初二数学一元一次方程

初二数学一元一次方程（共20篇）

1.初二数学一元一次方程 篇一

一元一次方程

一、教学目标 ：

1、通过对多种实际问题的分析，感受方程作为刻画现实世界有效模型的意义。

2、通过观察，归纳一元一次方程的概念

3、积累活动经验。

二、重点和难点

重点：归纳一元一次方程的概念

难点：感受方程作为刻画现实世界有效模型的意义

三、教学过程

1、课前训练一

（1）如果 | 40厘米的`树苗，栽种后每周树苗长高约为12厘米，问大约经过几周后树苗长高到1米？设大约经过 周后树苗长高到1米，依题意得方程（     ）

A、   B、   C、  D、00

2、由课本P149卡通图画引入新课

3、分组讨论P149两个练习

4、P150：某长方形的足球场的周长为310米，长与宽的差为25米，求这个足球场的长与宽各是多少米？设这个足球场的宽为 米，那么长为（ +25）米，依题意可列得方程为：（      ）

A、+25=310   B、+（ +25）=310   C、2 [ +（ +25）]=310   D、[ +（ +25）] 2=310

课本的宽为3厘米，长比宽多4厘米，则课本的面积为            平方厘米。

5、小芳买了2个笔记本和5个练习本，她递给售货员10元，售货员找回0.8元。已知每个笔记本比练习本贵1.2元，求每个练习本多少元？

解：设每个练习本要 元，则每个笔记本要         元，依题意可列得方程：

6、归纳方程、一元一次方程的概念

7、随堂练习PO151

8、达标测试

（1）下列式子中，属于方程的是（     ）

A、   B、    C、  D、

（2）下列方程中，属于一元一次方程的是（       ）

A、    B、    C、   D、

（3）甲、乙两队开展足球对抗比赛，规定每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分。甲队与乙队一共进行了10场比赛，且甲队保持了不败记录，甲队一共得22分。求甲队胜了多少场？平了多少场？

解：设甲队胜了 场，则平了          场，依题意可列得方程：

解得 =

答：甲队胜了        场，平了        场。

（4）根据条件“一个数 比它的一半大2”可列得方程为

（5）根据条件“某数 的 与2的差等于最大的一位数”可列得方程为

四、课外作业  P151习题5.1

2.初二数学一元一次方程 篇二

一、转化思想

著名的数学家, 莫斯科大学教授C.A.雅洁卡娅曾在一次向数学奥林匹克参赛者发表《什么叫解题》的演讲时提出:“解题就是把要解题转化为已经解过的题”。数学的解题过程, 就是从未知向已知、从复杂到简单的化归转换过程。转化, 是一种重要的思想方法, 它能给人带来思维的闪光点, 找到解决问题的突破口。

解一元二次方程的基本思路是运用了“转化”的思想, 即把待解决的问题 (一元二次方程) , 通过转化, 归结为已解决的问题 (一元一次方程) 。直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法中都渗透了这一思想。

公式法:直接用公式把把“未知”转化为“已知”。这些都体现了转化的思想。

例1方程x2+4x=2的正根为 () .

解析:把原式中2x2-5x为一个未知数, 令2x2-5x=y, 用换元法得到分式方程求出y, 则可得到所求的值。

二、整体思想

整体的思想方法, 就是将注意力和着眼点放在问题的整体上或把一些相互联系的量作为整体, 从而使问题巧妙的解决的方法称之为整体思想。利用整体思想可以培养学生的逻辑思维能力。

有些一元二次方程问题, 可根据其特点, 采用整体处理的方法, 不仅可避免复杂的计算, 而且还达到了解决问题的目的。

三、分类讨论思想

我们在解答某些数学问题时, 有时会遇到多种情况, 需要对各种情况加以分类, 并逐类求解, 然后综合得解, 这就是分类讨论法。分类讨论是一种重要的解题策略, 它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性, 能训练人的思维条理性和概括性, 所以在初中数学学习中占有重要的位置。

在涉及到含有字母系数的一元二次方程时, 经常要用到分类讨论思想。分类讨论一般分为以下三步。第一步, 根据题目需要确定分类讨论的思想;第二步, 针对讨论对象进行合理的分类讨论;第三步, 对分类讨论结果进行合并, 综合得出结论。从而获得问题的解决方案。

例4若0是关于x的方程 (m-2) x2-3x+m2+2m-8=0的解, 则实数m的值为_____.

解析:根据题意, 进行分类, 是解决本题的突破口.本题逆用方程解的定义可求得m的值, 但要注意m的不同取值所得的方程解的情况也不同, 故要分类讨论。由题意, 得m2+2m-8=0, 解得:m=2, m=-4.

(1) 当m=2时, 原方程变为-3x=0, 解得x=0.

(2) 当m=-4时, 原方程变为-6x2-3x=0, 解得x=0, x=-2.

例5当a为何值时, 关于x的方程 (a+1) x2+2ax+a=0有实数根?

解析:方程“有实数根”包含“有一个实数根”和“有两个实数根”, 即方程既可以是一元一次方程, 也可以是一元二次方程, 故需分类讨论:

(1) 当a+1≠0, 即a≠1时, 方程为一元二次方程。

因方程有实数根, 所以 (2a) 2-4 (a+1) ·a≤0.解得a≤0.

所以, 当a≤0且a≠-1时, 一元二次方程 (a+1) x2+2ax+a=0有实数根。

综上可知, 当a≤0时, 方程 (a+1) x2+2ax+a=0, 有实数根。

四、方程思想

方程思想, 是从问题的数量关系入手, 运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型 (方程、不等式、或方程与不等式的混合组) , 然后通过解方程 (组) 或不等式 (组) 来使问题获解。有时, 还实现函数与方程的互相转化、接轨, 达到解决问题的目的。笛卡尔的方程思想是:实际问题→数学问题→代数问题→方程问题。

方程思想在一元二次方程的解法中有着广泛的应用。如已知方程和方程的根, 求方程中字母的值, 运用了方程思想;又如列方程解实际问题也充分体现了方程思想。列方程、解方程和研究方程的特性, 都是应用方程思想时需要重点考虑的。

例6已知关于x的方程x2-px+q=0的两个根分别是0和-2, 则p和q的值分别是 () .

例7已知x2+y2+4x-6y+13=0, 且x、y为实数, 求的yx值。

解析:本题围绕一元二次方程, 既考查了知识, 又考查了能力。通过审题发现只需将等式的左边改为两个代数式和的形式, 即 (x+2) 2+ (y-3) 2, 再利用非负数的的性质得到两个方程x+2=0、y-3=0, 解出x=-2, y=3后代入中求出答案即可。

数学思想是是数学解题的指南针, 是学习数学的方向盘。解题时恰当的运用数学思想可使思路开阔, 方法简便快捷。提高一元二次方程的解题思维, 可以对已学过实数、一元一次方程、因式分解、二次根式等知识加以巩固, 同时又为今后学习可化为一元二次方程的其它高元方程、一元二次不等式、二次函数等知识的打下基础。只要真正理解这些数学思想, 并在解题的过程中灵活应用, 就会在解决数学问题的过程中举一反三, 提高学习的效率, 真正学会数学, 会学数学。

摘要：一元二次方程是初中数学中的重要内容, 在初中代数中占有重要地位。但是, 解一元二次方程却一直被认为是一个难点。究其原因, 是未能很好的掌握解法中的数学思想。对于学生而言, 很少人能够系统的掌握。为此, 结合教学实践, 将其中的四种数学思想陈列如下并配以例题说明。

关键词：一元二次方程,转化思想,整体思想,分类讨论思想,方程思想

参考文献

[1]全日制义务教育《数学课程标准》.北京师范大学出版社

[2]邓海勇, 郑阳芳《.浅谈一元二次方次的几种解法》.中国教育改革及教学研究, 2009.3

3.古代数学中的一元一次方程 篇三

1. 鸡兔同笼问题

鸡兔同笼是中国古代的数学名题之一. 大约在1 500年前，《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题. 书中是这样叙述的：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”这四句话的意思是：有若干只鸡、兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头，从下面数，有94只脚. 问笼中各有几只鸡和兔？

【分析】 这个问题中数量之间有这样的相等关系：鸡头的数量+兔头的数量=35，鸡脚的数量+兔脚的数量=94.

我们可以用一个相等关系设未知数，另一个相等关系建立方程.

解：设鸡的数量是x只，则兔子的数量是（35-x）只.

根据题意得，2x+4（35-x）=94.

解之得，x=23.

35-x=12.

答：笼中鸡有23只，兔子有12只.

2. 宝塔装灯问题

我国明代数学家吴敬所著的《九章算术比类大全》中，有一道数学名题叫“宝塔装灯”，内容为：远望巍巍塔七层，红灯点点倍加增；共灯三百八十一，请问顶层几盏灯？（倍加增指从塔的顶层到底层）.

