高数函数与极限教案

高数函数与极限教案（6篇）

1.函数的极限教案2解读[推荐] 篇一

教学目的

借助函数的图象，使同学理解函数的左极限、右极限的概念和函数在与x0处极限存在的充要条件．

教学重点和难点

函数的左、右极限的概念和函数在点x0处有极限的充要条件，即左极限、右极限、极限三者的关系．

教学过程

一、复习提问

当x无限趋近于x0时，函数f(x)的极限的定义是如何叙述的？如何表示？

二，新课

1．新课引入

写出下列各函数的定义域，并作出它们的图象：

(6)f6(x)＝[x]．

解：(1)x∈R；(2)x∈R且x≠0；

(3)x∈R且x≠0；(4)x∈R；(5)x∈R且x≠0；

(6)x∈R．

它们的图象分别为图1－10—图1－15．

2．新课：

若具体分析当x→0时，f3(x)，f4(x)，f5(x)，f6(x)的情况又各有不同．当x从左边无限趋近于零时，则有f3(x)→－1，f6(x)→－1，而f4(x)，f5(x)不趋近于任何常数；当x从右边无限趋近于零时，则有f3(x)→1，f4(x)→0，f6(x)→0，f5(x)不趋近于任何常数．为了区别它们，而且也为了更准确理解上节课的内容，可称前者有左极限或无左极限，后者有右极限或无右极限．若x从左或右边趋近于零分别写成x→0-或x→0+，那么可用如下符号表示左、右极限的概念，即

一般说来，可把左、右极限概念定义为：

如果当x从点x＝x0的左侧(即x＜x0)无限趋近于x0时，函数f(x)无限趋近于常数A，就说A是函数f(x)在点x0处的左极限．记作：

如果当x从点x＝x0的右侧(即x＞x0)无限趋近于x0时，函数f(x)无限趋近于常数A，就说A是函数f(x)在点x0处的右极限．记作：

函数的左极限和右极限，统称为函数的单侧极限，而函数的极限可称为双侧极限．

函数的单侧极限仅与x0点的邻域有关，而与点x0是否属函数的定义域无关．例如函数f3(x)在x＝0处无意义，但是该函数在x＝0处有左极限是－1，有右极限为1；又如函数f4(x)在点x＝0处有意义，但是该函数的左极限不存在(x→0-)．

当点x＝x0函数有意义时，函数的单侧极限与f(x0)无关．例如函数f6(x)在x＝0处的左极限为－1，而f6(0)＝0．

函数在x＝x0处的极限与该函数在x＝x0处的单侧极限有着极为密切关系．根据它们的定义和如上例题可得定理：

(证明以略)

三、小结与巩固练习

(1)我们应该很好地掌握函数在点x0处的左极限、右极限的概念和函数在点x0处有极限的充要条件，即左极限、右极限、极限三者的关系．

(2)一个函数f(x)在点x0处的单侧极限、双侧极限都与函数f(x)在点x0处是否有意义无关；与函数f(x)在点x0处的函数值无关．

(3)如果把函数f(x)在点x0处的单侧极限、双侧极限与f(x0)的关系联系起来看，这将引出新的概念——连续与间断的概念．

练习：说出下列各函数在点x＝a处的左极限、右极限和极限(如果存在的话)．

四、布置作业

1．说出下列各图1－16(1)－(4)中表示的函数在点x＝a的左极限、右极限和极限(如果存在的话)．

2.考研数学高数求极限的几种方法 篇二

极限是研究变量的变化趋势的一个基本工具，在高等数学中许多基本概念和研究问题的方法都和极限密切相关，如函数y=f(x)在x= x0处导数的定义、定积分的定义、偏导数的定义、二重积分和三重积分的定义、无穷级数收敛的定义等等。这些高数中最重要的概念都是用极限来定义的。极限是贯穿高等数学的一条主线，它将高等数学的`各个知识点连在一起。实际上，极限的思想和方法产生于某些实际问题的精确解，并且对数学在实际中的应用也有着重要的作用，因此研究生考试往往把求极限问题作为考核的一个重点。下面我们来介绍几种考研试题中经常出现的求极限的问题。

