连续函数的性质

连续函数的性质（19篇）

1.连续函数的性质 篇一

在高中阶段, 常见的抽象函数性质主要有下面几种 (下面问题中x, y都为实数) .

1.f (x+y) =f (x) +f (y) +a, x, y∈R, 求f (x) .

2.f (x+y) =f (x) +f (y) , 且f (0) =1, f′ (0) =a, 求f (x) .

3.f (xy) =f (x) f (y) , 且 f (1) =1, f′ (1) =n, 求f (x) .

4.f (xy) =f (x) +f (y) , 且f (1) =0, f′ (1) =a, 求f (x) .

5.f (x-y) +f (x+y) =2f (x) f (y) , 且f (0) =1, f′ (0) =0, f″ (0) =-1, 求f (x) .

6.f (x+y) = (f (x) +f (y) ) / (1-f (x) f (y) ) , f (0) =0, f′ (0) =1, 求f (x) .

现将以上6个问题一一解答:

问题1令x=y=0, 得f (0) =-a, 对f (x+y) =f (x) +f (y) +a

的两边分别关于x求导得

从以上解答结果可看出, 满足性质1的函数为线性函数, 给出不同初值, 可得不同一次函数.若f (0) =0, 则f (x) =cx.

问题2对f (x+y) =f (x) f (y) 两边分别关于x和y求导有

由结果可知, 符合性质2的函数为指数型函数, 这和指数的运算法则“ax+y=axay”在形式上是一致的.

问题3对f (xy) =f (x) f (y) 的两边分别关于x, y求导得

由上面结果可知, 若f′ (1) =a (a∈R) , x, y>0, 则f (x) =xa为幂函数, f (xy) =f (x) f (y) 与幂函数的运算法则 (xy) a=xaya在形式上是一致的.

问题4对f (xy) =f (x) f (y) 的两边关于x, y分别求导得

可看出性质4的结果为对数型函数, 当f′ (1) =1, x>0时, f (x) 为对数函数, 其形式和对数运算法则ln (xy) =lnx+lny (x, y>0) 是一致的.

问题5对f (x-y) +f (x+y) =2f (x) f (y) 两边关于x求导有

所以y=cosx, 知满足条件f′ (0) =0.

(ⅲ) 当p=±1时, f (x) =±x不合性质, 应舍去.

可以看出, 若去掉条件f′ (0) =0则 (ⅰ) 之结果也成立, 知给不同初值可得不同的函数, 并且f (x-y) +f (x+y) =2f (x) f (y) 在形式上和cos (x-y) +cos (x+y) =2cosxcosy是一致的.

问题6对f (x+y) (1-f (x) f (y) ) =f (x) +f (y) 的两边关于y求导得:

2.函数的性质及应用 篇二

函数的基本性质与函数的综合运用是高考对函数内容考查的重中之重，其中函数单调性与奇偶性是高考命题的必考内容之一，有具体函数，还会涉及抽象函数.函数单调性是函数在定义域内某个区间上的性质，函数奇偶性是函数在整个定义域上的性质.研究基本性质，不可忽略定义域对函数性质的影响.函数定义域体现了函数图像左右方向的延伸程度，而值域又表现了函数图像在上下方向上的延伸程度.对函数单调性要深入复习，深刻理解单调性定义，熟练运用单调性定义证明或判断一个函数的单调性，掌握单调区间的求法，掌握单调性与奇偶性之间的联系.掌握单调性的重要运用，如求最值、解不等式、求参数范围等，掌握抽象函数单调性的判断方法等等.要充分重视运用方程与函数、等价转换、分类讨论及数形结合等数学思想，运用分离变量方法解决函数相关问题，并围绕函数单调性分析解决函数综合问题.endprint

函数的基本性质与函数的综合运用是高考对函数内容考查的重中之重，其中函数单调性与奇偶性是高考命题的必考内容之一，有具体函数，还会涉及抽象函数.函数单调性是函数在定义域内某个区间上的性质，函数奇偶性是函数在整个定义域上的性质.研究基本性质，不可忽略定义域对函数性质的影响.函数定义域体现了函数图像左右方向的延伸程度，而值域又表现了函数图像在上下方向上的延伸程度.对函数单调性要深入复习，深刻理解单调性定义，熟练运用单调性定义证明或判断一个函数的单调性，掌握单调区间的求法，掌握单调性与奇偶性之间的联系.掌握单调性的重要运用，如求最值、解不等式、求参数范围等，掌握抽象函数单调性的判断方法等等.要充分重视运用方程与函数、等价转换、分类讨论及数形结合等数学思想，运用分离变量方法解决函数相关问题，并围绕函数单调性分析解决函数综合问题.endprint

函数的基本性质与函数的综合运用是高考对函数内容考查的重中之重，其中函数单调性与奇偶性是高考命题的必考内容之一，有具体函数，还会涉及抽象函数.函数单调性是函数在定义域内某个区间上的性质，函数奇偶性是函数在整个定义域上的性质.研究基本性质，不可忽略定义域对函数性质的影响.函数定义域体现了函数图像左右方向的延伸程度，而值域又表现了函数图像在上下方向上的延伸程度.对函数单调性要深入复习，深刻理解单调性定义，熟练运用单调性定义证明或判断一个函数的单调性，掌握单调区间的求法，掌握单调性与奇偶性之间的联系.掌握单调性的重要运用，如求最值、解不等式、求参数范围等，掌握抽象函数单调性的判断方法等等.要充分重视运用方程与函数、等价转换、分类讨论及数形结合等数学思想，运用分离变量方法解决函数相关问题，并围绕函数单调性分析解决函数综合问题.endprint

3.对数函数的性质教学反思 篇三

2.借助信息技术突出重点、突破难点

本节课的学习重点是对数函数的概念、图像和性质;学习难点是用数形结合方法从具体到一般地探索概括对数函数性质，为突出重点、突破难点，使用了以下信息技术：

◇探究对数函数概念：课上播放PPT课件，学生总结三个“观察事例”中函数解析式的共同特征，概括到的形式，从而形成概念，突出学习重点。

◇绘制对数函数图像：作图1，学生动手画图，初步感知对数函数图像，教师个别辅导，正投展示，对比分析作图结果，纠正作图错误，总结作图要点，培养学生作图基本功;作图2，设计课件，全体学生参与，自选底数绘制对数函数图像，从而加深了学生对定义的认识，增强了对图像的直观感知，突出学习重点。

◇探究对数函数性质：对数函数性质的获得，需要借助对数函数图像。设计“动手实践2”，教师运用课件的动态演示功能，验证底数取定义范围内所有值时，对数函数的性质，学生操作课件“动手实践2”，通过拖动点“”，改变底数的值，观察对数函数图像随底数的变化情况，学生的亲身体验，提高了对研究过程的参与程度，有效突破学习难点。

4.积分上限函数的性质研究 篇四

给出了积分上限函数的定义,通过对积分上限函数的.可导性、单调性、连续性、可积性的证明,进一步来探讨积分上限函数的性质,推导出几个相关定理,指出积分上限函数的应用.

作 者：蒋善利 普丰山 Jiang Shanli Pu Fengshan 作者单位：蒋善利,Jiang Shanli(漯河医学高等专科学校基础部,河南,漯河,46)

普丰山,Pu Fengshan(漯河职业技术学院基础部,河南,漯河,462002)

5.正切函数的性质与图像教案 篇五

一、教学目标

1.用单位圆中的正切线作正切函数的图象；2.用正切函数图象解决函数有关的性质；

二、课时 1课时

三、教学重点 正切函数的性质与图象的简单应用.四、教学难点 正切函数性质的深刻理解及其简单应用.五、教具

多媒体、实物投影仪

六、教学过程 导入新课

思路1.(直接导入)常见的三角函数还有正切函数,前面我们研究了正、余弦函数的图象和性质,你能否根据研究正弦函数、余弦函数的图象与性质的经验,以同样的方法研究正切函数的图象与性质？由此展开新课.思路2.先由图象开始,让学生先画正切线,然后类比正弦、余弦函数的几何作图法来画出正切函数的图象.这也是一种不错的选择,这是传统的导入法.推进新课 新知探究 提出问题

①我们通过画正弦、余弦函数图象探究了正弦、余弦函数的性质.正切函数是我们高中要学习的最后一个基本初等函数.你能运用类比的方法先探究出正切函数的性质吗？都研究函数的哪几个方面的性质？②我们学习了正弦线、余弦线、正切线.你能画出四个象限的正切线吗？③我们知道作周期函数的图象一般是先作出长度为一个周期的区间上的图象,然后向左、右扩展,这样就可以得到它在整个定义域上的图象.那么我们先选哪一个区间来研究正切函数呢？为什么？④我们用“五点法”能简捷地画出正弦、余弦函数的简图,你能画出正切函数的简图吗？

你能类比“五点法”也用几个字总结出作正切简图的方法吗？

活动:问题①,教师先引导学生回忆:正弦、余弦函数的性质是从定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性这几个方面来研究的,有了这些知识准备,然后点拨学生也从这几个方面来探究正切函数的性质.由于还没有作出正切函数图象,教师指导学生充分利用正切线的直观性.(1)周期性 由诱导公式tan(x+π)=tanx,x∈R,x≠

+kπ,k∈Z

2可知,正切函数是周期函数,周期是π.这里可通过多媒体课件演示,让学生观察由角的变化引起正切线的变化的周期性,直观理解正切函数的周期性,后面的正切函数图象作出以后,还可从图象上观察正切函数的这一周期性.(2)奇偶性 由诱导公式 tan(-x)=-tanx,x∈R,x≠

