六年级数学比的测试题

六年级数学比的测试题（共13篇）

1.六年级数学比的测试题篇一

六年级数学上册分数除法和比的练习试题

填空题。

1、( )：( )=2.5= =( )：0.4

2、甲、乙两数的比是4:5，甲数是20，乙数是( )。

3、把千克平均分成两份，每份是( )千克。

4、 24的是( )，一个数的是25，这个数是( );( )的是15;( )的和0.75的.倒数相等。

5、在○里填上或=。

○ ○ ○

6、一项工程计划10天完成，那么平均每天完成这项工程的，( )天能完成这项工程的。

7、一根绳子的是6米，这根绳子长( )米。

8、一辆轿车每行驶6km耗油 L，平均每升汽油可行驶( )km,行驶1km耗油( )L。

9、要配制一种药水，12.5g的药剂，需要200g的水，药剂质量与水质量的最简整数比是( )：( )

10、把一张纸的平均分成3份，每份是这张纸的几分之几?在下面画图表示平均分的过程。

列式是：

2.六年级数学比的测试题篇二

本大题共12小题, 每小题5分, 共60分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.

1.已知R是实数集, $Μ = {x | \frac{2}{x} < 1}, Ν = {y | y = \sqrt{x - 1}}$ , 则N∪∁RM= ( ) .

(A) (1, 2) (B) [0, +∞)

2.在复平面内, 复数z=sin3+icos3 (i是虚数单位) 对应的点位于 ( ) .

(A) 第一象限 (B) 第二象限

3.已知函数f (x) 是定义在R上的奇函数, 且对任意x∈R有f (x) =f (2-x) 成立, 则f (2012) 的值为 ( ) .

(A) 0 (B) 1

4.下列命题不正确的是 ( ) .

(A) 如果一个平面内的一条直线垂直于另一个平面内的任意直线, 则两平面垂直

(B) 如果一个平面内的任一条直线都平行于另一个平面, 则两平面平行

(D) 如果两条不同的直线在一平面内的射影互相垂直, 则这两条直线垂直

5以φ (x) 表示标准正态总体在区间 (-∞, x) 内取值的概率, 若随机变量ξ服从正态分布N (μ, σ2) , 则概率P (|ξ-μ|<σ) 等于 ( ) .

$\begin{array}{l} (A) φ (μ + σ) - φ (μ - σ) (B) φ (1) - φ (- 1) \\ (C) φ (\frac{1 - μ}{σ}) (D) 2 φ (μ + σ) \end{array}$

6.数据a1, a2, a3, …, an的标准差为2, 则数据2a1, 2a2, 2a3, …, 2an的方差为 ( ) .

(A) 16 (B) 8

7.圆周上给定10个点, 每两点连一条弦, 如果没有三条弦交于圆内一点, 那么, 这些弦在圆内一共有 ( ) 个交点.

(A) 4940 (B) 420

8.已知三棱锥的三视图如图1所示, 则它的外接球表面积为 ( ) .

(A) 16π (B) 8π

9.已知 $f (x) = \cos (ω x + \frac{π}{3}) (ω > 0)$ 的图象与y=1的图象的两相邻交点间的距离为π, 要得到y=f (x) 的图象, 只需把y=sinωx的图象 ( ) .

(A) 向左平移 $\frac{5}{12} π$ 个单位

(B) 向右平移 $\frac{5}{12} π$ 个单位

(D) 向右平移 $\frac{7}{12} π$ 个单位

10.设O为△ABC的外心, 且 $3 \vec{Ο A} + 4 \vec{Ο B} + \vec{5 Ο C} = 0$ , 则△ABC的内角

$\begin{array}{l} C = () . \\ (A) \frac{π}{2} (B) \frac{π}{3} \\ (C) \frac{π}{4} (D) \frac{π}{6} \end{array}$

11.函数 $f (x) = - \frac{2}{3} x^{3} - a x^{2} + 2 b x (a, b \in R)$ 在区间[-1, 2]上单调递增, 则 $\frac{b}{a}$ 的取值范围是 ( ) .

(A) (-∞, -1) ∪ (2, +∞)

(B) (2, +∞)

(D) (-1, 2)

12.已知 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0) ‚ Μ ‚ Ν$ 是椭圆上关于原点对称的两点, P是椭圆上任意一点且直线PM, PN的斜率分别为k1和k2, k1k2≠0, 则|k1|+|k2|的最小值为1, 则椭圆的离心率为 ( ) .

$\begin{array}{l} (A) \frac{\sqrt{2}}{2} (B) \frac{\sqrt{2}}{4} \\ (C) \frac{\sqrt{3}}{4} (D) \frac{\sqrt{3}}{2} \end{array}$

二、填空题:

本大题共4小题, 每小题4分, 共16分.把答案填在题中的横线上.

13. (理科) 在平面区域{ (x, y) |y≤-x2+2x, 且y≥0}内任意取一点P, 则所取的点P恰是平面区域{ (x, y) |y≤x, x+y≤2, 且y≥0}内的点的概率为______.

(文科) 已知x, y满足条件为常数, 若z=x+3y的最大值为8, 则k=______.

14. (理科) 一个算法的程序框图如图2所示, 若该程序输出的结果为 $\frac{4}{5}$ , 则判断框中应填入的条件是______.

(文科) 已知x>0, y>0, x+3y=1, 则 $\frac{1}{x} + \frac{1}{3 y}$ 的最小值是______.

15.将侧棱相互垂直的三棱锥称为“直角三棱锥”, 三棱锥的侧面和底面分别叫直角三棱锥的“直角面和斜面”, 过三棱锥顶点及斜面任两边中点的截面均称为斜面的“中面”.已知直角三角形具有性质:“斜边的中线长等于斜边边长的一半.”仿照此性质写出直角三棱锥具有的性质:“______.”

16.圆心在曲线 $y = \frac{2}{x} (x > 0)$ 上, 且与直线2x+y+1=0相切的面积最小的圆的方程为____.

三、解答题:

本大题6小题, 共74分.解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.

17. (本小题满分12分) 在△ABC中, 设 $\vec{B C} \cdot \vec{C A} = \vec{C A} \cdot \vec{A B} .$

(Ⅰ) 求证:△ABC为等腰三角形;

(Ⅱ) 若 $| \vec{B A} + \vec{B C} | = 2$ , 且 $B \in [\frac{π}{3}, \frac{2 π}{3}]$ , 求 $\vec{B A} \cdot \vec{B C}$ 的取值范围.

18. (本小题满分12分) (理科) 如图3, 四棱锥P—ABCD的底面ABCD是正方形, 侧棱PD⊥底面ABCD, PD=DC, E是PC的中点.

(Ⅰ) 证明:PA//平面BDE;

(Ⅱ) 求二面角B—DE—C的平面角的余弦值;

(Ⅲ) 在棱PB上是否存在点F, 使PB⊥平面DEF?证明你结论.

(文科) 在如图4所示的长方体ABCD-A1B1C1D1中, 底面ABCD是边长为2的正方形, O为AC与BD的交点, $B B_{1} = \sqrt{2} ‚ Μ$ 是线段B1D1的中点.

(Ⅰ) 求证:BM//平面D1AC;

(Ⅱ) 求三棱锥D1-AB1C的体积.

19. (本小题满分12分) (理科) 某高校从6名学生会干部 (其中男生4人, 女生2人) 中选3人参加2010年广州第16届亚运会志愿者.

