初一用方程解决问题

初一用方程解决问题（12篇）

1.初一用方程解决问题 篇一

4.3用方程解决问题（小结）

班级 姓名 学号

学习目标：

1．探索具体问题中的数量关系和变化规律，并用方程进行描述，让学生体验方程是刻画现实世界的一种有效模型。

2．进一步培养学生观察、思考、分析问题、解决问题的能力，渗透建模的数学思想。3.感受数学与生活的紧密联系，体会数学的价值，激发学生学习数学的兴趣。学习难点：

分析与确定问题中的等量关系，能用方程来描述和刻画事物间的等量关系。教学过程：

一、创设情境，引入新课 问题一：

1.家电下乡是我国应对当前国际金融危机，惠农强农，带动工业生产，促进消费，拉动内需的一项重要举措．国家规定，农民购买家电下乡产品将得到销售价格13%的补贴资金．今年5月1日，甲商场向农民销售某种家电下乡手机20部．已知从甲商场售出的这20部手机国家共发放了2340元的补贴，若设该手机的销售价格为x元，以下方程正确的是（）A．20x13%2340

C．20x(113%)2340

B．20x234013%

D．13%x2340

2.A种饮料比B种饮料单价少1元，小峰买了2瓶A种饮料和3瓶B种饮料，一共花了13元，如果设B种饮料单价为x元/瓶，那么下面所列方程正确的是（）A．2(x1)3x13 C．2x3(x1)13

B．2(x1)3x13 D．2x3(x1)13

3.动物园的门票售价：成人票每张50元，儿童票每张30元。某日动物园售出门票700张，共得29000元。设儿童票售出x张，依题意可列出下列哪一个一元一次方程式？（）A．30x50(700x)=29000

B．50x30(700x)=29000 C．30x50(700x)=29000

D．50x30(700x)=29000。

二、合作质疑，探索新知 问题二：

据宁德网报道：

问题三：

整理一批图书，如果由一个人单独做要花60小时。现先由一部分人用一小时整理，随后增加15人和他们一起又做了两小时，恰好完成整理工作。假设每个人的工作效率相同，那么先安排整理的人员有多少人？ 问题四：

某中学拟组织九年级师生去韶山举行毕业联欢活动．下面是年级组长李老师和小芳、小明同学有关租车问题的对话： 李老师：“平安客运公司有60座和45座两种型号的客车可供租用，60座客车每辆每天的租金比45座的贵200元．” 小芳：“我们学校八年级师生昨天在这个客运公司租了4辆60座和2辆45座的客车到韶山参观，一天的租金共计5000元．” 小明：“我们九年级师生租用5辆60座和1辆45座的客车正好坐满．” 根据以上对话，解答下列问题：

（1）平安客运公司60座和45座的客车每辆每天的租金分别是多少元？

（2）按小明提出的租车方案，九年级师生到该公司租车一天，共需租金多少元？

三、自主归纳，形成方法

学生自主归纳：如何用方程解决问题？ 巩固练习：

1．请你阅读下面的诗句:“栖树一群鸦，鸦树不知数，三只栖一树，五只没去处，五只栖一树，闲了一棵树，请你仔细数，鸦树各几何？” 诗句中谈到的鸦为 只、树为 棵.2．某商品的价格标签已丢失，售货员只知道“它的进价为80元，打七折售出后，仍可获利5%”．你认为售货员应标在标签上的价格为

元．

四、反思设计，分组活动

1、列方程解应用题的一般步骤。

2、列方程解应用题的注意事项。

五、发展能力，拓展延伸

为了拉动内需，全国各地汽车购置税补贴活动在2009年正式开始．某经销商在政策出台前一个月共售出某品牌汽车的手动型和自动型共960台，政策出台后的

班长应付（A．45元）

B．90元

C．10元

D．100元

2．有大小两种船，1艘大船与4艘小船一次可以载乘客46名，2艘大船与3艘小船一次可以载乘客57人．绵阳市仙海湖某船家有3艘大船与6艘小船，一次可以载游客的人数为（）

A．129

B．120

C．108

D．96 3．小悦买书需用48元钱，付款时恰好用了1元和5元的纸币共12张．设所用的1元纸币为x张，根据题意，下面所列方程正确的是 A．x5(12x)48

B．x5(x12)48

C．x12(x5)48

D．5x(12x)48

4.已知有10包相同数量的饼干，若将其中1包饼干平分给23名学生，最少剩3片。若将此10包饼干平分给23名学生，则最少剩多少片？（）

A．0

B．3

C．7

D．10

5．某种衬衫每件的标价为150元，如果每件以8折（即按标价的80％）出售，那么这种衬衫每件的实际售价应为

元．

6.某商店一套服装的进价为200元，若按标价的80％销售可获利72元，则该服装的标价为 _ 元．

7.“家电下乡”农民得实惠．村民小郑购买一台双门冰箱，在扣除13%的政府财政补贴后，再减去商场赠送的“家电下乡”消费券100元，实际只花了1 726.13元钱，那么他购买这台冰箱节省了

元钱．

8.为迎接“建国60周年”国庆，我市准备用灯饰美化红旗路，需采用A、B两种不同类型的灯笼200个，且B灯笼的个数是A灯笼的2。3（1）求A、B两种灯笼各需多少个？

（2）已知A、B两种灯笼的单价分别为40元、60元，则这次美化工程购置灯笼需多少费用？

9.某超市为“开业三周年”举行了店庆活动．对A、B两种商品实行打折出售．打折前，购买5件A商品和1件B商品需用84元；购买6件A商品和3件B商品需用108元．而店庆期间，购买50件A商品和50件B商品仅需960元，这比不打折少花多少钱？

10.2009年北京市生产运营用水和居民家庭用水的总和为5.8亿立方米，其中居民家庭用水比生产运营用水的3倍还多0.6亿立方米，问生产运营用水和居民家庭用水各多少亿立方

米

11．受气候等因素的影响，今年某些农产品的价格有所上涨.张大叔在承包的10亩地里所种植的甲、乙两种蔬菜共获利13800元.其中甲种蔬菜每亩获利1200元，乙种蔬菜每亩获利1500元.则甲、乙两种蔬菜各种植了多少亩？

12.北京市实施交通管理新措施以来，全市公共交通客运量显著增加.据统计，2008年10月11日到2009年2月28日期间，地面公交日均客运量与轨道交通日均客运量总和为1696万人次，地面公交日均客运量比轨道交通日均客运量的4倍少69万人次.在此期间，地面公交和轨道交通日均客运量各为多少万人次？

2.初一用方程解决问题 篇二

在教学实践中, 我们发现在用方程解决问题时 (人教版实验教材五年级上册) 学生经常碰到以下一些困难:

1.不善于识别隐蔽的等量关系。列方程解应用题的关键在于通过分析, 把实际问题中的数量关系转化为数学问题, 再列出条件等式 (方程) , 而等量关系往往隐含于题文情境之中, 题目一般不会直接给出, 由于学生受“算术解法”定式的影响初学时往往找不到等量关系。

2.受多重等量关系的干扰。列方程解应用题, 确定等量关系没有固定的模式, 因为各人考虑的角度不同, 选取的等量关系也不同, 这就增加了学生确定等量关系的困难。

3.课时少 (三课时完成) , 加之初学, 又是学习难点。在课堂上尽管我把分析题意、寻找数量关系作为重点进行教学, 不断地对学生加以引导、启发, 力求使学生理解、掌握解题的基本思路和方法, 但学生在学习过程中仍不能很好地掌握这一要领, 出现了一些意想不到的错误。如此看来, 若不改进教法, 很难在规定时间内完成教学任务。

为此, 我们就如何遵循数学模式发展的一般规律, 用模式论的方法教学用方程解决问题做了一些有益探索。教学过程如下。

一、谈话引入, 引导自主编题

1. 呈现下面三道题 (要求口答, 只列方程, 不计算) :

(1) 甲数是230, 比乙数的3倍多50。乙数是多少?

(2) 甲地到乙地相距200千米, 一辆轿车从甲地出发行驶2小时后, 距离乙地还有40千米, 请问这辆轿车每小时行驶多少千米?

(3) 每千克苹果4.8元, 比橘子的2倍多0.2元, 橘子每千克多少元?

2. 反馈。说说等量关系, 再概括三题的共同点。

得出: () x+ () = () 。

接着把以上 (1) 、 (3) 两题中的“多”改为“少”, 使学生知道只要将方程中的“+”改为“-”, 并把以上的模式改为 () x± () = () 。

3. 针对以上模式引导学生联系生活实际自主编题, 并列出方程。

4. 根据学生编题和所列方程情况, 组织评讲。

教学意图:如何理解方程ax±b=c及其解法。教师先让学生练习找等量关系, 并分别用不同的方法解方程。再通过观察比较, 发现这两道题都是几个几加减几等于多少的问题 (ax±b=c) , 殊途同归。然后总结出上面模式, 并以此为框架自主编题, 巩固刚刚总结的模式与解题方法, 帮助学生在复杂的情境中抽象出数学模型。

二、呈现题组, 继续自主编题

1. 呈现下面题组 (要求列出方程) :

(1) 水果店里有6箱苹果和60千克橘子, 苹果和橘子共有150千克。问每箱苹果平均重多少千克?

(2) 水果店里有6箱苹果和4箱橘子, 共重150千克。每箱苹果和每箱橘子一样重, 问每箱橘子 (或苹果) 重多少千克?

(3) 水果店有苹果和橘子共150千克, 苹果的质量是橘子的1.5倍, 问橘子有多少千克?

2. 反馈。说说等量关系, 找一找 (2) (3) 两题的共同点。

得出: () x+ () x= () [说说与第 (1) 题的关系。]

接着把第 (2) 、 (3) 题分别改为:

(4) 水果店里有6箱苹果和4箱橘子, 苹果总质量比橘子多30千克, 而且每箱苹果和每箱橘子一样重, 问每箱橘子重多少千克?

(5) 水果店里苹果的质量比橘子多30千克, 而且苹果的质量是橘子的1.5倍, 问橘子有多少千克?

