不等式的解法练习题

不等式的解法练习题（精选17篇）

1.不等式的解法练习题 篇一

教学目标

1．掌握分式不等式向整式不等式的转化；

2．进一步熟悉并掌握数轴标根法；

3．掌握分式不等式基本解法.

教学重点难点

重点是分式不等式解法

难点是分式不等式向整式不等式的转化

教学方法

启发式和引导式

教具准备

三角板、幻灯片

教学过程（）

1．复习回顾：

前面，我们学习了含有绝对值的不等式的基本解法，还了解了数轴标根法的解题思路，本节课，我们将继续研究分式不等式的解法.

2．讲授新课：

例3  解不等式 ＜0.

分析：这是一个分式不等式，其左边是两个关于x的二次三项式的商，根据商的符号法则，它可以化成两个不等式组：

因此，原不等式的解集就是上面两个不等式组的解集的并集，此种解法从课本可以看到.

另解：根据积的符号法则，可以将原不等式等价变形为（x2－3x＋2）(x2－2x－3)＜0

即（x＋1）(x－1)(x－2)(x－3)＜0

令（x＋1）(x－1)(x－2)(x－3)=0

可得零点x=－1或1，或2或3，将数轴分成五部分（如图）.

由数轴标根法可得所求不等式解集为：

{x|－1＜x＜1或2＜x＜3}

说明：（1）让学生注意数轴标根法适用条件；

（2）让学生思考 ≤0的等价变形.

例4  解不等式 ＞1

分析：首先转化成右端为0的分式不等式，然后再等价变形为整式不等式求解.

解：原不等式等价变形为：

－1＞0

通分整理得： ＞0

等价变形为：（x2－2x＋3）(x2－3x＋2)＞0

即：（x＋1）(x－1)(x－2)(x－3)＞0

由数轴标根法可得所求不等式解集为：

{x|x＜－1或1＜x＜2或x＞3}

说明：此题要求学生掌握较为一般的分式不等式的转化与求解.

3．课堂练习：

课本P19练习1.

补充：（1） ≥0；

（2）x(x－3)(x＋1)(x－2)≤0.

课堂小结

通过本节学习，要求大家在进一步掌握数轴标根法的基础上，掌握分式不等式的基本解法，即转化为整式不等式求解.

课后作业

习题6.4  3,4.

板书设计

●教学后记

探究活动

试一试用所学知识解下列不等式：

（1） ；

（2） ；

（3） ．

答案： （1）原式

观察这个不等式组，由于要求 ，同时要求 ，所以①式可以不解．

∴ 原式

如下图

∴

（2）分析 当 时，不等式两边平方，当 时，在 有意义的前提下恒成立．

原式 （Ⅰ）

或（Ⅱ）

由于同时满足（2）、（3）式，所以（1）式免解．

∴ （Ⅰ）式

（Ⅱ）式 ．

综合（Ⅰ）、（Ⅱ），得 ．

（3）分析 当 时，不等式两边平方，当 时，原式解集为 ．

原式

观察不等式组，设有可以免解的不等式．

原式

如下图

∴

2.不等式的解法练习题 篇二

例题求解不等式|x-4|-|2x-3|≤1.

分析在这一不等式中存在2个表示绝对值的符号, 我们可以选择使用“零点分段法”对这个例题进行分类解析.

解法|x-4|和|2x-3|, 我们可以知道它们的零点分别应该是4和32, 通过零点分段的解析方法, 我们首先可以将x的取值范围划分为三个部分:x≤23, 234.

接下来我们从这三个条件一一进行求解:

当x≤23时, 不等式可以化作-x+4+2x-3≤1, 可以得出x≤0.

当32

因此, 不等式的解可以写作2≤x≤4.

当x>4时, 不等式可以化作x-4-2x+3≤1, 可以得出x≥-2.

因此, 不等式的解可以写作x>4.

综上, 该不等式的解集最终为x≤0或x≥2.

当教学的过程中遇到含有绝对值符号的不等式时, 我们通常可以引导学生选择零点分段法来进行解答, 现将绝对值去掉再解不等式.

二、含有参数的不等式类型

例题设有A, B两数且A与B都是实数, 若不等式 (2A-B) x+3A-4B<0的解集是x>94, 试求出不等式 (A-4B) x+2A-3B>0的解.

分析通过仔细审查题干我们可以让学生了解到, 解答这道题的突破点在于求出x的系数, 这样才能得出不等式的解集, 因此我们可以首先确定A和B这两个数的关系, 然后代入得出未知数x的系数, 按照这样的步骤进行解题.

解法通过 (2A-B) x+3A-4B<0可以得出: (2A-B) x<4B-3A, 同时从题干中可以知道此不等式的解集是x>49, 因此2A-B<0 (将此解看作 (1) ) , 2A4B--3BA=49 (将此解看作 (2) ) .

从 (2) 中我们可以得出B=87A, 代入 (1) 可以得出A<0, 将B=87A代入 (A-4B) x+2A-3B>0可以得出-25Ax>58A, 由于A<0, 因此x>-14.

综上, 不等式 (A-4B) x+2A-3B>0的解集是x>-41.

该不等式例题为含有参数的例题类型, 应该划分为一级分类讨论问题, 在对其进行解析时正确的分类, 能够让看上去比较复杂的例题变得更加清晰.在对含有参数的不等式进行例题教学时, 一定要进行严密的讲解, 让学生重视对未知数系数的讨论, 教会学生将其分为三种情况 (大于0, 小于0, 等于0) 进行分类解答, 再将得出的结果进行最终归纳.

三、用分类解题的方法解决生活中的实际问题

例题去年我校组织参加暑假夏令营活动, 参加活动的师生计划参观故宫, 带队的王老师通过网站得知, 从现在开始预定门票的话, 票价为成人每张150元, 学生每张90元, 但如果等夏季旅游旺季时再临时订票, 票价会上涨10元.这时负责购票的李老师说, 如果我们在5月前订票, 我们的票款可以多买2张学生票, 如果5月之后旅游旺季买, 票款就会不够, 导致有一位老师没有票, 最后买王老师的票, 剩余的钱就少于20元了.根据以上提供的信息, 你能得出我校今年共有多少师生参加夏令营活动吗?

分析仔细阅读题干之后我们可以知道这是一道生活中经常遇到的例题, 从给出的已知条件我们可以选择使用不等式的知识来解题.

解法我们可以先假设有教师x人, 学生y人, 师生总数一共就有 (x+y) 人, 题目要求解出 (x+y) , 这里我们分开假设是方便分析5月之前师生一共需要的票款为 (150x+90y) , 由题干得知5月之前去剩余票款还可以购买2张学生票, 因此可以得出学校一共准备了票款是 (150x+90y+90+90) 元;如果5月之后旅游旺季再购买, 那么就有一位老师因为票款不足而无法购票, 因此能交钱的教师为x-1人, 这时一共所需要的票款为160 (x-1) +100y元, 而剩余的钱<20元.通过分析之后我们就可以列出不等式:150x+90y+90+90-160 (x-1) -100y<20, 将其化简之后得出x+y>32 (此式为 (1) ) .

回头再看题干, 题干中得知“有一名老师因票款不足而没票”, 而不是会有一名学生没有票, 这就告诉我们当只剩下一名学生和一位老师没票时, 剩余的票款只能够买一张学生的票, 即是100<剩余票款<160, 剩下的钱为150x+90y+90+90-160 (x-1) -100 (y-1) 元, 则可以列出不等式100<150x+90y+90+90-160 (x-1) -100 (y-1) <160, 将其简化后得出28

综上, 我们联系 (1) 与 (2) 可以得到师生总人数为32

当遇到这个类型的实际问题时, 我们都可以选择使用不等式的知识来进行解答, 这也是数学实用价值的体现, 通过运用数学知识教会学生解决实际生活中的问题, 以此来激发学生学习数学的兴趣.

参考文献

[1]张水芳.在初中不等式教学中培养学生的探究思维能力[J].宜春学院学报, 2008 (12) :222.

