必修2立体几何证明

2024-11-28

必修2立体几何证明（精选4篇）

1.必修2立体几何证明篇一

必修2空间几何部分公式定理总结

河南省淮阳一高高一B段数学组张明选

棱柱、棱锥、棱台的表面积

设圆柱的底面半径为，母线长为，则它的表面积等于圆柱的侧面积（矩形）加上底面积（两个圆），即

.设圆锥的底面半径为，母线长为，则它的表面积等于圆锥的侧面积（扇形）加上底面积（圆形），即

.设圆台的上、下底面半径分别为，母线长为，则它的表面积等上、下底面的面积（大、小圆）加上侧面的面积（扇环），即

.柱、锥、台的体积公式

柱体体积公式为：，（为底面积，为高）

锥体体积公式为：，（为底面积，为高）

台体体积公式为：

（球的体积和表面积

球的体积公式，分别为上、下底面面积，为高）

球的表面积公式

其中，为球的半径.显然，球的体积和表面积的大小只与半径

有关.公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.公理2 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.推论1 经过一条直线和直线外一点有且只有一个平面.推论2 经过两条相交的直线有且只有一个平面.推论3 经过两条平行的直线有且只有一个平面.公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.公理4(平行公理)平行于同一条直线的两条直线互相平行.定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.空间两条直线的位置关系有且只有三种：

共面直线：相交直线（在同一平面内，有且只有一个公共点）；平行直线（在同一平面内，没有公共点）；异面直线：不同在任何一个平面内且没有公共点.空间中直线与平面位置关系有且只有三种：直线在平面内——有无数个公共点

直线与平面相交——有且只有一个公共点直线与平面平行——没有公共点

直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外.两个平面的位置关系只有两种：两个平面平行——没有公共点两个平面相交——有一条公共直线异面直线所成的角

已知两条异面直线，经过空间任一点

作直线

∥，∥，把

与

所成的锐角(或直角)叫做异面直线两条直线互相垂直，记作

所成的角(夹角).如果两条异面直线所成的角是直角，就说这.异面直线的判定定理

过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线.直线与平面平行的判定定理

平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.直线与平面平行的性质定理

一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线都与该直线平行.两个平面平行的判定定理

一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.推论：一个平面内两条相交的直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面平行

.两个平面平行的性质定理

如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.两个平面平行，还有如下推论：

⑴如果两个平面平行，则一个平面内的任何直线都平行于另外一个平面； ⑵夹在两个平行平面内的所有平行线段的长度都相等；

⑶如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个，那么这条直线也垂直于另一个平面.⑷如果一条直线和两个平行平面中的一个相交，那么它和另一个也相交.直线和平面垂直的概念

如果直线与平面.叫做垂线，内的任意一条直线都垂直，就说

直线与平面叫垂面，它们的交点

叫垂足.互相垂直，记做

直线和平面垂直的判定定理

一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直.直线与平面所成的角

如图，直线斜足；，和平面

相交但不垂直，在平面

叫做平面的斜线，和平面的交点

叫

叫做斜线上的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影

所成的锐角，叫这条直线和平面所成的角.直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是°角.两个平面垂直的判定定理

一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫二面角的棱，这两个半平面叫二面角的面.在二面角于棱的射线的棱上任取一点，则射线