列出方程后, 把方程整理为以下模式: () x± () x= () 。

3. 依照以上模式启发学生联系实际编题, 并列方程解答。

4. 组织反馈评讲。

教学意图:本环节的教学在ax±b=c的基础上分层次逐步导出ax±bx=c的形式。这样做前后自然过渡, 学生由于有第一环节的基础, 所以容易总结出ax±bx=c的模式, 使知识和方法都得到巩固。

三、组织练习、归类, 灵活解题

1. 列方程解答下列各题, 并想一想你用了哪些等量关系。

(1) 临海小学五 (1) 班有篮球18个, 比足球的3倍少2个, 足球有多少个?

(2) 张大伯的果园里有桃树和梨树共180棵, 已知桃树的棵数正好是梨树的4倍, 梨树有多少棵?

(3) 现有数量相同的鸡兔同笼, 已知腿共有42条, 问笼子里的鸡和兔子各有多少只?

2. 选择题。

(1) 根据线段图选出正确的方程。

方程为 ()

教学意图:学生通过比较以上四个方程的联系与区别, 感受到同一模式下多角度解决问题的方法。

(2) 6筐苹果和6筐香蕉共重210千克。如果平均每筐苹果重15千克, 那么平均每筐香蕉重多少千克?设平均每筐香蕉重x千克。列式为 () 。

(3) 右图的总面积为80平方米, 求x的方程是 () 。

教学意图:通过几个环节的教学, 使学生能比较自觉地用模式思想来解决问题, 同时对算术解与方程解的联系与区别有深入的认识。

四、教学感悟

美国著名数学教育家波利亚说:“如果你希望从自己的努力中取得最大的收获, 就要从已经解决了的问题中找出那些对处理将来的问题可能有用的特征。如果一种解题方法是你通过自己的努力而掌握的, 或者是你从别处学来或听来并真正理解的, 那么这种方法就可以成为你的一种模式, 即在解决类似问题时可用作模仿的一种模式。” (《数学的发现》)

3.巧用线段图解决列方程问题 篇三

【关键词】线段图 中等及后进生 列方程

【中图分类号】G623.5 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2016）33-0177-01

列方程解应用题，是在用字母表示未知数的基础上，使学生解决实际问题的数学工具从列出算式解发展到列出方程求解，这又是数学思想方法认识上的一次飞跃，它将使学生运用数学知识解决实际问题能力提高到一个新的水平，但对于中等及后进生来说，是一个极大的挑战，由常规的具体数据及计算方法，过渡到用字母表示所学过的数量关系、运算定律以及一些图形的周长、面积计算公式。是否能够学会，这将直接影响孩子们学习数学的信心。因此本文尝试用线段图帮助中等及后进生理解数量关系，从而解决列方程。

一、线段图的特点

线段图是有几条线段组合在一起，用来表示应用题中的数量关系，帮助人们分析题意，解答问题的一种平面图形。它的特点是从抽象的文字到直观的再创造、再演示的过程。

二、巧用线段图的优势

（一）借助于线段图解题，可以化抽象的语言到具体、形象、直观图形。中等及后进生理解能力有限，社会经历又少，给理解题意带来很大的困难。教师可以引导学生用线段图的形式表示题目中的数量关系，更直观，形象，具体，便于列方程。

（二）借助线段图，可以化难为易，化繁为简，判断准确。有的应用题，数量關系比较复杂，例如路程问题。学生难以理清，借助线段图可以准确的找出数量间的对应关系，很容易解出要求的问题。

三、巧用题目信息，画线段图列方程

（一）认真读题，全面理解题意，所画的图要与题目中的条件相符合。例如题目中常常出现类似的关键句：共花费X元；A比B的X倍少或者多Y；A市到B市的距离为X千米等等。（本段的X、Y为具体的数据）。

（二）图中线段的长短要和数值的大小基本一致，不要长的线段标出小的数据而短的线段标出大的数据。图要画的美观、大方、结构合理，具有艺术性。

（三）要按照题目的叙述顺序，在图上标明条件。对于双线段并列图和多线段并列图一定要分清先画和后画的顺序，要找准数量间的对应关系，明确所求的问题。这是分析题意和列算式的重点，需要进行大量的训练才能提高分析问题和解决问题的能力，并非一日之功。

（四）线段图与题型的一一对应。一一对应有助于中等及后进生的理解题意、巩固题型，防止盲目地乱思考及隔天的遗忘。当重复出现同一类型的题目时，他们能够对应线段图与题型，帮忙他们回顾和理解，从而到达解决列方程问题。

4.用方程解决问题的练习题 篇四

用方程解决问题的练习题

【基础过关】

一、选择题

1、甲能在12天内完成某项工作，乙的工作效率比甲高20%，那么乙完成这项工作的天数为( )

A、6 B、8 C、10 D、11

2、一件工作，甲队独做10天可以完成，乙队独做15天可以完成，若两队合作，( )天可以完成

A、25 B、12.5 C、6 D、无法确定

3、某项工作，甲单独做要a天完成，乙单独做需b天完成，现在甲单独做2天后，剩下工作由乙单独做，则乙单完成剩下的工作所需天数是( )

A、B、C、D、

二、填空题

1、若一个三位数，十位数字是x，个位数字是十位数字的3倍，百位数字比十位数字的2 倍少1，则这个三位数可表示为______________.

2、一个两位数，个位上的数字是十位上的数字的3倍，它们的和为12，那么这个两位数为________.

3、某项工程由甲独做需m天，由乙独做需n天，两人合作4天后，剩下的工程是 .

4、做一批零件，如果每天做8个，将比每天做6个提前1天完成，这批零件共有_____个.

三、列方程解应用题

1、要加工200个零件，甲先单独加工了5小时，然后又与乙一起加工了4小时完成了任务.已知甲每小时比乙多加工2个零件，求甲、乙每小时各加工多少个零件.

2、一件工作，甲单独做20小时完成，乙单独做12小时完成，现在由甲做4小时，剩下的部分由甲、乙合作，剩下的部分需要几小时完成?

3、一个两位数，个位数字是十位数字的4倍，把个位数字与十位数字对调，得到的两位数比原来大54，求原数.

【知能升级】

1、两根同样长的蜡烛，点完一根粗蜡烛要2小时，而点完一根细蜡烛要1小时.一天晚上停电，明明同时点燃了这两支蜡烛看书，若干分钟后来电了，明明将两芝蜡烛同时熄灭，发现粗蜡烛的长是细蜡烛的2倍，问：停电多少分钟?

2、小明中考时的.准考证号码是由四个数字组成的，这四个数字组成的四位数有如下特征：(1)它的千位数字为1;(2)把千位上的数字1向右移动，使其成为个位数字，那么所得的新数比原数的5倍少49.请你根据以上特征推出小明的准考证号码.

答 案

【基础过关】

一、选择题

1、C 2、C 3、B

二、填空题

1、100(2x-1)+10x+3x 2、39 3、4、24

三、列方程接应用题

1、甲每小时加工16个零件，乙每小时加工14个零件.

2、剩下的部分需要6小时完成.3、原数为28.

【知能升级】

1、停电40分钟.

5.初一用方程解决问题 篇五

一、选择题

1、轮船沿江从A港顺流行驶到B港，比从B港返回A港少用3小时，若船速为26千米/时，水速为2千米/时，求A港和B港相距多少千米．设A港和B港相距x千米．根据题意，可列出的方程是（）

A． B． C． D．

2、甲、乙两人练习短距离赛跑，测得甲每秒跑7米，乙每秒跑6.5米，如果甲让乙先跑2秒，那么几秒钟后甲可以追上乙．若设x秒后甲追上乙，列出的方程应为（）

A．7x=6.5 B．7x=6.5（x+2）C．7（x+2）=6.5x D．7（x﹣2）=6.5x3、A、B两地相距450千米，甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行．已知甲车速度为120千米/时，乙车速度为80千米/时，经过t小时两车相距50千米，则t的值是（）

A．2或2.5 B．2或10 C．10或12.5 D．2或12.54、运动场环形跑道周长400米，小林跑步的速度是爷爷的倍，他们从同一起点沿跑道的同一方向同时出发，5min后小林第一次与爷爷相遇，小林跑步的速度是（）米/分．

A．120 B．160 C．180 D．2005、某铁路桥长1200m，现有一列火车从桥上通过，测得该火车从开始上桥到完全过桥共用了1min，整列火车完全在桥上的时间共40s．则火车的长度为（）

A．180m B．200m C．240m D．250m6、A、B两列车长分别180米、200米，它们相向行驶在平行的直轨道上，A车上的乘客测得B车经过其窗外的时间为10秒，则B车上的乘客测得A车经过其窗外的时间为（）秒．

A．7.5 B．8 C．8.5 D．9

7、某中学学生军训，沿着与笔直的铁路并列的公路匀速前进，每小时走4.5千米．一列火车以每小时120千米的速度迎面开来，测得从火车头与队首学生相遇，到车尾与队末学生相遇，共经过12秒．如果队伍长150米，那么火车长（）

A．150 米 B．215米 C．265 米 D．310米

8、如图所示，甲､乙两人沿着边长为70米的正方形，按的方向行走．甲从

点以65米/分的速度行走，乙从

点以72米/分的速度行走，甲､乙两人同时出发，当乙第一次追上甲时，所在正方形的边为（）

A．

9、小刚从家跑步到学校，每小时跑12km，会迟到5分钟；若骑自行车，每小时骑15km，则可早到10分钟．设他家到学校的路程是xkm，则根据题意列出方程是（）

A．

B．

C．

D．

10、古代名著《算学启蒙》中有一题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何追及之？意思是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里．慢马先走12天，快马几天可追上慢马？若设快马x天可追上慢马，则由题意，可列方程为（）

A．240x＝150x+12×150B．240x＝150x﹣12×150

C．240（x﹣12）＝150x+150D．240x+150x＝12×15

二、填空题

11、一架飞机飞行于两城市之间，顺风需要5小时30分，逆风需要6小时，已知风速为每小时20千米，则无风时飞机的速度为_____千米/时．

12、已知A、B两站间的距离为480千米，一列慢车从A站出发，一列快车从B站出发，慢车的平均速度为60千米/时，快车的平均速度为100千米/时，如果两车同时出发，慢车在前，快车在后，同向而行，那么出发后________小时两车相距80千米．

13、小明与小美家相距1.8千米．有一天，小明与小美同时从各自家里出发，向对方家走去，小明家的狗和小明一起出发，小狗先跑去和小美相遇，又立刻回头跑向小明，又立刻跑向小美……一直在小明与小美之间跑动．已知小明速度为50米/分，小美速度为40米/分，小明家的狗速度为150米分，则小明与小美相遇时，小狗一共跑了__________米．

14、一列火车匀速行驶，经过一条长200m的隧道需要20s的时间，隧道的顶上有一盏灯，垂直向下发光，灯光照在火车上的时间是10s．则这列火车的长度是_____m．

15、如图，在长方形ABCD中，AB=4cm，BC=3cm，点E是CD的中点．点P从点A出发，以1cm/s的速度沿A—B—C匀速运动，最终到达点C．若点P的运动时间为t秒时，三角形APE的面积为4cm2，则t=____秒．

16、甲、乙两人从长度为400m的环形运动场同一起点同向出发，甲跑步速度为200m/min，乙步行，当甲第三次超越乙时，乙正好走完第二圈，再过____min，甲、乙之间相距100m．(在甲第四次超越乙前)

三、解答题

17、某桥长1200m，现有一列匀速行驶的火车从桥上通过，测得火车从上桥到完全过桥共用了50s，而整个火车在桥上的时间是30s，求火车的长度和速度．

18、甲、乙两站相距一列慢车从甲站出发开往乙站，速度为一列快车从乙站出发开往甲站，速度为．

（1）两车同时出发，出发后多少时间两车相遇?