【分析】根据题意，设顶层的红灯有x盏，则第二层有2x盏，依次第三层有4x盏，第四层有8x盏，第五层有16x盏，第六层有32x盏，第七层有64x盏，总共381盏，列出方程，解方程即可得解.

解：设顶层的红灯有x盏.

由题意得：

x+2x+4x+8x+16x+32x+64x=381

127x=381

x=3.

答：塔的顶层有3盏灯.

3. 良马驽马问题

元代朱世杰所著《算学启蒙》里有这样一道题：“良马日行两百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之？”

【分析】根据题意，驽马先行一十二日，则驽马先行了1 800里，这个问题中数量之间有这样的相等关系：驽马跑的路程+1 800里=良马跑的路程.

解：设良马x天能追上驽马.

根据题意得，150x+1 800=240x.

解之得，x=20.

答：良马20天可以追上驽马.

4. 丢番图的墓志铭

希腊数学家丢番图（公元3-4世纪）被认为是代数学的鼻祖，但人们对于丢番图的生平知道得非常少，历史上甚至没有一本正式的著作里留下他完整的生平介绍. 他唯一的简历是从《希腊诗文集》中找到的. 这是由麦特罗尔写的丢番图的“墓志铭”. “墓志铭”是用诗歌形式写成的：“过路的人，这儿埋葬着丢番图. 他一生的六分之一是幸福的童年，十二分之一是无忧无虑的少年. 再过去七分之一的年程，他建立了幸福的家庭. 五年后儿子出生，不料儿子竟先其父四年而终，只活到父亲岁数的一半. 晚年丧子老人真可怜，悲痛之中度过了风烛残年. ”根据以上信息，请你算出：（1） 丢番图的寿命. （2） 丢番图开始当爸爸时的年龄.（3） 儿子死时丢番图的年龄.

【分析】 根据题意，只要知道丢番图的寿命，其他的年份都可以通过他的寿命算出来.

解：设丢番图的寿命是x岁.

根据题意得，+++5++4=x.

解之得，x=84.

+++5=38.

84-4=80.

答：丢番图的寿命是84岁，丢番图当爸爸时是38岁，儿子死时丢番图80岁.

我国古代数学家刘徽注释《九章算术》说：“程，课程也. 二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程.”这里所谓“如物数程之”，是指有几个未知数就必须列出几个等式. 一次方程组各未知数的系数用算筹表示时好比方阵，所以叫做方程. 方程这个概念在《九章算术》中的“方程”章最早出现. 其中解方程组的方法，不但是我国古代数学中的伟大成就，也是世界数学史上一份非常宝贵的遗产. 这一成就进一步证明：中华民族是一个充满智慧和才干的伟大民族.

4.七年级数学一元一次方程教学反思 篇四

方程是应用广泛的数学工具，它在义务教育阶段的数学课程中占有重要地位！也是代数学的核心之一！这一章主要讲了三大内容，1：一元一次方程的定义，等式的基本性质。

2：一元一次方程的解法。

3：一元一次方程的应用。

下面我想就这三个方面的教学的得与失进行反思和总结。

一：在一元一次方程的概念教学上，对“元”和“次”的解释，对整式的理解，大多都是我讲了，学生的自我建构不深，造成理解不透。在判别的环节上，自我感觉问题设置太粗糙，学生不能理解透彻。以致在后来的《数学天地》的报纸中还要进行进一步的补充说明。等式的基本性质我也讲得比较粗糙，但学生有小学的基础，掌握情况还比较好

二：解方程学生在5年级的时候就开始接触。学生已有的解方程的经验是以算式的方式即找出被减数，减数，差。加数，另一个加数，和，被除数，除数，商等哪一个未知进而利用公式来进行解答的。而现在我们是要深入学习方程，并为以后学习更复杂的方程作铺垫。所以，我们是在学好等式的基本性质之后，利用等式的基本性质去分母，去括号，移项，化简，系数化为1来解方程，学生能从理论上理解解方程的原理。在讲解解法时，我们采用一步一个脚印的方法让学生牢牢掌握好一元一次方程的解法，在考试中也表明了学生这一知识点学得比较好。

三：利用一元一次方程解应用题是数学教学中的一个重点，而对于学生来说却是学习的一个难点。

5.数学一元一次方程的应用教学反思 篇五

一、认真审题，重视应用题数量关系的分析。

审题是正确解题的前提。学生往往对审题拘于形式，拿到题目就把题中数字简单组合，导致错误。应用题是有情节、有具体内容和问题的，所以首先要加强学生“说”的培养，理解题意。有些应用题的叙述较为抽象、冗长，可引导学生将题目的叙述进行简化，抓住主要矛盾，说出应用题的已知条件和问题。其次要加强关键词句的观察，理解题意。有时候仅一字之差，题目的数量关系就不同，解法也有差异。

二、加强解题思路训练，提高解题能力。

教学不仅要使学生学到知识，还要重视学生获得知识的思维过程。所以在应用题教学中要以指导思考方法为重点，让学生掌握解答应用题的基本规律，形成正确的解题思路。如采用对应的思想方法、比较法、逆向思考、变式法、感知规律法等等。在教学中摸清学生对应用题的思维脉络，了解思维会从哪里起步，向哪个方向发展，将会在哪里受阻，以便点拨帮助学生克服障碍，及时引导学生向预定的目标前进。此外，多进行改变问题，改变条件的训练，使学生排除解题的固定摸式，以培养学生思维的灵活性。

三、充分发挥线段图的直观教学作用。

苏霍姆林斯基指出：“画线段图不仅是表象和概念加以具体化的手段，也是一种使学生进行自我智力教育的手段。”线段具有一定的直观性，能够化抽象为具体，有效地揭露隐藏着的数量关系，掌握数量。例如在“比多比少”的应用题中，通过线段对比，结果就十分明显。

四、充分利用电教手段，帮助学生解答应用题。

6.初二数学一元一次方程 篇六

案

以下是查字典数学网为您推荐的 七年级数学一元一次方程及其解法复习教案，希望本篇文章对您学习有所帮助。

七年级数学一元一次方程及其解法复习教案

【学习者分析】：

本班学生在一个星期前已经学习了等式的性质、一元一次方程的概念、一元一次方程的解以及一元一次方程的解法，在学习过程中大部分同学能掌握上述知识，但学生不会自主复习知识，因此很容易遗忘，需复习巩固。

【教学目标】：

一、情感态度与价值观

1、在复习一元一次方程的过程中，体会学习方程的意义在于解决实际问题。

2、在查漏补缺的过程中培养学生自我发现、自我归纳、善于分析、勇于探索的能力，循序渐进，激发学生求知欲，增强学生自信心，体会分类的数学思想。

二、过程与方法

1、以点拨精讲精练的模式，完善知识的结构。

2、尽力引导学生进行分析、归纳总结。

三、知识与技能

1、会运用等式的性质解一元一次方程，并检验一个数是不是某个一元一次方程的解，在解方程时会对求出的解进行检验，养成良好的学习习惯，并加深对方程解的认识。

2、会一元一次方程的简单应用。

【教学重点、难点】：

重点：一元一次方程的解和解一元一次方程 难点：能够熟练准确地解一元一次方程和它的应用

【教学过程】：

教学活动1：

一、复习知识点：等式的性质、一元一次方程的概念以及一元一次方程的解

(1)基础练习，回顾知识点：

1、巳知a=b,下列四个式子中,不正确的是()

A.2a=2b B.-2a=-2b C.a+2=b-2 D.a-2=b-2

2、下列四个方程中，一元一次方程是()

A、B、C、D、3、下列方程中，以4为解的方程是()

A.B.C.D.(2)学生归纳，电脑呈现知识点

教学活动2：

一、复习知识点：一元一次方程的解法

(1)练习回顾一元一次方程的解法步骤

1.下列方程变形正确的是()

A.由.B.由.C.由.D.由.2、解方程：(用实物投影学生的错解)

3、归纳解一元一次方程的一般步骤是：

①______;②________;③________;④_________;⑤_______

4、解一元一次方程时应注意哪些事项?(提问学生，用电脑显示)

教学活动3：见练习卷

教学活动4：

小结：

1、呈现知识结构：

2、解一元一次方程的一般步骤以及注意事项

变形名称 注意事项

去分母 防止漏乘(尤其整数项)，注意分子要添括号

去括号 注意变号，防止漏乘

移项 移项要变号

合并同类项 计算要仔细，不要出差错

系数化成1 计算要仔细，分子分母不要颠倒

一、巩固练习：

题组一：

(1)已知下列式子：(A)x+1=3(B)x-2y=3(C)x(x+1)=2(D)(E)

(F)3x+3其中是一元一次方程的有(填序号)

(2)如果关于 的方程 是一元一次方程，那么。

(3)写一个以 为根的一元一次方程是。(4)已知方程 的解是 ,则。

题组二：解下列方程：

(1)(2)题组三：(方程的简单应用)

