北京交通大学复变函数

北京交通大学复变函数（精选7篇）

1.北京交通大学复变函数 篇一

第一章

复数

=-1

欧拉公式

z=x+iy

实部Re

z

虚部

Im

z

2运算

①

②

③

④

⑤

共轭复数

共轭技巧

运算律

P1页

3代数，几何表示

z与平面点一一对应，与向量一一对应

辐角

当z≠0时，向量z和x轴正向之间的夹角θ，记作θ=Arg

z=

k=±1±2±3…

把位于-π＜≤π的叫做Arg

z辐角主值

记作=

4如何寻找arg

z

例：z=1-i

z=i

z=1+i

z=-1

π

极坐标：，利用欧拉公式

可得到

高次幂及n次方

凡是满足方程的ω值称为z的n次方根，记作

即

第二章解析函数

1极限

2函数极限

①

复变函数

对于任一都有

与其对应

注：与实际情况相比，定义域，值域变化

例

②

称当时以A为极限

☆

当时，连续

例1

证明在每一点都连续

证：

所以在每一点都连续

3导数

例2

时有

证：对有

所以

例3证明不可导

解：令

当时，不存在，所以不可导。

定理：在处可导u，v在处可微，且满足C-R条件

且

例4证明不可导

解：

其中

u,v

关于x,y可微

不满足C-R条件

所以在每一点都不可导

例5

解：

不满足C-R条件

所以在每一点都不可导

例6：

解：

其中

根据C-R条件可得

所以该函数在处可导

4解析

若在的一个邻域内都可导，此时称在处解析。

用C-R条件必须明确u,v

四则运算

☆

例：证明

解：

则

任一点处满足C-R条件

所以处处解析

练习：求下列函数的导数

解:

