初中数学几何专题复习

2024-08-25

初中数学几何专题复习（共10篇）（共10篇）

1.初中数学几何专题复习篇一

几何专题

题型一考察概念基础知识点型

例1.如图1，等腰△ABC的周长为21，底边BC

＝

5，AB的垂直平分线是DE，则△BEC的周长为。

例2.如图2，菱形中，、是、的中点，若，菱形边长______．

图1

图2

图3

例3

已知AB是⊙O的直径，PB是⊙O的切线，AB＝3cm，PB＝4cm，则BC＝

．

题型二折叠题型：折叠题要从中找到对就相等的关系，然后利用勾股定理即可求解。

例4

分别为，边的中点，沿

折叠，若，则等于。

例5如图4.矩形纸片ABCD的边长AB=4，AD=2．将矩形纸片沿

EF折叠，使点A与点C重合，折叠后在其一面着色（图），则着色部分的面积为（）

A．

B．

C．

D．

图4

图5

图6

【题型三】涉及计算题型：常见的有应用勾股定理求线段长度，求弧长，扇形面积及圆锥体积，侧面积，三角函数计算等。

例6如图3，P为⊙O外一点，PA切⊙O于A，AB是⊙O的直径，PB交⊙O于C，PA＝2cm，PC＝1cm,则图中阴影部分的面积S是

（）

A.B

【题型四】证明题型：

第二轮复习之几何（一）——三角形全等

【判定方法1：SAS】

例1.AC是菱形ABCD的对角线，点E、F分别在边AB、AD上，且AE=AF。求证：△ACE≌△ACF

例2

正方形ABCD中，AC为对角线，E为AC上一点，连接EB、ED．（1）求证：△BEC≌△DEC；

（2）

延长BE交AD于F，当∠BED=120°时，求∠EFD的度数．

【判定方法2：AAS（ASA）】

例3

ABCD是正方形，点G是BC上的任意一点，于

E，交

AG于F，求证：．

例4如图，在□ABCD中，分别延长BA，DC到点E，使得AE=AB，CH=CD连接EH，分别交AD，BC于点F,G。求证：△AEF≌△CHG.【判定方法3：HL（专用于直角三角形）】

例5在△ABC中,AB=CB,∠ABC=90º,F为AB延长线上一点,点E在BC上,且AE=CF.(1)求证:Rt△ABE≌Rt△CBF

(2)若∠CAE=30º,求∠ACF度数.A

对应练习:1.在平行四边形ABCD

中，E为BC

中点，AE的延长线与DC的延长线相交于点F.(1)证明：∠DFA

∠FAB；(2)证明:

△ABE≌△FCE.2.如图，点是正方形内一点，是等边三角形，连接、，延长交边于点.（1）求证:；（2）求的度数.3．如图，已知∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D，CE与AB相交于F．

(1)求证：△CEB≌△ADC；(2)若AD＝9cm，DE＝6cm，求BE及EF的长．

第二轮复习之几何（二）——三角形相似

Ⅰ.三角形相似的判定

例1如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B.(1)求证：△ADF∽△DEC.(2)若AB＝4,AD＝3,AE＝3,求AF的长.例2如图9，点P是正方形ABCD边AB上一点(不与点A．B重合)，连接PD并将线段PD绕点P顺时针方向旋转90°得到线段PE，PE交边BC于点F．连接BE、DF。

（1）求证：∠ADP=∠EPB；（2）求∠CBE的度数；

（3）当的值等于多少时．△PFD∽△BFP？并说明理由．

2.相似与圆结合，注意求证线段乘积，一般是转化证它所在的三角形相似。将乘积式转化为比例式→比例式边长定位到哪个三角形→找条件证明所在的三角形相似

例3

如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交AC与E，交BC与D．

求证：（1）D是BC的中点；（2）△BEC∽△ADC；（3）BC2=2AB•CE．

3.相似与三角函数结合，①若题目给出三角函数值一般会将给出的三角函数值用等角进行转化，然后求线段的长度

②求某个角的三角函数值，一般会先将这个角用等角转化，间接求三角函数值

例4如图，点E是矩形ABCD中CD边上一点，⊿BCE沿BE折叠为⊿BFE,点F落在AD上.(1

求证：⊿ABE∽⊿DFE;(2)若sin∠DFE=,求tan∠EBC的值.练习

一、选择题

1、如图1，将非等腰的纸片沿折叠后，使点落在边上的点处．若点

为边的中点，则下列结论：①是等腰三角形；②；③是的中位线，成立的有（）A．①②

B．①③

C．②③

D．①②③

2.如图，等边△ABC中，BD=CE，AD与BE相交于点P，则∠APE的度数是（）

A．45°

B．55°

C．60°

D．75°

3.如图3，在中，，点为的中点，垂足为点，则等于（）

A．

B．

C．

D．

图4

图5

图6

图7

4.如图4，⊿ABC和⊿CDE均为等腰直角三角形，点B,C,D在一条直线上，点M是AE的中点，下列结论：①tan∠AEC=;②S⊿ABC+S⊿CDE≧S⊿ACE

;③BM⊥DM;④BM=DM.正确结论的个数是（）（A）1个

（B）2个

（C）3个

（D）4个

5.如图5，等边三角形ABC中，D、E分别为AB、BC边上的两个动点，且总使AD=BE，AE与CD交于点F，AG⊥CD于点G，则

．

6.如图6，已知点A、B、C、D均在已知圆上，AD∥BC，AC

平分∠BCD，∠ADC

120°，四边形ABCD的周长为10cm．图中阴影部分的面积为（）A.B.C.D.7.如图7，在直角坐标系中，将矩形OABC沿OB对折，使点A落在点

处。已知，则点的坐标是（）A、（，）B、（，）

C、（，）

D、（，）

三、解答题

1矩形ABCD中，点E是BC上一点，AE＝AD，DF⊥AE于F，连结DE.求证：DF＝DC．

2.如图，四边形ABCD是矩形，△PBC和△QCD都是等边三角形，且点P在矩形上方，点Q在矩形内．求证：（1）∠PBA=∠PCQ=30°；（2）PA=PQ．

3.点D为等腰直角△ABC内一点，∠CAD＝∠CBD＝15°，E为AD延长线上的一点，且CE＝CA．（1）求证：DE平分∠BDC；（2）若点M在DE上，且DC=DM，求证：

ME=BD．

4.如图5AB是⊙O的直径，AC是弦，CD是⊙O的切线，C为切点，AD⊥CD于点D．求证：（1）∠AOC=2∠ACD；

（2）AC2＝AB·AD．、5．

把一张矩形ABCD纸片按如图方式折叠，使点A与点E重合，点C与点F重合（E、F两点在BD上），折痕分别为BH、DG。

（1）求证：△BHE≌△DGF；（2）若AB＝6cm，BC＝8cm，求线段FG的长。

6．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB，点D是AC的中点，将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合，连结BE、EC．试猜想线段BE和EC的数量及位置关系，并证明你的猜想．

第二轮复习之几何（三）——四边形

例1.分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD、等边△ABE。已知∠BAC=30º，EF⊥AB，垂足为F，连结DF。（1）试说明AC=EF；（2）求证：四边形ADFE是平行四边形。

例2如图，AD∥FE，点B、C在AD上，∠1＝∠2，BF＝BC

⑴求证：四边形BCEF是菱形

⑵若AB＝BC＝CD，求证：△ACF≌△BDE

例3四边形ABCD是边长为2的正方形，点G是BC延长线上一点，连结AG，点E、F分别在AG上，连接BE、DF，∠1=∠2，∠3=∠4.(1)证明：△ABE≌△DAF；

（2）若∠AGB=30°，求EF的长.例4等腰梯形中，，延长到，使．（1）证明：；（2）如果，求等腰梯形的高的值．

【对应练习】

1.在菱形ABCD中，∠A=60°，点P、Q分别在边AB、BC上，且AP=BQ．

（1）求证：△BDQ≌△ADP；（2）已知AD=3，AP=2，求cos∠BPQ的值(结果保留根号)．

2、如图，是四边形的对角线上两点，．

求证：（1）．（2）四边形是平行四边形．

3．在一方形ABCD中．E为对角线AC上一点，连接EB、ED，（1）求证：△BEC≌△DEC：

（2）延长BE交AD于点F，若∠DEB=140°．求∠AFE的度数．

4.在梯形ABCD中，AD∥BC，延长CB到点E，使BE=AD，连接DE交AB于点M.（1）求证：△AMD≌△BME；（2）若N是CD的中点，且MN=5，BE=2，求BC的长.第二轮复习之几何（四）——圆

Ⅰ、证线段相等

例1：如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，CE⊥AB于

E，BD交CE于点F．

（1）求证：CF

=BF；（2）若CD

=6，AC

=8，则⊙O的半径为

___，CE的长是

___

．

O2、证角度相等

例2如图，是⊙O的直径，为圆周上一点，过点的切线与的延长线交于点．:求证：（1）；（2）≌．

3、证切线：证明切线的方法——连半径，证垂直。根据：过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线

例3如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD于点E，DA平分∠BDE。

（1）求证：AE是⊙O的切线。（2）若∠DBC=30°，DE=1cm，求BD的长。

例4如图，点A、B、C、D都在⊙O上，OC⊥AB，∠ADC=30°．（1）求∠BOC的度数；

（2）求证：四边形AOBC是菱形．

对应练习

1．如图，已知⊙O的直径AB与弦CD互相垂直，垂足为点E.⊙O的切线BF与弦AD的延长线相交于点F，且AD=3，cos∠BCD=

.（1）求证：CD∥BF；（2）求⊙O的半径；

（3）求弦CD的长.FM

2.如图，点D是⊙O的直径CA延长线上一点，点B在⊙O上，且AB＝AD＝AO．

（1）求证：BD是⊙O的切线．（2）若点E是劣弧BC上一点，AE与BC相交于点F，且△BEF的面积为8，cos∠BFA＝，求△ACF的面积．

1.一副三角板,如图所示叠放在一起,则图中∠的度数是（）

A．　　　　B．　　　　C．　　　　　D．

图1

图2

2．如图2，在边长为4的等边三角形ABC中，AD是BC边上的高，点E、F是AD上的两点，图中阴影部分的面积是（）A．4

B．3

C．2

D．

3.如图3，△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是

图3

图4

（A）3.5

（B）4.2

（C）5.8

（D）7

4.如图4，直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将如图那样折叠，使点与点重合，折痕为，则的值是（）

