初中生数学竞赛流程

初中生数学竞赛流程（精选16篇）

1.初中生数学竞赛流程 篇一

一、活动目的

七年级上学期是小学到初中的转折点。学生从小学六年级升入七年级后，科目增多了，时间更紧了，知识的`深度与难度也随之增加，特别是数学，好多小学的数学尖子生到了初中不再拔尖。刚升入七年级的学生的思维方式仍保留着小学生的那种以直观、形象思维为主的特点，学生的注意力集中时间短，小学对概念的掌握要求并不高，侧重于记忆与计算;而中学数学对概念的要求强化了，侧重于数学思想。到了初中，引入负数、代数式等后，运算过程将更加复杂，相当一部分刚升入七年级的学生在计算有理数、整式的加减及解方程时老出错。计算是学好数学的基本功，初中生是培养学生计算能力的黄金时期，刚升入七年级的学生的计算能力的培养更是整个初中计算能力能否打好基础的转折点，因为整个初中代数的内容都和运算有关：有理数的运算、整式的运算、因式分解、解方程等。初中运算不过关，直接影响到高中的数学成绩，运算屡屡出错，会打击学生学习数学的积极性，所以一定要培养学生具备准确性很高的计算能力。 基于这些，我们七年级数学组特组织这次数学计算能力大赛。测试的主要内容是第二章有理数，针对学生的易错点，本章的难点，特设置此测试卷。

二、活动时间

20XX年10月30日

三、领导小组名单

组长：姚海红(全面负责本次活动的策划与组织)

成员：孙 利 李长乐 王青芳 朱晓帆

2.初中生数学竞赛流程 篇二

黄河水电公司2013年技能竞赛于6月2日-6月21日在检修公司、鑫业公司、新能源公司、西安太阳能四地举办, 共涉及25家单位, 7个工种即水电运行、继电保护、测量、硅芯拉制、电解工、丝网印刷, 财会共305名员工参加。

按照公司工会技能大赛组委会的总体安排和部署, 试题组全体成员本着严肃认真, 为公司负责, 为员工负责的工作态度, 认真履行工作职责, 严把试卷质量关、严把考场纪律关、严把阅卷公平关、严把数据统计准确关, 按组委会工作流程要求完成此项工作。

1 公司高度重视, 试题组精心做好赛前的谋划工作

为加强竞赛工作的组织协调, 保证活动的有序进行, 试题组召开会议, 就竞赛工种、竞赛内容、理论考试和实际操作成绩的所占比例、实操竞赛地点、评判、复习大纲、各专业试题组人员抽调以及每个工种的参赛人员数量、等问题与相关单位进行多次协商, 分解落实工作责任, 明确工作目标, 为竞赛顺利进行提供组织机制保证。

2 试题组成员认真履职, 把好试题组工作的每个环节

为使试题组工作有序、顺利开展, 试题组一经成立, 首先组织试题组成员召开碰头会, 就大赛命题、试卷样例、试题类型确定、试题组卷、现场监考、试卷批改、分数统计等各环节进行认真细致的安排和要求, 并结合往年出现的试卷问题, 向试题组成员做了命题说明, 明确提出了理论样卷、技能样卷, 附标准答案, 各专业命题组可依据本专业知识特点, 对试题类型、题量、难度做了规定。试题类型按照选择题、判断题、简答题、计算题、绘图题、论述题做了要求, 考试时间按120分钟计, 难度充分体现竞赛的意义, 要加大难度, 卷面总分值为100分的具体要求。技能试卷根据各岗位技能实操和技术要求, 以技能实操为出发点, 采用书面问答和现场实操的形式进行, 考察参考人员的解决实际工作问题的能力, 保证卷面总分值为100分的具体要求。其次是对竞赛考试计划、考务工作安排予以明确, 将整个竞赛活动分阶段、分地域进行, 做好各项工作的进度安排, 明确时间节点, 对理论考试、实际操作、阅卷时间与地点、上报时间、监考老师、阅卷人员以及车辆、餐饮都做了详细的安排, 并做到及时督办, 以保证竞赛的全过程的有效衔接。第三为保证试题能够准确反映参赛员工的真实理论水平和业务技能, 试题组成员认真查找资料, 翻阅图纸, 了解现场设备状况, 形成了题型合理、内容全面、答案缜密的竞赛试卷和相应的评分标准和答案。为使竞赛考场规范严谨, 秩序井然, 监考老师认真负责, 忠于职守, 坚持原则严格执行考场规章制度, 对违反赛场纪律的现象一视同仁, 坚决制止, 确保竞赛秩序正常。为保证阅卷的公平度和数据统计的准确度, 一是要求阅卷人员分工阅卷, 流水作业, 保证阅卷判分的标准和公平, 实操部分的竞赛中, 各专业组及时跟踪, 即时打分。二是试题组工作人员在阅卷人员阅卷、审核之后进行成绩的再审核工作, 对有问题的试卷进行充分讨论和酝酿后客观合理的打出成绩, 确保每位参赛选手在改卷环节, 标准统一, 公平公正, 同时在成绩录入环节也进行录入、审核、再审核, 把好试题组工作的每个环节。

3 技能大赛成绩分析

3.1 各专业板块成绩对比

(1) 水电运行:前三名成绩分别为86.42分、78.44分、78.32分;最后一名成绩43.32分, 参赛人数27名;

(2) 测量:前三名成绩分别为85.2分、67.4分、67分, 最后一名成绩14分, 参赛人数34名;

(3) 继电保护:前三名成绩分别为88.4分、72.6分、72.4分, 最后一名成绩20.8分, 参赛人数28名;

(4) 电解工:前三名成绩分别为94.48分、91.08分、91.04分, 最后一名成绩64.72分, 参赛人数32名;

(5) 丝网印刷:前三名成绩分别为88.9分、87.5分、84.8分, 最后一名成绩59分, 参赛人数34名;

(6) 硅芯拉制:前三名成绩分别为成绩88.4分、84.8分、81.8分, 最后一名成绩34.9分, 参赛人数25名;

(7) 财务:前三名成绩分别为成绩88分、84.5分、76分, 最后一名成绩18分, 参赛人数87名。

3.2 根据以上成绩和实际考试情况反映出以下几方面问题:

(1) 水电运行、继电保护、测量以及财务四个专业的第一名成绩和最后一名成绩悬殊较大, 主要反映在参赛人员自身起点不同, 表现在岗位和工作经验参差不齐, 同一个工种有的参赛人员岗位是班长、主管, 有的岗位是专责, 而且参赛队员中有已工作十几年具有丰富工作经验的老同志, 还有刚到岗位一到二年左右的年轻员工, 由于以上的差距造成在理论基础知识掌握、解决实际工作问题的能力和实操能力上的差距。其次反映在水电板块人员工作地点较为分散, 岗位人员有限, 又有参赛人员数量的规定, 所以在满足参赛人员数量的同时各单位在人员抽调、普选和选拔上存在困难, 因此造成一个工种所有等级人员都来参加, 其实在报名之初就已分出胜负, 无需参赛, 故技能大赛比技能、树标杆的真正意义和作用不能很好发挥。第三反映在个别参赛员工对大赛意义认识程度不高, 对大赛前期的培训和理论基础知识的重视不够, 或因工作繁忙无暇复习和前期培训, 没有做充分的思想准备和备考准备, 故造成考试成绩不理想的结果。第四反映在各专业试题组成员本身担负各单位较为重要的实际工作, 抽调时间较短, 任务重的情况下, 在命题的范围、试题的难度把握、试题量的控制以及自身的基础理论知识和解决问题能力方面欠缺。

(2) 电解工、丝网印刷、硅芯拉制三个非电力板块专业, 首先在成绩上对比第一名和最后一名较水电板块专业差距较小, 但也存在人员岗位、工作经验参差不齐的现象, 一个工种所有岗位人员都来参赛, 在大赛中出现普考现象, 显然没有取得大赛的效果。其次个别非电板块因受到自身专业的限制, 实操部分时间较长, 且一个工种有若干个环节来反映, 显得较为繁复。

(3) 个别考场布置不够合理。

(4) 参赛选手报名305人, 实际参赛选手267名, 缺考38名。参赛选手不能全数到齐。

4 亮点

尽管在大赛实施过程中出现一些不尽人意的地方, 但仍有很多亮点可以在今后的工作中借鉴。

(1) 鑫业公司作为技能大赛的分会场, 专门召开技能大赛分会场开幕式, 公司主要负责人, 竞赛裁判人员, 参赛人员全数参加, 工会负责人进行动员, 有效扩大影响面, 以在全鑫业公司范围内营造“提高业务技能, 争做技术标兵”的氛围。

(2) 参赛人员进行班组推荐、初选、车间普考、选拔等环节, 认真选拔优秀人才, 真正发挥技能大赛比技能、树标杆的真正的作用。

(3) 新能源公司在大赛前, 确定了竞赛主题和竞赛宣传口号, 制作了技能大赛秩序册, 确定竞赛委员会和实际操作竞赛裁判机构, 并确定工作职责, 制定竞赛时间安排, 控制时间节点, 明确竞赛规则、赛场纪律和裁判员守则。同时利用公司技能大赛搭建的平台, 除公司规定的硅芯拉制工种参赛外, 在公司内部同步进行了精馏单元工种的竞赛, 有效调动广大员工学知识、学技术、钻业务的热情。

(4) 太阳能电力有限公司领导亲自督办此项工作的开展, 在人员组织、工种确定、试题类型确定、难易程度把控等方面亲自指导, 并组织大赛开幕式, 强调大赛意义和规则, 有效动员参赛员工的参赛热情, 营造了氛围, 鼓舞了士气。

5 工作建议

为进一步提升职工技能竞赛在公司技能人才培养、选拔和激励等方面的作用, 真正营造技能大赛在员工中学技术、钻业务、争当技术标兵和专业技术带头人的氛围, 有效推动和促进公司技能人才队伍建设, 结合技能大赛的实际情况建议在今后的工作中在以下几方面得以改进和完善。

5.1 技能大赛作为公司一项经常性工作, 应强调公司上下统一认识, 强调体系建设, 适时建立裁判员队伍和各专业试题组队伍, 并进行培训, 使得在今后的各类人员抽调, 试题命题, 试题深度的把握等方面更具针对性、逻辑性、科学性。用常态化、规范化管理为技能大赛的顺利进行保驾护航。

