高二数学1-2推理与证明测试题

高二数学1-2推理与证明测试题（共10篇）（共10篇）

1.高二数学1-2推理与证明测试题 篇一

lzh 111则不等式右端f(n)的f(n)，22223n

lzh 第 2 页 2013-5-311、下面是按照一定规律画出的一列“树型”图：经观察可以发现：

图（2）比图（1）多出2个“树枝”；图（3）比图（2）多出5个“树枝”；

图（4）比图（3）多出10个“树枝”；

(1)(2)(3)(4)(5)…照此规律，图（7）比图（6）多出_______个“树枝”.1用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：

„

③ ② ①

13、按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为．

x2y

2若P则过Po作椭圆的两条切线的切点为P1、P2，则直线P1P2（称0(x0,y0)在椭圆221外，ab

为切点弦P1P2）的方程是x0xy0y21．那么对于双曲线则有如下命题：若P0(x0,y0)在双曲线a2b

x2y

21（a＞0,b＞0）外，则过Po作双曲线的两条切线的切点为P1、P2，则切点弦P1P2的a2b

2直线方程是．

14、下列是关于复数的类比推理：

①复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则；

②由实数绝对值的性质|x|2x2类比得到复数z的性质|z|2z2；

③已知a,bR，若ab0，则ab类比得已知z1,z2C，若z1z20，则z1z2;④由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义.其中推理结论正确的是．．

二、解答题：

15.用三段论证明函数f(x)x2x在,1上是增函数.2

lzh

222第 3 页 2013-5-3 16．已知：sin30sin90sin1503 2

sin25sin265sin2125

17．已知a,b,c均为实数，且ax2y

求证：a,b,c中至少有一个大于0.18．已知abc, 求证：2通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题，并给出的证明.2,by22z3,cz22x6，114.abbcac

lzh 第 4 页 2013-5-3

219．设a,b,c为任意三角形三边长Iabc,sabbcac.试证：I4s.20．通过计算可得下列等式：

2212211

3222221

4232231

┅┅

(n1)2n22n1

将以上各式分别相加得：(n1)2122(123n)n.即：123nn(n1)2

2222类比上述求法：请你求出123n的值.

2.高二数学1-2推理与证明测试题 篇二

自主整理

1.合情推理的结论有时不正确,对于数学命题,需要通过___________严格证明.2.___________是最常见的一种演绎推理形式.第一段讲的是一般性道理,称为___________;第二段讲的是研究对象的特殊情况,称为_____________;第三段是由大前提和小前提作出的判断,称为_____________.高手笔记

1.三段论是演绎推理的一般模式,可表示为: 大前提:M是P, 小前提:S是M, 结论:S是P.2.在应用三段论证明的过程中,因为作为一般性道理的大前提被人们熟知了,所以书写时往往省略大前提.3.合情推理是认识世界、发现问题的基础.结论不一定正确.演绎推理是证明命题、建立理论体系的基础,二者相辅相成,在数学中证明一个命题,就是根据命题的条件和已知的定义、公理、定理,利用演绎推理的法则将命题推导出来,只要在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下,得到的结论就正确.名师解惑 三段论推理

剖析:三段论法的论断基础是这样一个公理：“凡肯定(或否定)了某一类对象的全部,也就肯定(或否定)了这一类对象的各部分或个体.”简言之:“全体概括个体.”

三段论中大前提是一个一般性结论,都具有的结论是共性,小前提是指其中的一个,结论为这一个也具有大前提中的结论,要得到一个正确的结论,大前提和小前提都必须正确,二者中一个有错误,结论就不正确,如所有的动物都用肺呼吸,鱼是动物,所以鱼用肺呼吸,此推理显然错误,错误的原因是大前提错了.再如所有的能被2整除的数是偶数.合数是偶数所以合数能被2整除.错误的原因是小前提错了.讲练互动

【例1】梯形的两腰和一底如果相等,它的对角线必平分另一底上的两个角.已知在如图所示的梯形ABCD中,AD∥BC,AD=DC=AD,AC和BD是它的对角线.求证:AC平分∠BCD,BD平分∠CBA.分析：本题可由三段论逐步推理论证.证明：(1)等腰三角形两底角相等,(大前提)△DAC是等腰三角形,DA、DC为两腰,(小前提)∴∠1=∠2.(结论)(2)两条平行线被第三条直线截出的内错角相等,(大前提)∠1和∠3是平行线AD、BC被AC截出的内错角,(小前提)∴∠1=∠3.(结论)(3)等于同一个量的两个量相等,(大前提)∠2和∠3都等于∠1,(小前提)∴∠2=∠3,(结论)即AC平分∠BCD.(4)同理DB平分∠CBA.绿色通道

