定义证明二重极限

定义证明二重极限（共4篇）

1.定义证明二重极限 篇一

极限定义证明

趋近于正无穷，根号x分之sinx等于0

x趋近于负1/2，2x加1分之1减4x的平方等于

2这两个用函数极限定义怎么证明?

x趋近于正无穷，根号x分之sinx等于0

证明：对于任意给定的ξ>0，要使不等式

|sinx/√x-0|=|sinx/√x|<ξ成立，只需要

|sinx/√x|^2<ξ^2,即sinx^2/x<ξ^2(∵x→+∞),则x>sinx^2/ξ^2,∵|sinx|≤1∴只需不等式x>1/ξ^2成立，所以取X=1/ξ^2，当x>X时，必有|sinx/√x-0|<ξ成立，同函数极限的定义可得x→+∞时，sinx/√x极限为0.x趋近于负1/2，2x加1分之1减4x的平方等于2

证明：对于任意给定的ξ>0，要使不等式

|1-4x^2/2x+1-2|=|1-2x-2|=|-2x-1|=|2x+1|<ξ成立，只

需要0<|x+1/2|<ξ/2成立.所以取δ=ξ/2,则当0<|x+1/2|<δ时，必有

|1-4x^2/2x+1-2|=|2x+1|<ξ，由函数极限的定义可得x→-1/2时，1-4x^2/2x+1的极限为2.注意，用定义证明X走近于某一常数时的极限时，关键是找出那个绝对值里面X减去的那个X0.记g(x)=lim^(1/n)，n趋于正无穷;

下面证明limg(x)=max{a1,...am},x趋于正无穷。把max{a1,...am}记作a。

不妨设f1(x)趋于a;作b>a>=0,M>1;

那么存在N1,当x>N1,有a/M<=f1(x)

注意到f2的极限小于等于a，那么存在N2，当x>N2时，0<=f2(x)

同理，存在Ni，当x>Ni时，0<=fi(x)

取N=max{N1,N2...Nm};

那么当x>N,有

(a/M)^n<=f1(x)^n<=f1(x)^n+...fm(x)^n

所以a/M<=^(1/n)

对n取极限，所以a/M<=g(x)N时成立;

令x趋于正无穷，a/M<=下极限g(x)<=上极限g(x)<=b;

注意这个式子对任意M>1,b>a都成立，中间两个极限都是固定的数。

令M趋于正无穷，b趋于a;

有a<=下极限g(x)<=上极限g(x)<=a;

这表明limg(x)=a;

证毕;

证明有点古怪是为了把a=0的情况也包含进去。

还有个看起来简单些的方法

记g(x)=lim^(1/n)，n趋于正无穷;

g(x)=max{f1(x),....fm(x)};

然后求极限就能得到limg(x)=max{a1,...am}。

其实这个看起来显然，但对于求极限能放到括号里面，但真要用极限定义严格说明却和上面的证明差不多。

有种简单点的方法，就是

max{a,b}=|a+b|/2+|a-b|/2从而为简单代数式。

多个求max相当于先对f1，f2求max，再对结果和f3求，然后继续，从而为有限次代数运算式，故极限可以放进去。

2一)时函数的极限：

以时和为例引入.介绍符号:的意义,的直观意义.定义(和.)

几何意义介绍邻域其中为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍几何意义.例1验证例2验证例3验证证……

(二)时函数的极限：

由考虑时的极限引入.定义函数极限的“”定义.几何意义.用定义验证函数极限的基本思路.例4验证例5验证例6验证证由=

为使需有为使需有于是,倘限制,就有

例7验证例8验证(类似有(三)单侧极限:

1.定义：单侧极限的定义及记法.几何意义:介绍半邻域然后介绍等的几何意义.例9验证证考虑使的2.单侧极限与双侧极限的关系:

Th类似有:例10证明:极限不存在.例11设函数在点的某邻域内单调.若存在,则有

=§2函数极限的性质(3学时)

