高中数学正弦余弦定理

高中数学正弦余弦定理（精选11篇）

1.高中数学正弦余弦定理 篇一

(一)教材分析

(1)地位和重要性：正、余弦定理是学生学习了平面向量之后要掌握的两个重要定理，运用这两个定理可以初步解决几何及工业测量等实际问题，是解决有关三角形问题的有力工具。

(2)重点、难点。

重点：正余弦定理的证明和应用

难点：利用向量知识证明定理

(二)教学目标

(1)知识目标：

①要学生掌握正余弦定理的推导过程和内容;

②能够运用正余弦定理解三角形;

③了解向量知识的应用。

(2)能力目标：提高学生分析问题、解决问题的能力。

(3)情感目标：使学生领悟到数学来源于实践而又作用于实践，培养学生的.学习数学的兴趣。

(三)教学过程

教师的主要作用是调控课堂，适时引导，引导学生自主发现，自主探究。使学生的综合能力得到提高。

教学过程分如下几个环节：

教学过程课堂引入

1、定理推导

2、证明定理

3、总结定理

4、归纳小结

5、反馈练习

6、课堂总结、布置作业

具体教学过程如下：

(1)课堂引入：

正余弦定理广泛应用于生产生活的各个领域，如航海，测量天体运行，那正余弦定理解决实际问题的一般步骤是什么呢?

(2)定理的推导。

首先提出问题：RtΔABC中可建立哪些边角关系?

目的：首先从学生熟悉的直角三角形中引导学生自己发现定理内容，猜想，再完成一般性的证明，具体环节如下：

①引导学生从SinA、SinB的表达式中发现联系。

②继续引导学生观察特点，有A边A角，B边B角;

③接着引导：能用C边C角表示吗?

④而后鼓励猜想：在直角三角形中成立了，对任意三角形成立吗?

发现问题比解决问题更重要，我便是让学生体验了发现的过程，从学生熟悉的知识内容入手，观察发现，然后产生猜想，进而完成一般性证明。

这个过程采用了不断创设问题，启发诱导的教学方法，引导学生自主发现和探究。

第二步证明定理：

①用向量方法证明定理：学生不易想到，设计如下：

问题：如何出现三角函数做数量积欲转化到正弦利用诱导公式做直角难点突破

实践：师生共同完成锐角三角形中定理证明

独立：学生独立完成在钝角三角形中的证明

总结定理：师生共同对定理进行总结，再认识。

在定理的推导过程中，我注重“重过程、重体验”培养了学生的创新意识和实践能力，教育学生独立严谨科学的求学态度，使情感目标、能力目标得以实现。

在定理总结之后，教师布置思考题：定理还有没有其他证法?

通过这样的思考题，发散了学生思维，使学生的思维不仅仅禁锢在教师的启发诱导之下，符合素质教育的要求。

(3)例题设置。

例1△ABC中，已知c=10，A=45°，C=30°，求b.

(学生口答、教师板书)

设计意图：①加深对定理的认识;②提高解决实际问题的能力

例2△ABC中，a=20，b=28，A=40°，求B和C.

例3 △ABC中，a=60，b=50，A=38°，求B和C.其中①两组解，②一组解

例3同时给出两道题，首先留给学生一定的思考时间，同时让两学生板演，以便两题形成对照、比较。

可能出现的情况：两个学生都做对，则继续为学生提供展示的空间，让学生来分析看似一样的条件，为何①二解②一解情况，如果第二同学也做出两组解，则让其他学生积极参与评判，发现问题，找出对策。

设计意图：

①增强学生对定理灵活运用的能力

②提高分析问题解决问题的能力

③激发学生的参与意识，培养学生合作交流、竞争的意识，使学生在相互影响中共同进步。

(四)归纳小结。

借助多媒体动态演示：图表

使学生对于已知两边和其中一边对角，三角形解的情况有一个清晰直观的认识。之后让学生对题型进行归纳小结。

这样的归纳总结是通过学生实践，在新旧知识比照之后形成的，避免了学生的被动学习，抽象记忆，让学生形成对自我的认同和对社会的责任感。实现本节课的情感目标。

(五)反馈练习：

练习①△ABC中，已知a=60，b=48，A=36°

②△ABC中，已知a=19，b=29，A=4°

③△ABC中，已知a=60，b=48，A=92°

判断解的情况。

通过学生形成性的练习，巩固了对定理的认识和应用，也便于教师掌握学情，以为教学的进行作出合理安排。

(六)课堂总结，布置作业。

2.用好正弦、余弦定理 篇二

例1

已知在△ABC中，A=45°， C=30°， c=10，求a， b和B.

分析已知两角A， B，可由A+B+C=180°求出角C，再用正弦定理求出其他角和边.

解因为A=45°， C=30°，

所以B=180°-（A+C）=105°.

由asinA=csinC得a=csinAsinC=10×sin45°sin30°=102.

由bsinB=csinC得b=csinBsinC=10×sin105°sin30°=20sin75°=20×6+24=56+52.

所以a=102， b=56+52， B=105°.

评注

解三角形问题要注意正弦定理、余弦定理和三角形内角和定理的综合应用.有时解三角形的方法不一定只有一种，如本例中b也可以用余弦定理来求.

例2

在△ABC中，已知a=2， b=22， C=15°，求角A，B和边c的值.

分析由条件和角C为边a， b的夹角，自然应先由余弦定理求边c的值.

解由余弦定理知c2=a2+b2-2abcosC=8-43，所以c=6-2.

再由正弦定理asinA=csinC，得sinA=asinCc=12，因b＞a，故A=30°，所以B=180°-A-C=135°.

