多边形的面积复习课

2024-11-13

多边形的面积复习课（精选16篇）

1.多边形的面积复习课篇一

《多边形的面积复习课》教学设计

安徽省黄山市黄山区甘棠中心学校吕彩虹（初稿）

安徽省黄山市教科院高娟娟（修改）安徽省黄山市黄山区教研室齐胜利（统稿）

教学内容：人教版小学数学教材五年级上册第113页第2题及相关练习。教学目标：

（一）知识与技能

复习已学的多边形面积的计算公式。

（二）过程与方法

利用转化思想，推导出平行四边形、三角形和梯形的面积计算公式，将各种组合图形的面积转化为已学的多边形面积并加以计算。

（三）情感态度和价值观

加强知识间的联系，培养学生综合运用各种知识解决问题的能力。目标解析：本学期所学的平行四边形、三角形和梯形的面积计算公式都可以从长方形的面积计算公式推导而来。理解推导的过程，对加强知识间的内在联系、掌握转化的数学思想方法起着重要的作用。掌握了这些，学生今后即使忘记某个多边形的面积计算公式，也可自行推导得出。在计算组合图形的面积时，可以鼓励学生采用不同的方法进行计算，提高学生解决问题的能力。

教学重点：利用转化思想掌握多边形面积的计算公式。

教学难点：采用不同方法计算组合图形的面积，提高综合应用知识解决问题的能力。教学准备：教具：课件；

学具：每人准备两个完全相同的三角形、梯形和一个平行四边形。教学过程：

一、创设情境，引出新课

李爷爷有一块地，种了三种蔬菜，是哪三种呢？我们一起去看看（课件出示图片）。

教师引导学生发现信息与问题。

信息：种茄子的是一块三角形的地，底长15 m，高是32 m；种黄瓜的是一块平行四边形的地，底长25 m，高是32 m；种西红柿的是一块梯形的地，上底是15 m，下底是23 m，高是32 m。

问题：茄子、西红柿和黄瓜各种了多少平方米？这块地共有多少平方米？

【设计意图】通过情境的创设，拉近数学与生活的联系，使学生产生亲切感，产生学习的兴趣。

二、解决问题，复习方法 1．三角形的面积=底×高÷2 =15×32÷2 =240（平方米）

思考：计算三角形的面积时，为什么要除以2呢？（出示两个完全相同的三角形，请同学拼一拼，明白三角形的面积就是两个完全相同的三角形所拼成的平行四边形面积的一半。）2．平行四边形的面积=底×高

=25×32 =800（平方米）

思考：为什么平行四边形的面积是“底×高”，而不是“底×斜边”呢？（沿平行四边形的高减下三角形，就可以拼得一个长方形。长方形的一边是平行四边形的底，长方形的另一边就是平行四边形的高。）3．梯形的面积=（上底+下底）×高÷2 =（15+23）×32÷2 = 608（平方米）

思考：有谁能说一说梯形的面积公式是怎样得来的？

（用两个完全相同的梯形可以拼成一个平行四边形。平行四边形的底就是梯形的“上底+下底”，平行四边形的高就是梯形的高，梯形的面积是拼成的平行四边形面积的一半。）4．你能用不同的方法求出李爷爷菜地的总面积吗？学生独立解决问题再汇报。方法一：总面积=三角形的面积+平行四边形的面积+ 梯形的面积

=240+800+608 =1648（平方米）

方法二：三种图形组合成一个梯形，上底是（25+23）米，下底是（15+25+15）米，高是32米。

总面积=[（25+23）+（15+25+15）]×32÷2 =1648（平方米）

【设计意图】在呈现简单实际问题的情境中，让学生在解决问题的过程中，回顾了多边形面积计算公式的相关知识和推导面积计算公式的方法，既巩固了多边形的面积计算，又发展了学生迁移、转化的方法和思想。带着问题动手操作，使抽象的知识形象化，进一步唤起对旧知的回忆。用不同的方法求菜地的总面积，让学生进一步感受到解决问题的多样化，训练了学生的思维。

三、巩固练习，应用拓展

1．课件出示教材第116页练习二十五第7题。

（1）学生独立解题。（2）汇报评价。

2．课件出示教材第116页练习二十五第8题。

（1）学生独立解题。（2）汇报评价。

指名说清计算过程中的每一步所表示的意义。既可分段列式，也可以综合列式。3．课件出示教材第116页练习二十五第9题。

（1）学生独立解题，教师巡视，适当指导。（2）小组交流汇报，教师评价。

4．课件出示教材第116页练习二十五第10题。

（1）题目给出什么条件，要求什么？

（条件：小方格的边长为1 cm。要求：组合图形的面积。）（2）学生自主尝试解决问题后，小组交流。

（3）学生汇报自己是怎么想的，教师评价。【设计意图】第7题与第8题属于基础题，通过解决生活中的简单问题巩固平行四边形及梯形面积的计算公式，让学生进一步熟练面积计算公式；第9题的难度有所加大，体现运用不同方式解决问题的思想，充分体现了开放性，既可通过“割”的方式，也可通过“补”的方式来计算，方法三难度相对较大，需要教师引导学生找到三角形的高，让学生感受解决问题的多样性；第10题更为灵活开放，学生先确定方法，再找出相应的长度计算，通过学生汇报自己的思考方法，优化认知，形成共识。

四、全课总结

这堂课你巩固了什么知识？你有什么新的收获？

【设计意图】将有关多边形面积的知识再次进行系统回顾，既加深印象，又将复习中获得的新知表达出来，让同学们共享，使其对知识的认知再次得到提升。

2.多边形的面积复习课篇二

一、整合——构建知识网络

对所学知识进行总结, 并将其整合到一个易于描述和应用的网络之中, 是学生数学学习过程中的重要环节。平时的每一节课由于有知识点教学的任务, 不可能让学生很快就建构起知识网络, 而复习课则有利于帮助学生建立数学知识网络。因此, “整合”是复习课的关键, 但不同年级的学生整合知识的主体不同。对于低学段的学生, 知识点必须由教师帮助进行整理、提升, 而中高学段的学生, 应逐步成为整理知识的主角, 让学生经历自主整理知识的过程, 然后通过交流、对比、补充, 构建一个条理清晰的知识网络。五年级上册“多边形面积”的复习课, 我们就可以做这样的设计。

片段一:梳理知识, 形成系统

1. 本单元我们都学习了哪些平面图形的面积计算? (随着学生的回答, 出示平行四边形、三角形、梯形。) 请同学们把这些图形的面积计算公式写在相应的图形卡片上。

2. 提出问题:这些图形的面积公式是怎么推导的?请同学们回忆它们的推导过程, 把本单元的知识进行整理, 可以用图形卡片摆, 也可以在本子上画图、列表表示。

3. 学生自主整理, 教师巡视并注意个性化的、有代表性的表达形式。

4. 学生汇报交流。教师展示学生个性化的表达形式, 让学生说明为什么这样整理 (学生解释的过程, 其实就复习了面积公式的推导过程) , 全班再进行评议、补充, 指出各种不同整理形式的优缺点。

5. 教师出示课本上的网络图, 让学生与自己整理的图进行比较。

先引导学生从右往左看, 着重强调“转化”是解决数学问题的重要方法。再让学生把这张图竖起来看, 从中感受到长方形好像是一棵大树的树干, 是学习其他平面图形的基础。

现代认知心理学告诉我们, 认知结构是知识和智力统一发展的中介和产物。如果教师提供的知识内容是零散的、杂乱无章的, 不仅不能发展学生的智力, 反而会扼杀学生的智力。片段一的教学, 可谓高屋建瓴, 学生自主回顾本单元的学习内容, 并以自己能够理解的形式构建知识网络, 通过同学间个性化表达形式的交流、碰撞, 在与课本知识网络图的比较中, 学生不断调整、完善、扩充自己的认知结构, 从而沟通了平面图形面积计算公式之间的联系, 串点成线, 促进学生把相关知识点融入知识系统中, 形成良好的认知结构, 使本单元所学知识条理化、系统化、结构化。

