离散数学试卷与答案

离散数学试卷与答案（精选9篇）

1.离散数学试卷与答案 篇一

一 单项选择题（将正确答案题号填在括号里，每小题2分，合计40分）

8.命题“合肥位于北京与上海之间。”的个体为（）。1.设命题P、Q、R的真值分别为1、1、0，则复合命题

¬P⋀(Q↔¬R)的真值为（）。

A1B1或0C0D不确定 2.下列命题中，（）是复合命题。A长江与黄河都流经安徽境内。

B美丽的黄山地处安徽。

C合肥位于长江以北。D合肥是包公故里。

3.命题公式(P→Q)→R的主合取范式为（）。A∏(0,2,6)B∏(1,3,4,5,7)C∑(0,2,6)D∑(1,3,4,5,6)4.命题公式(P→Q)→R的主析取范式为（）。A∏(0,2,6)B∏(1,3,4,5,7)C∑(0,2,6)D∑(1,3,4,5,6)5.命题公式(P→Q)→R的类型为（）。A重言式B矛盾式C可满足式D不确定

6.设论域为实数集，谓词公式∀x∃y(x＋y＝1)的真值为（A1B1或0C0D不确定 7.下列关系中（）不是等价关系。

A实数集上的等于关系B平面三角形集合上的全等关系 C幂集上的包含于关系D北大学生集合上住在同公寓的关系

A 合肥，北京B 北京，上海C 上海，合肥D 合肥，北京，上海

9.设R为实数集，关系h＝{∣x,y∈R，y＝2x}，关系

g＝{∣x,y∈R，y＝3x}，则复合关系h-1og-1的值为（）。A{∣x,y∈R，y＝6x}B

{∣x,y∈R，y＝x

}

C{∣x,y∈R，y＝5x}D{∣x,y∈R，y＝4x}

10.设A＝{1,2,3}，关系f⊆A×A且f＝{<1,2>,<2,3>,<3,1>}，关系g⊆A×A且g＝{<1,2>,<2,3>,<3,3>}，复合关系fog的值为（）。A{<1,3>,<2,1>,<3,1>}B{<1,3>,<2,3>,<3,2>}

C{<1,2>,<2,3>,<2,2>}D{<2,3>,<3,1>,<3,2>}

11.设IA为集合A上的恒等关系，则IA不是A上的（）关系。A自反B反自反C对称D反对称

12.设A＝{1,2,3,4}，则A上有（）个等价关系。A216B212C15D不确定

13.设A＝{1,2,3,4}，则A上有（）个自反关系。A216B212C44D不确定

14.具有5个结点3条边的不同构的简单无向图的个数为（）。

A2B3

C4D5）

15.设A＝{1,2,3,4}，R＝{∣x,y∈A，y＝2x}，则R的前域dom(R)等于（）

A{1,2}B{2,4}C{1,3}D{1,2,3,4} 16.设A＝{1,2,3,4}，关系R⊆A×A且

R＝{<1,1>,<1,2>,<3,4>,<4,3>}，则R5的值为（）。A{<1,1>,<1,2>,<3,4>,<4,3>}B{<1,3>,<2,3>,<3,2>}

C{<1,2>,<2,3>,<2,2>,<4,4>}D{<2,3>,<3,1>,<3,2>}

17.设A＝{1,2,3,4}，关系R⊆A×A且

R＝{<1,2>,<3,4>,<4,3>}，则R的传递闭包t(R)的值为（）A{<1,2>,<3,4>,<4,3>,<3,3>,<4,4>}B{<1,2>,<3,4>,<4,3>}

C{<1,2>,<2,3>,<2,2>,<4,4>,<4,3>}D{<2,3>,<3,1>,<3,2>} 18.设G是有9个结点的简单图，则图G的最大度∆(G)为（）。

A

∆(G)≥ 9B∆(G)≤9C

∆(G)＞9D∆(G)＜9

19.以下列序列中（）为结点度数序列可构成简单无向图。

A1，1，2，2，3B1，1，2，2，2

C0，1，3，3，3D1，3，4，4，5 20.设无向图G有12条边，有6个3度结点，其余结点度数均小于3，则G至少有（）个结点。

A13B12

C11D9

二 填空题（每小题2分，合计30分）

1.设P,Q为命题变元，则命题演算的吸收律可表示为。

2.设A,B为集合，则集合运算的德·摩根律可表示为。3.设A,B,C为命题变元，化简命题公式

(A∧B∧C)∨(¬A∧B∧C)⇔。

4.设A,B,C为集合，化简(A∩B∩C)∪(～A∩B∩C)＝。

5.设P(x)：x是人，Q(x)：x犯错误，翻译命题“没有人不犯错误。”为。

6.给定论域{2,3}，且L(2,2)与L(3,3)的真值均为1，L(2,3)与L(3,2)的真值均为0，则∀y∃xL(x,y)的真值为。7.命题“如果我是你，那么太阳从西边出。”的真值为。8.设A＝{1,2,3,4}，B＝{3,4,5,6}，则A－B＝。9.设P()为空集的幂集，则P(P())＝。

10.若R是A上的自反关系，反对称关系，则称R为A上的偏序关系。

11.命题“如果我休假，我将去美丽的黄山旅游。”的否定可表述为。

12.设A＝{1,2,3,4}，给出上的一个关系R＝，使R既是对称又是反对称的。

13.无向连通图G是欧拉图，当且仅当G有个奇数度数结点。14.若连通平面图G有4个结点3个面，则G有条边。

15.树T有2个2度结点，1个3度结点，3个4度结点，其余都是1度结点，则树T的叶子数为。

三 解答题（1、4小题各8分，2、3小题各7分，合计30分)

1.今有a、b、c、d、e、f、g七人，其中a擅长英语，b擅长英语和汉语，c擅长英语、意大利语和俄语，d擅长日语和汉语，e擅长德语和意大利语，f擅长法语、日语和俄语，g擅长法语和德语。试用图论知识描述如何安排这七人围圆桌而坐，使得每人都能与其相邻两边的人交谈。

2.设集合A＝{1,2,3}，P(A)为A的幂集，偏序关系＝{∣x,y∈P(A)，x⊆y}，画偏序集

的哈斯图，并指出的最大元和极小元，其中B＝{,{1},{3},{1,3},A}。

3.翻译命题“所有的人都是要死的，苏格拉厎是人，所以苏格拉厎要死。”并证明其有效结论。

4.某发电厂A要向b、c、d、e四个地点送电，已知发电厂A可以和b、c、d直接架设电线，地点e可以和b、d直接架设电线，其他由于地理原因无法直接架设电线。架设电线时不能有回路存在，否则会造成浪费。找出所有电线架设方案，使从发电厂A可向b、c、d、e四个地点送电。答案

一 单项选择题

CAADCACDBBBCBCAAADBD

二 填空题

1.P∧(P∨Q)PP∨(P∧Q)P

2.～(A∩B)＝～A∪～B～(A∪B)＝～A∩～B 3.B∧C 4.B∩C

5.┐x(P(x)∧┐Q(x))6.1或T 7.1或T 8.{1,2}

9.{,{}} 10.传递

11.我休假但我不去美丽的黄山旅游。12.{<1,1>} 13.0 14.515.9

三 解答题（1、4小题各8分，2、3小题各7分，合计30分)

