数列极限数学归纳法

数列极限数学归纳法（精选16篇）

1.数列极限数学归纳法 篇一

7.6

数列的极限

课标解读：

1、理解数列极限的意义；

2、掌握数列极限的四则运算法则。

目标分解：

1、数列极限的定义：一般地，如果当项数n无限增大时，无穷数列限地趋近于某个常数注：

an的项an无a(即|anna|无限地接近于0)，那么就说数列an以a为极限。

a不一定是a中的项。

1lim0limCCnn2、几个常用的极限：①n(C为常数)；②；③limqn0(|q|1)n；

3、数列极限的四则运算法则：设数列an、bn，当limanan，limbnbn时，nlimlim(anbn)ab；

lim(anbn)abnana(b0)nbbn；

4、两个重要极限：

①c001limc1c0nn不存在c0

|r|10nlimr1r1 ②n不存在|r|1或r1 问题解析：

一、求极限：

例1：求下列极限：

2(1)lim4nn1lim3n3nn2n23

(2)

n2n4n(3)

nlim(n2nn)

例2：求下列极限：(1)nlim(1n24n273n2n2n2)；

(2)lim1n[2515818111(3n1)(3n2)]

例3：求下式的极限：

limcosnsinnncosnsinn,(0,2)

二、极限中的分数讨论：

例4：已知数列an是由正数构成的数列，a13，lganlgan1lgc，其中n是大于1的整数，c是正数。

(1)求数列an的通项公式及前n项和Sn；

且满足2n1an(2)求lim的值。n2nan1

三、极限的应用：

1(1)p1n例5：已知p、q是两个不相等的正整数，且q2，求lim的值。

n1q(1)1n

知识内化：

1、limn2__________________。

n12n113n2lim[]______________。

2、nn(n1)n(n1)n(n1)2n1n3n___________________。

3、limn1n1n2n3

4、下列四个命题中正确的是（）

2A、若limanA，则limanA

nn2B、若an0，limanA，则A0

n2C、若limanA，则limanA

n2nnnD、若lim(ab)0，则limanlimbn

nnnq，q1，5、已知数列an、公比分别为p、其中pq且p1，bn都是由正数组成的等比数列，设cnanbn，Sn为数列cn的前n项和，求lim

能力迁移：

Sn。

nSn1

1、数列an、bn都是无穷等差数列，其中a13，b12，b2是a2与a3的等差中项，且liman1111)的值。，求极限lim(nnba1b1a2b2anbn2n

基本练习：

一、填空题：

n22n___________________。

1.limnb2n23 2.若lim(2x1)的极限存在，则实数x的取值范围__________________。

nnn21anb)1，则a=______________，b=____________________。

3.lim(nn1 4.数列an中，a13，且对任意大于1的正整数n，点(an,则liman1)在直线xy30上，an__________________。

n(n1)2f(n2)5.已知f(n)12n，则lim__________________。

n[f(n)]2ann2 6.数列an的公差d是2，前n项的和为Sn，则lim_________________。

nSn 7.设数列an、bn都是公差不为0的等差数列，且lim ______________________。

anbb2b2n等于 2，则lim1nbnna3nnn3n1

8、将lim，则实数x的取值范围是__________________。nn(x2)nn3n13n3

9、已知数列an： 112123129，…，那么数列，，，…，2334441010101的所有项的和为________________。anan1

10、已知等比数列an的首项a1，公比q，且有lim(na11qn)，则首项a1的取值范围 1q2 是__________________。

二、选择题

bn2can2c3，则lim211、已知a、b、c是实常数，且lim2的值是（）

ncnbncna A、2 B、3

C、1

2D、6 1,1n100012、a中，annn2，则数列an的极限值（）n2 n22n,n1001 A、等于0

B、等于1

C、等于0或1 13、1111nlim[n(13)(14)(15)(1n2)]等于（）A、0 B、1

C、2

D、3

14、已知lim2nann2nan1，aR，则a的取值范围是（）A、a0 B、a2，a2

C、2a2

a2

三、解答题

15、已知等差数列前三项为a、4、3a，前n项和为Sn，Sk2550

(1)求a及k的值；(2)求lim11n(S1)1S2Sn16、曲线C:xy1(x0)与直线l:yx相交于A1，作A1B1l交x辆于B1，作B1A2//l交曲线C于A2……依此类推。

D、不存在

D、a2且(1)求点A1，A2，A3和B1，B2，B3的坐标；(2)猜想An的坐标，并加以证明；(3)求lim |BnBn1|

nBBn1n17、已知数列{an}满足(n1)an1(n1)(an1)且a26，设bnann(nN)(1)求{bn}的通项公式；(2)求lim(n 1111)的值。b22b32b42bn23(an1)(nN)。数列{bn}的通项公式为bn4n3(nN)2Tn

18、设Tn为数列{an}前n项的和，(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若c{a1,a2,a3,an,}{b1,b2,b3,bn,}，则c称为数列{an}，{bn}的公共项，将数列{an}与{bn}的公共项按它们在原数列中的先后顺序排成一个新的数列，证明：数列{cn}的通项公式为cn32n1(nN)；(3)设数列{cn}中的第n项是数列{bn}中的第m项，Bm为数列{bn}前m项的和；Dn为数列{cn}前n项的和，且AnBmDn；求：lim

An。

n(a)4n

2.数列极限数学归纳法 篇二

参考文献

3.谈数列极限定义的教学设计 篇三

【中图分类号】O171-4

极限是高等数学最重要的概念之一，它是研究微积分学的必备工具。怎样合理有效地讲授数列极限的定义，才能让学生真正理解和掌握其思想方法，而不只是简单地理解定义和形式地掌握使用方法？重要的是如何引导学生从数列极限的描述性定义向“ ”定义的过渡和转化。下面从七个环节对数列极限定义的教学过程进行设计。

一、无穷数列本质是整标函数

无穷数列 可以看作自变量只取正整数 的一类特殊函数，称为整标函数，即 ，其中 称为数列的通项或一般项。数列作为整标函数，也具有有界性和单调性。

二、从几何问题到代数问题，引出极限思想

先介绍我国魏晋时期大数学家刘徽利用圆的内接正多边形来推算圆的面积的方法-----割圆术。首先作圆的内接正六边形，再作圆的内接正八边形、内接正十边形…，从数值角度而言，当边数无限增大时，内接正多边形的面积无限接近于圆的面积。再介绍公元前四世纪，我国古代哲学家庄周著作《庄子·天下篇》所引用一句话“一尺之锤，日取其半，万事不竭”，从数值角度而言每天截去一半所余的尺数为一等比数列 ，然后启发学生思考如何从数列 的变化趋势解释“万世不竭”的本质。通过讲授分析得出结论：“当 越来越大时， 越来越接近0，但永远不等于0，即万世不竭。”进而提出问题：对于数列 ，主要研究当 无限增大时，数列 无限接近于哪个数？这就是所谓极限存在性问题。

三、归纳给出数列极限的描述性定义

由第二环节现归纳出数列极限的描述性定义：“如果 无限增大时，数列 无限接近于一个常数 ，则称 为该数列的极限，记作 或 。否则，称 发散。

四、将描述性定义转化为“ ”定义

一般情况下描述性定义容易理解但并不精确，因此必须将“无限增大”、“无限接近”这些定性描述用数学语言转换为定量描述。然后以数列 为例来探究怎样用精确的数学语言来阐述“当 无限增大时， 无限接近于常数1”变化趋势。首先，“ 无限接近于常数1”就是要 可以任意小，也就是可以小于预先任意给定的、无论怎样小的正数；“ 无限增大”就是要 充分大，大到足以保证 小于这个预先给定的、无论怎样小的正数。具体而言，就是对于任意给定的 ，无论怎样小，相应地总能找到一个大于或等于 的正整数 ，即 ，使当 时的一切 都满足 。

由于 的任意性，上述不等式就精确地刻画了数列 随 无限增大（记作 ）而无限接近于常数1这一变化趋势。也就是说，我们用 的数量关系把“当 无限增大时， 无限接近于常数1”的含义作了精确的描述。数列的极限概念就是来源于对数列进行这种变化趋向的研究，而运用 的数量关系就能对极限概念作精确的阐述，于是就给出数列极限的“ ”定义 。

五、几何解释

将“ ”定义的数学语言转化为几何语言：不管 多么小，总能找到一个正整数 從 项开始后面的所有项 都落在点 的 邻域内，而此邻域外最多只有有限项 。通过对极限定义的几何解释，使学生利用数形结合形式进行理解和掌握。