(Ⅰ) 设所选3人中女生人数为ξ, 求ξ的分布列及数学期望;

(Ⅱ) 在男生甲被选中的情况下, 求女生乙也被选中的概率.

(文科) “世界睡眠日”定在每年的3月21日.2010年的世界睡眠日主题是“良好睡眠, 健康人生”, 以提高公众对健康睡眠的自我管理能力和科学认识.为此某校学生社团2010年3月13日到3月20日持续一周的在线调查, 共有200人参加调查, 现将数据整理分组如题中表格所示.

(Ⅰ) 求出频率分布表中①、②位置相应数据, 并在给定的坐标系中 (如图5) 补全频率分布直方图;

(Ⅱ) 睡眠时间小于8小时的概率是多少?睡眠时间的中位数可能落在哪一组? (写出理由)

(Ⅲ) 为了对数据进行分析, 采用了计算机辅助计算.分析中一部分计算见算法流程图 (如图6) , 求输出的S的值, 并说明S的统计意义.

20. (本小题满分12分) 在数列{an}中, 已知 $a_{1} = 1, a_{2} = \frac{1}{4}$ , 且 $a_{n + 1} = \frac{(n - 1) a_{n}}{n - a_{n}} (n = 2, 3, 4, \dots) .$

(Ⅰ) 求数列{an}的通项公式;

(Ⅱ) (理科) 求证:对一切n∈N*, 有 $\sum_{k = 1}^{n} a_{k}^{2} < \frac{7}{6} .$

(文科) 令 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} \cdot a_{n + 1}} (n \in Ν^{*})$ , 求数列{bn}的前n项和Tn.

21. (本小题满分12分) 已知F1、F2分别为椭圆C1: $\frac{y^{2}}{a^{2}} + \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的上、下焦点, 其中F1也是抛物线C2:x2=4y的焦点, 点M是C1与C2在第二象限的交点, 且 $| Μ F_{1} | = \frac{5}{3} .$

(Ⅰ) 求椭圆C1的方程;

(Ⅱ) 已知A (b, 0) , B (0, a) , 直线y=kx (k>0) 与AB相交于点D, 与椭圆C1相交于E、F两点.求四边形AEBF面积的最大值.

22. (本小题满分14分) (理科) 设函数f (x) =xn (n≥2, n∈N*) .

(Ⅰ) 若Fn (x) =f (x-a) +f (b-x) (0<a<x<b) , 求Fn (x) 的取值范围;

(Ⅱ) 若Fn (x) =f (x-b) -f (x-a) , 对任意n≥a ( 2≥a>b>0) ,

证明:F′n (n) ≥n (a-b) (n-b) n-2.

(文科) 已知函数f (x) =x3-bx2+2cx的导函数的图象关于直线x=2对称.

(Ⅰ) 求b的值;

(Ⅱ) 若函数f (x) 无极值, 求c的取值范围;

(Ⅲ) 若f (x) 在x=t处取得极小值, 记此极小值为g (t) , 求g (t) 的定义域和值域.

参考答案

1.B.因为 $Μ = {x | \frac{2}{x} < 1} = {x | x > 2 或 x < 0}, ∁_{R} Μ = [0, 2], Ν = {y | y = \sqrt{x - 1}} = [0, + \infty)$ , 故N∪∁MR=[0, +∞) , 选B.

2.D.因为 $\frac{π}{2} < 3 < π$ , 所以cos3<0, sin3>0, 故点 (sin3, cos3) 在第四象限, 选D.

3.A.由题意知, f (x+2) =f[2- (x+2) ]=f (-x) =-f (x) , 则f (x+4) =-f (x+2) =f (x) , 所以f (x) 是周期为4的周期函数.又函数f (x) 是定义在R上的奇函数, 所以由函数的周期性得f (2012) =f (0) =0, 故选A.

4.D.A命题符合线面垂直及面面垂直的判定定理, 所以正确;B命题属于线面平行及面面平行的判定;C命题是线面平行的性质定理;D命题“两条不同的直线在一平面内的射影互相垂直”, 这两条直线可能相交、异面, 但不一定垂直, 比如正四棱锥的两条相对侧棱.

$5 . B . Ρ (| ξ - μ | < σ) = Ρ (σ + μ) - Ρ (μ - σ) = φ (\frac{σ + μ - μ}{σ}) - φ (\frac{μ - σ - μ}{σ}) = φ (1) - φ (- 1)$ , 故选B.

6.A.数据2a1, 2a2, 2a3, …, 2an的平均值是数据a1, a2, a3, …, an平均值的2倍, 所以由标准差及方差的公式容易得, 2a1, 2a2, 2a3, …, 2an的方差为16.

7.C.圆周上任意四点构成一个四边形, 四边形的两条对角线的交点必在圆内, 所以四边形的个数与每两条弦的交点数相等, 故有 $C_{10}^{4} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{1 \times 2 \times 3 \times 4} = 210$ 个交点. 故选C.

8.C.由三视图形成直观图, 如图所示, 可知面ACD⊥面 $B C D ‚ B D = 1 ‚ B C = \sqrt{3} ‚ ∴ C D = 2 ‚ B Ο_{1} = 1$ .设三棱锥外接球的半径为R.

在Rt△BOO1中, 由勾股定理知, OB2=BO $_{1}^{2}$ +O1O2, 即R2=12+ (1-R) 2, 解之, 得R=1, 所以球的表面积为4π.

9.A.依题意知, y=f (x) 的最小正周期为π, 故ω=2.因为 $y = \cos (2 x + \frac{π}{3}) = \sin (2 x + \frac{π}{3} + \frac{π}{2}) = \sin (2 x + \frac{5 π}{6})$ , 所以把y=sin2x的图象向左平移 $\frac{5}{12} π$ 个单位即可得到 $y = \cos (2 x + \frac{π}{3})$ 的图象.选A.

另解:把y=sin2x的图象向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位, 可得到y=cos2x的图象, 再把y=cos2x的图象向向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位, 即可得到 $y = \cos (2 x + \frac{π}{3})$ 的图象, 共向左平移 $\frac{5 π}{12}$ 个单位.

10.C.由 $3 \vec{Ο A} + 4 \vec{Ο B} + 5 \vec{Ο C} = 0$ , 得

$3 \vec{Ο A} + 4 \vec{Ο B} = - 5 \vec{Ο C} .$

两边平方, 得

$25 \vec{Ο C}^{2} = 9 \vec{Ο A}^{2} + 16 \vec{Ο B}^{2} + 24 \vec{Ο A} \cdot \vec{Ο B} .$

又OA2=OB2=OC2, 所以 $\vec{Ο A} • \vec{Ο B} = 0$ , 所以 $∠ A Ο B = \frac{π}{2}$ , 从而角C为 $\frac{π}{4}$ , 故选C.

11.A.由题可知, f ′ (x) =-2x2-2ax+2b>0 在 (-1, 2) 上恒成立, 即x2+ax-b<0在 (-1, 2) 上恒成立.

故

如图, $\frac{b}{a}$ 的几何意义为图中阴影部分内的点与原点连线的斜率.故选A.

