极限计算方法总结

2024-10-13

极限计算方法总结（精选15篇）

1.极限计算方法总结篇一

二重极限的计算方法小结

内容摘要

本文在二元函数定义基础上通过求对数，变量代换等方式总结了解决二重极限问题的几种方法，并给出相关例题及解题步骤。及二重极限不存在的几种证明方法。

关键词：二重极限变量代换等不存在的证明

序言„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„

1一、利用特殊路径猜得极限值再加以验证………„„„„„„1(一)利用特殊路径猜得极限值再加以确定„„„„„„„„ 1(二)由累次极限猜想极限值再加以验证„„„„„„„„„„2(三)采用对数法求极限„„„„„„„„„„„„„„„„„2(四)利用一元函数中重要的极限的推广求两个重要极限„„„3(五)等价无穷小代换„„„„„„„„„„„„„„„„„„3(六)利用无穷小量与有界函数的积仍为无穷小量„„„„„„4(七)多元函数收敛判别方法„„„„„„„„„„„„„„„4(八)变量代换将二重极限化为一元函数中的已知极限„„„„5(九)极坐标代换法„„„„„„„„„„„„„„„„„„„6(十)用多元函数收敛判别的方法„„„„„„„„„„„„„7

二、证明二重极限不存在的几种方法………………………………… 7 总结„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„10 参考文献„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„11 I

序言

二元函数的极限是在一元函数极限的基础上发展起来的，二者之间既有联系又有区别。对一元函数而言，自变量的变化只有左右两种方式，而二元函数可以有无数种沿曲线趋于某店的方式，这是两者最大的区别。虽然二元函数的极限较为复杂，但若能在理解好概念，掌握解题方法和技巧就不难解决。

对于二元函数的二重极限，重点是极限的存在性及其求解方法。二重极限实质上是包含任意方向的逼近过程，是一个较为复杂的极限，只要有两个方向的极限不相等，就能确定二重极限不存在，但要确定二重极限存在则需要判定沿任意方向的极限都存在且相等。由于二重极限较为复杂，判定极限的存在及其求解，往往因题而异，依据变量(x,y)的不同变化趋势和函数f(x,y)的不同类型，探索得出一些计算方法，采用恰当的求解方法后，对复杂的二重极限计算，就能简便，快捷地获得结果，本文将对二重极限的几种计算方法做一下小结。一、二重极限的计算方法小结

(一)利用特殊路径猜得极限值再加以验证

利用二元函数极限定义求极限：根据定义解题时只需找出来。

x3y例1 讨论f(x,y)2，在点的极限。

xy2[1]解令ymx

x0ymxlimx3ymx4m2limlimx0

x2y2x0ymx(1m2)x01m2x3y应为此路径为特殊路径，故不能说明lim0.可以猜测值为0。

x0y0x2y2下面再利用定义法证明：0，取2

当0(x0)2(y0)2 有x2x2y22

x3yx3y12x3y12由于2 即有0xx 2222xy22xyxyx3y故lim0.x0y0x2y2注意（1）的任意性

（2）一般随而变化

（3）若函数以A为极限，则对函数在的某去心邻域内有范围（A+，A-）。

(二)由累次极限猜想极限值再加以验证

先求出一个累次极限，该类此极限是否为二重极限在用定义验证例2[2] 设f(x,y)(xy)sin221(x2y20)。求limf(x,y)22x0y0xy解 limlimf(x,y)0可以猜测有极限值为0.事实上对任意的(x,y)(0,0)

x0y0有f(x,y)0(xy)sin2212222xyxy，22xy0 取，当x，y，(x,y)(0,0)时，2就有(x2y2)sin10，即有limf(x,y)0 22x0y0xy(三)采用对数法求极限

利用初等变形，特别是指数形式常常可以先求起对数的极限。或极限是等未定型，往往通过取对数的办法求得结果。

例3 求解

1sinxyx0y0lim(1xy)(1xy)

1sinxy1xyxysinxyx0y0lim1sinxyx0y0limeln(1xy)x0y0limeln(1xy)

1xy 因为

xyxyln(1xy)lne1 1而且limx0y0sinxy1x0y0lim 所以

1sinxyx0y0lim(1xy)e

(四)利用一元函数中重要极限的推广求两个重要极限

1 lim1lim(1x)xe xx0xsinx

1limx0x类似于一元函数，我们可以充分利用所熟知的结论。通过构造变形我们能够化不熟悉为熟悉，进而利用已有的结论而求之

例4[3]x1 求（1）lim(1x)x0y01x(xy)（2）limsinxy

x0yax解（1）因为

lim(1x)e，limx01x11

x0y2xy2 所以

1x(xy)1xyx0y2lim(1x)lim(1x)x0y21xe（2）由于

又因为

sinxysinxyy,y0, xxysinxysintlin1(xyt,x0)

x0yat0txylim 所以

sinxysintlinlinya

x0yat0yxtalim(五)等价无穷小代换

利用一元函数中已有的结论对式子进行必要的代换以达到简化的目的，进而求出所要求的极限

33例5 求limsin(xy)

x0y0xy33 解因为x0,y0,故有xy0

所以sin(x3y3)等价于x3y3

3333故原式为limsin(xy)limxylim(x2xyy2)0

x0y0x0y0x0y0xyxy注无穷小替代求极限时要理解替换过程的本质，不可随意替换。利用等价无穷小替代求极限其实质就是在极限运算中同时乘一个或是除一个等价无穷小，也就是我们通常所说的“乘除时可以替换，加减时不可随意替换”

(六)利用无穷小量与有界函数的积仍为无穷小量

充分利用无穷小的性质，与一元函数类似，在求极限过程中，以零为极限的量称为无穷小量，有关无穷小量的运算性质也可以推广到多元函数中。

例6[4]2x3y2 求 lim

x3,y2x32y22 解因为

2x3y2limx3,y2x32y22limx3y2x3

x3,y2x32y22而

x3y2x32y22又 limx3,y21为有界变量 2x30 故有原式=0(七)多元函数收敛判别方法

当一个二重极限不易直接求出时，可以考虑通过放缩法使二元函数夹在两个已知极限的函数之间，且两端的极限值相等，则原函数的极限值存在且等于它们的公共值。

例7[5] 求 limxx0y0y2

xy2解因为

x0而

y2x2y2x2y2xy

xyxyxyxy2x0y0limxy0，故

x0y0limxy2

xy2

(八)变量代换将二重极限化为一元函数中的已知极限

有时为了将所求的极限化简，转化为已知的极限，可以根据极限式子的特点，适当引入新变量，以替换原有的变量，使原来较复杂的极限过程转化为更简化的极限过程。

1、讨论当x0,y0，二元函数f(x,y)的极限，利用变量代换把二重极限化为一元函数中已知的极限转化，相应有t0从而求得结果。

ln(1x2y2)例8 求 lim 22x0,y0xy解令x2y2, 则当x0,y0时 0，22ln(1xy)ln(1)于是limlim1 22x0,y00xy2、讨论当x,yaa0常数时，二元函数f(x,y)的极限，作变量代换，相应有t，利用已知一元函数的极限公式。

例9 求 lim1xyaxy解因为

x2xy1其中a0

11xyx2xy11xyxxy(xy)y

当 x,ya时，令xy=t,相应有t 则

1lim1xyaxy

所以

xy1lim1e ttt1lim1xyaxyx2xyxyalimex1xyln(1)(xy)yxye1a

3、讨论x,y时二元函数f(x,y)的极限

例10 求解因为 x,ylim(x2y2)e(xy)

