椭圆及其标准方程

椭圆及其标准方程（精选8篇）

1.椭圆及其标准方程 篇一

椭圆及其标准方程教学反思

椭圆及其标准方程这节分为两课时，第一课时主要讲解椭圆定义及标准方程的推导；第二课时主要介绍椭圆定义及其标准方程的应用。

在第一课时中我从书中的小实验出发给学生演示并重点讲解动点在运动的过程中始终保持不变的几何特征即到两个定点的距离之和为定值（绳长）并通过改变两个定点的距离让学生直观体会椭圆的圆扁度与定点距离的关系，并提出思考若绳长和定点的距离相等及大于绳长时动点的轨迹又是什么？随后通过对学生分组进行讨论及总结给出定义；我在此时结合图形强调这个定值一定要大于两个定点的距离的理由，随后提出坐标法的基本思想并带着学生回顾动点轨迹方程的一般求法然后提出问题：椭圆的方程是什么引入第二部分即标准方程的推导；在推导椭圆标准方程时重点讲清楚坐标系的建立过程，并让学生总结建系的方法及原则；在椭圆标准方程的推导过程中由于是带有两个根式的方程化简对于我们学校的学生来说基础比较弱可能从来没遇到过，因此主要通过我在黑板上的推导及演算让学生看清过程，掌握推导方法并及时对动点轨迹方程的一般求法步骤再次进行学习引导并进一步深入总结。

得到椭圆标准方程后，让学生重点分析两个问题，第一个就是课本中的探究活动，让学生在图形中找到b的几何意义，并强调a>b>0;a>c>0b,c大小关系不确定；第二个就是提出方程的建立与坐标系有关，不同的坐标系方程是不同的，引出学生对焦点在y轴上的椭圆标准方程的推导产生兴趣，并自我完成推导过程，并通过分组讨论总结完成对椭圆标准方程推导。最后通过课本例1让学生初步体会椭圆定义及标准方程的应用。

本节课的重点是椭圆的定义及标准方程的推导，难点是标准方程推导过程中的建系过程和方程化简过程。在椭圆定义的教学中我充分运用多媒体演示及课堂学生的动手试验突出椭圆定义中到两个定点的距离为什么要大于两个定点的距离；另一方面从图形出发让学生注意三角形两边之和大于第三边也可以解释；在标准方程建立的过程中建系是难点，学生很难入手，在这里我充分引导学生建系的目的是用坐标表示点，用方程表示曲线，引导学生关注两个定点的坐标及距离公式好表示，并强调建系要关注椭圆的对称性。在推导完方程后通过不同的坐标系让学生观察分析方程的推导变化进一步体会坐标系建立过程中关注点的坐标及曲线的对称性的重要性。在方程化简过程中我同过课堂上学生自主推导焦点在y轴上的标准方程进一步让学生自己体会化简的过程和运算技巧，让学生能初步的解决类似问题，本节课我采取做，讲，练结合，师生之间有充分互动的过程，学生能从做实验，听讲解，自主练习的过程中体会椭圆标准方程的获得过程，能够从中体会发现和发明的乐趣并对知识的产生过程有很深入的体会，真正的做到了学生为主体，教师为主导的教学理念。

2.椭圆及其标准方程 篇二

一、课程分析

本节主要学习椭圆的定义与椭圆的标准方程，重点是椭圆的定义及其标准方程．难点是椭圆的定义的理解与标准方程的推导．通过本节课的学习，应初步掌握椭圆的定义及标准方程，能根据所给条件确定椭圆的标准方程．

二、学情分析

本班学生学习气氛较浓，课堂气氛活跃，学生能在老师的合理指导下，课堂上充分发挥，积极讨论，独立思考，实现学习目标，完成学习任务．

三、设计思路

1．指导思想:

本节课坚持以“诱思探究教学思想”理论为指导，围绕“诱”是“思”的基础，“思”是“诱”的目的这一中心确定教学的主线———以诱达思，启智悟道．

2．总体设想:

本节课通过对椭圆的标准方程的学习，进而提升学生对曲线的认识，体现了解析几何的宗旨，进一步提高学生数形结合的能力．达到“启智悟道”的目的．

3．流程概况:

创设情境，引入新课;探究新知，形成概念;探索研究，导出方程;随堂练习，巩固双基;课堂小结，完善认识;作业布置，巩固知识．

四、学习目标

知识和技能目标:1．掌握椭圆的定义及标准方程;2．待定系数法求方程的应用;

过程与方法目标:数形结合思想的渗透．

情感态度与价值观目标:1．使学生认识并理解世间的一切事物的运动都是有规律的．2．培养学生发现规律，寻求规律，认识规律并利用规律解决实际问题的能力．3．通过小组合作，培养协作、友爱精神．

五、教学流程

1．创设情境，引入新课

(课件投影)请同学们看投影所给的图片，观察人造卫星、行星的运行轨迹是什么?

设计意图:通过对图片的展示，引发学生的思考，在通过教师的导向性信息，使学生对椭圆有一个整体的认识，为下面的教学铺平道路．

简要实录:学生甲:图片显示的是生活中的一些椭圆．

学生乙:人造卫星和行星的运行轨迹是椭圆．

老师:这些有规律的曲线在实际生活中应用很广泛，那么怎样进一步加深对这些曲线的认识了呢?本章将学习如何建立这些曲线的方程，然后利用方程研究他们的性质，进而利用性质解决一些简单的实际问题．本节课我们先来学习椭圆及其标准方程．

2．探究认知，形成概念

(课件投影)请同学们用准备好的工具，按下面的要求画图:

1．取一条细线，一张纸板;2．在纸板上取两点分别标上F1、F2;3．把细线的两端分别固定在F1、F2两点;4．用笔尖把细线拉紧，在纸板上慢慢移动画出图形．

(课件投影)1．几何画板演示椭圆的形成过程．

2、根据画图的过程，回答下列问题:

(1)当线长大于|F1F2|时，笔尖的轨迹是_______．

(2)当线长等于|F1F2|时，笔尖的轨迹是_______．

(3)在画图的过程中，哪些量没有发生变化?把这些量用几何式子表示出来．

要求:独立完成后，再相互交流、反思总结．

设计意图:通过该问题的回答，让学生对椭圆的形成在几何上有一个准确的描述．为解决后面定义中的特殊情况做了很好的铺垫．

简要实录:学生丙:当线长大于|F1F2|时，笔尖的轨迹是椭圆．学生丁:当线长等于|F1F2|时，笔尖的轨迹是线段．

(板书)定义:在平面内，到两个定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．

注意:1、椭圆上的点到两个焦点的距离之和为常数;即|MF1|+|MF2|=2a.