12.D.首先证明: $| k_{1} k_{2} | = \frac{b^{2}}{a^{2}}$ .设M (x0, y0) , N (-x0, -y0) , P (x, y) .由题意知, $k_{Ρ Μ} = \frac{y - y_{0}}{x - x_{0}} ‚ k_{Ρ Ν} = \frac{y + y_{0}}{x + x_{0}} ‚ ∴ k_{Ρ Μ} \cdot k_{Ρ Ν} = \frac{y - y_{0}}{x - x_{0}} \times \frac{y + y_{0}}{x + x_{0}} = \frac{y^{2} - y_{0}^{2}}{x^{2} - x_{0}^{2}} .$

又点P、M在椭圆上,

两式相减得 $| k_{1} k_{2} | = \frac{b^{2}}{a^{2}} .$

所以 $| k_{1} | + | k_{2} | \geq \frac{2 b}{a} = 1, \frac{b}{a} = \frac{1}{2}, e = \frac{\sqrt{3}}{2} .$

故选D.

13. (理科) $\frac{3}{4}$ .依题意及几何概型的求法知,

(文科) -6.由可行域可知, 目标函数z的最大值在y=x与2x+y+k=0的交点处取得, 联立方程组可得交点

$\begin{array}{l} (- \frac{k}{3}, - \frac{k}{3}) ‚ \\ ∴ z = - \frac{k}{3} - k = - \frac{4}{3} k = 8, ∴ k = - 6 . \end{array}$

14. (理科) “i<5 或sum<4 ”.由循环体可知, 当sum=1时, $s = 0 + \frac{1}{1 \times 2}$ ;当sum=2时, $s = \frac{1}{2} + \frac{1}{2 \times 3} = \frac{2}{3}$ ;…;当sum=4时, $s = \frac{3}{4} + \frac{1}{4 \times 5} = \frac{4}{5}$ .因此, 判断框中应填“i<5 ”或“sum<4 ”.

(文科) 4.已知x+3y=1, 则 $\frac{1}{x} + \frac{1}{3 y} = \frac{x + 3 y}{x} + \frac{x + 3 y}{3 y} = 2 + (\frac{3 y}{x} + \frac{x}{3 y}) \geq 2 + 2 \sqrt[]{1} = 4$ , 当且仅当 $x = \sqrt{3} y$ 时, 等号成立.

15.在直角三棱锥中, 斜面的中面面积等于斜面面积的四分之一.

16. (x-1) 2+ (y-2) 2=5.设圆心为 $(a, \frac{2}{a}) (a > 0)$ , 则 $r = \frac{| 2 a + \frac{2}{a} + 1 |}{\sqrt{5}} \geq \frac{| 2 \sqrt[]{2 a \cdot \frac{2}{a}} + 1 |}{\sqrt{5}} = \sqrt{5}$ , 当且仅当a=1时等号成立.当r最小时, 圆的面积S=πr2最小, 此时圆的方程为 (x-1) 2+ (y-2) 2=5.

$\begin{array}{l} 17 . 解 ∶ (Ⅰ) ∵ \vec{B C} \cdot \vec{C A} = \vec{C A} \cdot \vec{A B} ‚ \\ ∴ \vec{C A} \cdot (\vec{B C} - \vec{A B}) = 0 ‚ \end{array}$

$\begin{array}{l} 又 \vec{A B} + \vec{B C} + \vec{C A} = 0 ‚ 则 \vec{C A} = - (\vec{A B} + \vec{B C}) ‚ \\ ∴ - (\vec{A B} + \vec{B C}) (\vec{B C} - \vec{A B}) = 0 ‚ \\ ∴ \vec{A B}^{2} = \vec{B C}^{2}, 即 | A B | = | B C |, \end{array}$

所以△ABC为等腰三角形.

注:本问也可以由 $\vec{C A} \cdot (\vec{B C} - \vec{A B}) = 0$ , 即 $\vec{C A} \cdot (\vec{B C} + \vec{B A}) = 0$ , 得△ABC的边AC与其上的中线垂直, 故△ABC为等腰三角形.

(Ⅱ) 因为 $B \in [\frac{π}{3}, \frac{2 π}{3}]$ , 则 $\cos B \in [- \frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$ , 设 $| \vec{A B} | = | \vec{B C} | = a$ , 又 $| \vec{B A} + \vec{B C} | = 2$ , 平方整理得 $a^{2} = \frac{2}{1 + c o s B}$ ,

则 $\vec{B A} \cdot \vec{B C} = a^{2} \cos B = \frac{2 c o s B}{1 + c o s B} = 2 - \frac{2}{1 + c o s B} .$

又 $\cos B \in [- \frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$ ,

所以 $\vec{B A} \cdot \vec{B C} \in [- 2, \frac{2}{3}] .$

18. (理科) 解: (Ⅰ) 以D为坐标原点, 分别以DA, DC, DP所在直线为x轴, y轴, z轴建立空间直角坐标系, 设PD=DC=2, 则 $A (2 ‚ 0 ‚ 0) ‚ Ρ (0 ‚ 0 ‚ 2) ‚ E (0 ‚ 1 ‚ 1) ‚ B (2 ‚ 2 ‚ 0) ‚ \vec{Ρ A} = (2, 0, - 2), \vec{D E} = (0, 1, 1), \vec{D B} = (2, 2, 0) .$

设n1= (x, y, z) 是平面BDE的一个法向量,

则由

又PA⊄平面BDE, ∴PA//平面BDE.

(Ⅱ) 由 (Ⅰ) 知, n1= (1, -1, 1) 是平面BDE的一个法向量, 又 $n_{2} = \vec{D A} = (2 ‚ 0 ‚ 0)$ 是平面DEC的一个法向量. 设二面角B—DE—C的平面角为θ, 由图可知

$\begin{array}{l} θ = 〈 n_{1}, n_{2} 〉 ‚ \\ ∴ \cos θ = \cos 〈 n_{1} ‚ n_{2} 〉 = \frac{n_{1} \cdot n_{2}}{| n_{1} | \cdot | n_{2} |} = \frac{2}{\sqrt{3} \times 2} \\ = \frac{\sqrt{3}}{3} ‚ \end{array}$

$\begin{array}{l} 故二面角 B — D E — C 的余弦值为 \frac{\sqrt{3}}{3} . \\ (Ⅲ) ∵ \vec{Ρ B} = (2, 2, - 2), \vec{D E} = (0, 1, 1) ‚ \\ ∴ \vec{Ρ B} \cdot \vec{D E} = 0 + 2 - 2 = 0, ∴ Ρ B ⊥ D E . \end{array}$

假设棱PB上存在点F, 使PB⊥平面DEF.

设 $\vec{Ρ F} = λ \vec{Ρ B} (0 < λ < 1)$ ,

$\begin{array}{l} 则 \vec{Ρ F} = (2 λ, 2 λ, - 2 λ), \\ \vec{D F} = \vec{D Ρ} + \vec{Ρ F} = (2 λ, 2 λ, 2 - 2 λ) ‚ \end{array}$

$\begin{array}{l} 由 \vec{Ρ F} \cdot \vec{D F} = 0 得 4 λ^{2} + 4 λ^{2} - 2 λ (2 - 2 λ) = 0 ‚ \\ ∴ λ = \frac{1}{3} \in (0, 1) ‚ 此时 Ρ F = \frac{1}{3} Ρ B ‚ \end{array}$

即在棱PB上存在点 $F ‚ Ρ F = \frac{1}{3} Ρ B$ , 使得PB⊥平面DEF.

(文科) 解: (Ⅰ) 如图, 连结D1O.

∵O, M分别是BD, B1D1的中点, BD1D1B是矩形,

∴四边形D1OBM是平行四边形,

∴D1O//BM.

∵D1O⊂平面D1AC, BM⊄平面D1AC,

∴BM//平面D1AC.

