18.1勾股定理教学教案

2025-01-22

18.1勾股定理教学教案（精选7篇）

1.18.1勾股定理教学教案篇一

《18．1勾股定理》课标要求

《课标》对18.1勾股定理一节的相关内容提出的教学要求是：探索勾股定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题．

《18．1 勾股定理》教学设计（第1课时）

一.教学目标：

知识与技能：探索直角三角形三边关系，了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。

过程与方法：（1）、经历观察与发现直角三角形三边关系的过程，感受勾股定理的应用意识。（2）、在探索勾股定理的过程中，让学生经历“观察—猜想—归纳—验证”的能力，并体会数形结合和特殊到一般的思想方法。

情感态度与价值观：（1）、介绍我国古代勾股定理研究方面所取得的成就，感受数学文化，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习。（2）、在探究活动中，培养学生的合作交流意识和探索精神。二.学情分析

八年级学生已初步具有几何图形的观察，几何证明的理论思维能力。他们希望老师创设便于他们进行观察的几何环境，给他们发表自己见解和表现自己才华的机会，希望老师满足他们的创造愿望，让他们实际操作，使他们获得施展自己创造才能的机会。但对于勾股定理的得出，首先需要学生通过动手操作，在观察的基础上，大胆猜想数学结论，而这需要学生具备一定的分析、归纳的思维方法和运用数学的思想意识，但学生在这一方面的可预见性和耐挫折能力并不是很成熟，从而形成困难。

二.教材分析

内容勾股定理的探究、证明及简单应用．

内容解析勾股定理的内容是：如果直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么．它揭示了直角三角形三边之间的数量关系．在直角三角形中，已知任意两边长，就可以求出第三边长．勾股定理常用来求解线段长度或距离问题．

勾股定理的探究是从特殊的等腰直角三角形出发，到网格中的直角三角形，再到一般的直角三角形，体现了从特殊到一般的探探索、发现和证明的过程．证明勾股定理的关键是利用割补法求以斜边为边长的正方形的面积，教学中要注意引导学生通过探索去发现图形的性质，提出一般的猜想，并获得定理的证明．我国古代在数学方面又许多杰出的研究成果，对于勾股定理的研究就是一个突出的例子．教学中可以介绍我国古代在勾股定理的证明和应用方面取得的成就和作出的贡献，以培养学生的民族自豪感；围绕证明勾股定理的过程，培养学生学习数学的热情和信心．

三.教学重难点

教学重点：了解勾股定理的演绎过程，掌握勾股定理及其应用。教学难点：理解勾股定理的演绎和推导过程。教学方法：探讨法、发现法等。教具准备：多媒体、网格纸。

四.教学过程设计

1．创设情境复习引入

国际数学家大会是最高水平的全球性数学学科学术会议，被誉为数学界的“奥运会”．2002年在北京召开了第24届国际数学家大会．右图就是大会会徽的图案．你见过这个图案吗？它由哪些我们学过的基本图形组成？这个图案有什么特别的意义？前面我们学习了有关三角形的知识，我们知道，三角形有三个角和三条边．

问题1 三个角的数量关系明确吗？三条边的数量关系明确吗？师生活动教师引导，学生回答。

【设计意图】回顾三角形的内角和是180°以及三角形任何两边的和大于第三边，由三角形三边的不等关系引导学生思考，三角形三边之间是否存在等量关系．我们学习过等腰三角形，知道等腰三角形是两边相等的特殊的三角形，它有许多特殊的性质．研究特例是数学研究的一个方向，直角三角形是有一个角为直角的特殊三角形，中国古代人把直角三角形中较短的直角边叫做“勾”，较长的直角边叫做“股”，斜边叫做“弦”．

直角三角形中最长的边是哪条边？为什么？它们除了大小关系，有没有更具体的数量关系呢？这就是我们要研究的问题．

2．观察思考，探究定理

问题2 相传2500多年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家作客，发现朋友家用砖铺成的地面图案反映了直角三角形三边的某种数量关系．三个正方形A，B，C的面积有什么关系？

