立体几何中的应用问题

2024-12-19

立体几何中的应用问题（共15篇）

1.立体几何中的应用问题篇一

向量在立体几何中的应用方法

摘要：高中数学教材进行了改革,增加了向量的内容,这为高中学生对立体几何知识的学习提供了一个代数化的方法。学生学习了空间向量的方法之后,可以采用他们比较熟悉的代数方法来进行立体几何的运算和证明;能够帮助学生更加牢固地掌握几何图形的性质;同时,可提高学生利用数学知识解决问题的能力以及丰富思维结构。

关键词：高中数学向量立体几何

高中数学的教材改革,把直线的方向向量和平面的法向量引入了教学。这一改革,为立体几何中的空间问题的解决,提供了非常实用和方便的解题工具。运用“形到形”的学习方法去完成综合推理立体几何习题,对大部分学生们来说不能轻松地掌握。向量的运算方法与代数的运算方法十分相似。学习了向量方法后,学生就可以使用其比较熟知的代数推理运算方法,来分析空间图形的问题。

一、空间向量在解立体几何问题中的优势

立体几何是一门研究空间几何图形的数学学科,它主要依据一些公理和概念,借助各种几何图形的不同变换,利用逻辑推理对空间图形的性质进行研究。在运用图形的不同变换对垂直、平行、距离、夹角等空间图形中的问题进行处理时,需要很强的技巧性,难度比较大,学生们很难找到准确的切入点。在学习立体几何时利用向量的方法会有十分显著的效果。

向量的知识在高中阶段有着十分重要的价值和地位,它在解决立体几何问题时具有其传统的几何知识以及方法无法替代的优势。在解决立体几何问题中遇到的很多具有较大难度的问题,运用向量的有关知识进行简单的公式变形,就可以轻松地解决。空间向量的知识为学习立体几何中遇到的使用传统的纯几何方法比较费时费力,同时有着很强的随机性的问题,提供了比较便捷简单的常用方法,可以大大地降低解题的复杂程度。这为高中学生对立体几何的学习注入了新的活力。

例如,如图所示,已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a,点M、N分别是AB、CD的中点.

(1)求证:MN⊥AB,MN⊥CD;(2)求MN的长;

(2)求异面直线AN与CM夹角的余弦值.

利用空间向量方法的解题过程为:

通过这道例题的`解题分析可以发现,使用空间向量的方法求角,能够避免根据定义求角的方法必须添加大量的辅助线,找到所求的角这一解题难点。利用空间向量的方法,只需建立规范的直角坐标系,设出几个对应的向量单位,然后直接去求两个向量的夹角就能简单地解决这个问题,把题目的难度大大的降低了。

二、教学中“空间向量”内容的教学优化

在高中“空间向量”这一部分教学中,最为实用和简单的工具,就是空间向量的坐计算,可以在教学中适当地补充些内容,让学生充分了解到空间向量坐标运算方法在解决立体几何问题中的作用。

(1)通过计算线线所在的两个向量所满足的线性关系来证明线线的平行关系。

(2)通过计算两条直线所在的两个向量的数量积为零来证明线线的垂直关系。

(3)通过计算出一条直线所在的向量与两条相交直线所在的平面的所在的向量的数量积为零,来证明直线与平面相垂直。

(4)计算一个平面的法向量。

(5)通过证明直线与平面的法向量相垂直,来证明出直线与平面相平行。

(6)通过证明出一个平面的法向量与另一个平面相垂直,来证明出平面与平面的平行。

(7)通过计算出两个平面的法向量其数量积为零,来证明平面与平面的垂直。

(8)计算出两条直线所在的向量形成的锐角的值,来计算出异面直线角的值。

(9)斜线与平面的法向量形成的锐角同斜线与平面所成的角度能够互余。

(10)在计算直线与平面的距离、平面到平面的距离时,都可以转化为求点到平面的距离的问题上来,运用向量的方法来解决。

(11)利用向量法计算异面直线之间的距离。

虽然在教学中补充这些结论和让学生能够熟练地应用会耗费一定的课时,但补充的结论能够让学生在处理立体几何问题迅速地发现空间向量解决题的共通性,快速简洁地处理问题起到明显的实际应用效果。空间向量可以把抽象的立体几何问题转变为代数问题,充分地运用数形结合的解题思想,把立体几何也全部融入到高中数学的综合运用之中。

三、向量方法在立体几何中的应用策略

学习向量知识的重要目标,是“着重培养学生运用向量这一代数方法去处理立体几何中的问题能力”,把立体几何题中复杂的逻辑推理转化成空间向量的代数运算。加强几何与代数之间的联系,实现立体几何问题解题的程序化、模式化,尽量减少添加辅助线,从而把解题难度降低。

使用空间向量方法来处理立体几何中的问题,首先,必须根据遇到的立体几何问题的情况,采用恰当的方式,把点、线、面等问题中涉及到的所有元素利用空间向量的方法表示出来,把几何图形和空间向量之间的联系建立起来。然后,利用空间向量的方法进行运算,证明出所有相对应的元素之间的关系(夹角和距离等问题)。最后,把运算的结果进行几何意义的解释,实现对立体图形问题的解决。

如果几何图形中有较多的垂直关系,同时建立空间直角坐标系比较容易时,应该建立空间直角坐标系,利用相应的坐标把向量表示出来。如果几何图形中缺少垂直关系或者很难在几何图形上建立空间直角坐标系,可根据已知条件利用三个不在同一个平面的向量作为基向量,把空间向量利用基向量表示出来,并根据条件计算出这三个向量之间数量积和模数的关系。

使用空间向量的方法解决空间角和距离问题时,可以不建立出空间直角坐标系。根据空间向量的基本定理,选取出不在同一个平面的三个向量当作基向量。同时,为了方便向量内积的计算,所设的三个基向量的模以及三个向量之间的数量积,已知条件必须给出或者可以根据所给条件计算出。

把向量知识引入到解决立体几何问题后,可以极大地拓宽解题思路,让立体几何问题的解决有规律可循。学生掌握一定的向量公式后,高中学生可以利用其很好地解决立体几何问题。虽然在解题时会有较大的计算量,但仍然能够减轻学生的学习负担。向量在解决立体几何问题中,有着极大的应用效果。

2.立体几何中的应用问题篇二

1利用解析几何中曲线的定义

把立体几何中的轨迹问题转化成解析几何中曲线的定义加以求解, 其实就是解析几何中曲线的定义的平面的立体化, 还得紧紧抓住解析几何中曲线的定义, 通过解析几何中曲线的定义达到解答立体几何中的轨迹问题。

例1 (2004年高考北京卷文) 如图, 在正方体ABCD-A1B1C1D1中, P是侧面BB1C1C内一动点, 若P到直线BC与直线C1D1的距离相等, 则动点P的轨迹所在的曲线是 () 。

(A) 直线 (B) 圆

解析:点P到直线的距离即为点P到点的距离, 所以立体几何的轨迹问题就转化成平面解析几何中的抛物线的定义的问题, 即在平面中, 点P到定点的距离与到定直线BC的距离相等, 则选D。

例2在正方体中, 侧面内的动点P到底面ABCD的距离等于到直线AB的距离的2倍, 则在侧面内动点P的轨迹是 () 。

A.椭圆的一部分 B.双曲线的一部分

C.抛物线的一部分 D.线段

解析:点P到底面ABCD的距离即为点P到直线BC的距离, 点P到直线AB的距离即为点P到点B的距离, 所以立体几何的轨迹问题就转化成平面解析几何中的椭圆的第二定义的问题, 即在平面中, 点P到定点B的距离与到定直线BC的距离的比可算出, 则选A。

例3已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a, 定点M在棱AB上 (但不在端点A, B上) , 点P是平面ABCD内的动点, 且点P到直线A1D1的距离与点P到点M的距离的平方差为a2, 则点P的轨迹所在曲线为 (A) 。

A.抛物线 B.双曲线 C.直线 D.圆

解析:在正方体ABCD-A1B1C1D1中, 过P作PF⊥AD, 过F作FE⊥A1D1, 垂足分别为F、E, 连结PE。则PE2=a2+PF2, 又PE2-PM2=a2, 所以PM2=PF2, 从而PM=PF, 故点P到直线AD与到点M的距离相等, 故点P的轨迹是以M为焦点, AD为准线的抛物线。

点评:正方体是空间图形中既简单、熟悉、又重要的几何体, 具有丰富的内涵, 在正方体中设计的轨迹问题, 更是别具一格。

2结合解析几何中图形的特征

把立体几何中的轨迹问题的特征转化成解析几何中图形的基本特征, 利用解析几何中图形的特征和立体几何本身的性质把立体几何中的轨迹问题求解出来。

例4 (04天津) 如图, 定点A和B都在平面α内, 定点, PB⊥α, C是α内异于A和B的动点, 且PC⊥AC。那么, 动点C在平面α内的轨迹是 (B) 。

A.一条线段, 但要去掉两个点

B.一个圆, 但要去掉两个点

C.一个椭圆, 但要去掉两个点

D.半圆, 但要去掉两个点

解析:由PB⊥α, 可得PB⊥AC, 又PC⊥AC, 所以AC⊥平面PBC, 则可得AC⊥BC, 由于定点A和B都在平面α内, 动点C满足AC⊥BC的轨迹是在平面α内以AB为直径的圆, 而C是α内异于A和B的动点, 所以动点C在平面α内的轨迹是在平面α内以AB为直径的圆 (去掉两个点A、B) , 即选B。