2．该常数大于|F1F2|，即2a>2c.

设计意图:通过对定义的探究，使学生更清楚的理解椭圆定义中的关键点和容易出错的地方．

3．探索研究，导出方程

(课件投影)请同学们思考如何建立适当的直角坐标系?

简要实录:学生A:以直线|F1F2|为x轴，线段|F1F2|的垂直平分线为y轴，建立如图所示的直角坐标系．

(板书):以直线|F1F2|为x轴，线段|F1F2|的垂直平分线为y轴，建立如图所示的直角坐标系．设M(x,y)为椭圆上的任意一点，因为|F1F2|=2c,c>0，所以F1(-c,0),F2(c,0)．由椭圆的定义知，椭圆的集合为:P={M||MF1|+|MF2|=2a}，即.

(问题):如何化简该根式方程?

简要实录:学生B:先两边平方，移项在两边平方．马莉娜同学:这样不行，方程中会出现四次方，无法化简．应该先移项，再平方，使得二次项消掉，再移项平方，就可以化简下来．

老师:马莉娜回答的很好，提出表扬．(时霞同学板演):略

老师:(a>b>0)表示焦点在x轴上的椭圆的标准方程．

焦点在y轴上的椭圆的标准方程的推导，请同学们在课后完成．

=1(a>b>0)表示焦点在y轴上的椭圆的标准方程．

4．随堂练习，巩固双基

请同学们独立完成练习册第45页1,2题．

设计意图:通过这两个例题，让同学们进一步熟悉椭圆的定义及其标准方程．例2中，通过分类讨论的思想，使同学们明白，焦点位置的讨论是求标准方程的关键．

5．课堂小结，完善认知

(课件投影)请同学们理解记忆本节课的要点:1．椭圆的定义及其简单的应用．2．椭圆的标准方程及其焦点位置的判断．3．用坐标法研究曲线，用运动变化的观点分析问题．

设计意图:概括总结的能力是数学能力的有机组成部分，这对学生表达能力的提升是一次很好的训练，同时，及时概括总结，更有利于学生掌握本节课的主要内容．

6．作业布置，巩固知识

(课件投影)1．课本第106页习题8.1第2,3题．2．课后思考:对于方程=1满足什么条件时，它表示椭圆?

设计意图:课后巩固，强化记忆，使知识转化为学生的能力．

7．课后反思

本节课是圆锥曲线的第一课时，它是继学生学习了直线和圆的方程，对曲线和方程的概念有了一些了解，对坐标法研究几何问题有了初步认识的基础上，进一步学习用坐标法研究曲线．但从研究圆到研究椭圆，学生思维上存在障碍．故在教学中运用多媒体演示行星运行轨迹，形象的给出椭圆．通过让学生自己动手作图，“定性”的画出椭圆．再通过坐标法“定量”地描述椭圆，使之从感性到理性抽象概括，形成概念，推出方程．

3.椭圆及其标准方程中的几个亮点 篇三

【关键词】构造思想 思维方法 代换

【中图分类号】G633.6【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2015）06-0127-02

若能够恰当的运用课程资源，精当的设计适合学生的学习活动，进行探究性、研究性的教学，则课堂教学不仅有利于学生掌握本节的基本内容，而且能激发学生的探索性和求知欲，从而达到很好的教学效果。前阶段，笔者有幸参加了本学校组织的青年教师讲课大赛，接到参赛通知之后，翻看了一下自己所任学科的进度，到比赛时，教学进度应该在椭圆那一单元，于是，没有太多的思考就选择了《椭圆及其标准方程》这一节，想着本节就一个定义两个方程，前期的准备工作和比赛过程应该比较轻松，但是，深度的挖掘之后，发现内容并非自己想象的那么浅显、单一，本节涵盖了丰富的数学思想方法。经过一番努力，此次大赛中，笔者受益匪浅，对本节中的几处亮点感触颇深，下面就谈谈本节的一些亮点，以期抛砖引玉。

亮点一：导入问题，体现特色

课堂前期，学生用自己准备的工具——笔、绳子、纸板画出圆，回忆了圆的定义，然后再用工具按照一定的要求画出椭圆，从而给出椭圆的定义。运用类比高中研究圆的性质的方法进一步研究椭圆的性质。初中学习圆的知识时，主要运用定理、公理以及结合题设来解决圆的相关问题，在高中用的是解析法学习圆的知识，先建立坐标系，然后得出圆的方程，再运用所得方程去研究圆的有关性质，即用代数方法解决几何问题，为了更好的研究椭圆的性质，类比高中研究圆的性质的方法，也用解析法，先建立适当的坐标系，得出椭圆的方程，再研究椭圆的性质。这一教学环节，使学生明白了接下来为什么要推导学习椭圆的标准方程，理解了解析几何的含义——用代数方法解决几何问题。解析几何的试题年年有，年年变化，但是万变不离其宗的是对解析几何思想和坐标法的考查，《椭圆及其标准方程》这一节的学习展开过程就是解析几何整个课程的一个经典缩影，最能体现出解析几何的特色。

亮点二：分析方程，加强运算

根据解析几何中求曲线方程的步骤和方法求出椭圆的方程：

（1）焦点在x轴上：■+■=2a（a>c>0）；

（2）焦点在y轴上：■+■=2a（a>c>0）.