(1)若。

(2)若 是同类项，则2m-3n=。

(3)代数式x+6与3(x+2)的值互为相反数，则x的值为

(4)若 与 互为倒数，则x=。

二、拓展训练：

1、解关于 的方程：

2、解绝对值方程：

课外作业： 姓名： 学号 班别

1、下列各式中属于一元一次方程的是()

A.B.C.D.。

2、下列方程变形中，正确的是()

3、方程2x-4=x+2的解是()A.6 B.8 C.10 D.-2

4、研究下面解方程 的过程

去分母，得 ①

移项，得 ②

合并同类项，得 ③

将未知数的系数化为1，得 ④

对于上面的过程，你认为()

A.完全正确 B.变形错误的是① C.变形错误的是② D.变形错误的是③

5、检验下列方程后面大括号内所列各数是否为相应方程的解(1)，{，}

6、若 是方程 的解，则.7、写一个一元一次方程，使它的解为 ：.8、已知方程4x+2m=3x+1和方程3x+2m=6x+1的解相同，则m=。

9、若 和 互为相反数，则y=_______。.10、若 与 是同类项，则 的值是。

11、解方程

(1)(2)(3)

7.解一元一次方程与一元一次不等式 篇七

一、性质:

等式的性质1: 等式两边都加( 或减) 同一个数( 或式子) ,结果仍相等.

等式的性质2: 等式两边乘同一个数,或除以同一个不为0的数,结果仍相等.

不等式性质1: 不等式两边都加上( 或减去) 同一个数( 或式子) ,不等号的方向不变.

不等式性质2: 不等式两边都乘( 或除以) 同一个正数,不等号的方向不变.

不等式性质3: 不等式两边都乘( 或除以) 同一个负数,不等号的方向改变.

二、解一元一次方程( 不等式) 的一般步骤及根据;

1. 去分母———等式( 不等式) 的性质2;

2. 去括号———分配律;

3. 移项———等式( 不等式) 的性质1;

4. 合并———分配律逆运算;

5. 系数化为1———等式的性质2( 根据实际情况用不等式性质2或3) ;

三、解一元一次方程( 不等式) 的注意事项:

1. 分母是小数时,先把分母转化为整数;

2. 去分母时,方程两边各项都乘各分母的最小公倍数,此时不含分母的项切勿漏乘,分子为多项式时,去分母后分子各项应加括号;

3. 去括号时,不要漏乘括号内的项,不要混淆符号,带着符号一起乘括号里的每一项;

4. 移项时,切记要变号,不要丢项,在等号( 不等号) 两边分别有同类项时先合并再移项,以免丢项;

5. 系数化为1时,方程( 不等式) 两边同乘以系数的倒数或同除以系数,不要弄错符号( 不等式要注意改不符号的方向) ;

6. 具体解题的步骤根据实际情况具体分析,找到最佳解法.

四、解一元一次方程和一元一次不等式:

在实际解一元一次方程或不等式中容易出现的错误有: ⑴解一元一次方程( 不等式) 在等号( 不等号) 左右两边互相移项时要改变移动项的符号; ⑵解一元一次方程( 不等式) 在去括号中一个数与多项式相乘,去括号时,应将这个数与括号内的每一项相乘,括号前面是负号,去括号时括号内的每一项都要改变符号; ⑶化系数为“1”时不等式根据系数的正、负符号选用不等式性质2或3去进行化系数( 正数不改变不等号的方向、负数改变不等号的方向) .

8.初二数学一元一次方程 篇八

一、 数形结合的思想方法

在解决代数问题时，我们可以借助图形，直观而形象，易于理解. 体现在不等式组上，即找各个不等式的公共解时，可以利用数轴来解决问题.

例1 解不等式组x-3<0，①

x+1>0.②

解：由①得，x<3，由②得，x>-1，所以不等式组的解集为-1

【说明】不等式的解也是组成它的每个不等式的解，即不等式组的解是每个不等式的公共解，体现在图形上为每个解集都包含的部分.

二、 类比思想方法

解一元一次不等式与解一元一次方程的步骤基本上一样，不同的是解一元一次不等式根据的是不等式的性质，而解一元一次方程根据的是等式的性质；特别应注意的是化系数为1时，若除以（或乘以）的是一个负数时，解不等式时不等号的方向要改变，而解一元一次方程只要系数不为0，所得的方程与原来的方程同解. 通过类比，加深了对它们的理解，避免了一些不该犯的错误.

例2 解不等式 2（x+5）>3（x-5）.

解：去括号，得2x+10>3x-15，

移项，得2x-3x>-15-10，

合并同类项，得-x>-25，

系数化为1，得 x<25.

例3 解方程 2（x+5）=3（x-5）.

解：去括号，得2x+10=3x-15，

移项，得2x-3x=-15-10，

合并同类项，得-x=-25，

系数化为1，得x=25.

【说明】通过这两道例题，可以发现它们的解题步骤相同，但是所用的性质不同，加强学生在解一元一次不等式时改变符号的意识.

三、 建模的思想方法

在日常生活中，利润的优化，方案的设计等都有不等关系，所以建立不等式模型解决实际问题也是我们数学中的一种很好的思考方法.

例4 君实机械厂为青扬公司生产A、B两种产品，该机械厂由甲车间生产A种产品，乙车间生产B种产品，两车间同时生产. 甲车间每天生产的A种产品比乙车间每天生产的B种产品多2件，甲车间3天生产的A种产品与乙车间4天生产的B种产品数量相同.

（1） 求甲车间每天生产多少件A种产品？乙车间每天生产多少件B种产品？

（2） 君实机械厂生产的A种产品的出厂价为每件200元，B种产品的出厂价为每件180元. 现青扬公司需一次性购买A、B两种产品共80件，君实机械厂甲、乙两车间在没有库存的情况下只生产8天，若青扬公司按出厂价购买A、B两种产品的费用超过15 000元而不超过15 080元. 请你通过计算为青扬公司设计购买方案.

解：（1） 设乙车间每天生产x件B种产品，则甲车间每天生产（x+2）件A种产品.

根据题意3（x+2）=4x；解得x=6；∴x+2=8.

答：甲车间每天生产8件A种产品，乙车间每天生产6件B种产品.

（2） 设青扬公司购买B种产品m件，则购买A种产品（80-m）件，

∵15 000<200（80-m）+180m≤15 080，∴46≤m<50.

∵m为整数，∴m为46或47或48或49；又∵乙车间8天生产48件，∴m为46或47或48.

∴有三种购买方案：购买A种产品32件，B种产品48件；购买A种产品33件，B种产品47件；购买A种产品34件，B种产品46件.

【说明】本题以产品的加工与经销问题背景，借助方程与不等式，进行方案设计，突出考查了学生综合运用方程与不等式知识解决实际问题的能力，体现了建模的数学思想.

（作者单位：江苏省泰州市姜堰区实验初级中学）

9.数学《一元二次方程》教案设计 篇九

1.继续感受用一元二次方程解决实际问题的过程；

2.通过自学探究掌握裁边分割问题。

二、自学指导：（阅读课本P47页，思考下列问题）

1.阅读探究3并进行填空；

2.完成P48的思考并掌握裁边分割问题的特点；

3.在理解的基础上完成P48-49第8、9题（不精确，只留根号即可）。

探究3：要设计一本书的封面，封面长27cm,宽21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上下边衬等宽，左右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（精确到0.1cm）？

分析：封面的长宽之比为27﹕21=9﹕7，中央矩形的长宽之比也应是9﹕7，则上下边衬与左右边衬的宽度之比是。9﹕7

设上、下边衬的宽均为9xcm,左、右边衬的宽均为7xcm,则：

由中下层学生口答书中填空，老师再给予补充。

思考:如果换一种设法，是否可以更简单?

设正中央的长方形长为9acm，宽为7acm，依题意得

9a·7a=（可让上层学生在自学时，先上来板演）

2.P48-49第8、9题中下层学生在自学完之后先板演

效果检测时，由同座的同学给予点评与纠正

9.如图，要设计一幅宽20m，长30m的图案，两横两竖宽度之比为3∶2，若使彩条面积是图案面积的四分之一，应怎样设计彩条的宽带？（讨论用多种方法列方程比较）

注意点：要善于利用图形的平移把问题简单化！

三、当堂训练：

1.如图,在一幅长90cm,宽40cm的风景画四周镶上一条宽度相同的金色纸边,制成一幅挂画.如果要求风景画的面积是整个挂画面积的72%,那么金边的宽应是多少?

