小学运用数形结合思想

小学运用数形结合思想（精选12篇）

1.小学运用数形结合思想 篇一

浅谈小学数形结合思想方法

摘要：数形结合既是一种重要的数学思想，又是一种常用的数学方法，在小学数学教学与解决问题中广泛应用，本文介绍相关概念并结合人教版小学数学教材，初步整理了数形结合思想方法在各教学领域的渗透与应用，提出培养数形结合思想方法的策略。

关键词：小学数学；数形结合

1.数形结合思想方法的概念

数形结合思想就是通过数和形之间的对应关系和互相转化来解决问题的思想方法。1数形结合既是一种重要的数学思想，又是一种常用的数学方法，在小学数学教学与解决问题中广泛应用，包含“以形助数”和“以数解形”两个方面：前者借助形的直观性来阐明抽象的数之间的关系；后者是利用数的精确性、规范性与严密性来阐明形的某些属性。数形结合思想方法使数与形两种信息互相转换并且优势互补，从而能够将复杂的问题简单化，抽象的问题具体化。2

2.数形结合思想在各个学习领域的渗透与应用

小学数学分为“数与代数”、“图形与几何”、“统计与概率”、“综合与实践”这四个学习领域，数形结合思想在这四个领域中都得到了广泛的应用。我通过对教材的分析，初步整理了数形结合思想方法在各教学领域的渗透与应用。

2.1数形结合思想方法在“数与代数”知识领域中的渗透与应用 数是十分抽象的，教材在编排上充分利用了数形结合，帮助孩子理解数的含义。如，一年级上册1~5的认识这一课时：

教材的内容与目标体现以下两方面：（1）体会“形”的直观性。借助各种实物图作为直观工具，帮助学生理解数字的含义。（2）了解可以用数来描述几何图形。通过让学生用相应数量的小棒摆一摆图形的过程，引导学生数一数，增强用数的量化来描述形，让学生初步感受数中有形、形中有数的思想。

除此之外，在加减法的计算学习中，利用画图来直观呈现各种信息，帮助学生分析数量关系；在乘法口诀的学习中，利用各种图形（点子图、数轴、表格）帮助学生理解乘法的意义和口诀的推导；在分数的学习中，为了让学生能够理解分数的含义，教材运用了大量的图形作为直观手段；在小数的学习中，利用尺子、线段、正方形等直观手段帮助学生理解小数的意义与性质；在方程的学习中，利用天平图作为直观手段，理解等式的性质，利用画线段图帮助学生理解数量关系……可以说，数形结合思想在“数与代数”的学习中无处不在，应用十分广泛。

2.2数形结合思想方法在“图形与几何”知识领域中的渗透与应用

王永春.小学数学与数学思想方法[M].上海:华东师范大学出版社,2014:65.毕保洪,贺家兰.数形结合思想的应用[J].中学教与学,2017,1:15-16.在探索图形的性质、特点等过程中，也需要数形结合思想方法的帮助。如：四年级下册第五单元三角形的内角和这一课时：

通过操作把一个三角形的三个内角拼成了一个平角，让学生直观体验三角形的内角和时180°，通过动手操作，体验知识的生成过程，提高了学生的学习兴趣与学习效率。在知道三角形的内角和的基础上再探索四边形的内角和，让学生体会从数量的角度研究图形的性质。

除此之外，在角、长方形、正方形等平面图形的认识中，通过直观的图形，让学生发现图形的特点与性质；在长方形和正方形面积的学生中，用数量表示长方形、正方形的大小，感受“以数解形”方法的实用性；在圆柱和圆锥的学习中，通过探索圆柱的表面积、体积，圆锥的体积等方面的知识，体会从量化的角度研究圆柱和圆锥，更好地认识它们的性质……在“图形与几何”的学习中，不仅让学生通过直观了解图形，也使学生体会以数解形的作用。

2.3数形结合思想方法在“统计与概率”知识领域中的渗透与应用 统计图就是一种把数据通过直观图形的形式体现的一种方法，是数形结合思想的体现。在二年级下册，教材便设计了用简单的条形图来表示数据，让学生初步感受图形也可以表示统计数据。四年级上册第七单元条形统计图：

描述生活中的各种数据，既可以用统计表，也可以用条形统计图，在直角坐标系里画长方形来表示数据，具有直观、易比较数据之间的大小等特点，让学生体会以形助数方法的直观性。

除此之外，在集合的学习中，通过文氏图帮助学生理解相关的统计概念和计算原理；在折线统计图的学习中，让学生理解统计图是数形结合思想的体现；在扇形统计图的学习中，体会把圆作为单位“1”，然后用圆中的一些扇形表示各部分的数量与总量之间的百分比……

2.4数形结合思想方法在“综合与实践”知识领域中的渗透与应用

数形结合思想在“综合与实践”学习领域也有广泛应用。如五年级下册打电话：

直接去解决这个问题十分抽象，对学生来说难度太大，可以引导学生运用树状图作为直观手段，帮助学生归纳出最优方法。

除此之外，在学习和解决排列组合问题时，结合操作卡片、列表、树状图、线段图等手段，感受数形结合的方法；在解决优化问题和植树问题的过程中，都利用了画图的方法来帮助理解，解决数学问题；在六年级上册的教材中，运用数形结合的方法让学生理解完全平方公式。

3.数学结合思想方法的培养

3.1引导学生体会数形结合思想方法的作用

数形结合思想方法能够把看上去困难的题目简单化、明朗化，能够帮助学生理解抽象的数学问题，因此，在教学过程中，教师要有意识地渗透数形结合思想方法，利用数形之间的关系，帮助学生通过几何直观理解抽象概括，树立起学生数形结合的数学思想，培养主动运用数形结合思想方法去解决问题的意识，提高学生的数学素养与能力。

3.2培养学生画图识图的能力

运用数形结合思想方法解决问题的基本要求是通过题意画出符合的图像，利用图像来探讨数量关系。在实际教学过程中，出现了两方面的困难。一方面，多数的学生在把题目转化成图像的过程中遇到了困难，画不出符合题意的图或者画错了图导致不会解题、解错题；另一方面，对于画出的图像，学生不能看懂其含义，不能利用图去解决问题。教师必须认识到这个问题，在教学过程中重视画图和看图过程，引导学生理解，培养学生画图、看图的能力。

3.3培养学生运用数形结合思想方法的习惯 在小学中，学生在解决问题的过程中，并不会选择数形结合的方法，一方面是教师意识薄弱，不重视这样的解题方法；另一方面，学生嫌麻烦，不喜欢画图。在这样的情况下，教师应引导学生认识到数形结合思想方法的作用，坚持培养和训练，使学生形成利用数形结合思想方法的习惯，从而提高学生思维能力、分析能力和解决问题的能力。

3.4适当拓展数形结合思想的应用

在小学数学的教学中，通常采用“以形助数”，而“以数解形”在中学中的应用较多，在小学中比较常见的就是计算图形的周长、面积和体积等内容。在此基础内容上，还可以创新求变，深入挖掘“图形与几何”学习领域的素材，在学生已有的知识基础上适当拓展，丰富小学数学的数形结合思想。

4.结语

著名的数学家华罗庚说过：“数缺形时少直觉，形少数时难入微。”这句话深

3刻地揭示了数形结合的重要性。小学生的逻辑思维能力较弱，但在学习数学时必须面对数学的抽象性这一现实问题，因此，数形结合思想在小学数学中有重大意义。不管是教材的编排还是课堂的教学，我们都应使抽象的数学问题转化成学生易于理解的方式呈现，借助数形结合思想中的图形直观手段，使学生通过直观理解抽象的数学，培养学生数形结合思维，提高学生用数形结合方法解决问题的能力，使数学的学习充满乐趣。

参考文献：

[1]毕保洪,贺家兰.数形结合思想的应用[J].中学教与学,2017,1:15-16.[2]梁秀娟.蒋建华.浅议小学数学教学中数形结合思想的渗透与应用[J].数学学习与研究:教研版,2013（22）:119-119.[3]王永春.小学数学与数学思想方法[M].上海:华东师范大学出版社,2014:65.3 梁秀娟.蒋建华.浅议小学数学教学中数形结合思想的渗透与应用[J].数学学习与研究:教研版,2013（22）:119-119.

2.小学运用数形结合思想 篇二

数学结合是根据数量与图形之间的关系，认识研究对象的数字特征，寻找解决问题的方法的一种数学思想。在中学数学中，数学思想从渗透到形成和运用，经历了三个主要阶段：一是数形对应，二是数形转化，三是数形分工。下面笔者举例说明数形结合思想的应用。

一、数形对应

例1.如图1, AB是平面的α斜线段，A为斜足，若点P在平面α内运动，使△ABP的面积为定值，则动点P的轨迹是%%%。

分析：如图2，点P可看作是以AB为中轴，底面为以定值为半径的圆柱的侧面与平面的交线，又AB为平面α的斜线段，故交线为椭圆。即点P的轨迹是椭圆。

例2.(08全国卷一2)汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图像可能是_____。

分析：本题是稍难的数形对应题目。汽车启动后是加速行驶阶段，速度变化率越来越大，即该段切线斜率越来越大，到匀速行驶阶段是斜率不为零的线段，而减速行驶阶段速率的变化率越来越小，只有图像(1)符合。本题是典型的数形对应题目，借助图形求解参数的取值范围是高考数学的常考题型之一。

二、数形转化

例3.(08湖北卷13)方程2-x+x2=3的实数解的个数为___。

分析：方程的解的个数和方程的实根分布问题通常是借助函数的图像来解决。本题就是将方程转化成2-x+x2=3，方程的解的个数就是函数y=2-x与函数y=-x2+3的图像的交点个数，由右图可知交点有2个，故原方程的解有2个。

例4.(08江苏卷6)在平面直角坐标系xoy中，设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D中随机投一点，则落入E中的概率%%%。

分析：这是考查苏教版新教材中增加的内容———几何概型的题目。几何概率经常转化成长度、面积、体积、角度等的比值来求解。这是新课标中数形结合思想的又一重要应用。

解：设P (x, y)，由题意知若P在区域D中则|x|≤2，|y|≤2，即区域D是如图所示的正方形，边长为4，若P在区域E中，则x2+y2≤1，则区域E是如图所示阴影部分的单位圆面，所求概率等于单位圆的面积与正方形的面积的比值，即。