所以

根据C-R方程可得

所以当时存在导数且导数为0，其它点不存在导数。

初等函数

Ⅰ常数

Ⅱ指数函数

①

定义域

②

③

④

Ⅲ对数函数

称满足的叫做的对数函数，记作

分类：类比的求法（经验）

目标：寻找

幅角主值

可用：

过程：

所以

例：求的值

Ⅳ幂函数

对于任意复数，当时

例1：求的值

解：

例2：求

Ⅴ三角函数

定义：对于任意复数，由关系式可得的余弦函数和正弦函数

例：求

解：

第三章复变函数的积分

1复积分

定理3.1

设C是复平面上的逐段光滑曲线在C上连续，则在C上可积，且有

注：①C是线

②方式跟一元一样

方法一：思路：复数→实化

把函数与微分相乘，可得

方法二：参数方程法

☆核心：把C参数

C：

例：

求

①C：0→的直线段②；

解：①C：

②

★

结果不一样

2柯西积分定理

例：

C：以a为圆心，ρ为半径的圆，方向：逆时针

解：C：

☆

积分与路径无关：①单联通

②处处解析

例：求，其中C是连接O到点的摆线：

解：已知，直线段L与C构成一条闭曲线。因在全平面上解析，则

即

把函数沿曲线C的积分化为沿着直线段L上的积分。由于

故

★关键：①恰当参数

②合适准确带入z

3不定积分

定义3.2

设函数在区域D内连续，若D内的一个函数满足条件

定理3.7

若可用上式，则

例：

计算

解：

练习：计算

解：

4柯西积分公式

定理

处处解析在简单闭曲线C所围成的区域内则

例1：

解：

例2：

解：

例3：

解：

注：①C：

②

一次分式

③找到

在D内处处解析

例4：

解：5

解析函数的高阶导数

公式：

n=1，2……

应用要点：①

②

③精准分离

例：

调和函数

若满足则称叫做D内的调和函数

若在D内解析

所以

把称为共轭调和函数

第四章

级数理论

1复数到

距离

谈极限

对若有使得

此时

为的极限点

记作

或

推广：对一个度量空间都可谈极限

极限的性质

级数问题

部分和数列

若

则收敛，反之则发散。

性质：1若

都收敛，则收敛

2若一个收敛，一个发散，可推出发散

若

绝对收敛

若

但收敛，为条件收敛

等比级数

：

时收敛，其他发散

幂级数

则

求收敛域

例：求的收敛半径及收敛圆

解：因为

所以级数的收敛半径为R=1，收敛圆为

泰勒级数

泰勒定理：设函数在圆K：内解析，则在K内可以展成幂级数

其中，（n=0,1,2……），且展式还是唯一的。

例

1：求在处的泰勒展式

解

：在全平面上解析，所以在处的泰勒展式为

例2：

将函数展成的幂级数

解：

罗朗级数

罗朗定理

若函数在圆环D：内解析，则当时，有

其中

例：将函数在圆环（1）

（2）

内展成罗朗级数。

解：（1）在内，由于，所以

（2）在内，由于，所以

孤立奇点

定义：若函数在的去心邻域内解析，在点不解析，则称为的孤立奇点。

例

：

为可去奇点

为一级极点

为本性奇点

第5章

留数理论（残数）

定义：

设函数以有限项点为孤立奇点，即在的去心邻域内解析，则称积分的值为函数在点处的留数

记作：

其中，C的方向是逆时针。

例1：求函数在处的留数。

解：因为以为一级零点，而，因此以为一级极点。

例2：求函数在处的留数

解：是的本性奇点，因为

所以

可得

第7章

傅里叶变换

通过一种途径使复杂问题简单化，以便于研究。

定义：对满足某些条件的函数

在上有定义，则称

为傅里叶变换。

同时

为傅里叶逆变换

注：①傅里叶变换是把函数变为函数

②傅里叶逆变换是把函数变为函数

③求傅里叶变换或傅里叶逆变换，关键是计算积分

④两种常见的积分方法：凑微分、分部积分

复习积分：①

②

③

④

⑤

注：

例1：求的解：

例2：求的解：

-函数

定义：如果对于任意一个在区间上连续的函数，恒有，则称为-函数。

例1：求-函数的解：

例2：求正弦函数的傅氏变换

解：

☆

第8章

拉普拉斯变换

设在时有定义

2.北京交通大学复变函数 篇二

一、复数的基本形式和运算法则

这部分的主要内容是:复数的基本运算法则;及复数点集的表示。 (一) 复数非函数在工程技术应用有如下法则:复数是一个二维变量联合;有四种形式: (1) 代数形式适合做加减, 适合直接读取实部Re和虚部Im这两个独立变量。乘除运算也可用代数形式, 但一般只在不易化成极坐标的情况下使用;比如用分母的共轭复数相乘来替代除法; (2) 极坐标形式是一种多值形式, 适合做乘除, 根本无法做加减。指数形式是极坐标形式的另一种写法而已, 指数形式和极坐标形式都可以用欧拉公式或三角函数形式展开。平面几何表示复数时, 代数形式是一个点;极坐标形式是一条起点在原点的线。极轴一定是正的, 夹角Argz是多值的;主值argz要根据Re和Im关系在半闭区间 (-180, 180] 内判断。复数乘除的主值计算可以分布成加减, 加减之后的主值计算比较麻烦; (3) 三角函数形式就是欧拉公式的展开, 这种形式不易做任何运算, 但是它是代数和极坐标形式之间互换的唯一工具。掌握好上述知识点就不难把握这一部分的考点: (1) 复变函数的四种形式之间如何转换; (2) 不同形式的复数进行加减乘除的, 包括复数的N次方根有N个结果, 复数的方根必须用复数的极坐标形式反用棣莫佛定理; (3) 复数的乘除特殊法则是N次方及反开方, 复数没有绝对值只有模。

此外共轭复数也是运算形式的一个要点, 其与原复数的模相同, 主值相反;加减乘除后共轭和分步共轭效果一样;复数的二元变量可以通过自身和共轭加减表示;复数和差求模可以化为复数与共轭的运算;也可以证明求模的一些不等式。

(二) 复数点集规律点集的表示方法有3种: (1) 实部x和虚部y或其中一部的关系方程 (一般为曲线) ; (2) 复数模或复角的等式或不等式方程 (一般为区域) ; (3) x和y之一或全部参数方程。三者可以互换, 方法用参数转化或x, y与共轭等运算表示。

