等比数列前n项和说课

2024-08-13

等比数列前n项和说课（精选7篇）

1.等比数列前n项和说课篇一

一、教材分析

《等比数列前n项和》选自北师大版高中数学必修5第一章第3节的内容。等比数列的前n项和是“等差数列及其前n项和”与“等比数列”内容的延续，也是函数的延续，它实质上是一种特殊的函数;公式推导中蕴涵的数学思想方法如分类讨论等在各种数学问题中有着广泛的应用，如在“分期付款”等实际问题中也经常涉及到.具有一定的探究性。

二、学情分析

在认知结构上已经掌握等差数列和等比数列的有关知识。在能力方面已经初步具备运

用等差数列和等比数列解决问题的能力;但学生从特殊到一般、分类讨论的数学思想还需要进一步培养和提高。在情感态度上学习兴趣比较浓,表现欲较强,但合作交流的意识等方面尚有待加强。并且让学生在探究等比数列前n项和的过程中体会合作交流的重要性。

三、教学目标分析：

知识与技能目标：

(1)能够推导出等比数列的前n项和公式;

(2)能够运用等比数列的前n项和公式解决一些简单问题。

过程与方法目标：提高学生的建模意识及探究问题、分析与解决问题的能力。体会公式探求

过程中从特殊到一般的思维方法、错位相减法和分类讨论思想。

情感与态度目标：培养学生勇于探索、敢于创新的精神，磨练思维品质，从中获得成功的体验。

四、重难点的确立

《等比数列的前n项和》是这一章的重点，其中公式推导所使用的“错位相减法”是高中数学数列求和方法中最常用的方法之一，它蕴含了多种重要的数学思想，因此，本节课的教学重点为等比数列的前n项和公式的推导及其简单应用.而等比数列的前n项和公式的推导过程中用到的方法学生难以想到，因此本节课的难点为等比数列的前n项和公式的推导。

五、教学方法

为突出重点和突破难点，我将采用的教学策略为启发式和探究式相结合的教学方法，教学手段采用计算机进行辅助教学。

六、教学过程

为达到本节课的教学目标，我把教学过程分为如下6个阶段：

1、创设情境：

创设一个西游记后传的情景，即高老庄集团，由于资金短缺，决定向猴哥进行贷款，猴哥每天给八戒投资1万元，以后每天比前一天多1万，连续30天，但有一个条件：第一天返还1分，第二天返还2分，第三天返还4分后一天返还数为前一天的2倍.假如你是高老庄集团企划部的高参，请你帮八戒决策.这是一个悬念式的实例，后面的“假如”又把学生带入了实例创设的情境，营造了积极、和谐的学习气氛，使学生产生学习心理倾向，并进一步了解数学来源于生活.

2、探究问题，讲授新课：

根据创设的情景，在教师的诱导下，学生根据自己掌握的知识和经验，很快建立起两个等比数列的数学模型。提出如何求等比数列前n项和的问题，从而引出课题。通过回顾等差数列前n项和公式的推导过程，类比观察等比数列的特点，引导学生思考，如果我们把每一项都乘以2，则每一项就变成了它的后一项，引导学生比较这两个式子有许多相同的项的特点，学生自然就会想到把两式相减，进而突破了用错位相减法推到公式的难点。教师再由特殊到一般、具体到抽象的启示，正式引入本节课的重点等比数列的前n项和，请学生用错位相减法推导出等比数列前n项和公式。得出公式后，学生一起探讨两个问题，一是当q=1时Sn又等于什么，引导学生对q进行分类讨论，得出完整的等比数列前n项和公式，二是结合等比数列的通项公式,引导学生得出公式的另一形式。

3、例题讲解：

我们在讲解例题时，不仅在于怎样解，更在于为什么这样解，而及时对解题方法和规律进行概括，有利于发展学生的思维能力。本节课设置如下两种类型的例题：

1)例1是公式的直接应用，目的是让学生熟悉公式会合理的选用公式

2)等比数列中知三求二的填空题，通过公式的正用和逆用进一步提高学生运用等比数列前n项和的能力.

4.形成性练习：

练习基本上是直接运用公式求和，三个练习是按由易到难、由简单到复杂的认识规律和心理特征设计的，有利于提高学生的积极性。学生练习时，教师巡查，观察学情，及时从中获取反馈信息。对学生练习中出现的独到解法提出表扬和鼓励，对其中偶发性错误进行辨析、指正。通过形成性练习，培养学生的应变和举一反三的能力，逐步形成技能。

5.课堂小结

本节课的小结从以下几个方面进行：(1)等比数列的前n项和公式

(2)推导公式的所用方法——从特殊到一般的思维方法、错位相减法和分类讨论思想。通过师生的共同小结，发挥学生的主体作用，有利于学生巩固所学知识，也能培养学生的归纳和概括能力。进一步完成认知目标和素质目标。

6.作业布置

针对学生素质的差异进行分层训练，既使学生掌握基础知识，又使学有余力的学生有所提高，从而达到拔尖和“减负”的目的。并可布置相应的研究作业，思考如何用其他方法来推导等比数列的前n项和公式，来加深学生对这一知识点的理解程度。

2.等比数列前n项和说课篇二

提出问题: 已知等比数列{ an} 的首项为a1, 公比为q, 求它的前n项和Sn.

问题分析: 这个问题中给出的已知条件就是等比数列、首项和公比, 要求的是前n项和. 我们已经学习过等差数列的相关概念和公式, 那么等比数列是否也可以用类似于等差数列前n项和公式的推导方法进行推导呢? 经过思考和实践, 主要总结出了以下的几种推导思路.

一、以等差数列前n项和公式的推导为参考

当{ an} 为等比数列时, 这样就表示出了Sn, 但这个式子里面共有n项相加, 必须要化简, 消除其中的一些项, 只用某几项来表示. 从上面的式子我们可以观察到, 从第二项起, 每一项都是前一项的q倍, 那么我们可以采用类似于等差数列前n项和的方式, 对该式的两边同时乘q得到一个新的式子:, 用这个式子减去Sn, 就可以把大部分的项都消除掉, 得到, 整理得:且当q≠1时, 当 q = 1 时, Sn= na1.

反思这种方式类似于等差数列前n项和的推导过程, 主要就是通过适当的变形和相减, 把大部分项都消除掉, 达到化简的目的, 使Sn能够写成用a1, q和n表示的形式.

二、以等差数列的通项公式推导方式为参考

在等差数列中, 当n≥2时, 有a2- a1= d, a3- a2= d, …将这些等式的两边分别相加起来, 就可以消除掉等式左边的中间项, 得到an- a1= ( n - 1) d, 且当n = 1时, 这个等式也成立. 那么把这个推导方法运用到等比数列中得:也就是同样的, 把这些等式都加起来, 就得到了等式的左边少了加上a1可以凑成Sn等式的右边括号内加上an也可以凑成Sn, 所以等式可以写成Sn- a1= ( Sn- an) ·q且当q≠1 时, 当 q = 1 时, Sn= na1

反思这种方法是根据等比数列的定义推导出来的, 把每一项表示出来, 用累加的方式就可以得到与Sn相关的式子, 再进行适当的变换, 用已知把Sn表示出来就得到了我们需要的目标公式. 这种推导方式的实质就是建立一个有关于Sn的方程, 解出这个方程, 就是用相关的已知量来表示Sn, 因此, 这可以说是一种方程思想的应用.