例5 (08浙江) 如图, AB是平面α的斜线段, A为斜足, 若点P在平面α内运动, 使得△ABP的面积为定值, 则动点P的轨迹是 (B) 。

A.圆 B.椭圆

C.一条直线 D.两条平行直线

解析:由已知此题选 (B) 。

例6已知平面α//平面β, 直线1∩α, 点P∈1, 平面α、β间的距离为4, 则在β内到点P的距离为5且到直线l的距离为的点的轨迹是 ()

A.一个圆 B.两条平行直线

C.四个点 D.两个点

解析:如图, 设点P在平面β内的射影是O, 则OP是α、β的公垂线, OP=4。在β内到点P的距离等于5的点到O的距离等于3, 可知所求点的轨迹是β内在以O为圆心, 3为半径的圆上。又在β内到直线l的距离等于的点的集合是两条平行直线m、n, 它们到点O的距离都等于, 所以直线m、n与这个圆均相交, 共有四个交点。因此所求点的轨迹是四个点, 故选C。

点评:本题以空间直线与平面的位置关系为依据, 研究平面解析几何的点的轨迹问题, 立意新颖, 构思巧妙, 是深入考查学生思维能力的上乘之作。

3结合立体几何中图形本身的特征

结合立体几何中图形本身的点、线、面之间的位置关系特征, 也是解决立体几何中的轨迹问题一种重要方法。

例7已知每条棱长都为3的直平行六面体ABCD-A1B1C1D1中, ∠BAD=60°, 长为2的线段MN的一个端点M在DD1上运动, 另一个端点N在底面ABCD上运动, 则MN中点P的轨迹与该直平行六面体表面所围成的几何体中较小体积值为 ()

解析:根据题意, 连接N点与D点, 得到一个直角三角形△NMD, P为斜边MN的中点, 所以|PD|的长度不变, 进而得到点P的轨迹是球面的一部分, 即可求出结果。解:如图可得, 端点N在正方形ABCD内运动 (N与D不重合) , 连接N点与D点, 由ND, DM, MN构成一个直角三角形, 设P为MN的中点, 根据直角三角形斜边上的中线长度为斜边的一半可得不论△MDN如何变化, P点到D点的距离始终等于1。N与D重合也满足题意, ∠ADC=120°故P点的轨迹是一个以D中心, 半径为1的半球的

所以所求体积为:, 故选B。

例8已知棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中, 长为2的线段MN的一个端点在DD1上运动, 另一个端点N在底面ABCD上运动, 求MN中点P的轨迹与正方体的面所围成的几何体的体积。

解析:由于M、N都是运动的, 所以求的轨迹必须化“动”为“静”, 结合动点P的几何性质, 连结DP, 因为MN=2, 所以PD=1, 因此点P的轨迹是一个以D为球心, 1为半径的球面在正方体内的部分, 所以点P的轨迹与正方体的表面所围成的几何体的体积为球的体积的

总之, 空间的动点要用运动的观点观察, 要求熟悉一些常见的几何模型, 利用曲面与曲面的相交情况来得到动点的轨迹, 另一方面, 利用数与形相结合的方法, 用解析的方法来研究空间轨迹, 也是立体几何的主要思想, 把立体问题平面化来简化问题, 从而为我们用平面解析几何的方法来研究空间问题提供方便, 更为空间解析几何的思想在立体几何中的应用做好准备。

跟踪练习:

1.P为四棱锥S—ABCD的面SBC内一点, 若动点P到平面ABC的距离与到点S的距离相等, 则动点P的轨迹是面SBC内的 () 。

A.线段或圆的一部分

B.双曲线或椭圆的一部分

C.双曲线或抛物线的一部分

D.抛物线或椭圆的一部分

2.如图, P是三棱锥V-ABC的面VBC上一点, 点P到平面ABC距离与到点V的距离相等, 则动点P的轨迹是 () 。

A.直线 B.抛物线 C.椭圆 D.双曲线

3.若正四面体S-ABC的面ABC内有一动点P分别到平面SAB、平面SBC、平面SAC的距离成等差数列, 则点P的轨迹是 () 。

A.一条线段 B.一个点

C.一段圆弧 D.抛物线的一段

4. (08北京) 如图, 动点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的对角线上BD1过, 点P作垂直于平面BB1D1D的直线, 与正方体表面相交于M, N.设BP=x, MN=y, 则函数y=f (x) 的图象大致是 () 。

5.如图, 在四棱锥P—ABCD中, 侧面PAD为正三角形, 底面ABCD为正方形, 侧面PAD⊥底面ABCD, M为底面ABCD内的一个动点, 且满足MP=MC, 则点M在正方形ABCD内的轨迹为 () 。

6. (2010年重庆理科10) 到两互相垂直的异面直线的距离相等的点, 在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是 () 。

A.直线 B.椭圆 C.抛物线 D.双曲线

7. (2004年重庆市高考题) 若三棱锥A—BCD的侧面ABC内一动点P到底面BCD的距离与到棱AB的距离相等, 则动点P的轨迹与ABC组成的图形可能是 () 。

8.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1, 在正方体的侧面BCC1B1上到点A距离为的点的轨迹形成一条曲线, 那么这条曲线的形状是_________, 它的长度为__________。

3.立体几何中的应用问题篇三

一、分类讨论思想

所谓分类讨论，就是当要求解的问题包含两种或两种以上的答案时，需要根据不同的情况进行分类解答.

例1 已知点O在直线AB上，且线段OA的长度为4cm，线段OB的长度为6cm，E、F分别是线段0A、OB的中点，则线段EF的长为_________cm.

解析：要求线段EF的长，比较直观的方法就是画出图形，借助图形解决问题.由于点O在直线AB上，可能存在两种情况：一是点O在线段AB上（如图1）;二是点O在线段AB外（如图2）.当点O在线段AB上时，EF=5cm，当点O在线段AB外时，EF=1cm. 故答案为1cm或5cm.

图1 图2

例2 已知∠AOB=100°，∠BOC=60°，OM平分∠AOB，ON平分∠BOC，求∠MON的度数.

分析：本题没有图，作图时应考虑OC落在∠AOB的内部和外部两种情况.

解：（1）如图3，当OC落在∠AOB的内部时，图3

∵OM平分∠AOB，ON平分∠BOC，

∴∠AOM= ∠AOB= ×100°=50°，

∠BON= ∠BOC= ×60°=30°，

∴∠MON=∠AOB-∠AOM-∠BON

=100°-50°-30°=20°;

（2）如图4，当OC落在∠AOB的外部时，

∵OM平分∠AOB，ON平分∠BOC，

∴∠BOM= ∠AOB=50°，图4

∠BON= ∠BOC=30°，

∴∠MON=∠BOM+∠BON=50°+30°=80°.

点评：当图形之间的位置关系不明确时，往往要进行分类讨论，以免因考虑不周而漏解.

二、整体思想

整体思想就是从整体的角度思考问题，即将局部放在整体中去观察、分析、探究问题.借助这种思想解题可以化难为易，化繁为简.

例3 如图5，OC、OE分别是∠AOD、∠BOD的平分线，如果∠AOB=130°，求∠COE的度数.

分析：观察图形可知∠COE=∠COD+∠DOE，而∠COD、∠DOE的大小不定，所以只能设法求出∠COD+∠DOE.根据已知OC、OE分别是∠AOD、∠BOD的平分线，则有∠COD= ∠AOD，∠DOE= ∠BOD，这样∠COD+∠DOE= （∠AOD+∠BOD），借助∠AOD+∠BOD=∠AOB，这一整体代换可得到∠COD+∠DOE= ∠AOB=65°.

解：∠COE=∠COD +∠DOE= （∠AOD+∠BOD）图5

= ∠AOB= ×130°=65°.

例4 如图6，点B、C在线段AD上，M是AB的中点，N是CD的中点，若MN=a，BC=b，则AD的长是________.

图6

解析：∵AM=MB，CN=ND.

∴AM+ND=MB+CN.

又∵MB+CN=MN-BC=a-b.

∴AM+ND=a-b.

∴AD=AM+MN+ND=a-b+a=2a-b.

点评：整体代换是一种重要的解题策略，在解决问题时，当单个对象无法求出时，可考虑将几个单个对象作为一个整体来考虑，这就是整体思想.

三、转化思想

转化思想就是将未知的、陌生的、复杂的问题转化为已知的、熟悉的、简单的问题来解决的一种思想方法.

例5 如图7，∠AOB=90°，ON是∠AOC的平分线，OM是∠BOC的平分线，求∠MON的度数.

分析：观察图形知，∠MON=∠NOC-∠MOC，但我们并不知道∠NOC、∠MOC的度数，为此，需要根据ON是∠AOC的平分线、OM是∠BOC的平分线这两个已知条件进行转化，找到∠MON与已知∠AOB之间的关系. 图7

解：∵∠NOC= ∠AOC，∠MOC= ∠BOC，

∴∠MON=∠NOC-∠MOC= ∠AOC- ∠BOC= （∠AOC-∠BOC）= ∠AOB= ×90°=45°.

例6 如图8，一只蚂蚁从圆柱体的下底面A点沿着侧面爬到上底面B点，已知圆柱的底面半径为1.5cm，高为6cm（π取3），则蚂蚁所走过的最短路径是________. 图8

分析：要求最短路径，要把圆柱的侧面展开，根据两点之间线段最短，利用勾股定理即可求解.

解：将圆柱侧面展开，展开图如图9所示，点A、B的最短距离为线段AB的长.在RT△ABC中，∠ACB=90°，BC=6cm，AC为底面半圆弧长，AC=1.5π= 4.5cm，

∴AB= =7.5cm.

故答案为7.5cm. 图9

点评：研究立体图形中两点之间最短路经问题时，通常把立体图形展开成平面图形，转化为平面图形两点间的距离问题，平面内两点之间线段最短.