教学目的：使学生掌握函数极限的基本性质。

教学要求：掌握函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。

教学重点：函数极限的性质及其计算。

教学难点：函数极限性质证明及其应用。

教学方法：讲练结合。

一、组织教学：

我们引进了六种极限:,.以下以极限为例讨论性质.均给出证明或简证.二、讲授新课：

(一)函数极限的性质:以下性质均以定理形式给出.1.唯一性:

2.局部有界性:

3.局部保号性:

4.单调性(不等式性质):

Th4若和都存在,且存在点的空心邻域,使，都有证设=(现证对有)

註:若在Th4的条件中,改“”为“”,未必就有以举例说明.5.迫敛性:

6.四则运算性质:(只证“+”和“”)

(二)利用极限性质求极限：已证明过以下几个极限：

(注意前四个极限中极限就是函数值)

这些极限可作为公式用.在计算一些简单极限时,有五组基本极限作为公式用,我们将陆续证明这些公式.利用极限性质，特别是运算性质求极限的原理是：通过有关性质,把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值,即计算得所求极限.例1(利用极限和)

例2例3註:关于的有理分式当时的极限.例4

例5例6例7

2.数列极限的定义 篇二

教材：数列极限的定义（N）

目的：要求学生掌握数列极限的N定义，并能用它来说明（证明）数列的极限。过程：

一、复习：数列极限的感性概念

二、数列极限的N定义



1n

3．小结：对于预先给定的任意小正数，都存在一个正整数N，使得只要nN 就

有an0<

4．抽象出定义：设an是一个无穷数列，a是一个常数，如果对于预先给定的任

意小的正数，总存在正整数N，使得只要正整数nN，就有ana<，那么就说数列an以a为极限（或a是数列an的极限）

Xupeisen110高中数学

记为：limana 读法：“”趋向于“n” n无限增大时

n

注意：①关于：不是常量，是任意给定的小正数

②由于的任意性，才体现了极限的本质

③关于N：N是相对的，是相对于确定的，我们只要证明其存在④ana：形象地说是“距离”，an可以比a大趋近于a，也可以比a小趋近于

例四1．lim

n

证明

证明2：设是任意给定的小正数

要使3n13 只要

2n1

12n1





n

54



取N51当nN时，3n13恒成立

3.第二讲 极限的定义与基本性质 篇三

一、数列极限及其性质

1．数列极限的定义：

xn收敛于a0，NN，s.t.xna,nN。

值得注意的是：1）N依赖于，但不唯一，而事先给定；

2）不等式xna中的可以用K来代替，其中K0不依赖于N,；

3）N可以通过xna得到，需要解不等式或作适当的放大。

例1 证明：a0，an

n!

n0。

分析：直接求解不等式

时 an!用放大法。记m[a]，则当nm0是不现实的。

n!12m(

从而 1)nm(1n)m(nm，1)

am(m1)，n!m1

注意到a[a]1m1，因此0

即可。

证明：0，不妨设1。记m[a]，取Nannm(m1)从而只要解1，m1m1aanmln(m1)ln，则当

ln(m1)lna

nN时有

am0(m1)，n!m1

因此由极限定义得annan

n!0。

□

2．用定义证明极限存在的方法

1）放大法：如前。

2）分步法与拟合法

例2 设xna，证明x1xn

na。

分析：若把xn中每项看成a，则

x1xn

n的值恰为a，因此

n

x1xn

n

a

1n

n

(x

i

1i

a)

n

i1

xia。

其余要借助假设xna来证明。给定0，N，当nN时xna，因此不能控制的项为x1a,x2a,,xNa。但好在这种项只有N项，从而可以调整n来控制它们。

证明：0，由xna，N1，当nN1时xna/2，从而

x1xn

nnN1

n

a1

N1

1n

n

(x

i1

i

a)

n

n

i1N1i1

xia

/2

n

i1

xia/2

n

xia。

又收敛数列有界，不妨设xnM,n，则

N1

n

i1

xia

N1n

Ma。

N1

12N1

(M|a|)，则当nN2时令N2n



i1

xia

。

最后，令Nmax{N1,N2}，则当nN时有

x1xn

n

a。因此由极

限定义知

x1xn

n

a。

□ 我们看到，这里我们先利用了极限的定义，然后再利用极限的性质（有界性）来完成证

明。

例3 证明：若pk0(k1,2,)且lim

pn

p1p2pn

n

0，limxna。

n

证明lim

p1xnp2xn1pnx1

p1p2pn

n

a。

分析：把xn中每项看成a，则极限号后面的式子的值恰为a，因此

p1xnp2xn1pnx1

p1p2pn

pk

a

p1xnap2xn1apnx1a

p1p2pn。

然后我们在试图用分步的方法来估计。记qk注意到qk

(k)