三、以等比数列的定义结合比例式的性质进行推导

根据等比数列的定义，与方法二中相似的方法, 要使得式子中出现要求的Sn, 就要凑出通过观察可以发现这个式子的特点是分子中含有除a1外的其他项, 那么, 我们结合比例式的性质, 可以得到也就是同样可以得到有关于Sn的方程.

反思这种思路直接从定义出发, 结合等比例的性质, 更容易理解, 思路方面比第二种方法更加清晰自然. 相同之处都是运用了方程的思想, 用解方程的方式把所求的公式表达出来.

等比数列是高中数学的重点和难点, 特别是有关公式的推导, 教师在教学中一定要重视, 只有经过认真思考和推导之后, 学生们对公式的理解才比较彻底, 在实际运用中才能更加灵活.

参考文献

[1]吴静, 祝世清 (指导教师) .方程法变形数列递推公式.中学生数学:高中版, 2013 (9) .

[2]汪元健.求数列通项公式的技巧.中国文房四宝, 2013 (6) .

3.等比数列前n项和说课篇三

教学是师生共同参与的活动过程，在这个过程中，教师是活动的主导，学生是活动的主体，教师的主导要为学生主体达到学习目标服务，也就是就教师在使用讲授法的同时，必须辅之以指导学生亲自探究、发现、应用等活动，为学生思维指路搭桥。通过学生自主的尝试活动，使他们在感知的基础上有效地揭示知识的内在联系，从而使学生获取知识，提高能力，本堂课的设计正是以这个原则为主旨的。

二、学生情况与教材分析

1.学生通过上一节的学习，大部分学生知识经验已较为丰富，他们的智力发展已到了形式运演阶段，具备了较强的抽象思维能力和演绎推理能力，但也有一部分学生的基础较弱，学习数学的兴趣还不是很浓，我在授课时注重从具体的生活实例出发，注重引导、启发、研究和探讨以符合这类学生的心理发展特点。

2.几何能直观地启迪思路，帮助理解，特别是对于职中类学生，他们对知识的理解还是处于模糊阶段，因此，借助几何直观学习来理解数学，是数学学习中的重要方面。

3.本课要求学生通过自主地观察、讨论、归纳、反思来参与学习，认识和理解数学知识，学会发现问题并尝试解决问题，在学习活动中进一步提升自己的能力。

三、教学目标

1.知识目标

（1）了解等差数列前n项和的定义，了解逆项相加的原理，理解等差数列前n项和公式推导的过程，记忆公式的两种形式。

（2）用方程思想认识等差数列前n项和的公式，利用公式求和；等差数列通项公式与前n项和的公式两套公式涉及五个字母，已知其中三个量求另两个值。

（3）会利用等差数列通项公式与前n项和的公式研究前n项和的最值。

2.能力目标

（1）通过公式的探索、发现，在知识发生、发展以及形成过程中培养学生观察、联想、归纳、分析、综合和逻辑推理的能力。

（2）利用以退求进的思维策略，遵循从特殊到一般的认知规律，让学生在实践中通过观察、尝试、分析、类比的方法导出等差数列的求和公式，培养学生类比的思维能力。

（3）通过对公式从不同角度、不同侧面的剖析，培养学生思维的灵活性，提高学生分析问题和解决问题的能力。

3.情感目标

（1）公式的发现反映了普遍性寓于特殊性之中，从而使学生受到辩证唯物主义思想的熏陶。

（2）通过公式的运用，树立学生“大众教学”的思想意识。

（3）通过生动具体的现实问题，令人着迷的数学史，激发学生探究的兴趣和欲望，树立学生求真的勇气和自信心，增强学生学好数学的心理体验，产生热爱数学的情感。

四、教学重点、难点

重点：等差数列前n项和公式。

难点：获得等差数列前n项和公式推导的思路。

五、教学方法

启发引导、交流讨论、合作探究。

六、教具准备

现代教育多媒体技术。

七、教学流程图

八、教学过程

1.引入新课

（1）复习

师：上一节课中，我们学习了等差数列的定义及通项公式，知道了“公差d=______，通项公式an=______”（见黑板）

生1：（回答黑板上的问题）

（2）故事引入

师：那等差数列的前n项和怎样求？今天，我们主要探讨等差数列的前n项和公式。说起数列求和，我由地想起德国伟大的数学家高斯“神述求和”的故事。高斯在上小学四年级时，老师出了这样一道题“1+2+3…+99+100”高斯稍微想了想就得出了答案。下面给同学们一点时间来挑战高斯。

生2：5050

师：看来我们班还是有不少高斯的。继续努力，说不定将来也成了数学家。下面请这位同学说一说是怎样算出来的。

生3：（说明如何进行首尾配对进行求和的。）

师：根据等差数列的特点，首尾配对求和的确是一种巧妙的方法。不过，对于以下的题，“例：求等差数列8、5、2…的前20项的和（见课件）”这种方法可就没那么方便了。因此我们非常迫切地需要推导出等差数列的前n项和公式。

2.合作学习，探求新知

师：下面我们从一个稍稍简单一点的等差数列来推导探讨等差数列的前n项和公式。

（学生观察幻灯片上以等差数列逐层排列的一堆钢管。）

师：如何求？

生4：利用刚才的方法.（略）

师：想一想，除了刚才的首尾配对求和的方法外，还有没有其他的方法呢？

（课件演示：引导学生设想，如果将钢管倒置，能得到什么启示）

生5：每一层都和上一层是一样多的。一共有8层，所以为8×（4+11），但一共有两堆，所以为S8=

师：那如果如下图所示共有n层，第一层为a1，第n层为an，请大家来猜想一下这个呈等差数列排列的钢管的总和Sn等于多少？

生6：Sn=

解:钢管的数量为:S8=

等差数列前n项求和公式:Sn=

师：这个猜想对不对呢？下面我们用所学过的知识一起来证明一下。

板书：Sn=a1+a2+a3+…+an

即Sn=a1+（a1+d）+（a1+2d）+…+［a1+（n-1）d］

把上式的次序反过来又可以写成：

Sn=an+（an-d）+（an-2d）+…+［an+（n-1）d］

两式相加：

2Sn=（a1+an）+（a1+an）+…（a1+an）=n（a1+an）

所以Sn=

看来，我们的猜想是正确的。下面我们做几道练习来熟悉一下公式。

3.合作学习，巩固并探求新知

学生练习一：（1）在等差数列｛an｝中，已知a1=1，a10=8，求S10.