・ 1. 利用两个重要极限法

・    2.洛必达法则与等价无穷小替换结合法

・  3. 夹逼定理法

・     4. 泰勒展开法

5. 利用定积分的定义求极限法

・6. 利用极限的四则运算法求极限

・・  7. 利用导数的定义求极限

3.函数与数列极限的定义区别 篇三

最重要的概念，如连续、导数、积分等都要用极限来定义，而且由极限出发产生的极限方法，是数学分析的最基本的方法.更好的理解极限思想，掌握极限理论，应用极限方法是继续学习数学分析的关键.本文将主要阐述极限的概念、性质、方法等问题.数列极限的ε-N定义是极限理论的重点与核心.数列极限1．定义

设有数列{an}与常数A，如果对于任意给定的正数ε（不论它有多么小），总存在正整数N，使得当n>N时，不等式|an-A|<ε 都成立，那么就称常数A是数列{ an }的极限，或者称数列{an}收敛于A，记作

读作“当n趋于无穷大时，an的极限等于A或an趋于A”。数列极限存在，称数列{an}为收敛数列，否则称为发散数列.上述定义的几何意义是：对于任何一个以A为中心，ε为半径的开区间（A-ε,A+ε），总可以在数列{an}中找到某一项aN，使得其后的所有项都位于这个开区间内，而在该区间之外，最多只有{an}的有限项（N项）.对于正整数N 应该注意两点：其一，N是随着ε而存在的，一般来讲，N随着ε的减小而增大，但N不是唯一存在的；其二，定义中只强调了正整数N的存在性，而并非找到最小的N，我们只关注第N项以后的各项均能保持与常数a的距离小于给定的任意小正数ε即可.2．性质 收敛数列有如下性质：（1）极限唯一性；（2）若数列{an}收敛，则{an}为有界数列；

（3）若数列{an}有极限A，则其任一子列{ank}也有极限A；

（4）保号性，即若极限A>0，则存在正整数N1，n>N1时an>0；

（5）保序性，即若，且AN1时an

（1）自变量趋于有限值时函数的极限：-

[论文网 ]函数f(x)在点x0的某一去心邻域内有定义，如果对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数δ，使得对于满足不等式的一切x，对应的函数值f(x)都满足不等式，则常数A为函数f(x)在x→x0时的极限，记作

上述定义的几何意义是：将极限定义中的四段话用几何语言表述为

1对：任意以两直线为边界的带形区域；

2总：总存在（以点x0位中心的）半径；

3当时：当点x位于以点x0位中心的δ空心邻域内时；

4有：相应的函数f(x)的图像位于这个带形区域之内.（2）自变量趋于无穷大时函数的极限：设函数f(x)在|x|大于某一正数时有定义，如果任给ε>0，总存在着正数Χ，使得对于适合不等式|x|>Χ的一切x，对应的函数值f(x)都满足不等式|f(x)-A|<ε，则称常数A为函数f(x)当x→∞时的极限，记作

并称y=A为函数y=f(x)的图形的水平渐近线.2．性质（1）极限唯一性；（2）局部有界性

若存在，则存在δ1>0，使得f(x)在去心邻域内是有界的，当x趋于无穷大时，亦成立；

（3）局部保号性

若，则存在δ1>0，使得时，f(x)>0，当x趋于无穷大时，亦成立；

（4）局部保序性

若，且A0，使得时f(x)

利用定义证明极限下面介绍用“ε-δ（或N）”证明极限的一般步骤.1.极限值为有限的情形：

（1）给定任意小正数ε；

（2）解不等式或，找δ或N；

（3）取定δ或N；

（4）令或，由或成立，推出或.2.极限值为无穷大的情形（仅以极限为+∞与自变量为例）：

（1）给定任意大正数G；（2）解不等式；（3）取定；（4）令，由成立，推出.利用极限的定义证明问题关键是步骤（2），应该非常清楚从哪一种形式的不等式推起，最后得到一个什么形式的式子，由此即可找到所需要的（或N）.极限存在准则1．夹逼准则（1）数列极限的夹逼准则