1.构造简单图G＝，其中V＝{a,b,c,d,e,f,g}

任意x,y∈V，边(x,y)∈E当且仅当x与y擅长同种语言 图G中的一条Hamilton回路即为所求方案。4.构造简单图G＝，其中V＝{A,b,c,d,e}

任意x,y∈V，边(x,y)∈E当且仅当x与y间可直接架设电线 图G中的生成树即为所求方案

2.离散数学试卷与答案 篇二

1 目前存在的主要问题

1.1 学生的认识态度的问题;1.2教学观念与教学内容的问题;1.3教学方式与教学方法问题。

2 课程建设与改革的思路方法

2.1 提高学生的认识和兴趣。

随着计算机科学发展的深入, 研究与开发的起点在不断提高。现今在计算机的研究和实践中遇到的许多重大问题表明, 这些问题不仅是技术问题, 而且是理论问题, 至少是技术方面的理论问题。因此, 无论学生今后从事理论研究, 还是应用开发, 都应该打下坚实的理论基础, 以适应学科迅速发展和知识更新的需要。因此, 我们要把离散数学中最基本的方法、计算机问题求解时应该考虑的问题的要点、问题的研究思路和方法传授给学生, 加大对学生进行抽象思维能力和逻辑思维方法的培养力度, 以强化对学生进行各种计算机软硬件系统的理解、设计、实现能力的培养。2.2重视教学观念的转变和深化。“授人以渔, 而不是授人以鱼”, 19世纪德国教育学家第斯多惠指出:不要把经过千年劳动建成的大厦指给学生看, 而要引导他制作建筑材料, 和他共同建筑并教他建筑之术。因此, 我们要以提高学生素质为根本宗旨, 把握学科教育的本质和目的, 培养学生创新精神、学习能力和实践能力, 在搜集国内外有关资料的基础上, 结合学校实际和有关措施, 开展关于教育思想与教育观念的研讨, 并明确四个转变:a.从以传授知识为主要目的的继承式教育思想转变到以培养能力为主要目的的创新教育思想;b.从应试教育思想转变到素质教育思想;c.从以教师为中心的注入式教育思想转变到教师主导作用与学生主体作用相结合的探究式教育思想;d.从传统的教学模式转变到运用现代教育技术的新型教学模式。这样, 我们才能培养出具有扎实的理论基础、很宽的专业知识, 很强的继续学习能力、较强的适应学科发展能力的学生来。2.3培养学生思维能力、探索改革教学方法。a.精选内容、层次分明。由于离散数学内容繁琐、课时有限, 因此, 我们要结合实际, 精选教学内容, 以“够用”为准、有所取舍, 不能面面俱到、不分主次。要采用启发式教学, 注重模块化、详略适当的教学安排, 注重基本方法的讲解, 强化基本概念的描述, 重点难点要讲细讲透, 同时要淡化大量烦琐的、含有特殊技巧的不带有普遍意义的理论证明, 并结合其他课程 (高等数学, 数据结构, 数据库, 网络) 和计算机科学技术中的生动、经典应用实例, 让学生从感性的东西里探索出抽象的理论, 这样能充分消化, 产生化难为易、事半功倍的效果来。b.形象描述、引导创新。为了让学生在繁杂抽象的学习中理解知识和掌握知识, 在进行教学过程中, 应尽可能地先从直观意义或直观解释入手, 引出实例, 进行分析讨论, 这样才能使用讲清讲透。例如:命题逻辑中的“或”具有二义性, 有排斥或、相容或、原子命题, 如果直接给出结论, 学生就会感到抽象, 如果教师先用例子来进行形象描述 (“小张住在二楼或三楼”属于排斥或、“小王正在唱歌或跳舞”属于相容或、“小李每天走四公里或五公里”属于原子命题) , 让学生先进行思考对比, 再给出结论, 最后让学生自己创新举例来加深理解, 就能达到很好的教学效果了。又比如:“关系”这一概念在讲授时可从多角度举例:从日常生活中的种种关系 (绕足球场跑步具有自反性、四加五等于九具有反自反性、同学关系具有对称性、师生关系具有反对称性、祖孙辈关系具有传递性) 等来进行举例, 然后再把这个概念抽象化, 这样就便于学生的理解和掌握了。c.一题多解、学练结合。在离散数学的学习中, 常常有许多这样的情况:同一个概念可以给出不同的描述方法, 同一个问题可以有不同的解法。所以, 我们要鼓励学生学会综合运用所学知识, 从不同的角度对同一问题寻找多种解题途径和方法, 然后归纳总结, 比较各种方法的优缺点, 可以起到举一反三的作用。实践证明, 一题多解, 有利于培养学生的思维发散性, 是训练学生思维的有效方法, 它有利于学生掌握和运用所学知识, 有利于拓宽学生的解题思路, 有利于培养学生的思维能力。比如, 在命题逻辑中判断一个命题公式的类型, 就有真值表、等值演算、主析取范式等方法。学生通过运用这些方法去判断命题公式的类型时, 就会发现这些方法各自的利弊, 什么样的公式更适合用什么样的方法。而且学生还会提出疑问:既然运用不同的方法最后判断的结果是相同的, 那么这些方法之间又有什么关系?通过思考、分析, 学生就会把表面看似相似的内容, 找出其内在联系, 从而达到系统掌握命题逻辑这部分知识的目的。d.开展讨论, 培养能力。离散数学中基本概念、定理、方法较多, 且方法各异, 彼此间缺乏连贯性, 一味单纯地讲究教学, 学生往往是被动地接受知识, 枯燥乏味, 往往难以激发学习热情。因此, 我们要注重讨论教学, 要在课堂教学的引导下, 充分利用各种资源让师生互动参与讨论, 调动学生的主动性, 引导学生发现问题和分析问题, 研究各章节之间的联系和具有共同性和相互渗透性的内容, 让他们能够自由地、充分地、广泛地进行讨论, 从而达到解决问题的目的。实践证明, 讨论可以加深学生对理论知识的理解和记忆, 充分拓展学生视野, 引导他们对已有知识进行横向联系、纵深探索, 把学生的思维从课内扩展到课外, 提高他们综合运用知识的能力, 有助于学生养成独立思考问题相互交流意见的习惯, 从而提高他们分析和解决问题的能力, 便于学生形成一种离而不散的知识结构。e.利用网络、完善资源。由于课时的限制和概念的繁多, 仅靠上课时间来让学生进行充分的消化吸收和理解掌握明是不够的, 因此, 我们以“以教师、学生、媒体、教学内容”为教学要素, 充分利用了学校和院系的教学网络, 建立了较为完善教学资源库。包括:课程介绍、教学大纲 (包括各章节知识点、重点与难点内容) 、任课教师队伍简介、电子教案、趣味故事、习题解答、习题锦集、教学参考书和参考文献等等, 并计划在今后陆续通过内容更为丰富的网络教学资源平台:学生练习自测系统 (学生在网上作练习, 系统自动判断结果的正误, 并进行学习跟踪分析与管理) 、网上答疑、网上讨论、网上学习园地、实验题目与指导、教学录像等资源。这样就可极大地改变了离散数学教学中存在的问题, 为学生提供了丰富多彩的网上教学资源, 方便学生自主学习, 有利于学生个性的发挥, 有利于培养学生的创造力和学习能力。f.设计课题、重视竞赛。实践表明, 数学建模是培养学生创新意识与应用能力的最佳切入点与突破口。在全国大学生数学建模比赛中, 就有较多的离散模型建模题目, 因此, 我们可以利用这一特点, 在课堂上将建模的思想融入讲课内容, 在教学中或网站中引入一些建模题目, 鼓励学生积极参加建模活动。

总之, 我们要结合教学的各个环节实行因材施教, 重视多种教学方法的有机整合与综合运用, 多进行教学交流, 对教学的艺术进行探索, 建立比例适当、科学合理的课程师资队伍, 进行考核方法改革探索, 推出有特色的离散数学教材……等等。这样才能搞好课程建设和教学改革。

3 结论

由于计算机科学是在不断地发展, 而计算机科学中又普遍采用了离散数学的概念、思想和方法, 并且把离散数学作为自己的理论基础和思想根据, 同时, 它又不断地向离散数学提出一些新课题和新趋势, 这就要求我们教师要密切关注计算机科学发展的新动向, 不断地追踪和学习新科技, 处理好基础概念与最新科技的关系, 要教学中有的放矢地向学生进行传授知识, 从而培养学生的主动精神和追踪新科技的能力, 以适应计算机科学发展的需要。实践证明, 随着计算机科学的不断发展, 对教学观念、教学内容、教学方式与方法进行改革, 有利于搞好离散数学的课程建设。

参考文献

[1]耿素云, 屈婉玲.离散数学[M].北京:高等教育出版社, 2007, 8.

[2]程虹.对离散数学课程的几点思考[J].科教文汇, 2006, 5.

3.离散数学课程教学方法探讨与实践 篇三

一、教学中存在的问题

1.教学手段问题

由于离散数学课程本身的特点，各知识点的概念非常多，讲解完定义、定理之后，学生很难记住，而且有些难点学生很难理解和接受。有些知识需要用传统的板书才能更好地提高教学效果，而图论等知识就需要多媒体等教学环境。

2.缺乏与其他课程的联系

离散数学是专业基础课，与计算机学科的其他课程关系紧密，后续的很多课程都需要用到离散数学中的知识，例如数据结构研究的线性结构、集合、树和图结构与离散数学的图论等知识相呼应。但是，在目前的教材中很少有提及离散数学在其他课程中的作用以及在计算机领域的应用，使学生看不到离散数学的知识在计算机科学中的具体应用，从而感觉不到离散数学这门课程的重要性，降低了学生学习这门课程的积极性与主动性，影响了教学的效果。

3.缺乏与实践相结合的实验课程

目前，离散数学的教学基本上是讲解理论，不涉及计算机实践，离散数学课程很多知识点过于抽象，通过增加上机实验环节可以帮助学生加深对相应知识点的理解与消化，进一步加深理解离散数学在计算机解决问题中的重要作用，提高利用计算机解决问题和软件开发的能力。

二、教学模式的改进

1.多媒体课件教学与板书相结合

离散数学课程如果只采用板书形式上课有很大的弊端，如果完全使用多媒体课件教学也是不太合适的。我们应该采用以多媒体与板书相结合的课堂教学方式。多媒体课件可以制作生动直观的图形、表格来表达枯燥的内容，还可以采用动画演示对一些知识点进行描述，这样可以更加吸引学生的注意力和学习兴趣。例如图的连通性、最小生成树等许多关于图论的知识的讲解，老师用板书去阐述费时费力，学生却未必能听明白；用Flash等多媒体课件动态演示最小生成树的形成过程，学生会有一个从感知到认知这样的一个思考和学习的过程，教学效果会更好。而在进行某些运算或者证明时，在数理逻辑、集合论、二元关系这几部分的知识需要教师在黑板上写出每一个详细的步骤，学生可以根据整个过程体会解题思路，加深对知识点的理解和掌握，同时精选一部分例题对理论加深理解。例如在讲解等值演算、求解公式的范式、命题逻辑的推理形式结构时，教师需要借助板题的每一步过程在黑板上写清楚，并且解释每个步骤所用到的公式或定理，以加深学生对知识的理解，从而激发学生的学习积极性与主动性，增强他们自信心以达到提高学习能力和学习效果的目的。

2.网络教学平台的使用

离散数学的课程内容比较多，课时相对较少，所以时间比较紧凑，在课堂上与学生交流的机会很少，教学效果难以保证，为了让学生可以在课后继续学习和巩固离散数学的知识，利用我院教务系统提供的网络教学平台建立离散数学的课程网络教学平台，把离散数学这门课程的相关教学资源。如知名高校的离散数学课件，所选教材的经典例题，课后习题等放到在网站上，学生可以随时查阅，并可以和教师及同学在线互动，及时了解学生的动态和解决发现的问题，从而调整教学进度与教学方法。网络教学平台的使用，改进了传统教学方式的不足，增强了学生学习的主动性和积极性，为学生提供了交流的平台，提高了学生自主学习和协作学习的能力，从而提高了学生分析问题、解决问题和自学的能力。

3.理论与实践结合

教师在讲授的过程中，要不断地提升自己的知识层次和知识的综合运用能力，帮助学生将课程内容和实际要解决的问题联系起来，提高离散数学课程的教学质量。如学生在学习了数理逻辑以后，让学生设计一个简单的表决器；在学习了图论知识以后，让学生在机器上实现哈夫曼算法和解决利用哈密顿图求最短路径问题。在讲完偏序的理论知识之后，可以举例说明利用偏序可以解决调度中的最优调度问题。学生通过实验，促使学生由被动的旁听者变为主动的参与者，使学生更加理解、巩固所学的内容。