+kπ,k∈Z 2

可知,正切函数是奇函数,所以它的图象关于原点对称.教师可进一步引导学生通过图象还能发现对称点吗？与正余弦函数相对照,学生会发现正切函数也是中心对称函数,它的对称中心是(k,0)k∈Z.2(3)单调性

通过多媒体课件演示,由正切线的变化规律可以得出,正切函数在(又由正切函数的周期性可知,正切函数在开区间(22,)内是增函数,2+kπ,+kπ),k∈Z内都是增函数.2(4)定义域

根据正切函数的定义tanα=

y,显然,当角α的终边落在y轴上任意一点时,都有x=0,这时x正切函数是没有意义的；又因为终边落在y轴上的所有角可表示为kπ+数的定义域是{α|α≠kπ+

,k∈Z,所以正切函2,k∈Z},而不是{α≠+2kπ,k∈Z},这个问题不少初学者很不理解,在22解题时又很容易出错,教师应提醒学生注意这点,深刻明了其内涵本质.(5)值域

由多媒体课件演示正切线的变化规律,从正切线知,当x大于切线AT向Oy轴的负方向无限延伸;当x小于向无限延伸.因此,tanx在(2且无限接近2时,正

且无限接近时,正切线AT向Oy轴的正方2222,)内可以取任意实数,但没有最大值、最小值.因此,正切函数的值域是实数集R.问题②,教师引导学生作出正切线,并观察它的变化规律,如图1.图1

问题③,正切函数图象选用哪个区间作为代表区间更加自然呢？教师引导学生在课堂上展开充分讨论,这也体现了“教师为主导,学生为主体”的新课改理念.有的学生可能选取了［0,π］作为正切函数的周期选取,这正是学生作图的真实性的体现.此时,教师应调整计划,把课件中先作出［-,］内的图象,改为先作出［0,π］内的图象,再进行图象的平移,得到整22,)的图象为好.22+kπ(k∈Z)2个定义域内函数的图象,让学生观察思考.最后由学生来判断究竟选用哪个区间段内的函数图象既简单又能完全体现正切函数的性质,让学生通过分析得到先作区间(-这时条件成熟,教师引导学生来作正切函数的图象,如图2.根据正切函数的周期性,把图2向左、右扩展,得到正切函数y=tanx,x∈R,且x≠的图象,我们称正切曲线,如图3.图2

图3

问题④,教师引导学生观察正切曲线,点拨学生讨论思考,只需确定哪些点或线就能画出函数y=tanx,x∈(22,)的简图.学生可看出有三个点很关键:(4,-1),(0,0),（,1),还有两4条竖线.因此,画正切函数简图的方法就是:先描三点(x=4,-1),(0,0),（,1),再画两条平行线42,x=,然后连线.教师要让学生动手画一画,这对今后解题很有帮助.2讨论结果:①略.②正切线是AT.③略.④能,“三点两线”法.提出问题

①请同学们认真观察正切函数的图象特征,由数及形从正切函数的图象讨论它的性质.②设问:每个区间都是增函数,我们可以说正切函数在整个定义域内是增函数吗？请举一个例子.活动:问题①,从图中可以看出,正切曲线是被相互平行的直线x=

+kπ,k∈Z所隔开的无2穷多支曲线组成的.教师引导学生进一步思考,这点反应了它的哪一性质——定义域；并且函数图象在每个区间都无限靠近这些直线,我们可以将这些直线称之为正切函数的什么线——渐近线；从y轴方向看,上下无限延伸,得到它的哪一性质——值域为R；每隔π个单位,对应的函数值相等,得到它的哪一性质——周期π;在每个区间图象都是上升趋势,得到它的哪一性

+kπ),k∈Z,没有减区间.它的图象是关于原点对称

22k的,得到是哪一性质——奇函数.通过图象我们还能发现是中心对称,对称中心是(,0),k∈Z.2质——单调性,单调增区间是(+kπ,问题②,正切函数在每个区间上都是增函数,但我们不可以说正切函数在整个定义域内是增函数.如在区间(0,π)上就没有单调性.讨论结果:①略.②略.应用示例 略

课堂小结

6.连续函数的性质 篇六

有些函数问题, 虽说给出了具体的函数表达式, 但往往由于所给的函断表达式是由若干个基本初等函数所合成的, 因而呈现在我们面前的却是具体函数下的抽象问题, 对高中生来说的确难以解决.如果我们能有效地利用函数的有关性质, 那么所涉及的问题将会获得比较完满的解答.

例1 已知函数f (x) =sin x+5x, x∈ (-1, 1) , 且有f (1-a) +f (1-a2) <0, 求a的取值范围.

分析 本题中f (x) 的表达式在这里实质上只起到了帮助我们分析问题的一个切入点, 因为本题的实质是利用函数的单调性去脱去“f”记号, 进而得出关于“a”的不等式 (或不等式组) , 很显然f (x) 在x∈ (-1, 1) 上是奇函数和单调增函数, 由此得

$\{\begin{array}{l}-1＜1-a＜1‚\\ -1＜1-a{}^2＜1‚\\ 1-a＜a{}^2-1.\end{array}$

解得$1＜a＜\sqrt{2}.$

在这里, f (x) 的表达式是由两个具体函数y=sin x及y=5x通过“加”法而合成的, 虽说这两个具体的函数都是我们所熟知的, 但它们“加”起来之后却是我们所陌生的.于是, 从研究函数的性质入手就显得较为自然了.其实, 本题中f (x) 的表达式还可以有如下的一些形式:f (x) =4sin x+2x, x∈ (-1, 1) , f (x) =5sin x+x, x∈ (-1, 1) , 等等.

例2 (2000年全国高考试题) 函数y=-x cos x的部分图像是 ( ) .

分析 本题所给的函数解析式是由y=-x及y=cos x通过“乘”法而合成的, 并不要求画出函数y=-x cos x的图像 (其实也很难画出) , 只需由解析式研究它的图像的有关性质即可, 不难判断所给函数是奇函数, 那么它的图像必关于原点对称, 这样便可以把A, C选项排除.当自变量x取比零稍大的数值时, y<0, 于是可将B项排除而选D项.本题是从数形结合的角度来考查研究函数的一般方法, 在这里, 函数y=-x cos x的解析式实质上只是研究函数性质的一个载体, 如果我们将其表示成:y=-3x cos x, y=-x cos 2x, y=-x2sin x, 等等, 也具有相应的功能.

例3 函数f (x) 的部分图像如图1所示, 则函数f (x) 的解析式可以是 () .

分析 本题为“看图说话”, f (x) 的部分图像是我们所不熟悉的, 而题目提供的4个选择支是由我们所熟悉的一些基本的初等函数通过基本的“加”“乘”等运算而合成的, 合成后的函数图像是我们所陌生的, 因而, 其问题是抽象的, 所以必须从所给的“图”中“读”出函数f (x) 是所给定义域 (其定义域中应包含0元素) 上的奇函数, 从而可排除B和D两个选择支, 再由$f\left(\frac{\text{π}}{2}\right)=0$ (或其它零点) 进而又排除A, 故选C.在这里答案当然也可以是其它形如f (x) =2xcos x等形式.

例4 设定义域为R的函数

$f(x)=\{\begin{array}{l}\frac{1}{|x-1|}(x\ne 1)‚\\ 1(x=1)‚\end{array}$

若关于x的方程f2 (x) +bf (x) +c=0有3个不同的实数解x1, x2, x3, 则x${}_1^2$+x${}_2^2$+x${}_3^2$等于 ( ) .

$(\text{A})5(\text{B})\frac{2b{}^2+2}{b{}^2}(\text{C})13(\text{D})\frac{3c{}^2+2}{c{}^2}$

分析 本题的函数图像是熟悉的 (即将函数

$f(x)=\{\begin{array}{l}\frac{1}{|x|}(x\ne 1)‚\\ 1(x=1)\end{array}$

的图像向右平移1个单位而得到, 如图2所示) , 所给方程f2 (x) +bf (x) +c=0 (*) 是不确定的, 因而涉及的问题是抽象的.本题的关键在于正确地“读懂”题意, 即正确理解“关于x的方程 (*) 有3个不同的实数解”的真正含义, 由题意及函数图像的对称性可知关于f (x) 的一元二次方程 (*) 有且只有1个正根f (x) =1, 进而可知关于x的方程f2 (x) +bf (x) +c=0有3个不同的实数解分别是0, 1, 2, 所以x${}_1^2$+x${}_2^2$+x${}_3^2$=5, 故选A.

变式 设定义域为R的函数

$f(x)=\{\begin{array}{l}\lg |x-1|(x\ne 1)‚\\ 1(x=1)‚\end{array}$

若关于x的方程f2 (x) +bf (x) +c=0有3个不同的实数解x1, x2, x3, 则x1+x2+x3等于___.

例5 已知函数f (x) =x·sin x的图像是图3, 4中的一个, 请你选择后再根据图像作出下面的判断:若$x{}_1‚x{}_2\in \left(-\frac{\text{π}}{2}‚\frac{\text{π}}{2}\right)$且f (x1) <f (x2) , 则 ( ) .

(A) x1>x2 (B) x1+x2>0

(C) x1<x2 (D) x${}_1^2$<x${}_2^2$

分析 本题的函数是由我们所熟知的正比例函数与正弦函数相“乘”而合成的, 但其图像却是我们所陌生的, 因而所涉及的问题是抽象的.题目首先要求我们根据所给的图像去选择一个作为函数f (x) =x·sin x的图像, 然后去判断相关的问题, 那么, 如何去“选择”呢?应根据函数f (x) =x·sin x的性质来选择.很显然, 该函数是R上的偶函数, 其图像关于y轴对称, 从而其图像是图4, 故当$x{}_1‚x{}_2\in \left(-\frac{\text{π}}{2}‚\frac{\text{π}}{2}\right)$时, 根据函数是偶函数得:f (x1) <f (x2) ⇔f (|x1|) <f (|x2|) .又易知f (x) =x·sin x在$\left[0‚\frac{\text{π}}{2}\right]$上为增函数, 所以原不等式等价于|x1|<|x2|⇔x${}_1^2$<x${}_2^2$, 从而选D.