例4.若α，β，γ都是锐角，且满足cos2α+cos2β+cos2γ+1=0，求cosα·cosβ·cosγ的最大值。

分析：本题求三角函数的最值，依靠纯三角运算，解题过程十分冗长，构造一个几何体，问题解决容易多了。

解：由条件cos2α+cos2β+cos2γ+1=0可知：cos2α+cos2β+cos2γ=1，构造长方体如图所示，令AB=a, BC=b, B1B=c，对角线D1B与BC, AB, B1B分别成α，β，γ角, 则

当且仅当a=b=c时取等号，也即当且仅当有最大值为。

三、数形分工

例5.(07浙江卷)不等式|2x-1|-x<1的解集是_________。

分析：本题由代数方法求解，要分类讨论去掉绝对会值，步骤繁且费时。借助图像解则直观简捷，将原不等式等价于|2x-1|<1+x，设y1=|2x-1|，y2=|1+x|，两函数图像如图所示，令y1=y2，解得两图像的交点为x1=2, x2=0, y1

以上例题反映数形结合思想在中学数学中的应用十分广泛，形是数的直观表现，数是形的精确反映。以数助形，可使抽象问题形象化;以数解形，可把复杂图形中的关系转化为数量关系来处理。深刻理解数形结合思想并合理应用，可以较好地优化解题思路，提高分析问题，解决问题的能力，希望大家不要得“意”忘“形”。

摘要：数形结合是每年高考常考查的重要数学思想之一, 形是数的直观表现, 数是形的精确反映。以数助形, 可使抽象问题形象化;以数解形, 可把复杂图形中的关系转化为数量关系来处理。深刻理解数形结合思想并合理应用, 可以较好地优化解题思路。本文通过几个典型例子说明数形结合思想的应用。

3.小学运用数形结合思想 篇三

关键词：小学数学 数形结合思想 运用

在小学数学教学中融入数形结合思想，有助于将抽象、复杂的数学问题转化为有形的事物。通过借助数形结合思想，引导学生解决数学问题，培养学生的抽象思维能力，让学生真正喜欢上小学数学课。

一、数形结合思想运用于教学中的作用

（一）提升学生的数学思维能力

数形结合一方面可以提升学生的学习效率，另一方面可以发展学生的数学思维，提升其解决实际问题的能力，让数学变得简单且富有乐趣。教师合理应用数形结合思想，能够促进学生自学数学知识，提升教学效率。对于一些条件复杂、较为抽象的问题，学生往往无从下手，此时利用数形结合的思路能够把复杂的文字转变为容易理解的图形问题，进而让学生弄清楚数量关系。

（二）提升学生解决问题的能力

在数学学习中，学生需要具备一定的动态思维能力，仅仅依靠静态思维是难以解决一些抽象问题的，要从联系、变化和运动的角度来思考问题，将形和数看作运动事物在一个瞬间的相对位置或者取值。运用动态的思维来研究、处理问题，能够明确知识的变化和联系，触摸数学问题的本质。在小学数学教学中，巧妙结合“数”和“形”可以很容易地解决那些看似复杂的关系。例如：有一个梯形和一个平行四边形，这两个图形的高都是6厘米，平行四边形的底长度和梯形上底长度相同，都是10厘米，同时梯形上底比下底少3厘米。求梯形的面积比平行四边形的面积多多少。

大部分学生在计算的过程中，分别计算了这两个图形的面积，得出平行四边形的面积为60平方厘米，梯形的面积为69平方厘米，而后两个数字相减得出面积差。但是也有个别机灵的学生，在计算的过程中结合了数形结合的思路，仅仅几步就完成了面积的计算：首先利用图示来表现梯形和四边形，然后发现梯形比平行四边形多出了一个高为6厘米，底为3厘米的三角形，所以只需要计算出三角形的面积即可，得出三角形的面积为9平方厘米，这就是两个图形的面积差，利用数形结合的思路，图形之间的数量关系变得简单明了，不仅降低了题目难度、简化了计算，而且拓宽了学生的思维。

（三）帮助学生完成知识技能目标

几何知识是小学阶段的重要数学内容，学生需要逐渐理解立体图形，在实际教学中，学生面对立体图形问题，经常感觉困难重重。利用数形结合的思路，以形想数，就能够巧妙地解决难点问题。比如在讲解“长方体正方体”单元过程中，有这样一个题目：有一个长方体，如果把它的高增加2厘米，就会成为正方体，同时它的表面积会增大56平方厘米，问长方形原来的体积是多少？

题目所给的条件看似不足，学生虽然已经熟练了长方形的体积和面积计算，但是面对这个题目却不知如何下手，难以分清题目中问题和条件之间的相互关系。这时，笔者利用数形结合思想指导学生画图形、分析图形，来理清思路，思考问题的解决方法。通过图形分析，学生明确了题目中的信息：（1）长方体原来的上下面都是正方形，面积没有变化；（2）立体图形的前后左右总共增加了4个长方形，这几个长方形的宽都是2厘米，四个长方形面积加起来是56平方厘米。

小学生的思维水平还比较薄弱，碰到抽象程度高、题型比较偏、难度较大的问题时会束手无策。教师要善于引导学生利用数形结合的思路来化隐为显、化难为易，促进学生分析能力和观察能力的提升。

二、在小学数学教学中运用数形结合思想的策略

（一）将数形结合思想融入概念教学中

对于小学生来说，教材中概念性的内容常常会让他们头疼。概念性的文字理解起来比较困难，需要通过抽象思维去理解。但通过数形结合思想，就能够简化理解的过程。比如，在讲解乘法的概念过程中，学生可能难以理解这种新的计算方式，笔者利用多媒体设备先展示六个苹果，问学生苹果的数量，而后再增加一排苹果，问学生苹果数量，这样学生就能够基本了解乘法是如何从加法演化而来的。接着，笔者增加10排、15排苹果，让学生理解乘法为计算带来的方便。利用生动的图像，学生能够更快地掌握概念知识，并且不会产生畏难情绪。

（二）将数形结合思想融入几何教学中，以形助数

空间图形就是常说的形，其中有曲線、图像、图形等。数量关系则是数，比如不等式、函数、方程等。数是数学中较为抽象的符号语言，而形是数学中较为直观的图形语言，两者都有自身的优势。如果能够把一个具体的问题转化为图形，那么就能够从整体上思考问题，并且得出创造性的解题方法。根据图形关系可以清楚地得到问题中的数量关系，达到以形助数的效果。

比如，在讲解“三角形的面积”时，笔者指导学生利用数形结合思想中的“以形助数”，回顾前面所学过的平行四边形面积的学习方法：把平行四边形分割为已经学过的长方形和正方形，求出平行四边形面积。学生开始思考把三角形转化为易于计算的图形，他们的方案主要分为三种：1.将三角形转化成一个长方形，但是只有两个形状大小完全相同的三角形才能组成一个长方形；2.将三角形转化成正方形，但是只有两个形状和大小完全相同的等腰直角三角形才能够组成一个正方形；3.将三角形转化成平行四边形，任何两个形状大小完全相同的三角形都可以组成一个平行四边形。

通过以形助数，综合考虑直观的图形结构和抽象的数值关系，能够把图形中的数量关系通过几何形象表现出来，进而发挥出直观对抽象的支持作用，把复杂的数量关系难题转变为简单的图形问题，起到了化难为易、抽象变具象的作用。同时，还能够培养学生的逻辑思维和空间观念，使他们积极参与到课堂学习中，更好地理解数学问题中的数量关系。

（三）将数形结合思想融入代数教学中，以数解形

例题：有一个边长是10厘米的正方形，如下图，两个直角梯形的面积相差10平方厘米，高度相同，求图形中x的长度。

这个题目中，大梯形比小梯形的面积大10平方厘米，我们可以利用图形来表示。两者有一个共同的底边，而且高度相同，只是有一条底边不相同，两条底边的差就是题目中需要求的x，可以利用一条辅助线补上，正好就把差的10厘米体现出来了，这时只需要求三角形的底边长度就可以了。三角形的面积是10平方厘米，而高和直角梯形相同，都是5厘米，所以可以得出底边x的长度为4厘米。这个例子中利用“形”求得了“数”，巧妙根据图形的结构特征找出了其中的数量关系，把图形问题代数化，并且利用代数的方法优势来“以数助形”，快速得出了问题的答案。这种解题思路在平时的解题过程中常常会用到，教师要指导学生掌握方法，学会把抽象的量和数值转变成具体、直观的几何图形来辅助解题，有助于提升学生的思维能力。

参考文献：

[1]倪小东.如何将数形结合思想渗透到小学数学教学中[J].科学咨询（教育科研），2016（7）：45-46.

[2]潘文芳.数形结合，提升素养——例谈数形结合思想方法的渗透[J].数理化解题研究，2016（17）：85-86.

[3]孙青.数学思想在小学数学教学中的渗透[J].新课程（上），2016（5）：63-64.