如果数列{an}，{bn}及{cn}满足下列条件：

1存在N，n>N时，bn≤an≤cn；

则数列{an}的极限存在，且.（2）函数极限的夹逼准则

（以x→x0和x→∞为例）如果

1（或|x|>M）时，有

2（或），则（或）

（3）一个重要不等式

时，2．单调有界数列必有极限

3．柯西（Cauchy）极限存在准则

数列{an}收敛的充分必要条件是：对于任意给定的正数ε，存在着这样的正整数N，使得当m，n>N时，有|xn-xm|<ε.数列极限与函数极限的联系数列可看作一个定义域为自然数集的函数,当自变量从小到大依次取自然数时,便得到相应的一系列函数值, 其解析表达式为an=f(n)；函数是连续的,数列相当于一个函数中的一些独立的点，表现在图形上数列是无数的点，而函数是一段曲线；把数列中的n用x来替换后如果函数f(x)存在极限则数列也必定有极限，但是反之不成立。

数列{an}的极限一般都是指n的变化使得极限值的产生，而n是一个正整数，函数的极限中自变量x可以趋向任何值，由此可知函数的极限更广泛。

计算极限的常用方法1.利用洛必达法则

三这是最常用的方法，主要针对未定型极限：

注意与其他工具（无穷小代换、变量代换、不定式因子的分离、各种恒等变形、泰勒公式等）相结合.2.利用已知极限

„„

3.利用泰勒公式

4.利用迫敛性

5.利用定积分求和式极限

6.利用数列的递推关系计算极限

7.利用级数的收敛性计算极限

8.利用积分中值定理计算极限

计算数列和函数极限的关键是综合运用各种计算极限的方法，并不断总结，才能较好地掌握计算极限的方法.极限概念是数学分析中最重要的概念，如连续、导数、积分等都要用极限来定义，而且由极限出-

[论文网 ]发产生的极限方法，是数学分析的最基本的方法.更好的理解极限思想，掌握极限理论，应用极限方法是继续学习数学分析的关键.本文将主要阐述极限的概念、性质、方法等问题.数列极限的ε-N定义是极限理论的重点与核心.数列极限1．定义

设有数列{an}与常数A，如果对于任意给定的正数ε（不论它有多么小），总存在正整数N，使得当n>N时，不等式|an-A|<ε 都成立，那么就称常数A是数列{ an }的极限，或者称数列{an}收敛于A，记作

读作“当n趋于无穷大时，an的极限等于A或an趋于A”。大全，函数。大全，函数。数列极限存在，称数列{an}为收敛数列，否则称为发散数列.上述定义的几何意义是：对于任何一个以A为中心，ε为半径的开区间（A-ε,A+ε），总可以在数列{an}中找到某一项aN，使得其后的所有项都位于这个开区间内，而在该区间之外，最多只有{an}的有限项（N项）.对于正整数N 应该注意两点：其一，N是随着ε而存在的，一般来讲，N随着ε的减小而增大，但N不是唯一存在的；其二，定义中只强调了正整数N的存在性，而并非找到最小的N，我们只关注第N项以后的各项均能保持与常数a的距离小于给定的任意小正数ε即可.2．性质

收敛数列有如下性质：

（1）极限唯一性；

（2）若数列{an}收敛，则{an}为有界数列；

（3）若数列{an}有极限A，则其任一子列{ank}也有极限A；

（4）保号性，即若极限A>0，则存在正整数N1，n>N1时an>0；

（5）保序性，即若，且AN1时an

（1）自变量趋于有限值时函数的极限：函数f(x)在点x0的某一去心邻域内有定，如果对于任意给定的正数（无论它多么小），总存在正数，使得对于满足不等式的一切x，对应的函数值f(x)都满足不等式，则常数A为函数f(x)在xx0时的极限，记作 上述定义的几何意义是：将极限定义中的四段话用几何语言表述为 1对：任意以两直线为边界的带形区域； 2总：