（2）慢车先出发，快车开出后多少时间两车相距?

19、A、B两地相距480km，C地在A、B两地之间．一辆轿车以100km/h的速度从A地出发匀速行驶，前往B地．同时，一辆货车以80km/h的速度从B地岀发，匀速行驶，前往A地．

（1）当两车相遇时，求轿车行驶的时间；

（2）当两车相距120km时，求轿车行驶的时间；

（3）若轿车到达B地后，立刻以120km/h的速度原路返回，再次经过C地，两次经过C地的时间间隔为2.2h，求C地距离A地路程．

20、甲、乙二人都以不变的速度在环形路上跑步，如果同时同地出发，反向而行，每隔2min相遇一次，如果同时同地出发，同向而行，每隔6min相遇一次，已知甲比乙跑得快，甲、乙二人每分各跑多少圈？（用一元一次方程解）

21、甲、乙两汽车从A市出发，丙汽车从B市出发，甲车每小时行驶40千米，乙车每小时行驶45千米，丙车每小时行驶50千米．如果三辆汽车同时相向而行，丙车遇到乙车后10分钟才能遇到甲车，问何时甲丙两车相距15千米？

22、问题情境：在高邮高铁站上车的小明发现：坐在匀速行驶动车上经过一座大桥时，他从刚上桥到离桥共需要150秒；而从动车车尾上桥开始到车头离桥结束，整列动车完全在挢上的时间是148秒．已知该列动车长为120米，求动车经过的这座大桥的长度．

合作探究：（1）请补全下列探究过程：小明的思路是设这座大桥的长度为x米，则坐在动车上的小明从刚上桥到离桥的路程为x米，所以动车的平均速度可表示为 米/秒；从动车车尾上桥开始到车头离桥结束的路程为（x﹣120）米，所以动车的平均速度还可以表示为 米/秒．再根据火车的平均速度不变，可列方程 ．

（2）小颖认为：也可以设动车的平均速度为v米/秒，列出方程解决问题．请你按照小颖的思路求动车经过的这座大桥的长度．

23、某中学学生步行到郊外旅行，七年级

班学生组成前队，步行速度为4千米

小时，七

班的学生组成后队，速度为6千米

小时；前队出发1小时后，后队才出发，同时后队派一名联络员骑自行车在两队之间不间断地来回联络，他骑车的速度为10千米

小时．

后队追上前队需要多长时间？

后队追上前队的时间内，联络员走的路程是多少？

七年级

班出发多少小时后两队相距2千米？

24、如图，A、B两地相距90千米，从A到B的地形依次为：60千米平直公路，10千米上坡公路，20千米平直公路．甲从A地开汽车以120千米/小时的速度前往B地，乙从B地骑摩托车以60千米/小时的速度前往A地，汽车上坡的速度为100千米/小时，摩托车下坡的速度为80千米/小时，甲、乙两人同时出发．

（1）求甲从A到B地所需要的时间．

（2）求两人出发后经过多少时间相遇？

（3）求甲从A地前往B地的过程中，甲、乙经过多少时间相距10千米？

25、渔夫在静水划船总是每小时5里，现在逆水行舟，水流速度是每小时3里；一阵风把他帽子吹落在水中，假如他没有发现，继续向前划行；等他发觉时人与帽子相距2.5里；于是他立即原地调头追赶帽子，原地调转船头用了10分钟．

（1）求顺水速度，逆水速度是多少？

（2）从帽子丢失到发觉经过了多少时间？

（3）从发觉帽子丢失到捡回帽子经过了多少时间？

专题培优练：用一元一次方程解决问题（行程问题）

一、选择题

1、轮船沿江从A港顺流行驶到B港，比从B港返回A港少用3小时，若船速为26千米/时，水速为2千米/时，求A港和B港相距多少千米．设A港和B港相距x千米．根据题意，可列出的方程是（）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

由题意根据时间=路程÷速度结合顺流比逆流少用3小时，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．

【解析】

解：设A港和B港相距x千米，根据题意得：．

故选：A．

2、甲、乙两人练习短距离赛跑，测得甲每秒跑7米，乙每秒跑6.5米，如果甲让乙先跑2秒，那么几秒钟后甲可以追上乙．若设x秒后甲追上乙，列出的方程应为（）

A．7x=6.5 B．7x=6.5（x+2）C．7（x+2）=6.5x D．7（x﹣2）=6.5x

【答案】B

【解析】设x秒后甲追上乙，根据等量关系：甲x秒所跑的路程=乙x秒所跑的路程+乙2秒所跑的路程．

列方程得：7x=6.5（x+2），故选B．

3、A、B两地相距450千米，甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行．已知甲车速度为120千米/时，乙车速度为80千米/时，经过t小时两车相距50千米，则t的值是（）

A．2或2.5 B．2或10 C．10或12.5 D．2或12.5

【答案】A

【分析】

应该有两种情况，第一次应该还没相遇时相距50千米，第二次应该是相遇后交错离开相距50千米，根据路程=速度×时间，可列方程求解．

【解析】

解：设经过t小时两车相距50千米，根据题意，得

120t+80t=450-50，或120t+80t=450+50，解得t=2或t=2.5．

答：经过2小时或2.5小时相距50千米．

故选：A．

4、运动场环形跑道周长400米，小林跑步的速度是爷爷的倍，他们从同一起点沿跑道的同一方向同时出发，5min后小林第一次与爷爷相遇，小林跑步的速度是（）米/分．

A．120 B．160 C．180 D．200

【答案】D

【分析】

设爷爷跑步的速度为米/分，从而可得小林跑步的速度为米/分，再根据“小林第一次与爷爷相遇时，小林跑的路程减去爷爷跑的路程等于跑道周长”建立方程，然后解方程求出x的值，由此即可得出答案．

【解析】

设爷爷跑步的速度为米/分，则小林跑步的速度为米/分，由题意得：，解得，则（米/分），即小林跑步的速度为200米/分，故选：D．

5、某铁路桥长1200m，现有一列火车从桥上通过，测得该火车从开始上桥到完全过桥共用了1min，整列火车完全在桥上的时间共40s．则火车的长度为（）

A．180m B．200m C．240m D．250m

【答案】C

【分析】

设火车的长度为xm，根据速度=路程÷时间结合火车的速度不变，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．

【解析】

解：设火车的长度为xm，依题意，得：，解得：x=240．

故选：C．

6、A、B两列车长分别180米、200米，它们相向行驶在平行的直轨道上，A车上的乘客测得B车经过其窗外的时间为10秒，则B车上的乘客测得A车经过其窗外的时间为（）秒．

A．7.5 B．8 C．8.5 D．9

【答案】D

【分析】

应先算出甲乙两列车的速度之和，乘以高速列车驶过窗口的时间即为高速列车的车长，把相关数值代入即可求解．

【解析】

解：设A、B两车的速度分别为vA、vB，B车上的乘客测得A车经过其窗外的时间为t秒，则

10（vA+vB）=200，则vA+vB=20，∴20t=180，解得：t=9．

故选：D．

7、某中学学生军训，沿着与笔直的铁路并列的公路匀速前进，每小时走4.5千米．一列火车以每小时120千米的速度迎面开来，测得从火车头与队首学生相遇，到车尾与队末学生相遇，共经过12秒．如果队伍长150米，那么火车长（）

A．150 米 B．215米 C．265 米 D．310米

【答案】C

【分析】先将12秒化为小时，设火车长x千米，然后根据学生行驶的路程+火车的路程＝火车的长度+学生队伍的长度列方程求解即可，注意单位换算．

【详解】解：12秒＝小时，150米＝0.15千米，设火车长x千米，根据题意得：×(4.5+120)＝x+0.15，解得：x＝0.265，0.265千米＝265米．

答：火车长265米．故选：C．

8、如图所示，甲､乙两人沿着边长为70米的正方形，按的方向行走．甲从

点以65米/分的速度行走，乙从

点以72米/分的速度行走，甲､乙两人同时出发，当乙第一次追上甲时，所在正方形的边为（）

【答案】D

【分析】设乙x分钟后追上甲，根据乙追上甲时，比甲多走了70×3＝210米，可得出方程，求出时间后，计算乙所走的路程，继而可判断在哪一条边上相遇．

【详解】解：设乙第一次追上甲用了x分钟，由题意得：72x−65x＝70×3，解得：x＝30，而72×30＝2160＝70×30＋60，30÷4＝7…2，所以乙走到D点，再走60米即可追上甲，即在AD边上．

答：乙第一次追上甲是在AD边上．故选：D．

9、小刚从家跑步到学校，每小时跑12km，会迟到5分钟；若骑自行车，每小时骑15km，则可早到10分钟．设他家到学校的路程是xkm，则根据题意列出方程是（）

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【分析】

设他家到学校的路程是xkm，根据时间=路程÷速度结合上课时间不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．

