离散数学练

离散数学练（共8篇）（共8篇）

1.离散数学练 篇一

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

1、设集合M={a，}，N ={{a}，}则MN=（）。A、 B、{} C、{a} D、{{a}，，a}

2、设关系F={<1，a >，<2，2>，}，G={，，<1，2>}则 FG=（）。

A、{<1，b>，<1，c>，}

B、{，，<1，b>} C、{，<1，2>}

D、{，<2，2>，<1，b>}

3、设集合H={1，2，3，4}，则H上的关系R={

。x +y是偶数}具有（）A、自反性、反对称性和传递性

B、反自反性、反对称性和传递性

C、反自反性、对称性和传递性

D、自反性、对称性和传递性

4、设T是一棵完全二叉树，则T的每个结点都（）。

A、至少有两个子结点

B、至多有两个子结点

C、恰有两个子结点

D、可以有任意多个子结点

5、设R是实数集，“+，—，A、

>是群

B、是群

 >是半群

D、是独异点

6、下面关系中，函数关系是（）。

A、{，，}

B、{，，<1，x>} C、{<1，y>，<1，x>，}

D、{，，}

7、设是一个代数系统，若多任意的x，yS，都有xy=yx，则称运算在S上满足（）。

A、结合律

B、交换律

C、分配律

D、幂等律

8、设Z是整数集，“—”是整数减法，则下列说法正确的是（）。A、不是代数系统

B、的单位元是0

C、是代数系统

D、的单位元是1

9、设L是无向图G中的一条通路，L中的顶点各不相同，则L是一条（）。A、简单通路

B、初级通路

C、简单回路

D、初级回路

10、设G有6个3度点，2个4度点，其余顶点的度数均为0，则G的边数是（）。A、10

B、13

C、11

D、6

二、填空题(本大题共8题，共10个空，每空2分，共20分)

1、设关系R={，<2，1>，<2，b>}，则R逆关系R1=_______________________________。

2、在代数系统（Q是有理数集，“+”是有理数加法）中，单位元是______，2的逆元是___________。

3、设集合M={1，2，3，5}，则M的幂集P（M）包含___________个元素。

4、设T是一棵有n(n2)个顶点的树，则T有_____________条边。

5、设是一个代数系统，是S上的二元运算，若存在S，对任意xS，有x=x=，则称是的_______________。

6、设是一个代数系统，若满足结合律且中有单位元，则称为一个___________________。

7、设D是有向图，若D的基图是连通图，则称D是_________________图

8、既不含________________也不含____________________的无向图称为简单图。

三、计算题(本大题共3小题，每小题10分，共30分)

1、用等值演算法求公式A=(pq)(pr)的主析取范式。

2、求公式x(Q(x)G(x，s))(yP(y)zH(y，z))的前束范式。

3、设集合A={1，2，3，4，5}，关系R={（1）列出R的所有元素；（2）写出R的关系矩阵Mx，y A且x整除y}，要求：

R；

（3）求偏序集的极大元、极小元和最小元。

四、应用题(本大题共2小题，每小题5分，共10分)

1、用命题公式将下列命题符号化： 2和5是偶数，当且仅当5>2。

2、用谓词公式将下列命题符号化：

每个计算机专业的学生都要学《编译原理》，但有些计算机专业的学生不学《经济学》。

五、证明题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）

1、在命题逻辑系统中用归结法证明下列推理是有效的： 前提：sq，pq，s 结论：p

2、在谓词逻辑系统中写出下列推理的（形式）证明：

前提：x(M(x)P(x))，x(M(x)G(x))，x(G(x))结论：xP(x)

计算题

6.设命题公式G = (P→Q)∨(Q∧(P→R)), 求G的主析取范式。

7.(9分)设一阶逻辑公式：G =(xP(x)∨yQ(y))→xR(x)，把G化成前束范式.9.设R是集合A = {a, b, c, d}.R是A上的二元关系, R = {(a,b),(b,a),(b,c),(c,d)},(1)求出r(R), s(R), t(R)；(2)画出r(R), s(R), t(R)的关系图.11.通过求主析取范式判断下列命题公式是否等价：

(1)G =(P∧Q)∨(P∧Q∧R)

(2)H =(P∨(Q∧R))∧(Q∨(P∧R))13.设R和S是集合A＝{a, b, c, d}上的关系，其中R＝{(a, a),(a, c),(b, c),(c, d)}，S＝

{(a, b),(b, c),(b, d),(d, d)}.(1)试写出R和S的关系矩阵；(2)计算R•S, R∪S, R1, S1•R1.－

－

－证明题

1.利用形式演绎法证明：{P→Q, R→S, P∨R}蕴涵Q∨S。2.设A,B为任意集合，证明：(A-B)-C = A-(B∪C).3.(本题10分)利用形式演绎法证明：{A∨B, C→B, C→D}蕴涵A→D。4.(本题10分)A, B为两个任意集合，求证：

A－(A∩B)=(A∪B)－B.答案：

1-5

BADBB 6-10 BBABB

1.{<1，a>，<1，2>，} 2.0，-2 3.16 4.n-1 5.零元 6.半群 7.弱连通 8.平行边

环 三．

(pq)(pr)(pq)(pr)1.(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)m011m010m111m1012.x(Q(x)G(x,s))yz(P(y)H(y,z))

yzx((Q(x)G(x,s))(P(y)H(y,z))3.(1)R{1,1,2,2,3,3,4,4,5,5,1,2,1,3,1,4,1,5,2,4}

12(2)MR345123451111101010

（3）最小元=1 极小元=1 极大元=5 001000001000001四

1.令p表示2是偶数；令q表示5是偶数；r表示5>2；

(pq)r

2.S（x）：x是计算机专业的学生；G（x）：x要学《编译原理》； F（x）：x学经济学；

x(S(x)G(x))x(S(x)F(x))

五 1，（1）

s

前提引入（2）

sq

前提引入（3）

qs

置换规则

（4）

q

1,3析取三段论（5）

pq

前提引入（6）

p

4,5拒取

（1）

x(M(x)G(x))

前提引入（2）

M（x）v G（x）

EI规则（3）

x(G(x))

前提引入（4）

G(x)（5）

M(x)

AI规则

2,4析取三段论

（6）

x(M(x)P(x))

前提引入（7）

M(x)→P（x）

AI规则（8）

P（x）

5,7假言推理（9）

xP(x)

EG规则

6.G = (P→Q)∨(Q∧(P→R))

= (P∨Q)∨(Q∧(P∨R))=(P∧Q)∨(Q∧(P∨R))=(P∧Q)∨(Q∧P)∨(Q∧R)=(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)=(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)= m3∨m4∨m5∨m6∨m7 = (3, 4, 5, 6, 7).7.G =(xP(x)∨yQ(y))→xR(x)

= (xP(x)∨yQ(y))∨xR(x)=(xP(x)∧yQ(y))∨xR(x)=(xP(x)∧yQ(y))∨zR(z)= xyz((P(x)∧Q(y))∨R(z))9.(1)r(R)＝R∪IA＝{(a,b),(b,a),(b,c),(c,d),(a,a),(b,b),(c,c),(d,d)}, s(R)＝R∪R1＝{(a,b),(b,a),(b,c),(c,b)(c,d),(d,c)}, －t(R)＝R∪R2∪R3∪R4＝{(a,a),(a,b),(a,c),(a,d),(b,a),(b,b),(b,c),(b,d),(c,d)}；(2)

关系图: abr(R)dcabs(R)dabt(R)dc c

11.G＝(P∧Q)∨(P∧Q∧R)＝(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)＝m6∨m7∨m3 ＝(3, 6, 7)H =(P∨(Q∧R))∧(Q∨(P∧R))＝(P∧Q)∨(Q∧R))∨(P∧Q∧R)＝(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)＝(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)＝m6∨m3∨m7 ＝(3, 6, 7)G,H的主析取范式相同，所以G = H.1013.(1)MR00000011000000

MS10001000010001 01(2)R•S＝{(a, b),(c, d)}, R∪S＝{(a, a),(a, b),(a, c),(b, c),(b, d),(c, d),(d, d)}, R1＝{(a, a),(c, a),(c, b),(d, c)}, －S1•R1＝{(b, a),(d, c)}.－－四 证明题

1.证明：{P→Q, R→S, P∨R}蕴涵Q∨S

(1)P∨R

(2)R→P(3)P→Q(4)R→Q(5)Q→R(6)R→S

P Q(1)P Q(2)(3)Q(4)P

(7)Q→S(8)Q∨S Q(5)(6)Q(7)2.证明：(A-B)-C =(A∩~B)∩~C

3.= A∩(~B∩~C)= A∩~(B∪C)= A-(B∪C)证明：{A∨B, C→B, C→D}蕴涵A→D(1)A D(附加)P(2)A∨B(3)B Q(1)(2)P Q(4)(4)C→B(5)B→C(6)C

Q(3)(5)P(7)C→D(8)D Q(6)(7)D(1)(8)(9)A→D

所以 {A∨B, C→B, C→D}蕴涵A→D.1.证明：A－(A∩B)

= A∩~(A∩B)＝A∩(~A∪~B)＝(A∩~A)∪(A∩~B)＝∪(A∩~B)＝(A∩~B)＝A－B 而(A∪B)－B =(A∪B)∩~B =(A∩~B)∪(B∩~B)=(A∩~B)∪ = A－B 所以：A－(A∩B)=(A∪B)－B.

