三角形的内外角平分线

三角形的内外角平分线（13篇）

1.三角形的内外角平分线 篇一

如今, 有各种各样的建筑和设计都涉及了三角形, 因为三角形是最稳定的图形。为了使建筑更为美观, 在其中也会涉及三角形的一个重要部分——三角形角平分线.在实际建造时, 经常需要对三角形的三边及角平分线进行测量.

在数学教材关于三角形角平分线的内容中, 其只指出三角形角平分线分对边与各边的比例关系, 即三角形角平分线定理:三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例.但是, 对于三角形一角平分线段的长度的推算, 数学教材或相关资料中并没有涉及.本文介绍了一个新的、巧妙的方法, 仅利用三角形三边的长度就可以直接计算出任意角平分线段的长度, 从而避免对三角形角平分线的繁琐测量.

二、三角形角平分线与各边的长度关系

如图所示, 对于任意△ABC, AD为∠A的角平分线, AD交BC与D点, 则有AB·AC=AD2+BD·DC, 即.

三、以上关系的证明

(一) 所用定理:

(1) 同弧或等弧所对的圆周角相等;

(2) 相似三角形性质;

(3) 圆内的两条相交弦, 被交点分成的两条线段长的乘积相等.

(二) 证明:

如图, 对于任意的△ABC都可以作出其外接圆⊙O, 然后作出∠A的角平分线, 分别交BC、⊙O于D、E.

又AE平分∠BAC

∴∠BAE=∠EAC

∵∠C=∠E, ∠BAE=∠EAC

则AB·AC=AE·AD= (AD+DE) AD=AD2+AD·DE

∴AB·AC=AD2+AD·DE=AD2+BD·DC

所以则有AB·AC=AD2+BD·DC

变化得

得证.

四、实际运用

实际生活中, 三角形建筑繁多.在测量时, 三角形三边长度比较容易测量, 但角平分线的长度难以测量.以上关系式就可以避免此类麻烦, 通过测量各边的长度, 就直接计算出角平分线的长度.

例如:如图所示, 某公园的矩形湖面有两座观景桥AB和AC.为了吸引更多游客前来游玩, 公园今年拟建第三座观景桥AD, 且AD为∠ABC的角平分线.观赏桥AB、AC、AD共用同一桥墩A在湖的一侧, 桥墩B、D、C分别在湖的另一侧, 且B、D、C沿湖岸在同一条直线上.现用专业仪器精确测得观景桥AB长50米, 观赏桥AC长40米, 两桥墩BC间相距63米.为了确定观赏桥AD的建造所需材料, 预计观景桥AD的长度为多少?

解:根据三角形角平分线定理 (三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例)

又BC=63

根据本文中三角形角平分线与各边的长度关系

所以, 观景桥AD长31.94米.

2.感悟三角形角平分线和中线的概念 篇二

1. 准备锐角三角形、钝角三角形和直角三角形纸片各一个.

（1） 你能分别画出这 3 个三角形的 3 条角平分线吗？

（2） 你能用折纸的办法得到它们吗？

（3） 在每个三角形中，这 3 条角平分线之间有怎样的位置关系？

2. 在纸上画出一个锐角三角形，并画出它的 3 条中线，它们有怎样的位置关系？钝角三角形和直角三角形的 3 条中线也有同样的位置关系吗？折一折，画一画，并与同伴交流.

结论：三角形的 3 条角平分线交于一点，3 条中线交于一点.

[开眼界]

中国近现代数学发展时期

中国近现代数学开始于清末民初的留学活动. 较早出国学习数学的有：1903 年留日的冯祖荀，1908 年留美的郑之蕃，1910 年留美的胡明复和赵元任，1911 年留美的姜立夫，1912 年留法的何鲁，1913 年留日的陈建功和留比利时的熊庆来（1915 年转留法），1919 年留日的苏步青等人. 他们中的多数回国后成为著名数学家和数学教育家，为中国近现代数学发展作出重要贡献.20 世纪30 年代出国学习数学的还有江泽涵、陈省身、华罗庚、许宝等人，他们都成为中国现代数学发展的骨干力量. 1935 年中国数学会成立大会在上海召开，共有33名代表出席. 1936 年《中国数学会学报》和《数学杂志》相继问世，这些标志着中国现代数学研究的进一步发展. 建国后的数学研究取得长足进步.20 世纪 50 年代初期就出版了华罗庚的《堆垒素数论》（1953）、苏步青的《射影曲线概论》（1954）、陈建功的《直角函数级数的和》（1954）和李俨的《中算史论丛》（5辑，1954～1955）等专著．到1966 年，共发表各种数学论文约 2 万余篇. 除了在数论、代数、几何、拓扑、函数论、概率论与数理统计、数学史等学科继续取得新成果外，还在微分方程、计算技术、运筹学、数理逻辑与数学基础等分支有所突破，有许多论著达到世界先进水平，同时培养和成长起一大批优秀数学家.20 世纪 60 年代后期，中国的数学研究基本停止. 1970 年《数学学报》恢复出版，并创刊《数学的实践与认识》. 1973 年陈景润在《中国科学》上发表《大偶数表示为一个素数及一个不超过二个素数的乘积之和》的论文，在哥德巴赫猜想的研究中取得突出成就. 此外中国数学家在函数论、马尔可夫过程、概率应用、运筹学、优选法等方面也有一定创见. 1978 年11月中国数学会召开第三次代表大会，标志着中国数学的复苏. 1978 年恢复全国数学竞赛，1985 年中国开始参加国际奥林匹克数学竞赛. 1981 年陈景润等数学家获国家自然科学奖励. 1983 年国家首批授予18 名中青年学者以博士学位，其中数学工作者占．1986年中国第一次派代表参加国际数学家大会，加入国际数学联合会，吴文俊应邀做了关于中国古代数学史的演讲.1985 年庆祝中国数学会成立 50 周年年会上，已确定中国数学发展的长远目标，立志要不懈地努力，争取使中国在世界上早日成为新的数学大国.