(只要求设元、列方程)

10.初二数学一元一次方程 篇十

1、教材所处的地位和作用：

从数学科学本身看，方程是代数学的核心内容，正是对于它的研究推动了整个代数学的发展，从代数中关于方程的分类看，一元一次方程是最简单的代数方程，也是所有代数方程的基础.教科书将本节内容安排在第一节，一方面是对小学学段已经学过的有关算术方法解题和简单方程的运用的进一步发展，另一方面考虑引入一元一次方程后，可以尽早渗透模型化的思想，使学生尽早接触利用一元一次方程解决实际问题的方法.

《课程标准》对本课时的要求是通过具体实例归纳出方程及一元一次方程的概念,根据相等关系列出方程.让学生在归纳和总结的过程中，初步建立数学模型思想，训练学生主动探究的能力，能结合情境发现并提出问题，体会在解决问题中与他人合作的重要性，获得解决问题的经验.

2、教学目标：

根据课标的要求和本节内容的特点，我从知识技能、数学思考、情感价值观三个方面确定本节课的目标：

知识技能目标

①通过对实际问题的分析，让学生体验从算术方法到代数方法是一种进步，归纳并理解一元一次方程的概念，领悟一元一次方程的意义和作用.

②在学生根据问题寻找相等关系、根据相等关系列出方程的过程中，培养学生获取信息、分析问题、处理问题的能力.

③使学生经历把实际问题抽象为数学方程的过程，认识到方程是刻画现实世界的一种有效的数学模型，初步体会建立数学模型的思想.

数学思考目标

用字母表示未知数，找出相等关系，将实际问题抽象为数学问题，通过列方程解决.

情感价值目标：

让学生体会到从算式到方程是数学的进步，渗透化未知为已知的重要数学思想.体验数学与日常生活密切相关，认识到许多实际问题可以用数学方法解决，激发学习数学的热情.

3、重点、难点：

结合以上目标，我在认真研究教材的基础上，立足学生发展的宗旨，确定了本节课的教学重难点.

教学重点：知道什么是方程、一元一次方程，找相等关系列方程.

教学难点：思维习惯的转变，分析数量关系，找相等关系。

二、教学策略：

如何突出重点，突破难点，从而达到教学目标的实现呢?在教学过程我运用了如下教法与手段：

1.生活引路，感知概念背景;

2.比较方法，明确意义;

3.感受过程，形成核心概念;

4.运用新知，巩固方法;

5.归纳总结，巩固发展.

本节课利用多媒体教学平台，从学生熟悉的实际问题开始，将实际问题“数学化”建立方程模型.采用教师引导，学生自主探索、观察、归纳的教学方式。

三、学情分析：

根据本节课的内容特点及学生的心理特征，在学法上，极力倡导了新课程的自主探究、合作交流的学习方法.通过对学生原有知识水平的分析，创设情境，使数学回到生活，鼓励学生思考，探索情境中的所包含的数量关系，学生在经历“建立方程模型”这一数学化的过程后,理解学习方程和一元一次方程的意义,培养学生抽象概括等能力.

四、教学过程：

本节课的教学过程我设计了以下六个环节：

(一) 情景引入

采用教材中的情景

在这个环节中我提出了三个问题：

问题1：从上图中你能获得哪些信息?

问题2：你会用算术方法求吗?

问题3：你会用方程的方法解决这个问题吗?

(二)学习新知

在这个环节中，我首先提出一个问题：“如果设中山市到深圳市的路程为·千米，怎样用式子表示中山市与东莞市的距离以及中山市与惠州市的距离?”，这样，学生就会主动结合图形，根据在《整式的加减》中学到的知识解决问题.

通过上述思考过程，学生已经初步了解到寻找已知量与未知量之间存在的相等关系是利用方程解决实际问题的关键所在.

然后我结合上面的过程简单归纳列方程解决实际问题的步骤并给出方程的概念.

解决实际问题的步骤：(1)用字母表示问题中的未知数;(2)根据问题中的相等关系，列出方程.(17世纪的法国数学家迪卡尔最早使用·,y,z等字母表示未知数，而我国古代则用“天元、地元、人元、物元”等表示未知数，而且要比西方早1000多年，这说明我们中华民族是一个充满智慧和才干的伟大民族.)

在这里我介绍了字母表示未知数的文化背景，其目的就是在文化层面上让学生进一步理解数学、喜爱数学，展示数学的文化魅力，这正是培养学生情感价值观的体现.

方程的概念:含有未知数的等式叫方程.小学里已经给出了方程的概念，这里可适当处理.

在这里我开始向学生渗透列方程解决实际问题的思考程序.

(三)讨论交流

讨论1：比较列算式和列方程两种方法的特点.

列算式：只用已知数，表示计算程序，依据是间题中的数量关系;

列方程：可用未知数，表示相等关系，依据是问题中的等量关系。

通过讨论，学生体会到了：用算术方法解题时，列出的算式只能用已知数，而列方程时，方程中既含有已知数，又含有用字母表示的未知数，这就是说，在方程中未知数(字母)可以和已知数一起表示问题中的数量关系.

而且随着学习的深入，学生会逐步体会到从算式到方程是数学的进步。

紧接着的思考让全班学生参与学习的过程，从而进一步地拓宽了学生的思维.

讨论2：对于上面的问题，你还能列出其他方程吗?如果能，你依据的是哪个相等关系?

在这个讨论活动中，我采取了先小组合作交流后全班交流.

通过交流后，学生中出现如下结果：

从学生的分析所得，这两种设未知数的方法就是在以后学习中将遇到的直接设元和间接设元两种设元.

要求出路程，只要解出方程中的·即可，我们在以后几节课中再来学习.

在这个环节里，问题的开放有利于培养学生的发散思维。这样安排的目的是使所有的学生都有独立思考的时间和合作交流的时间。

(四)初步应用

学生在小学已经学过简易方程，通过以下的例题和练习可以回顾已经学过的知识，并为一元一次方程提供素材。

1、例题：根据下列问题，设未知数并列出方程：

(1)用一根长24㎝的铁丝围成一个正方形，正方形的边长是多少?

(2)一台计算机已使用1700小时，预计每月再使用150小时，经过多少月这台计算机的使用时间达到规定的检修时间2450小时?

(3)某校女生占全体学生数的52%，比男生多80人，这个学校有多少学生?

2、课堂练习：这一组例题和课堂练习的设置，其目的是让学生更进一步加强列方程解决实际问题的能力。

(五)再探新知

提取例题和练习中出现的方程请学生观察方程它们有什么共同的特点?然后达成共识:只含有一个未知数;未知数的次数是1.

在这个环节中，我引导学生观察方程特点，给出一元一次方程的概念

教师总结：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，这样的方程叫做一元一次方程.

思考：下列式子中，哪些是一元一次方程?通过思考辨析，使学生巩固一元一次方程的概念，把握住概念的本质.

(六)课堂小结

让学生先归纳，然后教师补充方式进行，主要围绕以下问题：

本节课学习了哪些主要内容?一元一次方程的三个特征是什么?从实际问题中列出方程的步骤及关键是什么?

五、课堂设计理念

本节课着力体现以下几个方面：

1、突出问题的应用意识。在各个环节的安排上都设计成一个个问题，使学生能围绕问题展开讨思考、讨论，进行学习。

2、体现学生的主体意识。让学生通过列算式与列方程的比较，分别归纳出它们的特点，从而感受到从算术方法到代数方法是数学的进步;让学生通过合作交流，得出问题的不同解法;让学生对一节课的学习内容、方法、注意点等进行归纳。

3、体现学生思维的层次性。教师首先引导学生尝试用算术方法解决问题，然后再引导学生列出含未知数的式了，寻找相等关系列出方程，在寻找相等关系、设未知数及作业的布置等环节中都注意了学生思维的层次性。

11.用一元一次方程解决问题 篇十一

这是一个环形跑道上的追及问题，今天我们就从这个问题出发研究一下行程问题中的追及问题.

拓展一 运动场环形跑道长400 m，小红跑步的速度是爷爷的倍，他们从同一起点沿跑道的同一方向同时出发，5 min后小红第一次追上爷爷，如果小红追上爷爷后立即转身沿相反方向跑，那么几分钟后小红与爷爷再次相遇？

【分析】 可以画出线形示意图：

根据线形示意图我们可以找到这个问题中数量之间的相等关系是：

小红跑的路程+爷爷跑的路程=400 m.

解：设x分钟后，小红和爷爷再次相遇.

由教材解题过程可知道，爷爷的速度是120 m/min，小红的速度是200 m/min.

根据题意，得120x+200x=400.

解这个方程，得x=1.25.

答：1.25分钟后，小红和爷爷再次相遇.

【点评】 该问题是相遇问题，蕴涵的主要相等关系是：小红和爷爷所跑的路程和等于环形跑道的周长.

拓展二 运动场环形跑道长400 m，小红跑步的速度是爷爷的倍，他们从同一起点沿跑道的同一方向同时出发，5 min后小红第一次追上爷爷，假设爷爷与小红第一次相遇后继续跑，则第______分钟第二次相遇，第______分钟第三次相遇，假想一下，若他们一直这样循环下去，第______分钟后第n次相遇.