和，以点

为垂足，在半平面

和

内分别作垂直

构成的叫做二面角的平面角.平面角是直角的二面角叫直二面角

.判断两平面垂直的方法：判定定理；求出二面角的平面角为直角.三垂线定理：

平面内的一条直线，如果和平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.如图：在平面

内的直线若垂直于直线，则就一定垂直于平面的斜线

.直线与平面垂直的性质定理

垂直于同一个平面的两条直线平行.平面与平面垂直的性质定理

两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.两个平面垂直的性质还有：

⑴如果两个平面互相垂直，那么经过一个平面内一点且垂直于另外一个平面的直线，必在这个平面内；

⑵如果两个相交平面都垂直于另一个平面，那么这两个平面的交线垂直于这个平面； ⑶三个两两垂直的平面，它们的交线也两两垂直.空间平行和垂直关系的转化

2.必修2立体几何证明篇二

第一章空间几何体

1.1柱、锥、台、球的结构特征

1.2空间几何体的三视图和直观图三视图：

正视图：从前往后侧视图：从左往右俯视图：从上往下 2 画三视图的原则：

长对齐、高对齐、宽相等

3直观图：斜二测画法

4斜二测画法的步骤：

（1）.平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴；

（2）.平行于y轴的线长度变半，平行于x，z轴的线长度不变；

（3）.画法要写好。用斜二测画法画出长方体的步骤：（1）画轴（2）画底面（3）画侧棱（4）成图

1.3 空间几何体的表面积与体积

（一）空间几何体的表面积

1棱柱、棱锥的表面积：各个面面积之和圆柱的表面积Srl2  r23 圆锥的表面积S2 圆台的表面积Srlr2 rlr2RlR25 球的表面积S4R2

（二）空间几何体的体积

1VS底h2锥体的体积VS底h 3

3.必修2立体几何证明篇三

课程分析:本节课是在学习了直线斜率和倾斜角基础上，对直线方程几种形式的探究。直线方程的几种形式是以后研究直线与圆、直线与圆锥曲线的基础，是今后学习整个解析几何的基础，因此，本节课必须重视基础知识、基本方法的学习和掌握，在激发学生学习兴趣、提高学生学习能力上下功夫。

教学重点：各种直线方程的推导，直线的点斜式方程是直线方程的重中之重；

教学难点：理解各种直线方程形式的局限性，求直线方程的灵活性，理解直线方程与二元一次方程的对应关系。

学情分析：通过前面内容的学习，学生已经对解析几何这一数学学科有了基本的了解，知道了解析几何是用代数方法研究几何问题。由于这一节学生基础不是很好，但学习积极性较高，思维活跃，所以教学中既要放手给学生，又要注意引导学生，让学生始终是课堂的主人。

设计理念：本节课的课型为“新授课”，采用“问题探究式”的教学方法。遵循“探索---研究---运用”的三个层次，提出问题，采用多角度、不同形式的探究过程，让学生积极参与到教学活动中来，并且始终处于积极的问题探究和辨析思考的学习气氛中，让学生动脑思、动口议、动手做，充分发挥学生的主体地位，而且教师要启发的恰到好处。采用多媒体辅助教学，增强直观性，增大课堂容量，提高效率。

学习目标：掌握由一点和斜率导出直线方程的方法；掌握直线的点斜式、斜截式、两点式和截距式方程，并能根据条件熟练地求出直线的方程。通过由一点和斜率导出直线方程的方法的研究，体会数形结合思想，锻炼用代数方法解决几何问题的能力；通过不同形式的自主学习和探究活动，体验数学发现和创新的历程。发扬学生积极参与、大胆探索的精神以及合作意识；通过让学生体验成功，增强学习数学的兴趣和信心。教学过程：

一、复习引入

问题1：什么叫做直线的方程？方程的直线？问题

2、A(x1,y1)、B(x2,y2)是直线l上任意两点，其中x1 x2，则直线l的斜率k=__________;垂直于x轴的直线，斜率k________，平行于x轴或与x轴重合的直线，斜率k_______。

3、怎样确定一条直线？

（点评：复习旧知，强调直线的方程、方程的直线的概念，并引导学生发现直线方程是直线上任意一点坐标(x,y)的关系式，为推导直线方程作铺垫）

二、概念形成

合作探究：

1.已知直线l过点P0(x0,y0),且斜率为k，直线l的方程是什么？

（点斜式方程是本节课的重点和基础，用探究点的形式让学生自主探索，发现结论，化难为易，突出重点。)（实录：教师分析，由直线方程的定义可知，要求直线l的方程，就是求直线l上任意一点P(x,y)中x、y满足的关系式，那么怎样利用已知条件求(x,y)满足的关系式？学生在教师引导下，导出结论。教师大屏幕展示正确结论，学生对照订正，从而肯定自己的想法，修正不足，由此提高学生学习的自觉性。根据学生回答，教师归纳出点斜式方程，并板书方程，强调方程特征。点出课题“直线方程的几种形式”，强调点斜式方程是本节课的重中之重，板书课题。）