评注已知两边及其夹角解斜三角形可运用余弦定理.求出第三边后，再灵活选用正弦、余弦定理求角.若选用正弦定理来解，要注意避免增解的情况，一般根据大边对大角的性质判断出较小的角，先求小角，后求大角；本题求角也可用余弦定理，由于余弦函数在［0， π］上单调递减，这种方法还不需要讨论角的大小，有兴趣的同学不妨动手一试.

已知△ABC中，a∶b∶c=2∶6∶（3+1），求△ABC的各角度数.

分析题目中给出三边的比例，却没有给出一条线段的长度，余弦定理还使用不起来，引入一个字母k，用k表示a， b， c，再由余弦定理求解各角.

解因为a∶b∶c=2∶6∶（3+1），所以令a=2k， b=6k， c=（3+1）k（k＞0）.

由余弦定理有cosA=b2+c2-a22bc=22，所以A=45°.故cosB=a2+c2-b22ac=12，故B=60°.

所以C=180°-A-B=75°.

评注根据问题给出的条件a∶b∶c=2∶6∶（3+1），设a=2k， b=6k， c=（3+1）k（k＞0），为使用余弦定理求角创造条件，这里应充分肯定k的桥梁作用！一桥飞架南北，天堑变通途！

例4

在△ABC中，已知a=3， b=2， B=45°，求边c.

分析本题是已知三角形的两边及其中某一边的对角，求第三条边，一种方法是先由正弦定理求出另一边所对的角，再由内角和定理求出第三个角，再用正弦定理求第三条边；另一种方法是直接由余弦定理建立方程然后求解.

解法1因为asinA=bsinB，

所以sinA=asinBb=3×sin45°2=32.

又b＜a，所以B＜A.所以A=60°或120°.

当A=60°时，C=75°，

c=bsinCsinB=2sin75°sin45°=6+22；

当A=120°时，C=15°，

c=bsinCsinB=2sin15°sin45°=6-22.

解法2因为b2=a2+c2-2accosB，所以2=3+c2-23cos45°c，即c2-6c+1=0.解得c=6±22.

评注① 已知三角形的两边及其中某一边的对角不能唯一确定三角形，解这类三角形问题可能出现一解、两解、无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角”及几何图形帮助理解.

② 解三角形时，主要用到两种数学思想方法：一是利用图形和三角形几何性质进行分类讨论的思想方法；二是函数方程的思想方法.

1. 已知在△ABC中，A=30°， B＝30°.

（1） 若a=1，求b， c和C；

（2） 若c=1，求a， b和C.

2. 已知在△ABC中，a=3， b=2.

（1） 若A=60°，求边c；

（2） 若B=30°，求边c.

（2） C=180°-A-B=120°， a=c•sinAsinC=33， b=c•sinBsinC=33.

2 （1） 因为a2=b2+c2-2bccosA，所以3=2+c2-22c•cos60°，即c2-2c-1=0，解得c=2+62；

3.正弦余弦定理应用定理 篇三

一、选择题(共20题，题分合计100分)

1.已知在△ABC中,sinA:sinB:sinC=3:2:4,那么cosC的值为

A.

14B.14C.23D.23

2.在△ABC中，a=λ,b=

λ,A=45°,则满足此条件的三角形的个数是

A.0 个B.1 个C.2个D.无数个

3.在△ABC中，bcosA=acosB，则三角形为

A.直角三角形B.锐角三角形C.等腰三角形D.等边三角形

4.已知三角形的三边长分别为x2

+x+1,x2

-1和2x+1(x＞1)，则最大角为

A.150°B.120°C.60°D.75°

5.在△ABC中，=1，=2，（+）·（+）=5+23则边|

|等于

A.5B.5-23C.52D.523

6.在△ABC中，已知B=30°,b=50,c=150，那么这个三角形是

A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰三角形或直角三角形

7.在△ABC中，若b2

sin2

C+c2

sin2

B=2bccosBcosC，则此三角形为

A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形

8.正弦定理适应的范围是

A.Rt△B.锐角△C.钝角△D.任意△

9.已知△ABC中，a=10,B=60°,C=45°，则c=

A.10+B.10（-1）C.（3+1）D.103

10.在△ABC中，bsinA＜a＜b，则此三角形有

A.一解B.两解C.无解D.不确定

11.三角形的两边分别为5和3，它们夹角的余弦是方程5x2

-7x-6=0的根，则三角形的另一边长为A.52B.2C.16D.4

12.在△ABC中，a2

=b2

+c2

+bc，则A等于

A.60°B.45°C.120

D.30°

13.在△ABC中，则△ABC是

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.任意三角形

14.在△ABC中，a=2，A=30°,C=45°，则△ABC的面积S△ABC等于

A.2B.22C.+1D.(1)15.已知三角形ABC的三边a、b、c成等比数列，它们的对角分别是A、B、C，则sinAsinC等于

A.cos2BB.1-cos2BC.1+cos2BD.1+sin2B

17.在△ABC中，bCosA=acosB，则三角形为

A.直角三角形B.锐角三角形C.等腰三角形D.等边三角形

18.△ABC中，sin2

A=sin2

B+sin2

C，则△ABC为

A.直角三角形B.等腰直角三角形C.等边三角形D.等腰三角形

19.△ABC中,A=60°,b=1,这个三角形的面积为,则△ABC外接圆的直径为

A.B.C.D.20.在△ABC中，,则k为

4.正弦、余弦定理综合应用 篇四

正、余弦定理的综合应用

一、知识要点

（一）1．正弦定理：

a

sinA

（）2．变形公式：（1）a2RsinA，bc

（2）sinAa

2R，sinB，sinC

（3）a:b:c。

3．三角形面积公式：SABC。

（二）1.余弦定理：a2b2c2

。

2.余弦定理的变形：cosA，cosBcosC。

二、基本类型

类型一：解三角形

1、已知△ABC中，a＝2，b＝3，B＝60°，那么角A等于()A．135°B．90°C．45°D．30°

2、△ABC的三内角A、B、C的对边边长分别为a、b、c.若a＝52，A＝2B，则cosB＝()A.55553B.45D.63、在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若A＝π3，b＝1，△ABC的面积为32