3.浅谈含参数不等式的解法 篇三

一、比较根的大小型

例1.解关于x的不等式x2-2x+1-a2≥0。

分析：二次项系数为1，不等式所对应的二次函数的图像是开口向上的抛物线，且对应的二次方程的根为1-a和1+a。

解：原不等式等价于[x-（1-a）][x-（1+a）]≥0

①当a>0时，1+a>1-a，∴原不等式的解集为{x|x≥1+a或x≤1-a}；

②当a=0时，原不等式等价于（x-1）2≥0，∴原不等式的解集为全体实数R；

③当a<0时，1+a<1-a，∴原不等式的解集为{x|x≥1-a或x≤1+a}。

小结：当含参数不等式能进行因式分解，而根的大小不易区别时，常通过做差法，由根的大小确定参数范围，进行分类讨论。

二、讨论二次项系数型

例2. 解关于x的不等式ax2+（1-a）x-1>0。

分析：△=（a+1）2为完全平方式，∴ax2+（1-a）x-1=（x-1）（ax+1）

因為二次项系数含有参数，不等式所对应的二次函数的抛物线开口方向就不能确定，因此， 需对二次项系数a在零点处进行分开讨论。

解：原不等式可以转化为（x-1）（ax+1）>0

（3）当-4

小结： 若含参不等式所对应的一元二次方程根的判别式不是完全平方式且其符号不确定，则应对方程是否有实根进行分类讨论，即对根的判别式的符号进行讨论。

综合以上的分析讲解，我们不难发现，在解关于含参数一元二次不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类的“不重”“不漏”“最简”，讨论需从如下三方面进行考虑：

1.关于不等式类型的讨论：“ 二次项系数”与 “零”的关系；

2.关于不等式对应方程根大小的讨论：方程的根存在，比较其大小，确定参数范围；

3.关于不等式对应方程有无实根的讨论：讨论根的判别式。

4.一元二次不等式的解法说课稿 篇四

关键词：数形结合;二次函数

一、教材分析

1.地位和作用。本课是五年制高等师范教材南京大学出版社《数学》教材第一册第二章第二节的教学内容，从知识结构看：它是一元一次不等式的延续和拓展，又是以后研究函数的定义域、值域等问题的重要工具，起到承前启后的作用;

从思想层次上看：它涉及到数形结合、分类转化等数学思想方法，在整个教材中有很强的基础性。

2.教材内容剖析。本节课的主要内容是通过二次函数的图像探究一元二次不等式的解法。教材中首先复习引入了“三个一次”的关系，然后依旧带新，揭示“三个二次”的关系，其次通过变式例题讨论了△=0和△<0的两种情况，最后推广一般情况的讨论，教材的内容编排由具体到抽象、由特殊到一般，符合人的认知规律。

3.重难点剖析。重点：一元二次不等式的解法。难点：一元二次方程、一元二次不等式、二次函数的关系。难点突破：(1)教师引导，学生自主探究，分组讨论。(2)借助多媒体直观展示，数形结合。(3)采用由简单到复杂，由特殊到一般的教学策略。

二、目的分析

知识目标：掌握一元二次不等式的解法，理解“三个二次”之间的关系

能力目标：培养学生“从形到数”的转化能力，由具体到抽象再到具体，从特殊到一般的归纳概括能力。

情感目标：在自主探究与讨论交流过程中，培养学生的合作意识。

三、教法分析

教法：“问题串”解决教学法

以“一串问题”为出发点，指导学生“动脑、动手、动眼、动口”，参与知识的.形成过程，注重学生的内在发展。

学法：合作学习(1)以问题为依托，分组探究，合作交流学习。(2)以现有认知结构为依托，指导学生用类比方法建构新知，用化归思想解决问题。

四、过程分析

本节课的教学，设计了四个教学环节：

创设情景、提出问题

问题1.用一根长为10m的绳子能围成一个面积大于6m2的矩形吗?“数学来源于生活，应用于生活”，首先，以生活中的一个实际问题为背景切入，通过建立简单的数学模型，抽象出一个一元二次不等式，引入课题。

设计意图：激发学生学习兴趣，体现数学的科学价值和使用价值。

自主探究，发现规律

问题2.解下列方程和不等式。①2x-4=0 ②2x-4>0 ③2x-4<0

归纳、类比法是我们发现问题、寻求规律，揭示问题本质最常用的方法之一。寻求一元二次不等式的解法，首先从一元一次不等式的解法着手。展示问题2。学生：用等式和不等式的基本性质解题。教师：还有其他的解决方法吗?展示问题3。

问题3.画出一次函数y=2x-4的图像，观察图像，纵坐标y=0、y>0、y<0所对应的横坐标x取哪些数呢?

学生：发现可以借用图像解题。此问题揭示了“三个一次”的关系。

设计意图：为后面学习二次不等式的解法提供铺垫。

问题4用图像法能不能解决一元二次不等式的解呢?已知二次函数y=x2-2x-8.

(1)求出此函数与x轴的交点坐标。

(2)画出这个二次函数的草图。

(3)在抛物线上找到纵坐标y>0的点。

(4)纵坐标y>0(即：x2-2x-8>0)的点所对应的横坐标x取哪些数呢?

(5)二次函数、二次方程、二次不等式的关系是什幺?

教师：展示问题4。此环节，要注意下面几个问题：

(1)启发引导学生运用归纳、类比的方法，组织学生分组讨论，自主探究。(2)及时解决学生的疑点，实现师生合作。(3)先让学生自己思考，最后教师和学生一起归纳步骤。(求根—画图—找解)，抓住问题本质，画图可省去y轴。教师抓住时机，展示例题1，巩固方法(△>0的情况)，规范步骤，板书做题步骤，起到示范的作用。设计意图：运用“解决问题”的教学方法，使每位学生参与知识的形成过程，体现了教师主导学生主体的地位。

变式提问，启发诱导

方程：ax2+bx+c=0的解情况函数：y=ax2+bx+c的图象

不等式的解集

ax2+bx+c>0ax2+bx+c<0

⊿>0

⊿=0

⊿<0

教师：展示例题2(1).-x2+x+6≥0(2).x2-4x+4<0(3).x2-x+3>0。学生：尝试通过画图求解。此环节要注意：引导学生把不熟悉的问题转化为熟悉的问题解决;对于△=0，△<0的情况，启发学生用数形结合的思想方法关键在于画好图像，贵在“结合”。设计意图：通过探索、尝试的过程，培养了学生大胆猜想，勇于探索的精神。

自我尝试，反馈小结。

教师：展示练习题，把学生分成两个小组，要求当堂完成，看哪个组做的好做的快。教师对出现的问题及时反馈。同时，进一步启发引导学生将特殊、具体问题的结论推广到一般化。展示表格，学生：填写内容。

学生理解了“三个二次”的关系，得到一般结论应该是水到渠成。最后，教师做本节课的小结，布置作业。设计意图：激发了学生的求知欲，培养了学生的主动参与意识。

五、评价分析

5.一元二次不等式解法 篇五

第十二教时教材：目的：从一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系出发，掌握运用二次函数求解一元二次不等式的方法。过程 ：一、课题：一元二次不等式的解法先回忆一下初中学过的一元一次不等式的解法：如 2x-7>0 x>    y这里利用不等式的性质解题                                 从另一个角度考虑：令 y=2x-7 作一次函数图象：      xco引导观察，并列表，见 p17  略             当 x=3.5 时, y=0 即 2x-7=0当 x<3.5 时, y<0 即 2x-7<0当 x>3.5 时, y>0 即 2x-7>0结论：略 见p17注意强调：1°直线与 x轴的交点x0是方程 ax+b=0的解2°当 a>0 时,  ax+b>0的解集为 {x | x >x0 } 当 a<0 时,  ax+b<0可化为 -ax-b<0来解y二、一元二次不等式的解法同样用图象来解，实例：y=x2-x-6  作图、列表、观察-2  o      3    x 当 x=-2 或 x=3 时, y=0 即 x2-x-6=0当 x<-2 或 x>3 时, y>0 即 x2-x-6>0当   -20 的解集：{ x | x < -2或 x >3 }不等式 x2-x-6 < 0 的解集：{ x | -2 < x < 3 }这是 △>0 的情况：若 △=0 ,  △<0 分别作图观察讨论得出结论：见 p18--19说明：上述结论是一元二次不等式 ax+bx+c>0(<0) 当 a>0时的情况若 a<0, 一般可先把二次项系数化成正数再求解三、例题 p19 例一至例四练习：（板演）有时间多余，则处理《课课练》p14  “例题推荐”四、小结：一元二次不等式解法（务必联系图象法）五、作业：p21习题 1.5            《课课练》第8课余下部分

6.不等式的解法练习题 篇六

————一元二次不等式及其解法

一、教学内容分析

一元二次不等式的解法是高中重要的基本功，也是初中与高中的衔接点，进一步熟悉不等式的性质的体现，通过学习，让学生了解一元二次不等式的本质，学会一元二次不等式的一般解法思路，理解一元二次不等式的解与对应的一元二次方程根的关系。

二、学生学习情况分析

学生在初中接触过一元二次方程求根，也会解答简单的一元二次不等式。但学生在初中学习的方法比较杂，需要规范一下一般的解答思路。

三、设计思想

由具体的一元二次不等式入手，通过学生的解答，使学生体会利用图像的直观性准确的把握一元二次方程、一元二次函数、一元二次不等式三者之间的关系，并由此解答相关的问题。

四、教学目标

【读一读学习要求，目标更明确】 1．会解简单的一元二次不等式．

2．了解一元二次不等式与二次函数、一元二次方程之间的相互关系． 【看一看学法指导，学习更灵活】

1．利用图象的形象直观可以准确把握三个“二次”之间的关系，牢固地记忆相关结论． 2．解一元二次不等式关键是熟练掌握一元二次不等式解集的结构特征，“对号入座”即可快速地写出其解集．

五、教学重点与难点: 教学重点

1.一元二次不等式的解法与对应方程的根及对应函数的图像的关系。2.含参不等式的处理方法 教学难点: 一元二次不等式的解法与对应方程的根及对应函数的图像的关系的应用。

六、教学过程设计 【设计思路】

（一）解答实例、得出联系

一、问题探究一 三个“二次”之间的联系

问题 下图是函数y＝x2－x－6的图，对应值表： x 3 －2 －1 0 1 2 3 4

y 6 0 －4 －6 －6 －4 0 6

则方程x2－x－6＝0的解集为； 不等式x2－x－6>0的解集为； 不等式x2－x－6<0的解集为．

通过上面的例子，我们可以得出以下结论：(1)从函数的观点来看：

一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集，就是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象在 部分的点的横坐标x的集合；ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集，就是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象在部分的点的横坐标x的集合．(2)从方程的观点来看：