5.2 为保证竞赛的效果, 提高竞赛的整体水平, 应明确提出“以赛促培”的工作思路, 积极开展以水电专业为主, 非电专业为辅的技能竞赛, 完善参赛队员赛前培训机制和竞赛队员选拔机制, 建立有效的技能竞赛工作流程, 使各二级单位对参赛队员的培训、初选、普考、选拔、参赛的工作积极性和激发员工岗位成才的积极性得以有效调动, 达到以赛促培训, 以赛促技能, 以赛争标兵的积极向上的引领作用, 有效挖掘优秀人才, 保证竞赛效果和目标, 提升竞赛水平。

5.3 常态管理, 聚焦精品, 着力构建竞赛文化上下功夫。公司技能竞赛工作已连续开展6年, 在水电板块开展的水电运行专业、继电保护专业已有很丰富的经验, 在公司方面应进行精品管理, 其余小工种建议在公司各二级单位适时进行竞赛活动, 实行常态化管理, 在突出重要岗位和重要工种的同时, 不忽视、不冷落小工种, 有效拓展技能竞赛活动新领域, 使技能竞赛活动渗透到公司安全生产、科技创新、降低成本、增加效益等多个领域。

6 结束语

在公司以水电为核心, 水、火、新能源发电并举, 跨区域、跨领域的大发展中, 提升员工技能水平的工作要求既是公司发展的要求也是员工成长进步的要求, 同时这种要求也会随着技术和公司的发展越来越高, 技能大赛将是员工提升技能的最佳之路。通过技能大赛的开展, 无疑在广大员工中搭建了学习技术和技能交流与提升的氛围和平台, 通过技能大赛使组织和员工都能找到差距、共同提高, 一方面为技能人员发展和成长搭桥铺路, 使员工尽快成为公司快速发展的高技能人才, 另一方面助推公司高技术人才和高技能人才队伍的建设, 实现员工个人发展目标和企业发展目标的双赢。

参考文献

[1]丁惠炯.内蒙古技能型人才培养与使用政策实施研究[D].吉林大学, 2013 (06) .

[2]刘行行.职业院校《动画制作》技能大赛试题库建设的实践研究[J].科技视界, 2014 (09) .

3.瑞典不为竞赛的“数学竞赛班” 篇三

这个为数学尖子特设的项目，在瑞典全国只有4所高中开设，因为IMO（国际数学奥林匹克竞赛）瑞典国家队的学生几乎都出自这4所学校，因此该班也被视为“数学竞赛班”。以2013年为例，瑞典国家队6名成员中有3人出自丹德吕德高中，其中一人曾获IMO银牌。

在中国，IMO国家队的选拔一般从全国高中数学联赛省市一等奖中选前几名参加冬令营培训，再从中遴选出部分参加国家集训队，最终选出综合测试分数最高的6 名学生入选国家队。在2012年以前，只要获得全国高中数学联赛省市一等奖者，即可得到大学保送资格；从2013年起，须进入国家集训队方能获得大学保送资格，但获得全国联赛省市一等奖的学生在大学自主招生中依然具有很大优势。在升学的巨大诱惑下，从小学到高中，我国可谓全民奥数，遍地开花，一片欣欣向荣之象。

瑞典的大学升学则取决于高中阶段的成绩（如果高中阶段成绩不好也可以参加国家组织的统一测试作为补救），却没有任何政策将数学竞赛与入学挂钩。因此，瑞典每年申请“数学竞赛班”的学生人数虽远少于中国，但学生的动机却十分单纯——仅仅因为对数学的喜爱。

出于对培养人才的考虑，也出于培养数学人才的需要，我虽意外又觉得符合情理：瑞典“数学竞赛班”并不是围绕数学竞赛来开展教育活动的，而是注重数学知识的全面学习，培养学生扎实的数学素养，换言之，其培养模式是完全素质化的。

在3年的学习中，学生除须完成国家规定的高中数学内容外，还要额外修习数学分析、线性代数、空间解析几何、离散与组合数学4门课程——这恰是大学数学系一、二年级的基础课。在每周8小时的课程中，6小时由该校数学教师任教，2小时由大学教师讲授。带教数学竞赛班的数学教师通常也有几年的大学任教经验。

除此以外，学生还须在高二或高三撰写一篇高质量的数学论文。经笔者了解及阅读，学生论文的水平大概相当于国内数学系本科生毕业论文。

在中国，参加数学竞赛班的学生往往用约一年的时间快速学习高中知识和极少量高等数学知识，随后投入一两年以题海战术为主的竞赛训练。而大学数学系的学生，在全力以赴专功数学的前提下，完成4门基础课程的学习外加一篇本科论文一般也需要近两年时间。那么，丹德吕德高中的学生是如何做到同时兼顾其他高中文化课程并准备数学竞赛的呢？

“他们不为数学竞赛作额外准备。”丹德吕德高中高三数学竞赛班的数学教师乌勒夫直截了当地回答了我的问题。“拿作业来说，他们一周只有10道题不到的家庭作业，有时甚至只有一道。”

“可是，如果他们多花半年为数学竞赛作一些针对性训练，显然会考得更好，很可能银牌就变成金牌了，为什么不多作些训练呢？”我还是忍不住追问。

“银牌变成金牌有什么意义呢？”乌勒夫似乎对我的问题感到很奇怪。

“为了荣誉！”

“我们从不追求这些，老师和学生都不。”乌勒夫答道，带着北欧人特有的淡定，“枯燥的竞赛训练与数学的本质相去甚远，反而可能使学生丧失对数学的兴趣，并影响他们对高等数学核心内容的理解。学生来这里是为了数学，不是为了数学竞赛。”

在与丹德吕德数学竞赛班学生的聊天中，乌勒夫的说法得到了验证。不止一个学生表示，他们对更贴近数学本质的内容更感兴趣，也乐于进行数学研究或撰写数学论文。至于竞赛，则只是水到渠成的产物，“胜”亦欣然“败”亦喜。

非应试教育下产生的数学竞赛高手，潜力才更不可限量。也正因如此，这些学生始终能保有对数学的浓厚兴趣。初等数学与高等数学大相径庭，许多中国学生在初等数学的技巧中翻滚多年后，最终发现高等数学完全不是他们之前以为的样子。而在高中阶段较为全面地了解大学数学内容后，丹德吕德数学竞赛班90%以上的学生会保留对数学的兴趣，最终进入数学系深造。相较之下，国内众多数学竞赛班的尖子生拿奖后彻底放弃数学，这也从另一个侧面解释了为什么中国作为数学竞赛超级强国却在当代数学史上鲜有建树。

几天后，在一节旋轮线的课堂中，乌勒夫老师和学生一起展示了瑞典人所理解的素质教育。在这节高难度的数学课上，乌勒夫先用半个小时介绍旋轮线的物理背景、方程推导，并利用三角变形和积分技巧求旋轮线长度。授课过程逻辑清晰、行云流水，在关键概念和计算上处理得非常严谨，强调了每个变形的等价性和公式适用范围。之后，乌勒夫并没有讨论哪怕一个例题，却拓展地介绍起旋轮线与最速降线的关系，并在学生的提问下与学生讨论该证明的一些基本观点与想法。（限于工具，高中生并不能证明这个很难的结论。但随着乌勒夫的引导，有几个学生竟已能触及变分法的基本想法！）

在一个多小时的课堂里，学生们在教师推导讲授时仔细聆听，做笔记，偶有提问。而在之后半小时的讨论环节中则表现热烈，问题层出不穷，部分学生还结合计算机做图验证或辅助计算，直到下课。毫无疑问，学生都从这堂课中不仅收获了基础知识和方法，还充分锻炼了思维能力与创新意识，这实在是我梦寐以求的课堂环境啊！

在课堂中，我还观察到一个现象，那就是瑞典学生对微积分的运算技巧等内容并不生疏，基本达到了国内数学系本科生的水平。事实上，国内数学竞赛课程也有微积分，但只限于计算和求导，以用于更方便地求解初等数学题，对导数、微分等核心概念却往往一带而过。

怀着最后一丝疑惑，我问了几个学生微积分的基本概念，不出意外，每个学生都能回答到位，这与国内一些竞赛“专业户”学生形成了鲜明对比。

写这篇文章，既是对瑞典数学竞赛教育的一个简单介绍，也愿能对我们的同行有所启发，使数学竞赛早日回归到数学竞赛的初衷，即培养兴趣，开发潜能。但愿有一天，不爱数学的孩子不会埋头于竞赛训练，爱数学的孩子不会在通过层层选拔得到大奖后却不再热爱数学。

构建一个真正适合数学尖子生发展的初等教育模式，我们任重道远。

4.初中数学竞赛辅导 篇四

第七讲 含绝对值的方程及不等式

1、解方程：|x2||2x1|72、求方程|x|2x1||3的不同的解的个数。

3、若关于x的方程||x2|1|a有三个整数解，则a的值是多少？

4、已知方程|x|ax1有一负根，且无正根，求a的取值范围。

5、设|xy

22

3y5

2||3x

22y|0，求xy。

6、解方程组：|xy|1

|x|2|y|37、解方程组：|xy|xy2

|xy|x28、解不等式：|x5||2x3|19、解不等式：1|3x5|210、解不等式：||x3||x3||3。

11、当a取哪些值时，方程|x2|||x1|a有解？

答案：

1、x8

3或x2。

2、2个。

3、a1。

4、a1。

5、1。

1155xxxxx113333

6、

7、。

8、x7或x。,,,3y2y4y4y2y2

33339、1x

训练： 43或2x73。

10、x32或x

3211、a3。

1、解下列方程：

（1）|x3||x1|x1（2）||1x|1|3x（3）|3x2||x1|x2（4）|3y2||5x3|

2、解方程组：

（1）|x1||y1|5

|x1|4y4（2）|xy|1

|x||y|23、解不等式：

（1）|13x5

5.初中数学趣味知识竞赛策划书 篇五

策划书主办单位：初2017级数学备课组 承办单位：巴中棠湖外语实验学校 日

期：二○一八年六月十日

数学学院“数学知识竞赛”策划方案

一、活动背景

在繁忙的五月过去之后，我们又迎来了紧张而又充实的六月，在六月这个特殊的季节里，为加强和改进新形势下中学生科学素养，在接近初一年级尾声之时，我组举办“数学趣味知识”竞赛。

二、活动目的

为了丰富同学们的业余生活，增强同学们的数学素养，激发同学们对学习数学的兴趣，培养团队协作能力，数学组根据上级指示，结合同学们的实际情况，决定开展一次数学知识竞赛活动。