三、教学方法

1.启发式教学法

对于基础知识和结论的掌握主要以讲授为主。为了提高教学效果，实施启发式教学法是一种非常重要的手段。授课过程中在概念和原理提出前，向学生提一些与他们的专业或已有知识相关的富于思考性的问题。这些问题用学过的知识能解决但要解决却很麻烦，从而引导学生思考更好、更实用的解决办法。这样才能促进学生的思考，从而激发学生思维的积极性。在定理的推导过程中，在主要步骤上给学生以思考的时间。培养学生良好的逻辑思维习惯，使学生善于思考理论问题。教学过程中教师要深入浅出地启发并要引导学生进行思考，充分调动他们的主动性和能动性，提高学习效果从而提高课堂的教学效果。

2.概念与实例教学法

在教学中，对于抽象理论知识的学习学生往往会觉得空洞枯燥，在阐述明白概念的同时有针对性地选择一些具体例题进行教学。如在讲命题逻辑理论时，对命题联结词的讲解可采用类举法使之融会贯通；学习欧拉图可结合生活中的货郎担与一笔画等问题；学习哈密顿图时可以结合周游世界与遍历某个景区所有景点的问题进行讲解。通过概念与具体实例相结合进行教学，在加强学生对概念的理解与记忆同时，让学生带着问题学习，使学生的学习兴致大大提高，从而提高教学质量和效果。

3.数与形相结合，注重应用图表法教学

在离散数学教学中，充分应用数形结合的思想方法，对于发展学生的创造性思维，培养学生的思维方式都有重要的作用。教师在讲解过程中可适当应用图表法，把这些概念形象化、直观化，使学生易于理解，提高学习的效率。如在讲授二元关系的偏序关系时，通过偏序集画哈斯图就会把偏序关系刻画得非常清楚，加深学生对偏序关系的理解。

4.讨论式教学法

离散数学中概念、定理彼此间缺乏连贯性，课堂纯粹采用教师满堂灌法将降低学生的专注程度，难以激发其学习兴趣。在课堂教学中，教师应当通过有趣的例题进行讨论活跃课堂气氛，达到与学生充分交流的目的。例如，在讲命题逻辑推理时，对于最大项、最小项和主析取范式和主合取范式的讲解，可以选择不同的例题讲解原理，引导学生进行讨论直接讲解演算过程效果要好得多。在讲图论时，多引用实际问题进行图论建模，从实际问题抽象出图，然后利用图论的概念和原理分析，就比直接画出一个图要好得多，比如由哥尼斯堡七桥问题引出欧拉图的相关知识。实践证明，利用讨论式教学法来有效地组织课堂讨论，有助于培养学生独立思考问题的能力、相互交流的能力及相互协作的能力，而且还能够增进师生间的交流，从而提高学生的学习兴趣、学习效果和课堂的教学效果。

“离散数学”在是计算机专业中一门重要的专业基础课，研究和探索离散数学的教学方法和教学技巧，帮助学生学好这门课程具有很重要的实际意义。经过多年的教学实践我认为，教师要认真把握教学规律，因材施教、因人施教，且要站在学生的角度结合实际的教学情况进行不断地探索，调动学生内在积极性，充分发挥学生的潜能，达到良好的教学效果。随着计算机技术的进一步发展，对该门课程的教学内容、教学方法等方面将会提出更高的要求，这些还有待于不断地探索研究。

参考文献：

［1］林丹玲.浅谈计算机专业离散数学课程的教学［J］.学科建设与教学研究，2006（4）.

［2］文玉婵.计算机专业离散数学教学探讨［J］.玉林师范学院学报：自然科学，2004（3）.

［3］左孝凌，李为鑑，刘永才.离散数学［M］.上海科学技术文献出版社，2003.

［4］许蔓苓.离散数学［M］.北京航空航天大学出版社，2004-12.

［5］耿素云，屈婉玲.离散数学：修订版［M］.高等教育出版社，2004-01.

4.离散数学函数复习题答案 篇四

一、选择题（每题3分）

1、设A{a,b,c},B{1,2,3}，则下列关系中能构成A到B函数的是（C）

A、f1{a,1,a,2,a,3}B、f2{a,1,b,1,b,2}

C、f4{a,1,b,1,c,1}D、f1{a,1,a,2,b,2,c,3}

2、设R、Z、N分别为实数集、整数集，自然数集，则下列关系中能构成函数的是（B）

A、{x,y|(x,yN)(xy10)}B、{x,y|(x,yR)(yx2)}

C、{x,y|(x,yR)(y2x)}D、{x,y|(x,yZ)(xymod3)}

3、设Z为整数集，则二元关系f{a,baZbZb2a3}（B）

A、不能构成Z上的函数B、能构成Z上的函数

C、能构成Z上的单射D、能构成Z上的满射

4、设f为自然数集N上的函数，且f(x)

10若x为奇数若x为偶数，则f（D）

A、为单射而非满B、为满射而非单射C、为双射D、既非单射又非满射

5、设f为整数集Z上的函数，且f(x)为x除以5的余数，则f（D）

A、为单射而非满B、为满射而非单射C、为双射D、既非单射又非满射

6、设R、Z分别为实数集、整数集，则下列函数为满射而非单射的是（C）

A、f:RR,C、f:RZ,A、f:RR,C、f:RR,f(x)x6B、f:RR,f(x)[x]D、f:RR,2f(x)(x6)f(x)x6x 627、设R、R、Z分别为实数集、非负实数集、正整数集，下列函数为单射而非满射的是（B）f(x)x7x1 B、f:ZR,f(x)lnx； f(x)xD、f:RR,f(x)7x

18、设Z、N、E分别为整数集，自然数集，偶数集，则下列函数是双射的为（A）

A、f : ZE , f(x)2xB、f : ZE , f(x)8x

C、f: ZZ,f(x)8D、f : NNN,f(n)n,n1

9、设X3,Y4，则从X到Y可以生成不同的单射个数为（B）．

A、12B、24C、64D、8110、设X3,Y2，则从X到Y可以生成不同的满射个数为（B）．

A、6B、8C、9D、6411、设函数f:BC，g:AB都是单射，则fg:AC（A）

A、是单射B、是满射C、是双射D、既非单射又非满射

12、设函数f:BC，g:AB都是满射，则fg:AC（B）

A、是单射B、是满射C、是双射D、既非单射又非满射

13、设函数f:BC，g:AB都是双射，则fg:AC（C）

A、是单射B、是满射C、是双射D、既非单射又非满射

14、设函数f:BC，g:AB，若fg:AC是单射，则（B）

A、f是单射B、g是单射C、f是满射D、g是满射

15、设函数f:BC，g:AB，若fg:AC是满射，则（C）

A、f是单射B、g是单射C、f是满射D、g是满射

16、设函数f:BC，g:AB，若fg:AC是双射，则（D）

A、f,g都是单射 B、f,g都是满射 C、f是单射, g是满射 D、f是满射, g是单射

二、填充题（每题4分）

1、设Xm,Yn，则从X到Y有2mn 种不同的关系，有nm 种不同的函数．

2、设Xm,Yn，且mn，则从X到Y有Anm 种不同的单射．

3、在一个有n个元素的集合上，可以有2不同的双射．

1，若x为奇数



4、设f为自然数集N上的函数，且f(x)x

若x为偶数2，n

种不同的关系，有nn 种不同的函数，有n!种,则f(0)0，f[{0}]{0}，f[{1,2,3}]{1}，f[{0,2,4,6,}]N．

5、设f,g是自然数集N上的函数,xN,f(x)x1,则fg(x)2x1，gf(x)2(x1)．

g(x)2x，三、问答计算题（每题10分）

1、设A{2，3，4}，B{2，4，7，10,12}，从A到B的关系

R{a,baA,bB,且a整除b}，试给出R的关系图和关系矩阵，并说明此

关系R及其逆关系R1是否为函数？为什么？

解：R{2,2,2,4,2,10,2,12,3,12,4,4,4,12}，则R的关系图为：

R的关系矩阵为MR



100

000

1

1 1

关系R不是A到B的函数，因为元素2，4的象不唯一

逆关系R1也不是B到A的函数 因为元素7的象不存在．

2、设Z为整数集，函数f：ZZZ，且f(x,y)xy，问f是单射还是满射？ 为什么？并求f(x,x),f(x,x)．

解：xZ, 0,xZZ，总有f(0,x)x，则f是满射；

对于1,2,2,1ZZ,，有f(1,2)3f(2,1)，而1,22,1，则f非单射；

f(x,x)2x,f(x,x)0．

3、设A{1,2}，A上所有函数的集合记为AA, “”是函数的复合运算，试给出AA上运算“”的运算表，并指出AA中是否有幺元，哪些元素有逆元？ 解：因为A2，所以A上共有224个不同函数，令A

f

1(1)1,f(2)2;

A

{f1,f2,f3,f4}，其中：

f(1)1,f(2)1;f(1)2,f(2)2;f(1)2,f4(2)1

A

f1为A中的幺元，f1和f4有逆元．

4、设R为实数集，函数f：RRRR，且f(x,y)xy,xy，问f是双射吗？为什么？并求其逆函数f



1(x,y)及ff(x,y)．

解： x1,y1,x2,y2RR，若f(x1,y1)f(x2,y2)，有x1y1,x1y1x2y2,x2y2，则x1,y1x2,y2，故f是单射；

2且f(x,y)xy,xyu,v，则f是满射，故为双射； xyxy, ； 22

ff(x,y)f(xy,xy)f(2x,2y)． f

1

u,vRR，令x

uv，y

uv，则x,yRR，(x,y)