（2）求正整数列是前1000个数的和;

学生小组合作练习，分组进行交流。

师：看来，大家对公式的掌握还是不错的。下面，我们再来看一道练习。

学生练习二：在等差数列｛an｝中，a1=1，d=-2已知a1=1，d=-2，求S10；

学生思考，并讨论解答。

学生讲解如何进行求解这题。

师：刚才那道题给出了a1，d和n=10，a10没有给出，但我们一样可以将S10求出，

那我们能不能直接由a1，d和n，得到an呢？

学生根据求和公式一和通项公式导出公式二：Sn=na1+d

学生练习三：求正整数中前500个偶数的和（用多种方法求解）。

学生讨论解答此题，并请学生上台讲解。

4.总结

师：今天，大家学得不错。下面我们再来回顾一下本堂课的内容。今天我们主要倒序相加的方法推导了等差数列前n项和公式一，并结合等差数列通项公式二推导出等差数列前n项和公式二，希望同学们在今后的解题要灵活运用这两个公式。

5.教学反思

4.课时31 等比数列及其前n项和篇四

一、选择题

11．已知数列{an}是等比数列，且a1＝，a4＝－1，则{an}的公比q为()． 8

11A．2B．－C．－2D． 22

2．在等比数列{an}中，a2a6＝16，a4＋a8＝8，则a20＝()． a10

A．1B．－3

C．1或－3D．－1或3

3．等比数列{an}的公比为q，则“a1＞0，且q＞1”是“对于任意正整数n，都有an＋1＞an”的()．

A．充分非必要条件B．必要非充分条件

C．充要条件D．既非充分又非必要条件

2n4．已知等比数列{an}满足an＞0，n＝1,2，„，且a5·a2n－5＝2(n≥3)，则当n≥1时，log2a1＋log2a3＋„＋log2a2n－1等于()．

2A． n(2n－1)B．(n＋1)

22C．nD．(n－1)

5．各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2，S3n＝14，则S4n等于()．

A．80B．30

C．26D．16

6．在等比数列{an}中，a1＝2，其前n项和为Sn，若数列{an＋1}也是等比数列，则Sn等于

()．

n＋1A．2－2B．3n

nC．2nD．3－1

147．已知正项等比数列{an}满足a7＝a6＋2a5，若存在两项am，an使得aman＝4a1，则＋mn

最小值为()．

359A.B.C.D．不存在 234

二、填空题

8．等比数列{an}中，Sn表示前n项和，a3＝2S2＋1，a4＝2S3＋1，则公比q为__________．

19．在等差数列{an}中，a1＝1，a7＝4，数列{bn}是等比数列，已知b2＝a3，b3＝，则满足a2

bn＜的最小自然数n是__________． a80

10．已知在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且A，B，C成等差数列，三边a，b，c成等比数列，b＝3，则△ABC的面积是__________．

三、解答题

11．已知{an}是公差不为零的等差数列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比数列．

(1)求数列{an}的通项；

(2)求数列{2an}的前n项和Sn.*12．已知数列{an}满足：a1＝1，a2＝a(a＞0)．数列{bn}满足bn＝anan＋1(n∈N)．

(1)若{an}是等差数列，且b3＝12，求a的值及{an}的通项公式；

(2)若{an}是等比数列，求{bn}的前n项和Sn；

(3)当{bn}是公比为q－1的等比数列时，{an}能否为等比数列？若能，求出a的值；若不能，请说明理由．

5.等比数列前n项和说课篇五

一．知识梳理

1.等比数列前n项和公式

2.错位相减

二．例题分析

例1.已知数列an满足;a11,a22,aanan1

n2,nN,(1)令bnan1an，证明：bn是等比数列；(2)求an的通项公式。

例2.求S1n234572n18162

例3.求S2

nx4x7x(3n2)xn

三．练习

1.在等差数列aan

n中，a20,a6a810，（1）求an；（2）求2

n1的前n项和

2.设an为等比数列，Tnna1(n1)a22an1an，已知T11,T24。（1）求数列an的首项和公比

（2）求数列

Tn的通项公式。

3.设an是等差数列，bn是各项都为正数的等比数列，且a1b11，a3b521，ab13。（1）求aan

53n，bn的通项公式；（2）求数列b的前n项和Sn

6.《等差数列的前n项和》说课稿篇六

一、教材分析

地位和作用

数列是刻画离散现象的函数，是一种重要的属性模型。人们往往通过离散现象认识连续现象，因此就有必要研究数列。

高中数列研究的主要对象是等差、等比两个基本数列。本节课的教学内容是等差数列前n项和公式的推导及其简单应用。

在推导等差数列前n项和公式的过程中，采用了：

1、从特殊到一般的研究方法；

2、倒叙相加求和。不仅得出来等差数列前n项和公式，而且对以后推导等比数列前n项和公式有一定的启发，也是一种常用的数学思想方法。等差数列的前n项和是学习极限、微积分的基础，与数学课程的其他内容（函数、三角、不等式等）有着密切的联系。

二、目标分析

（一）、教学目标

1、知识与技能

掌握等差数列的前n项和公式，能较熟练应用等差数列的前n项和公式求和。

2、过程与方法

经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思。

3、情感、态度与价值观

获得发现的成就感，逐步养成科学严谨的学习态度，提高代数推理的.能力。

（二）、教学重点、难点

1、重点：等差数列的前n项和公式。

2、难点：获得等差数列的前n项和公式推导的思路。

三、教法学法分析

（一）、教法

教学过程分为问题呈现阶段、探索与发现阶段、应用知识阶段。

探索与发现公式推导的思路是教学的重点。如果直接介绍“倒叙相加”求和，无疑就像波利亚所说的“帽子里跳出来的兔子”。所以在教学中采用以问题驱动、层层铺垫，从特殊到一般启发学生获得公式的推导方法。

应用公式也是教学的重点。为了让学生较熟练掌握公式，可采用设计变式题的教学手段，通过“选择公式”，“变用公式”，“知三求二”三个层次来促进学生新的认知结构的形成。

（二）、学法

建构主义学习理论认为，学习是学生积极主动地建构知识的过程，学习应该与学生熟悉的背景相联系。在教学中，让学生在问题情境中，经历知识的形成和发展，通过观察、操作、归纳、探索、交流、反思参与学习，认识和理解数学知识，学会学习，发展能力。

四、教学过程分析

（一）、教学过程设计

1、问题呈现阶段

泰姬陵坐落于印度古都阿格，是世界七大奇迹之一。传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成共有100层。你知道这个图案一共花了多少宝石吗？