三、策划书内容

（一）、活动主题 数学趣味知识竞赛

（二）、参赛对象 初一年级全体学生。

（三）、活动时间及地点

时间：6月 日7:00—9:00（暂定）地点：多功能厅（暂定）

（四）、活动主要形式 活动分为预赛和决赛。预赛：一个环节。

各班以现场试卷作答形式选取各班数学拔尖生6名。决赛：三个环节。

第一个环节：“固本培元”（基础题10题，每小题5分）各班派3名选手为一队，现场知识竞赛；

第二个环节：“博学多智”（中档题5题，每小题5分）

各班派3名选手为一队，现场知识抢答，场内观众以班为单位均有一次援助机会；

第三个环节：“决战到底”（难题5题，每小题10分）各班派3名选手为一队，现场知识竞赛。

第四个环节：“志勇冲关”（游戏加分环节，最后留下的5名，按6分的降序依次加分）

各班派一位选手，现场角逐。

（五）、活动具体流程 1.活动准备阶段

在活动开始之前，写好活动策划书，搜索、组织、整理好数学知识竞答题目，做好ppt 等相关材料，充分准备好赛前相关事情。2.活动宣传阶段

在活动开始之初，组织各个班级进行广泛彻底宣传，同学们以团队的形式参加比赛，每个团队6人，要求每个班至少有一个团队参加比赛，之后与各班班委做好相关报名工作，并统计整理好全院学生的参赛团队，与之取得联系。3.正式比赛阶段（1）赛前准备阶段

活动的相关工作人员在比赛正式开始之前30分钟到达现场，做好比赛准备工作 a．活动的一些常规工作。

b．根据具体参赛团队把活动地点划分区域，每个区域编好序号，让参赛团队和支持他们的亲友团编在一起，但参赛团队和和各自团队必须分隔开来。

c．迎接人员、安排坐位、管理现场工作：工作人员按照已定好的序号在门口把参赛团队、现场观众安排到位，全部安排之后，管理好现场，组织工作人员各就各位。（2）比赛阶段 a．主持人开场白 b.开幕式（3-5分钟）

c． 答题环节（第一环节“固本培元”30分钟）

各班在6名候选人中选取3名参赛员进入团队按班序号站在相应的位置（舞台桌子位置安排2*3+2*4），PPT展示题目，主持宣布答题开始，各参赛团队立即在答题板上作答，规定答题团队1分钟答题，每小题5分，计分员入场依次计分后，交给总分员。时间过后，答题无效。进入下一个题的答题阶段。第一环节结束后总分员把相应题块总分交给统分员，第一阶段宣布结束。

d．歌舞欣赏（休息环节3-5分钟）

e．知识抢答环节（第二环节“博学多智”20分钟）

当主持人说123抢答开始，ppt现场展示题目，先给全体1分钟的思考时间，然后每个参赛团队进行抢答，规定答题时间为1分钟，参赛者举起手中参赛牌，若抢答错误一次则扣五分，可求助各自的亲友团，每个团队最多只有一次求助机会。主持人报分，计分员旁边计分。计分员计分结束交给总分员，总分员交给统分员。f.歌舞欣赏（休息环节3-5分钟）

g.答题环节（第三环节“决战到底”20分钟）

PPT展示题目，主持宣布答题开始，各参赛团队立即在答题板上作答，规定答题团队2分钟答题，每小题5分，计分员入场依次计分后，交给总分员。时间过后，答题无效。进入下一个题的答题阶段。第三环节结束后总分员把相应题块总分交给统分员，第三阶段宣布结束。h.游戏环节（第四环节“志勇冲关”10分钟）

各班派一位代表，14人站成半弧形。当主持人喊出随机数字，从左往右依次半蹲，例如：主持人喊1，则从左往右的第一个人半蹲，主持人继续喊2，则第二、第三个人半蹲等。依次淘汰。剩下第五个淘汰者所在团队加6分，第四个加5分，依次类推。i．活动总负责人进行总结

j．主持人宣布获奖团队，然后宣布比赛结束。

（五）、活动方案 1．时间分配

整场比赛计划用时90分钟，分为第一环节30分钟，第二环节20分钟，第三环节10分钟,第四环节10分钟，其余时间10分钟；各时间段又按照实际情况具体分配。2．人员分配

待定 3．评分细则

总分采取不定制，第一环节50分，答对一题加5分，答错不扣分；第二环节25分，答对一题加5分，答错扣2分；第三环节25分，答对一题加5分，答错不扣分；第四环节为附加分，最后剩下的角逐者分别得分10,8,6,4,2。3．注意事项

（1）相关工作人员在确定参赛团队时必须落实到位，尽量确保每一个已报名的参赛团队正式参加比赛。

（2）为了确保整个比赛正常进行，在比赛期间，组织好人员管理现场，严禁参赛团队在比赛期间查找其他相关资料和与亲友团交头接耳；为了维持现场氛围，组织人员守住比赛场地门口，尽量不要让相关人员离开。（3）严密组织知识竞答题目，确保题目不外泄。（4）以上都是计划策划，最终要视实际情况具体而定。4．奖项、奖励设置（1）奖项设置

a．团队奖6名，一等奖1名，二等奖2名，三等奖3名

b．个人奖一名（个人知识竞答得分最高者）（团体奖和个人奖到时都要视实际情况而定）（2）奖励设置

奖励是在中场知识竞答是给观众的，观众每答对一题，就获得一次奖励机会。具体奖励与大家商讨之后再定。5．经费预算 海报宣传：10元、荣誉证书：15元，奖励20元，总计45元。

初2017级数学组织部

6.全国初中数学联合竞赛试题分析 篇六

本次初中数学联合竞赛试题偏易，没有什么很复杂的题目。多数考生反映考得比较好。

小题部分一如既往的重点考察了方程，不等式加入绝对值号或者取值范围或者结合图形的混合型题目（选择题1，2，3，4；填空题1，2，3）这些题里，看似对二次方程考察的并不太多，但标准答案中大量出现的x+y，xy变化都是由二次方程中韦达定理变化而来。所以考生要想在全国联赛中取得好成绩，代数里方程，不等式与绝对值，取值范围，几何图形的结合是重中之重。

小题余下的篇幅考察了组合（选择6，填空4）和平面几何（选择5），都比较中规中矩，受过充分训练的学生不难答出。

本次考试的大题出的耐人寻味，一，二两道题不太复杂，都只是数学解题思想的体现，第一题如果不积极化简，采用合乎形式的换元，会非常难做；第二题在数学图形上能比较容易的观察到对称性，但它的`证明却只能逆向出发，用同一法做。

第三题我认为直接用求根公式，讨论一个二次式开方，会来得更直接，更快。

7.初中生数学竞赛流程 篇七

数学是一门以实用性著称的重要学科, 因此, 数学的存在是离不开求解实际问题的, 而与数学解题的活动和比赛自古有之, 如早在古希腊时期, 出现过求解几何问题的比赛活动;在16世纪的意大利出现过求解三次方程的比赛;在17世纪末期, 法国出现的关于费马大定理的挑战比赛等等, 在有关数学比赛的历史发展长河中, 人们中数学思维得到了培养和加强, 对于数学的认识也在不断地深入。相对正规的数学竞赛是近代以来才出现的, 称为奥林匹克数学竞赛, 最早出现于1984年的匈牙利, 通过数学竞赛为匈牙利选拔除了优秀的数学人才。在此之后, 许多国家也相继举办数学竞赛, 由此大批的优秀数学人才脱颖而出并发展成为了数学家。

数学竞赛之所以能够蓬勃发展, 不仅在于通过比赛能够选拔出糊优秀的数学人才, 其更重要的意义在于在数学竞赛中来培养参赛者和观赛者的数学思维, 而这些都将会对于国家的发展有着重要的促进作用。基于此, 本文以数学竞赛为研究对象, 对数学竞赛的发展和数学思维的培养进行了分析, 并对当前形势下如何通过数学竞赛来更好地培养学生数学思维的策略进行了思考和探讨。

1 数学竞赛的发展及数学思维概述

1.1 我国数学竞赛的发展概述

我国的数学竞赛开始于1956年, 由华罗庚、苏步青、江泽涵等老一辈数学家的倡导家而在北京和上海举办了第一次的数学竞赛, 其目标是为了促进我国中学生学习数学的兴趣, 发展学生数学思维, 培养数学人才。时至今日, 我国的数学竞赛活动的发展已经相当壮大, 竞赛的范围也覆盖了高中、初中, 甚至小学。数学竞赛的内容也得到了丰富, 包括了代数、初等数论、组合初步、传统几何等等。与此同时, 学者们对于数学竞赛的研究也更为地广泛和深入, 涵盖了数学竞赛的内容, 特征以及对于学生的教育功能等各个方面。

1.2 数学思维的概念和特征

数学思维是一个处于动态变化过程的名词, 它是针对数学活动而言的, 包括对数学问题的提出、分析、解决、应用等一系列的思维方式。数学思维由数学智力, 数学精神、思想和方法, 数学素养, 及数学素质等要素构成, 它是人类关于数学对象的本质和规律进行理性认识的过程。

数学思维作为一般思维的形式, 除具有思维的一般特征之外, 还具有自己的个性。首先数学思维的特点要受到数学特点的影响的, 及具有高度是抽象性、逻辑的严谨性和广泛的实用性。其次, 数学思维具有表现方式的多样性、问题的概括性和相似性和思维的创造性等特征。最后, 数学思维还具有深刻性、灵活性、敏捷性和批判性等特征。这些特征都有助于人们以一种发散性的方式去看待事物、分析问题和解决现实中的各种问题。

2 数学竞赛与数学思维培养的内在联系性分析

人们在进行数学活动的过程中, 面对新的数学问题, 往往需要打破原有的数学思维限制而去另辟蹊径, 而这就构成了数学思维发展的内部矛盾, 成为数学思维发展的根本动力。而数学竞赛恰恰是提供新问题和激发思维方式创新的重要平台, 从这个角度来看, 数学竞赛与数学思维的培养有着重要的内在联系。因此, 对于学生来说, 数学竞赛的趣味性、科学性和实践性对于学生数学兴趣、数学思维和数学能力的提高有着重要的促进作用。