二、提升———发展数学思考

培养和提升学生的数学思考是数学教学的一项重要任务。复习课在学生梳理复习了主要知识点后, 练习成了重要的数学活动。复习课中的练习, 既是学生进一步巩固知识点、沟通知识间的联系的过程, 又是应用知识、发展能力、拓展思路的过程。精心设计复习课的练习是提高数学复习课效率的重要一环。一般情况下, 我们除了选择学生平时出错较多和能体现典型解题思路的习题进行专项练习外, 更多的是要注意练习的综合性, 以提高学生综合应用知识分析和解决实际问题的能力。“多边形面积的复习”一课, 我们可以设计如下两道综合练习。

片段二:综合练习, 巩固提升

1. 出示课本第96页第2题:求下面多边形的面积, 你能用几种方法解答? (单位:厘米)

(1) 学生独立完成。

(2) 全班交流。交流中应关注方法的多样化与合理性。

(3) 反思小结:同学们刚才用了多种方法解答这一问题, 在多种方法中, 有一个共同的思考方法———转化。把组合图形转化成基本图形, 也就是把复杂的图形转化成简单的组合。

2. 下面每一小方格表示1平方厘

米, 请在格子纸中分别画出面积是12平方厘米的平行四边形、三角形, 想想怎样画得又对又快。 (方格图略。)

(1) 学生独立完成。

(2) 全班交流。

(1) 引导学生进行纵向观察并交流。

A.怎样画平行四边形。在学生呈现多种答案之后, 教师追问:还能再画出面积是12平方厘米的不一样的平行四边形吗?有多少种画法?教师根据学生回答呈现整理后的表格 (如下) 。

再次追问:能用一句话表达出什么样的平行四边形面积都是12平方厘米吗?

B.怎样画三角形。在学生呈现多种答案之后, 教师追问:还能再画出面积是12平方厘米的不一样的三角形吗?有多少种画法?教师根据学生回答呈现整理后的表格 (如下) 。

再次追问:能用一句话表达出什么样的三角形面积都是12平方厘米吗?

C.怎样画梯形。在学生呈现多种答案之后, 教师再次追问:还能再画出面积是12平方厘米的不一样的梯形吗?有多少种画法?高是3厘米的梯形有几个?高是4厘米的呢?最后达成共识, 只要上下底的和与高的乘积是24平方厘米都可以, 而且, 等高、等面积的梯形都可以画无数个。比如:

(2) 引导学生进行纵向观察并交流:观察三张表格, 当高相等时, 它们底之间有什么关系?为什么会有这种关系, 由此你发现什么规律?

(3) 追问:刚才我们画出了许多面积相等但形状不同的三角形、平行四边形和梯形, 它们的周长会相等吗?

这两道题的练习起到了举一反三、触类旁通的作用。画图、计算、交流相结合, 以数学思维的形式对已学的知识进行抽象与概括, 使之上升为具有普遍意义的数学结论, 使学生真正理解和掌握数学知识, 发展了数学思维。

第一道题, 学生先要用割、补方法将组合图形转化成已学过的图形, 然后根据图形面积公式寻找所需要的条件, 最后求解。这样, 不仅加深了对图形面积公式的理解和灵活应用, 而且再一次凸显转化的思想方法在解决实际问题中的作用。同时, 让学生在多样化解法的交流、比较过程中感受到了解决问题策略的丰富性、思考问题角度的多样性, 从而培养学生思维的深刻性和敏捷性。

第二道题, 一方面让学生逆向思考面积计算方法, 通过已知面积来确定图形的相关长度。另一方面, 在引导学生进行横向比较中, 借助“能用一句话表达出什么样的平行四边形、三角形、梯形面积都是12平方厘米吗”这一追问, 让学生跳出具体数字的局限, 进行抽象、概括、提升, 使解题活动不停留于经验、模仿的层面上, 而是在更高层次上的再概括, 大大丰富了学生的数学思考, 知识的巩固也从形式、肤浅走向了实质、深刻。而在纵向比较中, 则让学生从实例中弄清了图形之间的联系与区别, 使类似“三角形的底应是等积等高平行四边形底的两倍”这一难理解的规律性知识具体化并深化了对公式的理解。而且, 在这个过程中, 教师的追问为学生提供思考、交流的时间与空间, 学生在充分观察、比较、分析和交流中, 不断修正、反思, 提升了自己的认识, 深化了对公式的理解, 实现了知识的内化, 促进了数学思维的发展。

3.教学多边形面积的反思篇三

一、正视教学教育效果，对学生保持一种积极向上的评价

面对不同层次的学生对他们学完多边形的考查结果要有乐观的态度。学生认识图形面积是一个渐进的过程，从长方形、正方形、到平行四边形、三角形、梯形、组合图形的面积，学生认识水平在不断提高，思维过程在不断的深入，解决问题的情境在复杂化。教师应把握好这一关键的过渡期，特别是处理学生计算三角形、梯形的面积时更应让学生积极参与实践操作，从具体到本质，循序渐进、做好个别辅导，突破性的发展学生的思维。在三角形、平行四边形中，做好具体教学的同时，更多的做好学生从具体到抽象的过渡，特别要注意各层次学生的分层提高，重视反复性。教师应予一种发展积极的态度评价每一个学生的成绩，对他们客观存在的问题做到心中有数。

二、在教学方法上，变被动为主动，让学生从具体、大家熟悉的经验材料上下手

首先，老师应不惜花时间，搜集学生日常生活熟悉的图形，倾听他们的诉说，感受他们解决问题的方法。特别在教学组合图形，让每一个学生把自己独特的想法告诉大家，即使他们想法具有幼稚性、错误性的存在，也要让学生真正感受生活中数学。老师要充分应用现代化的手段，把那些陌生的教学内容通过这些手段加以展示。注意保护学生的自尊心，老师在教学中应以一种朋友式谈论让他们活跃在课堂中，不要对学生的错误加以过多的批评

指责。

其次，老师和学生一起整理工作，进行自主研究性学习的培养，引导每一个学生树立科学思维，掌握解决一般问题的方法。把学生搜集的有关信息以统计表的形式呈现给每一个学生，对有价值的信息加以应用、说明，让学生积极参与到解决问题的每一个环节。

最后，老师通过全体学生共同努力，共同参与、共同交流高度发现每一个学生的优点。根据教学过程的出现积极因素，增进学生对数学的兴趣。在交流过程中，教师从与学生交流中，老师更能了解每个学生思维的特点，解决问题的采用的方式等，老师更能对准确地了解学生各个方面发展的真实水平。为在教育、教学中有针对性的因材施教，在个性发展过程更尊重他们的特殊性奠定基础真正实现学生、教师的共同发展，做到教学相长。

三、老师在知识深广度上，控制其度

首先，老师要稳步推进各层次学生的全面发展，体现各个学生学到有价值的数学知识促进全体学生个体的和谐发展。

其次，教师根据学生的学习过程全方位的反馈，针对各层次的学生，老师应采取灵活的策略，坚持面向全体抓好后进生的前提下，对有余力的学生，向纵深拓展。

最后，老师高度重视学生的思维训练。组合图形中应用割补法是解决图形面积的基础，老师教学时，保证充足的思维时间，在解决问题的每一个环节都要细化，展示解决问题的全过程，最大限度的让学生理解每一步，。在学生掌握的基础上训练学生的灵活性，促进学生的发展。

四、尊重每一个学生，平等、公正的对待每一个学生

老师要放下威严，倾听学生的交流发言，哪怕是错误的陈述，不离开学习主题，只有这样真正才了解学生的真实水平。宽容才能博得学生的尊重，才能听你教育，才能积极把精力集中课堂。赞许目光、鼓励的语言、融洽的环境，更有利于每一个学生的成长。打造良好的班级氛围，老师必须是在尊重学生的前提下，教学过程更应体现这一要求。老师在搜集材料时，调动学生的积极性，发挥每一个学生的聪明才智，重视他们的参与性；教学过程中，重视学生的主体性、师生的互动性；教学结果的多样性、发展性。