(Ⅱ) 连结OB1.∵正方形ABCD的边长为 $2 ‚ B B_{1} = \sqrt{2} ‚ ∴ B_{1} D_{1} = 2 \sqrt[]{2} ‚ Ο B_{1} = 2 ‚ D_{1} Ο = 2$ ,

则OB $_{1}^{2}$ +D1O2=B1D $_{1}^{2}$ , ∴OB1⊥D1O.

又∵在长方体ABCD-A1B1C1D1中, AC⊥BD, AC⊥D1D, 且BD∩D1D=D,

∴AC⊥平面BDD1B1.

又D1O⊂平面BDD1B1,

∴AC⊥D1O.

又AC∩OB1=O,

∴D1O⊥平面AB1C,

即D1O为三棱锥D1-AB1C的高.

$\begin{array}{l} ∵ S_{△ A B_{1} C} = \frac{1}{2} \cdot A C \cdot Ο B_{1} = \frac{1}{2} \times 2 \sqrt[]{2} \times 2 \\ = 2 \sqrt[]{2} ‚ D_{1} Ο = 2 ‚ \\ ∴ V_{D_{1} - A B_{1} C} = \frac{1}{3} \cdot S_{Δ A B_{1} C} \cdot D_{1} Ο \\ = \frac{1}{3} \times 2 \sqrt[]{2} \times 2 = \frac{4}{3} \sqrt[]{2} . \end{array}$

另解:从等积变换的角度作如下考虑:

$\begin{array}{l} V_{D_{1} - A B_{1} C} = V_{D_{1} - A Ο B_{1}} + V_{D_{1} - C B_{1} Ο} \\ = V_{A - Ο B_{1} D_{1}} + V_{C - Ο B_{1} D_{1}} \\ = \frac{1}{3} \cdot S_{△ Ο B_{1} D_{1}} (Ο A + Ο C) \\ = \frac{1}{3} \cdot A C \cdot S_{△ Ο B_{1} D_{1}} \\ = \frac{1}{3} \cdot 2 \sqrt[]{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot 2 \sqrt[]{2} \cdot \sqrt[]{2} = \frac{4}{3} \sqrt[]{2} . \end{array}$

19. (理科) (Ⅰ) 解:ξ的所有可能取值为0, 1, 2.

$\begin{array}{l} 依题意知 ‚ Ρ (ξ = 0) = \frac{C_{4}^{3}}{C_{6}^{3}} = \frac{1}{5} ‚ \\ Ρ (ξ = 1) = \frac{C_{4}^{2} C_{2}^{1}}{C_{6}^{3}} = \frac{3}{5} ‚ Ρ (ξ = 2) = \frac{C_{4}^{1} C_{2}^{2}}{C_{6}^{3}} = \frac{1}{5} . \end{array}$

∴ξ的分布列为:

$∴ E ξ = 0 \times \frac{1}{5} + 1 \times \frac{3}{5} + 2 \times \frac{1}{5} = 1 .$

(Ⅱ) 解法1:设“男生甲被选中”为事件A, “女生乙被选中”为事件B,

$\begin{array}{l} 则 Ρ (A) = \frac{C_{5}^{2}}{C_{6}^{3}} = \frac{1}{2} ‚ Ρ (A B) = \frac{C_{4}^{1}}{C_{6}^{3}} = \frac{1}{5} ‚ \\ ∴ Ρ (B | A) = \frac{Ρ (A B)}{Ρ (A)} = \frac{2}{5} . \end{array}$

故在男生甲被选中的情况下, 女生乙也被选中的概率为 $\frac{2}{5} .$

解法2:设“男生甲被选中的情况下, 女生乙也被选中”为事件C, 从4个男生、2个女生中选3人, 男生甲被选中的种数为C $_{5}^{2}$ =10, 男生甲被选中, 女生乙也被选中的种数为

$\begin{array}{l} C_{4}^{1} = 4 ‚ \\ ∴ Ρ (C) = \frac{C_{4}^{1}}{C_{5}^{2}} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5} . \end{array}$

故在男生甲被选中的情况下, 女生乙也被选中的概率为 $\frac{2}{5} .$

(文科) 解: (Ⅰ) ①为60;②为0.26.

频率分布直方图如图所示.

(Ⅱ) 睡眠时间小于8小时的概率是

p=0.04+0.26+0.30+0.28=0.88.

因中位数在频率分布直方图中使得在它左右两侧的直方图的面积相等, 又前两组的频率和为0.3, 前三组的频率和为0.6, 故中位数落在第三组.

(注:不写理由, 直接给出结果扣1分)

(Ⅲ) 首先要理解直到型循环结构图的含义, 输入m1, f1的值后, 由赋值语句S=S+mi·fi可知, 流程图进入一个求和状态.即T6=4.5×0.04+5.5×0.26+6.5×0.30+7.5×0.28+8.5×0.10+9.5×0.02=6.70, 则输出的S为6.70.

S的统计意义是指参加调查者的平均睡眠时间, 从统计量的角度来看, 即是睡眠时间的平均 (期望) 值.

20.解: (Ⅰ) 由已知, 对n≥2

有 $\frac{1}{a_{n + 1}} = \frac{n - a_{n}}{(n - 1) a_{n}} = \frac{n}{(n - 1) a_{n}} - \frac{1}{n - 1}$ ,

两边同除以n, 得

即 $\frac{1}{n a_{n + 1}} - \frac{1}{(n - 1) a_{n}} = - (\frac{1}{n - 1} - \frac{1}{n})$ ,

$\begin{array}{l} 于是 ‚ \sum_{k = 2}^{n - 1} [\frac{1}{k a_{k + 1}} - \frac{1}{(k - 1) a_{k}}] = \\ - \sum_{k = 2}^{n - 1} (\frac{1}{k - 1} - \frac{1}{k}) = - (1 - \frac{1}{n - 1}) ‚ \end{array}$

即 $\frac{1}{(n - 1) a_{n}} - \frac{1}{a_{2}} = - (1 - \frac{1}{n - 1}), n \geq 2$ ,

$\begin{array}{l} 所以 \frac{1}{(n - 1) a_{n}} = \frac{1}{a_{2}} - (1 - \frac{1}{n - 1}) = \frac{3 n - 2}{n - 1} ‚ \\ a_{n} = \frac{1}{3 n - 2}, n \geq 2 . \end{array}$

又n=1时, 公式也成立,

故 $a_{n} = \frac{1}{3 n - 2}, n \in Ν^{*} .$

(Ⅱ) (理科) 当k≥2, 有 $a_{k}^{2} = \frac{1}{(3 k - 2)^{2}} < \frac{1}{(3 k - 4) (3 k - 1)} = \frac{1}{3} (\frac{1}{3 k - 4} - \frac{1}{3 k - 1})$ ,

所以n≥2时, 有

$\begin{array}{l} \sum_{k = 1}^{n} a_{k}^{2} = 1 + \sum_{k = 2}^{n} a_{k}^{2} < 1 + \frac{1}{3} \cdot \\ [(\frac{1}{2} - \frac{1}{5}) + (\frac{1}{5} - \frac{1}{8}) + \dots + (\frac{1}{3 n - 4} - \frac{1}{3 n - 1})] \\ = 1 + \frac{1}{3} (\frac{1}{2} - \frac{1}{3 n - 1}) < 1 + \frac{1}{6} = \frac{7}{6} . \end{array}$