复平面点集的定义有三种:点集可以是离散的若干个点, 也可以是几条没有面积的曲线 (当然包括直线) , 当然也可以是中间有若干洞或没洞的区域。点集有界无界取决于其包裹半径必须不是无穷大。曲线是另一种点集 (不能是一个点) , 简单或约当曲线无重点, 简单的闭曲线才有方向, 逆时针方向为正 (区域在左) 。曲线一般用参数方程表示, 光滑就是曲线方程可导或者复数点集的实部和虚步对参数可导。逐段光滑的意思是交点的要左右可导。领域是指的半径可以无穷小, 但不是0的一个概念圆域;内点、外点和界点就是根据这个无穷小但不为0的概念圆域;区域准确的概念是指的非离散的曲线或区域集合, 开集只有内点没有界点和外点。区域一般不声明都不是包含边界的闭域, 而是开域。区域要确定是否有界。单连通区域就是中间没有洞, 或者有洞但洞的边界和区域边界相交的情况, 多连通区域中间至少有一个洞, 这个洞可以是一个点或者说是无穷小的空心。

二、复变函数的建立及可导及解析的意义剖析

这部分内容较多, 但是重点是要区分开高等数学中的实变函数与复变函数在以下知识点上都是“神似意似而概念计算区别很大”。

(一) 复变函数的概念, 复变函数虽然定义是一个复数“自变量”映射出另一个复数“像” (多值函数一般不在范围内) 但不能用一条平面曲线来反映, 其为一个复平面的点集映射到另个复平面的点集或区域。也称映射或变换。根据自变量z点集计算复变函数像w的方法, 一种是利用参数方程 (主要针对曲线) , 一种是利用方程组二元换算。 (二) 极限相对于高等数学中经常见的一元函数y=f (x) 的极限来时, 趋近极限的方向是360度任意的;且复变函数的极限可以拆成实部和虚部两个“二元实变函数”。极限加减乘除依然是极限加减乘除。

三、复变函数的积分认识

(一) 复变函数积分的定义是在对一条逐段光滑曲线的积分, 但这种曲线积分;很难通过定义来求解。微分元dz=d (x+yi) 其实是二元的, 积分函数f (z) =u (x, y) +v (x, y) i更是二元变量计算出来的新的二元函数。因此复变函数积分都是曲线积分, 常用解法是参数方程法分三步解决问题: (1) 写出曲线的参数方程z=z (t) 并确定参数的上下限范围t属于 [a, b];[a, b] 就是将曲线积分变成定积分的上下限; (2) 将被积函数f (z) 改写成参数t的函数f[z (t) ]; (3) 将微分元dz改写成t的微分元d[z (t) ]=z (t) dt。此外, 复变函数的积分解法二就是直接视z为一元变量积分;但只能对简单的初等函数使用, 被积函数f (z) 按第二部分的导数反演其原函数。此外复变函数积分还有相互及曲线加减结合和常数乘法乘除率, 以及积分不等式五条性质;其中不等式要注意是积分的绝对值小于等于模的积分和最大值与曲线长。

(二) 柯西 (复变函数积分) 定理有一条定理和两条推论, 那就是函数在解析区域内闭曲线积分为0;推论1积分与路径无关推论和推论2解析区域边界仍好用。柯西定理的推广主要是为了应用在多连通区域。多连通区域主要是指有多个不可导的洞, 且这些洞不在区域边界之上。有了奇点才可能出现闭曲线积分不等于0的情况。柯西推广是指多连通区域外边界正向于内边界反向之和为0。

小结

复变函数的学习大多是以卷面考试题为目的进行的, 虽然高深的研究是利用其在工程数学中的实践复杂问题的解决;但是也应如此方法提纲挈领的分章记忆学习后进行。

摘要：由实部和虚部组成的复数进行函数运算, 不仅是增加到二维独立变量;而且包括了高等数学中的所有连续、导数、曲线积分等概念, 并增加了抽象的解析、留数等概念。因此对于本专科生都是很大的学习挑战。复变函数是解工程数序的基础, 特别是基础的机械电气数学物理方程都是由高阶函数组成的。没有复变函数则无法进行复杂的机电设计计算。本文将复变函数的几个基础章节进行归纳总结, 剖析其基本计算方法。旨在为工程应用人员设计和解题提供一个快速学习查阅解相关问题的手册。