（作者单位：江西省铅山县新滩中心小学）

4.小学运用数形结合思想 篇四

数形结合既是解决问题的一种方法、又是一种策略，更是一种思想。数形结合思想就是依据数与形之间相互对应的关系，将数和形互相转化，通过数形结合解决问题的一种思想。数形结合形式可以数化形和以形转数，或借助“形”探究有关“数”的问题，或倚托“数”研究相关“形”的问题，数形之间有机结合，相辅相成。数形结合的价值就在于将形象思维与抽象思维有效转换，使得问题形象化、简单化，从而实现解决问题的高效性。在平时教学中，我尤为关注数形结合在小学数学教学中的渗透研究，培养学生数形结合思想。

一、数因形而直观，感知数形结合思想价值

数学思想是关于数学内容和方法的本质认知，是在具体内容中的进一步感知中抽象与概括，是数学学习迁移的基点，是数学知识获取的本质内核。数形结合对于分析和解决问题有着重要的价值，我们要在实际教学中学习运用数形结合的方法解决实际问题，在此过程中提炼数学结合的策略，感知数学结合思想的价值。

数形结合体现在于将数学语言转化为直观图形，以使形象鲜明，将问题显性化，让问题的解决来得更直观简明。例如，在教学苏教版五年级上册中的《负数的认识》时，对于学生来讲“负数”是一种新的数学概念，为了使学生更为直观形象的认识负数，助力理解负数所表达的深刻涵义，在教学中，我重点开展数轴教学。我将例题情境化：“小林和小华分别住在学校的两侧，他们两人的家与学校在同一条直线上，两人的家距离学校各2千米。你能根据题意画出示意图吗？”具有一定分析理解能力的五年级学生很快画出了示意图，并在示意图中标明数据。于是我继续启发：“小林的家所在方向正好和小华家相反，我们能否用前面刚刚认识的一个数表示？”机灵的孩子迅速联想到刚认识的“负数”，于是回答：“我们可以用-2千米来表示小林家到学校的距离，也就是说小林家距离学校2千米我们可以记作-2千米。”为了使学生更进一步认识负数，我又让学生将示意图转画为直线，在直线上选取一点表示学校，用“0”表示，然后以0为基点，在0刻度的两边画出等距离单位刻度，分别用正数和负数表示。我接着追问：“如果以学校为起点，小华向东走4千米，小林向西走4千米，分别怎样记数表示。”“我们可以分别记作+4千米和-4千米。”学生的反应敏捷。学生在直观简洁的数轴上有效地理解了负数。

我们在教学小数的意义、分数的意义时都可以将枯燥难懂的小数和分数的意义认识依靠数轴，把数转化为形，将数和形完美结合，让抽象化的数量关系更为形象直观，帮助学生有效学习，感知数形结合思想的价值。

二、形因数而简练，感受数形结合思想魅力

图形虽有直观优势，但有时复杂的图形中的数量关系也是较为繁琐的，这时就得借助简约的数学语言或者表达式来言表，让学生精确地把握相关形的特征。形因数而简练，学生更能感受到数形结合的魅力。

例如，在教学苏教版四年级下册第一单元《图形的平移》后，我为了开拓学生思维，给学生出了这样一道题：图

一、在一个等边三角形内画出1个等边三角形;图

2、在一个稍大一点的等边三角形内画出3个等边三角形;图

3、在一个再大一点的等边三角形内画出6个等边三角形;依此类推，第10个等边三角形内应该有多少个小的等边三角形？我让学生观察后独立解答，但是只有3个学生解答出来，而且其中1个学生是用画图的方法花了很长时间才得出答案，其他学生都无解。看来，此刻是发挥数的功效的时候了，我问那个画图的学生感觉怎么样？他说很麻烦。于是，我引导大家观察图形，寻找规律，在我的引导下孩子们发现第一个图形内有1个等边三角形，图2内有1+2=3（个）等边三角形，图3内有1+2+3=6（个），我问道：“图4中应该有几个等边三角形？”发现规律的孩子知道如何通过列式计算出答案：“1+2+3+4=10（个）”，“现在你们有更好的办法解答这个问题吗？”“我们可以通过计算的办法算出第10个图形内一共有：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55（个）。”“计算和画图哪种方法更好？”“列式计算太方便了。”孩子们毫不犹豫地说出真心话，这道题着实让学生领略到数形结合的魅力。

再如在几何图形教学中，有许多问题的解决凭直观难以做出决断，需要以形转数，依靠数的计算来快捷解决，发挥数的简洁干练特性，彰显数学结合思想的魅力。

三、数形交融合璧，感悟数形结合思想真谛

数和形的紧密联系就像唇齿相依的关系，形影不离，数学结合思想实际上是一种转化思想，贯穿整个数学领域。数形结合思想要在要在反复的实际运用过程中概括提炼，逐渐感悟其思想真谛，指引着数学问题解决的方向，催促着数学的发展。

让孩子们在学习应用过程中反复实践，将数形交融合璧，体验享受到数形结合方法的优势，感悟到数形结合思想的真谛。

具有丰富内涵的数形思想是数学的灵魂之一，在小学数学教学中，我们要当有心人，有意识的渗透数形结合思想，提高学生数学能力，提升数学品质。

5.小学运用数形结合思想 篇五

中的渗透与应用

数形结合思想是一种重要的数学思想。数形结合就是通过数(数量关系)与形（空间形式）的相互转化、互相利用来解决数学问题的一种思想方法。它既是一个重要的数学思想，又是一种常用的数学方法。数形结合，可将抽象的数学语言与直观的图形相结合，是抽象思维与形象思维结合。有些数量关系，借助于图形的性质，可以使抽象的概念和关系直观化、形象化、简单化；而图形的一些性质，借助于数量的计量和分析，得以严谨化。那么在小学数学教学中如何去挖掘并适时地加以渗透呢？

一、在理解算理过程中渗透数形结合思想

小学数学内容中，有相当部分的内容是计算问题，计算教学要引导学生理解算理。在教学时，教师应以清晰的理论指导学生理解算理，在理解算理的基础上掌握计算方法，正所谓“知其然、知其所以然。” 根据教学内容的不同，引导学生理解算理的策略也是不同的，数形结合是帮助学生理解算理的一种很好的方式。

比如：小学数学三年级上册第六单元“乘法”，借助点子图帮助学生理解乘法竖式的计算过程。“蚂蚁做操”一课的第二个问题教学中可以借助点子图把12×4拆分成2×4和10×4，并与竖式计算中的每一步对应起来，清晰地呈现出两位数乘一位数的乘法竖式的计算过程，同时还把列表的方法与两者建立了对应关系，沟通了表格、抽象竖式、直观点子图三者之间的内在联系，帮助学生理解每一步的具体含义。对学生来说，这样处理直观生动、易于理解、印象深刻。

二、在教学新知中渗透数形结合思想

在教学新知时，不少教师都会发现很多学生对题意理解不透彻、不全面，尤其是到了高年级，随着各种已知条件越来越复杂，更是让部分学生“无从下手”。基于此，把从直观图形支持下得到的模型应用到现实生活中，沟通图形、表格及具体数量之间的联系，强化对题意的理解。

比如小学数学三年级上册在第一单元“混合运算”中，开始尝试借助实物图和直观示意图来表达现实问题中的数学信息和数量关系，帮助学生更好地理解题意，找到解决问题的正确方法。在此基础上，第三单元“加与减”中，继续引导学生通过话各种示意图来理解数量关系，探索解决问题的方法和策略。在“节余多少钱”的第二个问题的教学中，教师重视引导学生用条形图直观地表示了数量关系，然后在试一试中呈现了学生用“线段”表示理解和解决问题的过程。在“里程表

（一）”一课的教学中渗透从直观的铁路示意图抽象出“线段”示意图，帮助学生理解表格中数据表示的实际含义，找到解决问题的方法。总之，教师利用线段图帮助学生学习，让学生有可以凭借的工具，借助数形结合将文字信息与学习基础耦合，使得学习得以继续，使得学生思维发展有了凭借，也使得数学学习的思想方法真正得以渗透。

三、在数学练习题中挖掘数形结合思想

运用数形结合是帮助学生分析数量关系，正确解答应用题的有效途径。它不仅有助于学生逻辑思维与形象思维协调发展，相互促进，提高学生的思维能力，而且有助于培养学生的创新思维和数学意识。

比如：在“长方形周长”的练习题中，淘气想靠墙围成一个长方形的蔬菜园，长是6米，宽是4米，可以怎么围？分别需要多长的围栏？在教学中教师引导学生尝试画一画，表示出题目的意思，可能出现两种方法，加深了学生对长方形周长计算方法的理解。可见数形结合很好地促进学生联系实际，灵活解决数学问题，而且还有效地防止了学生的生搬硬套，打开了学生的解题思路，由不会解答到用多种方法解答，学生变聪明了。

6.数形结合思想在高考数学中的运用 篇六

一、全国卷 2010 年 ~2014 年高考数学(理科)中涉及数形结合思想的题目分值分析

从上表可以看出最近五年高考数学(理科)中涉及数形结合思想的分值都比较高,其中最高的是2012年,占了91分,所以这部分内容很值得我们去重视;那么从各个模块来看,最近五年的总和,占分值最大的是几何部分,其次是函数、方程与不等式部分。所以我们在对数形结合思想的运用教学时,应着重从这两部分着手。

二、对集合、函数方程不等式、线性规划、几何四个模块所占比例分析

上图是对2010年~2014年,五年的全国卷数学高考中涉及数形结合思想的题目进行统计分析,由图可以看出在涉及数形结合的题型中几何部分所占比例最大占到55%,其次是函数、方程与不等式部分占到35%.

三、数形结合思想在高考真题中的运用

(一)解决集合问题。

在集合运算中常常借助于数轴、韦恩图来处理集合的交、并、补等运算,从而使问题得以简化,使运算快捷明了。

例1:(2013年全国卷)

已知集合姨,则( )

分析:我们可以先计算出x2-2x>0的x的取值范围:x<0或x>2再将它们用数轴表示出来,这样就很容易看出答案B。

图1说明:在高考中,集合的题目一般都不太难,但总会有不少的人做错,究其原因,很多是没有画图或没画对,如果我们能将它认真、规范地画出来,答案是很容易看出来的,根本不需要多少思考。所以只要把该思想运用好,完全可以做到无人丢分。

(二)解决函数、方程与不等式问题。

利用图形的直观性来讨论函数的值域(或最值),求解变量的取值范围,运用数形结合思想考查化归转化能力、逻辑思维能力,是函数教学中的一项重要内容。

例2:(2013年全国卷)

已知函数,若| f(x)| ≥ax,则a的取值范围是( )

A.(∞,0) B.(∞,1)

C.(-2,1) D.(-2,0)

解析:该题考查的内容是函数不等式恒成立求参数范围问题的解法,难度较大,可用数形结合法,两图象在公共点处的切线斜率是判断两函数大小的关键。

首先画出0的图象如图2所示,当x≤0时,在原点(0,0) 处斜率k=(x2-2x)|x=0=2x-2|x=0=-2,即得-2≤a≤0时,f(x)≥ax恒成立;当x>0时,且直线y=ax与g(x)=1n(x+1)有公共点时,0<a<1;而无公共点时,a>1,综上可得a的取值范围为(-2,0),故选D。

