一上数学第二单元测试（精选7篇）
1.一上数学第二单元测试 篇一
二年级数学第二单元测试质量分析
吴素艳
本次测试主要考查的是第二单元利用2-6的乘法口诀求商及应用，总计十个大题。从总体上看，这次测试大多数学生成绩较好，但也有一些不应该的错误出现。具体分析如下：
一、答题情况分析
1、口算：主要考查表内乘除法的问题。本题共11分。本题绝大多数学生能够准确无误的计算，也有个别学生算错，如6×7=有的学生得48，口诀掌握不熟练。主要有刘青利、谭佳杰。
2、填一填：本题共8个小题，考查的内容有除法算式的读法、平均分、根据口诀写算式，正确率比较高。本题中，错误率最高的是第5题，学生不能很好的理解题目意思。
3、选一选：本题一共4个小题，主要问题有学生不能准确读题理解题意。
4、摘葫芦：这道题目主要是要使学生把得数相同的算式连接起来，学生能准确算数但却不能正确连接，丢分较多。
5、跳伞：主要是填加减乘除符号，7、8小题有错误。
6、比较大小：本题学生答题准确。
7、净化环境：考查的是口诀的利用，本题学生答题准确。
8、接力赛：大多数学生能准确计算，个别学生计算有误。
9、看图列式：除个别学生错误外，绝大多数学生能准确列示并计算。
10、解决问题：
1、2小题答得较好，3、4、5小题错误较多，主要是不理解题意、不加小括号。
二、需解决的问题：
根据全班的卷面答题情况和以上逐题的分析，现将迫切需要解决的问题总结归纳如下：
1、基础知识较扎实，但做题少，所见题目类型单一，运用知识不灵活。
2、培养良好的习惯：有序性和条理性。其中包括阅读、阅卷、解决问题中都需要有这样的习惯。同时要在平时的学习生活中方方面面培养这样的习惯。
3、学会读题和分析题目要求，其中特别要练习的是较长的填空题和综合性应用题。
4、学会检查，养成检查的习惯。
5、卷面的书写规范，综合应用题的答题书写习惯。
三、教学建议
1、抓实课堂教学。课堂教学中要努力激发学生的探究兴趣，让学生成为课堂的主人，只有亲自参与探究过程所掌握的知识，才能理解深刻、记忆牢固。
2、重视对学生动手操作能力的培养。教学时尽量给学生提供动手操作的机会、不断强化学生的表象，不断增强学生的感性认识，在相互交流、比较的基础上逐步抽象出数学知识，形成学生的认知。
3、注重数学知识的构建。教师要加强引导学生对所学知识的梳理、提升，使知识系统化，结构化。
2.一上数学第二单元测试 篇二
一、选择题
1.到空间不共面的四点距离相等的平面有 ( ) .
(A) 1个 (B) 4个
(C) 7个 (D) 8个
2.若的各二项式系数的和是64, 则n= () .
(A) 2 (B) 4
(C) 6 (D) 8
3.某学校开设“蓝天工程博览课程”, 组织6个年级的学生外出参观包括甲博物馆在内的6个博物馆, 每个年级任选一个博物馆参观, 则有且只有两个年级选择甲博物馆的方案有 () .
4.某班举行联欢会由5个节目组成, 演出顺序有如下要求:节目甲必须和节目乙相邻, 且节目甲不能排在第一个和最后一个, 则该班联欢会节目演出顺序的编排方案共有 () .
(A) 6种 (B) 12种
(C) 36种 (D) 48种
5.若的展开式中含有常数项, 则n的最小取值是 () .
(A) 4 (B) 5
(C) 6 (D) 7
6.用红、黄、蓝三种颜色对如图1所示的三个方格进行涂色.若要求每个小方格涂一种颜色, 且涂成红色的方格数为, 则不同的涂色方案有 () .
(A) 6种 (B) 14种
(C) 16种 (D) 18种
7.现有6人要排成一排照相, 其中甲与乙两人不相邻, 且甲不站在两端, 则不同的排法有 () .
(A) 12种 (B) 16种
(C) 144种 (D) 288种
8.执行如图2所示的程序框图, 输出的结果为a, 若的展开式中x3的系数为a/2, 则常数m= () .
9.现有16张不同的卡片, 其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张.从中任取3张, 要求这3张卡片不能是同一种颜色, 且红色卡片至多有1张, 则不同的取法有 () .
(A) 472种 (B) 288种
(C) 256种 (D) 144种
10.两名高一年级的学生被允许参加高二年级的学生象棋比赛, 每两名参赛选手之间都比赛一次, 胜者得1分, 和棋各得0.5分, 输者得0分, 即每场比赛双方的得分之和是1分.两名高一年级的学生共得8分, 且每名高二年级的学生都得相同分数, 则高二年级的学生参加比赛的有 ( ) .
(A) 7名 (B) 14名
(C) 7名或14名 (D) 16名
11.设的展开式中系数最小的项是 () .
(A) -192 (B) -160
(C) -192x2 (D) 240x
(A) 0 (B) 126
(C) 256 (D) 512
13.一种团体竞技比赛的积分规则是:每队胜、平、负分别得2分、1分、0分.已知甲球队已赛4场, 积4分, 在这4场比赛中, 甲球队胜、平、负 (包括顺序) 的情况共有 () .
(A) 7种 (B) 13种
(C) 18种 (D) 19种
14. (x2+1) (x- (2/x) ) 6的展开式中的常数项是 ( ) .
(A) 160 (B) -160
(C) 80 (D) -80
15.五个人坐成一排, 甲要和乙坐在一起, 乙不和丙坐在一起, 则不同的排法种数为 ( ) .
(A) 12 (B) 24
(C) 36 (D) 48
16.的展开式中的常数项为 ( ) .
(A) -8 (B) -12
(C) -20 (D) 20
17.将5位同学分别保送到北京大学、上海交通大学、中山大学这3所大学就读, 则每所大学至少保送1人的不同保送方法数为 ( ) .
(A) 150 (B) 180
(C) 240 (D) 540
18.4 对姐妹站成一圈, 要求每对姐妹相邻, 不同站法有 ( ) .
(A) 240种 (B) 120种
(C) 96种 (D) 48种
二、填空题
20.用数字“1, 2”组成一个四位数, 则数字“1, 2”都出现的四位数有______个.
21.某门选修课共有9名学生参加, 其中男生3人, 教师上课时想把9人平均分成三个小组进行讨论.若要求每个小组中既有男生也有女生, 则符合要求的分组方案共有_____种.
三、解答题
23.设F (n) =a1-a2Cn1+a3Cn2-a4Cn3+…+ (-1) nan+1Cnn (n≥2, n∈N*) .
(1) 若数列{an}的各项均为1, 求证:F (n) =0;
(2) 若对任意大于等于2的正整数n, 都有F (n) =0恒成立, 试证明数列{an}是等差数列.
十五、统计、概率、统计案例
一、选择题
1.已知回归直线的斜率的估计值为1.23, 样本点的中心为 (4, 5) , 则回归直线方程为 ( ) .
2.某商场在2015年元宵节的促销活动中, 对3月5日9时至14时的销售额进行统计, 其频率分布直方图如图1所示.已知9时至10时的销售额为5万元, 则11时至12时的销售额为 ( ) .
(A) 10万元 (B) 15万元
(C) 20万元 (D) 25万元
3.某中学采用系统抽样的方法从该校高一年级全体800名学生中抽取50名学生进行体能测试.现将800名学生从1到800进行编号, 求得间隔数k= (800) / (50) =16.若从1~16中随机抽取1个数的结果是抽到了7, 则在编号为33~48的这16个学生中抽取1 名学生, 其编号应该是 ( ) .
(A) 36 (B) 39
(C) 42 (D) 45
4.某工厂生产的甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品分别有150 件、120 件、180 件、150件.为了调查产品的情况, 需从这600件产品中抽取一个容量为100的样本, 若采用分层抽样, 设甲产品中应抽取的产品件数为x, 设此次抽样中, 某件产品A被抽到的概率为y, 则x, y的值分别为 ( ) .
(A) 25, 1/4 (B) 20, 1/6
(C) 25, 1/ (600) (D) 25, 1/6
5.在区间[-5, 5]内随机取出一个实数a, 则a∈ (0, 1) 的概率为 ( ) .
(A) 0.5 (B) 0.3
(C) 0.2 (D) 0.1
6.甲、乙两名同学8次数学测验成绩如茎叶图所示 (图2) , 分别表示甲、乙两名同学8次数学测验成绩的平均数, s1, s2分别表示甲、乙两名同学8次数学测验成绩的标准差, 则有 () .