【分析】 由题意可知道，小红和爷爷第一次相遇时，小红比爷爷多跑了400 m，第二次相遇时，小红比爷爷多跑了800 m，那么依次类推，第n次相遇时，小红比爷爷多跑了400n m.

可以画出线形示意图：

根据线形示意图我们可以找到这个问题中数量之间的相等关系是：

爷爷跑的路程+400n m=小红跑的路程.

解：设第x分钟后第n次相遇.

由教材中解题过程可知道，爷爷的速度是120 m/min，小红的速度是200 m/min.

根据题意，得120x+400n=200x.

解这个方程，得x=5n.

答案：第10分钟爷爷和小红第二次相遇，第15分钟爷爷和小红第三次相遇，第5n分钟爷爷和小红第n次相遇.

【点评】 这几个问题都是追及问题，每增加一次相遇，小红跑的路程都相应地增加一圈.

变式一 甲、乙两人在400 m的环形跑道上练习跑步，甲每秒跑5.5 m，乙每秒跑4.5 m.

（1） 甲与乙同地、同向出发，乙先跑10 m，甲出发后需要多长时间两人首次相遇？

【分析】 可以画出线形示意图：

根据线形示意图我们可以找到这个问题中数量之间的相等关系是：

乙跑的路程+10 m=甲跑的路程.

解：设甲出发x秒后两人首次相遇.

根据题意，得4.5x+10=5.5x.

解这个方程，得x=10.

答：甲出发10秒后两人首次相遇.

（2） 甲与乙同地、同向出发，乙先跑4 s，甲出发后需要多长时间两人首次相遇？

【分析】 可以画出线形示意图：

根据线形示意图我们可以找到这个问题中数量之间的相等关系是：

乙前4秒跑的路程+乙4秒后跑的路程=甲跑的路程.

解：设甲出发x秒后两人首次相遇.

根据题意，得4.5x+4.5×4=5.5x.

解这个方程，得x=18.

答：甲出发18秒后两人首次相遇.

（3） 甲与乙同地、同向出发，甲先跑100 m，乙出发后需要多长时间两人首次相遇？

【分析】 由教材中108页问题4解题过程可知道，他们从同一起点沿跑道的同一方向同时出发时，如果他们第一次相遇，小红比爷爷多跑一圈. 本题中，甲与乙同地、同向出发，甲先跑100 m，如果他们第一次相遇，可以看作甲比乙多跑300 m.

可以画出线形示意图：

根据线形示意图我们可以找到这个问题中数量之间的相等关系是：

乙跑的路程+300 m=甲跑的路程.

解：设乙出发x秒后两人首次相遇.

根据题意，得4.5x+300=5.5x.

解这个方程，得x=300.

答：乙出发300秒后两人首次相遇.

变式二 甲、乙两人在同一条路上前进，甲每小时行3 km，乙每小时行5 km，甲在中午12点时经过A地，乙在下午2点经过A地，问乙下午几点能追上甲？

【分析】 “甲在中午12点时经过A地，乙在下午2点经过A地”说明当乙到A地时，甲在乙前面3×2=6（km）处.

可以画出线形示意图：

根据线形示意图我们可以找到这个问题中数量之间的相等关系是：

甲在12点到下午2点走的路程+甲在下午2点后走的路程=乙在下午2点后走的路程.

解：设乙出发x小时后，乙追上甲.

根据题意，得3x+3×2=5x.

解这个方程，得x=3.

2+3=5.

答：乙下午5点能追上甲.

【变式训练1】 汽车以每小时72 km的速度在公路上行驶，开向寂静的山谷. 驾驶员按一声喇叭，4秒后听到喇叭声，此时汽车距离山谷多少米？（声音的速度是340 m/s）

【分析】 可以画出线形示意图：

根据线形示意图我们可以找到这个问题中数量之间的相等关系是：

汽车4秒走的路程+汽车4秒后离山谷的距离=声音走的路程-汽车4秒后离山谷的距离.

解：设4秒后汽车距离山谷x米.

每小时72 km=每秒20米.

根据题意，得x+20×4=340×4-x.

解这个方程，得x=640.

答：此时汽车距离山谷640米.

【变式训练2】 甲、乙两人同时以每小时4 km的速度从A地出发到B地办事，走了2.5 km时，甲要回去取一份文件，他以每小时6 km的速度往回走，取了文件后以同样的速度追赶乙，结果他们同时到达B地，已知甲取文件时在办公室耽误了15 min，求A、B两地的距离.

【分析】 可以画出线形示意图：

根据线形示意图我们可以找到这个问题中数量之间的相等关系是：

甲往回走后乙走的路程+2.5 km=甲往回走到追上乙的路程-2.5 km.

本题如果直接设A、B两地的距离相对较难处理，我们可以采用间接法设未知数.

解：设甲从往回走到追上乙共用了x小时.

15 min=0.25 h.

根据题意，得

2.5+4x=6（x-0.25）-2.5.

解这个方程，得x=3.25.

2.5+4x=15.5.

答：A、B两地的距离是15.5 km.

把实际问题转化为方程，有助于帮助学生感受方程是刻画现实世界的有效的数学模型. 方程的出现源于实际问题，追及问题是实际问题中的一个很重要的部分，用一元一次方程可以很有效地解决追及问题.

12.谈一元一次方程解法 篇十二

一、含小数的方程利用等式的性质

例1解方程:0.5x+0.7=1.9x。

解:方程两边同乘以10, 得:5x+7=19x,

移项, 合并同类项, 得:14x=7。

系数化为1, 得

点评:遇到方程两边常数项或系数是小数时, 可在方程两边乘以一个适当的数, 使小数化为整数。

二、分式方程中分母有小数的要先化整

例2解方程

解:利用分数的基本性质, 将方程变形, 得:

400-600x-6.5=1-100x-7.5,

移项, 合并同类项, 得:500x=400。

系数化为1, 得

点评:有些方程分母中含有小数, 用去分母法会很麻烦。

此时, 我们可以利用分数的基本性质将分母化为整数, 这样求解起来较为简单。

三、巧用分配律去括号

例3解方程

解:用去乘中括号里的两项,

得

去括号、移项、合并同类项, 得

系数化为1, 得:x=-8。

点评:有的方程含有括号, 但去括号时不一定按照顺序从里往外, 也可用括号的整体作用及分配律从外往里。

四、巧用分数加减法则

例4解方程

分析:此方程的特征是:未知数的系数故可直接移项合并, 使方程得到巧解。

解:移项, 得

合并同类项, 得:x=-2。

五.项数多的方程可以利用整体法

例5解方程:3 (x+1) =6+2 (x+2) 。

解:将 (x+1) 当成整体, 可将x+2= (x+1) +1化为:3 (x+1) =6+2 (x+1) +2。

移项, 合并同类项, 得: (x+1) =8,

解得:x=7。

点评:有些方程, 可以将一部分式子联系起来, 先看成一个整体, 把方程看成这个整体的一元一次方程。

六、含百分符号的可以先巧约公约数

例6解方程: (55-2x) ×20%=40×22.5%。

分析:由于方程两边有公约数20%, 先约掉, 再计算, 使方程得到巧解。

解:两边约去20%, 得:55-2x=45,

化简系数化为1, 得:x=5。

点评:含百分号的方程要将其看成分式方程来求解, 应先约分, 后求解。

七、含小数的方程要先化小数为整数

例7解方程

分析:此方程的特征是:分子、分母含有小数, 可利用分数的基本性质, 将分子、分母同时扩大相同的倍数, 把小数化为整数, 使方程得到以解。

解:原方程化为

去分母得:20x+5=4-10x,

移项得:50x=7,

化系数为1, 得

13.初二数学一元一次方程 篇十三

学号:

分数:

一、选择题(36分)1．下列各式是一元一次方程的是（）

A.x+2y=1 B.-5-3=-8 C.x+3 D.x=0 12．方程x2x的解是（）

311 A． B.C.1 D.–1 333．已知等式3a=2b+5，则下列等式中不一定成立的是（）A.3a-5=2b B.3a+1=2b+6 C.3ac=2bc+5 D.a25b 334．下列根据等式的性质成立的是（）

12A.由xy，得x=2y B.由3x-2=2x+2，得x=4 33C.由2x-3=3x，得x=3 D.由3x-5=7，得3x=7-5 2x110x15．解方程1时，去分母后，正确结果是（）

36A.4x+1-10x+1=1

B.4x+2-10x-1=1

C.4x+2-10x-1=6

D.4x+2-10x+1=6 6．方程2x+a-4=0的解是x=-2，则a等于（）A.-8 B.0 C.2 D.8 7．下列方程的变形正确的是（）

A．方程3x-2=2x+1,移项得3x-2x=-1+2 B．方程3-x=2-5(x-1)，去括号得3-x=2-5x-1 23x1xC．方程t，未知数系数化为1得x=1 D．方程1，化成320.20.53x=6 x18．代数式x的值等于1时，x的值是（）.3A．3 B．1 C．－3 D．－1 9．已知代数式8x7与62x的值互为相反数，那么x的值等于（）.A．－131131 B．－ C． D． 106106