[经典例析]

例 1 如图1，在△ABC中，BD = CD，∠ABE = ∠CBE，BE 交 AD 于点 F，则：

（1） AD是三角形 的 线， 是△BCE 的中线；

（2） BE是三角形 的 线， 是△ABD 的角平分线.

解：（1） ABC 中 ED

（2） ABC 角平分 BF

依据三角形角平分线、中线的定义，由角相等、线段相等来确定哪条线段是角平分线和中线.要特别注意：三角形的角平分线、中线都是线段；一个三角形有 3 条角平分线和 3 条中线，且都在三角形内.

例2 如图2，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=2∠A，BD是△ABC的角平分线，求∠CDB的度数.

解：因为∠C=90°，所以∠CBA+∠A=90°.又因为∠ABC=2∠A，所以∠A=30°，∠CBA=60°.又因为BD是△ABC的角平分线，所以∠CBD=∠CBA=30°.而∠CBD+∠CDB=90°，所以∠CDB=60°􀆰

利用三角形角平分线平分三角形一个内角的特点，并结合直角三角形两锐角互余，求得△ABC各内角的度数，从而求出∠CDB的度数.

例3 如图3，在△ABC中，AB = AC，AD是中线，△ABC的周长为28 ，BD = 6，求AB的长.

解：因为AD是中线，所以BC = 2BD􀆰

因为BD = 6，所以BC = 2 × 6 = 12􀆰

因为△ABC 的周长为 28，即AB + AC + BC = 28，所以AB + AC = 16 􀆰

因为AB = AC，所以AB = 16 ×= 8􀆰

利用三角形中线平分三角形一边的特点求得BC的长，从而利用已知条件△ABC 的周长为28，求得AB 的长􀆰

[即学即练]

1􀆰 如图4，∠1 = ∠2，则AD是△ABC的角平分线的有（）．

A􀆰 1个B􀆰 2个C􀆰 3个D􀆰 4个

2􀆰 下列说法中，正确的是（）．

A􀆰 三角线的角平分线和角的平分线没有区别

B􀆰 钝角三角形的 3 条中线不交于一点

C􀆰 任何三角形都有 3 条中线，且一定交于一点

D􀆰 以上说法都不对

3􀆰 在△ABC中，∠A=50°，∠B、∠C的角平分线交于点D，则∠BDC等于（）．

A􀆰 65°B􀆰 130°C􀆰 115°D􀆰 100°

4􀆰 如图5，△ABC的两个外角的平分线相交于点D，如果∠A=50°，那么∠D =

5􀆰 角的平分线是一条 ，三角形的角平分线是一条

6􀆰 如图6，AD是△ABC的中线，CE是△ACD的中线，若△CDE的面积为 1，那么△ABC的面积为 􀆰

7􀆰 如图7，△ABC的周长为 9，AD为中线，△ABD的周长为 8，△ACD的周长为 7，求AD的长􀆰

8􀆰 如图8，某校生物兴趣小组有一块三角形的实验田，现对某种作物的 4 个品种进行对比实验，需将这块土地分成面积相等的4块，请你设计两种不同的划分方案供选择（画图说明）􀆰

[中考风向标]

1􀆰 （2006年·广东）如图9，在△ABC中，AC = BC，∠BAC的外角平分线交BC的延长线于点D，若∠ADC = ∠CAD，则∠B = 􀆰

2􀆰 （2006年·绵阳市）已知△ABC．（1）如图10（1），若 P 点是∠ABC和∠ACB角平分线的交点，则∠P = 90° + ∠A；（2）如图10（2），若P点是∠ABC和外角∠ACE角平分线的交点，则∠P = 90° - ∠A；（3）如图10（3），若 P 点是外角∠CBF 和 ∠BCE的角平分线的交点，则∠P = 90° - ∠A􀆰

上述说法正确的个数是（）．

A􀆰 0B􀆰 1C􀆰 2D􀆰 3

参考答案：

1􀆰 36°2􀆰 C

3.三角形的内外角平分线 篇三

湖北省襄阳市襄城区第二十五中学 陈玲

在减负背景下，讲究课堂教学的优质高效性是师生共同的追求目标.在减负教育新政的课改形势下，提高课堂教学质量的主阵地势必落到课堂上来，课堂要高效，教师就要认真备课，根据教学内容、学生情况，设计出能最大限度地激发学生学习兴趣、调动学生学习积极性的例习题。例习题教学是数学教学的重要组成部分，提高例题教学的有效性是提高教学质量的关键.通过例题教学，帮助学生理解知识，突出重点，突破难点，形成技能，提炼思想，培养能力，努力促进学生在知识与技能、数学思维、情感与态度等方面充分发展