总存在（以点x0位中心的）半径；

3当时：当点x位于以点x0位中心的δ空心邻域内时；

4有：相应的函数f(x)的图像位于这个带形区域之内.（2）自变量趋于无穷大时函数的极限：设函数f(x)在|x|大于某一正数时有定义，如果任给ε>0，总存在着正数Χ，使得对于适合不等式|x|>Χ的一切x，对应的函数值f(x)都满足不等式|f(x)-A|<ε，则称常数A为函数f(x)当x→∞时的极限，记作

并称y=A为函数y=f(x)的图形的水平渐近线.2．性质

（1）极限唯一性；

（2）局部有界性

若存在，则存在δ1>0，使得f(x)在去心邻域内是有界的，当x趋于无穷大时，亦成立；

（3）局部保号性

若，则存在δ1>0，使得时，f(x)>0，当x趋于无穷大时，亦成立；

（4）局部保序性

若，且A0，使得时f(x)

利用定义证明极限下面介绍用“ε-δ（或N）”证明极限的一般步骤.1.极限值为有限的情形：

（1）给定任意小正数ε；

（2）解不等式或，找δ或N；

（3）取定δ或N；

（4）令或，由或成立，推出或.2.极限值为无穷大的情形（仅以极限为+∞与自变量为例）：

（1）给定任意大正数G；

（2）解不等式；

（3）取定δ；

（4）令，由成立，推出.利用极限的定义证明问题关键是步骤（2），应该非常清楚从哪一种形式的不等式推起，最后得到一个什么形式的式子，由此即可找到所需要的δ（或N）.极限存在准则1．夹逼准则

（1）-

[论文网 ]数列极限的夹逼准则

如果数列{an}，{bn}及{cn}满足下列条件： 1存在N，n>N时，bn≤an≤cn； 2 则数列{an}的极限存在，且.（2）函数极限的夹逼准则

（以x→x0和x→∞为例）如果

1（或|x|>M）时，有

2（或），则（或）

（3）一个重要不等式

时，2．单调有界数列必有极限

3．柯西（Cauchy）极限存在准则

数列{an}收敛的充分必要条件是：对于任意给定的正数ε，存在着这样的正整数N，使得当m，n>N时，有|xn-xm|<ε.数列极限与函数极限的联系数列可看作一个定义域为自然数集的函数,当自变量从小到大依次取自然数时,便得到相应的一系列函数值, 其解析表达式为an=f(n)；函数是连续的,数列相当于一个函数中的一些独立的点，表现在图形上数列是无数的点，而函数是一段曲线；把数列中的n用x来替换后如果函数f(x)存在极限则数列也必定有极限，但是反之不成立。大全，函数。

数列{an}的极限一般都是指n的变化使得极限值的产生，而n是一个正整数，函数的极限中自变量x可以趋向任何值，由此可知函数的极限更广泛。

计算极限的常用方法1.利用洛必达法则

三这是最常用的方法，主要针对未定型极限：

注意与其他工具（无穷小代换、变量代换、不定式因子的分离、各种恒等变形、泰勒公式等）相结合.2.利用已知极限

„„

3.利用泰勒公式

4.利用迫敛性

5.利用定积分求和式极限

6.利用数列的递推关系计算极限

7.利用级数的收敛性计算极限

8.利用积分中值定理计算极限

4.考研高数 多元函数（最终版） 篇四

多元微分学主要研究多元初等函数。基本工具还是极限。比如，多元函数在定义域上一点M连续的定义为

—— 若在函数f（M）的定义域D内，总有M → M0 时，l i m f（M）= f（M0），就称函数f（M）在点M0连续。

体会一维到高微空间是质变，自然就得从体验极限开始。(多元函数以二元函数为例。)

在数轴上，动点x趋于定点x0时，只有左，右两个连续的变动方向，因而一元函数有简明的极限存在性判断定理 ——

“x → x0时，极限 l i m f（x）存在的充分必要条件是左、右极限存在且相等。”

（潜台词：学好一元微分学的起点，就是学会分左右讨论极限及相关问题。管它什么左连续，右连续，左导数，导数的左极限，右导数，导数的右极限，„„，概念全都清清楚楚，计算通通滚瓜烂熟。）简单地说，一元函数在每一个极限过程中仅有两个“道路极限”。