本题很容易得到如下一些变式题:

变式1 已知函数f (x) =x·sin x, 若A, B是锐角三角形的两个内角, 则 ( ) .

(A) f (-sin A) >f (-sin B)

(B) f (cos A) >f (cos B)

(C) f (-cos A) >f (-sin B)

(D) f (cos A) <f (sin B)

变式2 已知函数f (x) =x, g (x) 是定义在R上的偶函数, 当x>0时, g (x) =ln x, 则函数y=

f (x) ·g (x) 的大致图像为 ( ) .

例6 函数$f(x)=\frac{\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\text{π}}{4}\right)+2x{}^2+x}{2x{}^2+\cos x}$的最大值为M, 最小值为m, 则M+m=___.

分析 本题的函数形式比较复杂, 需作整体变形:$f(x)-1=\frac{\sin x+x}{2x{}^2+\cos x}$.令$g(x)=f(x)-1=\frac{\sin x+x}{2x{}^2+\cos x}$, 由函数f (x) 的最大值为M, 最小值为m, 可知g (x) 亦有最大值为M-1和最小值为m-1, 易知g (x) 为奇函数, 于是 (M-1) + (m-1) =0, 进而M+m=2.

以上几例说明利用函数的性质去解决具体函数下的抽象问题, 可以让我们收到意想不到的效果.

7.函数基本性质的突破大全 篇七

1． 函数的单调性

2． 单调区间的求法及表示

单调区间的求法：定义法、导数法、图象法、复合函数法．

函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以在求解函数的单调区间时，必须先求出函数的定义域． 单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结．

3． 函数奇偶性的判断

1． 函数性质是一个系统，在复习中应注意梳理、归纳，但不必一步到位，在后续章节如数列、导数、三角函数等复习中可作进一步渗透．

2． 在解决函数单调性问题时，注意对定义的正用、逆用，可结合图象对不连续函数进行适当研究．

3． 在解决函数奇偶性问题时，注意要先判断定义域，了解奇函数与f（0）=0的关系．

4． 函数周期性主要是在三角函数中作研究，但本部分注意对周期性定义的理解，以及在抽象函数中的简单应用．

5． 函数性质与函数图象密切相关，由性质可以作图，同时由图可观察性质，复习时需加强对数形结合思想的渗透，提高分析问题的能力．

8.《对数函数的图像与性质》教案 篇八

(学生1)利用互为反函数的两个函数图像之间的关系，利用图像变换法画图.

(学生2)用列表描点法也是可以的。

请学生从中上述方法中选出一种，大家最终确定用图像变换法画图.

(师)由于指数函数的图像按 和 分成两种不同的类型，故对数函数的图像也应以1为分界线分成两种情况 和 ，并分别以 和 为例画图.

具体操作时，要求学生做到：

(1) 指数函数 和 的图像要尽量准确(关键点的位置，图像的变化趋势等).

(2) 画出直线 .

(3) 的图像在翻折时先将特殊点 对称点 找到，变化趋势由靠近轴对称为逐渐靠近轴，而 的图像在翻折时可提示学生分两段翻折，在 左侧的先翻，然后再翻在 右侧的部分.

学生在笔记本完成具体操作，教师在学生完成后将关键步骤在黑板上演示一遍，画出

和 的图像.(此时同底的指数函数和对数函数画在同一坐标系内)如图：

教师画完图后再利用电脑将 和 的图像画在同一坐标系内，如图：

然后提出让学生根据图像说出对数函数的性质(要求从几何与代数两个角度说明)

3. 性质

(1) 定义域：

(2) 值域：

由以上两条可说明图像位于 轴的右侧.

(3)图像恒过(1,0)

(4) 奇偶性：既不是奇函数也不是偶函数，即它不关于原点对称，也不关于 轴对称.

(5) 单调性：与 有关.当 时，在 上是增函数.即图像是上升的

当 时，在 上是减函数，即图像是下降的.

之后可以追问学生有没有最大值和最小值，当得到否定答案时，可以再问能否看待何时函数值为正?学生看着图可以答出应有两种情况：

当 时，有 ;当 时，有 .

学生回答后教师可指导学生巧记这个结论的方法：当底数与真数在1的同侧时函数值为正，当底数与真数在1的两侧时，函数值为负，并把它当作第(6)条性质板书记下来.

最后教师在总结时，强调记住性质的关键在于要脑中有图.且应将其性质与指数函数的性质对比记忆.(特别强调它们单调性的一致性)

对图像和性质有了一定的了解后，一起来看看它们的应用.

(三).简单应用

1. 研究相关函数的性质

例1. 求下列函数的定义域：

(1) (2) (3)

先由学生依次列出相应的不等式，其中特别要注意对数中真数和底数的条件限制.

2. 利用单调性比较大小

例2. 比较下列各组数的大小

(1) 与 ; (2) 与 ;

(3) 与 ; (4) 与 .

让学生先说出各组数的特征即它们的底数相同，故可以构造对数函数利用单调性来比大小.最后让学生以其中一组为例写出详细的比较过程.

三.拓展练习

练习：若 ，求 的取值范围.

四.小结及作业

案例反思：

9.《对数函数的图像与性质》说课稿 篇九

1、教材的地位和作用

函数是高中数学的核心，而对数函数是高中阶段所要研究的重要的基本函数之一．本节内容是在学生已经学过指数函数、对数及反函数的基础上引入的，因此既是对上述知识的应用，也是对函数这一重要数学思想的进一步认识与理解．对数函数在生产、生活实践中都有许多应用．本节课的学习使学生的知识体系更加完整、系统，为学生今后进一步学习对数等提供了必要的基础知识．

2、教学目标的确定及依据

根据教学大纲要求，结合教材，考虑到学生已有的认知结构心理特征，我制定了如下的教学目标：

(1)知识目标：掌握对数函数的图像与性质；初步学会用

对数函数的性质解决简单的问题．

(2)能力目标：渗透类比、数形结合、分类讨论等数学思想方法，培养学生观察、分析、归纳等逻辑思维能力．

(3)情感目标：构造和谐的教学氛围，增加互动，促进师生情感交流，培养学生严谨的科学态度，欣赏数学的精确和美妙之处，调动学生学习数学的积极性．

3、教学重点与难点

重点：对数函数的图像与性质．

难点：对数函数性质中对于在《对数函数的图像与性质》说课稿与《对数函数的图像与性质》说课稿两种情况函数值的不同变化．

二、说教法

学生在整个教学过程中始终是认知的主体和发展的主体，教师作为学生学习的指导者，应充分地调动学生学习的积极性和主动性，有效地渗透数学思想方法．根据这样的原则和所要完成的教学目标，对于本节课我主要考虑了以下两个方面：

1、教学方法：

(1)启发引导学生观察、联想、思考、分析、归纳；

(2)采用“从特殊到一般”、“从具体到抽象”的方法；

(3)渗透数形结合、分类讨论等数学思想方法．

(4)用探究性教学、提问式教学和分层教学

2、教学手段：

计算机多媒体辅助教学．

三、说学法

“授之以鱼，不如授之以渔”，方法的掌握，思想的形成，才能使学生受益终身．本节课注重调动学生积极思考、主动探索，尽可能地增加学生参与教学活动的时间和空间，我进行了以下学法指导：

(1)探究定向性学习：学生在教师建立的情境下，通过思考、分析、操作、探索，归纳得出对数函数的图像与性质。

(2)主动式学习：学生自己归纳得出对数函数的图像与性质。

四、说教程

1、温故知新

我通过复习y＝log2x和y＝log0.5x的图像，让学生熟悉两个具体的对数函数的图像。

设计意图：这与本节内容有密切关系，有利于引出新课．为学生理解新知清除了障碍，有意识地培养学生分析问题的能力．

2、探求新知

研究对数函数的图像与性质．关键是学生自主的对函数《对数函数的图像与性质》说课稿和《对数函数的图像与性质》说课稿的图像分析归纳，引导学生填写表格(该表格一列填有《对数函数的图像与性质》说课稿在《对数函数的图像与性质》说课稿及《对数函数的图像与性质》说课稿两种情况下的图像与性质)，采用“从特殊到一般”、“从具体到抽象”的方法，归纳总结出《对数函数的图像与性质》说课稿的图像与性质．

在学生得出对数函数的图像和性质后，教师再加以升华，强调“数形结合”记忆其性质,做到“心中有图”．另外，对于对数函数的性质3和性质4在用多媒体演示时,有意识地用(1)(2)进行分类表示,培养学生的分类意识．

设计意图：教师建立了一个有助于学生进行独立探究的情境，学生通过观察、联想、思考、分析、探索，在此过程中，这充分体现了探究定向性学习和主动合作式学习．

3、课堂研究，巩固应用

例1主要利用对数函数《对数函数的图像与性质》说课稿的定义域是《对数函数的图像与性质》说课稿来求解．

例2利用对数函数的单调性，比较两个同底对数值的大小．在这个例题中，注意第三小题的点拨，选择和中间量0或1比较，第四小题要分底数《对数函数的图像与性质》说课稿及《对数函数的图像与性质》说课稿两种情况．