2.离散数学练 篇二

一、离散数学在数学教学中有着重要意义

自从公元前600年到公元前300年之间, 古希腊数学的产生使数学成为一门学科以来, 数学两千多年的发展表明, 数学研究基本上是沿着“离散———连续——离散”的轨迹向前推进的.数学是从离散计数和算术开始的, 并在相当长的时间里主要研究离散对象, 直到17世纪微积分的创立, 数学的研究重心才转向连续对象, 然而19世纪集合论的创立、抽象代数学的建立、数理逻辑的兴起, 以及20世纪下半叶组合数学和图论的迅速发展, 又标志着离散数学的再次兴起.其中集合论是现代数学的基础, 其许多基本思想、方法、定理、符号已广泛地渗透到数学的各个领域.抽象代数学对现代数学的发展也有显著的影响, 它不仅为全部数学提供了有力工具, 而且在物理学、化学、计算机科学、控制论等学科中有广泛的应用.由于离散数学的重要意义, 美国总统科学顾问在给克林顿的科学咨询报告中, 将离散数学列为21世纪应重点发展的三个数学领域之一.中国科学院也已成立了离散数学研究中心, 并得到国家的重点资助.

二、离散数学的特点

1.离散数学以研究离散量的结构及其相互间的关系为主要目标.其研究对象一般地是有限个或可数个元素, 因此, 它充分描述了计算机科学离散性的特点.

2.定义和定理多.离散数学是建立在大量定义之上的逻辑推理学科, 因此对概念的理解是我们学习这门学科的核心.在学习这些概念的基础上, 要特别注意概念之间的联系, 而描述这些联系的实体则是大量的定理和性质.概念与定理的相互关系可以通过图1来表示.

在复习的时候, 对重要知识的记忆, 务必以“准确、全面、完整”为标准来要求自己.

3.方法性强.离散数学的证明题中, 方法性是非常强的, 如果知道一道题用怎样的方法证明, 很容易就可以证出来, 反之则事倍功半.所以在平时的复习中, 要善于总结, 这样当遇到比较陌生的题时, 就可以游刃有余了.

4.抽象性强.离散数学具有高度的抽象性和应用的广泛性, 所以离散数学又称为计算机科学的抽象软件.

5.系统性和逻辑性.离散数学具有逻辑性和系统性的特点.学生通过离散数学的学习, 会使他们的逻辑推理能力得到一定的提高.

除此之外, 离散数学还有具符号化和形式化的特点, 其各个分支呈线性关系.

三、离散数学的结构体系

自古以来, 许多科学家都争论于“理论”的“真”与“假”.而在离散数学中引进的第一个概念就是命题.所谓命题就是具有真假意义的陈述句, 且规定当命题的真值为真时用T表示, 当命题的真值为假时用R表示这样, 就把命题逻辑的研究对象符号化和数值化了.为了说明各个命题之间的关系, 又引入了逻辑连接词, 如A∨B, A∧B, A→B的真值, 于是命题逻辑完全符号化和数值化了.

用数理逻辑的形式描述:

A∩B={x∣x∈A∧x∈B};

A∪B={x∣x∈A∨x∈B}.

于是数理逻辑把推论理论完全数量化了.

函数是关系的子集, 并且规定关系的左复合运算为函数的复合运算.由于各本书上的定义角度不同, 所以函数有全函数、偏函数、单值函数和多值函数之分函数既然是一个集合, 集合上的运算当然可以在函数上进行, 但是应该注意的是两个原来定义下的函数经过运算后不一定是原来定义下的函数.例如两个单值全函数作并运算后可能是一个多值函数, 而两个单值全函数作出运算之后可能是一个偏函数, 等等.

四、高师数学专业离散数学教学目的及教学要求

把离散数学的几个部分在一门课中讲授, 在教学上不应该也不可能作太高的要求, 因此对离散数学课程的定位应该实事求是.笔者认为将其定位为数学专业的重要基础课比较合适, 在教学上应该注重基础理论和基本方法的介绍和基本能力的培养, 而把更进一步的内容留待后继课程.根据这个定位, 笔者认为高师数学专业离散数学课程的教学目的应该是通过本课程的学习, 使学生了解和掌握离散数学的基础理论和基本方法, 培养学生严格的逻辑推理能力、抽象思维能力以及运用知识解决问题的能力, 为今后进一步学习相关知识打下较好的基础.

五、离散数学的发展

由于离散数学在数字电路、编译原理、数据结构、操作系统、数据库系统、算法的分析与设计、人工智能、计算机网络等各个方面被广泛的应用, 所以, 随着计算机科学和社会的发展离散数学必然会得到迅猛的发展同时, 该课程所提供的训练十分有益于学生概括抽象能力、逻辑思维能力、归纳构造能力的提高, 十分有益于学生严谨、完整、规范的科学态度的培养.

摘要：计算机科学之所以能够迅猛的发展, 是由于有数学理论作为基础.因为, 无论计算机科学本身, 还是与计算机科学及其应用密切相关的现代科学研究领域, 都面临着如何对离散结构建立相应的数学模型;又如何将已用连续数量关系建立起来的数学模型离散化, 从而可由计算机加以处理.所以对于离散数学的学习就显得尤为重要.

关键词：离散化,数学,研究

参考文献

[1]刘金魁.“离散数学”教学探析.焦作大学学报, 2006 (7) .

3.浅谈离散数学教学方法 篇三

关键词：离散数学教学方法教学手段

近50多年来，随着数字电子计算机的飞速发展与广泛应用，现代数学受到了极大的冲击。由于数字电子计算机是一个离散结构，它只能处理离散的或离散化了的数量关系。因此，无论计算机科学本身，还是与计算机科学及其应用密切相关的现代科学研究领域，都面临这样一些问题：如何高速、有效地处理离散的对象和离散的数量关系，如何对离散结构建立离散数学模型，又如何将已用连续数量关系建立起来的数学模型离散化，从而可由计算机加以处理。于是，人们开始认识离散数量关系的研究意义，重视讨论离散数量关系的数学分支，并取得新的发展。离散数学就是在这样的背景下应运而生。

近年来，计算机科学与技术正在以惊人的速度发展，对人类社会的各个领域产生着日益广泛和深入的影响。“离散数学”作为计算机科学与技术的数学基础，也因此更加显示其重要性。其基本思想、概念和方法广泛地渗透到计算机科学与技术的各个领域，其基本理论和研究成果全面而系统地影响和推动着计算机科学与技术的发展。离散数学是计算机科学的基础内容，计算机技术的许多领域都要用到离散数学中的概念。它还不断地走入物理、化学、生物等自然科学以及经济、教育等社会科学中，并取得日益广泛的应用。有人预计，未来社会将有越来越多的人学习离散数学，就像当今人们学习高等数学教程一样。总之，为了适应计算机技术的要求及将来的发展，学生需要对离散数学有比较深入的理解。

笔者结合近年来从事离散数学课程教学的实际，对离散数学课程教学内容、教学方法、教学手段等方面进行初步探讨。

一、離散数学的内容及特点

1.离散数学的内容较多

按照传统的方式可把其分为：数理逻辑、集合论、代数系统和图论四大部分，这四个部分是非常基础的，也是主要内容。从具体的方面来看，数理逻辑部分在计算机硬件设计中的应用尤为突出。利用命题中各逻辑联结词的运算规律，把由高到低电平表示的各信号之间的运算与二进制数之间的运算联系起来，使得我们可以用数学的方法来解决电路设计问题。集合论是构造所有离散结构的基础，在数据库、数据结构中有广泛的应用，如利用关系理论使数据库由层次型、网络型变为关系型数据格式，使数据表示、数据存储、数据处理变得易行，使逻辑结构简单、数据独立性强、数据共享、数据冗余可控和操作简单等。代数系统是用代数的方法构造数学模型对程序理论、数据结构、形式语言、自动机、数据安全、编码理论机。图论对开关理论与逻辑设计、人工智能、形式语言、计算机制图、操作系统、程序的编写以及信息的组织与检索起重要作用。

2.离散数学各部分相互独立

离散数学是建立在大量定义之上的逻辑推理学科，因此对概念的理解是我们学习这门学科的核心。正如这门课程的名称一样，离散数学不仅每部分处理的对象是离散的，即仅研究有限个或可列个元素间的联系和结构。同时，这几部分间的联系也不太紧密，各部分自成一理论体系，相互独立。此即意味着并不是第一部分内容学不好，后面部分也学不好。

3.学习方法性较强

离散数学的计算和证明题中，方法性是非常强的，有时要用到不同的数学专业知识。比如，用关系矩阵来判断等价关系，必须掌握矩阵的初等行变换。因此，如果知道一道题用怎样的方法证明，很轻易就可以证出来，反之则事倍功半。所以在平常学习中，要善于总结，那么遇到比较陌生的题也可以游刃有余了。

4.有很明显的实践性

离散数学突出学科理论与实践相结合的特征。结合实例讲解理山，五代时期泉州改制为清源郡，又称为‘清源’；到了秦朝，泉州郡治设在福州，泉州位于福州南面，也称‘泉南’；唐中后期，整个泉州城遍种海外传入的刺桐树，花红似火，被称为‘刺桐城’（《泉州博物馆》）。”从不同的角度对泉州的名称进行了介绍，全面具体，不仅给游客提供了丰富的文化知识，而且增强了导游讲解的趣味性。