则a的值为()A．1B．2C.3234、、三角形的三边分别为a,b,c，且满足(abc)(abc)

3ab，则c边所对的角等于（）

A

45B60C30D150

5、在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若(a2＋c2－b2)·tanB3ac，则角B的值为()

A.π6B.ππ5ππ2π366D.3或36、在△ABC中，三个角A，B，C的对边边长分别为a＝3，b＝4，c＝6，则bccosA＋cacosB＋abcosC的值为________．

类型

二、判定三角形的形状

7、在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若acosBbcosA,则三角形为

8、在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若bcosB

acosA,则三角形为

9、若△ABC的三个内角满足sinA:sinB:sinC5:11:13，则△ABC（）

（A）一定是锐角三角形.（B）一定是直角三角形.（C）一定是钝角三角形.(D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.10、已知在ABC中，sin

Asin2Bsin2CsinBsinC，则ABC是（）

A钝角三角形B锐角三角形C直角三角形D正三角形

11、在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边的长，且sin(B＋ππ2

4－sin(B－4＝2

.(1)求角B的大小；(2)若a、b、c成等比数列，试判断△ABC的形状．

三、体验高考题

12、（2010浙江理数）在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a,b,c，已知cos2C14

(1)求sinC的值；(2)当a=2，2sinA=sinC时，求b及c的长．

13、（2010辽宁文数）在ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，且2asinA(2bc)sinB(2cb)sinC（1）求A的大小；（2）若sinBsinC1，试判断ABC的形状.14、（2010安徽文数）ABC的面积是30，内角A,B,C所对边长分别为a,b,c，cosA1213

。(1)求AB

AC

5.高中数学正弦余弦定理 篇五

1.教学目标

知识目标：理解并掌握正弦定理，能初步运用正弦定理解斜三角形；

技能目标：理解用向量方法推导正弦定理的过程，进一步巩固向量知识，体现向量的工具性

情感态度价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；

2.教学重点/难点

重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用。

难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。

3.教学用具

多媒体

4.标签

正弦定理

教学过程 讲授新课

在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图1．1-2，在RtABC中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有，又，则

.从而在直角三角形ABC中，思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？（由学生讨论、分析）

可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：（证法一）如图1．1-3，当

ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根，则

.据任意角三角函数的定义，有CD=

同理可得，从而.类似可推出，当自己推导）ABC是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。（由学生课后从上面的研探过程，可得以下定理

正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即

[理解定理]（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k使，；（2）

等价于。

从而知正弦定理的基本作用为：

①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如

；

②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如.一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。

评述：应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形。[随堂练习]第5页练习第1（1）、2（1）题。

课堂小结（由学生归纳总结）（1）定理的表示形式：

或，（2）正弦定理的应用范围：

①已知两角和任一边，求其它两边及一角； ②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。

课后习题

6.高中数学《正弦定理》说课稿 篇六

1、教材地位和作用

在初中，学生已经学习了三角形的边和角的基本关系;同时在必修4，学生也学习了三角函数、平面向量等内容。这些为学生学习正弦定理提供了坚实的基础。正弦定理是初中解直角三角形的延伸，是揭示三角形边、角之间数量关系的重要公式，本节内容同时又是学生学习解三角形，几何计算等后续知识的基础，而且在物理学等其它学科、工业生产以及日常生活等常常涉及解三角形的问题。依据教材的上述地位和作用，我确定如下教学目标和重难点

2、教学目标

(1)知识目标：

①引导学生发现正弦定理的内容，探索证明正弦定理的方法;

②简单运用正弦定理解三角形、初步解决某些与测量和几何计算有关的实际问题。

(2)能力目标：

①通过对直角三角形边角数量关系的研究，发现正弦定理，体验用特殊到一般的思想方法发现数学规律的过程。

②在利用正弦定理来解三角形的过程中，逐步培养应用数学知识来解决社会实际问题的能力。

(3)情感目标：通过设立问题情境，激发学生的学习动机和好奇心理，使其主动参与双边交流活动。通过对问题的提出、思考、解决培养学生自信、自立的优良心理品质。通过教师对例题的讲解培养学生良好的学习习惯及科学的学习态度。

3、教学的重、难点

教学重点：正弦定理的内容，正弦定理的证明及基本应用; 教学难点：正弦定理的探索及证明;

教学中为了达到上述目标，突破上述重难点，我将采用如下的教学方法与手段

二、教学方法与手段

1、教学方法

教学过程中以教师为主导，学生为主体，创设和谐、愉悦教学环境。根据本节课内容和学生认知水平，我主要采用启导法、感性体验法、多媒体辅助教学。

2、学法指导

学情调动：学生在初中已获得了直角三角形边角关系的初步知识，正因如此学生在心理上会提出如何解决斜三角形边角关系的疑问。

学法指导：指导学生掌握“观察——猜想——证明——应用”这一思维方法，让学生在问题情景中学习，再通过对实例进行具体分析，进而观察归纳、演练巩固，由具体到抽象，逐步实现对新知识的理解深化。

3、教学手段

利用多媒体展示图片，极大的吸引学生的注意力，活跃课堂气氛，调动学生参与解决问题的积极性。为了提高课堂效率，便于学生动手练习，我把本节课的例题、课堂练习制作成一张习题纸，课前发给学生。

下面我讲解如何运用上述教学方法和手段开展教学过程

三、教学过程设计

教学流程：

引出课题

引出新知

归纳方法

巩固新知

布置作业

四、总结分析：

现代教育心理学的研究认为，有效的性质概念教学是建立在学生已有知识结构基础上的，因此我在教学设计过程中注意了： ㈠在学生已有知识结构和新性质概念间寻找“最近发展区”， ㈡引导学生通过同化，顺应掌握新概念。

㈢设法走出“性质概念一带而过，演习作业铺天盖地”的误区，促使自己与学生一起走进“重视探究、重视交流、重视过程” 的新天地。

我认为本节课的设计应遵循教学的基本原则;注重对学生思维的发展;贯彻教师对本节内容的理解;体现“学思结合﹑学用结合”原则。希望对学生的思维品质的培养﹑数学思想的建立﹑心理品质的优化起到良好的作用.

