《二次根式性质》教学反思

《二次根式性质》教学反思（共15篇）

1.《二次根式性质》教学反思 篇一

《16.1 二次根式的性质》教学设计

一．教学目标

（1）经历探索二次根式的性质的过程，并理解其意义；（2）会运用二次根式的性质进行二次根式的化简；（3）了解代数式的概念．

二、教学重点：二次根式的性质和应用

三、教学难点：运用二次根式的性质进行二次根式的化简。

四、教学过程：

（一）自学指导：

1、当a＞0时，表示a的（），因此，=（）；就是说

（）0；当a=0时，表示a的（），因此，（a≥0）总是一个（）数。

2、问题1 你能解释下列式子的含义吗？，，.这些式子都表示一个非负数的算术平方根的平方.问题2 根据算术平方根的意义填空，并说出得到结论的依据.； ； ；.学生独立完成填空后，让学生展示其思维过程，说出得到结论的依据． 问题3 从以上的结论中你能发现什么规律？你能用一个式子表示这个规律吗？ 师生活动：引导学生归纳得出二次根式的性质：例2 计算

（1）；（2）

.（≥0）

（二）合作探究：

问题4 你能解释下列式子的含义吗？，，.（这些式子都表示一个数的平方的算术平方根.）

问题5 根据算术平方根的意义填空，并说出得到结论的依据.=，=，=，=.问题6 从以上的结论中你能发现什么规律？你能用一个式子表示这个规律吗？ 师生活动：引导学生归纳得出二次根式的性质：例3 计算

（1）；（2）

.（≥0）

3．归纳代数式的概念

问题7 回顾我们学过的式子，如，这些式子有哪些共同特征？，，，（≥0），师生活动：学生概括式子的共同特征，得出代数式的概念.4．综合运用（1）算一算：

；

（2）想一想：； 中，；.≥0时，等于多少？当

时，的取值范围是什么？当又等于多少？（3）谈一谈你对5．总结反思

（1）你知道了二次根式的哪些性质？

（2）运用二次根式性质进行化简需要注意什么？（3）请谈谈发现二次根式性质的思考过程？

（4）想一想，到现在为止，你学习了哪几类字母表示数得到的式子？说说你对代数式的认识．

6．布置作业：教科书习题16.1第2，4题.五、目标检测设计 与的认识.1． ； ；.2．下列运算正确的是（）A.3．若4．计算: B.，则

C.的取值范围是 ．

．

D.

2.《二次根式性质》教学反思 篇二

例1若式子在实数范围内有意义,则x的取值范围为( )

A. x = 1 B. x≥1 C. x > 1 D. x < 1

分析: 要式子在实数范围内有意义,必有x - 1是非负数,从而得出不等式,求出x的范围.

解: 因为式子在实数范围内有意义,所以x - 1是非负数,即x - 1≥0,

解得x≥1,故应选B.

说明: 求根号下字母取值范围时要注意: 一是二次方根的形式时,自变量取值范围是使被开方数为非负数的实数; 二是三次方根时,取值范围是全体实数.

考点2二次根式的性质

例2若实数a,b满足,则a2/b=__ .

分析: 由绝对值和二次根式的性质可知,| a + 2 |与都是非负数,而两个非负数之和等于零,必定每个数都等于零,由此可求出a和b的值,进而求得答案.

解: 因为| a + 2 |和都是非负数,所以由得 a + 2 = 0,b - 4 = 0,

解得a = - 2,b = 4,当a = - 2,b = 4时,a2/b= 1.

说明: 两个或多个非负数之和等于0,则每个非负数都等于0,从而可以求得各个字母的值,进而求得代数式的值. 非负数之和等于0的问题,本质上是解方程与代数式求值,这类问题解决并不困难,关键是要理解非负数的意义以及通解通法.

考点3最简二次根式

例3下列式子中,属于最简二次根式的是( )

分析: 利用最简二次根式的概念逐个辨析即可求解.

说明: 一个根式是否为最简二次根式,必须满足两个条件: ( 1) 根号内不含有开方开的尽的因数或因式; ( 2) 二次根式的根号内不含有分母.

考点4二次根式的乘除

例4计算:=__ .

分析: 利用二次根式乘法的法则直接计算.

说明: 本题是一道基础题,熟练掌握相关的运算法则是求解的关键,注意结果要化成最简二次根式.

考点5同类二次根式

例5下列根式中,与是同类二次根式的是( )

分析: 先化成最简二次根式,再根据同类二次根式的定义判断即可.

说明: 本题考查了同类二次根式的定义和二次根式的性质的应用,主要考查学生能否正确判断两个根式是否是同类二次根式.

考点6二次根式的加减

例6计算的结果是( )

分析: 先把各二次根式化成最简二次根式,然后再将被开方数相同的二次根式合并.

说明: 把二次根式被开方数中能开的尽方的因数分解并开出来,或把被开方数的分母开出来,化成最简二次根式后再进行加减运算,注意被开方数不相同的二次根式不能合并.

考点7估值

例7估计的值在( )

A. 2到3之间B. 3到4之间

C. 4到5之间D. 5到6之间

分析: 根据特殊有理数找出最接近的完全平方数,可确定的范围,从而求解.

即的值在3到4之间,故应选B.

说明: 实数的估算一般步骤是首先将原数平方,看其在哪两个相邻的平方数之间,运用这种方法可以估计一个带根号的数的整数部分,估计其大致范围.

考点8阅读理解

例8小明在学习二次根式后,发现一些含根号的式子可以写成另一个含根号的式子的平方,如,善于思考的小明进行了如下探索:

这样,小明找到了把部分的式子化为平方式的方法.

请你仿照小明的方法探索并解决问题:

( 1) 当a,b,m,n均为正整数时,若,用含m,n的式子分别表示a,b得,a =__ ,b =__ .

( 2) 利用所探索的结论,找一组正整数a,b,m,n填空:

( 3) 若且a,b,m,n均为正整数,求a的值.

分析( 1) 首先对所给材料认真阅读,分析探究小明解决问题的方法,然后进行归纳、迁移,从而可以求解. 与小明做法基本一致,把右边完全平方式展开,然后左右式子进行对比,用含m,n的代数式表示出a,b的值. ( 2) 此题可以采用与小明方法类似的解法,但也可以进行逆推,执果索因,即把m,n选定一组正整数,然后去括号,即可求解. 这就是填空题的巧做方法. 注意本题答案不唯一,只要符合题中正整数要求即可. ( 3) 认真分析此题,与( 1) 进行对比,不难发现a的值与( 1) 中的表示方法一样,而b = 4,即4 = 2mn,所以mn = 2,然后根据正整数的特点,然后进行分类讨论mn = 1×2或mn = 2×1,即可确定出m,n的值,最后a即可求解.

解( 1) 依题意,得a = m2+ 3n2,b = 2mn.

( 2) 答案不惟一. 如,a = 13,b = 4,m = 1,n = 2,等等.

( 3) 由b = 2mn,得4 = 2mn,即mn = 2,由于a,m,n均为正整数,所以mn = 1×2或mn = 2×1,即m = 1,n = 2或m = 2,n = 1,当m = 1,n =2时,a = m2+ 3n2= 13,

当 m = 2,n = 1 时,a = m2+ 3n2= 7.