(三)解决线性规划问题。

线性规划问题是在约束条件下求目标函数的最值的问题,从图形上找思路恰好就体现了数形结合思想的运用。

例3:(2012年全国卷) 若x,y满足约束条件则z=3x-y的最小值为( )

解析:如图3先在平面直角坐标系画出不等式组所表示的平面区域,再画出直线3x-y=0,平移该直线,当平移到经过该平面区域内的点(0,1)时,相应直线在y轴上的截距达到最大,此时,z-3x-y取得最小值,最小值是zmin=3x-y=3×0-1=-1。

说明:中学阶段线性规划问题的一般解题方法就是画出来,只要能准确画出图象,找出答案将会变得非常简单。因此,只要平时注意对数形结合思想的培养、多画图,该题将会很容易解。

(四)解决几何问题。

解析几何的基本思想就是数形结合,在解题中考查的就是你是否善于将数形结合的数学思想运用于对点、线、曲线的性质及其相互关系的研究中。

例4:(2012年全国卷)正方形ABCD的边长为1,点E在边AB上,点F在边BC上,AE=BF=3/7,动点P从E出发沿直线向F运动,每当碰到正方形的边时反弹,反弹时反射角等于入射角,当点P第一次碰到E时,P与正方形的边碰撞的次数为( )

A.16 B.14

C.12 D.10

分析:本题主要考查对称与相关的平面几何知识,根据每当碰到正方形的边时反弹,反弹时反射角等于入射角,我们可以画出相应的图形,从而看出答案。此题的解题关键是对图形的把握,善于运用数形结合,能够准确画出图形就能准确解题。

四、运用数形结合应该注意的问题

数形结合思想是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系,既分析其代数含义,又揭示其几何意义,使数量关系和空间形式巧妙、和谐地结合起来,并充分利用这种“结合”,寻找解题思路,使问题得到解决。数形结合的实质是将抽象的数学语言与直观的图象结合起来,关键是代数问题与图形之间的相互转化,它可以使代数问题几何化,几何问题代数化。在运用中,需注意以下几点。

(一)在运用数形结合思想分析问题和解决问题时,需注意以下两点:

第一:要注意准确画出图象,注意题目的一些特殊要求如函数的定义域等。

第二:用图象法讨论方程、不等式的解是一种行之有效的方法,要注意的是首先把方程或不等式两边的代数式看作是两个函数的表达式,有时可以先作适当调整,以便于作图,然后作出两个函数的图象,由图求解。

(二) 运用数形结合思想分析问题和解决问题时,需做到以下四点:

第一:要清楚一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征。

第二:要恰当设参,合理用参,建立关系,做好转化。

第三:要正确确定参数的取值范围,以防重复和遗漏。

第四:精心联想“数”与“形”,使一些较难解决的代数问题几何化,几何问题代数化,以便于问题求解。

7.小学运用数形结合思想 篇七

关键词：数形结合；研究环境；例题类型

中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2013）14-231-01

在数学的学习中，“数形结合的思想”作为一种数学研究的重要方法，在教育教学的过程中，应该予以着重强调。在数学学习的初级阶段，应该让学生拥有这种思考问题的意识，在解决实际数学问题中能够有意识应用这种研究方法，使一些复杂的代数问题变得简单，使一些抽象的代数问题变得更加直观。作为教师，在课堂中，讲解比较抽象的代数概念时，也应该有意识的应用“数形结合的思想”进行讲解。因此，在实际应用过程中让学生领悟到“数形结合思想”的真正意义所在和使用方法，以至于可以让学生在日常解决问题时使用“数形结合法”时能够融会贯通。

一、对于数形结合法研究环境的探索

在研究“数形结合思想”时，我们必须要首先引入研究的环境。在研究“数系”时，我们引入“数轴”的概念；在研究“函数”时，我们引入“平面直角坐标系”的概念。注意在教育教学过程中，我们必须向学生强调引入全新研究环境的概念，对于“数形结合法”的实践的重要作用——为了让所研究的代数符号，在空间中有具体且唯一的图形概念与之对应。

这就是我们要说的“数轴”与“平面直角坐标系”，下面我分别具体列述它们的意义：“数轴”作为引入“负数”概念的重要理解方法，在浙教版数学教材七年级上册中有具体的涉及。数轴作为一条具有“正方向”、“单位长度”、“原点”三要素的一条特殊的直线，能够清楚的表达数系内的一切有理数。任何代数形式的图像化，具有一个通性，即“代数形式与图形，在相同的研究环境下，有且唯一”，这一通性使数学研究保持其严密性、客观性。而保持这种通性的方法只有完善研究环境。

在有理数系研究中，我们利用数轴作为研究环境。其中“正方向”确定了一组数的大小情况；“原点”，确定了整个数轴在整个有理数系中的相对位置；“单位长度”均分数轴，以此确定每一个数的具体位置。由此，我们可以保证每一个数在数轴中的表示“有且唯一”。且图形统一为落在数轴上的各个点。这种表示方法，满足“代数形式与图形转换”时的“通性”，保证了通过数轴研究有理数系的严密性、客观性。在有关数轴的研究中，我们通常不研究在数轴中的单一的、孤立的数据，通常是一组有限个或者是无限个数据。在研究有限多个数据或无限多个数据时，利用数轴的研究方法具有其优越性。数轴可以利用一串有限多个或无限多个的点、又或是一段线段来直观地表示具有某一特定性质，如在某一特定区间中的数。这种研究方法在集合的运算及不等式运算中应用得相当普遍。

作为研究环境，在满足“数形结合”环境的通性，即“代数形式与图像图形有且唯一的对应”的情况下应该具有其应有的“可替代性”。在代数研究需要的情况下，我们可以重新定义坐标的图形意义。在高中数学中，平面直角坐标系与极坐标系可以发生合理的转换。对于极坐标方程 有特定的平面直角坐标系方程 与之对应。在“原点与极点重合”、“单位长度相等”的情况下，保证两种代数表达法所对应的图像完全重合。表面上是代数形式的种类出现了变化，实际上是研究环境出现了变化，使图像所对应的代数形式更加简便，方便精确的研究。一般的二维平面直角坐标系只能够解决一般的平面图形，对于立体图形我们利用三维空间直角坐标系来进行数形结合。将在空间直角坐标系中的各个点进行代数化，转变成 的三维坐标形式，进行代数形式计算。因此具体的图形计算，在研究环境的帮助下全部可实现代数化。

二、数形结合题型的范例式分类

在利用到“数形结合思想”的题目中，也可以大体的分为几个类型，“定义类”、“代数转化图像类”、“图像转化代数类”。在实际教育教学过程中，应该让学生主观的建立题型的整理能力。在“数形结合法”适用的题型中，我们也应该注意类型的区别，这样在实际的应用中才能够准确地答题。

1、定义类

例如：利用了绝对值的定义，将比较抽象的代数形式，通过基本的定义转化成了比较直观的图形，即线段长度的比较，充分的体现出了“数形结合”的优越性。在教育教学的过程中，我们在引入负数和绝对值概念时，对于数轴的概念必须着重强调。数轴是研究实数系的重要工具，使实数系中的各个数在数轴上有与之唯一对应的图像表示，是数系问题利用“数形结合法”的桥梁。在高中数学，集合的学习中，对于一般形式的集合，我们可以通过韦恩图来数形结合表示集合的相关运算。这种求公共部分的方法，属于求公共部分的原形，是学生理解“数形结合”理念中，图像的交集与代数式形式的交集的第一步。

2、代数转化图像类

例如：在函数的计算中，关键的点坐标是必须抓住的。这是提供学生正确的函数解析式的第一步。而这些点的获取一般我们可以通过研究函数解析式的方法得到，如“连列解析式求交点”等，但是这种一般的方法对于代数计算量的要求往往是极大的。在这种情况下，往往可以从“数形结合法”得到突破。学生们可以暂时脱离函数的大框架，对于关键点进行几何的定位，求得一些边长来作为关键点的横纵坐标，再联系函数解析式轻松解得关键点的坐标。

3、图像转化代数类

例如：在实际的解题过程中，我们可以将复杂的几何问题，通过设定适当的研究环境（建系），来求的具体的数值。

8.小学运用数形结合思想 篇八

教学目标：

1．知识与技能目标：

掌握等差数列前n项和公式。

2．过程与方法目标：

经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思。

3．情感、态度与价值观目标：

获得发现的成就感，逐步养成科学严谨的学习态度，提高代数推理的能力。教学重点：等差数列n项和公式的理解、推导.教学难点：获得等差数列前n项和公式推导的思路.教学方法: 讲授法、发现法

教学过程：

一、问题呈现:

泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国皇帝

沙杰罕为纪念其爱妃所建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七大奇迹之一。陵寝以宝石镶

饰，图案之细致令人叫绝。

传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石

镶饰而成，共有100层（见左图），奢靡之程度，可见一斑。

你知道这个图案一共花了多少宝石吗？

二、探究发现:

学生对高斯的算法是熟悉的，知道采用首尾配对的方法来求和，但是他们对这种方法的认识可能处于模仿、记忆的阶段。

为了促进学生对这种算法的进一步理解，设计了下面问题。

问题1：图案中，第1层到第21层一共有多少颗宝石？

问题2：如何求1到n的正整数之和.公式应用：123n

问题3：你能证明这个公式吗？

三、公式推导:

我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透．

数形结合的基本思想，就是在研究问题的过程中，注意把数和形结合起来考察，斟酌问题的具体情形，把图形性质的问题转化为数量关系的问题，或者把数量关系的问题转化为图形性

n(n1)

2质的问题，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，化难为易，获得简便易行的成功方案．

1． 证明123nn(n1)（讲授）2

对于这个求和问题，如果采用纯代数的方法（首尾两头加），问题虽然可以解决，但在求和过程中，需对n的奇偶性进行讨论．

如果采用数形结合的方法，即用图形的性质来说明数量关系的事实，那就非常的直观．现利用图形的性质来求1＋2＋3＋4＋…＋n 的值，方案如下：如图，斜线左边的三角形图案是由上到下每层依次分别为1，2，3，…，n个小圆圈排列组成的．而组成整个三角形小圆圈的个数恰为所求式子1＋2＋3＋4＋…＋n的值．为求式子的值，现把左边三角形倒放于斜线右边，与原三角形组成一个平行四边形．此时，组成平行四边形的小圆圈共有n行，每行有（n＋1）个小圆圈，所以组成平行四边形小圆圈的总个数为n（n＋1）个，因此，组成一个三角形小圆圈的个数为