四、数形结合思想

几何图形中常常蕴涵着角之间的和、差、倍、分的关系，利用数形结合思想，将代数式的精确刻画与几何图形的直观描述相结合，使数量关系和空间形成结合起来，使问题清晰化、直观化、具体化.

例7 如图10，直线AB、CD相交于点O，∠EOB=90°，OF平分∠COE，∠1=20°，求∠AOF的度数.

图10

解：观察图形可知，∠1与∠3是对顶角，

∴∠3=∠1=20°，∵∠EOB=90°，

可得∠2=∠EOB-∠1=90°-20°=70°，

又∵∠COD是平角，∴∠COD=180°，

可得∠COE=∠COD-∠2=180°-70°=110°，

又∵OF平分∠COE，

∴∠COF= ∠COE= ×110°=55°，

∴∠AOF=∠COF-∠3=55°-20°=35°.

例8 往返于A、B两个城市的客车，中途有三个停靠点.

（1）该客车有多少种不同的票价？

（2）该客车上要准备多少种车票？

解：根据题意画图11所示.

（1）图11中的线段有AC、AD、AE、AB、CD、CE、CB、DE、DB、EB，共有10条，因此有10种不同的票价.

（2）同一路段，往返时的起点和终点正好相反，所以应准备20种车票. 图11

点评：解答本题的关键是先求出A、B两地之间共有多少条线段，然后根据线段的条数确定票价，最后求出车票种类.

五、方程思想

当题目中的未知量较多时，可以考虑将其中的一个用字母表示，然后尽量挖掘题目条件中的等量关系，用含字母的代数式表示其他的未知量，最后列方程解决问题.

例9 如图12，B、C两点把线段AD分成2∶3∶4三部分，M是AD的中点，CD=8，求MC的长.

图12

分析：由AB∶BC∶CD=2∶3∶4，可设AB=2x、BC=3x、CD=4x，由CD=4x=8，求得x的值，进而求出MC的长.

解：设AB=2x，由AB∶BC∶CD=2∶3∶4，

得BC=3x，CD=4x，AD=（2+3+4）x=9x，

∵CD=8，∴4x=8，∴x=2.

∴CD=4x=8，AD=9x=18，

∵M是AD的中点，

∴MC=MD-CD = AD-CD

= ×18-8=1.

例10 如图13，∠AOC与∠BOD都是90°，且∠AOB∶∠AOD=2∶11，求∠AOB与∠BOC的度数.

图13

解：设∠AOB=2x，则∠AOD=11x，

∵∠AOD-∠AOB=∠BOD=90°，

∴11x-2x=90°，x=10°，∴∠AOB=20°，

∵∠BOC=∠AOC-∠AOB=90°-20°=70°，

∴∠AOB=20°，∠BOC=70°.

点评：方程是解决很多数学问题的重要工具.事实上，用设未知数的方法，可使计算过程简洁，也易于求解.方程思想常用于线段与角的计算.

一元一次方程和不等式巩固练习参考答案

1.D;2.A;3.B;4.C;5.（-3，0）;6.-1;7. ;

8.3x=2x+60×2;9. 37或49;

10.（1） ;（2）x≥2（图略）;

11.解：所编制的方程可以为：

1- = ，解得：x= .

12. 解：（1）∵一个人操作该采棉机的采摘效率为35公斤/时，大约是一个人手工采摘的3.5倍，∴一个人手工采摘棉花的效率为：35÷3.5=10（公斤/时），

∵雇工每天工作8小时，

∴一个雇工手工采摘棉花，一天能采摘棉花：10×8=80（公斤）;

（2）由题意，得80×7.5a=900，解得a= ;

（3）设张家雇佣x人采摘棉花，则王家雇佣2x人采摘棉花，其中王家所雇的人中有 x人自带彩棉机采摘， x人手工采摘.

∵张家雇佣的x人全部手工采摘棉花，且采摘完毕后，张家付给雇工工钱总额为14400元，∴采摘的天数为： = ，

4.立体几何中的应用问题篇四

一、动态演示图形中数量和几何关系的变化过程和趋势

传统的平面几何教学是利用简单的几何图形和一系列的公理、命题、定理、推论等来推导、证明几何关系和几何结论，从而揭示几何图形中各部分之间的.数量关系，不易动态地揭示图形中数量和几何关系的变化趋势，正是从这点出发，运用《几何画板》辅助教学，动态地演示图形中数量和几何关系的变化过程，使学生通过作图、观察、总结得出几何概念和几何规律，从而更好地领会几何公理、定理和几何命题。

如，在讲述直线与圆的位置关系时，传统的教法是把先研究圆心到直线的距离与圆半径的大小关系，然后再把这个关系与直线与圆的位置关系对应起来。有了《几何画板》，我们可用电脑演示直线与圆的相对运动的变化过程，并鼓励学生观察思考：当圆运动时，它和直线发生了哪些方面的变化?这些变化可分成几类?分类标准是什么?能否用数量关系来揭示直线和圆的这种位置关系?

二、测量和计算

《几何画板》计算功能的最大特点是：不论几何图形如何变化，图形中各元素的属性都可以动态地表现出来。

如，在讲三角形的性质时，我们可以在画板上做一个任意三角形，度量出三角形三边的长和三个角的度数，然后拖动三角形的任一顶点，让学生去探索三角形边的关系和角的关系以及它们之间是否存在某种不变的数量关系?接下来利用《几何画板》的计算功能，罗列出任意两边的和与第三边的比，任意两边的差与第三边的比，以及三内角的和。再做三角形任一顶点的动画，让学生认真观察，讲述其中的内在关系。

三、显示动点轨迹的形成过程

利用《几何画板》还能直观地呈现出动点轨迹的形成过程，能激发学生的求知欲，从而鼓励他们去探究、猜想、培养学生的创新意识。

例如，圆锥曲线的统一定义是：到定点(焦点)的距离与到定直线(准线)的距离的比等于常数e 的点的轨迹，当01时是双曲线，当e=1 时是抛物线。这一定义表明了圆锥曲线间的内在统一，教材中是通过分别求出轨迹方程加以说明的，实际教学中以传统教学手段较难体现其内在的统一性，更无法进行如《全日制普通高级中学数学教学大纲》( 年2 月)所要求的“结合教学内容，进行运动，变化观点的教育”.若借助《几何画板》这一动态几何工具辅助教学，则能揭示其间的规律，加强互动性，利于学生的认知和掌握。

现在的数学教育，计算机已走进课堂，教师用《几何画板》辅助教学，可以很方便地做数学实验，这时教师应该用更多的时间让学生去思考和理解更本质的东西，学会提出问题和自己动手解决问题，从而达到帮助学生更深入地思考数学，培养学生的数学思想，方法及其应用的理解和掌握，重现现实问题的解决。《几何画板》辅助教学正好提供了这种实现的方法，它呈现在人们面前的是动态的几何，弥补了传统几何教学的不足，是我们实施素质教育的有力工具。

参考文献：

赵国义。用《几何画板》教学的体会[J].数学通报，2002(11)。

5.立体几何中的应用问题篇五

2015国家公务员考试行测：几何问题中的智慧

几何问题在国家公务员考试行测数量关系题中时常出现，这类问题往往和生活联系密切，而且具有很强的趣味性和技巧性。几何问题之所以比较受命题人的青睐，是因为几何问题考查课本上的理论知识比较少，而应用灵活的思维方式比较多，所以区分度也比较大。要想提高解决几何问题的能力，就需要我们平时多动动脑，尝试从不同的角度思考问题。下面中公教育专家举出几个典型的例子，希望能帮助大家顺利备考。

例题1：四只蜘蛛从6×6米的正方形的四个角开始爬行，每只蜘蛛都向着它右边的那只爬去，以每秒1厘米的速度匀速朝中心移动。因此，蜘蛛们永远都处于正方形的四个角上。它们要想在中心位置会合，需要几分钟? A.3分钟 B.6分钟 C.10分钟 D.12分钟

【中公解析】当蜘蛛爬行时，它们所形成的正方形会变小，但是却始终保持着正方形的形状。每只蜘蛛经过的路线都和它右边的蜘蛛所形成的路径垂直相交。如果右边的蜘蛛不移动，那么这只蜘蛛会在相同的时间到达右边蜘蛛所在的位置。因此从相对移动来看，每只蜘蛛都爬行了6米，也就是600厘米，速度是1厘米每秒，爬行的时间是600秒，也就是10分钟。所以答案应该选C。

例题2：如图所示，三角形ABC有一内接矩形DFEB，已知AD长为4，EC长为9，图中阴影部分的面积为多少? A.16 B.25 C.36 D.9 A 4 D F B C E 9 公考咨询交流、公考资讯早知道、公考资料获取，尽在中公网

给人改变未来的力量

【中公解析】将三角形ABC补成一个矩形，阴影部分的面积实际上是等于一个长和宽分别是4和9的矩形的面积，所以答案应该选C。A G D H B E C

例题3：ABCD是一个正方形，边长为4，DEFG是一个矩形，其中DG=5，求DE的长度 A.3.2 B.3.6 C.4.2 D.4.8 E D A C F B G

【中公解析】因为正方形ABCD的面积可以用AD×AB计算，长方形EFDG的面积可以用DG×FG计算，因此正方形和矩形的面积相等，所以DE的长为4×4÷5=3.2，选A 几何问题的题目难度虽然不大，但是需要用灵活的思维方式去应对，否则即便计算出最后的结果，也浪费了大把的时间，这就需要我们多动脑、少动笔。中公教育专家提醒考生平时要多加练习，争取能够在国家公务员考试中脱颖而出。

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给人改变未来的力量

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6.交比在欧氏几何中的应用篇六

交比在欧氏几何中的应用

本文介绍了射影几何中主要的不变量--交比的.定义,以及交比、调和点列、调和直线等概念在欧氏几何中的具体形式及相关性质,在此基础上,通过具体的例子阐述了如何利用交此简单地解决一些复杂的欧氏几何问题.