六、“ ”定义的进一步说明

为了更好理解“ ”定义，作以下几点说明。

（1）数列的敛散性与其前有限项的大小无关，而是由后面无限多项的大小而定。

（2） 具有三重性。一是任意性，它不是一个固定的常数，是用来刻画 无限接近于常数 的程度；二是固定性， 一旦给定就固定下来，以便去寻找与之有关的自然数 。三是表达式的多样性，定义中若取 、 、 也可。

（3） 的相应性。 依赖于 ，但并不唯一，因此也不是 的函数。事实上， 未必一定是正整数，若取正数显然也成立。当 给定后，才能找到与之有关的 ，当 满足 时，才有 ，一般情况下寻找到 即可。

（4）不等号的推广。由 的多样性和 的不唯一性，在“ ”定义中，若把“ ”变为“ ”，或把“ ”变为“ ”也成立。

七、举例说明如何使用“ ”定义证明极限

利用“ ”定义证明 ，关键是对于任意给定的正数 ，寻找一个与之有关的正整数 使得当 时恒有 。那么怎么寻找 呢？首先从这个关于 和 的不等式 出发，解出 的形式，其中涉及不等式适当放大的技巧，此时取 即可。事实上，若取 或其他也可，并不唯一。然后利用此方法证明几个常见极限，要求学员达到熟能生巧、举一反三的能力。

以上从七个环节介绍了数列极限定义的教学设计，采用两个学时授课，而收敛数列的性质下次课再讲授。在此教学过程中，将数列极限的“ ”定义内容进行了合理优化，学生充分理解和掌握极限的本质，而不是简单地理解定义和形式地掌握使用方法，同时为函数极限的讲授提供了有力的帮助，并奠定了坚实的基础。

参考文献

[1] 同济大学数学系. 高等数学[M].上册.第六版.高等教育出版社，2007：26.

基金项目：陕西省教育厅科研计划项目（编号：2013JK1098）

4.10专题十数列极限与函数极限 篇四

华中师大一附中孟昭奎

专题十数列极限与函数极限

一、选择题

(1x)mab，则a·b=（）1．（2008年高考·湖北卷）已知m∈N, a、b∈R，若lim n0x

A．-mB．mC．-1D．1 *

2．lim(n1

4A．1 111)的值为（）464684682n1111B．C．418D．11 24

x32xa2(x1)3．若函数f(x)15a在点x=1处连续，则实数a=（）(x1)3x

1A．4B．-14C．4或-14 D．1或-4 4

4．下列命题：①发果f(x)=1，那么limf(x)=0；②如果f(x)=x1，那么f(x)=0；③如xx

x22xx,x0果f(x)=，那么limf(x)不存在；④如果f(x)，那么limf(x)=0，其中真x2x0x2x1,x0

命题是（）

A．①②B．①②③C．③④D．①②④

ax2bx3cx3bxccxa1，则lim5．设abc≠0，lim的值等于（），limxaxbxbx3cx2a3xbx2c4

419 A．4B．C．D． 944

an1abn126．设正数a, b满足lim(x+ax-b)=4，则lim等于（）nax22b11 A．0B．C．D．1 4

27．把1+(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)n展开成关于x的多项式，其各项系数和为an，则lim等于（）

A．2an1na1n14B．12C．1D．2

二、填空题

8．已知数列的通项an=-5n+2，其前n项和为Sn，则lim

9．lim(x2Sn=________． nn241)=________． x24x

2专题十数列极限与函数极限

2012年高考复习资料—第二轮复习专题练习题

华中师大一附中孟昭奎

10．（2008年高考·安徽卷）在数列{an}中，an=4n-5, a1+a2+…+an=an2+bn, n∈N*，其中a, b2

anbn

为常数，则limn的值为__________． nabn

ex1,(x0)11．关于函数f(x)(a是常数且a>0)．下列表述正确的是_________．（将你2ax,(x0)

认为正确的答案的序号都填上）

①它的最小值是0

②它在每一点处都连续

③它在每一点处都可导

④它在R上是增函数

⑤它具有反函数

12．如图所示，如果一个凸多面体是n棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有_______条．这些直线中共有f(n)对异面直线，则f(4)=_______;f(n)=_______．（答案用数字或n的解析式表示）

三、解答题

1x(x0),13．已知f(x) xabx(x0).

（1）求f(-x)；（2）求常数a的值，使f(x)在区间(-∞, +∞)内处处连续．

14．已知{an}, {bn}都是公差不为0的等差数列，且limanaa2an2，求lim1的值． nbnnbn2n

15．已知数列{an}中a1=2, an+1=(2-1)(an+2), n=1, 2, 3, …．

（1）求{an}的通项公式；（2）若数列{bn}中b1=2, bn+1=3bn4, n=1, 2, 3, …．

5.数列极限的计算 篇五

数列极限的计算

极限概念有着深刻的思想性,它包含了事物的无限运动变化过程和无限逼近思想,体现了由有限到无限,近似到精确、量变到质变的`辩证思想,曾对教学发展和促进人类文明发挥过十分重要的作用.极限方法是辩证法在数学上的应用,是初等教学所没有的一套崭新的方法,它解决了“直与曲”,“近似与精确”的矛盾,是客观世界中由量变到质变的一种反映.数列极限是高等数学的重要组成部分,求数列极限的方法很多.本文总结出十余种类型的数列极限方法,讨论的内容涉及数列知识,Stolz定理,子序列的极限与函数的极限的关系,级数理论,上下极限,定积分理论,柯西收敛准则,泰朝展式,黎曼引理等,力求对数列极限的计算做一个总结.

作 者：卜宪敏 作者单位：日照广播电视大学,山东日照,276826刊 名：中国科教创新导刊英文刊名：CHINA EDUCATION INNOVATION HERALD年，卷(期)：“”(5)分类号：G623.5关键词：极限概念 极限方法 Stolz定理 子列理论

6.习题课1—数列极限2009 篇六

第一次习题课（数列极限）

一、内容提要

2n2121.数列极限定义，验证limn3n22n13.2.极限性质（唯一性、有界性、保号性、保不等式）.3.极限四则运算.求limn1nn

2n(n)，limn(1nn2)

4.收敛准则（迫敛准则、单调有界准则、柯西收敛准则）.二、客观题

1.设f(x)1,x

1x1，则ff(x)___________.0,2.若数列{xx

n}与{yn}发散，问数列{xnyn}，{xnyn}，{n

y}是否一定发散？

n

3.若数列xn收敛，列yn发散，则数列xnyn是否存在？

4、若单调数列{an}含有一个收敛的子数列，则数列{an}必收敛（）.5、若数列{an}发散，则{an}必为无界数列（）.6.当（）时，有lim(k

n1n)ne.三、计算题

1.一些重要结论：

lim(n1n

nn)e，limn(n1n)ne1，limnqn0,(|q|1)，limna1,(a0)，limnn21.2.计算下列极限

（1）limsinn

nn0（M）.（2）lim

1n(2n1n2n2n2)2（求和法）.（3）lim(1

nn21

2n2n

2n2n)（夹逼）.（4）limn(113n1nn2)，（4）limn(1n2).（5）.设f(x)axa0,a1，求lim1

nn2lnf(1)f(2)f(n).1limnn1，《数学分析I》第1次习题课教案 xn1ann!（6）设xn，求极限.limnnnxn

四、证明题

1.已知limana，证明极限limn[nan]a.nn1

cos1cos2cosn2n,（n1,2,，）是收敛数列.2222..应用柯西收敛准则，证明an

3.设x1a0，xn112(xn)，证明：数列{xn}收敛并求其极限（单调有界原理）.2xn

n4.按数列极限的N定义证明limn22n210.anbnn1,2,,试证明数列{an}，bn1anbn，25.给定两个正数a1与b1(a1b1)，我们令an1

与{bn}的极限皆存在，并且limanlimbn.nn

7.一个数列极限的几种求法及其应用 篇七

关键词：数列极限,单调有界,级数,递推数列

本文给出该命题的四种证法, 之后给出该命题的应用.

一、四种证法

证法2:由证法1知存在且x≥0.若x≠0, 则

证法3:设y>x>0, 记u=y-x.由伯努利不等式

(1+x) α≥1+αx, α≥0, x>-1.

如果γ和δ都是大于1的整数, 则

这个不等式对于大于三个数1中最大者的一切实数γ, δ都成立.