A．

B．

C．

D．

5.如图5，是等腰直角三角形，是斜边，将绕点逆时针旋转后，能与重合，如果，那么的长等于（）

A．

B．

C．

D．

6.图6，已知等边△ABC中，点D,E分别在边AB,BC上，把△BDE沿直线DE翻折，使点B落在点Bˊ处，DBˊ,EBˊ分别交边AC于点F，G，若∠ADF=80º，则∠EGC的度数为

图5

图6

图7

图8

7．如图，已知：在平行四边形ABCD中，AB=4cm，AD=7cm，∠ABC的平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F，则DF=______cm．

8．如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，对角线AC的垂直平分线分别交AD，BC于点E、F，连接CE，则CE的长________.9.如图，BD是⊙O的直径，OA⊥OB,M是劣弧上一点，过点M作⊙O的切线MP交OA的延长线于P点，MD与OA交于点N。（1）求证：PM=PN；（2）若BD=4,PA=AO,过B点作BC∥MP交⊙O于C点，求BC的长．

10．如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交BC于点P，PD⊥AC于点D，且PD与⊙O相切．

(1)求证：AB＝AC；(2)若BC＝6，AB＝4，求CD的值．

11．一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F=∠ACB=90°,∠

E=45°,∠A=60°,AC=10,试求CD的长．

12．四边形ABCD是边长为a的正方形，点G，E分别是边AB，BC的中点，∠AEF=90o，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．（1）证明：∠BAE=∠FEC；

（2）证明：△AGE≌△ECF；（3）求△AEF的面积．

13．如图，矩形中，．点是上的动点，以为直径的与交于点，过点作于点．

（1）当是的中点时：

①的值为______________；

②

证明：是的切线；

（2）试探究：能否与相切?若能，求出此时的长；若不能，请说明理由D

几何之——解直角三角形

1在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则tanB＝（）

A．　　B．　　C．　D．

2、在∆ABC中，若｜sinA-

|+(-cosB)2=0,∠A.∠B都是锐角，则∠C的度数是（）

A.750

B.900

C.1050

D.12003、如下左图，在△ABC中，∠C=90°，AB=13，BC=5，则sinA的值是（）

A、B、C、D、4如上右图，在四边形ABCD中，E、F分別是AB、AD的中点，若EF=2，BC=5，CD=3，则tanC等于（）

A、B、C、D、A

αA5、如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，设∠ADE=，且,AB

4,则AD的长为（）．（A）3

（B）

（C）

（D）

6在锐角△ABC中，∠BAC=60°，BD、CE为高，F为BC的中点，连接DE、DF、EF，则结论：①DF=EF；②AD：AB=AE：AC；③△DEF是等边三角形；④BE+CD=BC；⑤当∠ABC=45°时，BE=DE中，一定正确的有（）A、2个

B、3个

C、4个

D、5个

7.=

8.某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米，此时他与水平地面的垂直距离为米，则这

个破面的坡度为

.9.如图，已知直线∥∥∥，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上，则

直角三角形常见模型

张华同学在学校某建筑物的C点处测得旗杆顶部A点的仰角为30°，旗杆底部B点的俯角为45°．若旗杆底部B点到建筑物的水平距离BE=9米，旗杆台阶高1米，试求旗杆AB的高度。

2．海船以5海里/小时的速度向正东方向行驶，在A处看见灯塔B在海船的北偏东60°方向，2小时后船行驶到C处，发现此时灯塔B在海船的北偏西45方向，求此时灯塔B到C处的距离。

3某年入夏以来，松花江哈尔滨段水位不断下降，一条船在松花江某段自西向东沿直线航行，在A处测得航标C在北偏东60°方向上。前进100m到达B处，又测得航标C在北偏东45°方向上（如图），在以航标C为圆心，120m为半径的圆形区域内有浅滩，如果这条船继续前进，是否有被浅滩阻碍的危险？

图6

i=1:

4如图6，梯形ABCD是拦水坝的横断面图，（图中是指坡面的铅直高度DE与水平宽度CE的比），∠B=60°，AB=6，AD=4，求拦水坝的横断面ABCD的面积．（结果保留三位有效数字.参考数据：≈1.732，≈1.414）

2.初中数学几何专题复习篇二

高中立体几何以直观图, 空间基本图形 (点、线、面) 的位置关系, 简单体 (多面体和球) 和空间向量为载体, 在培养学生的空间想象能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流能力和几何直观感知能力, 以及运用数学思想方法, 特别是数形结合和化归与转化思想, 在解决问题方面有着十分重要的作用。所以, 在复习中, 我们要以提高学生上述能力为归宿。下面就高三立体几何的专题复习浅谈笔者的几点看法。

一、构建常规问题的求解模型

在线、面平行与垂直关系的相关论证, 空间角和空间距离的计算等重点问题上要勤于归类, 立足通行通法的训练。

对空间中线、面平行和垂直的论证, 空间角和距离的计算, 是高考的重点和热点, 对于这些问题的处理需要建立求解模型, 形成通行通法, 以适应题目的各种变形。

(一) 对线、面平行和垂直的论证应抓住线线平行 (垂直) 线面平行 (垂直) 面面平行 (垂直) 这条主线索, 强化相互间的转化, 养成“证”“找”“缺”“的求解思路与方法。

(二) 对于空间角和距离的计算问题

(1) 异面直线的造角体现平移法

(2) 二面角的平面角的求解中, 定义法, 三垂线定理或逆定理法, 垂面法, 面积射影法的使用背景应让学生熟悉, 并且每种方法的具体操作方式要熟练掌握。

(3) 突破过平面外一点 (P) 引平面 (α) 的垂线问题, 常见的方法有:

直接法:当点P在面α上的射影O易于定位时, 可考虑用此法。

(1) 图 (1) 模型中, 如∠PAB=∠PAC或P到AB, AC距离相等时, O在∠ABC角平分线所在的直线上。

(2) 三棱锥P-ABC中, 射影O在△ABC内, 几个“心”的运用等。

如PA=PB=PC时, O为△ABC外心,

P到AB, BC, AC距离相等, C成各侧面与底面所成的锐二角角相等时, O为△ABC内心.

PC⊥AB, PB⊥AC, PA⊥BC中, 有两个垂直必有第三个垂直, 且O为△ABC的垂心。

(3) 利用面面垂直的性质获得线面垂直, 思路是寻找过此点的某个平面与已知平面垂直。

间接法:利用等积求高的方法, 求点面距离, 要注意下列模型的运用。

如图3, a∥α, D、E∈a, △ABC在平面α内, Vc-DAB=VD-ABC=VE-ABC=……或者利用此法求出点面距离后, 解决斜线与平面所成角问题。

如图4, PA∩α=A, 利用等积法求出P到面α的距离h后, 则斜线PA与α所成角

下面以一例说明, 如何运用通行通法分析解决线、面位置的相关论证。

例1:如图5:四边形ABCD是矩形, PA⊥面ABCD, M、N分别是AB, PC的中点, 求证: (1) MN∥面PAD, (2) MN⊥CD, (3) 如PA=AD, 求证:平面MND⊥平面PDC

析 (1) 由证线面平行的主要方法, 可按下列两种思路分析

(1) 在面PAD内寻找一条线与MN平行, 怎么找?通常找过MN的某平面与面PAD的交线 (让学生反思体会为什么?) 故可取PD中点F, 易知AF∥MN, 进而获得问题的解决。

(2) 利用面面平行的性质, 寻找过MN的一平面, 使之与面PAD平行, 如图可取DC中点E, 易证面MNE∥面PADMN∥面PAD

(2) 证异面直线的主要方法是利用线面垂直的性质, 或三垂线定理及逆定理, 因此可考虑MN与含PC的某平面 (如PDC) 垂直或由 (1) 知运用三垂线定理去证DC AF, 而MN∥AF从而得到MN⊥CD.

