5.2解方程(一)教学设计

2024-08-30

5.2解方程(一)教学设计（精选7篇）

1.5.2解方程(一)教学设计篇一

解方程

（一）教学设计

一、教学内容：北师大版小学数学四年级下册第五单元68-69页

二、教材分析：

本节课是在学习了用字母表示数和认识方程的基础上进行教学的。学生已经通过天平初步掌握了有关等式、方程的意义。基于上述情况，设计给予学生充分的时间观察天平的变化，在观察中再次感受天平平衡的条件，从而找出一些等式，再通过合作探究、讨论寻找这些等式变化的特点，进而发现等式的性质。这样的设计切实关注了学生的学习过程，让学生在观察中发现、在合作探究和讨论中总结，提高了学生学习知识的能力。

三、学情分析：

这一内容是学生第一次接触解方程，对于学生来说有一定的难度。天平称物，学生曾在科学课和低年级认识质量单位时了解过。但把天平称物的变化现象与数学的等量关系相结合，以前从没有了解过。但学生有观察、分析、迁移的学习能力，有着对等量关系，数学式子的知识基础。所以本课教学就恰好地利用学生这些能力来理解等式的性质，从而解决解方程的问题。

四、教学目标：

1.知识技能：学生通过天平的变化，探索等式两边都加上（或减去）同一个数，等式仍然成立的性质，利用等式的性质解简单的方程。

2.教学思考：学生通过观察天平变化，经历了从生活情境到方程模型的建构过程。

3.问题解决:在观察、合作探究、讨论等活动中，发现等式的性质，发展了抽象能力，并从中体会数学的建模思想。

4.情感态度价值观：学生通过探究等式的性质进一步感受数学与生活之间的密切联系，激发学习数学的兴趣。

五、教学重点：运用等式性质解简单的方程，如X±a=b。

六、教学难点：

理解等式的性质

七、教学准备：课件、题单

八、教学过程：

（一）复习旧知，导入新课

1、复习：判断下面哪些式子是方程。• 4+x=7 • 8y • 4+2.5=6.5 • 9+x>13 • y+3=5 • x+283=642

2、提问：你想知道方程中的未知数是多少吗？

3、导入新课:这节课我们就来一起学习一种方法，能够又快又准求出未知数是多少。

【设计意图：从学生的经验出发，通过学习，使学生的兴趣和思维进入到课堂学习中。】

（二）情境观察，探究规律

活动一：天平两侧加相同的质量

1、PPT演示:此时天平怎样？说出等式(5=5)

2、PPT演示:再看这个天平两边发生了什么变化？结果怎么样？还

能再说出一个等式吗？(5+2=5+2)

3、PPT演示:再看这个天平，天平怎样？说出等式。(X=10)

4、PPT演示:天平两侧发生了什么变化？结果怎样？再说出一个等式。

(X+5=10+5)