一元二次方程的根是二次函数的图象与的横坐标，一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集，就是的实数的集合；ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集，就是的实数的集合． 一元二次方程的根是对应的一元二次不等式解集的端点值． 问题探究二 一元二次不等式的解法

一元二次不等式的解集与一元二次方程的根以及二次函数的图象之间的关系

二次函数 的图像

一元二次方程 的根的解集的解集

【设计意图】 由特殊到一般，使学生自己探索一元二次不等式的解与一元二次函数的图像及一元二次方程根的关系。让学生自己建构知识体系。

（二）理解关系、解决问题 求下列不等式的解集：

(1)2x2－3x－2≥0；

(2)－3x2＋6x>2.小结 一元二次不等式的解法一般按照“三步曲”：第一步，化二次项的系数为正数；第二步，求解相应的一元二次方程的根；第三步，根据根的情况结合图象写出一元二次不等式的解集．

【设计意图】 通过解答两个小题，使学生总结一下解一元二次不等式的解答步骤。

（三）教师引导、深化认识 例1：不等式的解集为，求与 变式1：不等式的解集为求的解集

变式2：若不等式的解集为，求关于x的不等式的解集． 小结 利用根与系数关系寻找根之间的联系，借此求出方程的根，其中观察根与系数关系的结构变化是解题的关键．

例

2、解关于x的一元二次不等式：ax2＋(a－1)x－1>0.小结 解ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0不等式时要注意对参数分类讨论．讨论一般分为三个层次，第一层次是二次项系数为零和不为零；第二层次是有没有实数根的讨论，即判别式Δ>0，Δ＝0，Δ<0；第三层次是根的大小的讨论． 【设计意图】

使学生进一步理解一元二次不等式的解与对应一元二次方程的根的关系

七、教学反思

1．本课借助于“POWERPOINT课件”，尽量使全体学生参与活动，使原来枯燥单一知识变得直观，便于想象，使学生觉得简单易懂，同时，运用“多媒体课件”辅助教学，节省了板演的时间，从而给学生留出更多的时间自悟、自练、自查，充分发挥学生的主体作用，这充分显示出“多媒体课件”与探究合作式教学理念的有机结合的教学优势。

2．利用两个例题及其引申,通过一题多变,层层深入的探索,以及对猜测结果的检测研究,培养学生思维能力,使学生从学会一个问题的求解到掌握一类问题的解决方法.循序渐进的让学生把握这类问题的解法，虽然从表面上看，我这一堂课的教学容量不大，但事实上，学生们的思维运动量并不会小。

7.含有参数的绝对值不等式解法举例 篇七

普通高中课程 标准实验 教科书《数学》( 选修4 5) ———《不等式选讲》第20页的第9题是:

如果关于x的不等式︱x - 3︱ + ︱x - 4︱ < a的解集不是空集,求参数a的取值范围.

解法二令f( x) = | x - 3 | + | x - 4 | ,即

作出函数的图像( 如图) ,它是分段线段函数.

由图像可知,当a > 1时,原不等式有解.

解法三由绝对值三角不等式可知:

︱x - 3︱ + ︱x - 4︱ = ︱x - 3︱ + ︱4 - x︱≥︱( x 3) + ( 4 - x) ︱ = 1.

要使︱x - 3︱ + ︱x - 4︱ < a的解集不是空集,只需使a > 1.

本题还可以做以下变式:

︱x - 4︱ + ︱x - 3︱ < a的解集为

变式1: 若关于x的不等式︱x - 4︱ + ︱x - 3︱ > a恒成立,求参数a的取值范围.

解令f( x) = ︱x - 4︱ + ︱x - 3︱.

因为︱x - 4︱ + ︱x - 3︱≥1,

所以fmin( x) = 1.

若要使原不等式恒成立,只需使fmin( x) > a即可.

即 a < 1.

变式2: 若关于x的不等式︱x - 4︱ + ︱x - 3︱ < a的解集为,求参数a的取值范围.

若要使原不等式的解集为,只需使

变式3: 若关于x的不等式︱x - 3︱ - ︱x - 4︱ > a有解,求参数a的取值范围( a < 1,解略) .

变式4: 若关于x的不等式︱x - 3︱ - ︱x - 4︱ < a恒成立,求参数a的取值范围( a > 1,解略) .

变式5: 若关于x的不等式︱x - 3︱ - ︱x - 4︱ > a的解集为求参数a的取值范围( a≥1,解略) .

题型二

︱x2+ 2x - 3︱ > a.

8.一元二次不等式的解法（说课稿） 篇八

关键词：数形结合；二次函数

一、教材分析

1.地位和作用。本课是五年制高等师范教材南京大学出版社《数学》教材第一册第二章第二节的教学内容，从知识结构看：它是一元一次不等式的延续和拓展，又是以后研究函数的定义域、值域等问题的重要工具，起到承前启后的作用；

从思想层次上看：它涉及到数形结合、分类转化等数学思想方法，在整个教材中有很强的基础性。

2.教材内容剖析。本节课的主要内容是通过二次函数的图像探究一元二次不等式的解法。教材中首先复习引入了“三个一次”的关系，然后依旧带新，揭示“三个二次”的关系，其次通过变式例题讨论了△=0和△<0的两种情况，最后推广一般情况的讨论，教材的内容编排由具体到抽象、由特殊到一般，符合人的认知规律。

3.重难点剖析。重点：一元二次不等式的解法。难点：一元二次方程、一元二次不等式、二次函数的关系。难点突破：（1）教师引导，学生自主探究，分组讨论。（2）借助多媒体直观展示，数形结合。（3）采用由简单到复杂，由特殊到一般的教学策略。

二、目的分析

知识目标：掌握一元二次不等式的解法，理解“三个二次”之间的关系

能力目标：培养学生“从形到数”的转化能力，由具体到抽象再到具体，从特殊到一般的归纳概括能力。

情感目标：在自主探究与讨论交流过程中，培养学生的合作意识。

三、教法分析

教法：“问题串”解决教学法

以“一串问题”为出发点，指导学生“动脑、动手、动眼、动口”，参与知识的形成过程，注重学生的内在发展。

学法：合作学习（1）以问题为依托，分组探究，合作交流学习。（2）以现有认知结构为依托，指导学生用类比方法建构新知，用化归思想解决问题。

四、过程分析

本节课的教学，设计了四个教学环节：

创设情景、提出问题

问题1.用一根长为10m的绳子能围成一个面积大于6m2的矩形吗？“数学来源于生活，应用于生活”，首先，以生活中的一个实际问题为背景切入，通过建立简单的数学模型，抽象出一个一元二次不等式，引入课题。

设计意图：激发学生学习兴趣，体现数学的科学价值和使用价值。

自主探究，发现规律

问题2.解下列方程和不等式。①2x-4=0 ②2x-4>0 ③2x-4<0

归纳、类比法是我们发现问题、寻求规律，揭示问题本质最常用的方法之一。寻求一元二次不等式的解法，首先从一元一次不等式的解法着手。展示问题2。学生：用等式和不等式的基本性质解题。教师：还有其他的解决方法吗？展示问题3。

问题3.画出一次函数y=2x-4的图像，观察图像，纵坐标y=0、y>0、y<0所对应的横坐标x取哪些数呢？

学生：发现可以借用图像解题。此问题揭示了“三个一次”的关系。

设计意图：为后面学习二次不等式的解法提供铺垫。

问题4用图像法能不能解决一元二次不等式的解呢？已知二次函数y=x2-2x-8.

（1）求出此函数与x轴的交点坐标。

（2）画出这个二次函数的草图。

（3）在抛物线上找到纵坐标y>0的点。

（4）纵坐标y>0（即：x2-2x-8>0）的点所对应的横坐标x取哪些数呢？

（5）二次函数、二次方程、二次不等式的关系是什么？

教师：展示问题4。此环节，要注意下面几个问题：

（1）启发引导学生运用归纳、类比的方法，组织学生分组讨论，自主探究。（2）及时解决学生的疑点，实现师生合作。（3）先让学生自己思考，最后教师和学生一起归纳步骤。（求根—画图—找解），抓住问题本质，画图可省去y轴。教师抓住时机，展示例题1，巩固方法（△>0的情况），规范步骤，板书做题步骤，起到示范的作用。设计意图：运用“解决问题”的教学方法，使每位学生参与知识的形成过程，体现了教师主导学生主体的地位。

变式提问，启发诱导

方程：ax2+bx+c=0的解情况函数：y=ax2+bx+c的图象

不等式的解集

ax2+bx+c>0ax2+bx+c<0

⊿>0

⊿=0

⊿<0

教师：展示例题2（1）.-x2+x+6≥0（2）.x2-4x+4<0（3）.x2-x+3>0。学生：尝试通过画图求解。此环节要注意：引导学生把不熟悉的问题转化为熟悉的问题解决；对于△=0，△<0的情况，启发学生用数形结合的思想方法关键在于画好图像，贵在“结合”。设计意图：通过探索、尝试的过程，培养了学生大胆猜想，勇于探索的精神。

自我尝试，反馈小结。

教师：展示练习题，把学生分成两个小组，要求当堂完成，看哪个组做的好做的快。教师对出现的问题及时反馈。同时，进一步启发引导学生将特殊、具体问题的结论推广到一般化。展示表格，学生：填写内容。