在上式中, 依次取:

x=a, a+d, a+2d, …, a+nd;y=b, b+d, b+2d, …, b+nd, 则可得到一系列不等式:

由题意知, 证明无穷乘积收敛于零即可.因为部分乘积是正的, 且递减, 所以只需证明它的收敛即可, 令pn=1+αn, 则

二、应用实例

证明:易见

所以结论成立.

参考文献

[1]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京:高等教育出版社, 1993.

[2]舒阳春.高等数学中的若干问题解析[M].北京:科学出版社, 2005.

[3]陈纪修, 於崇华, 金路.数学分析 (上) [M].北京:高等教育出版社, 2002.

8.数列中的数学思想 篇八

一、函数思想

利用函数的有关性质,解决数列的有关问题.即以运动和变化的观点,分析数列问题的数量关系,建立函数关系,运用函数的图象和性质求解,从而使问题获得解决.

例1 设等差数列{an}的前n项和Sn,已知a3=12,S12>0,S13<0.

(1)求公差d的取值范围;

(2)指出S1,S2,…,S12中哪一个值最大?并说明理由.

分析 对于(1)可考虑由S12>0,S13<0建立关于d的不等式组,然后求解;对于(2),由已知条件可知Sn是n的二次函数,转化为求二次函数的最值问题.

解 (1)由a3=a1+2d=12,得a1=12-2d.∴S12=12a1+66d=144+42d>0,S13=13a1+78d=156+52d<0.解得-247

(2)∵Sn=na1+12n(n-1)d=12dn2+12-52dn,而d<0,∴Sn是n的二次函数,其对称轴方程为52-12d.∵-247

评注 对于等差数列有Sn=an2+bn,一般可利用二次函数求解;对于等比数列有Sn=a1(1-qn)1-q=aqn+b(q≠1),一般可利用指数函数求解.

二、归纳思想

在解决某一数学问题时,如果采用不完全归纳法或完全归纳法来做,我们就称这两种思想方法为归纳的数学思想方法.归纳思想方法是数列解题的重要思想方法之一.

例4 设数列{an}的前n项和Sn与an的关系是Sn=-ban+1-1(1+b)n.

(1)求an与an-1的关系;

(2)写出用n和b表示an的关系式.

分析 (1)利用an=Sn-Sn-1求an与an-1的关系;(2)利用(1)的结果,分别计算当n=1,2,3,时的值,归纳、猜想an的关系式.

解 (1)∵Sn=-ban+1-1(1+b)n,①

∴Sn-1=-ban-1+1-1(1+b)n-1.(n≥2)②

①-②得an=Sn-Sn-1=ban-1-ban+1(1+b)n-1-1(1+b)n.

∴an=bb+1an-1+b(1+b)n+1.(n≥2)③

(2)当n=1时,a1=S1=-ba1+1-11+b,

∴a1=b(1+b)2;由③式,得a2=b1+b•b(1+b)2+b(1+b)3=b+b2(1+b)3;a3=b1+b•b+b2(1+b)3+b(1+b)4=b+b2+b3(1+b)4;……;

猜想an=b+b2+…+bn(1+b)n+1.④

(理科附加题)

用数学归纳法证明猜想④成立.

(Ⅰ)当n=1时,a1=b(1+b)2,即④式成立;

(Ⅱ)假设n=k时,④式成立,即ak=b+b2+…+bk(1+b)k+1;

当n=k+1时,由③式,得ak+1=b1+bak+b(1+b)k+2=b1+b•b+b2+……+bk(1+b)k+1+b(1+b)k+2=b+b2+…+bk+1(1+b)(k+1)+1.∴当n=k+1时,④式成立.

由(Ⅰ)和(Ⅱ)可知,对一切正整数n,④式都成立,即通项公式为an=b+b2+…+bn(1+b)n+1=n2n+1(b=1)b-bn+1(1-b)(1+b)n+1(b≠1).

评注 这里先求得数列的前三项,由前三项的规律用不完全归纳法猜想出通项,然后再用数学归纳法证明猜想的正确性,这是运用归纳思想方法的全过程.

三、方程思想

在解数列问题时,经过一系列的数学变换把数列问题化为方程问题,并运用方程的有关性质求解,进而使问题得到解决.

例5 已知数列{cn},其中cn=2n+3n,且数列{cn+1-pcn}为等比数列,求常数p.

分析:利用{cn+1-pcn}为等比数列这一条件列出方程,从方程中就可求出常数p的值.

解 设Rn=cn+1-pcn=2n(2-p)+3n(3-p),由{cn+1-pcn}为等比数列,由题意,得R2n=Rn-1•Rn+1

∴2n-1•3n-1(2-p)(3-p)[2×3×2-32-22]=0,

∴(2-p)(3-p)=0,解得p=2或p=3.

评注 此题用方程的思想方法求解,思路清晰、过程简捷.当然,此题还可以由Rn+1Rn为与n无关的常数,确定p的值.或由R1,R2,R3为等比数列求出P的值,然后验证即可.

四、数形结合思想

数列的通项公式和前n项和公式可以看做关于正数n的函数,因此可以借助函数与图象的关系,利用“图形”讨论数列问题.

例6 已知{an}是等差数列,an>0,且公差d≠0;{bn}是等比数列,bn>0,且公比q>1.

(1)若a1=b1,a2n+1=b2n+1,请比较an+1与bn+1的大小,并证明你的结论.

图1-1图1-2

(2)若a1=b1,a2=b2,当n>2时,请比较an+1与bn+1的大小,并证明你的结论.

分析 由数列的通项公式,知等差数列{an}满足an=nd+(a1-d),所以点(n,an)都在同一直线上,等比数列{bn}满足bn=b1qqn,所以点(n,bn)都在一“指数函数型”图象上.借助函数图象讨论数列项之间的大小关系.

解 因为等差数列满足an>0,所以d>0,即{an}是单调递增数列;因为bn>0,且公比q>1,所以{bn}也是单调递增数列.根据(1)可得图1-1,此时an+1>bn+1;由(2)可得图1-2,此时an+1

(1)由a2n+1=b2n+1,得a1+2nd=b1q2n,nd=12(b1q2n-a1).an+1-bn+1=a1+nd-b1qn=a1+12(b1q2n-a1)-b1qn=a12(q2n-2qn+1)=a12(qn-1)2>0,所以an+1>bn+1.

(2)由a1=b1,a2=b2,可得a1+d=b1q,d=a1(q-1).bn+1-an+1=b1qn-a1-nd=a1qn-a1-na1(q-1)=a1[(qn-1)-n(q-1)],因为1+q+q2+…+qn-1=1-qn1-q,所以qn-1=(q-1)(1+q+q2+…+qn-1).所以bn+1-an+1=a1[(q-1)(1+q+q2+…+qn-1)-n(q-1)]=a1(q-1)(1+q+q2+…+qn-1-n).因为q>1,所以qi>1(i=0,1,2,…,n-1).所以1+q+q2+…+qn-1>1+1+…+1=n.所以bn+1-an+1>0,即bn+1>an+1.

评注 本题是先利用函数的图象判断出an+1和bn+1的关系,得到结论后,给出证明.

9.一道数列极限证明题的应用与推广 篇九

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术论坛

一道数列极限证明题的应用与推广

《嚣汪褥蔻蹇等专学校

赵建红 云鬻嚣泼

８７毒ｌ ＯＯ》

摘要：参政文献【Ｉ】的一道教列极限证明题！鳃√吖＋吼“＋„＋％”一ｍａｘ｛口ｌ，口２，„％｝引入。将她命题推广到函数极限上，用其结论将玩牛拳

一些名援乃熏奎蛋寿夔考研名麓轻松辫决，井ｌｌ八了ｌ；‘下庀令令惹；

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酗（。＋∞＋„＋ｍ乒型秘城艰哥薯馋了擐译。

关键词：数列极限 考拼 应用

中图分类号ｊ０２４２

文献标识码｝Ａ

文章编謦。１６７４一０９８ｘ（２００８）０３（ｅ）一０１３２一０２

１艨题垂现：（《数学分斩》（牮东师大第兰舨）ｐ３４）

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命题一：设ｄ１，口２，口３，„„，口。是ｍ个正数，证明：

解：南命题二有：熙瓣。｛２：：：：要ｊ芝鬈：：

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命题二：设ＺＯ）＇正Ｏ），„，＾Ｏ）是ｍ个函数，并麒满足条件（１）

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命题四：设ＺＯ），以Ｏ），„，厶Ｏ）是ｍ个函数。并且满怒条件（１）