5、提问：想象一下，如果两边都加上10g的砝码，天平会怎样？15g、20g呢？

6、合作探究：根据这两组天平的变化，你有什么发现？小组合作。

7、生汇报。

8、教师小结并板贴。板贴：天平两侧都加上相同的质量，天平仍平衡。（追问：都是指什么？相同是指什么？）

活动二：天平两侧减相同的质量

1、猜测：如果天平两侧同时减去相同的质量，天平还会平衡吗？

2、验证： ①先请同学们看一下学习提示。②生独立完成3、检测：学生板书。①对照大屏幕看等式是否正确

②学生汇报发现。

4、教师小结并板贴。板贴：天平两侧都减去相同的质量，天平仍平衡。

5、合作探究：现在我们抛开天平不看，只看这四组等式，你有什么发现？把你的发现跟小组同学说说。

6、学生汇报。

7、教师小结并板贴等式的性质。板贴：等式两边都加上（或减去）同一个数，等式仍成立。⑴齐读 ⑵提读 ⑶把等式的性质说给同桌听听。

8、小练习：出示三道判断题。

⑴ 由等式X+6=23到等式X+6-6=23-3仍然成立。⑵ 等式两边加上（或减去）一个数，等式仍然成立。

⑶ 由等式X+13=20到等式X+13-13=20+13仍然成立。

9、提问：看来同学们都理解了等式的性质，那你们会运用吗？

【设计意图：利用自主学习，小组合作学习方式，放手让学生自己发现、归纳、总结，突显了学生自主学习能力。】

（三）运用规律，解方程

1、PPT出示：X+2=10 提问：X+2=10中X是多少？

强调：这是利用我们以前学习一个加数等于和减另一个加数。

追问：能不能运用这节课所学的等式的性质来求出x呢？自己试着解一解，在解的时候也可以参考左边的示意图。

2、学生板书①同学们你们有没有什么问题想问他的？

②如果没有，老师可有问题你是根据什么求出x呢？为什么两边都减2呢？为什么不减3？为什么不减5？ ③你学会了吗？与同位说一说。

3、解方程不仅要注意方法，还要注意书写。

板演强调： ①解字 ②等号 ③口头检验

4、这才是解方程完整步骤这就是我们这节课学习的内容

板书：解方程

（一）5、会解方程了吗？请同学们运用等式性质解下面两道方程。

Y－7=12 23+X=45

6、学生板书并汇报。

7、练习：用嘴快速说出解方程的过程。

8、探讨：在解的过程中，什么时候在等式两边加相同的数？什么时候在等式的两边减相同的数？

9、学生汇报。

10、同学们观察真仔细，总结的很到位。

【设计意图：师生共同探究，并在老师引导下使学生领会解方程的方法，并学会解方程的书写格式，验证方法。】

（四）课堂小结

1、通过本课的学习，你学到了什么？

（首先我们根据天平的变化，理解了等式的性质。

能够根据等式的性质解方程。）

2、总结：解方程分哪几部呢？边总结边出示顺口溜 • 首先要把解字写 • 等号两边同运算 • 过程要把等号齐 • 结果代入方程验

【设计意图：使学生对本课的知识点进行较系统的回顾。】

（五）课堂小测验

这节课真是收获满满，最后老师想考考你们，请看题单的反面，请同学们自己看图列方程并求出方程的解。

【设计意图：检验学生对知识点的掌握情况。】

九﹑板书：

解方程

（一）天平两侧都加上相同的质量，天平仍平衡。x+2=10 天平两侧都减去相同的质量，天平仍平衡。解：x+2-2=10-2 等式的性质：等式的两边都加上（或减去）x=8 的数，等式仍成立。

十、教学反思：

2.5.2解方程(一)教学设计篇二

一、性质:

等式的性质1: 等式两边都加( 或减) 同一个数( 或式子) ,结果仍相等.

等式的性质2: 等式两边乘同一个数,或除以同一个不为0的数,结果仍相等.

不等式性质1: 不等式两边都加上( 或减去) 同一个数( 或式子) ,不等号的方向不变.

不等式性质2: 不等式两边都乘( 或除以) 同一个正数,不等号的方向不变.

不等式性质3: 不等式两边都乘( 或除以) 同一个负数,不等号的方向改变.

二、解一元一次方程( 不等式) 的一般步骤及根据;

1. 去分母———等式( 不等式) 的性质2;

2. 去括号———分配律;

3. 移项———等式( 不等式) 的性质1;

4. 合并———分配律逆运算;

5. 系数化为1———等式的性质2( 根据实际情况用不等式性质2或3) ;

三、解一元一次方程( 不等式) 的注意事项:

1. 分母是小数时,先把分母转化为整数;

2. 去分母时,方程两边各项都乘各分母的最小公倍数,此时不含分母的项切勿漏乘,分子为多项式时,去分母后分子各项应加括号;

3. 去括号时,不要漏乘括号内的项,不要混淆符号,带着符号一起乘括号里的每一项;

4. 移项时,切记要变号,不要丢项,在等号( 不等号) 两边分别有同类项时先合并再移项,以免丢项;

5. 系数化为1时,方程( 不等式) 两边同乘以系数的倒数或同除以系数,不要弄错符号( 不等式要注意改不符号的方向) ;

6. 具体解题的步骤根据实际情况具体分析,找到最佳解法.

四、解一元一次方程和一元一次不等式:

在实际解一元一次方程或不等式中容易出现的错误有: ⑴解一元一次方程( 不等式) 在等号( 不等号) 左右两边互相移项时要改变移动项的符号; ⑵解一元一次方程( 不等式) 在去括号中一个数与多项式相乘,去括号时,应将这个数与括号内的每一项相乘,括号前面是负号,去括号时括号内的每一项都要改变符号; ⑶化系数为“1”时不等式根据系数的正、负符号选用不等式性质2或3去进行化系数( 正数不改变不等号的方向、负数改变不等号的方向) .