在日常生活中，我们感觉大地是一张平面，人们在行动时谈“方位”十分自然。倒是直线显得较为特殊。

二元函数的（有序）自变量组（x，y）与平面成一一对应。讨论二元函数，任意选定中心点M0，动点M可以在它的四周任意一个方位处。我们只能用向量方式（Δx，Δy）来表式相应自变量增量。相对偏离为微距离Δ r =√（（Δx）平方+（Δy）平方）。进而自然地称函数z = f（M）相应的增量Δz为全增量。“全”，就是强调增量可以在任意方位出现。

当动点M → M0时，M可以有无穷多个连续变动方式趋向M0，既可以沿直线道路，也可以沿曲线路径逼近M0，这就大大提高了讨论极限的难度。

与一元函数对比，由两个“道路极限”到无穷多个（还是不可列无穷多）“道路极限”，量变引起质变。

鉴于这个困难，《高等数学》不开展关于多元函数极限的讨论。学习多元微分学，首先要学会利用海涅定理，选择两个道路极限不相等，来判断某些极限不存在。体验多元函数求极限的困难。例1试证明，（x，y）→（0，0）时，极限lim（y ∕(x+y））不存在分析分别取直线道路 y = x，y = 2 x，就得到不相等的“道路极限”1/2与1/3，因而所求极限不存在。

实际上，只要 k ≠ −1，沿直线道路 y = k x，（x，y）→（0，0）时，显然，所算得的道路极限值随k变而变，你可以由此而窥见问题之复杂。

例2试证明极限（x，y）→（0，0）时，极限lim（xy ∕(x+y））不存在分析先取道路y = k x，k ≠ −1，令（x，y）→（0，0）实施观察，所有的道路极限都为0，但是你还不能就此以为所求极限为0，因为（x，y）还可以沿弯曲的道路趋于0

选取弯曲的路径，抛物线 y = −x +（x平方），道路极限为 −1，故所求极限不存在。

实际上，选抛物线道路 y = −x + a（x平方），常数 a ≠ 0，则将得到随a值不同而互不相等的无穷多个道路极限。

（画外音：你是否感觉到大开眼界。）

进一步的讨论中，“方位”成为前提。我们从中心点M0（x0，y0）出发，选定一个方向，就可以计算函数沿这个方向的平均变化率 Δz /Δ r，令 Δ r → 0 求极限，得到沿这个方向的 “瞬时变化率”。这个瞬时变化率称为方向导数。

（画外音：你见过用竹杆探路行进的盲人吗？）

令人难忘的自然是直角坐标系的两个坐标方向。在中心点M0（x0，y0）处，一元函数 z = f（x，y0）的导数称为二元函数 z = f（x，y）在点M0关于x的偏导数。它就是函数沿x轴正向的方向导数。同理有二元函数 z = f（x，y）在点M0关于y的偏导数。它就是函数沿y轴正向的方向导数。（潜台词：偏导数的特点是“偏”。仅仅是函数在一个特殊方向的变化率。）

与一元函数一样，更深入的问题是，在中心点M0邻近，二（多）元函数的全增量“能否微局部线性化”，即，二（多）元函数在M0是否可微（存在全微分）。

定义 —— 若在点M0的适当小的（园）邻域内，函数增量△z恒可以表示为

Δz = A Δx + BΔy + о(Δ r)=“线性主部 + 高阶无穷小о(Δ r)”

则称二元函数 z = f（x，y）在点M0可微（存在全微分）。

（画外音：要检验函数是否可微，先写出о(Δ r)= Δz − A Δx + BΔy，再令Δ r → 0讨论极限，看能否证明，这个尾项的确是较Δr高阶的无穷小。（数学一））

矛盾自然出现了。矛盾集中于“全（微分）”与“偏（导数）”。就算二（多）元函数的偏导数都存在，几个特殊方向的变化率，又怎能确定函数全方位的变化？？仅仅是“偏导数（都）存在”显然不能保证“全微分存在”。这与一元函数“可微与可导等价”是截然不同的。