命题的推理证明为多个三段论,称为复合三段论.事实上,每一次三段论的大前提可不写出,某一次三段论的小前提如果是它前面某次三段论的结论,也可不再写出,即过程可简写.变式训练

1.如图所示,D、E、F分别是BC、CA、AB边上的点,∠BFD=∠A,DE∥BA.求证:ED=AF.证明:(1)同位角相等,两条直线平行,(大前提)∠BFD与∠A是同位角,且∠BFD=∠A,(小前提)∴DF∥EA.(结论)(2)两组对边分别平行的四边形是平行四边形,(大前提)DE∥BA,且DF∥EA,(小前提)∴四边形AFDE为平行四边形.(结论)(3)平行四边形的对边相等,(大前提)ED和AF为平行四边形的对边,(小前提)∴ED=AF.(结论)【例2】在四边形ABCD中,AB=CD,BC=AD(如图).求证:ABCD为平行四边形.写出三段论形式的演绎推理.分析：原题可用符号表示为(AB=CD)且(BC=AD)ABCD.用演绎推理来证明论题的方法,也就是从包含在论据中的一般原理推出包含在此题中的个别特殊事实.为了证明这个命题为真,我们只需在假设前提(AB=CD且BC=AD)为真的情况下,以已知公理、已知定义、已知定理为依据,根据推理规则,导出结论ABCD为真.证明：(1)连结AC,(公理)(2)(AB=CD)且(BC=AD),(已知)AC=AC,(公理)(AB=CD)且(BC=DA)且(CA=AC).(3)平面几何中的边边边定理是:有三边对应相等的两个三角形全等.这一定理相当于: 对于任意两个三角形,如果它们的三边对应相等,则这两个三角形全等.(大前提)如果△ABC和△CDA的三边对应相等.(小前提)则这两个三角形全等.(结论)符号表示:(AB=CD)且(BC=DA)且(CA=AC)△ABC≌△CDA.(4)由全等形的定义,可知全等三角形的对应角相等.这一性质相当于: 对于任意两个三角形,如果它们全等,则它们对应角相等.(大前提)如果△ABC和△CDA全等,(小前提)则它们的对应角相等.(结论)用符号表示,就是

△ABC≌△CDA(∠1=∠2)且(∠3=∠4)且(∠B=∠D).(5)两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行.(平行线判定定理)(大前提)直线AB、DC被直线AC所截,若内错角∠1=∠2, ∠1=∠2.(小前提)(已证)AB∥DC,BC∥AD.(AB∥DC)且(BC∥AD).(结论)(同理)(6)如果四边形的两组对边分别平行,那么这个四边形是平行四边形.(平行四边形定义)(大前提)在四边形ABCD中,两组对边分别平行,(小前提)四边形ABCD为平行四边形.(结论)符号表示为AB∥DC,且AD∥BC四边形ABCD为平行四边形.绿色通道

像上面这样详细地分析一个证明的步骤,对于养成严谨的推理习惯,发展抽象思维能力,是有一定的积极作用,但书写起来非常烦琐,一般可以从实际出发省略大前提或小前提,采用简略的符号化写法,比如,本例题的证明,通常可以这样给出: 证明:连结AC.ABCD12AB//DCBCDA△ABC≌△CDA四边形ABCD为平行四边形.34BC//ADCAAC变式训练

2.如图所示为三个拼在一起的正方形,求证:α+β=

.4

,0<β<, 2211∴0<α+β<π.又tanα=,tanβ=，2311tantan23=1.∴tan(α+β)=111tantan123证明:根据题意0<α<∵0<α+β<π, ∴在(0,π)内正切值等于1的角只有一个∴α+β=

.4.4【例3】如图所示,A、B、C、D四点不共面,M、N分别是△ABD和△BCD的重心.求证:MN∥平面ACD.分析：证明线面平行,关键是在面内找到一条直线与已知直线平行即可,本题是三段论证明的应用.证明：连结BM、BN并延长分别交AD、DC于P、Q两点,连结PQ.∵M、N分别是△ABD和△BCD的重心, ∴P、Q分别为AD、DC的中点.又∵BMBN=2=,∴MN∥PQ.MPNQ又∵MN平面ADC,PQ平面ADC, ∴MN∥平面ACD.绿色通道