(xy)e22(xy)(x2y2)(xy)2xy2(xy)(xy)(xy)eee当 x,y时，令x+y=t,相应有t

(xy)2t2则 limlimt0

x,ye(xy)tex,ylim2xyxy2limlim0 xyxyx,yx,yeeee所以

x,ylim(x2y2)e(xy)0

(九)极坐标代换法

讨论当x,y0,0时，二元函数f(x,y)的极限，必要时可以用极坐标变换

xrcos,yrsin，即将求f(x,y)当极限问题变换为f(rcos,rsin)求r0的极

限问题。但必须要求在r0的过程中与的取值无关。注意这里不仅对任何固定的在r0时的极限与无关，而且要求在r0过程中可以随r的改变而取不同的值的情况下仍然无关，才能说明lim[6]x0,y0f(x,y)存在。

x2y2例11 求lim

(x,y)(0,0)x2y2解令

xrcos，当(x,y)(0,0)时，有r0 yrsin令

x2y2r4cos2sin2r2cos2sin2 222xxr22因为 cossin1

所以

x2y2222limlimrcossin0(x,y)(0,0)x2y2r0

(十)用多元函数收敛判别的方法

通过缩放法使二元函数夹在两个已知极限的函数之间，再利用两边夹定理来推出结果。

x2y2例12 求 lim

x0y0xy 解因为

x2y2xy0xy xyxy2而 limx0y0xy0

22xy 所以 lim0

x0y0xy

二、证明二重极限不存在

若二元函数f(p)在区域D有定义，p0(x0,y0)是D的聚点。当动点p(x,y)沿着两条不同的曲线（或点列）诬陷趋近于点p0(x0,y0)，二元函数f(p)，有不同的“极限”，则二元函数f(p)在点p0(x0,y0)不存在极限。依此可以有下面几种方法来证明f(p)在区域D上当pp0时极限不存在。

例1[7] 证明x0y0limln(xey)x2y2不存在

y22证明函数的定义域为D(x,y)xe,xy0，当点p(x,y)沿着y

轴趋于点(0,0)时，有x=0，而

x0y0limln(xey)x2y2limy0y不存在，y所以

x0y0limln(xey)xy22

当P沿着D中某一连续曲线趋近于点p0(x0,y0)时，二元函数f(p)的极限不存在，则(x,y(x0,y0)limf(x,y)不存在

例2 证明x0y0limx4y4不存在

xy证明函数的定义域为D(x,y)xy0，当点p(x,y)沿着x轴趋于点（0，x4y40）时，lim=0，当点p(x,y)沿着yx(x31)趋于点（0，0）时x0y0xyx4y4x4x4(x31)limlim2 4x0x0xyx所以

x0y0limx4y4不存在

xy当P沿着D中两条不同的连续曲线趋近于p0(x0,y0)时，二元函数f(p)的极限都存在，但不相等，则(x,y(x0,y0)limf(x,y)不存在。

x2y2不存在 33xy例3 证明

x0y0lim证明设xrcos,yrsin函数的定义域为

D(r,)r0,cossin0,0,2



x0y0limx2y2x3y3xlim(r,)D0rcos2sin2 cos3sin3rcos2sin2当0时，sin0得lim0 33x0cossin(r,)D当(331)时cos3sin30,cos2sin2443令cossinr有

x0cos3sin3rlimrcos2sin210

cos3sin34所以

x0y0limx2y2 不存在

x3y3对于一些难以找到的路线，可以利用极坐标来证明例4[8] 证明 limx0y0x2y2不存在 22x2yx2y2x3证明 limlimf(x,y)limlim2lim2limx0

x0y0x0y0xx0xx02y2x2y2y211 limlimf(x,y)limlim2limlimx0y0x0y0x2y2y02y2y022

即得

x0y0limx2y2x2y2 limlim2222x0y0x2yx2yx0y0因为两个累次极限不想等，所以

limx2y2 不存在 22x2y总结

函数极限是数学分析中非常重要的内容，也是比较难理解和掌握的部分，特别是二元函数的极限，但二元函数在多元函数微积分学中有着举足轻重的作用，探讨其存在性与求法是进一步学习多元函数微积分有关概念和方法的基础。文中列出了利用特殊路径猜得极限值再加以确定、由累次极限猜想极限值再加以验证、采用对数法求极限、利用一元函数中重要的极限的推广求两个重要极限、等价无穷小代换、利用无穷小量与有界函数的积仍为无穷小量、多元函数收敛判别方法、变量代换将二重极限化为一元函数中的已知极限、极坐标代换法、用多元函数收敛判别的方法等始终二重极限的计算方法及四种二重极限不存在的证明方法。在实际解决二重极限问题时要根据题型不同选择最优的解题方式，不但能提高正确率也可以节省时间和工作量，达到事半功倍的效果。

参考文献

［1］孙涛.数学分析经典习题解析[M].北京:高等教育出版社,2004.［2］张贵文,汪明凡.关于多元函数的极限[J].数学学习,1983.［3］华东师范大学数学系.数学分析.下册(第三版)[M].北京:高等教育出版社，2001.［4］同济大学应用数学系.高等数学(下册)(五版)[M].北京:高等教育出版社，2002.［5］阎家灏.正项级数敛散性的一种审敛[J].兰州工业高等专科学校学报,2004.［6］阎家灏.用极坐标变换确定二重极限的技巧及实例[J].兰州工业高等专科学校学报,2006.［7］刘玉琏，傅沛仁.数学分析讲义(第三版)[M].北京:高等教育出版社，1992.［8］张雅平.二重极限的几种求法[J].雁北师范学院学报（自然科学版），2005，（2）..10

2.极限计算方法总结篇二

虽然不困难与复杂, 但可用多种方法计算, 很有代表性。

方法二:等价无穷小量替换法。

x→0时sinx~x, tanx~x, 又可计算如下:

此法计算极限时在乘除情况下基本无问题, 但加减时就要慎重。

方法三:利用Hospital法则求极限

方法一:应用数学归纳法并构造辅助函数可以计算该极限。

以上通过实例介绍了计算极限的几种常用方法。可以看出, 求极限方法灵活多样, 而且有些问题不只用到一种方法。因此, 要想熟练掌握各种方法, 必须多做练习, 在练习中体会, 做到具体问题具体分析, 善于总结归纳, 才能一题多解、举一反三, 也才能熟练掌握极限计算的方法。

摘要：极限概念是《高等数学》中最重要最基本的概念, 而极限的运算在学习《高等数学》中占有十分重要的位置。《高等数学》中许多重要的概念如函数的连续性、导数的定义、定积分的概念、无穷级数的敛散性及广义积分等都是用极限来定义的, 因此掌握好极限的计算方法是学习高等数学很重要的一个环节。本文通过具体实例介绍极限计算的几种方法。

关键词：极限,计算,方法

参考文献

3.极限计算方法总结篇三

关键词：极限教学；培养学生；计算能力；研究

中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2016）10-016-01

极限是高等数学中的最基本、最重要的概念，它是建立微积分理论的基础。极限的思想方法是深入研究函数（如导数、定积分等）的有力工具，它贯穿于整个高等数学的始终。因此，建立极限思想，熟练掌握求极限的方法，对学生学好高等数学和相关专业课程意义十分重大。然而，由于极限计算中涉及到诸多初等数学知识，需要进行适当的变形，这就增加了学生求极限的难度。又由于极限概念的高度抽象性，致使我们很难用极限定义本身去求极限。在极限教学实践中，探究行之有效的、针对不同层次的学生进行不同要求并行之有效的求极限的方法是高职数学教学研究的重要课题。

一、深刻理解极限的概念是明确极限计算原理的必要条件

极限的抽象性在于不同于函数值那样具体直观，它使用的手段是观察分析，强调的是自变量变化时，函数的变化趋势。而这种变化趋势往往看不见摸不着，需要我们去想象和推测。

我们知道，极限的概念是由于求解某些实际问题的真值而产生的。如古代数学家刘徽的“割圆术”，就是极限思想在几何学上的应用。庄子的“天下篇”有关极限的描述及生活中的有关极限的实例，为学生理解极限的概念提供了具体直观的模型。它使我们知道了衣服是洗不干净的原因，金无足赤的原理，极限并不神秘，它就在我们身边。因此，案例的选择，对案例的深刻剖析，抓住极限的本质特征是极限教学成功的关键。