7.在边长为4的正方形ABCD内任取一点M , 则∠AMB>90°的概率为 ( ) .
8.在长为8 的线段AB上任取一点C, 现作一矩形, 邻边分别等于AC, BC的长, 则该矩形的面积大于15的概率为 ( ) .
9.为了研究某种细菌在特定环境下, 随时间变化的繁殖情况, 得如下实验数据, 计算得线性回归方程为.由以上信息, 得到下表中c的值为 ( ) .
(A) 5.7 (B) 6
(C) 6.5 (D) 7
10.若数据2, x, 2, 2 的方差为0, 则x= ( ) .
(A) 2 (B) 2.5
(C) 3 (D) 3.5
11.袋子里有两个不同的红球和两个不同的白球, 从中任取两个球, 则这两个球颜色相同的概率为 ( ) .
12.某高中共有1200人, 其中高一、高二、高三年级的人数依次成等差数列.现用分层抽样的方法从中抽取48人, 那么高二年级被抽取的人数为 ( ) .
(A) 12 (B) 14
(C) 16 (D) 18
二、填空题
13.某县共有300个村, 按人均年可支配金额的多少分为三类, 其中一类村有60个, 二类村有100个.为了调查农民的生活状况, 要抽出部分村作为样本.现用分层抽样的方法在一类村中抽出3个, 则二类村、三类村共抽取的村数为________.
14.某工厂对一批产品进行了抽样检测, 图3是根据抽样检测后的产品净重 (单位:克) 数据绘制的频率分布直方图, 其中产品净重的范围是[96, 106], 样本数据分组为[96, 98) , [98, 100) , [100, 102) , [102, 104) , [104, 106].已知样本中产品净重小于100克的个数是36, 则样本中在[98, 104) 内的产品的个数是_____.
15.小明通过做游戏的方式来确定周末活动, 他随机地往单位圆中投掷一点, 若此点到圆心的距离大于1/2, 则周末看电影;若此点到圆心的距离小于1/4, 则周末打篮球;否则就在家看书.那么小明周末在家看书的概率是.
16.某单位有840名职工, 现采用系统抽样的方法抽取42人做问卷调查, 将840人按1, 2, …, 840随机编号, 则抽取的42人中, 编号落入区间[61, 120]内的人数为______.
三、解答题
17.为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关, 对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表:
已知在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率为3/5.
(1) 请将上面的列联表补充完整 (不用写计算过程) ;
(2) 能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜爱打篮球与性别有关?说明你的理由.
附:
18.某大学志愿者协会有10名同学, 成员构成如下表, 其中表中部分数据不清楚, 只知道从这10名同学中随机抽取1名, 抽到该名同学为“数学专业”的概率为2/5.
(1) 求m, n的值;
(2) 现从男同学中随机选取2名同学, 进行社会公益活动 (每位同学被选到的可能性相同) , 求选出的这2名男同学中有1名同学是“数学专业”的概率.
19.某出租车公司响应国家节能减排的号召, 已陆续购买了140辆纯电动汽车作为运营车辆, 目前我国主流纯电动汽车按续驶里程数R (单位:公里) 分为3类, 即A:80≤R<150, B:150≤R<250, C:R≥250.对这140辆车的行驶总里程进行统计, 结果如下表:
(1) 从这140辆汽车中任取1辆, 求该车行驶总里程超过5万公里的概率;
(2) 公司为了了解这些车的工作状况, 决定抽取14辆车进行车况分析, 按表中描述的六种情况进行分层抽样, 设从C类车中抽取了n辆车.
(ⅰ) 求n的值;
(ⅱ) 如果从这n辆车中随机选取2辆车, 求恰有1 辆车行驶总里程超过5 万公里的概率.
20.某车间将10 名技工平均分成甲、乙两组加工某种零件, 在单位时间内每个技工加工的合格零件数的统计数据的茎叶图如图4所示.已知两组技工在单位时间内加工的合格零件平均数都为10.
(1) 分别求出m, n的值;
(2) 分别求出甲、乙两组技工在单位时间内加工的合格零件的方差s甲2和s乙2, 并由此分析两组技工的加工水平;
(3) 质检部门从该车间甲、乙两组技工中各随机抽取1名技工, 对其加工的零件进行检测, 若两人加工的合格零件个数之和大于17, 则称该车间 “质量合格”, 求该车间 “质量合格”的概率.
21.已知关于x与y有如下数据:
由数据的散点图知, y与x之间满足指数模型y=aebx, 求y关于x的回归方程.
十六、概率、统计、随机变量及其分布
一、选择题
1.设随机变量ξ~N (μ, σ2) , 且P (ξ<-1) =P (ξ>2) =0.3, 则P (ξ<2μ+1) = ( ) .
(A) 0.4 (B) 0.5
(C) 0.6 (D) 0.7
2.安排甲、乙、丙、丁四人参加周一至周六的公益活动, 每天只需一人参加, 其中甲参加三天活动, 乙、丙、丁每人参加一天, 那么甲连续三天参加活动的概率为 ( ) .
3.在区间 (0, 1) 内任取两个实数a, b, 则方程x2+2ax+b=0有实数根的概率为 ( ) .
4.已知随机变量ξ分别取1, 2和3, 其中概率P (ξ=1) =P (ξ=3) , 且方差D (ξ) =1/3, 则概率P (ξ=2) 的值为 ( ) .
5.从集合{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}中任取两个数, 欲使取到的一个数大于k, 另一个数小于k (其中k∈{5, 6, 7, 8, 9}) 的概率是2/5, 则k= ( ) .
(A) 5 (B) 6
(C) 7 (D) 8
6.某公司从四名大学毕业生甲、乙、丙、丁中录用两人, 若这四人被录用的机会均等, 则甲与乙中至少有一人被录用的概率为 ( ) .
7.设两个独立事件A, B都不发生的概率为1/9, 则A与B都发生的概率可能为 ( ) .
8.已知函数, 集合M={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, 现从M中任取两个不同的元素m, n, 则f (m) ·f (n) =0 的概率为 ( ) .
9.盒中有大小相同的编号为1, 2, 3, 4, 5, 6的6只小球, 规定:从盒中一次摸出两只球, 如果这两只球的编号均能被3整除, 则获得一等奖, 如果这两只球的编号均为偶数, 则获得二等奖, 其他情况均不获奖.若某人摸一次且获奖, 则他获得一等奖的概率为 ( ) .
10.某影院有三间放映厅, 它们同时放映三部不同的电影, 此时, 甲、乙两位同学各自买票看其中的一场, 若每位同学观看各部影片的可能性相同, 则这两位同学观看同一部影片的概率为 ( ) .
11.由数字0, 1, 2, 3, 4, 5组成无重复数字的五位数, 则该五位数是奇数的概率为 ( ) .
12.从7名运动员中选出4名运动员组成接力队, 参加4×100米接力赛, 那么甲、乙两人都不跑中间两棒的概率为 ( ) .
二、填空题
13.从0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9中任取七个不同的数, 则这七个数的中位数是5 的概率为_______.
14.随机变量ξ的分布列如下表所示, 其中a, b, c成等差数列, 若E (ξ) =1/3, 则D (ξ) 的值是_______.
15.某班有50名同学, 一次数学考试的成绩X服从正态分布N (105, 102) , 已知P (95≤X≤105) =0.34, 估计该班学生数学成绩在115分以上的有______人.
16.一个盒子内部有如图1所示的六个小格子, 现有橘子、苹果和香蕉各两个, 将这六个水果随机地放入这六个格子里, 每个格子放一个, 放好之后每行、每列的水果种类各不相同的概率是_____-.
三、解答题
17.某中学在高二年级开设大学选修课程《线性代数》, 共有50名同学选修, 其中男同学30名, 女同学20名.为了对这门课程的教学效果进行评估, 学校按性别采用分层抽样的方法抽取5人进行考核.
(1) 求抽取的5人中男、女同学的人数.
(2) 考核的第一轮是答辩, 顺序由已抽取的甲、乙等5位同学按抽签方式决定.设甲、乙两位同学间隔的人数为X, X的分布列为
求数学期望E (X) .
(3) 考核的第二轮是笔试:5位同学的笔试成绩分别为115, 122, 105, 111, 109;结合第一轮的答辩情况, 他们的考核成绩分别为125, 132, 115, 121, 119.这5位同学笔试成绩与考核成绩的方差分别记为s12, s22, 试比较s12与s22的大小 (只需写出结论) .