2.1 数学竞赛的趣味性提高了学生的数学兴趣

一个好的数学竞赛题目不仅仅能够反映深刻的数学思想和数学原理, 更要求在命题的形式上做到活泼新颖, 在语言的呈现方式上也要要到有趣、幽默, 以清新简洁的语言, 简单的问题来反映深刻的数学知识。而当学生在数学竞赛中去分写求解这些充满趣味性的题目时, 将会对学生数学情趣的提高起到积极的作用, 进而提高他们在日常学习中对于数学的关注和热爱。

2.2 数学竞赛的灵活性培养了学生的数学思维

数学竞赛的本质初衷是在于通过求解数学题来启迪学生们的数学思维, 激发学生们对于数学的学习热情, 并鼓励他们去探索数学的深层次规律和未来发展。因此, 在数学竞赛中所设计的题目在题型的设置上往往具有很强的灵活性, 如借助历史文化、高科技产品等等形式的题目而出现, 对应的求解方法也并不是单一的, 而是灵活多样的。所以学生可以利用不同的手段和工具, 在发散的思维状态下锻炼自己对于数学本质的洞察力和创造力。

2.3 数学竞赛的实践性提高了学生的数学运用能力

如前文所述, 数学是注重实用性的学科, 因此, 数学竞赛在锻炼和培养学生数学思维的同时, 在更高层次上是要促进学生将所学的数学知识运用于实际的生活, 去运用数学思维、数学工具来解决生活中的实际问题。所以数学竞赛在赛程设置、比赛规则、选题范围等方面都是基于实践性和可行性考虑之上的, 由此就决定了通过数学竞赛, 将能够很好地提高学生的数学运用能力。

3 以数学竞赛促进学生数学思维发展的思考

3.1 结合学生身心发展规律定期举办数学竞赛

学生的心理发展是随着年龄的增长和年级的增高而不断发展的, 在这个过程中, 学生的思维方式、认知能力、个人情感、意志力以及个性心理特征都得到了发展, 这其中, 思维方式的发展是最为重要的。因此, 在通过数学竞赛培养学生数学思维的实际过程中, 也应当遵循学生的心理和思维发展的基本规律, 掌握好培养的方式和竞赛的形式, 在客观和准确地确定学生思维发展水平的基础上, 定期举办适合不同阶段学生的数学竞赛, 这样才能所有针对和侧重的培养各个阶段学生的数学思维。

3.2 在教学中引入竞赛思想, 加强数学思维的培养

数学课的教学活动是培养学生数学思维的重要途径, 因此, 可以在数学教学中引入竞赛思想, 让学生以一种比赛的心态来学习数学。为此, 可以在课堂上给学生们布置一些数学竞赛的题目, 让学生们在有限的时间里, 运用不同的方法去求解, 而后教师对不同的方法加以点评和讲解, 进而运用数学竞赛的解题思路来使学生们掌握不同的思维方式。

例如可以在数学课堂中引入这样一道数学竞赛的题:有10人到书店去买书, 已知没人买了3本书, 并且任何两人去买的书中, 都至少有一种相同。问购买人数最多的一种书最少有几个人购买, 并说明理由。对于该题, 教师应当抓住问题的本质, 每个人对应一个书的三元子集, 联想到有十个人, 若五本书, 可以构成C53=10个人, 这时每本书恰有6人购买, 因此所求的最小值≤6, 若有6本书, 则有C63=20个三元集合, 去掉一半可得到。因此可以构造为:{145}, {256}, {361}, {412}, {523}, {634}, {126}, {234}, {456}, {135}, 现在只需要说明:最小值不小于4或不超过5。于是教师可以设所求的最小值≤4, 10人共买了n种书且第i种书有mi人购买, 于是mi≤4, 且m1+m2+…mn=30, 当两个人买了同一种书, 称之为一个“书对”。由已知, 每两人之间至少有一个书对, 于是至少有C210=45个书对。另一方面, 由第i种书形成的书对有C2mi个, 共有C2m1+C2m2+…+C2mn个书对, 并且这个数值必定≥45, 但因为C42=6, C32=3, C22=1, 又有C2m1+C2m2+…+C2mn≤7C42+C22=43与上不等式矛盾, 所以最小值不超过5。

从上面的过程可以看到, 在这道题目的求解中, 有一个集合一一对应的思想, 其中还有猜想, 探索的成分在里面, 解答过程也是思维进行调控的过程。所以通过这类提醒的求解, 学生思维的深刻性会得到发展, 而且这样发展的过程, 也有助于使学生的数学思维更加深入, 进而能够抓住问题的本质进行分析和求解。

参考文献

[1]傅秀丽.数学竞赛中的数学思维[J].学周刊, 2014 (12) .

8.数学潜能知识竞赛 篇八

1. 如图1,在△ABC中,M是BC中点.作MD垂直于AB,ME垂直于AC,D､E是垂足.若BD=2,CE=1,且DE∥BC,求BM2.

2. 如图2,在Rt△ABC中,∠A=90°,AC=AB.CD为三角形中线. AE⊥CD,延长AE交BC于点F,连接DF. 求证: ∠BDF=∠ADC.

3.(中国古代数学问题)哑子来买肉,难言钱数目.一斤(即16两)少四十(文),九两多十六(文).试问能算者,应得多少肉?

4.若a､b､c为整数,且|a-b|2 001+|c-a|2 001=1.求|a-b|+|b-c|+|c-a|的值.

5.|x+1|+|x-2|+|x-3|的最小值是.

(本刊辑)

注:本文中所涉及到的图表､注解､公式等内容请以PDF格式阅读原文

9.初中生数学竞赛流程 篇九

A．M＞N

B．M=N

C．M＜N

D．不确定

A．有一组 B．有二组

C．多于二组

D．不存在

3．如图，A是半径为1的圆O外的一点，OA=2，AB是圆O的切线，B是切点，弦BC∥OA，连结AC，则阴影部分的面积等于 [

]

4．设x1、x2是二次方程x2+x3=0的两个根，那么x134x22+19的值等于 [

]

A．

4B．8

C．6

D．0

5．如果一个三角形的面积和周长都被一直线所平分，那么该直线必通过这个三角形的 [

]

A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心

6．如果20个点将某圆周20等分，那么顶点只能在这20个点中选取的正多边形的个数有 [

]

A．4个 B．8个

C．12个

D．24个

2．如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABN=∠MBC，BM=NM，BN=a，则点N到边BC的距离等于______．

3．设1995x3=1996y3=1997z3，xyz＞0，且

4．如图，将边长为1的正方形ABCD绕A点按逆时针方向旋转60°至AB＇C＇D＇的位置，则这两个正方形重叠部分的面积是______．

5.某校在向“希望工程”捐款活动中，甲班的m个男生和11个女生的捐款总数与乙班的9个男人和n个女生的捐款总数相等，都是(m·n+9m+11n+145)元，已知每人的捐款数相同，且都是整数元，求每人的捐款数．

6.设凸四边形ABCD的对角线AC、BD的交点为M，过点M作AD的平行线分别交AB、CD于点E、F，交BC的延长线于点O，P是以O为圆心OM为半径的圆上一点（位置如图所示），求证：∠OPF=∠OEP．

三、（本题满分25分）

已知a、b、c都是正整数，且抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个不同的交点A、B，若A、B到原点的距离都小于1，求a+b+c的最小值．

1996年全国初中数学联赛参考答案

第一试

一、选择题 1．B 2．A 3．B 4．D 5．A 6．C

二、填空题

一、据题意m+11=n+9，且整除mn+9m+11n+145mn+9m+11n+145=(m+11)(n+9)+46，故m+11，n+9都整除46，由此得

综上可知，每人捐款数为25元或47元．

二、作AD、BO的延长线相交于G，∵OE

而，三、据题意，方程ax2+bx+c=0有两个相异根，都在(1，0)中，故

10.初中生数学竞赛流程 篇十

1.已知直角梯形ABCD的四条边长分别为AB2,BCCD10,AD6，过B、D两点作圆,与BA的延长线交于点E，与CB的延长线交于点F，则BEBF的值为____4_____.（2007）

解延长CD交⊙O于点G，设BE,DG的中点分别为点M,N，则

易知AMDN.因为BCCD10，由割线定理，易证BFDG，所以BEBFBEDG2(BMDN)2(BMAM)2AB4.F M N D

C

2．如图，正方形ABCD的边长为1，M,N为BD

所在直线上的两点，且AMMAN135，则四边形AMCN的面积为

5（2008）

解设正方形ABCD的中心为O，连AO，则AO

BD，AOOB, MO又ABMNDA135，,∴MBMOOB.245NADMANDABMAB13590MAB

MABAMB，所以△ADN∽△MBA，故ADDNAD，从而DNBA1MBBAMB2根据对称性可知，四边形AMCN的面积

115S2S△MAN2MNAO2.222

3． 设D是△ABC的边AB上的一点，作DE//BC交AC于点E，作DF//AC交BC于点F，已知△ADE、△DBF的面积分别为m和n，则四边形DECF的面积为______.（2009）

【答】

设△ABC的面积为S,则因为△ADE∽△ABC，所

以

AD



ABBD又因为△BDF∽△BAC，所以

AB两式相加

得

F

C

ADBD1，即ABAB1，解

得S2.所以四边形DECF的面积为2mn

4．在等腰直角△ABC中，AB＝BC＝5，P是△ABC内一点，且PA

PC＝5，则PB＝______．（2009）【答】

EmP,F作PE⊥AB，交AB于点E，作PF⊥BC，交BC于点F，设P

△PCF中利用勾股定理，得

n，分别在△PAE、m2(5n)25①(5m)n25②

②－①，得10(nm)20，所以mn2，代入①中，得n7n120，解得n13，n24.F

C

当n3时，mn21，在Rt△PAE

中，由勾股定理可得PB当n4时，mn22，此时PEAE，所以点P在△ABC的外面，不符合题意，舍去.因此PB

5．在△ABC中，已知B2A，BC2,AB22，则A．（2011）【答】 15。

延长AB到D，使BD＝BC，连线段CD，则DBCD

ABCA，所以CA＝2

CD。

作CEAB于点E，则E为AD的中点，故

AEDEAD(ABBD)(22)2222，EB

D

BEABAE(2(2.在Rt△BCE

中，cosEBC

EB，所以EBC30，故 

BCA

ABC15． 2

6．如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，过点A作圆的切线与CD的延长线交于点F，如果DE＝．（2011）

