必修5教案2.2等差数列前n项和

必修5教案2.2等差数列前n项和（9篇）

1.必修5教案2.2等差数列前n项和 篇一

2.5等比数列的前n项和

(一)教学目标

1、知识与技能：掌握等比数列的前n项和公式，并用公式解决实际问题

2、过程与方法：由研究等比数列的结构特点推导出等比数列的前n项和公式

3、情态与价值：从“错位相减法”这种算法中，体会“消除差别”，培养化简的能力

（二）教学重、难点

重点：使学生掌握等比数列的前n项和公式，用等比数列的前n项和公式解决实际问题 难点：由研究等比数列的结构特点推导出等比数列的前n项和公式

（三）学法与教学用具

学法：由等比数列的结构特点推导出前n项和公式，从而利用公式解决实际问题 教学用具：投影仪

（四）教学设想

教材开头的问题可以转化成求首项为1，公比为2的等比数列的前64项的和.类似于等差数列，我们有必要探讨等比数列的前n项和公式。一般地，对于等比数列

a1，a2，a3，．．．, an,．．． 它的前n项和是

Sn= a1+a2+a3+．．．+an

由等比数列的通项公式,上式可以写成

Sn= a1+a1q + a1q2 +．．．+a1qn-1

①

① 式两边同乘以公比q 得

qSn= a1q+ a1q2 +．．．+a1qn-1+ a1qn

② ①,②的右边有很多相同的项,用①的两边分别减去②的两边,得(1-q)Sn= a1－a1qn

当ｑ≠１时，a1(1qn)

Sn=

（q≠1）

1q又an =a1qn-1 所以上式也可写成 Sn=a1anq（q≠1）

1q推导出等比数列的前n项和公式，本节开头的问题就可以解决了 [相关问题] ①当q=1时，等比数列的前n项和公式为Sn=na1 a1(1qn)a1(qn1)② 公式可变形为Sn==（思考q>1和q<1时分别使用哪个方便）

1qq1③ 如果已知a1, an,q,n,Sn五个量中的任意三个就可以求出其余两个

[例题分析] 例1 求下列等比数列前8项的和:

(1)111，,．．．； 248 1

(2)a1=27, a9=1,q<0 243评注:第(2)题已知a1=27,n=8,还缺少一个已知条件,由题意显然可以通过解方程求得公比q,题设中要求q<0,一方面是为了简化计算,另一方面是想提醒学生q既可以为正数,又可以为负数.例2 某商场今年销售计算机5000台,如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%,那么从今年起,大约几年可使总销售量达到30000台(结果保留到个位)? 评注:先根据等比数列的前n项和公式列方程,再用对数的知识解方程 [随堂练习]第1.2.3题 [课堂小结](1)等比数列的前n项和公式中要求q≠1;这个公式可以变形成几个等价的式子(2)如果已知a1, an,q,n,Sn五个量中的任意三个就可以求出其余两个(五)评价设计

(1)课后阅读: [阅读与思考](2)课后作业: 1,2,4题

2.等差数列前n项和教案设计 篇二

设计人：杨峰烁

【背景分析】

本节课教学内容是高中课程标准实验教科书必修5（人教B版）中第二章的第二节第二课时的内容．本节课主要研究如何应用倒序相加法求等差数列的前n项和以及该求和公式的应用．等差数列在现实生活中比较常见，因此等差数列求和就成为我们在实际生活中经常遇到的一类问题．同时，求数列前n项和也是数列研究的基本问题，通过对公式推导，可以让学生进一步掌握从特殊到一般的研究问题方法．

【学情分析】

学生已经学习了等差数列的定义及通项公式，有了一定的准备知识，但对等差数列的求和的方法和公式还是一无所知。针对学生的认知规律，本节课采取了自主、合作、探究的教学方式，以问题解答的形式，通过分析、讨论、归纳、探索而获得知识，为学生积极思考、自主探究搭建了理想的平台，让学生去感悟倒序相加法的使用范围.【设计理念】

让学生在具体的问题情境中经历知识的形成和发展，让学生利用自己的原有认知结构中相关的知识与经验，自主地在教师的引导下促进对新知识的建构，因为建构主义学习理论认为，学习是学生积极主动地建构知识的过程．在教学过程中，根据教学内容，从介绍高斯的算法开始，探究这种方法如何推广到一般等差数列的前n项和的求

法．通过设计一些从简单到复杂，从特殊到一般的问题，层层铺垫，组织和启发学生获得公式的推导思路，并且充分引导学生展开自主、合作、探究学习，通过生生互动和师生互动等形式，让学生在问题解决中学会思考、学会学习．

【教学目标分析】

1.理解等差数列前n项和公式的推导过程；掌握并能熟练运用等差数列前n项和公式；了解倒序相加法的原理；

2.通过公式的推导过程，体验从特殊到一般的研究方法，渗透函数思想与方程（组）思想，培养观察、归纳、反思的能力；通过小组讨论学习，培养合作交流、独立思考等良好的个性品质.【教学重点和难点】

本节教学重点是探索并掌握等差数列前n项和公式，学会用公式解决一些实际问题；难点是等差数列前n项和公式推导思路的获得.【教学过程】

一、【古文共赏】

让学生们猜测问题与本节课的联系，此问题如果不能解决，学完本节后，看是否能解决。

[设计意图]：

引入一个中国古代的数列求和问题，通过悬疑的方式调动学生的好奇心，激发学生的学习兴趣。

[简要实录]：

学生思考这个问题与这节课学习内容的联系，教师简略介绍一下

北朝张丘建。引导同学们可先粗略发言发表自己的意见。

二、【温故知新】

学生准备好作业本，让两个学生在黑板上板演，教师说检测内容。①等差数列的通项公式②等差中项③等差数列的性质 [设计意图]：

检查学生上节知识的掌握情况，为新课的学习做好铺垫.[简要实录]：

2分钟后，一起批阅黑板同学的默写情况，下面的小组成员间互相检查、更正。老师视情况指正。

三、【高斯王子】

讲述数学王子高斯的故事，并自然提出高斯九岁时做出的题目。让同学们思考解决这个题目的方法有哪些？那个是最简便的呢？

[设计意图]：

用伟人的故事，让他们积极参与到课堂中来，同时培养他们的发散思维，培养他们一题多解的解题习惯。

[简要实录]：

学生们踊跃回答这个问题，并给出了两种解决这个问题的方法。老师再深入问学生哪种方法更简便呢？然后再引导学生，这个数列是不是我们刚学习的等差数列呢？学生经过观察发现，这是一个首项为1，公差为1，末项为100的等差数列。于是老师提出下一个问题。