18.甲、乙两人为了响应政府“节能减排”的号召, 决定各购置一辆纯电动汽车.经了解目前市场上销售的主流纯电动汽车, 按续驶里程数R (单位:公里) 可分为三类车型, A:80≤R<150, B:150≤R<250, C:R≥250.甲从A, B, C三类车型中挑选, 乙从B, C两类车型中挑选, 甲、乙两人选择各类车型的概率如下表:
若甲、乙都选C类车型的概率为3/ (10) .
(1) 求p, q的值;
(2) 求甲、乙选择不同车型的概率;
(3) 某市对购买纯电动汽车进行补贴, 补贴标准如下表:
记甲、乙两人购车所获得的财政补贴为X, 求X的分布列.
19.从某小区抽取100户居民进行月用电量调查, 发现其用电量都在50 度至350 度之间, 根据调查结果绘制的频率分布直方图如图2所示.
(1) 根据直方图求x的值, 并估计该小区100户居民的月均用电量 (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表) ;
(2) 从该小区已抽取的100户居民中, 随机抽取月用电量超过250度的3户, 参加节约用电知识普及讲座, 其中恰有ξ户月用电量超过300度, 求ξ的分布列及期望.
20.某市工业部门计划对所辖中、小型企业推行节能降耗技术改造, 现对所辖企业是否支持改造进行问卷调查, 结果如下表:
(1) 能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为是否支持节能降耗技术改造与企业规模有关?
(2) 从上述320家支持节能降耗技术改造的中、小型企业中按分层抽样的方法抽出12家, 然后从这12家中选出9家进行奖励, 分别奖励中、小型企业每家50 万元, 10 万元, 记9家企业所获奖励总数为X万元, 求X的分布列和数学期望.
附:
21.某城市有东西南北四个进入城区主干道的入口, 在早高峰时间段, 时常发生交通拥堵现象.交警部门统计11月份30天内的拥堵天数, 东西南北四个主干道入口的拥堵天数分别是18天, 15天, 9天, 15天.假设每个入口发生拥堵现象互相独立, 视频率为概率.
(1) 求该城市一天中早高峰时间段恰有三个入口发生拥堵的概率;
(2) 设ξ为一天中早高峰时间段发生拥堵的主干道入口个数, 求ξ的分布列及数学期望.
22.如图3, 一个靶子由四个同心圆组成, 且半径分别为1, 3, 5, 7.规定:击中A, B, C, D区域分别可获得5分, 3分, 2分, 1分, 脱靶 (即击中最大圆之外的某点) 得0分.
(1) 甲射击时脱靶的概率为0.02, 若未脱靶则等可能地击中靶子上的任意一点, 求甲射击一次得分的数学期望.
(2) 已知乙每次射击击中的位置与圆心的距离不超过4, 丙每次射击击中的位置与圆心的距离不超过5.乙、丙两人各射击一次, 记U, V分别为乙、丙两人击中的位置到圆心的距离, 且U, V取各自范围内的每个值的可能性相等, 求U<V的概率.
23.长时间用手机上网严重影响着学生的健康, 某校为了解A, B两班学生手机上网的时长, 分别从这两个班中随机抽6名同学进行调查, 将他们平均每周手机上网的时长作为样本数据, 绘制成茎叶图如图4所示 (图中的茎表示十位数字, 叶表示个位数字) .如果学生平均每周手机上网的时长不小于21小时, 则称为“过度用网”.
(1) 请根据样本数据, 估计A, B两班的学生平均每周上网时长的平均值;
(2) 从A班的样本数据中有放回地抽取2个数据, 求恰有1个数据为“过度用网”的概率;
(3) 从A班、B班的样本中各随机抽取2名学生的数据, 记“过度用网”的学生人数为ξ, 写出ξ的分布列和数学期望.
十七、算法初步、推理与证明
一、选择题
1.图1是一个循环结构的算法, 下列说法不正确的是 ( ) .
(A) (1) 是循环变量初始化, 循环就要开始
(B) (2) 为循环体
(C) (3) 是判断是否继续循环的终止条件
(D) 输出的s值为2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18
2.在篮球比赛中, 某篮球队队员投进三分球的个数如表所示:
图2是统计上述6名队员在比赛中投进的三分球总数s的程序框图, 则图中的判断框内应填入的条件是 () .
(A) i<6? (B) i<7?
(C) i<8? (D) i<9?
3.若数列{an}满足, n∈N*, p为非零常数, 则称数列{an}为“梦想数列”.已知正项数列{1/bn}为“梦想数列”, 且b1b2b3…b99=299, 则b8+b92的最小值是 () .
(A) 2 (B) 4 (C) 6 (D) 8
4.为提高信息在传输中的抗干扰能力, 通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息.设定原信息为a0a1a2, 其中ai∈{0, 1} (i=0, 1, 2) , 传输信息为h0a0a1a2h1, 运算规则为:.例如原信息为111, 则传输信息为01111.传播信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错, 则下列信息一定有误的是 () .
(A) 11010 (B) 01100
(C) 10111 (D) 00011
5.执行如图3所示的程序框图, 若输入的n∈{1, 2, 3}, 则输出的s属于 ( ) .
(A) {1, 2} (B) {1, 3}
(C) {2, 3} (D) {1, 3, 9}
6.图4所示的程序框图运行结束后, 输出的集合中包含的元素个数为 ( ) .
(A) 3 (B) 4
(C) 5 (D) 6
7.执行图5所示的程序框图, 若输入的x=2, 则输出的所有x的值的和为 ( ) .
(A) 8 (B) 64
(C) 126 (D) 128
8.若函数y=f (x) 在定义域内给定区间[a, b]上存在x0 (a<x0<b) , 满足, 则称函数y=f (x) 是[a, b]上的“平均值函数”, x0是它的一个均值点.例如y=|x|是[-1, 1]上的“平均值函数”, 0就是它的均值点.若f (x) =ln x是区间[a, b] (b>a≥1) 上的“平均值函数”, x0是它的一个均值点, 则ln x0与的大小关系是 ( ) .
9.定义平面向量之间的一种运算 “⊙”如下:对任意的a= (m, n) , b= (p, q) , 令a⊙b=mq-np, 下面说法错误的是 ( ) .
(A) 若a与b共线, 则a⊙b=0
(B) a⊙b=b⊙a
(C) 对任意的λ∈R, 有 (λa) ⊙b=λ (a⊙b)
(D) (a⊙b) 2+ (a·b) 2=|a|2|b|2
10.设集合M={A0, A1, A2, A3, A4, A5}, 在M上定义运算“”为:, 其中k为i+j被4除的余数, i, j=0, 1, 2, 3, 4, 5, 则满足关系式的a (a∈M) 的个数为 ( ) .
(A) 2 (B) 3
(C) 4 (D) 5
11.已知映射f:.设点A (1, 3) , B (2, 2) , 点M是线段AB上的一个动点, f:M→M′.当点M在线段AB上从点A开始运动到点B结束时, 点M的对应点M′所经过的路线长度为 ( ) .
二、填空题
12.对于曲线C所在平面上的定点P0, 若存在以点P0为顶点的角α, 使得α≥∠AP0B对于曲线C上的任意两个不同的点A, B恒成立, 则称角α为曲线C相对于点P0的“界角”, 并称其中最小的“界角”为曲线C相对于点P0的“确界角”.曲线相对于坐标原点O的“确界角”的大小是_________.
13.如图6, 小正六边形沿着大正六边形的边按顺时针方向滚动, 小正六边形的边长是大正六边形的边长的一半.如果小正六边形沿着大正六边形的边滚动一周后返回出发时的位置, 在这个过程中, 向量围绕着点O旋转了θ角, 其中O为小正六边形的中心, 则=______.
14.已知x∈R, 定义:A (x) 表示不小于x的最小整数.如, A (-1.2) =-1.
若A (2x+1) =3, 则x的取值范围是_____;
若x>0且A (2x·A (x) ) =5, 则x的取值范围是____.
三、解答题
15.已知函数y=f (x) , x∈D, 设曲线y=f (x) 在点 (x0, f (x0) ) 处的切线方程为y=kx+m.如果对任意的x∈D, 均有: (1) 当x<x0时, f (x) <kx+m; (2) 当x=x0时, f (x) =kx+m; (3) 当x>x0时, f (x) >kx+m, 则称x0为函数y=f (x) 的一个“f-点”.