四、证明题（每题10分）

1、设函数f：AB，g：BC，g和f的复合函数gf：AC，试证明：如果gf是双射，那么f是单射，g是满射． 证明：x1,x2A且f(x1)f(x2)B，则gf(x1)g[f(x1)]g[f(x2)]gf(x2)，因gf是单射，有x1x2，故f是单射；

cC，因gf是满射，aA，使cgfa()g[fa()]，而f(a)B，故g是满射．

注：如果gf是单射，那么f是单射；如果gf是满射，那么g是满射．

2、设f是A上的满射，且fff，证明：fIA．

证明：因f是满射，则对aA，存在a1A，使得f(a1)a，则ff(a1)f[f(a1)]f(a)，由 fff，知a1a，于是f(a)a，由a的任意性知fIA．

3、设函数f：AB，g：BA，证明：若f证明： 因f



11

g,fg

1，则gfIA,fgIB．

g,则yB,g(y)f

1

(y)xA，有g(y)x,f(x)y，于是，对yB，有fg(y)f[g(y)]f(x)yIB(y)，知fgIB；

1

又fg1，则对xA,f(x)g(x)y，有f(x)y,g(y)x，于是，对xA，有gf(x)g[f(x)]g(y)xIA(x)，知gfIA．

4、设函数f：AB，g：BA，证明：若gfIA,fgIB，则f



1g,fg

1

．

证明：因恒等函数IA是双射，则gf是A上的双射，有f是单射，g是满射； 同样，恒等函数IB是双射，则gf是B上的双射，有f是满射，g是单射； 所以，f和g都是双射函数，其反函数都存在，故有f注：设函数f：AB，g：BA，证明： f

1

1

g,fg

1

1

．

g,fg

 gfIA,fgIB．

5、设函数f：AB，g：B(A)，对于bB，g(b){xxAf(x)b}，(A)为A的幂集，证明：如果f是A到B的满射，则g是B到(A)的单射．

5.离散数学课后习题答案第三章 篇五

5.确定下列命题是否为真：

（1）

真

（2）

假（3）{}

真

（4）{}

真（5）｛a,b｝｛a,b,c,｛a,b,c｝｝

真（6）｛a,b｝｛a,b,c,｛a,b｝｝

真（7）｛a,b｝｛a,b,｛｛a,b｝｝｝

真（8）｛a,b｝｛a,b,｛｛a,b｝｝｝

假

6．设a,b,c各不相同，判断下述等式中哪个等式为真:（1）｛｛a,b｝，c,｝ =｛｛a,b｝,c｝

假（2）｛a ,b,a｝=｛a,b｝

真（3）｛｛a｝，{b}｝=｛｛a,b｝｝

假（4）｛，｛｝，a,b｝=｛｛,｛｝｝,a,b｝

假 8．求下列集合的幂集：

（1）｛a,b,c｝ P(A)={ ,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}}（2）｛1，｛2，3｝｝ P(A)={ , {1}, {{2,3}}, {1，{2，3}} }（3）｛｝ P(A)={ , ｛｝ }

（4）｛，｛｝｝ P(A)={ , {1}, {{2,3}}, {1，{2，3}} } 14．化简下列集合表达式：（1）（AB）B）-（AB）（2）（（ABC）-（BC））A 解:(1)（AB）B）-（AB）=（AB）B）～（AB）

=（AB）～（AB）)B=B=

（2）（（ABC）-（BC））A=（（ABC）～（BC））A =（A～（BC））（（BC）～（BC））A =（A～（BC））A=（A～（BC））A=A 18．某班有25个学生，其中14人会打篮球，12人会打排球，6人会打篮球和排球，5人会打篮球和网 球，还有2人会打这三种球。已知6个会打网球的人都会打篮球或排球。求不会打球的人数。解: 阿A={会打篮球的人}，B={会打排球的人}，C={会打 |A|=14, |B|=12, |AB|=6,|AC|=5,| ABC|=2, 如图所示。

25-(5+4+2+3)-5-1=25-14-5-1=5 不会打球的人共5人

21.设集合A＝{{1，2}，{2，3}，{1，3},{}},计算下列表达式：（1）A（2）A（3）A（4）A 解:（1）A={1，2}{2，3}{1，3}{}={1，2，3,}

（2）A={1，2}{2，3}{1，3}{}=

（3）A=123=

（4）A=

27、设A,B,C是任意集合，证明(1)(A-B)-C=A-BC(2)(A-B)-C=(A-C)-(B-C)证明

(1)(A-B)-C=(A～B)～C= A(～B～C)= A～(BC)=A-BC(2)(A-C)-(B-C)=(A～C)～(B ～C)=(A～C)(～BC)=(A～C～B)(A～CC)=(A～C～B) = A～(BC)=A-BC 由（1）得证。

网球的人} |C|=6,CAB

第七章部分课后习题参考答案

7.列出集合A={2,3,4}上的恒等关系I A,全域关系EA,小于或等于关系LA,整除关系DA.解：IA ={<2，2>,<3,3>,<4,4>} EA={<2,2>,<2,3>,<2,4>,<3,4>,<4,4>,<3,2>,<3,3>,<4,2>,<4,3>} LA={<2,2>,<2,3>,<2,4>,<3,3>,<3,4>,<4,4>} DA={<2,4>} 13.设A={<1,2>,<2,4>,<3,3>}

B={<1,3>,<2,4>,<4,2>} 求AB,AB, domA, domB, dom(AB), ranA, ranB, ran(AB), fld(A-B).解：AB={<1,2>,<2,4>,<3,3>,<1,3>,<4,2>} AB={<2,4>} domA={1,2,3} domB={1,2,4} dom(A∨B)={1,2,3,4} ranA={2,3,4} ranB={2,3,4} ran(AB)={4} A-B={<1,2>,<3,3>}，fld(A-B)={1,2,3} 14.设R={<0,1><0,2>,<0,3>,<1,2>,<1,3>,<2,3>} 求RR, R-1, R{0,1,}, R[{1,2}] 解：RR={<0,2>,<0,3>,<1,3>} R-1,={<1,0>,<2,0>,<3,0>,<2,1>,<3,1>,<3,2>} R{0,1}={<0,1>,<0,2>,<0,3>,<1,2>,<1,3>} R[{1,2}]=ran(R|{1,2})={2,3}

16．设A={a,b,c,d}，R1，R2为A上的关系，其中

R1=a,a,a,b,b,d

R2a,d,b,c,b,d,c,b23求R1R2,R2R1,R1,R2。

解: R1R2={,,} R2R1={} R12=R1R1={,,} R22=R2R2={,,} R23=R2R22={,,}

36．设A={1，2，3，4}，在AA上定义二元关系R，,AA，〈u,v> R u + y = x + v.(1)证明R 是AA上的等价关系.(2)确定由R 引起的对AA的划分.（1）证明：∵R u+y=x-y ∴Ru-v=x-y AA ∵u-v=u-v ∴R ∴R是自反的

任意的,∈A×A 如果R，那么u-v=x-y ∴x-y=u-v ∴R ∴R是对称的

任意的,,∈A×A 若R,R 则u-v=x-y,x-y=a-b ∴u-v=a-b ∴R ∴R是传递的

∴R是A×A上的等价关系

(2)∏={{<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>}, {<2,1>,<3,2>,<4,3>}, {<3,1>,<4,2>}, {<4,1>}, {<1,2>,<2,3>,<3,4>}, {<1,3>,<2,4>}, {<1,4>} }

41.设A={1，2，3，4}，R为AA上的二元关系, 〈a，b〉，〈c，d〉 AA ，〈a，b〉R〈c，d〉a + b = c + d(1)证明R为等价关系.(2)求R导出的划分.(1)证明：

a+b=a+b ∴R ∴R是自反的

任意的,∈A×A 设R，则a+b=c+d ∴c+d=a+b ∴R ∴R是对称的 任意的,,∈A×A 若R,R 则a+b=c+d,c+d=x+y ∴a+b=x+y ∴R ∴R是传递的

∴R是 A×A上的等价关系

(2)∏={{<1,1>}, {<1,2>,<2,1>}，{<1,3>,<2,2>,<3,1>}，{<1,4>,<4,1>,<2,3>,<3,2>}, {<2,4>,<4,2>,<3,3>}, {<3,4>,<4,3>}, {<4,4>}}

43.对于下列集合与整除关系画出哈斯图:(1){1,2,3,4,6,8,12,24}(2){1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} 解: ***19511

42(1)(2)45.下图是两个偏序集的哈斯图.分别写出集合A和偏序关系R的集合表达式.debafc

gbcfdeag

(a)(b)解:(a)A={a,b,c,d,e,f,g} R={,,,,,,,,,}IA

(b)A={a,b,c,d,e,f,g} R={,,,,,,}IA 46.分别画出下列各偏序集的哈斯图,并找出A的极大元`极小元`最大元和最小元.(1)A={a,b,c,d,e} R={,,,,,,}IA.(2)A={a,b,c,d,e}, R={}IA.解:

edbcadeabc

(1)

(2)项目(1)(2)极大元: e a,b,d,e 极小元: a a,b,c,e 最大元: e 无 最小元: a 无

第八章部分课后习题参考答案

1．设f :NN,且

1，若x为奇数

f(x)=x

若x为偶数2，求f(0), f({0}), f(1), f({1}), f({0,2,4,6,…})，f({4,6,8}), f-1({3,5,7}).解：f(0)=0, f({0})={0}, f(1)=1, f({1})={1}, f({0,2,4,6,…})=N，f({4,6,8})={2,3,4}, f-1({3,5,7})={6,10,14}.4.判断下列函数中哪些是满射的?哪些是单射的?哪些是双射的?(1)f:NN, f(x)=x2+2

不是满射，不是单射

(2)f:NN,f(x)=(x)mod 3,x除以3的余数

不是满射，不是单射

1，若x为奇数(3)f:NN,f(x)=

不是满射，不是单射

0，若x为偶数

0，若x为奇数(4)f:N{0,1},f(x)=

是满射，不是单射

1，若x为偶数(5)f:N-{0}R,f(x)=lgx

不是满射，是单射

(6)f:RR,f(x)=x2-2x-15

不是满射，不是单射

5.设X={a,b,c,d},Y={1,2,3},f={,,,}判断以下命题的真假:(1)f是从X到Y的二元关系,但不是从X到Y的函数;

对

(2)f是从X到Y的函数,但不是满射,也不是单射的;

错

(3)f是从X到Y的满射,但不是单射;

错

6.离散数学试卷与答案 篇六

1、设下面所有谓词的论域D={a、b、c}。试将下面命题中的量词消除，写成与之等值的命题公式。分析：本题主要是考察对全称量词、存在量词的理解，然后通过合取词、析取词把全称量词和存在量词消去。（1）xRxSx