四、【自主尝试】

求下面的这些钢管的数量总数，让同学们用刚才的计算方法来求

解。让学生先做好充足的准备，然后到黑板叙述板演计算过程。

[设计意图]：

进一步熟悉首尾相加的方法，慢慢为引入倒序相加作更进一步的准备。

[简要实录]：

学生先思考3分钟。然后让学生上黑板板演，然后和下面学生一起讲解自己的思考和计算思路。后一起评价，更正。鼓励学生，大胆面对成功和失败，大胆上台表现自己。

五、【知识迁移】

通过以上两个题目的解答，先让学生自己思考求等差数列前n项和的方法。并说明本节的一个重点学习内容倒序相加法。

[设计意图]：

独立推导等差数列的前n项和，加强对公式的记忆，熟练倒序相加的方法，让同学们在独立，讨论中提升自己。

[简要实录]如果有同学不能独立思考出，过3分钟后，可小组讨论。后让学生到黑板板演过程。并等同学们基本解决完毕，一起由学生解析讲解该问题。同学们提出自己的意见并对黑板学生作出更正。老师可视情况作出更精确的评价。

六、【公式记忆】

对比梯形公式，记忆等差数列的前n项和公式。通过联系的方法，用熟悉的旧知识快速记住新内容。

[设计意图]：

用新旧知识的联系来达到记忆公式的目的。通过图形的直观性来加强公式记忆。

[简要实录]：

同学们推导完等差数列的前n项和公式后，再仔细观察，引导他们察看公式的形式，引出梯形的面积公式与其所有的异曲同工之妙。并再书写公式，记住公式。老师作重点符号，强调两公式的重要性。

七、【始题释疑】

回头将最开始引入的问题再来解决。看看是否能用刚学习的知识来解答出来。并鼓励学生向古代的人学习，要善于观察生活，用数学解决生活中出现的问题。

[设计意图]：

这样做到首尾回应，整个课堂不偏离且围绕教学的主要内容，但又具有故事性和创造性。

[简要实录]：

先给学生3分钟时间考虑，然后由学生说出解答的思路，后学生在作业本上写出整个问题的步骤，后再师生一起更正修订。让学生思考，就得给学生时间，然后课下，再上交作业本，看学生在课上的习题完成情况。

八、【公式小结】

让学生自主完成等差数列前n项和sn的第二个公式的推导。观察这两个公式的相同点和不同点。找出相关量。弄明白这两公式之间的联系。并记住和能应用该公式。

[设计意图]：

通过联系的记忆方法，帮助同学们达到快速记忆的效果。找到相关量，面对不同的已知条件选择不同的公式。达到公式的熟练记忆和应用。

[简要实录]：

同学们已经学了等差数列的通项公式。可是，在通项中，我们的书已知条件是首项，公差或是其中的某一项。那么在这个公式中，只有末项，如何将其变形，然后直接运用公式求解呢？学生会想通项公式与些数列的联系，自然地将另一求和公式推导出来。并且看到了这两个公式的区别。

由同学们自己在作业本上推导，并找一同学黑板板演。在3分钟的时间内，仔细观察出现的四个量。对黑板的同学更正修订。老师再作小结，记忆公式。

九、【习题设计】

本课习题设计分了三等。是课本习题的精选。

一是基本知识。通过直接套用公式，来熟悉和使用公式。这里设计了两个题目，分别用了两个公式求和法。

二是自主尝试。这是对公式有个大致应用后的一个针对练习。这里加了与通项相联系的题目，达到对这三个公式间的互换和选择。

三是问题提升。这里综合考查学生对数列的整体把握情况。对求通项、项数、数列和的能力的训练。

[设计意图]：

1、通过不同梯度的习题，让学生有一个掌握问题的逐步适应过程，也能够从习题中更明白两个求和公式的应用。

2、通过解决问题，学会方程思想解决数列问题。

3、培养学生通过给出的问题，来观察问题中的已知条件并能快速判断选择哪个公式的能力。

[简要实录]：

先由学生在作业本上自行解出合作探究部分。做完后小给间讨论然后学生起来说出正确答案。老师给予指正和评价。并要注意具体的详解步骤。然后再由学生板演自主尝试部分的习题。下面的学生在作业本上一并做出。教师在教室内环转，以发现学生的不足和优点。并在给指正时，给予重点指出或是鼓励。然后学生下台，一起更正。最后的问题升华，给学生的时间要多一些，同学们先读题目，然后再自己思考3分钟，然后再讨论，再可以自行解决，在作业本上写上详细过程。后再将学生的作业投影，发现问题，解决问题。发现优点，放大优点。

教师小结这些题中存在的问题。并再由学生叙述解决这类问题的规律。帮他们确定知三求二的规律。

十、【课堂小结】

用框架的形式整理本节内容，重点突出，关系明确。[设计意图]：

将本节内容整理：将厚书读薄，将问题梳理，将知识联系。[简要实录]：

学生回忆本节内容作大致阐述。然后精抓问题实质，突出本节重

点。力求不累赘，不拖沓，力求明明白白，清清楚楚。

十一、【课后作业】

课后作业分选做和必做两种。针对学生的学习差异而设计。[设计意图]：

加上了趣味小故事，让学生在思考中学习，在学习中成长，在成长中，树立正确的学习观和对数学史的认识。思考题目，是为了下节课的学习而做的准备。让他们大致了解老师下节要讲的内容主向。

【教学反思】

“等差数列前n项和”的推导不只一种方法，本节课是通过介绍高斯的算法，探究这种方法如何推广到一般等差数列的求和．该方法反映了等差数列的本质，可以进一步促进学生对等差数列性质的理解，而且该推导过程体现了人类研究、解决问题的一般思路．本节课教学过程的难点在于如何获得推导公式的“倒序相加法”这一思路．为了突破这一难点，在教学中采用了以问题驱动的教学方法，设计的问题体现了分析、解决问题的一般思路，即从特殊问题的解决中提炼方法，再试图运用这一方法解决一般问题．在教学过程中，通过教师的层层引导、学生的合作学习与自主探究，尤其是借助图形的直观性，学生“倒序相加法”思路的获得就水到渠成了．

《等差数列前n项和》教学设计二

设计人：杨峰烁

教材分析

等差数列的前ｎ项和是数列的重要内容，也是数列研究的基本问题．在现实生活中，等差数列的求和是经常遇到的一类问题．等差数列的求和公式，为我们求等差数列的前ｎ项和提供了一种重要方法． 教材首先通过具体的事例，探索归纳出等差数列前ｎ项和的求法，接着推广到一般情况，推导出等差数列的前ｎ项和公式．为深化对公式的理解，通过对具体例子的研究，弄清等差数列的前ｎ项和与等差数列的项、项数、公差之间的关系，并能熟练地运用等差数列的前ｎ项和公式解决问题．这节内容重点是探索掌握等差数列的前ｎ项和公式，并能应用公式解决一些实际问题，难点是前ｎ项和公式推导思路的形成． 教学目标