本题为一个三段论推理的问题,可以简写,遵循的原则是:如果ab,bc,则ac.变式训练

3.如图所示,P是ABCD所在平面外一点,Q是PA的中点,求证:PC∥平面BDQ.证明:连结AC交BD于O, ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AO=OC.连结OQ, 又OQ是△APC的中位线,∴PC∥OQ.∵PC在平面BDQ外,OQ平面BDQ, ∴PC∥平面BDQ.632【例4】证明函数f(x)=x-x+x-x+1的值恒为正数.分析：可对x的所有不同取值逐一给出证明,即完全归纳推理.证明：当x<0时,f(x)各项都是正数, ∴当x<0时,f(x)为正数;62当0≤x≤1时,f(x)=x+x(1-x)+(1-x)>0;33当x>1时,f(x)=x(x-1)+x(x-1)+1>0.综上所述,f(x)的值恒为正数.绿色通道

有关代数运算推理,也可用三段论表述,注意大前提和小前提必须明确.变式训练 4.证明函数f(x)=-x2+2x在(-∞,1］上是增函数.证明:任取x1、x2∈(-∞,1］,且x10.∵x1、x2≤1,x1≠x2, ∴x2+x1-2<0.∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)

2+2x在(-∞,1］上是增函数.教材链接

3.高二数学1-2推理与证明测试题 篇三

高中数学新课标讲座之复数与推理与证明

【基础回归】

1、(2009广东)下列n的取值中，使i=1（i是虚数单位）的是（）

A．n=

22、（2009全国）已知

B．n=

3C．n=

4D．n=

5n

z

=2+i，则复数z=（）1＋i

B．1-3iC．3+iD．3-i

17i3、（2009安徽）i是虚数单位，若abi(a,bR)，则乘积ab的值是（）

2iA．－1

5B．－

3C．3

D．15

A．-1+3i4、设i为虚数单位，则复数z

A．

高中数学新课标讲座之复数、推理与证明石嘴山市光明中学 潘学功

(1i)2(34i)

2〖例4〗已知复数z满足: z13iz,求的值。2z

〖例5〗设函数f(x)13xx2(m21)x(xR)，其中m0。

3（Ⅰ）函数f(x)在区间（－1，1）上不单调，求m的取值范围；（Ⅱ）求函数的单调区间与极值。

【能力培养】

1、（2008浙江）已知a是实数，A．

12、（2008辽宁）复数11的虚部是（）2i12i

A．iai是纯虚数，则a=（）1iB．-1C．2D．-2

15B．15C．i 1

5D．1

53、（2008宁夏）已知复数z1i，则z

2（）z

1A． 2B．－2C．2iD．－2i4、由数列1，10，100，1000，„„，猜测该数列的第n项可能是（）

A．10nB．10n

1nC．10n1D．11 n5、设数列{an}的前n项和为Sn，令TnS1S2Sn，称T为数列a，a，„„，a的“理想数”，n12n

已知数列a1，a2，„„，a500的“理想数”为2004，那么数列2，a1，a2，„„，a500的“理想数”为（）

A．2008B．2004C．2002D．2000 1,x0(ab)(ab)f(ab)(ab)的值为（）

6、设f(x)，则21,x0

A．aB．bC．a, b中较小的数D．a, b中较大的数

*

7、已知数列{an}为等差数列，若a1a,anb(n2，nN)，则an1nba。类比等差数列的上述 n1

*结论，对于等比数列{bn}(b0,nN*)，若b1c,bnd(n3,nN)，则可以得到bn1a3i8．若为实数，则实数a29i

9．如图所示，函数yf(x)的图象在点P处的切线方程是yx8，则f5

4.高二数学1-2推理与证明测试题 篇四

推理与证明

1、（连云港市2013届高三期末）二维空间中，圆的一维测度（周长）l＝2r，二维测度（面

4积）S＝r2；三维空间中，球的二维测度（表面积）S＝4r2，三维测度（体积）V＝r3.应3

用合情推理，若四维空间中，“超球”的三维测度V＝8r，则其四维测度W＝▲.4答案：2r;

2、（镇江市2013届高三期末）观察下列等式：

－3113141＝1－，×＋×11×2221×222×32313141511 ×＋1－，„，由以上等式推测到一个一般3×21×222×323×424×2*的结论：对于n∈N，n＋231411×＋××▲． 1×222×32nn＋12答案：1

5.高二数学1-2推理与证明测试题 篇五

(A)1M(B)2M(C)(1,2)M(D)(2,1)M 2.下列说法正确的是（）

Ａ．由归纳推理得到的结论一定正确Ｂ．由类比推理得到的结论一定正确

Ｃ．由合情推理得到的结论一定正确Ｄ．演绎推理在前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确

3.设全集U1,2,3,4,5,6，集合A1,2,3,,B2,4,5，则CU(AB)等于（）（A）2（B）6（C）1,3，4，5，6（D）1，3，4,5

－3+i

4.复数z＝的共轭复数是()

2+i

（A）2+i（B）2－i（C）－1+i（D）－1－i

5．下列推理是归纳推理的是（）（）A．A、B是定点，动点P满足|PA||PB|2a|AB|，得P点的轨迹是椭圆 B．由a11,an3n1，求出S1,S2,S3，猜想出数列的前n项和Sn的表达式