二、从极限最基本的求法中，培养学生分析问题、观察问题和解决问题的能力

极限的四则运算法则是进行极限常规计算的依据，两个重要极限公式是求特定极限的有效工具。因此，这两个知识点是教学的重点。对法则和公式虽然可以不加证明，但对证明的思路有必要加以说明，对它们的合理性应该加以解释，而不应强迫学生去接受。强调法则成立的条件的必要性和充分性，注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。把握重要极限公式的特征，以便正确的运用法则和公式求有关极限。特别强调的是，极限符号下面的极限过程是一致的。

当函数的解析式为有理整式时，极限的计算结果会使学生恍然大悟，原来极限值就等于函数值，即。如果问题都像这样简单，那么极限的计算也就没有什么艰难曲折了。

在有的时候，我们往往只需要知道极限的结果，对过程我们可以不关心，这对数学基础差的学生来讲是非常有利的。这就是“黑箱原理”（黑箱手段就是将研究对象封闭、凝固而不予打开，不探究其内部结构，不追问其具体细节，只看输入和输出。）在数学学习中的运用。

从众多的例题的解答过程说明，极限的计算需要我们对它进行适当的变形，如何变形，要针对具体情况而定。这就要求学生要进行一定量的练习，才能熟练掌握极限的计算方法。

三、深入剖析极限运算的内在规律，培养学生的计算能力

模仿例题和套用法则或公式是培养学生极限的计算能力的重要途径。以重要极限公式2为例，引导学生观察变形过程的规律性，理解为什么要要这样变形，计算的结果和题目中的参数之间有无直接的关联？接着让学生求类似的极限。通过学生的计算，可以把他们划分为三个层次：第一层次，他们真正理解了公式的特征，明白计算原理，能够独立完整的写出解题过程，得出正确结果；第二层次，能记住公式，也知道公式的特征，但在变形方面有障碍，其原因是对指数的运算不熟悉，于是他们就开始模仿例题，生搬硬套也能得出正确结果；第三层次，这类学生的数学基础薄弱，理解能力有限，甚至不会正确的书写数学符号，更不能写出解题过程，但是他们知道计算的结果。因为他们听明白了结果与题目之间的关联，所以，也就能猜出正确的结果。接下来，就要按照以上三个层次进行真正意义上的因材施教了。对第一层次的学生，要求他们做更复杂，技巧性更强的题目，使这部分学的极限计算能力得到进一步升华。对第二层次的学生，要给他们补习相关的初等数学知识，明白每一步计算的原理，按照个人的理解写出解题过程。对第三层次的学生，尽可能的教会他们正确的书写数学符号（特别是极限符号），能仿照例题写出解题过程，达到第二层次的水平。

4.用定义证明函数极限方法总结篇四

用定义证明函数极限方法总结:

用定义来证明函数极限式limf(x)c，方法与用定义证明数列极限式类似，只是细节xa

不同。

方法1：从不等式f(x)c中直接解出(或找出其充分条件)xah()，从而得h()。

方法2：将f(x)c放大成xa，解xa，得xah()，从而得

h()。

部分放大法：当f(x)c不易放大时，限定0xa1，得f(x)cxa，解xa，得：xah()，取min1,h()。

用定义来证明函数极限式limf(x)c，方法： x

方法1：从不等式f(x)c中直接解出(或找出其充分条件)xh()，从而得Ah()。

方法2：将f(x)c放大成xa，解xa，得xh()，从而得

Ah()。

部分放大法：当f(x)c不易放大时，限定xA1，得f(x)cxa，解xa，得：xh()，取AmaxA1,h()。

平行地，可以写出证明其它四种形式的极限的方法。

例1 证明：lim(2x3)7。x2

证明：0，要使：

(2x3)72x2，只要 2x2，即0x2

取2，

2，即可。

x212。例2 证明：lim2x12xx13

x1x212x12分析：因为，放大时，只有限制22xx132x1332x1

0x1，即0x2，才容易放大。

证明：0，限制0x1，即0x2，要使；

x1x1x1x1x212x12

，只要

32x2x132x1332x132x13

即0x3，取min(1,3)，即可。

例3

证明：（a1）。

xa

证明：0，限制0xa

1a1a

1，要使：，所以x

22





，只要

1a,，即可。，取min，即0xa

22



x3,x1

例4 设f(x)，证明:limf(x)1。

x1

2,x1

证明：当x1时，f(x)1x1x1xx1

限制0x1，则xx112，xx17。0，要使：

f(x)1x1x2x17x1，只要7x，即x1



7，取



min，当0x1时，有：

7

f(x)，limf(x)1

x1

说明：这里限制自变量x的变化范围0x1，必须按自变量x的变化趋势来设计，xa时，只能限制x在a点的某邻域内，不能随便限制！

错解：设x1，则xx13，要使：

f(x)1x1x2x13x1，只要0x1

，取min1,，3

当0x1时，有：f(x)1。limf(x)1。

x1

例5 证明:lim

1。

x12x1

2x11

证明：考察，2x12x1112x1 1

2x12x1

限制0x1

111，则2x112x11。0，要使： 422

2x1

4x1，只要4x，即x1，42x12x1

1

44

1，2x1

取min,，当0x时，有：lim

x1

1。

2x1

1，则4

说明：在以上放大f(x)A（即缩小2x1）的过程中，先限制0x1得：2x1

11。其实任取一个小于的正数1，先限制0x11，则22

0x1或0x1，则不2x1x1112m（如果是限制0

例6 证明:lim

能达到以上目的）。

2。

x24x7

证明：考察

7x271x，仅在x的邻域内无界，所以，限制2

44x74x74x7

171

0x2（此邻域不包含x点），则4x74x2114x2。

842

0，要使：

7x27x2x

只要14x2，即x2，214x2，144x74x714x2

取min,x1，当时，有：2，0x2

4x7814

2。

x24x7

x0

lim

例7 用定义证明极限式：lima1，（a1）

证明：0（不妨1），要使：

ax11ax1loga1xloga1（由对数函数

。于是，取minloga1, loga10，f(x)logax是单调增函数）

当0x0时，有：a1。故lima1。证毕

x0

例8 设f(x)0，limf(x)

A，证明：lim

xx0



n2为正整数。

证明：（用定义证明）因为，f(x)0，由极限保不等式性知，A0；当A0时，0，由limf(x)A，知：0，当0xx0时，有：f(x)A



xx0





f(x)A

n1





n2

n2



n1



f(x)A

n1





n1，故：lim

xx0



im(f)x0当A0时：0，由l

xx，知：

0，当0xx0时，有：

f(x)

 0lim

xx0

5.极限计算方法总结篇五

2018考研数学：16种极限求解的方法总

结

学好高数，极限基础必须要打好，极限求解也是必要解决的问题，下面总结了16种可用的方法，大家学习学习，可灵活应用。

1、等价无穷小的转化，(只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用,前提是必须证明拆分后极限依然存在,e的X次方-1或者(1+x)的a次方-1等价于Ax等等。全部熟记(x趋近无穷的时候还原成无穷小)。

6.极限计算方法总结篇六

从极限分析原理入手,以堆积型边坡作为对象,研究了折线型滑面边坡稳定分析计算的极限分析方法,提出了折线型滑面边坡稳定系数计算的极限分析模型,并在虚功率原理的基础上推导得到了稳定系数计算的极限分析上限解.该方法考虑了折线滑面和垂直速度间断面上的内能耗散作用,考虑了边坡自重荷载、铅直向附加荷载所做的`外功率作用,能计算折线型滑面堆积体边坡的稳定性计算问题.以三峡库区三马山滑坡为工程实例进行了稳定性分析计算,并与不平衡推力法的计算结果进行了比较,对本文的方法进行了验证.