3.解二元一次方程组(一)教学设计篇三

２．二元一次方程组的解法

（一）金胜中学

原艳宏

一、学生起点分析

在学习本节之前，学生已经掌握了有理数、整式的运算、一元一次方程等知识，了解了二元一次方程、二元一次方程组等基本概念，具备了进一步学习二元一次方程组解法的基本能力.二、教学任务分析

教科书从实际问题出发，通过引导学生经历自主探索和合作交流的活动，学习二元一次方程组的解法——代入消元法.代入消元法是解二元一次方程组的基本方法之一，它要求从两个方程中选择一个系数比较简单的方程，将它转换成用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式，然后代入另一个方程，求出这个未知数的值，最后将这个未知数的值代入已变形的那个方程，求出另一个未知数的值.在求出方程组的解之后，可以对求出的解进行检验，这样可以防止和纠正方程变形和计算过程中可能出现的错误.二元一次方程组的解法，其本质思想是消元，体会“化未知为已知”的化归思想.三、教学目标分析

1.教学目标

1.会用代入消元法解二元一次方程组.2．了解 “消元”思想，初步体会数学研究中“化未知为已知”的化归思想.3．让学生经历自主探索过程，化未知为已知，从中获得成功的体验，从而激发学生的学习兴趣.2.教学重点

用代入消元法解二元一次方程组.3.教学难点

在解题过程中体会“消元”思想和“化未知为已知”的化归思想.四、教学过程：

第一环节：出示目标

1.会用代入消元法解二元一次方程组.2．了解 “消元”思想，初步体会数学研究中“化未知为已知”的化归思想.3．经历自主探索过程，化未知为已知，从中获得成功的体验，从而激发学生的学习兴趣.第二环节：自学指导

内容：

提出问题：每一个二元一次方程的解都有无数多个，而方程组的解是方程组中各个方程的公共解，前面的方法中却好我们找到了这个公共解，但如果数据不巧，这可没那么容易，那么，有什么方法可以获得任意一个二元一次方程组的解呢？

教师引导学生共同回忆上一节课讨论的“买门票”问题，想一想当时是怎么获得二元一次方程组的解的.xy8,设他们中有x个成人，y个儿童，我们得到了方程组成人和儿童到底去了

5x3y34.x5,多少人呢？在上一节课的“做一做”中，我们通过检验是不是方程x+y=8和方程

y35x+3y=34的解，从而得知这个解既是x+y=8的解，也是5x+3y=34的解，根据二元一次方程x5,xy8,组的解的定义，得出是方程组的解.所以成人和儿童分别去了5人和3y35x3y34人.意图：“温故而知新”，培养学生养成时时回顾已有知识的习惯，并在回顾的过程中学会思考和质疑，通过质疑，自然地引出我们要研究和解决的问题.第三环节：自学

内容：回顾七年级第一学期学习的一元一次方程，是不是也曾碰到过类似的问题，能否利用一元一次方程求解该问题？（由学生独立思考解决，教师注意指导学生规范表达）

解：设去了x个成人，则去了(8－x)个儿童，根据题意，得：

5x+3(8－x)=34.解得：x=5.将x=5代入8－x=8－5=3.答：去了5个成人，3个儿童.在学生解决的基础上，引导学生进行比较：列二元一次方程组和列一元一次方程设未知数有何不同？列出的方程和方程组又有何联系？对你解二元一次方程组有何启示？

（先让学生独立思考，然后在学生充分思考的前提下，进行小组讨论，在此基础上由学生代表回答，老师适时地引导与补充，力求通过学生观察、思考与讨论后能得出以下的一些要点.）

1.列二元一次方程组设有两个未知数：x个成人，y个儿童.列一元一次方程只设了一个未知数：x个成人，儿童去的个数通过去的总人数与去的成人数相比较，得出(8－x)个.因此y应该等于(8－x).而由二元一次方程组的一个方程x+y=8，根据等式的性质可以推出

y=8－x.2.发现一元一次方程中5x+3(8－x)=34与方程组中的第二个方程5x+3y=34相类似，只需把5x+3y=34中的“y”用“（8－x）”代替就转化成了一元一次方程.教师引导学生发现了新旧知识之间的联系，便可寻求到解决新问题的方法——即将新知识（二元一次方程组）转化为旧知识（一元一次方程）便可.（由学生来回答）上一节课我们就已知道方程组中相同的字母表示的是同一个未知量.xy8,①所以将中的①变形，得y=8－x ③，我们把y=8－x代入方程②，即将②中5x3y34②的y用（8－x）代替，这样就有5x+3(8－x)=34.“二元”化成“一元”.教师总结：同学们很善于思考.这就是我们在数学研究中经常用到的“化未知为已知”的化归思想，通过它使问题得到完美解决.第四环节：后教