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参考文献

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出版，２００５．。

北时，当ｊ一穗时，就骞：口一ｅ≤（娄Ｆ∞。习；丽≤口＋￡

即：

毁留∞ｏ）＋歹尹’ｏ）●．．‘＋譬∞０疹ｂ；二

《上揍ｌ ３１页》

。，和落实科学发展魂和藏确的政绩麓。都是 为了解决发展什么和怎样发展得更好的问

解决自身发展审存在的突嬲矛盾和闻籁。一

定要大力弘扬求真务实精神，大兴求真务实之 风，按客观规橼办事，不盲翻攀比，不搞旄架 予，不急功逅禊，笈一切王传经霉起实践豹捡 狻，历史的捻验和群众静徐验。领导予都要

分考虑誊物联系的广滋性，在发展巾注重解决 存在的突出矛盾和悯题，实现城乡、区域，经济巷会．Ａ与自然等不霾方嚣的良牲互 动。同时，妥善处理好各种誊ｌ益关系，充分调 动一切积极因素。特别要高度重视和关心农 民，城市低收入居民和其他困难群众的利 益，楚金捺入民赣蔫熬颡富裕购蠢囊稳步兹 迸。

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题，都是掇高党的领导水平和执政水平，提蹇全党潮志特爨是备缀领导干部瓣执致

能力静雨簌要求。实践｝正明，一个映乏正

确的政绩观的干部，往往同时也缺笺科学

以自己的示范和带动作用，使科学发展观深入

人心，成为广火干部群众的自觉行动，更好地 毙全面建设小壤社会豹伟大攀韭不断攘巍翦

发展观，瓶违背科学发展现的所谓政绩，只毙建发袋陷入富区秘溪区。当翦瓣立正 确静改绩畿。遥韬需要落实好囊巾央，国 务院提出的带能减排政绩一票否决制，维 护好人民的生存，发展空间。总之，贯彻落实辩学发展现，领搏手部

逡？，不断夺取众瑟建设冬藤社会事鼗的新鞋

刹，早日实现寓强，民主，文明，和谐的社

２．３坚持以人为本 以人为本是科学发展观的本质和核 心，俸境了我们党的执政宗旨。坚持以入

秀本，虢楚要蹙实税、维护稻发襞入民静 根本利箍作为一切■作的出发点和落脚 点，在经济发展的基础上。不断掇高人民群 众的物赁文化生活水平，为充分发挥人的衾主义现代化国家奋斗融标。

楚关键，纛锈导予舒领导拳平豹撵麓又有 赖于加强凳的执政能力建设。在党的“十

七大”召开之后的相当长的时期内，领导 干部树立和落实科学发展观，既是～个重

黎甏考麓镄造良舞豹繇凌，提褰久懿整裕 素质，促进入的全面发展，要保障人民的经济，政治、文化权箍，切实做副发展为了 人民；发展依靠人民、发展成果幽入民共

大懿理论瀑遂，又是一磺艰巨懿实羧任务，既要有紧迫感和责任感，又要看到解决发 展不平衡问题的艰巨憔，复杂性和长期 性。还应当看到，坚持以人为本，努力满足

享，在经济茬会事务管瑾中蓦薰入、关心

入。人的全面发展怒一个长期的渐进的过 程，只有随着社会财富的不断增加和社会

入涎群众黢雳要霸促进入懿垒瑟发瓣，是

一个不断发展和透步静过程，只有随着社 会财富的不断增加和社会文明的持续进

文明的持续进步，才能逐步得以实现。因

筵，我嬲必矮麸办簿翔豹辜猿激越，把以太

步，这个翻标才能愈蕊充分地得剿实现。巍这个过程孛，不毙要求过急，｛委期过褰。

我国入瑟多，底子薄，幅爨广，差异太，在领 导工作中，各地、各部门一定要结禽自己的 实际情况，因地制宜，因时制宜地把科学发 鼹筏豹要求贯穿手各方蕊戆工作，麸办攥刭的 事情骰起，袄追纫需要解决的事请舔鹣，蕾鸯

为本的耩神体现嚣我们的各项置作中去。

树崴正确的政绩ｊ昵。政绩观是发展现 在领导业绩上的具体体现，直接反映领导

手部默政的份值取淘。辩学发鬏缆翻正确 酶致绩躐既耜互医鄹，又密韬联系。褥立

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一道数列极限证明题的应用与推广

作者： 作者单位： 刊名： 英文刊名： 年，卷(期)： 被引用次数： 赵建红 丽江师范高等专学校,云南丽江,674100 科技创新导报 SCIENCE AND TECHNOLOGY INNOVATION HERALD 2008，“"(9)1次

10.数学数列复习试题 篇十

一、填空：

1、若x=1，则x+= 。

2、平方等于1/16的数是 ，立方等于-27的数是 ，立方后是本身的数有 。

3、当n为奇数时，1+(-1)n= 当n为偶数时，1+(-1)n= 。

4、若︳a-1 ︳+(b+2)2= 0,那么(a+b)2005+a= 。

5、若每人每天浪费水0.32升，那么100万人每天浪费的水为多少升。用科学记数法表示为 升。

6、由四舍五入得到的近似数0.8080有 个有效数字，分别是 ，它精确到 位。

7、3.16106原数为 ，精确到 位。

8、写出3，-9，27，-81，243，这行数的第n个数 。

二、选择：

1、若规定ab=(a+1)b，则13的值为( )

(A)1(B)3(C)6(D)8

2、(-2)11+(-2)10的值是( )

(A)-2 (B)(-2)21 (C)0 (D)-210

3、下列语句中，正确的.个数是( )

①任何小于1的有理数都大于它的平方

②没有平方得-9的数

③若a﹥b,则a2﹥b2

④(m+1)2是非负数

⑤大于0且小于1的有理数的立方一定不大于原数

⑥大于-1且小于0的有理数的立方一定大于原数

(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个

4、据国家统计局公布的我国第五次人口普查数据，我国现有人口12.95亿，那么这个数据(保留三个有效数字)用科学记数法表示为( )

(A)12.95108 (B)12.9109 (C)1.295109 (D)1.30109

5、用四舍五入法保留三个有效数字得到的近似值是2.15104，则原数可能是( )

(A)215600 (B)21480

(C)21420 (D)21570

三、计算：

1、-72+2(-3)2+(-6)(-1/3)2

2、-14-(1-0.5)3[2-(-32)]

3、-1-{(-3)3-[3+0.4(-1.5)](-2)}

11.高中数学数列的教学策略研究 篇十一

关键词：高中数学；数列教学；现状；策略研究

中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2016）19-229-01

高中数学课程教育当中数列是十分重要的课程构成成分，实现数列教学质量的提高，有助于培养学生的的数学问题理解、分析与问题探究的能力，有利于高中阶段学生的综合素质提高与培养。随着我国课程改革工作的不断推进，高中数学教学策略都有了明显的优化与发展，教师应当在新课程改革的要求下不断实现数列教学方式的优化，实现教学水平的不断上升，加强学生学习成绩的上升。

一、当前我国高中数学课程教学中存在的问题

在传统的高中数学教育模式中，教师是课堂的主体，而学生对于知识的吸收处于被动接受的状态，在这样的灌输式教育当中，教师和学生往往会形成管理与被管理的相处模式，学生容易产生逆反心理，失去学习积极性，师生互动的不足，导致教学效果并不理想。另外，在进行教学的过程中，教师的授课内容主要是根据固定的教材大纲按部就班的进行知识教授，教学手法过于古板单一。在学生依靠教师进行知识学习的过程中，教师往往将知识内容作为重点，忽略了启发式教育的重要性，没有引导学生自主进行知识探索，培养学生的自主学习的能力，从而导致高中数学课程教育的学习高效性难以实现。

二、有效的数学数列课程的教学策略

1、建立高效课堂，激发学生的学习兴趣

要实现教学成果的显著上升，提高学生的学习兴趣是十分有必要的，可以依靠高效课堂建立来实现。在传统的高中数学教学中，教师与学生之间的关系是不平等的，主要以领导者与被领导者的关系形式存在，这样的关系难以适应现代化的高效课堂建立的要求，只有当教师与学生之间建立平等互信的关系才能加强学生学习体验共鸣。同时，教师还要在课堂教学过程中，改变原本的枯燥学习环境，实现趣味化教学，让学生在轻松的教学环境中实现数学知识的学习与掌握。例如在实际教学中，教师在进行数列知识引入的时候，可以首先进行数学故事的讲解。例如“国际象棋发明故事”，同样也可以在课堂上开展数列游戏，通过这样的方法可以有效的提高学生的学习兴趣。