【详解】

解：设他家到学校的路程是xkm，

依题意，得：．

故选D．

10、古代名著《算学启蒙》中有一题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何追及之？意思是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里．慢马先走12天，快马几天可追上慢马？若设快马x天可追上慢马，则由题意，可列方程为（）

A．240x＝150x+12×150B．240x＝150x﹣12×150

C．240（x﹣12）＝150x+150D．240x+150x＝12×15

【解题思路】设快马x天可以追上慢马，根据快马和慢马所走的路程相等建立方程即可．

【解答过程】解：设快马x天可以追上慢马，据题题意：240x＝150x+12×150，故选：A．

二、填空题

11、一架飞机飞行于两城市之间，顺风需要5小时30分，逆风需要6小时，已知风速为每小时20千米，则无风时飞机的速度为_____千米/时．

【答案】460．

【分析】根据等量关系“顺风时所行路程=逆风时所行路程”列出方程求解即可．

【详解】设飞机无风时飞行速度为x千米/时，题意得：

×（x+20）＝6×（x﹣20），解，得x＝460，所以，无风时飞机的速度为460千米/时．

故答案为：460．

12、已知A、B两站间的距离为480千米，一列慢车从A站出发，一列快车从B站出发，慢车的平均速度为60千米/时，快车的平均速度为100千米/时，如果两车同时出发，慢车在前，快车在后，同向而行，那么出发后________小时两车相距80千米．

【答案】10或14

【分析】可设出发后x小时两车相距80千米，分两种情况：两车相距80千米时慢车在前；两车相距80千米时快车在前列方程，解方程即可求解．

【详解】解：设出发后x小时两车相距80千米，当慢车在前时，100x﹣60x＝480﹣80，解得x＝10，当快车在前时，100x﹣60x＝480+80，解得x＝14，答：出发后10小时或14小时两车相距80千米，故答案为：10或14．

13、小明与小美家相距1.8千米．有一天，小明与小美同时从各自家里出发，向对方家走去，小明家的狗和小明一起出发，小狗先跑去和小美相遇，又立刻回头跑向小明，又立刻跑向小美……一直在小明与小美之间跑动．已知小明速度为50米/分，小美速度为40米/分，小明家的狗速度为150米分，则小明与小美相遇时，小狗一共跑了__________米．

【答案】3000

【分析】设经过x分钟两人相遇，根据两人的速度之和×时间=小明和小美家的距离，即可得出一元一次方程，解之即可求得两人相遇时间，再利用路程=速度×时间，即可求出小狗跑的距离．

【详解】设经过x分钟两人相遇，依题意，得：（50+40）x=1800，解得：x=20，所以小狗跑的距离为150×20=3000（米）

故答案为：3000．

14、一列火车匀速行驶，经过一条长200m的隧道需要20s的时间，隧道的顶上有一盏灯，垂直向下发光，灯光照在火车上的时间是10s．则这列火车的长度是_____m．

【答案】200

【分析】

根据行程问题利用火车的速度不变列出一元一次方程即可求解．

【解析】

设这列火车的长度是xm．

根据题意，得

解得： x=200．

答：这列火车的长度是200m．

故答案为：200．

15、如图，在长方形ABCD中，AB=4cm，BC=3cm，点E是CD的中点．点P从点A出发，以1cm/s的速度沿A—B—C匀速运动，最终到达点C．若点P的运动时间为t秒时，三角形APE的面积为4cm2，则t=____秒．

【答案】或6

【分析】分为二种情况：画出图形，根据三角形的面积，列出方程，求出每种情况即可．

【详解】解：①如图，

当P在AB上时，∵△APE的面积等于4，∴x•3＝4，∴x＝；

②当P在BC上时，

∵△APE的面积等于4，∴S长方形ABCD−S△CPE−S△ADE−S△ABP＝4，∴3×4−×（3＋4−x）×2−×2×3−×4×（x−4）＝4，∴x＝6；

故答案为：或6．

16、甲、乙两人从长度为400m的环形运动场同一起点同向出发，甲跑步速度为200m/min，乙步行，当甲第三次超越乙时，乙正好走完第二圈，再过____min，甲、乙之间相距100m．(在甲第四次超越乙前)

【答案】或

【分析】设再经过xmin，甲、乙之间相距100m，根据题意列出方程求解即可．

【解析】乙步行的速度为400×2÷[400×(2+3)÷200]=80(m/min)．

设再经过xmin，甲、乙之间相距100m，依题意，得：200x﹣80x=100，解得：x；

当甲超过乙300米时，两人也是相距100米，则有：，解得：；

故答案为：或．

三、解答题

17、某桥长1200m，现有一列匀速行驶的火车从桥上通过，测得火车从上桥到完全过桥共用了50s，而整个火车在桥上的时间是30s，求火车的长度和速度．

【思路点拨】正确理解火车“完全过桥”和“完全在桥上”的不同含义．

【解析】解：设火车车身长为xm，根据题意，得：，解得：x＝300，所以．

答：火车的长度是300m，车速是30m/s．

【点评】火车“完全过桥”和“完全在桥上”是两种不同的情况，借助线段图分析如下(注：A点表示火车头)：

(1)火车从上桥到完全过桥如图(1)所示，此时火车走的路程是桥长+车长．

(2)火车完全在桥上如图(2)所示，此时火车走的路程是桥长－车长．由于火车是匀速行驶的，所以等量关系是火车从上桥到完全过桥的速度＝整个火车在桥上的速度．

18、甲、乙两站相距一列慢车从甲站出发开往乙站，速度为一列快车从乙站出发开往甲站，速度为．

（1）两车同时出发，出发后多少时间两车相遇?

（2）慢车先出发，快车开出后多少时间两车相距?

【答案】（1）出发后小时两车相遇；（2）小时或小时两车相距．

【分析】

（1）设两车同时出发，出发后小时两车相遇，等量关系为：慢车小时的路程快车小时的路程，列方程求出的值；

（2）设慢车先出发，快车开出后小时两车相距，分相遇前相距；相遇后相距；列出方程求出的值．

【解析】

解：（1）设两车同时出发，出发后小时两车相遇，依题意有，解得．

故两车同时出发，出发后2.8小时两车相遇；

（2）设慢车先出发，快车开出后小时两车相距，相遇前相距，依题意有

，解得；

相遇后相距，依题意有

，解得．

故慢车先出发，快车开出后2.3小时或2.9小时两车相距．

19、A、B两地相距480km，C地在A、B两地之间．一辆轿车以100km/h的速度从A地出发匀速行驶，前往B地．同时，一辆货车以80km/h的速度从B地岀发，匀速行驶，前往A地．

（1）当两车相遇时，求轿车行驶的时间；

（2）当两车相距120km时，求轿车行驶的时间；

（3）若轿车到达B地后，立刻以120km/h的速度原路返回，再次经过C地，两次经过C地的时间间隔为2.2h，求C地距离A地路程．

【分析】（1）可设两车相遇时，轿车行驶的时间为t小时，当两车相遇时，两车行驶路程之和为480km，列一元一次方程即可；

（2）可设两车相距120km时，轿车行驶的时间x小时，分类讨论：相遇前和相遇后两车相距120km，列一元一次方程即可；

（3）可设C地距离B地路程为ykm，根据两次经过C地的时间间隔为2.2h列一元一次方程即可，再用总路程减去CB即可．

【答案】解：（1）设两车相遇时，轿车行驶的时间为t小时，由题意可得

100t+80t＝480

解得t＝

答：两车相遇时，轿车行驶的时间为小时．

（2）设两车相距120km时，轿车行驶的时间x小时，由题意可以分相遇前和相遇后两种情况．

①相遇前两车相距120km时，有100t+80t＝480﹣120

解得t＝2

②相遇后两车相距120km时，有100t+80t＝480+120

解得t＝

答：当轿车行驶2小时或小时，两车相距120km．

（3）设C地距离B地路程为ykm，由题意可得

+＝2.2

解得y＝120，即C地距离B地路程为120km

而A、B两地相距480km，

所以AC＝480﹣120＝360（km）

答：A、C两地的路程为360km．

20、甲、乙二人都以不变的速度在环形路上跑步，如果同时同地出发，反向而行，每隔2min相遇一次，如果同时同地出发，同向而行，每隔6min相遇一次，已知甲比乙跑得快，甲、乙二人每分各跑多少圈？（用一元一次方程解）

【答案】甲每分跑圈，乙每分跑圈

【分析】

设甲每分跑x圈，根据如果同时同地出发，反向而行，每隔2min相遇一次；如果同时同地出发，同向而行，每隔6min相遇一次，列出方程，求出方程组的解即可得到结果．

【解析】

解：设甲每分跑x圈，乙每分跑(

-x)圈

根据题意得：6［

=16］，

解得：．

则

答：甲每分跑圈，乙每分钟跑圈．

21、甲、乙两汽车从A市出发，丙汽车从B市出发，甲车每小时行驶40千米，乙车每小时行驶45千米，丙车每小时行驶50千米．如果三辆汽车同时相向而行，丙车遇到乙车后10分钟才能遇到甲车，问何时甲丙两车相距15千米？

【分析】设t小时后乙、丙两汽车相遇，则甲、丙所行驶的路程＝乙、丙所行驶的路程．通过方程求得A、B两市的距离，然后分两种情况解答：相遇前、后相距15千米．

【答案】解：设t小时后乙、丙两汽车相遇，则

（50+45）t＝（40+50）（t+），

解得t＝3．

故（50+45）t＝95×3＝285（千米）．

即：A、B两市的距离是285千米．

设x小时甲、丙两车相距15千米．

①当甲、丙两车相遇前相距15千米，

由题意，得（40+50）x＝285﹣15

解得x＝3．

②当甲、丙两车相遇后相距15千米，

由题意，得（40+50）x＝285+15

解得x＝．

综上所述，3或小时后，甲丙两车相距15千米．

22、问题情境：在高邮高铁站上车的小明发现：坐在匀速行驶动车上经过一座大桥时，他从刚上桥到离桥共需要150秒；而从动车车尾上桥开始到车头离桥结束，整列动车完全在挢上的时间是148秒．已知该列动车长为120米，求动车经过的这座大桥的长度．