思考：

1推导过程为什么要求点P(x,y)为直线l上不同于P0(x0,y0)的任意一点? 2在直线方程中,k取遍所有实数，可得无数条直线，这些直线都一定过哪一个点？方程表示经过该点的所有直线吗？由此，点斜式方程的适用范围是什么？

3当斜率不存在时，直线的方程是什么？k=0时，直线方程是什么？

（对问题，学生都能回答，教师鼓励并适时点评。教师提出问题：该直线是否能表示过定点P0(x0,y0)的所有直线？通过观察，学生发现，方程并不能表示直线，也就是斜率不存在时并不能用点斜式方程。根据以上，学生得出结论，教师小结，并在板书的方程上做好重点标记，学生顿悟并记忆方程。）

三、应用举例例1求下列直线的方程：(1)直线：过点（2，1）,k=-1;(2)直线：过点（-2，1）和点（3，-3）（点评：（1）题直接套用公式，使学生熟悉并掌握公式；（2）题需要先求斜率，再任选一点套用公式。学生练习，教师巡视，给予个别指导。）

四、概念深化

合作探究：

引申：已知两点A(x1,y1)、B(x2,y2)，其中，求直线AB的方程。

（点评：通过点斜式方程的学习，学生已具备独立推导的能力。而此探究点，仅是把点和斜率用字母表示，是点斜式方程的运用。因此学生“跳一跳，就能摘到桃子”。此探究点的设计，既熟练了点斜式方程的运用，又得出了新的方程形式。通过自主探究，提高了学生分析问题、解决问题的能力，而且学生充分体验到了成功的喜悦，增强了学生的自信心。学生独立思考并在学案上完成，教师点评并表扬学生，指出同学们已经得出了直线方程的另两种形式：斜截式和两点式。强调每种形式方程的特征，并让学生领悟记忆。引导学生小结1点斜式方程是基础；2斜截式和两点式方程的适用范围；3斜截式和两点式方程的特征，并板书方程。）

五、能力提高提高性练习：

直线l在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，且，求证直线l的方程是.（点评：学生会有多种解题方式，让学生叙述做法，互相交流，互相学习，有利于培养学生的多种思维方式。而在众多方法中，两点式是最为合适的方法。学生通过比较得出应针对条件选择方程形式，而且通过探索得出一般结论，这对于提高学生思维的深刻性和敏捷性大有好处。学生在学案上完成，针对学生解答，教师作点评。得出截距式方程并板书，引导学生分析结构特征及方程的适用范围，学生顿悟并记忆。）针对性练习：直线经过两点（3，0）,（0，4），求直线方程.(点评：此题考察直线方程的截距式形式，只要是认真听课的学生都能回答，因此大大增强了学生的自信心。找一基础稍差学生回答，但回答得非常好，教师不失时机地给予表扬。）

六、总结反思

1、知识方面：直线方程的四种形式及适用范围；

2、题型方法：题型是知道条件求直线方程；方法是针对不同的条件选用不同方程形式；点评：学生通过回顾反思，对本节内容有一个系统认识。3分钟交流讨论，学生回顾并总结，教师做点评并完善，在黑板上用箭头标出四种方程形式的关系，突出点斜式的地位。总结内容用多媒体展示。

七、随堂检测

1、直线的点斜式方程()A、可以表示任何一条直线 B、不能表示过原点的直线 C、不能表示与x轴垂直的直线 D、不能表示与y轴垂直的直线