3.溯名，是对一名称的成因或来源进行解释、说明的修辞技巧，常用于一些地名、特产名等风物名称的解释和说明。在导游讲解中对附着在被游览景观上的文化内涵及相关知识进行详细的说明，可以满足游客求知的心理需求，同时也使导游讲解充满文化气息和知识底蕴。如“鼓山风景区是国家重点风景名胜区，主峰海拔969米，相传峰顶有一巨石，形状如鼓， 每当风雨交加，其石簸荡，犹如鼓声传出，故名鼓山。”运用溯名法，对“鼓山”名称的由来进行了详细的介绍，使观众不仅知其然，而且知其所以然。

（二）反义修辞

1.对比，是将两种相互对立的事物或几种不同的事物的不同方面放在一起进行比较、对照的修辞方式。它具有明显的修辞效果，能使对比各方相辅相成，相得益彰，使对比各方的特征都能得到进一步的强调，给人留下深刻印象。如：马王堆西汉女尸明显不同于呈干瘪状的“木乃伊”和表面似腊制模型躯壳的“尸腊”，也不同于骨骼脱钙软化而易于折断的“泥炭鞣尸”，因此国际上将这类历史悠久、软组织仍有弹性、内脏俱在的“湿尸”，命名为“马王堆尸”。这是将两个相反相对的事物摆在一起进行比较，使介绍文物的特点得到了进一步突出，而且使主题表达更加鲜明。

2.对顶，是将两个具有反义关系的词语巧妙地连用，使之互相映衬的修辞技巧。对顶技巧的运用，有助于深入地揭示游览客体的内涵，表现游览景观一些相反相成的特点。如“整个岩洞崎岖难行，忽上忽下，忽左忽右；或见青天丽日，或见古藤垂挂；或觉寒风习习，或感暖气融融。更奇妙的是，有一处，伸开双手。一边暖，一边凉。这个将军十八洞一进一出需要2个多小时，也有人美其名曰‘天下第一洞’。”（ 福鼎太姥山·美人洞） 连用“上下”、“左右”、“寒暖”、“暖凉”和“进出”等意义相反的词语，互相映衬，强调突出了美人洞的特点，让游客不得不惊叹于美人洞的奇妙。

在诸多的导游语言技巧中，修辞是不容忽视的重要手段之一，而善于运用语音、语义修辞，无疑可以更有效地吸引游客的注意力。

参考文献：

[1] 韩荔华.导游语言概论[M].北京：旅游教育出版社，2005.

[2] 谢新暎. 浅谈修辞技巧在导游词中的运用[J].咸宁学院学报，2010（07）.论

4.离散数学习题五 篇四

1.设个体域D={a,b,c}，在D中消去公式x(F(x)yG(y))的量词。甲乙用了不同的演算过程：

甲的演算过程如下： x(F(x)yG(y))x(F(x)(G(a)G(b)G(c)))(F(a)(G(a)G(b)G(c)))

(F(b)(G(a)G(b)G(c)))(F(c)(G(a)G(b)G(c)))(F(a)F(b)F(c))(G(a)G(b)G(c))乙的演算过程如下：

x(F(x)yG(y))xF(x)yG(y)(F(a)F(b)F(c))(G(a)G(b)G(c))

显然，乙的演算过程简单，试指出乙在演算过程中的关键步骤。

解：乙在演算中的关键步骤是，在演算开始就利用量词辖域收缩与扩张等值式，将量词的辖域缩小，因而演算简单。

2.设个体域D={a,b,c}，消去下列各式的量词：

(1)xy(F(x)G(y))(2)xy(F(x)G(y))(3)xF(x)yG(y)(4)（xF(x,y)yG(y))

解：

（1）(F(a)F(b)F(c))(G(a)G(b)G(c))（2）(F(a)F(b)F(c))(G(a)G(b)G(c))（3）(F(a)F(b)F(c))(G(a)G(b)G(c))（4）(F(a,y)F(b,y)F(c,y))(G(a)G(b)G(c))在（1）（2）（4）中均将量词的辖域缩小，所以演算结果都比较简单

3.设个体域D={1,2}，请给出两种不同的解释I1和I2，使得下面公式在I1下都是真命题，而在I2下都是假命题。（1）x(F(x)G(x))（2）x(F(x)G(x))解：

解释I1为：个体为实数集合R，F(x)：x为自然数，G(x)：x为整数。在I1下，（1）为自然数都是整数，（2）为存在整数为自然数。他们都是真命题

解释I2为：个体域仍为实数集R，F(x)：x是无理数，G(x)：x能表示成分数，在I2下，（1）为无理数都能表示成分数，（2）为存在能表示成分数的无理数，他们都是假命题

4.给定公式AxF(x)xF(x)

（1）在解释I1中，个体域D1={a}，证明公式A在I1下的真值为1.（2）在解释I2中，个体域D2={a1,a2,,an}，n2,A在I2下的真值还一定是1吗？为什么？ 解：

（1）在I1下，xF(x)xF(x)F(a)F(a)F(a)F(a)1（2）在I2下

xF(x)xF(x)(F(a1)F(a2)F(an))(F(a1)F(a2)F(an))

为可满足式，设F(x)：x为奇数，aii,i1,2,n,n2，此时，蕴涵式前件为真，后件为假，故蕴含式为假，若令F(x)；x为整数，则蕴含式前后件均为真，所以（2）中公式在I2下为可满足式

5.给定解释I如下：（a）个体域D={3,4}；（b）f(x)为f(3)4,f(4)3;

（c）F(x,y)为F(3,3)F(4,4)0,F(3,4)F(4,3)1.试求下列公式在I下的真值。

(1)xyF(x,y)(2)xyF(x,y)(3)xyF(x,y)F(f(x),f(y)))

解：

（1）

xyF(x,y)x(F(x,3)F(x,4))(F(3,3)F(3,4))(F(4,3)F(4,4))111（2）

x(F(x,3)F(x,4))(F(3,3)F(3,4))(F(4,3)F(4,4)0（3）

x((F(x,3)F(f(x),f(3)))(F(x,4)F(f(x),f(4))))(((F(3,3)F(f(3),f(3)))(F(3,4)F(f(3),f(4))))(((F(4,3)F(f(4),f(3)))(F(4,4)F(f(4),f(4))))1

6.甲使用量词辖域收缩与扩张等值式进行如下演算

x(F(x)G(x,y))xF(x)G(x,y)

乙说甲错了，乙说的对吗？为什么？

解：乙说的对，甲错了，全称量词的指导变元x，辖域为(F(x)G(x,y))，其中F(x)与G(x,y)都是x的约束变元，因而不能讲量词的辖域变小

7.请指出下面等值运算的两处错误

xy(F(x)(G(y)H(x,y))xy(F(x)(G(y)H(x,y))xy((F(x)G(y))H(x,y))

解：

演算的第一步，应用量词辖域收缩与扩张算值式时丢掉了否定连接词，演算的第二步，在原错的基础上又用错了等值式

(F(x)G(y)H(x,y))和(F(x)G(y)H(x,y))不等值

8.在一阶逻辑中将下列命题符号化，要求用两种不同的等值形式（1）没有小于负数的正数

（2）相等的两个角未必都是对顶角 解：

（1）x(F(x)G(x))x(G(x)F(x))

其中F(x)：x小于负数，G(x)：x是正数

（2）xy(F(x)F(y)H(x,y)L(x,y)xy(F(x)F(y)H(x,y)L(x,y))其中F(x)：x是角，H(x,y)：x=y，L(x,y)：x和y是对顶角

9.设个体域D为实数集合，命题“有的实数既是有理数又是无理数”，这显然是个假命题。可是某人却说这是真命题，其理由如下

设F(x)：x是有理数，G(x）：x是无理数。xF(x),xG(x)都是真命题，于是，xF(x)xG(x)x(F(x)G(x))由于xF(x)xG(x)是真命题，故x(F(x)G(x))也是真命题，即有的实数是有理数，也是无理数这个人的结论对吗？为什么？ 解：存在量词对无分配律

10.在求前束范式时有人说x(F(x)G(x,y))已是前束范式，理由是量词已在公式的前面，他说的对吗？为什么？

解：在前束范式中，否定联结词不能在量词前面出现 11.有人说无法求公式

x(F(x)G(x))xG(x,y)的前束范式，因为公式中的两个量词的指导变元相同。他的理由对吗？为什么？ 换名规则可以使两个指导变元不相同 12.求下列各式的前束范式：(1)xF(x)yG(x,y)(2)x(F(x,y)yG(x,y,z))(3)xF(x,y)xG(x,y)

(4)x1(F(x1)G(x1,x2))(x2H(x2)x3L(x2,x3))(5)x1F(x1,x2)(F(x1)x2G(x1,x2))解：

（1）xy(F(x)G(z,y))（2）xt(F(x,t)G(x,t,z))

（3）x1x2x3x4((F(x1,y)G(x2,y))(G(x3,y)F(x4,y)))（4）y1y2y3((F(y1)G(y1,x2))(H(y2)L(x2,y3)))（5）y1y2(F(y1,x2)(F(x1)G(x1,y2)))

13.将下列命题符号化，要求符号化的公式权威前束范式：（1）有点火车比有的汽车跑的快（2）有的火车比所有的汽车跑的快

（3）说有的火车比所有汽车跑得快是不对的（4）说有的飞机比有的汽车慢也是不对的 解：

（1）xy(F(x)G(y)H(x,y))其中F(x)：x是汽车 G(y):y是 火车 H(x,y)：x比y跑得快（2）xy(F(x)(G(y)H(x,y)))其中F(x)：x是火车 G(y):y是 汽车 H(x,y)：x比y跑得快