3.《二次根式》教学反思 篇三

从实际问题列式，分析它们共同属性：正数(或0)的算术平方根，给二次根式下一个定义，从定义出发确定二次根式有意义的条件，进一步深刻理解二次根式，符合概念课教学的要求，学生掌握情况比较好，概念课教学的五个基本步骤：

(1)先给出实例。

(2)分析共同属性。

(3)下定义。

(4)概念应用。

(5)概念之间关系，在这节课很好体现。

在促进学生探索求知和有效学习方面还存在明显不足。新的教学理念要求教师在课堂教学中注意引导学生探究学习，在我的课堂教学中，经常为了完成教学任务而忽视这方面的引导。在本章中，其实有许多内容可以进行这方面的尝试。如判断二次根式中字母的取值范围、选取有理化因式、选择不同的运算途径等都可以让学生进行探究和归纳。在二次根式的运算中我就直接告诉学生：加减运算时利用公式，乘除时利用公式和，结果大部分学生并不接受。若能让学生在探究的基础上归纳出方法，学习的效果会提高很多，学习的能力也会不断提高。

4.二次根式的教学反思 篇四

学案设计：原先设想在初三结束前完成二次根式一章，由于历史生物的结业考试，二次根式的加减实在是讲不完，只好把乘除讲完。时间赶到二次根式除法，于是，在学案的设计上，从处理方式与环节上，都与二次根式乘法相类似，但是比乘法所涉及的数学思想、数学思维力度更高，首先学习过程中用到类比的思想，与乘法类比，提高了学生的接受度，思维更加的顺畅，在本节中最简二次根式的概念的两个条件分别分散到乘法和除法两节中，最后想概括出这一概念，还是因为课堂效率不高没有能够概括出。

其次，分母有理化教材虽然删掉，但是用所学过的知识，学生经过思考，头脑有些灵活性的话，是可以自己想出办法解决的，尤其是对于分母是整个根号的这种情况，因此在本节课的最后加上了把3中分母的根号化掉，事实上在用公式计算时，由于没有领着学生对公式进行再认识，学生先用乘法化简，出现了类似的结果，学生经过自己动脑思考会想出不同的办法解决这个问题的。

展示的范围与效果：全员展示，基本性的题目，公式的运用，主要是5、6号同学，虽然他们都各自出现不同的问题，但是通过展示能够正确的利用公式，有的六号非常顺利的解决问题，有的出现了问题，但能够说出自己的根据，有的根本不会，通过展示指导能够得到提高，5号同学展示的难度相对提高，由于学习能力较6号强，都顺利的完成任务，并总结出方法，对于难度较大的题目，找出不同解决方法进行展示，让学生从不同的角度进行问题的解决，数学思想方法的展示，主要的是学习比较灵活的学生，他们能够根据自己对知识理解想出不同的方法，并根据自己在解决问题中的关键点或难点及时的提问或提示，基本上每个小组的1号同学都得到展示，在展示的过程中对于其他同学是一个学习提高的过程，全班展示率达到50%，在展示的过程中提高了学习的效率和积极性。

5.《二次根式加减》的教学反思 篇五

“好的开始是成功的一半” 导入新课，是课堂教学的重要一环。，在课的起始阶段，迅速集中学生的注意力，把他们思绪带进特定的学习情境中，激发起学生浓厚的学习兴趣和强烈的求知欲，对这堂课教学的成败与否起着至关重要的作用。可有效地开启学生思维的闸门，激发联想，激励探究，使学生的学习状态由被动变为主动，使学生在轻松愉悦的氛围中学到知识。

本节课开始时，首先由一个求修建两块运动场的草坪面积的实际问题出发，引导学生得出两个二次根式求和的运算。从而提出问题：如何进行二次根式的加减运算？这样通过问题指向本课研究的重点，激发学生的学习兴趣和强烈的求知欲望。然后指导学生根据问题导读单，去自学课本。通过自学课本再完成问题导读单，从而自己独立学习结合小组合作学习掌握二次根式的加减运算。通过我深入小组搜集信息、指导学习，发现学生具备自学能力，独立自学时很肃静，同学们都能够通过翻阅课本自己独立完成问题导读单上的一些问题。合作学习时也很热闹，同学们都能够交流自己的见解，并且能够针对一些见解提出自己的看法让大家评议。

通过深入各组巡视指导可知问题导读单的设计是合乎学生的认知能力的。课堂上最精彩的还数同学们的学习汇报。例如：一位同学汇报时说：被开方数相同的二次根式是同类二次根式。另一位同学马上站起来说：不对，应该是化简后被开方数相同的二次根式才是同类二次根式。又如：一位同学汇报时说：二次根式的加减就是合并同类二次根式。此时另一位补充说：准确的说应该是先化简，再判断哪些是同类二次根式，然后再合并。通过同学们的汇报，可见同学们在自学时是全身心的投入，充分的研究、讨论、交流才有如此准确的回答。

6.“二次根式”的错解例析 篇六

一、顾此失彼

只有被开方数a≥0时，式子才是二次根式.若a<0时，则式子就不能叫二次根式，即无意义.

例1(2014·南通）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）.

【错误解答】A.

【错解成因】只考虑了分母中被开方数2x-1≥0，没有考虑分母也要不为0.

【正确解答】C.

【总结提升】对于形如的二次根式，在利用二次根式有意义的条件求未知数的取值范围时，要注意A不仅仅是二次根式的被开方数，还在分式的分母上，因此有意义的条件为A>0.

二、性质运用不熟练

例2已知x<2，则化简的结果是（）.

【错误解答】A.

【错解成因】没有考虑到当x<2时x-2<0，而只有当a≥0时才成立.

【正确解答】D.

【总结提升】在运用进行二次根式的计算或化简时，要根据a的取值进行讨论，是二次根式化简的重要工具，运用此公式可以将二次根式的化简转化为绝对值的化简.

三、忽视隐含条件

例3化简：

【错误解答】.

【错解成因】在化简时，将a2从根号内开方出来时，未考虑a的符号.

【正确解答】.

【总结提升】运用性质进行化简，在化简的过程中要注意先判别字母取值范围，特别是注意“-”，防止出错.

例4已知x+y=-5,xy=4，求的值.

【错误解答】

【错解成因】没能发现题目中的隐含条件，忽略了x,y的符号.

【正确解答】由x+y=-5,xy=4可知x<0,y<0.

【总结提升】因为xy=4，所以x,y同号.又因为x+y=-5，所以x,y同为负数.因而化简为

四、运算顺序出错

例5计算

【错误解答】原式=.

【错解成因】二次根式的运算顺序错了.

【正确解答】

【总结提升】二次根式的乘除是同一级运算，按运算顺序的规定，应从左到右依次进行或先把除法统一成乘法后，再用乘法运算法则计算.本题错误率较高，颇具代表性，望同学们引起注意.特别是由化为的过程，看似简单，实则暗含玄机.

五、忽略同类二次根式的概念

例6若是同类二次根式，则a,b的值为（）.

A.a=0,b=2

B.a=1,b=1

C.a=0,b=2或a=1,b=1

D.a=2,b=0

【错误解答】由题意，得解得故选B.

【错解成因】未掌握同类二次根式的概念.不是最简二次根式，，所以b=3a+b，而不是4b=3a+b.

【正确解答】因为，由题意，得解得故选A.

【总结提升】两个根式是同类二次根式，必须满足以下两个条件：(1)是最简二次根式，(2)被开方数相同.如果题目中给出的二次根式不是最简二次根式，则要先把二次根式化成最简二次根式再对照同类二次根式的定义来理解.

六、忽视分类讨论

例7已知a是实数，求的值.

【错误解答】

【错解成因】条件中没有给出a的取值范围，解题时未对a的取值范围进行分类讨论造成错误.

【正确解答】

分三种情况讨论:

(1）当a≤-2时，原式=-（a+2)-[-(a-1)]=-a-2+a-1=-3;

(2）当-2<a≤1时，原式=（a+2)-[-(a-1)]=a+2+a-1=2a+1;

(3）当a>1时，原式=（a+2)-(a-1)=a+2-a+1=3.

