单项式和多项式练习

单项式和多项式练习（共14篇）

1.单项式和多项式练习 篇一

(三)解决办法

复习单项式与单项式的乘法法则，并注意在解题过程中将单项式乘多项式转化为单项

式乘单项式后符号确定的问题.

四、课时安排

一课时.

五、教具学具准备

投影仪、胶片.

六、师生互动活动设计

1.设计一道可运用乘法分配律进行简便运算的题目，让学生复习乘法分配律，并为引入单项式与多项式的乘法法则打下良好的基础.

2.通过面积分割法，形象直观地引入单项式与多项式的乘法法则，并引导学生用文字语言概括出其结论.

3.通过举例，教师分析、讲解并示范板书全过程，让学生规范解题过程，再通过反复的练习巩固所学过的法则.

七、教学步骤

(一)明确目标

本节课重点学习单项式与多项式的乘法法则及其应用.

(二)整体感知

单项式乘以多项式的乘法运算主要是将它转化为单项式与单项式的乘法运算，放首先应适当复习并掌握单项式与单项式的乘法运算方法，再在计算过程中注意单项式与多项式相乘后的符号问题.

(三)教学过程

1.复习导入

复习：(1)叙述单项式乘法法则.

(单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.)

(2)什么叫多项式?说出多项式 的项和各项系数.

2.探索新知，讲授新课

简便计算：

引申：计算 ，基中m、a、b、c都是单项式，因为式中字母都表示数，故分配律对代数式也适用，则

引导学生用学过的.长方形面积知识加以验证，把宽为m，长分别是a、b、c的三个小长方形拼成大长方形，研究图形面积的整体与部分关系.

由该等式，你能说出单项式与多项式相乘的法则吗?单项式与多项式乘法法则：单项式

与多项式相乘，就是用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加.

例1 计算：

(1) (2)

说明：计算按课本，讲解时，要紧扣法则：①用单项式遍乘多项式的各项，不要漏乘.②要注意符号，多项式的每一项包括它前面的符号.③“把所得积相加”时，不要忘了加上加号.

例2 化简：

化简按课本，化街时直接写成省略加号的代数和，注意正确表达，做完乘法后，要合并同类项.

练习：错例辨析

(1)

(2)

(2)错在单项式与多项式的每一项相乘之后没有添上加号，故正确答案为

(四)总结、扩展

1.由学生叙述单项式与多项式相乘法则，并回答积仍是多项式，积的项数与多项式因式的项数相同.

2.考点剖析：单项式乘以多项式这一知识点在中考试卷中都是以与其他知识综合命题的形式考查的.但它是多项式乘法、因式分解、分式通分、解分式方程等知识的重要基础.故必须掌握好.如

(99，河北)下列运算中，不正确的为( )

A. B.

C. D.

八、布置作业

P112 A组 1.(2)(4)(6)(8)，2，3.(2)

参考答案：

略

2.单项式和多项式练习 篇二

首先要让学生认识到算法的重要性和应用的广泛性,不然学的时候模糊,将来用时就会出问题。其次,要引导学生了解其背后的思想,欣赏理论和算法的美妙,有兴趣尝试解决难题。学习者得找几个数亲手算一算,然后依照给定算法,亲自编写程序,验证一下示例才能真正掌握这些内容。正如Donald Knuth所说,“人们常常说,除非一个人能将某事教给其他人,他才算是真正地了解了这件事。实际上,直到一个人可以将某事教授给计算机,他才算真正地了解了这件事”。所以,照着算法自己编一下程序,是最好的学习方法。

1 傅立叶级数、傅立叶变换的形式及其应用

因应用目的和习惯不同,一些书中可能用不同的符号和形式表示这些数学式,容易引起学习者疑惑,教学中要多做比较,才能更清楚地让学生掌握数学语言所表达的意义。下面是常用的傅立叶级数实数形式:

有限离散形式如下,其中x=j (2π/N)

傅立叶变换,逆变换为

学任何算法,首先要知道问题的来源,教学中对傅立叶变换的应用要通过示例解释清楚,才会收到好的教学效果。傅立叶变换在信号处理中实现时间域到频率域的相互转换,是实现数字滤波的基础;在函数逼近中,可把函数展开成傅里叶级数,实现用简单的三角函数替代复杂或难表示的周期函数,也是进行近似计算的基础算法。傅立叶变换在解偏微分方程等其他领域也有广泛的应用。

2 傅立叶级数的系数

可以从以下3个方面来看待傅立叶级数的系数,这样便于理解和记忆。教学中可先讲清正交函数的优点,正交函数内积为零可简化很多计算。

2.1 高数教材中系数的推导

一般上来就告诉学生函数可展成三角级数,系数an怎么定呢?用cosnx乘两端,再从-π到π逐项积分,根据三角函数系的正交性,其余各项为0,得系数an。单从这个角度来看,多数同学虽然可理解,但总感觉太抽象和生硬。学了数值分析课还可从以下函数逼近角度理解。

2.2 最佳平方逼近

用正交函数族作基函数来逼近函数f(x),用最佳平方逼近方法,求系数a组成的多元函数极值时可得方程,因所选的基函数为正交函数,所以解可直接写为:

根据内积的定义直接得出傅立叶系数的表达式,这样可更好地理解傅立叶级数。

2.3 函数向量投影到基向量

有时从几何的角度来理解这一问题更直观。把函数作为一个向量,投影到基函数(基向量)上,傅立叶系数就是在各基函数向量上的长度坐标(即射影),也就是坐标值。形式如向量a射影到b:prjba=|a|cos∠(a,b)=a·b/|b|。函数向量f(x)射影到函数向量cos(nx)上,即an=(f(x),cos(nx))/(cos(nx),cos(nx))。

3 离散傅立叶变换(DFT)

学习快速傅立叶变换,当然先要明白普通的离散傅立叶变换算法及程序的编写。这也有利于验证快速傅立叶变换。复数域表示有限离散形式是:

复数形式正逆变换,归结为计算

设N=4,用矩阵形式表示为:

用C语言可先定义复数数据结构及其加、减、乘法,再编写如下函数进行离散傅立叶变换。

4 快速离散傅立叶变换(FFT)

4.1 算法原理

因复数形式正逆变换,归结为计算

利用w的周期性、对称性,或从矩阵分解的角度看,设N=4,表示成矩阵形式为:

根据周期性对称性w0=1,w2=-w0,w3=-w1

从离散点的奇偶划分看

即N个xk的傅里叶变换转换为N/2长度的两个傅里叶变换。可依次再分割下去。如N=8个离散点时:

(x0,x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)划分为(x0,x2,x4,x6)(x1,,X3,x5,x7),再划分为:((x0,x4)(X2,x6))((x1,x5),(x3,x7)),直到(x0,x4,x2,x6,x1,x5,x3,x7),用二进制表示下标为

(x000,x100,x010,x110,x001,x101,x011,x111),正好是原来数字的二进制逆序。如图1～图4所示。

4.2 人工计算

可找几个数进行人工计算,对于掌握算法及编程是必要的。如算4个点值0,1,0,-1,测试三角插值:

其中对于e-i2π/N式的n次,n=0时w[0]为1,n=1时w[1]为-i,根据上文中离散傅立叶变换公式作代换c[k]=c[k]/N,这里N=4,可确定N/2次的三角插值,其中cos函数的系数:ak=2*R(c[k]),这里值皆为0,sin函数系数bk=-2*I(C[k]),只取到b1=1,即得插值函数1*sin(t),再返过来在一个周期上等距采样4个值正好为0,1,0,-1。

4.3 FTT的C语言程序

二进制的逆序程序为:

在以下程序中q为递推步,从0到p-1共p步,k为每步中蝶块号,第一步0,第二步0、1;r为每个蝶块中元素个数之半;j为各步每蝶块中前一半的元素号;如q为0、1、2、3,块数1、2、4、8,块号k=1<<q,r为8、4、2、1,A的下标j+k*2^(p-q)。

5 应用示例

如下列程序所述,对函数f(x)=|x|和一个已知的三角函数进行数据采样,再进行傅立叶变换后做三角插值,当然也可利用FFT进行数字滤波,滤去某些频率成分的信号。

可用Matlab或C语言绘图,函数逼近如图5～图6所示。

参考文献

[1]李庆扬,王能超,易大义.数值分析.5版.北京:清华大学出版社.2008.

[2]张正秋.数值计算与数据处理编程及实践.北京:清华大学出版社,2011.