设计意图：我的板书设计的指导原则：简明直观，重点突出。本节课的板书教学重点放在黑板的正中间，为了能加深学生对正弦定理以及其应用的认识，把例题放在中间，以期全班同学都能看得到。

7.高中数学正弦余弦定理 篇七

1.三角形的边角关系；2.余弦定理；3.余弦定理与勾股定理之间的关系.2.余弦定理；3.余弦定理与勾股定理之间的关系.3.余弦定理与勾股定理之间的关系.【学习要求】

1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握余弦定理；

2.会运用余弦定理解决一些简单的三角形度量问题.【预习提纲】

（根据以下提纲，预习教材第 5 页～第6 页）

1．如果已知一个三角形的两边及其所夹的角,那么这个三角形的大小、形状是否完全确定?

2.如何用已知的两条边及其所夹的角来表示第三条边.3.教材中给出了用向量法证明余弦定理的方法,体现了向量在解决三角形度量问题中的作用.另外思考用坐标法和三角法如何证明余弦定理.4.讨论余弦定理和勾股定理之间的联系.5.应用余弦定理解三角形(阅读例3).【基础练习】

1．在ABC中,已知下列条件,解三角形(角度精确到0.10,边长精确到0.1cm):

0（1）a=2.7cm, b=3.6cm, C=82.2;

（2）b=12.9cm, c=15.4cm, A=42.30.【典型例题】

例1 在ABC中, a=2, b=4, C=1200,求c边的长.例2 在ABC中,已知b=5, c

A=300求a、B、C及面积S.变式: 在ABC中，已知a=8，c=

41），面积s，解此三角形.必修51.1.2余弦定理（学案）（第1课时）

11.在ABC中，若C为钝角,下列结论成立的是().(A)a2+b2> c2(B)a2+b2

2-2根,2cos(A+B)=1.(1)求角C的度数;(2)求AB的长.x+2=0的两

1.已知a,b, c是ABC中∠A, ∠B,∠C的对边, S是ABC的面积,若a=4,b=5,S

=5,求c的长度.必修51.1.2 余弦定理（教案）

【教学目标】

1．通过对三角形边角关系的探索, 能证明余弦定理, 了解可以从向量、解析法和三角法等多种途径证明余弦定理.2．了解余弦定理与勾股定理之间的联系.3.能够应用余弦定理解三角形.【重点】: 通过对三角形边角关系的探索, 证明余弦定理, 并能应用它解三角形.【难点】: 余弦定理的证明.【预习提纲】

（根据以下提纲，预习教材第 5页～第6页）

1．如果已知一个三角形的两边及其所夹的角,那么这个三角形的大小、形状是否完全确定?(完全确定)

2.如何用已知的两条边及其所夹的角来表示第三条边(a2=b2+c2-2bccosA,22222

2b=a+c-2accosB,c=a+b-2abcosC．)

3.教材中给出了用向量法证明余弦定理的方法,体现了向量在解决三角形度量问题中的作用.另外思考用坐标法和三角法如何证明余弦定理.证法１（向量法）：见教材.证法２（解析法）：如图,以A点为原点，以ABC的边AB,所在直线为x轴，以过A与AB垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则A(0,0),C(bcosA,bsinA)，B(c,0)，由连点间的距离公式得：BC2(bcosAc)2(bsinA0)2，即

abcosA2bccosAcbsinA

所以 abc2bccosA,同理可证b2a2c22accosB ,c2a2b22abcosC

证法３（三角法）：提示：先分锐角，钝角两种情况。过C作CDAB(或其延长线)于D，则CD=bsinA，然后求出BD,在RtABC中，用勾股定理得

222

BCCDBD,化简即可.4.讨论余弦定理和勾股定理之间的联系.余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例． 5.应用余弦定理解三角形(阅读例3).【基础练习】

1．在ABC中,已知下列条件,解三角形(角度精确到0.10,边长精确到0.1cm):（1）a=2.7cm, b=3.6cm, C=82.20;

（2）b=12.9cm, c=15.4cm, A=42.3.解：（１）A≈43.50, B≈58.20，c≈4.2cm;(2)a≈10.5cm, B≈55.80, C≈0

81.9.【典型例题】

例1 在ABC中, a=2, b=4, C=1200,求c边的长.【审题要津】 由条件知可直接用余弦定理求解.解：由余弦定理,得

22222)=28, c=a+b-2abcosC=2+4-2ⅹ2ⅹ4ⅹ(-12

∴c

=2【方法总结】已知三角形的两边及其夹角可直接用余弦定理求解

例2在ABC中,已知b=5, c，A=30求a、B、C及面积s.【审题要津】根据已知条件,可用余弦定理求a,然后可用正弦定理求角B和C,面积用

S=

cbsinA求解.解：由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccosA=25, ∴a=5.由正弦定理,得sinB

bsinAa

12,∴B=300, C=1800-A-B=1200

.Sabc

absinC【方法总结】(1)解三角形时往往同时用到正弦定理与余弦定理.(2)一般地,使用正弦定理求角时,有时要讨论解的个数问题.变式: 在ABC中，已知a=8，c=4