作者：王根龙伍法权李巨文 WANG Gen-long WU Fa-quan LI Ju-wen 作者单位：王根龙,WANG Gen-long(中国科学院工程地质力学重点实验室,北京,100029;中国地震局防灾技术高等专科学校,北京,101601)

伍法权,WU Fa-quan(中国科学院工程地质力学重点实验室,北京,100029)

李巨文,LI Ju-wen(中国地震局防灾技术高等专科学校,北京,101601)

7.第二重要极限的几种计算方法篇七

这里的e是无理数,值为2.71828182845……

一、赋值法

……

二、借助一个不等式来求极限值

文[1]和文[2]中已经给出了很多极限存在性的证明,此处不再给出证明.

……

三、利用计算软件Mathmatica证明[3]

输出:e.

由上面的近似计算可知,函数的极限值约等于2.71828.

参考文献

[1]叶青华.一个重要极限的几种证明方法及应用[J].数学学习与研究,2013(1):122-124.

[2]寇静.关于数e/第二重要极限的几种证明方法[J].科技信息,2007(34):140-141.

8.高中化学计算方法总结篇八

高中化学教师,在开展计算教学时,应该引导学生掌握常见的解题方法与解题技巧,以促进教学效果的提升。下面为大家总结了高中化学几种计算方法，希望帮助到大家!

一、关系式法

所谓关系式法，就是根据化学概念、物质组成、化学反应方程式中有关物质的有关数量之间的关系，建立起已知和未知之间的关系式，然后根据关系式进行计算。利用关系式的解题，可使运算过程大为简化。

其中包括守恒法。所谓“守恒”就是以化学反应过程中存在的某些守恒关系如质量守恒、元素守恒、得失电子守恒，电荷守恒等。运用守恒法解题可避免在纷纭复杂的解题背景中寻找关系式，提高解题的准确度。

例1、有一在空气中放置了一段时间的KOH固体，经分析测知其含水2.8%、含K2CO337.3% 取1g该样品投入25mL2mol/L的盐酸中后，多余的盐酸用1.0mol/LKOH溶液30.8mL恰好完全中和，蒸发中和后的溶液可得到固体的质量为多少?

【解析】本题化学反应复杂，数字处理烦琐，所发生的化学反应：KOH+HCl=KCl+H2O K2CO3+2HCl=2KCl+H2O+CO2↑

若根据反应通过所给出的量计算非常繁琐。

但若根据Cl—守恒，便可以看出：蒸发溶液所得KCl固体中的Cl—，全部来自盐酸中的Cl-，

即：生成的n(KCl)=n(HCl)=0.025L×2mol/L m(KCl)=0.025L×2mol/L×74.5g/mol=3.725g

例2、将纯铁丝5.21g溶于过量稀盐酸中，在加热条件下，用2.53gKNO3去氧化溶液中Fe2+，待反应后剩余的Fe2+离子尚需12mL0.3mol/LKMnO4溶液才能完全氧化，则KNO3被还原后的产物为

A、N2 B、NO

C、NO2 D、NH4NO3

【解析】根据氧化还原反应中得失电子的总数相等，Fe2+变为Fe3+

失去电子的总数等于NO3-和MnO4-

得电子的总数

设n为KNO3的还原产物中N的化合价，则

(5.21g÷56g/moL)×(3-2)=0.012L×0.3mol/L×(7-2)+(2.53g÷101g/mol)×(5-n) 解得n=3 故KNO3的还原产物为NO。

答案为B

二、方程或方程组法

根据质量守恒和比例关系，依据题设条件设立未知数，列方程或方程组求解，是化学计算中最常用的方法，其解题技能也是最重要的计算技能。

例题3、有某碱金属M及其相应氧化物的混合物共10 g，跟足量水充分反应后，小心地将溶液蒸干，得到14 g无水晶体。该碱金属M可能是()

A.锂B.钠C.钾D.铷

(锂、钠、钾、铷的原子量分别为：6.94、23、39、85.47)

【解析】设M的原子量为x

解得42.5>x>14.5

分析所给锂、钠、钾、铷的原子量，推断符合题意的正确答案是B、C。

三、守恒法

化学方程式既然能够表示出反应物与生成物之间物质的量、质量、气体体积之间的数量关系，那么就必然能反映出化学反应前后原子个数、电荷数、得失电子数、总质量等都是守恒的。巧用守恒规律，常能简化解题步骤、准确快速将题解出，收到事半功倍的效果。

例题4、将5.21 g纯铁粉溶于适量稀H2SO4中，加热条件下，用2.53 g KNO3氧化Fe2+，充分反应后还需0.009 mol Cl2才能完全氧化Fe2+，则KNO3的还原产物氮元素的化合价为___。

解析：0.093=0.025x+0.018，x=3，5-3=2。应填：+2。(得失电子守恒)

四、差量法

找出化学反应前后某种差量和造成这种差量的实质及其关系，列出比例式求解的方法，即为差量法。其差量可以是质量差、气体体积差、压强差等。

差量法的实质是根据化学方程式计算的巧用。它最大的优点是：只要找出差量，就可求出各反应物消耗的量或各生成物生成的量。

例5、将质量为m1的NaHCO3固体加热分解一段时间后，测得剩余固体的质量为m2.

(1)未分解的NaHCO3的质量为___________。

(2)生成的Na2CO3的质量为__________。

(3)当剩余的固体的质量为___________，可以断定NaHCO3已完全分解。

五、平均值法

平均值法是巧解混合问题的一种常见的有效方法。

平均值法规律：混合物的平均相对分子质量、元素的质量分数、平均相对原子质量、生成的某指定物质的量总是介于组份的相应量的最大值和最小值之间。

解题方法：解题时首先计算平均分子式或平均相对原子质量，再用十字交叉法计算出各成分的物质的量之比。

例题7、由锌、铁、铝、镁四种金属中的两种组成的.混合物10 g与足量的盐酸反应产生的氢气在标准状况下为11.2 L，则混合物中一定含有的金属是()

A.锌B.铁C.铝D.镁

【解析】各金属跟盐酸反应的关系式分别为：

Zn—H2↑Fe—H2↑

2Al—3H2↑Mg—H2↑

若单独跟足量盐酸反应，生成11.2LH2(标准状况)需各金属质量分别为：Zn∶32.5g;Fe∶28 g;Al∶9g;Mg∶12g。其中只有铝的质量小于10g，其余均大于10g，说明必含有的金属是铝。应选C。

六、极值法

巧用数学极限知识进行化学计算的方法，即为极值法。

例题8、4个同学同时分析一个由KCl和KBr组成的混合物,他们各取2.00克样品配成水溶液,加入足够HNO3后再加入适量AgNO3溶液,待沉淀完全后过滤得到干燥的卤化银沉淀的质量如下列四个选项所示,其中数据合理的是()

A.3.06g B.3.36g

C.3.66g D.3.96

【解析】本题如按通常解法,混合物中含KCl和KBr,可以有无限多种组成方式,则求出的数据也有多种可能性,要验证数据是否合理,必须将四个选项代入,看是否有解,也就相当于要做四题的计算题,所花时间非常多.使用极限法,设2.00克全部为KCl,根据KCl-AgCl,每74.5克KCl可生成143.5克AgCl,则可得沉淀为(2.00/74.5)*143.5=3.852克,为最大值,同样可求得当混合物全部为KBr时,每119克的KBr可得沉淀188克,所以应得沉淀为(2.00/119)*188=3.160克,为最小值,则介于两者之间的数值就符合要求,故只能选B和C.