1.通过等差数列前ｎ项和公式的推导，让学生体验数学公式产生、形成的过程，培养学生抽象概括能力．

2.理解和掌握等差数列的前ｎ项和公式，体会等差数列的前ｎ项和与二次函数之间的联系，并能用公式解决一些实际问题，培养学生对数学的理解能力和逻辑推理能力．

3.在研究公式的形成过程中，培养学生的探究能力、创新能力和科学的思维方法． 任务分析

这节内容主要涉及等差数列的前ｎ项公式及其应用．

对公式的推导，为便于学生理解，采取从特殊到一般的研究方法比较适宜，如从历史上有名的求和例子1＋2＋3＋……＋100的高斯算法出发，一方面引发学生对等差数列求和问题的兴趣，另一方面引导学生发现等差数列中任意的第ｋ项与倒数第ｋ项的和等于首项与末项的和这个规律，进而发现求等差数列前ｎ项和的一般方法，这样自然地过渡到一般等差数列的求和问题．对等差数列的求和公式，要引导学生认识公式本身的结构特征，弄清前ｎ项和与等差数列的项、项数、公差之间的关系．为加深对公式的理解和运用，要强化对实例的教学，并通过对具体实例的分析，引导学生学会解决问题的方法．特别是对实际问题，要引导学生从实际情境中发现等差数列的模型，恰当选择公式．对于等差数列前ｎ项和公式和二次函数之间的联系，可引导学生拓展延伸． 教学设计

一、问题情景

1.在200多年前，有个10岁的名叫高斯的孩子，在老师提出问题：“1＋2＋3＋…＋100＝？”时，很快地就算出了结果．他是怎么算出来的呢？他发现1＋100＝2＋99＝3＋97＝…＝50＋51＝101，于是1＋2＋…＋100＝101×50＝5050．

2.受高斯算法启发，你能否求出1＋2＋3＋…＋ｎ的和． 3.高斯的方法妙在哪里呢？这种方法能否推广到求一般等差数列的前ｎ项和？

二、建立模型

1.数列的前ｎ项和定义

对于数列｛ａn｝，我们称ａ1＋ａ2＋…＋ａn为数列｛ａn｝的前ｎ项和，用Sn表示，即Sn＝ａ1＋ａ2＋…＋ａn． 2.等差数列的求和公式

（1）如何用高斯算法来推导等差数列的前ｎ项和公式？ 对于公差为ｄ的等差数列｛ａn｝：

Sn＝ａ1＋（ａ1＋ｄ）＋（ａ1＋2ｄ）＋…＋［ａ1＋（ｎ—1）ｄ］，①

依据高斯算法，将Sn表示为Sn＝ａn＋（ａn—ｄ）＋（ａn—2ｄ）＋…＋［ａn—（ｎ—1）ｄ］．

②

由此得到等差数列的前ｎ项和公式

小结：这种方法称为反序相加法，是数列求和的一种常用方法．（2）结合通项公式ａn＝ａ1＋（ｎ—1）ｄ，又能得怎样的公式？

（３）两个公式有什么相同点和不同点，各反映了等差数列的什么性质？

学生讨论后，教师总结：相同点是利用二者求和都须知道首项ａ1和项数ｎ；不同点是前者还须要知道ａn，后者还须要知道ｄ．因此，在应用时要依据已知条件合适地选取公式．公式本身也反映了等差数列的性质：前者反映了等差数列的任意的第ｋ项与倒数第ｋ项的和都等于首、末两项之和，后者反映了等差数的前ｎ项和是关于ｎ的没有常数项的“二次函数”．

三、解释应用 ［例 题］

1.根据下列各题中的条件，求相应的等差数列｛ａn｝的前ｎ项和Sn．

（1）ａ1＝ —4，ａ8＝ —18，ｎ＝8．（2）ａ1＝14．5，ｄ＝0.7，ａn＝32． 注：恰当选用公式进行计算．

2.已知一个等差数列｛ａn｝前10项的和是310，前20项的和是1220．由这些条件能确定这个等差数列的前ｎ项和的公式吗？ 分析：将已知条件代入等差数列前ｎ项和的公式后，可得到两个关于ａ1与ｄ的关系式，它们都是关于ａ1与ｄ的二元一次方程，由此可以求得ａ1与ｄ，从而得到所求前ｎ项和的公式． 解：由题意知

注：（1）教师引导学生认识到等差数列前ｎ项和公式，就是一个关于ａn，ａ1，ｎ或者ａ1，ｎ，ｄ的方程，使学生能把方程思想和前ｎ项和公式相结合，再结合通项公式，对ａ1，ｄ，ｎ，ａn及Sn这五个量知其三便可求其二．

（2）本题的解法还有很多，教学时可鼓励学生探索其他的解法．例如，3.2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”工程的通知》．某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标：从2001年起用10年的时间，在全市中小学建成不同标准的校园网．据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经费500万元．为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元．那么从2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？ 教师引学生分析：每年“校校通”工程的经费数构成公差为５０的等差数列．问题实质是求该数列的前10项的和．

解：根据题意，从2001～2010年，该市每年投入“校校通”工程的经费都比上一年增加50万元．所以，可以建立一个等差数列｛ａn｝，表示从2001年起各年投入的资金，其中，ａ1＝500，ｄ＝50． 那么，到2010年（ｎ＝10），投入的资金总额为

答：从2001～2010年，该市在“校校通”工程中的总投入是7250万元．

注：教师引导学生规范应用题的解题步骤．

4.已知数列｛ａn｝的前ｎ项和Sn＝ｎ2＋ｎ，求这个数列的通项公式．这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？ 解：根据

由此可知，数列｛ａn｝是一个首项为，公差为2的等差数列．

思考：一般地，数列｛ａn｝前ｎ项和Sn＝Aｎ2＋Bｎ（A≠０），这时｛ａn｝是等差数列吗？为什么？ ［练习］

1.一名技术人员计划用下面的办法测试一种赛车：从时速10ｋｍ／ｈ开始，每隔2ｓ速度提高20ｋｍ／ｈ．如果测试时间是30ｓ，测试距离是多长？

ｎ2＋2.已知数列｛ａn｝的前ｎ项的和为Sn＝个数列的通项公式．

ｎ＋4，求这3.求集合M＝｛ｍ｜ｍ＝2ｎ—1，ｎ∈N*，且ｍ＜60｝的元素个数，并求这些元素的和．

四、拓展延伸

1.数列｛ａn｝前ｎ项和Sn为Sn＝pn2＋qn＋ｒ（ｐ，ｑ，ｒ为常数且ｐ≠０），则｛ａn｝成等差数列的条件是什么？

2.已知等差数列5，4，3，…的前ｎ项和为Sn，求使Sn最大的序号ｎ的值．

分析1：等差数列的前ｎ项和公式可以写成Sn＝ｎ2＋（ａ1－）ｎ，所以Sn可以看成函数ｙ＝x2＋（ａ1－）ｘ（ｘ∈N*）．当ｘ＝ｎ时的函数值．另一方面，容易知道Sn关于ｎ的图像是一条抛物线上的一些点．因此，我们可以利用二次函数来求ｎ的值．