作者：顾莹燕 GU Ying-yan 作者单位：苏州经贸职业技术学院,江苏,苏州,215000刊名：中国西部科技英文刊名：SCIENCE AND TECHNOLOGY OF WEST CHINA年，卷(期)：8(12)分类号：G63关键词：交此调和点列射影几何欧氏几何

7.立体几何中的应用问题篇七

一、用向量法证明垂直与平行

用向量法证明垂直与平行的题目中多以多面体特别是棱柱、棱锥为载体, 求证线线、线面、面面的平行或垂直, 其中逻辑推理和向量计算各有千秋, 逻辑推理要书写清晰, 充分地推出所求证、解的结论;向量计算要步骤完整, 准确地算出所要求的结果

例1如图1所示, 已知直三棱柱ABCA1B1C1中△ABC为等腰直角三角形, ∠BAC=90°, 且AB=AA1D、E、F分别为B1A、C1C、BC的中点.求证:

(1) DE∥平面ABC;

(2) B1F⊥平面AEF.

思路点拨:建立平面直角坐标系后, (1) 在平面ABC内寻找一向量与共线; (2) 在平面AEF内寻找两个不共线的向量与垂直.

证明:如图2建立空间直角坐标系Axyz,

令AB=AA1=4, 则A (0, 0, 0) , E (0, 4, 2) , F (2, 2, 0) ,

B (4, 0, 0) , B1 (4, 0, 4) .

(1) 取AB中点为N, 连结CN,

则N (2, 0, 0) , C (0, 4, 0) , D (2, 0, 2) ,

所以DE∥NC, 又因为NC平面ABC,

DE平面ABC.故DE∥平面ABC.

又因为AF∩FE=F, 所以B1F⊥平面AEF.

点评: (1) 要证明线面平行, 只需证明与平面ABC的法向量垂直;另一个思路则是根据共面向量定理证明向量与相等.

(2) 要证明线面垂直, 只要证明与平面的法向量平行即可;也可根据线面垂直的判定定理证明

二、用向量法求线线角、线面角

在用向量法求线线角、线面角中多以空间几何体、平面图形折叠成的空间几何体为载体, 考查线线角、线面角的求法, 正确科学地建立空间直角坐标系是解此类题的关键.

例2如图3, 四棱锥PABCD中, 底面ABCD为菱形, PA⊥底面ABCD, PA=2, E是PC上的一点, PE=2EC.

(1) 证明:PC⊥平面BED;

(2) 设二面角APBC为90°, 求PD与平面PBC所成角的大小.

(2) 作AG⊥PB于G, 由二面角APBC为90°, 易得底面ABCD为正方形, 可得AD∥面PBC, 则点D到平面PCB的距离d=AG, 找出线面角求解即可.也可利用法向量求解, 思路更简单, 但计算量比较大.

(1) 证明:以A为坐标原点, 射线AC为x轴的正半轴, 建立如图4所示的空间直角坐标系Axyz., 设, 其中b>0, 则P (0, 0, 2) ,

点评: (1) 运用空间向量坐标运算求空间角的一般步骤为: (1) 建立恰当的空间直角坐标系; (2) 求出相关点的坐标; (3) 写出向量坐标; (4) 结合公式进行论证、计算; (5) 转化为几何结论. (2) 求直线与平面所成的角θ, 主要通过直线的方向向量与平面的法向量的夹角α求得, 即sinθ=|cosα|.

参考文献

[1]黄智莉.向量在中学数学中的应用[J].科技信息, 2011 (19) .

8.社会热点与立体几何应用问题篇八



一、景观环保改环境，精打细算很重要

【背景材料】在刚刚结束的德班联合国气候大会上，加拿大宣布正式退出《京都议定书》，成为首个在签署该协议后退出的国家。环保组织纷纷谴责肯特退出《京都议定书》的决定。加拿大气候行动网络的索尔说：“这是国家的羞耻。在气候变化课题正日益成为生死攸关的问题时，总理哈珀却掴了全世界一巴掌。” 中国和日本对此表示遗憾。

中国作为发展中国家在工业化进程中会学习和借鉴发达国家应对气候变化的经验，不会犯发达国家过去无节制排放的错误。将采取节能、提高能效、调整能源结构、转变发展方式、发展可再生能源、增加森林碳汇等措施，在实现经济发展同时，应对气候变化并保护环境。其中太阳能的使用既节省了能源，也节省了老百姓的开支。这项工程不仅在新的小区建设中使用，而且也会在旧小区的改造中加以推广。

为了节约开支，有必要对旧小区的改造进行设计。

【命题分析】立体几何中表面积、体积的计算是其中一个重要内容，对于实际问题中不同位置下有关元素的计算需要同学们对空间概念有较为清晰的认识。

【试题设计】从2009年开始，上海市政府实施“景观环保工程”，对现有平顶的民用多层住宅进行“平改坡”计划：将平顶房屋改为尖顶，并铺上平板式太阳能片.现对某幢房屋有如下两种改造方案：

方案1 坡顶如图1所示为顶面是等腰三角形的直三棱柱，尖顶屋脊AA1与房屋长度BB1等长，有两个坡面需铺上太阳能片.

方案2 坡顶如图2所示，为由图1消去两端相同的两个三棱锥而得，尖顶屋脊DD1比房屋长度BB1短，有四个坡面需铺上太阳能片.

若房屋长度BB1=2a，宽BC=2b，屋脊高为h，试问哪种尖顶铺设的太阳能片比较节省？说明理由.

解析设AD=x，0

S△BCD=12BC•DE

DE=x2+h2S△BCD=b•x2+h2,

2S△ADB=AD•AB

AB=h2+b22S△ADB=x•h2+b2,

令b•x2+h2>x•h2+b20＜x＜b,

∴当0

当x=b时，2S△ADB=S△BCD，两种方案一样；

当bS△BCD，第二种方案省.

二、创新能力要考查，操作水平分高下

【背景材料】根据新课程目标，高考命题的原则之一就是能力立意，即以数学知识为载体，从问题入手，把握学科的整体意义，用统一的数学观点组织材料，对知识的考查侧重于理解和应用，尤其是综合和灵活的应用，以此来检测考生将知识迁移到不同情境中去的能力，从而检测出考生个体思维的广度和深度。

【命题分析】通过空间想象，直观猜想，归纳抽象，符号表达，运算推理，演绎推理和模式构建等方面，对客观事物中的数量关系的数学模式进行思考和判断，形成和发展理性思维，构成数学能力的主体。

【试题设计】（1）给出两块面积相同的正三角形纸片（如图3，图4）,要求用其中一块剪拼成一个正三棱锥模型，另一块剪拼成一个正三棱柱模型，使它们的全面积都与原三角形的面积相等，请设计一种剪拼方法，分别用虚线标示在图3、图4中，并作简要说明。

（2）试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小。

（3）如果给出的是一块任意三角形的纸片（如图5），要求剪拼成一个直三棱柱模型，使它的全面积与给出的三角形的面积相等，请设计一种剪拼方法，用虚线标示在图5中，并作简要说明。

解析（1）如图6，沿正三角形三边中点连线折起，可拼得一个正三棱锥.

如图7，正三角形三个角上剪出三个相同的四边形，其较长的一组邻边边长为三角形边长的14，有一组对角为直角，余下部分按虚线折起，可成为一个缺上底的正三棱柱，而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个正三棱柱的上底.

（2）依上面剪拼的方法，有V柱>V锥.

推理如下： 

设所给出正三角形纸片的边长为2，那么，正三棱锥与正三棱柱的底面都是边长为1的正三角形，其面积为34，现在计算它们的高：

h锥=1－23×322=63,

h柱=12tg30°=36.

∴V锥－V柱=13h锥－h柱×34

=69－36×34=22－324<0,

∴V柱>V锥.

（3）如图8，分别连接三角形的内心与各顶点，得到三条线段，再以这三条线段的中点为顶点作三角形，以新作的三角形为直三棱柱的底面，过新三角形的三个顶点向原三角形三边作垂线，沿六条垂线剪下三个四边形，可以拼接成直三棱柱的上底，余下部分按虚线折起，成为一个缺上底的直三棱柱，即可得到直三棱柱模型.

三、交通安全系人命，标识器材不能少

【背景材料】我国汽车工业正在不断发展，不少新手上路或其他原因导致近几年交通安全事故逐渐增加。为了减少交通事故，一方面要加强安全执法，另一方面要增加必要的安全器材。

【命题分析】一般来说安全器材是一个组合体，它的设计涉及到几何体的三视图、面积体积的计算、位置关系的确定等知识。

【试题设计】某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图9所示,墩的上半部分是正四棱锥PEFGH,下半部分是长方体ABCDEFGH.图10、图11分别是该标识墩的正(主)视图和俯视图.

（1）请画出该安全标识墩的侧(左)视图;

（2）求该安全标识墩的体积；

（3）证明:直线BD平面PEG.

解析 (1) 侧视图同正视图,如图12所示.

（2）该安全标识墩的体积为：

V=VPEFGH+VABCDEFGH=13×402×60+402×20=32 000+32 000=64 000(cm3).

（3）如图13,连接EG,HF及 BD，EG与HF相交于O,连接PO.

由正四棱锥的性质可知,PO⊥平面EFGH,∴PO⊥HF.