【总结提升】在化简二次根式时，若题目中没有给出字母的取值范围，这时候就要对字母进行分类，在不同的范围中化简二次根式.

【试一试】

1. 要使式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）.

2.能使成立的x的取值范围是（）.

3.(2014·孝感）下列二次根式中，不能与合并的是（）.

4.(2014·青岛）

5. 已知3<x<4，化简：

6.(2014·德州）若2，则（x+y)y=____.

参考答案

1.B 2.C 3.C

7.八年级数学《二次根式》教学反思 篇七

二次根式是在数的开方、实数的基础上进一步学习式的概念，是后继学习无理式以及解决物理方程的一个基础。但是二次根式与无理式是有区别的，前者主要在形式上是否是单一的带有二次根号，而后者则更注重对字母的运算。本章学习的核心概念是最贱二次根式及其化简，本章可以联系学生所学习的不等式、因式分解、解方程、代数式有意义的条件等知识点。学生学习的易错点还是由数到式的过度上，特别是二次根式的被开方式必须是非负数这一点，对于复杂的式子，学生很难把握，尤其是对符号的把握和理解，需要强化联系，讲解时注意和具体数的练习，把握其内在的道理，让学生明白是如何由易到难的转化。同时，本章也是规范学生正确书写书写符号以及提高学生运算能力的一章。

本节课开始时，首先由一个求修建两块运动场的草坪面积的实际问题出发，引导学生得出两个二次根式求和的运算。从而提出问题：如何进行二次根式的加减运算?这样通过问题指向本课研究的重点，激发学生的学习兴趣和强烈的求知欲望。然后指导学生根据问题导读单，去自学课本。通过自学课本再完成问题导读单，从而自己独立学习结合小组合作学习掌握二次根式的加减运算。通过我深入小组搜集信息、指导学习，发现学生具备自学能力，独立自学时很肃静，同学们都能够通过翻阅课本自己独立完成问题导读单上的一些问题。合作学习时也很热闹，同学们都能够交流自己的见解，并且能够针对一些见解提出自己的看法让大家评议。

8.《二次根式性质》教学反思 篇八

一、教材

“二次根式”是《课程标准》“数与代数”的重要内容。本章是在前面所学知识的基础上，进一步研究二次根式的概念，性质，和运算。本章内容与已学内容“实数”“整式”“勾股定理”联系紧密，同时也是以后将要学习的“锐角三角函数”“一元二次方程”和“二次函数”等内容的重要基础。本节课研究二次根式的概念和性质。它是学习本章的关键，也是学习二次根式的化简和运算的依据。

教学目标

根据数学课程标准中关于“二次根式及其性质”的教学要求，结合教材内容以及学生的实际情况我确定了本节课的三维教学目标。

知识与技能

1、了解二次根式的概念。

2、了解二次根式的基本性质，经历观察、比较、总结二次根式的基本性质的过程，发展学生的归纳概括能力。

过程与方法

通过对二次根式的概念和性质的探究，提高数学探究能力和归纳表达能力。

情感态度与价值观

激励全体学生参与自主学习，培养他们积极探索，勇于创新的精神，养成敢想、敢说、敢做的主动学习的习惯。

教学重点:二次根式的概念和基本性质 教学难点:二次根式基本性质的灵活运用

二、教法

为了更好的突出重点、突破难点并遵循“以学生为主体，教师为主导”的教学原则，我采用让学生自主学习，合作探究，引领提升的方式展开教学。依据学生已有的知识基础，本节课注重加强知识间的纵向联系，拓展学生探索的空间，体现由具体到抽象的认识过程，为后续学习打下坚实的基础。

三、学法

本课由于概念抽象，知识难懂，易使学生感到枯燥无味或产生畏难情绪。我根据学生由浅入深的认识规律和教学的启发性、因材施教等教学原则，以引导法为主，辅以讨论法等，让学生全面、全程的参与教学的每一个环节，充分调动学生学习的积极性，总结二次根式的基本性质。

四、教学过程

为了实现教学目标，我把本节课的教学分为以下几个环节：下面我将对每个环节进行说明。

一、复习提问

以旧引新

问题1：a表示什么？a需要满足什么条件？

问题2：算术平方根的定义是什么？定义里的关键信息是什么？

因为本节课的内容是建立在算术平方根基础之上的，而算术平方根并不是上节课的内容，所以以这两个问题作为开始，为本节课的学习做好知识上的铺垫，同时，使学生对本节课的内容有熟悉感。

二、构建新知

(一)二次根式概念的讲解

一般地，式子a（a0）叫做二次根式。这样一个简单的定义告诉了我们什么呢？

以这样一个问题引起学生对定义的深层次的思考，并引导学生从以下几个方面对该定义进行剖析：

1.二次根式一定含有“二次根式；

2.被开方数a可以是数也可以是代数式，且a必须为非负数，即a0；

3.二次根式a（a0）是a的算术平方根，即a0（a0）

为了更好的理解新知，我通过练习来加强学生对于二次根式概念的理解。

巩固练习：下列各式哪些是二次根式？

⑴ 1

5⑵7

⑶x22x

1⑷3x（x>0）在学生练习之后，教师提问：通过这个练习，你能总结一下如何判断一个式子是否为二次根式吗？

通过回答这个问题，巩固对二次根式概念的理解，同时培养学生的总结能力，并帮助学生学会如何对习题进行方法的反思。

在明确二次根式的概念之后，提出在实数范围内，由于负数没有平方根，所以a（a0）没有意义，也就是说，a中的a只能表示大于或等于零的实数，即若a是二次根式，则一定有a0，或若a有意义，说明a0。

”，它是一个形态定义，如4也是例1：实数x在什么范围内取值时，下列各式表示二次根式？ 2x1

通过例1使学生巩固对被开方数的非负性的认识，并使学生学会确定被开方数中字母的取值范围。两个题目的设计兼顾了一元一次不等式的基本解法，为以后深入研究被开方数中字母的取值范围做好准备。由于本节课知识点较多，因此在本节课中不再扩充到较为复杂的情况。

活动一：交流与合作（各小组合作交流）

甲:在下面这些代数式中选择构造一个二次根式 乙:求出这个二次根式中字母的取值范围 a1、3、-2、2a

1、a1、a

2通过上面的活动使学生更好的吸收二次根式的概念，同时培养交流合作的意识。

（三）应用新知

为加深学生对二次根式双重非负性中a0（a0）的理解，我设计了例2。

例2 若x3y50，求xy的值。

同时通过对例2的分析，使学生明确a0（a0）的应用，并体会与旧知识的联系，感受数学的整体性，提高学生解决问题的能力。

(二)二次根式性质的研究

活动二：让学生利用计算器计算

2、3，也可以让学

22生自己选数，并让学生交流计算结果及发现的现象，并猜想a32________（a0）。

同时要求学生利用所学过的知识来解释为什么222

2、3以及a2a（a0），教师可以做适当地引导，并得出性质a2a（a0）

语言表述为：非负数的算术平方根的平方，等于这个非负数。通过活动二使学生发现二次根式的性质，体验探索的过程，从而形成自己对这一数学知识的理解，培养学生归纳总结的能力。

再通过例3的练习来巩固二次根式的性质。例3：计算

通过例3，使学生学会运用公式

四、达标检测

这一环节是内化知识，训练思维、培养能力、形成技能的重要环节，因而我设计的练习题在注重基本练习的前提下，首先在形式上注意新颖多样、采取填空、选择、笔算练习等形式。其次在内容上注意采取秩序渐进的原则，由易到难，这样即符合学生的认识特点，又能兼顾大多数学生。

（五）、反思提高 这是作为新课必要的一个环节，结合板书，让学生说说本课学到的知识，并说出是怎样学到的，通过学生自己总结和评价，既加深了学生对新知识的理解和消化，又让学生体验到学习数学的价值和兴趣。