C．由圆xyr的面积为r，猜想出椭圆D．利学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇

xa



yb

1的面积为ab

6.若复数(m23m4)(m25m6)i是虚数，则实数m满足（）A.m1B.m6C.m1或m6D.m1且m67．设I=R，M={x|x<0},N={x|-1≤x≤1},则(CUM)∩N=()A.{x|0

D.{x|x≥-1}

A．“若a3b3,则ab”类推出“若a0b0,则ab”；B．“若(ab)cacbc”类推出“(ab)cacbc”；C．“若(ab)cacbc” 类推出“abab（c≠0）”；

c

c

c

（ab）ab” 类推出“（ab）ab” D．“

nnnnnn

9．一同学在电脑中打出如下若干个圈:○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…，若将此若干个圈

依此规律继续下去,得到一系列的圈,那么在前120个圈中的●的个数是（）A.12B.13C.14D.15

10、由a11，an1

3410

3an3an

1给出的数列an的第34项是().1

4104100

11．已知（x+i）（1-i）=y，则实数x，y分别为（）

A.B.C.D.A.x=-1，y=1B.x=-1，y=2C.x=1，y=1D.x=1，y=

212． “x=-1”是复数z(x21)(x1)i为纯虚数的（）

A．充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 x2x20

13.已知不等式的解集是，则实数a的取值范围是()

xa

(A)a＞2(B)a＜1(C)a≥2(D)a≤1 14.已知复数z =(1 – i)(2 – i)，则| z |的值是

3i

15.已知i是虚数单位，则的实部为_______;虚部为_________

1i16．观察下列不等式：1

12,1

12131,1

1213

1732,1

1213

52,

则第6个不等式为________________________________

17．若复数z满足z(m2)(m1)i（i为虚数单位）为纯虚数，其中mR则z____

mm6

m

18．当实数m为何值时，复数z（Ⅲ）纯虚数？

(m2m)i为（Ⅰ）实数？（Ⅱ）虚数？

19.已知a,b,c成等比数列，a,x,b成等差数列，b,y,c成等差数列，求证：

20．若a10且a11，an1

a1

ax



cy

2

2an1an

(n1,2,，)(1)求证：an1an；(2)令，写出a2、a3、a4、a5的值，观察并归纳出这个数列的通项公式an；(3)证

p

an

an

明：存在不等于零的常数p，使



6.高二数学1-2推理与证明测试题 篇六

1.“铜、铁、铝、金、银能导电，所以一切金属都能导电”此推理方法是()

A．演绎推理B．类比推理C．归纳推理D．以上都不对

2.已知复数zi，则复数z的模为（）1＋i

A

111B

．D．+i 2223、设条件甲：x=0，条件乙：x＋yi（x，y∈R）是纯虚数，则（）

A、甲是乙的充分非必要条件B、甲是乙的必要非充分条件

C、甲是乙的充分必要条件D、甲是乙的既不充分，又不必要条件

4、如图所示，U是全集，A,B是U的子集，则阴影部分所表示的集合是

（）

A、ABB、ABC、BCUAD、ACUB

5.已知a,b为实数，2a2b是log1alog1b的（）

2A.充分不必要条件B。必要不充分条件C。充要条件D。不充分不必要条件

6．命题：“若a2b20(a,bR)，则ab0”的逆否命题是（）

A.若ab0(a,bR)，则a2b20B.若ab0(a,bR)，则a2b20

C.若a0或b0(a,bR)，则a2b20D.若a0,且b0(a,bR)，则a2b20

7.由平面直角坐标系中，圆的方程为(xa)(yb)r,推测空间直角坐标系中球的方程为()

A.(xa)(yb)(zc)rB.(xa)(yb)(zc)r

C.(xa)(yb)rD.(xa)(yb)(zc)r

8.已知直线a，b，平面，且b，那么“a//b”是“a//α”的（）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件

9、若2＋3i是方程x2+mx+n＝0的一个根，则实数m，n的值为（）

A、m＝4，n=－3B、m=－4，n＝13C、m＝4，n=－21D、m=－4，n＝－5 ***33

3110.已知p：不等式 x2xm0的解集为R；q：指数函数fxm 为增函数．则42x

p是q的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C.充要条件D．既不充分也不必要条件

11.i为虚数单位，则22(1i)