合作探究：（1）请补全下列探究过程：小明的思路是设这座大桥的长度为x米，则坐在动车上的小明从刚上桥到离桥的路程为x米，所以动车的平均速度可表示为 米/秒；从动车车尾上桥开始到车头离桥结束的路程为（x﹣120）米，所以动车的平均速度还可以表示为 米/秒．再根据火车的平均速度不变，可列方程 ．

（2）小颖认为：也可以设动车的平均速度为v米/秒，列出方程解决问题．请你按照小颖的思路求动车经过的这座大桥的长度．

【答案】（1），，；（2）9000m

【分析】

（1）根据等量关系即表示平均速度．从而列出方程．

（2）设立未知数，根据路程关系即可求解．

【解析】

解：（1）设这座大桥的长度为x米，则坐在动车上的小明从刚上桥到离桥的路程为x米，所以动车的平均速度可表示为．

从动车车尾上桥开始到车头离桥结束的路程为（x﹣120）米，所以动车的平均速度还可以表示为．

火车的平均速度不变，可列方程：．

故答案为：；；．

（2）设动车的平均速度为v米/秒．

∴150v＝148v+120．

解得：v＝60m/s．

∴动车经过的这座大桥的长度：150×60＝9000m．

23、某中学学生步行到郊外旅行，七年级

班学生组成前队，步行速度为4千米

小时，七

班的学生组成后队，速度为6千米

小时；前队出发1小时后，后队才出发，同时后队派一名联络员骑自行车在两队之间不间断地来回联络，他骑车的速度为10千米

小时．

后队追上前队需要多长时间？

后队追上前队的时间内，联络员走的路程是多少？

七年级

班出发多少小时后两队相距2千米？

【答案】（1）后队追上前队需要2小时；（2）联络员走的路程是20千米；（3）七年级班出发小时或2小时或4小时后，两队相距2千米

【分析】(1)设后队追上前队需要x小时，由后队走的路程=前队先走的路程+前队后来走的路程，列出方程，求解即可；(2)由路程=速度×时间可求联络员走的路程；(3)分三种情况讨论，列出方程求解即可．

【解析】设后队追上前队需要x小时，根据题意得：，

答：后队追上前队需要2小时；

千米，答：联络员走的路程是20千米；

设七年级班出发t小时后，两队相距2千米，

当七年级班没有出发时，，

当七年级班出发，但没有追上七年级班时，，，

当七年级班追上七年级班后，，，

答：七年级班出发小时或2小时或4小时后，两队相距2千米．

24、如图，A、B两地相距90千米，从A到B的地形依次为：60千米平直公路，10千米上坡公路，20千米平直公路．甲从A地开汽车以120千米/小时的速度前往B地，乙从B地骑摩托车以60千米/小时的速度前往A地，汽车上坡的速度为100千米/小时，摩托车下坡的速度为80千米/小时，甲、乙两人同时出发．

（1）求甲从A到B地所需要的时间．

（2）求两人出发后经过多少时间相遇？

（3）求甲从A地前往B地的过程中，甲、乙经过多少时间相距10千米？

【答案】（1）小时；（2）小时；（3）或小时

【分析】（1）分段求出所需时间，相加即可得到甲从A到B地所需要的时间；

（2）先判断在哪段相遇，再根据题意列出正确的方程即可求解；

（3）先判定甲从A地前往B地的过程中，甲、乙有两次相距10千米的机会，分情况求解即可．

【详解】（1）甲在段所需时间为：小时，

甲在段所需时间为：小时，甲在段所需时间为：小时，

所以甲从A到B地所需要的时间为小时．

答：甲从A到B地所需要的时间为小时．

（2）乙在段所需时间为：小时，乙在段所需时间为：小时，

，甲在段所需时间为，甲乙会在段相遇，

同时出发，则甲走了小时，走了千米，甲乙相遇时间为小时．

答：两人出发后经过小时相遇．

（3）设甲，乙经过小时后，两人相距10千米，

①相遇前，相距10千米，甲在上，乙在上，

此时，甲走的路程为：，乙走的路程为：，

，解得：

②相遇后，相距10千米，甲在上，乙在上，

此时，甲的路程为，乙的路程为，

，解得：

甲从地前往地的过程中，甲，乙经过或小时相距10千米．

答：甲从地前往地的过程中，甲，乙经过或小时相距10千米．

25、渔夫在静水划船总是每小时5里，现在逆水行舟，水流速度是每小时3里；一阵风把他帽子吹落在水中，假如他没有发现，继续向前划行；等他发觉时人与帽子相距2.5里；于是他立即原地调头追赶帽子，原地调转船头用了10分钟．

（1）求顺水速度，逆水速度是多少？

（2）从帽子丢失到发觉经过了多少时间？

（3）从发觉帽子丢失到捡回帽子经过了多少时间？

【解题思路】（1）根据顺（逆）水速度、船在静水中的速度和水流的速度的关系即可求得；

（2）根据题意列出一元一次方程即可求得；

（3）根据题意列出一元一次方程再考虑到原地掉头时间，即可求得．

【解答过程】解：（1）∵顺水速度＝静水速度+水流速度，逆水速度＝静水速度﹣水流速度，∴顺水速度是5+3＝8，逆水速度是5﹣3＝2，

答：顺水速度是每小时8里，逆水速度是每小时2里；

（2）设从帽子丢失到发觉经过了x小时，

根据题意，得：5x＝2.5，解得x＝0.5．

答：从帽子丢失到发觉经过了0.5小时；

（3）设原地调转船头后到捡回帽子经过了y小时，

则从发觉帽子丢失到捡回帽子经过（y）小时．

根据题意，得：8y＝2.5+3×（y），

解得y=．

∴y=，

6.初一用方程解决问题 篇六

1．通过对劳力调配问题不同情况的探索，提高学生分析思维能力，将实际问题转化为教学问题 2.借助表格形式表达分析题意，体会一元一次方程是反映数量相等关系的一个有效数学模型。【学习重点、难点】

教学重点：寻找劳力调配问题中的已知数与未知数的相等关系，构建方程解题。

教学难点：由劳力调配问题的多种情况分析变与不变关系，抓等量列方程。【学习过程】

一、课前准备

1． 一个三角形的三条边分别为a、b、c，已知a：b：c＝3：4：5，且三角形的周长是36cm则a＝____cm，b＝____cm，c＝____cm 2． 甲、乙、丙三个粮仓共存粮80吨，已知甲、乙两仓存粮之比为1：2，乙、丙两仓存粮之比是1：2.5，则甲存粮____吨，乙存粮____吨，丙存粮_吨。3.月历某列3个数的和为54，这3个数是几？和能为56吗？

4．用直径为4厘米的圆钢，铸造三个直径为2厘米，高为16厘米的圆柱形零件，问需要截取多长的圆钢？

5．一个直径为1.2米高为1.5米的圆柱形水桶，已装满水，向一个底面边长为1米的正方形铁盒倒水，当铁盒装满水时，水桶中的水高度下降了多少米。

二、合作探究 活动一

1．甲组有15人，乙组有20人，丙组有13人。现在把丙组拆成二部分，分别去甲、乙两组。问应向丙组分别抽多少人去甲、乙两组，才能使甲组人数与乙组人数相等？

2.甲队原有人数是乙队原有人数的2倍，从甲队调12人到乙队，这时甲队人数比乙队人数的一半多3人，求甲队原有多少人？

活动二 由白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身16个或盒底43个，一个盒身与二个盒底配成一个罐头盒，现有150张白铁皮，应用多少张制盒身，多少张制盒底才能使盒身、盒底配成套？

活动三 某班同学参加运土劳动，女同学抬土，每两人抬一筐；男同学挑土，每一人挑两筐。已知全班共用59只箩筐，36根扁担，问该班男、女同学各有多少人参加这次劳动？

想一想：若设女同学有y人，用扁担数列方程，得_________________

三、当堂反馈 1.甲组有31人，乙组有20人。现又调来18人，要使甲组人数是乙组人数的2倍，若应往甲组调入x人，则应往乙组调______人,根据题意列方程为_______________或列方程为________________.2.某车间有工人80名,一个工人平均每天加工机轴15根或轴承10只,（1）怎样分配人数,能使加工出的机轴与轴承一对一配套?（2）怎样分配人数,能使加工出的一根机轴与2只轴承配套?

3.青年志愿服务队，甲队有40人，乙队有186人，因任务需要加强甲队人力，现从预备队调去甲队2人，再从乙队调去多少人，能使甲队人数是乙队人数的一半？

4.有甲、乙两个仓库，如果从甲仓库中取出24吨货物放入乙仓库，这时两个仓库的货物相等；如果从乙仓库中取出24吨货物放入甲仓库，那么甲仓库货物重量是乙仓库的2倍。求甲、乙两个仓库的货物各为多少吨？

7.初一用方程解决问题 篇七

线性代数关于线性方程组的解有如下定理:一个含有个线性方程的元线性无关的方程组=若有解, 则自由未知数的个数等于未知数个数与方程个数之差, 即=。运用这一原理可解决上述问题。

满足隐函数存在定理的一切条件, 可确定一组隐函数。则 (1) 中所有变量的个数相当于定理中的, 方程个数为, 因变量个数为, 即自变量个数为, 满足=, 所以方程组 (1) 可确定个元的隐函数。1, 2, …中究竟谁是自变量, 这由题设的要求来确定。下面通过几个例子来具体说明。

分析:这里方程个数=2, 包含, , 及四个变量=4, 则自变量个数s=4 2=2, 方程组可确定2个2元函数。因题设求和, 显然与是因变量, 是自变量, 从而剩下的必也是自变量, 故知=, , =, 。分析清楚了变量的关系, 就可开始求导。

解:把两个方程两边对求偏导数

例2、设=, , 而是由方程, =0所确定的, 的函数, 求。。

分析:此题变量, , 之间的关系虽然不以方程组形式表示, 但仍然可以看作包含=3个变量的=2个方程的方程组, 知=1。它能确定2个1元函数。题设求, 说明是一个因变量, 是自变量, 那么变量必定是因变量, 也即=, =。

解:把方程=, 和, =0两边对求导, 得

例3、设=cos, =sin, =, 试求。。

分析:方程个数=3, =5, 分别为, , , 及, 则自变量个数=2, 方程组可确定3个2元函数。因为求和, 显然是因变量, , 是自变量, 从而剩下的与必也是因变量。故知=, , =, , =, 。

解:把3个方程两边对求偏导数

摘要：介绍运用线性方程组中确定方程解原理, 确定由方程组所确定的隐函数的函数关系, 进而计算函数的导数。

关键词：方程组,隐函数,代数,导数

参考文献

[1]同济大学数学系.高等数学[M (]下册) 第六版.北京:高等教育出版社, 2007.