下面我们完整地解一下这个二元一次方程组.（教师把解答的详细过程板书在黑板上，并要求学生一起来完成）

xy8,①解：

5x3y34.②由①得：y8x.③ 将③代入②得：

5x38x34.解得：x5.把x5代入③得：y3.x5,所以原方程组的解为：

y3.（提醒学生进行检验，即把求出的解代入原方程组，必然使原方程组中的每个方程都同时成立，如不成立，则可知解有问题）

第五环节：当堂训练

用代入消元法解下列方程组：

3x2y7,①x2y4,①3x4y19,①(1)(2) ⑶x3（注意分数线有括号功2xy3;②x2y3;②2y0.②能）五：课堂小结

1.解二元一次方程组的基本思路是消元，把“二元”变为“一元”.2.解上述方程组的步骤：

第一步：在已知方程组的两个方程中选择一个适当的方程，将它的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来.第二步：把此代数式代入没有变形的另一个方程中，可得一个一元一次方程.第三步：解这个一元一次方程，得到一个未知数的值.第四步：把求得的未知数的值代回到原方程组中的任意一个方程或变形后的方程(一般代入变形后的方程)，求得另一个未知数的值.第五步：把方程组的解表示出来.第六步：检验(口算或笔算在草稿纸上进行)，即把求得的解代入每一个方程看是否成立.4.用代入消元法解二元一次方程组时，尽量选取一个未知数的系数的绝对值是1的方程进行变形；若未知数的系数的绝对值都不是1，则选取系数的绝对值较小的方程变形.六：布置作业

1.课本习题7.2 2.解答习题7.1第3题

七、教学设计反思

1．引入自然

二元一次方程组的解法是学习二元一次方程组的重要内容.教材通过上一小节的实际问题，比较一元一次方程的列法和解法，从而自然引入二元一次方程组的代入消元解法.2．探究有序

4.对小学数学解方程教学的思考篇四

一、适当调整教材的编排方式

新教材在“解方程”这部分内容安排上, 主要就是没有继承旧教材成功之处, 没有研究学生, 即没有弄清要学习新知识, 必需先学会哪些知识, 建立哪些经验。把“解方程”集中安排在第九册, 学生学习就失去了“知识”和“经验”的双重根基。所以用“等量关系”解方程老师难教、学生难学。在解方程内容的具体编排上, 我们还是应把用算术思路解方程作为一条主线, 而把等式基本性质及运用它来解方程作为附庸。可以采用类似于“你知道吗”这样的阅读材料, 让学生了解到解这个方程还有其它的思路。材料中, 可以有天平图, 天平图上可以有“等式左右两边同时发生变化”的过程, 还有如“你能把这样的变化过程表示出来吗”这样的思考要求。我们先来看看《数学课程标准》在小学阶段关于这一方面的唯一要求:理解等式的性质, 会用等式的性质解简单的方程 (如3x+2=5, 2x-x=3) 。这句话是否可以这么理解:如果不会用等式的性质解简单的方程, 是否说明你没完成这阶段的教学目标呢?在课堂教学中, 我采用教师提供素材——学生尝试解决——学生合作交流——师生共同归纳小结这一教学模式。教师没有过多地花时间去讲解, 而是适时地启发、引导。学生通过观察、思考、尝试解题、互相研讨、共同小结, 参与获得知识的全过程, 真正成为了学习的主人。