毕达哥拉斯(公元前572---前492年),古希腊著名的哲学家、数学家、天文学家。师生活动学生观察图形，分析、思考其中隐含的规律．通过直接数等腰直角三角形的个数，或者用割补的方法将小正方形A，B中的等腰直角三角形补成一个大正方形，得出结论：小正方形A，B的面积之和等于大正方形C的面积．

追问

由这三个正方形A，B，C的边长构成的等腰直角三角形三条边长之间有怎样的特殊关系？

师生活动

教师引导学生直接由正方形的面积等于边长的平方，归纳出：等腰直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．

【设计意图】从最特殊的直角三角形入手，通过观察正方形面积关系得到三边关系，对等腰直角三

问题3 在网格中的一般的直角三角形，以它的三边为边长的三个正方形A，B，C 师生活动学生动手计算，分别求出A，B，C的面积并寻求它们之间的关系．追问正方形A，B，C所围成的直角三角形三条边之间有怎样的关系？

师生活动

学生独立思考后分组讨论，难点是求以斜边为边长的正方形面积，可由师生共同总结得出可以通过割、补两种方法求出其面积，教师在学生回答的基础上归纳方法---割补法．可求得C的面积为13，教师引导学生直接由正方形的面积等于边长的平方归纳出：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．

【设计意图】为方便计算，网格中的直角三角形边长通常设定为整数，进一步体会面积割补法，为探究无网格背景下直角三角形三边关系打下基础，提供方法．

问题4 通过前面的探究活动，思考：直角三角形三边之间应该有什么关系？

师生活动

教师引导学生表述：如果直角三角形两直角边长分别为，斜边长为，那么

【设计意图】在网格背景下通过观察和分析得出了等腰直角三角形和一般的直角三角形的三边关系后，猜想直角三角形的三边关系是很容易的．

问题5 以上直角三角形的边长都是具体的数值，一般情况下，如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边长为c，我们的猜想仍然成立吗？

师生活动

要求学生通过独立思考，用a，b表示c．如图，用“割”的方法可得过整理都可以得到

；用“补”的方法可得．这两个式子经

即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．中国人称它为“勾股定理”，外国人称它为“毕达哥拉斯定理”．

【设计意图】从网格验证到脱离网格，通过割补构造图形和计算推导出一般结论．

问题6 历史上各国对勾股定理都有研究，下面我们看看我国古代的数学家赵爽对勾股定理的研究，并通过小组合作完成教科书拼图法证明勾股定理．

师生活动教师展示“弦图”，并介绍：这个图案是公元3世纪三国时期的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，赵爽根据此图指出：四个全等的直角三角形（朱实）可以如图围成一个大正方形，中间部分是一个小正方形（黄实）．我们刚才用割的方法证明使用的就是这个图形，教师介绍勾股定理相关史料，勾股定理的证明方法据说有400多种，有兴趣的同学可以搜集研究一下．

【设计意图】通过拼图活动，调动学生思维的积极性，为学生提供从事数学活动的机会，发展学生的形象思维，使学生对定理的理解更加深刻，体会数学中数形结合的思想．通过对赵爽弦图的介绍，了解我国古代数学家对勾股定理的发现及证明所做出的贡献，增强民族自豪感，通过了解勾股定理的证明方法，增强学生学习数学的自信心．

3．初步应用，巩固新知例1 画一个直角三角形，量一量它的斜边师生活动学生操作，教师个别指导．，它的两直角边分别是

是多少厘米？算一算，你量的结果对吗？

【设计意图】通过运算，培养学生的运算能力并正确运用勾股定理解决直角三角形的边长问题．通过测量进一步验证勾股定理所得结论的正确性．

例2 在直角三角形中，各边的长如图，求出未知边的长度．

师生活动学生计算，教师检验．

【设计意图】勾股定理是通过构造图形法通过面积关系进行证明的．所以勾股定理本质上是反映面积关系的．如果直角三角形的两条直角边长分别为，斜边长为，那么．通过对等式变形，可以得出直角三角形三边之间的关系：；；