2． 小组活动：仿照上述数形结合的思想方法，设计相关图形，求1＋3＋5＋7＋…＋（2n－1）的值，其中 n 是正整数，你能找出几种方法（要求：画出图形，并利用图形做必要的推理说明）

简解：（1）

因为组成此平行四边形的小圆圈共有n 行，每行有[（2n －1）＋1]个，即2n 个，所以

2组成此平行四边形的小圆圈共有（n×2n）个，即2n个．

∴1＋3＋5＋7＋…＋（2n－1）＝

（2）

n（n1）n（n1），即1＋2＋3＋4＋…＋n＝． 22n〔（2n—1）1〕2＝n ． 2

因为组成此正方形的小圆圈共有n 行，每行有n个，所以共有（n×n）个，即n 个．

2∴1＋3＋5＋7＋…＋（2n－1）＝n×n＝n ．

3． 小组探究：利用数形结合的方法证明等差数列的求和公式Sn

四、知识回顾、小结:

9.小学运用数形结合思想 篇九

数学课程标准提出了“通过数学学习，掌握数学的基础知识、基本技能和思想方法。”其实在上海二期课改时关于数学基础知识的内容的界定上，也指出数学基础知识不仅指有关的数学概念、性质、公式等，还包括其中隐含的数学思想方法，以及学习数学和运用数学知识解决问题等。所以在教材编写上注重把数学思想方法贯穿在知识领域中，使每部分的数学知识不再孤立、零碎，组成一个有机的整体。

数学思想方法有许多，我们小学一般用到的如符号化、化归、数形结合、极限、模型、推理、几何变化、方程和函数、分类讨论、统计概率等思想。在小学数学教学过程中，有意识地对学生进行数学思想方法的渗透，可以让学生不再感觉数学是一门枯燥的学科，而初步了解数学的价值，从而感受数学思考的条理性、数学结论的明确性以及数学的美。下面就“数形结合”思想在小学数学教学中的应用谈些粗浅的想法。

一、数形结合思想的概念

数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，我们中小学数学研究的对象就分为数和形两大部分，数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合，或形数结合。作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致又可分为两种情形：

1、借助于数的精确性来阐明形的某些属性，即“以数解形”；

2、借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，即“以形助数”。

所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想。数形结合思想是一种可使复杂问题简单化、抽象问题具体化的常用的数学思想方法，具体地说就是将抽象的数学语言与直观图形对应起来，使抽象思维与形象思维结合起来，通过“数”与“形”之间的对应和转换来解决数学问题。

二、数形结合的三种应用方式

一般来说，数形结合的应用方式主要有三种类型：以数化形、以形变数和数形结合。

（1）以数化形

由于“数”和“形”是一种对应的关系，“数”比较抽象，而“形”具有形象，直观的优点，能表达较多具体的思维。在低年级教学中，我们常常会把数的认识与计算通过形（学具）的演示，让学生初步建立起数的概念，认识数、学习数的加减乘除法；而高年级有些数量也较复杂，我们难以把握，于是就可以把“数”的对应——“形”找出来，利用图形来解决问题。画线段图的方法是每一个数学老师都把它当作学生学习数学的一项基本技能加以训练的，大家都知道，在教学应用题时，常可以借助形象的画线段图的方法，将问题迎刃而解。特别是行程问题的应用题，老师们总是不忘借助线段图进行讲解；还如我们在教五年级“时间的计算”这一课，虽然很多同学通过计算就能解决问题，但知其然还要知其所然，我们就可以把时间点、时间段通过线段图来表示，学生就更容易理解，这种把数量问题转化为图形问题，并通过对图形的分析、推理最终解决数量问题的方法，就是图形分析法。

（2）以形变数

虽然形有形象、直观的优点，但在定量方面还必须借助代数的计算，特别是对于较复杂的“形”，不但要正确的把图形数字化，而且还要留心观察图形的特点，发掘题目中的隐含条件，充分利用图形的性质或几何意义，把“形”正确表示成“数”的形式，进行分析计算，最典型的就是二年级教材中的“点图与数”，那正方形点图所表示的就是每行与每列的圆点个数都相同，写成算式是两个相同的因数，于是它们的乘积就是平方数；由此在高年级拓展三角形数时有这么个小故事：古希腊毕达哥拉斯学派认为“万物皆数”，他们常把数描绘成沙滩上的点子或小石子，根据点子或小石子排列的形状把整数进行分类，如：1、3、6、10、„„这些数叫做三角形数（如下图）。

·

· · ·

· · · · · ·

· · · · · · · · · · 那么，判断一下45、456、1830、5050这四个数中，哪一个不是三角形数。中高年级学生通过观察，可以利用等差数列求和的方法可以找出这个数；也可以发现如果把一个三角形数去乘2，就可以写成两个相邻自然数的积，那么高年级的同学就可以利用分解素因数的方法来判断一个数是否是三角形数了。如此以形变数，提高了学生的思维能力。

（3）形数互变

形数互变是指在有些数学问题中不仅仅是简单的以数变形或以形变数，而是需要形数互相变换，不但要想到由“形”的直观变为“数”的严密，还要由“数”的严密联系到“形”的直观。解决这类问题往往需要从已知和结论同时出发，认真分析找出内在的形数互变。一般方法是看形思数、见数想形。实质就是以数化形、以形变数的结合。例如，“近似数”一课中，让学生掌握用“四舍五入法”求一个数的近似数是本节课的教学重点。通常我们会直接告诉学生“四舍五入法”这一概念，然后通过大量的练习强化求近似数的方法。那么我们不妨反思：学生做对了是否表明学生已经很好地理解了“四舍五入法”的含义呢？是否有部分学生的解题活动完全建立在对概念的机械模仿上呢？事实上，这种机械模仿的情况是客观存在的。如何帮助学生从本质上理解“四要舍、五要入”的意义呢？我们可以想到把直观的数轴引进这节课，在数轴上找最近的路，把四舍五入放到数轴上展开学习，利用数形结合帮助学生建立一个形象的数学模型，从而加深了学生对“四舍五入法”的理解。

又如在解决问题过程中，经常要用到“数”与“形”互译的数形结合思想，即把问题中的数量关系转译成图形，把抽象的数量关系形象化，再根据对图形的观察、分析、联想，逐步译成算式，以达到问题的解决。最常用的如“鸡兔同笼”一课：鸡兔同笼，有10个头、28条腿，鸡、兔各几只?本课的解决问题教学策略书上采用列表尝试法。如果采用数形互译的画图法解，二年级的学生都能解答，并且可以从画图法引出数量关系，列式解答。有几个头就画几个圆（表示动物的头），然后每个头下加两条腿（表示鸡有两条腿），剩余几条腿就再添在小动物身上，每个添2条（原来的鸡就变成了兔）。这样从图上可知兔有4只，鸡有6只。引导学生理解数量关系：首先假设10只全是鸡，每只鸡身上长2条腿，共10×2＝20（条）腿，还剩余28-20＝8（条）腿，鸡身上再长2条腿变成兔子，直到8条腿长完为止。这样就得到兔子有8÷(4-2)＝4（只），鸡有10-4=6（只）。而对高年级学生借助于画示意图来分析数量之间的关系，是我们经常使用的办法。由此不难看出：“数”“形”互译的过程，既是问题解决的过程，又是学生的形象思维与抽象思维协同运用、互相促进、共同发展的过程。由于抽象思维有形象思维作支持，从而使解法变得十分简明扼要且巧妙。

所以，在小学数学教学中，数形结合能不失时机地为学生提供恰当的形象材料，可以将抽象的数量关系具体化，把无形的解题思路形象化，不仅有利于学生顺利的、高效的学好数学知识，更有利于学生学习兴趣的培养、数学思维的发展、知识应用能力的增强，使教学收到事半功倍之效。

三、发挥数形结合思想方法对知识获得的引领作用

1、要善于挖掘教材中含有数形结合思想的内容

教师在教学中要有渗透数形结合思想的意识，引导学生主动有效地利用课本中的图形，从图中读懂重要信息并整理信息，提出问题、分析问题、解决问题，即让学生通过“形”找出“数”。在小学“数与代数”、“空间与图形”、“统计与概率”、“实践与综合应用”这四个学习领域中，都能应用数形结合思想进行教学，我们通过对教材的分析，初步整理了小学数形结合思想方法在各教学领域的渗透点：（1）“数与代数”：数的认识及计算，都能借助小棒图、计数图来理解算理、法则和方法；（2）“空间与图形”：可以借助数的知识及数量关系进行各平面图形的周长和面积的计算；（3）“实践与综合应用”：从所给问题的情境中辨认出数与形的一种特定关系或结构，运用画线段图、画分析图、画示意图等方法分析理解；（4）“统计与概率”：通过图形演示移多补少来理解平均数的含义。

2、教学时让学生在探索中感受数形结合思想

布鲁纳指出：“掌握基本的数学思想方法，能使数学更易于理解和记忆，领会基本的数学思想和方法是通向迁移大道的‘光明之路’。”在教学中，要让学生自主探索，感受数形结合思想，增强对数形结合思维模式的认知，体会图形对数学知识形成的意义。如果教师在教学中教师充分利用学生形象思维的特点，大量地用“形”解释、演现，经常引导学生将数与形结合起来，借助形象的图形理解算理，提炼算法，就能降低学习难度，有效地改善突破教学难点的方法，提高课堂教学效率。

3、课后延伸时让学生在解决问题中体验数形结合思想

数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的科学，而数形结合思想贯穿于整个数学领域，我们可以将复杂的数量关系和抽象的数学概念通过图形、图像变得形象、直观。同样，复杂的几何形体可以用数量关系、公式、法则等手段，转化为简单的数量关系。在课后的知识延伸中，经常引导学生通过数形结合来解决生活中的实际问题，从而体验数形结合的好处。