解：由题意知，等差数列5，4，3，…的公差为－，所以

于是，当ｎ取与最接近的整数即7或8时，Sn取最大值． 分析2：因为公差ｄ＝ －＜０，所以此数列为递减数列，如果知道从哪一项开始它后边的项全为负的，而它之前的项是正的或者是零，那么就知道前多少项的和最大了．即使点 评

然后从中求出ｎ．

这篇案例从具体的实例出发，引出等差数列的求和问题，在设计上，设计者注意激发学生的学习兴趣和探究欲望，通过等差数列求和公式的探索过程，培养学生观察、探索、发现规律、解决问题的能力． 对例题、练习的安排，这篇案例注意由浅入深，完整，全面．拓展延伸的设计有新意，有深度，符合学生的认识规律，有利于学生理解、掌握这节内容．

3.2等差数列及其前n项和 篇三

答案：第23项与第24项

：

1.等差数列的定义

如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示，义的表达式为.2.等差数列的通项公式

如果等差数列{an}的首项是a1，公差是d，那么通项公式为an＝.[思考探究1]

已知等差数列{an}的第m项为am，公差为d，则其第n项an能否用am与d表示？

提示：可以.an＝am＋(n－m)d.3.等差中项

如果三个数a，A，b成等差数列，则三数的关系是A＝.思考探究2]

三数成等差数列时，一般设为a－d，a，a＋d；四数成等差数列呢？ 提示：可设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d.考点一：等差数列的判定与证明

1.证明一个数列{an}为等差数列的基本方法有两种：(1)利用等差数列的定义证明，即证明an＋1－and(n∈N*)(2)利用等差中项证明，即证明an＋2＋an＝2an＋1(n∈N*).2.解选择题、填空题时，可用通项或前n项和直接判断：

(1)通项法：若数列{an}的通项公式为n的一次函数，即an ＝An＋B，则{an}是等差数列；

(2)前n项和法：若数列{an}的前n项和Sn是Sn＝An2＋Bn的形式(A，B是常数)，则{an}为等差数列.[特别警示] 若说明一个数列不是等差数列，则只需找到其中连续三项不是等差数列即可.[例1]已知数列{an}中，a1＝

5，an＝2－

1an

1(n≥2，n∈N*)，数列{bn}满足bn＝

1an1

(n∈N*).(1)求证：数列{bn}是等差数列；

(2)求数列{an}中的最大项和最小项，并说明理由.[思路点拨]

1.已知{an}是等差数列，a10＝10，其前10项和S10＝70，则其公差d＝()A.－

3B.

C.13

D.23

[课堂笔记](1)证明：∵an＝2－

1an1

1an1

1an11

答案：D

2.已知{an}为等差数列，a2＋a8＝12，则a5等于()

A.4B.5C.6D.7 答案：C

3.设{an}是等差数列，若a2＝3，a7＝13，则数列 {an}前8 项的和为()A.128B.80C.64D.56 答案：C

4.已知等差数列共10项，其中奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为答案：3

5.数列{an}中，a1＝15,3an＋1＝3an－2(n∈N*)，则该数列中乘积是负值的相邻两项为.(n≥2，n∈N*)，bn＝

1an1

.∴n≥2时，bn－b

n－1＝

－＝

＝

∴数列{bn}是以－

2＝1.又b1＝，为首项，以1为公差的等差数列.(2)由(1)知，bn＝n－

72，则an＝1＋

1bn

＝1＋，设函数f(x)＝1＋，(2)＝

－6，因为t是奇数，.令2m－3＝t，∈N，所以t可取的值为±1.易知f(x)在区间(－∞，)和（72，＋∞)内为减函数，∴当n＝3时，an取得最小值－1；当n＝4时，an取得最大值3.考点二：等差数列的基本运算

1.等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d及前n项和公式Sn＝

n(a1an)

当t＝1，m＝2时，t＋ －6＝3，2×5－7＝3是数列{an}中的项；

t＝－1，m＝1 时，t＋ －6＝－15，2数列{an}中的最小项是－5不符合.n(n1)

所以满足条件的正整数m＝2.＝na1＋d，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两

22222

[变式]若将“a2a3a4a5，S7＝7”改为“S10＝30，S20＝50”，求通项an和

个，体现了用方程的思想解决问题.S30的值.2.数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差

数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.[特别警示] 因为

snn

＝

d2

n＋a1－

d2，故数列{

snn

}是等差数列.解：由题意得 ∴an＝a1＋(n－1)d＝－

解之得n＋

7120

[例2](2009·江苏高考)设{an}是公差不为零的等差数列，Sn为其前n项和，满足

a2a3a4a5，S7＝7.amam1am2

(1)求数列{an}的通项公式及前n项和Sn；(2)试求所有的正整数m，使得[思路点拨]

为数列{an}中的项.[课堂笔记](1)设{an}通项公式an＝a1＋(n－1)d，d≠0，则 由性质得，－3d(a4＋a3)＝d(a4＋a3)，因为d≠0，所以a4＋a3＝0，即2a1＋5d＝0.① 又由S7＝7得7a1＋

d＝7.②

S30＝30a1＋d＝60.考点三：等差数列的性质 1.等差数列的单调性：

等差数列公差为d，若d＞0，则数列递增.若d<0，则数列递减.若d＝0，则数列为常数列.2.等差数列的简单性质：

已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和..(1)若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq.特别：若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap.(2)am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等差数列，公差为kd.(3)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列.(4)S2n－1＝(2n－1)an.(5)若n为偶数，则S偶－S奇＝

n2

联立①②解得a1＝－5，d＝2.所以{an}的通项公式为an＝2n－7，前n项和Sn＝n2－6n.d.若n为奇数，则S奇－S偶＝a中(中间项).(6)数列{c·an}，{c＋an}，{pan＋qbn}也是等差数列(其中c、p、q均为常数，{an}，{bn}是等差数列).[例3](2009·宁夏、海南高考改编)等差数列{an}的前n项和为Sn.已知am－1＋am

＋

1－am＝0，S2m－1＝38，求m的值.[思路点拨]

[课堂笔记] 由条件得2am＝am－1＋am＋1＝a，从而有am＝0或2.又由S2m－1＝

×(2m－1)＝38且2am＝a1＋a2m－1得(2m－1)am＝38，故am≠0，[自主体验]

已知数列{an}满足2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)，它的前n项和为Sn，且a3＝10，S6＝72.若bn＝

2an－30，求数列{bn}的前n项和的最小值.解：∵2an＋1＝an＋an＋2，∴{an}为等差数列，设{an}的首项为a1，公差为d，{bn}前n项和为Tn.由a3＝10，S6＝72，得则bn＝

则有2m－1＝19，m＝10.[变式]若将“am－1＋am＋1－am＝0，S2m－1＝38”改为“S6＝72”，如何求a3＋a4.解：∵数列{an}为等差数列，∴S6＝∴a3＋a4＝