【答】 24.设CE4x,AEy，则DFDE3x,EF6x．

连AD，BC．因为AB为⊙O的直径，AF为⊙O的切线，所以

A

B

CE，AC8，D为EF的中点，则AB4

EAF90,ACDDAF．

又因为D为Rt△AEF的斜边EF的中点，∴ DADEDF，∴ DAFAFD，∴ ACDAFD，∴ AFAC8． 在Rt△AEF中，由勾股定理得EF

F

AE2AF2，即 36x2y2320．

设BEz，由相交弦定理得 CEDEAEBE，即yz4x3x12x，∴ y3203yz① 又∵ ADDE，∴ DAEAED．

又DAEBCE,AEDBEC，∴ BCEBEC，从而BCBEz．

在Rt△ACB中，由勾股定理得 ABACBC，即(yz)320z，∴ y2yz320．② 联立①②，解得y8,z16．

所以ABAEBE24．

7．在△ABC中，已知AB＝AC，∠A＝40°，P为AB上一点，∠ACP＝20°，则＝．（2012）

【答】

设D为BC的中点，在△ABC外作∠CAE＝20°，则∠BAE＝60°.作CE⊥AE，PF⊥AE，则易证△ACE≌△ACD，所以CE＝CD＝

BCAP

BC.2

又PF＝PAsin∠BAE＝PAsin60

°＝

1AP，PF＝CE，所以AP＝BC，222

因此

BC

AP

E

11.初中生数学竞赛流程 篇十一

摘 要：数学在当今时代是有关科学领域的重要基础，数学课程的教与学对学生的数学学习有着密切联系。本文以数学竞赛为契机，探讨了数学课的教与学。

关键词：大学生数学竞赛；数学课；教和学

一、数学是一门重要的学科

大学数学是工科院校各专业必修的基础课，它不仅为后继课程奠定必要的数学基础，更重要的在于培养学生自觉地数量观念、严密的逻辑思维能力、高度的抽象思维能力，提高本身的数学素养，运用这些知识解决实际问题。李大潜院士在复旦大学数学科学学院2016级新生迎新晚会上的讲话：“数学是一个共同的基础。在当今时代，不仅在自然科学，技术科学中，而且在经济科学、管理科学，甚至人文、社会科学中，为了准确和定量地考虑问题，有充分根据的规律性认识，数学都成了必备的重要基础。”离开了数学的支撑，有关的科学已很难取得长足的进步。美国科学基金会数学部主任Eisenstenin在评述基金会把数学科学列为2002—2006该基金会之首所说：“很多创新项目背后的推动力就是一切科学和工程的数学化。

二、大学数学竞赛与数学课的关系

中国数学会自2009年开始，已经连续七年举办大学生数学竞赛，参赛的人数逐年递增，越来越受到大学生的重视。数学竞赛的宗旨是：“为了培养人才、服务教学、促进高等学校数学课程的改革和建设，增加大学生学习数学的兴趣，培养分析、解决问题的能力，发现和选拔数学创新人才，为青年学子提供一个展示基础知识和思维能力的舞台.”数学竞赛分为非数学和数学专业两组，参赛对象为二年级或二年级以上的在校本科生。对非数学专业组，初赛的内容只有高等数学，决赛的内容包括高等数学、线性代数，这两门课程都是在大一开设的，数学竞赛对那些爱好数学的学生提供了一个展示自己水平的平台。把数学竞赛的内容引入数学课的教学中，能够补充数学课上的不足，提高学生数学素质，培养学生创新能力，促进师生数学水平的提高。因此教师在课堂上要灌输参加数学竞赛的益处，这样可以提高学生学习数学兴趣，增强学习动力，调动学生学习的主观能动性，树立克服在学习上遇到困难的决心。

三、数学竞赛对大学数学课的促进作用

1.数学竞赛能调动学生的学习兴趣

数学的严密和抽象，使得大部分学生认为数学枯燥、乏味，难以理解，对数学的学习失去了兴趣，这也是大学数学课面临的难题之一。数学竞赛是为青年学子提供一个展示基础知识和思维能力的舞台，如果学生以数学竞赛为目标，在学习数学过程中有了动力，学习兴趣就会培养起来，学习上的困难就能克服。

2.数学竞赛能促进教师的教学改革

数学竞赛题一般设计形式新颖，具有一定的灵活性和技巧性，一道题中涉及的知识点众多，解决起来有一定的难度，所以学生在学习时，不能死搬硬套公式。为了学生在参赛时取得好的成绩，教师必须进行教学改革，课堂上适当引进数学竞赛题目，增加学生的学习兴趣，有目的培养学生的学习方法。教师在教学过程中不仅要完成教学任务，更应该在学生的联想与想象能力、发散思维能力、逆向思维能力的培养上下功夫。

三、数学课改革的一点建议

1.重视基础课的教学，有效的开展教学研究

数学竞赛中非数学专业组的竞赛内容正是高等数学和线性代数，这两门是大学里的数学基础课。学校要重视它的教学，在政策面上给以支持。教师之间要进行教学研究，教学方法的讨论，教师在教学的过程中，要了解数学竞赛和考研数学的最新动态。在科研之余，将数学基础课的教学水平在上一个新台阶。

2.开设数学竞赛前的培训

数学竞赛是数学课的扩展和外延，学生参加数学竞赛有利于学生和学校，学生可以借助这个平台检验自己的学习效果，学校的声誉得到提高。学校应重视数学竞赛，赛前开设竞赛培训课是必要的，这样不仅有利于学生参加竞赛时取得更好的成绩。而且对大二、大三准备考研同学起到了复习巩固和加深的效果。

目前，我校没有开展数学竞赛的赛前培训，老师对学生的赛前辅导都是自愿的。

3.学校建立奖励机制

为了促进学生积极地参加大学生数学竞赛活动，为学校争得荣誉，为自己争光，学校对在大学生数学竞赛中取得好的名次的学生，在奖学金的评定上给予高分的奖励，学校硕士免试推荐生上给予免试。对赛前给学生辅导的老师在年终考核时给以加分。

四、结论

大学生参加数学竞赛是高校数学课的重要组成部分，学生的数学基础知识不仅得到巩固和加深，而且提高了学生的创新能力，增强了学生的数学综合素质。我们要继续加大对这一方面的探索，从而使得数学竞赛更好地为高校数学课的教学服务，使得学生的数学水平有实质性的提高。

参考文献

[1]罗敏娜. 数学竞赛对大学生创新能力培养的作用【J】.沈阳师范大学学报（社会科学版）2014（5）119-121.

12.初中生数学竞赛流程 篇十二

关键词：竞赛,高等数学,实践,分析问题

高等数学是大学理工科学生的重要基础课程, 是培养学生逻辑思维空间想象能力、运用数学知识解决实际问题能力必不可少的课程。为了更好的开展高等数学的教学活动, 高等数学教学应以培养学生分析问题、解决问题的能力为主要目标, 而高等数学竞赛正是针对这一目标设立的一项数学活动, 力在推动高等数学教育使其进入一个新的阶段。

高等数学竞赛是常规教学的有益补充, 是对高等数学日常教学中知识的延伸、综合、重组与提升。能够激发学生学习高等数学的积极性, 提高运用数学知识解决问题的能力, 培养学生的创新思维, 进一步推动高等数学教学体系、内容和方法的改革。以一名高等数学教师的角度对开展高等数学竞赛有以下几点想法:

1. 高等数学竞赛从形式到内涵是一次全新的考核。对于新入学的大学生们, 普遍觉得高数课不好学, 觉得很多知识很难应用与实践中, 久而久之对高数学习就产生了厌倦的情绪, 最后直至放弃了。所以造成很多学生高等数学课程迟迟不能及格, 不断重修甚至因为高数一门课而得不到毕业证书, 所以在新生入学之初就应该将高数学习的重要性介绍给同学们, 将高数学习与实践应用之处细细向学生介绍, 激发学生学习数学的兴趣, 使同学们觉得高数有可用之处, 同时开展高数竞赛进一步激发学生学习高数的兴趣, 利用学生刚入学时对大学生活的憧憬和新鲜感, 激发他们对高数的学习兴趣, 有了学习的兴趣和热情, 才有学好高等数学的动力, 高等数学竞赛恰好就是学好高等数学的一支强心剂, 使得广大学生觉得数学可学, 可用, 有价值, 自然有动力学好它。

2. 高等数学竞赛的开展, 应该扎根于日常教学, 应遵循课堂教学为主, 课外辅导为辅的原则, 常规教学是高等数学竞赛学习的基础, 这两者之间, 并不是互相否定和对立的关系, 而是相辅相成、互为补充的。高等数学竞赛试题应符合学生的认知水平, 注重考察考生的数学能力, 包括空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和数据处理能力等。竞赛卷出题不宜过难, 当然要具有一些深度的试题, 这样对一些成绩较好的学生才会有的放矢, 起到对课上学习的补充作用, 但是我们说高数竞赛的试题绝不可以一味求难度, 使得很多同学看着直发蒙, 更别说具体求解了, 这就极大的违背了高等数学竞赛的初衷, 我们开展高数竞赛目的是激发学生学习高数的兴趣, 如果高数竞赛的试题过难, 将会严重打击学生学习高数的自信心, 兴趣之说更无从谈起, 所以我们的高数竞赛题目一定是课堂上讲授知识的延伸和推广, 要将课堂上所学的知识进行推广, 比如说定积分章节中介绍过积分上限函数, 在课堂上积分上限函数我们讲得很少, 一方面这种函数本身学生不太熟悉, 对积分上限函数求导的公式总是很模糊, 那么积分上限函数与洛必达法则结合求极限, 利用积分上限函数判断函数单调性, 凹凸性学生就掌握的更不好了, 在高数竞赛的试卷上就可以以积分上限函数为例拓展出一些稍有深度的试题, 对成绩基础好的同学的知识面起到扩充的作用。另外曲率的计算课堂上只介绍了公式, 并没有和实际很好的结合, 而实际上作为一所工科院校工程类专业的学生, 掌握曲率的计算会给学生学习其他工程课程带来很大帮助。那么在高数竞赛的试卷中就可以将曲率的计算融于实践中, 使学生通过高数竞赛了解课本上所学的知识如何应用于实践。总的说来试卷题目要难易结合, 紧贴应用实践。

3. 教师在日常教学中可把辅导竞赛的经验渗透其中, 以培养学生的思维能力为主要目标, 注重培养学生思维的灵活性、深刻性、敏捷性和独创性。同时, 作为教师本身通过开展高等数学竞赛, 对学生进行选拔培训也有助于教师本身的教学和科研向更广泛、更深入的方向开展, 提高研究成果的科学含量, 使教师本身的科研水平得以提高。