10.小学运用数形结合思想 篇十

【关键词】数形结合 中学数学 解题 运用

一、引言

众所周知，中学数学是一门比较难的学科，很多学生的数学成绩比较差，影响了他们的升学和未来的发展。为了提高数学成绩，在学习过程中，必须掌握相应的解题方法，而数形结合思想是其中的一种重要思想和解题方法，在解题中具有重要作用。因此，在教学和学习过程中必须重视数形结合思想的运用。

二、数形结合的概念及对中学数学解题的作用

1.概念。数形结合，是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决问题的一种重要思想方法，也是一种智慧的解题技巧，它可以使复杂的问题简单化，抽象的问题具体化，使繁琐的问题条理化，从而便于找到简捷的解题思路，使问题得到解决。

2.作用。数形结合是一种重要的解题思想，在中学数学解题中具有重要的作用。它能够启迪解题思路，使解题思路更加明朗，数和形的有机结合，能够为解题带来全新思路，有利于培养学生思维，简化解题思路。数形结合还能够使解题过程更为简化，因为借助形的特点，能够将复杂的解题过程变得更为简洁，因而在解题过程中值得推广和运用。作为中学生，也应该认真学习数形结合思想，并在解题中能够灵活运用，以提高学习效率，取得更好的成绩。

三、数形结合思想在中学数学解题中的运用策略

1.在集合解题中的运用。集合在交集、并集、补集、外在表达式上，都蕴含着图形的意味，在解题中可以运用数形结合思想。例如：假设有两个集合分别为M={（ x，y）|x2+y2=1，x∈R，y∈R}，N={（ x，y）|x2-y=0，x∈R，y∈R}，则集合M∩N中元素的个数为（ ）。

A.1 B.2 C.3 D.4

采用数形结合的方式，问题可以迎刃而解。通过观察和比对，可以得出方程x2+y2=1表示圆，方程x2-y=0代表的是抛物线，那么实例1中的问题可以转化为方程x2+y2=1所代表的圆和方程x2-y=0表示的抛物线交点个数是多少。这样就避免了繁琐的数量关系的运算，通过绘图明显可以看出交点有2个。即M和N这两个集合的交集就有2个元素，答案为B。

2.在函数解题中的运用。方程sin2x=sinx在区间x∈（ 0，2η）内的解的个数是多少（ ）。

A.1 B.2 C.3 D.4

运用数形结合思想，将两个三角函数的图形在同一个坐标系内分别绘出。而且方程f（x）=g（x）的问题可以归结为两个函数y=f（x）与y=g（x）的交点横坐标，这对于求方程近似解时是特别重要的，所以应该引起足够的重视。通过仔细观察两个三角函数的图象可以发现交点有三个，即方程sin2x=sinx在区间x∈（0，2η）内有三个解。

3.在不等式解题中的运用。例如，求不等式loga（x+1）>loga（x-1）（01.414。

4.在立体几何解题中的运用。立体几何空间感强，要求学生有较强的空间想象力，因此，要将其转化为数量关系问题，才能让问题变得简单化。例如，将复杂的结合逻辑推理转化为空间向量坐标运算，从而将问题变得更为容易。

四、数形结合思想在中学数学解题中运用需要注意的问题

1.根据教学和学习的具体情况选用。在运用数形结合思想解题的时候，要根据教学和习题内容的不同，合理运用该思想，调动学生学习数学知识的积极性和创造性，要注意启迪学生的思维，引导学生对相关问题进行思考，促进学生运用数形结合思想解题能力的提高。

2.重视多媒体技术的运用。在运用数形结合思想解题的时候，为了使解题过程更加明晰，可以借助多媒体技术，将数形结合解题的具体过程直观形象地演示出来，使学生能够更加深刻地体会解题的过程，启迪学生的思维，从而更好地运用数形结合思想进行解题。

总而言之，数形结合是一种重要的解题思想，在中学数学解题中具有重要的现实意义。因此，今后在中学数学教学过程中，我们需要根据教学大纲的要求，结合教学的实际情况，积极采取相应的策略，将数形结合思想更好地运用到中学数学解题中，以提高解题效率和学习成绩，使中学生学习数学知识变得更加轻松，从而提高中学数学的教学效果和教学质量。

参考文献：

[1]李曼.浅谈数形结合思想在高中数学解题中的应用[J].语数外学习.2013（08）.

[2]许丽英.浅析数形结合思想在高考数学解题中的应用[J].数学教学研究.2012（08）.

11.小学运用数形结合思想 篇十一

数形结合的思想具体地可分为“以数解形” (几何问题代数化) 、“以形解数” (代数问题几何化) 和“数形互解”三种.结合大学数学教材, 下面我们从三个方面阐述在日常教学实践中, 如何培养数形结合思想, 提高学生的思维能力.

一、线性代数中的数形结合

线性代数课程是高等院校的一门重要的数学基础课程.但是由于课时相对紧张, 讲授过线性代数的教师普遍感觉上这门课比较吃力, 教学效果不佳.而学生则认为这门课程抽象不易理解, 不能很好地掌握和运用线性代数中的知识.近些年北京航空航天大学李尚志教授积极提倡将线性代数和解析几何有机地结合起来, 在线性代数的教学中引入“空间为体, 矩阵为用”的思想.具体地, 将线性代数看成n维空间的解析几何, 将解析几何看成三维空间的线性代数.

线性代数起源于对二维和三维直角坐标系的研究.一个向量就是一个有方向的线段, 用长度和方向同时表示, 线性代数将向量的概念扩展到有限维的空间.向量在它们之间搭建了一座桥梁, 当几何问题不能直接解决时, 就转化为代数问题来解决;同样, 当代数问题一筹莫展的时候, 就用它的几何直观来解释.这种数形结合, 不仅可以使学生对线性代数很多概念有几何直观的了解, 容易理解接受, 进而灵活运用, 还可以给他们的创新能力打下基础.例如, 在矩阵乘法的教学中, 通常只告诉学生将一个矩阵的行和另一个矩阵的列的元素对应相乘, 然后将这些乘积的和作为乘积矩阵的相应行和相应列上的元素.矩阵乘法的定义相对矩阵的加法和减法以及数乘都是特殊的, 为什么会有这样的乘法呢?在通常的教学中, 并没有给出解释.实际上, 矩阵的这个乘法可以用几何中的“线性变换”的概念来加以说明.

在讨论线性方程组解的情况时, 书中大都会详细推出方程组解的个数与方程组秩的关系, 严格但不够形象.我们还可以从几何的角度加以说明, 加深学生对方程组解的理解.三维几何空间中每一个三元一次方程表示空间的一个平面, 于是可以用三个方程组成的方程组

解的情况来描述三个平面的位置关系.例如系数矩阵A的秩为3, 此时方程组只有唯一解, 则三个平面交于一点.思考:如果A的秩为1或者2时, 三个平面位置关系如何呢?这样的例子, 与高中内容有衔接, 难度上在学生的接受范围内, 学生的探究兴趣就被挖掘起来了.因此, 我们如果能够充分发掘各个知识点的内涵及其所具有的几何以及其他意义, 就可以将困难、抽象的内容以生动的和易于理解的形式教给学生.

二、复变函数中的数形结合

复数的概念源于方程的求根问题, 在二次、三次方程的求根中出现了负数开平方根的情况.很长时间内, 人们对此不能理解.但随着数学各个分支的发展, 这类问题变得更为重要, 并且为大多数数学工作者所掌握.在“复变函数”教学中, 由于虚数单位i无法感知, 较为抽象, 许多学生对这门课程理解有困难.我们如果从数形结合的角度, 对相关内容进行分析, 一定程度上能够促进学生的认知能力.复数的一般形式为z=a+bi, 它的几何表达式为z=r (cosθ+isinθ) , 这里r就是向量的模, θ就是向量的幅角, 它与二维平面中向量的两个特征正好是对应的.

三、思维总结

在大学数学的教学过程中, 教师要培养学生用直观的图形语言来刻画、思考问题的习惯, 利用图形来辅助学生对抽象概念和定理的理解.数形结合在研究问题的过程中, 注重把数和形结合起来考察, 直观地考察问题, 使复杂问题简单化, 抽象问题具体化, 数形兼顾, 从而找到简便易行的解决方案.在教学实践中, 运用数形结合还应该注意以下几个原则:

1. 启发性原则

将数形结合的思想贯穿于教学过程要注意启发学生思维, 激发学生的学习兴趣和积极性, 充分发挥学生的主体作用.在教学中运用启发式、探究式、问题引导式等方法由浅入深, 逐步渗透, 切忌教师“填鸭式”的灌输.兴趣是最好的老师, 学习数学尤其如此, 可以在适当的时候展示数学本身所具有的数形美感, 这样才能更好地提高课堂教学效果.

2. 双向性原则

在数形结合教学中, 既要进行几何的直观分析, 又要进行代数的精确计算, 两者相辅相成, 仅对代数问题进行几何分析, 或仅对几何问题进行代数计算, 许多时候是行不通的.

3. 等价性原则

等价性原则是指“数”的代数性质与“形”的几何性质的转换应该是等价的, 即对于所讨论的问题形与数所反映的关系应具有一致性.在解决一个问题之后, 应该让学生再理解一下所研究问题的代数意义和几何意义, 体会数学中统一之美.

数形结合不仅是一种重要的解题方法, 也是一种可使复杂问题简单化、抽象问题具体化的常用数学思想方法.要提高学生的数形结合能力, 需要教师耐心引导, 根据数与形的结合点, 恰当设参, 建立关系, 做好数形转化.

摘要：数形结合是数学中的一种重要思想方法.文章分析了数形结合的内涵, 在数学教学中实施的必要性, 并结合大学数学内容, 探讨了数形结合模式在线性代数和复变函数课程中的具体运用.

关键词：大学数学,数形结合,教学模式

参考文献

[1]徐文龙.“数形结合”的认知心理[D].广西师范大学, 2005.

[1]李尚志.从问题出发引入线性代数概念[J].高等数学研究, 2006 (5) 6-8.