例3 解对数不等式，实际是例2的一种逆向运算，已知对数值的大小，比较真数，任然要使用对数函数的单调性。

设计意图：通过这个环节学生可以加深对本节知识的理解和运用，在此过程中充

分体现了数形结合和分类讨论的数学思想方法．同时为课外研究题的解决提供了必要条件,为学生今后进一步学习对数不等式埋下伏笔．

4、巩固练习

使学生学会知识的迁移,两个练习紧扣本节内容，利用课堂研究中体现的重要的数形结合和分类讨论的数学思想方法，学生课后完全有能力解决这个问题．

5、课堂小结

引导学生进行知识回顾，使学生对本节课有一个整体把握．从两方面进行小结：

(1)掌握对数函数的图像与性质，体会数形结合的思想方法；

(2)会利用对数函数的性质比较两个同底对数值的大小，初步学会对数不等式的解法，体会分类讨论的思想方法．

6、作业：p97习题3，4，5

选做题 6题

《对数函数的图像与性质》说课稿2

一、说教材

1、教材的地位和作用

函数是高中数学的核心，而对数函数是高中阶段所要研究的重要的基本初等函数之一.本节内容是在学生已经学过指数函数、对数及反函数的基础上引入的，因此既是对上述知识的应用，也是对函数这一重要数学思想的进一步认识与理解.对数函数在生产、生活实践中都有许多应用.本节课的学习使学生的知识体系更加完整、系统，为学生今后进一步学习对数方程、对数不等式等提供了必要的基础知识.2、教学目标的确定及依据

根据教学大纲要求，结合教材，考虑到学生已有的认知结构心理特征，我制定了如下的教学目标：

(1)知识目标：理解对数函数的意义;掌握对数函数的图像与性质;初步学会用对数函数的性质解决简单的问题.(2)能力目标：渗透类比、数形结合、分类讨论等数学思想方法，培养学生观察、分析、归纳等逻辑思维能力.(3)情感目标：通过指数函数和对数函数在图像与性质上的对比，使学生欣赏数学的精确和美妙之处，调动学生学习数学的积极性.3、教学重点与难点

重点：对数函数的意义、图像与性质.难点：对数函数性质中对于在a>1与0

二、说教法

学生在整个教学过程中始终是认知的主体和发展的主体，教师作为学生学习的指导者，应充分地调动学生学习的积极性和主动性，有效地渗透数学思想方法.根据这样的原则和所要完成的教学目标，对于本节课我主要考虑了以下两个方面：

1、教学方法：

(1)启发引导学生实验、观察、联想、思考、分析、归纳;

(2)采用“从特殊到一般”、“从具体到抽象”的方法;

(3)渗透类比、数形结合、分类讨论等数学思想方法.2、教学手段：

计算机多媒体辅助教学.三、说学法

“授之以鱼，不如授之以渔”，方法的掌握，思想的形成，才能使学生受益终身.本节课注重调动学生积极思考、主动探索，尽可能地增加学生参与教学活动的时间和空间，我进行了以下学法指导：

(1)类比学习：与指数函数类比学习对数函数的图像与性质.(2)探究定向性学习：学生在教师建立的情境下，通过思考、分析、操作、探索，归纳得出对数函数的图像与性质.(3)主动合作式学习：学生在归纳得出对数函数的图像与性质时，通过小组讨论，使问题得以圆满解决.

《对数函数的图像与性质》说课稿3

一、说教材：

1。教材的内容、地位及编排依据

［内容、地位］本节教材内容主要研究： ⑴对数函数的图象及其基本性质;⑵利用对数函数的图象及其性质来解决一些与对数有关的问题。这节教学内容是在学生学过函数的基本性质、指数、指数函数以及对数的基础上再来学习的，可以说它是上述内容的延续和发展，同时也为数学在实际应用中提供了一种新的`函数模型。因此本节内容起到了一种承上启下的作用。

［编排依据］主要是从学生获取知识遵循“从特殊到一般，由浅入深，由易到难，循序渐进”的原则出发，符合学生的认知水平和接受能力。

2。教学目标的确定和确定目标的依据

根据对数函数及其相关知识历来在高考中的地位以及新课程标准的要求、学生的认知水平，确定教学目标如下：

（1）知识目标：使学生理解对数函数的定义并了解其图象的特点；

（2）能力目标：培养学生动手操作的能力以及自主探究数学问题的素养；

（3）德育目标：培养学生勇于探索和创新的精神以及优化他们的个性品质；

（4）情感目标：构造和谐的教学氛围，增加互动，促进师生情感交流。

3。教学的重点、难点、关键： ［重点］掌握对数函数的概念及其图象，使学生能初步自觉地、有意识地利用图象研究对数函数的性质。［难点］理解和掌握对数函数的概念，图象特征，区分01和a1不同条件下的性质。［关键］认识底数a与对数函数图象之间的关系。

二、说教法与学法

教法：1、为了培养学生自主学习的能力以及使得不同层次的学生都能获得相应的满足。因此本节课采用探究性教学、提问式教学和分层教学。2、根据本节课的特点也为了给学生的数学探究与数学思维提供支持，同时也为了培养学生的动手操作能力，所以采用计算机辅助教学，以突出重点和突破难点。

学法：为了发挥学生的主观能动性，提高学生的综合能力，确定了三种学法：

（1）自主性学习法：根据作图的常规方法画出对数函数的图象；

（2）探究性学习法：通过分析、探索得出对数函数的性质；

（3）巩固反馈法：检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其差距。

三、采用教具：

多媒体辅助教学

1通过flash软件直观的呈现出对数函数的图象，使学生对其有丰富的感性认识；

2为学生展现自己的才华提供了平台。

四、说教学程序

1、导入新课：

由2。2。1的例题6（即考古学家是如何估算出土文物或古遗址的年代）引入，让学生利用计算器计算并填写下表。略

【《对数函数的图像与性质》说课稿】相关文章：

1.对数函数及其图像与性质试题

2.对数函数的图像和性质说课稿

3.《对数函数及其性质》说课稿

4.对数函数的图像与性质优秀说课稿模板

5.《对数函数的图像与性质》的说课稿范文

6.《对数函数的图像与性质》教案

7.对数函数性质测试题

8.《对数函数的性质》教学反思

10.二次函数的图象和性质 篇十

对二次函数图象与性质的考查一直是中考命题的传统题目，解决此类问题的方法是数形结合，这也是解决函数问题极为重要的方法。

1.图象的识别

【例1】 （2006 福州）已知实数s、t满足s2+s-2006=0，t2+t-2006=0，那么，二次函数y=x2+x-2006的图象大致是（ ）。

【分析】 依题意得s、t是方程x2+x-2006=0的两实根，由求根公式可得两根一正一负，故可能是A、B.又x=-b[]2a=-1[]2×1=-1[]2<0，∴抛物线对称轴在y轴的左侧。

解：B.

【小结】 这是一道结合一元二次方程考查二次函数图象和性质的试题。二次函数y＝ax2＋bx＋c中，当y＝0时，即为一元二次方程，如果此方程有两不同实根，则二次函数图象与x轴有两个交点。

【例2】 已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，OA=OC，则由抛物线的特征写出如下含有a、b、c三个字母的等式或不等式：①4ac-b2[]4a=-1；②ac+b+1=0；③abc>0；④a-b+c>0.

正确的序号是.

【分析】 从图象中易知a>0，b<0，c<0，③正确；抛物线顶点纵坐标为-1，∴ ①对；当x=-1时y=a-b+c，由图象知（-1，a-b+c）在第二象限，∴ a-b+c>0，④正确；设C（0，c），则OC=|c|，∵ OA=OC=|c|，∴ A（c，0）代入抛物线得ac2+bc+c=0，又c≠0，∴ac+b+1=0，故②正确。

解：正确的序号为①②③④.

【小结】 我们研究二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的时候，首先要明白二次函数图象与x、y轴的交点坐标以及顶点坐标、对称轴与系数a、b、c的关系。

【例3】 （2006 武汉）已知抛物线y=ax2+bx+c（a>0）的对称轴为直线x=-1，与x轴的一个交点为（x1，0），且00；②b＜c；③3a+c>0，其中正确结论两个数是（ ）.

【分析】 这是一道没给图象的题，由已知条件可以大致画出如下图所示的图象，∵ 00正确；∵-b[]2a=-1，∴ b=2a，∴ b-a=2a-a=a>0.∴ b>a>c，故②不正确；把b=2a代入a+b+c>0得3a+c>0， ∴ ③正确；故答案为2个.

【小结】 将“数”转达化为“形”是本题的难点，将等量与不等量有机的结合是解决本题的关键。

2.性质的应用

【例4】 （2006 山东枣庄）已知关于x的二次函数y=x2-mx+m2+1[]2与y=x2-mx-m2+2[]2，这两个二次函数的图象中的一条与x轴交于A、B两个不同的点。

（1）试判断哪个二次函数的图象经过A、B两点；

（2）若A点坐标为（-1，0），试求B点坐标；

（3）在（2）的条件下，对于经过A、B两点的二次函数，当x取何值时，y的值随x值的增大而减小？

【分析】 解第（1）问时用b2-4ac是否大于0即可判断；解（2）时把A点坐标代入第（1）问求出的结果即可；解（3）时根据对称轴和开口方向可以判断。

解：（1）对于关于x的二次函数y=x2-mx+m2+1[]2，b2-4ac=(-m)2-4×1×m2+1[]2=-m2-2<0，

∴ 此函数的图象与x轴没有交点。

对于关于x的二次函数y=x2-mx-m2+2[]2,b2-4ac=(-m)2-4×1×(-m2+2[]2)=3m2+4>0，

∴ 此函数的图象与x轴有两个不同的交点，故图象经过A、B两点的二次函数为：y=x2-mx-m2+2[]2

（2）将A（-1，0）代入y=x2-mx-m2+2[]2得1+m-m2+2[]2=0，整理得m2-2m=0，∴ m=0或m=2.

当m=0，y=x2-1， 令y=0，x2-1=0，解得x1=-1，x2=1，

此时B点的坐标是（1，0）.