3.单项式乘多项式 公开课教案 篇三

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2012年全县初中教学比武课

苏纽兮

一、教学目标：

1、知识与能力

(1)理解和掌握单项式与多项式乘法法则及推导；(2)熟练运用法则进行单项式与多项式的乘法计算。

2、过程与方法

(1)通过用语言概括法则，提高学生的表达能力和灵活运用知识的能力；(2)通过螺旋式练习，提高学生的计算能力和综合运用知识的能力。

3、情感、态度与价值观 渗透公式恒等变形的数学美。

二、教学重、难点：

1、重点：掌握单项式与多项式乘法法则。确立依据：“单项式乘多项式”是后续知识学习的基础，也是中考的重要内容，但计算量较大，学生计算能力弱，所以容易出错。

2、难点：正确迅速地进行单项式与多项式的乘法计算。确立依据:从认知规律看，学生已经具有初步的探究能力和思维能力，且过程中关注的“点”较多，特别是符号问题的处理，学生理解起来比较困难，导致正确迅速地进行单项式与多项式的乘法计算上可能会有困难。

三、教学过程：

一、导入：

1、复习：（1）叙述单项式乘法法则。

（单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。）

（２）什么叫多项式？说出多项式 的项和各项系数。

2、情境引入思考这样一个问题:计算一个宽为a，长为(b+c+d)的长方形的面积，并把你的算法与同学交流。

设计意图:将学生迅速引入数学课堂，并通过传统媒体呈现类似的、较为熟悉的问题情境，使学生实行角色的转变(从课堂中“坐观者”转变为“数学课堂学习的主人”)，突出问题情境为内容。

二、探索新知，讲授新课

简便计算：（见小黑板）

引申：计算，其中m、a、b、c都是单项式，因为式中字母都表示数，故分配律对代数式也适用。

引导学生用学过的长方形面积知识加以验证，把宽为m，长分别是a、b、c的三个小长方形拼成大长方形，研究图形面积的整体与部分关系。

由该等式，你能说出单项式与多项式相乘的法则吗？单项式与多项式乘法法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加。

例1

计算：

（1）a(b+c+d)

（2）2xy(3x-4y)

说明：讲解时，要紧扣法则：①用单项式遍乘多项式的各项，不要漏乘。②要注意符号，多项式的每一项包括它前面的符号。③“把所得积相加”时，不要忘了加上加号。

例2 化简： 5x(7x-2y)-4x(x +3y)

化简按课本，化简时直接写成省略加号的代数和，注意正确表达，做完乘法后，要合并同类项。

练习：错例辨析

（1）-2x（3x-5y）=-6x y-10x y

（2）5x（4x-2y）=20x y-5x y

三、巩固练习

1、（-4x）·（2x 2+3x-1）;

2、（2/3ab2-2ab）·1/2ab。

可以看出，此例较简单，但讲解时，要紧扣法则。还要注意，多项式的各项是带着前面的符号。

1、（-4x）·(2x 2+3x-1)

=（-4x）·（2x 2）+（-4x）·（3x）+（-4x）（-1）

=-8x 3-12x 2+4x

2、（2/3ab2-2ab）·1/2ab

=（2/3ab2）1/2ab+（-2ab）1/2ab

=1/3a2b3-a2b2

根据乘法的交换律，单项式在前或在后没有关系，照常运用法则。

3、化简：-2a2(1/2ab+b2-5a(a2b-ab2)

=-a3b-2a2b2-5a3b+5a2b

2=-6a3b+3a2b2

这里的化简，实际上是做完乘法后，再合并同类项。这种变形，在今后学习中用处大，要求学生能熟练地进行。

4、补充例题：解方程：

6x(7-x)=36-2x(3x-15)解:42x-6x 2=36-6x 2+30x

移项得12x =36

x =3

5、教科书第102页练习，习题7。4A组第1题（1），（2），（3），（4）；第2题（1），（2）；第3题（1）。

四、总结、扩展

由学生叙述单项式与多项式相乘，积仍是多项式，积的项数与多项式因式的项数相同。

五、布置作业 ：

P112 A组 1。（2）（4）（6）（8），2，3。（2）

六、板书设计：

单项式乘多项式

法则：①用单项式乘多项式的各项，不要漏乘。

②要注意符号，多项式的每一项包括它前面的符号。

③“把所得积相加”时，不要忘了加上加号。

注意：单项式与多项式相乘，积仍是多项式，积的项数与多项式因式的 项数相同。

《单项式乘多项式》课后综合评议

一、能很好地突出重点：

在教学过程中，首先通过练习复习了单项式与单项式相乘的法则，然后通过有理数运算中利用乘法分配律计算的两个小题。提出问题，让学生计算，再通过问题“乘法分配律对于含有字母的代数式是否也同样适用呢？”引发学生的思考，最后通过计算图形的面积，解决问题，引出课题。之后通过乘法分配律公式让学生试着完成两个单项式与多项式相乘的习题，然后再让学生试着用自己的语言总结出法则。

二、能有效地突破难点：

通过例题，让学生试着反思在解题过程中容易出错的地方，积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同，运算时，要注意多项式中的每一项前面的”+”“－”号是性质符号，并总结出单项式与多项式相乘就是利用乘法分配律把它转化为单项式与单项式相乘。然后完成一组练习题，达到对法则的熟练运用。

三、教学实施过程中部分环节处理收到了良好效果：

（1）通过复习乘法分配律，为引入单项式与多项式的相乘法则打下良好的基础，很顺畅的引入了课题。但是太过于直白，说这就是为这节课准备的，实际多此一举，没有必要讲。

（2）通过求长方形的面积，形象直观地引入单项式与多项式的相乘法则，并引导学生用文字语言概括出其结论。

（3）通过例题分析、讲解并示范板书，让学生规范解题过程。

四、教学过程中部分环节有待提高。注意教师提问语言的指向性，提高课堂教学效率。因为自己的语言不简洁、重复，使部分教学任务没有完成，分析主要原因是提出问题指向性不明。所以在后面的教学中我还要注重自己提问语言的指向性，使自己的提问更加明确，提高课堂教学效率。

本节课的课堂教学基本达成了教学目标，个别的错误仍然是出现在符号方面。本课从课堂反馈中也发现了一个问题： “单项式乘多项式”可以根据乘法的分配律得到法则：用单项式乘以多项式的每一项，再把所得的积相加。因此在板演例题时，特别注意应用法则进行计算，用加号把若干个单项式乘单项式连起来的形式，甚至还把加号用彩色加以强调，可有的学生做习题时，写成了省略加号的代数和的形式，出现了跳步的现象，对于简单的题来说，这样写可能更好，但是这样写对于混合运算就很容易犯符号错误。所以要强调用法则进行计算，把过程写详细，避免出错。

4.单项式乘以单项式(教案) 篇四

单项式乘以单项式

内乡县赵店初中

陈继娜

教学目标：

1.在具体情景中理解并掌握 单项式乘法的意义；

2.能够熟练的利用法则进行单项式的乘法运算； 3.体验探究数学问题的过程，体验转化的思想方法。理解并掌握 单项式乘法的 灵活运用

教学过程： 情景导入：

想一想：已知：中秋“长方体礼品盒”的底面积是4xy, 高是3x,那么这个长方体的体积是多少？

请同学们列出算式，想一想怎样计算？

忆一忆

1.下列单项式的系数各是多少？

8x，-2a2bc，xy2，-t2，2.利用乘法的交换律、结合律计算：8×4×25×0.125 3.我们已经学习了幂的运算，你能正确解答下列各式吗？（1）（2×103）×（5×102)=___