设计意图：

（1）、源于历史，富有人文气息。

（2）、承上启下，探讨高斯算法。

2、探究发现阶段

（1）、学生叙述高斯首尾配对的方法（学生对高斯的算法是熟悉的，知道采用首尾配对的方法来求和，但是他们对这种方法的认识可能处于模仿、记忆的阶段。）

（2）、为了促进学生对这种算法的进一步理解，设计了下面的问题。

问题1：图案中，第1层到第21层共有多少颗宝石？（这是奇数个项和的问题，不能简单模仿偶数个项求和的方法，需要把中间项11看成是首、尾两项1和21的等差中项。

通过前后比较得出认识：高斯“首尾配对”的算法还得分奇数、偶数个项的情况求和。

（3）、进而提出有无简单的方法。

借助几何图形的直观性，引导学生使用熟悉的几何方法：把“全等三角形”倒置，与原图补成平行四边形。

获得算法：S21=

设计意图：

几何直观能启迪思路，帮助理解，因此，借助几何直观学习和理解数学，是数学学习中的重要方面，只有做到了直观上的理解，才是真正的理解。因此在教学中，要鼓励学生借助几何直观进行思考，揭示研究对象的性质和关系，从而渗透了数形结合的数学思想。

问题2：求1到n的正整数之和。即Sn=1+2+3+…+n

∵Sn=n+（n—1）+（n—2）+…+1

∴2Sn=（n+1）+（n+1）+…。+（n+1）

Sn=（从求确定的前n个正整数之和到求一般项数的前n个正整数之和，旨在让学生体验“倒叙相加求和”这一算法的合理性，从心理上完成对“首尾配对求和”算法的改进）

由于前面的铺垫，学生容易得出如下过程：

∵Sn=an+an—1+an—2+…a1，

∴Sn=。

图形直观

等差数列的性质（如果m+n=p+q，那么am+an=ap+aq。）

设计意图：

一言以蔽之，数学教学应努力做到：以简驭繁，平实近人，退朴归真，循循善诱，引人入胜。

3、公式应用阶段

（1）、选用公式

公式1Sn=；

公式2Sn=na1+。

（2）、变用公式

（3）、知三求二

例1

某长跑运动员7天里每天的训练量如下7500m，8000m，8500m，9000m，9500m，10000m，10500m。这位长跑运动员7天共跑了多少米？（本例提供了许多数据信息，学生可以从首项、尾项、项数出发，使用公式1，也可以从首项、公差、项数出发，使用公式2求和。达到学生熟悉公式的要素与结构的教学目的。

通过两种方法的比较，引导学生应该根据信息选择适当的公式，以便于计算。）

例2

等差数列—10，—6，—2，2，…的前多少项和为54？（本例已知首项，前n项和、并且可以求出公差，利用公式2求项数。

事实上，在两个求和公式中包含四个元素，从方程的角度，知三必能求余一。）

变式练习：在等差数列{an}中，a1=20，an=54，Sn=999，求n。

知三求二：

例3

在等差数列{an}中，已知d=20，n=37，Sn=629，求a1及an。（本例是使用等差数列的求和公式和通项公式求未知元。

事实上，在求和公式、通项公式中共有首项、公差、项数、尾项、前n项和五个元素，如果已知其中三个，连列方程组，就可以求出其余两个。）

4、当堂训练，巩固深化。

通过学生的主体性参与，使学生深刻体会到本节课的主要内容和思想方法，从而实现对知识的再次深化。

采用课后习题1，2，3。

5、小结归纳，回顾反思。

小结归纳不仅是对知识的简单回顾，还要发挥学生的主体地位，从知识、方法、经验等方面进行总结。

（1）、课堂小结

①、回顾从特殊到一般的研究方法；

②、体会等差数列的基本元素的表示方法，倒叙相加的算法，以及数形结合的数学思想。

③、掌握等差数列的两个球和公式及简单应用

（2）、反思

我设计了三个问题

①、通过本节课的学习，你学到了哪些知识？

②、通过本节课的学习，你最大的体验是什么？

③、通过本节课的学习，你掌握了哪些技能？

（二）、作业设计

作业分为必做题和选做题，必做题是对本节课学生知识水平的反馈，选做题是对本节课内容的延伸与连贯，强调学以致用。通过作业设置，使不同层次的学生都可以获得成功的喜悦，看到自己的潜能，从而激发学生饱满的学习兴趣，促进学生的自主发展、合作探究的学习氛围的形成。

我设计了以下作业：

1、必做题：课本p118，练习1，2，3；

习题3.3第2题（3，4）。

2、选做题：

在等差数列中，

（1）、已知a2+a5+a12+a15=36，求是S16。

（2）、已知a6=20，求s11。

（三）、板书设计

板书要基本体现课堂的内容和方法，体现课堂进程，能简明扼要反映知识结构及其相互关系：能指导教师的教学进程、引导学生探索知识；通过使用幻灯片辅助板书，节省课堂时间，使课堂进程更加连贯。

五、评价分析

7.等比数列前n项和说课篇七

等差 (比) 数列前n项和公式的推导堪称一个经典, 多年来, 老师们针对如何上好这两公式推导方法课 (即所谓的“倒序相加法”, “错位相减法”) 做了大量的研究工作, 也发表了许多有价值的案例, 笔者作为从教20多年的其中一员, 也倍感这两种数列求和公式的推导, 确实是教学的难点.每次上完这两节课后, 总有许多遗憾, 也常被一些问题困扰.譬如, 人教社课标教材模块5, A版, 为引出“倒序相加法”设置了小高斯求和的问题情境, 文[2]认为由“高斯算法”过渡到“倒序相加法”是一个思维跨越, 学生难以完成, 产生了困惑.文[1]认为困惑的原因是知识的深度、广度与学生的认知水平之间的差异产生的, 是教学的一个难点, 而非教材设计的缺陷, 并且针对文[2]中产生的困惑, 从引导学生对“高斯算法”的本质进行思考, 提出集合与对应思想指导, 实现从“高斯算法”到“倒序相加”过渡的解决问题的思路.笔者按这一思路实践了教学, 但仍有“倒序相加”揭示不充分、不自然的感觉, 用听课教师们的话说:“依然存在直接抛出‘倒序相加法’的嫌疑.”是笔者的水平有限, 启发不够, 还是我们仍没有领悟到小高斯求和的数学本质呢?

那么, 小高斯求和的数学本质是什么?换句话说, 是什么样的思想方法驱动小高斯这样想的呢?又譬如, 等差数列和等比数列被誉为数列中的姐妹花, 它们在定义和性质上有很多相似性, 给人以许多数学美的享受和启迪, 在教学中我们也多采用类比、归纳的方法让学生体会这种美.但教材中对两种数列求和公式的推导方法的处理上, 则表现出一种不和谐、不统一.因此, 也有不少教师们反映直接类比等差数列求和公式的推导方法来推导等比数列求和公式会碰壁, 两种求和方法有着怎样的数学本质呢?等等.

1等差 (比) 数列求和公式推导方法的数学本质是相同的, 两种求和方法只是一种运算技巧

不妨先回顾一下人教社课标教材A版模块5中, 两种求和公式的推导方法, 作以下对比分析.

等差数列求和公式的推导过程

Sn=a1+a2+a3+…+an, (1)

Sn=an+an-1+an-2+…+a1, (2)

(1) + (2) 得

2Sn= (a1+an) + (a2+an-1) +…+ (an+a1) .