学生理解了“三个二次”的关系，得到一般结论应该是水到渠成。最后，教师做本节课的小结，布置作业。设计意图：激发了学生的求知欲，培养了学生的主动参与意识。

五、评价分析

1.重视学生学习的结果评价，更重视过程评价。2.本节课贯彻了新课程的理念，教学形式开放，体现了“教师主导，学生主体”的教学关系。以上是我对本节课的粗浅认识，如有不妥之处，恳求各位专家、各位同仁批评指正。

9.不等式的解法练习题 篇九

课题:3.2一元二次不等式及其解法 授课时间: 年月日(星期第节授课班级: 执教者: 指导教师:项目内容

一、学习目标1.会通过函数图像知道一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系;2.会解一元二次不等式;

二、重点与难点重点:解一元二次不等式;难点:对一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系的理解。

三、教学过程教学导航与学生平台 设计意 图

(一板书课题(二出示目标(三自学指导

(四先学(一板书课题:3.2一元二次不等式及其解法(二通过投影揭示本节课的学习目标以及学习重难点。(三自学指导(四先学

自学课本76-77页内容,并完成自学指导。1.一元二次不等式的定义

一般地,只含有,并且未知数的最高次数是的整式不等式,叫做一元二次不等式.2.一元二次不等式的解集的定义

一般地,使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个不等式的解,一元二次不等式的所有解组成的集合叫做这个一元二次不等式的解集。

3.一元二次不等式的一般形式: 20 ax bx c ++>(0 a>或20 ax bx c ++<(0 a> 4.探究一元二次不等式2760 x x-+>的解集

(1一元二次方程2760 x x

-+=的根与二次函数276 y x x =-+的零点的关系: ①求解方程2760 x x-+=的根 ②画出函数276 y x x =-+的图像并求出该函数的零点

结论:一元二次方程的 就是所对应的一元二次函数的。当x 取 时,y>0? 当x 取 时,y<0?(3由图象得: 不等式2 760x x-+> 的解集为;不等式2760x x-+< 的解集为;5.根据上述方法,请将下表填充完整。24b ac ∆=-0∆> 0∆= 0∆< 2y ax bx c

当x 取 时,y=0?(2

=++(0a >的图像 20 ax bx c ++=(0a >的根 没有实数根 20 ax bx c ++>(0a >的解集 2 ax bx c ++<(0a >的解集 20 ax bx c ++≥(0a >的解集 20 ax bx c ++≤(0a >的解集 思考:对于一元二次不等式

20ax bx c ++>(0a ≠或20ax bx c ++<(0a ≠ 当二次项系数0a <时应如何求解? 总结:解一元二次不等式的一般步骤是: 一看:看二次项系数是否为正,若为负化为正。

二算:算△及对应方程的根。

三写:由对应方程的根,结合不等号的方向,根据函数图象写出不等式的解集。

自学检测: 解不等式:(12x 2-3x-2>0;(2-x 2+3x-2>0;(34x 2-4x+1≤0;(4x 2-2x+2>0.(五后教

1.帮助学生解决自学过程中存在的问题,以及本节的重、难点及注意事项.2.更正当堂检测存在的问题(先由学生检查更正,更正时用红色粉笔把认为错误的部分用斜线画掉,在旁边更正,保留原有答案,最后师再针对存在的问题进行讲解

过渡:下面我们一起看板演的内容。3.新知延伸 解下列不等式 1.一元二次不等式的定义 2.一元二次不等式的解集的定义 3.一元二次不等式的一般形式: 20ax bx c ++>(0a >或20ax bx c ++<(0a > 4.解一元二次不等式的一般步骤 课后作业: 课本p80 练习1.（1、（2、（3、(5 课时训练16(五后教（六、课堂总结（七、作业布置

四、板书设计

1.一元二次不等式的定义 2.一元二次不等式的解集的定义 3.一元二次不等式的一般形式: 20 ax bx c ++>(0 a>或20 ax bx c ++<(0 a> 4.解一元二次不等式的一般步骤

10.一元一次方程的解法的练习题 篇十

基础训练

一、选择题

1.若a=1,则方程=x-a的解是

A、x=1B、x=2C、x=3D、x=4.

2.方程+10=k去分母后得()

A、1-k+10=kB、1-k+10=6kC、1+k+10=6kD、1-k+60=6k.

3.把方程+10=-m去分母后得()

A、1-m+10=-mB、1-m+10=-12m

C、1+m+10=-12mD、1-m+120=-12m.

4.把方程1-=-去分母后,正确的是()

A、1-2x-3=-3x+5B、1-2(x-3)=-3x+5

C、4-2(x-3)=-3x+5D、4-2(x-3)=-(3x+5).

5.方程x=5-x的解是()

A、B、C、D、20.

二、天空题

6.数5、4、3的.最小公倍数是________________.

7.方程-1=去分母,得_________________.

三、解答题

8.下面方程的解法对吗?若不对,请改正.

-1=解:去分母,得:3(x-1)-1=4x

去括号,得:3x-1-1=4x

移项,得:3x+4x=-1-1

∴7x=-2,即x=-

学练点拨：

去分母时要注意(1)不要漏乘不含分母的项;(2)分子是多项式时,分子必须添加括号.

综合提高

一、选择题

9.解方程1-=-去分母后,正确的是()

A、1-5(3x+5)=-4(x+3)B、20-5×3x+5=-4x+3

C、20-15x-25=-4x+3D、20-15x-25=-4x-12.

10.把方程=1-去分母后,有错误的是()

A、4x-2=8-(3-x)B、2(2x-1)=1-3+x

C、2(2x-1)=8-(3-x)D、2(2x-1)=8-3+x.

11.解方程+=0.1时,把分母化成整数,正确的是()

A、+=10B、+=0.1

C、+=0.1D、+=10.

二、填空题

12.若代数式与-1的值相等,则x=____________.

13.若关于x的方程3x=x-4和x-2ax=x+5有相同的解,则a=__________.

三、解答题

14.解方程:

(1)=(2)(4-y)=(y+3)

(3)=x-(4)1-=.

15.解方程:-=0.5

16.当x为何值时,x-与1-的值相等.

17.已知方程-=1的解是x=-5,求k的值.

18.已知关于x的方程3x-2m+1=0与2-m=2x的解互为相反数,试求这两个方程的解及m的值.

探究创新

19.解方程:++---+=.

11.不等式的解法练习题 篇十一

关键词：中职教育数学一元二次不等式

中职教育的数学基础知识是指：数学中的法则，规律，现象和定理以及由其中的数学知识来演变的思想法则，如代数的运算法则、方程组的解析，三角函数的解析，计算机的使用，等等等等还有现在的科技的应用，使得中职学生在处理现代数据、计算、推理与证明的方面的能力能够更好的应用数学所学的知识当中，就调查中学生在数学方面的应用，则集中在运算方面、计算机的应用能力等。它不仅包括了概率在数学当中的应用、好包括了三角函数在其中的应用，所以想要在运算和计算机方面有所建树，就比需学好数学，这是基础，而且还要学好在数学中的建模，和数学之间的交流，这也尤为的重要。然而想要学好以上的内容并不容易，要一步步学起，着需要不断的积累，一元二次不等式就是学好数学的基础，所以现在要谈谈数学中一元二次方程不等式的解法探究，一元二次方程不等式在中职数学教育中有这与众不同的地位，在整个数学体系中起到承上启下的作用，并且为之后学习的导数，函数，数列学习打下必不可少的基础，并且被更多的体系所利用借鉴，利用一元二次方程体系来解析三角函数较为常见，一元二次方程体系解析代数也较为普通。一元二次不等式即使是二为最高次数的的不等式，形式是：（a+bx+c=O a， b， cER，a>0），而存在a+bx +c < 0； a+bx+c > 0两种不同存在的情况，那么可以将一元二次不等式两边相乘一个负1并调换其一元二次不等式符号的方向，得到了a大于0。因此，常见的一元二次不等式解答中，a大于0的情况较多。

一、分解因式法

分解因式法的构成形式是：将a+bx+c分解为（x+x1）（x+x2），其中a Y+bx+c=0的根为x1， x2。同时要考虑跟的正负问题，得到一元二次不等式组的方法可以将一元二次不等式进行转换。利用此方法来求一元二次不等式方程组，面临着实数根的解答其比较的复杂。

例，求不等式：x2+7x-18<0； x2-_Sx+7>0.

解： x2+6x-8<0，

所以（x+9 ）（x-2 ） <0存在两组x+9>0且x-2<0 ；

x+9<0且x-2>0

那么x>-9且x<2，； x<-9且x>2。

所以一9

因x2 -_Sx+18>0，

所以（x-9） C x+2 ） >0存在两组x-1>0且x+3>0；

x-1>0且x+3>0 则x>1且x>-3；

x<1且x<-3。

x<1或x>-3

二、配方法

配方法：用配方法解一元二次不等式方程ax2+bx+c=0 （a≠0） 先将常数d移到一元二次不等式方程右边：ax2+bx=-d 将二次项的系数化为1：x2+x=- 方程两边再加上一次项系数的半数的平方：x2+x+（ ）2=- +（ ）2 方程左边变成为一个平方式：（x+ ）2= 当b2-4ad≥0时，x+ =± ∴x=

三、根轴法

利用这种方法求解一元二次不等式较为简单，这种方法将其求得的跟放在x轴上，便可求得a+bx+c≠0的值。这便是一元二次不等式的根轴法，此法非常的简单具有简洁性。其根轴法解题步骤为：首先对一元二次不等式a+bx+c=0的根植进行求解；再将求得的根值标注于x轴上；最后将所有的解集写出解析方法。这种方法也可以用于一元高次不等式，多少次都可以解出来。先化成（x-a）（x-b）…（x-n）〉0这样的形式（也可以小于，x系数可以不为1）。比如（x-1）（x-2）（x-3）（x-4）〉0，1.