（2）（a+b）(a+b)2(a+b)4=___

(3)2x3 ∙5x2=_____ 试一试

仿照刚才的做法，你能解出下面的题目吗？

（1）3x2y·（-2xy3）

(2)(5a2b3)·（-4b2c）

议一议

单项式乘以单项式如何计算？

例 计算

（1）3x2y·（-2xy3）(2)(-5a2b3)·（-4b2c）（3）（-3ab）(-a2c)2·6ab

小试身手(1)下面计算中,正确的是

（）A4a3 • 2a2=8a6

B 2x4 • 3x4 =6x8

C 3x2 • 4x2=12x

2D、3y3 • 5y4=15y12(2)5a2b3 •(－ 5ab)2 等于（）

A、－125a4b5

B、125a4b5 C、125a3bD、125a4b6.卫星绕地球表面做圆周运动的速度（即第一宇宙速度）约为

7.9×103米/秒，则卫星运行3×102秒所走的路程约是多少？

达标检测：

1.计算（-9a2b3)·8ab2的结果是（）

A、-72a2b

5B、72a2b5 C、-72a3b

5D、72a3b5

2.计算(-3a2)3·（-2a3）2正确结论是（）

A、36a10

B、-108a1C、108a1D、36a12

3.计算

-3xy2z·(x2y)2

课堂小结：

5.多项式与多项式相乘教案 篇五

第7课时

多项式与多项式相乘

教学目标

1．能说出多项式与多项式相乘的法则，并且知道多项式乘以多项式的结果仍然是多项式。会进行多项式乘以多项式的计算及混合运算；

2．通过导图中的问题理解多项式与多项式相乘的结果；

3．培养学生灵活运用所学知识分析问题、解决问题的能力，独立思考、主动探索的习惯和初步解决问题的愿望。教学分析

重点：多项式乘以多项式法则的形成过程以及理解和应用； 难点：多项式乘以多项式的法则的正确应用；多项式的乘法应先转化为单项式乘多项式相乘进行运算，进一步再转化为单项式的乘法。教学过程

一、复习活动。

指名学生说出单项式与多项式相乘的法则。

(单项式乘以多项式就是用单项式乘以多项式中的每一项，再把所得的积相加。)

二、引导观察，图形演示。1．式子p(a＋b)=pa＋pb中的p，可以是单项式，也可以是多项式。如果p=m＋n，那么p(a＋b)就成了(m＋n)(a＋b)，这就是今天我们所要讲的多项式与多项式相乘的问题。(由此引出课题。)你会计算这个式子吗?你是怎样计算的?(教师引导学生由繁化简，把m＋n看作一个整体，使之转化为单项式乘以多项式，即：[(m＋n)(a＋b)=(m＋n)a＋(m＋n)b=ma＋mb＋na＋nb。] 2．你能用图形验证你算出的式子吗? 某地区在退耕还林期间，有一块原长m米、宽a米的长方形林区增长了n米，加宽了b米。请你表示这块林区现在的面积。

问题：(1)如何表示扩大后的林区的面积?(2)用不同的方法表示出来后的等式为什么是相等的呢?(学生分组讨论，相互交流得出答案。)学生得到了两种不同的表示方法,一个是(m＋n)(a＋n)米2；另一个是(ma＋mb＋na＋nb)米2.以上的两个结果都是正确的。

3．观察这一结果的每一项与原来两个多项式各项之间的关系，能不能由原来的多项式各项之间相乘直接得到?如果能得到，又是怎样相乘得到的?(教师示范。)你能用语言叙述这个式子吗? 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

即：(m＋n)(a＋b)=ma＋mb＋na＋nb。

6.多项式的求值问题 篇六

一、整体代入法求值

1.根据所求多项式项的排列规律, 找到与已知条件有关的因式之间的和、商、积、差关系, 再代入已知条件求值。

例1已知的值?

2.当直接代入计算量很大时, 可以从已知条件中找到突破口, 将已知条件变形或通过一些运算后再整体代入所求多项式的值。

二、降次法求值

所求多项式的次数与已知条件中的次数差值很大时, 不易直接求出多项式各项的值, 可通过对多项式因式分解后再求值。

三、有理化因式后求值

所求多项式或已知条件都含有无理数时, 可先将无理式化为有理式再求值。

四、应用参数法求值

如果已知条件为比例式时, 常常先设参数, 求出参数的值, 再代入多项式求值。

例5设的值。

五、通过因式分解先解方程再求值

六、应用巧乘因式法求值

例7已知的值。

解:由题意可得x≠0.

∴由题设两边同乘以x得:x4+x3+x2+x=0.

故将此式减去题设得:x4=1.

七、应用隐含条件的非负性求值

观察题设中是否有隐含条件, 常见的有满足完全平方式的值、绝对值、根式的值非负。

例8若u、v满足的值?

7.单项式与单项式相乘 教学设计 篇七

13.2.1 单项式与单项式相乘

【教学目标】：

知识与技能目标：能正确区别各单项式中的系数，同底数的不同底幂的因式，学会运用单项式与单项式乘法运算规律，总结法则.情感与态度目标：经历探索单项式乘法法则的探索，理解单项式乘法中，系数与指数不同计算方法，正确应用单项乘法步聚进行计算，能熟练地进行单项式与单项式相乘和含有加减混合运算.情感态度与价值观：培养学生自主、探究、类比、联想的思想，体会单项式相乘的运算规律，认识数学思维的严密性。

【教学重点】：对单项式运算法则的理解和应用

【教学难点】：尝试与探究单项式与单项式的乘法运算规律。【教学关键点】：

正确认识单项式与单项式的系数、相同字母、不同字母三者在它们的乘积中的处理方法。系数：两单项式的系数的乘积作为积的系数。相同字母：用相同字母的指数和作为乘积中这个字母的指数，实际上是利用“同底数幂相乘，底数不变，指数相加“。不同字母：如果只在某一个单项式里含有的字母应连同它的指数作为积的一个因式。

【教学过程】：

一、回顾与思考

1.口述幂的运算的三个法则。2.幂的运算的三个法则的区别与联系。

3.提问：（1）a3n2a2=;(2)a23m=;(3)3a2b3n=

3二、计算观察，探索规律 计算：（1）2x35x5（2）3x2y52xy2z

教师活动：操作投影仪，启发引导。学生活动：主动探索，逐步认识。

点评：可先提示，运算乘法交换律，结合律，把各因式的系数，相同的字母分别结合，然后相乘。2x和5x可看成是2·x和5·x，同样2xy可看成是3·x·y和（－2）·x·y·z。2322325252x35x5=（2×5）（x2·x3）=10x5

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六、全课小结，提高认识

1.本节内容是单项式乘以单项式，重点是放在对运算法则的理解和应用上，请问：你能归纳出单项式乘以单项式的运算法则吗？

2、在应用单项式乘以单项式运算法则时应注意什么？

七、作业：P28页习题 13.2 1、2题。

8.单项式和多项式练习 篇八

教学目标

知识与技能：

1.会进行单项式与单项式的乘法运算 2.灵活运用单项式相乘的运算法则 过程与方法：

1.经历探索乘法运算法则的过程，体会乘法分配律的作用和转化思想 2.感受运算法则和相应的几何模型之间的联系，发展数形结合的思想 情感、态度与价值观：

在学习中获得成就感，增强学好数学的能力和信心。教学重难点

重点：熟练地进行单项式的乘法运算 难点：单项式的乘方与乘法的混合运算

关键：明确混合运算中的运算顺序，熟练掌握幂的运算性质和单项式乘法法则

教具准备 投影仪、电脑 课时安排 1课时 教学设计

一、情景引入

1.教师引导学生复习整式的有关概念 整式的乘法实际上就是 单项式×单项式、单项式×多项式、多项式×多项式

教法说明：培养学生前后知识的连续性、一致性。

二、探索法则与应用

1.组织讨论：完成P79试着做做的练习，引导学生分组讨论单项式×单项式的法则（组织学生积极讨论，教师应积极参与学生的讨论过程，并对不主动参与的同学进行指导。）

2.在学生发言的基础上，教师总结单项式的乘法法则并板书法则。系数与系数

相同字母与相同字母 单独存在的字母

以上3点的处理办法，并让学生归纳解题步骤。

（学生刚接触，故要求学生按步骤解题，且提醒学生不能漏项。）3.例题讲解 例

1计算：

（1）4χ3χy；（2）；（3）（2χ）（3χ2y）2解：（1）4χ3χy(43)(χχ)y12χy； 223（2）(2χ)(3χy)(2)(3)(χχ)y6χy；

2213abcbc.32（3）21321143232abc(bc)a(bb)(cc)abc.323322例

2计算：

11（1）2ab23a2bc；

（2）ab2(5abc).22解：（1）2a12ab3a2bc 21(2)3(aaa2)(b2c)c2 3a4b3c；

（2）ab2(5abc)12221a2(b2)2(5abc)2

124ab(5abc)4

1(5)(a2a)(b4b)c4 5a3b5c4.（强调法则的运用）

4.练习：随堂练习P80.1题口答，学生讲解错误的理由，2题学生板书，发现问题及时纠正，可让学生辨析、指出错误，巩固法则。

三、课堂总结

指导学生总结本节课的知识点、学习过程等的自我评价。

（可畅所欲言，包括学习心得和困惑，互相帮助，互相促进。教师要鼓励学生发言，锻炼他们的语言表达能力。）

四、课堂小测

P80习题1（1）（3），2（2）（3）,3(3)