又n=1时, $a_{1}^{2} = 1 < \frac{7}{6} .$

故对一切n∈N*, 有 $\sum_{k = 1}^{n} a_{k}^{2} < \frac{7}{6} .$

(文科) $∵ b_{n} = \frac{1}{a_{n} \cdot a_{n + 1}} (n \in Ν^{*})$ ,

$\begin{array}{l} 由 a_{n} = \frac{1}{3 n - 2}, n \in Ν^{*}, \\ ∴ b_{n} = \frac{1}{a_{n} \cdot a_{n + 1}} = \frac{1}{(3 n - 2) \cdot (3 n + 1)} \\ = \frac{1}{3} (\frac{1}{3 n - 2} - \frac{1}{3 n + 1}) ‚ \end{array}$

$\begin{array}{l} ∴ 数列 {b_{n}} 的前 n 项和 Τ_{n} = \frac{1}{3} \cdot [(1 - \frac{1}{4}) + (\frac{1}{4} - \frac{1}{7}) + \dots + (\frac{1}{3 n - 2} - \frac{1}{3 n + 1})] \\ = \frac{1}{3} (1 - \frac{1}{3 n + 1}) = \frac{n}{3 n + 1} ‚ \end{array}$

即数列的{bn}的前n项和 $Τ_{n} = \frac{n}{3 n + 1} .$

21.解: (Ⅰ) 方法1:由C2:x2=4y知, F1 (0, 1) , 设M (x0, y0) (x0<0) ,

因M在抛物线C2上, 故x02=4y0. ①

又 $| Μ F_{1} | = \frac{5}{3}$ , 则 $y_{0} + 1 = \frac{5}{3} ②$

由①②解得 $x_{0} = - \frac{2 \sqrt[]{6}}{3}, y_{0} = \frac{2}{3} .$

椭圆C1的两个焦点F1 (0, 1) , F2 (0, -1) , 点M椭圆上,

由椭圆定义得

$\begin{array}{l} 2 a = | Μ F_{1} | + | Μ F_{2} | \\ = \sqrt{(- \frac{2 \sqrt[]{6}}{3} - 0)^{2} + (\frac{2}{3} - 1)^{2}} + \\ \sqrt{(- \frac{2 \sqrt[]{6}}{3} - 0)^{2} + (\frac{2}{3} + 1)^{2}} = 4 ‚ \end{array}$

∴a=2.又c=1, ∴b2=a2-c2=3,

∴椭圆C1的方程为 $\frac{y^{2}}{4} + \frac{x^{2}}{3} = 1 .$

方法2:由C2:x2=4y知, F1 (0, 1) , 设M (x0, y0) (x0<0) , 因M在抛物线C2上, 故x02=4y0.①

又 $| Μ F_{1} | = \frac{5}{3}$ , 则 $y_{0} + 1 = \frac{5}{3} . ②$

由①②解得 $x_{0} = - \frac{2 \sqrt[]{6}}{3}, y_{0} = \frac{2}{3} .$

而点M椭圆上, 故有 $\frac{(\frac{2}{3})^{2}}{a^{2}} + \frac{(\frac{2 \sqrt[]{6}}{3})^{2}}{b^{2}} = 1$ ,

即 $\frac{4}{9 a^{2}} + \frac{8}{3 b^{2}} = 1 . ③$

又c=1, 则b2=a2-1. ④

由③④可解得a2=4, b2=3,

∴椭圆C1的方程为 $\frac{y^{2}}{4} + \frac{x^{2}}{3} = 1 .$

(Ⅱ) 由题知, 直线AB的方程为 $\frac{x}{\sqrt{3}} + \frac{y}{2} = 1$ , 即 $2 x + \sqrt{3} y - 2 \sqrt[]{3} = 0 .$

设E (x1, kx1) , F (x2, kx2) , 其中x1<x2.

将y=kx代入 $\frac{y^{2}}{4} + \frac{x^{2}}{3} = 1$ 中,

可得 $x^{2} = \frac{12}{3 k^{2} + 4}$ ,

即 $x_{2} = - x_{1} = \frac{2 \sqrt[]{3}}{\sqrt{3 k^{2} + 4}}$

点E到直线AB的距离为

$\begin{array}{l} d_{1} = \frac{| 2 x_{1} + \sqrt[]{3} k x_{1} - 2 \sqrt[]{3} |}{\sqrt{7}} \\ = \frac{2 \sqrt[]{3} (2 + \sqrt{3} k + \sqrt{3 k^{2} + 4})}{\sqrt{7 (3 k^{2} + 4)}} . \end{array}$

同理, 可得点F到直线AB的距离为

$\begin{array}{l} d_{2} = \frac{| 2 x_{1} + \sqrt{3} k x_{1} + 2 \sqrt[]{3} |}{\sqrt{7}} \\ = \frac{2 \sqrt[]{3} (2 + \sqrt{3} k - \sqrt{3 k^{2} + 4})}{\sqrt{7 (3 k^{2} + 4)}} . \end{array}$

又 $| A B | = \sqrt{4 + 3} = \sqrt{7}$ , 所以四边形AEBF面积 $S = \frac{1}{2} | A B | \cdot (d_{1} + d_{2}) = \frac{2 \sqrt[]{3} (2 + \sqrt{3} k)}{\sqrt{3 k^{2} + 4}} .$

$\begin{array}{l} 从而 S^{2} = \frac{12 (3 k^{2} + 4 + 4 \sqrt[]{3} k)}{3 k^{2} + 4} \\ = 12 (1 + \frac{4 \sqrt[3]{} k}{3 k^{2} + 4}) \leq 12 \times (1 + 1) = 24 ‚ \end{array}$

当且仅当 $2 = \sqrt{3} k$ , 即 $k = \frac{2 \sqrt[]{3}}{3}$ 时, 等号成立.

此时四边形面积的最大值为 $S_{\max} = 2 \sqrt[]{6} .$

另解:将四边形分为△AEF和△BEF, A, B到EF的距离可求出 $d_{A} = \frac{k b}{\sqrt{k^{2} + 1}} ‚ d_{B} = \frac{a}{\sqrt{k^{2} + 1}} ‚ E F$ 也可求出,

$\begin{array}{l} E F = \sqrt{k^{2} + 1} \sqrt[]{\frac{48}{4 + 3 k^{2}}} ‚ \\ ∴ S_{△ E B F} = S_{△ A E F} + S_{△ B E F} \\ = \frac{1}{2} \cdot E F \cdot (d_{A} + d_{B}) \\ = 2 \sqrt[]{3} \cdot \frac{a + k b}{\sqrt{k^{2} + 1}} \cdot \sqrt{k^{2} + 1} \cdot \frac{1}{\sqrt{4 + 3 k^{2}}} \\ = 2 \sqrt[]{3} \cdot \frac{2 + \sqrt{3} k}{\sqrt{4 + 3 k^{2}}} \\ \leq 2 \sqrt[]{3} \cdot \frac{2 + \sqrt{3} k}{\sqrt{2 \cdot (\frac{2 + \sqrt{3} k}{2})^{2}}} \\ = 2 \sqrt[]{3} \cdot \sqrt[]{2} = 2 \sqrt[]{6} ‚ \end{array}$

即 $S_{\max} = 2 \sqrt[]{6} .$

22.解: (理科) (Ⅰ) ∵Fn (x) =f (x-a) +f (b-x) = (x-a) n+ (b-x) n,

∴F′n (x) =n (x-a) n-1+n (b-x) n-1· (-1)

=n[ (x-a) n-1- (b-x) n-1].

令F′n (x) =0, 得 (x-a) n-1= (b-x) n-1.