七、讨论法

讨论法是一种发现思维的方法。解计算题时，若题设条件充分，则可直接计算求解;若题设条件不充分，则需采用讨论的方法，计算加推理，将题解出。

例题9、在30mL量筒中充满NO2和O2的混合气体，倒立于水中使气体充分反应，最后剩余5mL气体，求原混合气中氧气的体积是多少毫升?

【解析】最后5mL气体可能是O2，也可能是NO，此题需用讨论法解析。

解法(一)最后剩余5mL气体可能是O2;也可能是NO，若是NO，则说明NO2过量15mL。

设30mL原混合气中含NO2、O2的体积分别为x、y

4NO2+O2+2H2O=4HNO3

原混合气体中氧气的体积可能是10mL或3mL。

解法(二)：设原混合气中氧气的体积为y(mL)

(1)设O2过量：根据4NO2+O2+2H2O=4HNO3，则O2得电子数等于NO2失电子数。(y-5)×4=(30-y)×1 解得y=10(mL)

(2)若NO2过量：4NO2+O2+2H2O=4HNO3 4y y

3NO2+H2O=2HNO3+NO

因为在全部(30-y)mLNO2中，有5mLNO2得电子转变为NO，其余(30-y-5)mLNO2都失电子转变为HNO3。

O2得电子数+(NO2→NO)时得电子数等于(NO2→HNO3)时失电子数。

【评价】解法(二)根据得失电子守恒，利用阿伏加德罗定律转化信息，将体积数转化为物质的量简化计算。凡氧化还原反应，一般均可利用电子得失守恒法进行计算。无论解法(一)还是解法(二)，由于题给条件不充分，均需结合讨论法进行求算。

4y+5×2=(30-y-5)×1

解得y=3(mL)

9.计算机学习方法总结篇九

书籍篇

“书是人类进步得阶梯”。

学习一门新的知识，当然要选择几本适合自己得书籍，下面介绍一些我自己学习C语言使用过的书籍： ****************************

****************************

1.《C primer plus》

推荐理由：适合作为入门书和基本函数查询得参考资料。

本书最新版为第五版，以ANSI C99为标准详细介绍了C语言。

2.《The C programming_Language》

推荐理由：C语言之父得作品权威性毋庸置疑。虽然书籍出版时间比较老，好像也没更新，不过仍不失为经典书籍，网上有这本书得英文电子版提供下载。

3.《C 专家编程》

推荐理由：本书可以帮助有一定经验的C程序员成为C编程方面的专家，最关键的是本书寓教于乐，让你充分享受编程的乐趣。

4.《C缺陷与陷阱》

推荐理由：书中所揭示的知识能帮助您绕过C语言自身得陷阱和缺陷，减少代码中许多常见的Bug。

5.《unix环境高级编程》

推荐理由：既然是UNIX环境下C编程，就不得不说说UNIX编程书籍。Stevens先生的《unix环境高级编程》是我竭力推荐的，也是我的案头必备

（如果对网络编程有兴趣的，可以学习一下Stevens先生的《UNIX网络编程》两卷，如果觉得还不过瘾，可以再看看《TCP/IP详解》三卷）。

6.《计算机编程艺术》

推荐理由：算法大师得呕心沥血之作。

计划出版五卷书，目前好像已出版3卷。对算法有兴趣得可以研究一下。************************************************** 《UNIX环境编程》，《windows环境编程》

《编程珠玑》

C primer plus、The program in c、你必须知道的495个C语言问题、C和指针、C陷阱与缺陷、C专家编程

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****************************

C++

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《Effective C++》-完美中文版PDF 下载地址：http://

《More Effective C++》-完美中文版PDF 下载地址：http://

《C++ Primer 中文版(完美版)+ 英文版(完美版)+ 题解 + 源代码》-经典中的经典！下载地址：http://

《C++编程思想》-完美版PDF 下载地址：http://

《高质量C++/C编程指南》-完美版PDF 下载地址：http://

《Effective C++ CD》-英文原版PDF 下载地址：http://

《C++Builder问题解答大全》-合集

下载地址：http://

《ISO C99》-英文原版PDF 下载地址：http://

《C++沉思录》-高清版PDF 下载地址：http://

***************************************************

1、学习MFC前先学下Windows API 然后学MFC会容易点。但不是必须的。

2、学习MFC之前把先把C++基础打好，如果一开始就MFC的话，C++以后你也会补习的。

3、学习MFC不需要了解其他框架，因为MFC本身就是微软的一个开发库。学习路线：

《Windows程序设计》->孙鑫的《MFC深入详解》->侯捷的《深入浅出MFC》->《Win32多线程编程》->《windows核心编程》《数据结构》必须要看的，《Effective C++》对C++提升

MFC的学习路径 C-> Windows API-> C++-> MFC

应该首先夯实基础，英语、数学都要达到一定水准，起码英语要接近自如控制，数学能看懂《计算机编程艺术》之类的书。然后学习C，操作系统，ASM，TCP/IP，总之是基础的东西。

然后慢慢过渡到C++之类的应用语言，我认为C++不是IT基础领域的，C才是，C++也是一种高级语言。如果你走这条路，那我说的MFC的学习路径C-> Windows API-> C++-> MFC也是必须这样走的。

****************************************************

鸟哥的私房菜熟悉shell命令然后是linux下c编程

然后是unix环境高级编程 unix网络编程等等

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《写给大家看的C++书》

《深度探索C++对象模型》 **************************************************

1。数组名是一个常量吗？

2。我们常这样使用：

int a[10];

int *p = a + 1;

这是否意味着数组名是一个指针？

3。为什么a与&a的地址值相同？

4。在C中，有人说以下代码定义了一个常量：const int i = 10;但为什么如下代码不能通过编译？

int main(void)

{

const int i = 10;

int a[i];

..........}

5。const char ****const *****const **** const p，p是什么？？

6。按照C/C++的规则，我们可以：

char *p1 =.......;

const char *p2 = p1;

但为什么const char **p2 = &p1;不行？

7。我们常常使用这样的指针：const char *p1;但对于下面的声明：

typedef char * T;

const T p2;

p1与p2也一样吗？？为什么？重点在于为什么？？

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操作系统概念

或者

现代操作系统

这两本都行，二选一吧，两本内容差不多。操作系统概念：比较适合基础不好的，讲得很细。也是我们的教材。http://product.dangdang.com/product.aspx?product_id=8860590

现代操作系统:如果你有一定的基础，我推荐的就是这本书了，讲得很具体，也很清楚。http://product.dangdang.com/product.aspx?product_id=20626819

《自己动手写操作系统》-本书重点在开机引导方，保护模式方面写的很透彻

《自己动手写嵌入式操作系统》-该书主要在操作系统的内部数据结构方面分析的很全面，今本是Windows操作系统的思想，如果想了解Windows的内部原理，驱动框架，对象管理等方面的知识这是很好很好的参考书籍。

9、你舍得花钱买书吗？（读好书绝对是学习编程的最佳捷径。你一定会说，现在电脑书籍真他XX的贵，没法子，谁让知识和技术在人家的脑袋，在人家的书里呢；等你写书时可以把价格定低一点，记着还有好多没钱但想买书的兄弟很困难呀。要舍得买书，买好书，不好的的书不如不读，其害大于其益，关于买什么书，你可以问高手或看候捷的书评；准备一个小本子记录你想买的书的名字，逛书店时看看，如果好就买下，记住要读，别光买不看。）

10、我告诉你，程序就是：任何有目的的、预想好的动作序列，它是一种软件。

11、编程序就是编写程序。

12、你想好了吗？（如果你想好了还是决定要当程序员，可以继续往下读；否则，你可以继续寻找别的出路了。）

（三）一个程序员应该具备的基础知识和概念

1、计算机是有什么组成的，CPU是什么东西，其工作原理是什么。（对于这些以及下面将要提到的概念我不会告诉你什么答案，你可以看相应的教材，关于教材我会在下一部分详述，记住理解最重要！）