五、作业布置及预习任务

1、P80习题1（2）（4），2（4）,3(2)(4)）。

2、预习P81找知识点

六、板书设计

整式的乘法

例1

拓展例题

-----------------

----------------法则

--------------

----------------

-------------------------------

9.单项式和多项式练习 篇九

所谓多项式曲面拟合, 其主要目的是利用一些已知高程异常值的离散点来拟合出局部区域内的高程异常值, 通过GPS水准拟合获得所测区域的高程异常值的分布情况, 从而将GPS所测点的大地高转化为正常高。

多项式曲面拟合的数学表达式如下:

设待求点的平面坐标与待求点的高程异常值i关系式为:ξi=f (xi, yi) +ei (公式2)

上式中, 若f (x, y) =a0+a1x+a2y+a3x2+a4y2+a5xy+LL (公式3) 则称为多项式拟合。已知a0、a1、……、an是多项式曲面拟合公式的系数, 只要确定多项式拟合公式的系数, 就可以求解待定点的高程异常值。

此种方法只适用于地势起伏变化不是很大或者是地势较为平坦的测区。如果地势起伏很大或者是比较困难复杂的情况下, 运用此方法拟合误差就会比较大, 测量结果也不够精确。

当地势起伏较大时, 似大地水准面的起伏变化情况将会非常复杂更加难以拟合确定, 那么多项式曲面拟合的结果必然无法达到相应的精度标准。因此我们需要采取一些措施加以改进:

1) 从已知水准点和检验点的精度入手, 由于联测的已知水准点的精度情况直接决定了拟合后的精度, 所以要对已知水准点的精度加以检验和控制, 要使已知水准点的密度适中且尽量分布均匀, 最好能最大限度的覆盖整个测区, 这样就能够有效的减少所得高程异常值的误差, 从而提高高程异常值精度, 同时提高了正常高的精度。

2) 如果对多项式曲面拟合的方法有效合理的加入相应的改正参数或数学模型, 就可以减少复杂地形对多项式曲面拟合数学模型的影响, 就可以有效的减少复杂地形对所得高程异常值的误差影响, 就可以准确的求定在复杂地形下测区内点的高程异常值, 从而提高正常高的精度。

随着公式3中 (x, y) 幂次的不同, 多项式曲面拟合又可以分为平面拟合、二次曲面拟合、三次曲面拟合等。

1平面拟合

在地形起伏比较小的区域或地势较为平坦的区域, 可以考虑用平面逐渐逼近局部的似大地水准面的方法来拟合曲面求得高程异常值, 从而得到正常高值。在面积很小的范围内, 可以认为大地水准面近似和平面重合, 平面模型的数学表达式为:ξi=a0+a1xi+a2yi (公式4) , 平面拟合数学表达式中:x, y为平面点的坐标;a0, a1, a2为平面拟合数学模型的待定参数的系数。由已知点的正常高和GPS测得的大地高确定平面拟合模型的3个参数a0, a1, a2, 从而求得第i个拟合点的高程异常值。

2二次多项式曲面拟合

当测区内点在一定程度上布成区域面时, 可以采用二次多项式曲面拟合的数学模型来拟合局部曲面, 进而在拟合的局部曲面前提下利用多项式曲面拟合求出待测点的正常高, 也就是根据测区中的已知点的平面坐标 (x, y) 或大地坐标 (B, L) 以及相应点高程异常值ξ, 用二次多项式曲面拟合的方法来拟合局部曲面, 当多项式曲面拟合出测区的似大地水准面之后, 再通过多项式曲面拟合出该点高程异常值ξ, 最终求出待测点的正常高值。

二次曲面拟合算法的模型表达式为:ξ=f (x, y) +ei (公式5) , f (x, y) =a0+a1x+a2y+a3xy+a4x2+a5y2 (公式6) , 公式5中, e是相应的残差值, 利用一个方程就有一个对应水准联测点, 在[e2]=min条件下求出ai, 再代入公式6可求出剩余点的高程异常值。

3三次多项式曲面拟合

虽然三次多项式曲面拟合具有较好的精确性和通用性, 但是由于三次多项式曲面拟合计算过程相对困难复杂。

因此, 在精度要求不是很高的情况下, 一般不采用三次多项式曲面拟合, 三次多项式曲面拟合算法的数学模型表达式:f (x, y) =a0+a1x+a2y+a3x2+a4xy+a5y2+a6x3+a7x2y+a8xy2+a9y3 (公式7) 。

对于三次多项式曲面拟合的方法, 由于三次多项式的未知参数比较多, 而且 (x, y) 的幂次比较高, 所以在采用三次多项式曲面拟合计算高程异常值时, 计算方法和过程比较困难复杂, 因此要加倍细心。

综上所述, 相比较以上三种多项式曲面拟合方法, 如果有足够的几何水准联测拟合点和检核点, 进行高程拟合时采用二次多项式曲面拟合法能得到很好的拟合效果且更便捷。在实际工作运用中可以采用多种多项式曲面拟合的数学模型来拟合当地局部区域的似大地水准面, 通过相应的计算求出待测点的高程异常值ξ, 最终求出待测点的正常高。然后通过内符合精度、外符合精度、平均误差和拟合误差的分析, 选择最佳最优方案, 通过实践和研究证明只要使已知水准点密度适中且尽量的分布均匀, 最好能最大限度的覆盖整个测区, 这样就能够有效的减少所得高程异常值的误差, 同时也提高了正常高的精度。在满足水准高程的精度足够高的情况下, 即内符合精度、外符合精度、平均误差和拟合误差都满足的情况下, 在满足测量要求精度的前提下完全可以用GPS高程测量的成果来代替普通低等级水准测量, 且测量精度比普通低等级水准测量的精度还要高。

多项式曲面拟合是GPS高程拟合的一个热点, 有效和快速提高GPS高程转换精度, 可以提高测量精度和降低外业测量的困难程度。与传统水准测量相比, 既能满足全天候、自动化、高精度的要求, 又可以实现测量速度快、节省大量的人力和物力等优点, 从而真正的实现GPS测量的无可比拟的优越性, 使备受青睐和广泛关注的GPS有更加美好的研究价值和广阔的发展应用前景。

摘要：随着经济和科学技术的不断发展, GPS已成为测量工程领域中的一种极为重要的方法。将GPS测量得到的大地高转化为正常高通常来说是非常繁琐的, 但如果已知每个GPS点的高程异常值ξ, 那么将GPS大地高转换为正常高就会变得相对容易, 这样就可以在保证精度的前提下实现GPS高程测量代替普通水准测量。曲面拟合是实现这一过程的有效方法, 根据数学模型和原理的不同, 曲面拟合法主要分为:多项式曲面拟合法、多面函数拟合法、移动曲面拟合法等。

关键词：水准点,高程异常,多项式曲面拟合

参考文献

[1]孔祥元, 郭际明, 刘宗泉.大地测量学基础[M].武汉大学出版社, 2003.

[2]李征航, 黄劲松.GPS测量与数据处理[M].武汉大学出版社, 2005.

10.《单项式》教学设计 篇十

【教学内容】

新人教版数学七年级上册 第二章2.1整式（1）单项式（教科书第54—56页）【教材分析】

“单项式”是一节看似简单内涵却很丰富的课，是由数过渡到式的衔接课，是代数式的起始，也是整式的第一个基本概念，对整式的学习起着非常重要的作用。【学情分析】

七年级学生对数学的认识还过多的停留在小学对具体数字的印象中，学习方法还较多地依赖于模仿，好奇心强，可有效借助多媒体辅助教学，提供具体的实际问题，引导学生观察、思考、探究、归纳单项式概念，让学生在达到知识与技能目标的同时，体验知识的发生与应用过程，发展学生的思维能力。【教学目标】 1.知识技能