又EG⊥HF,∴HF⊥平面PEG.

又BD∥HF,∴BD⊥平面PEG.



牛刀小试

1. 一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法：①单向倾斜；②双向倾斜；③四向倾斜.记三种盖法屋顶面积分别为Ｐ１、Ｐ２、Ｐ３．

若屋顶斜面与水平面所成的角都是θ，则p1,p2,p3的大小关系是。

1. 用一块钢锭浇铸一个厚度均匀，且全面积为2平方米的正四棱锥形有盖容器（如图14），设容器的高为h米，盖子边长为a米．

（1）求a关于h的函数解析式；

（2）设容器的容积为V立方米，则当h为何值时，V最大？求出V的最大值．（求解本题时，不计容器的厚度）

2. 在抗洪抢险的大堤上，有一个三角形的遮阳棚△ABC（如图15所示）其中A,B是地面上南北方向的两个定点，正西方向射出的太阳（用点O表示）光线与地面成锐角θ，△ABD为光照遮阳棚产生的阴影。

（1）遮阳棚与地面成多大的角度时，才能使阴影△ABD的面积最大？

（2）当AC=3,BC=4,AB=5,θ=30°时，求出阴影△ABD的最大面积.

【参考答案】

1. 由射影面积公式S射影=S原cosθ可得p1=p2=p3.

1. （1）设h′为正四棱锥的斜高，

由已知a2+4•12h′a=2,h2+14a2=h′2,解得a=1h2+1(h>0).

（2） V=13ha2=h3(h2+1)(h>0),

易得V=13h+1h.

∵h+1h≥2h•1h=2，∴V≤16，

等式当且仅当h=1h，即h=1时取得最大值，

故当h=1米时，V有最大值，V的最大值为16立方米．

图16



2. 过C作AB的垂线，垂足为E，则DE为CE在地面上的射影，且AB⊥平面CED.

∵AB⊥ED,∴∠CED是平面ABC与平面ABD所成的角.

又∵AB平面ABD,AB⊥平面CED,∴平面CED⊥平面ABD.

∴CD在平面ABD内的射影落在DE上.∴∠CDE=θ.

设∠CED=α,在△CED中，

DEsin(θ+α)=CEsinθ,DE=sin(θ+α)sinθ•CE，

∴S△ABD=12•AB•DE=12•AB•CE•sin(θ+α)sinθ.

∴当θ+α=π2时，即α=π2－θ时，阴影△ABD的面积最大.

（2）由（1）知AB=5,CE=125,α=60°,

∴阴影△ABD的最大面积为12×5×125×112=12.

9.几何规划在飞机总体设计中的应用篇九

系统地讨论了代数多项式的算术-几何均值定理,并对原型几何规划理论作出了简明的`推导与分析.提出了具有缩并迭代特性的几何规划求解理论和编程步骤.还用2个工程设计的优化求解算例来说明这种缩并迭代几何规划优化求解特点和优点.例1显示了几何规划的工程实用性和简易性;例2通过轻型飞机总体方案参数优化,说明所提出的优化方法,可随设计人员思路的变动而得到及时地相适应.

作者：王小宛刘天丰张永顺 WANG Xiao-wan LIU Tian-feng ZHANG Yong-shun 作者单位：北京航空航天大学,飞行学院,北京,100083 刊名：航空学报 ISTIC EI PKU英文刊名：ACTA AERONAUTICA ET ASTRONAUTICA SINICA 年，卷(期)： 20(6) 分类号：V212.13 O221 关键词：优化设计数学规划几何规划飞机设计

10.几何艺术在现代女装设计中的应用篇十

0引言

纵观我国的服装设计历程，几何艺术的运用主要是在装饰纹样上。虽然我国运用是比较早，大多是美注在平而几何图案上，而国外对于几何服装设计造型已经不仅仅处在平而的几何设计，而是将目光锁定在探索服装立体式几何轮廓的设计上，这不仅体现了服装具有很强的创造性，而且也侧重对人的美注。比如:英国朋克之母维维思韦斯特伍德、高田贤三、俄罗斯时装设计师这些设计师经常运用几何元素进行设计。在2014年的米兰时装周，展台的服装对色彩和几何图案设计大放异彩。法奥斯托普吉立斯2014秋冬女装秀，这整个系列中的黑色、象牙色、蓝绿色和紫色被设计师分割成几何形状，以流程的线条拼接在一起，设计上更偏向于将几何形状与艺术形式融合在一起。

11.立体几何中的应用问题篇十一

立体几何中的探索性问题一般描述的是动态过程，需要一定的空间想象能力，而向量可以使复杂的问题简单化，降低思维难度，可操作性强，能有效提高数学学习效率.

下面列举几种常见的用向量法解决立体几何中探索性问题的类型与方法.

一、与平行有关的探索性问题

问题1：如图1，四棱锥S-ABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点.若SD⊥平面PAC，问：侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC？若存在，求线段CE：ES的值.若不存在，说明理由.

因为BE不在平面PAC内，故BE ∥平面PAC .

点评：假设点 E 是线段SC上的点，一般可设=λ（0≤λ≤1）求出λ值，通过建立坐标系，向量的坐标是通过已知可求的，即可用λ表示向量.根据BE∥平面 PAC，由与面PAC的法向量垂直解出λ.立体几何中的点的位置的探求经常借助于空间向量，设比值引入参数，根据题中已知和所求结论转化成向量问题，解出参数.这是立体几何中的点的位置的探求的常用方法.

二、与垂直有关的探索性问题

问题2：如图2，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥面ABCD，NB⊥面ABCD，且MD=NB=1，E为BC中点，问：在线段AN上是否存在一点S，使ES⊥平面AMN？若存在，求线段AS的长；若不存在，说明理由.

点评：空间中的线线、线面、面面垂直都可转化为两向量的垂直来解决，本问题也可以利用向量与平面 AMN 的一个法向量共线来求得 S 的位置.

三、与角有关的探索性问题

问题3：已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，△PAD是正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E、F、G分别是PA、PB、BC的中点. 问：线段 PD上是否存在一个动点M，使得直线GM与平面EFG所成角为，若存在，求线段PM的长度，若不存在，说明理由.

12.数学思想在立体几何中的应用篇十二

数学思想方法是数学知识的精髓, 是数学解题的武器, 是知识转化为能力的桥梁.立体几何是高中数学的重要内容, 这部分内容蕴含着丰富的数学思想方法. 在立体几何学习中, 单纯靠题海战术盲目操练是很难获得理想成绩的, 我们必须将自己置身于解题的更高境界:灵活运用数学思想方法, 高屋建瓴, 把握知识的本质和内在规律, 提高思维效率, 迅速找到突破口, 机智转化, 绕过难点, 顺利获解. 本文通过实例介绍几种数学思想方法在立体几何中的应用.

一、转化思想

转化思想是立体几何中最重要的思想方法, 贯穿在立体几何教学的始终.有意识地将问题进行转化, 转化为熟悉的、简单的、基本的问题, 有助于化难为易, 化繁为简, 使问题得到解决.转化的方式, 灵活多样, 如空间问题向平面问题转化, 位置关系的转化, 位置关系中的定性与定量的转化, 又如化曲为直, 化折为直, 等等.

例1 如图1, 已知棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中, E、F是BB1和DD1的中点, 求点D1到平面AEC1F的距离.

解析:连结A1C1、D1B1交于O点, 连结AC1、EF, 作OH⊥AC1, H为垂足.

因为E、F是BB1、DD1中点, 所以D1B1//EF, 所以D1B1//面AEC1F

.因为D1B1⊥A!C1, D1B1⊥A1A, 所以D1B1⊥面A1AC1, 所以EF⊥面A1AC1.

因为EF⊂面AEC1F, 所以面A1AC1⊥面AEC1F,

因为OH⊥AC1, 所以OH⊥面AEC1F,

即OH⊥AC, 所以OH⊥面AEC1F,

即OH为所求点D1到平面AEC1F的距离.

至此, 三维空间问题已转化为二维平面问题, 已迈过“难关”, 走向“坦途”.

易得点D1到平面AEC1F的距离为 $\frac{\sqrt{6}}{6} a .$

二、整体思想

整体思想在数学解题中有着重要的应用.有一些立体几何题, 如果能从整体着眼, 适当处理, 就能化繁为简, 事半功倍.

例2 长方体的全面积为11, 十二条棱长度之和为24, 求这个长方体的对角线长.

解:设此长方体的长、宽、高分别为x, y, z, 对角线长为l,

则由题意得

${\begin{cases} 2 (x y + y z + z x) = 11, \\ 4 (x + y + z) = 24 \end{cases},$

由4 (x+y+z) =24, 得x+y+z=6.

从而由长方体对角线性质得

$\begin{array}{l} l = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}} = \\ \sqrt{(x + y + z)^{2} - 2 (x y + y z + z x)} = \sqrt{6^{2} - 11} = 5 . \end{array}$

所以长方体的对角线长为5.

三、分类讨论思想

在立体几何中有时由于条件给出的点线面的位置关系不确定而引起分类讨论, 这类问题的结果常有多解发生.但是我们解题时, 往往容易忽略其中引起讨论的因素而造成漏解.

例3 空间一点P到二面角α-l-β的两个面的距离分别是1和 $\sqrt{2}$ , 到棱的距离是2, 求二面角的大小.

解: 如图2, 设PA⊥α于A, PB⊥β于B,

则 $Ρ A = 1, Ρ B = \sqrt{2}, Ρ A ⊥ l, Ρ B ⊥ l,$

所以l⊥平面PAB.设平面PAB与l交一点C,

则∠ACB为二面角α-l-β的平面角,

且PC⊥l, PC=2,

因此, 在Rt△PBC中, ∠PCB=45°;

在Rt△PAC中, ∠PCA=30°.