∵0<a<x<b,

∴f (x) =xn (n≥2, n∈N+) 为单调递增函数,

$∴ x = \frac{a + b}{2} .$

$\begin{array}{l} ∴ F_{n} (x)_{\min} = F_{n} (\frac{a + b}{2}) = (\frac{b - a}{2})^{n} + (\frac{b - a}{2})^{n} \\ = \frac{(b - a)^{n}}{2^{n - 1}} . \end{array}$

又Fn (x) 在x=a, x=b处连续且

即Fn (x) 的取值范围为 $[\frac{(b - a)^{n}}{2^{n - 1}} ‚ (b - a)^{n}) .$

则F′n (n) =n[ (n-b) n-1- (n-a) n-1].

∵当x≥a>0时, F′n (x) >0,

∴当x≥a>0时, Fn (x) 是关于x的增函数.

$\begin{array}{l} ∴ 当 n \geq a 时 ‚ (n + 1 - b)^{n} - (n + 1 - a)^{n} ＞ (n - b)^{n} - (n - a)^{n} ＞ 0 ‚ \\ ∴ F^{'}_{n + 1} (n + 1) = (n + 1) [(n + 1 - b)^{n} - (n + 1 - a)^{n}] ＞ (n + 1) [(n - b)^{n} - (n - a)^{n}] ＞ (n + 1) [(n - b) (n - b)^{n - 1} - (n - b) (n - a)^{n - 1}] \\ = (n + 1) (n - b) \frac{n}{n} [(n - b)^{n - 1} - (n - a)^{n - 1}] \\ = \frac{n + 1}{n} (n - b) \cdot F^{'}_{n} (n) ‚ \end{array}$

而F′n (n) >0,

于是 $\frac{F^{'}_{n + 1} (n + 1)}{F^{'}_{n} (n)} ＞ \frac{n + 1}{n} \cdot (n - b) .$

当n≥3时,

$\begin{array}{l} F^{'}_{n} (n) = \frac{F^{'}_{n} (n)}{F^{'}_{n - 1} (n - 1)} \cdot \frac{F^{'}_{n - 1} (n - 1)}{F^{'}_{n - 2} (n - 2)} \cdot \dots \cdot \frac{F^{'}_{3} (3)}{F^{'}_{2} (2)} \cdot F^{'}_{2} (2) ＞ \\ \frac{n}{n - 1} \cdot \frac{n - 1}{n - 2} \cdot \dots \cdot \frac{3}{2} \cdot 2 (a - b) \cdot (n - b)^{n - 2} \\ = n (a - b) (n - b)^{n - 2} ‚ \end{array}$

即F′n (n) ≥n (a-b) (n-b) n-2.

(文科) 解: (Ⅰ) f ′ (x) =3x2-2bx+2c.

∵函数f ′ (x) 的图象关于直线x=2对称,

$∴ - \frac{- 2 b}{6} = 2$ , 即b=6.

(Ⅱ) 由 (Ⅰ) 知, f (x) =x3-6x2+2cx,

f ′ (x) =3x2-12x+2c=3 (x-2) 2+2c-12,

当c≥6时, f ′ (x) ≥0, 此时f (x) 无极值.

(Ⅲ) 当c<6时, f ′ (x) =0有两个异实根x1, x2, 不妨设x1<x2, 则x1<2<x2;

当x<x1时, f ′ (x) >0, f (x) 在区间 (-∞, x1) 内为增函数;

当x1<x<x2时, f ′ (x) <0, f (x) 在区间 (x1, x2) 内为减函数;

当x>x2时, f ′ (x) >0, f (x) 在区间 (x2, +∞) 内为增函数.

所以, f (x) 在x=x1处取极大值, 在x=x2处取极小值, 因此, 当且仅当c<6时, 函数f (x) 在x=x2处存在唯一极小值, 所以t=x2>2.

于是g (t) 的定义域为 (2, +∞) ,

由f ′ (t) =3t2-12t+2c=0, 得

2c=-3t2+12t.

于是g (t) =f (t) =t3-6t2+ (-3t2+12t) t

=-2t3+6t2, t∈ (2, +∞) ,

当t>2时, g′ (t) =-6t2+12t=-6t (t-2) <0,

所以函数g (t) 在区间 (2, +∞) 上是减函数,

故g (t) 的值域为 (-∞, 8) .

3.六年级数学比的测试题篇三

[关键词]数学试题错因良策

[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2015）20-057

在某镇2014年秋季学期期末小学六年级上册数学统一水平测试中，笔者发现完小的学生在作答第六大题“解决实际问题”第5小题“用140cm长的铁丝做一个长方体的相架，长、宽、高的比是4∶2∶1。如果在外面包一层彩色包装纸，至少需要包装纸多少平方分米”时，得分率极低，对此我惴惴不安，掩卷长叹，于是阅卷反思，寻找错因，寻觅启示，寻求良策，以期改进。

一、错因分析

我们知道，解决实际问题的题目一般由条件、问题和结果三项组成。作答前要仔细阅读题目，一是理解题意，弄清楚题目是说一件什么事，及题目的已知条件和要解答的问题；二是分析数量关系，通过图解或表解等多种形式，使题中的条件简化；三是拟定解答计划，根据已知条件和数量关系，确定计算步骤，列出算式；四是解答；五是检验结果是否合理、正确。

遗憾的是学生并未按前面提及的五点要求进行作答，就匆匆下笔，导致仅列出了第一、二步对的算式：4+2+1=7，140÷7=20；从第三步起计算就错了：20×4=80（cm），20×2=40（cm），20×1=20（cm），80+40+20=140（cm），140分米=0.14平方分米。

学生的作答结果错误，主因一是没有认真细致审题，不善于从相关词语中获取必要的正确的计算信息：没有把“140cm”转化为长方体所有棱长的总和；没有从“长方体”一词想到它有6个面；没有从“外面包一层彩色包装纸”想到是求长方体的表面积，它有6个面，即（长×宽+长×高+宽×高）×2；没有从“多少平方分米”想到计算结果要用平方分米作单位。二是遗忘了长方体的长棱、宽棱和高棱各有4条，即20×4=80（cm）、20×2=40（cm）、20×1=20（cm）中的“80cm”“40cm”“20cm”分别是4条长棱、4条宽棱、4条高棱的总长，还需要分别除以4，进一步求出每一条长棱、宽棱和高棱各是多少厘米。三是把长度单位分米与面积单位平方分米混为一谈。

二、改进良策

1.加大力度建立学生数感。《义务教育数学课程标准》认为“建立数感有助于学生理解现实生活中数的意义，理解或表述具体情境中的数量关系”。为此，我们要创造条件，想方设法引导学生参与数感培养活动。如在教学长方体的表面积的过程中，我们要耐心引导每一个学生反复观察、反复抚摸、准确说出长方体的每一条长棱、每一条宽棱和每一条高棱，具体感受长方体的12条棱与6个面。在此基础上，请学生亲手测量手中的长方体，根据所测数据先分别计算长方体各个面的面积，然后再把6个面的面积加起来，即为长方体的表面积。这个教学过程从眼、手、脑、心四方面培养学生对长方体表面积的数感，留给学生的印象会是深刻、难忘且牢固的。

2.增强学生数据分析观念。数学学习离不开数据分析，学会数据分析会使我们获取数据中蕴含的数据计算信息。如上述题中的“140cm”没做成长方体前就是1条线段，做成长方体后截成了12条线段，但是总长是不变的。倘若学生的数据分析观念强，稍加分析就会从140cm想到长方体有12条棱，从12条棱想到长方体表面积计算。因此，我们要高度重视学生数据分析能力的培养，平时多做这方面的训练，不断提高学生获取数学知识的能力与技巧。