当m=2，y=x2-2x-3， 令y=0，x2-2x-3=0，解得x1=-1，x2=3，

此时B点的坐标是（3，0）.

（3）当m=0，y=x2-1，抛物线开口向上，对称轴为x=0，

∴ 当x<0时，y随x的增大而减小.

当m=2，y=x2-2x-3=（x-1）2-4，抛物线的开口向上，对称轴为x=1，

∴ 当x<1时，y随x的增大而减小。

11.凸函数的性质与应用 篇十一

凸函数是一类非常重要的函数, 广泛应用于数学规划、控制论等领域, 它在判定函数的极值、研究函数的图像以及证明不等式诸方面都有广泛的应用.

2. 凸函数的定义

我们首先给出凸函数的定义.

定义设f (x) 为定义在区间I上的函数, 若对I上的任意两点x1, x2和任意实数λ∈ (0, 1) 总有f (λx1+ (1-λ) x2) ≤λf (x1) + (1-λ) f (x2) , 则称f (x) 为I上的凸函数.

3. 凸函数的几个简单性质

性质1若f (x) 为区间I上的可导函数, 且f (x) 为I上的凸函数, 则f' (x) 为I上的增函数.

证明任取两点x1, x2 (x1

由于f (x) 是可导函数, 令h→0+时可得, 所以f' (x) 是增函数.

性质2若f (x) 为区间I上的二阶可导函数, 且f (x) 为I上的凸函数, 则f″ (x) ≥0.

证明由性质2得, 若f (x) 为I上的凸函数, 则f' (x) 为I上的增函数, 由此可得, 对任意x0∈I, 当x≠x0时, 有0, 令x→x0, 即得f″ (x0) ≥0.

因为x0是任意的, 所以有f″ (x) ≥0成立.

性质3若f (x) 在[a, b]为凸函数, 则f (x) 在[a, b]上连续.

证明任取x∈ (a, b) , 取δ充分小, 使x+δ∈ (a, b) , 由性质1得, 当δ>0时,

当δ<0时,

故f (x+δ) -f (x) →0, (δ→0) .所以f (x) 在[a, b]上连续.

性质4若f (x) 在[a, b]为凸函数, 则f (x) 在[a, b]上连续.

证明任取x∈ (a, b) , 取δ充分小, 使x+δ∈ (a, b) , 由性质1得

故f (x+δ) -f (x) →0, (δ→0) .所以f (x) 在[a, b]上连续.

4. 凸函数的应用

在许多问题证明中, 我们常常遇到一些不等式的证明, 其中一类不等式利用凸函数的性质来证明可以非常简洁、巧妙.

例1若x>0, y>0, 求证:x+y≥2槡xy. (均值不等式)

证明令, 它在 (0, +∞) 上是凹函数, 任取x, y∈ (0, +∞) , 由凹函数的定义, 则有

证明设f (x) =ex, 因f″ (x) =ex>0, 所以f (x) 是严格凸函数.

由凸函数的定义可知

例3证明younger不等式:xαyβ≤αx+βy (x, y, α, β均为正数, α+β=1) .

证明令f (x) =ln (x) , 则, f (x) 为凹函数, 从而ln (αx+βy) ≥αlnx+βlny=ln (xαyβ) .

参考文献

[1]郑维行, 王声望.实变函数与泛函分析概要[M].北京:人民教育出版社, 1980.

[2]同济大学应用数学系.高等数学 (第五版) [M].北京:高等教育出版社, 2002.

12.一次函数的性质评课 篇十二

马老师的这节课，设计的思路符合学生的认知特点,注重师生的双向互动，能充分发挥学生的主体作用，让学生在自己动手操作中发现规律，通过学生自主学习，小组合作交流，亲自动手实践，教师适时引导点拨，归纳出一次函数的图象和性质，并通过课后练习进行巩固，符合学生的认知规律，使课堂知识得到及时巩固。

对照教学目标，本节课的优点主要有：

1、重视学生活动，关注个性发展，在本节教学中，根据课堂设计活动，充分利用多媒体几何画板的强大功能、通过学生自己观察、进行自主学习和合作交流，教师适时进行点拨，生生互动、师生互动等方法，极大的激发了学生学习的积极性和主动性，满足了学生的表现欲和探究欲，使学生学得轻松偷快达到心灵的沟通与精神的交融。

2、注重知识形成的探索过程。马老师并没有将性质的结论直接告诉学生，而是不断的让学生在自我探索的过程中发现新知。这一节课从学生己有的正比例函数的图像和性质出发，通过设计在同一坐标系内作出正比例函数和一次函数的图像，类比正比例函数的性质，探究一次函数的性质。在整堂课的教学活动中充分体现学生的主体性。马老师善于向学生提供充分参与数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能，培养学生动手、动口、动脑的能力和学生的合作交流能力。

3、注重学生的自我反思。学生学习的收获不仅有基本知识与

技能，还有过程与方法，以及情感、态度和价值观。课堂小结的设计，意在使学生学会归纳和反思，培养学生的归纳能力和自我反思意识。

本堂课的不足之处：

1、本节课课堂上留给学生做练习的时间有些少。需要压缩前几个活动时间，保证足够的做题时间。

2、系数Ｋ对两条直线位置关系的影响挖掘不够。应进行补充：K相等时，两条直线平行，K不相等时两条直线相交。

3、板书设计不够规范合理，知识点的呈现缺乏条理性和准确性。总之，马老师的这节课优点很多，反映出他作为一线的年轻教师，善于钻研教材、研究学生，通过各种方式调动学生的积极性和主动性，在整堂课的教学活动中充分体现学生的主体地位和教师的主导作用。

《一次函数的性质》评课稿

宛城区茶庵乡一中：崔敬欣

《一次函数的实际应用》评课稿

13.正弦函数的图象及性质教学反思 篇十三

一、对教学设计的反思。

教学设计过程中真正考虑学生的实际情况，对教材的内容及教学顺序进行了大胆地调整，真正做到因材施教。同时征求科组老师的意见，探讨教学设计的合理性以及实用性。但通过实际的教学发现自己对教材知识整体感知把握不够，设计上存在一些不足，比如：知识的有效性建构方面有待提高;设计中，没有考虑对学生知识的实际应用和学生口语交际能力的培养，在以后的教学设计中应渗入“小组合作学习”的模式，注重课堂知识的生成和学生表达能力的培养，与新课标接轨。

二、对教学过程的反思。

1、课堂导入中，教师与学生共同探讨生活中的波浪现象，让学生对正弦曲线产生感性上的认识，体现出数学来源于生活，服务于生活的理念。基于学生的生活经验不足，自信心不足，导致在导入时占用较长的时间，教师没有能真正与学生互动起来，因此，日后应多培养学生用数学语言表达的能力。

2、概念、图象部分。学生通过自学概念后，教师列举几种函数模型，检查学生是否对概念有正确地理解，如： ， ， 等。这样通过反例，学生的思维受到一定冲击，激发他们去探索、思考。另外，教师引导学生观察正弦函数的特征，让他们理解得更深入。当学生理解完概念后，教师暗示学生本节课的重难点，认识函数 的图象和能根据图象归纳出其性质，考虑到学生的数学基础薄弱，对于作出 的图象利用正弦线法和五个关键点作图，教师选择了五个关键点作图法，这样学生理解起来更容易，(强调学生一定要用圆滑的曲线把5个关键点连接起来)。在实际的教学中，指导学生在讲义上作图，列表——描点——连线，让每个学生都参与到课堂中去，充分调动学生的积极性，而本节课的难点在于——学生能否利用诱导公式： 作出 在 ， 等区间上的图象，依次类推，描绘出整条正弦曲线。这种由特殊到一般，由结论到实例的直线型思维模式，一反数学的严格推理论证模式，由浅入深，使我们的学生在思维上易于理解与接受。

3、对函数 性质教学。教师引导学生根据图象归纳出 的定义域、值域、，以及奇偶性。在重难点知识上，如 性质归纳上讲得不够深入，时间安排不足，应避免课堂教学过于追求“形式”。

总体来说，本节课气氛活跃，互动性强，充分调动学生的积极性，认真梳理好讲解的顺序，学生能够体会到数学的.奥秘。利用FLASH技术制作的课件，增加本节课的技术含量及新鲜感，适当弥补课堂上的不足。动画演示作图过程中，大大吸引了学生的注意力。

4、课堂练习反思。“讲练相结合法”是数学常用的方法之一，典型例题和巩固性练习相互交替，学生上台板演到邀请基础好的学生上台作评析等等环节都充分发挥学生的主体性，注重师生互动。根据学生所反馈的.信息，及时调整教学过程，使学生“听得懂，学得会”。在课后练习部分处理地较灵活，采用了阶梯式法，让各层次的学生都能根据自己的基础，完成教师布置的作业，如：让基础好的学生，模拟 的作图过程，作出y=cosx的简图，并试图归纳出其性质，课堂练习处理应采用多种方式。学生在练习时，留给他们思考时间不足，一定程度上抑制了他们的创造性。

5、课后小结的反思。考虑到学生的学情和时间的安排，将 的其余性质留到下次课讲解，并让全班同学一起回顾本节课的知识点，教师起到画龙点精的作用，这是考虑到课堂资源应该是生成的，应使学生由客体变为主体，使之积极地、目的明确地、主动热情地参与到教学活动中来。但教师引导学生小结的形式过于单一，只是对本节课重难点进行简单回顾，没有顾及到学生真正学会了什么?有哪些没有掌握的?