(3) 利用面面垂直的判定可考虑证一面内的一条线与另一个平面垂直, 如由MN⊥面PDC→面MDN⊥面PDC思路进行分析, 要证MN⊥面PDC, 由 (2) 已有MN⊥CD, 故只需证MN⊥PD (或 (DC) 即可获得MN⊥面PDC;或用平移法, 寻找与MN平行的一线, 如AF, 去证AF⊥面PDC, 从而达到让MN⊥面PDC的目的均可。总之, 反复运用“证”“找”“缺”“创”进行转化的思路完成相关论证。

二、加强向量的工具作用

空间向量的最大价值在于工具性, 能用代数的方法解决几何问题, 沟通了代数与几何的联系, 使传统几何中那些过于抽象和几何推理逻辑性较强的问题简单化, 这正是空间向量为高考青睐的原因。有了空间向量的坐标运算, 使得立体几何中诸如求空间角和距离等重难点问题的求解更加模式化、程序化。

例2:如图在长方体ABCD-A1B1C1D1中, AB=2, BC=1, CC1=3, 则异面直线AB1与CD1所成角为__。

若用传统的解法, 往往需要把CD1平移到体外, 通过补体定位来求解, 要求较高。用空间向量的方法只需建立如图所示的坐标系, 易得A (1, 0, 0) , B1 (0, 2, 3) , C (0, 2, 0) , D1 (0, 0, 3) ∴

例3:如图7所示, 在三棱锥S-ABC中, △ABC是边长为4的正三角形, 平面SAC⊥平面ABC, , M, N分别是AB, SB的中点。

(1) 证明:AC⊥SB, (2) 求二面角N-CM-B的大小。 (3) 求点B到平面CMN的距离。

解 (1) 取AC中点O, 连结OS, OB

∵SA=SC, AB=BC∴AC⊥SO且AC⊥BO

∵平面SAC⊥平面ABC

平面SAC∩平面ABC=AC

∴SO⊥平面ABC, 又∵SO⊥BO

如图, 建立空间直角坐标系O-xyz

(2) 由 (1) 得, 设为平面CMN的一个法向量, 则

取Z=1, 则

∴为平面ABC的一个法向量

∴∴二面角N-CM-B的大小为

(3) 由 (1) , (2) 得为平面CMN的一个法向量

∴点B到平面CMN的距离

通过上述求解过程, 可以看出运用空间向量, 能有效地克服几何中作辅助线和几何推理逻辑性强的难点。

三、突出数学思想方法在立体几何中的运用, 以培养和提高学生的能力为目的

数学思想是数学的灵魂, 是数学知识转化为能力的催化剂。以数学思想方法为指导, 去探求解题方法的能力, 是分析、解决问题能力的重要体现。例如在立体几何中可以借助把空间问题降维到平面问题;线面关系的转化及线面关系中定性与定量的转化;等积求高;平移法的运用等有目的地深化转化与化归的思想。在处理线段长度、面积、体积的最值问题, 开放性、探究性问题等方面, 培养学生自觉运用函数与方程思想方法的意识。可以凭借几何中推理逻辑性强, 计算与推理相互印证, 对空间形式的识别、想象是其它数学内容难以充分表现的特点着重培养和提高学生的思维能力, 空间想象能力和计算能力。

四、值得注意的几个问题

1、不要忽视几何体体积的计算。虽然教材删去了体积的大部分内容, 但学生在小学, 初中对相关几何体体积的计算已学过, 故在高考试题中出现体积的计算应属正常现象。

2、几何论证与代数推理要有机结合。利用向量求解立体几何问题, 虽有统一方法可寻, 但如果全用向量的代数推理来处理, 对于点坐标难求, 运算量有时过大同样会对学生求解造成一定的困难, 因此在处理立体几何问题时, 应把几何论证与代数推理有机地结合起来。

3.初中数学几何专题复习篇三

【关键词】高中立体几何专题复习策略

【中图分类号】G 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2016）06B-0145-02

立体几何是高中数学一个重要的知识板块。学习立体几何的目的，在于培养学生的空间想象能力、图形结构能力，并通过掌握空间之间点、线、面的关系，培养空间感知。在高三复习中，要以这个学习目的为依据，开展针对性的复习活动。一般而言，在高中数学第一轮复习过程中，应以自然章节复习为主，复习高中立体几何基本知识点、基本解题方法，帮助学生具备完善的知识结构，形成完整的知识网络体系。第一轮系统知识复习之后，进入第二轮的专题复习。专题复习是以围绕某一重点所开展的复习活动。专题复习，要突出重点与难点，要注意查漏补缺，帮助学生巩固知识。在此笔者根据自己的教学实践经验，谈一谈高中立体几何专题复习的三种策略。

一、根据高考重点，开展专题复习

高考是高中数学复习的指挥棒，因此要开展立体几何复习活动就应根据高考的知识重点，来开展专题复习。这几年来，全国各地高考数学中的立体几何题目数量稳定，难度也比较适中。立体几何考试题型有填空题、选择题、解答题（证明题）这三类，分数总值在20分以上。根据笔者总结，全国各地高考中的立体几何一般围绕这些热点来展开：第一，空间的线线关系、面面关系、线面关系。在这三种关系中，对平行关系与垂直关系的判定，以及平行关系与垂直关系的性质。第二，空间的距离、空间角的计算问题。第三，棱锥、棱柱等简单的体积计算、面积计算、相关截面的问题。第四，对球的表面积、体积、球面距离的计算问题。从命题类型来看，也有存在型命题、开放型命题，这些也是高考立体几何命题的一个热点。

因此，高中数学教师要根据这些重点问题，展开专题备考活动。指导学生注重夯实数学基础知识、掌握数学基本技能、熟悉数学基本方法。如在基本数学方法、基本概念上，应做到记熟、记准、会用，并且灵活应用。在数学方法上要注重规范，对规律性的知识要及时进行总结。

立体几何学习的特点，决定了这一类题目的解答模式是由计算与推理论证互相结合。在立体几何题目的解题过程中，所涉及知识点综合性比较强，因此，在平时复习中要强调一题多问一题多解。为此，高中数学教师应对学生开展数学知识技能的针对性训练，训练学生有关识图、理解图、应用图等空间想象能力。同时，还是以空间角与空间距离计算、空间线面关系判定，多面体等为专题进行专项复习和训练。但不可盲目求新求难，多练习基本题目，注重训练学生的思维能力，提高学生思维水平。

总的来说，教师指导学生开展几何复习的时候，要加强平行、平行与垂直、垂直、平面、角之间的相互转化题型进行专题专项训练，把握好重点，让学生全面而彻底地掌握高中立体几何知识。

二、为完善知识结构，开展专题复习

在开展立体几何专题复习时，教师应帮助学生整理各个零散的知识点，建立完整的知识网络体系。只有这样，才能帮助学生全面地掌握立体几何。为了让学生形成完善的立体几何知识体系，教师应帮助学生总结与梳理出四个证明定理：第一，公理。第二，关于线面平行性质方面的定理。第三，关于面面平行性质的定理。第四，关于线面垂直性质方面的定理。

在立体几何学习中，最为常见的是三个问题：证明、求角、归纳与总结求距离的方法。为此，教师要开展这三方面内容专题复习，帮助学生形成系统完善的知识结构。如教师应引导学生复习这些知识：

第一，关于垂直、平行关系的证明。弄清楚空间中的线//线、线//面、面//面之间的相互转换关系。然后在线与线垂直、线与面垂直、面与面垂直关系上，进行转换。在复习过程中通过这样的知识梳理，让学生发现空间上平行与垂直关系的重要特征，并进行转换。

第二，在求空间角的求解上，解题思路应该做到明朗清晰。这一解题步骤可以分为三步：一找（作）角、二证角、三算角。在这三步骤中，作角是学生需要掌握的一个关键步骤。在这一步骤中，教师应引导学生掌握两个主要数学思想：一是如何处理立体几何平面化问题。二是抓住要点，如在线面角上，借面垂直线、面面垂直的关系，引发出对斜线的射影，如在二面角上，可以处理为线面角或者二面角的补交问题。

第三，在处理空间距离上，应该采取与解空间角的步骤一样：一找（转或作）、二证、三算。在计算空间距离的时候，应该注意距离转换问题。如在处理三角形的高、棱锥、棱柱的高，可以以处理点面距的方式来开展。点面距、面面距、线线距、点线距都可以互相转换，其中，关键就是点线距的转换。

如上面说到的，在数学思想方法上，立体几何常用到划归转化思想，因此要把这种数学思想方法贯穿其中。如证明线与面垂直时，要学会转化为证明线与线垂直的思想；求两个互相平行平面距离时，要学会转化为证明线与线垂直的思想，要学会转化为求解互相平行的直线与平面之间的距离，然后再随之转化为求点与面这两者之间的距离。通过这样的数学思想方法把知识内容统一起来，形成知识网络体系，形成完善的知识结构。

三、为提高数学能力，开展专题复习

高中数学立体几何是以空间基本图形（点、线、面）的位置关系、直观图、空间向量、简单体（球与多面体）为载体所形成的学习内容。立体几何教学目的，在于培养学生的推理论证能力、空间想象能力、几何直观感知能力、图形语言交流能力。因此，在开展专题复习的时候，应以培养学生具备数学能力为基础。

如为了培养学生的几何直观感知能力、空间想象能力，教师应开展建构常规问题求解模型的专题复习活动。如开展线、面垂直或者平行关系的论证，对空间距离与空间角的计算进行归类，并进行通行通法等方面训练。又比如，对空间中面与线之间平行、垂直关系的论证，以及计算距离与空间角，都是高考的热点与重点。为此，教师在复习课的时候，应建立处理这几类问题的求解模型，让学生掌握解答这几类多种变形题目的能力。

在立体几何中，空间向量的价值就在于其工具性。空间向量主要是培养学生学会采用代数的方法，解答几何学上的问题，加强代数和几何之间的关系，把抽象的推理逻辑性较强的几何问题变为简单化。为此，教师在开展空间向量的专题复习中，要教会学生采用空间向量的坐标运算方法，把立体几何上诸如空间距离、空间角等难点问题、重点问题，变为程序化、模式化。

数学思想是将数学知识转化为数学能力的重要催化剂。因此，教师在开展专题复习的过程中，在数学思想方法的指导下，培养学生探究解题方法的能力，即培养学生的分析问题、解决问题的能力。在培养解题能力上，教师指导学生把空间问题化为平面问题的能力，具备自觉运用函数与方程的思想意识，以及计算能力、空间想象能力等。另外，在开展专题教学过程中，教师应注意几何论证和代数推理之间的互相结合，提高学生的计算能力。

高考对学生数学能力的考查，很多都是围绕计算能力而展开的，因此，在专题复习中要注意培养学生体积的计算能力，提高学生运算的熟练性、准确性，同时，把几何论证和代数推理互相结合，培养学生自觉使用函数与方程的方法解决立体几何问题。除此之外，教师还要教会学生熟练掌握几何推理的逻辑方法，实现计算和推理的互相补充，培养想象能力、逻辑思维能力和计算能力，提高专题复习的效率。