五、关注每一个学生的发展

学生的发展是全方位的，知识、技能、态度价值体系多方面的协调进步，老师不仅重视知识技能，还要注意情感、世界观的发展。只有后者得到了发展，才能更加积极调动学生自身的积极性，这样又促进了学生的和谐、全面、健康、活泼发展。老师发现基礎差，先补一补基础，再进行新课教学，事半功倍；学生积极性高，老师教学进行顺利。同时，老师和学生之间的距离也近了，师生互动就增强，老师的教学效果更好。

六、搭建平台，解开留守儿童的心结

由于留守儿童大多存在或多或少的心理问题，又无法得到家长的关注和引导，而现在的监护人往往都只关心生活，不关心心理的需求，因此容易发生心理障碍。为及时了解、排除这些心理障碍，教师在班级开设了“悄悄话信箱”，建起“心灵的驿站”，帮助留守儿童解决无人倾诉，无处倾诉的问题，与学生“结对子”，帮助解开心灵的疙瘩，还定期举办心理健康教育讲座和关爱留守学生的主题班队会，为提高心理素养搭建了良好的平台。教学过程中，老师给予他们更多的展示机会，相信他们，发展他们，使他们快乐成长。

4.《多边形面积复习》教学反思篇四

本节课是复习课，主要目标是：

1、通过整理和复习，使学生进一步理解和掌握多边形面积计算公式,能正确、灵活地运用公式进行有关计算，解决一些简单的实际问题。

2、通过操作、观察、比较，发展学生的空间观念，建立良好的知识结构，培养学生的创新意识。教学重点是整理完善知识结构、灵活解决实际问题。教学难点是掌握多边形面积公式之间的联系。

课堂上从回忆学过那些平面图形以及它们面积的计算公式入手，逐步的让学生回忆各种图形面积公式的推导过程，并可见展示各种推导过程，让学生、再经历一遍动手实践的过程，加深对面积公式的理解，明确图形之间的联系。最后总结方法，让学生能明确要研究一个新图形都可以转化成旧图形，转化图形的面积的方法有哪些（割补法、加一加、减一减等）。教学中注重渗透转化思想。

练习题主要选取学生的易错题、容易混淆的概念等，而且安排了应用问题、判断题、用间接条件求面积，反映图形之间联系的问题等，与前面的复习内容相呼应。

5.多边形的面积复习课篇五

一、目标定位。学生在新知、单元复习后进入了总复习阶段。这节课我主要是对这一单元进一步理解、记忆、总结，融会贯通，完善学生的认知结构。

二.、知识梳理。梳理就是引导学生主动构建知识网络，复习不是把前面知识进行联系的过程，也不是知识的再现，而是获得整理知识建构知识网络的过程。课前我通过了解发现，学生对公式的应用比较熟练，但对公式的推导过程有些遗忘。所以在设计中，我通过动手操作让学生回忆五种平面图形的面积计算公式及他们的推导过程，唤醒学生的记忆，为帮助学生建立概念图提供了必要的准备。为了帮助学生从整体上把握知识内容，在整体中了解各部分知识的生成和发展，以及它们之间的联系，能够很好的帮助学生重组知识结构，我通过知识网络结构图，不但把知识系统化的归纳整理，还将转化思想对今后探究新图形面积时的作用进行渗透。

三.、应用。引导学生用所学的知识解决问题，是复习课的目的之一。通过应用帮助学生形成对知识的更深层次的理解，提高学生磷火运用知识解决问题的能力，我的复习课应用是分层进行，第一层次是简单运用，夯实基础。第二层次是综合运用，解决问题。让学生再练习中进一步形成知识网络。在这里，为了激发学生的兴趣，我设计了开辟农场菜地这一热门话题，将本单元主要题型融入其中，一题多变，整节课提供了一个接一个的情景，让学生时时有新奇，时时有兴趣。

四.、拓展。复习不能仅仅停留在已有的基础上，应该在基本知识技能方面得到拓展让学生在复习旧知的同时有新的收获，同时也是对学生的知识进行查缺补漏。

6.多边形的面积复习课篇六

武实小分校：唐英

一、教学目标

1.引导学生回忆、整理平面图形的周长和面积的意义及其计算公式的推导过程，能熟练地应用公式进行计算。

2.引导学生探寻知识之间的相互联系，构建知识网络，加深对知识的理解，并从中学会整理知识，掌握学习方法。

3.让学生在解决问题的过程中体验学习数学的乐趣，培养创新意识。

二、教学重点难点：

1.教学重点：复习近平面图形的周长、面积的计算公式及推导过程，并能熟练地应用公式进行计算。

2.教学难点：探索计算公式间的内在联系，构建知识网络。

三、教学过程

（一）谈话引入，明确概念

1．同学们，到目前为止，我们学习了哪些平面图形？

预设：长方形，正方形，平行四边形，梯形，三角形，圆等。

教师通过课件将图形呈现出来。

2．什么是平面图形的周长和面积呢？

周长：封闭图形一周的长度，是它的周长。面积：物体的表面或围成的平面图形的大小。3．请学生来指一指各平面图形的周长和面积。

4．揭示课题：今天我们就一起来复习近平面图形的周长和面积。

【设计意图】让学生说一说、指一指平面图形的周长和面积，使学生明确平面图形的周长和面积的含义，为后续复习近平面图形做好坚实的铺垫。

（二）回顾计算公式

1．复习近平面图形的周长。

（1）请学生计算出各个平面图形的周长。（2）哪几个图形的周长可以用公式来进行计算？各图形的计算公式是怎样的？

长方形的周长=（长+宽）×2，用字母表示是C=2(a+b)；正方形的周长=边长×4，用字母表示是C=4a；

圆的周长=圆周率×直径=2×圆周率×半径，用字母表示是C=πd 或 C=2πr。

（3）长方形的周长为什么用长与宽的和乘以2来计算？正方形的周长为什么是边长乘以4？

圆周长的计算公式中的“π”是什么意思？

平面四边形、三角形和梯形这三个图形没有计算周长的公式，我们可以怎么来求周长？

2．复习近平面图形的面积。

（1）a.计量面积的面积单位有哪些？

b.让学生用手势比一比1平方厘米、1平方分米、1平方米的面积有多大。

c.这些面积单位之间的进率是多少？

（2）计算下列各个平面图形的面积。

（3）各平面图形的面积计算公式是怎样的？长方形的面积=长×宽，用字母表示是S=ab；

正方形的面积=边长×边长，用字母表示是S=a2,；平行四边形的面积=底长×高，用字母表示是S=ah；三角形的面积=底长×高÷2，用字母表示是S=ah÷2；

梯形的面积=（上底长+下底长）×高÷2，用字母表示是S=(a+b)h÷2；圆的面积=π×半径×半径，用字母表示是S=πr2。

（4）这些平面图形的面积公式是如何推导出来的呢？请同桌两人互相说一说。

3．（1）根据平面图形的周长和面积的推导过程，请将横线的内容补充完整。

（2）刚才我们结合推导过程梳理了图形间的关系。这些平面图形中，除了由曲线围成的圆以外，其余的五个平面图形的面积公式可不可以统一成一种图形的面积公式呢？

引导学生观察后得出结论：面积公式可以统一成梯形的面积的公式，即S=（a+b）h÷2。

（三）巩固练习

1．仔细观察，每组中的两个图形的面积相等吗？

2．判断下面的说法是否正确，错误的请说明原因。（1）三角形的面积等于平行四边形的面积的一半；

（2）同底等高的三角形的形状不一定相等，但它们的面积一定相等；（3）半径是2厘米的圆，它的周长和面积相等。

3．画一画，算一算。

在一个长12.4 cm，宽7.2 cm的长方形纸中，剪半径是1 cm的圆，最多能剪多少个？

（四）课堂小结

7.多边形的面积复习课篇七

课程标准实验教科书 (苏教版) 第九册第22～24页。

教学目标

1.整理多边形面积计算公式、推导过程及它们之间的相互联系, 帮助学生形成良好的认知结构, 体会转化数学思想。

2.将数学问题与生活实际紧密结合, 培养学生用已有知识解决简单实际问题的能力, 让学生形成积极的学习情感。

教学过程

一、从生活中来

1.出示学校北门边上一块空地的照片, 提问这是什么地方?