根据等差数列性质可得

(a1+an) = (a2+an-1) =…= (an+a1) , (3)

所以

$2 S_{n} = (a_{1} + a_{n}) n ‚ S_{n} = \frac{(a_{1} + a_{n}) n}{2} .$

等比数列求和公式的推导过程

Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1, (4)

(4) ×q, 可得

qSn=a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn, (5)

(4) - (5) 得

$(1 - q) S_{n} = a_{1} + 0 + 0 + \dots + 0$ n-1个0 -a1qn. (6)

所以当q≠1时, $S_{n} = \frac{a_{1} (1 - q^{n})}{1 - q} .$

对Sn=a1+a2+a3+…+an求和, 关键是处理带省略号的一段, 在 (3) 式中因为a1+an, a2+an-1, …, an+a1相等, 即可求和, 整体上处理了省略号;而在 (6) 中式因为出现了 (n-1) 个0, 也从整体上成功地求出了和.可见, 两种推导方法从解决省略一段的方式是相同的, 即都是把相同的数组成的数列求出和这一简单事实.那么, 这里的相同的数组成的数列是如何构造来的呢?从 (3) , (6) 式中不难看出, 是数与数“配对”后通过两个等式加、减而来, 之所以能求出和, 是因为通过“配对”将不同的数的数列求和化归为相同的数的数列求和 (即常数列求和) .这样, 我们认为“小高斯算法”本质是转化与化归的思想方法.而“配对”只是这一数学本质的表现形式, 这样看来, 所谓的“倒序相加法”和“错位相减法”有着相同的数学方法本质, 即转化与化归的思想方法.而这两种方法本身不过是一种数列求和的运算技巧而已, 不必被推崇为方法, 更不足称为数学思想了.

基于以上对两种数列求和公式推导方法的本质认识, 由“高斯算法”到“倒序相加法”的过渡启发也就迎刃而解了.教学实施中, 教师引导学生共同提炼出小高斯的求和本质, 然后抓住这一关键, 运用一般性问句:“能否利用这一思想方法 (将不同的数的数列求和化归为相同的数的数列求和, 即常数列求和) , 对一般的等差数列求和呢?”引导学生运用等差数列性质, 自然会出现对原来数列倒序相加, 所谓的“倒序相加法”水到渠成.正如曹才翰教授所说, 中学教学的绝大部分内容, 都是人类在长期的社会实践中经过千锤百炼的数学精华和基础, 其中的数学概念、方法与思想的起源与发展都是自然的.如果你感到某个概念生硬不自然, 是强加于人的, 那么, 只要想一下它的背景、它的形成过程、它的应用以及它与其他概念的联系, 就会发现它实际上是浑然天成的.它不仅合情合理, 而且很有人情味.[3]

这样, 就不难解决一直困扰不少老师为什么不能用类比等差数列求和公式的推导方法来启发学生推导等比数列求和公式的难题.如, 在教学实施中, 可引导启发学生, 运用一般问句:“能否类比等差数列求和公式的推导方法 (将不同数的数列求和转化为相同数的数列求和, 即常数列求和) 来推证等比数列求和公式呢?”适当引导后, “错位相减”也将自然形成.教学实践证明, 这样更符合学生的认知特征, 使学生思维更活跃, 探究欲望高涨.

2落实课标理念, 返璞归真, 既教猜想, 又教证明

普通高中《数学课程标准》第3页指出:“高中数学课程应力求通过各种不同形式的自主学习、探究活动, 让学生体验发现和创造的历程, 发展他们的创新意识”.而这方面的培养, 一个最有效的工具就是加强合情推理的教学.[4]普通高中《数学课程标准》第56页也指出:“合情推理是根据已有的事实和正确的结论 (包括定义、公理、定理等) 、实验和实践的结果, 以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程, 归纳, 类比是合情推理常用的思维方法.在解决问题的过程中, 合情推理具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用, 有利于创新意识的培养.”而合情推理的实质是“发现”, 正如牛顿曾说过的那样, “没有大胆的猜想, 就做不出伟大的发现”, 没有“发现”也就没有创新!中国数学在整体上仍和国际先进水平有相当的差距, 如果说我们在技巧、证明难度上比较强的话, 那我们在数学创意、新理论的建立、新科学奠基方面, 则有很大的差距, 如此考虑, 也许“推测数学”的提出, 正击中我们的弱点[5].因而, 在数学教学中教“创新”首先应该教“猜想”吧!

另一方面, 数学内在的自然和谐是寻求自然的教学过程的源泉.[5]由于教材是用归纳—猜想—证明这一思路求解的等差数列通项公式, 那么, 在教材编写上为什么不像处理等差、等比数列通项公式一样, 运用观察—归纳—猜想—证明这一思路来处理两种数列求和公式的推导呢?尽管人教社教材B版模块5中, 用“错位相减法”推导等比数列前n项和公式, 已退为方法2, 但方法1, 仍没按这种思路编写.更何况这是培养学生合情推理能力的良好素材!教学实践充分证明:按“观察—归纳—猜想—证明”这一思路来处理两种数列求和公式的推导, 让学生经历“再创造与再发现的过程”, 获得科学发现的体验, 不仅能激发学生学习数学的兴趣, 使学生在感受数学自然、亲切的同时, 产生“看个究竟”的冲动, 兴趣盎然地投入学习, 而且也更符合学生的心理特征和认知水平.

限于篇幅, 笔者仅对等差数列前n项和公式的猜测过程、思路的探索过程以及证明的教学片段与大家分享.

2.1等差数列前n项和公式的猜想过程

笔者给出数列{an}前n项和Sn定义:称a1+a2+a3+…+an为数列{an}的前n项和Sn, 即Sn=a1+a2+a3+…+an.

说明 ①数列{an}前n项和Sn定义给出后, 笔者不仅强调了定义的判定功能, 而且还强调了性质功能.如a1=S1, a1+a2=S2, a3+a4+a5=S5-S2是让学生理解定义的判定功能;又如见到S1=a1, S2=a1+a2, S5-S2=a3+a4+a5是让学生理解定义的性质功能.教学经验告诉笔者, 在解题中学生遇到像an=a1+a2+…+an-1 (n≥2) 这样的条件不知道给了什么或不会使用这个条件 (实际上, 就是an=Sn-1 (n≥2) 这样一个简单事实) , 与我们定义教学中不强调定义的双重功能不无直接关系.

②笔者强调定义是针对一般数列而言的, 当然, 若数列{an}是特殊的等差数列时, 也是适用的.目的是为后面探求等差数列前n项和公式推证的通法 (裂项法) 埋下伏笔.

师:若数列{an}为等差数列, 求和a1+a2+a3+…+an, 意味着什么?

生:化简, 化简成一个更为简洁的表达式.

师:好!那么, 这个表达式可能用什么量表示呢?

生1:用a1, d, n表示.

师:你怎么想到的?说说看.