（六）、布置作业

这一环节我设计了分层作业，分为必做题和选做题，分别面向不同程度的学生，使所有学生都能有所收获。

（七）板书设计

a2a（a0）。板书设计是教学设计的画龙点睛之笔，这是我这节课的板书设计，呈现了这节课的教学重点。

二次根式和它的的性质（1）一、二次根式的概念 例1： 例3： 形如的式子叫做二次根式 二、二次根式的性质 1.（a）是一个非负数

2.（）2=a（a）我的说课完毕，谢谢大家！

9.《二次根式性质》教学反思 篇九

《义务教育数学课程标准 (2011 年版) 》 (以下简称《课标 (2011 年版) 》) 倡导过程教育以全面发挥数学的育人功能.但调研发现大多数教师的课堂教学与过程教育存在偏差, 特别是存在获得数学结果 (或解决问题) 的认知过程短暂和获得数学结果 (或解决问题) 之后的反思过程缺失的问题, 导致学生失去了发展能力与个性及感悟其蕴含的数学思想方法的机会.基于过程教育的浙教版《义务教育教科书·数学》八年级下册第一章第1节“二次根式”怎样教学?

最近, 借助宁波市特级教师带徒活动对此进行了一次专题探索与反思活动.活动的程序是:第一, 活动前3天物色两位教师分别对这节课的教学进行自我分析与设计;第二, 组织有关教师重复式观察这两位教师的课堂演绎;第三, 组织有关教师从“教什么”和“怎样教”两个角度进行研讨与交流;第四, 在研讨基础上要求其中一位教师对这节课进行教学重建与再实践;第五, 带徒导师分别从过程教育的角度对这节课的教学进行点评.初步的理论求证与实践验证表明, 重建后的教学操作方法对全面发挥其育人功能有积极的影响.本文呈现重建后的教学过程及教学点评, 希望对帮助教师认识与实践过程教育有积极的影响.

2 教学实录

环节1:经历产生并感悟二次根式的过程———明确研究问题

师:我们知道, 若一个数的平方等于a, 则这个数叫做a的平方根;正数的正平方根和零的平方根统称为算术平方根, 非负数a的算术平方根可用来表示.

师:现在请大家解答下列各题.

(1) 正方形木板的面积是3平方米, 则它的边长是多少米?

(2) 圆形光盘的面积是S平方厘米, 则它的半径是多少?

(3) 一个长方形的围栏, 长是宽的2倍, 面积为130平方米, 则它的宽是多少米?

(4) 一个直角三角形的两条直角边长分别为2cm, a (cm) , 则它斜边的长是多少?

(约2分钟后)

师:谁来汇报上述问题的答案?

师:好的.这说明许多实际问题中的数量和数量关系可用带根号的代数式来表示.这种代数式有何特征?有何性质?怎样运算?本章就来研究这些问题. (揭示课题)

环节2:参与定义二次根式的活动———形成二次根式的概念

师:代数式有何共同特点?

生2:它们都是算术平方根.

师:不错.像这样表示算术平方根的代数式叫做二次根式, 称为二次根号.

师:怎样用符号来表示二次根式?

生3:一般地, 二次根式可用来表示.

师:好的.这里a可以是数, 也可以是表示数的整式、分式.

师:可见二次根式的概念是有“形式+条件”构成的.为何被开方数必须大于或等于零?

生4:根据算术平方根的意义, 被开方数必须大于或等于零.

师:好的.二次根式的本质是非负数的算术平方根, 所以二次根式有双重性身份 (既表示运算, 也表示运算的结果) 和有双重非负性 (二次根式非负, 被开方数非负) .

师:获得二次根式概念经历了哪几个步骤?

生5: (1) 从实际问题中抽象出具体的二次根式; (2) 观察并归纳具体二次根式的共同特征; (3) 抽象二次根式的本质特征; (4) 用文字和符号定义与表示二次根式.

师:好的.这个思维活动的经验以后会经常用到.

环节3:参与概念应用的活动———合作解答有代表性问题

师:现在请大家合作解答下列问题.

问题1 怎样求下列二次根式中字母a的取值范围?

师:谁来回答中字母a的取值范围?

生6:因为a+1≥0, 得a≥ -1, 所以字母a的取值范围是大于或等于-1的实数.

师:解题的依据是什么?

生6:解题的依据是二次根式的概念———二次根号内的式子是非负数.

师:好的.谁来回答中字母a的取值范围?

生7:因为, 得1-2a>0, 即a<1/2, 所以字母a的取值范围是小于1/2的实数.

师:好的.谁来回答中字母a的取值范围?

生8:因为无论a取何值, 都有 (a-3) 2≥0, 所以a的取值范围是全体实数.

师:好的.上述解题的依据都是二次根号内的式子是非负数.

问题2 若, 问:

(1) 中字母x的取值范围是什么?

(2) 当x=-4时, y的值是什么?

(3) 当y=4时, x的值是什么?

师:谁来回答第 (1) 问?

生9:因为1-2x≥0, 得x≤1/2, 所以字母x的取值范围是小于或等于1/2的实数.

师:好的.谁来回答第 (2) 问?

生10:当x=-4时,

师:好的.谁来回答第 (3) 问?

生11:根据算术平方根的意义, 得1-2x=16, 所以x=-15/2.

师:好的.在中, x取1可以吗?为什么?

生12:不可以.因为x=1不在x≤1/2的范围内.

师:不错.若, 则x的取值范围是什么?

生13:因为1-2x≥0且2x-1≥0, 得x=1/2, 所以x的取值范围是1/2.

师:好的.x=1/2是题目隐含的条件, 以后经常要关注题目中的隐含条件.

师:若, 则能求x, y的值吗?

生14:能.因为, 得1-2x=0, y-3=0, 所以x=1/2, y=3.

师:好的.若两个非负数的和是零, 则每个非负数都是零.

师:用二次根式的双重非负性来解决问题以后会经常遇到.

问题3 一艘轮船先向东北方向航行2小时, 再向西北方向航行t小时.船的航速是每小时25千米.问:

(1) 怎样用t的代数式来表示船离出发地的距离?

(2) 当t=3时, 船离出发地的距离是多少 (精确到0.01千米) ?

师:请大家依次完成下列任务.

(1) 按题意画出图形;

(2) 在图形上标注已知条件;

(3) 结合图形分析解题思路.

(待学生完成任务)

师:谁来回答第 (1) 问?

师:你是怎样得到这个结果的?

生15:先用勾股定理, 再开平方.

师:好的.谁来回答第 (2) 问?

生16:当t=3时,

师:因为当t=3时, 有意义, 所以船离出发地的距离是90.14千米.

师:请大家把解题过程完整地写出来.

(待学生完成任务)

师:解决这个问题经历了哪几个步骤?

生17:按题意画出图形→在图形上标注已知条件→结合图形分析解题思路→列出二次根式→根据给定条件求二次根式的值→检验并作答.

师:好的.这个解决实际问题的思维活动经验以后会经常用到.

(接下来, 要求学生完成课本中的练习题, 并在学生完成任务后进行交互反馈与评价)

环节4:参与回顾与思考的活动———合作进行反思与总结

首先, 教师出示下列“问题清单”, 并要求学生围绕“问题清单”进行回顾与思考.

(1) 本节课研究了哪些内容?我们是怎样研究的?

(2) 若代数式是二次根式, 则它需要满足怎样的条件?

(3) 你对二次根式有何感触?你认为还应该研究什么?

其次, 教师组织学生合作交流, 同时教师边倾听、边评价.