（1）会用含有字母的式子表示数量关系，理解字母表示数的意义。（2）理解掌握单项式的概念，会求单项式的系数，次数。2.数学思考

（1）在经历用字母表示数量关系的过程中发展符号感。

（2）通过观察类比，归纳出单项式概念的活动，积累数学活动经验，感受数学思考过程的条理性。． 3.解决问题

在经历从具体情境中抽象出单项式概念的过程中，发展抽象、概括能力。4.情感态度．（1）通过交流活动，培养主动与他人合作的意识。

（2）通过丰富有趣的现实情景，在解决问题中了解数学的价值，发展“用数学”的信心

【教学重点】单项式及单项式的系数、次数的概念，【教学难点】单项式概念的建立．

【教学方法】分层次教学，讲授、练习相结合 【教学准备】来自课程教育资源的课件、光盘 教 学 设 计

一．创设问题情境，激发学生兴趣

师：童年，人生最美好的时光，童年的歌谣曾给我们留下美好的回忆，让我们重温其中的一首歌谣

播放动画“一只青蛙一张嘴”（来自课程教育IP资源）学生活动：观看动画听歌谣，兴趣盎然 师提出问题：n只青蛙几张嘴几只眼睛几条腿？ 生:n只蛙n张嘴2n只眼睛4n条腿

（设计意图：七年级学生刚由小学进入初中，好奇心强，此设计可吸引学生的注意力，激发学生学习的兴趣）

师:用字母表示数可以简明地表示出歌谣里蕴含的数量关系，为解决问题带来方便.因此说，用字母表示数是数学发展史上的一大进步。师:举出几个用字母表示数的例子 生1：加法交换律a+b=b+a 生2：边长为a的正方形的周长为4a 生3：一个笔记本2元，n 个笔记本2n元……

(设计意图：让学生从已有的数学经验出发，建立新旧知识的联系，顺利完成小学数学与初中代数的衔接，体会字母表示数的意义，完成由数到式的过渡)

二、合作交流，探究单项式的有关概念 1.播放课件（来自课程教育资源）思考：用含字母的式子填空（独立完成），并观察列出的式子有什么共同特点（小组可交流讨论）

(1)边长为a的正方体的表面积是＿＿，体积是＿＿.(2)铅笔的单价是x元，圆珠笔的单价是铅笔的2.5倍，则圆珠笔的单价是＿＿＿元。

(3)一辆汽车的速度是v千米∕小时，它t小时行驶的路程为＿＿千米。(4)数n的相反数是＿＿。

(设计意图：创设多样化的生活情境，让学生列式，使学生更深刻地建构用字母表示数的意义，理解字母可以更广泛、更简洁地表示出现实生活中各种数量关系。更是为下面给出单项式埋下伏笔，同时使学生感受到数学的应用价值。)学生活动：（1）学生.独立列式写在本子上（2）一名学生写在黑板上（3）学生评价列式是否正确。

教师活动：让学生探究所列式子式子6a2、a3、2.5x、vt、、－n都有什么特点？

学生活动：同桌间交流自己观察到的式子的特点。生1：有数字和字母 生2：都有乘法运算

生3：都是数字与字母的乘积形式…

教师活动：通过学生的的描述，引导学生概括出单项式的概念

单项式：由数字或字母的积组成的式子是单项式，然后教师补充，单独一个数或一个字母也是单项式，如a，5。从而引入课题。

(设计意图：充分让学生自己观察、自己发现、自己描述，进行自主学习和合作交流，探究出单项式的概念，可极大的激发学生学习的积极性和主动性，满足学生的表现欲和探究欲，使学生学得轻松愉快，充分体现课堂教学的开放性。)

2、播放课件：解剖单项式（来自课程教育资源）

教师活动：直接引导学生进一步观察单项式3x2y3的结构，总结出单项式是由数字因数和字母因数两部分组成的。

学生活动：说出3x2y3的数字因数，说出单项式系数的概念，教师活动：让学生说出3x2y3的字母因数是什么，各字母指数分别是多少，学生活动：说出单项式次数的概念。

师：说出单项式1/3a2h，2πr，abc，－m的系数，次数？

学生活动：依次说出上述单项式的系数、次数，并在交流中纠正不正确的说法

教师活动：总结注意事项，强调单项式的系数是1或-1时通常省略不写，π是数字因数等。

三、应用提高，拓展创新

1、播放课件：“随堂练习”

（1）单项式－5y的系数是_____，次数是_____(2)单项式a3b的系数是_____，次数是_____(3)单项式 的系数是_____，次数是____(4)单项式 －5πR² 的系数是＿＿＿，次数是＿＿＿

师生活动：在学生独立完成的基础上，几个学生依次说出自己的答案，师生交流评价。

（设计意图：及时了解学生对单项式的系数，单项式的次数的概念的理解。）

2、播放课件：“典型例题”（来自人民教育电子音像光盘）例．用单项式填空,并指出它们的系数和次数:(1)一打铅笔有12枝,n打铅笔有______枝;(2)一件夹克标价a元，现按标价的七折出售，则售价表示为_________元。(3)如图,某广场四角铺上了四分之一圆形的草地, 若圆形的半径为r米,则共有草地______平方米．

学生活

动：在认真审题的基础上，先尝试独立列式，再回答各个单项式的系数和次数。

教师活动：参与指导评价。引导学生在解决问题后，分析各个单项式的系数和次数，并进行交流，在交流中纠正一些不正确的想法．

（设计意图：能用单项式表示实际问题中的数量关系，进一步巩固单相式的系数，单项式的次数的概念）

3、播放课件：“做一做”（来自人民教育电子音像光盘）

判断下列各代数式是否是单项式。如不是，请说明理由；如是，请指出它的系数和次数。

①x＋1； ②； ③πr2； ④－a2b。

答：①不是，因为原代数式中出现了加法运算；②不是，因为原代数式是1与x的商；③是，它的系数是π，次数是2； ④是，它的系数是－次数3。

师生活动：在独立完成的基础上，个别学生口述答案，师生共同交流评价。(设计意图：加强学生对不同形式的单项式的直观认识，了解对单项式的概念的掌握程度。)

4、播放课件“应用”

①七年级学生总数是x,其中女生占总数48%，则女生人数是__________，男生人数是__________。，②一辆长途汽车从大武口出发，3小时后到达相距S千米的银川，这辆长途汽车的平均速度是____。

③产量由m千克增长10%，就达到了__________________千克。学生活动：独立列式，一名学生写在黑板上。

教师活动：和学生交流，师生共同评价:（1）48%x,52%x（2）(3)1.1m(或110%m)（设计意图：再用单项式表示简单实际问题中的数量关系，进一步发展学生的符号感，感受数学的应用价值。）

5、游戏：

规则：一个小组学生说出一个单项式，然后指定另一个小组的学生回答他的系数和次数；然后交换，看两小组哪一组回答得快而准。学生活动：学生自主编题并指定同学回答，共同评价。

（设计意图：学生自行编题是一种创造性的思维活动，它可以改变一味由教师出题的形式，且由编题学生指定某位同学回答，可使课堂气氛活跃，学生思维活跃，使学生能够透彻理解知识，同时培养同学之间的合作竞争意识。)

6、延伸拓展：播放课件“拼三角形”（来自课程教育光盘）

教师活动：让学生看演示所示的三角形，问摆1个、2个、3个、4个，n个这样的三角形需要多少根火柴？

学生活动：讨论、猜想、交流所需火柴根数，回答n个三角形需要的火柴根数时答案有1+2n, 3+2(n-1)等。教师活动：让学生评价答案的准确性。

（设计意图：借助多媒体的演示，让学生通过交流，体会字母可以表示数学中的规律性问题，使得看似复杂但有规律的数学问题明了化，同时培养了学生思维的开放性与灵活性，体会数学活动充满探索性和创造性）

四、归纳小结，布置作业

1、谈一谈这节课的收获？

2、作业（1）课本P561、2（2）阅读P61数字1与字母X的对话（和你的朋友对话）

（设计意图：布置阅读作业，一方面培养学生读数学书的习惯，使学生对字母表示数意义的理解进一步升华，同时了解数学发展的历史，感受到数学的简洁美，意识到数学不是冷冰冰的，也是有血有肉，充满魅力，激发学生学习数学的激情。）

五、教学后记： 1.教学中的成功体验

本节课是研究整式的起始课，它是进一步学习多项式的基础，因此对单项式有关概念的理解和掌握情况，将直接影响到后续学习。为突出重点，突破难点，教学中加强直观性，即为学生提供符合年龄特征的“数青蛙”、“拼三角形”足够的感知材料，丰富学生的感性认识，激发了学生的探究欲望;在教学的过程中提供丰富的实际问题，引导学生自主的学习，让学生去亲身体验单项式形成的过程，理解单项式概念的建立是实际生活的需要;为帮助学生认识概念，同时也注重分析，亦即在剖析单项式结构时，借助反例练习，抓住概念易混淆处和判断易出错处，强化认识，帮助学生理解单项式系数、次数概念。整个教学活动以学生为主体，运用自主、合作、探究的教学方法，给学生留有较大的思考探究空间，通过生生、小组、师生互动，从而突出重点，突破难点，顺利完成了教学目标，为进一步学习新知——多项式，提供了良好的学习方法，做好了铺垫。