解：R(a)R(b)R(c)S(a)S(b)S(c)（2）xPxQ(x)

解：P(a)Q(a))P(b)Q(b)P(c)Q(c)（3）x7P(x)xP(x)

解：7P(a)7P(b)7P(c))P(a)P(b)P(c)

2、指出下列命题的真值：

分析：本题主要是考察合式公式的解释的定义，已经判定给定解释下合式公式的真值。（1）xPQ(x))R(e)

其中，P:“3＞2”,Q(x):“x3”,R(x):“x＞5”,e:5，论域D={-2，3，6} 解：假。

（x为-2时不成立）（2）xP(x)Q(x)

其中，P(x):“x＞3”,Q(x):“x4”，论域D={2}。解：真。

3、在一阶逻辑中，将下列命题符号化：

分析：本题主要是考察存在量词、全称量词已经基本的连接词的运用。（1）凡有理数均可表示为分数。

解：令：P(x)： x是有理数；Q（x）:x可表示为分数。

x(P(x)Q(x))

（2）有些实数是有理数。解：P（x）：:x是实数，Q(x)：x是有理数。

xPxQ(x)

（3）并非所有实数都是有理数。解：P（x）：:x是实数，Q(x)：x是有理数。

x(P(x)Q(x))

（4）如果明天天气好，有一些学生将去公园。

解：P（x）: x去公园

S（x）: x是学生

W：明天天气好

Wx(P(x)S(x))

（5）对任意的正实数，都存在大于该实数的实数。解：P（x）: x是实数；

G（x, y）：:x大于y。

x(P(x)y(P(y)G(y,x)))（6）对任意给＞0，x0a,b，都在存在N，使当n＞N时，有

fx0fnx解：G（x，y）: x＞y, Sx:xa,b

＜

x0G,0Sx0Nn(Gn,NG(,f(x0)fn(x))))

4、指出下列公式中的自由变元和约束变元，并指出各量词的作用域。

分析：本题主要是考察自由边缘、约束变元的定义，以及量词的作用域的概念。（1）xPxQxxRxQz

解；自由变元z, 约束变元x, 第一个x的作用域是PxQx，第二个是R(x)。

（2）x(P(x)y(Q(y))(xP(x)Q(z))

中的Px 解：自由变元z，约束为元：x，y。第一个x的作用域为PxyQy



第二个x的作用域为第二个P(x)； y的作用域为Q(y)。（3）x(P(x)Q(x))yR(y)s(z)

解：自由变元：z，约束变元：x和y；

x的作用域为(P(x)Q(x))，y的作用域为R(y)

（4）x(F(x)yH(x,y))

解：无自由变元

约束变元x，y；

x的作用域：(F(x)yH(x，y))，y的作用域：H(x,y)

（5）xF(x)G(x,y)

解：自由变元：y与G(x，y)中的x，约束变元：F(x)中的x；

x的作用域：F(x)（6）xy(R(x,y)Q(x,z))xH(x,y)

解：自由变元：Z与H(x，y)中的y；

约束变元：x,y, x和y的作用范围：(R(x,y)Q(x,z)，x的作用范围：H(x,y)

5．设谓词公式x(P(x,y)Q(x,z))。判定以下改名是否正确 ：

分析：本题主要是考察改名规则的定义，以及它的适用范围。有兴趣的同学可以顺便了解一下代替规则情形。

（1）u(P(u,y)Q(x,z))

解：错误（2）u(P(u,y)Q(u,z))

解：正确（3）x(P(u,y)Q(u,z))

解：错误（4）u(P(x,y)Q(x,z))

解：错误（5）y(P(y,y)Q(y,z))

解：错误 6．设I是如下一个解释 ：

D:a，b，P(a，a):1，P(a,b):0，P(b,a):0，P(b,b):1。

试确定下列公式在I下的真值：

分析：本题主要考察合式公式在特定解释下的真值。（1）xyP(x,y)

解：真

（2）xyP(x,y)

解：假

（3）xy(P(x,y)P(y,x))解：真（4）xP(x,x)

解：真

7．判断下列公式的恒真性和恒假性

分析：本题主要是根据已知的命题公式、合式公式的基本等值式来进行推导，看该合式公式是与1等值还是与0等值。

（1）xF(x)xF(x)

解：恒真（2）xF(x)(xyG(x,y)xF(x))

解：恒真（3）xF(x)(x(F(x)yG(y))

解：恒真（4）(F(x,y)F(x,y))

解：恒假

8．设G（x）是恰含自由变元x的谓词公式，H是不含变元x的谓词公式，证明：（1）x(G(x)H)xG(x)H（2）x(G(x)H)xG(x)H 分析：本题根据量词作用域的扩张进行证明。证明（1）

x(G(x)H)x(7G(x)H)x7G(x)H7(xG(x))HxG(x)H

证明（2）

x(G(x)H)x(7G(x)H)x7G(x)H7(xG(x))HxG(x)H

9．设G（x，y）是任意一个含x，y自由出现的谓词公式，证明：（1）xyG(x，y)yxG(x，y)

分析：本题主要是根据两个合式公式等值的定义进行证明。证：设D是论域，I是G（x，y）的一个解释。

（a）若xyG(x，y)在I下的为真，则在I下，对任意的x,yD,G(x,y)即yxG(x,y)是真命题，反之亦然。

（b）若xyG(x,y)在I下为假，则在I下必存在x0D或y0D，使得G（x0, y）或G（x, y0）为假，于是，此xo或yo亦弄假yxG(x,y)，反之亦然。

（2）xyG(x，y)yxG(x，y)

分析：本题主要是根据两个合式公式等值的定义进行证明。

证：设D是论域，I是G（x, y）的一个解释。

（a）若xyG(x，y)在I下为真，则在I下存在x0D与y0D,使G（x0,y0）为真命题，于是，yxG(x,y)也是真命题，反之亦然。

（b）若xyG(x，y)在I下为假，则对任意x，yD，G（x, y）均为假，故yxG(x,y)亦为假，反之亦然。

10．将下列公式化成等价的前束范式：

分析：本题主要是根据已知的基本等值式通过消去蕴含连接词、等价连接词，依据改名规则、代替规则进行等值演算化成前束范式。

（1）xF(x)xG(x)

解：xF(x)xG(x)xF(x)xG(x)x(F(x)G(x))（2）xF(x)xG(x)解：

xF(x)xG(x)xF(x)xG(x)x(7F(x))xG(x)x(7F(x)G(x))

（3）(xF(x,y)yG(y))xH(x,y)

解：

(xF(x,y)yG(y))xH(x,y)(7(xF(x,y))yG(y))xH(x,y)(x(7F(x,y))zG(z))xH(x,y)xz(7F(x,y)G(z))xH(x,y)xz(F(x,y)7G(z))uH(u,y)xzu((F(x,y)G(z))H(u,y))

（4）x(P(x)yQ(x,y))

解：x(P(x)yQ(x,y))x(7P(x)yQ(x,y))xy(7P(x)Q(x,y))

11．给出下面公式的skolem范式：

分析：本题主要是根据已知的基本等值式通过消去蕴含连接词、等价连接词，依据改名规则、代替规则进行等值演算化成前束范式，然后根据前束范式写出对应的skolem范式。

（1）7(xP(x)yzQ(y,z))解：

7(xP(x)yzQ(y,z))(xP(x)yzQ(y,z)xyz(P(x)Q(y,z))

∴所求为:xz(P(x)Q(f(x),z))

（2）x(7E(x,o)(y(E(y,g(x))zE(z,g(x))E(y,z)))))解: 原式x(7E(x,o)(yz(E(y),g(x)E(z),g(x)E(y,z))))

x(7E(x,o)7(yz(E(y)g(x))E(y,g(x)E(y,z))))x(7E(x,o)(u7(E(y),g(x))E(,g(x)E(y,z))))

x(7E(x,o)u((7(E(u),g(x)))(7E(1g(x)))E(y,z))

xu(E(x,o)((7E(u,g(x)))(7E(,g(x)))E(y,z))

即为所求

（3）7(xP(x)yP(y))

解：7(xP(x)yP(y))7(7xP(x)yP(y)7(x7P(x)yP(y)

7(xy(7P(x)P(y)))xy(P(x)7P(y))即为所求。

12．假设xyM(x，y)是公式G的前束范式，其中M（x, y）是仅仅包含变量x，y的母式，设f是不出现在M（x, y）中的函数符号。证明：G恒真当且仅当xyM(x,f(x))恒真。

分析：本题主要是用反证法，根据解释的定义来证明结论成立。

证：设GxyM(x，y)恒真。若xM(x,f(x))不真，则存在一个解释I, 使得对任意的x0D（论域），M(x0,f(x0))为假。于是，G在I下也为假。此为矛盾。

反之，设xM(x,f(x))恒真。若xyM(x，y)不是恒真，则存在一个解释I’，使得对任意xiD，存在yiD，使M(xi，yi)为假。由于f是不出现在M(x，y)中的函数符号，故可定义函数f:使得f(xi)yi。于是，xM(x,f(x))在I’下为假。矛盾。

故结论成立。13．证明

DD，(x)(P(x)Q(x))(x)(Q(x)R(x))(x)(P(x)R(x))

分析：本题是根据基本的等值式、蕴含式、以及US、UG、ES、EG规则证明结论成立。证：（1）(x)(P(x)Q(x))(x)(Q(x)R(x))前提引入

(2)(x)(P(x)Q(x))

化简（1）

（3）P(y)Q(y)

US规则，根据（2）（4）(x)(Q(x)R(x))

化简（1）

（5）Q(y)R(y)

US规则，根据（4）

（6）P(y)R(y)

假言三段论，根据（3），（5）（7）(x)(P(x)R(x))

ES规则，根据（6）

14．构造下面推理的证明：

分析：本题是根据基本的等值式、蕴含式、以及US、UG、ES、EG规则证明结论成立。前提：x(F(x)H(x)),x(G(x)H(x))结论：xG(x)7F(x)

证：（1）x(F(x)H(x))

前提引入

（2）x(7F(x)7H(x))