10．下列说法中正确的是

（）

A．a一定是负数

B．a一定是负数

C．a一定不是负数

D．a2一定是负数

11．当x3时，代数式3x25ax10的值为7，则a等于（）.A．2 B．－2 C．1 D．－1 12．已知方程(m+1)x∣m∣+3=0是关于x的一元一次方程，则m的值是

（）

A.1

B.1

C.-1

D.０或１

二、填空题(14分)13．2x4,则x

14.在公式中v=v0+at，已知v=15，v0=5，t=4，则a=_____。15．已知：xy4(y3)20,则2xy 16．关于x的方程2（x-1）-a=0的解是3，则a的值为 17．当x= 时，式子4x+2与3x-9的值互为相反数。

118．在公式s=(a+b)h中，已知s=16, a=3,h=4则b=。

219.关于x的两个方程5x－3=4x与ax－12=0的解相同，则a=_______。

三、解答题(50分)

1、解方程（16分）

(1)2(x1)4(2)1(1x1)11

2(3)13(8x)2(152x)(4)x1x42 23

2、（6分）已知x=－2是方程2x－∣k－1∣=－6的解，求k的值。

3.（6分）初一年级王马虎同学在做作业时，不慎将墨水瓶打翻，使一道作业只看到：“甲、乙两地相距160千米，摩托车的速度为45千米/时，运货汽车的速度为35千米/时，__________________________________________？请将这道作业题补充完整并列方程解答。

4、去年小张到银行存了一笔年利率为2.25%的普通储蓄，今年存满一年后，扣除20%的利息所得税后的本息正好够买一台随身听，已知随身听每台509元，问一年前小张购买了多少元债券？（8分）

5、在某月的日历上，用一个23的长方形圈出六个数，使它们的和是69，求这6天分别是几号？（8分）

14.初二数学一元一次方程 篇十四

3．教学疑点：学生容易忽视对分式方程的解进行检验通过对分式方程的解的剖析，进一步使学生认识解分式方程必须进行检验的重要性．

4．解决办法：（l）分式方程的解法顺序是：先特殊、后一般，即能用换元法的方程应尽量用换元法解．（2）无论用去分母法解，还是换元法解分式方程，都必须进行验根，验根是解分式方程必不可少的一个重要步骤．（3）方程的增根具备两个特点，①它是由分式方程所转化成的整式方程的根②它能使原分式方程的公分母为0.

三、教学步骤

（一）教学过程

1．复习提问

（1）什么叫做分式方程？解可化为一元一次方程的分式方程的方法与步骤是什么？

（2）解可化为一元一次方程的分式方程为什么要检验？检验的方法是什么？

（3）解方程，并由此方程说明解方程过程中产生增根的原因.

通过（1）、（2）、（3）的准备，可直接点出本节的内容：可化为一元二次方程的分式方程的解法相同.

在教师点出本节内容的处理方法与以前所学的知识完全类同后，让全体学生对照前面复习过的分式方程的解，来进一步加深对“类比”法的理解，以便学生全面地参与到教学活动中去，全面提高教学质量.

在前面的基础上，为了加深学生对新知识的理解，教师与学生共同分析解决例题，以提高学生分析问题和解决问题的能力.

2．例题讲解

例1  解方程.

分析  对于此方程的解法，不是教师讲如何如何解，而是让学生对已有知识的回忆，使用原来的方法，去通过试的手段来解决，在学生叙述过程中，发现问题并及时纠正.

解：两边都乘以，得

去括号，得

整理，得

解这个方程，得

检验：把代入，所以是原方程的.根.

∴  原方程的根是.

虽然，此种类型的方程在初二上学期已学习过，但由于相隔时间比较长，所以有一些学

生容易犯的类型错误应加以强调，如在第一步中．需强调方程两边同时乘以最简公分母．另

外，在把分式方程转化为整式方程后，所得的一元二次方程有两个相等的实数根，由于是解

分式方程，所以在下结论时，应强调取一即可，这一点，教师应给以强调．

例2  解方程

分析：解此方程的关键是如何将分式方程转化为整式方程，而转化为整式方程的关键是

正确地确定出方程中各分母的最简公分母，由于此方程中的分母并非均按的降幂排列，所

以将方程的分母作一转化，化为按字母终X进行降暴排列，并对可进行分解的分母进行分解，从而确定出最简公分母．

解：方程两边都乘以，约去分母，得

整理后，得

解这个方程，得

检验：把代入，它不等于0，所以是原方程的根，把

代入它等于0，所以是增根．

∴   原方程的根是

师生共同解决例1、例2后，教师引导学生与已学过的知识进行比较．

例3  解方程.

分析：此题也可像前面例l、例2一样通过去分母解决，学生可以试，但由于转化后为一元四次方程，解起来难度很大，因此应寻求简便方式，通过引导学生仔细观察发现，方程中含有未知数的部分  和互为倒数，由此可设  ，则可通过换元法来解题，通过求出y后，再求原方程的未知数的值．

解：设，那么，于是原方程变形为

两边都乘以y，得

解得

.

当时，，去分母，得

解得；

当时，，去分母整理，得

，

检验：把分别代入原方程的分母，各分母均不等于0.

∴  原方程的根是

，.

此题在解题过程中，经过两次“转化”，所以在检验中，把所得的未知数的值代入原方程中的分母进行检验.

巩固练习：教材P49中1、2引导学笔答.

（二）总结、扩展

对于小结，教师应引导学生做出.

本节内容的小结应从所学习的知识内容、所学知识采用了什么数学思想及教学方法两方面进行.

本节我们通过类比的方法，在已有的解可化为一元一次方程的分式方程的基础上，学习了可化为一元二次方程的分式方程的解法，在具体方程的解法上，适用了“转化”与“换元”的基本数学思想与基本数学方法.

此小结的目的，使学生能利用“类比”的方法，使学过的知识系统化、网络化，形成认知结构，便于学生掌握.

四、布置作业

1．教材P50中A1、2、3.

2．教材P51中B1、2

五、板书设计

探究活动1

解方程：

分析：若去分母，则会变为高次方程，这样解起来，比较繁，注意到分母中都有，可用换元法降次

设，则原方程变为

∴

∴或无解

∴

经检验：是原方程的解

探究活动2

有农药一桶，倒出8升后，用水补满，然后又倒出4升，再用水补满，此时农药与水的比为18：7，求桶的容积．

解：设桶的容积为 升，第一次用水补满后，浓度为 ，第二次倒出的农药数为4． 升，两次共倒出的农药总量（8＋4・ ）占原来农药 ，故

整理，

（舍去）

15.一元一次方程中考考点透析 篇十五

考点一方程解的概念

【分析】方程的解是使方程左、右两边相等的未知数的值,因此可将x=2代入原方程中求解.1

评注:当一个一元一次方程中含有多个字母时,通常表述为“关于x的方程”,此时这个字母x就是未知数,而其他字母应视作常数,当已知一元一次方程的解时,只需根据解的定义将解代入方程即可解决问题.

答案:

考点二一元一次方程的解法

去分母,得:8x-10=2x-1,

移项、合并,得:6x=9,

故选择B.

评注:(1)解一元一次方程时,通常按“去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1”的步骤和顺序来做,但也不尽然,根据所给方程的特点,解方程时,上述有些变形步骤可能用不到,并且也不一定要按照上述顺序去做.要根据方程的形式灵活安排求解步骤.熟练后,步骤还可以合并简化.

(2)有关方程解的选择题,除了用直接法求解外,还可用代入检验法.如本题可把各选项中的数分别代入两个式子中进行计算,使之相等即为所求.

[热身训练2](2015·辽宁大连)方程3x+2(1-x)=4的解是().6

【答案】C.

考点三一元一次方程的应用

例3(2015·湖北潜江)清明节期间,七(1)班全体同学分成若干小组到革命传统教育基地缅怀先烈.若每小组7人,则余下3人;若每小组8人,则少5人.由此可知该班共有＿＿名同学.

【分析】观察条件可知:本题中的学生总数与分的组数是不变的,则可分别设出其中一个量,再根据另一个量不变列出方程求解.

方法二:设分成了y个组,根据学生总数不变可得:7y+3=8y-5,解得y=8,所以7y+3=59.

应填“59”.

评注:本题属“盈不足”问题,它一般是按一个数目分配不够,按另一个数目分配有余,不论怎样分配,被分配的物品的总量不变,人数不变,只是分配方式的变化.所以“表示同一个量的两个不同代数式的值相等”是一个基本的等量关系.