(1) 判断0是否是下列函数的“f-点”:
(1) f (x) =x3; (2) f (x) =sin x. (只需写出结论)
(2) 设函数f (x) =ax2+ln x.
(ⅰ) 若a=1/2, 证明:1是函数y=f (x) 的一个“f-点”;
(ⅱ) 若函数y=f (x) 存在“f- 点”, 直接写出a的取值范围.
16.已知函数y=f (x) , 若在区间 (-2, 2) 内有且只有一个x0, 使得f (x0) =1成立, 则称函数f (x) 具有性质M.
(1) 若f (x) =sin x+2, 判断f (x) 是否具有性质M, 说明理由;
(2) 若函数f (x) =x2+2mx+2m+1具有性质M, 试求实数m的取值范围.
十八、复数、选考内容
一、选择题
1.复数 (i是虚数单位) 是纯虚数, 则实数a的值为 ( ) .
(A) 2 (B) 3
(C) 4 (D) 5
2.在极坐标系中, 曲线ρ2-6ρcosθ-2ρsinθ+6=0与极轴交于A, B两点, 则A, B两点间的距离等于 () .
3.如图1, 在复平面内, 点A对应的复数为z, 则复数z2= ( ) .
(A) -3-4i
(B) 5+4i
(C) 5-4i
(D) 3-4i
4.在极坐标系中, 过点 (2, - (π/6) ) 且平行于极轴的直线的方程是 ( ) .
5.如图2, P为⊙O外一点, PA是切线, A为切点, 割线PBC与⊙O相交于点B, C, 且PC=2PA, D为线段PC的中点, AD的延长线交⊙O于点E.若PB=3/4, 则AD·DE= () .
6.在极坐标系中, 与曲线ρ=cosθ+1关于直线θ=π/6 (ρ∈R) 对称的曲线的极坐标方程是 ( ) .
7.已知复数z=1-i (i为虚数单位) , 是z的共轭复数, 设的虚部为m, , 则m, n的值分别为 () .
8.关于x的不等式|x-1|-|x|-|m+1|>0的解集非空, 则实数m的取值范围是 () .
(A) [-2, 0) (B) (-2, 0)
(C) (-2, 0] (D) [-2, 0]
9.在极坐标系内, 已知曲线C1的方程为ρ=2cosθ, 以极点为原点, 极轴方向为x正半轴方向, 利用相同单位长度建立平面直角坐标系, 曲线C2的参数方程为 (t为参数) 设点P为曲线C2上的动点, 过点P作曲线C1的两条切线, 则这两条切线所成角的最大值是 () .
(A) 30° (B) 45°
(C) 60° (D) 75°
10.不等式对一切非零实数x, y均成立, 则实数a的取值范围为 () .
(A) (1, 3) (B) [1, 3]
(C) (1, 3] (D) [1, 3)
11.已知a, b, c∈R, a2+b2+c2=9, M=a+2b+3c, 则M的最大值是 ( ) .
12.已知函数f (x) =|x-k|+|x-2k|, 若对任意的x∈R, f (x) ≥f (3) =f (4) 都成立, 则k的取值范围为 ( ) .
(A) (2, 3] (B) [2, 3)
(C) (2, 3) (D) [2, 3]
13.若曲线C: (θ 为参数) 与直线l: (t为参数) 恰有1 个交点, 则实数a的取值范围是 ( ) .
14. (理) 已知 (i是虚数单位) , 的展开式中系数为实数的项有 () .
(A) 671项 (B) 672项
(C) 673项 (D) 674项
其中正确的个数有 () .
(A) 1 (B) 2
(C) 3 (D) 4
二、填空题
15.在极坐标系中, 直线θ=π/4 (ρ∈R) 被圆ρ=4sinθ截得的弦长为______.
16.如图3, AD是⊙O的切线, , 那么∠CAD=.
17.若复数z=1-2i (i为虚数单位) , 是z的共轭复数, 则=____.
18.已知曲线C:{, (α为参数) 若以点O (0, 0) 为极点, x轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 则该曲线的极坐标方程是________.
三、解答题
19.如图4 所示, 已知圆O外有一点P, 作圆O的切线PM , M为切点, 过PM的中点N作割线NAB交圆于A, B两点, 连结PA并延长交圆O于点C, 连结PB交圆O于点D, 若MC=BC.
(1) 求证:△APM∽△ABP;
(2) 求证:四边形PMCD是平行四边形.
20.在直角坐标系xOy中, 圆C的参数方程为{, (φ为参数) 以O为极点, x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1) 求圆C的极坐标方程;
(2) 直线l的极坐标方程是, 射线OM:θ=π/3与圆C的交点为O, P, 与直线l的交点为Q, 求线段PQ的长.
21.设f (x) =|x-1|+|x+1|.
(1) 求f (x) ≤x+2的解集;
(2) 若不等式对任意实数a≠0恒成立, 求实数x的取值范围.
22.如图5 所示, 四边形ABDC内接于圆, BD =CD, 过点C的圆的切线与AB的延长线交于点E.
(1) 求证:∠EAC=2∠ECD;
(2) 若BD⊥AB, BC=BE, AE=2, 求AB的长.
23.极坐标系的极点为直角坐标系xOy的原点, 极轴为x轴的正半轴, 两种坐标系中的长度单位相同.已知曲线C的极坐标方程为ρ=2 (cosθ+sinθ) , 斜率为的直线l交y轴于点E (0, 1) .
(1) 求C的直角坐标方程, l的参数方程;
(2) 直线l与曲线C交于A, B两点, 求|EA|+|EB|的值.
24.如图6所示, 已知PA与⊙O相切, A为切点, 过点P的割线交圆于B, C两点, 弦CD∥AP, AD, BC相交于点E, F为CE上一点, 且DE2=EF·EC.
(1) 求证:CE·EB=EF·EP;
(2) 若CE∶BE=3∶2, DE=3, EF=2, 求PA的长.
25.平面直角坐标系中, 直线l的参数方程是 (t为参数) 以坐标原点为极点, x轴的正半轴为极轴, 建立极坐标系, 已知曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ+ρ2sin2θ-2ρsinθ-3=0.
(1) 求直线l的极坐标方程;
(2) 若直线l与曲线C相交于A, B两点, 求|AB|.
26.设不等式-2<|x-1|-|x+2|<0的解集为M, a, b∈M.
(2) 比较|1-4ab|与2|a-b|的大小.
27.已知a, b∈R*, a+b=1, x1, x2∈R*.
(2) 求证: (ax1+bx2) (ax2+bx1) ≥x1x2.
参考答案
十四、计数原理
1.C.一个点在平面的一侧, 而另外三个点在平面的另一侧, 有C41=4个这样的平面;两个点在平面的一侧, 而另外两个点在平面的另一侧, 有C42÷2=3个这样的平面 (注意此处为平均分组问题, 故要除以2, 以防重复) .故共有7个满足题意的平面.
2.C.
【变式】的展开式中各项系数的和是-128, 则n= ( ) .
(A) 3 (B) 5
(C) 7 (D) 9
(答案:C.)
3.D. 4.C.
5.D.
6.B. (1) 若涂成红色的方格数为2, 则有C32×2=6种涂法; (2) 若涂成红色的方格数为0, 则有2×2×2=8 种涂法.故共有6+8=14 种涂法.
【变式】用红、黄、蓝三种颜色对右图所示的四个方格进行涂色.若要求每个小方格涂一种颜色, 且相邻方格涂不同的颜色, 则不同的涂色方案有 () .
(A) 6种 (B) 14种
(C) 16种 (D) 18种
(答案:D.)
7.D.
8.C.由题中所给的框图, 得
9.A.红色卡片仅取1 张有C41C212种取法;没有红色卡片有C312-3C43种取法.故共有C41C212+C312-3C43=472种取法.
【变式】现有16张不同的卡片, 其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张.从中任取3张, 要求这3张卡片颜色都不相同, 且红色卡片至多有1张, 则不同取法的种数为 ( ) .
(A) 472 (B) 288
(C) 256 (D) 144
(答案:C.提示:红色卡片仅取1 张有C41C32C41C41=192 种取法;没有红色卡片有C41C41C41=64种取法.故共有192+64=256种取法.)
10.C.设高二年级学生共有n人, 高二年级每人获得k/2分 (k∈N) , 于是所有人的总分和为8+n·k/2.由于共有C2n+2场比赛, 所以所有人的总分和也可表示为C2n+2.所以C2n+2=8+n·k/2, 得k=n- (14/n) +3 (k∈N) .所以n=7 或n=14.