对于这样比较复杂的方程，应该怎样化简呢？学生自由化简时，由于学生在上课之前对本节都已经预习了，所以学生都按照教材上的方法进行化简的，运算复杂，运算量大。由于课堂上时间有限，在课外时间，笔者和学生一起探讨了其它化简方程的方法。

1.方法引入：构造方程，等量代换

在学习必修一函数时，有这样的类型题目：已知函数f（x）满足f（x）+2f（■）=2x，求函数f（x）的解析式。本题中可以把f（x）+2f（■）=2x看成关于f（x）和f（■）的方程，则一个方程是不能求出两个未知量的，必须再构造一个方程，即运用代换思想，得到f（■）+2f（x）=■，解方程组f（x）+2f（■）=2xf（■）+2f（x）=■，从而求出f（x）的解析式。例如题目：已知偶函数f（x）、奇函数g（x）满足关系式f（x）+g（x）=x2+2x，也是用类似的方法解决。

2.化简方程

（1）焦点在x轴上（构造方程）

由以上例子得到启发，在化简椭圆方程时，把■和■分别看做两个未知量，再构造一个对偶式的方程■-■=M（？鄢），与原方程左右对应相乘，得出M=■，（？鄢）式再与原方程相加，消去一个根号，得■=■+a，然后两边平方即可得到椭圆的方程为■+■=1。此化简方程的过程体现了数学中的构造思想方法。

所要化简的方程对称优美，结构和谐，乍看无从下手，但抓住方程的对称情况，构造出新的方程，则能更简单的解决出问题。

（2）焦点在y轴上（代换思想）

化简焦点在y轴上时的方程时，不必重复上述化简的过程，把此方程与焦在x轴上的方程对比，发现两个方程形式相同，不同之处就是把x和y对调了一下位置，所以最终化简的结果也即是x和y的位置对调。代换的方法是一种典型的解题方法，应用于等量代换、不等量代换、变量代换、三角函数代换等知识领域。解题时，根据知识的内在联系，转化数量关系，从而简化整个解题过程。

3.注重形式，做好铺垫

数学教材中，各节内容环环相扣，层层加深，椭圆的方程化简到■+■=1时，让学生从所建坐标系的图中找出表示a，c，■的线段，表示这三个量的线段恰巧是直角三角形的三条边，令一直角边的长■=b（b>0），则得到椭圆的标准方程，方程简单整齐，而且为下一节进一步研究椭圆的性质做了铺垫。由于引入了量b，性质中的范围、定点、轴等，表示的时候很方便，大大简化了一些运算量。

4.思维拓展

笔者曾在一文章中看到作者对一道经典试题的探究，亦觉得很感兴趣，对此欣赏不已。

题：若（■+x）（■+y）=1，证明：x+y=0.

解析：根据题目条件的对称性，设（■-x）（■-y）=M，

与原式对应相乘，则M=1，即（■-x）（■-y）=1，

因为（■+x）（■-x）=1，

与原式对比，得到■-x=■+y.

设函数f（x）=■-x，显然该函数为减函数，

则有f（x）=f（-y），从而x=-y，x+y=0.

本解题思路体现了函数和方程中的构造和代换的思想方法。

课外时间和学生一起如此的探讨，能够大大调动学生学习数学的积极性，激发学习数学的求知欲，提升学生的解题技能，增强学生的思维能力，让学生感受到数学的形式美、本质美。

亮点三：数形结合，直观解题

华罗庚指出：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”。数形结合这一重要思想贯穿了高中整个数学，它把抽象的数学语言与直观的图形相结合，往往使复杂问题简单化，到达优化解题的目的。本节由椭圆的图形利用解析法得到了椭圆的方程，实现了由“形”到“数”的转变，若已知了“数”，通过观察分析，有时也会得到我们所熟悉的“形”。例如：求方程■+■=8所表示的椭圆的标准方程。若按部就班的化简，显然走了弯路，若从方程的含义出发，动点（x，y）的轨迹为椭圆，得出相应的数a=4，c=3，很快就求出椭圆的标准方程。

在教学中，营造氛围，引导学生开展问题探究，发展数学思维，提高学生的解题能力，重本真教学，轻形式教学，即让学生透彻理解数学概念的成因，把握数学思想方法的原理，不仅要让学生知其然，更让学生知其所以然，这是一位教师应有的教学智慧。在本节中，笔者不仅让学生掌握了椭圆的定义和两种形式的标准方程，而且把以上分析的思想方法渗透到了教学当中，学生兴致高涨，通过师生、生生之间的合作、交流、探讨，学生感悟出了源于教材且高于教材的丰富知识。

参考文献：

[1]崔志荣.何昌来.追求本真教学，打造绿色课堂[J].《中小学数学》（高中版），2014（1-8）：30

[2]王淼生.对一道全俄奥林匹克试题的肤浅探究[J].《中小学数学》（高中版），2014（1-8）：9

4.椭圆的定义及其标准方程教案 篇四

一、教材分析

本节课是圆锥曲线的第一课时，它是继学生学习了直线和圆的方程，对曲线和方程的概念有了一些了解，对用坐标法研究几何问题有了初步认识的基础上，进一步学习用坐标法研究曲线。椭圆的学习可以为后面研究双曲线、抛物线提供基本模式和理论基础。因此这节课有承前启后的作用，是本章的重点内容之一。