．在直角三角形中，已知两边，求第三边，应用勾股定理求解，也可建立方程解决问题，渗透方程思想．

例3 蚂蚁沿图中的折线从A点爬到D点，一共爬了多少厘米？

师生活动学生观察、思考、计算，教师检验．【设计意图】设计实际问题背景，提高学生分析问题和解决问题的能力． 4．归纳小结，反思提高

师生共同回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：

（1）勾股定理总结的是什么数量关系？

（2）勾股定理有什么作用？

（3）阅读教科书，总结教科书提供的勾股定理的其他证明方法．了解中国人的伟大和外国人的智慧．

【设计意图】让学生从不同角度谈本节课学习的主要内容，在学习过程中感受到中国数学文化博大精深和数学的美，感悟数形结合的思想，增强对数学学习的自信．

5．布置作业

1.通过互联网收集定理的多种证法．自主探究定理的证明． 2.课本55页练习第1题；57页习题18.1第1题。

五.目标检测设计

1．直角三角形的周长为12，斜边长为5，其面积为（）

A．12

B．10

C．8

D．6

【设计意图】勾股定理的简单计算，结合三角形的周长和面积知识进行求解． 2．等边三角形的高是h，则它的面积是（）

A．

B．

C．

D．

【设计意图】勾股定理的应用和三角形的面积公式． 3．直角三角形

中，，求和．

【设计意图】考查学生运用勾股定理的能力

2.18.1勾股定理教学教案篇二

1.教学目标

知识目标：理解并掌握正弦定理，能初步运用正弦定理解斜三角形；

技能目标：理解用向量方法推导正弦定理的过程，进一步巩固向量知识，体现向量的工具性

情感态度价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；

2.教学重点/难点

重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用。

难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。

3.教学用具

多媒体

4.标签

正弦定理

教学过程讲授新课

在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图1．1-2，在RtABC中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有，又，则

.从而在直角三角形ABC中，思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？（由学生讨论、分析）

可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：（证法一）如图1．1-3，当

ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根，则

.据任意角三角函数的定义，有CD=

同理可得，从而.类似可推出，当自己推导）ABC是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。（由学生课后从上面的研探过程，可得以下定理

正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即

[理解定理]（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k使，；（2）

等价于。

从而知正弦定理的基本作用为：

①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如

；

②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如.一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。

评述：应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形。[随堂练习]第5页练习第1（1）、2（1）题。

课堂小结（由学生归纳总结）（1）定理的表示形式：

或，（2）正弦定理的应用范围：

①已知两角和任一边，求其它两边及一角； ②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。

课后习题

3.《勾股定理》教案篇三

·教学目标

知识目标: 掌握勾股定理的几种证明方法，能够熟练地运用勾股定理由直角

三角形的任意两边求得图

1紧接着再问学生：我们是通过测量的方式发现了直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方或者说两小正方形的面积和大正方形的面积.这种做法往往并不可靠，我们能否证出两直角边为3、4的直角三角形斜边是5.（目的：数学需要合情推理，但也要逻辑证明.通过此问题证明过程，关键是这里渗透了面积法的证明思想.）

三、自主探索、发现新知

为了解决好这个问题我们不妨把图19.2置于方格图中，计算大正方形的面积等于25.于是让学生计算大正方形的面积，但大正方形R的面积不易求出，可引导学生利用网格对大正方形尝试割或补两种方法解决.1(34)243425.方法一：将图2补成图3，则要求正方形的面积为：

2因此直角边分别为3、4的直角三角形斜边是5即324252.1方法二：将图2补成图4，则要求正方形的面积为：434125.2因此直角边分别为3、4直角三角形斜边是5即324252.（目的：在方格图中利用割补的思想通过计算面积的方法证明了直角边分别为3、4的直角三角形斜边是5即324252.为探索一般的直角三角形也有两直角边的平方和等于斜边的平方以及证明它的成立做好铺垫.）

此时老师提出问题：对于这个直角三角形满足两直角边的平方和等于斜边的平方，那么对于任何一个直角三角形都有这种关系吗？

通过以上探索，相信有学生能用文字语言概括猜想出一般的结论：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.符号表示为a2b2c2（a、b是直角边，c是斜边.）.教师要鼓励这位同学讲的好，敢于猜想是一种难能可贵的数学素养，这位同学用精确的语言叙述了直角三角形三边的关系，那么这一结论是否正确，怎样论证？