4.初中数学几何专题复习篇四

学案

一、知识点：

1．简单多面体：考虑一个多面体，例如正六面体，假定它的面是用橡胶薄膜做成的，如果充以气体球面的多面体，叫做2．五种正多面体的顶点数、面数及棱数：

3．欧拉定理（欧拉公式）：简单多面体的顶点数、面数及棱数E有关系式：VF

E2．4．欧拉示性数：在欧拉公式中令f(p)VFE，f(p)（1）简单多面体的欧拉示性数f(p)2．（2）带一个洞的多面体的欧拉示性数f(p)0（3）多面体所有面的内角总和公式：①(EF)360 或②(V2)3600球心，表示它的球心的字母表示，例如球O． 6．球的截面：用一平面去截一个球O，设OO是平面的垂线段，O为垂足，且，所得的截面是以球心在截面内的射影为圆心，以r

大圆，被不经过球心的平面截得的圆叫做7．经线：球面上从北极到南极的半个大圆；纬线：与赤道平面平行的平面截

球面所得的小圆；经度：某地的经度就是经过这点的经线与地轴确定的半平面与0经线及轴确定的8．两点的球面距离：球面上两点之间的最短距离，就是经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，我们把这个弧长叫做两点的9．两点的球面距离公式： ABR（其中R为球半径，为A,B所对应的球心角的弧度数）已知半径为R的球O，用过球心的平面去截球O，球被截面分成大小相等的两个半球，截面圆O（包含它内部的点），叫做所得11．球的体积公式：V

4R

312 S4R

2二、练习：n面体共有8条棱，5个顶点，求2．一个正n面体共有8个顶点，每个顶点处共有三条棱，求3．一个简单多面体的各面都是三角形，证明它的顶点数V和面数F有下面的关系：F＝2V－

44．有没有棱数是75．是①过球面上任意两点，作球的大圆的个数是．

②球半径为25cm，球心到截面距离为24cm，则截面面积为．

③已知球的两个平行截面的面积分别是5和8，它们位于球心同一侧，且相距1，则球半径是． ④球O直径为4，A,B

为球面上的两点且ABA,B两点的球面距离为． ⑤北纬60圈上M,N两地，它们在纬度圈上的弧长是

离为

． R（R为地球半径），则这两地间的球面距

2练习参考答案：n面体共有8条棱，5个顶点，求解：∵VFE2，∴FE2V5，即n5．

2．一个正n面体共有8个顶点，每个顶点处共有三条棱，求解：∵V8，E8312，∴FE2V6，即n6． 2

3．一个简单多面体的各面都是三角形，证明它的顶点数V和面数F有下面的关系：F＝2V－4 证明：∵E＝3F3，V＋F－E＝2 ∴V＋F－F＝2 ∴F＝2V－4 22

4．有没有棱数是7解：若E＝7，∵V＋F－E＝2，∴V＋F＝7＋2＝9，∵多面体的顶点数V≥4，面数F≥4

∴只有两种情况V＝4，F＝5或V＝5，F＝4，但是有4个顶点的多面体只有四个面，不可能是5个面，有四个面的多面体是四面体，也只有四个顶点，不可能有5个顶点，∴没有棱数是7的多面体 5解：设有一个多面体，有F（奇数）个面，并且每个面的边数n1,n2nF也都是奇数，则，结果仍为奇数，可右端是偶数，这n1n2nF2E，但是上式左端是奇数个“奇数相加” ①过球面上任意两点，作球的大圆的个数是．

②球半径为25cm，球心到截面距离为24cm，则截面面积为．

③已知球的两个平行截面的面积分别是5和8，它们位于球心同一侧，且相距1，则球半径是． ④球O直径为4，A,B

为球面上的两点且ABA,B两点的球面距离为． ⑤北纬60圈上M,N两地，它们在纬度圈上的弧长是

离为．

答案：①一个或无数个②49m③3④2R（R为地球半径），则这两地间的球面距24⑤

39.设地球的半径为R，在北纬45°圈上有A、B两点，它们的经度相差90°，那么这两点间的纬线的长为_________，两点间的球面距离是_________．

分析：求A、B两点间的球面距离，就是求过球心和点A、B的大圆的劣弧长，因而应先求出弦AB的长，所以要先求出A、B两点所在纬度圈的半径．

解：连结AB．设地球球心为O，北纬45°圈中心为O1，则

O1O⊥O1A，O1O⊥O1B．

∴ O1AOO1BOAOC45．

∴O1A＝O1B＝O1O＝OAcos45＝

22R．

∴ 两点间的纬线的长为：2

22R2

4R．

∵A、B两点的经度相差90°，∴ AO

1B90．

在Rt△AO1B中，AB2AO1R，∴ OAABOB，AOB

3．∴ 两点间的球面距离是：

3R．

16．表面积为324的球，其内接正四棱柱的高是14解：设球半径为R，正四棱柱底面边长为a，则作轴截面如图，AA

14，AC，又∵4R2324，∴R9，∴ACa8，∴S表6423214576．

17．正四面体ABCD的棱长为a，球O是内切球，球O1是与正四面体的三个面和球O都相切的一个小球，求球O1的体积．分析：正四面体的内切球与各面的切点是面的中心，球心到各面的距离相等．解：如图，设球O半径为R，球O1的半径为r，E为CD中点，球O与平面ACD、BCD切于点F、G，球O1与平面ACD切于点H．

由题设AGAE2GE26a． 3

aRR，得R a．123aa62∵ △AOF∽△AEG∴

a2Rrr6，得r∵ △AO1H∽△AOF∴a． R246aR3

∴ V球O1434663raa． 33241728

积相3另法：以O为顶点将正四面体分成相等体积的四个三棱锥，用体

等法，可以得到ROG11AG

h，h，44111r(h)ha。

5.初中数学几何专题复习篇五

空间中的平行与垂直

类型一空间线面位置关系的判断

[典例1](1)已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则（）知识梳理：

1、平面中的平行有哪些？

2、空间中的平行有哪些？如何推导？（定理、性质用图示展示）

3、平面中的垂直有哪些？

4、空间中的垂直有哪些？如何推导？（定理、性质用图示展示）

1．(2017·高考全国卷Ⅰ)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是()

2．(2016·高考浙江卷)已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则（）A．m∥l

B．m∥n

C．n⊥l

D．m⊥n

3．(2016·全国卷Ⅱ)α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题： ①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β.②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n.③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β.④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．其中正确的命题有______．(填写所有正确命题的编号)4．(2017·高考全国卷Ⅲ)如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD＝CD.(1)证明：AC⊥BD；

(2)已知△ACD是直角三角形，AB＝BD.若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．

A．α∥β且l∥α

B．α⊥β且l⊥β

C．α与β相交，且交线垂直于l

D．α与β相交，且交线平行于l(2)已知m，n表示两条不同直线，α表示平面．下列说法正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n

B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α

D．若m∥α，m⊥n，则n⊥α

变式1．如本例(2)改为设m，n是空间两条直线，α，β是空间两个平面，则下列命题中不正确的是(A．当n⊥α时，“n⊥β”是“α∥β”的充要条件 B．当m⊂α时，“m⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件 C．当m⊂α时，“n∥α”是“m∥n”的必要不充分条件 D．当m⊂α时，“n⊥α”是“m⊥n”的充分不必要条件 [自我挑战]

1.m、n是空间中两条不同直线，α、β是两个不同平面，下面有四个命题： ①m⊥α，n∥β，α∥β⇒m⊥n；②m⊥n，α∥β，m⊥α⇒n∥β； ③m⊥n，α∥β，m∥α⇒n⊥β；④m⊥α，m∥n，α∥β⇒n⊥β.其中，所有真命题的序号是________．

(1)证明：平面AEC⊥平面BED.(2)若∠ABC＝120°，AE⊥EC，三棱锥EACD的体积为6

3，求该三棱锥的侧面积．)自我挑战：如图，在四棱锥PABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，类型三立体几何中的折叠、探索问题

[典例3](2017·山东济南模拟)如图(1)，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝6，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE＝2.将△ADE沿DE折起到△A′DE的位置，使A′C⊥CD，如图(2)．(1)求证：DE∥平面A′BC；(2)求证：A′C⊥BE；

(3)线段A′D上是否存在点F，使平面CFE⊥平面A′DE？若存在，求出DF的长；若不存在，请说明理由．

PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点，求证：

(1)PA⊥底面ABCD；

(2)BE∥平面PAD；(3)平面BEF⊥平面PCD.[互动迁移1] 在本例条件下，证明平面BEF⊥平面ABCD.[互动迁移2] 在本例条件下，若AB＝BC，求证：BE⊥平面PAC.[变式训练](2017·山东卷)由四棱柱ABCDA1B1C1D1截去三棱锥C1B1CD1后得到的几何体如图所示．四边形ABCD为正方形，O为AC与BD的交点，E为AD的中点，A1E⊥平面ABCD.(1)证明：A1O∥平面B1CD1；

(2)设M是OD的中点，证明：平面A1EM⊥平面B1CD1.[母题变式]

本例的条件不变，在线段BE上是否存在点H，使平面A′BE⊥平面A′CH?