二、教学目标

（一）知识目标

1、理解并掌握椭圆的定义，明确焦点、焦距的概念；

2、掌握椭圆的标准方程；

（二）能力目标

培养学生发现规律、寻求规律、认识规律并利用规律解决实际问题的能力。

（三）德育目标

1、使学生认识并理解世间一切事物的运动都是有规律的；

2、使学生通过运动规律，认清事物运动的本质。

三、教学重、难点及关键

1、重点：椭圆的定义和椭圆的标准方程。

2、难点：椭圆标准方程的推导。

3、关键：突破难点要抓住“建立坐标系”和“化简方程”两个环节。

四、教学方法

主要采用探究实践、启发与讲练相结合

五、教具

主要采用多媒体课件

六、教学过程

1、创设情景、引入概念

（多媒体演示）展示相应的图片，让学生在感受美的同时也了解到本节课所要研究的图形——椭圆。

提问：这些图片中的实物的形状是什么的图形？ 学生回答：椭圆

请同学再列举一些椭圆形的例子，教师指出椭圆在生活中很常见，今天我们就一起学习----椭圆（给出课题）。

教师指出：通过前面的学习知道，圆是平面内与定点的距离等于定长的点的轨迹，那么椭圆又是满足什么条件的点的轨迹呢？我们一起来探究。

2、新知探究、形成概念

利用多媒体演示椭圆的画法。

依据多媒体演示的画法，请学生思考：图中哪些量是不变的，哪些量是可变化的，试着用自己的语言说一说怎样形成椭圆？

让学生拿出课前准备的纸板、细绳、图钉，根据自己得出的椭圆画法，试着用手中的工具画出椭圆。让学生动手，使其尝试到成功的喜悦，同时提醒学生注意绳长要大于两图钉之间的距离。

教师启发、提问，并由学生归纳出椭圆的定义。定义：平面内与两个定点F1、F2的距离之和等于常数2a（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。其中两个定点叫做焦点，两焦点的距离叫做焦距，记为2c。

提问：若令M为椭圆上任意一点，可否把定义用数学表达式写出？

学生思考回答：|MF1|+|MF2|=2a 教师指出：此式称为定义式，其应用非常广泛。

3、标准方程的猜测与推导

依据多媒体的动态数据来猜测椭圆的方程

问：请你猜测一下椭圆的方程？

x2y2学生:（221，a>b>0）

ab

根据一般的求轨迹方程步骤推导椭圆的方程。

(1)建系：以F1、F2所在直线为x轴，线段F1F2的中垂线为y轴建立直角坐标系。

(2)设点: 设M（x，y）是椭圆上任意一点，因|F1F2|=2c，则F1(-c,0)，F2(c,0)（学生回答）

(3)列式: 让学生自己列出：|MF1|+|MF2|=2a，并将其坐标化后得：xc2y2xc2y22a

(4)化简：(过程可以简略，不作要求)

x2y2教师指出：方程221ab0叫做椭圆的标准方程，其焦点

ab在x轴上，焦点坐标为F1(-c,0)，F2(c,0)且a2b2c2 启发：若把坐标系中的x轴、y轴的位置互换，椭圆的焦点位置如何？方程形式又如何？

y2x2让学生合理猜想，得出：221

ab教师指出此方程同样可用上述方法进行推导。思考：如何依据标准方程判断焦点的位置？

学生观察后可得出：含x2，y2的分式的分母谁大，焦点就在那个轴上。

五秒快速练习：判断下列椭圆的焦点位置？

x2y2y2x21、

12、1

152053y2x2x2y23、

14、1

111825244、知识应用

例1:已知椭圆的焦点在x轴上,焦距为8,椭圆上的点到两个焦点的距离之和为10,求椭圆的标准方程.先给学生提示，再让学生自己动手做，并抽取两位同学所做的进行讲评,最后课件给出标准答案。例2:求下列椭圆的焦点和焦距

x2y2(1)1；

（2）2x2y216

54分析：解题关键是判断椭圆的焦点在哪条坐标轴上，方法是观察标准方程中含x项与含y项的分母，哪项的分母大，焦点就在哪条坐标轴上。学生先做，然后课件给出正解。

分组练习：求椭圆的焦距与焦点坐标？

x2y2①1 156x2y21 ②251693,0，焦距2c6焦点坐标为0,12，焦距2c24焦点坐标为请学生给出结果，体会成功的喜悦。同时给出练习③9x225y2225让学生独立完成，并对学生所做的进行讲评。

5、归纳小结

（1）知识小结：引导学生归纳，最后教师给出知识结构图。（2）方法小结：（教师小结）

①用坐标法研究曲线；

②用运动、变化的观点分析问题；

5.椭圆及其标准方程 篇五

一、教材内容分析

本节是整个解析几何部分的重要基础知识。这一节是在《直线和圆的方程》的基础上，将研究曲线的方法拓展到椭圆，又是继续学习椭圆几何性质的基础，同时还为后面学习双曲线和抛物线作好准备。它的学习方法对整个这一章具有导向和引领作用，所以椭圆是学生学习解析几何由浅入深的一个台阶，它在整章中具有承前起后的作用。

二、学情分析

高中二年级学生正值身心发展的鼎盛时期，思维活跃，又有了相应知识基础，所以他们乐于探索、敢于探究。但高中生的逻辑思维能力尚属经验型，运算能力不是很强，有待于训练。

基于上述分析，我采取的是“创设问题情景-----自主探索研究-----结论应用巩固”的一种研究性教学方法，教学中采用激发兴趣、主动参与、积极体验、自主探究的学习，形成师生互动的教学氛围。使学生真正成为堂的主体。

三、设计思想、把章头图和引言用微机以影像、录音和图片的形式给出，生动体现出数学的实用性；

2、进行分组实验，让学生亲自动手，体验知识的发生过程，并培养团队协作精神；

3、利用《几何画板》进行动态演示，增加直观性；

四、教学目标

、知识与技能目标：

理解椭圆定义、掌握标准方程及其推导。

2、过程与方法目标：注重数形结合，掌握解析法研究几何问题的一般方法，注重探索能力的培养。

3、情感、态度和价值观目标：

探究方法激发学生的求知欲，培养浓厚的学习兴趣。

进行数学美育的渗透，用哲学的观点指导学习。

五、教学的重点和难点

教学重点：椭圆定义的理解及标准方程的推导。

教学难点：标准方程的推导。

四、说教学过程

（一）、创设情景，导入新。（3分钟)、利用微机放映“彗星运行”资料片，引入题——椭圆及其标准方程。

2、提问：同学们在日常生活中都见过哪些带有椭圆形状的物体？对学生的回答进行筛选，并利用微机放映几个例子的图片。

设计意图：通过观看影音资料，一方面使学生简单了解椭圆的实际应用，另一方面产生问题意识，对研究椭圆产生心理期待。通过图片、实物，吸引学生的注意力，提高参与程度，为后续学习做好准备。从而激发学生的学习积极性和参与热情。