例4(2015·湖北孝感)某市为提倡节约用水,采取分段收费.若每户每月用水不超过20m3,每立方米收费2元;若用水超过20m3,超过部分每立方米加收1元.小明家5月份交水费64元,则他家该月用水＿＿m3.

【分析】20m3时交40元,题中已知5月份交水费64元,即已经超过20m3,所以在64元水费中有两部分构成,列方程即可解答.

【解】设该用户居民5月份实际用水xm3,根据题意得20×2+(x-20)×3=64,解得x=28,故答案为28.

评注:列方程解决分段收费问题的关键是明确每一段的数量与价格,一般根据各段数量与价格乘积的和等于总费用来列方程.

例5(2015·山东泰州)某校七年级社会实践小组去商场调查商品销售情况,了解到该商场以每件80元的价格购进了某品牌衬衫500件,并以每件120元的价格销售400件,商场准备采取促销措施,将剩下的衬衫降价销售.请你帮商场计算一下,每件衬衫降价多少元时,销售完这批衬衫正好达到盈利45%的预期目标?

【分析】本题等量关系为:两次销售总价之和=进货总价×(1+45%),设每件衬衫降价x元,根据等量关系列方程即可求解.

【解】设每件衬衫降价x元,根据题意得:

解之,得x=20.

答:每件衬衫降价20元时,销售完这批衬衫正好达到盈利45%的预期目标.

评注:销售问题涉及的量有标价、销售价、进价、折扣、利润率、利润等,它们之间的关系为:售价-进价=利润,标价×折扣率=售价,进价×利润率=利润,理解这些内容是列出方程的关键.

[热身训练3](2015·广西河池)联华商场以150元/台的价格购进某款电风扇若干台,很快售完.商场用相同的货款再次购进这款电风扇,因价格提高30元,进货量减少了10台.

(1)这两次各购进电风扇多少台?

()商场以元台的售价卖完这两批电风扇,商场获利多少元?

答案:()设第一次购进了x台,根据题意列方程,得150x=(150+30)(x-10),解得x=60,所以60-10=50,所以第一次购进了60台,第二次购进了50台;

(2)(250-150)×60+(250-180)×50=6000+3500=9500,所以商场两次共获利9500元.

16.初二数学一元一次方程 篇十六

面对这样一个框架，我们可能要思考，这个框架中各个具体环节的学习有什么样的侧重点、难点？有哪些学习的方法可以借鉴？

􀳋 什么是不等式（组）

“这简单，就是反映不等关系的式子呗！”差不离吧.不等式反映着两个量之间的不等关系．比如，两个数的大小比较，小明的年龄比你大，某个图形的面积比另一个图形的面积大等，都可以用不等式表示.

“那我明白了，几个不等式合在一起就组成了不等式组，就像方程组一样.”是的！当然，未知数必须同时满足组内的所有不等式.

􀳋 如何列不等式（组）

接着的问题当然是列不等式（组）了.告诉你一个小秘密，只要一道题目中有“至少”、“至多”、“不少于”、“在什么范围内时”这些字眼，实际上就暗示着要用到不等式了．那么如何列不等式（组）呢？我们还是看一个例子吧．

例1 某电信公司有两种手机话费计费方式.A：基本月租费50元，每通话1分钟收费0．40元；B：没有基本月租费，每通话1分钟收费0．60元.问：通话时间在什么范围时，选择A方案合算？

要求“通话时间在什么范围时，选择A方案合算”，可以设通话时间为x min，然后设法求出x的范围，这就需要列一个关于x的不等式．如何列不等式呢？我们还是看题意，看题中哪句话对x提出了要求．分别写出两种方案下所付费用与通话时间x之间的关系，不难得到不等式：50＋0．4x＜0．6x．

“哦，不过如此！这和列方程不是一回事吗？只是这里变成了不等号而已.”是的．如果将这道题变为：

例2 某电信公司有两种手机话费计费方式.A：基本月租费50元，每通话1分钟收费0．40元；B：没有基本月租费，每通话1分钟收费0．60元.问：通话多长时间时，两种方案所付话费相同？

你得到的就是一个等式即方程了.

当然，如果具体问题中对未知数提出了两个以上的要求，就得列不等式组了.

例3 某工人制造机器零件.如果每天比预定计划多做1件，那么8天所做零件超过100件；如果每天比预定计划少做1件，那么8天所做零件不到90件.问：这个工人预定每天做几个零件？

如果设这个工人预定每天做x个零件，上面哪几句话对x提出了要求？找出这几句话，很容易得到不等式组：8（x＋1）＞100，

8（x－1）＜90．

􀳋 解不等式（组）

不等式的解法，也类似于方程．只是这里要注意，若不等号两边同乘以或同除以一个负数，不等号的方向要改变.求出几个不等式解集的公共部分，就得到不等式组的解集了.

􀳋 方程、函数与不等式的关系

也许你会想，不等式问题是否可以用方程来解呢？实际上也是可以的.

例如，对于例1，可以先研究例2，得到方程50＋0．4x＝0．6x，解得x＝250．即通话250 min时，两种方案付费相同．然后，根据题意知道，通话时间超过250 min时，超出的部分如按方案A付费每分钟仅付0．4元，而按方案B付费每分钟得付0．6元．因此，通话时间超过250 min时，选择A方案合算.

本题还可借助函数图形，更为直观地求解.分别作出函数y1＝50＋0．4x，y2＝0．6x的图象l1，l2，要求“通话时间在什么范围时，选择A方案合算”，即x在什么范围内时，y1小于y2，也就是说图象上l1低于l2，不难看出此时x＞250．这种利用图象的方法对所有的不等式倒都是适用的，只是可能麻烦了点.

“不等式问题，竟然可以借助方程或函数来解决，奇怪！”这并不奇怪，数学学习中，很多知识之间都存在这样或那样的联系.以后学习一个新的知识时，别忘了和原来所学的知识进行对比，建立联系．在这些知识的联系中，我们才可能更好地掌握新的知识，同时可将新旧知识联系起来形成一个整体.要习惯于进行这样的思考哟，这可是一个十分有效的学习方法！就算编者大朋友对你的提醒吧.

怎么样，理解了吗？再来一题！

<\192.168.0.129本地磁盘 (d)王玲霞数据八年级数学北师大08年1-2期版式+图jjgg.TIF>[练习]

某果品公司想租汽车运送果品.甲汽车公司的出租条件是，每千米收3元；乙汽车公司的出租条件是，付司机工资1 000元，另外每千米收2．5元.问：该果品公司租哪家公司的汽车合算？

参考答案

运输里程少于2 000 km时，选择甲公司合算；超过2 000 km后，选择乙公司合算；等于2 000 km时，选择任意一家公司即可.

本刊快讯

2007年12月5日，在中国少年儿童报刊工作者协会第六届理事大会上，本刊荣获第三届中国优秀少儿报刊金奖．这是继本刊蝉联中共中央宣传部、国家科委、新闻出版总署颁发的“全国优秀科技期刊”，荣获新闻出版总署颁发的国家期刊奖“双百”期刊之后，本刊获得的又一殊荣．

本刊编辑部

17.初二数学一元一次方程 篇十七

知识点1：方程的概念

含有未知数的等式叫做方程.归纳整理:方程有两个特征:(1)方程是等式;(2)方程中必须含有字母(未知数).知识点2：一元一次方程

只含有一个未知数,并且含有未知数的式子都是整式,未知数的次数是1,这样的方程叫做一元一次方程.归纳整理:一元一次方程的标准形式是ax+b=0(a≠0),其中x是未知数,a,b是已知数.一元一次方程的最简形式是ax±b=0(a≠0),其中x是未知数,a,b是已知数.判断一个方程是否是一元一次方程应看它的最终形式,而不能看原始形式.知识点3：列方程

列方程的一般步骤:(1)设未知数;(2)分析题意,找出相等关系;(3)把相等关系的左、右两边的量用含有未知数的式子表示出来.知识点4：方程的解与解方程

使方程左、右两边的值相等的未知数的值,叫做方程的解.解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值的过程.归纳整理:(1)方程的解与解方程的区别:方程的解指的是一个结果,是一个数值,是一个能够使方程左右两边相等的未知数的值;解方程指的是一种过程,就是通过某种变换后,计算得出方程中未知数的值.(2)要检验某个值是不是方程的解,常用的方法是用这个值代替未知数代入方程,看等号左右两边的值是否相等,相等则是方程的解,不相等则不是方程的解.考点1：方程与等式、整式的区别与联系