6.初中数学几何专题复习篇六

一、选择题

1.已知A∈α，P∉α，＝，平面α的一个法向量n＝，则直线PA与平面α所成的角为()A.30°

B.45°

C.60°

D.150° 【答案】C 【解析】设PA与平面α所成的角为θ，则sinθ＝

∵θ∈0°，90°，∴θ＝60°，故选C.2.(2017·泸州二模)在空间直角坐标系中，点P(m,0,0)到点P1(4,1,2)的距离为则m的值为()A.－9或1 B.9或－1 C.5或－5 D.2或3 【答案】B 【解析】由题意|PP1|＝1.故选B.点睛：空间向量数量积的三个应用(1)求夹角，设向量,所成的角为，则cos＝

2，即，∴(m－4)＝25，解得m＝9或m＝－

2，进而可求两异面直线所成的角．(2)求长度(距离)，运用公式||＝·，可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题．(3)解决垂直问题，利用⊥⇔·＝0(≠，≠)，可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题．

3.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝1，AC＝2，BC＝则直线DE与平面BB1C1C所成的角为()A.30° B.45° C.60° D.90° 【答案】A，D，E分别是AC1和BB1的中点，【解析】

由已知AB＋BC＝AC，则AB⊥BC.分别以BC，BA，BB1为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，设AA1＝2a，则A(0,1,0)，C(平面BB1C1C的一个法向量为n＝(0,1,0)，0,0)，D，E(0,0，a)，所以＝，222cos〈，n〉＝，〈，n〉＝60°，所以直线DE与平面BB1C1C所成的角为30°.故选A.点睛：(1)求出直线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角后(求出是钝角时取其补角)，取其余角即为直线与平面所成的角．(2)若求线面角的余弦值，要注意利用平方关系sinθ＋cosθ＝1求出其值．不要误认为直线的方向向量与平面的法向量所成夹角的余弦值即为所求．

4.如图，在三棱锥P－ABC中，不能证明AP⊥BC的条件是()2

A.AP⊥PB，AP⊥PC B.AP⊥PB，BC⊥PB C.平面BPC⊥平面APC，BC⊥PC D.AP⊥平面PBC 【答案】B 【解析】A中，因为AP⊥PB，AP⊥PC，PB∩PC＝P，所以AP⊥平面PBC，又BC⊂平面PBC，所以AP⊥BC，故A正确；

C中，BC⊥PC，AP⊂平面APC，因为平面BCP⊥平面PAC，所以BC⊥平面APC，所以AP⊥BC，故C正确；

D中，由A知D正确；B中条件不能判断出AP⊥BC，故选B.点睛: 垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.5.(2017·东北三校联考(一))在直三棱柱ABC－A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角为()A.30° B.45° C.60° D.90° 【答案】C 【解析】试题分析：延长CA到D，根据异面直线所成角的定义可知∠DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角，而三角形A1DB为等边三角形，可求得此角．解：延长CA到D，使得AD=AC，则ADA1C1为平行四边形，∠DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角，又A1D=A1B=DB=AB，则三角形A1DB为等边三角形，∴∠DA1B=60°故选C．

考点：异面直线及其所成的角．

6.(2017·丽水一模)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PD⊥平面ABCD，且PD＝AD＝1，AB＝2，点E是AB上一点，当二面角P－EC－D为时，AE＝()

A.1B.C.2－

D.2－

【答案】D

DA,DC,DP分别为【解析】试题分析：以点D为原点建立空间直角坐标系，0，0）,E（1,a,0）,C（0,2,0）,P（0,0,1），,设平面

D轴，（0，平面的法向量为，即,那么，解得:,平面的法向量为,那么，解得，所以考点：空间向量 ,故选D.7.(2017·黄冈质检)如图，在棱长均为2的正四棱锥P－ABCD中，点E为PC的中点，则下列命题正确的是()

A.BE∥平面PAD，且BE到平面PAD的距离为B.BE∥平面PAD，且BE到平面PAD的距离为

C.BE与平面PAD不平行，且BE与平面PAD所成的角大于30° D.BE与平面PAD不平行，且BE与平面PAD所成的角小于30° 【答案】D 【解析】

连接AC，BD，交点为O，连接OP，以O为坐标原点，OC，OD，OP所在的直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，由正四棱锥P－ABCD的棱长均为2，点E为PC的中点，知A(－则＝，0,0)，B(0，－，＝(－，0)，C(，0，－，即，0,0)，D(0，)，＝(0，0)，P(0,0，－)，E，)，设m＝(x，y，z)是平面PAD的法向量，则m⊥，且m⊥，令x＝1，则z＝－1，y＝－1，m，＝(1，－1，－1)是平面PAD的一个法向量，设BE与平面PAD所成的角为θ，则sinθ＝故BE与平面PAD不平行，且BE与平面PAD所成的角小于30°，故选D.点睛：(1)求出直线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角后(求出是钝角时取其补角)，取其余角即为直线与平面所成的角．(2)若求线面角的余弦值，要注意利用平方关系sin2＋cos2＝1求出其值．不要误认为直线的方向向量与平面的法向量所成夹角的余弦值即为所求．

8.在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝4，则点A1到平面AB1D1的距离是()A.1 B.C.D.2 【答案】B 【解析】设点A1到平面AB1D1的距离为h，因为VA1－AB1D1＝VA－A1B1D1，所以S△AB1D1h＝S△A1B1D1×AA1，所以h＝故选B.点睛：点面距离往往转化为对应棱锥的高，通过等体积法求高得点面距离

二、填空题

9.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝1，AC＝2，BC＝则直线DE与平面BB1C1C所成角的正弦值为．

【答案】，D，E分别是AC1，BB1的中点，【解析】

如图，取AC的中点F，连接DF，BF，则DF∥BE，DF＝BE，∴DE∥BF，∴BF与平面BB1C1C所成角的正弦值为所求．∵AB＝1，BC＝，AC＝2，∴AB⊥BC，又AB⊥BB1，∴AB⊥平面BB1C1C.作GF∥AB交BC于点G，则GF⊥平面BB1C1C，∴∠FBG为直线BF与平面BB1C1C所成的角．由条件知BG＝BC＝，GF＝AB＝，∴tan∠FBG＝

＝，∴∠FBG＝，∴sin∠FBG＝sin＝，即直线DE与平面BB1C1C所成角的正弦值为.10.正方体ABCD－A1B1C1D1中，面ABD1与面B1BD1所夹角的大小为．

【答案】60°【解析】建立空间直角坐标系D－xyz，如图．

设正方体的棱长为1，则A(1,0,0)，B(1,1,0)，B1(1,1,1)，D1(0,0,1)． ∴ ＝(1,0，－1)，＝(1,1，－1)，＝(1,1,0)．

设平面ABD1的法向量为m＝(x1，y1，z1)，平面B1BD1的法向量为n＝(x2，y2，z2)，则由m·＝0，m·＝0，可得m＝(1,0,1)，由n·＝0，n·＝0，得n＝(1，－1，0), ∴cos〈m，n〉＝＝.∴所求二平面的大小为60°.学

...学

...11.(2017·山西晋中五校联考)如图，在四棱锥S－ABCD中，SA⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°，且AB＝4，SA＝3，E、F分别为线段BC、SB上的一点(端点除外)，满足＝λ，则当实数λ的值为时，∠AFE为直角．

【答案】

【解析】∵SA⊥面ABCD，∠BAD＝90°，故可建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz.∵AB＝4，SA＝3，∴B(0,4,0)，S(0,0,3)．设BC＝m，则C(m,4,0)，∵∴∴F∴要使∠AFE＝90°，则又∴∴16λ＝9，∴λ＝.点睛：空间向量数量积的三个应用(1)求夹角，设向量,所成的角为，则cos＝，进而，＝λ，∴

＝λ

.同理，E，，可求两异面直线所成的角．(2)求长度(距离)，运用公式||2＝·，可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题．(3)解决垂直问题，利用⊥⇔·＝0(≠，≠)，可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题．

三、解答题

12.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC＝90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA＝PD＝AD＝2，BC＝1，CD＝.(1)求证：平面PQB⊥平面PAD；

(2)若二面角M－BQ－C为30°，设PM＝t·MC，试确定 t 的值．

【答案】(1)见解析(2)3

又∵平面PAD⊥平面ABCD 且平面PAD∩平面ABCD=AD，∴BQ⊥平面PAD． ∵BQ平面PQB，∴平面PQB⊥平面PAD．

（2）∵PA=PD，Q为AD的中点，∴PQ⊥AD．

∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PQ⊥平面ABCD．

如图，以Q为原点建立空间直角坐标系．则平面BQC的法向量为，设∵，则，．，；，∴，∴

在平面MBQ中，∴平面MBQ法向量为∵二面角M-BQ-C为30，∴．，．，考点：本题考查了空间中的线面关系

7.利用小专题提升高三数学复习效率篇七

1小专题复习的优势

(1) 范围小、针对性强, 可以针对学生的实际及时开展, 尤其是对部分问题更容易提升, 能提高知识信息搜索速度.

(2) 容易复习、吸收, 避免平均用力, 留出更多的时间强化重点问题的处理, 在紧张的复习中留给学生更多自主学习的时间.

(3) 让学生从知识—方法—思想的角度去审视问题, 从横向、纵向联系前后知识, 形成小的知识网络, 只有把整理加工过的知识依附在思维线索上, 方能举一反三, 触类旁通.

(4) 小专题主题的选择、内容的选取以及教学环节的设置都与促进认知策略发展的条件相对应, 有意识、有目的、有计划的教学生学习认知策略, 促进学生数学认知策略发展, 通过不同的小专题系统促进复述策略、加工策略、迁移策略的发展.