12..原命题：“设a、b、cR,若a

题中，真命题共有_____个 b,则ac2＞bc2”以及它的逆命题，否命题、逆否命

13.已知复数w满足2w4(3w)i(i为虚数单位），则|wi|＝________________

14.已知集合Ax|x1，Bx|xa，且ABR，则实数a的取值范围是_____________

15.已知命题p:log(m2)5log(m2)3；命题q:函数yx24x2的定义域为0,m，值域为6,2；若pq为真命题，同时pq为假命题,则实数m的取值范围是.16.已知全集UR，函数f(x)x1

x2的定义域为集合A，集合Bxxa.（1）若a1，求；

（2）若，求实数a的取值范围。

2217.已知复数z(4m)(mm6)i.（1）若m1，求复数1的虚部；z

（2）若z为纯虚数，求实数m的值

7.高中数学推理与证明(第7讲) 篇七

2，>>，„若a>b>0且m>0，则()10811102521a＋ma

A．相等B．前者大

推理与证明是数学的基本思维过程，它有机地渗透到高中数学的各个章节，是高考必考的内容之一．新课标考试大纲将抽象概括作为一种能力提出，进一步强化了合情推理与演绎推理的要求．因此在学习过程重视合情推理与演绎推理．高考对直接证明与间接证明的考查主要以直接证明中的综合法为主．

【知识梳理】

1、归纳推理：是由部分到整体、由特殊到一般的推理。

归纳推理的一般步骤 

通过观察个别情况发现某些相同的性质

从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题猜想证明

2、类比推理：是由特殊到特殊的推理.类比推理的一般步骤 

找出两类对象之间可以确切表述的相似特征 

用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征从而得出一个猜想 检验猜想。

3、合情推理 归纳推理和类比推理都是根据已有的事实经过观察、分析、比较、联想再进行归纳、类比然后提出猜想的推理.归纳推理和类比推理统称为合情推理

4、演绎推理 从一般性的原理出发推出某个特殊情况下的结论演绎推理的一般模式———“三段论”包括

⑴大前提-----已知的一般原理

⑵小前提-----所研究的特殊情况

⑶结论-----据一般原理对特殊情况做出的判断

5、直接证明与间接证明

⑴综合法利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等经过一系列的推理论证最后推导出所要证明的结论成立.要点顺推证法由因导果.⑵分析法从要证明的结论出发逐步寻找使它成立的充分条件直至最后把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件已知条件、定理、定义、公理等为止.要点逆推证法执果索因.⑶反证法一般地假设原命题不成立经过正确的推理最后得出矛盾因此说明假设错误从而证明了原命题成立.的证明方法.它是一种间接的证明方法.反证法法证明一个命题的一般步骤

①反设假设命题的结论不成立

②推理根据假设进行推理,直到导出矛盾为止

(3)归谬断言假设不成立(4)结论肯定原命题的结论成立.6、数学归纳法 数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法.用数学归纳法证明命题的步骤;

(1)归纳奠基证明当n取第一个值时命题成立

(2归纳递推假设k=n 时命题成立推证当k=n+1时命题成立.【金题精讲】

【例1】ABC的三个内角A,B,C成等差数列，求证：113 abbcabc

【例2】4．设f(x)sin(2x)(0),f(x)图像的一条对称轴是x

（1）求的值；

（2）求yf(x)的增区间；

（3）证明直线5x2yc0与函数yf(x)的图象不相切。8.【例3】．（2102福建）某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数。

（1）sin213°+cos217°-sin13°cos17°

（2）sin215°+cos215°-sin15°cos15°

（3）sin218°+cos212°-sin18°cos12°

（4）sin2（-18°）+cos248°-sin2（-18°）cos248°

（5）sin2（-25°）+cos255°-sin2（-25°）cos255°

Ⅰ 试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数

Ⅱ 根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广位三角恒等式，并证明你的结论。

【例4】用数学归纳法证明123n2222n(n1)(2n1)，(nN)6

变式：数学归纳法证明： 11111nn 23421

【达标训练】

1用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（）。

(A)假设三内角都不大于60度；(B)假设三内角都大于60度；

(C)假设三内角至多有一个大于60度；(D)假设三内角至多有两个大于60度。

2.（2012陕西）察下列不等式

113 222

115123，233

11151222 2343

„„

照此规律，第五个不等式为.．．．

3.（2012湖北）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数。他们研究过如图所示的三角形数：

4已知n为正偶数，用数学归纳法证明

111111112()时，若已假设nk(k2为偶 234n1n2n42n

（）

B．nk2时等式成立

D．n2(k2)时等式成立数）时命题为真，则还需要用归纳假设再证A．nk1时等式成立 C．n2k2时等式成立

5一同学在电脑中打出如下若干个圈:○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●„若将此若干个圈依此规律继续下去,得到一系列的圈,那么在前120个圈中的●的个数是（）