（二）、动画演示，探索研究

或

设问：①两种方程有何异同？

②怎样根据条确定焦点的位置？

设计意图：

1、通过方程的推导，学会建立适当的坐标系，构造数与形的桥梁，学会用解析的方法来解决问题，渗透数形结合的数学思想。培养学生的发现、探究、研究能力；

2、设置问题，引导学生独立思考、使之成为知识的发现者；

3、鼓励学生富于个性化的理解和表达。

、操作演练、拓展思维（分钟）

例题:求适合下列条的椭圆的方程：

①、两个焦点的坐标分别是、，椭圆上一点P到两焦点距离的和等于10。

②、两个焦点的坐标分别是、，椭圆上一点P到两焦点距离的和等于10。

③、焦距为8，椭圆上一点P到两焦点距离的和等于10。

设计意图：学以致用，运用研究成果解决问题，并通过变式训练，质疑讨论、师生互动，培养学生乐于动手、勇于实践的能力。通过变式训练来强化概念，开拓学生的思维，训练学生思维的严谨性。深化知识点的掌握，突出重点、难点。

练习1：已知椭圆的标准方程为，为椭圆上的一点，到一个焦点的距离是3，则它到另一个焦点的距离等于。

练习2：下列各组椭圆中,其焦点相同的是:

A、与

B、与

、与

D、与

练习3：已知椭圆，、是它的焦点，AB是过的直线被椭圆截得的线段长，求△的周长。

练习4：求适合下列条的椭圆的标准方程：

焦点坐标为、，a=;

焦点在x轴上,焦距等于4,并且经过点P;

设计意图：练习一是填空题，设计此题的目的让学生加深对椭圆的定义的理解，以便更好的夯实基础知识；练习二是选择题，融入相对练习一较多的知识点，渗透类比思想，让学生从不同的角度分析、补充，强化学生的发散思维、培养学生的创新意识；练习三、四则是练习一与二的有机综合，充分渗透数形结合思想，较好的提高了学生的综合能力，从中感受数学的魅力。也为下一节的进一步提高作了铺垫。

（五）堂总结，完善认知（1分钟)

一个概念：椭圆：

二个方程：；；

三个意识：求美意识；求简意识；猜想的意识。

四个思想：数形结合、类比、方程、转化与化归

设计意图：培养归纳、概括能力，并巩固研究成果。同时，通过小结，使学生理清这节的重难点，深化对基本概念，基本理论的理解，同时培养学生宏观掌握知识的能力，为进一步学习打下坚实的基础。

（六）布置作业，巩固提高：

、教材96页——习题81第3、4题

2、后实践操作题：一束光线垂直于一个墙面，将一圆形纸板置于光源与墙面之间，墙面上会出现纸板的影子，变化纸板与光线的角度，观察影子会出现哪些不同的形状？

设计意图：使学生探究、思考、实践的过程延伸到后。体现分层教学的思想，提高学生的学习积极性，使各层次的学生都找到各自的学习区，进一步完善教学目标的实现。

（七）板书设计

8．1椭圆及其标准方程

、椭圆的定义

2、有关概念

3、标准方程

（1）焦点在轴上

（2）焦点在轴上

标准方程的推导过程书写

例1：（写要点）

变式1：（写要点）

变式2：

（1）详写

6.《 椭圆的标准方程》教学设计 篇六

1.1本章内容的数学分析

《圆锥曲线与方程》是选修2-1第二章的内容，是高中数学中重要的内容，圆锥曲线的许多几何性质在日常生活、生产和科学技术中都有着广泛的应用。《2.2.1椭圆及其标准方程》是整个解析几何部分的重要基础知识，从知识上说，它是运用坐标法研究曲线的几何性质的一次演练，同时它也是进一步研究椭圆几何性质的基础；从方法上说，它为后面研究双曲线、抛物线提供了基本模式和理论基础.所以说，无论从教材内容，还是从教学方法上都是起着承上启下的作用，它是学好本章内容的关键。因此搞好这一节的教学，具有非常重要的意义。通过对椭圆定义与方程的探究过程，使学生经历了观察、猜测、实验、推理、交流、反思等理性思维过程，培养了学生的思维方式，加强了运算能力，提高了他们提出问题、分析问题、解决问题的能力，为后续知识的学习奠定了基础。1.2学情分析

在学习本节内容以前，通过对必修3《直线与圆》以及选修2-1《2.1曲线与方程》的学习，学生已经学习了直线和圆的方程，初步了解了用坐标法求曲线的方程及其基本步骤，对曲线的方程的概念有一定的了解，这为进一步学习椭圆及其标准方程奠定了基础。同时，经过两年的高中学习，学生的计算能力、分析解决问题的能力、归纳概括能力、建模能力都有了一定的提高，使得进一步探究学习本节内容成为可能。但是，在本节课的学习过程中，椭圆定义的归纳概括、方程的推导化简对学生是一个考验，可能会有一部分学生探究学习受阻，教师要适时予以指导。

1.3 教学对策

有效学习的关键在于学生学习的主动性，而主动性与学习的动机、所学内容的价值性、趣味性和学习任务是否具体清楚等都有非常密切的关系，这些相关的积极因素越多，学习的主动性就会越强。这就需要教师在教学中，充分挖掘积极因素，促进学生主动地学习。

本节作为圆锥曲线的起始课，在激发学生学习主动性上应给予更多的关注。本课在设计上先动员学生查找圆锥曲线的资料，促使学生了解数学在人类文明发展中的作用。在《椭圆》的教学活动中，通过让学生展示圆锥曲线在实际中的应用的资料以及折纸活动，使学生感受数学的文化背景，增加用数学的意识。对椭圆定义与方程的探究过程，使学生经历了观察、猜测、实验、推理、交流、反思等理性思维过程，培养了学生的思维方式，加强了运算能力，提高了他们提出问题、分析问题、解决问题的能力。2 教学过程 2.1课前准备 发给学生的如下资料：