二、引导学生掌握简易方程的解法

小学阶段所学的简易方程包括ax±b=c和ax±bx=c这两类方程。小学阶段解这类方程是以四则运算中各部分之间的关系来解答的, 要与中学解一元一次方程的方法区别开来。教学中要认真复习四则运算中各部分之间的关系, 由易到难地进一步掌握简易方程的解法。如果出现形如ax±b=c的方程, 启发学生把原方程变形为ax=c的形式, 再通过乘除运算法则求解。教学时可以先给出“过渡题”再引出问题, 启迪学生“拾级而上”。例如, 过渡题:10+ () =50例题:10+2x=50学生不难从过渡题获得启发, 得到2x相当于 () , 那么把2x看作一个数, 就可以先求出来, 然后再求x等于多少。对于其解答稍有困难, 此时教师提问:“按照运算顺序解这道方程应先算什么?” (6×3) “把2x看作什么?” (未知数) “2x在整个方程中处于什么位置?” (2x是减数) 接着教师启发引导学生把方程解完, 根据条件引导学生列出方程, 然后让学生自己解方程。对形如ax±bx=c的方程可借助形象具体的实例, 使学生从直观上理解它的含义, 进而掌握解法。出示课本中的例五, 引导学生观察图。教师讲述:要求一天共运土多少吨, 必须知道上午运的吨数和下午运的吨数。但题目没有直接告诉, 只告诉每车运x吨, 上午运了四车, 下午运了三车。“如何用含有字母x的式子表示上午运的吨数和下午运的吨数呢?” (4x和3x) “又如何表示一天运的吨数?” (4x+3x) 。4x表示四个x, 3x表示3个x;4x+3x表示四个x加三个x。提问:“四个x加三个x等于多少个x?” (七个) 。教师板书4x+3x=7x。出示课本中例六, 引导学生观察并思考如何解方程, 根据学生思考后的回答, 教师可作启发性的提问:“7x加9x等于80, 表示几个x等于80?” (16个x等于80) 。教师讲述, 这是一道含有两个相同未知数的方程, 在以后学习列方程解应用题时, 还会出现类似的方程, 解这种类型的方程时一般是通过加或减的计算, 先把它变成只含有一个未知数的方程, 即ax=c再往下解。现在, 学生就会很容易地解形如ax±bx=c的方程了。

三、在练习的设计上

我先让学生复习了化简的方法和解已学过的简易方程, 为后面学习新知识作好了准备, 让学生通过知识的迁移, 用学过的本领来解决新的问题。当学生学会了新本领后用相似的题目来加以巩固, 选择题则能更好地让学生体会到解方程后检验的重要性。由于新教材不学等式的性质, 只运用四则运算中各数之间的关系来解方程, 所以学生在解等号两边都有未知数的方程时比较容易出错, 学生的解题速度也有待继续提高。数学是一门严谨的科学, 中小学数学课程是一个有机的整体, 教材反映的是各部分知识之间的联系与综合。因此, 教师把握教材、驾驭教材的能力对教学至关重要。我们不能停留于用算术思维方法教代数知识, 而应站在一个较高层次上用现代数学观念去整体地审视和处理教材, 着眼于学生的后续学习, 帮助学生提高学习效能, 优化认知结构, 系统获取数学知识。

参考文献

[1].《全日制义务教育数学课程标准 (实验稿) 》

[2].《义务教育课程标准实验教科书数学第九册》人民教育出版社出版.课程教材研究所小学数学课程教材研究开发中心2005.6.1

5.线性方程组解的结构的分类教学篇五

一、关于n 个未知数n 个方程的线性方程组 ( 未知量个数与方程个数相等)

二、关于 n 个未知数 m 个方程的线性方程组 ( 未知量个数与方程个数不等)

在求解线性方程组时大量遇到: 方程的个数与未知数的个数不相等, 或虽方程的个数与未知数的个数相等, 但系数行列式却等于零, 这就是要讨论更一般的线性方程组. 讨论主要解决以下三个问题: ( 1) 如何判别线性方程组是否有解; ( 2) 解是否唯一; ( 3) 解的结构及如何求解.

分类讲解就是在此情况下分别研究齐次和非齐次线性方程组解的结构, 尤其是非齐次线性方程组与其导出组的解之间的关系.

1. 齐次线性方程组解的结构

齐次线性方程组 ( 1.4) 的矩阵形式为

AX = O, 其中, A = [aij ] m×n, X =( x1, x2, …, x n)T, O = (0, 0, …, 0) T, 系数矩阵、增广矩阵的秩分别为r ( A) , r ( A 0) .

由于r ( A 0) ≡r ( A) , 因此齐次方程组恒有解.

当r ( A) =n时, 方程组 ( 1.4) 只有零解;

当r ( A)

( 1) 若X1, X2是 ( 1. 4) 的解, 则X1+ X2也是 ( 1. 4) 的解.