生2:受等差数列通项公式用a1, d, n表示an的启发 (其他同学点头认同) .

师:我也赞同, 还有其他可能的表达式吗?

生3:大概是a1, an, n表示.既然上一个同学说可用a1, d, n表示Sn, 如果用an=a1+ (n-1) d可代入消去d, 就是a1, an, n表示Sn.

师:你太棒了!这样, 我们有两种可能的目标:Sn=f (a1, an, n) , Sn=g (a1, d, n) .

生4:老师我想Sn一定是n的二次函数, 因为, an是n的一次函数, ……

师:好!是否Sn是n的二次函数, 待表达式结果研究出来以后, 我们就清楚明白.同学们, 我们已经有了两种可能的结果, 那么, 我们选择什么样的方法研究呢?

生5:找规律, 猜想的办法, 因为通项公式就是用这种办法. (生点头赞同)

师:好, 同学们, 我们就不妨选用Sn=f (a1, an, n) 这种形式开始吧!

猜测1 用a1, an, n表示.

$\begin{array}{l} S_{1} = a_{1} = \frac{(a_{1} + a_{1}) \times 1}{2} ‚ \\ S_{2} = a_{1} + a_{2} = \frac{(a_{1} + a_{2}) \times 2}{2} ‚ \\ S_{3} = a_{1} + a_{2} + a_{3} \\ = a_{1} + \frac{a_{1} + a_{3}}{2} + a_{3} = \frac{(a_{1} + a_{3}) \times 3}{2} ‚ \\ S_{4} = a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} \\ = a_{1} + (a_{1} + a_{4}) + a_{4} \\ = \frac{(a_{1} + a_{4}) \times 4}{2} ‚ \\ S_{5} = a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + a_{5} \\ = a_{1} + a_{1} + a_{5} + a_{3} + a_{5} \\ = 2 (a_{1} + a_{5}) + \frac{2 a_{3}}{2} \\ = \frac{(a_{1} + a_{5}) \times 5}{2} ‚ \end{array}$

……

观察以上各式, 归纳猜想

$\begin{array}{l} S_{n} = a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n - 1} + a_{n} \\ = \frac{(a_{1} + a_{n}) n}{2} . \end{array}$

说明 ①在笔者教学过程中, 当算出S3后, 学生仍鸦雀无声, 这时, 教师鼓励学生继续算出S4, S5的结果, 顿时学生脸上露出了惊喜, 全班情绪高涨.而且有的同学很快把S1, S2, S3改写为: $S_{1} = \frac{(a_{1} + a_{1}) \times 1}{2} ‚ S_{2} = \frac{(a_{1} + a_{2}) \times 2}{2} ‚ S_{3} = \frac{(a_{1} + a_{3}) \times 3}{2}$ .另有一个同学窃窃私语, 结果与梯形的面积类似.笔者立即表扬了该同学的善于由“数”思“形”的好习惯和能力.接着笔者追问该生, 你能设计一个图形对我们的运算结果给一个解释或验证吗?生一筹莫展.这时笔者引导学生回忆等差数列{an}的各点 (n, an) 均在一次函数y=dx+ (a1-d) 的图像上, 是图像上均匀分布的无穷多个孤立点.如图1, 试问:你能根据图像对 $S_{4} = \frac{1}{2} (a_{1} + a_{4}) 4$ 进行验证或给出几何解释吗?设ai>0 (i=1, 2, 3, 4) , 则不少学生很快将图1画成图2, 并发现等差数列{an}a1, a2, a3, a4, 恰好为图2中各个实线小矩形的面积, 因此, 要求S4, 相当于求图2中这些实线小矩形的面积之和.生师讨论后, 只要在图2中再倒置一个与实线同样的虚线图形即可验证 $S_{4} = \frac{1}{2} (a_{1} + a_{4}) 4 = \frac{1}{2} S_{矩形} ‚ S_{i} = \frac{1}{2} (a_{1} + a_{i}) i = \frac{1}{2} S_{矩形} (i = 1 ‚ 2 ‚ 3 ‚ 4)$ , 进一步师生共同将图2画成图3对 $S_{n} = \frac{(a_{1} + a_{n}) n}{2}$ 进行了验证.不过强调这里的an>0.

上述验证过程, 学生兴奋不已.这时笔者提问一个学生你高兴什么?学生回答说:我们猜对了.估计是学生体验到一种数、形的统一美吧!是啊!这何尝不是我们教学一直追求的和谐美呢?加强直观教学, 重视图形在数学教学中的作用, 鼓励学生借助直观进行思考, 做出猜想或验证, 揭示研究对象的性质和关系也是《新课标》所要求和大力提倡的.

②笔者发现个别同学将S1, S2, S3, S4, 写成了如下形式:

$\begin{array}{l} S_{1} = \frac{(a_{1} + a_{1})}{2} \times 1 ‚ S_{2} = \frac{(a_{1} + a_{2})}{2} \times 2 ‚ \\ S_{3} = \frac{(a_{1} + a_{3})}{2} \times 3 ‚ S_{4} = \frac{(a_{1} + a_{4})}{2} \times 4 . \end{array}$

当时笔者还问学生为什么这样写呢?学生说美!那你为什么感觉美呢?学生说 $\frac{a_{1} + a_{1}}{2} ‚ \frac{a_{1} + a_{2}}{2} ‚ \frac{a_{1} + a_{3}}{2} ‚ \frac{a_{1} + a_{4}}{2}$ 都是平均数, 笔者当时没过多留意.下课后查阅了一下数学史发现:早在南北朝时, 我国的《张邱建算经》已有的计算等差数列前n项和公式就是 $S_{n} = \frac{(a_{1} + a_{n})}{2} \times n$ , 而不是 $S_{n} = \frac{(a_{1} + a_{n}) n}{2}$ , 这说明古人是用算术平均数的观点求和的.如果笔者在课堂上知道的话, 借题发挥向学生讲一点数学史, 让学生感悟一下民族文化, 岂不是锦上添花吗?更何况这也是《新课标》大力提倡的, 这也充分印证了一位老教师说的话“每节课都有遗憾!”笔者深信不疑.

猜测2 用a1, d, n表示.

观察以上各式, 归纳猜想

$\begin{array}{l} S_{n} = a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots + a_{n - 1} + a_{n} \\ = (a_{1} + \frac{n - 1}{2} d) \times n = n a_{1} + \frac{n (n - 1)}{2} d . \end{array}$

说明 ①在教学实施过程中, 师生共同将S1, S2, S3, S4表示成形式 (Ⅰ) 后, 学生比较沉默, 较难发现规律.师仍引导学生继续讨论研究, 过一会一同学发言:需将 (Ⅰ) ⇒ (Ⅱ) ;继续 (Ⅱ) ⇒ (Ⅲ) , 即可猜出结论, 最后写成 (Ⅳ) 的形式.可见, 学生的猜想能力是不可低估的.实际上, $S_{n} = (a_{1} + \frac{n - 1}{2} d) n$ 是刘徽在《九章算术注》中, 创造的等差数列计算公式之一.