以下笔者将学生在学完三角形角平分线性质与判定后所讲的一节习题课案例呈现如下：

一、教学目标

（一）知识与技能

1.熟练掌握角的平分线的性质与判定定理； 2.会利用角的平分线的性质与判定进行证明与计算.（二）过程与方法

在应用角的平分线的性质与判定定理的过程中,进一步发展学生的推理证明意识和能力.（三）情感、态度与价值观

在应用角的平分线的性质与角的平分线的判定定理的过程中,培养学生探究问题的兴趣、合作交流的意识、动手操作的能力与探索精神,增强解决问题的信心,获得解决问题的成功体验.二、教学重点、难点

重点：角平分线的性质、判定的辨析，以及熟练运用。； 难点：通过习题进一步辨析角平分线的性质、判定，并进行熟练地运用

三、教法学法

自主探索,合作交流的学习方式.四、教学过程

（一）复习、回顾

１角平分线的性质定理: 角平分线上的点到角两边的距离相等

角平分线的性质定理几何语言：

∵ OC平分∠BOA, PD⊥OA，PE⊥OB ∴ PB=PD

2角平分线的判定定理: 到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 角平分线的判定定理几何语言：

∵PD⊥OA，PE⊥OB且PB=PD ∴OC平分∠BOA 母题：新人教版八上教材P的例题

如图, △ABC的角平分线BM,CN相交于点P, 求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等

证明：过点P作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F ∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上, ∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等)同理,PE=PF.∴PD＝PE=PF.即点P到三边AB、BC、CA的距离相等

变式1 如图所示，已知△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，那么AP能否平分∠BAC？请说明理由．由此题你能得到一个什么结论？

分析：由题中条件可知，本题可以采用角的平分线的性质及判定来解答，因此要作出点P到三边的垂线段．

解：AP平分∠BAC．

结论：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等． 理由：过点P分别作BC，AC，AB的垂线，垂足分别是E、F、D． ∵BM是∠ABC的角平分线且点P在BM上，∴PD＝PE（角平分线上的点到角的两边的距离相等）．

同理PF＝PE，∴PD＝PF．

∴AP平分∠BAC（到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上）． 变式2将变式1中的两内角平分线变成两外角平分线

如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，求证：点F在∠DAE的平分线上．

证明：过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD于H，FM⊥BC于M ∵点F在∠BCE的平分线上，FG⊥AE，FM⊥BC ∴FG＝FM 又∵点F在∠CBD的平分线上，FH⊥AD，FM⊥BC ∴FM＝FH ∴FG＝FH∴点F在∠DAE的平分线上

在学生由相应的思想方法即“作垂线、证相等”的通法解决以上题目后，紧接着出示有关角平分线的夹角问题：

命题 如图１，点D是△ABC两个内角平分线的交点，则∠BDC =90°+证明：如图１：

∵2∠1＝∠ABC，2∠２＝∠ACB，∴2∠1＋2∠2＋∠A＝180°① ∠1＋∠2＋∠BDC=180°② ①－②得：

∠1＋∠2＋∠A＝∠BDC③ 由②得：

∠1＋∠2=180°－∠BDC④ 把③代入④得：

∴180°－∠BDC＋∠A＝∠BDC

∠A． ∠BDC =90°+∠A．

点评 利用角平分线的定义和三角形的内角和等于180°，不难证明.以下变式在学生独立思考的基础上以小组合作互学的方式达成学习目标。然后用多媒体进行展示：

变式1 : 如图２，点D是△ABC两个外角平分线的交点，则∠D=90°－证明：如图２：

∵DB和DC是△ABC的两条外角平分线，∴∠D=180°－∠1－∠2

∠A．

=180°－（∠DBE+∠DCF）

=180°－（∠A+∠4+∠A+∠3）

=180°－（∠A+180°）

=180°－ ∠A－90°

=90°－ ∠A；

点评 利用角平分线的定义和三角形的一个外角等于与它不相邻两外角的和以及三角形的内角和等于180°，可以证明.变式2 :如图3，点E是△ABC一个内角平分线与一个外角平分线的交点，则∠E=∠A．

证明：如图3：

∵∠1=∠2，∠3=∠4，∠A+2∠1=2∠4① ∠1+∠E=∠4②

①×代入②得：

∠E=∠A． 点评 利用角平分线的定义和三角形的一个外角等于与它不相邻两外角的和，很容易证明.变式3 如图４，点E是△ABC一个内角平分线BE与一个外角平分线CE的交点，证明:AE是△ABC的外角平分线.证明：如图3：

∵BE是∠ABC的平分线,可得：EH=EF CE是∠ACD的平分线, 可得：EG=EF ∴过点E分别向AB、AC、BC所在的直线引垂线，所得的垂线段相等.即EF=EG=EH ∵EG=EH ∴AE是△ABC的外角平分线．

点评 利用角平分线的性质和判定能够证明．

熟悉和掌握以上题目的结论能轻松地解答一些相关的比较复杂的问题，下面来试试看． 练习1如图5，PB和PC是△ABC的两条外角平分线． ①已知∠A=60°，请直接写出∠P的度数是.②三角形的三条外角平分线所在的直线形成的三角形按角分类属于 三角形？

解析：①由命题1的变式1的结论直接得：∠P=90°－ 60°=60°

∠A=90°－ ×②根据命题命题1的变式1的结论∠P=90°－ ∠A，知三角形的三条外角平分线所在的直线形成的三角形的三个角都是锐角，则该三角形是锐角三角形．

点评 此题直接运用命题2的结论很简单．同时要知道三角形按角分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．