2小专题内容的确定

小专题复习中教师除了强调基础知识和重点知识复习外, 还需要借助具有一定综合性的教学内容为载体, 以形成知识网络、产生对知识整体认识为指向, 以提升学生综合运用某些知识解决数学问题、提升能力为目的.因此, 章节和小专题复习需要有机结合、相互融合, 在章节复习的基础上适当安排章节关联的小专题复习.数学家波利亚曾经说过:“良好的组织使得所提供的知识容易用上, 这甚至可能比知识的广泛更为重要, 至少在有些情况下, 知识太多可能反而成了累赘, 它可能会妨碍解题者去看出一条简单的途径, 而良好的组织则有利而无弊.”注重知识在教学整体结构中的内在联系, 揭示思想方法在知识相互联系、相互沟通中的纽带作用.如函数、方程、不等式的关系, 当函数值等于、大于或小于某一常数时, 分别可得方程, 不等式, 联想函数图像可提供方程、不等式解的几何意义.运用转化、数形结合的思想, 使这三块知识可相互为用.注意总结建构数学知识体系中的数学思想, 揭示思想方法对形成科学的系统知识结构, 把握知识的运用, 深化对知识的理解等数学活动中的指导作用, 如坐标变换和极坐标复习中, 把散见于函数知识中的平移、伸缩变换, 解析几何中的曲线对称变换, 极坐标中的旋转变换, 引导学生运用化曲线间的关系为对应动点之间的关系的转化思想及求相关点轨迹的方法统一处理, 得出一般结论, 深化学生对图像变换的认识, 提高了学生解决问题的能力及观点.可以结合一轮复习开展如下小专题复习:函数图像变换、数列中递推公式求通项和数列求和、三角中的边策略角策略、解析几何中的离心率求值和范围、线性规划、概率中的随机数模拟、相关点求轨迹、伸缩变换与极坐标、球体等.

3小专题实施案例

下面以极坐标复习为例说明如何开展小专题复习.本节小专题课的内容是坐标伸缩变换和极坐标, 其主要任务是:能体会坐标伸缩变换与相关点求轨迹的关系;能理解在直角坐标系和极坐标系中的曲线与方程的含义;能根据已知条件, 求出曲线的极坐标方程;可以灵活应用极坐标方程解决相关问题.

问题1曲线C:x2-y2/64=1经伸缩变换:后, 得到曲线C′, 求C′的方程.

变式1曲线C:x2-y2/64=1经过伸缩变换后, 所得到曲线C′的方程x′2/9-y′2/16=1, 求伸缩变换

变式2曲线C经过伸缩变换:后, 得到曲线C′:x′2/9-y′2/16=1, 求曲线C的方程.

问题2平面直角坐标系中的坐标伸缩变换可以有哪几种题型?

设计意图问题1, 2让学生体会坐标伸缩变换中共有3个量变换前曲线、变换、变换后曲线, 知二求一, 可变形为3种题目.

问题3求曲线y=x3+x2-2x-1关于点 (1, -2) 对称的曲线方程.

设计意图已知变换前曲线和变换求变换后曲线方法与相关点求轨迹相同.

变式3求曲线y=x2-2x-1关于点 (1, -2) 对称的曲线方程.

设计意图部分学生用二次函数的性质直接求出顶点, 进而利用抛物线的顶点式求出对称后的函数, 而没有采用相关法求轨迹, 此时教师提问:两种解法有什么不同, 你有什么体会?

变式4已知一个圆的圆心为坐标原点, 半径为2, 从这个圆上任意一点P向x轴作垂线段PP′, 求线段PP′的中点M的轨迹.

设计意图苏联著名数学家C.A.雅洁卡娅在《什么叫解题》的演讲中指出:“解题就是把题归结为己经解过的问题”.当遇到新问题时, 我们可以对头脑中的信息的基本模式进行检索, 提取出解决问题的基本方法.而头脑中是否存在有价值的“基本模式”是模式识别的解题策略能否实现的基础, 因此学习者只有对所积累的知识经验进行合理加工, 形成典型结构和重要类型, 才有可能获得有价值的“基本模式”.

问题4请完成表1 (说明:表1作为预习任务课前学生已完成) .

请两组同学展示推导第1行两个方程的方法, 其他组同学补充.

方法1先求出直角坐标方程, 再将直角坐标方程转化为极坐标方程.

方法2直接求出极坐标方程, 再将极坐标方程转化为直角坐标方程.

求动点P (x, y) 的轨迹方程实质上是建立动点的坐标x, y之间的关系式, 首先要分析形成轨迹的点和已知条件的内在联系, 选择最便于反映这种联系的坐标形式, 寻求适当关系建立等式, 而动点P (ρ, θ) 的轨迹的极坐标方程实质上是建立动点的坐标ρ, θ之间的关系式, 因此方法类同.

问题5表1中第2行的图形与第1行的图形有何关系?第2行的极坐标方程能否直接由第1行的极坐标方程得到?

设计意图通过观察发现可以逆时针旋转90°, 极坐标优点在解决旋转变换时较为方便, 如表1中1变2, 只需变换前曲线上任一点P (ρ, θ) , 即ρ=2rcosθ, 变换后的对应点P′ (ρ′, θ′) , 变换关系ρ′=ρ, θ′=θ+π/2, 即ρ=ρ′, θ=θ′-π/2代入得ρ′=2rcos (θ′-π/2) , 化简得ρ′=2rsinθ′, 即变换后曲线方程为ρ=2rsinθ, 因而与相关点求轨迹方法相同.

变式5我们知道y=1/x的图像是双曲线, 但它与我们学过的双曲线的标准方程不一致, 观察发现可以将y=1/x的图像顺时针旋转45°, 可以得到双曲线的标准方程, 请你试一试.

问题6在求解具体问题时既可以转化为熟悉的直角坐标方程求解, 也可以直接用极坐标方程求解, 需要根据题目灵活把握.

(1) (2010年广东) 在极坐标系 (ρ, θ) (0≤θ<2π) 中, 曲线ρ=2sinθ与ρcosθ= -1的交点的极坐标为.

解析1化为直角坐标方程求交点, 再将交点坐标化为极坐标.

解析2直接联立极坐标方程求解.

(2) (2013年上海) 在极坐标系中, 曲线ρ=cosθ+1与ρcosθ=1的公共点到极点的距离为.

思路解析化为直角坐标方程求交点, 但ρ=cosθ+1化为直角坐标方程难度较大, 因此直接联立极坐标方程求解较为简单.

(3) 在极坐标系中, 已知圆C的圆心, 半径r =1, 求圆C的极坐标方程.

(4) 在极坐标系中, 已知圆C的圆心C (3, π/6) , 半径r=3,

1求圆C的极坐标方程;

2若Q点在圆C上运动, P在OQ的延长线上, 且|OQ|∶|QP|=3∶2, 求动点P的轨迹方程.

设计意图学生在用极坐标方程解题中一般方法是先化为直角坐标方程, 然后利用直角坐标方程或熟悉的图形性质解题, 最后再化为极坐标方程, 然而, 有时极坐标方程较难化为直角坐标方程或直角坐标方程形式复杂图形不易画出, 此时直接利用极坐标方程求解会更简单.

4实践反思

在复习中注重数学思想方法的渗透, 是小专题复习课的有效教学策略, 这对于学生的后续学习, 提高综合运用知识和探究知识规律的能力有着重要的作用.学生的数学能力不仅在于对知识的掌握, 还在于能否运用知识和数学思想方法解决实际问题.通过“问题串”的拓展, 使数学思想方法的渗透落到实处, 使知识的应用更具综合性和灵活性, 在学生牢固掌握知识的同时, 培养学生的综合应用能力.小专题复习实现了数学知识的有效整合, 注重了数学思想的学习体悟.设计上, 寻找和挖掘题目内涵是关键, 注重方法串联的题组学习, 强调数学思想的主体突出, 注意学生认知策略获得和迁移的进退思维;在实施上, 准确把握课的内容主线, 做到选题和讲题合理、时间安排合理, 教学方式合理, 要正确处理讲与练的关系, 重视当堂反馈与评价, 重视课堂互动, 通过小组轮流展示、其他组点评、教师“关键处”讲解等方式加强师生、生生交流, 从而真正实现小专题复习提升高三数学复习的效率.

参考文献

[1]林婷.提高高三复习中例题教学有效性的思考[J].中国数学教育 (高中版) , 2012 (9) :17-18.

8.高中数学解析几何复习的几点策略篇八

关键词：高中数学教学解析几何复习策略

解析几何是高中数学中老师讲课的重点，需要综合使用在数学学习中的多种方法，使解题方法具有多样性，利用多种方法解题提高学生对数学的学习兴趣，加强对数学的探究精神，使学生对于解析几何这类题重视起来。近年来，高考中，解析几何这类题出现得越来越频繁，成为高考的热点。本文主要讨论复习高中数学中解析几何时所用策略，加强学生的重视，为学生提供新型的方法帮助学生学习高中的知识。

1.回顾课本，夯实基础

课本是学生学习知识最主要的工具，也是最基础的工具，学习并不是高空建楼，是需要一层一层打下基础的，妄想不需要地基就建成高楼大厦是不可能的。先将课本上的知识融会贯通、学扎实了，再做一些有难度的题目，学生应重视课本上规范的例题解析与详细的知识点，弄清考试会考什么，要考什么，清楚基础知识，提高学生对于数学的兴趣，让学生了解解析几何的重要性。高考中的知识点都是综合性的，在考解析几何时绝对不是在考这一个问题，而是将可以糅进去的小知识点放进去。所谓积少成多，将课本上一些小的知识点总结出来，在考试中可以发挥大的作用。

解析几何的基本内容是对于圆锥曲线的学习，在学习过程中了解曲线的定义与性质是学会、学好解析几何重要的一点，学会解解析几何基本步骤，这样就会提高解题的正确性。

例如：已知一条直线y=k（x+2）（k>0）与抛物线C：y■=8x相交于A、B两点，F为C的焦点，如果|FA|=2|FB|，则k等于多少？这道题最主要的方法是先把两条曲线在坐标轴中画出来，这样更直观地观察到这道题的特点，再根据抛物线的特有定义，将焦半径转换到焦点到准线的距离，再作辅助线使A、B两点垂直于准线，这样题目中的等式关系可以转换为抛物线上的点到准线的距离，点B为AP的中点，连接OB，|OB|=|BF|，点B（1，2■），根据上述可知答案k=2■/3。这道题里有抛物线的基础知识，如果学生不记得抛物线的特点，从一开始就对这道题没有思路。让学生明白打好基础的重要性，锻炼学生的思维，加快解题速度。