11.C.a= (-cos x+sin x) |0π=1- (-1) =2, 则Tr+1= (-1) r·26-r·C6rx3-r, 要使二项式的展开式中系数最小, 需r为奇数, 且26-r·C6r取得较大值.
由, 得, 即, 有r=2, 但r=2为偶数, 检验r=1或r=3的情形.当r=1时, T2=-192x2.当r=3时, T4=-160x0=-160.所以展开式中系数最小的项是T2=-192x2.
【变式】的展开式中二项式系数最大的项是 () .
(A) 第3项或第4项
(B) 第4项或第5项
(C) -192x2
(D) 240x
(答案:B.)
12.C. (1-x) 8的通项Tr+1= (-1) rC8rxr.当r为偶数时, ar= (-1) rC8r>0;当r为奇数时, ar<0.取x= -1 代入 (1-x) 8中, 得28=256.
【变式】设 (1-x) 8=a0+a1x+…+a7x7+a8x8, 则a0+a1+2a2+…+8a8= ( ) .
(A) 0 (B) 1
(C) 256 (D) 512
(答案:B.提示:原等式两边对x求导, 得-8 (1-x) 7=a1+2a2x+…+8a8x7, 取x=1, 有a1+2a2+…+8a8=0.又a0= (-1) 0C80=1, 于是a0+a1+2a2+…+8a8=1.)
13.A.有两种情况:一是4场均为平, 有1种情况;二是2胜2负, 有种情况.故共有7种情况.
【变式】现有3 本相同的语文书, 2 本相同的数学书, 1 本英语书.把这6 本书排成一排, 共有排法 ( ) .
(A) 120种 (B) 60种
(C) 30种 (D) 10种
14.C.
15.C. (1) 甲、乙分别坐第1, 2位, 丙只能坐第4, 5位, 有2×A22=4种坐法;乙、甲分别坐第1, 2位, 丙可坐第3, 4, 5位, 有3×A22=6种坐法. (2) 甲、乙分别坐第2, 3位, 丙只能坐第1, 5位, 有2×A22=4种坐法;乙、甲分别坐第2, 3位, 丙只能坐第4, 5位, 有2×A22=4 种坐法. (3) 甲、乙坐第3, 4位, 同 (2) 有8种坐法. (4) 甲、乙坐第4, 5位, 同 (1) 有10 种坐法.故共有10+8+8+10=36种坐法.
【点拨】相邻问题捆绑法, 相离问题插空法是处理相邻与相离问题的常用方法, 但是具体问题要具体分析.如本题, 甲和乙相邻, 乙和丙相离, 直接用捆绑法与插空法不好处理, 这时我们可以从实际出发, 用分类与分步计数原理解决问题.
【变式1】五个人坐成一排, 甲要和乙坐在一起, 则不同的排法种数为 ( ) .
(A) 12 (B) 24
(C) 36 (D) 48
(答案:D.)
【变式2】五个人坐成一排, 甲不和乙坐在一起, 则不同的排法种数为 ( ) .
(A) 24 (B) 36
(C) 48 (D) 72
(答案:D.)
16.C., 它的通项的通项T′k+1=Ck3-rx6-2r-4k, 其中0≤r≤3, 0≤k≤3-r, 则Tr+1= (-2) rCr3Ck3-r·x6-2r-4k.令6-2r-4k=0, 得3-r-2k=0.当r=0时, 无解;当r=1时, k=1;当r=2时, 无解;当r=3时, k=0.故所求常数项为 (-2) 1C13C12+ (-2) 3C33C00=-20.
【变式】展开 (a+b+c) 6, 合并同类项后, 含ab2c3项的系数是 ( ) .
(A) 10 (B) 20
(C) 30 (D) 60
(答案:D.提示:[ (a+b) +c]6的通项Tr+1=C6r (a+b) 6-rcr, 则r=3, T4=C63 (a+b) 3c3, (a+b) 3的通项T′k+1=C3ka3-kbk, 令k=2, 可得所求系数为C63C32=60.)
17.A.分为两类:第一类为2+2+1, 即有2所学校分别保送2 名同学, 有C52C32C11×3=90种方法;第二类为3+1+1, 即有1所学校保送3名同学, 有C53C21C11×3=60种方法.故共有90+60=150种方法.
【变式1】将6 位同学分别保送到北京大学、上海交通大学、中山大学这3所大学就读, 则每所大学至少保送1 人的不同保送方法数为 ( ) .
(A) 150 (B) 180
(C) 240 (D) 540
(答案:D.)
【变式2】将6 本不同的书平均分成三份, 每份2本, 不同分法有 ( ) .
(A) 15种 (B) 90种
(C) 240种 (D) 540种
18.C.首先可让4 位姐姐站成一圈, 属圆排列, 有种站法, 然后再让妹妹插入其间, 每位均可插入其姐姐的左边和右边, 有2种方式, 故不同的站法有6×24=96种.
【点拨】从n个不同元素中取出m个元素作圆形排列共有种不同排法.
19.0.
21.90. 22.2133.
23. (1) 已知数列{an}满足各项为1, 即F (n) =Cn0-Cn1+Cn2-Cn3+…+ (-1) nCnn.
(2) 当n=2时, F (2) =a1-a2C21+a3C22=0, 即2a2=a1+a3,
所以数列{an}的前3项成等差数列.
假设当n=k时, 由F (k) =a1-a2Ck1+a3Ck2-a4Ck3+…+ (-1) kak+1Ckk=0,
可得数列{an}的前k+1项成等差数列.
因为对任意大于等于2 的正整数n, 都有F (n) =0恒成立, 所以F (k+1) =0成立.
两式相减, 得
由假设可知a2, a3, a4, …, ak+1, ak+2也成等差数列, 从而数列{an}的前k+2 项成等差数列.
综上所述, 若F (n) =0 对任意n≥2, n∈N*恒成立, 则数列{an}是等差数列.
十五、统计、概率、统计案例
1.A.2.C.3.B.4.D.
5.D.
【变式】在区间[-5, 5]内任取两个数a, b, 则|x-y|<1的概率为 ( ) .
(A) 0.2 (B) 0.19
(C) 0.15 (D) 0.1
(答案:B.)
6.B.
【变式】条件同原题, 设甲同学数学测验成绩的众数为a, 乙同学数学测验成绩的中位数为b, 则a, b的值分别为 ( ) .
(A) 85, 86 (B) 85, 85
(C) 86, 85 (D) 86, 86
(答案:B.)
7.A.如右图, 当点M在半圆上时, ∠AMB=90°.而∠AMB>90°, 易知点M在半圆内, 故所求的概率.
【变式1】已知正方形ABCD的边长为2, 在边BC上任取一点M , 则∠AMB>60°的概率为 ( ) .
(答案:B.)
【变式2】已知正方形ABCD的边长为2, 在∠BAC内任作射线AP, 且AP与BC交于点M , 则∠AMB>60°的概率为 ( ) .
(答案:A.)
8.B.9.B.10.A.
11.B.
【变式】袋子里有两个相同的红球和两个相同的白球, 从中任取两个球, 则这两个球颜色相同的概率为 ( ) .
(答案:A.)
12.C.
17. (1) 列联表补充如下:
(2) 在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜爱打篮球与性别有关 (理由略) .
18. (1) m=3, n=1.
(2) 至少有1名同学是“数学专业”的概率是4/5.
19. (1) 从这140辆汽车中任取1辆, 则该车行驶总里程超过5 万公里的概率为.
(ⅱ) 5辆车中已行驶总里程不超过5万公里的车有3辆, 记为A, B, C;5辆车中已行驶总里程超过5万公里的车有2辆, 记为M, N.
“从5辆车中随机选取2辆车”的所有选法共10 种:AB, AC, AM, AN, BC, BM, BN, CM, CN, MN.
“从5辆车中随机选取2辆车, 恰有1辆车行驶里程超过5 万公里”的选法共6 种:AM, AN, BM, BN, CM, CN.
设“选取2辆车中恰有1辆车行驶里程超过5万公里”为事件D, 则.
20. (1) m=3, n=8.
(2) 根据题意, 得
因为, 所以甲、乙两组的整体水平相当, 乙组更稳定一些.