最后, 在此基础上教师让学生欣赏二次根式的自述:

Hi!我是二次根式.我可以看成是从现实生活中抽象出来的, 我也可以看成是算术平方根的和谐扩展———从二次根号内的数到二次根号内是表示数的整式、分式.但我的本质是非负数的算术平方根.正因为我是算术平方根, 所以我也具有双重性身份 (既表示运算, 也表示运算的结果) 和双重非负性 (我是非负数, 我根号内的式子也是非负数) .我与整式、分式一样, 也是一类重要的代数式, 并且我能表示现实生活中的许多数量和数量关系, 以后你会经常用到我的双重非负性的性质, 不久你还能知道我的其他性质和运算法则.告诉你:认识我的基本思路是“从生活实例中产生我→观察并归纳我的本质特征→用文字和符号定义与表示我→在具体情境中认识我”.你在认识我的过程中, 还能发展智力、能力和个性.

3 教学点评

1) 二次根式可以看成是从现实生活中抽象出来的, 也可以看成是算术平方根的和谐扩展.它与整式、分式一样, 也是一类重要的代数式, 许多实际问题中的数量和数量关系能用二次根式来表示, 研究二次根式的思想方法具有普遍适用性.从生活实例中抽象出二次根式的过程和蕴含的生活常识、抽象思想、方程思想等;定义与表示二次根式的过程和蕴含的归纳思想、符号表示思想等;诠释二次根式概念的过程和蕴含的二次根式的双重性身份及二次根式的双重非负性.这些对发展学生智力、能力和个性有积极影响.尽管《课标 (2011年版) 》 (内容标准) 对二次根式概念的教学要求是了解, 但教材对二次根式概念处于归纳层次.因此, 二次根式概念的教学要经历“产生对象→观察个体特征→归纳共同特征→抽象本质特征→定义与表示对象→巩固对象”的完整认知过程.但部分教师在二次根式概念的教学中, 普遍存在获得概念的认知过程短暂和获得概念之后反思过程缺失的问题, 导致不能全面发挥其育人功能.本节课根据教材的意图和《课标 (2011 年版) 》 (内容标准) 对二次根式概念的教学要求, 以4个简单的实际问题为载体, 从学生已有的知识与经验出发, 运用教师价值引导与学生自主建构相结合的适度开放的方法, 引导学生经历了形成概念的完整认知过程———既有列式、求值、观察、归纳、抽象、定义、表示的认知过程, 以获得二次根式的概念, 也有获得概念之后反思的认知过程, 以加深认识“形式+条件”的二次根式概念, 感悟二次根式具有双重性身份和二次根式具有双重非负性及概念形成过程中蕴含的抽象思想、归纳思想、符号表示思想等, 积淀获得数学概念的思维活动经验.这体现了过程教育和以学为中心思想, 也遵循了处于归纳层次的概念教学的基本规范, 能全面发挥其育人功能.

2) 求给定二次根式根号内字母取值范围、求给定条件的二次根式值及用二次根式解决简单实际问题是整节课认知过程的后半段, 旨在再认二次根式的双重非负性、渗透函数思想方法、积淀用代数式解决实际问题的数学活动经验等.《课标 (2011 年版) 》 (内容标准) 对二次根式概念应用的教学要求是:会求给定二次根式根号内字母的取值范围, 会求给定条件的二次根式的值, 会用二次根式解决简单的实际问题.目前部分教师在二次根式概念应用的教学中, 普遍存在解题过程短暂和解答之后反思过程缺失的问题, 特别没有显化用二次根式解决实际问题的数学活动经验.本节课根据教材的意图和 《课标 (2011年版) 》 (内容标准) 对二次根式概念应用的教学要求, 以教材提供的例题和练习题为载体, 运用教师价值引导与学生自主建构相结合的方法, 引导学生经历了二次根式概念应用的完整认知过程———在问题1的教学中, 既有教师指导下的求给定二次根式根号内字母取值范围的过程, 也有解答之后反思解题依据的过程;在问题2的教学中, 既有教师指导下解答有关问题的过程, 也有解答之后的变式拓展的过程;在问题3的教学中, 既有画图、标注、分析、列式、求解、作答的过程, 也有解答之后反思解题步骤的过程.这体现了过程教育和以学为中心思想, 也遵循了问题解决教学的基本规范, 对巩固二次根式的概念、发展智慧技能、感悟其蕴含的数学思想、积淀用代数式解决实际问题的数学活动经验等有积极的影响.

总之, 全面发挥数学的育人功能需要过程教育, 而这节课的教学体现了过程教育和以学为中心思想, 能全面发挥其育人功能.因此, 在概念教学中要实现知识、技能、能力、态度的完美统一, 需要教师增强揭示概念所蕴含的思维活动过程的自觉性, 而引导学生经历实质性思维过程需要以符合“最近发展区”理论的题材为载体, 从学生已有的知识与经验出发, 运用教师价值引导与学生自主建构相结合的方法, 并引导学生经历完整的认知过程.

参考文献

[1]中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准 (2011年版) [M].北京:北京师范大学出版社, 2012.

10.二次函数的图像和性质教学反思 篇十

本节的学习内容是在前面学过二次函数的概念和二次函数y=ax2、y=ax2+h、y=a（x-h）2的图像和性质的基础上，运用图像变换的观点把二次函数y=ax2的图像经过一定的平移变换，而得到二次函数y=a(x-h)2+k(h≠0，k≠0)的图像。二次函数是初中阶段所学的最后一类最重要、图像性质最复杂、应用难度最大的函数，是学业达标考试中的重要考查内容之一。教材中主要运用数形结合的方法从学生熟悉的知识入手进行知识探究。这是教学发现与学习的常用方法，同学们应注意学习和运用。另外，在本节内容学习中同学们还要注意 “类比”前几节的内容学习，在对比中加强联系和区别，从而更深刻的体会二次函数的图像和性质。

通过本节课教学，得出几点体会：

1、在教学中二次函数图像的对称轴，顶点坐标，开口方向尤其重要，必需特别强调。

2、在探究中要积累研究问题的方法并积累经验，学生在前面已经历过探索、分析和建立两个变量之间的关系的过程，学习了一次函数和反比例函数，学会了用描点法作函数图象并据此分析得出函数的性质。我们可以把研究这些问题的方法应用于研究二次函数的图象和性质，并据此形成研究问题的基本方法。

3、要使课堂真正成为学生展示自我的舞台

还学生课堂学习的主体地位，教师要把激发学生学习热情和获得学习能力放在教学首位，为学生提供展示自己聪明才智的机会，使课

堂真正成为学生展示自我的舞台。充分利用合作交流的形式，能使教师发现学生分析问题解决问题的独到见解以及思维的误区，以便指导今后的教学。但在复习与练习的过程中，我发现学生存在着这样几个问题。

1、某些记忆性的知识没记住。

2、学生稍遇到点难题就失去做下去的信心。题目较长时就不愿意仔细读，从而失去读下去的勇气

3、学生的识图能力、读题能力与分析问题、解决问题的能力较弱。

4、解题过程写得不全面，丢三落四的现象严重。针对上述问题，需要采取的措施与方法是：

1、根据实际情况，对于中考升学有希望的学生利用课余时间做好他们的思想工作。并对他们进行面对面的单独辅导，增强他们的自信心，以此来提高他们的数学成绩。

2、结合自己的学习经验对他们进行学法指导和解题技巧的指导。

3、根据不同的学生情况，搜集典型题让他们单独做，并给予及时的辅导与矫正。

4、与其它任课教师联手一起想对策，指导学生读题的方法与分析问题，解决问题的方法。

11.二次根式教学案例 篇十一

一、案例背景：

本节是九年级上学期数学的起始课。二次根式的学习，是对代数式的进一步学习。本节主要经历二次根式的发生过程及对二次根式的理解。掌握求二次根式的值和二次根式根号内字母的取值范围。为以后的运用二次根式的运算解决实际问题打好基础。