8.初一用方程解决问题 篇八

一、 转化思想

转化也称化归，它是指将未知的、陌生的、复杂的问题，根据知识间内在的联系，从一种形式转化为另一种形式，问题就可能比较顺利地得到解决，这就是转化的思想方法. 它能够帮助我们打开思路，把一个较复杂或陌生的问题转化成一个已经解决过的比较简单或熟悉的问题.

例1 （2013·山东菏泽）解方程：（x+1）·（x-1）+2（x+3）=8.

【解析】观察本题的特点，可以看出解方程的几种方法均不能处理此题，因而应利用整式的乘法及加、减把一元二次方程化成一般形式，然后再利用因式分解法.

解：原方程可化为x2+2x-3=0，即（x-1）·（x+3）=0， 解之，得x1=1，x2=-3.

【点评】在解一元二次方程时，一般情况下先观察其特点，判断是否能直接应用开平方法、因式分解法，当二次项系数为“+1”且一次项系数为偶数时，利用配方法，最后才考虑公式法. 这四种方法都不能直接应用时，注意把方程变为一般形式去求解.

二、 整体思想

整体思想就是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征. 对本章的学习来说，就是要善于用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的、有意识的整体处理. 采用整体处理的方法，不仅可避免复杂的计算，而且还达到了解决问题的目的.

例2 （1） （2013·黑龙江绥化）设a，b是方程x2+x-2013=0的两个不相等的实数根，则a2+2a+b的值______.

（2） （2013·荆州）设x1，x2是方程x2-x-2013=0的两个实数根，则x3 1+2014x2-2013的值______.

【解析】若一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个实数根x1，x2，由根的定义得ax2 1+bx1+c=0，ax2 2+bx2+c=0，以及x1+x2=-，x1·x2=等结论. 结合所求代数式的特点，再利用这些结论中的某些结论，进行整体代入，往往可使所求问题变得简单.

解：（1） 因为a，b是方程x2+x-2013=0的两个不相等的实数根，所以，由根的定义，得a2+a-2013=0，即a2+a=2013，由根与系数的关系可知：a+b=-1，所以，a2+2a+b=（a2+a）+（a+b）=2013+（-1）=2012.

（2） x1，x2是方程x2-x-2013=0的两个实数根，所以，x2 1-x1-2013=0，即x2 1=x1+2013，x1+x2=1，所以x3 1+2014x2-2013=x2 1·x1+2014x2-2013=（x1+2013）·x1+2014x2-2013=x2 1+2013x1+2014x2-2013=x1+2013+2013x1+2014x2-2013=2014（x1+x2）=2014.

【点评】本题主要考查了一元二次方程的根的定义、根与系数的关系以及整体思想，解决此类题型的关键是熟悉相关的知识点. 如第（1）小题，将a2+a=2013及a+b=-1作为整体进行代入计算. 第（2）小题利用x2 1=x1+2013进行降幂，再利用x1+x2=1求出代数式的值.

三、 分类讨论思想

所谓分类讨论思想，就是在研究解决数学问题时，若问题所给对象不能进行统一研究，我们就要根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，将对象分为能用不同形式来解决的小问题，将这些小问题逐一解决，从而使整个问题得到解决，这种处理问题的思想方法称为分类思想. 它既是一种数学思想方法，又是一种重要的解题策略.

例3 （2013·四川内江）如果方程x2+px+q=0的两个根是x1，x2，那么x1+x2=-p，x1·x2=q. 请根据以上结论，解决下列问题：

（1） 已知关于x的方程x2+mx+n=0（n≠0），求出一个一元二次方程，使它的两根分别是已知方程两根的倒数；

（2） 已知a、b满足a2-15a-5=0，b2-15b-5=0，求+的值；

（3） 已知a、b、c均为实数，且a+b+c=0，abc=16，求正数c的最小值.

【解析】可综合应用上面的三种解题方法求解本题. （1） 抓住两方程的根互为倒数利用转化思想构造方程即可. （2） 应考虑a，b相等与a、b不相等两种情况分类讨论. 当它们相等时，，的值都等于1；当它们不相等时，a，b可以理解为是关于x的方程x2-15x-5=0的两个不相等的实根，然后对+通分，利用完全平方公式变形，再整体代入求解. （3） 由a+b+c=0，abc=16，得a+b=-c，ab=，构造以a，b为根的一元二次方程，然后利用根的判别式b2-4ac≥0构造不等关系求解.

解：（1） 设x2+mx+n=0（n≠0）的根为x， 所求方程根为y，则y=，即x=，把x=代入x2+mx+n=0，得

2+m·+n=0. 即ny2+my+1=0.

（2） ①当a≠b时，由题意知a，b是一元二次方程x2-15x-5=0的两实根，

∴a+b=15，ab=-5.

∴+==

==-47.

②当a=b时，+=1+1=2.

∴+=-47或2.

（3） ∵a+b+c=0，abc=16，

∴a+b=-c，ab=.

∴a，b是方程x2+cx+=0的两实根.

∴c2-≥0.

∵c>0，∴c3≥64. ∴c≥4.

∴c的最小值为4.

【点评】此题考查了一元二次方程的根与系数的关系，根的判别式，难度较大. 数学新课程标准对一元二次方程的根与系数的关系并不作高的要求，此题在这种情况下以阅读题的形式命制，为大家铺设好解决问题所需要的知识和方法，可以有效考查同学们的自学能力，灵活应用能力，具有一定的区分度.

四、 建模思想

建模思想其实质是从实际问题中提取出关键性的基本量，将其转化为数学问题来表达.

例4 市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格. 某种药品经过连续2次降价后，由每盒200元下调至128元，求这种药品平均每次降价的百分率是多少？

【解析】 对于降价问题，一般是降价后的量=降价前的量×（1-下调的百分率），设出平均每次下调的百分率，根据从200元下调到128元，列出一元二次方程求解即可；

解： 设平均每次下调的百分率为x，

由题意，得200×（1-x）2=128.

解这个方程，得x1=0.2，x2=1.8.

因为降价的百分率不可能大于1，所以x2=1.8不符合题意，故舍去.

符合题目要求的是x1=0.2=20%.

答：平均每次下调的百分率是20%.

【点评】关于两次增长（或降低）率问题，要注意其固定的等量关系. 一般形式为：a（1+x）2=b，a（1-x）2=b. 其中x为增长（或降低）百分率，a表示为增长（或降低）前的数据，b表示经过两次增长（或降低）后得到的数据，“+”表示增长，“-”表示降低.

小试身手

1. 设x1，x2是一元二次方程x2-3x-2=0的两个实数根，则x2 1+3x1x2+x2 2的值为______.

2. 已知x=1是一元二次方程x2+mx+n=0的一个根，则m2+2mn+n2的值为______.

3. 关于x的方程（a-5）x2-4x-1=0有实数根，则a满足（ ）.

A. a≥1 B. a>1且a≠5

C. a>1 D. a≠5

4. 已知关于x的方程x2=（2m+2）x-（m2+4m-3）中的m为不小于0的整数，并且它的两实根的符号相反，求m的值，并解方程.

5. 长沙市某楼盘准备以每平方米5 000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过两次下调后，决定以每平方米4 050元的均价开盘销售.

（1） 求平均每次下调的百分率；

9.列方程解决实际问题 教案 篇九

一、教材分析：

本节课是在五年级下册初步认识方程，并会用等式的性质解一步方程、会列方程解决相关简单实际问题的基础上进行教学的。通过教学让学生理解并掌握形如ax±b=c的方程的解法，会列上述方程解决两步计算的实际问题。教学时，教师注意以数量甲比数量乙的几倍多（少）几的问题为载体，引导学生在解决问题的过程中，逐步掌握相关方程的几解法，积累分析数量关系并把实际问题抽象为方程的经验。

二、教学目标：

1.使学生在解决实际问题的过程中，理解并掌握形如ax±b=c的方程的解法，会列上述方程解决两步计算的实际问题。

2.使学生在观察、分析、抽象、概括和交流的过程中，经历将现实问题抽象为方程的过程，进一步体会方程的思想方法及价值。

使学生在积极参与数学活动的过程中，养成独立思考，主动与他人合作交流、自觉检验等习惯。

三、教学重难点：

重点：使学生在解决实际问题的过程中，理解并掌握形如ax±b=c的方程的解法，会列上述方程解决两步计算的实际问题。

难点：理解并掌握形如ax±b=c的方程的解法，会列上述方程解决两步计算的实际问题

四、教学过程

（一）出示例题

1.谈话引入：西安是我国有名的历史文化名城，有很多著名的古代建筑，其中

包括闻名遐迩的大雁塔和小雁塔，（出示相应图片）这节课，我们先来研究一个与这两处建筑有关的数学问题。（出示例题的文字部分）

2.提问：题目中告诉我们哪些条件？要我们求什么问题？

启发：你能从题目中找出大雁塔和小雁塔高度之间的相等关系吗？题目中的哪句话能清楚地表明大雁塔和小雁塔高度之间的关系？（根据学生回答，教师在题目中相关文字下作出标志，并要求学生进行完整地表述）

提出要求：你能不能用不同的等量关系式将单眼塔 和小雁塔高度之间的相等关系表示出来？

交流板书学生想到的等量关系式：①小雁塔的高度×2-22=大雁塔的高度； ②小雁塔的高度×2=大雁塔的高度+22；③小雁塔的高度×2-大雁塔的高度=22。

3.引导学生观察第一个等量关系式，提问：在这个等量关系式中，哪个数量是

已知的？哪个数量是要我们去求的？

【评析：这只解决问题的关键一步，因为找到数量之间的相等关系，才能把实际问题转化为数学问题，也才能列出相应的方程解答问题。并通过小组交流各自的思考，促使学生透彻地理解“大雁塔与小雁塔高度之间的相等关系”从而灵活地解决问题。】