2、机器语言和微指令集的概念。

3、程序的概念。

4、汇编语言是低级语言但不是机器语言。

5、高级语言主要有那些？（C，C＋＋，Basic，Pascal，Fortran，C#，Java等等；如果你是中国软件业的英雄，你也写一门语言，最好不用英语）

6、编译程序和解释程序的概念和其原理。（编译器是高手和专家编写的）

7、HTML、XML等是标识性语言。

8、Prolog是人工智能语言。

9、操作系统OS的概念和原理。（Windows98，Windows2000，Windows NT，UNIX，Linux，等等都是OS，还有一些实时OS，嵌入OS，编这些的绝对是高手）

10、Windows编程说白了就是Windows API的调用。（中国的程序员很多只是会编windows程序，用的是VB，我的建议是这些程序员顶多只是低级编码员，我称其是coder）

11、VC＋＋、VB、BC、BCB、Delphi、VF等都只是编程的工具和环境，不是编程语言。

12、面向结构的设计概念。

13、面向对象的概念。（好好理解，兄弟，这个东西还是很重要的）

14、软件工程的概念和原理。（如果你想当老总就需要好好研究了，系统分析员比编码员要高一个等级，薪水也高哟）

15、数据库的概念。（要熟悉一些著名的数据库系统和语言的名字，如Orcle，SQL，DB2，DyBase等）

16、了解网络概念。

17、了解多媒体概念。

18、熟悉和掌握数据结构和基本算法。

19、是不是要求太高了，别着急慢慢来，进步在不知不觉之中。（一旦开始学习，一个月以后你就会有一个基本的概念；两个月以后你就会感觉自己有了全面的基础知识；当你知道编程序是怎么回事时，说明你已经入门了。也有很多人编了很多年程序还没有入门呢，你不会希望自己步其后尘吧。要有信心和耐心。沉不住气怎么能成大事？！）

（四）教材推荐

――－推荐的教材主要还是针对概念来的，最好选用名校的教学用书。

1、《计算机组成原理》（熟悉）

2、《数据结构》（掌握）

3、《操作系统》（了解->熟悉）

4、《The C language》（掌握）

5、《编译原理》（了解原理）

6、《汇编语言》（了解）

7、《计算机网络》（了解）

8、《软件工程》（了解）

9、《关系数据库》（熟悉）

10、《The C＋＋Languege 》（掌握）

11、《面向对象设计》（掌握；结合C++学习）

（五）一些经验和体会

1、真正的程序员用C++；（一位专家说的）

2、动手去编程序；

3、动脑去思考；

4、要有良好的编程风格；

5、读书，读好书，尽量读原版书！（我反复强调这一点，读书要有选择，坚持读好书，名家出的经典书，不要浪费实践在一些粗制滥造的书上面；坚持博览群书）

6、有自己的学习计划；

7、总结自己的经验教训；（准备一个笔记本，记录错误和心得）

8、不要怕学新东西；

9、要有软件工程的思想；

10、善于发现问题，然后去寻找答案；

11、向高手请教；（要虚心直到你成为高手）

12、和同行交流；（不善于交流肯定不行）

13、懂得软件的实质，不要被千变万化的表象所迷惑；

14、真正要学习用的是编程语言和方法，不是什么库，什么类，什么工具；（学用那些什么库都比较简单，但光会这些库，我觉得还远远不够）

15、学习wiodows编程主要是学习windows OS和win32 API；

16、有空了解一下嵌入式开发；

17、有空了解一下PDA软件开发；

18、了解一下.NET框架和C#语言，也许它是你新的衣食父母；

19、要有耐心，不要作浮躁的人；

20、对程序加注释，并保留你的老程序；

21、学到的东西越多，了解的越多，你就越接近专家；

22、有空去逛逛CSDN，那里有你很多知己；

23、要有信心成为一个优秀的程序；

（六）一些好书的推荐

1、《The C Programming language》（Keinighan & Dennis Ritchie 1988）

2、《The C++ Programming Languague》（Bjarne Stroustrup 1997）

3、《Inside The C++ Object Model》（lippmans）

4、《Effective C++》（同上）

5、《More Effective C++》（同上）

6、《Exceptional c++》

7、《C++面向对象高效编程》

8、《设计模式》

9、《Thinking In C++》

10、《The Standard C++ Bible》（一般推荐）

11、《The Art of Computer Programming 》

12、《Programming Windows》（Charles Petzold）

13、《VC++5.0技术内幕》

14、《MFC 深入浅出》

15、《软件需求》

16、《Advanced Windows》

17、《C++ primer》

18、《win32程序员参考手册》

19、《用TCP/IP进行网际互连》

20、《COM 本质论》

（七）学习计划

――－这个学习计划是我个人定的，也共享给大家参考一下，共同进步吧。

1、《计算机组成原理》

2、《操作系统》

3、《数据结构》

4、《汇编语言》

5、《 C 》

6、《 C++ 》

7、《VC 技术内幕》

8、《Programming Windows》

9、《深入浅出MFC》

10、《Advanced Windows》

11、《Inside The C++ Object Model》

12、《Thinking in C++》

13、《Effective C++》

14、数据库

15、网络

16、嵌入式OS和编程

17、硬件单片机

18、.NET和C#

19、软件工程

20、UNIX和Linux

*******************************************

深入理解计算机系统

侯捷

唐朔飞（计算机组成原理）白中英

(计算机组成原理)

王爽《汇编语言》

（C++编程书籍）：

**************************************************

重点介绍：

1.C++程序设计语言 / The C++ Programming Language

适用于中高级读者

2.C++编程思想 / Thinking in C++

适用于中高级读者

3.C++ Primer

适用于中级读者

4.C++ Primer Plus

适合入门

扩展阅读：

5.Effective C++

6.More Effective C++

7.深度探索C++对象模型 / Inside The C++ Object Model 8.C++语言的设计和演化 / The Design and Evolution of C++ 9.C++ STL中文版 / C++ Standard Template Library 10.Exceptional C++

11.More Exceptional C++

************************************************

算法导论，编程珠玑，算法设计技巧与分析

数据结构与算法分析

编程珠玑

编程之美

The

Art

Computer

Programming

《计算机程序设计艺术》

10.极限计算方法总结篇十

下面分别介绍一下两个重要极限:

1 重要极限之一undefined

(1) 应用原则: (1) 应该为在其变化过程中的型未定式; (2) x与sinx中的x必须完全相等; (3) x可以是一个含有自变量的表达式。

(2) 注意事项:自变量的变化过程不一定是趋近于0的, 可以是任何一种变化过程, 但必须保证以上原则。

(3) 重要极限的应用:

例1 求undefined。

undefined

例2 求undefined。

undefined

例3 计算undefined。

undefined

例4 求undefined。

undefined

例5 求undefined。

undefined

例6 求undefined。

解:undefined

例7 求undefined。

解:undefined

例8 下列运算过程是否正确:

undefined。

解:这种运算是错误的。当x→0时, undefined, 本题x→π所以不能应用上述方法进行计算, 正确的作法如下:

令x-π=t, 则x=π+t, 当x→π时, t→0, 于是:

undefined

2 重要极限之二undefined还有其它形式

undefined或者undefined (1) 应用原则:①此极限为在其变化过程中的1∞型极限问题;②括号内1+的对象和括号外的幂次恰好互为倒数关系;③n, x, z可以是一个含有自变量的表达式。

(2) 注意事项:自变量的变化过程可以是趋近于0的, 可以是趋近于∞的变化过程, 但必须保证以上原则。

(3) 重要极限的应用:

例9 求undefined。

解:undefined

例10 求undefined。

解:undefined

例11 求undefined。

undefined

例12 求undefined。

undefined

例13 求undefined。

undefined

例14 计算undefined。

undefined

当然, 两个重要极限的问题也有其他的求解方法, 关键在于灵活运用所学的知识。如能选取恰当的方法解决适合的问题, 就会简单快捷求出题解。希望以上总结能对初学者起到提示的作用。

参考文献

[1]吴赣昌.微积分 (经管类) 简明版[M].北京:中国人民大学出版社, 2007.