A．12B.13C.14D.15

6数列an中，a1=1，Sn表示前n项和，且Sn，Sn+1，2S1成等差数列，通过计算S1，S2，S3，猜想当n≥1时，Sn=（）

2n1 A．n1 22n1B．n1 2C．n(n1)2nD．1－12n1

8设a，b，x，y∈R，且

1119已知正数a,b,c成等差数列，且公差d0，求证：，不可能是等差数列。abc；

10知数列{an}满足Sn＋an＝2n＋1,(1)写出a1, a2, a3,并推测an的表达式；

8.高二数学1-2推理与证明测试题 篇八

初中学生要学好几何，对能力的训练和培养十分重要，教师要循序渐进，不要急于求成。真正让学生把握知识的来龙去脉，让学生在主动获得知识的过程中，学会有关数学思想方法，形成良好思维习惯，从而为能力发展奠定基础。

1、识图能力先要由简到繁，再由繁到简，反复训练感知，提高识别抗干扰能力

2、几何语言能力应着手从以下三点培养：①定义、概念、定理的文字语言与图形和符号语言互转能力；②由图形抽象文字语言；③准确、简练的文字语言概括能力

9.高二数学1-2推理与证明测试题 篇九

1.已知向量m＝(1，1)与向量n＝(x，2－2x)垂直，则x＝________．

答案：

2解析：m·n＝x＋(2－2x)＝2－x.∵ m⊥n，∴ m·n＝0，即x＝2.332.用反证法证明命题“如果a>b，那么a>b”时，假设的内容应为______________． 3333答案：a＝b或a

3333解析：根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，即a＝b或a5－7 解析：由分析法可得，要证6－2>5－7，只需证67>5＋22，即证13＋242>13＋410，即42>210.因为42>406－22>57成立．

4.定义集合运算：A·B＝{Z|Z＝xy，x∈A，y∈B}，设集合A＝{－1，0，1}，B＝{sinα，cosα}，则集合A·B的所有元素之和为________． 答案：0

π解析：依题意知α≠kπ＋，k∈Z.423π2①α＝kπZ)时，B＝，422

A·B＝022，－； 22

π②α＝2kπ或α＝2kπ＋(k∈Z)时，B＝{0，1}，A·B＝{0，1，－1}； 2

π③α＝2kπ＋π或α＝2kπZ)时，B＝{0，－1}，A·B＝{0，1，－1}； 2

kπ3π④α≠α≠kπ＋Z)时，B＝{sinα，cosα}，A·B＝{0，sinα，cosα，24

－sinα，－cosα}．

综上可知A·B中的所有元素之和为0.115.(选修12P44练习题4改编)设a、b为两个正数，且a＋b＝1＋≥μ恒成ab

立的μ的取值范围是________．

答案：(－∞，4]

11baba11解析：∵ a＋b＝1，且a、b为两个正数，∴＋(a＋b)＝2＋≥2＋abababab

1＝4.要使得≥μ恒成立，只要μ≤4.ab

1.直接证明

(1)定义：直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证明方法．(2)一般形式

本题条件已知定义

Þ已知公理已知定理

AÞBÞC„本题结论．

(3)综合法

① 定义：从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止．这种证明方法称为综合法．

② 推证过程

已知条件Þ„Þ„Þ

结论

(4)分析法

① 定义：从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止．这种证明方法称为分析法．

② 推证过程

结论Ü„Ü„Ü已知条件

2.间接证明

(1)常用的间接证明方法有反证法、正难则反等．(2)反证法的基本步骤

① 反设——假设命题的结论不成立，即假定原结论的反面为真．

② 归谬——从反设和已知出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果． ③ 存真——由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定原结论成立． [备课札记]

题型1 直接证明(综合法和分析法)

n＋

2例1 数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1＝1，an＋1＝Sn(n＝1，2，3，„)，证明：

n

Sn

(1)数列是等比数列；

n

(2)Sn＋1＝4an.n＋2

证明：(1)∵ an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝Sn(n＝1，2，3，„)，∴(n＋2)Sn＝n(Sn＋1－