1、同学们，你们能告诉我什么是圆锥曲线吗？它们为什么叫圆锥曲线呢？圆锥曲线的发现确实是一个伟大的发现.德国天文学家开普勒（公元1571年~1630年）在长期的天文观察及对记录的数据分析中，发现了著名的“开普勒三定律”，其中第一条是：“行星是绕着太阳沿着椭圆轨道运行的，太阳处在这个椭圆的一个焦点上”，后来哈雷又利用圆锥曲线理论及计算方法准确地预测到哈雷慧星与地球最近点的时刻，1758年在哈雷逝世16年之后，哈雷慧星与地球如期而遇，这引起了全欧洲、乃至全世界的轰动，也进一步推动人们对圆锥曲线研究兴趣的提升。在我们的实际生活中处处都有圆锥曲线.你能举出一些例子吗？椭圆、双曲线、抛物线的有些性质，在生产或生活中被广泛应用。比如电影放映机的聚光灯泡的反射面是椭圆面，灯丝在一个焦点上，影片门在另一个焦点上；探照灯、聚光灯、太阳灶、雷达天线、卫星的天线、射电望远镜等都是利用抛物线的原理制成的。这些应用的原理和性质是什么呢？又比如圆形纸片被垂直光线照射随着纸片角度的变化得到的影子，它是什么图形呢？结合本章卷首语，请你查找圆锥曲线的相关资料。

2、同学们愿意做一个折纸的游戏吗？用一张纸剪一个圆，在圆内选一个异于圆心C的点F，在圆上取点M1，折纸使得M1与F重合，再打开纸，就得到一条折痕，画出折痕与相应半径的交点，再在圆上取点M2，折纸使得M2与F重合，再打开纸，又得到一条折痕及相应交点，„„如此进行下去，折痕越多越好，并且圆上各个位置都要有选取的点，然后，用平滑的曲线连接，你会发现，所得的这些交点构成的曲线是什么？

设计意图：①动员学生查找圆锥曲线的资料，充分挖掘积极因素，促进学生主动地学习。促使学生了解数学在人类文明发展中的作用，逐步形成正确的数学观。②折纸问题可以激发学生学习的兴趣以及求知欲。2.2问题引入

问题1：同学们，你们能告诉我什么是圆锥曲线吗？它们为什么叫圆锥曲线呢？

说明：教师需要课前先收集同学的资料，让学生展示什么是圆锥曲线，它们为什么叫圆锥曲线。以及介绍圆锥曲线的产生及应用。

设计意图：通过帮助学生了解数学在人类文明发展中的作用，逐步形成正确的数学观。使学生意识到在我们的实际生活中处处都有圆锥曲线，本章的学习是研究这些问题的基础。2.3学生活动

活动1：准备一根绳子，把它对折，一端固定在一个定点上，把粉笔插在另一端，拉紧绳子，得到的曲线是什么？(圆)。如果变为两个定点，把绳子拉紧，得到的曲线会是什么呢？在黑板上给出两个定点F1，F2，使它们之间的距离均大于绳长，请两个同学合作，一个同学将绳的两端固定在定点处，另一个同学拉紧细绳画图。通过作图，由学生得出椭圆的定义。

问题2：请学生观察曲线上的点满足的几何特征，并类比圆的定义给椭圆下定义。

说明：用“以上定义是否有不严谨之处？若有，请做出补充”等问题，引导学生逐步完善定义。

设计意图：从学生的思维特点和学习规律出发，展示知识形成的过程，使学生经历了观察、猜测、类比、交流、反思等理性思维过程，培养了学生的严谨思维习惯。

问题3：同学们，课前希望大家做一个折纸的游戏，用一张纸剪一个圆，在圆内选一个异于圆心C的点F，在圆上取点M1，折纸使得M1与F重合，再打开纸，就得到一条折痕，画出折痕与相应半径的交点，再在圆上取点M2，折纸使得M2与F重合，再打开纸，又得到一条折痕及相应交点，„„如此进行下去，折痕越多越好，并且圆上各个位置都要有选取的点，然后，用平滑的曲线连接，你会发现，所得的这些个交点构成的曲线是什么？

学生回答：他的边界是椭圆。

教师提问：为什么会是椭圆？（几何画板演示）适时用如下问题引导学生：

（1）我们将M1与F重合，得到的折痕是什么？（2）CP+PF= r,说明什么？

设计意图：加深学生对椭圆定义的理解，尤其是对a、c的几何意义的理解。2.4推导椭圆的标准方程

问题4：要研究椭圆更多的性质，就要建立坐标系，得到椭圆的方程，利用方程研究它们的性质，如何建立坐标系呢？ 说明：由学生建立坐标系，求椭圆的方程，过程中提醒学生注意要适当建系，坐标系建立应使题中关键点的坐标、曲线的方程要尽量简单，让学生观察椭圆的图形，发现椭圆应该有两条互相垂直的对称轴，以这两条对称轴作为坐标系的两轴，不但可以使方程的推导过程变得简单，而且也可以使最终得出的方程形式整齐和简洁．

问题5 ：我们设点并且得到方程，如何化简？

说明：由于学生对坐标法解决几何问题掌握还不够，对含有两个根式之和（差）等式化简的运算生疏，去根式的策略选择不当等是导致“标准方程的推导”成为学习难点的直接原因。

但同时，这也是培养学生的思维方式，加强了运算能力的时机，这里可以让学生充分展示化简方法，直接平方，移项平方，根式有理化等等，从中选择一个大家都认可的方法课上完成，其他留作课下完成。在化简过程中，教师要以“是否保证变形等价，如何使方程更加完美简捷”等等问题，不断激发学生做更深入的思考。2.5课堂练习

说明：课堂例题应该以课本例题为主，目的在于巩固椭圆的定义，使学生熟练掌握椭圆的标准方程，会根据所给的条件确定椭圆的标准方程。2.6课后作业

（1）课本练习，进一步巩固学生对椭圆定义及其标准方程的认识.（2）完成其他方法的椭圆标准方程的推导.（3）对于折纸问题，如果将“在圆内选一个异于圆心C的点F”改为“在圆外选一个异于圆心C的点F”得到的曲线会是什么？曲线上的点有什么几何特征呢？ 3教学反思