（3)xy(F(x)G(y)H(x,y))其中F(x)：x是火车 G(y):y是 汽车H(x,y)：x比y跑得快

（4）xy(F(x)G(y)H(x,y))其中F(x)：x是飞机 G(y):y是 汽车 H(x,y)：x比y跑得慢

14.在自然推理系统F中，指出下面各证明序列中的错误：（1）①F(x)xG(x)前提引入

②F(c)G(c)①EI规则（2）①xF(x)yG(y)前提引入

②F(a)F(b)①EI规则（3）①F(y)G(y)前提引入

②x(F(x)G(x))①EG规则（4）①F(a)F(b)前提引入

②x(F(x)G(x))①EG规则（5）①F(c)G(c)前提引入

②x(F(x)G(x))①UG规则

解：（1）对F(x)xG(x)不能使用EI规则，它不是前束范式，首先化成前束范式F(x)xG(x)x(F(y)G(x))，因为量词辖域(F(y)G(x)中，除了x还有自由出现的y所以不能用EI规则

（2）对xF(x)yG(y)也应该先化成前束范式才能消去量词，其前束范式为xy(F(x)G(y))，要消去量词，既要用UI规则，又要用EI规则（3）这里A(y)=F(y)G(y)满足要求

（4）这里，使F(a)为真的a不一定使G(a)为真，同样的，使G(b)为真的b不一定使F(b)为真

（5）这里，c为个体常项，不能对F(c)G(c)引入全称量词 15.在自然推理系统F中，构造下面推理的证明：（1）前提：xF(x)y((F(y)G(y))R(y)),xF(x)

结论：xR(x)

（2）前提：x(F(x)(G(a)R(x))),xF(x)

结论：x(F(x)R(x))（3）前提：x(F(x)G(x)),xG(x)

结论：xF(x)

（4）前提：x(F(x)G(x)),x(G(x)R(x)),xR(x)

结论：xF(x)

（1）证明：1 xF(x)

前提引入 xF(x)y((F(y)G(y))R(y))

前提引入

y((F(y)G(y))R(y)

2假言推理

F(c)EI(F(c)G(c))R(c)

UI F(c)G(c)

附加

R(c)6假言推理

xR(x)

7EG

（2）证明：1 xF(x)

前提引入

x(H(x)),xF(x)x(F(a)G(a))),G(a)I(y)H(a)x(F(x)(G(a)R(x)))

x(G(a)H(a)I(a))前提引入 F(c)EI F(c)(G(a)R(c))

UI G(a)R(c)4假言推理

R(c)

5化简

F(c)R(c)6合取

x(F(x)R(x))

7EG

（3）证明：1 xF(x)

前提引入xF(x)

1置换F(c)

2UI

x(F(x)G(x))

前提引入F(c)G(c)

4UI

6F(c)5析取三段论xF(x)

6EG(4)证明：1 x(F(x)G(x))

前提引入

F(y)G(y)UI x(G(x)R(X))

前提引入

G(y)R(y)

UI xR(x)

前提引入

R(y)

5UI G(y)

6析取三段论

8F(y)

27析取三段论

xF(x)

UG 16.找一个解释I，在I下，使得xF(x)xG(x)为真，而使得x(F(x)G(x))为假，从而说明xF(x)xG(x)x(F(x)G(x))。解：取个体域为自然数集合N，F(x):x为奇数，G(x):x 为偶数。显然在以上解释下xF(x)xG(x)为真而x(F(x)G(x))为假。

17.给定推理如下：

前提：x(F(x)G(x)),x(H(x)G(x))

结论：x(H(x)F(x))。

有些人给出的证明如下：

证明：

①xH(x)附加前提引入

②H(y)

③x(H(x)G(x))

④H(y)G(y)

⑤G(y)

⑥x(F(x)G(x))

⑦F(y)G(y)

⑧F(y)

⑨xF(x)

解：根据16题可知两公式并不等价。

①UI 前提引入 ③UI ②⑤假言推理 前提引入 ⑥UI ⑤⑦拒取式 ⑧UG 并且说，由附加前提证明法可知，推理正确，请指出以上证明的错误。18.给出上题（17）推理的正确证明（注意，不能使用附加前提证明法）。

证明：1 x(F(x)G(x))

前提引入

x(H(x)G(x))

前提引入

F(y)G(y)UI H(y)G(y)

2UI G(y)F(y)

3置换H(y)F(y)5假言三段论x(H(x)F(x))UG

19.在自然推理系统F中，构造下列推理的证明：

前提：xF(x)xG(x)

结论：x(F(x)G(x))

证明：1xF(x)xG(x)

前提引入 yF(y)xG(x)

换名规则

yx(F(x)G(x))化简

x(F(x)G(x))EI

20.在自然推理系统F中，构造下列推理的证明（可以使用附加前提证明法）：（1）前提：x(F(x)G(x))

结论：xF(x)xG(x)（2）前提：x(F(x)G(x))

结论：xF(x)xG(x)

证明：（1）.1xF(x)

附加前提引入

F(y)UI x(F(x)G(x))

前提引入

F(y)G(y)

3UI G(y)3假言推理

xG(x)

（2）1 xF(x)

附加前提引入xF(x)

置换原则F(c)

2EI

x(F(x)G(x))

前提引入

F(c)G(c)

UI

G(c)

5析取三段论xG(x)

EG 21.在自然推理系统中，构造下面推理的证明：

没有白色的乌鸦，北京鸭都是白色的。因此，北京鸭都不是乌鸦。

设F(x):x是乌鸦，G(x)：x是北京鸭，H(x):x是白色的。前提 x(F(x)H(x)),x(G(x)H(x))结论 x(G(x)F(x))

证明：1 x(F(x)H(x))

前提引入 2 x(F(x)H(x))

置换原则 3 x(F(x)H(x))

置换原则 4 x(H(x)F(x))

H(y)F(y)

4UI 6 x(G(x)H(x))

前提引入 7 G(y)H(y)

5UI 8 G(y)F(y)

7假言三段论 9 x(G(x)F(x))

8UG 22.在自然推理系统F中，构造下面推理的证明：

(1)偶数都能被2整除。6是偶数。所以6能被2整除。

(2)凡大学生都是勤奋的。王晓山不勤奋，所以王晓山不是大学生。

（1）设F(x):x为偶数，G(x)：x能被2整除 前提 x(F(x)G(x)),F(6)结论 G(6)证明：1 x(F(x)G(x))

前提引入

F(6)G(6)

1UI F(6)

前提引入 G(6)

3假言推理

(2)设F(x):x是大学生，G(x)：x是勤奋的，a 王晓山 前提 x(F(x)G(x)),G(a)，结论 F(a)

证明：1 x(F(x)G(x))

前提引入

F(a)G(a)

1UI G(a)

前提引入

F(a)3 据取式

23.在自然推理系统F中，证明下面推理：

（1）每个有理数都是实数。有的有理数是整数。因此，有的实数是整数9（2）有理数，无理数都是实数。虚数不是实数。因此，虚数既不是有理数也不是无理数。

（1）设F(x):x是有理数，G(x)：x实数，H(x):x是整数

前提 x(F(x)G(x))，x(F(x)H(x))

结论 x(G(x)H(x))

(2)设F(x):x是有理数，G(x)：x是无理数，H(x):x是实数，I(x):x是虚数 前提 x((F(x)G(x))H(x)),x(I(x)H(x))结论 x(I(x)(F(x)G(x)))

证明：1 x(I(x)H(x))

前提引入

I(y)H(y)

UI x((F(x)G(x))H(x)), 前提引入

4(F(y)G(y))H(y)UI H(y)(F(y)G(y))

置换 I(y)(F(y)G(y))

5假言三段论

x(I(x)(F(x)G(x))

UG 24.在自然推理系统F中，构造下面推理的证明：

每个喜欢不行的人都不喜欢骑自行车。每个人或者喜欢骑自行车或者喜欢乘汽车。有的人不喜欢乘汽车，所以有的人不喜欢步行。（个体域为人类集合）

设F(x):x喜欢步行，G(x)：x喜欢骑自行车，H(x):x喜欢乘汽车 前提 x(F(x)G(x)，x(G(x)H(x)),xH(x)结论 xF(x)

证明：1 xH(x)

前提引入

H(c)

UI x(G(x)H(x))

前提引入

G(c)H(c)UI G(c)

4析取三段论

x(F(x)G(x))

前提引入

F(c)G(c)

UI

F(c)

57拒取式

xF(x)

8UG 25.在自然推理系统F中，构造下列推理的证明（个体域为人类集合）：

每个科学工作者都是刻苦钻研的，每个刻苦钻研而又聪明的人在他的事业中都将获得成功。王大海是科学工作者，并且是聪明的，所以王大海在他的事业中将获得成功。

设F(x):x是科学工作者，G(x)：x是刻苦钻研的，H(x):x是聪明的，I(x):x在事业中获得成功

前提 x(F(x)G(x))，x(G(x)H(x)I(x))，a:王大海，F(a),H(a)结论 I(a)证明：1 F(a)

前提引入

x(F(x)G(x))

前提引入

F(a)G(a)

2UI G(a)3假言推论

H(a)