3.提高学生数学运算能力。小学阶段数学运算能力主要是指能够根据概念、公式和运算定律正确地进行运算的能力。培养运算能力有助于学生理解运算的算理，寻求合理简洁的运算途径解决问题。

4.提升学生数学应用意识。数学来源于生活，生活中到处都有数学，用数学知识解决生活中的实际问题，是小学数学教学的终极目标。为了实现这个终极目标，我们在平时的教学中要多引导学生参与数学活动，多一些师生互动、生生互动，促使学生养成主动运用数学知识去解决身边的数学问题的良好习惯。如教学长方体表面积、正方体表面积的公式后，发动学生寻找大小不一的长方体和正方体，动手测量数据，计算它们的棱长及表面积；要给电脑主机做布罩、为新华字典做书套、粉刷教室门，请学生分别计算需要多少布料、牛皮纸和油漆。积极引导学生解决生活中的数学实际问题，促使学生在数学运用的过程中巩固、创新知识，达成学以致用、学用结合的目标。

总之，只要我们认真落实课标要求，刻苦钻研文本，精心设计导学过程，注意学情分析，注重学生的数感、数据分析、运算能力、运用意识的培养，相信我们的学生一定能在考场上准确、轻松地解题。

4.六年级数学比的意义教案篇四

教学要求

1.使学生理解比的意义,认识比的各部分名称。会正确读写比。2.能正确的求比值，掌握比、除法和分数的关系。3.培养学生的比较、分析和抽象概括能力。

4、加强知识间的联系，使所学的知识系统化，渗透知识间相互联系的观点。

教学重点：理解比的意义

教学难点：理解比与分数、除法的关系。教材分析：

这部分是学生学过分数与除法的关系，分数乘除法的意义，分数乘除法应用题的基础上教学的。由于分数与除法有着密切的联系，把比的知识放在分数除法的后面进行教学，加强了知识间的内在联系，又为学习其他知识以及比例的知识打好基础。学情分析：

因为比的现象在生活中司空见惯，例如按一定的比稀释清洁剂，加工混凝土等等都用到比的知识。学生有生活的一些体验，因而可以从学生的兴趣出发展通过观察、比较、讨论，感受比的含义和特征。进而了解比与除法、分数的关系。教学过程：活动一

1、情境引入：出示一面国旗联合国旗的图案，我国第一艘载人飞船“神州”五号顺利升空。这是扬利伟在飞船上向人们展示的一面中华人民共和国和联合国国旗的图案，这个图案长是15厘米，宽是10厘米，根据这两个条件可以提出什么问题？（可提的问题很多，教师有选择地板书。①长是宽的几倍？②宽是长的几分之几？）

2、揭示课题：长是宽的几倍或者宽是长的几分之几是我们用以前学过的除法对这面旗的长和宽进行比较的，今天我们再学习一种对两个数量进行比较的新的方法。这就是比（板书课题）活动二：

1、教学比的意义。

有时我们也把这两个数量之间的关系说成：长和宽的比是15比10，宽与长的比是10比15。

2、进一步理解比的意义。

“神舟”五号进入运行轨道后，在距地350千米的高空做圆周运动，平均90分钟绕地球一周，大约运行42252千米。你能提出什么问题？

你能用比表示路程和时间的关系吗？

3、小组讨论，你是怎么理解比的意义？得出：两个数相除又叫两个数的比。４、比的写法和各部分名称及求比值的方法介绍比号、比表示的方法、比的各部分名称，①中间的“：”叫做比号，读的时候直接读比。

②比的各部分名称是什么呢？请大家看书p４４的内容。③介绍比各部分的名称，求比值方法，并板书。

5、比、除法、分数之间的关系比、除法、分数有什么联系和区别？联系：a:b= a÷b= 区别：比表示两个数关系的式子，分数是一个数，除法是一种运算。那比的后项能不能为零呢？既然比的后项不能是0，而足球赛中常出现的“2: 0”的意义是什么？它是一个比吗？

足球赛中记录的“2: 0”的意义只表示某一队与另一队比赛各得的进球分数，不需表示两队所得分数的倍比关系，这与今天学习数学中的比的意义不同，它虽然借用了比的写法，但它不是一个比。比的另一种表示方法，就是写成分数形式。（４）质疑：对本节课的内容你又不清楚的地方吗？活动三 1．填空：

（1）完成一项工程，甲8天完成，乙12天完成，甲乙两人工作时间的比是（）：（）。

（2）如果a：b=c,那么a是比的（），b是比的（），c是比的（）。（3）求比值：72：24，0.8：3.2，1.5小时：20分钟。

2、完成44页做一做内容。

３、根据下面的信息，你能想到那些问题？六年一班有男生２４人，女生２６人。

张师傅５天加工３００个零件。２枝钢笔１１元。

课题：比的基本性质

教学目标：

使学生理解和掌握比的基本性质，能应用比的基本性质化简比。培养学生的抽象概括能力。３、渗透转化的数学思想。

教学重点：理解比的基本性质，掌握化简比的方法。教学难点：掌握化简比的方法。

教材分析：比的基本性质是在学生学习比的意义，比与分数、除法的关系，商不变的性质和分数基本性质的基础上进行教学的。教材联系学过的除法中商不变的性质和分数基本性质，通过“想一想”启发学生找出比中有什么相应的性质，然后概括出比的基本性质，应用这个性质可以把比化成最简单的整数比。

学情分析：学生在以前的学习中，已经掌握了商不变的性质和分数基本性质，六年级的学生有一定的推理概括能力，他们完全可以根据比与分数、除法的关系，推导出比的基本性质，这节课通过让学生猜想——验证——应用，让学生理解比的基本性质，应用性质化简比。教学过程活动一

１、出示例１，出示例１，让学生解答。教学比例的基本性质

（1）、猜想：我们学过除法中商不变的性质和分数的基本性质，根据比同除法、分数之间的联系，你有什么联想和猜测呢？生：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。（2）、验证：大家敢于猜想值得表扬，许多发明创造都来自于猜想。不过，猜想毕竟是猜想，它还有待于证明。你们能想办法对自己的猜想进行验证吗？（让几个小组的代表说一说验证过程并板书在黑板上。）

①根据分数、比、除法的关系验证。②根据比值验证。„„

③教师小结：大家的验证都说明了以上的猜想是正确的，这个规律（指板书）就叫做比的基本性质（板书课题）。④总结比的基本性质，为什么强调0除外呢？活动二

教学比的基本性质的应用，请同学们想一想，比的基本性质有什么样的用途？

比的基本性质主要用来化简比，一般把比化成最简单的整数比（板书：最简单的整数比。）

根据你自己的理解，能说一说什么是最简单的整数比吗？（前项和后项是互质数。）

请同学们解答的例１（１），这两个比是最简比吗？让学生试着化简比。

让学生试做后，总结方法。

出示例１（２）① 1/6:2/9

② ０.７5:2 学生先讨论方法，再试做。

小结方法：化简时比的前项和后项都是整数时，可以把比写成分数的形式再化简；是小数先转化为整数；是分数可以用求比值的方法化简。但要注意，这个结果必须是一个比。化简比与求比值有什么不同？质疑活动三