2.学校想利用这块空地建一个小型运动场, 有乒乓球场、篮球场等等。如果让你们来设计这个运动场, 需要了解哪些信息? (这块空地的长和宽等等。)

3.日常生活中, 我们经常会用到多边形面积计算的知识, 先复习一下“多边形面积计算公式”。

评析:多边形面积计算复习课, 一般直接回忆面积公式, 然后利用公式进行练习。这样, 缺乏与生活实际的联系, 不能引起学生学习热情。从学校北门边的一块空地引入, 利用这块空地建一个小运动场, 这完全符合学生心理需求, 也贴近他们的生活实际。

二、架构生活与数学的联系

1.回忆一下, 我们已经学习过哪些平面图形?这些平面图形的面积公式还记得吗?用字母如何表示?

2.这些面积公式是如何推导出来的? (课件交互式演示, 学生说到哪一个图形就演示它的推导过程。)

(1) 平行四边形面积公式:把平行四边形沿高剪开, 然后平移, 可以拼成一个长方形。

追问:把未知的平行四边形转化成了已知的长方形。通过几个步骤转化? (板书:剪、平移、拼) 然后怎样推导?引导学生说一说推导过程。

(2) 三角形的面积公式:用两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形。

追问:需要通过几个步骤转化? (板书:旋转、平移) 然后怎样推导?

(3) 梯形的面积公式:用两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形。它的转化过程与三角形转化过程类似。

追问:如何根据平行四边形的面积公式推导出梯形的面积公式呢?

(4) 正方形的面积公式:因为正方形是特殊的长方形, 它的公式是由长方形面积公式直接推导出来的, 不需要转化。

(5) 长方形的面积公式:把长方形分成面积单位相同的小正方形, 然后用数方格的办法推算。数方格是最基本推算方法。

3.引导学生比较, 这几个图形转化方法一样吗?试着让学生说一说。

4.小结:通常把未知图形转化成已知图形, 根据已知图形的面积公式推导出未知图形的面积公式。

评析:多边形面积公式整理, 一般是长方形→正方形→平行四边形→三角形→梯形, 按照所学图形的先后顺序依次复习, 先说公式是什么, 怎样得到这个公式的, 再到用字母如何表示, 要注意些什么等等。这种复习没有从学生实际出发, 缺少了学生的自主思考, 不利于对这五种平面图形相互关联地理解。借助多媒体优势, 让学生主动回忆已学过的平面图形, 学生说到哪一种, 屏幕就出现这种图形。针对这个图形, 先让学生说一说面积公式和公式推导的过程, 同时采用交互式, 形象直观地演示面积计算公式的转化与推导过程。然后, 进一步引导学生思考它们之间的相互联系, 比较相同与不同之处, 使学生进一步理解多边形面积公式, 初步形成把未知图形转化成已知图形的思考策略。

三、到生活中去

1.学校北门的这块空地, 王华同学把它分成了几个区域。想请同学们分别算一算每一块地的面积: (1) 号保卫室; (2) 号双杠区; (3) 号乒乓球区; (4) 号医务室; (5) 号花圃。 (单位:米)

评析:这个问题设计与课的开头呼应, 展示王华同学设计的平面图。图中包括了已学过的五种平面图形, 让学生从这幅平面图中获取信息, 提取有用数据, 再运用面积公式计算每一块区域的面积。这比直接告诉学生图形和数据, 然后用面积公式计算更具有现实意义。本题解答难度虽不大, 但学生表现出参与计算的热情却很高。

2.下列图形是由边长6厘米的大正方形与边长4厘米的小正方形组成的, 求出每个图形中阴影部分的面积是多少平方厘米?说一说你的思考方法。 (为每一个图形标上数据, 当学生口算出答案后, 让阴影部分透明, 就能很清楚看出阴影部分的形状。)

评析:借助两个正方形求不同形状图形的面积, 这是对面积公式的提高运用。学生先要判断每一种图形阴影部分的形状, 然后选取有关数据, 并对数据进行加减处理, 再进一步运用公式进行计算;或者先计算整体面积, 再减去空白部分, 无论哪种思考方法对学生思维都具有一定挑战性。

3.学校还想建造一个面积是48平方米的花圃。请同学们设计花圃形状。

让学生独立思考, 然后在纸上画出设计图案, 最后全班交流。

张明同学设计了一种长方形图案, 长9米, 宽7米, 空白处是小路, 路宽1米。判断一下他设计的对吗?他是怎样想的? (先让学生说一说不同的思考方法, 再演示平移过程, 使学生清楚地理解算理并列出算式。)

如果花圃每平方米需要花费150元, 请你算一算, 建造这个花圃大约需要多少钱?通过计算, 你有何感想?

评析:这是一道开放题, 让学生自主设计面积是48平方米的图形。根据面积设计图形, 不同学生选择不同难度的图形, 长方形和平行四边形比较容易, 三角形和梯形相对较难。这样, 满足了不同层次学生的学习需求, 培养了学生逆向思考问题的能力。研究张明同学设计的图形, 这不是本课复习的基本图形, 需要对图形进行“改造”或“运动”, 通过平移两块空白的小长方形, 使复杂问题变得简单, 锻炼学生的思维能力。最后计算花圃需要花费的总钱数, 引起学生关注, 也对他们进行思想教育。

4.学校在不断发展, 周围的环境也在不断改善。请看一张照片, 这是什么地方? (出示学校南面300米处的园丁广场的照片。)

你们能估计一下这个喷水池的面积吗?该如何估算呢? (一种是把它看成三角形来估算面积, 另一种是把它看成梯形来估算面积, 两种估算的结果基本相同。)

8.一个四边形的面积引发的思考篇八

利用经典的基本图形来描述和分析问题，能把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果，这就是新课标2011版新增的核心概念“几何直观”.发展学生的“几何直观”能力，能使抽象思维同形象思维结合起来，充分展现问题的本质，突破数学理解上的难点，从而帮助学生深刻理解数学的内涵.

事实上，在图1中我们可以将△DBF、△EFC看成是由△ABC分别绕点B、C按逆（顺）时针旋转得到.图形的运动和变换往往会改变一些量，在解题教学中如果我们能引导学生寻找图形中的一些不变的量，这能揭示我们数学最本质的核心内容，既能解开学生心中的疑惑，又能培养学生的观察、分析、概括、归纳等能力.