解：对于求得方程+ 2x一3=o的根有x=-1，x2=一3

则不等式犷+2x-3<0的解为一3

一元二次不等式方 +2x+1>0有解对于 +2x+3>0，因为△=b2-4ac=-8<0.所以，一元二次不等式方程 +2x+3 =0没有解.

在解答一元二次方程不等式中根轴法非常的作用

四、图像法

通过函数所做的图来看，函数图像与X轴的两个交叉点，然后必须利用函数所用“<0”或“>0”而推出答案。十字相乘法的优处所在，其中用处：（1）用此法来分解因式.（2）用此来解一元二次不等式方程组.（3）、十字相乘法对于其他的方法的优势：用此的方法来解题的速度比较快，能够节约大量的时间，而且运用算的体量并不大，不太容易出错.（4）、十字相乘法的缺点：1、有的题目适合用十字相乘的方法来计算，但不是每道题都适合用十字相乘法来计算.2、十字相乘法只适合用于二次三项式的类型的题目.（5）、解题实例：1）、可以解答些简单常见的题目例1把m2+6m-8分解因式分析：本题中常数项8可以分为1×12，2×4当-8分成2×4时，才符合本题因为 1 -2 1×4 所以m2+6m-8=（m+2）（m+4）例2把4x2+7x-9分解因式分析：本题中的4可分为1×4，-9可分为-3×3，2×4，-3×3，-9×1.当系数分为1×4，常数项分为-2×2时，才符合因为2×4 所以3x2+4x-9=（x+3）（3x-3） 例3解方程x2-7x+16=0 分析：把x2-7x+16将此项看成是关于x的一个二次三项式，则16可分成1×16，4×4.因为 1 -3 1×-5 所以原一元二次方程可以变形（x-4）（x-4）=0 所以x1=4 x2=4例4、解方程 6x2-4x-24=0 分析：把4x2-4x-24看成一个关于未知数x的二次三项式，则6可以分为1×6，2×3，-24可以分成-1×24，-4×6，-25×1.因为 2 -5 3×5 所以原一元二次方程可变形成（2x-4）（3x+6）=0 所以 x1=5/2 x2=-5/3 2）、用此方法解一些比较难的题目例5把14x2-57xy+19y2分解因式分析：把14x2-577xy+19y2看成是一个关于未知数x的二次三项式，则14可分为1×14，2×7，19y2可分为y.19y ，2y.9.5y 因为 2 -9y 7×-2y 所以 14x2-57xy+19y2= （2x-9.5y）（7x-2y）

五、结语

中职教师在教学授课的过程中，应该考虑到多种解答的方法，从各种角度来帮助学生更好的学习数学，使得学生树立很多好多种思维。所以在平时的教学课程中，教师在不同的授课手法和教育中，学生才能在老师不同的授课方法中得到不同能够用在实际应用中经验。在中职的教育中，学生不仅仅要学好学生本来的专业知识，同时更离不开数学的教育，数学的教育在中职教育中的地位不了替代。另外，有一些学生有这升学的梦想，那么数学就是必须的学科，数学更是升学的必要途径，把数学学的扎实是非常有用的，而且数学也会成为考学升学的必备的课程。总之，作为职业中专数学学科的基本内容中，一元二次不等式更是学习中野中专数学的基础，学好一元二次方程不等式就是学好数学的一步。

12.类比方程解法,巧解不等式 篇十二

技巧1:分数系数为1, 乘比除管用

例1解不等式-0.125x≤2.5.

【分析】因为-0.125× (-8) =1, 显然, 两边乘-8要比两边同除以 (-0.125) 简便.

解:两边同乘-8, 得x≥-20.

技巧2:整体处理, 化繁为简

例2解不等式3{2x-1-[3 (2x-1) +3]}<5.

【分析】视2x-1为整体进行合并可使解题简便.

解:原不等式化为

整体合并, 得-6 (2x-1) <14.

解这个不等式, 得x>-2/3.

技巧3:先去括号, 化零为整

例3解不等式

【分析】一般解法是先去分母, 但注意到若先去括号, 两未知项的系数之和为1, 故可先去括号, 得

移项, 合并同类项, 得x>3

技巧4:分数拆分, 化整为零

例4解不等式

【分析】因为左边常数项之和为2/3, 右边的常数项也是2/3, 故将左右两边的分数项拆开, 得

移项, 合并常数项, 得

技巧5:分式性质, 替代等式性质

例5解不等式

【分析】第一项、第二项、第三项的分子分母分别乘5、2、4, 因此, 借助分数的基本性质不仅可以化各小数为整数, 而且可以使各分母均为1, 达到去分母的效果, 故

解之, 得x>-2.

技巧6:巧去括号, 化难为易

例6解不等式

【分析】注意到, 先去中括号可明显地简化解题过程.

解:去括号, 得

13.不等式证明练习题 篇十三

A．2B．3C．4D．6 1．设abc,nN，且

x22x22． 若x(,1)，则函数y有（）2x

2A．最小值1B．最大值1C．最大值1D．最小值

13．设P

Q

RP,Q,R的大小顺序是（）

A．PQRB．PRQC．QPRD．QRP

4．设不等的两个正数a,b满足abab，则ab的取值范围是（）

A．(1,)B．(1,)C．[1,]D．(0,1)

5．设a,b,cR，且abc1，若M(1)(1)(1)，则必有（）332243431

a1b1c

A．0M11B．M1C．1M8D．M8 88

6．若a,b

R，且ab,M

NM与N的大小关系是A．MNB．MNC．MND．MN

1．若logxy2，则xy的最小值是（）

33223A．B．C．22

32．a,b,cR，设S3D．232 abcd，abcbcdcdadab

则下列判断中正确的是（）

A．0S1B．1S2C．2S3D．3S

43．若x1，则函数yx116x的最小值为（）xx21

A．16B．8C．4D．非上述情况

4．设ba0，且Pab，M N，RQ112ab2

则它们的大小关系是（）

A．PQMNRB．QPMNR

C．PMNQRD．PQMRN

二、填空题

1．函数y3x(x0)的值域是.2xx

12．若a,b,cR，且abc1，则a的最大值是

3．已知1a,b,c1，比较abbcca与1的大小关系为4．若a

0，则a1a5．若x,y,z是正数，且满足xyz(xyz)1，则(xy)(yz)的最小值为______。

1．设x0，则函数y33x1的最大值是__________。x

2．比较大小：log34______log67

3．若实数x,y,z满足x2y3za(a为常数)，则x2y2z2的最小值为

4．若a,b,c,d是正数，且满足abcd4，用M表示

abc,abd,acd,bcd中的最大者，则M的最小值为__________。

5．若x1,y1,z1,xyz10，且xlgxylgyzlgz10，则xyz_____。

1．若ab0，则a1的最小值是_____________。b(ab)

abbman, , , 按由小到大的顺序排列为baambn2．若ab0,m0,n0，则

223．已知x,y0，且xy1，则xy的最大值等于_____________。

1111，则A与1的大小关系是_____________。210210121022111

125．函数f(x)3x2(x0)的最小值为_____________。x4．设A

三、解答题

1．已知abc1，求证：abc

2221 3

．解不等式x73x40

3．求证：ababab1

．证明：1)1

1．如果关于x的不等式x3x4a的解集不是空集，求参数a的取值范围。

22...abc2

3

3．当n3,nN时，求证：2n2(n1)

4．已知实数a,b,c满足abc，且有abc1,a2b2c21，求证：1ab

1． 设a,b,cR，且abc，求证：abc

2．已知abcd，求证：

3．已知a,b,cR，比较abc与abbcca的大小。3332224 32323231119 abbccaad

．求函数y

5．已知x,y,zR，且xyz8,xyz24

求证：

14.不等式练习题1 篇十四

A．有最大值－2 ；B．有最小值2；C．无最大值和最小值；D．无法确定

2．设x，y满足x＋y＝40且x，y都是正整数，则xy的最大值是()

A．400 ；B．100；C．40 ；D．20

43．已知x≥2，则当x＝____时，x＋有最小值____． x

124．已知f(x)＝＋4x.x

(1)当x＞0时，求f(x)的最小值；(2)当x＜0 时，求f(x)的最大值．

一、选择题

1．下列各式，能用基本不等式直接求得最值的是()

11－A．x＋ ；B．x2－1C．2x＋2x； D．x(1－x)2xx－1

62．函数y＝3x2＋()x＋1

A．32－3 ；B．－3；C．62；D．62－3

3．已知m、n∈R，mn＝100，则m2＋n2的最小值是()