4. 在高等数学竞赛前加大宣传力度, 统一安排考试, 以闭卷形式由学生独立完成, 并对成绩优异的学生给予奖励, 比如给于学分的奖励等, 充分调动学生的参赛热情。可采用手机扫码或登陆学院网址等报名方式报名参赛, 充分利用现代科技手段, 使学生对竞赛产生新鲜感, 赛后开设高等数学讲座, 开设高等数学选讲和数学解题方法等选修课, 成立数学竞赛兴趣小组等供学生老师间相互交流学习。这种活动对教师本身也是一种极大的促进与提高, 也满足了学生对数学知识的渴求, 促进学生智力的有效开发。

作为一名高校数学教师, 以我校实际情况为例, 第一阶段高等数学竞赛宣传阶段。首先利用高等数学课堂由教师对高数竞赛作赛前讲解与宣传, 利用手机扫码或登陆网址等报名方式报名高等数学竞赛。

第二阶段:高等数学竞赛组织阶段。在长春工程学院理学院, 教务处等单位共同配合下, 统一组织闭卷考试。第三阶段:高等数学竞赛评奖阶段。由理学院统一组织老师阅卷, 并设立一二三等奖, 对成绩优异的学生给予奖励。第四阶段:高等数学竞赛总结讨论阶段。开设高等数学选讲和数学解题方法等选修课, 成立数学竞赛兴趣小组, 对高等数学竞赛中所涉及的数学题目组织讲解和讨论, 使学生们真正从竞赛中获益, 为参加全国数学竞赛, 数学建模大赛, 以及研究生考试打下坚实基础。将高等数学竞赛发展为理学院乃至长春工程学院的一个名牌竞赛项目, 每年组织一次, 让同学们通过高等数学竞赛更好地热爱数学学习, 将所学知识充分应用于实践中, 弘扬数学文化, 增进数学教养。

参考文献

[1]郑爱武.影响《高等数学》教学的问题分析及对策研究[J].大学教育, 2014 (01) .

13.初中生数学竞赛流程 篇十三

第三十一讲复习题

1．分解因式：3x2+5xy-2y2+x＋9y-4．

2．分解因式：(x2＋xy＋y2)(x2+xy+2y2)-12y4．

5．已知

求ab＋cd的值．

为任意正数，证明1＜s＜2.7．设a，b是互不相等的正数，比较M，N的大小．

8．求分式 的值．

9．已知：

求证：px＋qy+rz=(p+q+r)(x+y+z)．

11．已知实数x，y满足等式

求x，y的值．

12．若14(a2+b2+c2)=(a＋2b＋3c)2，求a∶b∶c．

13．解方程：x2＋2x-3丨x+1丨+3=0．

14．已知三个二次方程x2-3x＋a=0，2x2＋ax-4=0，ax2＋bx-3=0有公共解，试求整数a和整数b的值．

15．如图2-178所示．在△ABC中，过点B作∠A的平分线的垂线，足为D．DE∥AC交AB于E点．求证：E是AB的中点．

16．求证：直角三角形勾股平方的倒数和等于弦上的高的平方的倒数．

17．如图2-179所示．在△ABC中，延长BC至D，使CD=BC．若BC中点为E，AD=2AE，求证：AB=BC．

18．如图2-180所示．ABCD是平行四边形，BCGH及CDFE都是正方形．求证：AC⊥EG．

19．证明：梯形对角线中点的连线平行于底，并且等于两底差的一半．

20．如图2-181所示．梯形ABCD中，∠ADC=90°，∠AEC=3∠BAE，AB∥CD，E是 BC的中点．求证：

CD=CE．

21．如图2-182所示．梯形ABCD中，AD∥BC(AD＜BC)，AC和BD交于M，EF过M且平行于AD，EC和FB交于N，GH过N且平行于AD．求证：

22．如图2-183所示．在矩形ABCD中，M是AD的中点，N是BC的中点，P是CD延长线上的一点，PM交AC于Q．求证：∠QNM=∠MNP．

23．在(凸)四边形ABCD中，求证：

AC·BD≤AB·CD＋AD·BC．

24．如图2-184所示．AD是等腰△ABC底边BC上的高，BM与BN是∠B的三等分角线，分别交AD于M，N点，连CN并延长交AB于E．求证：

25．已知n是正整数，且n2-71能被7n＋55整除，求n的值．

26．求具有下列性质的最小正整数n：

(1)它以数字6结尾；

(2)如果把数字6移到第一位之前，所得的数是原数的4倍．

27．求出整数n，它的2倍被3除余1，3倍被5除余2，5倍被7除余3．

28．把 1，2，3，„，81这 81个数任意排列为：a1，a2，a3，„，a81．计算

丨a1-a2＋a3丨，丨a4-a5＋a6丨，„，丨a79-a80＋a81丨；

再将这27个数任意排列为b1，b2，„，b27，计算

丨b1-b2+b3丨，丨b4-b5+b6丨，„，丨b25-b26＋b27丨．

如此继续下去，最后得到一个数x，问x是奇数还是偶数？

29．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，30．设凸四边形ABCD的对角线AC，BD相交于O，且AC⊥BD，已知OA＞OC，OB＞OD，求证：

BC＋AD＞AB+CD．

31．如图2-185．在梯形ABCD中，AD∥BC，E，F分别在AB和DC上，EF∥BC，EF平分梯形ABCD的面积，若AD=a，BC=b，求EF的长．

32．四边形ABCD的面积为1，M为AD的中点，N为BC的中点，的面积．

33．已知一元二次方程

x2-x+1-m=0 的两实根x1，x2满足丨x1丨+丨x2丨≤5，求实数m的取值范围．

34．求所有的正实数a，使得方程x2-ax＋4a=0仅有整数根．

35．求证：当p，q为奇数时，方程

x2＋px＋q=0

无整数根．

36．如图2-186．已知圆中四弦AB，BD，DC，CA分别等于a，b，c，d(且cd＞ab)．过C引直线CE∥AD交AB的延长线于E，求BE之长．

37．设A={2，x，y}，B={2，x，y2}，其中x，y是整数，并且A∩B={2，4}，A∪B={2，x，2x，16x}，求x，y的值．

38．在梯形ABCD中，与两条平行底边平行的直线和两腰AB，CD交于P，Q(图2-187)．如果AP∶PB=m∶n，那么PQ的值如何用m，n，AD，BC表示？

39．在平行四边形ABCD中，设∠A，∠B，∠C，∠D的平分线两两相交的交点分别为P，Q，R，S，那么四边形PQRS是什么图形？如果原来的四边形ABCD是矩形，那么四边形PQRS又是什么图形？

40．在直角三角形ABC中，以边AB，BC，AC为对应边分别作三个相似三角形，那么这三个相似三角形面积之间有什么关系？

41．如果三角形的三边用m2＋n2，m2-n2，2mn来表示，那么这个三角形的形状如何？如果m2＋n2=4mn，又将怎样？

42．在圆柱形容器中装水，当水的高度为6厘米时，重4.4千克，水高为10厘米时，重6.8千克，试用图像表示水高为0～10厘米时，水高与重量之间的关系，并预测当水高为8厘米时，水重为多少千克？

43．有7张电影票，10个人抽签，为此先做好10个签，其中7个签上写“有票”，3个签上写“无票”，然后10个人排好队按顺序抽签．问第一人与第二人抽到的可能性是否相同？

44．在直径为50毫米(mm)的铁板中，铳出四个互相外切，并且同样大小的垫圈(图2-188)，那么垫圈的最大直径是多少？

45．唐代诗人王之涣的著名诗篇：

白日依山尽，黄河入海流． 欲穷千里目，更上一层楼．

按诗人的想象，要看到千里之外的景物，需要站在多高的建筑物上呢？试化成数学问题加以解释．

46．在一个池塘中，一棵水草AC垂直水面，AB为水草在水面上的部分，如图2-189，问如何利用这根水草测出水深？

47．在一条运河的两侧有两个村子A，B，河的两岸基本上是平行线．现在要在河上架一座桥与河岸垂直，以便使两岸居民互相往来，那么这座桥架在什么地方，才能使从A到B的路程最近呢(图2-190)？

48．要在一条河边修一座水塔，以便从那里给A，B两个城市供水(设A，B在河岸EF的同侧)，那么水塔应建在河岸EF的什么地方，才能使水塔到A，B两市供水管道总长度最短(图2-191)？

49．三个同学在街头散步，发现一辆汽车违反了交通规则．但他们没有完全记住这辆汽车的车号(车号由4位数字组成)，可是第一个同学记住车号的前两位数是相同的，第二个同学记得后两位数也相同，第三个同学记得这个四位数恰好是一个数的平方数．根据这些线索，能找出这辆汽车的车号吗？

50．图2-192是一个弹簧秤的示意图，其中：图(a)表示弹簧称东西前的状况，此时刻度0齐上线，弹簧伸长的初始长度为b．图(b)表示弹簧秤上挂有重物时，弹簧伸长的状况．如果弹簧秤上挂上不同重量的砝码，那么弹簧秤的长度也相应地伸长．现获得如下一组数据：

(1)以x，y的对应值(x，y)为点的坐标，画出散点图；

14.初中生数学竞赛流程 篇十四

第二十四讲 整数的整除性

整数的整除性问题，是数论中的最基本问题，也是国内外数学竞赛中最常出现的内容之一．由于整数性质的论证是具体、严格、富有技巧，它既容易使学生接受，又是培养学生逻辑思维和推理能力的一个有效课题，因此，了解一些整数的性质和整除性问题的解法是很有必要的．

1．整除的基本概念与性质

所谓整除，就是一个整数被另一个整数除尽，其数学定义如下．

定义 设a，b是整数，b≠0．如果有一个整数q，使得a=bq，那么称a能被b整除，或称b整除a，并记作b｜a．如果不存在这样的整数q，使得a=bq，则称a不能被b整除，或称b不整除a，记作ba．