2、加强课程教育中多媒体技术的应用

随着现代科学技术的不断发展，多媒体教学设备被广泛运用到了学习当中，是常见的教学方法之一。在进行高中数学数列课程教学时，利用多媒体的技术设备把课程内容和重要知识点进行全面呈现。在多媒体教学中，学生可以脫离数学原本枯燥的教学模式，让学生在学习中产生学习兴趣。例如在数列教学内容“等差数列的前n项和”的课堂教学所提出的数列问题“在进行积木堆积游戏中，最下层积木数量为15，往上每一层一次递减一块积木，最上层积木数量为1，求中共有多少块积木？”的解决时，教师可以通过多媒体技术进行积木堆积动画演示，将原本抽象的数学问题具体化，加强学生的探索兴趣，在解题后教师也可就学生提出的多种解题方案进行多媒体演示，可以实现直接的最简化方案的选择，提高学生的学习效率。

3、加强教学中的小组学习模式

在高中数学的教学中，可以利用小组组合形式来进行学习教材内容中的数列知识，通过这样的方法有利于学生自主学习能力的提高。通过同学间的组合学习，不仅有利于学生积极主动的参与到学习中，还能培养学生的协同互助能力。教师可以根据学生能力进行科学性分组，小组内相互的带动讨论，在交流中发展自主意识，同时开阔思维，从而实现学生的学习效率提高。例如，在进行数列课程内容中“等项数列求和公式”的学习中，首先提出“怎样快速计算1到200之间的所有自然数的总和？”的问题，进行分小组讨论，让学生积极发挥自身想象力与开拓思维进行求和计算。教师在进行分小组的时候要注意小组成员的科学搭配，将学习成绩优异与较差的学生进行合理的交叉搭配，实现学生学习水平的总体上升。另外在小组讨论展开时，为避免小组学习的形式化，教师应当进行监督，并且鼓励组内成员积极发言。在一段时间的讨论之后，教师可以让学生进行求和答案汇报，并分小组进行计算方法的讲解，让学生通过自主探究的方式实现数列知识的发现。提高学生的思维能力与探索能力。

结束语：为加强高中生的数学学习能力以及综合素质的全面提升，教师在进行课程中数列内容教学时，要不断对当前的教育现状进行分析，进行教学策略与方式的不断优化与完善，以人为本地进行教学方案的制定。并通过多种辅助教学手段进行教学，不断加强学生的学习兴趣培养与多种教学方式建立，最终实现学生对数列知识的掌握以及灵活运用到多种数学问题解决当中。

参考文献：

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[3] 张敏妮.高中数学数列教学中的教学策略[J].新课程学习（中），2013，06：100-101.

12.数学竞赛教案讲义——数列 篇十二

一、基础知识

定义1 数列，按顺序给出的一列数，例如1，2，3，…，n，….数列分有穷数列和无穷数列两种，数列{an}的一般形式通常记作a1, a2, a3,…，an或a1, a2, a3,…，an…。其中a1叫做数列的首项，an是关于n的具体表达式，称为数列的通项。

定理1 若Sn表示{an}的前n项和，则S1=a1, 当n>1时，an=Sn-Sn-1.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 定义2 等差数列，如果对任意的正整数n，都有an+1-an=d（常数），则{an}称为等差数列，d叫做公差。若三个数a, b, c成等差数列，即2b=a+c，则称b为a和c的等差中项，若公差为d, 则a=b-d, c=b+d.定理2 等差数列的性质：1）通项公式an=a1+(n-1)d；2）前n项和公式：Sn=n(a1an)n(n1)na1d；3）an-am=(n-m)d，其中n, m为正整数；4）若n+m=p+q，22则an+am=ap+aq；5）对任意正整数p, q，恒有ap-aq=(p-q)(a2-a1)；6）若A，B至少有一个不为零，则{an}是等差数列的充要条件是Sn=An2+Bn.定义3 等比数列，若对任意的正整数n，都有

an1q，则{an}称为等比数列，q叫做公比。ana1(1qn)定理3 等比数列的性质：1）an=a1q；2）前n项和Sn，当q1时，Sn=；当

1qn-1q=1时，Sn=na1；3）如果a, b, c成等比数列，即b2=ac(b0)，则b叫做a, c的等比中项；4）若m+n=p+q，则aman=apaq。

定义4 极限，给定数列{an}和实数A，若对任意的>0，存在M，对任意的n>M(n∈N),都有|an-A|<，则称A为n→+∞时数列{an}的极限，记作limanA.n定义5 无穷递缩等比数列，若等比数列{an}的公比q满足|q|<1，则称之为无穷递增等比数列，其前n项和Sn的极限（即其所有项的和）为

a1（由极限的定义可得）。1q定理3 第一数学归纳法：给定命题p(n)，若：（1）p(n0)成立；（2）当p(n)时n=k成立时能推出p(n)对n=k+1成立，则由（1），（2）可得命题p(n)对一切自然数n≥n0成立。

竞赛常用定理 定理4 第二数学归纳法：给定命题p(n)，若：（1）p(n0)成立；（2）当p(n)对一切n≤k的自然数n都成立时（k≥n0）可推出p(k+1)成立，则由（1），（2）可得命题p(n)对一切自然数n≥n0成立。

定理5 对于齐次二阶线性递归数列xn=axn-1+bxn-2，设它的特征方程x2=ax+b的两个根为α,β:(1)若αβ，则xn=c1an-1+c2βxn=(c1n+c2)αn-

1n-1，其中c1, c2由初始条件x1, x2的值确定；(2)若α=β，则，其中c1, c2的值由x1, x2的值确定。

二、方法与例题 1．不完全归纳法。

这种方法是从特殊情况出发去总结更一般的规律，当然结论未必都是正确的，但却是人类探索未知世界的普遍方式。通常解题方式为：特殊→猜想→数学归纳法证明。

例1 试给出以下几个数列的通项（不要求证明）；1）0，3，8，15，24，35，…；2）1，5，19，65，…；3）-1，0，3，8，15，…。

例2 已知数列{an}满足a1=

例3 设0

2迭代法。

数列的通项an或前n项和Sn中的n通常是对任意n∈N成立，因此可将其中的n换成n+

11,a1+a2+…+an=n2an, n≥1，求通项an.21，求证：对任意n∈N+,有an>1.an或n-1等，这种办法通常称迭代或递推。

例4 数列{an}满足an+pan-1+qan-2=0, n≥3，q0，求证：存在常数c，使得22nan1pan1·an+qancq0.2例5 已知a1=0, an+1=5an+24an1，求证：an都是整数，n∈N+.3．数列求和法。

数列求和法主要有倒写相加、裂项求和法、错项相消法等。例6 已知an=

例7 求和：Sn

例8 已知数列{an}满足a1=a2=1，an+2=an+1+an, Sn为数列

4．特征方程法。

例9 已知数列{an}满足a1=3, a2=6, an+2=4n+1-4an，求an.1(n=1, 2, …)，求S99=a1+a2+…+a99.4n2100111+…+.n(n1)(n2)123234an的前n项和，求证：Sn<2。n2

例10 已知数列{an}满足a1=3, a2=6, an+2=2an+1+3an，求通项an.5．构造等差或等比数列。

例11 正数列a0,a1,…,an,…满足anan2

2xn2例12

已知数列{xn}满足x1=2, xn+1=,n∈N+, 求通项。

2xnan1an2=2an-1(n≥2)且a0=a1=1，求通项。

三、基础训练题

1． 数列{xn}满足x1=2, xn+1=Sn+(n+1)，其中Sn为{xn}前n项和，当n≥2时，xn=_________.2.数列{xn}满足x1=

2xn1，xn+1=,则{xn}的通项xn=_________.3xn223.数列{xn}满足x1=1，xn=

1xn1+2n-1(n≥2)，则{xn}的通项xn=_________.24.等差数列{an}满足3a8=5a13，且a1>0, Sn为前n项之和，则当Sn最大时，n=_________.5.等比数列{an}前n项之和记为Sn,若S10=10，S30=70，则S40=_________.6.数列{xn}满足xn+1=xn-xn-1(n≥2)，x1=a, x2=b, Sn=x1+x2+…+ xn，则S100=_________.7.数列{an}中，Sn=a1+a2+…+an=n2-4n+1则|a1|+|a2|+…+|a10|=_________.8.若

x3xnx1x2，并且x1+x2+…+ xn=8，则x1=_________.x11x23x35xn2n1Sna2n，则limn=_________.nb3n1Tnn9.等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，若

