

三、方程思想与函数思想综合应用

例3.若抛物线y=-2x2+kx-3和端点分别为A（0，4），B（4，0）的线段AB有两个不同的交点，求实数k的取值范围。

解析：线段AB的方程为+=1（0≤x≤4），即y=4-x（0≤x≤4）

将上式代入y=-2x2+kx-3得2x2-（k+1）x+7=0（0≤x≤4）

令f（x）=2x2-（k+1）x+7，因为抛物线与线段AB有两个不同的交点。

所以方程2x2-（k+1）x+7=0在[0，4]上有两个不等的实数根。

所以应该有？驻=（k+1）2-4×2×7>00<<4f（0）=7>0f（4）=32-4（k+1）+7≥0

解得2-1

故k的取值范围是（2-1，]。

评析：本题先将函数图象有交点问题转化为方程有解的问题，再将方程有解的问题转化为二次函数根的分布问题，结合图象，从判别式、对称轴、函数值的大小等方面考虑使结论成立的所有约束条件，建立不等式再求解得到所求范围。本题在求解过程中遵循了“函数→方程→函数”的转化过程，由此可见，方程与函数联系紧密，做题时注意两者的灵活转化。

总之，函数与方程的思想是重要的数学思想，应用非常广泛，主要依据题意，构造恰当的函数或建立相应的方程来解决问题，遇到题目时，注意转化角度，改变思维，可以使复杂问题简单化。

参考文献：

[1]罗建宇.函数与方程的思想在解题中的应用[J].中学数学研究，2008（2）.

[2]王太青.函数与方程思想解题的体会[J].沧州师范专科学校学报，2009（3）.