二、案例描述：

1、学习任务分析：

通过对数和平方根、算术平方根的复习，鼓励学生经历观察、归纳、类比等方法理解二次根式的概念。在解决实际问题的时候，注意转化思想的渗透。体会分析问题、解决问题的方法，积累数学活动经验。比如求二次根式根号内的字母的取值范围，就是将问题转化为不等式来解决。注意学生数学书写格式的规范，为以后的学习打好基础。为了使学生更好地掌握这一部分内容，遵循启发式教学原则，用复习以前学过的知识导入新课。设计合作学习活动，引导学生操作、观察、探索、交流、发现、思维，解决实际问题的过程，真正把学生放到主体位置。

2、学生的认知起点分析：

学生已掌握数的平方根和算术平方根。这为经历二次根式概念的发生过程做好准备。另外，学生对数的算术平方根的理解作为基础，经历跟此根式概念的发生过程，引导学生对二次根式概念的理解。

案例反思：

1.下列代数式若能作为二次根式的被开方数，则求出字母的取值范围？若不能，则说明理由。1-2a-2a2-1(2+a)2-(a-5)2

以往对这类问题的回答都是全班回答，有些学生反面信息不能体现出来。采取的措施是全班举手势回答，可以做二次根式的被开方数举“布”，若不能举“拳头”。使班级能够全面参与，避免集体回答所体现不出的问题。

2.合作活动：

第一位同学——出题者：请你按表中的要求写完后，按顺时针方向交给下一位同学；

第二位同学——解题者：请你按表中的要求解完后，按顺时针方向交给下一位同学；

第三位同学——批改者：请你用蓝笔批改，若有错误，请与解题者商议并请其订正，完成交给你信任的同学用红笔复；

第四位同学——复查者：请你一定要把好关哦！

出题者姓名： 解题者姓名：

第一个二次根式： 1.要使式子的值为实数，求x的取值范围.2.写出x的一个值，使式子的值为有理数，并求出这个有理数。3.写出x的一个值，使式子的值为无理数，并求出这个无理数。

第二个二次根式： 1.要使式子的值为实数，求x的取值范围。2.写出x的一个值，使式子的值为有理数，并求出这个有理数。3.写出x的一个值，使式子的值为无理数，并求出这个无理数。

批改者姓名： 复查者姓名：

12.《二次根式性质》教学反思 篇十二

二、利用坐标轴上点的特征确定抛物线与坐标轴的交点坐标

三、灵活运用待定系数法

在学习待定系数法求二次函数的解析式时, 分清已知点的情况设解析式就行了。如果已知点中有顶点坐标就设所求解析式为y=a (x-h) 2+k, 其中h、k直接用顶点坐标取代;如果已知点中没有顶点坐标, 则设为标准式y=ax2+bx+c (a≠0) 。当已知条件不是以坐标的形式给出的, 而是一个几何图形, 则要自己建立平面直角坐标系, 把平面进行划分。例如, 下面这道题:

例, 要建立横截面如图一所示的厂房, 下部是矩形, 上部是抛物线形, 宽AB=8m, 高OC=4m, 要做一个模板, 需要求出抛物线的解析。

分析:由题设可知, 没有点的坐标, 只有一些数据, 要求解析式需要建立坐标系来确定点的位置。如何建立坐标系, 大家的意见可能不一致, 有学生也许会主张以点A为坐标原点, 建立如图二所示的坐标;也有学生以点O为原点, 建立如图三所示的坐标;还有学生以点B为原点, 建立如图四所示的坐标。由于所建坐标不同, 相应的解析式也不同。比如, 图二所示, 根据已知确定顶点坐标为 (4, 4) , 则可设解析式为y=a (x-4) 2+4;图三的顶点坐标为 (0, 4) , 则设为y=ax2+4;图四的顶点坐标是原点, 直接设为y=ax2。

13.二次根式乘除教学设计 篇十三

（1）经历二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质的形成过程；会进行简单的二次根式的乘法运算；

（2）会用公式化简二次根式。

2、目标解析

（1）学生能通过计算发现规律并对其进行一般化的推广，得出乘法法则的内容；

（2）学生能利用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质，化简二次根式。

教学问题诊断分析

本节课的学习中，学生在得出乘法法则和积的算术平方根的性质后，对于何时该选用何公式简化运算感到困难、运算习惯的养成与符号意识的养成、运算能力的形成紧密相关，由于该内容与以前学过的实数内容有较多的联系，例如，整式中的乘法公式在二次根式的运算中也成立，在教学中，要多从联系性上下力气、，培养学生良好的运算习惯。

在教学时，通过实例运算，对于将一个二次根式化为最简二次根式，一般有两种情况：（1）如果被开方数是分数或分式（包括小数），可以采用直接利用分式的性质，结合二次根式的性质进行化简（例见教科书例6解法1），也可以先写成算术平方根的商的形式，再利用分式的性质处理分母的根号（例见教科书例6解法2）；（2）如果被开方数不含分母，可以先将它分解因数或分解因式，然后吧开得尽方的因数或因式开出来，从而将式子化简。

本节课的教学难点为：二次根式的`性质及乘法法则的正确应用和二次根式的化简。

教学过程设计

1、复习引入，探究新知

我们前面已经学习了二次根式的概念和性质，本节课开始我们要学习二次根式的乘除、本节课先学习二次根式的乘法、

问题1 什么叫二次根式？二次根式有哪些性质？

师生活动 学生回答。

【设计意图】乘法运算和二次根式的化简需要用到二次根式的性质。

问题2 教材第6页“探究”栏目，计算结果如何？有何规律？

师生活动 学生计算、思考并尝试归纳，引导学生用自己的语言描述乘法法则的内容。

【设计意图】学生在自主探究的过程中发现规律，运用类比思想，由特殊到一般地，采用不完全归纳的方法得出二次根式的乘法法则、要求学生用数学语言和文字分别描述法则，以培养学生的符号意识、

2、观察比较，理解法则

问题3 简单的根式运算。

师生活动 学生动手操作，教师检验。

问题4 二次根式的乘除成立的条件是什么？等式反过来有什么价值？

师生活动 学生回答，给出正确答案后，教师给出积的算术平方根的性质。

【设计意图】让学生运用法则进行简单的二次根式的乘法运算，以检验法则的掌握情况、乘法法则反过来就是积的算术平方根的性质，性质是为运算服务的，积的算术平方根的性质将积的算术平方根分解成几个因数或因式的算术平方根的积，利用整式的运算法则、乘法公式等可以简化二次根式，培养学生的运算能力。

3、例题示范，学会应用

例1 化简：（1）二次根式的乘除； （2）二次根式的乘除。

师生活动 提问：你是怎么理解例（1）的？

如果学生回答不完善，再追问：这个问题中，就直接将结果算成二次根式的乘除可以吗？你认为本题怎样才达到了化简的效果？

师生合作回答上述问题、对于根式运算的最后结果，一般被开方数中有开得尽方的因数或因式，应依据二次根式的性质二次根式的乘除将其移出根号外、。

再提问：你能仿照第（1）题的解答，能自己解决（2）吗？

【设计意图】通过运算，培养学生的运算能力，明确二次根式化简的方向、积的算术平方根的性质可以进行二次根式的化简、

例2 计算：（1）二次根式的乘除； （2）二次根式的乘除； （3）二次根式的乘除

师生活动 学生计算，教师检验。

（1）在被开方数相乘的时候，就可以考虑因数或因式分解，由二次根式的乘除直接可得二次根式的乘除而不必先写成二次根式的乘除再分解；

（2）二次根式的乘法运算类似于整式的乘法运算，交换律、结合律都是适用的、对于根号外有系数的根式在相乘时，可以将系数先相乘作为积的系数，再对根式进行运算；

（3）例（3）的运算是选学内容、让学有余力的学生学到“根号下为字母的二次根式”的运算、本题先利用积的算术平方根的性质，得到二次根式的乘除，然后利用二次根式的乘法法则，变成二次根式的乘除，由于二次根式的乘除可以判断二次根式的乘除，因此直接将x移出根号外、。