1），面积S

.解:由正弦定理,得S

acsinB,即B=60,或B120(舍),由余弦定理,得

00

b=a+c-2accosB

=84



1284





1



96,∴b,cosA

bca

2bc

222

,A45.C180AB180456075.0000

1.在ABC中，若C为钝角,下列结论成立的是(B).222222

(A)a+b> c(B)a+b

解: 由余弦定理,得c=a+b-2abcosC=1+1-2ⅹ1ⅹ1ⅹ(-1)=3, 2

∴c

=3.在ABC中, a=3, b=4, c,求最大角.解: 显然C最大,由cab2abcosC,得cosC



abc

2ab

222



3437234

1

2,∴C=1200.4.在ABC中, BC=a,AC=b,且a,b是方程x-2

x+2=0的两

根,2cos(A+B)=1.(1)求角C的度数;(2)求AB的长.由根与系数关系知abab2, ,C120, 又2cosab1,cosC12

222

c=a+b-2abcosC=ab2ab2abcosC=12-4-4×

=10,C



1.已知a,b, c是ABC中∠A, ∠B,∠C的对边, S是ABC的面积,若a=4,b=5,S

=5求c的长度.12

解:由SabsinC,得

=

45sinC,所以sinC

,∵C为三角形的内

角，∴C60或C120，当C60时，cab2abcosC45245cos60

21，∴C

00

当C120时，222220

cab2abcosC45245cos120

8.高三数学《余弦定理》评课稿 篇八

高三数学《余弦定理》评课稿1

今天上午在高三计算机班观摩了一节中职数学·拓展模块第1.2.1《余弦定理》的课。本节课是利用向量的内积来推导余弦定理，然后运用余弦定理解决 “边角边”、“边边边”两类基本的解三角形问题的新授课。这节课的教学采用探究式的教学方式，教学中教师以问题为导向设计问题情境，学生通过自主探究和合作交流，在解决问题中发现和推导“余弦定理”，以及定理的应用。总的来说，这是一节运用新课改理念非常成功的概念课。下面，谈谈我个人对这节课的看法：

1、从教学目标来看，教师的课堂教学目标明确，教学过程紧紧围绕三维目标展开。课堂教学中通过情境问题、图片的展示、学生的活动与探究、交流与讨论逐步实现知识与技能的形成、过程与方法的培养、情感态度价值观的陶冶。

2、从教学教材处理来看，教师能根据新课改的要求，能结合中职数学教材的内容和学生的学情，创设问题情境，从具体问题探究出发，抽象出一般性问题结论方法，符合学生的认知规律和学习特点。在教学中，教师努力营造一个民主、平等、和谐、愉悦的教学氛围，用探讨、商量式的口吻组织教学，使学生敢于、乐于参与探讨与学习；在教学活动中教师非常重视教师的激发作用、启迪作用和组织作用，千方百计用各种行之有效的方式，引导学生主动参与学习过程。

3、从教学程序来看，本节课的设计采用探究式教学方法，教师通过合理的设疑，正确的引导学生通过计算---归纳---推理余弦定理，培养学生发现问题、探索问题、解决问题的能力，养成良好的思考习惯。在教学中，教师先通过创设问题情境，从具体问题出发，抽象出一般性的结论，通过学生的自主探究和合作交流，发现和推导“余弦定理”。在引导学生观察余弦定理的结构特征上，运用定理解决三角形“边角边”，“边边边”的问题。课堂结构严谨、环环相扣，过渡自然，时间分配合理，密度适中，效率高。

4、从教学效果来看，本节课的教学激发了学生的兴趣，活跃了学生的思维，学生在教师的组织、引导下，能积极主动的参与对问题的探究，在问题的探究中锻炼和发展自身的能力。落实了三维目标，突破了重难点。

5、从教学基本功来看，教师的教态自然、亲切，言语富有感染力，板书条理性强，教学的思路清晰，课堂驾驭能力非常强，从这里，说明教师的基本功是非常扎实。

6、本节课的具体亮点：①本节课的引入很有新意，教师没有直接教教材，而是对教材做了修改，通过创设我县新建九凰山隧道长度如何测量的问题情境引入新课，激发学生学习的兴趣与积极性，使学生纷纷自觉投入到学习活动中，降低学生对新概念理解的难度，为学生初步领会新课打下了良好的基础，做好了铺垫，体现了“数学来源于生活，生活中处处有数学”。②教师的设计思路比较好，采用“情境--问题”教学模式，沿着“设置情境--提出问题--解决问题--反思应用”这条主线，把从情境中探索和提出数学问题作为教学的出发点，以“问题”为红线组织教学，形成以提出问题与解决问题相互引发携手并进的“情境--问题”学习链，使学生真正成为提出问题和解决问题的主体，成为知识的“发现者”和“创造者”，使教学过程成为学生主动获取知识、发展能力、体验数学的过程。③课堂互动强，教学评价机制运用合理。教师通过创设情境，提出问题，营造一个一种生动活泼、民主平等、和谐愉悦的人文氛围，引导学生思考、讨论，小组探究；在学生的合作探究过程中，让学生能大胆的发表自己独特见解，体现师生互动、生生互动关系。对于学生在课堂中的表现，教师都能及时的肯定与鼓励，在一定的程度上又激励了学生的探究学习，促进了教学。