11.极限计算方法总结篇十一

以成组疲劳试验确定疲劳极限的损伤力学方法

为降低用来确定疲劳极限的升降法试验的`工作量,以热力学为基础,引入损伤驱动力,构建损伤演化方程.积分此方程得到疲劳寿命与应力或应变的理论关系.对光滑试件,根据成组法疲劳试验结果利用最小二乘法拟合包括疲劳极限在内的材质参数.利用损伤力学方法求得高应力区的疲劳寿命曲线,由此递推得到低应力区寿命值和疲劳极限.所得理论疲劳极限值与升降法疲劳试验结果十分吻合.节约了疲劳试验的机时、费用与人力.

作者：张文姣王奇志张行 ZHANG Wenjiao WANG Qizhi ZHANG Xing 作者单位：北京航空航天大学航空科学与工程学院,北京,100083刊名：力学与实践 ISTIC PKU英文刊名：MECHANICS IN ENGINEERING年，卷(期)：29(4)分类号：O3关键词：损伤力学疲劳极限成组法升降法寿命预估

12.极限计算方法总结篇十二

1、将Mg、Al、Zn组成的混合物与足量的盐酸作用, 放出H2的体积为2.8L (标准状况下) , 则这三种金属的物质的量之和可能为

解析:根据得失电子守恒, 转移0.250mol电子。极限假

设全部是Al, 需Al的物质量最少, 为30.25mol。全部是Mg和Zn, 需Mg和Zn最多, 为0.25mol。故0.25mol

答案:C

点评:本题主要考查氧化还原反应中得失电子守恒和极限假设法的应用。解题的关键是Mg Mg和Zn失电子后都变为+2价的阳离子, Mg和Zn的比值为任意比。

2、 (上海卷) 0.03mol铜完全溶于硝酸, 产生氮的氧化物NO、NO2、N2O4混合气体共0.05mol。该混合气体的平均相对分子质量可能是

解析:据题意, Cu–2e-=Cu2+0.03mol Cu全部转化为Cu2+, 转移0.06mol电子。HNO3在反应中做氧化剂, 生成的还原产物与HNO3浓度有关, 可以得到NO、NO2, 而NO2自发的转化为N2O4。由极限假设法得, 全部为NO、NO2和N2O4据得失电子守恒。

要满足混合气体气体平均量为0.05mol, 则可假设混合气体两种情况, 一种组合为NO2和N2O4, 另一种组合为NO和NO2。 (1) 当混合气体全部为NO2和N2O4, 设NO2为x, mol, N2O4为y mol.x+y=0.05 (1) ;x+2 y=0.06 (2) ;由 (1) (2) 得.X=0.04 y=0.01 Mr (1) =55.2

(2) 当混合气体全部为NO和NO2, 设NO2为m mol, NO为n mol.m+n=0.05 (3) ;m+3 n=0.05 (4) ;由 (3) 和 (4) 得n=0.005, m=0.045;Mr (2) =44.4。实际是由NO、NO2和N2O4混合气体组成, 则平均相对分子质量Mr为, 44.4

答案:BC

点评:本题利用极限假设法和得失电子守恒法解题比较方便, 考查学生分析问题和解决问题的能力, 灵活运用所学生知识解决问题。

跟踪练习3.在120℃, 101k/a条件下, 由H2、CH4、CO组成的混合气体aml, 通入一定量 (设为xml) 氧气使其完全燃烧。

(1) 若aml混合气体完全燃烧消耗相同条件下氧气的体积也为aml (即x=a) , 则原混合气体中CH4的体积分数是

(2) 若完全燃烧后生成CO2和H2O (g) 的总体积在相同条件下为2aml, 则原混合气体中CH4

的体积分数是_____, 现要测定原混合气体中H2的体积分数, 还必须知道相同条件下其它数据可以是_____ (填选项字母) 。

A.2aml混合气体的密度

B.生成CO2气体的总体积

C.生成H2O (g) 的总质量

(3) 若原混合气体完全燃烧时, 生成的气体中只有CO2和H2O (g) , 则x的取值范围是_____

答案: (1) 33.3℅

摘要：在中学化学计算题中出现几种物质混合形成的混合物, 求某个变量的取值范围等方面的问题, 一般利用极限假设法解决比较简单。

13.极限计算方法总结篇十三

我是从以下几个方面开展工作的：

1、加强教育思想的引导。我认为这是计算机教学的重点，本身它是一门基础课，但是一定要让学生认为它是一门非常重要的基础课。给他们灌输年轻人不懂电脑就像个文盲的思想，首先让学生提高对这门课的重视程度，才能让他从心理上愿意主动的去学习这门课程。

2、教学目标明确。带着问题出发，向着目标前进，才能更有收获。大一自考班的同学要参加全国的一级考试，因此我并没有按照《计算机应用基础》的课本来进行教学，而是让学生围绕计算机等级考试的题型进行实例教学。结果很受学生欢迎，我们分院的领导尽量的满足学生和老师提出的要求，多安排学生上机操作，加强训练。所以在这次的计算机等级考试中，整个学校的平均过关率48%的情况下我们分院的平均过关率达到80%的优异成绩。

3、注重“精讲多练”。所谓“精讲”，就是在教学中不是面面俱到，而是主要讲清课程的要点和基础知识，教会学生学习的方法，更多的具体内容让学生自学。所谓“多练”，即让学生多上机操作，其目的是从培养学生的的操作技能入手，让学生多动手、多动脑，提高操作的准确性、迅速性、灵活性和协调性。

4、用多媒体教室进行直观教学。多媒体系统教学具有许多优势，如多媒体计算机的交互性有利于激发学生的学习兴趣，发挥认知主体的主观能动性；多媒体计算机提供外部刺激的多样性有利于知识的获取与保持。通过演示操作，使学生易于理解和接受，大大激发了学习兴趣。使教学更具直观性和互动性，同时大大加快了授课的速度，增加了单位课时内的内容。

以上是我个人的上点小心得体会，不当之处还希望各位同行批评指正。谢谢

8、有待解决的问题。

14.求函数极限的常用方法篇十四

袁得芝

函数极限是描述当x→x0或x→∞时函数的变化趋势，求函数极限，常用函数极限的四则运算法则和两个重要结论limnnlim1xx0，0.涉及到单侧极限与nxx0xx

双侧极限的关系问题时，一般运用两个命题：limlimlimf(x)f(x)af(x)axxx和limlimlimf(x)f(x)af(x)a予以解决。现就常见题型及解xxxxx00

法举例如下：

1、分子分母均是x的多项式时，x∞的极限，分式呈现“”型

lima0alxklak例1 求极限（其中ai、bi）为与x无关的常数，k、l、xb0xlblxllbk

为整数且(a0≠b0≠0).a0b(当lk)

0

解：原式=0(当l＞)

不存在(当l＜)

注：本例的一般性结论是：若分子、分母中的x的最高次幂相同时，则极限等于它们的最高次项的系数比；若分子中x的最高次幂低于分母中x的最高次幂则极限为零；反之极限不存在。