3∴

得

∴an＝4n－2，≤n≤

.an－30＝2n－31.由

＝3(a1＋a6)＝3(a3＋a4)，S6＝

∵n∈N*，∴n＝15.∴{bn}前15项为负值，∴T15最小，可知b1＝－29，d＝2，∴T15＝

＝－225.×72＝2

4高考对等差数列的常规考法为：（1）在解答题中考查等差数列的判断或证明；（2）

在选择题、填空题或解答题中考查等差数列的基本性质以及an，a1,d,n,Sn中的“知三求二”问题.09年安徽高考以选择题的形式考查了等差数列前n项和的最值问题，是高考命题的一个新方向.[考题印证](2009·安徽高考)已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99.又Sn表示{an}的前n项和，则使得Sn达到最大值的n是()A.21B.20C.19D.18 【解析】 ∵{an}为等差数列，∴a1＋a3＋a5＝105，a3＝35，a2＋a4＋a6＝99⇒a4＝33，d＝a4－a3＝33－35＝－2，∴{an}是递减数列.an＝a3＋(n－3)d＝35＋(n－3)×(－2)＝－2n＋41，an≥0，－2n＋41≥0，n≤，∴当n≤20时，an>0，n≥21时，an<0，∴n＝20时，Sn最大.【答案】 B

1.(2009·辽宁高考){an}为等差数列，且a7－2a4＝－1，a3 ＝0，则公差d＝()A.－2B.－

C.12

D.2

答案：B

2.设Sn是等差数列{an}的前n项和.已知a2＝3，a6＝11，则S7等于()A.13B.35C.49D.63 答案：C

3.已知等差数列{an}中，|a3|＝|a9|，公差d＜0，则使前n项和Sn取得最大值的正整数n的值是()

A.4或5B.5或6C.6或7D.8或9 答案：B 4.(2009·山东高考)在等差数列{an}中，a3＝7，a5＝a2＋6，则a6＝.答案：13

5.已知Sn为等差数列{an}的前n项和，若a2∶a4＝7∶6，则S7∶S3等于.答案：2∶1

6.(文)(2010·惠州模拟)等差数列{an}前n项和为Sn，已知对任意n∈N*，点(n，Sn)在二次函数f(x)＝x2＋c的图象上.(1)求c，an；

(2)若kn＝

an2

n，求数列{kn}的前n项和Tn.∵

是与n无关的常数，则

故存在实数λ＝－1.使得数列＝0，得λ＝－1.要使

解：(1)点(n，Sn)在二次函数f(x)＝x2＋c的图象上，∴Sn＝n2＋c

a＝S＝1＋c，a＝S－S＝(4＋c)－(1＋c)＝3，为等差数列.11221a3＝S3－S2＝5，又∵{an}为等差数列，∴6＋c＝6，c＝0，d＝3－1＝2，an＝1＋2(n－1)＝2n－1.(2)kn＝，Tn＝

①

②

①－②得Tn＝

(理)已知数列{an}满足an＝2an－1＋2n－1(n≥2)，且a1＝5.(1)若存在一个实数λ，使得数

an

2列为等差数列，请求出λ的值；n



(2)在(1)的条件下，求出数列{an}的前n项和Sn.解：(1)假设存在实数λ符合题意，则

必为与n无关的常数，(2)由(1)可得＝1，∴d＝1，且首项为 ＝2，∴

＝2＋(n－1)＝n＋1，∴an＝(n＋1)2n＋1(n∈N*).令b n ＝(n ＋1)2n且前n

项和为Tn，∴Tn＝2×2＋3×22＋4×23＋…＋(n＋1)2n，2Tn＝2×22＋3×23＋…＋n×2n＋(n＋1)2n＋1，①－②得－Tn＝4＋22＋23＋…＋2n－(n＋1)2n＋1

＝2＋(2＋…＋2n)－(n＋1)2n＋1

＝2n＋1－(n＋1)2n＋1 ＝－n·2n＋1，∴Tn＝n·2n＋1，∴Sn＝n·2n＋1＋n.①

4.必修5教案2.2等差数列前n项和 篇四

李海刚

一．教材分析及能力要求：

数列前n项和是数列单元的重点内容，是在充分理解和掌握等差数列通项公式的基础上课题的延伸；要求学生对公式能理解并掌握，并能根据条件灵活运用，解决简单的实际问题。

二．教学中的重点、难点教学

数学公式只是一些符号，学生记忆容易，但用起来困难，因此，公式的记忆要借助于对知识点的理解。在本节的教学中，我设置了一个带有生活知识的趣味数学题作为引子，设置的问题由易到难，在解决问题过程中，一步一步引向本节的课题，让学生在问题中寻找规律、方法，并加以总结，最后得到等差数列前n项和的两个公式；在课堂练习中，增加讨论、小节这一环节，帮助学生提高认识、归纳方法，通过分析前n项和公式中的四个量，只要知道其中的任意三个量就可以求另一个，归纳为“知一求三”的问题，如果是求两个量，可以用公式联立方法组解决问题。这样，通过对问题解决方法的归纳，提高了学生的解题能力。

三．教学过程反思

5.等比数列前n项和练习一 篇五

1.数列111

2，4，8，…的前10项和等于()A.1B.5111023D.11024 512C.1024512

2.已知Sn是等比数列{an}的前n项和，a5＝－2，a8＝16，则S6等于()A.21B．－2117D．－1788C.88

3.在等比数列{an}中，公比q＝－2，S5＝44，则a1的值为()A．4B．－4C．2D．－2

4.在等比数列{a＝8，q＝11

n}中a12，an＝2，则Sn等于()

A．31B.31

2C．8D．15

5.设S}的前n项和，8a0，则Sn为等比数列{an2＋a5＝S2

＝()

A．11B．5C．－8D．－116.已知数列{an}为等比数列，Sn是它的前n项和，若a2·a3＝2a1，且a4与2a7 的等差中项为5

4S5＝()A．35B．33C．31D．29

7.在等比数列{a＝1

n}中，q2S5＝2，则a1等于________

8.等比数列{an}中，a2＝9，a5＝243，数列{an}的前4项之和为 9.设等比数列{an}的前n项和为Sn.若a1＝1，S6＝4S3，则a4＝__________ 10.在等比数列{an}中，a3＝－12，前3项和S3＝－9，求公比q.11.等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，S3，S2成等差数列．

(1)求{an}的公比q；(2)若a1－a3＝3，求Sn.12.已知等比数列an中，a2=2,a5=128(1)求通项an

6.等比数列前n项和的教学设计 篇六

一、教学目标的确定 本节课的教学设计意图：

1。进一步促进学生数学学习方式的改善

这是等比数列的前n项和公式的第一课时，是实践二期课改中研究型学习问题的很好材料，可以落实新课程标准倡导的“提倡积极主动，勇于探索的学习方式;强调本质，注意适度形式化”的理念，教与学的重心不只是获取知识，而是转到学会思考、学会学习上，教师注意培养学生以研究的态度和方式去认真观察、分析数学现象，提出新的问题，发现事物的内在规律，引导学生自觉探索，进一步培养学生的自主学习能力。