（目的：在学生的数学学习过程中，既要学会证明又要学会猜想；既要学会演绎推理又要学会合情推理.鼓励学生在讨论的基础上大胆猜想，能培养学生的探索创新精神.）

老师用多媒体将图2的方格线隐去得图5，设RtACB直角边为a,b

及斜边

c，试证明a2b2c2.通过与学生的合作交流，只要证明出斜边上的正方形的面积，等于两直角边上的正方形的面积和即可.有前面的证明过程，学生可以想到通过割补利用面积法进行证明.这个地方要留够充足的时间让学生讨论交流，证好的同学请上台来解释他是如何证明的.方案一：，用三个与RtACB一样的直角三角形将图5中斜边上的正方形补

1成图6，则Sc2(ab)24ab.化简整理得到a2b2c2.2方案二：用三个与RtACB一样的直角三角形将图5中斜边上的正方形割成1图7，则S=c2(ab)24ab.化简整理得到a2b2c2.Aa-b BC图7 图6

教师介绍：我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的称为股，斜边称为弦.图7称为“弦图”，最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作法时给出的.图19.2.8是在北京召开的2002

年国际数学家大会（ICM－2002）的会标，其图案正是“弦图”，它标志着中国古代的数学成就.此时，教师极力夸赞学生已成功探索出5000多年前人类历史

上的一个重大发现，真是太伟大了！a2b2c2，这就是赫赫有名的勾股定理（板书课题）.接着用多媒体展

示勾股定理的历史.图19.2.8

勾股定理史话

勾股定理从被发现到现在已有五千年的历史.远在公元

前三千年的巴比伦人就知道和应用它了.我国古代也发现了

这个定理.据《周髀算经》记载，商高（公元前1120年）关

于勾股定理已有明确的认识，《周髀算经》中有商高答周公的话：“勾广三，股修四，径隅五.”同书中还有另一位学者陈子（公元前六七世纪）与荣方（公元前六世纪）的一段对话：“求邪（斜）至日者，以日下为勾，日高为股，勾、股各自乘，并而开方除之，得邪至日”（如图所示），即

邪至日＝2＋股2.这里陈子已不限于“三、四、五”的特殊情形，而是推广到一般情况了.人们对勾股定理的认识，经历过一个从特殊到一般的过程，其特殊情况，在世界很多地区的现存文献中都有记载，很难区分这个定理是谁最先发明的.国外一般认为这个定理是毕达哥拉斯学派（Pythagoras，公元前580~前500）首先发现的，因而称为毕达哥拉斯定理.勾股定理曾引起很多人的兴趣，世界上对这个定理的证明方法很多.1940年卢米斯（E.S.Loomis）专门编辑了一本勾股定理证明的小册子――《毕氏命题》，作者收集了这个著名定理的370种证明，其中包括大画家达•芬奇和美国总统詹姆士••••阿•加菲尔德（James Abram

Garfield,1831~1881）的证法.美国总统詹姆士••阿•加菲尔德的证法如下：

1112S梯形＝a+b）＝a2abb2,222如图：因为 111S梯形2abc2abc2.222a

b所以a2b2c2.勾股定理是一条古老而又应用十分广泛的定理.例如从勾股定理出发逐渐发展了开平方、开立方；用勾股定理求圆周率.据说4000多年前，中国的大禹曾在治理洪水的过程中利用勾股定理来测量两地的地势差.勾股定理以其简单、优美的形式，丰富、深刻的内容，充分反映了自然界的和谐关系.人们对勾股定理一直保持着极高的热情，仅定理的证明就多达四百多种，甚至著名的大物理学家爱因斯坦也给出了一个证明.中国著名数学家华罗庚在谈论到一旦人类遇到了“外星人”，该怎样与他们交谈时，曾建议用一幅反映勾股定理的数形关系图来作为与“外星人”交谈的语言.这充分说明了勾股定理是自然界最本质、最基本的规律之一，而在对这样一个重要规律的发现和应用上，中国人走在了前面.方案三（教师介绍欧几里得证法）证明：证明：在Rt△ABC的三边上向外各作一个正方