12.数形结合课题结题报告 篇十二

龙游县塔石镇中心小学课题组

负责人：黄秀清 成员：徐根 郑素莹 柴巧云 郑丽萍

一、课题的现实背景与意义

（一）课题研究的现实背景

众所周知数与形这两个基本概念，是数学的两块基石，可以说全部数学大体上都是围绕这两个基本概念的提炼、演度、发展而展开的，在数学发展进程中，数和形常常结合一起，在内容上互相联系，在方法上互相渗透，在一定的条件下互相转化。

数与形的内在联系，也使许多代数学和数学分析的课题具有鲜明的直观性，而且往往由于借用了几何术语或运用了与几何的类比从而开拓了新的发展方向，例如，线性代数正是借用了几何中的空间，线性等概念与类比方法，把自己充实起来，从而获得了迅猛的发展。

数学学习，不单纯是数的计算与形的研究，其中贯穿始终的是数学思想和数学方法。其中，“数形结合”无疑是比较重要的一种。“数”与“形”既是数学的两个基本概念，也是数学学习的两个重要基础，它们分别发展的同时又互相渗透、互相启发着，共同推动着数学科学的向前发展。

（二）研究本课题的现实意义

在现实世界中，数与形是不可分离地结合在一起的，这是直观与抽象相结合、感知与思维相结合的体现。数与形相结合不仅是数学自身发展的需要，也是加深对数学知识的理解、发展智力、培养能力的需要。从表面上看来，中学数学内容可分为数与形两大部分，中学代数是研究数和数量的学科，中学几何是研究形和空间形式的学科，中学解析几何是把数和形结合起来研究的学科，实际上，在小学数学教学中都渗透了数与形相结合的内容。

著名数学家华罗庚指出：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，作为数学老师，应能认识到数形结合的思想所表现出来的思路上的灵活，过程上的简便。在小学阶段，虽然属于数学的起步阶段，但笔者认为渗透“数形结合”的意义有以下几点。

首先，懂得 “数形结合”的方法就能更好地理解和掌握数学内容。

第二，懂得“数形结合”的方法有利于记忆。学生懂得“数形结合”的数学思想方法后，对于小学数学知识的理解性记忆是非常有益的。

第三，懂得“数形结合”的方法有利于数学能力的提高。如果小学数学教师在教学中注重“数形结合”思想的渗透，那么，就能使学生学会正确思维的方法，从而促进学生数学能力的提高。

第四，“数形结合”的方法是联结小学数学和中学数学的一条红线。布鲁纳认为：“强调结构和原理的学习，能够缩小‘高级’知识和‘初级’知识之间的间隙。”一般地讲，小学数学和中学数学的界限还是比较清楚的，小学数学中有许多概念在中学数学中要赋予新的涵义。而在中学数学中全部保留下来的内容只有小学数学思想方法及与之有关的内容，而“数形结合”是其中重要的方法之一。因此，小学数学思想方法是贯穿小学数学和中学数学的一条纽带，“数形结合”更是连接小学数学与中学数学的一条红丝带。

二、国内外关于同类课题的研究综述

早在数学荫牙时期，人们在度量长度、面积和体积的过程中，就把数和形结合起来了。早在宋元时期，我国古代数学家系统地引进了几何问题代数化的方法，用代数式描述某些几何特征，把图形中的几何关系表达成代数式之间的代数关系，17世纪上半时，法国数学家笛卡几通过坐标系建立了数与形之间的联系，创立了解析几何学，后来，几何学中许多长期不得解决的问题，如尺规作图三大不能问题等，最终也是借助于代数方法得到完满的解决。

近来，在中学数学教学中研究得很多也比较透彻。虽然“数形结合”思想在小学数学教学中应用的研究还是很少，并且也不透彻。但其思想在中学数学教学中应用研究的经验与借鉴为本项课题研究打下了良好的基础。

三、课题研究的理论依据

思维是人脑对客观现实间接、概括的反映，反映的是事物的本质和内在的规律性，是人类认识的高级阶段。思维实现着从现象到本质、从感性到理性的转化，使人达到对客观事物的理性认识。人们通过思维，可以更深刻地把握事物，预见事物的发展进程和结果。小学生的思维是其智力的核心部分，小学生思维的发展，是其智力发展的标志和缩影。发展小学生的智力，主要应培养和训练他们的思维能力。

小学生的思维特点是：由形象思维逐步向抽象逻辑思维过渡，但这种抽象逻辑思维仍带有很强的具体形象性。尽管孩子的抽象思维在逐步发展，但是仍然具有很大成分的具体形象性.。因此，把比较抽象的几何定理与代数公式硬塞给小学生，一般说来，不易被接受。然而，从小学三、四年级以后，有意识地培养孩子的思维能力，更快地提高他们的思维水平却是可能的。

数学是一门逻辑性、系统性很强的学科,前面知识的学习,往往是后面有关知识的孕伏和基础,在新旧知识的联系上是非常紧密的。长期以来，由于人们忽视了形象思维在教学过程中的作用，使学科知识的理解过程脱离了学科思维方式的特点，使知识难以理解。为了培养更聪明和富有创造力的新一代，在教学中，不可忽视对学生的形象思维与逻辑思维的共同开发。

四、课题界定

“数形结合”是中学数学中比较重要的一种思想方法，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，在数的问题与形的问题之间互相转换，使数的问题图形化，形的问题代数化，从而巧妙地解决貌似困难、复杂的问题，达到事半功倍的目的。而在小学，学生正处于形象思维与逻辑思维并肩发展的阶段，在小学数学中，特别是新教材也渗透了“数形结合”的思想，在小学阶段更是培养学生的“数形结合”的思想好时期。在小学数学教学中教师要有意识地沟通数、形之间的联系,帮助学生逐步树立起“数形相结合”的观点,并使这一观点扎根到学生的认知结构中去,成为运用自如的思想观念和思维工具。

五、课题研究的内容及目标

（一）课题研究的内容

1、小学生“数形结合”意识的现状与分析

针对学生“数形结合”思想的现状，分析影响其“数形结合”思想的因素，研究出提高学生“数形结合”思想的相关措施或策略。

2、“数形结合”思想在“数”、“形”教学中的应用

数学概念反映客观事物空间形式与数量关系本质属性，在某些数学概念中运用“数形结合”能帮助学生更好的掌握概念。

3“数形结合”思想在解题教学中的应用

在小学数学中，“数形结合”用得最多的是应用题的分析求解中，通常是将数量关系转化成线段图。然而，这并不是唯一的方式。实际上，在不同的问题中，可将数量关系转化为不同的图形。

4、总结出“数形结合”思想在教学应用中的培养方式。

（二）课题研究的目标

1、充分发展学生的形象思维与逻辑思维，培养学生全面的数学素质。

2、培养学生具有敏感、主动的“数形结合”意识，能够根据需要去发现数学问题中的“数”与“形”，并且利用“数形结合”解决相关问题。

3、为中学及后来学习数学打下更扎实的基础，有利于推进素质教育。

六、课题研究的方法与步骤

（一）研究方法

1、文献研究法：查阅有关的理论书籍、文章，了解数形结合思想的内涵、发展情况和目前的研究成果等信息，使本课题的研究内涵和外延更加丰富，更加明确，更加科学。

2、调查分析法：调查分析本校及周边小学的数学教师和学生在数学的教与学中渗透“数形结合”思想的大致情况，通过对初中生数学学习的调查，了解小学数学与初中数学在“数形结合”方面的连结点及发展状况。以增加研究的针对性和实效性。在每学期末，采用情景调查与试卷调查的方法，检验科研成效。

3、行动研究法：将有关“数形结合”思想在数学课堂教学中的实践与研究的初步成果再应用于实践，是教师们在课题实施过程中遇到某个具体问题时，一起探寻解决问题的最好方法，也是本课题研究的主要方法。并在实践与研究中不断调整、补充、完善。

（二）研究步骤

1、准备阶段(2007.4――2007.5)第一阶段：实验前调查分析，学校组织讨论、分析有关数学教学中与学生“数形结合”思想培养有关的素材及因素，发掘已有的教学中学生“数形结合”思想培养的经验，收集、提炼第一手资料。并建立组织、查阅文献、寻找理论依据。

第二阶段：组织教师学习有关培养学生“数形结合”思想方面的文献资料，拟定自己的子课题方案，做好开题准备。

2、实施阶段(2007.9――2009.7)第一阶段：各子课题组实施研究，收集资料，完成阶段性总结报告，反思研究过程并作修正、完善。

第二阶段：继续实施研究，在研究中不断反思修正，对积累的材料进行分析，提炼、整合，定期进行学习、交流。

3、成果形成阶段(2009.7――2009.9)形成课题研究成果，撰写研究报告，编撰有关课题研究的论文和音像资料，做好结题鉴定工作。

七、课题研究的成果及其分析

（一）提高学生“数形结合”思想的策略

目前我们使用的北师大教材，不把数学课划分为“代数”、“几何”，而是综合为一门数学课，这样更有利于“数”与“形”的结合。只是，教材虽然从低年级起就提供了“数形结合”教学的素材供老师们挖掘，但是对“数形结合”的教学目标过于隐讳，还不太突现，教学上没有把学生“数形结合”的意识和能力培养作为数学教学的一个重要目标。

大多教师虽已意识到“数形结合”思想的重要性，却不知怎样渗透、如何培养。学生对“数形结合”的策略一般只是被动的模仿，学生的这方面认知结构不像数学知识那样系统化。因此数学教师在教学中要做好“数”与“形”关系的揭示与转化，运用“数形结合”的方法，帮助学生类比、发掘，剖析其所具有的几何模型，这对于帮助学生深化思维，扩展知识，提高能力都有很大的帮助。课题组研究出以下几点提高学生“数形结合”思想的策略：

1、在教学过程中渗透同一思维原则，充分利用教材，挖掘教材素材。教材中的数学知识，是前人认识的成果。学生学习时，通过认识活动把前人的认识成果转化为自己的知识，所以学习是一种再认识过程，学习某项知识所用的思维方式，同前人获得该项知识所用的思维方式应该是一致的。同一思维的原则，就是前人用什么思维方式获得的知识，学习时，要用同一种思维方式去掌握这些知识。“数形结合”是抽象与直观，思维与感知的结合，学习时就要把两种思维结合起来去理解、掌握这些知识。因此，“数形结合”教学活动中正确地运用思维方式，有机地把两种思维结合起来，是理解掌握知识的关键。此外，在教学中常思考：如何在小学的不同年龄段安排不同的数形结合内容，以适应学生的思维发展和几何直观能力发展的需要？