3.复变函数与数学分析的比较 篇三

姓名:***学号:***

复变函数在数学分析中的教学中具有非常重要的意义,复变函数与数学分析具有很多共同点,但是也有较多的不同,虽有不同,但复变函数中的很多知识点都是数学分析的推广,是数学分析的加深.数学分析与复变函数的相同点:

1.二者的定义相同，都是由一个对应法则从一个区域到另一个区域映射；实数域上的函数与复变函数在进行加、减、乘、除及复合时具有相同的性质；都具的基本初等函数，如指数函数，对数函数，幂函数等；

2.二者都具有极限和连续性，对数学分析中的一些比较重要的定理，如维尔斯特拉斯定理，区间套定理，有限覆盖定理在复数集也成立 ；

3.二者都具有积分，并且积分定义形式类似，都可用类似黎曼积分定义的形式来表述，在此就不详细说明了，实函数与复变函数中积分都有相同的运算法则；

4.二者都有数项级数和函数项级数，并且结构类似，函数项级数的收敛性都可用柯西一致收敛原理，魏尔斯特拉斯判别法来判断，函数都可以有泰勒展式，并且形式一致。

数学分析与复变函数的不同点:

数学分析和复变函数研究的是定义在数域上的函数，数学分析研究实数上的函数，复变函数研究复数领域的函数。由于定义域的不同，而导致了数学分析和复变函数有很多的差异。

1.极限

复变函数研究定义域上自变量趋近于其一个聚点的极限，数学分析中可研究自变量趋近于某一点的极限，也可研究趋近于无穷大的极限，也可以研究单侧极限，研究范围比复变函数要广。

2.求导与微分

4.浅谈复变函数知识的应用 篇四

一、在数学分析中的应用

由于不是所有可积函数都可求出其原函数, 因此在数学分析中要求出一些积分值是很困难的。而其中有一些积分可利用复变函数的留数知识来计算。下面介绍利用复变函数的留数计算三种类型的实积分。

(一) 计算型积分

在该类积分中令, 则, , ,

因此。

例1计算积分, 其中常数。

解:令, 则, , 代入积分得

(二) 计算型积分

例2计算积分。

解:令, 则, 满足定理2条件, 从而有。

(三) 计算型积分

例3计算积分。

解:由可得为的实部, 则为的实部。

因为, 所以。

二、在高等代数中的应用

代数基本定理是高等代数中最基本的定理之一, 其证明方法也有很多。下面介绍用复变函数中的刘维尔定理来证明代数基本定理。

刘维尔定理:有界整函数一定恒等于常数。

代数基本定理:任何次代数方程至少有一根。

证明:设是一个这样的代数方程。现要证明整函数至少有一零点。假设没有零点, 那么也是一个整函数, 因为

所以有, ,

因而在全平面上有界。于是根据刘维尔定理, 恒等于零, 与假设矛盾。

因此至少有一零点。

参考文献

[1]余家荣, 《复变函数》[M]高等教育出版社, 第四版

[2]钟玉泉, 《复变函数论》[M]高等教育出版社, 第三版

[3]华东师范大学数学系, 《数学分析》[M]高等教育出版社, 第三版

5.北京交通大学复变函数 篇五

一、初学“复变函数”课程的学生可能存在的问题及教学策略

笔者在教学中发现, 在“复变函数”开课之初, 大多数学生都迫切地想知道该课程的重要性以及难易程度。鉴于“复变函数”课程的知识体系与“数学分析”的相关知识有着非常密切的联系, 如果有些学生对“数学分析”没有很好的掌握, 就会对“复变函数”课程产生畏惧;而有些“数学分析”学的很好的学生, 会认为对微积分的内容已经有所了解, 从而忽视“复变函数”课程的重要性。针对上述问题, 笔者认为教师在教学中应尤其注意以下三个环节: (1) 在开课之初就要明确复变函数论的重要性, 做好“复变函数”课程与“数学分析”课程的有效衔接, 消除学生的疑虑, 调动学生的学习兴趣。 (2) 在“复变函数”课程的教学过程中, 应该注意与“数学分析”课程的比较, 把“数学分析”的相关内容引进来, 让学生在复习旧知识的基础上, 吸收新内容。 (3) 在教学中, 要特别强调:复变函数论作为一门学科, 有其自身的特点和研究方法, 在很多方面“复变函数”与“数学分析”这两门课程的知识是不同的, 不可以照搬照抄, 也不可以盲目地进行推广。笔者在教学中能够很明确地感觉到做好如上三个环节中的第一环节在“复变函数”的教学中至关重要。这一环节做好了, 就可以为学生定下一个“放下包袱、轻装上阵”的学习基调, 给学生一个能够学好此门课程的信心并调动起学生愿意主动探究学习此门课程的学习动力。那么面对已经熟练掌握一元和多元微积分知识的学生, 怎样做好第一环节呢?笔者认为这就需要教师精心设计和安排第一节课的教学内容。