练习２ 如图6，在△ABC中，延长BC到D,∠ABC与∠ACD的角平分线相较于∠BC与∠CD的平分线交与

点，以此类推，…，若∠A=96°，则∠

点，= 度．

解析：由命题1的变式2的结论不难发现规律∠∠A．

可以直接得：∠=×96°=3°．

点评 此题是要找出规律的但对要有命题命题1的变式2的结论作为基础知识．

练习３如图7，△ABC的外角∠ACD的平分线CP的内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC=40°，则∠CAP=_______________． 解析：此题直接运用命题1的变式3的结论可以知道ＡＰ是△ABC的一个外角平分线，结合命题1的变式2的结论知道∠BAC=2∠BPC, CAP=(180°－∠BAC)=(180°－2∠BPC)=50°．

点评 若熟悉命题1的变式1和2的结论解决此题易如反掌，否则将是一道在考试的时候花时间也不一定做的出来的题目．

练习4 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，∠ACB的平分线与∠ABC的外角平分线交与E点，连接AE，则∠AEB= 度．

解析：由题目和命题1的变式3的结论可以知道AE是△ABC的一个外角平分线, 结合命题1的变式1的结论知道∠AEB=∠ACB－∠ACB=90°－×90°=45°

点评 从上面的做题过程来看题目中给出的“∠A=30°”这个条件是可以不用的．

（以上四个练习课堂上未解决完的留作作业继续探究）

小结：数学学习离不开解题，但不能陷入题海，不能让学生成为解题的机器.对做过的题目要进行反思总结，并站在一定的高度加以审视，从中发掘题目的精髓，看清问题的本质，对数学有思有悟，这样，学生才能从更高的观点，用更宽的视野，更理性的眼光，去思考解决数学问题，让数学课堂不断出新出奇出彩，充分挖掘教材的例习题之间的内在联系，使之形成习题串，由此及彼，举一反三，不仅激发学生探究的激情，也培养了学生的思维能力，真正实现了让数学课堂例习题教学真实高效.不足之处的反思

4.角平分线教学反思 篇四

《角平分线性质》这节课的学习，我主要采用了体验探究的教学方式，为学生提供了亲自操作的机会，引导学生运用已有经验、知识、方法去探索与发现等式的性质，使学生直接参与教学活动，学生在动手操作中对抽象的数学定理获取感性的认识，进而通过教师的引导加工上升为理性认识，从而获得新知，使学生的学习变为一个再创造的过程，同时让学生学到获取知识的思想和方法，体会在解决问题的过程中与他人合作的重要性，为学生今后获取知识以及探索和发现打下基础。

回顾本节课,我觉得在一些教学设计和教学过程的把握中还存在着一些问题 本节课在授课开始，让学生回顾用尺规作图画一个角的角平分线，为本节课学习角的平分线的性质作铺垫。活动一中，充分发挥学生动手操作能力，并把实图抽象成平面图形画出来，起初画图时，学生画得千奇百怪，有的把他撕的纸的大小原封不动的画了下来，有的又把直角画在角的平分线上了，并没有达到我预想的结果，通过提示，有些同学画出来了，但又忘记标直角符号。我想：出现这些问题，首先是要抽象出这个模型来确实有点困难，其次我在让学生剪下这个角的时候，没有注意到学生剪下来的形状是不一样的，下一次可能直接剪一个三角形，把其中一个角对折，可能要好些，但可能会出现更大的问题。因此在这里浪费的时间多，导致后面没有充足的时间来证明此性质。

5.角平分线教学反思 篇五

作为公开课，这节课显然是不成功的，首先教学任务没完成，学生未进行充分课堂练习。其次课堂气氛不活跃，学生讨论不充分，课堂静多动少。再次，为使公开课更像公开课，我依然有牵着学生鼻子走的痕迹。最后，对学生学情分析不够准。

在教学设计上我还是用了心的，这节内容分为两部分：性质和判定，每部分又细化为几个有层次的问题，旨在通过问题引领，使学生积极参与到知识的探索中。在整节课中学生也做到了认真看书，独立思考，独立完成，遇到困难再讨论。这部分内容比较简单，我预计学生二十分钟能完成，但学生四十分钟才完成学案自学内容，而学生始终在不停的看、写。学生在最后部分没来得及充分讨论和展示就被我一拖而过。新课堂理念注重尊重学生思维，前半堂做得还不错，这时我顾不上了，毕竟离我的目标太远了。

之所以出现这样的状况，我认为除了对学情分析不准外，更大的原因是学生根本没预习，这就是我的纠结所在，把学案预先发下去，让学生预作，或许能使课堂流畅，容量增大。但让学生什么时间？自习课，巩固练习时间还不够，课余时间，在我校学风还不是太好的情况下，担心学生不能认真预习，最终敷衍了事，又怕与其他作业相冲突。况且对学案上所填内容是不是学生自己思考的或通过消化转化为自己的结果，我在目前的情况下是不放心的。我不能充分相信学生，怕他们蒙蔽了我的双眼。但是如果让学生在课堂上完成自我阅读，独立思考，独立作业，交流合作等环节，再加上教师的必要点拨，一节课就完了，课堂训练和拓展延伸便没时间了。

6.一道角平分线问题的变式拓展 篇六

如图1,△ABC的角平分线BD,CE相交于点P,∠A=70°,求∠BPC的度数.

今天我们就从这道题着手,探究例题的解题结论在问题变式后的有效应用,并通过例题的进一步拓展,达到解一题而通一类,举一反三的高效解题目的.