(1) 当P在∠ACB内部时, ∠ACB=45°+30°=75°

(2) 当P在∠ACB外部时, ∠ACB=45°-30°=15°.

即二面角α-l-β的大小为75°或15°.

四、类比思想

大数学家波利亚说过:“类比是某种类型的相似性, 是一种更确定的和更概念性的相似.”类比是将生疏的问题和熟知的问题进行比较, 对生疏的问题作出猜想, 并由此寻求问题的解决途径或结论, 是提出新问题和作出新发现的一个重要源泉, 是一种较高层次的信息迁移, 被誉为科学活动中“伟大的引路人”、“人类认知的核心”.平面与空间的类比是中学数学中最常见的类比, 利用类比可以显著提高立体几何学习效率.从平面几何类比到立体几何, 往往是直线升维为平面, 面积升维为体积, 三角形升维为三棱锥, 圆升维为球.

例4 在平面几何里有勾股定理:“设△ABC的两边AB、AC互相垂直, 则AB2+AC2=BC2.”拓展到空间, 类比平面几何的勾股定理, 研究三棱锥的侧面面积与底面面积之间的关系, 可以得出的正确结论是:“设三棱A-BCD的三侧面ABC, ACD, ADB两两垂直, 则__.”

解析:在平面上是线的关系, 在空间呢?假若是面的关系, 类比一下:直角顶点所对的边的平方是另外两边的平方和, 而直角顶点所对的面会有什么关系呢?

大胆猜测S $_{△ B C D}^{2}$ =S $_{△ A B C}^{2}$ +S $_{△ A C D}^{2}$ +S $_{△ A D B}^{2}$ .

事实上, 如图3作AE⊥CD, 连BE, 则BE⊥CD,

$S_{△ B C D}^{2} = \frac{1}{4} C D^{2} \cdot B E^{2} = \frac{1}{4} C D^{2} (A B^{2} + A E^{2}) = \frac{1}{4} C D^{2} \cdot A B^{2} + \frac{1}{4} C D^{2} \cdot A E^{2} = \frac{1}{4} C D^{2} \cdot A B^{2} + S_{△ A C D}^{2} = \frac{1}{4} (A C^{2} + A D^{2}) \cdot A B^{2} + S_{△ A C D}^{2} = S_{△ A B C}^{2} + S_{△ A C D}^{2} + S_{△ A D B}^{2} .$

五、运动变化思想

运动变化思想是数学中重要的思想方法.运用它易于揭示概念的本质, 便于认识事物的性质, 发现规律.立体几何中, 不少的知识和问题蕴含着这一思想方法.

例5 求正三棱锥相邻的两个侧面所成的二面角大小的取值范围.

解析:因为这个正三棱锥是动态的, 无法作出相邻的两个侧面所成的二面角的平面角, 故不能通过常规途径算出其范围, 既然是动态的图形, 我们则可以从图形的极限情形出发思考这个问题. 当正三棱锥的高接近于零时, 相邻的两个侧面趋向于在底面内, 故二面角大小趋向于π, 但不能等于π;当正三棱锥的高趋向于+∞时, 正三棱锥趋向于正三棱柱, 故二面角大小趋向于 $\frac{π}{3}$ , 但不能等于 $\frac{π}{3}$ . 故相邻的两个侧面所成的二面角大小的取值范围为 $(\frac{π}{3} ‚ π)$

六、构造思想

某些立体几何问题, 通过联想, 添加辅助线、面、体或构造直观的模型, 可转化为熟知的形象, 迅速沟通已知与求知, 起到搭桥铺路的作用, 从而提高思维效率, 轻松获解.

例6 四面体D-ABC中, 三组对棱分别相等, 且依次为 $2 \sqrt{5} ‚ 2 \sqrt{13} ‚ 2 \sqrt{10}$ , 求该四面体的体积.

解:构造如图4所示长方体, 使得四面体D-ABC的对棱分别为长方体相对面的对角线.

设长方体的三度分别为a, b, c.

$\begin{array}{l} 则 {\begin{cases} a^{2} + b^{2} = (2 \sqrt{5})^{2} \\ b^{2} + c^{2} = (2 \sqrt{13})^{2} \\ c^{2} + a^{2} = (2 \sqrt{10})^{2} \end{cases} \Rightarrow {\begin{cases} a = 2 \\ b = 4 \\ c = 6 \end{cases} . \\ V_{A B C D} = V_{长方体} - 4 V_{三棱锥} = a b c - 4 \times \frac{1}{6} a b c = \frac{1}{3} a b c = 16 . \end{array}$

故该四面体D-ABC的体积为16.

七、函数思想

利用函数的概念和性质去分析和解决问题, 在立体几何中也有显著的成效.

例7 圆锥的底面半径为2 cm, 高为4 cm, 求圆锥的内接圆柱的侧面积的最大值.

解:画出圆柱和圆锥的轴截面.

设所求圆柱的底面半径为r, 母线长为l, 侧面积S圆柱侧=2πlr.

因为 $\frac{r}{2} = \frac{4 - l}{4}, l = 4 - 2 r .$

所以S圆柱侧=2πlr=2π·r· (4-2r) =-4π (r-1) 2+4π≤4π.

所以当r=1时, 圆柱的侧面积最大且Smax=4π cm2.

八、方程思想

方程思想是通过问题中已知量与未知量 (或参变量) 之间的数量关系, 运用数学的符号语言转化为方程 (组) , 使问题获解的思想方法. 这种思想方法, 在立体几何中应用广泛.

例8 如图6, 在三棱锥V-ABC中, 底面△ABC是以∠B为直角的等腰三角形,

又V在底面ABC上的射影在线段AC上且靠近C点, 且 $A C = 4, V A = \sqrt{14} ‚ V B$ 和底面ABC所成角为45°.

① 求V到底面ABC的距离;

② 求二面角V-AB-C的大小.

解: ①因为V在底面ABC上射影在线段AC上, 所以过V作VH⊥底ABC, ,

则H在AC上且靠近C点, 所以面VAC⊥面ABC.

在等腰Rt△ABC中, 连结BH. 取AC中点O, 连结OB.

设VH=h, 则依题知BH=h.

在△OHB中, $B Ο ⊥ A C ‚ Ο B = 2, Ο Η = \sqrt{h^{2} - 2^{2}} .$

在Rt△VHA中, VA2=HA2+VH2, 则 $h^{2} + (\sqrt{h^{2} - 4} + 2)^{2} = (\sqrt{14})^{2},$

解得 $h = \sqrt{5}$ . 所以V到底面ABC的距离为 $\sqrt{5} .$

② 在 $h = \sqrt{5}$ 时, $Ο Η = \sqrt{h^{2} - 2^{2}} = 1$ , 过H向AB作垂线, 垂足M, 连结VM,

则∠VMH为二面角V-AB-C的平面角.

因为 $Η Μ = \frac{3}{4} \cdot B C = \frac{3}{4} \cdot 2 \sqrt{2} = \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ , 所以 $\tan ∠ V Μ Η = \frac{\sqrt{10}}{3} .$

故所求二面角V-AB-C的大小为

$\arctan \frac{\sqrt{10}}{3} .$

九、数形结合思想

在立体几何中, 一些问题需要从图形出发, 形中找数, 数中找形, 互相推演, 这种“数”与“形”的信息转换, 相互渗透, 可以使求解过程简捷、明快. 因此, 我们解立几题的出发点还是数与形的有机结合和转化.

例9 已知二面角α-PQ-β为60°, 点A和B分别在平面α和β内, 点C在棱PQ上, ∠ACP=∠BCP=30°, CA=CB=2.

①求证:AB⊥PQ;②求点B到平面α的距离;

③设R是线段CA上一点, 直线BR与平面а所成角是45°, 求线段CR的长度.

解: ① 过点B作BD⊥PQ于D, 连结AD, 则△BDC≌△ADC, 所以AD⊥PQ, 所以PQ⊥平面ABD, 所以AB⊥PQ.

②由①知PQ⊥平面ABD, 所以平面ABD⊥平面α.由①知∠ADB为二面角α-PQ-β的平面角,

所以∠ADB=60°, 又AD=BD, 所以△ADB为等边三角形.

取AD中点E, 连结BE, 则BE⊥AD, 又平面ABD⊥平面α, 所以BE⊥平面 $α . ‚ B E = \frac{\sqrt{3}}{2}$ , 即点B到平面α的距离为 $\frac{\sqrt{3}}{2} .$

③连结ER, 则∠BRE为直线BR与平面α所成角, 所以∠BRE=45°, 所以 $E R = B E = \frac{\sqrt{3}}{2}$ , 又E为AD中点, $D C = \sqrt{3}$ , 所以R为AC中点, CR=1.

十、参数思想

参数思想在立体几何中有着广泛的应用, 线段长度参数、角参数可以把立体几何问题化归为代数或三角问题求解.参数的引入可绕过难点, 架起已知和未知间的桥梁, 从而使解题更具有灵活性.

例10 如图9, 直三棱柱ABC-A1B1C1中, $A B = \sqrt{2}, . A C = 3, B C = \sqrt{5}$ .在棱BB1上是否存在点E, 使二面角E-AC1-C是直二面角?若存在, 求出 $\frac{B E}{B B_{1}}$ 的值; 若不存在, 说明理由.