注：小结的形式①概括式小结②问题式小结③对比式小结④互动性小结

三、对教学效果的反思。

教学效果依赖于课堂中各种资源，其中最重要是教师的方法，虽然教无定法，但贵在得法，良好教学效果的形成是学生和教师思维同步的结果，所以课堂过程中时刻关注学生的学习动态相当重要，自己在这堂课上并没有完全顾及到学生的动态，感觉自己的思维与学生的思维进度不够协调，但由于采用生动形象的动画演示，使得本次公开课效果较好。

14.连续函数的性质 篇十四

一般地, 函数y=f (x) 的图像和它的反函数y=f-1 (x) 的图像关于直线y=x对称, 并且y=f (x) 与y=f-1 (x) 具有相同的单调性.因此, 利用这一特征, 在解决函数y=f (x) 与函数y=f-1 (x) 的交点问题时, 常将问题转化, 使解题过程得以简化.

性质1 单调增函数与其反函数若有交点, 则交点必在直线y=x上.

证明 用反证法.

假设函数y=f (x) 与其反函数y=f-1 (x) 存在不在y=x上的交点A (a, b) , 由互为反函数图像性质, B (b, a) 也为y=f (x) 与y=f′ (x) 的交点.

不妨设点A (a, b) 在y=x的左上方, 则a<b=f (a) , B (b, a) 在直线y=x的右下方, 且b>a=f (b) .故有a>b时f (b) >f (a) , 即y=f (x) 为单调减函数.这与y=f (x) 单调递增矛盾, 假设不成立.

所以单调递增函数与其反函数若有交点, 则交点必在直线y=x上.

例1 解方程$\sqrt{2x+3}=\frac{x{}^2-3}{2}.$

解 令$y=\sqrt{2x+3}$, 则$x=\frac{x{}^2-3}{2}‚$

∴其反函数为$y=\frac{x{}^2-3}{2}.$

∵原方程的解为函数$y=\sqrt{2x+3}$与其反函数$y=\frac{x{}^2-3}{2}$的交点横坐标,

又$f(x)=\sqrt{2x+3}$的定义域是$\left[-\frac{3}{2}‚+\infty \right)$,

则函数$\sqrt{2x+3}=\frac{x{}^2-3}{2}$可转化为

∴x=3或x=-1.经检验x=3是原方程的根.

例析 利用这种方法对方程的求解达到最简化, 但必须注意的是y=f (x) 必为增函数, 否则不成立.

性质2 单调减函数与其反函数若有交点, 则交点在直线y=x上或交点关于直线y=x对称.

例2 求y=-x3与$y=-\sqrt[3]{x}$的交点.

解 ∵y=-x3与$y=-\sqrt[3]{x}$的交点横坐标为方程$-x{}^3=-\sqrt[3]{x}$的根, 因此若设-x3=x, 得x=0, 交点为 (0, 0) .

事实上, $-x{}^3=-\sqrt[3]{x}$的根为x=0或x=±1.

∴交点为 (-1, 1) , (0, 0) , (1, -1) .显然二者不一样.

究其原因是函数y=-x3为R上的减函数造成.

由上可知, 求函数y=f (x) 与其反函数的交点 (或相关) 问题时, 我们首先判断函数y=f (x) 的单调性, 若为增函数时, 可将原题简化为求f (x) =x的根来确定交点的横坐标, 从而简化计算过程.

参考文献

[1]赵树嫄.线性代数[M].北京:中国人民大学出版社, 2005.

15.对数函数及其性质的应用探讨研究 篇十五

摘 要：理解对数函数的概念和意义，掌握对数函数定义域、值域的求法，能画出具体对数函数图像，并能根据对数函数的图像说明对数函数的性质，掌握对数函数的单调性，会进行同底对数和不同底对数大小的比较。通过指数函数、对数函数的学习，加深理解分类讨论、数形结合这两种重要数学思想的意义和作用。

关键词：对数函数；性质；图像

探究一：对数函数有关的定义域、值域

例1.求下列函数的定义域

方法归纳：

1.求与对数函数有关的函数定义域时应遵循的原则：分母不能为0，根指数为偶数时，被开方数非负，对数的真数大于0，底数大于0且不为1。

2.求函数定义域的步骤：列出使函数有意义的不等式组，化简并解出自变量的取值范围，确定函数的定义域。

（3）函数y=2+log2x（x≥1）的值域为（C）

A.（2，+∞） B.（-∞，2） C.[2，+∞） D.[3，+∞）

方法点拨：可以直接利用对数函数的单调性求出函数的值域，也可以借助对数函数的图像求出函数的值域，更加直观、形象。

探究二：對数型函数单调性的应用（重点）

例2.比较下列各组对数值的大小

方法归纳：

对数值大小的比较方法有：

1.如果底数相同，真数不同，直接利用同一个对数函数的单调性来比较大小，如果底数为字母，则要分类讨论。

2.如果底数不同，真数相同，可以利用图像的高低与底数的大小关系解决，或利用换底公式化为同底的再进行比较。

3.若底数、真数都不相同，则常借助中间量1，0，-1等进行比较。

例3.复合函数单调性的判断及应用

方法点拨：

求复合函数单调区间的步骤：

1.求出函数的定义域。

2.将复合函数分解为基本初等函数。

3.确定各基本初等函数的单调性及单调区间。

4.根据复合函数单调性的判断方法求原函数的单调区间。

例4.利用函数单调性求函数值域

函数y=logax（a>0，且a≠1）在[2，4]上的最大值与最小值的差是1，求a的值。

方法点拨：

通过对底数a的讨论来确定此对数函数的单调性，进而可以确定究竟在区间的哪个端点处分别取得最大值和最小值，列出关于a的对数方程，求出a值。

例5.利用函数单调性求解对数不等式

已知log0.7（2x）解题技巧：解对数不等式应根据对数函数的单调性转化为关于真数的不等式，求解时应注意原对数式的真数大于0的条件，常见对数不等式类型如下：

对于函数图像的掌握要求两点：首先要求熟悉掌握各种基本初等函数的图像，复杂函数的图像都是由简单函数的图像通过平移、伸缩、对称等变换而得到的。其次把握函数图像的性质，根据图像的性质去判断，如：过定点、定义域、值域、单调性、奇偶性等。

探究四：对数型函数性质的综合应用

例7.已知函数f（x）=loga（x+1）-loga（1-x）（a>0，且a≠1）

（1）求f（x）的定义域；

（2）判断f（x）的奇偶性并予以证明。

解决对数函数综合问题的方法：对数函数常与函数的奇偶性、单调性、最值以及不等式等问题综合，求解中通常会涉及对数运算。解决此类综合问题，首先要将所给的条件进行转化，然后结合涉及的知识，明确各知识点的应用思路、化简方向，与所求目标建立联系，从而找到解决问题的思路。

16.二次函数图象和性质的教学反思 篇十六

本节课的复习目标是：①能根据已知条件确定二次函数的解析式、开口方向、顶点和对称轴。②理解并能运用二次函数的图象和性质解决有关问题。本节课的重、难点是：二次函数图象和性质的综合应用。我立足于学生自主复习，师生合作探究的形式完成本节课的教学任务。

首先我让学生课前完成二次函数图象和性质的基础训练，促使学生对二次函数图象和性质的知识点全面梳理和掌握。课上我用投影仪检查一名学生完成课前复习情况，其他学生交换批改，发现最后一小条有部分学生有问题，我及时评讲分析，帮助学生解决。

接着，师生合作探究本节课的例题。本例是用已知抛物线解决7个问题，这7个问题是我从全国2009年中考试题中整理出来的，它代表了中考的方面。问题1是用顶点式求出抛物线的解析式再通过解析式求与坐标轴的交点，通过观察图象我又提出了x为何值时，y>0，y<0？以及图中△AOC与△DCB有何关系，进一步培养学生发现问题解决问题的能力。问题

2、问题

3、问题4是抛物线的平移、轴对称和旋转的题目。主要是让学生抓住抛物线的顶点和开口方向来完成。这种类型的题目也有少数同学从坐标点的对称角度来解决也是可行的，并且方便记忆，对于这两种方法我让学生作了及时的归纳小结。问题5和问题6是关于抛物线的最值问题。问题5是利用抛物线的对称性解决三角形的周长最小的题目。学生通过作图能独立解决并求出点的坐标。问题6是本节课的重点，它通过建立目标函数解决四边形面积的极值。本题目关键是引导学生如何设点的坐标，将四边形的面积转化成我们熟悉的三角形（或直角梯形）来建立函数关系式。通过这条题进一步培养学生建立函数模型的思想。本题让学生充分合作交流，最后，让学生在自主探索中获取新的知识。通过观察图象求出了四边形的面积后，我又提出如何求△BCF的面积的最大值的问题，让本题得到进一步的升华，培养学生的创新思维。问题7是在抛物线上探求点存在性问题，引导学生先作出符合条件的平行四边形，再判断点是否在抛物线上，本题着重培养了学生数形结合的思想方法。