【设计意图】引导学生及时总结，强调利用运算律进行运算，利用乘法公式简化运算、让学生认识到，二次根式是一类特殊的实数，因此满足实数的运算律，关于整式运算的公式和方法也适用。

教材中虽然指明，如未特别说明，本章中所有的字母都表示正数，但仍应强调，看到根号就要注意被开方数的符号、可以根据二次根式的概念对字母的符号进行判断，在移出根号时正确处理符号问题。

4、巩固概念，学以致用

练习：教科书第7页练习第1题、第10页习题16、2第1题。

【设计意图】巩固性练习，同时检验乘法法则的掌握情况。

5、归纳小结，反思提高

师生共同回顾本节课所学内容，并请学生回答以下问题：

（1）你能说明二次根式的乘法法则是如何得出的吗？

（2）你能说明乘法法则逆用的意义吗？

（3）化简二次根式的基本步骤是怎样？一般对最后结果有何要求？

6、布置作业：教科书第7页第2、3题、习题16、2第1，6题。

五、目标检测设计

1、下列各式中，一定能成立的是（ ）

A、二次根式的乘除

B、二次根式的乘除

C、二次根式的乘除

D、二次根式的乘除

【设计意图】考查二次根式的概念和性质，这是进行二次根式的乘法运算的基础。

2、化简二次根式的乘除 ______________________________。

【设计意图】二次根式是特殊的实数，实数的相关运算法则也适用于二次根式。

3、已知二次根式的乘除，化简二次根式二次根式的乘除的结果是（ ）

A、二次根式的乘除

B、二次根式的乘除

C、二次根式的乘除

D、二次根式的乘除

14.八年级数学《二次根式》教学反思 篇十四

第一环节、师生合作，通过复习算术平方根的概念，运用归纳、猜想的思想方法，得出二次根式的第一条性质，随后进行了相关的练习，加强了学生对概念的理解。

第二环节、小组合作学习，运用类比、归纳、猜想的思想方法，得出二次根式的第二条性质。之后，设计了一个“我来考考你的环节”，让学生自己根据性质2，仿照书本课内练习1，给同伴出题，这一简单的举措，激发了学生的学习兴趣，调动了课堂气氛。

第三环节、学生自主完成例1，然后在小组内探讨存在的问题并解决问题。对于例2，在学习过程中，学生对于a是非负数的二次根式没有困难，但是对于根号里面a是负数的二次根式，学习起来还是有困难的，所以在这里应该举例示范，让学生讨论如何解答。这里不要快，要一步步来，等学生都明白其中的道理后，再进行相应的练习，如果出现问题，再进行点评，这样下来，学生就可以掌握二次根式的化简了，但是由于时间关系，我紧紧叫了一个学生上黑板板书，没有做到一题多解，今后多在这方面努力。

第四环节、运用性质化简含有字母的二次根式。这一环节，加深了学生对二次根式两个性质的理解。

15.《二次根式性质》教学反思 篇十五

1.设计理念

新课标指出:“教学中应强调对基本概念和基本思想的理解和掌握, 对一些核心概念和基本思想要贯穿数学教学的始终, 帮助学生逐步加深理解.”因此, 本节课创设适当的问题情境, 引发必要的认知冲突, 通过对教材内容的再创造、再设计, 构建一个反映数学内在发展逻辑、符合学生数学认知规律的概念体系, 揭示概念的内涵和外延, 突出概念的核心.正确理解数学概念是掌握数学知识的前提, 也是理解和体会数学思想方法的基础, 更是提高解题能力的关键.数学学习是从概念学习开始的, 所以数学教学应从概念生成出发.

2.教学重点与难点

重点:概率的基本性质.

难点:互斥事件与对立事件的联系与区别及应用.

3.学法与教学用具

(1) 讨论法:师生共同讨论, 从而加深学生对概率基本性质的理解和认识.

(2) 教学用具:多媒体.

二、课堂教学实录

1.新课导入

教师:通过学习导学案, 我们今天要学习什么内容?

学生:概率的基本性质.

教师:非常正确.现在请大家自学整理1分钟, 对学、群学讨论1~15分钟.

2.学生独学、对学、群学

教师进行巡视调查与析疑, 发现大部分学生对课堂内容准备、理解不到位, 完成不彻底.主要原因是其中列举事件太多, 分类太细, 不利于理解.因此, 教师做出了更改教学内容的决定, 等到大部分学生的讨论基本结束 (10分钟左右) 后, 教师请两位学生在黑板上画两个人, 并分别编号为A、B.

3.课堂展示

教师引导, 用多媒体展示基本概念:

(1) 事件的包含、并事件、交事件、相等事件 (见课本) ;

(2) 若A∩B为不可能事件, 即A∩B=, 那么称事件A与事件B互斥;

(3) 若A∩B为不可能事件, A∪B为必然事件, 那么称事件A与事件B互为对立事件;

(4) 当事件A与B互斥时, 满足加法公式:P (A∪B) =P (A) +P (B) ;若事件A与B为对立事件, 则A∩B为必然事件, 所以P (A∩B) =P (A) +P (B) =1, 于是有P (A) =1-P (B) .

教师:请看黑板, 黑板上所画人物B正在对人物A说一句“你死我活” (将成语“你死我活”写在人物B旁边) .请同学们思考人物B所说的“你死我活”这个成语中包含了几个事件?这些事件有什么关系?

学生之前对黑板上的人物感到莫名其妙, 现在一听, 顿时来了兴趣, 稍做思考之后, 纷纷站起来发言.

学生A:成语“你死我活”包含了两个基本事件, 即“你死”与“我活”.

学生B:不对, “你死我活”包含了四个基本事件:“A死”, “B活”;“A活”, “B死”;“A、B都死”;“A、B都活”.

学生一下子争论起来, 有的认为是两个基本事件, 有的认为是四个基本事件.逐渐的, 认为是两个基本事件的意见占据了主导地位.

教师:学生B用“A死”、“B活”的表达方式较好, 这可不是说我俩之间的“你死我活”啊 (教室里笑声一片) .我和大家的看法一样, 认为这个成语表示的是“一死一活”的事件.如果是两个基本事件的话, 请问它们是什么关系?

学生:它们是互斥事件.

教师:为什么?

学生:因为A、B只有一个能活.

教师:它们是否是对立事件呢?为什么?

学生:是对立事件, 因为不是“A死B活”, 就是“A活B死”, 两个只有且必有一个发生.

教师:如果真是大家所说的这种情况的话, 那么它们既是互斥事件, 又是对立事件.

“学生教师” (学生以教师的身份) 讲授课前准备.

(接下来, 学生以教师的身份上台, 讲授课前准备的其他部分, 教师站在教室内旁听.)

在讲解课前准备时, 有学生站起来说:“老师, 你能举例说明一下互斥事件与对立事件吗?”

讲台上的“学生教师”准备不充分, 无法自己讲解, 但他马上请了一位自己认为是“高手”的学生C来讲解这个问题.

学生C:互斥事件就是不同时发生的事件.如这里有1、2、3、4四个数字, 从中抽取一个数字, 记“抽到1的事件为A”, “抽到2的事件为B”, “抽到3的事件为C”, “抽到4的事件为D”.这些事件任意两个都不可能同时发生, 所以这些事件中任何两个均为互斥事件.