关于整数的整除，有如下一些基本性质：

性质1 若b｜a，c｜b，则c｜a．

性质2 若c｜a，c｜b，则c｜(a±b)．

性质3 若c｜a，cb，则c(a±b)．

性质4 若b｜a，d｜c，则bd｜ac．

性质5 若a=b＋c，且m｜a，m｜b，则m｜c．

性质6 若b｜a，c｜a，则[b，c]｜a(此处[b，c]为b，c的最小公倍数)．特别地，当(b，c)=1时，bc｜a(此处(b，c)为b，c的最大公约数)．

性质7 若c｜ab，且(c，a)=1，则c｜b．特别地，若p是质数，且p｜ab，则p｜a或p｜b．

性质8 若a≠b，n是自然数，则(a-b)｜(an-bn)．

性质9 若a≠-b，n是正偶数，则(a＋b)｜(an-bn)．

性质10 若a≠-b，n是正奇数，则(a＋b)｜(an＋bn)．

2．证明整除的基本方法

证明整除常用下列几种方法：(1)利用基本性质法；(2)分解因式法；(3)按模分类法；(4)反证法．下面举例说明．

例1 证明：三个连续奇数的平方和加1，能被12整除，但不能被24整除．

分析 要证明一个数能被12整除但不能被24整除，只需证明此数等于12乘上一个奇数即可．

证 设三个连续的奇数分别为2n-1，2n＋1，2n+3(其中n是整数)，于是

(2n-1)2+(2n+1)2+(2n+3)2＋1

=12(n2＋n＋1)．

所以

12｜[(2n-1)2＋(2n＋1)2＋(2n＋3)2]．

又n2+n＋1=n(n＋1)+1，而n，n+1是相邻的两个整数，必定一奇一偶，所以n(n+1)是偶数，从而n2＋n+1是奇数，故 [(2n-1)2+(2n+1)2＋(2n＋3)2]．

例2 若x，y为整数，且2x+3y，9x＋5y之一能被17整除，那么另一个也能被17整除．

证 设u=2x＋3y，v=9x＋5y．若17｜u，从上面两式中消去y，得

3v-5u=17x．①

所以 17｜3v．

因为(17，3)=1，所以17｜v，即17｜9x＋5y．

若17｜v，同样从①式可知17｜5u．因为(17，5)=1，所以17｜u，即17｜2x＋3y．

值．

解 若p=q，则

q＞1．求pq的不是整数，所以p≠q．不妨设p＜q，于是

是整数，所以p只能为3，从而q=5．所以

pq=3×5=15．

例4 试求出两两互质的不同的三个自然数x，y，z，使得其中任意两个的和能被第三个数整除．

分析 题中有三个未知数，我们设法得到一些方程，然后从中解出这些未知数．

小的一个：

最

y｜(y＋2x)，所以y｜2x，于是

数两两互质，所以x=1．

所求的三个数为1，2，3．

例5 设n是奇数，求证：

60｜6n-3n-2n-1．

分析 因为60=22×3×5，22，3，5是两两互质的，所以由性质6，只需证明22，3，5能被6n-3n-2n-1整除即可．对于幂的形式，我们常常利用性质8～性质10，其本质是因式分解．

证 60=22×3×5．由于n是奇数，利用性质8和性质10，有

22｜6n-2n，22｜3n＋1，所以

22｜6n-2n-3n-1，3｜6n-3n，3｜2n+1，所以

3｜6n-3n-2n-1，5｜6n-1，5｜3n+2n，所以

5｜6n-1-3n-2n．

由于22，3，5两两互质，所以

60｜6n-3n-2n-1．

我们通常把整数分成奇数和偶数两类，即被2除余数为0的是偶数，余数为1的是奇数．偶数常用2k表示，奇数常用2k+1表示，其实这就是按模2分类．又如，一个整数a被3除时，余数只能是0，1，2这三种可能，因此，全体整数可以分为3k，3k＋1，3k＋2这三类形式，这是按模3分类．有时为了解题方便，还常把整数按模

4、模

5、模

6、模8等分类，但这要具体问题具体处理．

例6 若整数a不被2和3整除，求证：24｜(a2-1)．

分析 因为a既不能被2整除，也不能被3整除，所以，按模2分类与按模3分类都是不合适的．较好的想法是按模6分类，把整数分成6k，6k＋1，6k＋2，6k＋3，6k＋4，6k＋5这六类．由于6k，6k＋2，6k＋4是2的倍数，6k＋3是3的倍数，所以a只能具有6k＋1或6k＋5的形式，有时候为了方便起见，也常把6k＋5写成6k-1(它们除以6余数均为5)．

证 因为a不被2和3整除，故a具有6k±1的形式，其中k是自然数，所以a2-1=(6k±1)2-1=36k2±12k=12k(3k±1)．由于k与3k±1为一奇一偶(若k为奇数，则3k±1为偶数，若k为偶数，则3k±1为奇数)，所以2｜k(3k±1)，于是便有24｜(a2-1)．

例7 求证：3n+1(n为正整数)能被2或22整除，但不能被2的更高次幂整除．

证 按模2分类．若n=2k为偶数，k为正整数，则

3n＋1=32k＋1=(3k)2＋1．

由3k是奇数，(3k)2是奇数的平方，奇数的平方除以8余1，故可设(3k)2=8l＋1，于是

3n＋1=8l＋2=2(4l＋1)．

4l＋1是奇数，不含有2的因数，所以3n＋1能被2整除，但不能被2的更高次幂整除．

若n=2k＋1为奇数，k为非负整数，则

3n+1=32k＋1+1=3·(3k)2＋1

=3(8l＋1)＋1=4(6l＋1)．

由于6l＋1是奇数，所以此时3n+1能被22整除，但不能被2的更高次幂整除．

在解决有些整除性问题时，直接证明较为困难，可以用反证法来证．

例8 已知a，b是整数，a2＋b2能被3整除，求证：a和b都能被3整除．

证 用反证法．如果a，b不都能被3整除，那么有如下两种情况：

(1)a，b两数中恰有一个能被3整除，不妨设3｜a，3b．令a=3m，b=3n±1(m，n都是整数)，于是

a2+b2=9m2+9n2±6n+1

=3(3m2＋3n2±2n)+1，不是3的倍数，矛盾．

(2)a，b两数都不能被3整除．令a=3m±1，b=3n±1，则

a2＋b2=(3m±1)2+(3n±1)2

=9m2±6m+1+9n2±6n＋1

=3(3m2+3n2±2m±2n)＋2，不能被3整除，矛盾．

由此可知，a，b都是3的倍数．

例9 设p是质数，证明：满足a2=pb2的正整数a，b不存在．

证 用反证法．假定存在正整数a，b，使得

a2=pb2

令(a，b)=d，a=a1d，b=b1d，则(a1，b1)=1．所以

与(a1，b1)=1矛盾．

例10 设p，q均为自然数，且

求证：29｜p．

证 注意到29是质数．令a=10×11×…×19．

所以 ap=29q·b，29｜a·p，29是质数，且29a，所以29｜p．

练习二十四

1．求证：对任意自然数n，2×7n＋1能被3整除．

2．证明：当a是奇数时，a(a2-1)能被24整除．

3．已知整数x，y，使得7｜(13x+8y)，求证：

7｜(9x＋5y)．

4．设p是大于3的质数，求证：24｜(p2-1)．

5．求证：对任意自然数n，n(n-1)(2n-1)能被6整除．

6．求证：三个连续自然数的立方和能被9整除．

15.初中生数学竞赛流程 篇十五

我们生在江苏，长在江苏，是不是对江苏非常了解呢?江苏有哪些美食?南京板鸭、镇江锅盖面你吃过吗?江苏有哪些特产?南京云锦、苏绣你见过吗?江苏有哪些名人?钱伟长、茅以升、赵凤昌你知道吗?江苏有哪些名胜?拙政园、个园、宜兴溶洞你去过吗?

怎么样?看到这些问题，有没有让你产生想要一一去了解的冲动?在我们精选的80道题目中，既有让你了解我们美好江苏的阅读材料，也有根据刚刚过去的这一学年的刊物中刊登过的内容编撰的问题，只要你是《初中生世界》的忠实小读者，你就一定能给出答案。

16.数学竞赛中的反证法 篇十六

在应用反证法证题时，一定要用到“反设”进行推理，否则就不是反证法.用反证法证题时，如果欲证明的命题的方面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以，这种反证法又叫“归谬法”；如果结论的方面情况有多种，那么必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断原结论成立，这种证法又叫“穷举法”.

例1 证明当p, q均为奇数时，曲线y=x2-2px+2q与x轴的交点横坐标为无理数.(2009清华大学夏令营选拔考试)

思路分析

要说明二次方程无有理解，目前倒没有什么直接的判断方法，因此采用反证法.

证明

反设交点横坐标为有理数，即存在交点横坐标为x=uv ((u, v)=1)，则uv2-2puv+2q=0，即u2-2puv+2qv2=0， u2=2(puv-qv2)①为偶数，于是u为偶数.

又(u, v)=1，得v为奇数.

另外由①有v|u2，从而v|u.又(u, v)=1，得v=1.

设u=2s，则4s2-4ps+2q=0，即2s2-2ps+q=0， q=2(ps-s2)为偶数，与已知条件的奇偶性矛盾.

从而反设不成立，说明结论成立.

即曲线y=x2-2px+2q与x轴的交点横坐标为无理数.

解题回顾

在简单整数理论中，反证法是常用的方法.主要适用的情况就是我们正面不能处理的时候，来假设结论不成立，利用假设作为条件，通过推演出矛盾，最终否定假设.在简单整数理论中，很多时候推出的矛盾是奇偶矛盾，比如说最经典的反证法证明2是无理数.

例2 已知1与90之间的19个（不同的）正整数，两两的差中是否一定有三个相等？（1990年匈牙利数学竞赛题）

分析

这类问题要从正面来处理，非常困难.可考虑从反面出发：没有三个相等的情况，最多两个相等，从而我们能得到怎样的信息呢？如果按大小顺序排列的话，那么产生18个差，这些差至多两个相等，也就形成了一些重叠，从而至少有9个不同的数，于是设法找到存在性或者矛盾的方面.

证明

设这19个数为1≤a1＜a2＜…＜a19≤90.

由于a19-a1=(a19-a18)+(a18-a17)+…+(a2-a1)，

反设右边的18个差中无三个相等，而只有两个相等，且取最小的，则

a19-a1＞2×(1+2+…+9)=90,

这与a19-a1≤90-1=89矛盾.所以反设不真.故两两的差中定有三个相等.

解题回顾

虽然从形式上来看没有用到“抽屉原理”，但用到了抽屉原理的思想，即18个数放到9个盒子中，最平均的情况就是每个盒子两个，否则就出现我们要证明的结果：三个数在一个盒子里，即存在三个差相等.由此，我们在讨论问题的过程中，不能仅仅盯着定理和原理能否使用，而是应该理解和挖掘定理和性质本身的数学思想，从而在解决问题的过程中灵活运用.