二、作好数学分析与复变函数课程的有效衔接, 精心设计第一节课

正所谓“万事开头难”, 任何一门新课的开始都是要精心准备的, 都要给学生解答“学什么”、“为什么学”和“怎么学”这三个问题, 要让学生对这门课程有个大体的认识, 让学生了解此门课程并有信心、有兴趣去学习它。针对已经学习了“数学分析”课程的学生可能出现的迫切、畏惧和轻视的问题, 笔者认为“复变函数”第一节课的教学内容应该包括: (1) 复变函数论的历史和重要性。 (2) “复变函数”课程内容的概述。 (3) “复变函数”课程与“数学分析”课程的主要异同点的概述。 (4) 应该采用的学习方法。但是如何能够让学生轻松地接受上述四个内容, 这还需要教师采用学生易于接受的方式来合理安排教学内容的顺序。笔者在教学中发现:将上述四个内容按照“3421”的教课顺序, 会收到事半功倍的教学效果, 具体操作过程如下。

1.先不必拘泥于严谨的细节, 选取“复变函数”与“数学分析”两门课程中相似的概念———“函数、极限、微分、泰勒级数”, 通过对比它们在两门课程中的异同, 用学生可以理解的方式讲出“复变函数”课程中这些概念的优点, 这样不仅复习了“数学分析”的内容又引入了新的知识, 可以充分引起学生们的亲切感和好奇心, 消除学生对课程的疑虑和畏惧, 调动学生愿意主动探究的学习兴趣。

2.比照教材目录, 将“复变函数”的课程内容简明地概述给学生, 指出课程的重点和难点, 同时指出哪些章节要略讲, 哪些章节要详细讲, 这样就可以让学生对复变函数有一个总体的认识, 树立学习此课程的信心。

3.讲清楚授课的路线是沿着:函数—极限—连续—导数—积分—级数这一条主线来进行的, 与“数学分析”中微积分的讲解类似, 只不过将研究对象从“数学分析”中的实变函数换成复变函数。告诉学生:对于与“数学分析”中类似的内容简单讲过, 会多花时间讲授两门课程不同的性质。

4.建议学生采用结合“数学分析”与“复变函数”的异同, 进行比较学习的方法, 一边复习旧知识一边学习新知识, 这对于学生在学习“复变函数”的同时又深入理解“数学分析”是非常有利的, 而且还可以培养学生理解不同数学课程之间的联系与区别, 加强数学知识的连贯性, 为今后学习后续专业课打下基础。

5.简短介绍复变函数论的产生历史和广泛应用:复变函数论产生于18世纪, 就像微积分的直接扩展统治了18世纪的数学那样, 复变函数这个新的分支统治了19世纪的数学。当时的数学家公认复变函数论是最丰饶的数学分支, 并且称为这个世纪的数学享受, 也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一。复变函数论的应用很广泛, 有很多复杂的计算都是用它来解决的。俄国的茹柯夫斯基在设计飞机的时候, 就用复变函数论解决了飞机机翼的结构问题等。