学生:那么它们也是对立事件吗?

学生C:不是这样的.虽然A发生了, B一定不会发生;但是A不发生的时候, B却不一定发生.所以事件A、B不是对立事件.但我们可以想办法使它们是对立事件 (将数字3、4擦掉, 只剩下数字1、2) , 现在从这两个数字中“抽取一个数字1”和“抽取一个数字2”的事件就是对立事件.

太棒了!学生由衷地感叹, 因为这种理解是他们在不断探索中获得的, 教师只是适时地作了引导.于是课堂气氛又热烈起来.

师:若A∩B为不可能事件 (A∩B=ø) , 那么事件A与事件B互斥.其含义是:事件A与事件B在任何一次试验中都不会同时发生.若A∩B为不可能事件, A∪B为必然事件, 那么事件A与事件B互为对立事件.其含义是:事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生.

“学生教师”接下来讲解课前准备.在写概率的取值范围的时候, 他写成了“0<P (A) <1”, 马上有学生站起来说:“由于事件的频数总是小于试验的次数, 且必然事件的概率为1, 不可能事件的概率为0.所以0<P (A) ≤1.”并且走上讲台用彩色粉笔进行了修改.

教室里马上就形成了两派, 在一番讨论之后, 达成了一致意见:“0≤P (A) ≤1”.

教师出示例题:

【例1】判断下列每对事件是否是互斥事件, 是否是对立事件.

从一副桥牌 (52张) 中任取一张:

(1) “抽取红桃”与“抽取黑桃”;

(2) “抽取红色牌”与“抽取黑色牌”;

(3) “抽取的牌点数为3的倍数”与“抽取的牌点数大于10”.

教师首先将黑板分好块, 规定哪一块是哪道例题, 所有例题, 允许任何一位学生上台板书.当教师一提出开始展示例题时, 前后两块黑板前马上挤满了学生, 还不时有学生上台为本组学生纠正错误.

待学生写好了之后, “学生教师”上台检查与点评例1.黑板上书写的答案都是对的, 但是有学生提出了疑问.

学生D:老师, 我认为“抽取的牌点数为3的倍数”与“抽取的牌点数大于10”这两个事件是互斥事件.

“学生教师”:这不是互斥事件, 因为如果抽到Q, 它是12点, 它既是3的倍数, 又满足点数大于10.不满足互斥事件“只有一个发生”的条件.

学生D:假如我抽到的是8点呢?它既不是3的倍数, 又不大于10点.这时事件A与事件B都不发生, 所以它们应该是互斥事件.

学生E (立即站起) :互斥事件要求“事件A与事件B在任何一次试验中都不会同时发生, 而不是某一次试验中不会同时发生”, 你认识发生偏差了.

教师点评:“互斥事件”和“对立事件”都是就两个事件而言的.互斥事件是不可能同时发生的两个事件, 而对立事件是其中必有一个要发生的互斥事件.因此, 对立事件必须是互斥事件, 但互斥事件不一定是对立事件.也就是说, “互斥事件”是“对立事件”的必要但不充分条件, “对立事件”是“互斥事件”的充分但不必要条件.

【例2】如果从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取一张, 那么取到红心 (事件A) 的概率是1/4, 取到方块 (事件B) 的概率是1/4.问:

(1) 取到红色牌 (事件C) 的概率是多少?

(2) 取到黑色牌 (事件D) 的概率是多少?

接下来, 另一位“学生教师”引导检查与点评了例2.前后黑板上板书的解答都写成: (1) 因为P (A) =14, P (B) =1/4, 所以P (C) =P (A) +P (B) =1/2.学生都觉得很完整.

教师在“学生教师”下了讲台之后, 再次引导学生检查.

教师:是否所有的概率都可以直接相加呢?

学生:书本上没说.

教师:我们学的概率加法公式的前提是什么?

学生:当事件是互斥的时候就可以使用概率的加法公式.

教师:这些解题的过程中体现这个前提了吗?

学生:都没有, 过程不严谨, 应该改为:因为A、B为互斥事件, P (A) =1/4, P (B) =1/4, 且抽到红色牌 (事件C) 包括A、B两个基本事件, 所以P (C) =P (A) +P (B) =1/2 (教师补充板书第 (2) 问) .

【例3】某射手在一次射击中射中10环、9环、8环、7环、7环以下的概率为0.24, 0.28, 0.19, 0.16, 0.13.计算这个射手在一次射击中:

(1) 射中10环或9环的概率;

(2) 至少射中7环的概率;

(3) 射中环数不足8环的概率.

“学生教师”点评与讲解例3中的易错点.

4.总结与小测

教师:好了, 现在请大家自我评价一下本节课的学习情况, 并用双色笔将自己出现过问题的地方标出来.接下来进入5分钟当堂检测.检测之后, 学生报答案, 集体纠正.对于检测, “学生教师”讲解得特别到位.

教师:请大家总结、反思自己本节课在学习中遇到的问题, 并将它记录下来.

师生小结:1事件的包含、并事件、交事件、相等事件的概念.

2事件A与事件B对立是指事件A与事件B在一次试验中有且仅有一个发生, 事件A和事件B在一次试验中不会同时发生.

3对立事件是针对两个事件来说的, 一般来说, 若两个事件对立, 则这两个事件必是互斥事件;反之, 若两个事件互斥, 则未必是对立事件.

4对立事件是一种特殊的互斥事件, 若事件A与事件B是对立事件, 则A与B互斥, 且A∪B是必然事件.

5从集合角度来看, 事件A 的对立事件是全集中由事件A 所含结果组成的集合的补集.

三、课堂教学反思

1.心理学研究表明, 数学概念的学习要经历感知、理解、保持和应用四种心理过程.教师在进行概念教学时, 要“讲背景、讲思想、讲应用”, 重视基本概念在智力开发、能力培养、情感体验、认知训练等方面蕴含的教育价值, 深入挖掘新旧知识间内在的联系, 追寻知识发生的轨迹, 遵循学生认知发展的规律, 循序渐进, 水到渠成, 引导学生主动完成新知识的构建.

2.本节课在发现学生对课前准备出现畏难情绪时, 如果继续按照原来的教学思路进行, 可能会导致学生对后面知识失去学习兴趣, 临时改变为探究“你死我活”的成语所包含的事件.虽然将学生从情绪低迷中带了出来, 学生互动得比较到位, 但还是存在着不足之处:

(1) 忽略了对事件的包含、并事件、交事件的概念的准确理解.这样的情况以后在备课中应提前预想到.

(2) 在学生讲解课前准备的时候, “学生教师”讲解得不是很透彻, 未能从两个互斥事件进行推广, 思维有跳跃性, 应加以提醒.

(3) 学生对前面的知识还有混淆.如在上课的时候, 有学生居然说了一句“必然事件与必然不可能事件”.

(4) 评分细节需要完善.在这一节课中, 学生学习的热情很高, 但是评分细节没有跟上, 只有数学课代表对小组进行了评分记载.教学实践证明, 评分细节不完善会直接影响到学生学习兴趣的培养.

四、课堂教学评析

本节课做到了教师在课堂上“消声”, 学生在课堂上“有声”, 学生成了课堂的主角、学习的主体, 教师成了组织者和参与者.整个教学以生为本, 关注学生的情感、意志、品质、价值观, 以学生思维的最近发展区为起点, 情境灵活, 内容丰富, 重视学生能力的培养和主体性的发挥, 符合学生的认知规律, 有助于学生自主学习、探究和综合运用能力的提高.课堂是学生学习活动的核心阵地, 只有课堂快乐了, 学生才能切实感受到学习的快乐;课堂充实了, 学生才能体会到生命的充实;课堂精彩了, 学生才能享受到生活的精彩.