(3) 质检部门从该车间甲、乙两组技工中各随机抽取1名技工, 对其加工的零件进行检测, 设两人加工的合格零件数分别为 (a, b) , 则 (a, b) 的所有取值为: (7, 8) , (7, 9) , (7, 10) , (7, 11) , (7, 12) , (8, 8) , (8, 9) , (8, 10) , (8, 11) , (8, 12) , (10, 8) , (10, 9) , (10, 10) , (10, 11) , (10, 12) , (12, 8) , (12, 9) , (12, 10) , (12, 11) , (12, 12) , (13, 8) , (13, 9) , (13, 10) , (13, 11) , (13, 12) , 共计25个, 而a+b≤17的情形有 (7, 8) , (7, 9) , (7, 10) , (8, 8) , (8, 9) , 共计5个, 因此满足a+b>17的情形共有25-5=20个.故该车间“质量合格”的概率为.
21.令z=ln y, 则z=bx+ln a.
在z=ln y的变换下, x与z的数据表为
所以y关于x的回归方程为.
十六、概率、统计、随机变量及其分布
1.D.
2.B.
【变式】安排甲、乙、丙、丁四人参加周一至周六的公益活动, 每天只需一人参加, 且每人至少参加一天活动, 那么甲连续三天参加活动的概率为 ( ) .
3.B.由题意, 得而Δ= (2a) 2-4b≥0, 有a2≥b.在aOb平面内, 抛物线b=a2, 直线a=1与a轴围成封闭图形的面积.故所求的概率.
【变式】已知随机变量ξ分别取1和2, 则方差D (ξ) 的最大值为 ( ) .
5.C.从集合中任取两个数有C210=45种取法, 取到的一个数大于k, 另一个数小于k, 有 (10-k) (k-1) 种取法, 则, 解得k=4或k=7.又k∈{5, 6, 7, 8, 9}, 所以k=7.
【变式】从集合{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}中任取两个数, 设取到的一个数大于k, 另一个数小于k的概率为P, 则P的最大值是 ( ) .
(答案:B.提示:, 因此当k=5或k=6时, .)
6.D.
8.A. 9.A. 10.B.
11.D.由数字0, 1, 2, 3, 4, 5组成无重复数字的五位数有A65-A54=5!×5种可能, 该五位数是奇数有3 (A54-A43) =3×4!×4 种可能, 故所求的概率为.
12.C.从7 名运动员中选出4 名运动员, 不同的选法有C74种, 参加4×100米接力赛的不同方式有A44种, 所以共有C74A44=840种方式.选出的4人中甲、乙两人都不跑中间两棒的不同选法是:第一步, 安排中间2个位置有A52=20种选法, 第二步, 安排首尾2个位置有A52=20种选法, 所以共有20×20=400种选法.所以甲、乙两人都不跑中间两棒的概率为.
13.31. 14.95.
15.8.由于95 与115的中点为105, 于是P (X>115) =1/2[1-2P (95≤X ≤105) ]=0.16, 估计该班学生数学成绩在115分以上的有50×0.16=8人.
16.2/ (15) .第一列有C12C12C12A33种放法, 放好第一列后, 第二列只有2种放法, 所以所求的概率为.
【点拨】在计算与排列、组合问题有关的概率问题时, 需考虑是否与顺序有关的情形, 如本题, 由于总数A66中已将每种水果的每一个作了区分, 于是在计算满足题意的种数时也应作同样的考虑.
17. (1) 抽取男同学的人数为3, 女同学的人数为2.
(2) 设“甲、乙选择不同车型”为事件A,
(3) X的可能取值为7, 8, 9, 10.
所以X的分布列为
19. (1) 由已知, 得50× (0.001 2+0.002 4×2+0.003 6+x+0.006 0) =1, 所以x=0.004 4.
设该小区100户居民的月均用电量为S, 则S=0.002 4×50×75+0.003 6×50×125+0.006 0×50×175+0.004 4×50×225+0.002 4×50×275+0.001 2×50×325=186.
(2) 该小区用电量在 (250, 300]内的用户数为0.002 4×50×100=12, 用电量在 (300, 350]内的用户数为0.0012×50×100=6.
易知ξ的可能取值为0, 1, 2, 3, 则
所以ξ的分布列为
20. (1) 在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为是否支持节能降耗技术改造与企业规模有关.
(2) 由 (1) 可知支持节能降耗技术改造的企业中, 中、小型企业家数之比为1∶3, 按分层抽样得到的12家中, 中、小型企业分别为3家和9家.设9家获得奖励的企业中, 中、小型企业分别为m家和n家, 则 (m, n) 可能为 (0, 9) , (1, 8) , (2, 7) , (3, 6) .与之对应, X的可能取值为90, 130, 170, 210.
所以X的分布列为
21. (1) 设东西南北四个主干道入口发生拥堵分别为事件A, B, C, D, 则.
设一天恰有三个入口发生拥堵为事件M, 则.
(2) ξ的可能取值为0, 1, 2, 3, 4.
所以ξ的分布列为
所以X的分布列为
(2) 由题意, 得其对应区域为图中的矩形, 而对应的区域为图中的阴影部分.由几何概型概率的计算公式, 得.
23. (1) 经计算, 得.
据此估计A班学生每周平均上网的时长为18小时, B班学生每周平均上网的时长为22小时.
(2) A班的样本数据中上网的时长不小于21小时的有2个, 从中有放回地抽取2个, 恰有1个数据为“过度用网”的概率为.
(3) ξ的可能取值为0, 1, 2, 3, 4.
所以ξ的分布列为
十七、算法初步、推理与证明
1.D.2.B.
3.B.由知, {}是等比数列.由{}为“梦想数列”, 得{bn}是等比数列.由b1b2b3…b99=299, 得b991q1+2+…+98=299, 有b1·q49=2, 即b50=2.所以.
4.C. 5.A. 6.A. 7.C.
9.B.
10.B.设a=Ai, 则=A0等价于2i+2被4 除的余数为0, 则i为奇数, 故a可取A1, A3, A5.
12..由题意知“确界角”α′为“包含”曲线C的最小角.由, 得y2-x2=1, 且x≥0, y≥0, 它表示双曲线y2-x2=1在第一象限的部分.由, 得x2+ (y-2) 2=1, x<0, y≤2, 它表示四分之一圆, 如下图.当过原点的直线l与四分之一圆相切时, l与y轴的夹角为π/6, 于是.
13.-1.从题图中得出, 第一个到第二个OA转过了60°, 第二个到第三个转过了120°, 依此类推, 得角θ为1080°, 所以.
所以1<x≤5/4.
15. (1) (1) 0 是f (x) =x3的“f- 点”; (2) 0不是f (x) =sin x的“f-点”.
所以函数g (x) 是 (0, +∞) 上的增函数.
当x=1时, g (x) =g (1) =0, 即f (x) =2x- (3/2) ;
当x>1时, g (x) >g (1) =0, 即f (x) >2x- (3/2) .
所以1是函数y=f (x) 的“f-点”.
(ⅱ) 若函数y=f (x) 存在“f- 点”, 则a的取值范围是a>0.
16. (1) f (x) =sin x+2具有性质M.
依题意, 若存在x0∈ (-2, 2) , 使f (x0) =1, 则当x0∈ (-2, 2) 时有sin x0+2=1, 即sin x0=-1, 得x0=2kπ- (π/2) , k∈Z.由于x0∈ (-2, 2) , 所以x0=- (π/2) .又因为在区间 (-2, 2) 内有且只有一个x0=- (π/2) 使f (x0) =1成立, 所以f (x) 具有性质M.
(2) 依题意, 若函数f (x) =x2+2mx+2m+1具有性质M, 则可知方程x2+2mx+2m=0在 (-2, 2) 内有且只有一个实根.
令h (x) =x2+2mx+2m, 即h (x) 在 (-2, 2) 内有且只有一个零点.
当-m≤-2, 即m≥2时, 可得h (x) 在 (-2, 2) 内为增函数, 只需解得即m>2.
当-2<-m<2, 即-2<m<2时, 若使函数h (x) 在 (-2, 2) 内有且只有一个零点, 需考虑以下3种情况:
(1) 当m=0 时, h (x) =x2在 (-2, 2) 内有且只有一个零点, 符合题意;
综上所述, 实数m的取值范围是m≤-2/3或m>2或m=0.
十八、复数、选考内容
1.C. 2.B. 3.D. 4.D.
5.C.设PD=DC=x.由PC=2PA, 得PA=x.而PB=3/4, 由PA2=PB·PC, 得x2=3/4·2x, 则x=3/2.所以.