2.对该教学设计的修改完善

（1）单项式的系数、次数概念，由教师口述改为由学生自读教材自学，培养了学生阅读数学书的习惯，效果较好。

（2）为了培养学生的数学素养，让学生了解数学的发展历史，在原教学设计中的最后环节，曾经设计让两个学生当堂朗读P61阅读思考“ 数字1与字母X的对话”,但考虑到时间关系，最后改为课外阅读。

3.需要进一步提高的内容

(1)一直以来一些学生对数学的印象都是枯燥乏味的，对学好数学有畏难情绪，对数学的发展历史更是知之甚少。因此用不同的途径让学生感受数学来源于生活，体验数学的应用价值，激发学数学的激情，应该是我们进行教学设计时要考虑的。

(2).在整个教学过程中教师要处处关注学生的主观能动性，在探究单项式的概念时，教师要有足够的耐心，充分相信学生，给学生充分的探究空间，不要急于求成。

11.单项式和多项式练习 篇十一

在几何造型领域,非均匀有理B样条(NURBS)的出现为自由形状的数学描述提供了近乎完美的方法。但由于伴随它的形状修改技术(改变权因子或控制顶点)是有限的,因此在产生复杂的形状时,人们不得不借助于其他高级形状修改技术——自由变形。迄今为止,有关自由变形方法的研究已经取得了相当的成就,各种不同的变形技术已在实践中发挥着作用。然而寻求新的、有效而直观的变形方法仍然是计算机图形学中日益重要的研究领域。

事实上,几何变形体的变形本质是其所在空间自身到自身的一个映射,通过该映射改变变形体的几何形状、光顺程度等,以满足人们的设计需要。整体与局部的变形方法[1]是第一个进入CAD领域的变形造型技术。该方法及其推广[2]能够进行常规变形(如弯曲、扭曲、尖角等),但要产生任意形状是很难的。自由变形(FFD)方法[3]克服了上述缺点,被广泛用于几何造型、计算机动画、科学数据可视化等领域[4],但其变形控制不灵活,变形难以精确地达到预期效果。继承FFD思想的轴变形(AXDF)方法[5]、曲面控制变形方法[6]等,不同程度地改进了FFD方法,增强了控制灵活性。总体来说,这些方法在预定或调节变形的范围、控制变形的方向和变形的幅度、确保变形区域边界处的连续性等方面尚不够理想。文献[7,8,9,10,11]提出了基于伸缩因子的参数曲线曲面自由变形方法,利用伸缩因子作用于待变形曲线曲面方程,直接对待变形对象施行映射,产生变形效果。该方法在确定变形范围、变形边界处的光滑指数,以及调节变形方向和变形幅度等方面有较好的效果,但构造的伸缩因子主要基于幂函数类和余弦函数类等超越函数,变形后的曲线曲面均为超越曲线曲面,需利用逼近方法进行转换;另外,因伸缩因子都只能在单点达到峰值,且变形区域为圆域,故对参数曲面的自由控制变形有着较大的限制。为减少限制,不少科研工作者对该方法做了进一步的研究,取得了一些成果[12,13,14]。

在文献[7,8,9,10,11]研究的基础上,本文提出了一种新的基于多项式的伸缩因子,该伸缩因子包含了已有伸缩因子的优点,在区域上能达到峰值,且可用分段多项式形式表示,变形操作对Bézier曲面和NURBS曲面具有封闭性,能将变形区域由圆域推广至四边域,使曲面变形的效果更加丰富。

1 基本伸缩因子的定义及性质

定义1 设n为正整数,对于R2中的以(u0,v0)为中心的圆形区域存在:

U1=((u,v)|(u-u0)2+(v-v0)2≤r21)

U2=((u,v)|(u-u0)2+(v-v0)2≤r22)

令$t=\sqrt{(u-u{}_0){}^2+(v-v{}_0){}^2}$,作R2上的函数:

式中,f(u,v)为R2上的基本伸缩函数;n为光滑指数。

设闭区域U1、U2对应的边界曲线为C1、C2,其中,U2为支撑区域,U1为峰值区域,则基本伸缩函数f(u,v)具有如下性质:

(1)当0≤f(u,v)≤1,且(u,v)∈U1时,f(u,v)=1;当(u,v)∉U2时,f(u,v)=0。如图1所示。

(2)区间峰值性:在U1上,f(u,v)取最大值1;在(u,v)∉U2上,f(u,v)取最小值0。特别当r1=0时,f(u,v)具有单峰性。如图2所示。

$(3)\frac{\partial {}^{i}f(u,v)}{\partial u{}^k\partial v{}^l}|{}_{C{}_1}=0‚\frac{\partial {}^{i}f(u,v)}{\partial u{}^k\partial v{}^l}|{}_{C{}_2}=0,0\le i=k+l\le n-1$。

定义2 令E(u,v)=E(u,v,u0,v0,r1,r2,n,h)=1+hf(u,v),则称E(u,v)为R2上带参数n、h的多项式伸缩因子(h为伸缩参数)。支撑区域U2的边界和峰值区域U1的边界分别为

C2=((u,v)|(u-u0)2+(v-v0)2=r22)

C1=((u,v)|(u-u0)2+(v-v0)2=r21)

伸缩因子E(u,v)具有如下性质:

(1)E(u,v)|C2=1。

(2)区域峰值性:在U1上,E(u,v)取最大值,特别当r1=0时,E(u,v)具有单峰性。

$(3)\frac{\partial {}^{i}E(u,v)}{\partial u{}^k\partial v{}^l}|{}_{C{}_1}=0‚\frac{\partial {}^{i}E(u,v)}{\partial u{}^k\partial v{}^l}|{}_{C{}_2}=0,0\le i=k+l\le n-1$。

2 空间参数曲面的变形与控制

2.1以任意点O′为中心的变形

设p(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))T为定义在参数(u,v)平面R2中区域U上的Cr类曲面(r≥1),Eij(u,v)=E(u,v,u0,v0,r1,r2,n,hij)(i,j=1,2,3),为具有相同支撑区域和光滑指数的伸缩因子,光滑指数n≤r+1,U1⊂U2⊆U,中心O′(u0,v0)=(x(u0,v0),y(u0,v0), z(u0,v0))T,令

为支撑区域U2上的伸缩矩阵,则变形后的曲面pd(u,v)与变形前的曲面p(u,v)可表示为

pd(u,v)=T(p(u,v)-O′)+O′ (u,v)∈U (1)

2.2变形的几何意义

令T=(dij)3×3,e1、e2、e3为线性无关的单位向量,记p(u,v)-O′=p1e1+p2e2+p3e3,则式(1)可表示为

由此可看出式(1)所定义的变形几何含义是:在支撑区间内,在原曲面上的每一点p(u,v)处,对向量p(u,v)-O′在仿射坐标系[O′,e1,e2,e3]下的坐标(p1,p2,p3)T作仿射变换,变换矩阵就是伸缩矩阵T。

此外,如果作线性变换$\overline{t}=(r{}_2-t)/(r{}_2-r{}_1)$,则定义2中的伸缩因子E(u,v)可表示为

即为分段2n次多项式,运用Bernstein基可与幂基相互变换的原理[15],可进一步验证变形操作对Bézier曲面和NURBS曲面均具有封闭性。

2.3变形的交互控制方法

在变形过程中,通过调控变形中心、支撑区域、峰值区域、光滑指数和伸缩参数,可以灵活地控制变形曲面的形状:

(1)改变O′,可以控制曲面的相对变形中心。

(2)改变r1、r2,可以控制曲面的支撑区域和峰值区域。

(3)改变光滑指数n,可以控制变形曲面在边界C1、C2处的光滑性。

(4)改变伸缩参数hij(i,j=1,2,3),可以控制曲面的伸缩方向和调整各方向的伸缩幅度:①取h11=h≠0,hij=0(i,j=1,2,3,且i、j不同时为1),即T=diag(E,1,1),可以控制曲面沿X轴的凹凸变形;②改变h11的符号,可以控制曲面沿X轴正向或负向变形;改变|h11|的大小,可以控制曲面沿X轴变形的幅度;③改变h12、h13的大小,可以得到曲面沿X轴的剪切效果;类似地,可以控制曲面在Y轴、Z轴方向上的变形效果。