2007n2n110.若n!=n(n-1)…2·1, 则(1)=_________.n!n1n11．若{an}是无穷等比数列，an为正整数，且满足a5+a6=48, log2a2·log2a3+ log2a2·log2a5+ log2a2·log2a6+ log2a5·log2a6=36，求1的通项。ann12．已知数列{an}是公差不为零的等差数列，数列{ab}是公比为q的等比数列，且b1=1, b2=5, b3=17, 求：（1）q的值；（2）数列{bn}的前n项和Sn。

四、高考水平训练题

1x21．已知函数f(x)=2x1x1则a2006=_____________.1x271+

x1，若数列{an}满足a1=，an+1=f(an)(n∈N)，32(x1)2．已知数列{an}满足a1=1, an=a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1(n≥2)，则{an}的通项an=1(n1)(n2).3.若an=n2+n, 且{an}是递增数列，则实数的取值范围是__________.4.设正项等比数列{an}的首项a1=an=_____________.1, 前n项和为Sn, 且210S30-（210+1）S20+S10=0，则23n15.已知limn1，则a的取值范围是______________.n3(a1)n36．数列{an}满足an+1=3an+n(n ∈N+)，存在_________个a1值，使{an}成等差数列；存在________个a1值，使{an}成等比数列。7．已知ann401n402(n ∈N+)，则在数列{an}的前50项中，最大项与最小项分别是____________.8．有4个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和中16，第二个数与第三个数的和是12，则这四个数分别为____________.9.设{an}是由正数组成的数列，对于所有自然数n, an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项，则an=____________.10.在公比大于1的等比数列中，最多连续有__________项是在100与1000之间的整数.11．已知数列{an}中，an0，求证：数列{an}成等差数列的充要条件是

11111（n≥2）①恒成立。a1a2a2a3a3a4anan1a1an112．已知数列{an}和{bn}中有an=an-1bn, bn=

bn1(n≥2), 当a1=p, b1=q(p>0, q>0)且p+q=1时，21an1an；（3）求数列limbn.nan1（1）求证：an>0, bn>0且an+bn=1（n∈N）；（2）求证：an+1=13．是否存在常数a, b, c，使题设等式 1·22+2·32+…+n·(n+1)2=

n(n1)

2(an+bn+c)12对于一切自然数n都成立？证明你的结论。

五、联赛一试水平训练题

1．设等差数列的首项及公差均为非负整数，项数不少于3，且各项和为972，这样的数列共有_________个。2．设数列{xn}满足x1=1, xn=

4xn12，则通项xn=__________.2xn17253.设数列{an}满足a1=3, an>0，且3anan1，则通项an=__________.4.已知数列a0, a1, a2, …, an, …满足关系式(3-an+1)·(6+an)=18，且a0=3，则ai0n1i=__________.5.等比数列a+log23, a+log43, a+log83的公比为=__________.6.各项均为实数的等差数列的公差为4，其首项的平方与其余各项之和不超过100，这样的数列至多有__________项.7.数列{an}满足a1=2, a2=6, 且

an2an=2，则

an11lima1a2ann2n________.8.数列{an} 称为等差比数列，当且仅当此数列满足a0=0, {an+1-qan}构成公比为q的等比数列，q称为此等差比数列的差比。那么，由100以内的自然数构成等差比数列而差比大于1时，项数最多有__________项.an9．设h∈N+，数列{an}定义为：a0=1, an+1=2ahn在大于0的整数n，使得an=1？

an为偶数an为奇数。问：对于怎样的h，存10．设{ak}k≥1为一非负整数列，且对任意k≥1，满足ak≥a2k+a2k+1，（1）求证：对任意正整数n，数列中存在n个连续项为0；（2）求出一个满足以上条件，且其存在无限个非零项的数列。

11．求证：存在唯一的正整数数列a1,a2,…,使得 a1=1, a2>1, an+1(an+1-1)=

anan23anan2111.六、联赛二试水平训练题

1．设an为下述自然数N的个数：N的各位数字之和为n且每位数字只能取1，3或4，求证：a2n是完全平方数，这里n=1, 2,….2．设a1, a2,…, an表示整数1，2，…，n的任一排列，f(n)是这些排列中满足如下性质的排列数目：①a1=1;②|ai-ai+1|≤2, i=1,2,…,n-1。试问f(2007)能否被3整除？

3．设数列{an}和{bn}满足a0=1,b0=0，且

an17an6bn3, bn18an7bn4,n0,1,2,.求证：an(n=0,1,2,…)是完全平方数。

4．无穷正实数数列{xn}具有以下性质：x0=1，xi+1

x1x2xn均成立；

22x0xnx121<4对任一n均成立。（2）寻求这样的一个数列使不等式

x1x2xn5．设x1,x2,…,xn是各项都不大于M的正整数序列且满足xk=|xk-1-xk-2|(k=3,4,…,n)①.试问这样的序列最多有多少项？

2(12an2)an116．设a1=a2=，且当n=3,4,5,…时，an=, 222an14an2an1an23(ⅰ)求数列{an}的通项公式；(ⅱ)求证：

12是整数的平方。an7．整数列u0,u1,u2,u3,…满足u0=1，且对每个正整数n, un+1un-1=kuu，这里k是某个固定的正整数。如果u2000=2000，求k的所有可能的值。

8．求证：存在无穷有界数列{xn}，使得对任何不同的m, k，有|xm-xk|≥

13.高中数学数列递推定理 篇十三

已知数列{an}的项满足an2pan1qan，a1=a，a2=b,nN+，称方程x2pxq0为数列an的特征方程。若x1,x2是特征方程的两个根，则

n1n1

（1）当x1x2时，数列an的通项为anAx1Bx2，其中A，B由

初始值决定；

（2）当x1x2时，数列an的通项为an(A1B1n)x1n1，其中A1，B1由初始值决定。

3122、已知数列a11,a2,且anan1an2(n3,4,5,)，求通项公式an。

（略解：二阶线性递推数列，x1x2型！x2x,x1x2，用公式得

1n1

an(n1)()nn）

定理（一次分式递推数列）

已知数列{an}的项满足： a1a且对于nN，都有an1

panq

p、ranh

q、r、hR，且phqr,r0,a1），称方程x

（i）若a1,则数列{an}为常数数列（ii）若a1，则数列{

h

r

（1）当特征方程有两个相同的特征根时，pxq

为数列an特征方程.rxh

为等差数列。an

an1

为等比数列。an2

（2）当特征方程有两个相异的特征根

14.浅谈高中数学数列的有效教学 篇十四

关键词：高中数学；数列；有效教学

【中图分类号】G633.6

引言

数列是高中阶段数学学习的基本内容，而等差数列和等比数列是数列教学的重点。两类数列的学习主要包括对数列的定义、基本特点、通项公式、分类方法、具体应用等知識点的学习。然而在当前数列知识的教学中还存在一定程度的缺陷，例如教学设计模式化、教学方法单一、教学效率低效等问题，因此加强对数列教学的探究成为了数学教育领域的重要研究课题。

1 数列教学的重要性

数列知识不仅是高中数学教学中的重要内容，而且还蕴含了丰富的数学逻辑思维和方法，是高中生在高中阶段需要掌握的一种极为重要的数学模型。数列与函数、不等式、解析几何等知识点的综合问题，以及数列的应用问题，例如人口增长、产品规格设计、细胞分裂、房屋货款、工资选择等，成为高考数学中的常见考题类型。

学生学习数列知识有助于培养其逻辑推理能力和提高运算能力，因此高中数学教师必须对数列教学有足够的重视。只有教师首先对数列教学引起了足够的重视，学生才会在数列的课堂学习过程中产生紧迫感，意识到数列知识的重要性，才会更加认真地学习数列知识。

2 高考试题中数列问题综合分析

2.1 考纲解读

（1）理解等差、等比数列的概念，掌握等差、等比数列的通项公式和前n项和公式。

（2）能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能运用相关知识解决相应问题，了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系。

2.2考情分析

纵观近几年的高考试题，一般情况下都是一个客观题加一个解答题，分值占整个试卷的10%+，客观题主要考查等差、等比数列的概念、性质、通项公式、前n项和公式等内容，对基本的计算技能要求较高。解答题考查内容大多以数列为主，结合函数、方程、不等式等知识的综合性试题，在解题过程中通常用到等价转化，分类讨论等数学思想方法，属于中高档难度的题目。