9.多边形的面积教学设计篇九

一、填空 1．完成下表。

考查目的：平行四边形、三角形和梯形的面积计算及变式练习。答案：

解析：直接利用公式计算这三种图形的面积，对于学生来说完成的难度不大。对于已知平行四边形的面积和高求底、已知三角形的面积和底求高这两个变式练习，可引导学生进行比较，理解并强化三角形和梯形的类似计算中需要先将“面积×2”这一知识点。2．下图是一个平行四边形，它包含了三个三角形，其中两个空白三角形的面积分别是15平方厘米和25平方厘米。中间涂色三角形的面积是（）。

考查目的：等底等高的三角形和平行四边形的面积之间的关系。答案：40平方厘米。

解析：引导学生仔细观察图形，得出涂色部分三角形与整个平行四边形存在等底等高的关系，则该三角形的面积应为平行四边形面积的一半，据此进一步推导出涂色三角形的面积和两个空白三角形的面积之和相等这一结论。

3．有一批圆木堆成梯形，最上面一层有3根，最下面一层有8根，相邻两层相差1根，一共堆了6层，这堆圆木共有（）根。

考查目的：运用梯形的面积计算方法解决相关的实际问题。答案：33。

解析：根据“（顶层根数+底层根数）×层数÷2”进行解答。在此基础上，可引导学生用不同的方法对结果加以验证，重点分析采用等差数列求和的方法即“（首项+末项）×项数÷2”，这既是解决该题的基本数学模型，也能突出体现“数形结合”的思想。

4．如图的小花瓶中，1个小正方形的面积是1平方厘米，那么整个花瓶的面积是（）平方厘米。

考查目的：组合图形的面积计算。答案：5。

解析：通过转化，小花瓶左右两侧的部分可以组合成两个小正方形，再加瓶身的部分即可。也可采用计算的方法，由题意可得一个小正方形的边长为1厘米，则花瓶两边三角形的面积之和为2×1÷2×2=2（平方厘米），整个花瓶的面积为2+3=5（平方厘米）。

5．下图中，已知AB=BC=CD=EF=FG=GH=1 dm。

（1）平行四边形AEGC的面积和平行四边形（）的面积相等，是（）；（2）三角形AEC和三角形（）的面积相等，是（）；该三角形的面积和平行四边形（）的面积也相等；

（3）梯形CDHE的面积是（），和平行四边形（）的面积相等。考查目的：多边形的面积计算，相互之间的面积关系。

答案：（1）BFHD，4 dm2；（2）GEC，2 dm2；AEFB或BFGC、CGHD；（3）4 dm2，AEGC或BFHD。解析：综合考查学生运用所学知识解决问题的能力。对于学生读图能力的培养具有很高的利用价值，在练习中，教师还应强调用字母表示多边形时的规范要求。

二、选择

1．一个平行四边形相邻两条边分别是6厘米、4厘米，量得一条边上的高为5厘米，这个平行四边形的面积是（）平方厘米。A.24 B.42 C.20 D.30

考查目的：平行四边形的认识以及面积计算。答案：C

解析：根据平行四边形的特点，底边上的高一定小于另一条底边，所以高为5厘米对应的底为4厘米，再根据面积公式计算。在分析时，可让学生通过画图的方式得出类似结论并加以强化。

2．如图，四边形ABCD是一个梯形，由三个直角三角形拼成，它的面积是（）。

A.1.92 cm2 B.16 cm2 C.4 cm2 D.8 cm2

考查目的：对组合图形的分析，梯形的面积计算。答案：D

解析：重点是根据图形的特点确定这个直角梯形的上底和下底的长度。由题意可知：左右两个三角形都是等腰直角三角形，所以AB=2.4 cm，CD=1.6 cm，梯形的高BC的长度为2.4+1.6=4（cm），最后根据梯形的面积公式进行计算。3．如图，4个完全相同的正方形拼成一个长方形，对图中阴影部分三角形面积的大小关系表述正确的是（）。

A.甲＞乙＞丙 B.乙＞甲＞丙 C.丙＞甲＞乙 D.甲＝乙＝丙考查目的：三角形的面积计算。答案：D

解析：三角形的面积=底×高÷2，而图中甲、乙、丙3个三角形等底等高，所以面积都相等。也可以引导学生探索3个三角形与各自所在正方形的面积关系，发现每个三角形的面积都等于正方形面积的一半。

4．图中每个小方格表示1平方厘米，比较阴影部分的面积，（）图与其他三个图形不相等。

A.B.C.D.考查目的：组合图形的面积计算。答案：C

解析：根据图示分别求出四个阴影部分的面积：A图形的面积是3平方厘米；B图形的面积是3平方厘米；C图形的面积是2.5平方厘米；D图形的面积是3平方厘米。所以，C图阴影部分的面积与其他三个不相等。

5．如图所示，每个小正方形的面积为1 cm2，请你估计一下，这个米老鼠图片的面积约是（）cm2。

A.15 B.20 C.35 D.60

考查目的：利用组合图形的面积计算解决实际问题。答案：C

解析：认真分析图形，弄清图形所占的方格数是解答此题的关键。在分析讲解中，可引导学生说出自己的解题思路，鼓励不同的方法解答。这里介绍一种：从上往下看，小方格的个数约为2+6+8+4×3+3+4=35，所以图形的面积约为35平方厘米。

三、解答

1．模具厂车间里放着两块废弃的钢板（如图），请分别计算出面积。（单位：厘米）

考查目的：组合图形的面积计算。

答案：（1）（24+30）×24÷2+20×30÷2=948（平方厘米）

答：面积是948平方厘米。（2）10×15-（7+10）×4÷2=116（平方厘米）

答：面积是116平方厘米。解析：通过观察图形可知，第一块钢板的面积是梯形和三角形的面积之和，第二块钢板的面积是长方形的面积减去梯形的面积。通过读图，找出相关的隐藏条件，再运用公式进行计算。

2．图中已画出了一个三角形，请你在图上画出一个平行四边形，使平行四边形的面积是三角形的3倍；再画出一个梯形，使梯形的面积和所画平行四边形的面积相等。

考查目的：平行四边形、三角形和梯形的面积。答案：

解析：因为等底等高的平行四边形面积是三角形面积的2倍，由图形可知，平行四边形和三角形的高相等，要使平行四边形的面积是三角形的3倍，只要平行四边形的底是三角形底的1.5倍即可；在高相等的情况下，要使梯形的面积和平行四边形的面积相等，只要梯形的上下底之和的一半等于平行四边形的底即可。3．如图，梯形的面积是450 cm2，求阴影部分的面积。

考查目的：梯形的面积计算，三角形的面积计算。答案：450×2÷（5+25）=30（cm），30×25÷2=375（cm2）

答：阴影部分的面积是375 cm2。

解析：由题意可知，阴影部分是一个三角形，且底已知，只要求出高即可运用公式计算。而梯形的面积和上、下底已知，可以求出高（也即阴影部分三角形的高）。4．如图，一个平行四边形的一边长15厘米，这条边上的高为6厘米，一条线段将此平行四边形分成了两部分，它们的面积相差18平方厘米，求其中梯形的上底是多少厘米？

考查目的：平行四边形和梯形的面积计算。

答案：平行四边形的面积为15×6=90（平方厘米），则梯形的面积为（90+18）÷2=54（平方厘米），其上底为54×2÷6-15=3（厘米）。

答：梯形的上底是3厘米。

解析：先依据平行四边形的面积公式计算出整个图形的面积，将该面积加上18平方厘米再除以2就是梯形的面积，最后利用梯形的面积公式计算出上底的长。5．每个小方格的面积为1平方厘米，先估计下图中小鱼的面积大约是多少平方厘米，再用计算的方法加以验证。

考查目的：图形面积的估算，组合图形的面积计算。答案：估算的结果和计算的方法都不唯一，这里只提供一种思路作为参考，具体如下：

（平方厘米）

答：小鱼的面积是12平方厘米。

10.《多边形面积的计算》教学反思篇十

1、平行四边形面积计算，是学习习近平面几何初步知识的基础，要让学生通过剪、拼等方法了解平行四边形的底相当于长方形的长，平行四边形的高相当于长方形的宽，所以其面积公式是底乘以高，还要让学生理解高是底对应的高，以免计算是发生错误。

2、三角形面积计算，是在平行四边形面积计算的基础上得出来的，教学时要让学生知道三角形面积计算的推导过程，这样，学生在今后的答题中不会把三角形面积计算与平行四边形面积计算混淆。要让学生知道两个一样的三角形可以拼成一个平行四边形，因此，就可以得到：三角形的面积等于底乘以高除以2。

3、梯形面积计算，也是在平行四边形面积计算的基础上得出来的.，教学时也要让学生同样知道推导过程，可以尝试让学生自己推导。学生通过推导了解两个一样的梯形也可以拼成一个平行四边形，梯形的上底和下底的和相当于平行四边形的底，梯形的高相当于平行四边形的高。因此，也可以得到：梯形的面积等于上底加下底的和乘以高除以2。