这7个问题由浅入深，循序渐进推出，符合学生的认知规律，使学生对二次函数图象和性质有了进一步的理解和提高。

17.《函数性质的运用》案例分析 篇十七

《函数性质的运用》案例分析

一、相关背景介绍建构主义理论告诉我们，学习是学生在原有认知经验基础上主动建构新知识的过程。这一建构过程实际上需要学生将原有知识与新知识(包括思想、观点、方法)进行有效组合与沟通。而学生知识、方法的迁移，水平、能力的提高均依赖于这个过程。从这个意义上说，数学学习实际上是指学生对数学现象的领悟和实质理解。抽象函数这部分内容，体现了数学的高度抽象性和简洁性，近几年高考几乎每年都有类似的题目。由于它的提干都是由抽象的数学符号给出，因此它对学生阅读理解数学语言和符号的能力要求很高。对学生的思维能力是一个大的挑战。二、本节课教学目标1 、知识与技能 ① 使学生深刻理解函数的奇偶性、周期性、对称性等性质。掌握代数变换的方法。 ② 学会阅读理解数学语言和符号，会综合运用函数性质解题。 2 、过程与方法 通过让学生经历阅读、理解、探索求解的过程，渗透化归转化的思想、数形结合的思想。寻求合理、有效的途径，解决数学问题。 3 、情感、态度、价值观 使学生领会数学的抽象性和严谨性，培养他们实事求是的科学态度，积极参与和勇于探索的精神。 4 、重点：综合运用函数性质解题 难点：对文字语言、符号语言、图形语言三种语言的理解和相互转换。三、设计理念1 、首先通过复习函数的性质导入，训练学生对数学的文字语言、符号语言和图形语言这三种语言的相互转换 2 、例 1 的设计的意图是： 加深学生对函数概念、性质的理解。教学生学会阅读、理解数学语言、符号;学会文字语言、图形语言、符号语言的相互转化。通过一题多解、一题多思，渗透化归转化和数形结合的思想，以及代数变换的方法，培养他们的思维能力。课堂形式是：分组讨论。 3 、例 2 的设计主要让学生独立思考解答 探求多种解法，思考、交流、表达，体现学生主体参与合作学习。 要求学生综合运用函数性质解题，提高他们抽象思维能力，问题延伸思考，主要针对较好学生，让他们课后继续钻研，提高分析问题、解决问题能力，也体现了分层教学的思想。四、下面是课堂实录《函数性质的运用》师：前面我们已经分别复习了函数的奇偶性、单调性、对称性及周期性等。今天我们学习函数性质的综合运用。请先思考回答以下问题： ① 若函数 f ( x )是奇函数，如何用符号表示?用图形表示? ② 若给出图形 请用文字语言叙述它的对称性，用符号如何表示? ③ 若 f ( x+2 ) =f ( x )，你能有何结论?如何用文字语言叙述，用符号表示? 生 1 ： ① f ( -x ) =-f ( x ) 生 2 ： ② 函数 f ( x )关于 x=1 对称，即 f ( 1+x ) =f ( 1-x ) 生 3 ： ③ f ( x )是周期函数，周期为 T=2 ，示意图： 师：由 f ( x+2 ) =-f ( x )你能说出什么信息? 生： f ( x )的周期是 T=4 师：为什么?能否用图象解释? 生：将式中的 x 用 x+2 来替代，得到： f ( x+4 ) =-f ( x+2 ) 又因为 -f ( x+2 ) =f ( x )，所以 f ( x+4 ) =f ( x )即： T=4 但是不太用图像来解释 师：提示： 从图示看出 f ( x+4 ) =f ( x )的周期为 4 。 总结：通过对函数的奇偶性、对称性、周期性等性质的复习，我们要熟悉数学的文字语言，符号语言，图形语言三种语言的转换。 好，下面我们来看例 1 例 1 ：设 f ( x )是( -∞ ， +∞ )上的奇函数， f ( x+2 ) =-f ( x )，当 0≤x≤1 时， f ( x ) =x ，则 f ( 7.5 ) =? 生 1 ：利用周期性 由 f ( x+2 ) =-f ( x )可得到 f ( x+4 ) =f ( x ) 所以 f ( 7.5 ) =f(8-0.5)=f(-0.5)=-0.5 生 2 ：直接利用 f ( x+2 ) =-f ( x ) f(7.5)=f(5.5+2)=-f(5.5)=-f[-f(3.5)]=f(3.5)=-f(1.5)=f(-0.5)=-0.5 师：还有其他方法吗? f ( x )是奇函数且 f ( x+2 ) =-f ( x )，除了能说出周期 T=4 外，还能说出哪些信息?(师提示) 生： f ( x+2 ) =-f ( x ) =f ( -x ) 而 f ( x+2 ) =f ( -x )得到 f ( x )关于直线 x=1 对称 师：很好，你能否根据函数的对称性、周期性及奇偶性，画出它的图象?从而利用图象来解题呢? 生： 从图中可以看出 f ( 7.5 ) =f(-0.5)=-0.5 师：我们在解题的过程中，应善于利用数形结合的思想方法，有时能收到意想不到的效果的。 师总结：方法一：主要要求对符号的深刻理解及获取信息 方法二：利用 f ( x+2 ) =-f ( x )，通过转化达到解题的目的，渗透了转化的思想 方法三：利用函数的.几何性质，通过作图，利用数形结合的思想来解题。 下面我们来将这道题目进行变化： 变化 1 ：已知条件不变，问题变为当 x ∈ [-1 ， 0] 时，求 f ( x )的解析式 生 1 ：设 x ∈ [-1 ， 0] 则 -x ∈ [0 ， 1] ∴ f ( -x ) =-x ，又 ∵ f ( -x ) =-f ( x ) ∴ f ( x ) =x ∴ 当 x ∈ [-1 ， 0] 时， f ( x ) =x 师：能否总结一下解题步骤? 生 2 ：小结：首先要 “ 问啥设啥 ” ，不要把变量设错了区间; 第二，把变量转化到已知区间上去 最后，再利用函数的奇偶性、周期性求出 f ( x )的解析式。 变化 2 ：当 -1≤x≤1 时， f ( x )的解析式 生：由已知和变化 1 可知当 -1≤x≤1 时， f ( x ) =x 变化 3 ：当 x ∈ [3 ， 5] 时，求 f ( x )的解析式 生：设 x ∈ [3 ， 5] ，则 x-4 ∈ [-1 ， 1] ∴ f ( x-4 ) =x-4 ∵ T=4 ∴ f ( x ) =x-4 变化 4 ：当 x ∈ [1 ， 3] 时，求 f ( x )的解析式 生：设 x ∈ [1 ， 3] ，则 x-2 ∈ [-1 ， 1] ∴ f ( x-2 ) =x-2 ∵ T=4 ∴ f ( x-2 ) =f ( x+4-2 ) =f ( x+2 ) =-f ( x ) ∴ -f ( x ) =x-2 ∴ f ( x ) =2-x 师：小结：上面这四个变化训练要求我们要掌握代数变换这种数学方法，体会化归转化的思想在解题过程中的运用。 例 2 ：定义在( -∞ ， +∞ )上的偶函数 y=f ( x )满足关系 f ( x+2 ) =-f ( x )且 f ( x )在区间 [-2 ， 0] 上是增函数，那么以下结论正确的有 ① y=f ( x )是周期函数 ② y=f ( x )的图象关于直线 x=2 对称 ③ y=f ( x )在区间 [2 ， 4] 上是减函数 ④ f ( ) =f ( ) 生 1 ： ① f ( x )是周期函数， T=4 师： ② 分析：要证明直线 x=2 是 y=f ( x )图象的对称轴，只需要证明什么关系式成立? 生：只需证 f ( 2-x ) =f ( 2+x ) 或证 f ( -x ) =f ( 4+x ) 或证 f ( x ) =f ( 4-x ) 师：那我们选择证第三个等式 f ( x ) =f ( 4-x )成立 生： ∵ f ( x )的周期 T=4 ，且 f ( x )是偶函数 ∴ f ( 4-x ) =f ( -x ) =f ( x )即 f ( x ) =f ( 4-x ) ∴ y=f ( x )图象的对称轴 x=2 ③ ：生 1 ：有已知在区间 [-2 ， 0] 上， y=f ( x )是增函数，由于 y=f ( x )是偶函数，其图象关于 y 轴对称，那么在 [0 ， 2] 上 y=f ( x )是减函数，又由于 y=f ( x )图象关于直线 x=2 对称，所以 y=f ( x )在区间 [2 ， 4] 上是增函数 所以结论错误 生 2 ：也可以借助于图象(示意图)证明 ③ 是错误的 ④ ：生 3 ：由于 f ( x )在区间 [0 ， 2] 上是递减的 ∴ f ( ) >f ( ) ∴ 结论错误 师：请同学们课后对问题进行延伸思考： 通过以上两个例题，我们发现这样一个结论： 如果 f ( x )具备奇偶性，同时 f ( x )的图象还关于某条直线对称，则 f ( x )是周期函数，你认为这个结论成立吗?请证明。 课堂总结：(师生共同完成) 要求对函数性质有深刻的理解及三种数学语言的理解转化 掌握代表变换的方法，体会数形结合、化归思想在解题过程中的应用 进一步培养学生的抽象思维能力 课堂检测： 已知定义在 R 上的周期函数 y=f ( x )，周期 T=4 ，若 y=f ( x )的图象关于直线 x=2 成轴对称图形 求证： y=f ( x )是偶函数五、课后反思这节课的教学环节，设计比较合理。特别是课前的复习导入，加强学生对数学的文字语言、符号语言、图形语言三种语言理解和相互转换，为突破本节课的难点做了有益的铺垫。 例 1 的三种解法和四种变化，从不同的角度和方面加深了学生对函数有关概念性质的理解，对数学语言阅读能力的培养，同时对提高他们的抽象思维能力是极有好处的 学生课堂上的反映热烈，积极参与，回答问题踊跃。特别是一些平时成绩偏下的学生也积极发言，很想表现自己，渴望得到来势和同学的认可。看来，如果平时也经常关注这部分学生，多给他们成功的机会，调动他们参与课堂的积极性，那么他们一定回愿意学，乐于学，学好的 从课堂小测反馈的情况看，有少数学生对这部分内容的掌握还有困难，不会阅读，理解数学符号，因此运用起来感到比较困难，无从下手解题，因此对这部分学生还得加强课后的辅导督促其落实 课堂上程序基本上是老师设计安排好的，没有让学生发现问题、提出问题，从而解决问题，这对培养学生的创新意识和能力是有碍的，这也是本人感到困惑的地方，在高三的复习时间紧迫的情况下，在课堂上，如何既让学生有一定的时间体会探索，发散思维，甚至充分暴露思维的错误，又能按时完成课时进度，落实各个知识点，不影响应试考试的成绩。这实在是太难了啊!