形（如图8），作CN⊥DE交AB于M，那么正方形被分成两个矩形．连结CD和KB． ∵由于矩形ADNM和△ADC有公共的底AD和相等的高，∴Ｓ矩形ADNM＝2Ｓ△ADC

又∵正方形ACHK和△ABK有公共的底AK和相等的高，∴Ｓ正方形ACHK＝2Ｓ△ABK

在△ADC和△ABK中

∵AD＝AB，AC＝AK，∠CAD＝∠KAB

∴△ADC≌△ABK

由此可得Ｓ矩形ADNM＝Ｓ正方形ACHK 同理可证

图8

Ｓ矩形BENM＝Ｓ正方形BCGF

∴Ｓ正方形ABED＝Ｓ矩形ADNM＋Ｓ矩形BENM＝Ｓ正方形ACHK＋Ｓ正方形BCGF

即a2b2c2.（目的：在勾股定理的发现过程中，充分鼓励学生不同的拼图方法得出不同的验证方法，帮助学生自主建构新知识.另外要介绍学生所拼的图7就是古代的弦图，也是在北京召开的2002年国际数学家大会的会标，进一步激发学生的成就感.让学生充分体验到探索创新所带来的成功的喜悦.）

四、应用新知、解决问题

例1如图19.2.4，将长为5.41米的梯子AC斜靠在墙上，BC长为2.16米，求梯子上端A到墙的底端B的距离AB.（精确到0.01米）

解在Rt△ABC中,∠ABC=90゜,BC=2.16, CA=5.41,根据勾股定理得

ABAC2BC25.4122.16

2≈4.96（米）

答：梯子上端A到墙的底端B的距离约为4.96米.图

19.2.4例2（趣味剪纸）如图两个边长分别为4个单位和

3个单位的正方形连在一起的“L”形纸片，请你剪两刀，再将所得到的图形拼成正方形.（目的：本段内容主要通过教师启发引导，学生共同探究完成，一方面让学生感受解决问题的愉悦与强烈的成就感，培养学生动手能力和学习兴趣以及加强对勾股定理的理解.另一方面让学生知道：（1）勾股定理应用的前提条件（在直角三角形中）；（2）已知直角三角形的两边会用勾股定理求第三边.）

五、自我评价、形成知识

⑴这节课我的收获是.⑵我感兴趣的地方是.⑶我想进一步研究的问题是.（目的：通过这几个问题，可以很好的揭示学生新建立的不同的认知结构，也体现了不同的人学数学有不同的收获.把学习的权利交给学生，使学生体验做数学的乐趣.同时，把探究阵地从课堂延伸到课外，有利于充分挖掘学生的潜能.）

六、作业

⑴课本P104习题19.2 1，2，3⑵通过上网，搜索有关勾股定理的知识：如（1）勾股定理的历史；（2）勾股定

理的证明方法；（3）勾股定理在实际生活中的应用等.然后写一篇以勾股定理为

主题的小论文.（目的：巩固勾股定理，进一步体会定理与实际生活的联系.促进学生学知识，用知识的意识.新课程标准提倡课题学习（研究性学习），通过课题学习与研究更多地把数学与社会生活和其他学科知识联系起来，使学生进一步体会不同的数学知识以及数学与外界之间的联系，初步学习研究问题的方法，提高学生的实践能力和创新意识.）

· 关于教学设计的几点说明：

1、这节课是定理课，针对八年级学生的知识结构和心理特征，本节课我准备以“问题情境-----实验、猜测-----验证、证明----实际应用”的模式展开，引导学生从已有的知识和生活经验出发，提出问题与学生共同探索、讨论.让学生经历知识的发生、形成与应用的过程，从而更好地理解数学知识的意义.让学生体会到观察、猜想、归纳、验证的思想和数形结合的思想；

2、由于学生的个体差异表现为认知方式与思维策略的的不同，以及认知水平和学习能力的差异，所以在整个教学过程中，我都将尊重学生在解决问题过程中所表现出的不同水平，尽可能让所有学生都能主动参与，并引导学生在与他人的交流中提高思维水平.在学生回答时，我通过语言、目光、动作给予鼓励与赞许，发挥评价的积极功能；