( 2) 若X1是 ( 1. 4) 的解, 则c∈R, cX1也是 ( 1. 4) 的解.

( 3) 若X1, X2, …, Xm均是 ( 1. 4) 的解, 则其线性组合k1X1+ k2X2+ … + kmXm也是 ( 1. 4) 的解, ki是任意的常数 ( i =1, 2, …, m) .

由此可知, 若方程组 ( 1. 4) 有非零解, 则一定有无穷多个解. 这些解就构成一个解向量组, 如果能求出这个向量组的一个极大无关组 ( 基础解析) , 则齐次线性方程组的全部解可由这个极大无关组线性表示, 可见解齐次线性方程组的关键在于求解向量组的基础解析.

如何求基础解析并表示出全部解呢? 有如下定理, 定理的证明过程也就是求齐次线性方程组的基础解析及全部解的一般方法.

定理: 如果齐次线性方程组有非零解, 则它一定有基础解析, 并且基础解析所含的解向量的个数等于n - r, 其中r= r ( A) , n是未知量的个数.

证设r ( A) =r, 并不妨设左上角的r阶子式不等于零 ( 因为总可以通过对换方程的位置及未知量重新编号得到所设) , 经过初等行变换, 系数矩阵A的行简化梯矩阵为

2. 非齐次线性方程组解的结构

非齐次线性方程组的一般形式为 ( 1. 2) , 矩阵形式为AX = b ( 1. 3) , 其中, 有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩, 即r ( A) = r ( A b) . 当r ( A b) = n时, ( 1. 2) 有唯一解; 当r ( A b) < n时, ( 1. 2) 有无穷多个解.

若b =0得到齐次线性方程组AX =O ( 1.4) 称为非齐次线性方程组AX =b的导出组.

非齐次线性方程组的解与其导出组的解之间有着密切的关系: 非齐次线性方程组 ( 1.2) 的任一个解X都可表示成

其中X*是非齐次线性方程组 ( 1.2) 的一个解 ( 常称为 ( 1.2) 的特解) , X0是 ( 1.2) 的导出组 ( 1.4) 的一个解.

由于 ( 1.2) 的任一个解都能表示成 ( 1.8) 的形式, 因此, 当X0取遍导出组 ( 1.4) 的全部解时, ( 1.8) 就取遍了 ( 1.2) 的全部解, 即通解.

由此可知, 若非齐次线性方程组有解, 只要求出它的一个特解X*及其导出组的基础解析X1, X2, …, Xn - r, 则其全部解 ( 通解) 为:

其中C1, C2, …, Cn - r为任意常数, n为未知量的个数, r为系数矩阵的秩.

三、总结

解线性方程组要根据方程组中所含方程的个数与未知量的个数是否相同进行分类考虑:

( 1) 若个数相同且系数行列式不为零, 则有唯一解, 用克拉默法则求解;

( 2) 若个数相同但系数行列式为零或个数不同, 首先要考虑是否有解;

( 3) 若r ( A b) = r ( A) , 则方程组一定有解, 由于齐次方程组 ( 1.4) 中一定有r ( Ab) = r ( A) , 所以 ( 1.4) 总是有解的, r ( A b) ≠r ( A) , 则方程组无解;

( 4) 若r ( A b) =r ( A) = n, 方程组有唯一解, ( 1.4) 有唯一的零解;

( 5) 若r ( Ab) = r ( A) < n, 方程组有无穷多个解, ( 1.4) 有无穷多个非零解, ( 1. 4) 中当m < n或当m = n且detA = 0, 必有r ( A b) = r ( A) < n;

( 6) 若非齐次方程组有无穷多个解, 求解的关键是求出其导出组齐次方程组的基础解析, 从而才能表示出非齐次方程组的通解.

摘要：线性代数中线性方程组解的结构分类进行教学, 有助于学生系统掌握线性方程组的理论和求解方法, 能明确思路, 引导学生自主探索和对所学知识的深化总结.

关键词：线性方程组,解的结构,分类教学

参考文献

[1]姚孟臣.高等数学 (二) (线性代数、概率统计) (第二版) [M].北京:高等教育出版社, 2008.

[2]张良云.线性代数 (第二版) [M].北京:高等教育出版社, 2003.