②在猜测过程中, 还有学生发现:这里的问题实际上是对数列0, 1, 3, 6, …猜出一个通项公式, 并立即说出第n项为 $\frac{n (n - 1)}{2}$ .师追问, 该生说是受毕达哥拉斯的三角形数的启发.顿时, 教室气氛高涨, 并有不少同学说是这个结果的还有平面几何图形中线段条数 (图4, 若有n个点在一条直线上, 共能数出多少条线段?) 、角的个数 (图5, 若有n条射线经过同一个顶点, 共能数出多少个角?) 、三角形个数 (图6, 若BE边上共有n个点, 每个点都与A连结成线段, 能数出多少个三角形?) 等等.

2.2等差数列前n项和公式的证明思路探索及证明过程

以上, 我们主要从“数”的角度通过观察—归纳—猜出了等差数列前n项和公式的结果, 尽管也从“形”的角度给出了验证或解释, 但仍不能认为是正确的, 要确认其正确性必须给出严格的证明.那么, 如何证明这个公式呢?大家来探索一下思路吧, 请各抒已见, 大胆一些!

生6: (证法1) 当n为偶数时,

师:你证得太棒了!你是怎么发现这种思路的?说说看.

生:我是从我们前面对S1, S2, S3, S4, S5的计算中发现的思路.

这时, 师高度赞扬该同学, 且说著名数学家华罗庚倡导在研究和解决数学问题时要善于“退到原始状态”, “先退后进, 退是为了进”确是一种科学的方法, “退”是为寻找“进”的经验、方法或思路.

师:生6同学是用讨论的办法给出了证明, 但从Sn的结果来看是不受n为奇数、偶数的影响.哪位同学能想出一个避免讨论的办法呢?

以下教师引导学生研究学生6的证明过程, 并共同提炼出上述证法的实质是将不同数的数列a1, a2, a3, …, an求和转化为相同数的数列a1+an, a2+an-1, …, ai+an-i求和, 即常数列求和, 但要a1与an, a2与an-1, ……等配对, 再利用性质m+n=s+t⇒am+an=as+at即可证明.

生7: (证法2) 因为

$S_{n} = \frac{(a_{1} + a_{n}) n}{2} \Leftrightarrow 2 S_{n} = (a_{1} + a_{n}) n$ ,

而 Sn=a1+a2+…+an-1+an,

又 Sn=an+an-1+…+a2+a1,

两式相加即得结论.

师:你怎么想到对Sn又倒序写出来呢?

生7:我看到式 (1) 中, 有 $\frac{1}{2}$ , 将 (1) 两边同乘以2, 得2Sn= (a1+an) n, 又要a1与an, a2与an-1配对, 而在统计学中, 改变数据的排列方式是分析数据的基本方法, 所以想到将Sn倒写出来, 并写成an+an-1+…+a2+a1的形式.这样才能将不同数的数列a1, a2, a3, …, an转化为相同数的数列a1+an, a2+an-1, …, ai+an-i求和.

师:你太聪明了!那你也给你发现的方法取一个名字吧?

生:倒序相加法.

说明 ①从生6, 生7的证明可以看出, 只要教师启发引导到位, 尤其是师生能归纳概括出将不同的数的数列求和转化与化归为相同数的数列求和, 并抓住这一关键, “倒序相加法”是能自然形成的.这样, 教材中的小高斯求和的情境也无须创设.但可以作激发学生学习兴趣的数学史料介绍给学生.

②不论是对公式 $S_{n} = \frac{(a_{1} + a_{n}) n}{2}$ 的猜想, 还是证明, 学生都有统计学观点的流露.如将S1, S2, S3, S4写成 $S_{1} = \frac{(a_{1} + a_{1})}{2} \times 1 ‚ S_{2} = \frac{(a_{1} + a_{2})}{2} \times 2 ‚ S_{3} = \frac{(a_{1} + a_{3})}{2} \times 3 ‚ S_{4} = \frac{(a_{1} + a_{4})}{2} \times 4$ 是学生对平均数这个统计量有较深入认识、理解的表现, 用平均数的观点去理解学生6的证法1, 那就是寻找到a1, a2, a3, …, an这些数平均数 $\frac{(a_{1} + a_{n})}{2}$ 再乘以n即得 $S_{n} = \frac{(a_{1} + a_{n}) n}{2}$ .笔者冒昧猜测小高斯是否也是这样对1+2+…+100求和的呢.学生7改变数据的排列方式是分析数据的基本方法, 表明学生7已经善于用统计学的思想方法来分析、解决问题了.那么, 就更易理解“倒序相加”只是一种形式了.可见, 用统计的观点推导等差数列前n项和公式, 思路清晰, 简捷明了.既沟通了代数学与统计学的联系, 又拓展了我们认识问题的视野.

师:至此, 我们已对我们上节课中猜想出的 $S_{n} = \frac{(a_{1} + a_{n}) n}{2}$ 进行了证明, 但这个公式仅对等差数列适用, 换句话说, 对非等差数列是不能用这个公式的.那么是否存在更一般的数列求和的方法呢?如果我们找到这种方法的话, 那么这种方法也一定可以用来推证等差数列前n项和的公式.

生:点头. (我想学生是在表示存在这种方法, 但目前不知道是什么方法)

师:那么, 我们确信一定有一种适用范围更广泛的方法, 是什么呢? (但一时学生似乎没什么思路, 笔者仍耐心引导)

师:到目前为止, 你做过数列求和的题目吗?你做过的话是用什么方法解答的?

说明平时教学, 我们应要求学生不应满足于特殊状态下的结论或方法, 而要探寻更一般的结论或方法.对一般结论或方法的探寻, 对学生各种能力尤其是创新能力提出了更高的要求, 即可充分调动学生的潜在能力, 知识储备, 数学经验, 又能激发对科学真理锲而不舍的追求精神.

生8:我在小学做过一道题目:

求: $\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \dots + \frac{1}{99 \times 100} .$

生:裂项法.

师:请同学们思考:等差数列的前n项和公式是否可用裂项法求和呢? (在学生讨论思考过程中, 笔者不断插话:“要裂项, 你应抓住哪一项进行裂项呢?”不一会)

生9:我有办法了.

$\begin{array}{l} 裂项方法 1 a_{n} = a_{n} \times \frac{d}{2} \times \frac{2}{d} \\ = a_{n} \times \frac{2 d}{2 d} = a_{n} \times \frac{a_{n + 1} - a_{n - 1}}{2 d} \\ = \frac{1}{2 d} (a_{n + 1} a_{n} - a_{n} a_{n - 1}) (n \geq 2) . \end{array}$

师 (追问) :你是如何想到的?

生9:是受 $S_{n} = n a_{1} + \frac{n (n - 1)}{2} d$ 的结果或目标中, 有 $\frac{d}{2}$ 的启发.