3、探索定理采用了面积法，通过用割补两种方法对直角边为3、4这一特殊直角三角形的斜边上的正方形的面积的计算，得到此直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方.由此自然的过渡到对一般直角三角形三边关系的研究，当然也自然的用此方法证明了勾股定理.这种方法是认识事物规律的重要方法之一，通过教学让学生初步掌握这种方法，对于学生良好思维品质的形成有重要作用，对学生的终身发展也有一定的作用；

4.初中勾股定理教案篇四

2.会综合运用平行四边形的判定方法和性质来解决问题

教学重点：平行四边形的判定方法及应用

教学难点：平行四边形的判定定理与性质定理的灵活应用

引

小明的父亲手中有一些木条，他想通过适当的测量、割剪，钉制一个平行四边形框架，你能帮他想出一些办法来吗?

二.探

阅读教材P44至P45

利用手中的学具——硬纸板条，通过观察、测量、猜想、验证、探索构成平行四边形的条件，思考并探讨：

(1)你能适当选择手中的硬纸板条搭建一个平行四边形吗?

(2)你怎样验证你搭建的四边形一定是平行四边形?

(3)你能说出你的做法及其道理吗?

(4)能否将你的探索结论作为平行四边形的一种判别方法?你能用文字语言表述出来吗?

(5)你还能找出其他方法吗?

从探究中得到：

平行四边形判定方法1 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

平行四边形判定方法2 对角线互相平分的四边形是平行四边形。

证一证

平行四边形判定方法1 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

证明：(画出图形)

平行四边形判定方法2 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

证明：(画出图形)

三.结

两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

对角线互相平分的四边形是平行四边形。

四.用

【例题】

例、已知：如图所示，在ABCD中，E、F分别为AB、CD的中点，求证四边形AECF是平行四边形.

【练习】

1、已知：四边形ABCD中，AD∥BC，要使四边形ABCD为平行四边形，

需要增加条件 .(只需填上一个你认为正确的即可).

2、如图所示，在ABCD中，E,F分别是对角线BD上的两点，

且BE=DF，要证明四边形AECF是平行四边形，最简单的方法

是根据来证明.

作业P46练习1、2题

板书设计

平行四边形的性质

定理：平行四边形的性质例题练习

5.初中数学《勾股定理》教案篇五

例1(P83例2)让学生养成利用勾股定理的逆定理解决实际问题的意识。

例2(补充)培养学生利用方程思想解决问题，进一步养成利用勾股定理的逆定理解决实际问题的意识。

二、课堂引入

创设情境：在军事和航海上经常要确定方向和位置，从而使用一些数学知识和数学方法。

三、例习题分析

例1(P83例2)

分析：⑴了解方位角，及方位名词;

⑵依题意画出图形;

⑶依题意可得PR=12×1.5=18，PQ=16×1.5=24，QR=30;

⑷因为242+182=302，PQ2+PR2=QR2，根据勾股定理的逆定理，知∠QPR=90°;

⑸∠PRS=∠QPR-∠QPS=45°。

小结：让学生养成“已知三边求角，利用勾股定理的逆定理”的意识。

例2(补充)一根30米长的细绳折成3段，围成一个三角形，其中一条边的长度比较短边长7米，比较长边短1米，请你试判断这个三角形的形状。

分析：⑴若判断三角形的形状，先求三角形的三边长;

⑵设未知数列方程，求出三角形的三边长5、12、13;

⑶根据勾股定理的逆定理，由52+122=132，知三角形为直角三角形。

解略。

四、课堂练习

1。小强在操场上向东走80m后，又走了60m，再走100m回到原地。小强在操场上向东走了80m后，又走60m的方向是。

2。如图，在操场上竖直立着一根长为2米的测影竿，早晨测得它的影长为4米，中午测得它的影长为1米，则A、B、C三点能否构成直角三角形?为什么?