等价式（1）（3）x(H(x)7F(x))

等值式（2）（4）H(y)7F(y)

US规则（3）（5）x(G(x))H(x)

前提引入（6）G(y)H(y)

US规则（5）（7）G(y)F(y)

假言三段论（4），（6）

（8）x(G(x)7F(x))

UG规则（7）

15．指出下面两个推理的错误。

分析：本题主要是考察US、UG、ES、EG规则的适用范围，也就是前提条件。（1）x(F(x)G(x))

前提引入

（2）F(y)G(y)

US规则，根据（1）（3）xF(x)

前提引入

（4）F（y）

ES,(3)（5）G（y）

假言推理，（2），（4）（6）xGx

UG,(5）

解：（4）错误。Fy中的变元y与（2）中的变元重名。

（1）xyx，y

前提引入（2）yF(z,y)

US规则，（1）（3）F(z,c)

ES规则，（2）（4）xFx,c

UG，（3）（5）yxF(x,y)

EG，（4）解：（3）错误。在yF(z,y)中变元并非只有y。

16.每个学术会的成员都是知识分子并且是专家，有些成员是青年人。证明：有的成员是青年专家。分析：本题主要是首先把明天符号化，符号化前提，结论。然后根据US、UG、ES、EG规则证明结论成立。

解：P（x）：x是学术会的成员；

E（x）：x是专家；

G（x）：x是知识分子；

Y（x）：x是青年人。

前提：x(P(x)G(x)E(x)),(x)(P(x)Y(x))结论：x(P(x)Y(x)E(x))

证明：（1）x(P(x)G(x)E(x)))

前提引入

（2）P(c)(G(x)E(c))

US,(1)

（3）x(P(x)Y(x))

前提引入（4）P(c)Y(c)

ES,（3）（5）P（c）

化简（4）

（6）G(c)E(c)

假言推理,（2），（5）（7）E（c）

化简,（6）

（8）Y(c)

化简,（4）

（9）P(c)Y(c)E(c)

合取（5）（7）（8）（10）x(P(x)Y(x)E(x))

7.离散数学试卷与答案 篇七

一、信息与计算科学专业的设置与发展

信息与计算科学专业是以信息领域为背景,数学与信息、管理相结合的交叉学科专业。它运用近代数学方法和计算机解决信息科学技术领域中的问题,应用十分广泛。专业方向包括图象识别、人工智能、数据压缩、信息处理、软件开发方法和理论计算机科学等。

信息与计算科学专业主要开设离散数学、计算机软件与理论、信息科学方面的专业课程。课程体系和知识结构体现了在扎实的数学基础之上,合理架构信息科学与计算科学的专业基础理论。通过离散数学、信息论、科学计算、运筹学等方面的基础知识教育和建立数学模型、数学实践课、专业实习各环节的训练,着重培养学生解决科学计算、软件开发和设计、信息处理与编码等实际问题的能力。

二、离散数学在信息与计算科学专业中的重要地位

在近十年里,信息技术有了飞速的发展,在生产和生活的各个领域都发挥着越来越大的作用,一个崭新的信息时代正在来临。面对这样一个巨大的变化,国内外对计算机类、信息类专业教育的改革也进行了大量的研讨和有益的实践。当前,高等教育面临着更多的挑战,一方面是新技术新知识的爆炸性增长,另一方面是社会对多种不同类型和层次的人才需求。因此有必要把培养目标和专业方向进一步细分,相关的教学计划和课程体系也需要更新和调整。

许多教育学者认为数学对工程学生是非常重要的,数学思维提供概念框架,学生能从数学中学习到除了微分和积分的知识,当我们考虑如何把数学教给工程学生的时候,不仅仅是数学内容本身,而是掌握解决问题的策略、方法和如何使用资源。

离散数学是高等院校信息科学专业必修的一门专业基础课,是研究离散量的结构及其相互关系的数学学科,是现代数学的一个重要分支。通过离散数学的学习,不但可以掌握处理离散结构的描述工具和方法,为后续课程的学习创造条件,而且可以提高抽象思维和严格的逻辑推理能力。

长期以来,学生把离散数学当成一般数学类课程对待,与高等数学、线性代数无异。因课程本身涉及的知识范围较广,教师也容易忽略授课专业的特点和要求。文献[1],[2],[3]对离散数学教学改革进行了探讨和实践。针对信息及其相关专业的学生,不能千篇一律地设置统一的课程和使用统一的教材,应该根据专业特点有所取舍,教学内容应根据该专业学生的需求,强调与专业密切相关的理论知识,根据教育部颁发CCC2005规范中关于离散数学核心内容的要求与信息与计算科学专业的培养目标,认为“数论”应加入离散数学教学中。

三、“数论”与信息专业的关系

信息技术日新月异,对于当前适用并流行的技术和工具,可能在几年后就会销声匿迹。比如计算机语言、数据库技术、网络技术、加密解密技术,往往几年就会有一次较大的更新。本科教育应该重视培养学生思考的能力、清楚而准确地表达自己的能力、解决问题的能力以及知道什么问题还没有解决的能力。“数论”的学习不仅与信息专业密切相关,而且能使学生在上述能力上得到训练。

“数论”有许多应用,尤其是用于信息科学,包含散列函数、伪随机数生成和移位密码。其中两个重要的应用是做大整数算术的方法和称为公钥系统的密码系统。在了解这些应用之前,应该学习在“数论”及其应用中占中心地位的一些关键性结论。例如,如何用中国剩余定理(即孙子定理)为求解模为两两互素的整数的线性同余系统,如何以这个结果为基础做大整数算术,了解费马小定理和伪素数的概念,并说明如何用这些概念建立一个公钥系统。

RSA密码系统涉及的知识都是“数论”中的基本知识,Wilson定理、Fermat小定理、Euler定理给出了三个重要的同余类。掌握它们能更好地理解RSA加密解密机制。RSA方法现在得到广泛使用。另一方面,人们正在积极研究以求发现有效分解整数的新方法。一旦新的分析方法问世,就必须使用更大的素数以确保信息的安全。已知最有效的分解法(2002年为止)需要数十亿年才能分解400位的整数。

与信息专业密切相关的“数论”理论还有很多,诸如Euclidean算法,用于素性检测的Solovay-Strassen算法、Miller-Rabin算法,分解因子的Pollard p-1算法、Pollardρ算法、Dixon随机平方算法,伪随机数的生成,线性同余类,Hashing函数,模运算等。

四、国内外离散数学教材内容对比

国内外各大出版社出版了大量《离散数学》的教材,通过教材内容的比照,发现离散数学课程与其他课程的重要区别在于内容涵盖范围极广,一般包括数理逻辑、集合论、代数结构、图论,此为离散数学的经典内容。此外,有的离散数学教材还包括数论、数学推理、归纳与递归、计数、离散概率、计算模型、布尔代数等。根据一般经验,完成全部内容的教学需要两个学期,大约108~144学时。如果课时受到限制,教师应该根据本专业学生的专业要求和发展做出教学内容的适当调整和适当增减。

由高等教育出版社2012年出版,屈婉玲主编的《离散数学》是国内众多高校选用的一本优秀教材,它是面向21世纪课程教材。《离散数学》1998年作为普通高等教育“九五”国家级规划教材出版,2004年以“十五”国家级规划教材立项进行了修订。与“修订版”相比,增加了组合数学中关于递推方程、生成函数等组合计数方法的内容,增加了有关初等数论基础知识的介绍,并讲述了它们在计算机加密技术中的应用。同时,删减了关于集合基数以及代数结构中群、环、域、格的部分内容。可见国内对初等数论内容的重视只始于最近几年。根据CCC2005专业规范的意见,计算机科学与技术专业将划分为计算机科学、计算机工程、软件工程与信息技术四个专业方向,高教出版社的《离散数学》主要是根据前三个专业方向的教学要求编写的,而针对信息技术的数学知识还是远远不够。

“数论”是与信息专业密切相关的基础理论。作为信息专业的教师和学生,应该注重“数论”方面的学习。通过调查国内外出版的包含“数论”的离散数学教材,可以看出,国外离散数学教材早在10年前就已经强调“数论”的学习,而目前国内的绝大多数教材并没有将此囊括进去。教材的更新往往有一个较长的周期,教师必须自行加快改革步伐,紧跟时代和信息技术的快速发展。

五、实践

课程设置既要强调理论,也要强调实践。国内出版的离散数学教材包含了大量的实例、应用、算法、练习,但是缺少一些实践类的题目。信息学科是一门特别强调实践和动手能力的专业,为此,在实践教学过程方面,结合当前社会需求及课程知识结构,增加“计算机题目”、“计算和研究题目”、“写作题目”。重视学生在教学活动中的主体地位,尽量激发主动探索和实践的热情,开发学生的学习能力,实现由“授之以鱼”向“授之以渔”的转变。

1. 计算机题目。

每一章学习完后,布置一组计算机题目。把学生已经学到的有关计算和离散数学的内容联系起来。

2. 计算和研究题目。

布置一组计算和研究性问题,要完成这些练习需要软件工具的帮助,例如学生自己编写程序,或数学计算软件如Maple或Mathematica。

3. 写作题目。

布置一组应该书面完成的题目。要完成这类题目,学生需要查阅参考数学文献。有些题目在过去的历史上是很重要的,学生需要查找原始资料,其他的题目则是通往新内容和新思想的途径。

这些题目的设置,完全是开发性的,学生可以锻炼查阅文献的能力、分析问题的能力、判断是非的能力。当然,对习惯于标准答案的学生和习惯于按照教材授课的老师来说,这些题目都是极大的挑战,因为中国式教育普遍缺少思考问题、解决问题的能力。所以,增加实践性课题是教师进行教学改革的有效工具,并能促使学生思维转型,为将来从事科研工作或者实践工作打下良好的基础。

六、结束语

全面提高高等教育质量必须坚持改革创新,敢于突破思想观念和体制机制障碍。离散数学是信息学科学生必修的一门专业基础课,因其课程内容的庞杂和设置的灵活性,教师应根据本专业的培养计划进行适时的改革,不要大而广,与专业需求脱节。经过深入研究、论证,认为应将“数论”加入离散数学课程的学习,并增加实践性题目。实践表明,研究成果在信息专业中具有一定的推广价值。对于专业理论的学习,学什么、学多广、学多深,都是值得探讨和改革的问题,只有在不断的改革尝试和总结改进中,才能使学生真正受益,满足科研型和工程型人才的培养需要。

参考文献

[1]屈婉玲,王元元,傅彦,张桂芸.“离散数学”课程教学实施方案[J].中国大学教学,2011,(1):39-41.