7、本节的不足之处：虽然教师对本节课的例题做了删减，把例3的证明题给删除了，但对例2没有进拓展，有些遗憾，这里教师自己也提到了，不再重复说明了。

总的来说，这课堂一堂充满生命活力的课，是一堂能促进学生全面发展的课,是一堂遵循新课程理念的课。

高三数学《余弦定理》评课稿2

今天上午在高三计算机班观摩了一节中职数学·拓展模块《余弦定理》的课。本节课是利用向量的内积来推导余弦定理，然后运用余弦定理解决“边角边”、“边边边”两类基本的解三角形问题的新授课。这节课的教学采用探究式的教学方式，教学中教师以问题为导向设计问题情境，学生通过自主探究和合作交流，在解决问题中发现和推导“余弦定理”，以及定理的应用。总的来说，这是一节运用新课改理念非常成功的概念课。下面，谈谈我个人对这节课的看法：

1、从教学目标来看

教师的课堂教学目标明确，教学过程紧紧围绕三维目标展开。课堂教学中通过情境问题、图片的展示、学生的活动与探究、交流与讨论逐步实现知识与技能的形成、过程与方法的培养、情感态度价值观的陶冶。

2、从教学教材处理来看

教师能根据新课改的要求，能结合中职数学教材的内容和学生的学情，创设问题情境，从具体问题探究出发，抽象出一般性问题结论方法，符合学生的认知规律和学习特点。在教学中，教师努力营造一个民主、平等、和谐、愉悦的教学氛围，用探讨、商量式的口吻组织教学，使学生敢于、乐于参与探讨与学习；在教学活动中教师非常重视教师的`激发作用、启迪作用和组织作用，千方百计用各种行之有效的方式，引导学生主动参与学习过程。

3、从教学程序来看

本节课的设计采用探究式教学方法，教师通过合理的设疑，正确的引导学生通过计算——归纳——推理余弦定理，培养学生发现问题、探索问题、解决问题的能力，养成良好的思考习惯。在教学中，教师先通过创设问题情境，从具体问题出发，抽象出一般性的结论，通过学生的自主探究和合作交流，发现和推导“余弦定理”。在引导学生观察余弦定理的结构特征上，运用定理解决三角形“边角边”，“边边边”的问题。课堂结构严谨、环环相扣，过渡自然，时间分配合理，密度适中，效率高。

4、从教学效果来看

本节课的教学激发了学生的兴趣，活跃了学生的思维，学生在教师的组织、引导下，能积极主动的参与对问题的探究，在问题的探究中锻炼和发展自身的能力。落实了三维目标，突破了重难点。

5、从教学基本功来看

教师的教态自然、亲切，言语富有感染力，板书条理性强，教学的思路清晰，课堂驾驭能力非常强，从这里，说明教师的基本功是非常扎实。

6、本节课的具体亮点：

①本节课的引入很有新意，教师没有直接教教材，而是对教材做了修改，通过创设我县新建九凰山隧道长度如何测量的问题情境引入新课，激发学生学习的兴趣与积极性，使学生纷纷自觉投入到学习活动中，降低学生对新概念理解的难度，为学生初步领会新课打下了良好的基础，做好了铺垫，体现了“数学来源于生活，生活中处处有数学”。

②教师的设计思路比较好，采用“情境——问题”教学模式，沿着“设置情境——提出问题——解决问题——反思应用”这条主线，把从情境中探索和提出数学问题作为教学的出发点，以“问题”为红线组织教学，形成以提出问题与解决问题相互引发携手并进的“情境——问题”学习链，使学生真正成为提出问题和解决问题的主体，成为知识的“发现者”和“创造者”，使教学过程成为学生主动获取知识、发展能力、体验数学的过程。

③课堂互动强，教学评价机制运用合理。教师通过创设情境，提出问题，营造一个一种生动活泼、民主平等、和谐愉悦的人文氛围，引导学生思考、讨论，小组探究；在学生的合作探究过程中，让学生能大胆的发表自己独特见解，体现师生互动、生生互动关系。对于学生在课堂中的表现，教师都能及时的肯定与鼓励，在一定的程度上又激励了学生的探究学习，促进了教学。

7、本节的不足之处：

虽然教师对本节课的例题做了删减，把例3的证明题给删除了，但对例2没有进拓展，有些遗憾，这里教师自己也提到了，不再重复说明了。

9.高三上学期数学正弦定理教学计划 篇九

讲授新课前，做一份完美的教学计划，能够更大程度的调动学生在上课时的积极性，数学网为老师们整理了高三上学期数学教学计划，希望给老师的教学带来帮助。

一、内容及其解析

1.内容: 正弦定理

2.解析: 《正弦定理》是普通高中课程标准实验教科书必修5中第一章《解三角形》的学习内容，比较系统地研究了解三角形这个课题。《正弦定理》紧跟必修4(包括三角函数与平面向量)之后，可以启发学生联想所学知识，运用平面向量的数量积连同三角形、三角函数的其他知识作为工具，推导出正弦定理。正弦定理是求解任意三角形的基础，又是学生了解向量的工具性和知识间的相互联系的`的开端，对进一步学习任意三角形的求解、体会事物是相互联系的辨证思想均起着举足轻重的作用。通过本节课学习，培养学生“用数学”的意识和自主、合作、探究能力。

二、目标及其解析

目标：(1)正弦定理的发现;

(2)证明正弦定理的几何法和向量法;

(3)正弦定理的简单应用。 解析：先通过直角三角形找出三边与三角的关系，再依次对锐角三角形与钝角三角形进行探讨，归纳总结出正弦定理，并能进行简单的应用。

三、教学问题诊断分析

正弦定理是三角形边角关系中最常见、最重要的两个定理之一，它准确反映了三角形中各边与它所对角的正弦的关系，对于它的形式、内容、证明方法和应用必须引起足够的重视。正弦定理要求学生综合运用正弦定理和内角和定理等众多基础知识解决几何问题和实际应用问题，这些知识的掌握，有助于培养分析问题和解决问题能力，所以一向为数学教育所重视。