6.勾股定理回顾与思考教案篇六

对直角三角形的特殊性质全面进行总结。让学生回顾本章的知识，同时重温这些知识尤其是勾股定理的获得和验证的过程，在勾股定理及其逆定理应用过程中，体会各种数学思想方法的应用。了解勾股定理的历史。能力训练要求

体会在结论获得和验证过程中的数形结合的思想方法。

在回顾与思考的过程中，提高学生分析问题、解决问题的能力，鼓励学生要善于思考、善于创新。

情感与价值观要求

在反思和交流的过程中，体验学习带来的无尽乐趣。

通过对勾股定理历史的了解，培养学生的爱国主义精神，体验科学给人类带来的力量。教学重点

回顾并思考勾股定理及其逆定理的获得和验证过程；总结直角三角形边、角之间分别存在的关系。

在勾股定理及其逆定理应用过程中，体会各种数学思想方法。教学难点

在勾股定理及其逆定理应用过程中，体会各种数学思想方法。建立本章的知识框架图。教学方法

交流与反思-----合作与探究教具准备无

教学过程

创设情境，导入新课活动一：展示两幅图片，第一幅图片为2002年在我国北京召开的第24届国际数学家大会的场景，值得一提的是这次大会的会徽，为著名的赵爽弦图。

第二幅图片为我国著名数学家华罗庚教授提议的向宇宙发射的勾股定理的图形，用来与外星人联系。我国著名数学家华罗庚曾经说过：“把勾股定理送到外星球，与外星人进行数学交流”。

勾股定理是反映自然界基本规律的一条重要结论，它有着悠久的历史，在数学的发展中起着重要作用，在现实世界中有着广泛的应用。勾股定理的发现、验证及应用的过程蕴含了丰富的文化价值。这节课，我们将通过回顾与思考中的几个问题更进一步了解勾股定理的历史和它的广泛应用。

设计意图：这样的导入富有科学特色和浓郁的数学气息，激起学生强烈的兴趣和求知欲。

二、反思交流，探求新知，：

一、议一议：

1、直角三角形的边、角之间分别存在什么关系？ ⑴在△ABC中，∠C＝90º，a，b，c为三角形的三边，则角与角之间的关系：∠A＋∠B＝90º 边与边之间的关系：a2 + b2 = c2 ⑵在△ABC中，a，b，c为三角形的三边，如果∠A＋∠B＝90º，则三角形为直角三角形。a2 + b2 = c2则三角形为直角三角形。

活动三：回顾勾股定理及直角三角形的判别条件

如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2 + b2 = c2 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

直角三角形的判别条件：如果三角形的三边长a，b，c满足a2 +b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。

满足a2 +b2=c2的三个正整数，称为勾股数

游戏：叫一列学生玩常见勾股数的接龙游戏。3、4、5；6、8、10；9、12、15；15、20、25；5、12、13；8、15、17；7、24、25；9、40、41等。

二、方格纸中勾股定理的验证

方法一：分割为四个直角三角形和一个小正方形。

方法二：补成大正方形，用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积。

方法三：将几个小块拼成一个正方形，如图中两块红色（或绿色）可拼成一个小正方形。方法四：利用皮克公式

正方形周边上的格点数a=12，正方形内部的格点数b=13，所以，正方形C的面积为：S=1/2a+b-1.三、史话勾股定理的证明

1、三国时期数学家赵爽在为《周髀算经》作注时，创制了一幅“勾股圆方图”，也称为“弦图”，这是我国对勾股定理最早的证明.它用几何图形来证明代数式之间的恒等关系,体现了以形证数、形数统一、代数和几何的紧密结合.2、传说古希腊的毕达哥拉斯用下面的两个图形证明了勾股定理,你能直接观察验证勾股定理吗？

活动：通过本章的学习，你还知道勾股定理的哪些证明方法？请同学们介绍。

1、美国总统伽菲尔德的证明.他的方法直观、简捷、易懂、明了。

2、刘徽的“青朱出入图”，证明不需用任何数学符号和文字，更不需进行运算，隐含在图中的勾股定理便清晰地呈现，整个证明单靠移动几块图形而得出，被称为“无字证明”.3、著名画家达芬奇的证明同学们，通过了解勾股定理的历史，我们感受到古代数学家的伟大成就和勾股定理丰富的文化价值，希望同学们在今后的学习中善于探索，善于创新，并且把这些成就发扬光大。