6.C.设点 (ρ′, θ′) 是所求曲线上任一点, 此点关于直线θ=π/6对称的点 (ρ, θ) 在曲线ρ=cosθ+1上, 则
【点拨】处理极坐标问题通常有两种方法:一是转化法, 即将问题转化为直角坐标系问题来解;二是数形结合法, 直接在极坐标系中解决问题.
7.D.
8.B.原问题等价于存在实数x, 使得|x-1|-|x|>|m+1|, 而|x-1|-|x|≤1, 所以1>|m+1|, 有-1<m+1<1, 即-2<m<0.
9.C.C1: (x-1) 2+y2=1, C2:3x-4y+7=0, 圆心Q (1, 0) .设切点为A, B, 如右图, 要使∠APB最大, 则∠APQ取最大值, 而, 所以当PQ取最小值2 (Q到曲线C2的距离) 时, ∠APB取最大值60°.
10.B.因为对一切非零实数x, y均成立, 所以2+ (-1) ≥|a-2|, 则1≤a≤3.
13.C.曲线C的普通方程为y=2x2-1 (-1≤x≤1) , 直线l的普通方程为y=x+a.画出图形知 (图略) , 当直线l与曲线C相切时, 联立得2x2-x-1-a=0.
由Δ=1+8 (1+a) =0, 得a= - (9/8) .当直线l过点 (1, 1) 时, a=0, 直线l与曲线C有2个交点;当直线l过点 (-1, 1) 时, a=2, 直线l与曲线C有1 个交点.于是a的取值范围是{- (9/8) }∪ (0, 2].
令2015-2r=3k, 得, 得1-r=3m, 即r=1-3m.
由0≤r≤2015, 得-671≤m≤0, m∈Z, 知r=1, 4, 7, …, 2014, 共有672个.
(文) D.
19. (1) 因为PM是圆O的切线, NAB是圆O的割线, N是PM的中点, 所以MN2=PN2=NA·NB, 即.又因为∠PNA= ∠BNP, 所以 △PNA ∽ △BNP.所以∠APN= ∠PBN, 即∠APM = ∠PBA.因为MC=BC, 所以∠MAC=∠BAC.所以∠MAP=∠PAB.所以△APM∽△ABP.
(2) 因为∠ACD=∠PBN, 所以∠ACD=∠PBN= ∠APN, 即∠PCD = ∠CPM.所以PM∥CD.
因为 △APM ∽ △ABP, 所以∠PMA =∠BPA.因为PM是圆O的切线, 所以∠PMA=∠MCP.所以∠PMA= ∠BPA= ∠MCP, 即∠DPC=∠MCP.所以MC∥PD.
所以四边形PMCD是平行四边形.
20. (1) 圆C的普通方程为 (x-1) 2+y2=1.又x=ρcosθ, y=ρsinθ, 所以圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ.
21. (1) 由f (x) ≤x+2, 得
解得0≤x≤2.
所以f (x) ≤x+2的解集为{x|0≤x≤2}.
由不等式对任意实数a≠0恒成立, 可得|x-1|+|x+1|≥3, 解得.
故实数x的取值范围是x≤- (3/2) 或x≥3/2.
22. (1) 因为BD =CD, 所以∠BCD =∠CBD.因为CE是圆的切线, 所以∠ECD=∠CBD.所以∠ECD= ∠BCD.所以∠BCE=2∠ECD.因为∠EAC=∠BCE, 所以∠EAC=2∠ECD.
(2) 因为BD⊥AB, 所以AC⊥CD, AC=AB.因为BC=BE, 所以∠BEC= ∠BCE=∠EAC.所以AC=EC.由切割线定理, 得EC2=AE·BE, 即AB2=AE· (AE-AB) , 即AB2+2AB-4=0, 解得 (负值舍去) .
23. (1) 由ρ=2 (cosθ+sinθ) , 得ρ2=2 (ρcosθ+ρsinθ) , 即x2+y2=2x+2y, 即 (x-1) 2+ (y-1) 2=2.
24. (1) 因为DE2=EF·EC, ∠DEF=∠DEF, 所以△DEF∽△CED.所以∠EDF=∠C.又因为CD∥AP, 所以∠P= ∠C.所以∠EDF = ∠P.又∠DEF = ∠PEA, 所以△EPA∽△EDF.所以, 即EA·ED=EF·EP.又因为EA·ED=CE·EB, 所以CE·EB=EF·EP.
(2) 因为DE2=EF·EC, DE=3, EF=2, 所以EC=9/2.因为CE∶BE=3∶2, 所以BE=3.
由 (1) 可知, CE·EB=EF·EP, 解得.所以.因为PA是⊙O的切线, 所以PA2=PB·PC.所以.
25. (1) 直线l的极坐标方程为θ=π/3 (ρ∈R) .
(2) 证法一:已知a, b∈R*, a+b=1, x1, x2∈R*, 由柯西不等式, 得
3.四年级数学下册第二单元测试题 篇三
一、填空。1．用字母表示下面的运算定律。
（1）加法交换律（）
（2）加法结合律（）（3）乘法交换律（）
（4）乘法结合律（）
（5）乘法分配律（）2．根据运算定律在下面的框里填上适当的数。
（1）93＋()=52＋()（2）19＋()＋52=19＋（48＋）（3）520－408－2=520－（＋）
（4）209×12=()×12＋9×12 3．一个数连续减去两个数，就等于这个数减去这两个数的（）。4．一个数连续除以两个数，就等于这个数除以这两个数的（）。5．在 ○里填上“＞”“＜”或“=”。
（1）57＋38＋48○ 38＋57＋48
（2）（27＋3）×15 ○27＋3×15（3）13×8×25 ○（13×25）×（8×25）
（4）79×99+79○ 79×100 一．判断。对的画“√”，错的画“×”。1． 54＋72＋28=54＋100（）
2． 32×25=8×4×25（）
3． 325－147＋153=325－（147＋153）（）4． 43×103=43×100＋3（）
5． 150÷6÷5=150÷（6×5）（）三．选择正确答案的序号填在括号内。1．56×8×5=56×（8×5）运用了（）。
①乘法交换律 ②乘法结合律 ③乘法分配律 ④加法结合律 2．38×45=45×38运用了（）
①乘法交换律 ②乘法结合律 ③乘法分配律 3．与97×25相等的算式是（）
①（97＋3）×25 ②（100－3）×25 ③100×25－3 4． 161－51＋49的结果是（）①61 ②159 ③261 四．怎样算简便就怎样算。
（1）128＋349＋172（2）324－84－116
（3）25×18×4
（4）48×125
（5）6000÷25÷4
（6）68×15＋15×32
（7）58×99＋58（8）47×102（9）46×39－29×46（10）36+64－36+64
五．解决问题。
1．王老师在新华书店买了一本故事书18元，一本教学用书22元，他给营业员50元，营业员应找给王老师多少钱？
2．红星小学有6个年级，每个年级有5个班。平均每班的图书角有42本书，这个学校的图书角一共有多少本书？
3．一张桌子是148元，一把椅子是52元，公司买了32套桌椅，一共要花多少钱？
4.三年级数学上册第二单元测试题 篇四
一、填一填。(32分)
1、我们学过的常见的质量单位有( )和( )。日常生活中称一般重的物品用( )作单位，称较轻的用( )作单位。
2、一袋精盐重500克，2袋精盐重( )克，正好是( )千克。
3、一袋盐约重500( )，( )袋约重1千克，所以1千克=( )克。
4、比56千克多9千克是( )千克，81千克比23千克多( )千克。
5、3千克 =( )克 9000克 =( )千克
6000克 =( )千克 10千克 =( )克
4500克=( )千克( )克 6543克=( )千克( )克
6、把不对的.单位圈出来，在不对的单位下改正。
小明体重30克( )，他一顿饭能吃50千克的包子。( )
7、圈出下面物品正确的重量。
桃子 小孩 小兔 鸡蛋
2克 3千克2千克7克
200克 30千克20千克 70克
2千克 300千克200千克 700克
8、连线
一个鸡蛋重 一张课桌高 一个冬瓜重 一个人体重 一筐苹果重
70厘米 50克 25千克 60千克 5千克
9、一个大冬瓜约重6 ( )。一个菠萝大约重700 ( )。
二、想一想，在( )里填上适当的单位。10分
一个足球重250( ) 小明体重是32( )
一个梨重160( ) 一瓶花生油重4( )
一本新华字典重340( ) 一个铅球重4( )
一个鸡蛋约重55( ) 一只母鸡重4000( )
一袋洗衣粉重1( ) 一支牙膏重100( )
三、选一选。选正确答案前面的序号填在括号里 。10分
1.一筐桔子连筐重30千克，筐重3千克，桔子的重量是( )千克。
A.33 B.27 C.30
2.一个1元硬币大约重( ) 。
A.6克 B.60克 C.1千克
3.丫丫的身高大约是131( )。
A.米 B.千克 C.克 D.厘米
4.10千克铁和10千克棉花相比，( )。
A.10千克铁重 B.同样重 C.10千克棉花重 D.无法比较
5.2只鸭子的重量等于3只鸡的重量，已知1只鸭重3千克，1只鸡重( )。
A.3千克 B.4千克 C.2千克
四、比一比，在○里填上“﹥”“﹤”或“=”。6分
1988克( )2千克 7千克( )7000克 3千克200克( )3千克
460克( )6千克 62克 ( )62千克 10千克 ( )1000克
五、按要求完成下列各题12分
1、请给它们排顺序。 4分
2000千克 2000克 201千克 2001克
﹥ ﹥ ﹥
2、计算 8分
3千克+7千克= 5克+8克+18克=
25克+56克= 56千克-27千克=
六、解决判断题 10分
1、1千克的铁比1千克的棉花重。 ( )
2、小胖今年2岁，体重2000克。 ( )
3、5个40克是200克。 ( )
4、1只乒乓球约重3千克。 ( )
5、1千克的大米与一千克面粉一样重。 ( )
七.解决生活中的问题 20分
1.1千克水果糖平均装两袋，5千克水果糖可以装多少袋?8袋这样的水果糖重多少千克?