数学概念是构建数学理论大厦的基石,是导出数学定理和数学法则的逻辑基础,是提高解题能力的前提,是数学学科的灵魂和精髓。3.1在体验数学概念产生的过程中认识概念

数学概念的引入,应从实际出发,创设情境,提出问题。通过与概念有明显联系、直观性的例子,使学生在对具体问题的体验中感知概念,形成感性认识.本节课首先把一根绳子对折，一端固定在一个定点上，把粉笔插在另一端，拉紧绳子，得到了学生熟悉的曲线--圆，然后提出“如果变为两个定点，把绳子拉紧，得到的曲线会是什么呢？”这个问题，通过让学生观察曲线上的点满足的几何特征，类比圆的定义给椭圆下定义；之后，再用“以上定义是否有不严谨之处？若有，请做出补充”等问题，引导学生逐步完善定义。挖掘概念的内涵与外延,有利于学生对概念的理解。3.2在运用数学概念解决问题的过程中巩固概念

数学概念形成之后,通过具体例子,进一步认识概念,引导学生利用概念解决数学问题和发现概念在解决问题中的作用,是数学概念教学的一个重要环节,此环节操作的成功与否,将直接影响学生对数学概念的巩固,以及解题能力的形成。本节课设计的折纸问题是课前留给学生的问题，它的起点低但延展性好，它的特点是具有“活动性”，学生必须实际操作，在折纸过程中观察、思考，使学生尽快地投入到新概念的探索中去,从而激发了学生的好奇心以及探索和创造的欲望,使学生在参与的过程中产生内心的体验和创造。各种水平的学生都可以得到自己的发现。这个问题今后还可以深入研究，（从轨迹问题到包络线问题）安排在这里的作用限于加深学生对椭圆的定义以及a、c的几何意义的理解。此外，这个问题结合几何画板，得到圆锥曲线形成的动态过程，使学生得到数学发现的乐趣和美的愉悦。

7.椭圆及其标准方程 篇七

关键词：椭圆,高职数学,教学设计

一、问题的提出

对于椭圆的标准方程教学, 大都是教师以实例图片引起学生探究什么是椭圆的兴趣, 然后教师在黑板取两个定点, 由学生动手操作, 用一段细绳画出椭圆, 给学生直观感知, 再由学生讨论能够画出椭圆满足的几何条件, 得出椭圆的定义, 再由椭圆的定义演绎推导出椭圆的标准方程. 高职学生的数学基础参差不齐, 运用这种方法进行教学, 抽象性较强, 运算较繁琐, 其结果往往是教师吃力, 学生觉得枯燥难学, 提不起学习兴趣甚至产生厌学的情绪.

学生在学习椭圆之前已经学习了圆的定义、圆的方程, 了解了解析几何基本思想, 知道一些用坐标法研究几何的方法; 学生对椭圆也有直观感性认识, 会把“扁的圆”叫做椭圆. 本文作者在教学过程中, 采用新的思路, 设计了简便易行的“从圆转化到椭圆”的实验, 引导学生通过实验、类比、猜想等方法进行探索式学习, 类比学生熟悉的圆的方程, 提出椭圆方程的猜想, 并对猜想的正确性进行验证. 通过这样的教学设计, 取得了一定的教学成效. 下面就椭圆的标准方程的教学设计展开介绍和讨论.

二、教学设计和过程

1. 以生活为背景, 通过实验探究概念

通过学生的观察和动手探究, 可以对数学概念形成直观感受, 有利于概念的获取. 下面是这个实验的课堂教学实录:

请每两位学生准备一个圆柱体的透明杯子 ( 或瓶子) , 倒入半杯水, 将杯子平放在课桌上, 然后从杯子的正上方观察水面的形状.

师:请同学们观察一下, 现在的水面是什么形状?

学生异口同声地回答:是一个圆.

师: 让杯子向右 ( 或向左) 倾斜一个较小的角度, 再看看水面是什么形状?

大部分学生: 是一个椭圆.

师: 把倾斜的角度加大一点, 看看水面的形状发生了怎样的变化?

生: 水面还是一个椭圆, 不过椭圆变得更扁了

师: 思考一下, 随着倾斜角度的加大, 椭圆的形状在左右方向上会发生怎样的变化? 前后方向呢?

生: 倾斜角度越大, 椭圆在左右方向上就越长, 而在前后方向上不变 ( 图1) .

通过上述实验, 学生直观地认识到, 圆沿着一条直径拉长可以得到椭圆, 这样得到的椭圆使我们看到了椭圆与圆的关系, 可以引导学生在圆的知识的基础上探索椭圆的知识.

此时再讲述课本上椭圆的定义, 学生比较容易接受.

2. 类比圆的方程, 猜想椭圆方程

圆的方程是学生已经熟悉的知识. 我们可以将椭圆与圆进行类比, 根据圆的方程, 猜想椭圆的方程.

师: 把这个圆横向拉长, 使其在x轴上的半径增大为a, 在y轴上的半径不变, 仍为b, 这就得到一个椭圆 ( 图2) . 类比圆的标准方程, 猜想这个椭圆的标准方程是什么?

到此为止, 学生通过自己动手实验, 认识了从圆到椭圆的转化, 并且利用圆的标准方程进行类比, 提出了椭圆标准方程的猜想, 激发了学生的学习兴趣.

提出猜想是整个教学过程中重要的一步, 但教学不能仅仅停留在这一猜想上. 为了培养学生思维的严谨性, 需要对上述猜想的正确性进行验证.

3. 根据椭圆的定义, 验证椭圆方程的猜想

由椭圆的定义可以验证上述猜想的正确性, 即推导出椭圆的标准方程.

验证过程如下:

由于高职学生经过了实验、类比和猜想等思维过程, 特别是有了猜想作为基础, 对于猜想的验证就会感到顺理成章, 进而体会数学的理性与严谨, 激发学生对数学知识的热爱.