A．200 ；B．100；C．50 ；D．20

4．给出下面四个推导过程：

ba①∵a，b∈(0，＋∞)，∴＋≥2＝2； abab

②∵x，y∈(0，＋∞)，∴lgx＋lgy≥2lgx·lgy；

4③∵a∈R，a≠0a ≥a＝4； aa

xyxy④∵x，y∈R，xy＜0，∴[(－)＋(－)]≤－－－＝－2.yxyxyx

其中正确的推导过程为()

A．①②；B．②③；C．③④ ；D．①④

115．已知a＞0，b＞0，则＋2ab的最小值是()ab

A．2 ；B．22；C．4 ；D．5

6．已知x、y均为正数，xy＝8x＋2y，则xy有()

11A．最大值64 ；B．最大值C．最小值64 ； D．最小值 6464

二、填空题

17．函数y＝x＋(x≥0)的最小值为________． x＋1

8．若x＞0，y＞0，且x＋4y＝1，则xy有最________值，其值为________．

xy＋9．(2010年高考山东卷)已知x，y∈R，且满足＝1，则xy的最大值为________． 34

三、解答题

x2＋8410．(1)设x＞－1，求函数y＝x＋＋6的最小值；(2)求函数y＝x＞1)的最值．x＋1x－1

11111．已知a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1，求证：(((－1)≥8.abc

15.不等式的解法练习题 篇十五

1课题分析 (内容分析)

1) 本课题是联系函数、方程、三角、线性规划、直线与圆锥曲线以及导数等内容的桥梁和纽带.许多问题的解决都要建立在一元二次不等式正确求解的基础上.因此, 一元二次不等式的解法具有极强的基础性和工具性.

2) 一元二次不等式的解法只需以初中所学的一元一次不等式的解法、一元二次方程的求解及二次函数图像等为基础, 因此本课题的教学基础较好.

3) 一元二次不等式可看成是二次函数的一部分, 二者的关系是一般与特殊或全体与部分的关系.这就有可能直接运用从一般到特殊的认识方法, 引导学生运用二次函数的有关知识与技能去探究和发现一元二次不等式的解法.

4) 本课题常用的解法有:

1因式分解法, 即转化为一元一次不等式问题求解.它要求学生会正确地对二次三项式进行因式分解, 然后将不等式变形为两个一元一次不等式组, 最后确定解集.但是对二次三项式进行因式分解是一件不容易的事情, 而且有些时候给出的二次三项式, 在实数范围内并不能进行因式分解.所以, 降次虽好, 但有局限性.

2配方法, 即转化为绝对值不等式问题求解.这种方法是建立在学生对一元二次方程的配方解法非常熟练基础上, 将一元二次方程中的等号改成不等号, 然后结合不等式的性质得出的解法.这也是一种单纯的代数方法.

3图像法, 即作出一元二次函数的图像, 通过“解方程—画图像—写解集”的方式求解.因式分解法和配方法主要体现出的是“数”的特征, 分别依据实数乘法的符号法则和不等式的性质;而图像法则把数与形有机结合, 形象直观, 学生印象深刻, 有利于记忆.正如华罗庚所说“数与形, 本是相倚依, 焉能分作两边飞;数无形时少直觉, 形少数时难入微;数形结合百般好, 隔离分家万事休”.一元二次不等式的图像解法是培养学生数形结合思想方法的好素材.基于此, 本课题采用图像法.

2目标分析

2.1知识与技能

1) 掌握一元二次不等式的解法;

2) 能利用二次函数图像与二次方程来求解一元二次不等式, 理解它们三者之间的内在联系.

2.2过程与方法

借助现代化多媒体教学手段加强函数图像、方程的根与不等式的解集之间的联系, 利用多媒体课件的动态演示, 使数形结合的思想直观化, 同时为求解不等式的过程提供技术支持, 培养学生动手能力、观察分析能力、抽象概括能力、归纳总结等系统的逻辑思维能力, 培养数形结合、函数与方程、分类化归等数学思想.

2.3情感、态度与价值观

通过研究函数、方程与不等式之间的内在联系, 使学生认识到抽象与具体、联系与转化、特殊与一般、个性与共性等辩证唯物主义的观点和方法, 树立辩证的世界观;通过探究和动手实践, 增强对数学的亲和力和对数学学习的热情, 培养坚韧的意志和勇于探索、勇于挑战、不怕困难的精神.

3教学问题诊断分析

理解一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的关系 (也即“三个二次”的关系) 并求解一元二次不等式是本课题的重难点.一元二次函数是一元二次不等式的本质源头, 一元二次函数的图像是发现一元二次不等式解法所用的工具或“拐杖”, 应从分析图像入手, 紧扣图形, 引导学生勾通不等式、方程与函数的相互关联, 将一元二次不等式的知识纳入到二次函数的同一结构之中, 由旧知去发现新知, 用已知的揭示未知的, 进而突破难点.

借助函数图像求解一元二次不等式, 可以大大降低对不等式求解问题的理解, 利用图像的直观性, 引导学生观察二次图像上任意一点P (x, y) 在图像上移动, 随着点P的横坐标x的变化, 点P的纵坐标y的变化情况, 当y>0时, 图像位于x轴上方的点正投影到x轴上, 得出x的取值范围, 同理, 当y<0时, 图像位于x轴下方的点正投影到x轴上, 得到x的取值范围, 方程的根是二次函数的两个零点, 恰恰也是不等式解集的端点.在获得感性认识的前提下, 归纳出图像法求一元二次不等式解集的3个步骤, 即:

4教学支持条件分析

针对本课题的教学难点, 采用现代化多媒体教学手段, 借助计算机的人机交互技术, 创设了生动、形像、直观的教学情境, 引导学生通过观察、思考, 进行探究, 将数与形紧密结合起来, 亲身体验和感受数学知识的形成过程和规律的发现过程.图2是动画演示的一个界面.

在该动画中, 自由地键入不等式a, b, c系数, 从而同步、即时改变一元二次函数的图像、一元二次不等式的根和一元二次不等式的解, 抽象的数学规律一下子变得直观、生动起来, 通过反复试验, 将一元二次不等式中抽象的“数形结合”形象地展现在学生面前, 学生可以迅速获得“三个二次”的关系, 并由感知到理解.计算机交互技术将数形结合思想直观化, 为学生提供良好的研究探索平台, 使教学目标得以顺利完成, 并收到良好的学习效果.

5教学策略与学法指导

本课题是在学生已了解一元一次方程、一元一次不等式与一次函数的知识的基础上进行教学的, 从认知特点来看, 学生在理解“三个二次”的关系上, 应用一定的困难, 因此教学中应充分利用多媒体课件的优势形像地展示一元二次不等式的解法, 突破教学难点, 提高学习效率.在教学过程中, 坚持以“学生为主体, 教师为主导”, 采用教师“启发引导”与学生“自主探究”相结合的方法, 通过人机交互平台, 引导学生主动观察, 亲自动手, 积极思考, 发现问题, 并归纳总结规律, 整个过程体现出由观察到分析、由定量到定性, 由直观到抽象的特点.教学过程中穿插着研究、讨论、交流及教师的点拨、启发、讲解, 形成了良好的师生互动和生生互动, 使学习是一个认知、体验、探究、建构知识的过程.

6教学过程设计

6.1创设情境, 埋下伏笔

问题1 (1) 解方程3x+2=0;

(2) 作出函数y=3x+2的图像;

(3) 解不等式3x+2>0和3x+2<0.能通过观察一次函数的图像求得一元一次不等式的解集吗?请将结果填入表1.

设计说明由于学生在初中对一元一次方程、一元一次不等式与一次函数这些基础知识都比较熟悉, 所以完成以上任务非常轻松.本环节是使学生理解方程的根、不等式的解集, 都是特定的函数值之下对应的自变量取值的集合:一元一次方程的根就是一次函数图像与x轴交点的横坐标, 一元一次不等式的解集就是一次函数图像在x轴上方或下方的x的取值集合, 从而提炼出3个“一次”的关系, 引导学生发现一次不等式与一次函数之间有着密切的联系.而3个“一次”的关系又是以一次函数为研究核心, 一次函数的图像起着桥梁和纽带的作用, 另外还强调了一次项的系数正负问题, 这些都为接下来用类比的思想方法求解一元二次不等式奠定了基础, 为研究一元二次不等式的图解法埋下伏笔.

6.2引入课题, 探索新知

问题2先看下面3个一元二次不等式, 求出其解集.

(1) x2-x-6<0;

(2) x2+2x+1>0;

(3) x2+2x+4>0.

提供一元二次不等式演示动画, 让学生自主输入a, b, c系数值, 从而改变研究对象.演示过程效果见图2所示.

设计说明对于一元一次不等式问题, 已利用一次函数图像这个“形”找到了其求解方法, 把学生引进“最近发展区”.在此基础上进一步研究二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的关系自然就水到渠成.对于提出的一元二次不等式新问题, 学生思维正向迁移, 类比联想, 很自然地把它与二次函数联系起来, 利用二次函数图像这个“形”来寻找答案.其思维设想如图3所示.

利用所提供的演示动画, 学生动手实践, 通过观察和分析图像的变化, 获取信息, 积极探究, 对“数”在“形”上如何具体体现, “形”对“数”怎样细致刻画有更深的认识和理解.一元二次函数与x轴交点的横坐标就是其对应的一元二次方程的根, 这正是揭示二次函数、一元二次方程和一元二次不等式三者关系的关键, 通过观测y>0, y<0发现一元二次不等式的解集正是相应的二次函数图像在x轴上方或下方的x的取值集合.这3个“二次”的关系中, 二次函数的图像起着关键的作用.