前提引入 x(G(x)H(x)I(x))

前提引入

G(a)H(a)I(a)

6UI G(a)H(a)5合取

5.离散数学期末试卷 篇五

《离散数学》（A）

学号姓名：成绩

一、单项选择题（每题2分，共18分）

1．令P：今天下雪了，Q：路滑，则命题“虽然今天下雪了，但是路不滑”可符号化为（D）．

A．P→Q

C．P∧Q B．P∨Q D．P∧Q

p→q，蕴涵式，表示假设、条件、“如果，就”。

“→”与此题无关

2.关于命题变元P和Q的极大项M1表示(C)。书P15-P20，此题换作p、q更容易理解

A.┐P∧QB.┐P∨Qp∨┐q----01----1-----M

1C.P∨┐QD.P∧┐Q

3.设R（x）：x是实数；S（x,y）：x小于y。用谓词表达下述命题：不存在最小的实数。其中错误的表达式是：（D）

4.在论域D={a,b}中与公式（x）A（x）等价的不含存在量词的公式是（B）

A.A(a)A(b)

C.A(a)A(b)

5．下列命题公式为重言式的是（C）

A．Q→（P∧Q）

C．（P∧Q）→PB．P→（P∧Q）D．（P∨Q）→QB.A(a)A(b)D.A(b)A(a)

牢记→真假条件，作为选择题可直接代入0、1，使选项出现1→0，排除。熟练的可直接看出C不存在1→0的情况

6.设A=｛1，2，3｝，B=｛a,b｝，下列二元关系R为A到B的函数的是(A)

A.R=｛<1,a>,<2,a>,<3,a>｝

B.R=｛<1,a>,<2,b>｝

C.R=｛<1,a>,<1,b>,<2,a>,<3,a>｝

D.R=｛<1,b>,<2,a>,<3,b>,<1,a>｝

-第 1页

7.偏序关系具有性质（D）背

A.自反、对称、传递

B.自反、反对称

C.反自反、对称、传递

D.自反、反对称、传递

8.设R为实数集合，映射:RR,(x)x22x1,则 是(D).(A)单射而非满射(C)双射(B)满射而非单射(D)既不是单射也不是满射.书P96.设函数f：A→B

（1）若ranf=B，则f是满射的【即值域为B的全集，在本题中为R，该二次函数有最高点，不满足】

（2）若对于任何的x1,x2∈A , x1≠x2,都有f(x1)≠f(x2)，则称f是单射的【即x,y真正一一对应，甚至不存在一个y对应多个x。显然，本题为二次函数，不满足】

（3）若f既是满射的，又是单射的，则称f是双射的【本题中两个都不满足，既不是单射也不是满射】

二、填空题（每空2分，共22分）

１.设Q为有理数集，笛卡尔集S=Q×Q，*是S上的二元运算，,∈S,*=, 则*运算的幺元是_____<1,0>_____。∈S, 若a≠0，则的逆元是______<1/a,-b>______。书P123定义

２.在个体域D中，公式xG(x)的真值为假当且仅当__某个G(x)的真值为假__，公式xG(x)的真值为假，当且仅当__所有G(x)的真值都为假__。

３.给定个体域为整数域，若F（x）：表示x是偶数，G（x）：表示x是奇数；那么，(x)F(x)(x)G(x)是一个(x)(F(x)G(x))是一个

４.设Aa,b,c　,A上的二元关系Ra,b,b,c,则r(R)

{,,,,,} 。

书P89、P85.自反闭包：r(R)= R U R0

={,} U {,,,} ={,,,,,}对称闭包：s(R)= R U R-1 = {,} U {,} = {,,,}-第 2页

传递闭包：t(R)= RUR2 UR3U……

５.设X={1,2,3},Y={a,b}，则从X到Y的不同的函数共有___8___个.书P96，B上A的概念：

设Ａ、Ｂ为集合，所有从Ａ到Ｂ的函数构成集合ＢA，读作“B上A”

如果|A| = m，|B| = n，m、n不全是0，则|BA| = nm

即，若题中给出集合A有m个元素，B有n个元素，可直接用nm 计算出A到B的函数个数。本题中为23 = 8

６.设，a,bG，则（a-1）-1，（ab）-1b-1 * a-1。

书P139公式

7.设X={1，2，3}，f：X→X，g：X→X，f={<1, 2>,<2,3>,<3,1>},g={<1,2>,<2,3>,<3,3>}，则fg=__{<1,3>,<2,1>,<3,1>}___，gf=__{<1,3>,<2,3>,<3,2>}__。书P82-8

3合成：FG = {|xGz∧zFy}

需要说明的是，这里的合成FG是左复合，即G先作用，然后将F复合到G上。之前的答案“有误”，因为采用了右复合。这两种合成定义所计算的合成结果是不相等的，但两个定义都是合理的，只要在体系内部采用同样的定义就可以了。总之，在咱们的离散里牢记左复合。

三、计算题（每题9分，共36分）

1.设集合A＝{1, 2, 3,4,5}，A上的关系R＝{<1, 1>,<1, 2>,<2, 2>,<3, 2>,<3,3>,<3,5>,<4,4>,<5,5>}

(1)画出R的关系图；

(2)问R具有关系的哪几种性质(自反、对称、传递、反对称).自反性、传递性

书P87表格，根据关系图可直接判断性质……

(3)给出R的传递闭包。

R={<1, 1>,<1, 2>,<2, 2>,<3, 2>,<3, 3>,<3,5>,<4,4>,<5,5>}

-第 3页

R2 = RR = {<1, 1>,<1,2>,<2,2>,<3,2>,<3,3>,<3,5>,<4,4>,<5,5>}R3 = R2R = {<1, 1>,<1,2>,<2,2>,<3,2>,<3,3>,<3,5>,<4,4>,<5,5>}……

所以，t(R)= {<1, 1>,<1,2>,<2,2>,<3,2>,<3,3>,<3,5>,<4,4>,<5,5>}

2.集合S={a,b,c,d,e}上的二元运算*的运算表如下，求出它的幺元，零元，及逆

元。*abcde

abaccc

babcde

cccccc

dedcba

edecdb

幺元：b

零元：c

逆元：a-1 =a,b-1 =b, d-1 =d,e-1 =e

书P123定义

3．求合式公式A=P→((P→Q)∧┐(┐Q∨┐P))的主析取范式及成真赋值。

A = P→((┐P∨Q)∧(Q∧P))

= P→((┐P∨Q)∧(Q∧P))

= P→((┐P ∧Q∧P)∨(Q∧Q∧P))

= P→(Q∧P)

= ┐P∨(Q∧P)

=(┐P∧(Q∨┐Q))∨(Q∧P)

=(cP∧Q)∨(┐P∧┐Q)∨(P∧Q)

=(┐P∧┐Q)∨(┐P∧Q)∨(P∧Q)

= m0∨m1∨m

3成真赋值为00，01，1

14．求在1到1000000之间有多少个整数既不是完全立方数，也不是完全平方数？-第 4页

完全平方数的个数：1000=1000000，所以有1000个（即1到1000）

完全立方数的个数：1003 =1000000，所以有100个（即1到100）

既是完全平方数又是完全立方数的重复部分：106 =1000000，所以有10个（即16到106）所以既不是完全立方数，也不是完全平方数的整数有：1000000-(1000+100-10)= 998910

2四、证明题（每题8分，共24分）

1．若公司拒绝增加工资，则罢工不会停止，除非罢工超过三个月且公司经理辞职。公司拒绝增加工资，罢工又刚刚开始。罢工是否能停止？（给出相应推理的证明过程）

2．给出关系不满足对称性的条件并证明。

∃∈R∧∉R

⇔∃∈R∧∉R

⇔┐∀(∈R∧∈R)

3．如果关系R和S为X上的等价关系，证明：R∩S也是X上的等价关系。

(1)自反

设x∈X【推∈R∩S】

∵R和S为X上的等价关系

∴R和S均为X上的自反关系

∵x∈X

∴∈R, ∈S

∴∈R∩S

∴R∩S在X上是自反的(2)对称

设∈R∩S【推∈R∩S】

∵∈R∩S

∴∈R,∈S

∵R和S为X上的等价关系

∴R和S均为X上的对称关系

∴∈R,∈S

∴∈R∩S

-第 5页

∵此时∈R∩S

∴R∩S在X上是对称的【∈R∩S时，必有∈R∩S】

(3)传递

设∈R∩S，∈R∩S【推∈R∩S】

∵∈R∩S

∴∈R,∈S

∵∈R∩S

∴∈R,∈S

∵R和S为X上的等价关系

∴R和S均为X上的传递关系

∴∈R,∈S

∴∈R∩S

∵此时∈R∩S，∈R∩S

∴R∩S在X上是传递的【∈R∩S，∈R∩S时，必有∈R∩S】

综上所述，R∩S在X上是自反、对称、传递的∴R∩S为X上的等价关系

书P90

等价关系：自反、对称、传递

偏序关系：自反、反对称、传递

因此要证明某关系在非空集合上是等价关系或偏序关系，一般需分为三个性质分别证明，同时，题目条件中若给出等价关系或偏序关系，也可分为三部分选择使用。这类题条件较多（自己设的、题目推的），一定要思路清晰，否则容易写乱自己绕不出来„„