四、教学支持条件分析

学生在初中已学过有关直角三角形的一些知识和有关任意三角形的一些知识， 学生在高中已学过必修4(包括三角函数与平面向量)，学生已具备初步的数学建模能力，会从简单的实际问题中抽象出数学模型完成教学目标，是切实可行的。

五、教学过程

(一)教学基本流程

(一)创设情境，引出课题

①在Rt△ABC中，各边、角之间存在何种数量关系? 学生容易想到三角函数式子：(可能还有余弦、正

a切的式子) bc sinC?1sinA?sinB?c b c

②这三个式子中都含有哪个边长? c学生马上看到，是c边，因为 sinC?1?B C a c③那么通过这三个式子，边长c有几种表示方法?

abcsinAsinBsinC

④得到的这个等式，说明了在Rt△中，各边、角之间存在什么关系?

(各边和它所对角的正弦的比相等)

⑥此关系式能不能推广到任意三角形?

设计意图: 以旧引新, 打破学生原有认知结构的平衡状态, 刺激学生认知结构根据问题情境进行自我组织, 促进认知发展. 从直角三角形边角关系切入, 符合从特殊到一般的思维过程.

(二)探究正弦定理 abc?

?猜想：在任意的△ABC中, 各边和它所对角的正弦的比相等, 即： sinAsinBsinC

设计意图:鼓励学生模拟数学家的思维方式和思维过程, 大胆拓广, 主动投入数学发现过程,发展创造性思维能力.

三角形分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，对于直角三角形，我们前面已经推导出这个关系式是成立的，那么我们现在是否需要分情况来证明此关系式?

设计意图:及时总结，使方向更明确，并培养学生的分类意识

①那么能否把锐角三角形转化为直角三角形来求证? ——可以构造直角三角形

②如何构造直角三角形?

——作高线(例如：作CD⊥AB，则出现两个直角三角形) ab?③将欲证的连等式分成两个等式证明，若先证明， sinAsinB那么如何将A、B、a、b联系起来?

——在两个直角三角形Rt△BCD与Rt△ACD中，CD是公共边：

在Rt△BCD中，CD= a sin B ， 在Rt△ACD中，CD= bsinA

ab ??asinB?bsinA? sinAsinBbcsinB ? sinC?

——作高线AE⊥BC，同理可证.

设计意图:把不熟悉的问题转化为熟悉的问题, 引导启发学生利用已有的知识解决新的问题.

10.正弦和余弦 篇十

1.知识结构：本小节主要学习正弦、余弦的概念，30°、45°、60°角的正弦、余弦值，一个锐角的正弦(余弦)值与它的余角的余弦(正弦)值之间的关系，以及应用上述知识解决一些简单问题(包括引言中的问题)等.

2.重点、难点分析

(1) 正弦、余弦函数的定义是本节的重点，因为它是全章乃至整个三角学的预备知识.有了正弦、余弦函数的定义，再学习正切和余切、解直角三角形、引入任意角三角函数便都有了基础.

(2) 正弦、余弦的概念隐含着角度与数值之间有一一对应关系的函数思想，并且用含有几个字母的符号组sinA，cosA来表示，学生过去未接触过，所以正弦、余弦的概念是难点.

3.理解一个锐角的正弦、余弦值的唯一性，是理解三角函数的核心.

锐角的正弦、余弦值是这样规定的：当一个锐角确定了，那么这个锐角所在的直角三角形虽然有无穷多个，但它们都是彼此相似的.如上图，当 确定时，包含 的直角三角形有无穷多个，但它们彼此相似：

∽ ∽ ∽ ……因此，由于相似三角形的对应边成比例，所以这些三角形的对应边的比都是相等的.

这就是说，每当一个锐角确定了，包含这个角的直角三角形的上述2种比值也就唯一确定了，它们有确定不变的对应关系.为了简单地表达这些对应关系，我们引入了正(余)弦的说法，创造了sin 和cos这样的符号.

应当注意：单独写出三角函数的符号 或cos等是没有意义的.因为它们离开了确定的锐角是无法显示出它的含义;另一方面，这些符号和角写在一起时(如 )，它表示的就不再是角，而是一个特定的三角形的两条边的比值了(如 ).真正理解并掌握这些，才真正掌握了这些符号的含义，才能正确地运用它们.

4. 我们应当学会认识任何位置的直角三角形中的一个锐角的正弦、余弦的表达式.

我们不仅应当熟练掌握如图那样的标准位置的直角三角形的正弦、余弦的表达式，而且能熟练地写出无论怎样放置的直角三角形的正弦、余弦的表达式.如， 如图所示，若 ，则有

有的直角三角形隐藏在更复杂的图形中，我们也应能正确地写出所需要的三角函数表达式，如图中，ABCD是梯形， ，作 ， 我们应正确地写出如下的三角函数关系式：

很显然，这些表达式提供给我们丰富的边与角间的数量关系.

5.特殊角的正弦、余弦值既容易导出，也便于记忆，应当熟悉掌握它们.

利用勾股定理，很容易求出含有 或 角的直角三角形三边的比;如图(1)和图(2)所示.