在探究过程中, 教师要引导学生对“数与形”的正确观察分析, 诱导学生认知冲突, 合理猜想, 同时指导学生进行符号语言、文字语言和图像语言之间的转换, 促进学生形成如下知识结构:

6.3归纳总结, 提炼方法

问题3已知函数y=ax2+bx+c (a≠0) , 试填写表2.

设计说明从特殊的情况入手, 寻求一般化的结论, 符合学生的认知规律.通过探究, 学生头脑中已不只是孤立地解不等式, 对一元二次函数的图像与x轴的位置关系已心中有数甚至了然于心, 在此基础上加以归纳概括、总结提炼, 不仅深化了对3个“二次”的关系的认识和理解, 而且将能深刻领悟到图像法求解一元二次不等式的基本原理.本题由于系数是参数, 无法确定抛物线与x轴的位置关系, 所以必须分类讨论, 而方程的根是由Δ判别式决定, 所以以上表格按Δ来分类.表格中的内容皆有学生自主填写, 将会使学生对一元二次不等式求解的基本步骤:“求根—画图—找解”不感到陌生, 对不等式解集和方程的根之间的关系:“小于取中间, 大于去两边”也不感到突兀.这一设计符合“螺旋上升”的教学理念, 也体现了现代数学教学理论的“再创造原理”.弗莱登塔尔认为:数学教学方法的核心是学生的“再创造”.这个设计环节就是指导学生完成解一元二次不等式的数学化过程.

6.4方法应用, 实践升华

问题4 (1) x2≤1;

(2) 2x2-3x-2>0;

(3) 4x2-4x+1>0;

(4) -3x2+6x>2;

(5) -x2-x<1;

(6) x2-2x+1≤0.

设计说明学生虽然在上一个环节中得出了解一元二次不等式的基本结论, 但实践是检验真理的唯一标准, 在方法应用的过程中, 还有很多细节需要向学生说明.1若不等式不是一般形式, 首先化成一般式;2二次项的系数若为负数, 用图像法照样可求解, 但是实际求解时, 还是化为正数作正处理, 这符合习惯, 也减少了出错的可能;3画图时, 只要注意抛物线的开口方向和抛物线与轴公共点的横坐标, 其余细节都可以省略, 包括y轴都可以省略不画, 这样能快速抓住问题的本质, 使得图像更利于观察;4对求根—画图—找解的解题步骤, 在“成图在胸”的情况下, 可以不必再画图;5归纳形成的表格, 里面的内容不必死记硬背, 而是着重掌握数形结合的思想方法, 领会图像法的要领.

从题型上, 这6个不同类型的题, 较为典型和精炼, 分别对应不等式的解集的6种形式: (1) 夹中间的形式, (2) 两边的形式, (3) 不等于某个零点的形式, (4) 空集, (5) 全体实数, (6) 等于某个零点的形式.其中第 (1) 题, 学生往往会想当然的认为{x|x≤±1}, 对此教师要及时纠正错误, 强调图像解法和基本步骤, 问题 (6) 的解集是{x|x=1}, 这种由不等式结构却解出等式来的结构对学生的心理有一定冲击, 但仍切合学生的实际水平.总之, 对于这6题的求解, 都要鼓励学生画出图形, 从图形中观察结果得出答案, 教师要及时发现问题, 鼓励与启发相结合, 使一元二次不等式的解法更加完备, 将课堂教学推向高潮.

6.5拓展延伸, 留下思考

思考题解关于x的不等式:

(1) (x-a) (x-1) <0;

(2) a (x-a) (x-1) <0.

设计说明含参不等式的解法是解二次不等式的重要构成部分, 系数为常数的一元二次不等式的解法采用的的是图解法, 把系数变换成字母后该如何解?实际上, 含参数一元二次不等式的解法与系数为常数的解法本质是相同的, 具有同源性, 布置思考题目的是让学生感受参数带来的影响, 考察学生“再创造”的能力, 为分类讨论教学做好准备.

7教学体会

16.不等式的解法练习题 篇十六

1．教学内容

本节课是人教版高一数学第一册（上）（2003年审查通过）第一章第5节《一元二次不等式的解法》第1课时。

2.本节课内容在整个教材中的地位和作用

一元二次不等式的解法是初中一元一次不等式或一元一次不等式组的延续和深化。本节内容是在高一学生学完了集合的有关概念，集合的表示及集合与集合之间关系之后，考虑到集合知识的应用与巩固，又考虑到下一章讨论函数的定义域和值域的需要而安排的。它也与高中数学后续学习的函数、数列、三角函数、线形规划、直线与圆锥曲线以及导数等内容密切相关，许多问题的解决都会借助一元二次不等式的解法。因此，一元二次不等式的解法在整个高中数学教学中具有很强的基础性，体现出很大的工具性作用。

3.教学目标定位

根据教学大纲要求、高考考试大纲说明、新课程标准精神、高一学生已有的知识储备状况和学生心理认知特征，我确定了三个层面的教学目标。

［知识与技能目标］：

（1）熟练掌握一元二次不等式的解法，正确理解一元二次方程、一元二次不等式和二次函数三者的关系；（2）培养学生运用数形结合与等价转化等数学思想方法解决问题的能力，提高运算、作图能力。

［过程与方法目标］：

（1）通过学生动手实验培养学生实际操作能力、抽象思维与形象思维能力；（2）使学生在探究学习过程中体会由具体到抽象、由特殊到一般，类比、猜想的数学思想方法，渗透数形结合、方程与函数、分类讨论等数学思想。

［情感态度和价值观］：

（1）培养学生勇于自主探索的精神和合作学习的意识，鼓励学生勇于创新，同时激发学生学习数学的热情；（2）通过对解不等式过程中等与不等对立统一关系的认识，向学生逐步渗透辩证唯物主义思想。

4.教学重点和难点

教学重点：一元二次不等式的解法。

教學难点：一元二次方程、一元二次不等式和二次函数三者的关系。

二、教法分析

1．本节课的设计是以教学大纲和教材为依据，采用探索式教学。遵循因材施教的原则，坚持以学生为主体，充分发挥学生的主观能动性。

2．考虑到高一学生已有的数学知识结构，即学过一次函数和二次函数的基础知识，而对其理解又不深刻的现实，在教学方法上以学生动手实践、自主探索、合作学习为主，让学生从实践中观察、探索、归纳知识，而老师成为学生的帮助者和引导者。在本节课的教学过程中，我将紧紧围绕教师组织——启发引导，学生探究——交流发现，组织开展教学活动。我设计了①创设情景——引入新课；②交流探究——发现规律；③启发引导——形成结论；④练习小结——深化巩固；⑤思维拓展——提高能力。这五个环环相扣、层层深入的教学环节，在教学中注意关注整个过程和全体学生，充分调动学生积极参与教学过程的每个环节。

3．应用现代信息技术和数学智能平台，使用多媒体课件辅助教学，使教学内容表现更直观。

三、学法分析

由于本节课的内容比较适合于培养学生的探究能力和养成探究习惯,故将学生分成学习小组(四至五人为一组),进行小组合作式的探究式学习,对所研究的问题进行共同分析,相互交流讨论学习。

选用这种学习方法,对培养学生的实践和探索能力以及相互协作精神均有积极意义，同时容易使学生学会发现问题、分析问题和解决问题的方法。

四、教学过程分析

教学环节(一)：创设情境引入新课

教学过程

（幻灯片1)问题1：画出一次函数y=2x-7的图像。

填空。

（1）方程2x-7=0的解是；

（2）不等式2x-7>0的解集是 ；

（3）不等式2x-7<0的解集是 ；

提问：请同学们注意,一元一次方程、一元一次不等式和一元一次函数有什么关系?(“三个一次”关系)

从上面的特殊情形引导学生发现一般的结论。

(幻灯片2):一般地，设直线y=ax+b与x轴的交点是(x0,0),就有如下结果：

一元一次方程ax+b=0的解集是{x|x=x0}；

一元一次不等式ax+b>0解集（a≠0）。

(1)当a>0时,一元一次不等式ax+b>0的解集是{x|x>x0};

一元一次不等式ax+b<0解集是{x|x

(2)当a<0时，一元一次不等式ax+b>0解集是{x|x

一元一次不等式ax+b<0解集是{x|x>x0}。

(学生看图总结,教师在幻灯片中给出结果)

设计意图：设置问题1有利于学生回忆起自己已有的知识和技能，把复杂的学习任务加以分解，给学生建立学习“支架”，即解一元一次不等式的方法。为后面学习二次不等式的解法打下基础，作好铺垫。另一方面使学生在自己熟悉的问题中首先获得解题成功的快乐体验。

问题2：(幻灯片3)（2004年江苏省高考试题）二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)的部分对应值如下表：

x-3-2-101234

y60-4-6-6-406

则ax2+bx+c>0解集是。

引导学生运用解决问题1的方法,画出二次函数y=ax2+bx+c的图像求解，并请学生说出不等式ax2+bx+c<0的解集和方程ax2+bx+c=0的解,同时注意一元二次方程、一元二次不等式和二次函数有什么关系?(“三个二次”关系)