追问：我们可以用什么方法来解决这个问题？

明确方法，揭示课题：这样的问题可以列方程来解答。今天我们继续学习列方程解决实际问题。（板书课题：列方程解决实际问题）

4.谈话：我们已经学过列方程解决简单的实际问题。谁能说说列方程解决问题一般要经过哪几个步骤？

让学生先自主尝试设未知数，并根据第一个等量关系列出方程。

5.提问：这样的方程，你以前解过没有？运用以前学过的知识，你能解出这个方程吗？

交流明确：首先要应用等式的性质将方程两边同时加上22，使方程变形为：“2x=?”，再用以前学过的方法继续求解。要求学生接着例呈现的第一步继续解出这个方程，组织交流解方程的完整过程，核对求出的解，并提示学生进行检验后再写上答句。

【评析：以解决问题为载体，引导学生在解决问题的过程中，逐步掌握相关方程的解法。从而使学生适时地把获得的知识和方法应用于解决其他一些类似的问题。】

6.提问：还可以怎样列方程？（学生自己列出方程后，在小组内交流并说说怎样求出方程的解。

引导小结：刚才我们通过列方程解决了一个实际问题，你能说说列方程解决实际问题的大致步骤吗？其中哪些环节很重要？

引导学生关注：①要根据题目中的条件寻找等量关系，而且一般要找出最容易发现的等量关系；②分清等量关系中的已知量和未知量，用字母表示未知量并列方程；③解出方程后，要及时进行检验。

【引导学生从不同角度分析题中的数量关系，并根据不同的等量关系列出不同的方程，体会列方程解决实际问题的灵活性，感受方程的优点和价值。】

（二）、巩固练习

1.做“练一练”先让学生读题，并设想解决这一问题的方法和步骤，然后让学生独立完成并交流。交流时让学生说说找出了怎样的等量关系，根据等量关系列出了怎样的方程，是怎样解列出的方程的，对求出的解有没有检验等。再让学生核对自己的答案，检查自己的解题过程。

启发思考：这个一 与例题有什么相同的地方？有什么不同的地方？

2.做练习十六第1题。

先让学生说说解这些方程时第一步要怎样做，依据是什么？然后让学生独立完成。反馈时，要在关注结果是否正确的同时，了解学生是否进行了检验。

3.做练习十六第2题、第3题。

生独立完成后，指名说说自己的思考过程，进一步突出要根据题中数量之间的相等关系列方程。

【通过练习，有利于学生及时巩固并掌握有关方程的解法，进一步熟悉此类问题中的数量关系。】

（三）、全课总结

今天这节课我们学习了什么内容？你有哪些收获？还有没有疑惑的地方？

（四）、课堂作业

1.做练习十六的第4题和第5题。

10.列方程解决问题教学反思 篇十

一、复习等量关系，做好铺垫。

学生已学习了一人行走的行程问题解答方法，我上课开始，举例一步问题，让学生解答，并说出等量关系。同时改变问题，问等量关系。使学生进一步熟悉行程问题的解答依据。

二、学生上台展示，变抽象为直观。

相遇问题比较抽象，我让两名学生上台走路，现场照题目要求直观演示。为了让学生观察清楚，也为了更好地贴合问题，直观展示，我特地喊口令，让两学生依口令一秒一秒走，并掌握步幅大小，保证三秒相遇：第一秒，你两步，我三步；第二秒，第三秒相遇。

理解了题意，问题来了，两学生同时走，到相遇，时间有什么关系？（相等），这段路程几人走完的？总路程怎么计算？通过提问，发现有学生模糊，刚才关注点和问题脱钩，于是刚才演示的两名同学再次演示，这次学生带着问题观察，问题逐一解答。

三、画线段图，帮助学生建构模型思想

对走路演示，学生铭刻在心，脑中有相遇问题的全过程和细节，如两人的时间啦，哪一段路程谁走的？相遇点会靠近谁？等等。首先要求：已知条件要全部表明，连同单位，问题也要标注。师生一步一步，共同完成线段图画法，把心中的理解都画出来。再次直观展示，使学生对相遇问题有了更清楚的认识，帮助学生建构相遇问题的模型思想，两人共同走完，即甲的路程+乙的路程=总路程。同时两人时间相等，即：速度和×相遇时间=总路程。学生很快列出方程解答。

11.例谈列方程解决实际问题 篇十一

[关键词]小学数学 列方程 实际问题

[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2015）06-041

小学六年级上册数学以“方程”内容开篇，让学生能够在观察、分析、抽象、概括和交流的过程中，经历将现实问题抽象为方程的过程。让学生获得一些成功的体验，树立学生学好数学的自信心。笔者在学生学习列方程解决问题中对选材内容做了一些尝试，现笔端于下，期求方家予以校正。

一、保证所选相关方程教学素材内容有趣味

小学6年级学生只是从小学5年级下半学期才开始初步认识方程的，而且仅仅是利用等式性质去解一些计算比较简单的方程。6年级学生对方程是否有学习甚至探究的兴趣，应当与教学素材的趣味程度有比较密切的关系。教学素材有趣味了，小学生学习的兴趣就浓，解决实际问题的探究热情就足。因此，教师必须为学生寻求有趣味的教学素材。我们的教材是比较接近于小学生实际的，但有些内容对农村小学生距离还是比较远。如教材第一页要学生研究与大雁塔与小雁塔这两个建筑物有关的数学问题。虽然，所研究的问题与历史文化名城有关，但是农村小学生对这两处建筑物的关注度不够，那么他们就无从谈起探究的兴趣了。在教学这一内容时，笔者就大胆地选择了与学生生活具有密切联系的内容。我们地处南黄海和长江要口的交界处，虽没有名山，但长江边上的“五山”还是闻名遐迩的，以此为素材，让学生探究与身边的山上的建筑物的数学问题，小学生的劲头还是比较足的。因为我们小学生观赏过狼山等几座山，他们对此还有着许多观赏的美好记忆。让学生以这一方面的素材去列方程时，速度比较快，解决方程问题的正确率也比较高，尤其是学生还触类旁通地解决了其他许多的方程问题。

二、保证所选相关方程教学素材内容有知识

小学生学习数学就是要学到有价值的数学，就是要自己都得到一定意义上的发展。我们让学生利用方程解决一些身边的数学问题，不仅仅就是让其能够从趣味角度考虑，还应让学生去形成一定意义上的知识。这就要求相关方程教学素材的内容选择必须蕴含知识性，可以说课程内容的知识性还是比较丰富的，但笔者以为还不能适应小学生渴求知识的需求。因此，平时的方程内容教学，教师必须为学生去做出有效甚至是更有效的拓展。拓展的前提是更体现出知识性，拓展的主人可以师生协同性的，也完全可以是学生独立性的。譬如学生在做出对“杭州湾跨海大桥全长大约36千米，比香港青马大桥的16倍还多0.8千米，香港青马大桥全长大约多少千米”的问题解决后，学生就围绕自己已有的生活方面的经验或者经历，提出了许多相关方程问题的数学题目。这些题目从一定层面讲都是不离开学生生活的。当学生在解决这些问题是则往往增进了多方面的知识，有地理性的，也有天文性的；有学生自己的生活，也有学生所见闻的生活；有学生自编的生活，也有学生搜集得来的生活。有学生编这样一道应用题“今年10月份我家用电131度，而邻居家用电120度，邻居比我家少缴电费5.5元。平均每度电多少元？”有学生的伯父准备用400米长的栅栏围一个长方形鸡场，该同学就做了这样一个假设：“如果长是宽的3倍，这个养鸡场的长和宽各是多少米？”学生所编的应用题其素材还不仅仅就是这么简单，有的比这还要颇具其深刻的意义。

三、保证所选相关方程教学素材内容有价值

方程教学素材是否选取得有实在意义，对小学生的学习影响还是比较深刻的。如果方程素材能够紧扣小学生的生活，而且又能够启迪学生去关心周围的生活，让学生处处去做有心人，那学生平时即可处于大脑皮层的高度兴奋状态，真正意义上实现学生首先就要涉猎对自己发展颇有价值的数学，而且能够启迪学生，有价值的数学就在自己的身边，自己能够去发现解决有价值数学的。有这样一道题目：“上海‘东方明珠电视塔高468米，比一座普通住宅楼的31倍多3米，这幢普通住宅楼高多少米？”这样一道题目让小学生能够意识到：山外青山楼外楼。身居学校和家里，两三层就感觉到蛮高的了，但还有着更高的呢！将来也去设计更为高层的建筑，以节约耕地。我们也遇到这样的方程素材题：“学校和家庭两地相距24千米，父亲每小时走5千米，母亲每小时行走4千米，两人分别从两地同时出发相向而行，经过几小时相遇？”小学生对这样的路程问题题目也是颇感兴趣的，因为现在小学生大都没有亲历过走路，还不大能够感受到走路的辛苦。我们也为小学生选择过类似这样素材的题目：“学校买了18个篮球和20个足球，共付了490元，每个篮球14元，每个足球多少元？”这样的题目素材，在我们现在的小学生生活当中是屡见不鲜的，让学生去研究探讨并解决这样的数学问题，对小学生来说有着诸多实践效益以及创新价值。小学生对这样的题目也感到有其探究的意义：“爸爸的年龄是小明的3.7倍，小明比爸爸小27岁。爸爸和小明各多少岁？小红、小乔买了一本习题集，利用暑假做习题。小红做了364道，小乔做了228道后剩下的题目正好是小红剩下的2倍，问此书共有多少习题？”