实际应用时,可同时改变各控制参数,以达到理想的变形效果。还可以结合坐标系变换,以改变伸缩变形的主方向,从而得到更加丰富的变形效果。

3 四边域上的空间参数曲面自由变形

若令定义1中的t=max(|u-u0|,|v-v0|),则变形区域将变为R2中的以(u0,v0)为中心的正四边行区域,即

D1=((u,v)|u0-r1≤u≤

u0+r1,v0-r1≤v≤v0+r1)

D2=((u,v)|u0-r2≤u≤

u0+r2,v0-r2≤v≤v0+r2)

式中,D2为支撑区域;D1为峰值区域。

可以类似地定义正四边域上的伸缩函数f(u,v)和伸缩因子E(u,v),它们与圆域上的伸缩函数和伸缩因子有相似的性质,如图3、图4所示。

对于更一般的矩形变形区域,伸缩函数的定义如下:

定义3 设n为正整数,0≤a1<a2,0≤b1<b2(当a1=0时,b1=0;当a1≠0时,b1/a1=b2/a2),对于R2中的以(u0,v0)为中心的矩形区域:

D*1=((u,v)|u0-a1≤u≤

u0+a1,v0-b1≤v≤v0+b1)

D*2=((u,v)|u0-a2≤u≤

u0+a2,v0-b2≤v≤v0+b2)

令$\widehat{u}=|u-u{}_0|,\widehat{v}=|v-v{}_0|$,作R2上的函数:

式中,f*(u,v)为R2上的伸缩函数。

设h为任意实数,令E*(u,v)=1+hf*(u,v),则称E*(u,v)为R2上带参数n、h的多项式伸缩因子。其中D*2为支撑区域,D*1为峰值区域。

四边域上的伸缩函数f*(u,v)和伸缩因子E*(u,v)与圆域上的伸缩函数和伸缩因子有相似性质。其变形模型以及变形控制方法均与圆域上的变形模型以及变形控制方法相类似。

4 应用实例

以抛物面p(u,v)=(u,v,(2-u2-v2)/8+2)T(图5)为例,分别演示本文方法的实际效果及变形控制参数改变时引起的变形结果的改变。

圆域上的自由变形效果如图6～图10所示。其中相同的参数为O′=(0,0,2.25),n=4;不同的参数如表1所示。

四边域上的自由变形类似于圆域的效果,图11所示为h33=1时,沿Z轴上凸的区域峰值,图中,O′(0,0),a1=0.9,b1=0.6,a2=2.4, b2=1.6, n=2,h33=1;图12所示为h33=-0.4时,沿Z轴下凸的单峰值,图中,a1=b1=0,h33=-0.4;图13、图14所示分别为复合变形和叠加变形的效果。

图6～图14效果显示,不仅可以在单点或区域达到峰值,还可以改变变形区域形状,以及在同一或互不相交的支区间上进行复合变形。通过调控各参数,可以灵活地控制变形曲面的形状,得到丰富的变形效果。

5 结论

本文提出的基于多项式的伸缩因子包含了文献[7,8,9,10,11]所引入的伸缩因子的性质:能精确控制变形范围;变形模型简单、易于操作;控制参数具有明显几何意义,变形效果丰富;对一般参数曲面均适用,具有普遍性。与现有方法比较,本文方法具有以下优点:

(1)不仅能在单点上达到峰值,而且可以在区域上达到峰值。

(2)变形区域和峰值区域可以是圆域也可以是四边域。

(3)伸缩因子可表示为分段多项式形式,变形操作对Bézier曲面和NURBS曲面具有封闭性。

为使变形效果更加丰富,变形方法更加实用,下一步研究的方向是:

(1)研究的变形区域将突破简单的圆域和四边域,目标是在曲面上任意画一条闭曲线,变形能严格以此为界,且变形曲面在该曲线上光滑圆润。

(2)本文只利用几何变换矩阵研究了基于伸缩因子的伸缩变换,今后将结合几何变换的平移、旋转功能,进一步研究曲线曲面的平移变形和旋转变形。

(3)在本文讨论的曲面简单变形的基础上,利用提出的基于多项式的伸缩因子进一步研究曲面的周期变形。

(4)将本文方法拓展至网格,结合曲面拟合等方法,进一步研究网格曲面的编辑与变形。

12.多项式乘法教学反思 篇十二

整个教学过程的主线和重点定在学生如何自主地探索多项式乘法法则的程以及如何熟练运用法则解决问题这两点上，并创设了复习旧知，做好铺垫;创设情境，探索新知;总结规律，归纳法则;运用知识，尝试解题;应用巩固，延伸训练;课内深化，提升能力;反馈总结，达标测试等几个教学环节。

“问题是数学的心脏。”因此，本节课我根据优化课堂教学的需要对教材进行适当的加工处理，根据教学要求，结合学生的实际，按照学生的年龄特征、认知规律，把课本中的例题、结论等书面东西，转化为学生能够亲自参加的活生生的数学活动，在有趣的活动中自己解决问题。以问题带动教学，精心创设探究性问题，让学生感受到数学问题的探索性和挑战性，以此激发学生的探索欲与创造欲。

在这节课，我采用了合作学习的教学方法，调动了学生学习的积极性。教师不仅是教给学生知识，还要重视学习方法的指导和培养，对小组内同伴之间的交流要求明确。在培养学生合作与交流的同时，调动了学生的参与意识和学习积极性，课堂面貌焕然一新，使学生体验到了平等、自由和民主，同时也受到了激励和鼓舞，从而形成积极而丰富的人生态度与体验。

这节课的不足之处是由于时间原因没有让个别学生得到完全发挥，如有些胆小的学生还没有做好心理准备就已经进入了下一个环节，有些学生有了新的想法却没有时间展示了。这不能不说是一种遗憾。此外也存在有些例题设置对学生要求过高，有些教学语言缺乏艺术性，过渡上不够自然。

13.单项式乘以单项式的教学反思 篇十三

付 成 霞

本节利用乘法交换律、结合律和幂的运算性质研究单项式与单项式相乘的法则，在本节课教学中注重探讨单项式与单项式相乘的法则的形成过程，引导学生研究如何经过具体到抽象，特殊到一般，归纳概括得到性质。培养学生对知识的转化能力和学生对问题中所蕴藏的数学规律进行探索的兴趣。

本节课包含着许多的思想与方法，因此课堂上我有意识的向学生渗透于点明。在学习法则时告诉学生要多角度地思考问题，有意识地寻找一些定律与法则的生活背景或几何意义；在代数法探索法则时，引导学生体会一个新问题的解决，总是建立在旧知识的基础上的，这就是转化的思想方法，从而教给学生研究问题的普遍手段。在法则的探求过程及练习训练中，不断地引导学生着眼于系数、相同字母、不同字母三方面考虑，培养探求事物本源的习惯，为今后的工作学习奠定良好的习惯基础。

本节课学生的积极性很高，从自行探讨出法则到自己独立应用法则，学生的思维一直处于积极活动的状态。在探讨法则的过程中，学生出现了许多错误，这时提醒学生考虑自己每一步的算理，做到步步有理有据，培养学生严密的思维能力和解决问题的能力。利用法则提炼出解题步骤是很有必要的，使学生既理解了法则，又能灵活应用法则，找到学习的方法，提高了学生学习数学的积极性。

从本节课看，学生对于应用单乘单法则问题不大，但是做错题的几率很大，原因是幂的三个运算法则及合并同类项在混合应用时学生特别容易出错，这方面还要利用以后单项式乘以多项式及多项式乘以多项式的教学让学生更加熟练应用各种法则，明确每一步的算理，解决好这个问题。

14.单项式和多项式练习 篇十四

激光自混合干涉测量是一种新兴的精密光电测量技术。激光器发出的光被物体反射或散射,部分光反馈回激光器与腔内激光发生混合,调制激光器输出的功率和频率,由于输出信号特点与传统双光束干涉信号有相似之处而得名自混合。其测量系统结构简单、紧凑、易准直、易于小型化、造价低廉,在很多应用场合可以取代传统干涉仪而广泛应用于位移[1,2,3]、距离[4]、速度[5]、振动[6]等物理量的测量。

早在上世纪七八十年代,激光自混合干涉就成功地用于速度的测量。如1989年,Shigenobu Shinohara研制成功具有速度方向辨识功能的半导体激光自混合测速仪[7],测速范围是3 mm/s∼23 m/s。该系统能够测量往复运动体和旋转体的速度,且与理论值吻合很好。但是,迄今为止,所有关于激光自混合干涉测速仪的报道都只针对低速、匀速运动对象,未涉及变速情形。在实际的很多应用中,物体的运动是非匀速的,因此要使激光自混合用于实际物体速度的测量,需要解决其用于变速测量出现的问题。