一、例题的解题结论

解析 利用三角形内角和性质得∠ABC+∠ACB的度数,根据角平分线性质得∠1+∠2的度数,然后根据三角形内角和性质得∠BPC的度数.

解:在△ABC中,∠A+∠ABC+∠ACB=180° ,∠A =70° ,得∠ABC + ∠ACB =180°∠A=110°.

∵BD、CE分别平分∠ABC和∠ACB,

∴∠1=1/2∠ABC,∠2=1/2∠ACB,

即

在△BPC中,∠BPC=180°-(∠1+∠2)=125°.

同时,由于∠1+∠2=1/2(∠ABC+∠ACB)=1/2(180°-∠A),则

结论 如图1,△ABC的角平分线BD、CE相交于点P,则∠BPC=90°+1/2∠A.

二、例题的变式训练

通过第一部分的阅读,同学们知道了一种基本图形能带来解题结论,下面我们将通过一些变式训练体会解题结论的应用,从而看清数学本质,提升解题效益.

变式一 如图2,P是∠ABC与外角∠ACD的角平分线BP和CP的交点,试分析∠BPC与∠A有怎样的关系,请说明理由.

常规解法

解:如图2,由三角形内角和性质推得∠ACD=∠A+∠ABC,∠DCP=∠BPC+∠PBC,由CP平分∠ACD,可知∠DCP =1/2∠A+1/2∠ABC,而BP平分∠ABC,从而可得∠PBC=1/2∠ABC,即∠DCP=∠BPC+1/2∠ABC,则1/2∠A+1/2∠ABC=∠BPC+1/2∠ABC,易得∠BPC=1/2∠A.

结论的有效应用

如图3,作∠ACB的平分线交BP于E点,建立例题中的基本模型,利用例题的解题结论可知∠BEC=90°+1/2∠A,由CE、CP分别平分∠ACB与∠ACD易知∠ECP=90°,根据三角形外角的性质推得,∠BEC=∠ECP+∠BPC,易知∠BPC=1/2∠A.

【变式二】如图4,CP、BP分别是∠ACB与∠ABC的外角平分线,试分析∠BPC与∠A有怎样的关系?请说明理由.

常规解法

解: 由例题得 到启发 , 只要求得∠PBC+∠PCB的值,根据∠PBC+∠PCB+∠BPC=180°,即得∠BPC的值.由三角形外角的性质 易得∠EBC = ∠A + ∠ACB,∠FCB=∠A+ ∠ABC,则∠EBC+∠FCB=∠A+∠ACB+∠ABC+∠A =180° + ∠A,又因为CP、BP分别是∠ACB与∠ABC的外角平分线,所以∠PBC+∠PCB=1/2(180°+∠A),即∠PBC+∠PCB=90°+1/2∠A,从而可得∠BPC=90°-1/2∠A.

结论的有效应用

如图5,作∠ACB和∠ABC的平分线交于E点,建立例题中的基本模型,利用例题的解题结论可知∠BEC=90°+1/2∠A,由BE、BP分别平分∠ABC与∠EBC可知∠EBP =90° ,同理∠ECP =90° ,由四边形EBPC的内角和为360°可得∠BPC=90°-1/2∠A.

解题感悟 教材中的例题、习题具有较强的示范性、知识性和可变性,同学们可以对其进行深入挖掘,从而得出相关的几何模型和不变的数学本质,当我们面对变化的几何问题时,就能建立熟悉的几何模型,从而达到化繁为简、高效解题的效果.

三、例题的有效拓展

拓展1 如图6中,BE是∠ABD的平分线 ,CF是∠ACD的平分线 ,BE与CF交于P点,若∠BDC =140° ,∠A=80°,求∠BPC的大小.

解析 本题B、D、C三点不在同一条直线上,故不能利用例题的结论解题,但依然可以应用三角形内角和定理与角平分线性质解题,数学的本质是一样的.

解:如图6,连接BC,由三角形的内角和定理可得∠DBC+∠DCB=180°-∠BDC=40°,由∠ABC+∠ACB=180°-∠A=100°,从而可得∠ABD+∠ACD=60°,由BE是∠ABD的平分线.CF是∠ACD的平分线,可得∠PBD+∠PCD=1/2(∠ABD+∠ACD)=30°.因为∠PBC+∠PCB=∠PBD+∠PCD+∠DBC+∠DCB=70°,∠PBC+∠PCB+∠BPC=180°,所以∠BPC=110°.

拓展2 在△ABC中,∠A=50°,高BE、CF交于点P,且点P不与点B、C重合,求∠BPC的度数.

解析 由点P不与B、C重合知∠B、∠C均非直角,这样,△ABC可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形,应分两种情况讨论.

当△ABC是锐角三角形时,点P在△ABC的内部,如图7所示,由四边形的内角和性质可知∠BPC = ∠EPF =360°∠A-∠AFP-∠AEP=130°;当△ABC是钝角三角形时,点P在△ABC的外部,如图8所示,由三角形的内角和定理可知,∠A+∠AFC+∠ACF=180°,∠BPC+∠CEP+∠ECP=180°,从而可得∠BPC = ∠A =50° . 故∠BPC=130°或50°.