【例1】 下列各式中哪些是整式?哪些是等式?哪些是方程?(1)3x-2x-8;(2)7-3=4;(3)4x-1=2x+6;(4)x+1≥0;(5)|x|+1=2;(6)2x+3y=4;(7)x=7.解:整式:(1);等式:(2)(3)(5)(6)(7);方程:(3)(5)(6)(7).点拨：整式、等式和方程的区别:整式中不含等号、不等号,只含有运算符号、括号;等式中必定有等号;方程中不但含有等号,而且含有未知数.考点2：判断方程是否为一元一次方程 22【例2】 下列哪些是一元一次方程?(1)x-y=6;(2)2x+5>8;(3)3x-4;(4)x+2x+1=16;(5)x=1;(6)7-1=6;(7)6x+2=8;(8)解:(5)(7)是一元一次方程.点拨：根据一元一次方程的定义解答,一元一次方程必须满足:①未知数只有一个;②未知数的次数都是1.(1)中含有两个未知数;(2)不是等式;(3)不是等式;(4)中x的最高次数是2;(6)中不含未知数;(8)中分母含有未知数.考点3：方程的解

【例3】在方程:①3y-4=1;②=;③5y-1=2;④3(x+1)=2(2x+1)中,解为1的方程是().A.①②

B.①③

C.②④

18.初二数学一元一次方程 篇十八

一、选择题(每小题4分,共12分)

1.方程3x+6=0的解的相反数是( )

A.2B.-2C.3D.-3

2.若2x+1=8,则4x+1的值为( )

A.15B.16C.17D.19

3.某同学解方程5x-1=□x+3时,把□处数字看错得x=-,他把□处看成了( )

A.3B.-9C.8D.-8

二、填空题(每小题4分,共12分)

4.方程3x+1=x的解为 .

5.若代数式3x+7的值为-2,则x= .

6.(潜江中考)学校举行“大家唱大家跳”文艺汇演,设置了歌唱与舞蹈两类节目,全校师生一共表演了30个节目,其中歌唱类节目比舞蹈类节目的3倍少2个,则全校师生表演的歌唱类节目有 个.

三、解答题(共26分)

7.(8分)解下列方程.

(1)2x+3=x-1.(2)2t-4=3t+5.

8.(8分)(2012雅安中考)用一根绳子绕一个圆柱形油桶,若环绕油桶3周,则绳子还多4尺;若环绕油桶4周,则绳子又少了3尺.这根绳子有多长?环绕油桶一周需要多少尺?

【拓展延伸】

9.(10分)先看例子,再解类似的题目.

例:解方程|x|+1=3.

方法一:当x≥0时,原方程化为x+1=3,解方程,得x=2;当x<0时,原方程化为-x+1=3,解方程,得x=-2,所以方程|x|+1=3的解是x=2或x=-2.

方法二:移项,得|x|=3-1,合并同类项,得|x|=2,由绝对值的意义知x=±2,所以原方程的解为x=2或x=-2.

问题:用你发现的规律解方程:2|x|-3=5.(用两种方法解)

答案解析

1.【解析】选A.方程3x+6=0移项得3x=-6,

方程两边同除以3,得x=-2;

则-2的相反数是2.

2.【解析】选A.由方程2x+1=8得x=,

把x的值代入4x+1得15.

3.【解析】选C.把x=-代入5x-1=□x+3,

得:--1=-□+3,

解得:□=8.

4.【解析】原方程移项,得3x-x=-1,

合并同类项,得2x=-1,

方程两边同除以2,得x=-.

答案：x=-

5.【解析】因为代数式3x+7的.值为-2,

所以3x+7=-2,

移项,得3x=-2-7,

合并同类项,得3x=-9,

方程两边同除以3,得x=-3.

答案：-3

6.【解析】设舞蹈类节目有x个,则3x-2+x=30,解得x=8,所以3x-2=22.

答案：22

7.【解析】(1)移项,得2x-x=-1-3.

合并同类项,得x=-4.

(2)移项得:2t-3t=5+4.

合并同类项,得-t=9.

方程两边同除以-1,得:t=-9.

【归纳整合】若方程中左右两边的系数有一定的关系,可先根据等式的基本性质,将系数进行化简,可使方程变得简单,更容易解方程.因此,解题之前要先仔细观察方程的特征,再进行解答.

8.【解析】设环绕油桶一周需要x尺,

根据题意,得3x+4=4x-3,

解得x=7,所以3x+4=25.

答:这根绳子25尺,环绕油桶一周需要7尺.

9.【解析】方法一:当x≥0时,原方程化为2x-3=5,解得x=4;

当x<0时,原方程化为-2x-3=5,解得x=-4,即原方程的解为x=4或x=-4.

19.一元一次方程的核心概念解析 篇十九

1. 方程

含有未知数的等式叫方程.

【解读】对这个概念的理解不能只是停留在等式这个“形”上，方程是表达实际问题中数量之间相等关系的式子，是解决实际问题的有效模型.

【举例】教材第96页“议一议”中的篮球联赛.

【说明】比赛中胜场得分与负场得分和固定为20分，实际问题中已知量和未知量之间的相等关系可以用多种不同的方式描述.通过比较可以看出，用方程描述这种相等关系最简明.这个问题从“文字”规则规定入手到“数”，逐渐深入体会方程概念的内涵.

2. 一元一次方程

只含有一个未知数（元），并且未知数的次数都是1（次），像这样的方程，叫作一元一次方程.

【解读】既要看原始形式，又要看它的最终形式，“只含有”并非整个等式中只有未知数，其中可能还有常数项的存在；“一个未知数”就是看形式中的未知数；而“一次”就是看最终形式中未知数的次数是1.所以说一元一次方程是最简单的方程.

【举例】3x2+5=8x+3x2.

【说明】上述方程化简成8x-5=0是一元一次方程；而方程4x-7=3x-7+x表面上看有一个未知数x，且x的次数是一次，但化简后为0x=0，不是一元一次方程.

3. 方程的解、解方程

能使方程两边的值相等的未知数的值叫作方程的解.

【解读】方程中未知数的取值不是随意的，只有使两边代数式的值相等的未知数的值才叫方程的解，否则，就不叫方程的解.

求方程解的过程叫作解方程.

【解读】绝大多数方程的解并不是能直接看出的，必须通过适当的方法解出.解方程要用到等式的基本性质，在解方程的过程中要体会“转化”的思想.

【举例】解方程：

解：两边都乘6得-3(x+1)=-8x+12.

去括号得-3x-3=-8x+12.

移项、合并同类项得5x=15.

20.一元一次方程新题展播 篇二十

例1 现有一个密码程序系统，其原理如下面的框图：

当输出的数为10时，则输入的x值为_________．

解析：由密码系统的框图，知x＋6就是输出的式子，故有x＋6＝10. 解得x＝4．

二、定义运算型

例2 若a、b、c、d为有理数，规定一种新运算：a bc d＝ad－bc，那么当2 41－x 5＝18时， x＝ ____________．

解析：仔细观察，我们会发现，规定的运算 a bc d是左上角与右下角的两个数的积减去右上角与左下角的两个数的积，所以2 41－x 5＝2×5－4（1－x），即2×5－4（1－x）＝18. 解得x＝3．

三、对话型

例3 请根据图中给出的信息，可得正确的方程是（ ）.

C. π×82x＝π×62×（x＋5）

D. π×82x＝π×62×5

例4 根据以下对话，可以求得小红所买的笔和笔记本的价格分别是（ ）.

A. 0.8元/支，2.6元/本

B. 0.8元/支，3.6元/本

C. 1.2元/支，2.6元/本

D. 1.2元/支，3.6元/本

解析：设买一支笔需x元，则买一本笔记本需（4.8－x）元.

根据题意，得10x＋5（4.8－x）＝30.

解这个方程，得x＝1.2，所以4.8－x＝3.6. 故选D．

点评：从身边熟悉的事例出发，用对话的形式呈现出题目的内容，生动亲切，新颖有趣．

例5 在“五一”期间，小明、小亮等同学随家长一同到某公园游玩，下面是购买门票时，小明与他爸爸的对话，试根据图中的信息，解答下列问题：

（1）小明他们一共去了几个大人，几个学生？

（2）请你帮助小明算一算，用哪种方式购票更省钱？

解析：（1）设一共有x个大人，则学生人数为（12－x）人.

根据购买成人票的钱＋购买学生票的钱＝ 400，列出方程，得

解这个方程，得x＝8，则12－x＝4.

所以小明他们一共去了8个大人，4个学生．

（2）若按团体票购票：16×40×0.6＝384．

因为384＜400，所以按团体票购票更省钱．

点评：本题是一道图象信息题，题目条件以漫画形式给出，这是近年来的热点．解题的关键是读懂图中两人对话的内容，理清其中的数量关系，巧设未知数，建立方程组求解．

四、结论开放型

例6 一个一元一次方程的解是5，请写出满足条件的一个方程_________．

解析：此题具有开放性，答案不唯一，只要符合一元一次方程的形式且解为5即可．本题既考查了方程解的定义，又考查了同学们的逆向思维能力．解此类题方法有很多，下面提供两种方法供参考．

方法一：可先列一个含5的等式，如8－5＝3，然后用x替换5，得8－x＝3.