6.5.2解方程(一)教学设计篇六

“一元二次方程的解法”一节内容是《一元二次方程》一章的重点内容，共分四小节。教材安排的教学顺序是：1.直接开平方法;2.因式分解法;3.配方法;4.公式法。用这四种方法解方程各有长处，直接开平方法和因式分解法虽然简便易行，但并不是所有一元二次方程都能用这两种方法来解;配方法适用于所有的方程，是解方程的通法，但配方的过程比较麻烦;公式法是直接利用配方导出的，适用于解所有的一元二次方程，不如直接开平方法和因式分解法快捷。在具体解方程时，应根据方程的特点具体选择恰当的方法求解。

依据《数学课程标准》所编写的苏科版教科书中解一元二次方程需要转化成一元一次方程，而转化的方法通常有两种：通过开方降次转化或通过分解因式降次转化。将因式分解法解方程前置，紧跟在直接开平方法后，就是遵循了这样的编排思想。用这两种方法解方程都比用其它两法解方程简单这也体现了从简单到复杂的学习顺序。

二、教学片段与反思

片段1：在学完一元二次方程的解法并将它用于解决实际问题的教学中得到方程：x2-8x-20=0，我随口问学生：“此方程用何方法解好?”许多学生脱口而出：“配方法。”定睛一看，其中还不乏自己的一些得意弟子，不禁有些失望，继而追问：“真的是配方法吗?”这时才有零星几个声音小声的回答：“因式分解法。”课还在继续，但我的脑子里却开始有一个问题挥之不去：学生在解一元二次方程时为何对配方法如此情有独钟?回想这几天的作业，用合适的方法解方程，许多学生无论何方程都喜欢用配方法来解。甚至于形如(x-1) 2+x=6 (x+1) (x-1)这样的方程也有人愿意不辞辛苦地将其化成ax2+bx+c=0 (a≠0)的一般形式再来配方求解。

反思：配方法是一种重要的数学方法，涉及数学内容的方方面面，仅在本章知识中，除运用于解方程外，在求根公式的推导、根的判别式的应用中都运用到配方法，因此配方法作为一种重要的数学方法必须让学生掌握，但就解法的便捷性而言，它逊于其它三种方法。而学生为什么要弃“简”就“繁”呢?反思自己的教学结果，说明学生在学习一元二次方程的解法时，还没有形成好的思维策略，在解法的选择顺序上还没有养成“先特殊(直接开平方法，因式分解法)，后一般(公式法、配方法)”的思维习惯。

片段2：在学习用配方法解一元二次方程时我出示了如下两题：

方程x2-2x-1=0用已学的直接开平方法、因式分解法均不能求解，那应该怎样来达到降次转化的目的呢?解决数学问题的基本思路都是以旧解新，用原有的认知结构束“对付”新的问题，按“思维定势”去检索自己的“武器库”，搜寻合用武器、方法，再瞄准新靶。为了帮助学生找到合适的方法来解决这个新问题，我先让学生解了这个方程：x2-2x+1=2，学生很轻松地将其变形为(x-1) 2=2，然后用直接开平方法求解。得到我的启发，学生学会了通过配方将x2-2x-1=0变形为(x-1) 2=2来求解。顺势而下我让学生解方程：x2-4x+3=0。这时我听到有学生很快地报出了答案，而且听到了有学生在小声地讲“用因式分解法”。可惜我当时急于教会学生用配方法来解方程，来完成本节课的教学目标，担心因式分解法的出现会干扰这一主题，因此将这样的声音视为了超出自己预设之外的“不和谐音符”。于是我继续引导学生如何配方再开方降次。为了考查学生对配方法的理解，我还出示了四道习题：

在总结了配方法后，当然又进行了一系列的由简到繁的解方程的练习，我自认为对于学生在理解的基础上去掌握这一基本技能的教学是成功、有效的。

反思：再次回顾片段2的教学过程，相信学生在学习中一定还有这样的思维火花在闪动：方程x2+2x-3=0、x (x+2)=24还可以用因式分解法来解，而且比配方法更简单。但在我“忽略”掉了第一个“不和谐的声音”后，学生顺应了我的“暗示”，投入到配方法解方程的学习中，心无旁骛。如果我在应对自己预设之外的这一声音时，变“不和谐”为“精彩”，鼓励学生回顾我们所解的这些方程中除了配方法外，哪些还可用前面所学的方法来解，进而比较一下不同解法的特点，那么就能帮助学生在学习新知识时不断地与旧知识进行回顾、比较，找出知识间的内在联系和规律，相信学生也就不会出现在解方程时只对“配方法”情有独钟的尴尬了。