2、创设有利于学生直观思维的教学情境。

进行思维活动要有一定的知识经验为基础，没有已有知识、经验（表象）的参与，就没有思维活动。“数形结合”的学习活动既有抽象思维，又有形象思维。进行抽象思维一般要靠知识的新旧联系（迁移），进行形象思维主要靠表象的积累。当学生没有或缺乏教学内容有关的表象积累，或表象模糊的时候，必须用直观形象材料强化，充实孩子的感知，使孩子获得有关表象。很多课利用媒体课件创设更优，同时还提高课堂密度与教学效率。

3、对“数形结合”的培养建立起积极评价机智。

“数形结合”教学中也蕴含着丰富的情感因素：首先，数学知识是和科学美感融合在一起的。其次，教师对教材的体验、感受和对数学的热爱，通过教学对孩子起了良好的熏陶、感染的作用。第三，学生在学习数学过程中产生对数学的兴趣和爱好，成功解题带来的喜悦和愉快的情绪。这种伴随认知学习产生的情感，能成为支持和推动学习的动力。另一方面，教师应对孩子的学习行为及时给予正确的评价，肯定成绩，激起孩子学习的热情和信心。

（二）“数形结合”思想在“数”、“形”教学中的应用

心理学研究表明，儿童接受具体性文字中的信息比学习抽象性文字中的信息容易得多，其原因是由于具体名词能产生心理映像（如“凑十法”与“短除法”同是演算规则名词，但前者比后者更容易理解与记忆），而儿童利用形象的图式学习比用纯文字推演更有兴趣、更容易学习。

1、“数”的教学借助“形”的直观、依赖“形”来操作。

在小学数学教学中，可能小学低段数学教学中会出现的更多，刚学习“数”的加减法或乘除运算时，教师如何利用“形”来帮助学生理解掌握，还有就是在小学中高段数学教学中如何运用“形”来探索复杂的“数”的关系。

由于概念的抽象与概括性，教学时要向学生提供大量感性材料，而“形”的材料常常是最有效的。如在数小棒、搭多边形中认识整数，在等分图形中认识分（小）数；利用交集图理解公因数与公倍数等等。同样，运算的概念（如“除法”、“余数”）、数学术语（如“平均分”、“大于”）等等都需要“形”的参与。

数学性质是关于规律性的知识，应该让学生自主探索发现，而形的操作有助于发现规律。如教学“3的倍数的特征”可作如下设计：让学生用9根小棒摆出三位数，判断是否是3的倍数；8根、6根呢？操作中学生发现，组成的三位数是否是3的倍数只与小棒的根数有关，而与摆的方式无关，根数就是各数位上数的和。又如，“分数的基本性质”、“小数的性质”可以让学生在对图形的等分中理解。

2、“形”的教学借助“数”的描述、依赖“数”来巩固。

在小学数学教材中，“形”的学习从一年级到六年级都有安排，北师大版本称这一单元为“观察物体”。小学低段数学注重其“形”的直观感知即可，其实到了小学中高段数学就已经把“形”与“数”紧密联系起来了。

在教孩子认识各种图形时，“形”具有形象直观的优势，但也有其粗略、繁琐和不便于表达的劣势。只有以简洁的数学描述、形式化的数学模型表达“形”的特性，才能更好地体现数学抽象化与形式化的魅力，使儿童更准确地把握“形”。如“长方形”，学生从图形中感知获得的只是“长长的”、“方方的”，只有用数学语言揭示其特征（有4个角，都是直角；有4条边，对边相等）。又如，长方形面积计算，对长方形面积大小观念的建立从定性到定量，从直观比较到数方格，从摆小正方形（面积单位）到发现面积与长宽的关系，最终获得面积计算公式，使儿童从更深层面上认识了长方形。

几何图形的概念因为有了“数”的描述，进一步深化了儿童对“形”的直观知觉。几何图形的周长、面积、体积，因为有“数”的运算，用“数形结合”方法认识“形”、说明“形”的意义可以拓宽学生的视野，激发他们火热的数学思考，有利于学生进一步加深对“形”的理解，认识到“形”丰富的内涵。

（二）“数形结合”在解题教学中的应用研究

“数”与“形”是贯穿整个中小学数学教材的两条主线，更是贯穿小学数学教学始终的基本内容。“数”与“形”的相互转化、结合既是数学的重要思想，更是解决问题的重要方法。

作为解题方法，“数形结合”实际上包含两方面的含义：一方面对形的问题，用数的分析加以解决，另一方面对于数量间的关系问题，借助形的直观来解。因此，在教学实践中，我们运用“数形结合”思想进行教学，即把题中给出的数量关系转化成图形，由图直观地揭示数量关系，有利于活跃学生的思维，拓宽学生的解题思路，提高学生的解题能力，从而促进学生智力的发展。

1、“数形结合”化抽象为直观，激发了学生的数学兴趣。

小学低年级学生主要是凭借事物的具体形象来进行直观思维活动的，但小学应用题所明确的数量关系通常需要通过抽象思维来理解，这是在小学应用题教学中存在的突出矛盾，如把应用题中抽象的数量关系用恰当的、形象的图形表示出来，就可较好地解决这一矛盾。

案例1：“鸡兔同笼”的内容，在二年级有，五年级也有。如何让只有二年级的孩子们理解“鸡兔同笼”的问题呢？这里运用到的一个基本的学习方法就是让学生们动笔画一画，用一个简单的圆形来代替动物的头，用竖线来表示动物的脚，在画的过程中发现多了或少了可以马上就改。比如：鸡兔同笼，有6个头，20只脚，鸡兔各有多少只？

①先画6个头

②各画两只脚（假设都是鸡）

③都是鸡只有12只脚，不够8只，那再补充

这样，可以直观的看到有2只鸡，4只兔。大多学生对这类题目的第一个感觉是难，通过“数形结合”的思想化抽象为直观，感觉就是有趣了。

2、“数形结合”化繁杂为简单，理清了解题中的数量关系。

一些应用题，因其数量关系多，数值变化繁，学生掌握起来十分困难，一直是小学数学教学的重点、难点。如果充分运用数形结合思想，巧妙运用恰当的图形直观地表示其数量关系，常能产生意想不到的效果。

案例2：三年级上册“两步计算的实际问题”的教学，今年种了杨树168棵，今年种的松树的棵数是杨树的5倍。（1）今年种松树多少棵？（2）杨树和松树共有多少棵？第一个问题是简单的，第二个问题在第一个问题解决的基础上也不难。但教师在教学时，要考虑到，要是没有第一个问题，直接要我们求第二个问题呢。其实可以用两种方法来解决这个问题，其中用倍比方法解答是学生比较难以理解的。这时，线段图就起到了一个很好的辅助作用。可以引导学生利用学过的知识画出下面的图：

松树： 杨树： 是杨树的5倍 棵 杨树与松树一共有几棵？

借助线段图的直观作用，学生一下子就理解了“1+5=6，168×6=1008（棵）”的意思，根本不需要老师再多加解释。就这样，借助一个简单的线段图，很好地引导学生理解了两种数量之间的关系，倍比方法也就在轻松之中迎刃而解了。

3、“数形结合”化单一为多元，发展了学生的多方面数学能力。

同样的内容，可以通过多种形式进行练习，好的形式不仅让学生更好地掌握相关的数学知识，而且还能培养学生的创新能力与发散思维。

案例3：结束“三角形面积”的教学后，其中设计了一题目，三角形的面积是12平方厘米，并且三角形的高比底短，你觉得这个三角形的高有几厘米，底有几厘米？（高与底都是整厘米数）。对于这种只给出一个数字条件，要求得两个问题的解，部分学生开始会觉得束手无策，其实基本方法就是画图想数字: 8×

3÷

2=12c㎡

6×4÷2=12c㎡ 8cm 6cm 这不仅对三角形面积公式要“除2”印象更深了，而且对图形也有了数感。

（三）“数形结合”在教学应用中的培养方式

“数形结合”思想与其他数学思想方法一样，其形成都不是朝夕之间的，我们将数学学科特点与学生认知特点相结合，数形结合思想渗透在整个教学内容之中。

1、渗透——在教学过程中适时渗透数形结合思想

以具体知识为载体，数形结合思想融入其中，使学生对数形结合有一些初步 的感知和直觉，帮助学生对知识的理解与记忆，培养学生有意识记和理解识记。通过这些具体知识的学习和问题的解决，使学生了解数和形是两个不同的侧面，但在一定条件下又能达到统一。

2、揭示——通过典型例题的分析讲解突出数形结合思想的指导

以教材的相关内容为载体，向学生点破阐释，突出数形结合思想的应用。把形转化为数，用数量关系研究图形，把数转化成形，用形进一步掌握数，使学生获得解决问题的经验，形成技能，领悟数形结合的思想。

3、强化——把教材中渗透数形结合思想的内容系统化

美国心理学家斯金纳提出：行为之所以发生变化，是由于强化作用，学生要获得有效的数学学习就必须通过强化。桑代克说：一个已形成的可变连结，若加以应用，就会变强；一个已形成的可变连结，若久不用，就会变弱。教学要注意连续性，要经常地予以强调，并通过大量的综合而达到灵活运用。通过强化训练，有利于学生掌握如何解决新问题的方法，再经积累、概括、总结，不断获得创造性数学活动的经验，从而形成一定的数学能力。

八、课题后的反思

1、课题研究过程中，我们都太专注于“数形结合”教学课的准备与研究，而忽视了学生其他相关数学能力的发挥。

2、我们的研讨教学大都借助了媒体课件，感觉并不是所有的课都有这个必要，因为花了大把的时间做课件，可有的还不如在黑板上画一画那么明了直观。教学还应从内容出发，而不是为了形式。

2、学生数形结合思想的培养绝不是孤立的，受其观察、联想、问题转化等能力的制约，后继可以研究数形结合思想，如何与其他数学思想相辅相成，同步培养以至形成意识。主要参考文献：

1、蓝惠菊《让思想方法贯穿小学数学学习全过程》福建教育2007.10

2、蒋巧君《数形结合是促进学生意义建构的有效策略》小学数学教师2005