2.爸爸买回3000克豆油，吃掉1000克后，又买回2000克菜油，还有油多少千克?
3、有两杯水，第一杯水重240克，第二杯水比它重200克，第二杯水重多少克?两杯水共有多少克?
4、妈妈买了一个大面包，重190克，还买了4个小面包，每个重50克，这些面包共重多少克?
5、1千克苹果6元，1千克香蕉5元，买4千克苹果和1千克香蕉。
(1)一共需要多少钱?
5.一上数学第二单元测试 篇五
猜猜每个里藏的数是几，填一填。
(1)
答案提示：
(1)
+37
(2)
151515
+14+24+34
293949
151515
+44+54+64
596979
1515
+74+84
8999
解题思路：
(1)从个位入手，()+7=9，2+7=9;十位上4+()=7，4+3=7。
(2)从个位入手，5+()=9，5+4=9;十位上1+()=()，1+1=2(答案不唯一)。
补充习题
第2单元100以内的加法和减法(二)——进位加
猜猜每个里藏的数是几，填一填。
(1)
+3
(2)
+3
答案提示：
(1)
+32
(2)
+37
解题思路：
(1)从个位入手，5+()=7，5+2=7;十位上()+3=7，4+3=7。
(2)从个位入手，5+()=12，5+7=12，个位满十，向十位进1;十位上()+3+1=7，3+3+1=7。
补充习题
第2单元100以内的加法和减法(二)——不退位减
晶晶和妈妈去超市。花了67元买食品后，还剩33元，最后又买了23元的学习用具。现在还剩多少元?
答案提示：
33-23=10(元)
解题思路：
解答时，要注意此题有多余条件。
6.一上数学第二单元测试 篇六
一、认真填写。每空1分
1、14 +14 +14 +……+14 =( )×( ) =( )
2、56 与( )互为倒数;( )的倒数是1;0.25的倒数是( )。
3、512 小时=( )分 720 米=( )厘米 425 吨=( )千克
910 米的23 是( )米; 14 公顷的45 是( )公顷。
4、16 ×( )=713 ×( )=1713 -( )=( )×0.3 = 1
5、在○里填上“<”、“>”或“=”。
67 ×59 ○67 5米的16 ○1米的56 78 ×119 ○78
13× ○13 49 ×214 ○8×18 9×23 ○23 ×9
6、12个 相加的和是( );24的 23 是( );( )和 14 的积是12。
7、边长 12 分米的正方形的周长是( )分米，面积是( )平方分米。
8、看一本书，每天看全书的 19 ，3天看了全书的( )。
9、一堆沙土重 吨，用去了13 ，用去了( )吨，还剩总数的( )( ) 。
10、根据条件，把数量关系式补充完整。
(1)女生人数是男生的59 。
( )的人数×59 =( )的人数
(2)女生人数比男生少59 。
( )的人数×59 =( )的人数
二、判断对错。每题1分，
1、任何自然数都有一个倒数。 ( )
2、真分数的`倒数一定大于1。 ( )
3、一个西瓜，小东吃了 ，小华吃了剩下的 ，两人吃的西瓜一样多。 ( )
4、1吨的712 和7吨的 一样重。 ( )
5、因为a×b=1，所以a和b互为倒数。 ( )
三、精心选择。每题1分，
1、在下面的选项中，互为倒数的是( )。
A. 与0.5 B. 和7 C.1 和1
2、两根同样长的铁丝，一根用去了13 ，另一根用去13 米，剩下的铁丝( )。
A. 第一根长 B.第二根长 C.同样长 D.无法比较哪根长
3、今年的产量比去年多110 ，今年的产量就相当于去年的( )。
A.110 B.910 C.1110
4、一块长方形菜地,长20米,宽是长的34 ,求面积的算式是( )。
A.20×34 B.20× 34 +20 C.20×(20× 34 )
5、× 的积( ) 。
A. 大于 B. 小于 C. 等于
四、细心计算。
1、直接写出得数：(5分)
27 ×2 = 35 ×1 = 34 ×13 = 12×34 = 528 ×7=
18×16 = 5-37 = 724 ×314 = 13 ×0= 56 ×12=
2、计算：(12分)
42×928 = 944 ×11= 2324 ×869 =
1516 × ×15 = 910 ×23 ×56 = 54 × 18 ×16=
3、列式计算：(12分)
(1)89 的 34 是多少? (2)120千米的 是多少千米?
(3)32个苹果的14 是多少个? (4)
五、灵活解题。
1、列式计算：(8分)
(1)甲乙两地相距100千米，一辆汽车行了全程的 45 ，行了多少千米?
列式：
(2)甲数是56，乙数是甲数的 17 ，乙数是多少?
列式：
(3)一块长方形地，长42米，宽是长的57 。这块地的面积是多少平方米?
7.一上数学第二单元测试 篇七
一、填空题。(16分)
1.600读作，省略万位后面的尾数约是()。
2.在70358400中，7表示()，5表示()。
3.()是10个十万，一亿是()个一千万。
4.与最大的五位数相邻的两个数是()和()。
5.由3个千万，6个十万，5个百和8个一组成的数是()，这个数读作：()。
6.一个数的百万位上是1，十万位上是3，千位上是6，其余各位上都是0，这个数是()，它是一个()位数。
7.要使139□800这个七位数最接近140万，□里应填()。
8.用3个2和3个0组成六位数，且要求三个零都不读，这个六位数可能是()，也可能是()。
二、判断题。(12分)
1.60500305读作六千零五万零三百零五。()
2.千万、百万、十万、万是万级的`四个数位。()
3.读3000300时，只读一个零。()
4.比最大的8位数多一的数是最小的九位数。()
5.一个数省略万位后面的尾数约是40万，这个数最小是395000。()
6.从个位起，第五位是万位，第九为上的计数单位是亿位。()
二、选择题。(10分)
1.100个十万是()。
A.一百万B.一千万C.一亿
2.把4095400省略万位后面的尾数约是()。
A.400万B.409万C.410万
3.47□368≈47万，□里可填入()。
A.0~4B.0~9C.5~9
4.下面数中，只读一个零的是()。
A.509800B.74000380C.405000
5.下面各数中，最大的数是()。
A.507039B.507309C.507903D.507930
四、读出下面各数。(8分)
357250读作：____________________________________________
4300读作：__________________________________________
6935读作：__________________________________________
30800701读作：__________________________________________
五、写出下面各数。(8分)
三千五百零八万写作：______________________________
一千零三十万八千写作：______________________________
二百零七万零六百八十写作：______________________________
四千零六万三千零二十写作：______________________________
六、比较每组中两个数的大小。(6分)
365040○365039298050○37500
30050○30万477万○478000
207548○20744801356040○1356400
七、在○里填上“≈”或“=”。(9分)
3500000○350万2485000○249万
460000○46万28000000○2800万
八、把下面各数写成用“万”作单位的数。(9分)
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