三、“函数、极限、微分、泰勒级数”在两门课程中的对比分析

下面我们来探讨关于对比分析“复变函数”与“数学分析”两门课程中相似的概念———“函数、极限、微分、泰勒级数”的具体细节。

1.这两门课程中讨论的函数是不同的, 图像表述也尤为不同。“数学分析”中讨论的一元函数y=f (x) 是实变函数, 其自变量x和因变量y都是实数, 因此, 实数和数轴是研究实变函数的基础, 此时函数的图像可以画在同一个平面直角坐标系中;而复变函数w=f (z) 的自变量z和因变量w都是复数, 因此, 复数和平面点集是研究复变函数的基础, 此时若想描述复变函数的图像, 则需要两个平面直角坐标系分别表示自变量z和因变量w的变化。

2.极限和导数的定义形式是相同的, 但内涵已经完全不用。利用函数在一点处导数的定义, 同时剖析“复变函数”与“数学分析”中极限概念和导数概念的异同。“数学分析”中定义在区间[a, b]上的实函数y=f (x) 在点c∈[a, b]处的导数定义为:, 其中只考虑自变量x从点c的左右两个方向沿着实轴这一直线逼近, 当左右极限都存在且相等时, 我们称函数y=f (x) 在点处可微分。复变函数w=f (z) 在平面区域上点处的导数定义在形式上和一元实函数的导数是类似的:, 但是自变量z趋于点z0的方向不在仅局限于左右两个方向, 而且趋近的路径也不局限于直线, 还可以是任意形状的曲线。通过上述两个导数定义的比较, 可以看出复变函数的导数的定义条件要比数学分析中严苛许多。由于条件的强弱不同, 就会带来性质上的天壤之别。

3.在无穷可微性方面, “复变函数”与“数学分析”有着惊人的区别。在“数学分析”中, 若函数y=f (x) 在一点c处可微, 我们只能推出其导函数在点c是存在的, 而我们无法确定其导函数在点c处是否连续, 更无法确定其导函数在点c处是否仍可微。而对于复变函数w=f (z) , 若其在点z0处一次可微就可以推断其导函数在点z0处仍然可微, 若重复下去, 就可以推出复变函数w=f (z) 点z0处无穷次可微, 即任意阶导数都存在, 这个性质明显比“数学分析”中要惊人的好。

综合上述讲解, 已经可以让学生对“复变函数”中最重要的极限和微分概念有了直观的认识, 它会一直存在于学生的记忆, 进而成为学生探究式学习“复变函数”课程的动力。

四、总结

笔者针对学生有了前期的“数学分析”课程的学习后, 对“复变函数”课程有可能存在各种学习问题, 剖析了教师在“复变函数”课程教学中应该注意的教学环节环节, 探讨了第一次课的教学内容的有效选择和安排, 并以实际经验展示了第一节课上如何进行“函数、极限、微分、泰勒级数”在两门课程中的对比分析。

摘要：本文针对学生在学习了“数学分析”课程之后, 对“复变函数”课程有可能存在的迫切、畏惧或忽视等问题, 探讨了在“复变函数”课程教学中应该注意的三个环节, 并探讨了第一次课的教学内容的有效选择和安排。

关键词：数学专业,复变函数,数学分析,教学探讨

参考文献

[1]钟玉泉.复变函数论[M].第三版.北京:高等教育出版社, 2000

[2]余家荣.复变函数[M].第三版.北京:高等教育出版社.

[3]方企勤.复变函数教程[M].北京大学出版社.

[4]张南岳, 陈怀惠.复变函数论选讲[M].北京大学出版社, 1985.

6.《复变函数》教学设计的几点体会 篇六

就教学内容来讲, 在教学计划规定的学时内, 要面面俱到的讲授每章每节的内容是不可行的。但是仅对教材内容进行简单取舍, 就会破坏知识的系统性, 给学生的学习造成困难。在反复阅读教材兼顾教材本身内在规律和系统的基础上确定了教学内容, 精选讲课内容。

在教学设计上, 具体做法是:

1 对学生理解的内容少讲, 对学生初次接触、影响全局的重点难点内容在课堂上要用足够的时间详细地讲解, 其中包括问题的引出、概念的实质、命题、定理的论证方法都应作明确的、深入浅出的阐述。对难点一定要进行剖析, 设法化难为易。对概念、方法类似的内容要着重介绍处理问题的思路和方法, 引导学生利用对比方法, 找出它们之间的异同, 学会举一反三。