n

Sn)，Sn＋1Sn

整理得nSn＋1＝2(n＋1)Sn，∴，n＋1n

Sn＋

1Snn＋1

即2，∴ 数列是等比数列．

Snnn

Sn＋1Sn－1Sn－1

(2)由(1)知：＝4·(n≥2)，于是Sn＋1＝4·(n＋1)·4an(n≥2)．又a2

n＋1n－1n－1

＝3S1＝3，∴ S2＝a1＋a2＝1＋3＝4a1，*

∴ 对一切n∈N，都有Sn＋1＝4an.例2 设a、b、c均为大于1的正数，且ab＝10，求证：logac＋logbc≥4lgc.lgclgc

证明：(分析法)由于a>1，b>1，c>1，故要证明logac＋logbc≥4lgc，只要证明lgalgb

lga＋lgb

1≥4lgc4，因为ab＝10，故lga＋lgb＝1.只要证明4，由于a>1，lga·lgblgalgb

lga＋lgb2＝12＝1，即14成立．所以原

b>1，故lga>0，lgb>0，所以0

42lgalgb

不等式成立．

变式训练

设首项为a1的正项数列{an}的前n项和为Sn，q为非零常数，已知对任意正整数n、m，m

Sn＋m＝Sm＋qSn总成立．求证：数列{an}是等比数列．

m

证明：因为对任意正整数n、m，Sn＋m＝Sm＋qSn总成立，令n＝m＝1，得S2＝S1＋qS1，则a2＝qa1.令m＝1，得Sn＋1＝S1＋qSn ①，从而Sn＋2＝S1＋qSn＋1 ②，②－①得an＋2＝qan＋1(n≥1)，综上得an＋1＝qan(n≥1)，所以数列{an}是等比数列．

题型2 间接证明(反证法)

例3 证明：2，35不能为同一等差数列中的三项．

证明：假设2，3，5为同一等差数列的三项，则存在整数m、n满足32＋md ①，

5＝2＋nd②，22

2①×n－②×m得3n－5m2(n－m)，两边平方得3n＋5m－15mn＝2(n－m)，左235不能为同

一等差数列的三项．

备选变式（教师专享）

2222

已知下列三个方程：x＋4ax－4a＋3＝0，x＋(a－1)x＋a＝0，x＋2ax－2a＝0，其中至少有一个方程有实根，求实数a的取值范围．

解：若方程没有一个实数根，则

16a－4（3－4a）<0，322

（a－1）－4a<0，解之得－

故三个方程至少有一个方程有实数根的a的取值范围是aa≥－1或a≤.

1.用反证法证明命题“a·b(a、b∈Z)是偶数，那么a、b中至少有一个是偶数．”那么反设的内容是__________________________________．

答案：假设a、b都是奇数(a、b都不是偶数)

解析：用反证法证明命题时反设的内容是否定结论．

2.已知a、b、c∈(0，＋∞)且a＜c，b＜c＋＝1，若以a、b、c为三边构造三角

ab

形，则c的取值范围是________．

答案：(10，16)

解析：要以a、b、c为三边构造三角形，需要满足任意两边之和大于第三边，任意两边

b9a19之差小于第三边，而ac恒成立．而a＋b＝(a＋b)＝10≥abab

11111019

16，∴c<16.>><1，∴c>10，∴10

11

23.设函数f0(x)＝1－x，f1(x)＝f0（x）－，fn(x)＝fn－1（x）－n，(n≥1，n≥

22

1n1N)，则方程f1(x)有________个实数根，方程fn(x)＝有________个实数根．

33n＋

1答案：4 2

121115222

解析：f1(x)＝1－x－＝x－＝，∴ x＝或x＝4个解．

22366

4∵ 可推出n＝1，2，3„，根个数分别为2，2，2，1nn＋1

∴ 通过类比得出fn(x)＝有2个实数根．

3

4.若实数x、y、m满足|x－m|＞|y－m|，则称x比y远离m.(1)若x－1比1远离0，求x的取值范围；

332

2(2)对任意两个不相等的正数a、b，证明：a＋b比ab＋ab远离ab.(1)22，＋∞)．(2)证明：对任意两个不相等的正数a、b，有 332

2a＋b>2abab，ab＋abab.332223

3因为|a＋b－2abab|－|ab＋ab－2abab|＝(a＋b)(a－b)>0，所以|a＋b－

223322

2abab|>|ab＋ab－2abab|，即a＋b比ab＋ab远离2abab.

1.已知a>b>c，且a＋b＋c＝0b－3a.证明：要证b－ac<3a，只需证b－ac<3a.∵ a＋b＋c＝0，∴ 只需证b＋a(a＋22b)<3a，只需证2a－ab－b>0，只需证(a－b)(2a＋b)>0，只需证(a－b)(a－c)>0.∵ a>b>c，∴ a－b>0，a－c>0，∴(a－b)(a－c)>0显然成立．故原不等式成立．