四、欣赏美丽的勾股树，感受数学图形之美，创造之美。

五、拓展与应用勾股定理中的思想方法数学思想方法是解决数学问题的灵魂．正解的运用数学思想方法也是成功解题的关键．尤其是在运用勾股定理解题时，更应注重思想方法的运用，那么你知道运用勾股定理解题应注重哪些思想方法呢？为了帮助同学们能清楚地知道这一问题，现就常用的思想方法举例说明，供同学们学习时参考．类型之

一、分类讨论思想

已知一个直角三角形的两边长是和，求第三边的长．分析已知一个直角三角形的两边长，并没有指明是直角边还是斜边，因此要分类讨论．解当和是两条直角边时，则利用勾股定理求得第三条边即斜边是＝5；当是直角边，是斜边时，仍由勾股定理求得另一条直角边是㎝．

说明求解本题许多同学往往受勾3股4弦5的思维定势，而误认为和就是直角三角形的两条直角边，斜边当然是了，从而漏掉一解导致错误．构造直角三角形解题

类型之二转化思想台阶中的最值问题

空间图形的距离最短问题是勾股定理在实际生活中的具体应用，一般地求距离最短问题要把“立体图形”转化为“平面图形”，再利用“两点之间线段最短”，以及“勾股定理”等知识来解决问题，这类问题涉及的几何体主要有长方体、正方体、圆柱等。

1、台阶中的最值问题

如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于５cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物。请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是多少？解：台阶展开成平面如图所示，连接AB 因为BＣ＝３×３＋１×３＝１２，AC=5，所以AB2=AC2+BC2=169，ＡＢ＝１３㎝，所以蚂蚁爬行的最短路线为１３㎝。B 类型之三方程思想

3、如图，在波平如镜的湖面上，有一朵美丽的红莲，它高出水面3尺。突然，一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为6尺，请问水深多少？分析：由题意，我们知在图1-1中为AB湖水的深度，AC为荷花的长，△ABC为直角三角形．解：设水深为x尺，则荷花的长为（x+3）尺，由勾股定理得： 62+ x2=（x+3）2

解得：x=4.5,所以这个湖的水深为4.5尺．类型之四数形结合思想

应用勾股定理及其逆用解决有关航海问题的应用题，首先要能从实际问题中抽象出数学模型，画出图形，结合其他知识求出直角三角形的未知边或相关的量。

例如：甲、乙两船从港口A同时出发，甲船以30海里/小时的速度向北偏东35°的方向航行，乙船以40海里/小时的速度另一个方向航行,2小时后，甲船达到C岛，乙船到达B岛。若两岛相距100海里，问：乙船航行的方向是南偏东多少度？解：如图所示，在△ABC中，因为AC=2 × 30=60，AB=2 × 40=80，BC=100，所以AC2+BC2=602+802=3600+6400=10000=1002=BC2，所以△ABC是直角三角形，且∠BAC=90°.由于180°－35°－ 90°= 55°，所以乙船航行的方向是南偏东55 °。

六、跟踪练习

1、已知一个Rt△ABC的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是

2、有一个圆柱，它的高等于13厘米，底面半径等于3厘米.一只蚂蚁从距底面1米的A点爬行到对角B点处去食物，需要爬行的最短路程是多少？(π的值取3).解：将圆柱的侧面展开成平面图形，连接AB 因为ＡＣ＝１３－１＝１２㎝，BC=３×３＝９㎝，所以AB2=AC2+BC2=２２５，ＡＢ＝１５㎝，所以蚂蚁爬行的最短路线为１５㎝。

七、感悟与收获

1、通过这节课的学习活动你有哪些收获？

2、通过本节课的学习，你获得了那些数学思想和方法？

3、学习过程中你还有什么困惑？

八、分层作业必做题：

1、课本第16页复习题

3，4，5

B组1

2、独立完成一份小结，用自己的语言梳理本章的内容。选做题：