[2]王云侠,侯惠芳.《离散数学》课程建设与教学改革的探索实践[J].科技信息,2008,(4):20.

8.浅谈如何上好《离散数学》课 篇八

【关键词】离散数学 学生自主性 教学方法

【中图分类号】G642.0【文献标识码】A【文章编号】1673-8209(2010)05-0-01

离散数学课程是计算机科学与技术系各专业的一门重要的基础课程,也是计算机科学基础理论的核心课程。本课程介绍计算机科学与技术系各专业所需要的离散数学基础知识,为进一步学习计算机科学的基本理论和方法、学好专业课奠定基础,内容包括数理逻辑、集合论、代数结构与布尔代数、图论和在计算机中的应用共五部分。该课程是培养学生抽象思维能力、逻辑推理能力、缜密概括能力以及分析和解决实际问题能力的主干课程,对学习其他诸多课程,具有重要的指导作用。离散数学教学内容具有知识点多、散、抽象等特点,加之许多学生不能认识到该课程的重要性,缺乏学习兴趣和学习主动性,不仅忽视该课程的学习,甚至害怕这门课程。因此,创新教学方法,提高学生自主学习的积极性,对提高学生的能力、提升教学质量和水平,具有重要的意义。作者在离散数学教学和实践中,积累了若干经验和做法,仅供大家参考。

1 引导学生提高对离散数学课程应用性的认识,激发学生学习的兴趣和爱好,增强汲取知识的自主性

离散数学课程是一门基础性课程,由于许多学生并不能认识到离散数学课程对后续诸多主干课程的指导性作用,看不到该课程的实际应用价值,加上该课程知识比较难而且抽象,很多学生对该课程缺乏学习兴趣和学习主动性,对该门课程只是应付,甚至根本不愿意去学习。

学习离散数学课程对学生今后的学习和工作,具有重要的作用,例如,对数据结构、操作系统、数据库、编译原理、软件工程等后续课程学习的指导作用;培养学生的抽象思维能力和缜密的逻辑推理能力,并为学生今后处理离散信息,提高专业理论水平,从事计算机的实际工作提供必备的数学工具;通过学习,可以掌握数理逻辑,集合论,代数结构和图论的基本概念和原理,并会运用离散数学的方法,分析和解决计算机理论和应用中的一些问题等。学习主动性是学生的力量之源,因此,引导学生充分认识学习离散数学课程的作用,能够激发学生学习的爱好和热情,提升学生学习的积极性和主动性,从而使学生学有成效。

2 认真备课,合理准备教学内容和安排教学环节,优化教学方式方法

备好课是教学取得预期效果的前提和基础,针对学生学习具体情况,合理准备教学内容和安排教学环节,使用恰当的教学方法,在教学中可以起到事半功倍的效果。

(1)合理地准备教学内容。根据课程教学大纲和离散数学课程定理定义比较多、知识比较抽象的特点以及学生的实际情况,准备深度和广度适合学生特点的教学内容。

(2)合理地讲解课程内容,重难点突出讲解,注意轻重缓急。对于离散数学中比较重要、比较抽象的概念和定理,如逻辑的推理理论、关系的性质、群、图等,认真分析,用多种方式和方法深入讲解,可以使用解析法、图示法、矩阵法举实例等多种方法讲解,例如对关系的对称性质的讲解中,可以使用矩阵法进行讲解,判断一个关系是否对称,只需观察它的关系矩阵是否对称即可,再如对关系的传递性质的讲解中,可以使用关系图进行讲解,判断一个关系是否传递,只需观察在关系图中,当x到y有一条路径时,x与y是否有关系即可。对于比较容易理解和掌握的内容,可以一笔带过。这样,学生对所学内容就会有重点地学习,主次分明,学生不仅可以对所学内容掌握透彻,更能熟练把握离散数学中分析问题和解决问题的思路、方式和方法。

(3)启发式教学和教师讲授相结合。很多人认为,大学教学课时紧,内容多,关键靠学生自主学习,所以,大学教学以教师的讲授为主,不需要通过提问、讨论等方式进行教学互动。笔者认为这是不全面的。如果教师不顾学生的理解情况,只顾在讲台上讲授知识,课堂氛围会很沉闷,很多同学不能专注于该门课程的学习,经常走神,教学很难达到预期的效果。因此,有针对性地提问和展开讨论,不仅能够培养学生的思考能力,更能调动学生学习的兴趣和积极性,从而使教学达到最佳效果。

然而,由于离散数学课程在教学难度、课堂教学时间等方面的原因,很多学校都出现师生、学生之间的交流较少,致使学生对该门课程缺乏兴趣,教学效果不佳。所以,教师有必要针对课程中的主要问题或疑难问题适时地提问或者让学生展开讨论,鼓励他们进行独立思考,各抒己见,引导他们逐步深入地对问题进行实质性地分析,必要时,教师对其进行引导,及时总结,使教学达到预期效果。

3 合理布置作业,认真批改作业,有针对性地安排习题课和课后答疑

为了强化学生能力的训练,培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、实际问题的解决能力等,在保证作业数量的同时,更要提高布置作业的质量,增加典型简答题、讨论题、推理题、实际应用题等习题在作业中的分量,使学生在掌握各种基本知识和基本技能的同时,提高自身的综合能力。当然,布置作业是一回事,学生能否认真完成作业,是预期目标能否实现的关键所在,认真检查和批改作业,是督促学生学习的主要途径,也是教师了解学生理解和掌握所学课程情况的主渠道。必要时,教师可以批改一部分作业,其他作业让同学们之间互相检查和批改,不仅可以督促学生学习,更能让学生在批改其他同学作业时逐步认识到自身的缺陷和不足,以备今后更有针对性地学习。

教师在作业检查和批改过程中发现的主要问题和疑难以及学生提出的有代表性的问题,有必要安排习题课进行讲解,帮助学生对解决疑难,加深对所知识的理解。对于学生比较争论的问题,可以展开讨论,鼓励学生大胆发言,培养学生探索未知的精神和创造性解决实际问题的能力。

因此,上好离散数学课,关键是根据学生具体实际,有针对性地安排教学内容,合理使用教学方式方法,最大限度地激发学生的学习兴趣,充分发挥教师的主导作用和学生的主体作用,达到教与学和谐。

参考文献

[1] 屈婉玲,耿素云,张立昂.离散数学[M].北京:高等教育出版社.2008.

[2] 黄巍,金国祥.”离散数学”课程教学改革的探讨[J].中国电力教育,2009(8):82-83.

[3] 周小燕,胡丰华.对提高离散数学教学质量的探讨[J].浙江科技学院学报,2007,19(2):156-158.

[4] 龙浩,张佳佳.怎样教好《离散数学》课[J].贵阳学院学报,2007,2(1):53-57.

9.浅谈《离散数学》教学方法与实践 篇九

关键词：离散数学；教学改革；教学方法

0 引言

《离散数学》是计算机科学中重要的基础理论课程之一，它不仅是许多计算机专业课的必备基础，而且对培养学生抽象思维能力和逻辑推理能力有着重要的作用．但这门课程具有概念多、理论性强、高度抽象等特点，这无疑给教师的教学和学生的学习带来一定的难度．因此，如何提高离散数学课程的教学水平，对于计算机相关专业学生后续课程的学习以及提高学生的抽象思维和逻辑推理能力都具有现实的意义．本文结合作者近年来从事离散数学课程教学的实际，从教学内容、教学方法、教学手段等方面进行了一些初步探讨．提高学生对《离散数学》的认识，调动学习积极性

学生在学习离散数学时，往往看不到它在计算机科学中的具体应用，认为该课程对计算机科学的作用不大，因而不重视离散数学的学习，学习兴趣不高，学习效果不甚理想“兴趣是最好的老师”，因此，在上第一堂课时，教师就应该给学生介绍离散数学的重要性，提高学生的学习兴趣事实上，计算机学科的发展近年来与离散数学的主要内容如数理逻辑、抽象代数和图论等有非常紧密的联系 随着计算机科学的快速发展，进行该学科相关的研究与开发的起点在不断提高，无论学生今后从事理论研究，还是应用开发或者是技术管理工作，都应该具有坚实的理论基础，才能适应学科迅速发展和知识更新的需要．当今计算机科学界的权威人士很多都是研究离散数学出身的．美国的软件之所以能领先，其关键就在于在数学基础上他们有很强的实力，有很多杰出的人才，而我国的信息技术的数学基础十分薄弱，这个问题不解决，我们就难成为软件强国 计算机领域最负盛名、最崇高的一个奖项是图灵奖，具有“计算机界的诺贝尔奖”之称．图灵是一位英国的数学家的名字，他所创立的数学模型一一图灵机(离散数学内容之一)．在可计算性理论中起着重要作用，为计算机的诞生奠定了坚实的理论基础．为了纪念他对计算机科学所做的贡献，国际上用他的名字来命名这个奖项．著名的计算机软件大师狄克斯特(Dijkstra)曾经说过：“我现在年纪大了，搞了这么多年软件，错误不知犯了多少，现在觉悟了．我想假如我早年在数理逻辑上好好下点功夫的话，我就不会犯这么多的错误．不少东西逻辑学家早就说了，可我不知道 要是我能年轻20岁．我要回去学逻辑 ”由此可见离散数学在计算机学科中的重要作用教学内容的优化