*

2.已知等差数列{an}的首项a1＞0，公差d＞0，前n项和为Sn，且m＋n＝2p(m、n、p∈N)，求证：Sn＋Sm≥2Sp.2222

2证明：∵m＋n≥2mn，∴2(m＋n)≥(m＋n).222

又m＋n＝2p，∴m＋n≥2p.2222

3.如图，ABCD为直角梯形，∠BCD＝∠CDA＝90°，AD＝2BC＝2CD，P为平面ABCD外一点，且PB⊥BD.(1)求证：PA⊥BD；

(2)若PC与CD不垂直，求证：PA≠PD.证明：(1)因为ABCD为直角梯形，AD2AB2BD，222

所以AD＝AB＋BD，因此AB⊥BD.又PB⊥BD，AB∩PB＝B，AB，PBÌ平面PAB，所以BD⊥平面PAB，又PAÌ平面PAB，所以PA⊥BD.(2)假设PA＝PD，取AD中点N，连结PN、BN，则PN⊥AD，BN⊥AD，且PN∩BN＝N，所以AD⊥平面PNB，得PB⊥AD.又PB⊥BD，且AD∩BD＝D，得PB⊥平面ABCD，所以PB⊥CD.又因为BC⊥CD，且PB∩BC＝B，所以CD⊥平面PBC，所以CD⊥PC，与已知条件PC与CD不垂直矛盾，所以PA≠PD.x－2x

4.已知f(x)＝a＋(a＞1)．

x＋

1(1)证明f(x)在(－1，＋∞)上为增函数；(2)用反证法证明方程f(x)＝0没有负数根．

证明：(1)设－1＜x1＜x2，则x2－x1＞0，ax2－x1＞1，ax1＞0，x1＋1＞0，x2＋1＞0，x2－2x1－23（x2－x1）

从而f(x2)－f(x1)＝ax2－ax1＋－ax1(ax2－x1－1)＋＞0，所

x2＋1x1＋1（x2＋1）（x1＋1）

以f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．

x0－

2(2)设存在x0＜0(x0≠－1)使f(x0)＝0，则ax0x0＋1

x0－21

由0＜ax0＜10＜－1，即＜x0＜2，此与x0＜0矛盾，故x0不存在．

x0＋12

1.分析法的特点是从未知看已知，逐步靠拢已知，综合法的特点是从已知看未知，逐步推出未知．分析法和综合法各有优缺点．分析法思考起来比较自然，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较烦；综合法从条件推出结论，较简捷地解决问题，但不便于思考，实际证明时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来．

2.反证法是从否定结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，说明结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法．适宜用反证法证明的数学命题：①结论本身是以否定形式出现的一类命题；②关于唯一性、存在性的命题；③结论以“至多”“至少”等形式出现的命题；④结论的反面比原结论更具体更容易研究的命题．

10.高二数学1-2推理与证明测试题 篇十

1、已知数列an的第1项a12、已知



2，且an

1

an1an

(n1,2,)，试归纳出通项公式.f(n)1a1

1

f(1)0,af(n)bf(n1)1,ai0(i1,2,,n)

1a1

1a2

1a

3n2,a0,b0，推测

(i)a1的表达式.；

(ii)(a1a2)（1a1

1a2)

43、已知，考察下列式子：；

(iii)(a1a2a3)（）9

.我们可以归纳出，对a1,a2,,an也成立的类似不等式为

1,

4、猜想数列

11

3,

3557，

79的通项公式是

5、类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想.6、在锐角三角形ABC中，ADBC,BEAC，D，E是垂足.求证：AB的中点M到D，E的距离相等.7证明函数

f(x)x2x

2在,1上是增函数.1a

11a

2

48、已知 “若a1,a2R，且a1a21，则,”，试请此结论推广猜想.1a

11a

2....

1an



（答案：若a1,a2.......anR，且a1a2....an1，则

9、.已知a,b,cR，abc1，求证：

1a1b1c

n2）

9.10、已知a, b, c是不全相等的正数，求证：a(b2 + c2)+ b(c2 + a2)+ c(a2 + b2)> 6abc.11、已知a，b，c是全不相等的正实数，求证

bca

a



acb

b



abc

c



3.12、在△ABC中，三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且A、B、C成等差数列，a、b、c

成等比数列.求证：为△ABC等边三角形.13、A,B

为锐角，且tanAtanBAtanB

14、已知abc, 求证：

1ab



1bc



4ac

.

acb

b



abc

c



3AB60.15、已知a，b，c是全不相等的正实数，求证

bca

a16、A,B

为锐角，且tanAtanBAtanB

AB60

17、在△ABC中，三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且A、B、C成等差数列，a、b、c成等比数列.求证：为△ABC等边三角形.18ABC的三个内角A,B,C成等差数列，求证：

1ab



1bc



3abc

.19、设a, b, c是的△ABC三边，S

是三角形的面积，求证：c2a2b24ab.21、a不等于0，证明方程ax=b有且只有一个根

22SA平面ABC,ABBC,过A点作SB的垂线垂足为E,过E作SC的垂线垂足为F,求证AFSC23、已知,K

1tan

1tan222(Kz),且sincos2sin，sincossin 22求证：1tan2(1tan)