这道题三部分每个部分所设的条件都是该性质定义里的“若”，想要推出定义里的“则”，即用定义证明。这就是思路很重要的一部分。

6.大学离散数学复习试题 篇六

一、选择题

1．设A={{1，2，3}，{4，5}，{6，7，8}}，下列各式中____D______是错的。

A、A； B、{6，7，8}A； C、{{4，5}}A； D、{1，2，3}A。

2.已知集合A={a,b,c},B={b,c,e},则 A⊕B=___C___________ A.{a,b} B={c} C={a,e} D=φ

3.下列语句中，不是命题的是____A_________ A.我说的这句话是真话； B.理发师说“我说的这句话是真话”； C.如果明天下雨，我就不去旅游； D.有些煤是白的，所以这些煤不会燃烧；

4.下面___D______命题公式是重言式。

A.PQR ； B.(PR)(PQ)；C.(PQ)(QR)；

D、(P(QR))((PQ)(PR))。

5.公式(p∧q)∨(p∧～q)的主析取范式是____B_______ A.m1∨m2 B.m2∨m3 C.m0∨m2 D.m1∨m3

6．设L(x)：x是演员，J(x)：x是老师，A(x , y)：x钦佩y，命题“所有演员都钦佩某些老师”符号化为___D______。

A、x(L(x)A(x,y))； B、x(L(x)y(J(y)A(x,y)))； C、xy(L(x)J(y)A(x,y))； D、xy(L(x)J(y)A(x,y))。7.关于谓词公式（x）(y)(P(x,y)∧Q(y,z))∧(x)p(x,y),下面的描述中错误的是__B_____ A．（x）的辖域是（y）（P（x,y）∧Q(y,z)）

B．z是该谓词公式的约束变元

C．（x）的辖域是P（x,y）D．x是该谓词公式的约束变元 8． 设SAB，下列各式中____B___________是正确的。

A、domSB ； B、domSA； C、ranSA； D、domS  ranS = S。9．设集合X，则空关系X不具备的性质是____A________。

A、自反性； B、反自反性； C、对称性； D、传递性。

10.集合A，R是A上的关系，如果R是等价关系，则R必须满足的条件是__D___ A.R是自反的、对称的 B.R是反自反的、对称的、传递的 C.R是自反的、对称的、不传递的 D.R是自反的，对称的、传递的 11.集合A={a,b,c,d},B={1,2,3},则下列关系中__ACD______是函数

A.R={(a,1),(b,2),(c,1),(d,2)} B.R={(a,1),(a,2),(c,1),(d,2)} C.R={(a,3),(b,2),(c,1)} D.R={(a,1),(b,1),(c,1),(d,1)} 已知集合 RA,且R={(1,2),(1,2),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,4),(4,1)},则顶点2的入度和出度分别是___D_______ A.2,3 B.2,4 C.3,3 D.3,4 13.设完全图Kn有n个结点(n≥2)，m条边，当下面条件__C____满足时，Kn中存在欧拉回路．

A．m为奇数 B．n为偶数 C．n为奇数 D．m为偶数 14.下面叙述正确的是____B______ A.二部图K3,3是欧拉图 B.二部图是平面图

K3,3是哈密尔顿图

C.二部图 K3,32

D.二部图K3,3是既不是欧拉图也不哈密尔顿图

15.已知某平面图的顶点数是12，边数是14，则该平面图有__D___个面 A.3 B.2 C.5 D.4 16．设G是n个结点、m条边和r个面的连通平面图，则m等于___A____。

A、n+r-2 ； B、n-r+2 ； C、n-r-2 ； D、n+r+2。17.下面几种代数结构中，不是群的是___D____ A. B. C. D.(这里Z，Q，R，N分别表示整数集、有理数集、实数集、自然数集，+普通加法)

二、问答题

1.在程序设计过程中，有如下形式的判断语句： if(a>=0)if(b>1)if(c<0)cout<

请将这段程序化简，并说明化简的理由。解：简化的程序：

if(a>=0 && b>1 && c<0)cout<

设置命题变量： p: a>=0；q:b>1;r:c<0;s:cout<

A=P→(q→(r→s))经过等值演算可得，A与下面的公式是等值的 P∧q∧r→s

2.集合A={ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }，R={(x,y)| x|y}, ①证明R是偏序关系。

②写出偏序集（A，R）的极小元、极大元；最小元、最大元 ③写出A的子集B={1,2,3,6}的最小上界、最大下界

解：①根据整除性质可知，R满足自反性，反对称性，传递性。所以R是A上的偏序关系。

②偏序集（A，R）的极小元：1，极大元：5, 6，7，8，9 最小元：1； 最大元：无

③子集B={1,2,3,6}的最小上界：6 子集B={1,2,3,6}的最大下界：1

3.(1)m个男孩子，n个女孩排成一排，任何两个女孩不相邻，有多少种排法？

(n<=m)插空问题

(2)如果排成一个园环，又有多少种排法？

解：(1)考虑5个男孩，5个女孩的情况

男孩的安排方法： _B_B_B_B_B_ 排列总数P(5,5)女孩的安排方法：6个位置安排5个女孩，排列中数 P(6,5)所以：总的排列方法数是 m!*p(m+1,n)

(2)考虑男孩的圆排列情况，结果是(m-1)!*p(m,n)

4.某商家有三种品牌的足球，每种品牌的足球库存数量不少于10只，如果我想买5只足球，有多少种买法？如果每种品牌的足球最少买一只，有多少种买法？

解：①这是一个多重集的组合问题

类别数是k=3，选取的元素个数是 r=5 多重集组合数的计算公式是 N所以：N=C(3+5-1,5)=c(7,5)=21 ②可自由选取的球只有2个 k=3,r=2 N=C(3+2-1,2)=C(4,2)=6

(rk1)!C(kr1,r)

r!(k1)!

5．某软件公司将职工分为三种岗位。该公司65人，有些职工（例如项目管理人员、设计人员）可能从事不止一个岗位的工作。每个职工至少被分在一个岗位。现在软件设计岗位（岗位A）（包括需求分析、概要设计和详细设计等工作）的人数是15人，代码编写岗位（岗位B）的人数是32人，软件测试岗位（岗位C）的人数是28人，同时参加岗位A和岗位B的有12人, 同时参加岗位B和岗位C的有8人, 同时参加岗位A和岗位C组的有3人，问，三个岗位参加的有多少人？

解： 已知 |A|=15，|B|=32，|C|=28，|A∩B|=12，|B∩C|=8，|A∩C|=3 设S表示全班同学总人数，则 |S|=65 求：|A∩B∩C|=？

根据容斥原理：

|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|B∩C|-|A∩C|+|A∩B∩C| 所以|A∩B∩C|=|A∪B∪C|-|A|-|B|-|C|+|A∩B|+|B∩C|+|A∩C| 因为每个同学至少参加一个小组，所以：|A∪B∪C|=|S| 因此：|A∩B∩C|=65-15-32-28+12+8+3=13 答：三个小组都参加的人数是13人

6.证明组合恒等式C(n,r)= C(n-1,r-1)+ C(n-1,r)

说明：也可以直接利用组合演算公式进行演算 7.求1228的个位数是多少? 解：1228的个位数就是1228 mod 10的余数1228mod10(12mod10)28mod1024*7mod10(27mod10)4mod108mod1064

8.已知图G有10条边, 4个3度顶点, 其余顶点的度数均小于2, 问G至少有多少个顶点?

解：由握手定理∑d(v)=2m=20，度数为3的顶点有3个占去12度，还有8度由其余顶点占有，而由题意，其余顶点的度数可为0，1，当均为1时所用顶点数最少，所以应有8个顶点占有此8度，即G中至少有8+4=12个顶点。

9刑侦人员审一件盗窃案时，已经掌握的线索如下：（1）甲或乙盗窃了电脑。

（2）若甲盗窃了电脑，则作案时间不能发生在午夜前。（3）若乙证词正确，则在午夜时屋里灯光未灭。（4）若乙证词不正确，则作案时间发生在午夜前。（5）午夜时屋里灯光灭了。

请通过命题逻辑推理，推论出谁是真正的盗窃犯？（写出详细的推理步骤）解 设p： 甲盗窃了电脑，q： 乙盗窃了电脑，r： 作案时间发生在午夜前，s： 乙证词正确，t：午夜时屋里灯光灭了。

前提： p∨q，p→~r，s→~t，~s→r，t(7)非p。。

10.插入排序算法的时间T与数据规模n的递推关系如下，求出T与n的显示关系表达式

T(n)T(n1)n1 T(1)0

解：

T(n)T(n1)n1 T(n2)n2n1T(n3)n3n2n1 T(nk)nkn2n1T(nk)kn-(12k)k(k1)T(nk)kn2令n-k=1，那么 k=n-1，所以：

n(n1)n(n1)n(n1) T(n)T(1)0222答：T与n的显示关系是：T(n)

11.解下列一阶同余方程组

n(n1)2x1(mod 3)x2(mod 4)x3(mod 5)解：已知a11,a22,a33;m13,m24,m35 方程组的齐次通解是：xkLcm(1,2,3)6k 60k 根据中国剩余定理，特解是：

x0a1M1(M1mod m1)a2M2(M2mod m2)a3M3(M3mod m3)M1m2m320,M2m1m315,M3m1m212 111M1mod m1是下列同余方程的解

3)，解得：x=2，即M12 M1x1(mod m1)即20x1(mod11同理可解得：M23，M33 11 7

x0a1M1(M1mod m1)a2M2(M2mod m2)a3M3(M3mod m3)mod m（120221533123）mod 60111所以：(4090108)mod 60238mod 6058