设计意图：设置问题2以高考题为背景引入新课，可以提高学生兴趣，抓住学生眼球，让学生实实在在感受到高考题就在我们的课本中，就在我们平常的练习中。

教学环节(二)：交流探究发现规律

教学过程

(幻灯片4)题组1（课本19页例1、例2）

（1）解不等式2x2-3x-2>0;

（2）解不等式-3x2+6x>2。

学生根据问题2的方法画图求解,教师巡回指导,提醒学生注意掌握画二次函数图像的要领和方法。

题组2（课本19页例3、例4）

（1）解不等式4x2-4x+1>0；

（2）解不等式-x2+2x-2>0。

学生不难想到,这两题的方法和上面完全相同,教师在巡回指导中及时提醒学生注意和上面两题的不同,由图像写出解集是难点,必要时教师在黑板上画出图像给予一定的提示或讲解。

设计意图：从特殊到一般是我们发现问题、寻求规律、揭示问题本质最常用的方法之一。把课本例题1、2编为题组（一），例3、例4作为题组（二），让学生用图像法自己求解。两个题组的练习之后，可以寻求解二次不等式的一般规律。

教学环节（三）：启发引导得出结论

教学过程

至此，我们掌握了用图像法来解一元二次不等式。当然，我们可以仿照前面探讨“三个一次”关系的做法来探讨这里“三个二次”的关系。

引导学生分三种情况(△＞0,△＜0,△＝0)讨论一元二次不等式ax2+bx+c＞0(a＞0)与ax2+bx+c＜0(a＞0)的解集。

(幻灯片5)

解一元二次不等式的基本步骤：

（1）把二次项系数化为正数；（2）确定对应方程是否有实根，如有实根则求出根；（3）根据对应的二次函数的大致图像以及不等号的方向，写出不等式的解集。

设计意图：前面两个题组的四个小题，基本涵盖了一般一元二次不等式的各种情况，进一步启发引导学生将特殊、具体题目的结论作一般化总结，得出解集规律和步骤。由学生自己总结解题步骤，提高学生的认知水平。

教学环节（四）：运用结论深化巩固

教学过程

（幻灯片6）

1.解下列等式：

(1)3x2-7x+2＜0；(2)-6x2-x+2≤0；

(3)4x2+4x+1＜0；(4)x2-3x+5＞0。

2.x是什么实数时，函数y=x2-4x+1的值（1）等于0？（2）是正数？（3）是负数？

3.x是什么实数时，x2+x-12有意义？

设计意图：通过练习，使学生初步运用结论来解决具体的一元二次不等式，从而验证结论，同时加深对结论的理解。

教学环节（五）：课堂小结

教学过程

（幻灯片7）小结：

1.一元二次方程、一元二次不等式和二次函数的关系：(1)方程的解对应于函数图像与x轴的交点；(2)不等式的解对应于函数图像与x轴上方（或下方）部分在x轴上的点。

2.解一元二次不等式的基本步骤：（1）把二次项系数化为正数；（2）确定对应方程是否有实根，如有实根则求出根；（3）根据对应的二次函數的大致图像以及不等号的方向，写出不等式的解集。

我们把上述根据图像来解一元二次不等式的方法叫就图像法。根据图像来解题，是我们数学中一种很重要的思想，即：数形结合的思想。

设计意图：通过小结，使知识得到保持和迁移，同时有利于培养学生良好的学习习惯。

教学环节（六）：思维拓展能力提高

教学过程

（幻灯片7）思考：

1.若不等式x2+2x+a<0的解集为空集，求实数a的取值范围。

2.若不等式x2+x+a>0的解集为R,求实数a的取值范围。

3.已知不等式ax2+bx+2>0的解集为x｜-12＜x＜13,求a、b的值。

设计意图：设置思考题，使学生活跃思维，培养创新。同时为学有余力的学生提供学习空间,符合分层教学的要求。

教学环节（七）：课后评价

教学过程

(时间20分钟)

1.解下列不等式：

(1)2x2-3x+1<0； (2)-3x2+4x+4<0；

(3)-x2+2x-3>0；(4)14x2-x+1＞0。

2.解不等式：(2x+1)(4x-3)>0。

3.不等式x2-x+a<0的解集为空集，求实数a的取值范围。

设计意图：通过评价功能使学生所学知识得到强化，同时促进学生的学习动力，也有利于教师检验教学效果,为后面的教学提供参考和依据。

教学设计说明

本节课的所有内容以题组的形式展现给学生,学生始终在解题中探究,在解题中发现,学生参与教学的全过程,成为课堂教学的主体和学习的主人,而教师时刻关注学生的活动过程,不时给予引导,及时纠偏。

复习引入的问题1是学生已经熟知的一元一次不等式、一元一次方程及一次函数即“三个一次”的关系问题,旨在为后面探讨“三个二次”的关系提供方法和思路；问题2是课本中的材料,以高考题的形式出现可以引起学生更大的关注和兴趣。教材中的四个例题让学生完全按照解决问题2的方法自己去解,教师只在必要的时候提醒学生应该注意的问题,或学生遇到困难时给予引导。完成四道例题后,学生对一般一元二次不等式的解法和“三个二次”的关系已经有一定的理解,然后由特殊到一般,引导学生总结规律,形成一般结论。最后，学生再利用自己的总结去完成课堂练习,刚刚形成的方法与结论可以进一步巩固和深化。例题、练习和作业的设置由浅入深,并且补充部分题目，照顾各个层次的学生。

17.初一下学期数学不等式练习题 篇十七

1、在数轴上表示不等式 ≥-2的解集，正确的是( )

A B C D

2、下列叙述不正确的是( )

A、若x<0，则x2>x B、如果a<-1，则a>-a

C、若 ，则a>0 D、如果b>a>0，则

3、代数式1-m的值大于-1，又不大于3，则m的取值范围是( )

4、不等式 的正整数解为( )

A.1个 B.3个 C.4个 D.5个

5、不等式组 的整数解的和是 ( )

A.1 B.2 C.0 D.-2

6、若 为非负数，则x的取值范围是( )

A.x≥1 B.x≥-1/2 C.x>1 D.x>-1/2

7、下列各式中是一元一次不等式的是( )

A.5+4>8 B.2x-1 C.2x-5≤1 D.1/x-3x≥0

8、若│a│>-a,则a的取值范围是( )

A. a>0 B.a≥0 C.a<0 D.自然数

9、不等式组 的解集是( )

10、如果关于x、y的方程组 的解是负数，则a的取值范围是

A.-45 C.a<-4 D.无解

11、若关于x的不等式组 的解集是x>2a,则a的取值范围是

A. a>4 B. a>2 C. a=2 D.a≥2

12、若方程组 中，若未知数x、y满足x+y>0,则m的取值范围是

二、填空题

13、不等式2(1) x>-3的解集是 。

14、用代数式表示，比x的5倍大1的数不小于x的 与4的差 。

15、若(m-3)x<3-m解集为x>-1,则m .

16、三角形三边长分别为4，a，7，则a的取值范围是

17、若不等式组 的解集为-1

18、某次个人象棋赛规定：赢一局得2分，平一局得0分，负一局得反扣1分。在12局比赛中，积分超过15分就可以晋升下一轮比赛，小王进入了下一轮比赛，而且在全部12轮比赛中，没有出现平局，问小王最多输 局比赛

三、计算题

19、解下列不等式(组)

(1)5(x+2)≥1-2(x-1) (2)

20、关于x的不等式a-2x<-1的解集如图所示.求a.

四、解答题

21、某城市一种出租汽车起步价是10元行驶路程在5km以内都需10元车费)，达到或超过5km后，每增加1km，1.2元(不足1km，加价1.2元;不足1km部分按1km计)。现在某人乘这种出租车从甲地到乙地，支付17.2元，则从甲地到乙地路程大约是多少?

22、若不等式组 的解集为-1

23、已知多项式a2-5a-7减去多项式a2-11a+9的差等于不等式5-4x<0的最小正整数解，求a的值。

24、一件由黄金与白银制成的首饰重a克,商家称其中黄金含量不低于90%,黄金和白银的密度分别是19.3 和10.5 ,列出不等式表示这件首饰的体积应满足什么条件.(提示:质量=密度×体积.)

25、某自行车保管站在某个星期日接受保管的自行车共有3500辆次,其中变速车保管费是每辆0.5元,一般车的保管费是每辆0.3元.

(1)一般车停次的辆次数为x,总的保管费为y元,试写出y与x的关系式;

(2)若估计前来停放的3500辆自行车中,变速车的辆次不小于25%,但不大于40%,试求该保管站这个星期日收入保管费总数的范围.(8分)

26、某种客货车车费起点是2km以内2.8元.往后每增加455m车费增加0.5元.现从A处到B处,共支出车费9.8元;如果从A到B,先步行了300m然后乘车也是9.8元,求AB的中点C到B处需要共付多少车费?(10分)

27、为了保护环境，某企业决定购买10台污水处理设备。现有A、B两种型号的设备，其中每台的价格、月处理污水量及年消耗费如下表：

A型 B型

价 格(万元/台) 12 10

处理污水量 (吨/月) 240 200

年消耗费 (万元/台) 1 1

经预算,该企业购买设备的资金不高于105万元.

(1)请你设计该企业有几种购买方案;

(2)若该企业每月产生的污水量为2040吨,为了节约资金,应选择哪种购买方案;