解: 过B作BO⊥AC, 垂足O.由余弦定理得 $\cos ∠ A C B = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ , 所以CO=2.BO=AO=1.以O为原点, 分别以CA、OB所在直线为x、y轴, 建立如图所示空间直角坐标系O-xyz.设BB1=h, BE=m, 则 $A (1, 0, 0), E (0, 1, m), C_{1} (- 2, 0, h), \vec{A E} = (- 1, 1, m), \vec{C_{1} E} = (2, 1, m - h) .$

设平面ACC1A1的法向量为 $\vec{n} (0, 1, 0)$ , 由二面角E-AC1-C是直角二面角, 得 $\vec{n} = λ \vec{A E} + u \vec{C_{1} E} (λ, u \in R),$

所以, 解得 $m = \frac{h}{3} .$

故在棱BB1上存在点E, 使二面角E-AC1-C是直二面角, 此时 $\frac{B E}{B B_{1}} = \frac{1}{3} .$

13.立体几何中的应用问题篇十三

2009-06-25 14:38 来源: 作者：网友评论 0 条浏览次数 216 【摘要】几何画板是一个易学易用的数学ＣＡＩ开发工具（平台），它的最大优势在于几何图形的动态化和“形”与“数”的同步化.运用几何画板辅助高等数学教学，可以优化课堂教学，提高教学质量.【关键词】几何画板高等数学数学思想

高等数学课程是高校非数学专业的一门重要的基础课.它为专业课程的学习提供了必不可少的数学基础知识和常用的数学方法.并且通过各个教学环节，逐步培养学生具有抽象概括能力、逻辑推理能力、运算能力、自学能力和分析解决问题的能力.高等数学的学科性质决定了在教学过程中存在着大量的抽象性的概念和严密的推理.由于我们长期采用传统“黑板＋粉笔”的教学手段，影响了教学质量的进一步提高.因此，多媒体软件的应用，可以优化课堂教学，大幅度地提高教学质量.在目前的教学中，Ｍａｐｌｅ，Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａ，ＭＡＴＬＡＢ等软件使用较为广泛，本文则主要对几何画板在高等数学教学中的应用作些探讨.几何画板是一个易学易用的数学ＣＡＩ开发工具（平台），较其他数学ＣＡＩ开发平台，它的最大优势在于几何图形的动态化和“形”与“数”的同步化.所谓几何图形的动态化是指：几何画板不仅能准确、快速、方便地在平台上完成尺规作图（画图的方法与步骤几乎与用圆规、直尺在黑板和白纸上画图相同），而且图形可以随意运动，图形的大小可以任意改变，并在变化过程中保持几何性质和图形间的关系不变；所谓“形”与“数”的同步化是指：几何画板画完图后，马上就可以测算出“图形对象”的数值，并能把“数”和“形”的潜在关系及其变化动态地显现出来.基于几何画板的这些特点，把几何画板引入高等数学教学中，能使抽象的数学教学内容直观形象化，从现象到本质，从抽象到具体，化难为易，便于学生理解和思考；此外，它能辅助创设学习情境，突破教学难点，渗透数学思想，丰富和扩展数学学习内容和形式，给予学生“做数学”的环境，提高学生的学习兴趣，并培养其发散思维和学习能力.1.合理运用几何画板辅助高等数学教学，能创设学习情境，调动学生的学习兴趣，并在教学过程中有效地渗透数学思想和数学美的教育.高等数学里有很多的思想，比如极限的思想，积分的思想等等.这类思想比较抽象，借助于几何画板，将抽象的概念、公式形象化.例如，定积分的教学中“以直代曲、无限趋近”的数学思想，可以通过几何画板制作的课件直观地表达出来.先简单迅速地回顾圆面积的求法，用圆的内接正多边形去逼近它，当边数逐渐增加时，正多边形的面积就越来越接近圆的面积.当边数趋于无穷时，圆内接正多边形的面积就是圆的面积.这一引入如果是教师利用传统的粉笔和尺规来完成的，不免冗长乏味.而利用几何画板制作的课件来展示（图１、图２），改变了数学老师“一言堂”的传统教学方法，不仅可以调动学生的学习兴趣，节约作图时间，创设学习情境，且动态的变化过程能恰如其分地体现“以直代曲、无限趋近”的数学.了教学难点，令学生对问题的观察、试验和归纳成为现实.2.几何画板提供了图形“变换”的动感，使抽象的数学教学内容直观形象化，迅速突破

在以求曲边梯形的面积为例引入定积分定义时，传统教学中顶多可以把几个变化值告诉学生，但随着一个微小的变化，数量都发生了什么样的变化只能依赖语言进行抽象的描述，学生往往感到难以理解.而用几何画板制作的课件辅助教学则能避免这种抽象的说教.利用几何画板带参数的迭代功能，可以从图像上演示当n逐渐增大时，小矩形面积之和就逐渐接近曲边梯形的面积，而画板丰富的测算功能直观地显示了在图形变化过程中数量的变化（图３、图４），此外，还可以改变函数，通过不同的特例让学生观察（图５）.图形“变换”的动感，给学生一种耳目一新的视觉感受，同时老师提出问题，让学生边观察边思考，从画面中去寻求问题解决的方法和依据，认清问题的本质，在轻松中解决了难题.3.几何画板为“数形结合”创造了一条便捷的通道，它丰富和扩展了数学学习的内容和形式，调动了学生学习数学的积极性和主动性，且有利于培养学生的发散思维和学习能力.我国著名数学家华罗庚曾指出，“数缺形时少直观，形少数时难入微”.数学具有高度的抽象性，难以学习是学生公认的，究其主要原因是数与形的分离，而用几何画板辅助教学就能达到数形结合、化难为易、扫除学习障碍的目的.例如，在讲解导数的几何意义时运用几何画板制作的课件，能动态演示函数曲线ｙ＝ｆ（ｘ）的割线ＭＮ绕点Ｍ旋转而趋于极限位置，即切线ＭＴ（图６）.此外，几何画板能快速准确地描绘初等函数图像，这对于考查函数的单调性、凹凸性、极值以及敛散性等性质都提供了直观上的理解和帮助.总之，几何画板给高等数学课堂教学注入了活力，它为抽象的问题提供了直观的背景，突破和改进了传统的教学模式.但高等数学有它自身的特点，如果教师的教学过于直观，过分地依赖课件的演示功能，则会降低学生的思维水平，影响学生思维的发展.直观不是最终目的，应该从直观进一步发展形象思维，再过渡到抽象思维理性认识.因此滥用几何画板脱离课堂教学是不可取的.运用几何画板辅助教学时，要注意讲解与课件相融合，板书与计算机演示相结合，将信息技术与教育技术进行有机整合.【参考文献】

［１］刘胜利．几何画板课件制作教程［Ｍ］．北京：科学出版社，２００５．

［２］陈世兴．高等数学［Ｍ］．上海：华东师范大学出版社，２００１．

［３］曾令坤．用几何画板进行数学分析实验［Ｊ］．广西梧州师范高等专科学校学报，２００６（１）．

14.立体几何中的应用问题篇十四

《义务教育数学课程标准（2011

年版）》（以下简称《标准》）指出：现代信息技术作为学生学习数学和解决问题的有力工具，有效地改进教与学的方式，使学生乐意并有可能投入到现实的、探索性的数学活动中去[1].基于此，在初中几何教学中适当合理地利用几何画板软件和多媒体教学一体机的辅助功能，能使几何画图规范、准确、直观化；图形测量计算及几何实验精准化；几何问题解答多样化.进而培养学生通过几何图形的直观性发现数学现象，引发数学想象（猜想），寻求问题解决方法，训练揭示数学本质的逻辑思维能力；达到提升学生数学核心素养的目标.一、利用几何画板凸显图形直观，激发学生数学思维活动

《标准》指出：借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果[1].还可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用.几何画板作出的图形要比黑板上作图更加规范准确且具有很强的直观性，能有效地让学生对几何问题进行直观猜想，催生学生的合情推理智慧，体验数学证明的简洁美和逻辑推理的严谨美.例如，在八年级几何教学中探究四边形的中点四边形时，先利用几何画板作出不同图形的中点四边形，让学进行图形的静态和动态两方面观察，思辨数学现象，激发思维活动；再让学生进行数学猜想，揭示出问题本质（三角形中位线定理的应用）；最后引导学生进行推理证明，收到了良好的效果.案例

已知如图，在任意四边形

ABCD

中，点

E，F，G，H

分别为各边中点；连接

EF，FG，GH，HE

所得的四边形

EFGH

叫做中点四边形.（1）猜想四边形

EFGH

是什么四边形？请证明你的猜想结果；（2）当四边形

ABCD

分别是平行四边形、矩形、菱形、正方形时；四边形

EFGH

是什么样四边形？请画出图形并进行证明.【设计评析】

在以上中点四边形的教学活动中，利用几何画板作图的规范性和准确性画出五种图形，学生根据图形的直观性很快的进行了猜想，大部分学生都说图

图

中的中点四边是平行四边形，思维活动一下子被激活醒了，连续追问其他图中的中点四边形是什么四边形时，大家开始了激烈小组的讨论和几何推理.可见，利用利用几何画版的作图功能，唤醒、激活了学生积极思考数学问题的思维活动，为进一步探究数学知识打下了积极的思维准备.二、利用几何画板精准实验，发展学生数学思维品质

《标准》强调，积极开发和有效利用各种课程资源，合理地应用现代信息技术，注重信息技术与课程内容的整合，能有效地改变教学方式，提高课堂教学的效益.……教学中要尽可能地使用计算器、计算机以及有关软件[1].那么，利用几何画板的精准性对三角形内角和定理的证明非常有帮助：由精准测量计算过渡到合情推理再到演绎推理，不断刺激数学思维活动，促进感性思维向理性思维的递进发展.下面是从三角形内角和定理的发现到实验再到证明的过程.案例