2.3 数列问题命题特点

（1）注重对概念、公式和计算的考查

1）明确数列的基本概念和数列通项公式的定义。掌握运用递推公式解答数列问题的方法，最终根据公式解出数列某项。等差数列：， d为公差。等比数列：，q为公比。

2）考核学生对等差数列和等比数列递推公式的掌握和应用。等差数列：。等比数列：）。

（2）注重对学生解题规范的考核

一方面，高考试题要求学生形成严谨的答题习惯，有“步骤分”和“卷面分”。另一方面，要求具体计算过程在草稿纸上进行，以免卷面信息过于复杂、排版凌乱。另外，高考试题的解法也不是限定在一种思路上，而是对学生的创新能力、发散性思维进行考核，解题方案呈多样化。因此，包括对题目解答的入手、开展方向、适用公式、个别细节的先后顺序等，都允许学生多元化操作。

（3）注重命题形式的创新

数列的新颖命题通常是概念上的创新，或者是与向量、函数、不等式、算法，解析几何等知识结合，以情境新颖的选择题、填空题甚至是解答题的形式出现。

3 结合考点分析进行有效教学

3.1 加强基本运算方法的强化教学——抓概念与公式

从首项和公差（比）入手，是解决等差、等比数列问题的基本途径和方法。 在数列的训练题中，随堂引导学生根据a1，d（q），n，an，sn几个量进行知三求一或知三求二的运算，是非常重要的双基训练。

例：等比数列{中，，求

解：设首相和公比分别为，由题设可得

据此可以得到该等比数列。

可见，抓首项与公差（比），就能落实熟练基本运算方法，培养学生正确、合理运算的基本功，就能为运算能力的培养奠定坚实的基础。

3.2 锻炼学生通解通法的运用能力——抓观点与性质

运算能力是一种综合能力，与观察力、注意力、记忆力、理解力、推理能力、表达能力等互相渗透、互相影响。优化运算思维过程，以培养学生正确、简捷和富有创造性的运算能力与品质，逐步形成解决实际问题的能力。

数列课程内容，包含了很多数学的思想方法，比如转化与化归思想、函数思想、方程思想等等，这部分内容的教学一定要重点突出解题思想方法的教学，让学生真实体会和理解一些重要的数学研究思想方法，侧重于通解通法的领悟，然后以此为基础，再熟悉和掌握一些解题技巧，从而提高数列解题效率和质量，切不可本末倒置，盲目追求技巧在解题过程中的作用。

（1）用函数的观点审视数列问题

例：设等差数列{的前n项和为。已知a3=12，S12>0，S13<0，指出S1，S2，S3，……，S12中哪一个值最大，并说明理由。

解：由题设易得公差d<0，=d/2*n2+（a1-d/2）*n

故二次函数的图形开口向下，设顶点坐标为n.

又f（0）=0，且f（x）=0在（12，13）内有一实根。

由对称性知12<2n0<13，即接近n0的自然数为6，S6最大

2）抓等差（比）数列的基本性质

性质：设数列{是等差（比）数列，n、m、l、sN.若n+m=l+s则an+am=al+as （an*am=al*as）

3.3培养综合运算能力——抓联系与渗透

运算能力的层次性，就是要求教学中要培养学生由单一的运算到复合运算，再到综合运算。这是一种解题的技巧，这种技巧的建立必须以深刻认识和理解等差（比）数列知识和内在联系为基础，这样才能保证学生牢固记忆和熟练运用。所以，要培养学生的运算和联系能力，掌握题设中个相关条件之间的联系，下面提到的联系是数列部分需要引导学生牢固掌握的重要知识。

1）抓通项{与前n项和的联系。

2）抓等差数列与等比数列的组合。

3）抓等差（比）数列与其他数学知识（如函数、方程、不等式等）的组合。

4 小结

高中数学中的数列问题是一个重点知识点，对于很多学生而言数列与其他的知识点有形式上的不同，于是就成为了一个难点在掌握基础知识和数学思想的同时，通过练习来积累解题的经验，通过对这些经验的思考来感悟其中的数学思想，两者相辅相成，必然能够学好这部分的知识。

参考文献

[1]史立霞，袭振.数列中的分类讨论问题[J].高中数学教与学.2012（19）.

15.高中数学等差数列教案 篇十五

2.学生认真阅读课本内容，划出关键词，完成预习单，记录不懂问题，做好上课准备。 课型 新授课 教学过程 教学环节 学习内容 学生

活动 教师

活动 设计

意图 课前

预习单 阅读书本P10-11内容，试着了解等差数列通项公式的推导过程和思路，在不明白的地方做上记号 自主完成 抽查反馈 了解备学内容 课堂

探究单

创设情境

导入新课

(5分钟)

张家界百龙观光电梯运行速度为3m/s。现在电梯从高154m处向上运行，高325m处为终点，每秒计数一次，写出电梯高度构成的数列。这个数列的第20项是多少?你能写出这个数列的通项公式吗?

学生独立思考并写出相应的数列

教师引导学生从数列中归纳出每一项与首项、公差之间的关系

为等差数列通项公式的推导做准备

活动一

等差数列通项公式的推导

(10分钟) 设等差数列 的公差是 ，则 ，

，

，……，依次类推，得到 ( )。当 时也成立。由此可得等差数列的通项公式为 ( )。 学生结合探究题独立思考完成

请学生回答，并板书等差数列的通项公式

引导学生了解等差数列通项公式的由来，培养学生的归纳猜想的能力

活动二

等差数列通项公式的运用

(15分钟) 任务1：已知等差数列 的首项是1，公差为3，求其第11项。

任务2：求等差数列-13，-9，-5，-1，…的第56项。 学生独立思考后完成

校对答案

帮助学生进一步熟悉和理解等差数列的通项公式 任务3：已知等差数列 中， ，求此数列的通项公式。 学生独立思考后完成，然后小组交流答案 请学生回答解答思路，引导学生用方程思想解决本题 巩固通项公式;复习方程组的解法 课堂小结

(4分钟) 知识层面总结：等差数列的通项公式

思想方法总结： 不完全归纳法;方程思想 归纳总结 1.归纳总结;

2.引申到下一节课 培养学生对于问题的概括能力、语言组织能力 课堂

检测单

(10分钟) 已知 为等差数列。

(1)若 ，求 ;

(2)若 ，求 ;

(3)若 ，求 和 。 独立思考后完成，完成后小组交流各自的完成情况 巡视并记录学生作业中存在的问题，给出答疑并校对答案 帮助学生巩固本节课所学内容 课后

巩固单

(1分钟) 【巩固单】书本P13“练习”

【思考单】书本P13“问题解决”

【预习单】预习“等差数列的前n项和公式”一节，并完成预习单。 必做

选做

必做

学习评价

自我激励

同伴激励

教师激励

自我评价

观察点

优秀

良好

继续努力

知识的掌握情况

方法的掌握情况

数学日志：

同伴评价(小组成员)

观察点

16.数列的极限_教学设计 篇十六

西南位育中学 肖添忆

一、教材分析

《数列的极限》为沪教版第七章第七节第一课时内容，是一节概念课。极限概念是数学中最重要和最基本的概念之一，因为极限理论是微积分学中的基础理论，它的产生建立了有限与无限、常量数学与变量数学之间的桥梁，从而弥补和完善了微积分在理论上的欠缺。本节后续内容如：数列极限的运算法则、无穷等比数列各项和的求解也要用到数列极限的运算与性质来推导，所以极限概念的掌握至关重要。

课本在内容展开时，以观察n时无穷等比数列an列anqn,(|q|1)与an1的发展趋势为出发点，结合数n21的发展趋势，从特殊到一般地给出数列极限的描述性定义。在n由定义给出两个常用极限。但引入部分的表述如“无限趋近于0，但它永远不会成为0”、“不管n取值有多大，点（n，an）始终在横轴的上方”可能会造成学生对“无限趋近”的理解偏差。

二、学情分析

通过第七章前半部分的学习，学生已经掌握了数列的有关概念，以及研究一些特殊数列的方法。但对于学生来说，数列极限是一个全新的内容，学生的思维正处于由经验型抽象思维向理论型抽象思维过渡的阶段。

由于已有的学习经验与不当的推理类比，学生在理解“极限”、“无限趋近”时可能产生偏差，比如认为极限代表着一种无法逾越的程度，或是近似值。这与数学中“极限”的含义相差甚远。在学习数列极限之前，又曾多次利用“无限趋近”描述反比例函数、指数函数、对数函数的图像特征，这又与数列中“无限趋近”的含义有所差异，学生往往会因为常数列能达到某一个常数而否定常数列存在极限的事实。