2.掌握方法，提高兴趣

数形结合是解析几何中主要的方法之一，解析几何同时也是高考的重点，掌握解析几何的做题方法才是学习的重中之重。老师应按照全班学生的基础教给他们与他们情况相符合的学习方法，每个学生的学习方法并不是唯一的，只有将老师的讲解与自己的理解放在一起才能真正让学生学会解析几何这类知识。老师的任务是教书育人，学生学会知识是老师上课的主要目的，老师应在课上多为学生列出解题方法，让学生挑选有利于自己学习的方法。多数学生在课堂上并没有自己的思想，一般都会跟着老师的方法做题，老师将简单的例题列举给学生，让学生学会基础的方法有利于以后解决更困难的问题。如果老师总是让学生做一些困难的奥数问题，这样不仅不会增强学生的能力，而且降低了学生的学习兴趣。

老师要让学生自己探索学习的方法，增强学生的探究能力，提高学生对于数学这门课的兴趣。对于学生来说，做所有的事情讲究的就是兴趣两个字。孩子总是善变的，不喜欢就是不喜欢，激发学生的学习兴趣是老师应该掌握的技能。老师利用小组的作用将学生的竞争积极性调动起来，让学生为团队的荣誉作战，小组同学互帮互助、共同进步。这种良性竞争大大提高了学生的兴趣，提高了学生的成绩，并且培养了学生的探究精神。

3.突出思想，激发潜能

学生在课堂上思维是跟着老师走的，老师向学生传授什么知识，学生就学什么，这样抑制了学生的思考能力。在新时期的教育改革下，这种做法是不被允许的，学生应着重开发自己的潜能。在高考中，解析几何是必不可少的大题，每年的题都不一样，每道题都有侧重点，也许在这道题里着重让学生算一下，而在另一张试卷里只是一道选择题，我们不是只是记住答案就可以的，还要熟悉数学语言，在看到题的一瞬间就明白题目所包含的意义，老师要注意学生对于题目的理解，稍有理解偏差就有可能将题目做错。

例如一条直线l过抛物线y■=4x的焦点F，交曲线于A（x■，y■），B（x■，y■），如果AB中点M（3.5，2），则|AB|等于多少？向量OA·向量OB等于多少？直线AB的倾斜角等于多少？这道题利用数形结合的思想，先将图画出来，利用函数方程式将图中的一些参数标出，将题中的一些参数进行替代转移就会得到新的条件，这些条件有时在其他条件一样的题中是可以通用的，如果是一道选择题就不用在草稿纸上计算过程了，利用自己总结的小方程就可以得到答案。这道题通过弦定理|AB|=x■+x■+p=2p/（sin■a），x■·x■=p■/4，y■·y■=-p■，以及向量OA·向量OB等于-3p■/4可以得到这道题的最后答案。这些结论可以根据题目的不同进行微小的变换，这些都不影响题目的计算，并且可以熟练地得到准确的答案。

总而言之，在高中数学教学中，解析几何是所有学生都避免不了的题目，学生想要解决这类题目必须从基础做起，熟悉所有关于解析几何的定理公式，从题目里找突破口，不一定要用到题海战术，但是所有的题都要精练，培养自己的数学思维能力，使自己增强对于学习、数学的探究意识，并将这种意识保持下去。学生在面对高考这件问题上，在平时的学习中应从实际出发，专心对待数学这门学科，加强对数学的学习。

参考文献：

[1]霍峰.高中数学圆锥曲线复习策略探析[J].高中数理化，2013，31（8）：54-56.

[2]商艳林.一道圆锥曲线试题的变式探究[J].高中数理化，2014，（7）：42-44.

9.初中数学几何专题复习篇九

小学平面几何初步知识是“图形与几何”学习领域的重要内容，是培养学生树立空间观念不可缺少的学习材料。我们要重视其基础知识，也要重视学生的应用能力，特别要让学生着重理解和掌握其各部分知识之间的联系与区别，进而掌握计算方法。复习中，要突出教师的主导作用和学生的主体地位，通过明确要求、有序整理、综合运用、联系实际、精心设计，让学生积极思考，主动求知，由具体到一般，由基本到复杂，一步步地向纵深推进。这样才能达到训练学生学习数学的思想方法，培养学生良好的思维品质，为学生下一步的学习打下坚实的基础。关键词：空间观念；能力；学习；复习

小学平面几何初步知识是“图形与几何”学习领域的重要内容，是培养学生树立空间观念不可缺少的学习材料。我们要重视其基础知识，也要重视学生应用能力的培养，为进一步掌握几何形体打下基础。那么如何做好总复习工作？

一、了解要求，明确目标

根据数学课程标准总目标的要求，通过复习要使学生了解平面图形的基本特征，认识图形的形状、大小、位置的关系，同时通过图形的变换和解决有关简单的问题，发展空间观念。同时，在学习过程中培养学生的分析能力、归纳能力、类比能力、观察能力、操作能力等，以发展学生的思维能力，激发学生的学习兴趣。

二、有序整理，系统复习

由于小学生空间观念的形成需要经历一个长期、反复的过程，因此教材十分注意把“图形与几何”的知识有层次、有坡度地分配到各个学段中。教师可以引导学生通过复习把平时零散、孤立的知识加以联系并前后的衔接，把有关知识进行适当的分类，有序的整理，然后通过辨别、比较概念之间的异同点，通过梳理形成知识网络，建构知识体系。教学中教师要努力创设数学问题情境，让学生自动探索，沟通联系，引导系统概括、总结。一方面对已学的知识进行复习，有较系统、完整的认识；另一方面加以扩展，在理论上适当加以提高。只有这样，学生才能对知识间的关系理解得更清楚，掌握得更牢固，运用得更自如。如通过计算下面图形中有关角的度数，进一步巩固角的概念，明确锐角、直角、钝角、平角、周角五种角的特征，理解角的大小与角的边长长短无关，将角的相关知识串成一条线，并能熟练画出任意度数的角。

例：如图，已知∠1=，请根据下面表格中的要求把有关数据填写完整。

角度数角的名称角的特征 ∠1 锐角 — ∠2 — — — ∠3 — — — ∠1与∠2 组成的角 — — — ∠

1、∠

2、∠3 和∠4组成的角

三、综合训练，夯实基础

复习不是简单的重复，是对学过的知识进行再加工的学习过程，是学习过程中不可或缺的环节，对知识的巩固、深化和系统化，以及对知识的运用与学习能力的提高都有着至关重要的意义，因此我们应该在复习的基础上提高学生的分析、综合、判断、推理等思维能力和实践操作能力，能够运用所学的几何知识去解决比较简单的实际问题，并从中领悟一些数学思想。

（一）、适当组合

教师可以把两三个简单的几何图进行组合，请学生按要求作答。

例如：把边长分别是5厘米、4厘米、2厘米的三个正方形拼成下图，求1.组合图形的周长是多少？2.三角形ABF的面积是多少？3.梯形ABCD的面积是多少？4.哪一个三角形的面积是9平方厘米？

这样，既能培养学生认真观察图形的良好习惯，总结解答的方法，又能拓宽学生的思路，化繁为简力求获取最佳的解答方法。

（二）、实践操作

动手实际操作具有高度的抽象性，学生往往缺乏感性经验，是学生的薄弱环节。复习时要求学生正确使用工具，解决一些问题，激发学习的积极性和主动性，提升思维水平。

如根据要求进行以下的操作：

1.以AB为一边画一个半圆，并画出这个半圆的对称轴。A¬¬¬__________________________B 2.请度量出相关的数据（数据取整厘米数），求出半圆的周长与面积。3.在这个半圆内画一个最大的圆，并画出它的轴对称图形。

四、联系实际，解决问题

数学具有一定的抽象性、逻辑性和使用的广泛性。教学中我们要教育学生关注生活、观察生活，要用数学观点去观察、思考、分析、并解决现实中的数学问题。小学数学内容很多都和学生身边的生活实际有着密切联系，把数学问题生活化，向学生提供充分从事数学活动的机会，既能让学生感到亲切，体会数学在实际生活中有广泛的应用，还肥、能培养学生的应用意识。

如针对我们所在地大量培植蘑菇的情况，要求学生测量本家庭培植蘑菇的面积，并通过家长去了解家长对蘑菇使用药用的情况，在使用时药物与水的重量比是多少？其溶液的浓度又是多少？还可以算一算每平方米要使用多少药物，其成本又是多少？

五、突出“三要”，避免“三轻”

（一）、选编例题要典型

复习中想对学生进行有效的训练，精选习题是关键，我们要注重训练的有效性，重视例题和练习题的选编，讲究训练的质量。选编例题时要突出复习的重点，并有一定的知识覆盖面，才能对学生的学习起到导向的作用，同时尽可能使之形式新颖，激起学生的学习兴趣。另外还必须达到以下目的：1.教给学生正确的解题思路和基本程序。2.教给学生分析、处理问题的基本方法和解决某些问题的一些特殊方法。3.培养学生分析能力和提高学生智力品质。4.排解疑难，纠正错误和知识的综合运用。

（二）、讲解评析要有效

精讲多练是数学课堂教学的特点，在总复习阶段显得更为突出，而对习题的讲解则成为一个不可多得的有效数学教学的资源。教师在讲评时不可能面面俱到，只有紧扣知识重难点，在关键处下功夫，重在启发引导，帮助学生摸索规律，掌握学习方法，打开解题思路，丰富学生数学学习的方式，获得积极的情感体验，增强学生学习数学的兴趣和自信心。

比如：下面图1圆中等腰直角三角形的面积是10平方厘米，求圆的面积。讲解时，老师只要抓住求圆的面积所需的重要条件是R或R²，让学生根据已知条件设法求出R或R²，图1圆的面积就能迎刃而解。接着出示图2，相信学生根据刚才掌握的方法很快就能解决问题。