2。落实二期课改中的三维目标，强调探究的过程和方法

“知识与技能、过程与方法、情感，态度与价值”这三维目标是“以学生的发展为本”的教育理念在二期课改中的具体体现，本节课是数学公式教学课，所以强调学生对认知过程的经历和体验，重视对实际问题的理解和应用推广，强调学生对探究过程和方法的掌握，探究过程包括发现和提出问题，通过观察、抽象、概括、类比、归纳等探究方法进行实践。

在此基础上，根据本班学生是区重点学校学生，学习勤恳，平时好提问，敢于交流与表达自己想法，故本节课制定了如下教学目标：

（l）、通过历史典故引出等比数列求和问题，并在问题解决的过程中自主探索等比数列的前n项和公式的求法。

（2）、经历等比数列的前n项和公式的推导过程，了解推导公式所用的方法，掌握等比数列的前n项和公式，并能进行简单应用。

7.必修5教案2.2等差数列前n项和 篇七

（第2课时）

【知识要点】

1.等差中项的概念； 2.等差数列的性质;3.等差数列的判定方法； 4.等差数列的常用设法.【学习要求】

1.理解等差中项的概念；

2.探索并掌握等差数列的性质，并会运用等差中项和等差数列的性质解题； 3.体会等差数列和一次函数的关系.【预习提纲】

（根据以下提纲，预习教材第 36 页～第39页）

1.等差中项

（1）如果a、A、b成等差数列，那么A叫做a与b的.（2）如果an1anan2对任意正整数n都成立，则数列an是.22.等差数列的性质

*（1）若an是等差数列且mnpq，（m,n,p,qN）则有_____________.(2)若an是等差数列且mn2k，（m,n,kN）则有______________.**(3)思考：若an是等差数列且mpq，（m,p,qN）则有amapaq吗？

3.等差数列的设项技巧

（1）若三个数成等差数列，则这三个数一般可设为_________________，若四个数成等差数列，则这四个数一般可设为_____________________.【基础练习】

1.已知数列an的通项公式为anpnq,其中p,q为常数，那么这个数列一定是等差数列吗？

2.已知数列an是等差数列.（1）2a5a3a7是否成立？2a5a1a9呢？为什么？（2）2anan1an1(n>1)是否成立？据此你能得出什么结论？

2anankank(n>k>0)是否成立？据此你又能得出什么结论？ 【典型例题】

例1 等差数列an是递增数列，a2a416,a1a528,试求an.变式1：等差数列an中，已知a2a3a10a1136,求a5a8.例2 已知：111yzzxxy，成等差数列，求证，也成等差数列.xyzxyz

变式2：若m和2n的等差中项为4，2m和n的等差中项为5，则m与n的等差中项是.例3 在等差数列an中，已知a2a5a89,a3a5a721,求数列的通项公式.变式3：已知成等差数列的四个数，四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这个等差数列.1.在等差数列an中，a510,a1a2a33,则（）.（A）a12,d3(B)a12,d3(C)a13,d2(D)a13,d2.2.若ab，两个等差数列a,x1,x2,b与a,y1,y2,y3,b的公差分别是d1,d2，则（）.（A）

d1 d23243(B)(C)(D)2334则m32,若am8，3.已知等差数列an的公差为dd0，且a3a6aa0131（）.（A）8(B)4(C)6(D)12 4.数列an中，a12,a21，211n2，则an=.anan1an15.48，a,b,c，-12是等差数列中的连续五项，则a,b,c的值依次为______________.6．已知等差数列an中，a3和a15是方程x6x10的两根，则

2=_________________.a7a8a9a10a 7．在等差数列an中,已知a2a3a4a534,a2a552,求公差d.8.三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍，求此三个数.21.数列an满足a11,an1nnann1,2,，是常数.（1）当a21时，求及a3的值；

（2）数列an是否可能为等差数列？若可能，求出它的通项公式；若不可能，说明理由.必修5 2.2 等差数列（教案）

（第2课时）

【教学目标】

1．理解等差中项的概念.2.探索并掌握等差数列的性质，并会运用等差中项和等差数列的性质解题.3.体会等差数列与一次函数的联系.【重点】理解等差中项的概念，探索并掌握等差数列的性质，会用等差中项和性质解决一些简单的问题.【难点】正确运用等差数列的性质解题.【预习提纲】

（根据以下提纲，预习教材第 36 页～第39页）

1.等差中项

（1）如果a、A、b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项.（2）如果an1anan2对任意正整数n都成立，则数列an是等差数列.2N*）则有amanapaq.*2.等差数列的性质 ，,（1）若an是等差数列且mnpq，（mnpq(2)若an是等差数列且mn2k，（m,n,kN）则有aman2ak.*(3)思考：若an是等差数列且mpq，（m,p,qN）则有amapaq吗？

分析：设等差数列an的首项为a1，公差为d，则ama1d，1mapaqa1a1pq1ddama1d.所以当首项和公差相等时成立，否则不成立.3.等差数列的设项技巧

（1）若三个数成等差数列，则这三个数一般可设为ad,a,ad，若四个数成等差数列，则这四个数一般可设为a3d,ad,ad,a3d.【基础练习】

1.已知数列an的通项公式为anpnq,其中p,q为常数，那么这个数列一定是等差数列吗？

解：a1pq，an1anpn1qpnqp.所以数列一定是等差数列.2.已知数列an是等差数列.（1）2a5a3a7是否成立？2a5a1a9呢？为什么？（2）2anan1an1(n>1)是否成立？据此你能得出什么结论？

2anankank(n>k>0)是否成立？据此你又能得出什么结论？

解：（1）因为a5a3a7a5，所以2a5a3a7.同理有2a5a1a9也成立.（2）2anan1an1(n>1)，此结论说明，在等差数列中，从第二项起，每一项（有限数列末项除外）都是它前后两项的等差中项；同样有2anankank(n>k>0)成立，结论说明在等差数列中，任取数列中的某项都是与它前后等距离两项的等差中项（保证前后两项存在）.【典型例题】

例1 等差数列an是递增数列，a2a416,a1a528,试求an.【审题要津】以性质mnpq知a2a4a1a5，运用方程思想求得a1和a5，则公差可求；也可都用a1和d表示，求解a1和d.解：a1a5a2a416，又a1a528，且数列为递增数列，a12,a514.由a514a14d24d,d3.an2n133n1.【方法总结】解题过程中运用性质进行了过度，而能用性质求解的题目只是一部分，使用基本量a1与d列方程的方法适用于任何与等差数列通项有关的题目，是通法.变式1：变式1：等差数列an中，已知a2a3a10a1136,求a5a8.解：a2a11a3a10a5a8.又a2a3a10a1136,2a5a836,a5a818.例2 已知：111yzzxxy，成等差数列，求证，也成等差数列.xyzxyz【审题要津】由于所求证的是三个数成等差数列，可用等差中项.证明：111211，成等差数列， xyzyxz2zxzxyzxyyzxy11zxy=y2.yxzxzxzxxzzxzxz 5