同余方程组的解是 xxx06k58 60k

12.假设需要加密的明文数据是a=8,选取两个素数p=7,q=19,使用RSA算法： ① 计算出密钥参数

② 利用加密算法计算出密文c ③ 利用解密算法根据密文c反求出明文a 解：① 取 p=7,q=19;计算 n=p*q=7*19=133 计算φ(n)=(p-1)*(q-1)=(7-1)*(19-1)=108 选取较小的数w,使w与108互质, 5是最小的,于是w=5 计算d,使d*w≡1(mod φ(n)),即d*5 mod 108=1,取d=65，d*5除以108余数为1, 于是算出d=65 至此加密、解密参数计算完成：

公钥w=5,n=133.私钥d=65,n=133.② 加密

cmwmodn85mod133((82mod133)*(83mod133))mod133

(64*113)mod13350③ 解密

acdmodn5065mod133

aA0A6 其中，A050, Ai(Ai1)2

根据上述递推公式可以计算出：A1502mod133106,A21062mod13364

A3642mod133106，„„, A61062mod13364 aA0A6(50*64)mod1338

解密后的明文与原来的明文是相等的，所以算法正确。

13.设A={1，2，3，4，6，9，12，24},R定义为R{(a,b)|ab(mod 3)}，（1）证明R是一个等价关系；（2）写出A的商集；

14.基于字典序的组合生成算法

问题说明：假设我们需要从5个元素中选取3个的所有组合，已知组合个数为 C（５，３）＝１０，按字典序，其具体组合为： 123,124,125,134,135,145,234,235,245,345 所谓按字典序生成组合，就是已知当前的组合（例如135），求下一个组合（例如，145）。下面给出算法的函数头：

//数组s[]:函数运行前，保存当前的组合，函数结束后，是新生成的下一个组合 //n,r:表示从n个元素中选取r个元素的组合 void next_comb(int s[],int n,int r)解：

void next_comb(into s[],int n,int r){

int j,m,max_val;

max_val=n;

m=r;

while(s[m]==max_val)

{

m=m-1;

max_val=max_val-1;

}

s[m]=s[m]+1;

for(j=m+1;j

s[j]=s[j-1]+1;}

7.离散数学教学实践的探索 篇七

离散数学是现代数学的一个重要分支, 是以研究离散量的结构和相互间关系为主要目标的一门计算机专业核心基础课程, 主要由相对独立的数理逻辑、关系、代数系统和图论等四部分内容构成。概念多、理论性强、高度抽象是其主要特点。本文立足挖掘概念和原理本身的显性和隐性知识, 通过导入抽象概念的实际应用背景, 强化概念的详细分析和解读, 设计能够剖析公式内涵的例题等方法, 对提高教学质量, 提高学生学习兴趣, 实现培养抽象思维和逻辑推理能力的教学目的进行了创新探索。

1 引入应用背景强化概念的分析与解读

离散数学是计算机科学理论的数学基础, 课程内容的每一章节都始于较为抽象的概念, 然后就是定理和性质, 其中的逻辑和证明, 对于培养抽象思维和逻辑推理能力极为重要。但从纯数学角度直接提出这些概念就显得很抽象, 学生难以接受。如能将概念引出的实际背景先行讲解, 将实际问题展示在学生面前, 诱发学生通过形象思维的研究性讨论, 完成对抽象概念的理解。

许多离散数学教材中都在引出“谓词逻辑”的概念时, 先导入著名的亚里士多德三段论苏格拉底推理问题背景[1];引出“欧拉图”概念时, 先导入哥尼斯堡七桥问题[2];引出“哈密顿图”时, 先导入周游世界问题[2]。这些实际应用背景较好地激发了学生对将学概念的兴趣, 强化了带着问题学习的方法。但对诸如“支配集和独立集”、“布尔代数”、“置换群”等概念的引出, 并没有更好的导入背景介绍。为此, 作者在教学中先后引出“5后和8后”问题、集合代数与命题代数具有完全相同性质的现象、几何图形的对称运动等实际应用, 激发了学生探索新概念的兴趣, 获得了较好的教学效果。有时候在讲解后面的概念时, 再回顾前面的概念以辅助理解前面难懂的概念也是一种好方法, 建立了“离散”内容之间的内在联系。如“可达矩阵”的学习有助于理解“传递闭包”的概念。

离散数学中有些概念很难理解, 即使引出背景应用问题, 其纯粹的数学描述非常抽象。在教学过程中, 应突破“定义—定理—例题”的常规模式, 加强定义的解读, 通过详细分析概念的具体含义, 使大多数学生能理解概念的本质, 知其然, 知其所以然。作者在解读二元关系的反对称性概念时进行了如下分析实践:

先给出能够形象化展示反对称和不是反对称的两个具体例子, 再给出N (自然数集合) 上的小于等于关系、Z+ (正整数集合) 上的整除关系、P (A) (集合A的幂集) 上的包含于关系等三个典型的具有反对称性的二元关系, 让学生观察其特点;然后通过一般化描述, 进一步分析反对称性的本质。即对任意x, y∈A, 当x≠y时, x与y不能够互相都有关系。或者说对任意x, y∈A, 当x与y互相都有关系时, 必然有x=y。或者说下面三个命题:x≠y, xRy, yRx不能同时成立。体现在关系图上是任意两点之间至多有一条边, 体现在关系矩阵上是对角线之外关于对角线对称的两个元素不能同时为1。最后给出是对称不是反对称的、不是对称是反对称的、既是对称又是反对称的、既不是对称也不是反对称的等四个例子, 通过比较分析, 进一步揭示反对称性的本质。

2 设计剖析公式内涵的例题

离散数学中谓词逻辑部分有两个难点, 一是带有量词形式的命题符号化;二是对一些等值式和永真蕴含式的认识。这两部分内容的内涵解读很重要, 通过设计例题进行深层次的剖析更为重要, 下面分别就两个问题进行例题分析和设计。

2.1 命题符号化的解读与例题分析

将一个带有量词的命题准确地用谓词公式表示出来, 其关键是对两个量词“∀x”和“∃x”的正确理解以及对命题中所隐含的逻辑关系的清晰认识。量词“∀x”和“∃x”的含义分别是“任何一个x”和“有的x”, 此时务必要强调论域的重要性。当指定论域D之后, 量词“∀x”和“∃x”的含义分别是“集合D中任何一个x”和“集合D中有的x”, 与谓词F (x) 结合得到公式“∀xF (x) ”和“∃xF (x) ”, 其含义分别是“集合D中任何一个元素都具有性质F”和“集合D中有的元素具有性质F”。若集合D中确实每一个元素都具有性质F, 则公式∀xF (x) 为真, 否则为假;若集合D中确实有的元素具有性质F, 则公式∃xF (x) 为真, 否则为假。设计两个命题符号化的例题如下。

例1 将下面两个命题符号化

(1) 计算机学院的学生都要学习高等数学。

(2) 计算机学院的学生有的喜欢文学。

分析:令A (x) :x要学习高等数学, B (x) :x喜欢文学。

若论域D为计算机学院全体学生构成的集合, 则上面两个命题应分别符号化为∀xA (x) 和∃xB (x) 。

这里“∀x”表示“计算机学院中的任何一个学生”, “∃x”表示“计算机学院中有的学生”。

若论域D为全校所有学生构成的集合, 此时要强调在新论域D下, 出现在公式中的“∀x”和“∃x”分别表示“我们学校中任何一个学生”和“我们学校中有的学生”。

注意:应当启发学生在保持原意的前提下给命题加上恰当的量词和逻辑联结词, 从而将命题中隐含的逻辑关系显现出来。

命题 (1) 可以等价地说成“对于我们学校的每一个学生, 如果它是计算机学院的, 那么他就要学习高等数学”, 应符号化为:∀x (C (x) →A (x) ) 。

命题 (2) 可以等价地说成“我们学校有的学生既是计算机学院的又是喜欢文学的”, 应符号化为:∃x (C (x) ∧B (x) ) 。其中C (x) :x是计算机学院的学生。

例2 将下面两个命题符号化

(3) 不存在最大的素数。

(4) 能被偶数整除的数一定是偶数。

分析:令P (x) :x是素数, E (x) :x是偶数,

L (x, y) :x>y , D (x, y) :x|y ;论域为全总个体域。

通过添加恰当的量词和逻辑联结词, 命题 (3) 的含义等价于“对于任意一个个体x, 如果x是素数, 那么就存在一个个体y, y是素数并且比x大”。

符号化为:∀x (P (x) →∃y (P (y) ∧L (y, x) ) )

命题 (3) 的否定是“存在最大的素数”, 即“存在一个个体x, x是素数, 并且对于任何一个个体y, 如果y是素数, 那么y就一定不比x大”。

符号化为:∃x (P (x) ∧∀x (P (y) →$\lceil$L (y, x) ) )

而命题 (3) “不存在最大的素数”就可以符号化为:

$\lceil$∃x (P (x) ∧∀x (P (y) →$\lceil$L (y, x) ) )

通过添加恰当的量词和逻辑联结词, 命题 (4) 的含义等价于“对于任意一个个体x, 如果存在一个个体y, y是偶数并且y能整除x, 那么x一定是偶数”。

符号化为:∀x (∃y (E (y) ∧D (y, x) ) →E (x) )