《离散数学》课程的教学内容一般包括四个部分：数理逻辑、集合论、代数系统、图论．这四部分内容中每一个部分都可以是一门独立的课程，它们分别作为《离散数学》课程的一部分，容易造成教学内容繁多与教学课时数偏少相矛盾，使教学过程具有很大的难度．如果这几部分的内容都要详细讲授，时间上来不及．所以在在教学过程中对讲授内容的设置上应当有所侧重，比如学生对集合论基础的很多内容在中学数学中已经有所了解，所以这部分内容只需要简要介绍一下，重点放在用集台论的方法解决实际应用问题上．对于二元关系这部分，侧重点是加强对与二元关系的几个性质相关问题的论证方法的训练．在数理逻辑上通过将一般命题公式和一阶逻辑公式化成范式，达到强化训练学生逻辑演算能力，并通过逻辑推理理论的学习来提高逻辑推理能力．图论部分重点放在基本概念的理解和实际问题的处理上，通过对相关定理及其证明思路的理解来体会图论的研究方法．代数系统这部分内容重点放在群论上，尤其要在代数系统、群、子群、循环群、变换群、正规子群的概念及相关问题的理解上下功夫，特别要掌握同构和同态的概念及应用，对于其它的代数系统如环、域及布尔代数则可以略讲．

另外，现行大多数教材，主要是集中在从纯数学理论角度教授基本内容，这也是不利于学生的理解学习的．如果选择了这种教材，在教学过程中，应穿插介绍一些知识点在计算机科学中的应用，将之与离散数学理论结合介绍给学生，使学生重视这一课程的学习，产生学习兴趣，主动地进行学习．这将有利于学生理解理论知识，又为后续课程的学习奠定基础．教学方法实践

3．1 注重理论的理解。推行研究型教学

离散数学中有很多定义、定理、规则，几乎每一节课堂上少则十几个多则几十个新的术语或定理，很多学生由于习惯于背诵的方式来掌握概念，很容易产生枯燥甚至畏难情绪．在教学过程中，我们要注重对于问题的完整理解过程，而不是只告诉学生结论．因此，很多概念、定理都不用死记硬背，只需要理解，这样才能掌握得更牢．

比如，在一阶逻辑中有八个关于量词作用域里的扩张与收缩公式，学生刚开始看到这些公式时，可能会觉得太难记了．那么就需要把证明的方法告诉他们，掌握公式的来龙去脉．其实只有以下两个公式是相对特殊的，需要转换量词形式的：

((A x)A(x)→B)甘(3 x)(A(x)→B)

((3 x)A(x)→xB){(A x)(A(x)→B)

这两个公式可以在有限个体域中采用量词消去法把其中一个公式证明给学生看，其它几个公式要求学生课后采用类似的方法自己动手证明，既可以节省时间，又可以加深学生对公式的理解．

因此，需要把过去习惯的填鸭式教学转换为研究型教学，通过对典型问题的描述分析和解决，鼓励和引导学生实现研究为本的学习．对课程、对问题要多问几个为什么，挖掘深层的东西，要有意识地去培养学生踏实的科学态度．

3．2 理论联系实际

离散数学这门课内容比较难，而且相对枯燥，特别是该课程的结构较为松散，内容杂，学生难以接受．因此．在讲解清楚各种基本概念、定理、定理证明、计算方法等基本内容之外，还应多举一些具有代表性的例子，以加深学生对知识的理解，并能随时介绍所学知识的应用背景和发展方向，使学生能感觉到这门课程的必要性，调动学生的积极性．例如在讲授平面图时，可以给出它们在印刷电路板、集成电路等方面的应用．

另外，如果讲课时能结合一些轻松的故事，也可减轻学习的压力．比如离散数学中哥尼斯堡七桥问题、著名的苏哥拉底三段论、土耳其商人和帽子的故事、一笔画问题、地图染色问题等等．但对于这些问题的介绍不能停留在故事的趣味性上，应当从故事人手，提出有思考性的问题，再促进和启发学生思维的积极性，这样就能达到较好的效果．

3．3 具体与抽象相结合．

离散数学中的许多概念都很抽象，如果直接给出定义，学生往往难以理解．如果能从实际的例子出发，再抽象出基本概念，使得学生对这些概念有更深刻的理解．

例如“二元关系”，可以举一个家庭成员之间的关系的例子：假设某家庭有父母兄弟四位成员，在家庭成员这个集合上，常见的二元关系有父子关系、母子关系、兄弟关系、夫妻关系等，然后以数学符号的形式表示出来，最后再把二元关系的数学定义告诉学生．这样学生对“二元关系”这个概念就有比较清楚的认识了．又如在讲解“群”的概念时，可以先给出具体一个代数系统，如(Z，+)，然后得出该代数系统满足群的三个条件：结合律、存在幺元和每个元素有逆元，从而引出群的定义．

3．4 注重归纳与小结

离散数学的内容虽然多且散，但通过归纳，可以用一条主线贯穿始终，这就是离散数学讨论的内容大多包含两个方面：研究一个系统中涉及到的静态(基本概念)与动态(运算、操作、推理)．如集合论中是元素(静态)及其上的运算(动态)；代数系统中是集合(静态)及运算(动态)；数理逻辑中是公式(静态)和推理(动态)．通过归纳总结，学生能够理清头绪，提高学习效率．

在讲课时，应该把重点、难点精讲细讲，对于易懂的内容可以点到为止．此外还要经常归纳小结，尤其对于一些抽象的和难以记忆的重要知识点，更应该辅以有针对性的归纳总结．比如在讲完代数系统这部分内容时，可按照代数系统、半群、含幺半群、群的顺序依次阐述这几个概念，均是在前一个概念的基础上增加一个性质(封闭性、结合性、幺元、逆元)，最后用图示的方式进行小结，使学生更容易掌握这几个容易混淆的概念．教学手段改革

4．1 建设网络课件。注重教学的互动性

随着计算机技术的发展与普及，在教学过程中引入网络课件已逐渐成为一种时尚．离散数学有很多定义、定理、性质等都是比较抽象的内容，如果在教学的过程中，就概念讲概念，就结论讲结论，学生将难予接受．如果能利用网络课件信息量大、生动有趣的特点，将概念、理论提出的背景以及在计算机技术中的应用介绍给学生，势必会加深学生对概念、理论的理解，激发学生进一步学习的积极性．在离散数学网络课件中，可以集成电子讲稿、作业、答疑、讨论、考试、试题库、网络资源、学习跟踪分析、管理等，极大地改变离散数学教学中存在的问题，为学生提供了丰富多彩的网上教学资源．可以在课堂教学的引导下，充分利用网络课件的特点让师生参与讨论，调动学生的主动性，引导学生发现问题和分析问题，让他们能够自由地、充分地、广泛地进行讨论，从而达到解决问题的目的．

网络课件的电子讲稿是教师上课和学生学习的主要资源，因此网络课件的建设一定要注重电子讲稿的质量．电子讲稿要尽量使用具体形象的媒体展示给同学．使其能从中体验形象与抽象的关系．在制作幻灯片画面时．要注意目标明确，使常规教学中要求的基本技能、重要的思想方法、运算能力和分析问题解决问题的能力尽量反映在课件中，各个幻灯片的连接注意衔接合理、自然．利用人工控制时间，使其变化有序，避免给学生产生黑板搬家的感觉．

当然，笔者认为离散数学网络课件并不能完全取代传统的教学方式．仅仅是利用计算机进行辅助教学，它还不能完全代替“黑板、粉笔”方式的教学．教师完全可以根据教学内容的需要，在教学过程中灵活、适当地应用黑板与粉笔，以起到其特有的点睛效果．例如对一些逻辑性较强，难以理解的需要推理、证明的教学内容，应该使用传统的授课方式进行教学．只有采用传统的教学方式与现代多媒体教学方式相结合的办法，才能实现教学过程的最优化．

4．2 重视学生作业，定时测验

大学扩招以后，很多教师课时量都比较饱满，批阅作业的时间相对较少，有些教师甚至因此不布置作业或不批阅作业，这样显然是不利于学生的学习．离散数学的知识不经过学生的独立思考和多做练习是无法牢固掌握的，因此一定要给学生留一定数量的课后习题．但大部分学生不可能把课本上的习题全部做完，教师也不可能完全批阅．这就要求教师布置作业要选其精华，选题必须要有一定的深度和广度，要覆盖所学的内容，尽量选有启发性质的习题．对于学生的作业，要认真仔细批改，将作业中暴露出来的普遍问题，要进行课堂讲评．通过讲评作业，帮助学生澄清模糊和错误的认识．

另外，为了更好地了解学生的学习情况，克服学生的学习惰性，除了布置作业外，可以在讲完每一部分内容之后进行课堂测验，给学生施加一定的学习压力，把测验成绩作为平时成绩的一部分，让学生能及时地对学过的内容进行归纳、总结．由于时间关系，测验时所选的习题数量不宜过多，尽量做到少而精，具备综合性、典型性等特点．其次，要难度适中．例如在数理逻辑部分的测验中，可分别从命题符号化、公式类型判断、主析取范式、前束范式、逻辑推理等方面进行选题，共五道题左右，其中重点突出符号化与推理理论，力求以点带面，考察学生对所学知识的理解程度

4．3 考试改革

笔者认为离散数学教学改革的一个重要环节是考试方法改革，实行教考分离．学生的考核成绩由平时成绩和考试成绩按一定比例组成，任课教师掌握平时成绩的评定，考试则实行教考分离，任课教师事先不知道考试题目，但可以与命题教师一起讨论命题范围、难度及题型．实行教考分离能进一步激发教师的教学热情和学生学习的主动性，对调动教与学的积极性是有促进作用的，同时也提高了考核的科学性．结束语

总之，要把离散数学这一门课教好，教师就要不断研究新的教学方法，认真掌握教学规律，借助于现代化教学手段，摒弃“填鸭式”教学，提倡“启发”式教学．教师只要具有扎实的理论功底，并具有对学生高度负责的精神，就一定能够找到较好的方法调动学生的学习积极性，从而达到良好的教学效果．

参考文献：

[1]赵青杉，孟国艳．关于离散数学教学改革的思考[J]．忻州师范学院学报，2005，21(5)：6 ．

[2]朱文兴．“离散数学”的教学实践和体会[J]．高等理科教育，2003．1：33—35