已知△ABC,求证：∠A+∠B+∠C=180°

【设计评析】先让学生自己画一个三角形，用量角器测量计算三个角的和，大部分学生反应三角之和不等于

180°.出现了质疑，这是误差的原因！再在几何画板中画出一个三角形（图

6）用度量功能计算出三个角的和，顿时学生异口同声的回答:三角形的内角和等于

180°！虽然数学计算验证不等于数学证明，但是为逻辑推理提供了感性认识，从实验中发现了证明的思路,运用平行线的性质进行严谨的推理证明如图

7.可见，在关键时刻运用多媒体技术的精密性能使学生的数学思维得以点燃和升华，从而取得良好的教学效果.三、利用教学一体机交互探究，发散学生数学思维能力

图

《标准》在问题解决方面指出，让学生经历从不同角度寻求分析问题和解决问题的方法的过程，体验解决问题方法的多样性，掌握分析问题和解决问题的一些基本方法[1].基于此，充分利用几何画板作图功能和一体机投影、交互功能，来探究几何图形的面积问题（一题多解）时如鱼得水，不断促进学生的发散思维能力.请欣赏下面的问题及解答过程.案例

如图

8，在平面直角坐标中，四边形

OABC

四个顶点的坐标分别是

O（0，0）、A（9，0）、B（7,5）、C(2,7),试求四边形

OABC的面积.解：（方法

1）如图

9，分别过点

B、C

作

BD⊥x

轴，CE⊥x

轴,垂足分别为点

D、E.由题意可知；OE=2,CE=7，ED=5，AD=2，BD=5.所以，S

四边形

OABC=SΔOCE+S

直角梯形

BCED+SΔABD=7+30+5=42.（方法

2）如图

10，由图可知,△OCE,△BCF,△ABD

都是直角三角形，四边形

BFED

是正方形.所以，S

四边形

OABC=SΔOCE+SΔBCF+S

正方形

BFED+SΔABD=7+5+25+5=42.（方法

3）如图

11，过点

作

CD∥

轴，过点

作

AD∥y

轴,则有

与

相交于点

D，连接

BD.所以，S

四边形

OABC=S

直角梯形

OADC-SΔABD-SΔBCD=56-7-7=42.（方法

4）如图

12，过点

作

EF∥x

轴且垂直

轴于点

E,过点

作

AF∥

轴，交

于点

F.易知△OCE,△BCF,△ABD的面积相等.所以，S

四边形

OABC=S

长方形

OAFE-SΔOCE-SΔBCF-SΔ

ABF=63-7-7-7=42.（方法

5）如图

12，过点

作

EF∥x

轴且垂直

轴于点

E,过点

作

DF∥y

轴且垂直于

轴于点

D.EF

与

相交于点

F.显然，有

SΔOCE=7,SΔBCF=SΔABD=5.所以，S

四边形

OABC=S

正方形

OADC+SΔABD-SΔOCE-SΔBCF=49+5-7-5=42.（方法

6）如图

14,构造△OAB

和直角梯形

OBDF.所以，S

四边形

OABC=SΔOAB+S

直角梯形

OBDF-SΔOCF-S

ΔBCD=

-7-5=42.2

（方法

7）如图

15,构造正方形

ADCE,连接

BD,BE.由解法三可知

SΔABD=SΔBCD=7,显然有

SΔ

ABE=SΔBCE=

SΔOCE=7.所以，S

四边形

OABC=2SΔABE+SΔOCE=35+7=42.2,（方法

8）如图

16,连接

AC,过点

作

CE∥x

轴交

于点

E.易知

E(4,5)即

BE=4.所以，S

四边形

OABC=S

三角形

OAC+SΔBCES+ΔABE=42.（方法

9）如图

17,延长

交

轴于点

E,过点

作

BD⊥x

轴，垂足为

D.由

B(9,0)、C

（2,7）可求得直线

BC的解析式为

y=-

直角梯形

ODBE-SΔOCE+SΔABD=44.8-7.8+5=42

则

E（5，5

39,0)即

OE=

.所以，S

四边形

OABC=S

图

（方法10）如图18,延长BC

交y

轴于点E,延长CB

交x

轴于点D.由方法9

可知E（5

,0)，D(0,39).即

OE=

39，OD=

.所以，S

四边形

OABC=S

三角形

ODE-SΔOCES-ΔABD=76.05-7.8-26.25=42.图

【设计评析】先利用几何画板将此题的图

画出来，转化成文本图形打印出.下发给每个小组进行讨论不同的解法.在利用一体机的投影仪将小组讨论结果展现出来，让全班学生进行欣赏评价，小组之间开始了激烈的讨论和比赛。随着一种接一种的不同的正确解法的展示，同学们的思维如插上了发散的翅膀在数学世界里飞翔！最后在教师的引导点拨下

种解法都探究出来了，这样的课堂教学才是学生思维能力得以提高的训练场.这不是多媒体技

术带给我们的好处吗？显然，在初中几何教学中适当合理地利用多媒体技术能使我们的课堂动起来，充满一片生机，出现事半功倍的效果.四、结束语

基于以上论述，教师在漫长的数学教学生涯中，要善于研究多媒体技术，研究学生，研究教材，研究教法，充分的利用多媒体技术设计教学，以便激发、发展、发散学生的数学思维品质，训练学生的探究能力和探究精神，不断完善学生的数学核心素养；

15.空间向量在立体几何中的若干应用篇十五

一、预备知识:

工欲善其事,必先利其器,先来看用向量解决问题的部分基本知识:

设:a=(x1,y1,z1)≠0,b=(x2,y2,z2)≠0

1. 向量平行(共线)的充要条件:a∥b⇔存在实数λ使得a=bλ⇔存在实数λ使得x1=λX2,y1=λy2,z1=λz2。

向量共面的充要条件:x,a,b⇔共面存在实数λ,μ使得x=λa+μb

2. 向量垂直的充要条件:a丄b⇔agb=0⇔x1x2+y1y2+z1z2=0

3. 夹角公式:cos=

4.长度距离公式:

向量的射影:

如图(1):向量a在向量b方向上射影的长度可表示为d这个公式是求空间距离的有力工具。

5. 直线的方向向量

与直线l平行的向量叫该直线的方向向量。是解决直线有关问题的主要工具。

方向向量的求法:

设:A、B是直线l上两点,则:向量AB就是直线l的方向向量

6. 平面的法向量

与平面a垂直的向量叫该平面的法向量。法向量是解决平面有关问题的主要工具。

方向向量的求法:主要是利用线面垂直,即利用法向量垂直于平面的两个不共线的共面向量列方程求解:

设A,B,C是平面a内的点,求平面α的法向量n。

可列方程组其中有三个未知数,可给其中一个未知数在其取值范围内任意取一个值,然后求出另两个未知数,因为一个平面的法向量有无数多个,我们需要的是它的方向,大小可以任意。

下面分有坐标和无坐标两种情况来说明:

(1)有坐标:

例如已知A(1,3,2),B(2,3,6),C(4,2,1)

设:n=(x,y,z),则AB=(1,0,4),AC=(3,-1,-1)

若取z=-1可得x=4,y=13

∴n=(4,13,-1)

(2)无坐标:

无法建立坐标系时可用空间向量基本定理解决,不过计算量可能偏大

若{a,b,c)是空间的一个基底(要求基向量的长度和它们之间的夹角已知)

设:n=xa+yb+zc,先求向量AB,AC然后,可仿上列方程组由于三个基向量和已知AB,AC因此可用(1)的方法求出法向量n。

二、向量的应用

1. 平行

线线平行:即证两直线的方向向量平行

线面平行:a.证直线的方向向量与另一平面内的某个向量(即始点终点都在该平面内)平行。

b.即证直线的方向向量与平面的法向量垂直。

c.设m为直线的方向向量,x,y是与平面平行的向量,则可证m,x,y共面。

面面平行:即证两平面的法向量平行(或证一个平面的法向量垂直于另一平面)。

2. 垂直

线线垂直:即证两直线的方向向量垂直

线面垂直:证明直线的方向向量与平面垂直(参照法向量的求法部分)

面面垂直:a.证其中一个平面内的某个向量(即始点终点都在该平面内)垂直另一个平面。

b.证两平面的法向量垂直。

3. 夹角

线线夹角:先求方向向量的夹角,再根据需要取其结果或其补角。

线面夹角:直线方向向量与平面法向量的夹角(或其补角)的余角,如图(2)

面面夹角(二面角):两面平面的法向量的夹角(或其补角)如图(3)

4. 距离

两点距离:直接用两点的距离公式。

点面距离:如图(4),AH即为向量AB在平面法向量n方向上的射影长度,即线面距离和面面距离可转化点面距离。

两条异面直线的距离:如图(5)AB是两条异面直线的公垂线段,n是AB的方向向量,即与两条异面直线都垂直的向量,其求法与平面法向量求法相同(参照法向量的求法),不需要求A和B的具体位置,然后在两条异面直线上各取一点E、F(已知点),则AB即为向量EF在向量n方向上的射影长度,即。

摘要：向量融数和形于一体。具有代数和几何的双重身份,是求解代数和几何问题的重要工具。几何中绝大多数问题都可以用向量解决。本人就平行、垂直、夹角,距离几方面谈谈空间向量在立体几何中的应用。

【立体几何中的应用问题】推荐阅读：

几何画板在高等数学教学中的应用研究06-17

小升初几何图形问题08-25

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9.几何规划在飞机总体设计中的应用篇九

10.几何艺术在现代女装设计中的应用篇十

11.立体几何中的应用问题篇十一

12.数学思想在立体几何中的应用篇十二

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15.空间向量在立体几何中的若干应用篇十五

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