7.两条角平分线夹角的度数 篇七

这些大家应该都明白吧.那么，如果三角形变成四边形，如图（1）变为图（4），那么图（1）中的结论会变化吗？？

现在我们发现：四边形两个相邻角的角平分线夹角等于其余两角和的一半.五边形两个相邻角的角平分线夹角等于其余三角和的一半减去90°.由此我们得出猜想，六边形两个相邻角的角平分线夹角等于其余四角和的一半减180°如图（6）BP，CP还是∠ABC和∠BCD的角平分线，那么，上述猜想是否成立？

猜想正确！

那么，任意n边形两个相邻角的角平分线夹角又是否等于其余（n-2）角的一半减90°（n-4）呢？

在n边形中：

我们还需验证一下三角形，三角形有三条边，则三角形的两角平分线夹角等于剩下（3-2）个角的一半减去90°（3-4）.符合图（1）中 .就这样，最终发现三角形中的结论只是n边形中的一种情况， n边形两相邻内角的角平分线夹角等于其余（n-2）个角和的一半减去90°×（n-4）！

当然，数学的探究是无止境的，上述结论一定还有不足之处，或者说，探究得还未全面，那么，我们一起来完成吧！

8.角平分线的教师教学反思 篇八

角平分线的教师教学反思范文一

本节课是讲角平分线的性质与判定。下面从本节课的教学设计、课堂效果以及本节课的不足之处进行了反思。

一、对教学设计的反思

在设计这节课时，我想如果在一节课的时间里把性质和判定学完，那只能是把本节课设计为探究课，而对于性质与判定的应用只能放在下一节课，于是我把这节课设计为探究课，把对角平分线的性质与判定定理的探索作为本节课的重点。本节课的教学方法是启发探究式。为了增加课堂密度和教学效果以及突破本节课的教学难点，我运用几何画板和幻灯片制作了课件，以增加学生对角平分线上任意一点的理解。在学生探究角平分线的性质与判定时，我分别创设了情境，一是为了给学生的探究搭建平台，培养学生的动手操作能力。二是为使学生感受到数学知识来源于实际并应用于实际。同时也体现了新课程标准下的课堂应体现学生的主体性。

二、对课堂的再认识

如果说一节课的课堂设计是上好一节课的根本，那么课堂上老师的传授方式更是关键。这其中包括老师对课堂气氛和学生 的把握，老师的教态是否大方得体，尤其有很多老师听课的时候，还包括语言是否精炼，知识的逻辑感是否连贯，层次是否清楚等。首先说本节课的课堂气氛，不知是否是第一节课的缘故亦或是学生有点紧张，平时爱回答问题的学生不太敢发言了，所以感觉课堂的气氛还是有些沉闷。当然，老师在调动学生的积极性时，要设法消除学生的紧张感，让学生在课上轻松而愉快的学习知识。这是对任何一位老师的考验。其次通过看自己的录像，平时自己没有在意的细节，包括自己在讲台上的站位和站姿，自己不经意的手势和说话的口头语都暴露出来。感觉自己精心锤炼的语言在录像中仍有些罗嗦等等。总觉得自己上课时怎么会留有那么多的遗憾。再次对课堂所用时间把握不够准确，由于在开始的尺规作图中浪费了一部分时间，当然这一环节时间的浪费与我讲授尺规作图的方式不够合理是分不开的，以至于在后面所准备的习题没有时间去练习，给人感觉这节课不够完整。再就是课堂上安排的内容过多，也是导致前面所提问题的原因。这也使我注意到在授课内容的安排上不应死板教条，而应根据内容和学生情况进行更合理的配置。

三、不足之处的反思

通过看自己的录像课，感觉自身的课堂教学还有很多地方有待于改进和完善。尤其是对课堂语言的锤炼，不仅仅是表达清楚，更要言简意赅，把更多的时间留给学生，让学生在课堂上有更多的时间去思考。还要注意，发挥学生的主体性不应停留在口头上，还要在实际操作时充分体现教师是学生学习的引导者，学生是学习的真正的主人。更要在实际教学中始终贯彻先学后教的模式，更好地培养学生的合作精神与个人能力。

角平分线的教师教学反思范文二

本节课采用“创设情境—自主探究—合作交流—反馈测试”等流程

一、重视情境创设，让学生经历求知过程。本节课引入问题教学的模式，其目的是引导学生积极参与课堂，积极投入到解题思路的探索过程中，通过合作学习引导学生深层次参与。

二、有效利用多媒体辅助教学，增加课堂教学效益。在学生通过动手实践、猜想、概括等活动后，用几何画板演示角平分线上的点运动时，该点到角两边的距离的变化情况，进一步体会变化中的规律并快速反馈出相应的结论，为下一步的命题的归纳与概括、证明奠定基础。课件的动态演示，对抽象思维能力偏弱的学生有了更好的帮助，有效促进学生从直觉思维到抽象思维的过渡。

三、注重对学生数学课堂学习过程的评价，尽可能做到充分理解和尊重学生的发言。对正确的发言给予真诚的肯定，对不对的意见有意进行冷处理，创造机会让学生去争论。学生能够在课堂上敢说、敢议、敢评。不足是有时过于急躁，应把更多的时间留给学生，让学生在课堂上有更多的时间去思考。

角平分线的教师教学反思范文三

教师的成长在于不断地总结教学经验和进行教学反思，下面是我对这一节课的得失分析：

一、教材分析

本节课是九年制义务教育课程标准实验教科书八年级上册11.3角平分线的性质的第一课时。角平分线是初中数中重要的概念，它有着十分重要的性质，通过本节的学习，可以丰富和加深学生对已学图形的认识，同时为学习其它图形知识打好基础.二、学生情况