2、分子分母都是x的多项式时，x→x0的极限，分式呈现“0”型 0

x21lim例2，求极限 2x12xx

1解：limx21

x12x2x1

lim(x1)(x1)x1(2x1)(x1)limx12。x12x1

3注：因lim

xx0f(x)a，这是从x趋向x0的无限变化过程来看f(x)的变化趋

势的，它对于x0是否属于函数f(x)的定义域不作要求，故求解此类题目常采用分解因式，再约去公因式，使之能运用法则求极限的方法。

3、含有根式的一类式予，由x的变化趋势，呈“∞→∞”型

例3．求极限：lim(x21x24x)。x

lim解：(x21x24x)x

lim14x xx21x24x

14lim2。x142xx

注：分子或分母有理化是常采用的方法。

4、已知函数的极限，求参数的范围

例4：已知：limax2bx

1x1x13，求a、b.解：当x=1时分母为零，故ax2+bx+1中必有x-1这样的因式，由多项式除法可知ax2+bx+1除以 x-1商式为ax+a+b，余式为a+b+1。

∴a+b+1=0①

∴limax2bx

1x1x1lim(x1)(axab)x1x1

lim(axab)2ab。x1

∴2a+b=3②

ab10解方程组

2ab3① ②

a4可得

b

5注：这是一个已知函数极限要确定函数解析式的逆向思维问题，应灵活使用运算法则。

5、涉及单侧极限与双侧极限的问题

例5．求函数f(x)=1+

限。|x1|在x=-1处的左右极限，并说明在x=-1处是否有极x1

limlimx1解：f(x)(1)2，x1x1x1

limlim(x1)f(x)(1)0 x1x1x1

limlim∵f(x)f(x)，x1x1

∵f（x）在x=-1处的极限不存在。

注：本例是

limlimlimf(x)af(x)f(x)a的直接应用。xx0xx0xx0

15.极限计算方法总结篇十五

1燃气爆炸极限的影响因素

经过相关技术人员分析发现, 燃气爆炸极限的影响因素主要分为以下几个方面:

1.1燃气种类及化学形式的扎伊。

通过相关技术人员对燃气进行分析发现, 燃气中的分子结构及其本身具有的反应能力是影响燃气爆炸极限的主要因素之一。从碳氢化合物的角度来讲, 其分子结构是C-C型的单键相连, 但是由于其中碳键的稳定性较好, 因此分子结构并不会受到各种因素的影响而遭到破坏, 但是其反应能力却相对比较差;而分子结构为C≡C型三键相连, 那么其中碳键的稳定性则相对比较差, 而其反应能力却比较好, 因此这种爆炸上限与下限之间的范围也就相对比较大。另外, 爆炸极限还会随着导热系数的变化而受到影响, 如果导热系数越大, 那么其导热能力也就越快, 最终爆炸极限的范围也就相对比较大。

1.2燃气的忖度。

燃气的纯度对于燃气爆炸极限同样具有一定的影响。但是如果燃气中含有惰性气体的元素, 这就能够在一定程度上降低爆炸极限的范围。因为惰性气体在燃气中能够对燃气的浓度起到稀释的作用, 并且能够将燃气与空气相互隔离, 避免其出现爆炸现象。但是如果燃气中含有卤代烷, 那么该元素不仅能够稀释燃气的浓度, 隔离与空气之间的接触, 还能够起到化学抑制的作用, 缩小爆炸极限的范围, 从而避免其出现爆炸现象。因此在现代化社会发展中, 大多数气体灭火剂中都采用的是卤代烷元素。

1.3燃气与空气混合之后的均匀程度。

当燃气泄露并与空气相互混合之后, 在保证其均匀性的情况下, 如果燃气中某一点的浓度达到爆炸极限时, 那么整个燃气浓度都会达到这一极限, 此时的爆炸极限范围相对较大, 最终产生爆炸的现象;反之, 如果燃气泄露与空气相互混合而没有达到均匀性目的, 那么砌体中除了一些点达到燃气浓度之外, 其他燃气浓度并没有达到爆炸极限, 此时爆炸极限范围也就相对比较小。由此可以看出, 燃气与空气相互混合之后的均匀性对于爆炸极限具有较严重的影响。

1.4点火源的形式、点火位置及能源方面的影响。

点火源形式、点火位置及能源等方面对于燃气爆炸极限范围同样具有较大的影响, 如果其能量强度大, 那么其加热的速度较快, 面积扩大, 如果此时点火的位置与混合气体中心相互靠近, 此时的燃气爆炸极限范围也就相对比较大。而如果点火源的形式不同, 那么其释放的能量以及温度也就有所差异, 如果点火能量不高, 那么与之相对应的, 爆炸极限范围也就相对比较小。

1.5爆炸容器的尺寸及形状。

一般来说, 技术人员对燃气爆炸极限参数的计算都是通过容器进行测量的, 如果测量的容器有所差异, 那么其导热性能也就不同, 也就会影响到燃气爆炸极限范围。在测量过程中, 技术人员若选用的是面积大的容器, 那么该容器的导热系数也就相对比较大, 燃气爆炸极限所需要的能量也就较大, 而其爆炸极限范围也就相对比较小;反之, 如果容器的表面积较小, 其导热系数也就比较下, 此时容器向外所散发的热量也就比较小, 此时爆炸极限范围也就相对比较大。

2燃气爆炸极限的估算

燃气爆炸极限的计算方法有多种, 卞要根据完全燃烧反应所需的氧原子数、化学计量浓度、燃烧热等计算出近似值。

2.1单质纯可燃气体。

(1) 按完全燃烧所需氧原子数估算。根据可燃气体燃烧反应时所需的氧原子数、热平衡以及空气中的氧含量, 推算其爆炸极限。

上列两个公式只适用于烷烃碳氢化合物爆炸极限的估算, 不适用于H2、CO气体的计算。 (2) 按化学计量浓度估算。所谓化学计量比浓度就是可燃气体完全燃烧, 按化学反应方程式计算出的可燃气体一空气混合物中可燃气体的浓度。各种可燃气体的化学计量比浓度与其热值有关, 热值高的可燃气体其燃烧反应所需的理论空气量大, 各种可燃气体热值与燃烧反应所需的理论空气量的比值基本相同, 因此, 各种可燃气体的爆炸极限与化学计量比浓度的比值应该相同, 根据这一理论, 通过实验数据回归而得出了下述关系式。

式中, Cst-燃气的化学计量比浓度 (体积) 。

上列两个公式只适用于碳氢化合物及其衍生物爆炸极限的估算, 不适用于Hz.Cp.Cz H:气体的计算。

2.2多组分可燃混合气体爆炸极限的估算。

对于多组分可燃气体的爆炸极限可用混合法则估算, 当已知每种气体的体积组分和爆炸极限时, 其体积组分与爆炸极限之比的和等于混合气体总爆炸极限的倒数, 即:

式中, C-可燃气体的爆炸上 (下) 限 (体积%) ;

Vi-可燃气体各体积组分 (%) ;

Ci-可燃气体各组分的爆炸上 (下) 限 (体积%) ;

n-可燃气体的组分数。

3结论

3.1各种文献公布的有关燃气的爆炸极限, 一般是在小的点火源进行 (起爆能量多数小于t00J) 和比较小爆炸容器 (0.001-0.005耐) , 而且是在常温的条件下测定。因此, 在选用实验数据时, 必须按有关规范规定考虑一定的安全系数。

3.2每种估算方法估算的爆炸极限与实验值有一定误差, 其原因是在计算式中只考虑到可燃混合物的组成, 而未考虑键能、不完全燃烧和燃烧产物的分解等因素的影响。因此, 使用时要考虑安全系数。

摘要：随着城市化进程的加快以及人们生活水平的不断提高, 人们对于燃气等资源的需求量不断增加, 在城市建设与发展过程中, 技术人员在安装消防报警系统之前一般都需要对可燃气体的爆炸极限进行合理的计算, 以保证人们对燃气使用的安全性。本文就城镇燃气爆炸极限影响因素及计算误差进行全面分析, 以供同行参考。