而2zxzxyzxyzx11.zx2.2yxzxzyxzyzzxxy成等差数列.，xyz【方法总结】对于证三数a,b,c成等差数列，常用等差中项法，即证2bac即可.变式2 若m和2n的等差中项为4，2m和n的等差中项为5，则m与n的等差中项是3.解：m和2n的等差中项为4，m2n8.又2m和n的等差中项为5，2mn10，两式相加，得mn6.m与n的等差中项为

mn63.22例3 在等差数列an中，已知a2a5a89,a3a5a721,求数列的通项公式.【审题要津】要求通项公式，需要求出首项a1及公差d，由直接求解很困难，这样促使我们转换思路.如果考虑到等差数a2a5a89,a3a5a172列的性质，注意到a2a82a5a3a7问题就好解了.解：a2a5a89,a3a5a721,又a2a8a3a72a5, a3a72a56,a3a77,解得：a31,a77或a37,a71，a31,d2或a37,d2.由ana3n3d，得an2n7或an2n13.【方法总结】等差数列的性质应牢记，在解题中应用非常广泛.变式3 已知成等差数列的四个数，四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这个等差数列.解：设成等差数列的这四个数依次为a3d,ad,ad,a3d.a3dadada3d26,由题设知

adad40.1313a,a,22解之得或这个数列为2，5，8，11或11，8，5，2.33d,d.22

1.在等差数列an中，a510,a1a2a33,则（A）.（A）a12,d3(B)a12,d3(C)a13,d2(D)a13,d2.2.若ab，两个等差数列a,x1,x2,b与a,y1,y2,y3,b的公差分别是d1,d2，则（C）.（A）

d1 d23243(B)(C)(D)2334则m32,若am8，3.已知等差数列an的公差为dd0，且a3a6aa0131（A）.（A）8(B)4(C)6(D)12 4.数列an中，a12,a21，2211n2，则an=.nanan1an15.48，a,b,c，-12是等差数列中的连续五项，则a,b,c的值依次为33,18,3.6．已知等差数列an中，a3和a15是方程x6x10的两根，则

2=15.a7a8a9a10a 7．在等差数列an中,已知a2a3a4a534,a2a552,求公差d.解：由a2a3a4a534，知a2a517，又a2a552.a24,a513或a213,a54.所以d3或d3.8.三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍，求此三个数.解：设三个数分别为ad,a,ad，由题意有adaad9，aad6ad.解得：a3,d1.所以这三个数为4，3，2.21.数列an满足a11,an1nnann1,2,，是常数.（1）当a21时，求及a3的值；

（2）数列an是否可能为等差数列？若可能，求出它的通项公式；若不可能，说明理由.2解：（1）由于an1nnann1,2,,且a11，所以当a21时，得

12，故3.从而a3222313.（2）数列an不可能为等差数列.证明如下：

8.《等差数列的前n项和》说课稿 篇八

一、教材分析

地位和作用

数列是刻画离散现象的函数，是一种重要的属性模型。人们往往通过离散现象认识连续现象，因此就有必要研究数列。

高中数列研究的主要对象是等差、等比两个基本数列。本节课的教学内容是等差数列前n项和公式的推导及其简单应用。

在推导等差数列前n项和公式的过程中，采用了：

1、从特殊到一般的研究方法；

2、倒叙相加求和。不仅得出来等差数列前n项和公式，而且对以后推导等比数列前n项和公式有一定的启发，也是一种常用的数学思想方法。等差数列的前n项和是学习极限、微积分的基础，与数学课程的其他内容（函数、三角、不等式等）有着密切的联系。

二、目标分析

（一）、教学目标

1、知识与技能

掌握等差数列的前n项和公式，能较熟练应用等差数列的前n项和公式求和。

2、过程与方法

经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思。

3、情感、态度与价值观

获得发现的成就感，逐步养成科学严谨的学习态度，提高代数推理的.能力。

（二）、教学重点、难点

1、重点：等差数列的前n项和公式。

2、难点：获得等差数列的前n项和公式推导的思路。

三、教法学法分析

（一）、教法

教学过程分为问题呈现阶段、探索与发现阶段、应用知识阶段。

探索与发现公式推导的思路是教学的重点。如果直接介绍“倒叙相加”求和，无疑就像波利亚所说的“帽子里跳出来的兔子”。所以在教学中采用以问题驱动、层层铺垫，从特殊到一般启发学生获得公式的推导方法。

应用公式也是教学的重点。为了让学生较熟练掌握公式，可采用设计变式题的教学手段，通过“选择公式”，“变用公式”，“知三求二”三个层次来促进学生新的认知结构的形成。

（二）、学法

建构主义学习理论认为，学习是学生积极主动地建构知识的过程，学习应该与学生熟悉的背景相联系。在教学中，让学生在问题情境中，经历知识的形成和发展，通过观察、操作、归纳、探索、交流、反思参与学习，认识和理解数学知识，学会学习，发展能力。

四、教学过程分析

（一）、教学过程设计

1、问题呈现阶段

泰姬陵坐落于印度古都阿格，是世界七大奇迹之一。传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成共有100层。你知道这个图案一共花了多少宝石吗？

设计意图：

（1）、源于历史，富有人文气息。

（2）、承上启下，探讨高斯算法。

2、探究发现阶段

（1）、学生叙述高斯首尾配对的方法（学生对高斯的算法是熟悉的，知道采用首尾配对的方法来求和，但是他们对这种方法的认识可能处于模仿、记忆的阶段。）

（2）、为了促进学生对这种算法的进一步理解，设计了下面的问题。

问题1：图案中，第1层到第21层共有多少颗宝石？（这是奇数个项和的问题，不能简单模仿偶数个项求和的方法，需要把中间项11看成是首、尾两项1和21的等差中项。

通过前后比较得出认识：高斯“首尾配对”的算法还得分奇数、偶数个项的情况求和。

（3）、进而提出有无简单的方法。

借助几何图形的直观性，引导学生使用熟悉的几何方法：把“全等三角形”倒置，与原图补成平行四边形。

获得算法：S21=

设计意图：

几何直观能启迪思路，帮助理解，因此，借助几何直观学习和理解数学，是数学学习中的重要方面，只有做到了直观上的理解，才是真正的理解。因此在教学中，要鼓励学生借助几何直观进行思考，揭示研究对象的性质和关系，从而渗透了数形结合的数学思想。