2 讲授复数与复变函数一章时, 由于教材中多数内容学生已接触过, 只是提出让学生注意与中学内容的衍接, 适当复习。在课堂上对复变函数、映射等概念侧重介绍, 而对复数及代数运算让学生课后阅读, 或在课堂上抽一定时间指导学生阅读。对复变函数的极限、连续性, 引导学生将其转化为二个实二元函数的极限与连续性;函数解析性是学生初次接触的内容, 有一定难度, 它又是后续几章的基础, 必须用一些时间详细讲解。关于复变函数的积分, 学生们常常认为复积分与实积分完全不相同, 理解上发生一些混乱, 对积分问题的处理上更是感到无从下手。学生在修完高等数学时对实积分的概念已有了清楚的理解, 对积分的计算有了相当数量的训练。此时复变函数课完全可以借助已有的知识来讲复积分, 在教学中, 可以在比较复积分与实积分差异之处的同时适当的突出并利用它们的相似点, 利用已学会的实积分来弄懂复积分。复积分与实积分的基本思想是一致的, 利用和依托实积分的学习来讨论复积分, 自然畅通, 易教易学。而且会加强学生对数学知识整体的把握和认识以及应用能力, 减少对《复变函数》课的神秘感。在讲解解析函数和调和函数的关系的内容时, 就是集中讲解解析函数f (z) =u+iv的实部u (或虚部v) 如何求虚部v (或实部u) 的方法应强调指出:当v是u的共轭调和函数时, u+iv是解析的;而当u是v的共轭调和函数时, u+iv一般情况下并不是解析的。并通过例证充分阐述这里的共轭概念不具有对称性。讲泰勒级数时, 它与高等数学中相关内容有相似之处, 主要是通过比较进行拓展方面的讲授。

3《复变函数》课教学中, 应把函数解析性的研究、复积分、洛朗级数、留数作为重点内容。很多内容通过对比、总结, 注意异同, 使学生巩固加深对知识的理解, 从而达到异中见同、触类旁通、条理分明、重点突出, 达到事半功倍的效果。另外, 挖掘教材中例题与习题的潜力, 用新知识新方法解决以往的例题、习题, 从而加强了新旧知识的联系, 还可找出一些规律。学生也从中领悟到随着问题的解决, 就会产生新的理论、新的方法。

4 讲授内容论理透彻, 主次分明, 重点突出, 板书整齐。对重要内容以及易出错的地方要详细、反复讲。对新概念、思想、方法, 讲的速度要慢些, 引起学生注意。对学生已经知道或可以略的, 讲的速度可以快些。不论快慢, 都要使学生听清楚。丰富的讲课内容, 精彩的语言表达, 辅之以姿式助讲课等会吸引学生的注意力, 造成一个良好的课堂秩序, 从而提高课堂效果。

总之, 教与学的关系是以学为主, 教是服务于学, 启发于学, 促进于学。在教学活动中, 教师应具有主导作用, 要以讲导思、以学促思、指导得当, 在有限的教学时间里, 发挥应有的作用。

摘要：启迪学生思维, 提高课堂教学效果。

关键词：教学效果,教学改革,教学质量

参考文献

[1]西安交通大学高等数学教研室.复变函数 (第五版) [M].北京:高等教育出版社, 1996.

7.关于复变函数论网络课程建设浅谈 篇七

一、复函网络建设的意义

1. 提供便利的学习工具

首先,能够弥补课上紧张或溜号没有听到的学习内容由于网络学习不受时间和空间的限制,学生随时可以上网进行学习. 通过网络课程中课程教案以及疑难解析,使学生能够对课上错过的学习要点进行补充. 其次,能够加深对知识的理解. 复函课程是公认的几个比较抽象的理论课程之一,而复函网络课程建设当中有完整的多媒体课件,这些课件使得抽象的问题通过演示变得形象化和具体化,使学生对问题的理解有了较全面的认识,能够帮助学生对知识的进一步掌握.

2. 提供同学之间、师生之间交流的平台

由于网络课程具有开放性和共享性等特点,通过网络课程中问题讨论区和常见问题,对复函课程中不清楚的问题提出来进行探讨.