进一步引导学生反过来将椭圆的标准方程与圆的标准方程进行比较, 学生会发现圆可以看成是椭圆的极端情况.

通过从圆到椭圆的转化, 使学生利用新旧知识的联系认识了椭圆及其标准方程, 培养了学生观察问题、分析问题和解决问题的能力, 达到了高职数学课堂上的素质教育目标, 培养了学生的数学素养.

三、反思

高职数学课堂教学必须打破封闭、固定的落后程式, 教师要给学生充分探索空间, 不要把学生的思考限制在教师预设的范围内, 在教学中采用以旧引新、新旧对比的方法, 引导学生在旧知识的基础上探索新知识, 可以使学生感觉新知识的出现水到渠成, 而过去熟知的旧知识又得到巩固与深化, 使学生把握新旧知识之间的联系, 从而得到系统化的知识. 在椭圆的标准方程的教学设计中, 还要充分了解学生的基础和知识面, 往往学生的难点不一定出现在本节所要理解的内容上, 如推导椭圆的标准方程时, 方程的化简, 在该环节上还要尽量推导细致一点才得以完成.

参考文献

[1]张奠宙, 宋乃庆.数学教育概论[M].北京:高等教育出版社.2005.7.

8.椭圆及其标准方程 篇八

关键词：存在性； 唯一性； 非常弱解； 退化椭圆方程

中图分类号：O175.25文献标识码：A

他们需要得到上面问题非常弱解的存在唯一性结果.

[1]QUITTNER P， REICHEL W. Very weak solutions to elliptic equations with nonlinear Neumann boundary conditions [J]. Calc Var Partial Diff Equ，2008，32（4）： 429-452.

[2]BIDAUTVERON M F， PONCE A， VERON L. Boundary singularities of positive solutions of some nonlinear elliptic equations [J]. C R Acad Sci Paris Ser I Math， 2007，344（2）： 83-88.

[3]HU B. Nonexistence of a positive solution of the Laplace equation with a nonlinear boundary condition [J]. Differential Integral Equations. 1994，7（2）： 301-313.

[4]MCKENNA P J， REICHEL W. A priori bounds for semilinear equations and a new class of critical exponents for Lipschitz domains [J]. J Funct Anal， 2007，244（1） ： 220-246.

[5]PACARD F. Existence de solutions faibles positive de dans des ouverts bornes de [J]. C R Acad Sci Paris Ser. I Math， 1992，315（7） ： 793-798.

[6]PACARD F. Existence and convergence of positive weak solutions of in a bounded domains of [J]. Calc Var Partial Diff Equ， 1993， 1（3） ： 243-265.

[7]QUITTNER P， SOUPLET PH. A priori estimates and existence for elliptic systems via bootstrap in a weighted Lebesgue spaces [J]. Arch Ration Mech Anal， 2004， 174（1）： 49-81.

[8]CABRE X， SIRE Y. Nonlinear equations for fractional Laplacians I： regularity， maximum principles， and Hamiltonian estimates [J]. Ann Inst H Poincar＼'{e} Anal NonLin＼'{e}aire， 2014，31（1） ： 23-53.

摘要：定义了在所谓的具有一片平的边界的有界光滑区域内退化线性椭圆的非常弱解的概念，然后利用变法方法与退化椭圆方程的极值原理等证明了该问题非常弱解的存在唯一性结果.

关键词：存在性； 唯一性； 非常弱解； 退化椭圆方程

中图分类号：O175.25文献标识码：A

他们需要得到上面问题非常弱解的存在唯一性结果.

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[6]PACARD F. Existence and convergence of positive weak solutions of in a bounded domains of [J]. Calc Var Partial Diff Equ， 1993， 1（3） ： 243-265.

[7]QUITTNER P， SOUPLET PH. A priori estimates and existence for elliptic systems via bootstrap in a weighted Lebesgue spaces [J]. Arch Ration Mech Anal， 2004， 174（1）： 49-81.

[8]CABRE X， SIRE Y. Nonlinear equations for fractional Laplacians I： regularity， maximum principles， and Hamiltonian estimates [J]. Ann Inst H Poincar＼'{e} Anal NonLin＼'{e}aire， 2014，31（1） ： 23-53.

摘要：定义了在所谓的具有一片平的边界的有界光滑区域内退化线性椭圆的非常弱解的概念，然后利用变法方法与退化椭圆方程的极值原理等证明了该问题非常弱解的存在唯一性结果.

关键词：存在性； 唯一性； 非常弱解； 退化椭圆方程

中图分类号：O175.25文献标识码：A

他们需要得到上面问题非常弱解的存在唯一性结果.

[1]QUITTNER P， REICHEL W. Very weak solutions to elliptic equations with nonlinear Neumann boundary conditions [J]. Calc Var Partial Diff Equ，2008，32（4）： 429-452.

[2]BIDAUTVERON M F， PONCE A， VERON L. Boundary singularities of positive solutions of some nonlinear elliptic equations [J]. C R Acad Sci Paris Ser I Math， 2007，344（2）： 83-88.

[3]HU B. Nonexistence of a positive solution of the Laplace equation with a nonlinear boundary condition [J]. Differential Integral Equations. 1994，7（2）： 301-313.

[4]MCKENNA P J， REICHEL W. A priori bounds for semilinear equations and a new class of critical exponents for Lipschitz domains [J]. J Funct Anal， 2007，244（1） ： 220-246.

[5]PACARD F. Existence de solutions faibles positive de dans des ouverts bornes de [J]. C R Acad Sci Paris Ser. I Math， 1992，315（7） ： 793-798.

[6]PACARD F. Existence and convergence of positive weak solutions of in a bounded domains of [J]. Calc Var Partial Diff Equ， 1993， 1（3） ： 243-265.

[7]QUITTNER P， SOUPLET PH. A priori estimates and existence for elliptic systems via bootstrap in a weighted Lebesgue spaces [J]. Arch Ration Mech Anal， 2004， 174（1）： 49-81.