问题2：求1到n的正整数之和。即Sn=1+2+3+…+n

∵Sn=n+（n—1）+（n—2）+…+1

∴2Sn=（n+1）+（n+1）+…。+（n+1）

Sn=（从求确定的前n个正整数之和到求一般项数的前n个正整数之和，旨在让学生体验“倒叙相加求和”这一算法的合理性，从心理上完成对“首尾配对求和”算法的改进）

由于前面的铺垫，学生容易得出如下过程：

∵Sn=an+an—1+an—2+…a1，

∴Sn=。

图形直观

等差数列的性质（如果m+n=p+q，那么am+an=ap+aq。）

设计意图：

一言以蔽之，数学教学应努力做到：以简驭繁，平实近人，退朴归真，循循善诱，引人入胜。

3、公式应用阶段

（1）、选用公式

公式1Sn=；

公式2Sn=na1+。

（2）、变用公式

（3）、知三求二

例1

某长跑运动员7天里每天的训练量如下7500m，8000m，8500m，9000m，9500m，10000m，10500m。这位长跑运动员7天共跑了多少米？（本例提供了许多数据信息，学生可以从首项、尾项、项数出发，使用公式1，也可以从首项、公差、项数出发，使用公式2求和。达到学生熟悉公式的要素与结构的教学目的。

通过两种方法的比较，引导学生应该根据信息选择适当的公式，以便于计算。）

例2

等差数列—10，—6，—2，2，…的前多少项和为54？（本例已知首项，前n项和、并且可以求出公差，利用公式2求项数。

事实上，在两个求和公式中包含四个元素，从方程的角度，知三必能求余一。）

变式练习：在等差数列{an}中，a1=20，an=54，Sn=999，求n。

知三求二：

例3

在等差数列{an}中，已知d=20，n=37，Sn=629，求a1及an。（本例是使用等差数列的求和公式和通项公式求未知元。

事实上，在求和公式、通项公式中共有首项、公差、项数、尾项、前n项和五个元素，如果已知其中三个，连列方程组，就可以求出其余两个。）

4、当堂训练，巩固深化。

通过学生的主体性参与，使学生深刻体会到本节课的主要内容和思想方法，从而实现对知识的再次深化。

采用课后习题1，2，3。

5、小结归纳，回顾反思。

小结归纳不仅是对知识的简单回顾，还要发挥学生的主体地位，从知识、方法、经验等方面进行总结。

（1）、课堂小结

①、回顾从特殊到一般的研究方法；

②、体会等差数列的基本元素的表示方法，倒叙相加的算法，以及数形结合的数学思想。

③、掌握等差数列的两个球和公式及简单应用

（2）、反思

我设计了三个问题

①、通过本节课的学习，你学到了哪些知识？

②、通过本节课的学习，你最大的体验是什么？

③、通过本节课的学习，你掌握了哪些技能？

（二）、作业设计

作业分为必做题和选做题，必做题是对本节课学生知识水平的反馈，选做题是对本节课内容的延伸与连贯，强调学以致用。通过作业设置，使不同层次的学生都可以获得成功的喜悦，看到自己的潜能，从而激发学生饱满的学习兴趣，促进学生的自主发展、合作探究的学习氛围的形成。

我设计了以下作业：

1、必做题：课本p118，练习1，2，3；

习题3.3第2题（3，4）。

2、选做题：

在等差数列中，

（1）、已知a2+a5+a12+a15=36，求是S16。

（2）、已知a6=20，求s11。

（三）、板书设计

板书要基本体现课堂的内容和方法，体现课堂进程，能简明扼要反映知识结构及其相互关系：能指导教师的教学进程、引导学生探索知识；通过使用幻灯片辅助板书，节省课堂时间，使课堂进程更加连贯。

五、评价分析

9.等比数列及其前n项和(学生) 篇九

等比数列及其前n项和

1．等比数列的定义

如果一个数列从

A．2B.2C.2D.24．设{an}是首项大于零的等比数列，则“a1＜a2”是“数列{an}是递增数列”的()

A．充分而不必要条件C．充分必要条件

B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件

5．各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10＝2，S20＝8则S30＝________.等比数列中基本量的运算

【例1】 等比数列{an}满足：a1＋a6＝11，a3·a49q∈(0，1)．

(1)求数列{an}的通项公式；(2)若该数列前n项和Sn＝21，求n的值．

总结：在使用等比数列的前n项和公式时，应根据公比q的情况进行分类讨论，切不可忽视q的取值而盲目用求和公式．

练习1．记等差数列{an}的前n项和为Sn，设S3＝12，且2a1，a2，a3＋1成等比数列，求Sn.等比数列的判定及证明

【例2】 已知数列{an}的前n项和Sn＝2an＋1，求证：{an}是等比数列，并求出通项公式．

总结：证明一个数列是等比数列的主要方法有两种：一是利用等比数列的定义，即证明an＋1*2*

＝q(q≠0，n∈N)，二是利用等比中项法，即证明an＋1＝anan＋2≠0(n∈N)． an

练习2．设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2.(1)设bn＝an＋1－2an，证明数列{bn}是等比数列；(2)求数列{an}的通项公式．

等比数列的综合应用

【例3】(2010·上海卷)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n－5an－85，n∈N*.(1)证明：{an－1}是等比数列；

(2)求数列{Sn}的通项公式，并求出使得Sn＋1＞Sn成立的最小整数n.总结：数列是特殊的函数，以数列为背景的不等式证明问题及以函数为背景的数列的综合问题体现了在知识交汇点上命题的特点，该类综合题的知识综合性强，能很好地考查逻辑推理能力和运算求解能力，从而一直成为高考命题者的首选．

练习3．数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，an＋1＝3Sn，n＝1,2,3，„，求：

(1)a2，a3，a4的值及数列{an}的通项公式；(2)a2＋a4＋a6＋„＋a2n的值．作业:

一、选择题

1．已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝4q＝()

111A．－2B．2C．2D.22．已知各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6＝()

A．42B．7C．6D．52

13．已知等比数列{an}的前n项和Sn＝t·5n－2－5t的值为()

A．4B．5C.5D.54．已知等比数列{an}中，若a1 005·a1 007＝4，则该数列的前2 011项的积为()

A．42 011B．±42 011C．22 011D．±22 011

225．若a1＝1，对于任何n∈N*，都有an＞0，且nan＋1＝(2n－1)an＋1an＋2an.设M(x)表示

整数x的个位数字，则M(a2 011)＝()

A．2B．3C．4D．5

二、填空题

6．数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1，若数列{an＋c}恰为等比数列，则c的值为________． 7． 等比数列{an}的公比q＞0，已知a2＝1，an＋2＋an＋1＝6an，则{an}的前4项和S4＝____.8．等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝2，S6＝6，则a10＋a11＋a12＝________.9．设{an}是公比为q的等比数列，|q|＞1，令bn＝an＋1(n＝1,2，„)，若数列{bn}有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则6q＝________.三、解答题

10．设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S4＝1，S8＝17，求{an}的通项公式．

11．已知数列{an}满足a1＝1，a2＝3，an＋2＝3an＋1－2an(n∈N*)．

(1)证明：数列{an＋1－an}是等比数列；(2)求数列{an}的通项公式．

12.在数列{an}中a1＝1，an＝2(an－1－1)＋n(n≥2，n∈N*)．

(1)求a2，a3的值；