4、组合图形的面积计算。让学生先要观察组合图形由哪些基本图形组合起来的，这样可以让学生把组合图形分割成几个基本图形，计算每个基本图形的面积，然后把每个基本图形的面积相加。这种方法称之为直接法。还要教给学生，如果计算每个基本图形的面积，由于受到已知条件的限制，无法计算时，应补组合图形，使它变成一个大的基本图形，然后通过计算大的基本图形的面积减去补的小的基本图形的面积，就可以得到组合图形的面积。这种方法称之为间接法，有时候也挺管用的。

11.多边形的面积复习课篇十一

本单元教材在编排上突出的变化是, 加强动手实践、自主探索, 让学生经历知识的形成过程, 使学生得到较多的有关空间观念的训练机会。首先, 每种图形面积计算方法的教学, 均采用让学生动手实验、自主探索得到。例如, 平行四边形的面积, 是先借助数方格的方法得到;再引导学生通过剪、拼图形, 将平行四边形转化为长方形, 推导出平行四边形的面积计算方法。其次, 按照知识学习的先后顺序, 逐步提高探索的难度和要求。三角形的面积计算就直接让学生试着将三角形转化为已学过的图形推导出面积计算公式。到梯形面积的计算时, 要求学生综合运用学过的方法自己推导出面积计算公式。第三, 研究每一种图形面积的计算方法时, 教材均没有给出推导的过程和计算公式, 以便于学生从多种途径探索、自己得出结论, 从而给教师和学生都留有较大的创造空间。基于以上的编排思路, 笔者对这个单元的教学作了深层次的思考。

一、注重前有孕伏, 感受化归思想

“转化”是数学学习和研究的一种重要思想方法, 本单元面积公式的推导都采用了转化的方法。教学中, 应以学生的探究活动为主要形式, 教师加强指导和引导。通过操作, 引导学生去探究所研究的图形与转化后的图形之间有什么联系, 从而找到面积的计算方法, 渗透“转化”的思想方法。

因此, 在本单元的教学中, 笔者补充了一节起始课:比较图形的大小, 让学生借助方格纸, 能直接判断图形面积的大小 (如图1) 。同时通过交流, 知道比较图形面积大小的基本方法:割补、平移、旋转, 体验图形形状的变化与面积大小变化的关系。本单元以“知识”与“思想”这一明暗两条线索牵动学生的思维。通过补充, 引导学生自觉地尝试运用数学思想方法解决问题的意识, 化归思想统领了整个单元。

二、实践几何变换, 发展空间观念

等积变换是几何学习中重要的思想方法, 也是数学推导与证明的一种重要手段。本单元从平行四边形转化为长方形, 从三角形、梯形转化为平行四边形以及计算组合图形的面积中都可以由等积变换中获取成功。

(一) 在探究中实行变换

在本单元的新课探究中, 这种等积变换的思想应成为探究过程的一条重要策略。

在三角形、梯形的面积计算公式推导过程中, 除了倍积变换的思路, 还可以引导学生采取割补的方法, 深度探索等积变换获得面积的计算公式方法。如在梯形面积计算教学中, 运用等积变换的思想来推导公式。

方法1:将梯形转化为两个三角形。

方法2:将梯形转化为一个三角形和一个平行四边形。

方法3:还可以分割中位线把它转化为平行四边形或者长方形。

无论是倍积变换还是等积变换, 它们的本质是一样的, 都运用了数学学习和研究的一种重要的方法——转化。对于平面图形面积计算公式的推导一般都采用转化的方法, 教师通过学生的操作活动, 启发学生把所学的图形转化为已经会计算面积的图形, 落实转化的思想方法;然后引导学生思考探究所学图形与转化成的图形之间有什么联系, 从而找到面积的计算方法。而在实际操作中, 似乎更多的学生喜欢用倍积变换的思想来推导计算公式, 这可能与教师提供的探究材料和探究建议有关, 因为教师往往已有意识地引导学生用两个图形来拼组, 如此看来, 学生就“被探究了”, 倍积变换确实是得到所求图形面积计算公式比较简单的方法, 但如何进一步促进学生的探究意识和能力需要在等积变换中实现。因此在教学中不妨这样设计:

比如, 在“三角形面积计算”教学中, 出示问题:一个三角形底是4厘米, 高是3厘米, 它的面积是多少?

将它放在方格纸中, 数一数, 它的面积是多少?你是怎样数的?

有了方格纸为背景, 学生就有探究思考的基础, 也有利于等积变换思想方法的实施, 并为后面梯形面积计算公式的推导打好基础。

(二) 在练习中实行变换

运用几何变换, 除了要求在新课的探究中, 不把学生的思维限制在一种固定或简单的途径或方法上, 鼓励学生从不同的途径和角度去思考和探索解决问题外, 还需要在练习中注重图形的变式, 注重培养学生思维的灵活性和深刻性。通过加强从形的层面积累经验, 凸现等积变形思想, 加强空间变换的应用, 积极创造本单元的新型习题, 提供应用机会, 帮助学生发展空间观念。

如在“三角形面积计算”的练习课中, 笔者设计了这样一道题:

一个长方形长4厘米, 宽3厘米, A为长方形内任意一点, 求阴影部分面积。

对于几何图形的变换需要想象, 从而发展学生的空间观念, 培养学生的能力。为此, 对于此题笔者根据运动的观点设计了三类题型, 先让学生观察变化中的三角形, 通过移动A点, 形成了不同的阴影部分, 通过观察这些三角形, 发现了它们的共同特点, 沟通了它们之间的联系。

(1) 常规情境 (如图2) :点在长方形内。

(2) 极端情境 (如图3) :点在长方形边上。

(3) 两类情况比较:学生用字母表示相关的图形信息, 并进行推导后, 比较两种情境的联系。让学生深刻感受到借助等积可以换一种角度进行思考。

进一步, 教师出示图3 (单位:米) , 计算阴影部分面积。由于求两个阴影三角形的面积和缺少条件, 学生或用代数的方法, 把下底的长度用 (a+b) 来表示 (如图5) , 然后进行推导。或利用等积变形的方法, 转化成如图6的形式后, 再计算阴影部分面积。

三、沟通知识联系, 提升思维品质

知识的有效达成建构, 是学生掌握与应用知识的重要手段。良好的认知结构有利于学生的及时提取并解决问题。为此, 教师一方面要在教学中通过渗透联系的观点, 凸现转化的思想, 实现知识的有效建构;另一方面要把握知识的本质联系, 提升学生的思维品质, 提高教学的有效性。

(一) 沟通图形面积的推导过程

本单元的图形之间有着密切的联系, 在整理复习课中, 通过让学生回忆各个图形面积的推导过程, 让学生体会到图形之间是可以互相转化的, 通过构建知识网络图, 让学生在头脑中形成一个联系网, 可以帮助学生更好地掌握和理解各个图形的面积计算方法。

(二) 沟通各种图形求积公式之间的联系

长方形、梯形、三角形和平行四边形的面积公式有着密切的联系, 笔者在教学中进行了这样的课件演示:梯形的上底慢慢缩短变成一个三角形;梯形的上底慢慢延长变成一个平行四边形;梯形的上底延长与下底相等且两腰互相垂直变成一个长方形。让学生发现梯形与三角形、平行四边形、长方形之间也存在着密切的联系, 并指出它们的面积公式间也有着密切的联系。例如通过梯形与各个图形之间的联系, 我们发现三角形、平行四边形、长方形的面积计算公式都可以联系梯形的面积计算公式。

12.多边形面积的计算第7单元篇十二

13.多边形的面积复习课篇十三

本单元教学中我本着：“以学生发展为本，以活动为主线，以创新为主导”的思想。让学生亲身主动地参与学习过程，经历学习中的问题的提出，探索解决问题的方法和途径，在经历中真正理解和掌握知识，体验成功的快乐，同时学生的自主学习能力、创新能力得到了培养。在教学策略上，把多边形面积公式的推导化为学生剪一剪、拼一拼、说一说的活动，通过小组活动、操作实践等手段借助多媒体的演示，帮助学生理解知识点，使抽象的知识变得直观形象。

平行四边形面积计算，是学习习近平面几何初步知识的基础，尤其是平行四边形面积公式的推倒，蕴涵着转化的数学思想，因此，在本单元教学中，我把平行四边形面积计算公式的推导过程作为教学的重中之重，课内给学生充足的时间进行操作和交流，在学生自主探究的基础上推导出计算公式。使学生在学习推导三角形、梯形面积公式时已成顺水推舟之势，轻松、愉悦，学生在模仿、迁移、推导的过程中，学会学习、学会思考，真正成为学习的主人。

14.多边形的面积复习课篇十四

每年的高考试题都是命题人员精心编拟的, 内涵丰富, 背景深刻.对其深入学习研究, 探究高考试题的命题规律, 用高考试题指导应试, 制定应试策略, 可提高复习的针对性、有效性.下面以解析几何为例, 看一看解析几何高考试题的一些命题特点.