（三）、作业设计要精当

练习作业的设计不应是例题的翻版，否则就索然无味，使学生失去学习兴趣，而是要注意改变问题角度，深化或拓展例题学习的内容。为了减少机械重复，控制好练习量；同时，为了加强对比与联系，作业设计可以是一题多问的形式，也可以是一题多解的形式，还可以是一题多变的形式，一步紧扣一步，一层深入一层，由表及里，从而达到多层次的训练目的，让每一个学生都能体会到“再学习、再创造”的乐趣。

一题多问。拿出我们手中的一个直角三角板，以它的直角边为轴旋转一周，观察它运动所形成的轨迹，问：1.旋转之后的轨迹是一个什么样的图形？它的高在哪儿？2.这个图形的底面是什么样的图形？3.底面直径在哪儿？为什么？4.你能想办法计算出这个图形的体积吗？

一题多解。如图，已知圆的直径是10厘米，求阴影部分的周长。解本题，有以下解法：

图中阴影部分的周长是大圆周长的一半与小圆两个半周长的和。3.14×10÷2+3.14×（10÷2）÷2×2 2.两个小半圆是相等的，因此阴影小半圆恰好补充空白小半圆，那么阴影周长是小圆周长与大圆周长的一半之和。3.14×（10÷2）+3.14×10÷2 3.因为大圆直径是小圆直径的2倍，所以小圆的周长和大圆周长的一半相等，由此可知阴影部分周长正好是大圆的周长。3.14×10 一题多变。老师出示一个白色长方体纸盒的展开图，进行提问：（请量出所需数据，取整厘米数）1.它的棱长总和是多少厘米？2.它的表面积是多少平方厘米？3.它的体积是多少立方厘米？4.在它的里面都涂上一层颜料，涂色部分的面积是多少？5.在它的里面装满橡皮泥，最多能装多少橡皮泥？（厚度忽略不计）6.如果在它的外包装纸上绑上包装带，需要多长的包装带？（包装带的接头处共要10厘米）7.如果包装这个长方体纸盒，需要多少包装纸（接头处不算）？

复习环节中，除了突出“三要”，还应该尽量避免“三轻”，即重知识，而轻能力；重结果，而轻过程；重师讲，而轻生学。

10.初中语文专题复习篇十

初中语文专题复习

《抽打心中的樱桃花》专题阅读（附答案）

①年少时家中的院子里种了两棵樱桃树。每年春天，樱桃树上总会挂满红得晶莹透亮的樱桃。摘一颗放到嘴里，令人唇齿留香、心旷神怡！

②有一年的春天，樱桃树开满了花，开得比以往哪一年都要多。蜂蝶在樱桃花间飞舞，馋嘴的我似乎已经闻到了樱桃那种特有的香甜味，就连在睡梦中，都是满树的樱桃在冲我微笑。

③一天早晨，我还躺在床上，就听到院子里传来“噼里啪啦”的树枝摇晃的声响。我赶快爬起来，冲到院子里。竟看到母亲正拿着一根竹竿在樱桃花间抽打，其中的一棵好像已经抽打完了，樱桃花像下雨一样落了一地。她正准备抽打另一棵樱桃树呢！

④我赶忙跑过去一把抱住了母亲。任凭母亲如何解释，我都紧紧抱住她的双臂不放手。母亲无奈之下只能住手，她说了一句意味深长的话：“也好，到了樱桃成熟的时候，你就知道我抽打樱桃花的用意了！”

⑤转眼间，樱桃花落了，两棵樱桃树都结满了青青的樱桃。尤其是我从母亲手中保护下来的那一棵，樱桃结得密密麻麻，数也数不清。我炫耀似的指给母亲看，她笑了笑，摇了摇头。

⑥到了樱桃成熟的季节，那棵经母亲抽打的樱桃树硕果累累，一颗颗樱桃仿佛一盏盏挂在树上的小灯笼。而那棵未经抽打的樱桃树上的果实仍然是一片青绿。我坚持不吃已经成熟了的樱桃，静候着那片青绿变成点点唇红。

⑦但结果令我失望，已经成熟的樱桃被吃光了，我保护的那棵樱桃树仍是满树青黄，并且树上的樱桃开始干瘪、变黑、脱落，渐渐的树干上的绿色也退去，变得干枯，毫无生机。母亲告诉一脸失望的我：这棵樱桃树由于在春天花开得太多，又未经抽打，所以结的樱桃也太多。由于水分、营养供应不上，它累死了！

⑧母亲用牺牲一棵樱桃树的代价告诉了我一个道理：。

⑨人活在世上是不能太贪心的，要学会取舍。心中贪念太多，只取不舍的结果，就像那棵未经抽打的樱桃树，最终导致你不堪重负、两手空空；而适当的舍弃，看似是一种失去，但在不久的将来，就会获得更加丰厚的给予和回报！

15．第②段中，作者为什么极力状写樱桃花开之盛和“我”对樱桃的憧憬？（2分）

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16．第⑤段中，“我炫耀似的指给母亲看，她笑了笑，摇了摇头”，请自己的语言分别描写当时情境中“我”和母亲的心理。（各不超过40个字）（3分）“我”：

母亲：

17．联系上下文，请写出母亲用牺牲樱桃树的代价告诉“我”的道理。（答案写在下面的横线上）（3分）

18．根据全文内容，说说标题“抽打心中的樱桃花”的作用。（4分）

19．阅读课文《错过》选段，结合上文内容答题。（4分）

人生如奔驰的列车，车窗外不断闪动着变幻不定的景色，错过观赏窗外的美景、奇景并不是多么了不得的事，关键是不能错过预定的站台！

我们预定的到站并不等于人生的终点。但在人生的终点上，我们最好能含笑地说：我虽然错过的很多很多，却毕竟把握了最关键最美好的，这样，“错过”便仿佛是碧绿的叶片，把一生中“收获”的七彩鲜花映衬得格外明艳！

人生的历程，其意义不只是生命的流逝，还在于要从生命的长河中获得丰富的体验。刘心武对“错过”的体悟告诉我们要把握住最关键、最美好的机会，含笑对待“人生的终点”。

请结合以上材料和对《抽打心中的樱桃花》一文的阅读感悟，谈谈你所受到的人生启迪。

答案

15、极力状写樱桃花开之盛和“我“对樱桃的憧憬，为下文母亲“抽打”和“我”“护花”作铺垫。

16、示例：我：看，我的那一棵果实那么多，幸亏我执意保护；哼，你那棵就少多了，后悔了吧？

母亲：毕竟是小孩子，不知道樱桃树疯结的后果，过些日子你就会明白了。

17、“只有懂得适当舍弃，你生命的行囊才会装满更多对自己有用的东西”或“青涩的青春只有经过抽打的磨砺才能逐步走向睿智与成熟。”

18、概括了全文的主要情节；由物及人，形象地揭示了全文主旨。

19、示例：无论是“错过”还是“舍弃”，我们心中都要有明确的目标；在实现目标的过程中我们要学会主动“适当的放弃”。

《耐磨的人生》专题阅读（附答案）

我的一个朋友在一次意外的事故中失去了右手。炎炎夏日里，我到他的小书屋去选书。我本来打算要穿一件凉爽的短袖汗衫出门的。可是，临行前我还是毅然换了一件长袖衫——我忘不掉两年前他在酷暑时节穿一件长袖衫对我说：“我今生

再也无福穿短袖汗衫了”的悲苦神情，我希望这件长袖衫从我身上蒸出淋淋汗水，希望这淋淋汗水能多少减淡一点朋友的哀伤和痛楚。当我出现在那间小书屋时，朋友热情地迎上来与我握手。两只左手紧紧相握的瞬间，我俩都忍不住看着对方的衣衫大笑起来——因为，朋友居然穿了一件短袖汗衫。

朋友说，谢谢，我知道你的良苦用心。倒退两年，我还真的特别需要你这样做，但现在不同了„„不瞒你说，刚出事的那阵子，我认为我活不下去了，我说什么也接受不了没有右手的残酷现实。我笨拙地穿衣，歪歪扭扭地写字，刮胡子的时候，把脸刮得鲜血淋漓，上厕所都十分十分不方便„„我哭，我闹，我摔东西，我把脑袋剃得溜光来发泄。后来，我就劝自己：别想那只手了，行不？瞧瞧人家古人多么豁达，满嘴的牙齿都掉光了，却说：“口中无碍，咀嚼愈健”；一个叫达克顿的外国人，曾以为除了双目失明以外可以忍受生活上的任何打击，可他在60岁的时候，却真的双目失明了。这时候，他说：“噢，原来失明也是可以忍受的呀。人可以忍受一切不幸，即使所有器官都丧失知觉，我也能在心灵中继续活着。”慢慢地，我平静下来。我开始穿着短袖汗衫出门，坦然地面对人们异样的目光。我终于明白，我其实有一条韧性十足的命，它远比我想象中的那条命耐磨得多„„

那一天，我倒空了自己的钱袋。我跟自己说：多选一些书吧，这间书屋的书一定富含灵魂之钙。

1、给下列的词语写上近义词。（1分）

笨拙（）不幸（）

2、这篇短文主要写了一件什么事？（2分）

3、“朋友说，谢谢，我知道你的良苦用心”一句话中的“良苦用心”指的是什么？请联系上下文回答。（2分）

4、当你看到这篇短文的题目的时候，你想提出什么问题？请你读完文章后自己回答。（4分）

提出问题：

回答：

5、面对人生的坎坷，“我”的朋友对人生的态度有什么变化呢？想一想是什么原因使他发生了这样的变化？（3分）

6、读了短文，你一定会有许多感触吧，请用几句话把你的感悟写下来，你一定行！（3分）

参考答案：

1、给下列的词语写上近义词。