八年级学生有一定的自学、探索能力，求知欲强。借助于课件的优势，能使脑、手充分动起来，学生间相互探讨，积极性也被充分调动起来。教法和法学

通过创设情境、动手实践，激发学生的学习兴趣，促进学生积极思考，寻找解决问题的途径和方法。

在教师的指导下，采用学生自己动手探索的学习方式，让学生思考问题，获取知识，掌握方法，借此培养学生动手动脑、动口的能力，使学生真正成为学习的主体。

三、教学过程设计

首先，本节课我本着学生为主，突出重点的意图，结合课件使之得到充分的诠释。如在角平分线的画法总结中，我让学生自己动手，通过对比平分角的仪器的原理进行作图，并留给学生足够的时间进行证明。为了解决角平分线的性质这一难点，我通过具体实践操作、猜想证明、语言转换让学生感受知识的连贯性。

其次，我在讲解过程中突出了对中考知识的点拨，并且让学生感受生活中的实例，体现了数学与生活的联系;渗透美学价值。

再次，从教学流程来说：情境创设---实践操作---交流探究---练习与小结---拓展提高，这样的教学环节激发了学生的学习兴趣，将想与做有机地结合起来，使学生在想与做中感受和体验，主动获取数学知识。像采用这种由易到难的手法，符合学生的思维发展，一气呵成，突破了本节课的重点和难点。

四、本节课的不足

本节课在授课开始，我没有把平分角的学具的建模思想充分传达给学生，只是利用它起到了一个引课的作用，并且没有在尺规作图后将平分角的学具与角平分线的画法的关系两相对照。

在授课过程中，我对学生的能力有些低估，表现在整个教学过程中始终大包大揽，没有放手让学生自主合作，在教学中总是以我在讲为主，没有培养学生的能力。

对课堂所用时间把握不够准确，由于在开始的尺规作图中浪费了一部分时间，以至于在后面所准备的习题没有时间去练习，给人感觉这节课不够完整。再就是课堂上安排的内容过多，也是导致前面所提问题的原因。这也使我注意到在授课内容的安排上不应死板教条，而应根据内容和学生情况进行更合理的配置。

9.证明角平分线判定方法 篇九

因此根据直线公理。

证明：已知PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，且PD=PE，求证：OC平分∠AOB

证明：在Rt△OPD和Rt△OPE中：

OP=OP，PD=PE

∴Rt△OPD≌Rt△OPE(HL)

∴∠1=∠2

∴ OC平分∠AOB

方法一：1.以点O为圆心，以任意长为半径画弧，两弧交角AOB两边 于点M，N。

2.分别以点M，N为圆心，以大于1/2MN的长度为半径画弧， 两弧交于点P。

3.作射线OP。

射线OP即为所求。

证明：连接PM,PN在△POM和△PON中

∵OM=ON,PM=PN,PO=PO

∴△POM≌△PON(SSS)

∴∠POM=∠PON，即射线OP为角AOB的角平分线当然，角平分线的作法有很多种。

方法二：1.在两边OA、OB上分别截取OM、OC和ON、OD，使OM=ON，OC=OD;

2.连接CN与DM，相交于P;

3.作射线OP。

10.角平分线(一)教学设计 篇十

（一）一、学生知识状况分析

本节在学习了直角三角形全等的判定定理、线段的垂直平分线的性质和判定定理的基础上，进一步学习角平分线的性质和判定定理及相关结论.学生已经经历了构造一个命题的逆命题的过程，因此比较容易用类比的方法构造角平分线性质定理的逆命题。

二、教学任务分析

学生已探索过角平分线的性质，而此处在学生回忆的基础上，尝试着证明它，并构造其命题，进一步讨论三角形三个内角平分线的性质．本节课的教学目标为：

1.会证明角平分线的性质定理及其逆定理．

2．进一步发展学生的推理证明意识和能力，培养学生将文字语言．转化为符号语言、图形语言的能力．

3.经历探索，猜想，证明使学生掌握研究解决问题的方法。教学难点：

正确地表述角平分线性质定理的逆命题及其证明。

三、教学过程分析

本节课设计了五个教学环节：第一环节：设置情境

温故知新；第二环节：探究新知；第三环节：巩固练习；第四环节：随堂练习；第五环节：课时小结；第六环节：课后作业

1：情境引入

我们曾用折纸的方法探索过角平分线上的点的性质，步骤如下： 从折纸过程中，我们可以得出CD=CE，即角平分线上的点到角两边的距离相等． 你能证明它吗?

2：探究新知

（1）引导学生证明性质定理

请同学们自己尝试着证明上述结论，然后在全班进行交流． 已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E．

求证：PD=PE．

ADO12EBPC证明：∵∠1=∠2，OP=OP，∠PDO=∠PEO=90°，∴△PDO≌△PEO(AAS)．

∴PD=PE(全等三角形的对应边相等)．(教师在教学过程中对有困难的学生要给以指导)我们用公理和已学过的定理证明了我们折纸过程中得出的结论．我们把它叫做角平分线的性质定理。(用多媒体演示)角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．（2）你能写出这个定理的逆命题吗? 我们在前面学习线段的垂直平分线时，已经历过构造其逆命题的过程，我们可以类比着构造角平分线性质定理的逆命题．

引导学生分析结论后完整地叙述出角平分线性质定理的逆命题： 在一个角的内部且到角的两边距离相等的点，在这个角的角平分线上． 它是真命题吗? 你能证明它吗? 没有加“在角的内部”时，是假命题．