激光自混合测速技术一般采用快速傅里叶变换法[8]。但快速傅里叶变换是以分析平稳信号为前提的,当物体运动具有加速度时,输出信号是时变信号,仍然采用傅里叶变换来分析输出信号时会出现如下问题:1)输出信噪比损失,导致检测性能下降;2)对Doppler频率检测的固有分辨力下降[9]。因此对变速问题的测量不能用快速傅里叶变换的方法。

由于自然界的许多信号,其相位都是时间t的连续函数。根据Stone-weierstrass理论,在有限观测时间内,任何时间t的连续函数均可用t的高阶多项式一致逼近。当信号相位被表示成时间t的高阶多项式形式时,该信号亦被称为多项式相位信号(Polynomial Phase Signals,PPS)。在此我们想到,当物体做变速运动时,激光自混合的输出信号是否可以表示成多项式相位信号,当能够表示成多项式相位信号时,我们就能够用提取多项式相位参数的方法来得到物体的运动信息。经过理论推导,当物体做变速运动时,激光自混合的输出信号可以表示成相位多项式信号。因此本文提出用基于相位多项式的方法来研究激光自混合变速测量的问题。

本文首先介绍了基于多项式相位参数提取的信号处理算法,然后推导了物体做变速运动时,激光自混合输出信号的多项式相位表示式,即建立了激光自混合用于变速测量的仿真模型,最后基于多项式相位参数提取的方法对激光自混合变速测量的问题进行了仿真分析,成功获得了物体的运动信息。

1 基于相位多项式的处理算法

当一个信号可以表示成如下的形式时:

我们就称其为多项式相位信号。其中M为多项式相位信号的阶数。

对于给定值τ(τ≠0),定义信号的高阶瞬时矩(High-order Instantaneous Moment,HIM)为

此处,,而代表组合操作,τ为延迟参数,可以根据不同的情况设定。

通过上式可以计算出信号的一、二阶瞬时矩为

更高阶的瞬时矩也可以定义成如下的递推形式:

不难得出,式(1)的M阶瞬时矩具有如下所示形式:

其中:ω=M!τM-1aM;φ=(M-1)!τM-1aM-1-05.M!(M-1)!τMaM。

即具有式(1)形式的M阶PPS信号的M阶瞬时矩为单频信号,其频率与最高阶相位系数aM成正比。从而对M阶瞬时矩做离散傅里叶变换,再估计其峰值点的频率,即可实现aM的估计。通常,称M阶瞬时矩的离散傅里叶变换为高阶模糊函数(High-order Ambiguity Function,HAF)。

由式(1)M阶瞬时矩的高阶模糊函数通过下式可以估计出多项式相位系数:

假设信号如式(1)所示,多项式逼近阶数设定为M,则估计多项式相位系数的算法如下:

1)令m=M,gm(t)=s(t);

2)利用式(2)或式(6)计算gm(t)的m阶HIM,HIMM(s(t);τ);

3)对HIMM(s(t);τ)做快速傅里叶变换得到|HAFM(s(t);ω,τ)|;

6)令m=m-1,如果m>1,转到2)。

2 激光自混合变速测量信号的相位多项式表示

F-P腔镜模型具有简单、直观的特点,常用于分析自混合干涉现象。考虑被测物体反射面,将自混合测速仪等效为三镜腔模型,如图1所示,r1和r2构成激光器的内腔;r3与外部运动物体表面构成激光器的外腔。三镜面的反射系数分别为r1、r2和r3。

由三镜腔模型可得激光器阈值增益和输出光频率变化关系式[10]:

式中:go为初始增益;gth为阈值增益;f=fo+∆f,fo为激光器的初始频率,∆f为频率变化量;τ=2L/c为光在内腔往返所用时间;τext为光在外腔往返所用时间;ξ=r31(-|r2|2)/r2为外腔光耦合系数;α为激光器线宽展宽因子。

由式(8)可知激光器阈值增益gth被反馈光调制。由于激光器输出功率比例于激光阈值增益,因此,激光器输出功率也被反馈光调制,输出光功率可表示为:

由式(9)可知,激光器输出功率p随外腔长度Lext变化而呈周期性变化。当物体以速度v远离激光器运动时,其运动方向与光轴的夹角为θ,外腔长度可表示为L′ext=Lext+vtcosθ(逆向运动时-v),这时τext=2(Lext+vtcosθ)/c,代入式(9)得:

从式(10)可以看出,激光器输出功率的波动频率为

即,自混合频率刚好和物体的多普勒频移fD相同。因此,可以根据激光器输出功率的变化得到频率变化fD,进而得到物体的速度,这也是激光自混合测速的一般原理,其测量系统示意图见图2。

由式(10)和式(11)可知,当物体的速度v恒定的时候,对式(10)进行快速傅里叶变换可求得物体的多普勒频移,进而通过式(11)求得物体的运动速度。但是当物体以变速运动时,该方法不再可行。

假设物体以变速运动,具有恒定的加速度a,则v=vo+at,将v代入式(10)并将其写为指数形式为

令:a2=(4πfacosθ)/c;a1=(4πfvocosθ)/c;E=pomexp[(i4πfLext)/c]。则式(12)可写为

为便于后续信号处理,将式(13)改写为如下形式:

可见当物体以恒定加速度做变速运动时,激光自混合的输出信号可以表示成二阶的多项式相位信号。至此激光自混合变速测量信号的相位多项式表示式建立。

3 数值仿真验证

由式(14)可知,当物体以恒定加速度做变速运动时,激光自混合的输出信号具有二阶的多项式相位信号的形式。因此可以用基于相位多项式的处理算法对其进行信号处理。为了评估该算法对激光自混合变速测量是否有效,下面我们对其进行了仿真试验。

设物体运动的初速度为vo=12 mm/s;加速度为a=78 mm/s2,则激光自混合的输出信号是一个二阶PPS信号,即线性调频(Linear FM,LFM)信号。假设E=1,则输出信号可写为

取c=0.5,α=5,λ=780 nm,θ=0,Lext=6×10-2 m,则可以得到输出信号的参数如下:a1=3.076 9×104,a2=2×105。

如用传统的快速傅里叶变换对其进行分析,仿真结果如图3所示。由频谱图可以看出,输出信号不再是一个单频信号,用FFT法估计Doppler频率的方法失效。而用基于相位多项式的参数估计方法可以很好的估计出输出信号的参数。在SNR=-21dB的情况下的仿真结果如图4所示,估计出的参数值为:,从而速度和加速度的估计值为:,可见在很低的信噪比情况下,该方法都能得出很高的测量精度。

但当信噪比进一步降低为SNR=-24 dB时,估计性能下降,如图5所示。可以看出,信号已经基本被噪声淹没,无法得到正确的估计。

4 结论

本文首次讨论了激光自混合变速测量的问题。推导了激光自混合变速测量信号的相位多项式表示式;在此基础上,提出了一种基于相位多项式的激光自混合变速测量方法。通过仿真分析证明:该方法能有效获得匀变速运动物体的速度及加速度信息,并且具有良好的抗噪性能。

相对于FFT计算出的平均频率,该方法能够获得多普勒频率的瞬时值,得到物体实时速度(匀变速运动),但对变加速度运动测量是否有效,需要进一步探索。另外,在仿真分析的时候只考虑了加性噪声的影响,当物体做变速运动时,是否会带来乘性噪声的影响还有待于试验研究。

本文对激光自混合用于变速测量的可行性和信号处理方法进行了有益的探索,后续将开展相应的实验验证工作。

摘要：激光自混合能有效用于匀速运动物体的速度测量,为了加速激光自混合用于物体速度测量的实用化进程,对激光自混合用于变速运动物体的速度测量进行了探索。引入了基于多项式相位参数提取的信号处理算法;基于激光自混合的测速原理,推导了激光自混合用于变速测量时输出信号的多项式相位表示式,也即建立了激光自混合用于变速测量的仿真模型。通过仿真分析证明:在激光自混合变速测量中采用基于相位多项式参数提取的方法,可以获得物体运动的速度和加速度信息;该方法在较低信噪比的情况下仍然适用。

关键词：变速测量,多项式相位,快速傅里叶变换,自混合干涉,激光测量

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