如果二元函数 z = f（x，y）在点M0可微（存在全微分）。则容易证明两个偏导数都存在，且关于x的偏导数 = A，关于y的偏导数 = B

“偏导数都存在”是可微分的必要条件。

历史上的深入讨论，找到了二（多）元函数在一点可微的一个充分条件是，函数的偏导数都存在且连续。

一维到高微空间是质变。一元微分学最讲究条件。讨论前沿问题时，总是想能否把条件削弱一点来得到同样的结论。而多元微分学只能以假设为前提，要什么条件就得给什么条件。比如，要是二阶偏导数不连续，二阶混合偏导数就可能与求偏导顺序有关。给应用带来巨大障碍。

在讨论多元函数时，条件“（一阶）偏导数存在且连续”是一个基本条件。没有这个条件，仅仅知道偏导数存在是什么事情也做不成的。有了这个条件，则

（1）偏导数存在且连续，则函数的全微分存在。

（2）全微分存在函数必定连续。故偏导数存在且连续，函数必定连续。

*（3）偏导数存在且连续时，全体偏导数按坐标顺序排成“梯度向量”，函数沿任意方向的方向导数，就是“梯度向量”在该方向的投影。且“梯度向量”是方向导数最大的方向。

（潜台词：理解时要落实（站立）在中心点。）

记住主关系链，偏导数连续 —→ 全微分存在 —→ 函数连续

相关选择题就迎刃而解了。

例3设函数 z=f(x, y)有定义式：

f(0, 0)= 0，其它点处f(x, y)= xy∕(x平方+y平方)

试证明，在原点（0，0）函数的两个偏导数都存在但函数却不连续。

分析类似例1，取直线道路 y = k x，即知（x，y）→（0，0）时，函数不存在极限，当然在原点不连续。

但是，f(x，0)= 0，f(0，y)= 0，在原点处，两个偏导数都为0

例4考虑二元函数 f(x, y)的 4 条性质

（1）f(x, y)在点（x0，y0）处连续。（2）f(x, y)的偏导数都在（x0，y0）连续。

（3）f(x, y)在点（x0，y0）处可微。（4）f(x, y)在点（x0，y0）的偏导数都存在。如果用表达式“P → Q”说明可以由性质P推出性质Q，则有（？）

（A）（2）→（3）→（1）（B）（3）→（2）→（1）

（C）（3）→（4）→（1）（D）（3）→（1）→（4）

分析（A）对。这就是主关系链。（3）不能推出（2），（B）错。

（3）可以推出（4），但（4）不能推出（1），（C）错。

5.学好大学高数函数的注意事项 篇五

其次，做俄国习题集的题目。想要学好数学，必须多做练习。完成教师布置作业后仍有余力，应该把教材上比作业难的题目也都做了。在此基础上，我建议从俄国的习题集中找题目做。这出于两方面的考虑。其一，俄国的数学教学体系与中国的很接近，更准确地讲现在中国的教学体现主要是因袭俄国的，因此比较便于与课堂教学同步练习。其二，俄国很多教材没有习题或仅有很少的练习，因此必须配套专门的习题集;往往是一本习题集要配不同的教材，所以习题集的内容很丰富。当然，俄国习题集的缺点是题目太大有些是比较机械的重复性练习。最好有内行指点使用。

第三，阅读英文教材。真正的数学概念是超越语言的，因此用不同的语言思考数学问题，有助于理解的深入。一般而言，阅读英文比中文吃力，因此教材更要精选。不仅要阅读教材，而且要完成练习，这样可以检验理解程度。或许与课堂教学同步阅读英文教材不太现实，不仅是时间有限，而且教学体系差别比较大。可以学完门课程后再读英文教材。英文教材需要精选，下次再专门详细谈。

6.高数函数与极限教案 篇六

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2019考研高数重点讲解：极限的计算

极限的计算是高数考察重点，本阶段复习要重视基础且要打好基础，下面小编重点讲解本知识点，考生注意理解应用：

2019考研高数重点讲解：极限的计算

1、等价无穷小的转化，(只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用,前提是必须证明拆分后极限依然存在,e的X次方-1或者(1+x)的a次方-1等价于Ax等等。全部熟记(x趋近无穷的时候还原成无穷小)。