三、教学目标与重难点 教学目标：

1、通过数列极限发展史的介绍，感受数学知识的形成与发展，更好地把握极限概念的来龙去脉；

2、经历极限定义在漫长时期内发展的过程，体会数学家们从概念发现到完善所作出的努力，从数列的变化趋势，正确理解数列极限的概念和描述性定义；

3、会根据数列极限的意义，由数列的通项公式来考察数列的极限；掌握三个常用极限。教学重点：理解数列极限的概念

教学难点：正确理解数列极限的描述性定义

四、教学策略分析

在问题引入时着重突出“万世不竭”与“讲台可以走到”在认知上的矛盾，激发学生的学习兴趣与求知欲，并由此引出本节课的学习内容。在极限概念形成时，结合极限概念的发展史展开教学，让学生意识到数学理论不是一成不变的，而是不断发展变化的。数学的历史发展过程与学生的认知过程有着一定的相似性，学生在某些概念上的进展有时与数学史上的概念进展平行。比如部分学生的想法与许多古希腊的数学家一样，认为无限扩大的正多边形不会与圆周重合，它的周长始终小于其外接圆的周长。教师通过梳理极限发展史上的代表性观点，介绍概念的发展历程以及前人对此的一系列观点，能帮助学生发现自己可能也存在着类似于前人的一些错误想法。对数学发现的过程以认知角度加以分析，有助于学生学习数学家的思维方式，了解数学概念的发展，进而建构推理过程，使学生发生概念转变。在课堂练习诊断部分，不但要求回答问题，还需对选择原因进行辨析，进而强化概念的正确理解。

五、教学过程提纲与设计意图 1.问题引入

让一名学生从距离讲台一米处朝讲台走动，每次都移动距讲台距离的一半，在黑板上写出表示学生到讲台距离的数列。这名学生是否能走到讲台呢？类比“一尺之捶,日取其半,万世不竭”，庄子认为这样的过程是永远不会完结的，然而“讲台永远走不到”这一结果显然与事实不同，要回答这一矛盾，让我们看看历史上的数学家们是如何思考的。【设计意图】

改编自芝诺悖论的引入问题，与庄子的“一尺之捶”产生了认知冲突，激发学生的学习兴趣与求知欲，并引出本节课的学习内容

2.极限概念的发展与完善

极限概念的发展经历了三个阶段：从早期以“割圆术”“穷竭法”为代表的朴素极限思想，到极限概念被提出后因“无穷小量是否为0”的争论而引发的质疑，再经由柯西、魏尔斯特拉斯等人的工作以及实数理论的形成，严格的极限理论至此才真正建立。【设计意图】

教师引导学生梳理极限发展史上的代表性观点，了解数学家们提出观点的时代背景，对照反思自己的想法，发现自己可能也存在着类似于前人的一些错误想法。教师在比较概念发展史上被否定的观点与现今数学界认可的观点时，会使学生产生认知冲突。从而可能使学生发生概念转变，抛弃不正确的、不完整的、受限的想法，接受新的概念。在数学教学中，结合数学史展开教学可以让学生意识到数学理论不是一成不变的，而是不断发展变化的，从而提升学生概念转变的动机。

3.数列极限的概念

极限思想的产生最早可追溯于中国古代。极限理论的完善出于社会实践的需要，不是哪一名数学家苦思冥想得出，而是几代人奋斗的结果。极限的严格定义经历了相当漫长的时期才得以完善，它是人类智慧高度文明的体现，反映了数学发展的辩证规律。今天的主题，极限的定义，援引的便是柯西对于极限的阐述。

定义：在n无限增大的变化过程中，如果无穷数列{an}中的an无限趋近于一个常数A，那么A叫做数列{an}的极限，或叫做数列{an}收敛于A，记作limanA，读作“n趋向于

n无穷大时，an的极限等于A”。

在数列极限的定义中，可用|an-A|无限趋近于0来描述an无限趋近于A。

如前阐述，柯西版本的极限定义虽然不是最完美的，但作为摆脱几何直观的首次尝试，也是历史上一个较为成功的版本，在历史上的地位颇高。有时，我们也称其为数列极限的描述性定义。

【设计意图】

通过比较历史上不同观点下的极限定义，教师呈现数列极限的描述性定义，分析该定义的历史意义，让学生进一步明确数列极限的含义。4.课堂练习诊断

由数列极限的定义得到三个常用数列的极限:(1)limCC(C为常数)；

n(2)lim10(nN*)； nnnn(3)当|q|<1时，limq0.练习<1>判断下列数列是否存在极限，若存在求出其极限，若不存在请说明理由

20162016（1）an；

nsinn； n（3）1,1,1,1,,1（2）an（4）an4(1n1000)

4(n1001)11-，n为奇数（5）ann

 1，n为偶数注：

（1）、（2）考察三个常用极限

（3）考查学生是否能清楚认识到数列极限概念是基于无穷项数列的背景下探讨的。当项数无限增大时，数列的项若无限趋近于一个常数，则认为数列的极限存在。因此，数列极限可以看作是数列的一种趋于稳定的发展趋势。有穷数列的项数是有限的，因而并不存在极限这个概念。

（4）引用柯西的观点，解释此处无限趋近的含义，是指随着数列项数的增加，数列的项与某一常数要多接近就有多接近，由此得出结论：数列极限与前有限项无关且无穷常数数列存在极限的。

（5）扩充对三种趋近方式的理解：小于A趋近、大于A趋近和摆动趋近。本题中的数列没有呈现出以上三种方式的任意一种。避免学生将趋近误解为项数与常数间的差距不断缩小。练习<2>若A=0.9+0.09+0.009+0.0009+...，则以下对A的描述正确的是_____.A、A是小于1的最大正数

B、A的精确值为1 C、A的近似值为1

选择此选项的原因是_________ ①由于A的小数位都是 9，找不到比A大但比1小的数；

②A是由无限多个正数的和组成，它们可以一直不断得加下去，但总小于 2；

③A表示的数是数列0.9，0.99，0.999，0.9999，...的极限；

④1与A的差等于 0.00…01。

注：此题是为考查学生对于无穷小量和极限概念的理解。由极限概念的发展史可以看出，数学家们曾长时期陷入对无穷小概念理解的误区中，极大地阻碍了对极限概念的理解。学生学习极限概念时可能也会遇到类似的误区。

练习<3>顺次连接△ABC各边中点A1、B1、C1，得到△A1B1C1。取△A1B1C1各边中点 A2、B2、C2并顺次连接又得到一个新三角形△A2B2C2。再按上述方法一直进行下去，那么最终得到的图形是_________.A、一个点

B、一个三角形

C、不确定

选择此选项的原因是_________.①

无限次操作后所得三角形的面积无限趋近于 0 但不可能等于 0。②

当操作一定次数后，三角形的三点会重合。

③

该项操作可以无限多次进行下去，因而总能作出类似的三角形。

④

无限次操作后所得三角形的三个顶点会趋向于一点。

注：此题从无限观的角度考察学生对极限概念的的理解。学生容易忽视极限概念中的实无限，他们在视觉上采用无穷叠加的形式，但是会受最后一项的惯性思维，导致采用潜无限的思辨方式。所谓实无限是指把无限的整体本身作为一个现成的单位，是可以自我完成的过程或无穷整体。相对地，潜无限是指把无限看作永远在延伸着的，一种变化着成长着不断产生出来的东西。它永远处在构造中，永远完成不了，是潜在的，而不是实在的。持有潜无限观点的学生在理解极限概念时，会将极限理解为是一个渐进过程，或是一个不可达到的极值。

通过习题，分析总结以下三个注意点：

（1）数列{an}有极限必须是一个无穷数列，但无穷数列不一定有极限存在；

1}可以说随着n的无限增大，n1数列的项与-1会越来越接近，但这种接近不是无限趋近，所以不能说lim1；

nn（2）“无限趋近”不能用“越来越接近”代替，例如数列{（3）数列{an}趋向极限A的过程可有多种呈现形式。

【设计意图】

通过例题与选项原因的分析，消除关于数列极限理解的三类误区：

第一类是将数列极限等同于如下的三种概念：渐近线、最大限度或是近似值。第二类是学生对于数列趋向于极限方式的错误认知。第三类是对于无限的错误认知。

5.课堂小结

极限的描述性定义与注意点 三个常用的极限

6.作业布置

1>任课老师布置的其他作业

2>学习魏尔斯特拉斯的数列极限定义，并用该定义证明习题<1>的第一第二小问 【设计意图】