(由学生自己独立思考完成，在全班讨论交流，对困难学生可个别辅导)证明如下：

已知：在么AOB内部有一点P，且PD上OA，PE⊥OB，D、E为垂足且PD=PE，求证：点P在么AOB的角平分线上． 证明：PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠ PEO=90°． 在Rt△ODP和Rt△OEP中

OP=OP，PD=PE，∴Rt△ODP ≌ Rt△OEP(HL定理)． ∴∠1=∠2(全等三角形对应角相等)．

逆命题利用公理和我们已证过的定理证明了，那么我们就可以把这个逆命题叫做原定理的逆定理．我们就把它叫做角平分线的判定定理。

（3）用直尺和圆规画已知角的平方线及作图的依据讨论。3.巩固练习

综合利用角平分线的性质和判定、直角三角形的相关性质解决问题。进一步发展学生的推论证明能力。在学生独立完成推理过程的基础上，教师要给出书写示范

例题：在 △ABC 中，∠ BAC = 60°，点 D 在 BC 上，AD = 10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E，F，且 DE = DF，求 DE 的长.（4）课本例题学习

4：随堂练习

课本第29页1、2题。

5：课堂小结

这节课证明了角平分线的性质定理和判定定理，在有角的平分线（或证明是角的平分线）时，过角平分线上的点向两边作垂线段，利用角平分线的判定或性质则使问题迅速得到解决。

6：课后作业

习题1．9第1，2，3,4题．

四、教学反思

11.三角形内角平分线定理 篇十一

求证： BA/AC=BD/DC;

思路1：过C作角平分线AD的平行线，用平行线分线段成比例定理证明。

证明1：过C作CE∥DA与BA的延长线交于E。

则： BA/AE=BD/DC;

∵∠BAD=∠AEC；（两线平行，同位角相等）

∠CAD=∠ACE；（两线平行，内错角相等）

∠BAD=∠CAD；（已知）

∴∠AEC=∠ACE；（等量代换）

∴AE=AC；

∴BA/AC=BD/DC。

结论1：该证法具有普遍的意义。

思路2：利用面积法来证明。

已知：如图8-4乙所示，AD是△ABC的内角∠BAC的平分线。

求证： BA/AC=BD/DC

证明2：过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F；

∵∠BAD=∠CAD；（已知）

∴DE=DF；

∵BA/AC=S△BAD/S△DAC；（等高时，三角形面积之比等于底之比）

BD/DC=S△BAD/S△ABCDAC；（同高时，三角形面积之比等于底之比）

∴BA/AC=BD/DC

12.三角形的内外角平分线 篇十二

教学目标：

使学生掌握角平分线的性质和判定定理，并能应用它解决有关的证明问题。教学内容与过程：

一、情境创设

一个Ｓ区有一货易市场，在公路与铁路所成角的平分上的Ｐ点要从Ｐ点建两条路，一条到公路上，另一条到铁路上，怎样修建距离最短，这两条路在数量上有何关系？

这节课让我们再次走进“角平分线的性质和判定”（板书课题）

二、学生探究（过渡语：老师这有个题目，看谁能又快又正确的做出来）例

1、△ABC中，AD是它的角平分线。且BD=CD，DE、DF分别垂直AB、AC。垂足分别为E、F。求证：EB=FC

三、展示归纳 例题学生做后，解答过程生说老师写，发动学生纠正和完善，教师画龙点睛强调，最后指出这就是今天的两个例题。

四、变式练习

学生按要求完成相关练习；师安排学生到黑板前解答相关问题；师生共同纠错，并强调注意事项。

变式1：如图：△ABC中，AB=AC,D是BC的中点，DE⊥AB,DF⊥AC ,垂足分别为E、F。求证：DE=DF

A FE

BDC

变式2：在△ABC中，∠B=∠C，点D为BC边的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F。求证：点D在∠A的平分线上。

变式3：已知，如图，CE⊥AB,BD⊥AC,∠B=∠C，BF=CF。求证：AF为∠BAC的平分线。

CDF

B

AE

五、反馈补救

在每个变式练习处理完后如有问题都进行补救，强调和画龙点睛。此环节一般在变式练习环节同步进行。

六、小结与归纳

引导学生先进行自主小结，再进行概括总结。

七、布置作业

师布置作业，学生完成作业。

如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F，连接E,F，交AD于点G，AD与EF之间有什么关系？证明你的结论。

A

13.角平分线教学反思 篇十三

本节课我设计的教学思路是按操作、猜想、验证、运用的学习过程，遵循学生的认知规律，来进一步提高学生的思维水平意识和应用数学知识解决实际问题的能力。教学始终围绕着角平分线及其性质、判定的问题而展开，先从出示问题开始，鼓励学生思考，探索问题中所包含的数学知识，让学生经历了知识的形成与应用的过程，从而更好的理解掌握角平分线的性质，发展学生应用数学的意识与能力，增强学生学好数学的愿望和信心。

但在具体的教学过程中，整个课堂显得时间仓促，没有给学生留下足够的时间和空间进行定理应用。没有及时地检验学生运用角平分线性质定理进行简单的推理及解决问题的能力。假如对本节课进行第二次设计，我想只探讨角平分线性质定理即可，而后补充一些例题给学生足够的时间让他们进行分析和运用，真正的培养学生动手、合作、概括能力，以达到提高学生的思维水平意识和应用数学知识解决实际问题的能力。