3. 体现一定的师范性和示范作用

从网络课程的发展看,不仅仅是大学,网络课程将来在中学以及小学也会逐步普及. 由于我院数学与应用数学专业学生是师范类,对这样的学生,通过复函网络课程的建立和学习,对他们不仅仅在学生知识上得到补充和加强,而且在师范性和示范性方面也起到潜移默化的作用,对他们将来从事教学工作起到启发和领悟作用.

二、复函网络建设的实施策略

1. 复函网络课程设置

第一,我们首先将课程建设内容设置成几个大块进行如课程简介,课程教学大纲,课程日历,教师信息,教学教材,课程通知,答疑讨论,课程作业,试题试卷库,课程管理等. 第二,我们对每个大块再设置成几个小块,如教学教材又设置为步进课程,综合辅导,习题训练,参考资料与相关链接,课外知识,名词术语等. 而对于小块中的步进课程又设置为多媒体课件,课程实录,课程研究,专题讲座,复函教案. 这样一步步设置,学生容易接受,也便于在网络上学习.

2. 网络材料的准备

第一,准备多媒体教学课件. 由于复变函数论是一门学生公认的理论比较抽象的课程之一,因此在设置课程时,在里面设置多媒体课件内容. 通过图像演示,更加形象具体地加深学生对知识的理解.

第二,准备网络课堂实录. 我们组织三个教师进行实践教学并录制部分课程,同时在网上搜集一些名师的录像课程. 把这些录像内容一并录入网络课程中,通过这些录像能进一步提高学生学习的兴趣,帮助学生理解复函的相关知识内容.

第三,准备课程各章节主要内容及疑难解析,这个内容的准备过程比较复杂,而且任务艰巨,是学生网络学习中的重要内容之一,其汇集了许多教师多年来对复函教学的教学经验和深刻体会. 通过网络课程的实施,也充分体会到其内容的重要性,因为学生进入学习和访问次数是相对比较多的.

第四,准备教案. 课程教案也是比较繁重的工作,主要是打印工作. 教案也是通过多名教师共同讨论和研究的,是多年教学经验的总结.

第五,准备阅读材料,阅读材料内容主要设置两项,一是复函教学研究性课题及论文,包括教师和学生近年发表的复函论文和毕业论文,以及网上搜索一些其他教师的论文. 二是复函方面数学专家及事迹,包括国内外的数学专家,比如华罗庚,陈景润,阿贝尔,柯西,莱布尼兹等等.

第六,网络材料的传入,这个环节可组织教师利用课余时间进行,一般都是利用双休日进行,材料的上传过程比较容易一些.

三、网络课程的实施过程

实施网络课程是复函网络建设的重要一环,主要是通过学生和教师进入网络课程来实现.

1. 指导学生进行网络课程学习

首先,指导学生登录和进入系统学习,不同的学科有各自不同的特点,要指导学生进入系统后重点看什么,学什么,以满足自己的学习需要; 而复函网络课程的学习也有其自身建设的特点,教师主要让学生抓住里面的步进课程、试题库和课程作业三大块,对里面的内容经常进入学习即可其次,指导学生怎么提出问题和发表见解或文章,要特别注意提问的准确性和专业性,主要是提出有关复函课程的问题. 发表见解时要尊重他人,自觉发表自己的看法. 第三,指导学生接收作业和提交作业的方法. 严禁复制和抄袭,特别强调说明雷同的内容都不给分,并要求重新提交.

2. 学生自主进行网络课程学习

在教师指导学生网络学习之后,就要引导学生自主学习,这一过程需要经过教师耐心指导. 首先,引导学生充分认识网络学习的益处,包括网络课程建设的意义. 其次,要引导学生经常进入网络系统学习,由于学生对网络学习还不能马上接受,因此教师要经常疏导,鼓励学生在浏览学习的同时,要努力在课程讨论区和课程问题栏目中提出问题特别是自己对课程中不清楚和不明白的问题要善于提出也要积极参与发表自己对别人问题的看法.

摘要：文章给出了复变函数论网络课程建设的意义、建设的策略和方法,通过课程建设,不仅便于学生对该课程的学习,而且加强了同学之间和师生之间的了解和联系,提高学生对课程的学习效率,充分体会到网络课程的重要性.