一、三例高考试题

例1 (2008年全国卷Ⅱ理21) 设椭圆中心在坐标原点, A (2, 0) 、B (0, 1) 是它的两个顶点, 直线 y=kx (k>0) 与AB相交于D, 与椭圆相交于E、F两点.

(Ⅰ) 若 $\vec{E D} = 6 \vec{D F} ‚$ 求 k 的值;

(Ⅱ) 求四边形AEBF面积的最大值.

分析: (Ⅰ) 由已知得椭圆方程为

x2+4y2=4,

直线AB为 x+2y-2=0.

将 y=kx 分别与直线AB、椭圆的方程联立, 可得 $D = (\frac{2}{1 + 2 k} ‚ \frac{2 k}{1 + 2 k}) ‚ E (\frac{- 2}{\sqrt{1 + 4 k^{2}}} ‚ \frac{- 2 k}{\sqrt{1 + 4 k^{2}}}) ‚ F (\frac{2}{\sqrt{1 + 4 k^{2}}} ‚ \frac{2 k}{\sqrt{1 + 4 k^{2}}})$ .

由 $\vec{E D} = 6 \vec{D F} ‚$ 得

$\frac{2}{1 + 2 k} + \frac{2}{\sqrt{1 + 4 k^{2}}} = 6 (\frac{2}{\sqrt{1 + 4 k^{2}}} - \frac{2}{1 + 2 k})$

$\begin{array}{l} \Rightarrow k_{1} = \frac{2}{3} ‚ k_{2} = \frac{3}{8} . \\ (Ⅱ) | E F |^{2} = \frac{16 (1 + k^{2})}{1 + 4 k^{2}} \end{array}$ .点A、B到直线EF:y=kx 的距离分别为

$\begin{array}{l} d_{1} = \frac{2 k}{\sqrt{1 + k^{2}}} ‚ d_{2} = \frac{1}{\sqrt{1 + k^{2}}} . \\ S_{A E B F} = S_{△ A E F} + S_{△ B E F} \\ = \frac{1}{2} | E F | (d_{1} + d_{2}) \\ = \frac{2 (1 + 2 k)}{\sqrt{1 + 4 k^{2}}} . \\ S_{A E B F}^{2} = \frac{4 (1 + 4 k + 4 k^{2})}{1 + 4 k^{2}} = 4 + \frac{16 k}{1 + 4 k^{2}} \\ = 4 + \frac{16}{4 k + \frac{1}{k}} \leq 4 + \frac{16}{4} \\ = 8 . \end{array}$

当且仅当 $4 k = \frac{1}{k}$ , 即 $k = \frac{1}{2}$ 时, 四边形AEBF的面积S有最大值 $2 \sqrt{2}$ .

例2 (2007年全国卷Ⅰ理21) 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ 的左、右焦点分别为F1、F2, 过F1的直线交椭圆于B、D两点, 过F2的直线交椭圆于A、C两点, 且AC⊥BD, 垂足为P.

(Ⅰ) 设P点的坐标为 (x0, y0) , 证明: $\frac{x_{0}^{2}}{3} + \frac{y_{0}^{2}}{2} ＜ 1$ ;

(Ⅱ) 求四边形ABCD的面积的最小值.

略解: (Ⅱ) (1) 当BD的斜率不存在或斜率 k=0时, 四边形ABCD的面积

$S = \frac{1}{2} \times 2 \sqrt{3} \times \frac{4}{\sqrt{3}} = 4 .$

(2) 当BD的斜率 k 存在且不为0时, 将 y=k (x+1) 与2x2+3y2=6联立.

由弦长公式得 $| B D | = \frac{4 \sqrt{3} (k^{2} + 1)}{3 k^{2} + 2}$ .

同理由弦长公式可得

$\begin{array}{l} | A C | = \frac{4 \sqrt{3} (k^{2} + 1)}{2 k^{2} + 3} . \\ S = \frac{1}{2} | A C | \times | B D | \\ = \frac{24 (k^{2} + 1)^{2}}{(2 k^{2} + 3) (3 k^{2} + 2)} \\ \geq \frac{24 (k^{2} + 1)^{2}}{[\frac{(2 k^{2} + 3) + (3 k^{2} + 2)}{2}]^{2}} \\ = \frac{24 (k^{2} + 1)^{2}}{[\frac{5 (k^{2} + 1)}{2}]^{2}} = \frac{96}{25} . \end{array}$

当且仅当2k2+3=3k2+2, 即 k=±1时, 取等号.

或 $\begin{array}{l} S = \frac{1}{2} | A C | \times | B D | \\ = \frac{24 (k^{2} + 1)^{2}}{(2 k^{2} + 3) (3 k^{2} + 2)} \\ = 4 - \frac{\frac{2}{3}}{k^{2} + \frac{1}{k^{2}} + \frac{13}{6}} \\ \geq 4 - \frac{\frac{2}{3}}{2 + \frac{13}{6}} = \frac{96}{25} \end{array}$ .

取等号条件是 k=±1.

所以 $\frac{96}{25} \leq S \leq 4$ .

注:S既有最小值 $\frac{96}{25}$ , 还有最大值4.

研究高考、研究考纲要结合试题, 历年的高考试题不仅是练习的良好素材, 也是高考试题的生长点, 上面的例1、例2实际上是以下面的例3为题源编拟的.

例3 (2005年全国卷Ⅱ理21题) P、M、Q、N四点都在椭圆 $x^{2} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ 上, F为椭圆在 y 轴正半轴上的焦点, 已知 $\vec{Ρ F}$ 与 $\vec{F Q}$ 共线, $\vec{Μ F}$ 与 $\vec{F Ν}$ 共线, 且 $\vec{Ρ F} \cdot \vec{Μ F} = 0$ , 求四边形PMQN的面积的最小值和最大值.

分析:由 $\vec{Ρ F} \cdot \vec{Μ F} = 0$ 得PQ⊥MN, 所以四边形PMQN的面积

$S = \frac{1}{2} | Ρ Q | \times | Μ Ν |$ ;

(1) 当PQ、MN中有一者斜率为0, 另一者的斜率不存在时, 有

$\begin{array}{l} S = \frac{1}{2} | Ρ Q | \times | Μ Ν | \\ = \frac{1}{2} \times 2 \sqrt{2} \times \sqrt{2} = 2 . \end{array}$

(2) 当PQ的斜率存在且不为0时, 设其斜率为 k, 则有

PQ:y=kx+1, MN: $y = - \frac{1}{k} x + 1$ .