命题 (4) 还可以等价于“对于任意一个个体x, 任何一个个体y, 如果y是偶数并且y能整除x, 那么x一定是偶数”。于是可以符号化为:

∀x∀y ( (E (y) ∧D (y, x) ) →E (x) )

通过以上四个小题的分析, 可以看出, 命题符号化的核心任务是用数学语言描述自然语言, 其中对命题中隐含的逻辑关系的剖析与理解是关键, 直接影响数学语言的描述。

2.2 等值式分析中的例题设计

在谓词逻辑基本等值式中有下面两个公式,

(1) ∀x (A (x) →B) ⇔∃xA (x) →B

(2) ∃x (A (x) →B) ⇔∀xA (x) →B

上面两个公式的证明是容易的。通过设计下面的例题及分析可以帮助学生直观地理解以上两个等值式。

例3 将下面命题符号化

(5) 任何一个开关被按下, 灯就会亮。

(6) 有的开关如果被按下, 灯就会亮。

假设开关之间彼此独立, 互不影响。

分析:令A (x) :x被按下, B:灯亮

设论域为全体开关的集合。

命题 (5) 可以符号化为∀x (A (x) →B) , 也可以符号化为∃xA (x) →B。前者的含义是“任何一个开关被按下, 灯就会亮。”, 后者的含义是“只要有开关被按下, 灯就会亮。”, 两者的含义在逻辑上是相同的。

命题 (6) 可以符号化为∃x (A (x) →B) , 也可以符号化为∀xA (x) →B。前者的含义是“有的开关如果被按下, 灯就会亮。”, 后者的含义是“如果所有开关都被按下, 灯就会亮。”, 两者的含义在逻辑上是相同的。

这里比较难理解的是公式∀x (A (x) →B) 与∀xA (x) →B , 以及公式∃xA (x) →B与∃x (A (x) →B) 的差异。

离散数学的教学方法和教学实践是主讲教师始终关注和探索的内容, 增加导入概念的实际应用背景, 强化概念的分析和解读, 设计巧妙的例题, 可以增强学生对抽象数学概念源于实际、用于实际的认识, 提高学习兴趣, 实现培养抽象思维和逻辑推理能力的课程教学目的, 本文的积极探索希望能对同行有一定的借鉴。

参考文献

[1]李盘林, 等.离散数学[M].北京:高等教育出版社, 2001.

8.离散数学练 篇八

关键词：离散数学；趣味教学；抽象思维；创新能力

社会的发展对教育提出了更高的要求，现实问题的综合化和复杂化使社会需要更多的高素质人才和创新型人才。学生在传统的灌输式教学模式下只是习惯接受知识，而不会创新知识。因此社會的发展迫使教师在培养人才的教学方法上应该根据实际情况作出相应的变革。本文结合高职学生的特点，探讨了高职离散数学教学中趣味教学法的尝试。

一、高职学生特点及对基础课的认识现状

1.高职学生特点。随着近年来我国高校的扩招，引发了普遍的“普高热”，无论是家长还是学生都不愿轻易选择职业教育，使得近年来高职生源质量明显下降，学生素质参差不齐。本人根据几年的教学经验发现目前高职高专学生普遍存在以下特点：①进高职院校读书的学生，一般在中学里成绩偏差，也不被老师重视，他们对学习失去了兴趣，对自己失去了信心，导致他们没有明确的学习动机，总觉得自己是万不得已才上高职的，觉得既然考不上好大学，再努力学习也没什么价值，因此想着混个文凭，不求上进。②高职生普遍缺乏良好的心理素质。多数高职生在以往的学习中体验最多的是失败，这种失败不仅让学生在学习中感受不到学习的乐趣，体会不到成功的喜悦，逐渐丧失对学习的兴趣和信心，还产生自己“脑子笨，不适合学习”的错误心态，进而对能力或智力产生怀疑，也就无法真正启动自我提高的内驱力。③学习基础差，尤其是理化成绩，造成听课困难，很多同学听不懂数学，畏惧、害怕，甚至讨厌数学。④不少学生学习态度散慢，没有自主学习的意识和能力，也缺乏自我约束力，他们把较多的时间花在了上网玩游戏上。思想感情也不稳定，两极性相当明显，当遇到自己感兴趣的东西或遇到困难挫折时，其爱好可能马上发生改变，造成与学习目标相偏离。

2.对基础课的认识现状。根据对本院学生的调查发现，大部分学生对基础理论课不感兴趣，其主要原因是认为基础理论课没有实用价值，学与不学没有区别。通过与学生更多的交流及对教育的综合实情分析发现，造成学生这种心理主要有以下原因：①尽管从小一直在学数学，但对为什么学及学了有什么用却感到很迷茫，对数学的认识仅处在利用一些计算数字上，没有体会到学数学对自己思维能力的影响，也没有体会到用数学知识解决问题的价值和意义，即无法理解离散数学等基础理论课程的隐性回报。②学生对《离散数学》很陌生，仅认为是另一门数学课程，即不理解“离散”的内涵，不明白它与计算机专业的联系。③面对就业压力，学生认为只需学好专业课就可以了，而对基础理论课不够重视。④学生还没有真正踏入社会，对理论课程的地位和作用缺乏感性认识。

面对这样的一个学生群体，本人认为高职院校的老师传授知识前激发学生的求知欲、纠正学生的认识误区及培养学生解决问题的能力更重要，任务也更艰巨。通过尝试，本人发现趣味教学法可结合高职的特点有针对性地实施教学。

二、离散数学课程的特点

《离散数学》是计算机科学专业及有关学科的一门重要基础核心课程，也是许多专业课程包括程序设计、数据结构、数据库等的选修课程。它是现代数学的一个重要分支，所研究的对象是离散的数量关系及结构的数学模型，其理论和方法在各领域都有着广泛的应用。通过本课程的学习，学生可以初步掌握处理离散结构所必需的描述工具和方法，培养和提高自身的抽象思维和逻辑推理，以及分析、解决问题的能力，并为以后学习计算机基础理论与专业课程打下良好的基础。

本课程理论性较强，教学内容以基本概念、结论、算法、推理与证明方法的介绍为主，课程内容突出简明扼要、体系结构清楚为原则，主要内容包括数理逻辑、集合论、代数系统与图论等四个方面，内容多而课时少，只能给学生介绍最基本的知识。因此，教师除认真讲解基本知识外，更重要的是培养学生的数学思维能力，决不能将离散数学讲成数学，要使学生掌握概念、训练思维、强化应用，且重视非智力因素的培养。

三、趣味教学方法尝试

针对《离散数学》的特点，教师讲授时需向学生提供合理的学习结构，掌握该课程的基本理论和基本方法，强调实际应用，培养学生的思维能力。基于以上对本课程和高职学生实际特点的分析，转变学生认识观念、激发学生学习兴趣、培养学生自主学习是教师上课需要注意的重点。如何来实现呢？本人认为可以从以下几个方面入手：

1.引入历史趣味故事或启发性问题，上好绪论课。绪论课是建立起课程整体概念的起步。《离散数学》与前续课程《高等数学》有着本质的不同，它研究的是离散变量的结构及其关系，这对学生来说是一个全新的概念，因此，教师应以讲好绪论为钥匙，帮助学生打开新学科之门，抓住该学科最基本的特征进行精讲，使学生建立起离散数学知识的整体框架，认识到该课程对自己专业学习的重要性，体会到实际应用该门课程的数学美，形成对该课程的感性认识。

2.提炼实际应用案例，设计好课堂导入。对课程产生兴趣只是教学的第一步目标，接下来，还要让学生将兴趣持续到每次的教学过程中。丰富的故事告诉了学生知识的背景，之后更重要的是知识如何运用，如何解决实际问题。这些案例也是比较丰富的，要注意收集归纳为教学所用。如人鸡狗米过桥问题，教师对某个班级各门科目每日教学安排问题，观众对比赛胜负的猜测问题，公安人员破案问题等。除此之外，教师还要敏锐地洞察现实生活中的问题，不断从生活中提炼出适合教学且与学生生活息息相关的新的案例来充实课堂导入，增加课堂的趣味性，让学生体会到在“用中学，学中用”的乐趣。

3.以趣味案例为载体，关注知识之间的联系。《离散数学》知识多而散，且每一部分可独立讲授，教师要注意将知识块串起来，形成一条清晰的知识链。另外，在每块内容的教学中，将相应模块的趣味案例及课堂环节的应用案例贯穿与整个教学中，使学生在兴趣和探索中轻松掌握曾经认为枯燥难懂的基础概念、基本定理等知识点。

俗话说，教无定法，贵要得法。在教学过程中，我们只有不断努力，不断尝试，在实践中教学，在教学中实践，掌握先进的教学理念，根据课程性质、教学内容和学生特点，创造性地进行教学设计，恰当地运用必要的现代教育技术和信息资源，寻求适当的教学方式、方法来组织实施课堂教学，来不断提高教学质量。通过对《离散数学》的教学比较发现，尝试趣味教学法之后，学生对本门课程的兴趣提高了，课堂表现得更加活跃，课后评教及期末考核成绩也有明显提高，确实是教师值得尝试的一种教学方法。

参考文献：

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[2]李峰，孙莉.任务驱动式方法在离散数学中的应用[J].计算机教育，2006，（3）.

[3]杨晓杰，刘冬明.关于绪论课重要性的几点思考[J].中国地质教育，2006，（2）.