师:你太棒了!那么, 我们一起写出证明吧! (证法3)

$\begin{array}{l} S_{n} = a_{1} + \frac{1}{2 d} [(a_{3} a_{2} - a_{2} a_{1}) \\ + (a_{4} a_{3} - a_{3} a_{2}) + (a_{5} a_{4} - a_{4} a_{3}) \\ + \dots + (a_{n + 1} a_{n} - a_{n} a_{n - 1})] \\ = a_{1} + \frac{1}{2 d} (a_{n + 1} a_{n} - a_{2} a_{1}) \\ = a_{1} + \frac{1}{2 d} {(a_{1} + n d) [a_{1} + (n - 1) d] \\ - (a_{1} + d) a_{1}} \\ = n a_{1} + \frac{n (n - 1)}{2} d . \end{array}$

(整个推证过程, 同学们兴奋不已, 有的为该同学的证法欢呼喝彩, 有的跃跃欲试想其它裂项方法)

说明 ①数学教学必须遵循人们认知的普遍规律, 即“由特殊到一般”, 也就是在认识个体的基础上去认识全体, 继而再用一般的结论或方法来解决具体问题.在上课过程中当学生完成了证法3后, 笔者板书了如下框图, 以帮助学生更好理解认识裂项法是数列求和的一般方法, 是通法.而“倒序相加法”适用于等差数列前n项和公式推导或求和的特殊方法, 是一般与特殊的关系.

以下是同学们讨论的裂项成果, 写出来与读者分享:

裂项方法2 受目标 $S_{n} = n a_{1} + \frac{n (n - 1)}{2} d$ 中有na1的启发

$\begin{array}{l} a_{n} = a_{1} + (n - 1) d \\ = a_{1} + \frac{d}{2} [n^{2} - (n - 1)^{2} - 1] \\ = [a_{1} + \frac{d}{2} n^{2}] - [\frac{d}{2} (n - 1)^{2} + 1] . \end{array}$

裂项方法3 因为2d=an+1-an-1 (n≥2) , 所以2dan=an+1an-anan-1 (n≥2) , 则

$a_{n} = \frac{1}{2 d} (a_{n + 1} a_{n} - a_{n} a_{n - 1}) (n \geq 2) .$

裂项方法4 由 (x+y) (x-y) =x2-y2,

$\begin{array}{l} 得 x y = (\frac{x + y}{2})^{2} - (\frac{x - y}{2})^{2} \\ = \frac{(x + y)^{2} - (x - y)^{2}}{4} . \end{array}$

令x=an, y=d, 则

$\begin{array}{l} a_{n} = \frac{(a_{n} + d)^{2} - (a_{n} - d)^{2}}{4 d} \\ = \frac{1}{4 d} (a_{n + 1}^{2} - a_{n - 1}^{2}) (n \geq 2) . \end{array}$

$\begin{array}{l} 裂项方法 5 由 (k + 1)^{2} - k^{2} = 2 k + 1 ‚ \\ k = \frac{(k + 1)^{2} - k^{2}}{2} - \frac{1}{2} ‚ \end{array}$

$\begin{array}{l} 得 a_{n} = \frac{(a_{n} + d)^{2} - (a_{n})^{2}}{4} - \frac{d}{2} \\ = \frac{1}{2 d} (a_{n + 1}^{2} - a_{n}^{2}) - \frac{d}{2} . \end{array}$

②教证明, 培养和提高学生的演绎推理或逻辑证明的能力是高中数学课程的重要目标.那么, 如何教证明, 又如何通过教证明让学生学会证明, 众多专家发表过许多真知灼见.在本课例中, 笔者运用了数学探究这一新课程大力倡导的学习形式, 对求和思路的发现, 形成以及多种裂项方法的探索, 在笔者的引导下, 让学生实施了局部探究, 从教学效果来看是令人满意的.在数学课堂中, 学生除了学习到应有的知识以外, 更要挖掘他们的创造潜能, 实现具有人文价值的创新与创造, 而这些都要以理性的探索、求真、质疑作为坚强的依托.理性的探索具体表现在对问题情境能合理地选择有效的手段和策略, 灵活运用所学的知识与方法进行探索研究, 理清解决问题的思路, 既快又准甚至是创造性地解决问题.[6]

③关注学生认知规律少, 强加于人的“不自然”现象, 在我们的课堂教学中并不少见, 它对学生学习兴趣的培养, 内部动机的激发, 学习效率和效果的提高都有着极为不利的影响.因此, 如何“采集”和“创造”有效的教学素材, 寻求适合学生的教学设计, 还课堂一个清新自然的过程, 使学生获得最优的发展, 就是摆在我们面前的一个不容忽视的问题.笔者对等差数列求和公式的推导运用了“归纳—猜想—证明”这一科学发现和解决问题的方法进行了尝试, 学生从中充满了火热的思考, 历经观察、归纳、猜想、证明, 结论的探究、方法的探求, 体验了知识创造过程的辛酸苦辣, 感悟了数学本质.总之, 我们的老师必须具有独特的教育素质、情感色彩和人格魅力, 让每个学生经历并用自己的内心体验“再创造与再发现的过程”, 完成个人体验的全过程, 获得丰富积极的数学体验, 这样学生的灵性才能完全释放出来, 创新意识才有可能形成, 并得到发展[7].

3教材编写建议

通过以上的探讨可以说, 数列求和 (包括等差 (比) 数列前n项和公式的推导) 最为自然基本的方法是“裂项法”, “裂项法”是数列求和的通法.而现行教材中对等差 (比) 数列求和公式的推导方法带有一定的技巧性和应用上的局限性, 事实上, 关于运用“倒序相加法”, “错位相减法”求和的练习题, 甚至高考题, 都是人为编造的, 价值不大.更何况这与今天倡导的数学课程应返璞归真, 注重揭示问题之根本, 大力提倡通性通法, 淡化技巧的理念是相悖的.最后, 我们建议:以后的教材编写时, 对数列求和问题 (包括等差 (比) 数列前n项和公式的推导) 的解决中, 自始至终地渗透“裂项、消项”思想, 并成为数列求和的一条主线, 而把现行教材中的“倒序相加法”, “错位相减法”降低要求或排为习题、思考题或编写为“阅读材料”之中, 对激发学生的学习兴趣, 让学生感悟数学美, 并因此欣赏数学, 热爱数学也是大有裨益的.

参考文献

[1]陆楷章.“是教材设计的缺陷吗”[J].数学通报, 2009, (1) .

[2]陈朝晖.“等差数列的前n项和公式推导”的商榷[J].数学通报, 2007, (5) .

[3]曹才翰, 章建跃.数学教育心理学[M].北京:北京师范大学出版社, 2007.

[4]李吉宝, 李树臣.新课程下中学数学教学之特征[J].数学教育学报, 2009, 18 (3) .

[5]张奠宙.数学教育经纬[M].南京:江苏教育出版社, 2003.

[6]杨帆.深入数学本质感悟数学精神[J].中学数学月刊, 2009, (9) .

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