总而言之，方程教学内容素材的选择还需要我们做更多的探究，其结果也将会使得小学生能够去比较理想地运用方程来解决生活中的许多数学问题。

12.初一用方程解决问题 篇十二

教学目标

1.使学生在解决实际问题的过程中, 理解并掌握形如ax±b=c方程的解法, 会列上述方程解决两步计算的实际问题。

2.使学生在观察、分析、抽象、概括和交流的过程中, 经历将现实问题抽象为方程的过程, 进一步体会方程的思想方法及价值。

3.使学生在积极参与数学活动的过程中, 养成独立思考、主动与他人合作交流、自觉检验等习惯。

教学重点:理解并掌握形如ax±b=c方程的解法, 会列方程解决两步计算的实际问题。

教学难点:如何指导学生在观察、分析、抽象、概括和交流的过程中, 将现实问题抽象为方程。

教学过程

课前谈话导入:同学们, 经调查, 我们班大部分同学的年龄是12岁 (虚岁) , 也可以通过推理推算出来, 7岁入学, 在学校学了五年, 正好是12岁。老师今年是39岁, 师在黑板上板书39和12。下面请同学比较一下老师和你的年龄, 并用一句话把比较的结果说出来, 注意启发引导学生说出:“老师的年龄比我年龄的3倍还多3岁”, “老师的年龄比我年龄的4倍少9岁”。两种说法都可以。接着问, 明年呢?“老师的年龄比我年龄的3倍还多1岁”。

【设计意图】通过学生熟悉的年龄话题引入, 并训练学生对两数大小比较, 为新课分析数量关系作理解铺垫。把抽象的数量关系分析生活化, 利于学生进入学习情境。

一、在现实问题情境中分析数量关系, 列出方程, 探索解方程的方法——教学例1

(一) 在情境中分析数量关系, 提出问题

1.师谈话进入情境:孙悟空跟随师父历尽千辛万苦从西天取来大量经书, 藏在古城西安的大雁塔中。大雁塔和小雁塔是著名的古代建筑。 (出示大雁塔和小雁塔的图片) 这节课, 我们先来研究一个与这两处建筑高度有关的数学问题。 (出示例1的一部分“西安大雁塔的高度比小雁塔高度的2倍少22米”, 暂不出示所求的问题)

2.师让生读出这段文字并提问:谁比谁少22米?让学生明白“大雁塔高度和小雁塔高度的2倍比, 少22米, 可以把小雁塔高度的2倍看做一个整体。”

师进一步启发:这句话清楚地说明了大雁塔和小雁塔高度之间的关系, 请同学们用数量关系式表示出大雁塔和小雁塔高度之间的相等关系。

出示学生可能想到的等量关系式: (1) 小雁塔的高度×2-22=大雁塔的高度; (2) 小雁塔的高度×2=大雁塔的高度+22; (3) 小雁塔的高度×2-大雁塔的高度=22。

3.引导学生观察第一个等量关系式。师:经测量小雁塔高度是43米, 你能利用这个关系式口答出大雁塔的高度吗?学生口答, 师板书:2×43-22=64 (米) 。

【设计意图】运用数量关系直接求出高度, 体会顺向思维。既感受数量关系的价值, 又为下面的逆向思维作出对比准备, 更重要的是让学生在下面列方程时也要像这样顺向思维进行思考。

4.师:如果知道大雁塔的高度是64米, 你能提出什么问题?

生:小雁塔的高度是多少米? (出示“大雁塔高度是64米”和“小雁塔高度是多少米?”把例1补充完整。)

【设计意图】在清楚数量关系的基础上, 学生已经把问题迁移到需要用逆向思维考虑解决的问题上。让学生自己提出问题, 突出解决问题是学生自己的学习需求, 也为他们探索解答作出心理准备。

(二) 根据等量关系布列方程, 同时唤起有关方程的旧知

1.生观察第一个等量关系式, 师提问:在这个等量关系式中, 这时哪个数量是已知的?哪个数量是我们去求的?

追问:让你求小雁塔的高度怎么办呢?我们可以用什么方法来解决这个问题?

生:可以列方程解答。如果学生列出正确的算式进行解答, 师给予肯定, 再引导学生用方程的方法解决问题。

师明确方法, 并提示课题:这样的问题可以列方程来解答。今天我们继续学习列方程解决实际问题。 (板书课题:列方程解决实际问题)

2.师谈话:我们在五年级已经学过列方程解决简单的实际问题, 结合今天我们学习的内容, 谁来说一说列方程解决实际问题一般要经过哪几个步骤?

生能大概说出“写设句、列方程、解方程和检验等即可。

3.让学生先自主尝试设未知数, 并根据第一个等量关系式列出方程。

解:设小雁塔高x米。

2x-22=64

【设计意图】经历由现实问题抽象为方程的过程。在建构数学模型的过程中, 先由情境抽象成数量关系式, 再根据数量关系式列出方程, 实现了学生在逐步抽象的过程中学习数学的方法, 体现了数学的简洁性和学习数学的必要性。

(三) 自主探索解方程的方法, 体会转化的思想

提问:这样的方程, 你以前解过没有?运用以前学过的知识, 你能解出这个方程吗?

交流中明确:首先要应用等式的性质将方程两边同时加上22, 使方程变形为2x=?, 即把用两步计算的方程转化为一步计算, 变新知为旧知, 再用以前学过的方法继续求解。

要求学生接着例题呈现的第一步继续解出这个方程。学生完成后, 组织交流解方程的完整过程, 核对求出的解, 并提示学生进行检验, 最后让学生写出答句。

【设计意图】让学生在自主探索方程解法的过程中, 体会运用转化策略, 把两步转化成一步、复杂转化成简单、新知转化成旧知。

(四) 思考其他方法, 感受解法的多样化

1.提问:还可以怎样列方程?

学生列出方程后, 要求他们在小组内交流各自列出的方程, 并说说列方程的根据, 以及可以怎样解列出的方程。如果学生不能列出其他方程, 师不能作硬性要求。

2.引导小结:刚才我们通过列方程解决了一个实际问题。你能说说列方程解决问题的大致步骤吗?其中哪些环节很重要?

引导学生关注:⑴要根据题目中的信息寻找等量关系, 而且一般要找出最容易发现的等量关系;⑵分清等量关系中的已知量和未知量, 用字母表示未知量并列方程;⑶解出方程后要及时进行检验。 (师板书:找等量关系;用字母表示未知数并列方程;解方程, 检验。)

【设计意图】通过解法的多样化, 使学生明白可以根据自己学习实际和思维习惯分析数量关系, 列方程解决问题, 同时训练学生思维, 拓展学生解决问题的思路。

二、自主尝试列方程解决实际问题, 注意比较例题, 进一步形成解决问题模式——自主合作学习“练一练”

“杭州湾大桥是目前世界上最长的跨海大桥, 全长大约36千米, 比香港青马大桥的16倍还长0.8千米。香港青马大桥全长大约多少千米?”

谈话:我们已经初步掌握列方程解决稍复杂的实际问题的方法和步骤, 下面就请同学们试着解决一个实际问题。做“练一练”。

1.先让学生读题, 并设想解决这一问题的方法和步骤, 然后让学生独立完成。

2.小组合作交流。交流前要出示交流顺序提示:⑴说说找出了怎样的等量关系;⑵根据等量关系列出了怎样的方程;⑶是怎样解列出的方程的;⑷对求出的解有没有检验。

3.最后让学生核对自己的答案, 检查自己的解题过程。

针对学生不同的思路和方法 (包括用算术方法) , 教师在提出主导意见的基础上要予以肯定。

4.启发思考:这个问题与例1有什么相同的地方?有什么不同的地方?提炼出列方程解决稍复杂的实际问题的基本思路和解形如ax±b=c方程的一般方法。

【设计意图】让学生在独自解决问题的过程中学会解决问题, 在探究中学会合作。

三、运用方程策略独立解决实际问题, 牢固形成解决问题模式 (建构牢固的数学模型) ——做“练习一”的第1～5题

谈话:在列方程解决问题的过程中, 有两个方面要引起我们重视, 一个是寻找等量关系, 能用含有字母的式子表示具体数量;另一个就是解方程。下面我们就对这两个方面进行进一步的学习和训练。

1.做“练习一”第1题

“解方程。4x+20=56 1.8+7x=3.9 5x-8.3=10.7”

先让学生说说解这些方程时, 第一步要怎样做, 依据是什么, 然后让学生独立完成。交流反馈时, 要在关注结果是否正确的同时, 了解学生是否进行了检验。 (三个同学到黑板上板演, 其他同学选做一题。)

2.做“练习一”第2题

“在括号里填上含有字母的式子。

(1) 张村果园有桃树x棵, 梨树比桃树的3倍多15棵。梨树有 () 棵。

(2) 王叔叔在鱼池里放养鲫鱼x尾, 放养的鳊鱼比鲫鱼的4倍少80尾。放养鳊鱼 () 尾。

学生独立完成后, 再要求学生说说写出的每个含有字母的式子分别表示哪个数量, 是怎样想到写这样的式子的? (把题目中的多、少改成少、多让学生再表示)

3.做“练习一”第3题

“猎豹是世界上跑得最快的动物, 时速能达到110千米, 比猫最快时速的2倍还多20千米。猫的最快时速是多少千米?”

谈话:同学们, 我们既能准确地找到等量关系, 又能正确解方程, 那么我们就具备了解决实际问题的能力了。就请同学们独立解决一个问题。

学生独立完成后, 指名说说自己的思考过程, 进一步突出要根据题中数量之间的相等关系列方程。

4.课堂作业:做“练习一”的第4题和第5题。

“北京故宫占地大约72公顷, 比天安门广场的2倍少8公顷。天安门广场大约占地多少公顷?”

“世界上最小的鸟是蜂鸟, 最大的鸟是鸵鸟。一个鸵鸟蛋长17.8厘米, 比一只蜂鸟体长的3倍还多1厘米。这只蜂鸟体长多少厘米?”

【设计意图】在巩固训练和应用策略阶段采用先部分后整体的练习步骤, 进一步深化认识, 并在体验中达到知识和技能的内化。

四、总结列方程解决问题的思路、方法, 体会方程的思想和价值——学生拓展设计

1.学生拓展设计

师:请同学们回到课前, 我们师生关于年龄的对话中, 看39岁和12岁, 你能设计一个用今天所学的策略和方法解答的实际问题吗?

师要多听学生的发言, 考虑学生所说数量之间的关系以及提出问题的贴切性并作出评价和概括。

2.今天这节课我们学习了什么内容?你有哪些收获?还有没有疑惑的地方?教师同时总结, 方程是我们解决问题很重要的一个策略, 正确地运用方程, 能帮助我们解决很多实际问题, 尤其是用算术方法不容易解决的一些问题。我相信同学们经过今天的学习, 对方程会有更深的认识, 并在以后的学习和运用中进一步学好和用好方程。