(n)



p1p2pn，k1,2,,n，0，因此若nk，则当k时n，从而

(n)k

0q因而qk再由qk

(n)



pk

p1p2pn

n

qk

(k)

0，0，k。0，由limxna，N1，当nN1时xna。

(n)

0，k，N2，当nkN2时0qk

p1xnp2xn1pnx1

p1p2pnq

(n)

k

N

2(n)

。于是

n

a

q

k1

(n)k

xnk1a

n

nN1





k1

xnk1a



knN11

q

(n)k

xnk1a



kN21

qk

(n)

xnk1a

我们看到，只有中间的项得不到控制。为此我们设法使得中间项不存在，即要求

N2nN11。为此，只需要nN1N21即可。因此我们取NN1N21。

Ex1: 请完成上面的证明。

注意在上面的例题中，我们都利用xn的极限来拟合数列的项从而简化问题。这种方法称为“拟合法”，它经常与分步法同时应用。这个方法在很多类型的题目中都会用到，今后在出现相关例子时我们再作说明。

我们看到，如果在例3中取pk1，则得到例2。一个更一般的题目如下： 例4 设xna,ynb(n)，则lim

n

k

n

xn

k1

ynk1ablim

n

k

n

xn

k1

yk。

Ex2：证明例4。

n

例5 设x0时f(x)x。xn

n



i1

2i1fa，a0，证明xna。2naa。于是

证明：用x拟合f(x)，则xn

n



i1

2i1n

xna



i1n

2i12i1aa 22f

nn2i12i1

faa。22

nn





i1

由假设，0，0，当0x时有f(x)xx。取N则当nN时，对1in有0从而

n

2a

，

2i1n

a

2n

a，xna



i1

2i12i1faa 22

nn

n





i1

(2i1)an

a。

因此由极限的定义有xna。

□

例6 设ana，证明lim

aaCaCana。1n2nn02

n

提示：利用1

n

n

C

k0

k

n

以及lim

n

Cn2

n

k

0(k1,2,,n)。

二、极限的基本性质与应用

1．极限的性质

1）收敛数列（函数）的（局部）有界性

2）保号、保序性

2．极限的四则运算：条件—在极限存在且四则运算有意义。

例7若xna0，证明存在自然数N，当nN时证明：取

a2

a2

xn

a。

0，由xna，存在自然数N，当nN时有

a2

a2xn

32a。

xna

4.证明极限不存在 篇四

沿着两条直线y=2x

y=-2x趋于(0,0)时

极限分别为-3和-1/3不相等

极限存在的定义要求延任何过(0,0)直线求极限时极限都相等

所以极限不存在3lim(x和y)趋向于无穷大(x^2-5y^2)/(x^2+3y^2)

证明该极限不存在lim(x^2-5y^2)/(x^2+3y^2)

=lim(x^2+3y^2)/(x^2+3y^2)-8y^2/(x^2+3y^2)

=1-lim8/

因为不知道x、y的大校

所以lim(x和y)趋向于无穷大(x^2-5y^2)/(x^2+3y^2)

极限不存在4

如图用定义证明极限不存在~谢谢！

反证法

若存在实数L，使limsin(1/x)=L，取ε=1/2，在x=0点的任意小的邻域X内，总存在整数n，①记x1(n)=1/(2nπ+π/2)∈X，有sin=1，②记x2(n)=1/(2nπ-π/2)∈X，有sin=-1，使|sin-L|<1/3，和|sin-L|<1/3，同时成立。

即|1-L|<1/2，|-1-L|<1/2，同时成立。

这与|1-L|+|-1-L|≥|(1-L)-(-1-L)|=2发生矛盾。