例3 已知以a1为首项的数列{an}满足：an+1=an+c， an＜3，and，an≥3.

当0＜a1＜1m（m是正整数）， c=1m， d≥3m时，求证：数列a2-1m， a3m+2-1m， a6m+2-1m， a9m+2-1m成等比数列当且仅当d=3m.（2008年上海高三数学竞赛试题）

思路分析

充分性证明“当d=3m时，数列a2-1m， a3m+2-1m， a6m+2-1m， a9m+2-1m成等比数列”它只要代入验证就可以了，没有任何的技巧和复杂的计算，必要性证明“已知数列a2-1m， a3m+2-1m， a6m+2-1m， a9m+2-1m成等比数列，求证d=3m”时，直接证明比较困难，我们要学会跳出正面冲突，从反面考虑问题，就可以找到解决问题的办法，基本的策略是列举法，找出矛盾，使问题得以解决.

证明

充分性略，下证必要性：反设d≥3m+1，

则有a1, a2=a1+1m, a3=a1+2m, …, a3m+1=a1+3mm=a1+3，

a3m+2=a1+3d＜1m, a3m+3=a1+3d+1m, …,

a6m+1=a1+3d+3m-1m＜3，

a6m+2=a1+3d+3＞3, a6m+3=a1+3d+3d＜1m, …,

a9m+1=a1+3d+3d+3m-2m,

a9m+2=a1+3d+3d+3m-1m＞2， ….

所以a2-1m＞0, a3m+2-1m＜0, a6m+2-1m＞0, a9m+2-1m＞0.

故数列a2-1m， a3m+2-1m， a6m+2-1m， a9m+2-1m不是等比数列.

所以，数列a2-1m， a3m+2-1m， a6m+2-1m， a9m+2-1m成等比数列时，d=3m.

解题回顾

正难则反，是数学解题一个规律.正面解决困难的时候,我们有必要调整方向,从问题的反面入手,相当于增加了一个条件,在本题中d≥3m+1比d=3m要收缩的多,数列增加就慢了,所以原来d=3m时刚好是满足的,现在就要向后推移了,自然就应当存在矛盾,这时直觉的定性分析也帮上了忙.

例4 证明如果在取三个不同的整数值时，变量x的整系数多项式的值的绝对值都是1，那么这个多项式没有整数根.（2005年江苏竞赛初赛题）

证明

设整系数多项式f(x)对于三个不同的整数a, b, c有

|f(a)|=|f(b)|=|f(c)|=1.(1)

假定f(x)有整数根x0，则f(x)=(x-x0)Q(x). (2)（这里Q(x)是整系数多项式）

由(1)(2)可知，|(a-x0)Q(a)|=|(a-x0)||Q(a)|=1.

由于Q(a)是整数，则|a-x0|=1，同理|b-x0|=1, |c-x0|=1.

从而三个数a-x0, b-x0, c-x0中必有两个相等，因此a, b, c中某两个相等.

这与已知矛盾，从而f(x)没有整数根.

解题回顾

(1) 运用了性质：多项式f(x)，对于a, b∈R, a≠b， a-b必为f(a)-f(b)的因子；

（2） 研究含有否定词“不存在”，“没有”，“不相等”，“不可能”等有关命题时，我们常用的策略是从反面考虑问题，即正难则反.

例5 已知函数f(x)=ax2+bx+c (a≠0)，且f(x)=x没有实数根，问：f(f(x))=x是否有实数根？并证明你的结论.（2009年上海交大自主招生试题）

nlc202309031240

解析

反证法.若存在f(f(x0))=x0，令f(x0)=t，则f(t)=x0，即(t, x0)是y=f(x)图象上的点.又f(x0)=t，即(x0, t)也是y=f(x)图象上的点.显然这两点不重合，且这两点关于直线y=x对称.而y=f(x)=ax2+bx+c是连续函数，故y=f(x)=ax2+bx+c与y=x必有交点，从而f(x)=x有实数解，矛盾！

解题回顾

利用反证法，使问题的解决直观明了.同时，本题的结论对一般的连续函数f(x)也成立，其运用的处理方法，是可以值得借鉴.

例6 （2008年北大自主招生试题）实数ai(i=1, 2, 3), bi(i=1, 2, 3)满足a1+a2+a3=b1+b2+b3， a1a2+a2a3+a3a1=b1b2+b2b3+b3b1， min(a1, a2, a3)≤min(b1, b2, b3).

求证：max(a1, a2, a3)≤max(b1, b2, b3).

思路分析

本题直接证明十分困难，于是我们想到正难则反，利用反证法，结合函数构造，来完成证明.

解析

不妨设a1≤a2≤a3, b1≤b2≤b3，则a1≤b1.下证a3≤b3.用反证法.若a3＞b3，构造两个函数f(x)=(x-a1)(x-a2)(x-a3), g(x)=(x-b1)(x-b2)(x-b3).由已知条件a1+a2+a3=b1+b2+b3， a1a2+a2a3+a3a1=b1b2+b2b3+b3b1，知f(x)=g(x)+b1b2b3-a1a2a3.一方面f(a1)=g(a1)+b1b2b3-a1a2a3=0， f(a3)=g(a3)+b1b2b3-a1a2a3=0，故g(a1)=g(a3).另一方面，g(a1)=(a1-b1)(a1-b2)(a1-b3)， a1-b1≤0, a1-b2≤0， a1-b3≤0，所以g(a1)≤0；而g(a3)=(a3-b1)(a3-b2)(a3-b3), a3-b1＞0, a3-b2＞0， a3-b3＞0,所以g(a3)＞0，这与g(a1)=g(a3)矛盾.故a3≤b3, max(a1, a2, a3)≤max(b1, b2, b3).

解题回顾

数学竞赛考试是智慧的较量，尤其是面对困难如何摆脱的智慧.现在的数学竞赛、自主招生考试、高考必然出现“生题”“新题”，对此考生可能一时无法把握，使思考困顿，解题停顿.这些战略高地以单一的方式一味死攻并非上策，要学会从侧翼进攻，要有“战略迂回”的意识从侧面或反面的某个点突破，往往会出奇制胜.本题思维要求高，是一道难度较大的试题.

牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一”.一般来讲，反证法常用来证明的题型有：命题的结论以“否定形式”、“至少”或“至多”、“唯一”、“无限”形式出现的命题；或者否定结论更明显、具体、简单的命题；或者直接证明难以下手的命题，改变其思维方向，从结论入手进行反面思考，问题可能解决得十分干脆.

巩固训练

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1 证明：若f(f(x))有唯一不动点，则f(x)也有唯一不动点.（2010年浙江大学自主招生试题改编）

2 已知函数f(x)=13x3-2x2+3x （x∈R）的图象为曲线C,求证不存在一条直线与曲线C同时切于两个不同点.（2009年东南大学自主招生试题）

3 已知有整系数a1, a2, …, an的多项式f(x)=xn+a1xn-1+…+an-1x+an，对四个不同的整数a, b, c, d使得f(a)=f(b)=f(c)=f(d)=5，证明：不存在整数k使得f(k)=8.（2009年四川竞赛初赛题）

3 设f(x)=ax2+bx+c，已知f(1), f(2), f(3), f(4), f(5)都是质数，求证：f(x)不能分解成两个整系数的一次式的乘积.（2010年福建数学竞赛初赛题）

1 证明：不妨设x0是f(f(x))的唯一不动点，即f(f(x0))=x0，令f(x0)=t，则f(t)=x0，那么，f(f(t))=f(x0)，而f(x0)=t，即f(f(t))=t，这说明t也是f(f(x))的不动点.有f(f(x))有唯一不动点，知x0=t，从而f(t)=t，这说明t也是f(x)的不动点，存在性得证.

下证唯一性.假设若f(x)还有另外一个不动点t0，即f(t0)=t0 (t≠t0)，那么f(f(t0))=f(t0)=t0，这说明f(f(x))还有另外一个不动点t0，与题设矛盾.

解题回顾 当f(x0)=x0时，我们称x0为函数f(x)的不动点.利用不动点原理可以解决某些数学问题，它是自主招生考试中的热点问题.

2 证明：反设存在过曲线C上的点A(x1, y1)的切线同时与曲线C切于两点，另一切点为B(x2, y2)， x1≠x2.

则切线方程是：y-13x31-2x21+3x1=(x21-4x1+3)(x-x1)，

化简得：y=(x21-4x1+3)x+-23x31+2x21.

而过B(x2, y2)的切线方程是y=(x22-4x2+3)x+-23x32+2x22，

由于两切线是同一直线，

则有：x21-4x1+3=x22-4x2+3，得x1+x2=4.

又-23x31+2x21=-23x32+2x22，

即-23(x1-x2)(x21+x1x2+x22)+2(x1-x2)(x1+x2)=0，

-13(x21+x1x2+x22)+4=0，即x1(x1+x2)+x22-12=0，

即(4-x2)×4+x22-12=0， x22-4x2+4=0，得x2=2.

但当x2=2时，由x1+x2=4得x1=2，这与x1≠x2矛盾.

所以不存在一条直线与曲线C同时切于两点.

3 分析：注意到a, b, c, d是多项式f(x)-5的根，于是可以构造一个多项式f(x)-5，再利用因式定理，结合反证法得到证明.

证明：由已知，应有f(x)-5=(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)g(x)，其中g(x)是整系数多项式.

如果有整数k使得f(k)=8，即(k-a)(k-b)(k-c)(k-d)g(k)=3.

但素数3不能有4个以上不同的因数，从而矛盾，

故不存在整数k使得f(k)=8.

3 反设f(x)=g(x)h(x)，其中g(x), h(x)都是整系数的一次式.

则f(1)=g(1)h(1)， f(2)=g(2)h(2)， f(3)=g(3)h(3)， f(4)=g(4)h(4)， f(5)=g(5)h(5)，

这上述5个等式的左端都是质数，因此g(1), g(2), g(3), g(4), g(5), h(1), h(2), h(3), h(4), h(5)中至少有5个是±1. 由于g(x)是整系数的一次式，因此g(1), g(2), g(3), g(4), g(5)是不同的数，即至多一个1，一个-1；同理h(1), h(2), h(3), h(4), h(5)中至多一个1，一个-1，矛盾.

所以反设不真，故原命题成立.