2、洛必达法则(大题目有时候会有暗示要你使用这个方法)。首先他的使用有严格的使用前提!必须是X趋近而不是N趋近!(所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件(还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷!)必须是函数的导数要存在!(假如告诉你g(x),没告诉你是否可导，直接用，无疑于找死！)必须是0比0无穷大比无穷大!当然还要注意分母不能为0。洛必达法则分为3种情况：0比0无穷比无穷时候直接用;0乘以无穷，无穷减去无穷(应为无穷大于无穷小成倒数的关系)所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后这样就能变成第一种的形式了;0的0次方，1的无穷次方，无穷的0次方。对于(指数幂数)方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，(这就是为什么只有3种形式的原因，LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0，当他的幂移下来趋近于无穷的时候，LNX趋近于0)。

3、泰勒公式(含有e的x次方的时候,尤其是含有正余弦的加减的时候要特变注意!)E的x展开sina，展开cosa,展开ln1+x,对题目简化有很好帮助。

4、面对无穷大比上无穷大形式的解决办法,取大头原则最大项除分子分母！!看上去复杂,处理很简单!

5、无穷小于有界函数的处理办法,面对复杂函数时候,尤其是正余弦的复杂函数与其他函数相乘的时候,一定要注意这个方法。面对非常复杂的函数，可能只需要知道它的范围结果就出来了!

6、夹逼定理(主要对付的是数列极限!)这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式，放缩和扩大。

7、等比等差数列公式应用(对付数列极限)(q绝对值符号要小于1)。

8、各项的拆分相加(来消掉中间的大多数)(对付的还是数列极限)可以使用待定系数法来拆分化简函数。

9、求左右极限的方式(对付数列极限)例如知道Xn与Xn+1的关系，已知Xn的极限存在的情况下,xn的极限与xn+1的极限时一样的，因为极限去掉有限项目极限值不变化。

10、两个重要极限的应用。这两个很重要!对第一个而言是X趋近0时候的sinx与x比值。第2个就如果x趋近无穷大，无穷小都有对有对应的形式(第2个实际上是用于函数是1的无穷的形式)(当底数是1的时候要特别注意可能是用地两个重要极限)

11、还有个方法，非常方便的方法,就是当趋近于无穷大时候,不同函数趋近于无穷的速度是不一样的!x的x次方快于x!快于指数函数，快于幂数函数，快于对数函数(画图也能看出速率的快慢)！当x趋近无穷的时候，他们的比值的极限一眼就能看出来了。

12、换元法是一种技巧,不会对单一道题目而言就只需要换元，而是换元会夹杂其中。

13、假如要算的话四则运算法则也算一种方法，当然也是夹杂其中的。

14、还有对付数列极限的一种方法，就是当你面对题目实在是没有办法，走投无路的时候可以考虑转化为定积分。一般是从0到1的形式。

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15、单调有界的性质，对付递推数列时候使用证明单调性!

16、直接使用求导数的定义来求极限，(一般都是x趋近于0时候，在分子上f(x加减某个值)加减f(x)的形式,看见了要特别注意)(当题目中告诉你F(0)=0时候f(0)导数=0的时候，就是暗示你一定要用导数定义!函数是表皮,函数的性质也体现在积分微分中。例如他的奇偶性质他的周期性。还有复合函数的性质：

1、奇偶性，奇函数关于原点对称偶函数关于轴对称偶函数左右2边的图形一样(奇函数相加为0);

2、周期性也可用在导数中在定积分中也有应用定积分中的函数是周期函数积分的周期和他的一致;

3、复合函数之间是自变量与应变量互换的关系;

4、还有个单调性。(再求0点的时候可能用到这个性质!(可以导的函数的单调性和他的导数正负相关):o再就是总结一下间断点的问题(应为一般函数都是连续的所以间断点是对于间断函数而言的)间断点分为第一类和第二类剪断点。第一类是左右极限都存在的(左右极限存在但是不等跳跃的的间断点或者左右极限存在相等但是不等于函数在这点的值可取的间断点;第二类间断点是震荡间断点或者是无穷极端点(这也说明极限即使不存在也有可能是有界的)。

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