18.借助函数性质解题 篇十八

一、利用函数的单调性解方程

根据方程的结构特征(必要时需要变形),恰当地构造函数,把方程转化为f(m)=f(n)的形式,再运用函数的单调性转化为m=n求解.

例1解方程(x+8)2005+x2005+2x+8=0.

解析:初看此题的确难以下手,将方程变为(x+8)2005+(x+8)=(-x)2005+(-x),可令f(x)=x2005+x,

于是,原方程即为f(x+8)=f(-x),

因为函数f(x)在R上是单调递增,

所以x+8=-x,即x=-4,

经检验-4是原方程的根.

二、通过函数的图象确定方程的实根的个数

针对方程的结构特征,构造两个易于研究的函数,通过这两个函数的图象的交点的个数,确定方程的实根的个数.

解析:方程可变形为,,在同一坐标系内作出这两个函数的图象,由图象不难看出:这两个函数的图象有两个交点,即原方程有两个实根.

三、借助函数确定方程的实根的取值范围

根据方程的结构特点,构造函数,运用函数的性质讨论.

例3若方程ax2+bx+c=0和-ax2+bx+c=0(ac≠0)分别有一个根x1与一个根x2,则方程必有一根介于x1与x2之间.

解析:要证明方程必有一根介于x1与x2之间,考虑到x1、x2大小不定,分类讨论步骤较繁琐,因此从构造函数的思想出发,将方程左端看作x的函数,只要去证明f(x1)·f(x2)<0就可以了.

四、运用函数性质证明不等式

根据题设、题断的结构特征,构造函数并运用函数的图象、单调性、最大(小)值及其他性质进行证明.

例4已知实数,a、b、c、d,满足a

解析:由已知易见,c、d是二次方程(x-c)(x-d)=0的两根,

a、b是二次方程(x-c)(x-d)-4=0的两根,

令f(x)=(x-c)(x-d),g(x)=(x-c)(x-d)-4,

c、d是抛物线f(x)=(x-c)(x-d)与x轴交点的横坐标,

a、b是抛物线g(x)=(x-c)(x-d)-4与x轴交点的横坐标,

而抛物线g(x)可由f(x)向下平移4个单位得到,由图象易知:a

五、运用函数单调性解不等式

单调函数自变量的值之间的大小关系与相应函数值之间的大小关系具有必然的因果关系,运用这种关系可以实现不等式与不等式间的同解转换,使解一个不等式的问题转换成解另一个不等式的问题.

解:原不等式变形为

观察其结构,可构造函数,则不等式即是f(2x)>f(-2x+3),

由于f(x)在(-∞,+∞)上为增函数,所以原不等式与不等式2x>-2x+3同解,由此易得原不等式的解集为

六、综合运用函数性质解题

例6已知实数m、n满足:m·lgm=2006,n·10nn=2006,求m·n的值.

19.连续函数的性质 篇十九

关键词： 函数 单调性 有界性 奇偶性 周期性

函数，是高等数学的主要研究对象.函数的几何性质，是从数形结合的角度研究的.从高中数学到高等数学的过渡，学生必然首先接触函数及其性质.由于大学数学教材和中学数学教材面向的对象不同，对一些概念的叙述就存在一定的差别.对经历过高考的大学生来说，其应该对这些概念有一个宏观的把握，也可以结合“整体与局部”等哲学概念，对抽象的数学知识做一个概括的总结.而对高职高专的学生来讲，在不影响正确解题的前提下，概念要尽量简单、明了.

笔者根据多年的教学经验，参考大多数高职高专类学生熟知的教材，选用比较科学的定义，对函数的四种几何性质——单调性、有界性、奇偶性和周期性，做补充说明.

一、函数的单调性

定义1：设函数f（x）在区间I上有定义.对于I中的任意两数x■，x■，当x■f（x■）），则称函数f（x）在区间I上单调递增（或递减）.

1.单调性是函数在某个区间上的性质，是局部的.

这个区间可以是整个定义域，也可以是定义域内部的某个子区间.若函数f（x）在整个定义域D上都满足x■f（x■）），则称函数f（x）在定义域D上单调递增（或递减）.例如，f（x）=x■，在定义域（-∞，+∞）上都是单调增加的.

但是一般的函数在整个定义域上并不单调.此时，我们通常讨论函数的单调区间，即函数在每个定义区间上的单调性.例如，f（x）=x■-3x，在区间（-∞，-1）和（1，+∞）内单调递增，在区间（-1，1）内单调递减，在整个定义域（-∞，+∞）上不单调.

中学数学中的常见题型是讨论已知函数在某个区间上的单调性，而高等数学多是求已知函数的所有单调区间，讨论函数在整个定义域上的单调性，通常利用导数法来求.

2.各单调区间不能写成并集.

在用导数法求出函数的单调区间后，通常把几个单调性一致的区间并列写出来，用逗号或者“和”字连接，一般不能写成并集.

例如，f（x）=x■-3x的单调递增区间为（-∞，-1）和（1，+∞），不能写成（-∞，-1）∪（1，+∞）.若不然，取x■=-■，x■=■∈（-∞，-1）∪（1，+∞），且x■f（x■），矛盾.

3.每个单调区间一般写成开区间形式.

函数在某一点不具有单调性，在单调区间端点的取值、是否有定义，都不影响区间内部函数的单调性.

初等函数在各个定义区间内都是连续的，在端点处若有意义，必左连续（或右连续）.此时，单调区间可以随之写成闭的.

例如，f（x）=x■-3x的单调递减区间（-1，1），可以写成（-1，1]，[-1，1），或[-1，1].

对于某些非初等函数，例如，f（x）=x■，x≠0，1，x=0.在（-∞，0）内单调递减，在（0，+∞）内单调递增.虽然在x=0处有定义，但是两个单调区间都不能包含端点.

为避免此类错误，在没有严格要求的情况下，笔者建议单调区间统一写成开区间.

4.单调区间不能写成点的集合.

例如，f（x）=x■-3x的单调递减区间（-1，1），不能写成{x|-1

二、函数的有界性

定义2：设函数f（x）在区间I上有定义，如果存在正数M，对任意的x∈I，总有|f（x）|≤M，则称函数f（x）在区间I上有界，并称f（x）为区间I上的有界函数.否则，称函数f（x）在区间I上无界.

有界性是函数在某区间上的性质.有些函数在整个定义域内有界，例如，f（x）=sinx在定义域（-∞，+∞）内满足|sinx|≤1，是有界的.但有些函数只在某个区间内有界，例如，f（x）=e■在区间（-∞，0）内有界，但在定義域（-∞，+∞）内无界.一般来讲，连续函数在闭区间上是有界的.

函数的无界性可以用有界性的逆否命题来刻画，如下：

设函数f（x）在区间I上有定义，如果对任意的正数M，都存在一个x∈I，使得|f（x）|>M，则称函数f（x）在区间I上无界.

函数的单调性和有界性是函数在某个定义区间上的性质，都是局部的性质.

三、函数的奇偶性

定义3：设函数f（x）的定义域D关于原点对称.如果对任意一个x∈D，总有f（-x）=f（x）（或f（-x）=-f（x）），则称函数f（x）为D上的偶函数（或奇函数）.否则，称为非奇非偶函数.

这里的D是函数的定义域，有的教材也说“设函数f（x）在对称区间D上有定义”，但这是不严谨的.因为有些函数的定义域只是一些离散的点的集合，并不能构成区间.

例如，函数y=■.

奇偶性是函数在整个定义域上的性质，是整体的.要求定义域D必须关于原点对称，这是函数成为奇函数或偶函数的必要条件.否则，函数为非奇非偶函数.

四、函数的周期性

定义4：设函数f（x）在D上有定义，如果存在非零常数T，使得对任意一个x∈D，总有x+T∈D，并且f（x）=f（x+T），则称f（x）为周期函数，T为这个函数的周期.若所有周期T中存在一个最小的正数，则称它为最小正周期.

有些中学教材给出的定义中，要求T为正数，一般高等数学只要求为T非零常数，可正可负.由于中学与大学教材定义不一样，对周期函数的定义域与周期理解就存在异议.按照一般大学数学教材，我们可以得到关于周期函数的结论：（1）定义域双侧无界.（2）周期T，有正周期必有负周期；有负周期必有正周期；有正周期不一定有最小正周期.此时周期函数的性质可变为：

（1）若T是f（x）的周期，则-T也是f（x）的周期；

（2）若T是f（x）的周期，则kT也是f（x）的周期，其中k是非零整数；

（3）若T■、T■是f（x）的周期，则T■+T■也是f（x）的周期；

（4）若T是f（x）的最小正周期，则f（x）的所有周期组成的集合为{t|t=kT，k∈Z，且k≠0}；

（5）若f（x）是周期函数，则f（x）的定义域一定是双侧无界的.

周期性是函数整个定义域上的性质，是整体的.这里要求定义域D必须是双侧无界的.在一般高职高专的数学教材中，所列周期函数都是三角函数.

奇偶性和周期性都是函数在整个定义域上的性质，是整体性质.

函数的单调性反映了函数图像的走势（上升或下降）；有界性体现的是函数值取值范围的有限性；奇偶性反映了函数的对称性（关于纵轴或者原点对称）；周期性体现了函数的重复性.其中，单调性和有界性是函数在某个区间上的局部性质，而奇偶性和周期性则是函数在整个定义域上的整体特征.从宏观上把握函数的几何性质，有利于数学思维的形成，也能顺利准确地解决一些实际问题.

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