根据定义，有

另一方面，可以想像，当 时，边 与AC重合(即 )，所以

当 时，边AB与CB重合(即AB=CB)，AC的长缩小为0，于是，有

把以上结果可以集中列出下面的表：

	0				1
	1				0

6.教法建议：

(1)联系实际，提出问题

通过修建扬水站时，要沿斜坡铺设水管而提出要求水管最顶端离地面高度的问题，第一步把这问题归结于直角三角形中，第二步，再把这个问题归于直角三角形中，已知一个锐角和斜边的长，求这个锐角所对直角边的一个几何问题.同时指出在这种情况下，用已学过的勾股定理是解决不了的.激发学生的学习兴趣，调动学生探索新途径，迫切需要学习新知识的积极性.在这章的第一节课，应抓住这个具有教育性，富于启发性的有利开端，为引进本章的重要内容：锐角三角函数作了十分必要的准备.

(2) 动手度量、总结规律、给出定义以含 的三角板为例让学生对大小不同的三角板进行度量，并引导学生得出规律： ，再进一步对含 的三角板进行度量，在探索同样的内容时，要用到勾股定理，又类似地得到，所有的这种等腰直角三角形中，都会得到 ,这时，应当即给出 的正弦的定义及符号，即 ，再对照图形，分别用a、b、c表示 、 、 的对边，得出 及 ， 就这样非常简洁地得到锐角三角函数的第一个定义，应充分利用课本中这种简练的处理手段，使学生建立起锐角三角函数的概念.

(3)加强数形结合思想的教学

“解直角三角形”编在几何教材中，突出了它的几何特点，但这只是从知识的系统性方面讲的，使它与几何前后知识可关系更紧密，便于学生理解和掌握，并没有改变它形数结合的本质，因此教学中要充分利用这部分教材，帮助学生掌握用代数方法解决几何问题的方法，提高在几何问题中注意运用代数知识的能力.

11.高中数学正弦定理教案 篇十一

“解三角形”既是高中数学的基本内容，又有较强的应用性，在这次课程改革中，被保留下来，并独立成为一章。这部分内容从知识体系上看，应属于三角函数这一章，从研究方法上看，也可以归属于向量应用的一方面。从某种意义讲，这部分内容是用代数方法解决几何问题的典型内容之一。而本课“正弦定理”，作为单元的起始课，是在学生已有的三角函数及向量知识的基础上，通过对三角形边角关系作量化探究，发现并掌握正弦定理(重要的解三角形工具)，通过这一部分内容的学习，让学生从“实际问题”抽象成“数学问题”的建模过程中，体验 “观察——猜想——证明——应用”这一思维方法，养成大胆猜想、善于思考的品质和勇于求真的精神。同时在解决问题的过程中，感受数学的力量，进一步培养学生对数学的学习兴趣和“用数学”的意识。

二、学情分析

我所任教的学校是我县一所农村普通中学，大多数学生基础薄弱，对“一些重要的数学思想和数学方法”的应用意识和技能还不高。但是，大多数学生对数学的兴趣较高，比较喜欢数学，尤其是象本节课这样与实际生活联系比较紧密的内容，相信学生能够积极配合，有比较不错的表现。

三、教学目标

1、知识和技能：在创设的问题情境中，引导学生发现正弦定理的内容，推证正弦定理及简单运用正弦定理解决一些简单的解三角形问题。

过程与方法：学生参与解题方案的探索，尝试应用观察——猜想——证明——应用”等思想方法，寻求最佳解决方案，从而引发学生对现实世界的一些数学模型进行思考。

情感、态度、价值观：培养学生合情合理探索数学规律的数学思想方法，通过平面几何、三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。同时，通过实际问题的探讨、解决，让学生体验学习成就感，增强数学学习兴趣和主动性，锻炼探究精神。树立“数学与我有关，数学是有用的，我要用数学，我能用数学”的理念。

2、教学重点、难点

教学重点：正弦定理的发现与证明;正弦定理的简单应用。

教学难点：正弦定理证明及应用。

四、教学方法与手段

为了更好的达成上面的教学目标，促进学习方式的转变，本节课我准备采用“问题教学法”，即由教师以问题为主线组织教学，利用多媒体和实物投影仪等教学手段来激发兴趣、突出重点，突破难点，提高课堂效率，并引导学生采取自主探究与相互合作相结合的`学习方式参与到问题解决的过程中去，从中体验成功与失败，从而逐步建立完善的认知结构。

五、教学过程

为了很好地完成我所确定的教学目标，顺利地解决重点，突破难点，同时本着贴近生活、贴近学生、贴近时代的原则，我设计了这样的教学过程：

(一)创设情景，揭示课题

问题1：宁静的夜晚，明月高悬，当你仰望夜空，欣赏这美好夜色的时候，会不会想要知道：那遥不可及的月亮离我们究竟有多远呢?

1671年两个法国天文学家首次测出了地月之间的距离大约为 385400km，你知道他们当时是怎样测出这个距离的吗?

问题2：在现在的高科技时代，要想知道某座山的高度，没必要亲自去量，只需水平飞行的飞机从山顶一过便可测出，你知道这是为什么吗?还有，交通警察是怎样测出正在公路上行驶的汽车的速度呢?要想解决这些问题， 其实并不难，只要你学好本章内容即可掌握其原理。(板书课题《解三角形》)

[设计说明]引用教材本章引言，制造知识与问题的冲突，激发学生学习本章知识的兴趣。

(二)特殊入手，发现规律

问题3：在初中，我们已经学习了《锐角三角函数和解直角三角形》这一章，老师想试试你的实力，请你根据初中知识，解决这样一个问题。在Rt⊿ABC中sinA= ，sinB= ,sinC= ,由此，你能把这个直角三角形中的所有的边和角用一个表达式表示出来吗?

引导启发学生发现特殊情形下的正弦定理。

(三)类比归纳，严格证明

问题4：本题属于初中问题，而且比较简单，不够刺激，现在如果我为难为难你，让你也当一回老师，如果有个学生把条件中的Rt⊿ABC不小心写成了锐角⊿ABC，其它没有变，你说这个结论还成立吗?