三、对教法的的建议

配方法、公式法早在公元前19世纪就已经为巴比伦人所知，而因式分解法的出现却迟了整整3500年。那么因式分解法最初是如何被数学家想到的?从哈里奥特的例子中，我们可以看出，他是先遇到了方程(x-b) (x+c)=0，将左边展开得到x2-bx+cx-bc=0，由此反过来想到用因式分解法来解一元二次方程的。在笛卡尔的《几何学》中，我们也可以看出这一点。他将一元一次方程x-2=0和x-3=0相乘，得一元二次方程程x2-5x+6=0，它的两根为2和3。

从一元二次方程解法的发展历史来看，我们在教学的安排顺序上是否也可调整如下：1.直接开平方法，2.配方法，3.公式法，4.因式分解法。这样应该是更符合学生的认知发展规律。也许“片段2”中，当教师在“用配方法解方程”的教学时出示例题程x2-4x+3=0，学生更能沉浸在用配方法得出方程解的喜悦中，而在因式分解法的教学中再将学生以前解过的一些方程拿出来解，相信因式分解法无可替代的简便性一定能给学生的心灵以触动和震撼。解一元二次方程的基本思路是降次，通过对“因式分解降次”与“开方降次”的这种比较性的学习，使学生更能有效地突破原有的思维方式或思维定势，使他们经历数学变化的历程，享受那种数学发现的喜悦，这样学生得到的便不仅仅是数学知识和方法，更应是智慧的启迪、创新的诱发和对数学解题中“简单美”的不懈追求，更好地激发学生的学习兴趣。相信对“配方法情有独钟的学生”会少许多。

四、对教、学的再认识

1. 认识到运算也是一种推理

初三数学教师常常因为时间的紧迫性，在教学中轻运算、重推理。对一元二次方程解法的教学中以传递知识为最终目的，对学生缺乏解题方法的总结，解题思维策略的指导。殊不知运算也是一种推理。对一系列数据实施运算，就是根据运算法则逐步推导，将所求对象有根据地导出结果的过程，所以提高学生的运算能力与提高学生的逻辑推理能力是相辅相承的。在教学中，我们应该重视运算的教学，并且将其作为培养学生良好思维品质，养成一题多解，解后反思的好习惯的知识载体。一元二次方程的解法是学习后面许多知识的重要基础，而且在方程解法的学习过程中所渗透的转化、比较、配方等数学思想方法，以及一道方程可能有的多种解法，都有助于学生思维多向性的培养，以及思维品质的提高。实际上，知识与能力是相辅相承的，在基础知识的教学中，教师应注意让学生对知识的掌握条理分明、系统严谨，对知识的运用达到“召之既来，来之即用”的高度。

2. 在教和学中重视回顾与反思

“积学以储宝”是古人的治学秘诀，“不积跬步，无以至千里;不积小流，无以成江海”，“合抱之木，生于毫末;九层之台，起于累土;千里之行始于足下。”如果我们不能经常反思自己的教学，那么必然将忽视学生对知识的回顾、反思，对知识的学习就会像“狗熊掰玉米”一样地不断丢弃，学生又何以“行千里，成江河”呢?对知识的不断反思正是我们培育“毫末”，广积“垒土”，从足下做起的学习良方。

学生在解一元二次方程时对配方法的“情有独钟”，恰恰反映了在学习和解题时缺乏回顾和反思，前学后忘。而对学生“不和谐音符”思维火花的扼杀，也反映了教师本身对教学的回顾、反思的不足。在对大量学生的学习情况分析中表明，学习中的种种缺陷(例如：能听懂但不会做题，公式回背但不会用，解题思路狭窄，不会提问题，等等)均与学生学习中欠缺“回顾、反思”的习惯有关。这就需要我们在教学中正确引导、严格示范，注重引导学生新旧知识的对比联系，鼓励学生“浮想联翩”，在设计教案时，充分估计到教学中可能出现的各种情况，能应对学生提出的超出课堂预设的“怪问题”。教师应做到“放得出，收得住”，准确地驾驭教学进程，循序渐进地完成教学任务，将学生能力的培养不断地推向新的高度。

参考文献

[1]董林伟主编.初中数学有效教学设计与研究.

[2]郭民, 卢秀双.数学学习策略.