分别与椭圆联立, 由弦长公式, 可得

$\begin{array}{l} | Ρ Q | = \frac{2 \sqrt{2} (k^{2} + 1)}{k^{2} + 2} ‚ \\ | Μ Ν | = \frac{2 \sqrt{2} (k^{2} + 1)}{2 k^{2} + 1} . \\ S = \frac{1}{2} | Ρ Q | \times | Μ Ν | \\ = \frac{4 (k^{2} + 1)^{2}}{(k^{2} + 2) (2 k^{2} + 1)} \\ = 2 - \frac{1}{k^{2} + \frac{1}{k^{2}} + \frac{5}{2}} \\ \geq 2 - \frac{1}{2 + \frac{5}{2}} = \frac{16}{9} . \end{array}$

当且仅当 $k^{2} = \frac{1}{k^{2}}$ , 即 k=±1时, 取等号.

综上所述得 $\frac{16}{9} \leq S \leq 2$ .所以四边形PMQN的面积S的最小值为 $\frac{16}{9}$ , 最大值为2.

上面的三例高考题都是以均值不等式为工具, 求椭圆内接四边形面积的最值问题, 把椭圆换为抛物线, 也有类似的问题, 请看例4.

二、一例移植

例4 (2004年安徽文19) 设F是抛物线G:x2=4y 的焦点.

(Ⅰ) 过点P (0, -4) 作抛物线G的切线, 求切线方程;

(Ⅱ) 设A、B为抛物线G上异于原点的两点, 且满足 $\vec{F A} \cdot \vec{F B} = 0$ , 延长AF, BF分别交抛物线G于点C、D, 求四边形ABCD面积的最小值.

分析: (Ⅰ) 易求切线方程为

y=2x-4或 y=-2x-4.

(Ⅱ) 由题设知AC的斜率 k 存在且不为0, 故可设AC的斜率为 k, 则BD的斜率为 $- \frac{1}{k} .$

AC:y=kx+1, BD: $y = - \frac{1}{k} x + 1$ , 分别与 x2=4y 联立, 由弦长公式得

$| A C | = 4 (1 + k^{2}) ‚ | B D | = 4 (1 + \frac{1}{k^{2}}) .$

四边形ABCD的面积

$\begin{array}{l} S = \frac{1}{2} \times | A C | \times | B D | \\ = 8 (1 + k^{2}) (1 + \frac{1}{k^{2}}) \\ = 8 (k^{2} + \frac{1}{k^{2}} + 2) \\ \geq 8 (2 + 2) = 32 . \end{array}$

当且仅当 $k^{2} = \frac{1}{k^{2}}$ , 即 k=±1时, 取等号, 四边形ABCD的面积S有最小值32.

以上四题, 分别以椭圆、抛物线为载体, 但四题都是以均值不等式为工具求内接四边形面积的最值;四边形的面积或可转化为三角形的面积来求, 或四边形的对角线 (后三例) 互相垂直.这种现象是巧合吗?

三、试题特点

1.平面向量为语言.

2.均值不等式为主要工具.当 a>0, b>0时, $a + b \geq 2 \sqrt{a b} ‚ a b \leq (\frac{a + b}{2})^{2} .$

3.函数 $y = x + \frac{a}{x}$ 、 $y = \frac{k}{x}$ 的性质为辅助工具.

4.圆锥曲线为背景, 求四边形、三角形面积的最值为对象.

5.考查设而不求的思想, 韦达定理, 弦长公式.

6.综合性强, 运算量大, 能力要求较高, 对中学数学的四种主要思想:函数与方程的思想、数形结合的思想、分类讨论的思想、等价转化的思想都有考查.

通过对以上四例的学习、研究, 可探究高考解析几何命题的一些规律, 也学到了处理解析几何问题的常用思路、方法.

云南省祥云一中

15.《多边形面积》教学反思篇十五

《多边形面积》这一单元教学上周都已经结束并及时进行了测评。

回顾这一单元的教学，我个人比较注重学生参与知识的形成过程，即多边形面积公式的推导过程。这一单元的多边形主要是平行四边形、三角形、梯形三个图形。而每个图形面积公式的推导都是在前面已学的图形面积公式基础上学习的。在教学时，我一般提前让学生做好学具，如上平行四边形时，就让学生先剪好平行四边形，再通过引导提问引发学生思考：能否将平行四边形转化成我们以前学过的某个图形来研究呢？这之前，学生其实只学过长方形和正方形两种面积的求法，所以学生可以很快猜到转化成什么样的图形来研究，之后，我再放手让学生去尝试。当学生通过小组或同桌的交流将平行四边形转化成长方形后，我再进一步引导学生思考：现在的图形与原来的图形哪些地方有联系呢？这样我们可以得出平行四边形的面积公式是怎样的？也许有人会觉得有必要这样麻烦吗。结论是这么简单的，绕来绕去。可是这一推导过程其实对学生思维能力以及对数学这门学科趣味性和动手能力的培养是非常有价值，学生对公式的理解绝大部分都很透彻。后面三角形和梯形面积公式的推导过程都是按照这个模式来教学的。这多年来教这个内容我都坚持这么做，可能上这样的课我花费的时间要比别人多，但我觉得非常值。

但是经过测评，我也发现这一单元中学生存在许多共性问题：一是单位换算问题。这一单元都是有关面积的问题，自然和面积单位分不开，面积单位是学生三、四年级学得内容，时间长了，单位换算进率和方法一部分学生出现了遗忘，还有一部分一点都不记得（当初学时都糊里糊涂）。这学期我们重点是研究面积公式，所以我没有投入精力给学生复习，有大部分学生在这方面失分。另外解决问题时单位不统一学生没有注意到，这些说明学生审题不够细致所至。第二个问题是拼成的平行四边形和原有的三角形之前的关系，特别是等底等高这个条件学生的理解还不够，虽然我口头有作过强调，但这个知识点最初出现时，也就是在上三角形面积公式的推理时我没有重点突出来强调，导致学生理解得不够深刻，所以后来再讲效果也不太理想，这些以后再上时一定要注意。第三个问题是在组合图形面积求法中。一是找不准对应的条件，如三角形要找出对应的底和高，特别是一些复杂的图形，学生有困难，这些在平时教学中要加强引导学生去找，去认。二是运用分割法求组合图形的面积后来要合在一起，添补法最后要将补起来的大图形减掉小图形面积，这些中偏下的学生容易遗忘，平时教学时要加以强调。

16.《多边形的面积》的教学反思篇十六

《多边形的面积》是新人教版第六单元内容。这单元教学内容包括四部分：平行四边形的面积，三角形的面积，梯形的面积和组合图形的面积。

教学时我注重让学生经历面积公式的推导过程，让学生亲自经历数、剪、拼、摆的操作活动。在思维训练上注重渗透“转化”思想，引领学生运用“转化”的方法将新研究图形转化为已经会计算面积的图形，并通过对比探究新研究图形与转化后图形间有什么关系，从而得出新研究图形面积计算的方法。对于组合图形面积的计算，我则渗透了两种思维：一是将组合图形分成若干个已会计算面积的单一图形(分割法)，这几个单一图形面积总和便是这个组合图形面积;二是根据图形特征将这个组合图形补成已学过的一个单一大图形(添补法)，用这个大图形面积减去补充部分的图形面积便是原组合图形面积。

本以为这样教下来，学生掌握很好，等到本单元的综合测试结果一出来，让我大失所望，更感到我班后进生辅导工作的严峻与艰辛，也感觉到中下成绩学生学得很吃力。一是计算单一图形面积，有个别后进生能写对图形面积计算公式而不会将数据代入公式计算，如果图形是侧放的则无法找到相应的.底和高。而组合图形也就更让他们感到困难了，即使能将图形分成几个单一图形了，他们也无法正确找到相应的数据计算对单一图形面积。二是部分学生计算失误严重。三是单位的改写要么没有，要么出错。

【多边形的面积复习课】推荐阅读：

多边形面积复习课01-21

多边形面积的计算教案10-07

五上多边形的面积教案10-25

小学五年级数学上册《多边形的面积》教案02-11

多边形的面积教学设计(新苏教版五年级数学上册第二单元)07-30

二年级数学上《认识多边形》评课稿06-17

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