１、做一做４６页化简比。

２、４８页第４题

课题:比的应用

教学目标

1、让学生了解比在生活中的广泛应用，探索按比例分配的解决方法，并能用来解决有关实际问题。

2、培养学生自主探索解决问题的能力，培养学生的创造性思维和实践能力。

3、树立用自己学来的知识帮忙解决问题的意识。教学重点

掌握按比例分配的解决方法.教学难点灵活解决实际问题。

教材分析：这部分内容是在学生学习了比与分数的联系，已掌握简单分数乘、除法应用题数量关系的基础上，把比的知识应用于解决相关的实际问题的一个课例，掌握了按比例分配的解题方法，不仅能有效地解决生活、工作中把一个数量按照一定的比进行分配的问题，也为以后学习“比例”“比例尺”奠定了基础。

学情分析：对于按比例分配问题学生在以往的学习生活过程中曾经遇到过，甚至解决过，每个学生都有一定体悟和经验，但是对于这种分配方法没有总结和比较过，没有一个系统的思维方式。通过今天的学习，将学生的无序思维有序化、数学化、系统化，总结并内化成学生的一个巩固的规范的分配方法。

教学过程活动一

1、课前调查

奶茶中牛奶和红茶的比是2∶9。从这句话中你看出了什么？牛奶是红茶的2/9，红茶是牛奶的9/2，红茶是奶茶的/9/11，牛奶是奶茶的2/11。

2、实际操作

要配置220毫升奶茶，需要多少牛奶和多少红茶？学生讨论，研究不同算法。

解法一：220/（2+9）=20ml，20*2=40ml，20*9=180ml 解法二：2+9=11 220*（9/11）=180ml 220*（2/11）=40ml 讨论出几种就是集中不强求，比较后找出自己认为的最简单的解法。学生配置奶茶，共同品尝。活动二

1、教学例２书上例2，列式计算

2、生活中常常要把一个数量按一定的比来进行分配，这节课我们来研究比的应用。（板书：比的应用）

接下来希望大家能够学以致用，来解决更多的实际问题。活动三：

１、请帮忙配糖：

一种什锦糖是由奶糖、水果糖和酥糖按3:5:2混合成的，要配制这样的什锦糖50千克，需要奶糖、水果糖、酥糖各多少千克？（鼓励求异思维）

3、帮刘爷爷收电费

刘爷爷管收四家电费，四家合用一个总电表，四月份供付电费83.2元，按每家分电表的度数分摊电费，每家各应收多少钱？

住

户王

家

张

家

赵

家

李

家分电表度数

３、陆老师和高老师合租一套房，高老师住30平方米的房间，陆老师住20平方米的房间，客厅厨房等公用部分的面积是30平方米，每月房租1000元，房租怎样分配才合理？４、总结全课

5.六年级上册数学《比的应用》教案篇五

1、通过学习，学生能用方程的方法解答“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”的分数应用题，并能掌握检验方法。

2、根据题意，能画线段图分析图意。

3、学习数学知识的应用过程，感受身边数学，体会学数学，用数学的乐趣，培养学生知识迁移能力。

教学过程：

一、巩固旧知，过渡引入

1、根据题意，判断谁是单位1，并写出各题的数量关系。

(1)故事书本的2/5等于连环画的本数。

(2)梨重量的7/8是840千克。

(3)男生人数是全班人数的2/3 。

2、一个儿童体重35千克，他体内所含的水分占体重的4/5，他体内的水分有多少千克?

[这两组算题具有较强的针对性，与本课知识有联系，通过学习，为学习新知作过渡。]

二、学习新知

1、出示例1根据测定，成人体内的水分大约占体重的2/3，而儿童体内的水分约占体重的4/5 。我体内有28千克的水分，可是我的体重才是爸爸的7/15。小明的体重是多少千克?

(1)读题，找出已知条件和问题。

(2)根据题意与线段图理解题中的条件和问题。

(3)根据题意，启发学生：根据一个数乘分数的意义写出数量关系式。

体重× 4/5 =体内水分重量

师引导：这道题把哪个数量看作单位“1”，是已知的?还是未知的?该怎样求?能不能根据上面的等量关系式，设未知数χ，再列方程求出?

(4)学生尝试练习方程解答，个别板演，教师点评。

(1)解：设这个儿童体重χ千克

(2)算术法：28÷4/5 χ× 4/5=28 χ=28÷4/5

6.六年级数学比的意义教学反思篇六

（1）比值的表示法，通常用分数表示，也可以用小数表示，有的是用整数表示。

（2）比的后项不能是0。本课的教学重点是理解和运用比的意义及比与除法、分数的联系；教学难点是理解比的意义。

在学习比的意义的时候，我在学生已有的生活经验的基础上进行教学的。在学生的已知经验里对比已经有了初步的感官认识，体育比赛中的几比几学生经常看到，在配制安利的洗涤剂的瓶子上按照几比几来配制，学生也能够接触到，这样的例子还有很多。所以一开课，我直接出示，让学生按照2：1来摸红色和黄色的球，学生很轻松的说出红球2个黄球1个，然后引导学生说出其他的情况。进而，让学生总结出只要满足红球是黄球的2倍就满足红球和黄球的比是2:1，再引导学生列出算式。这一环节，就是比的意义第一个层次：表示两个数量间的倍数关系。然后教师反过来问道，那黄球和红球的比是几比几呢？黄球是红球的几分之几呢？引导学生列出算式，这一环节就巩固了比的意义第二个层次：表示两个数量间的分数关系。通过这两个层次的教学学生对于比的意义理解的非常深刻，也达到了预想的教学效果。

在学习比和除法以及和分数关系的时候我采用小组合作学习的方式，意在突破传统的教学模式，不讲授，让学生借助多媒体、板书、形体语言的有机结合，总结出三者之间的联系，实现了自主学习。

一堂课下来，感觉不足之处还有很多，有些细节地方处理得不是很到位。像在教学比的意义时，对谁是谁的几倍或几分之几也可以说成谁和谁的比，强调的还不够，使学生的对两个数相除也可以说成两个数的比的感悟不深刻；在教学比与分数、除法之间的联系和区别时，这一部分感觉有点囫囵吞枣，学生没有真正理解之间的联系和不同，这部分知识比较抽象一些。还有因为时间原因，练习内容包括课堂总结和延伸处理得比较粗糙，应该让学生说出自己能得到哪些信息。

7.再议小学六年级数学总复习篇七

一、制定切实可行的复习计划

(1) 了解学生情况。可包括下面几个方面:班级基本情况 (男、女生人数) ;上学期总评成绩 (各等级人数) ;学生掌握“双基”的情况 (理解、掌握数学基础知识的情况) ;具备基本能力的情况 (计算能力、初步的逻辑思维能力、空间观念、运用知识解决简单实际问题的能力) ;学生的学习态度和习惯;学困生情况。 (2) 针对学生现状及存在的问题, 提出解决问题的具体措施。 (3) 制定出可行的复习计划。 (4) 依计划付诸行动。

二、分类梳理, 强化复习的系统性

作为复习课的重要特点就是引导学生对所学的知识进行系统的整理, 把分散的知识综合成一个整体, 使之形成一个较完整的知识体系, 从而提高学生对知识的掌握水平。如“分数的意义和性质”的内容, 可以整理成表, 使学生对于本章内容 (从分数的意义到分数与除法的关系、分数大小的比较、分数的分类与互化、分数的基本性质与应用) 有一个系统的了解, 这才有利于学生知识的系统化和对其内在联系的把握。再如, 复习分数的基本性质, 要把除法商不变的性质、比的基本性质与之结合起来, 使学生能够融会贯通。

三、辨析比较, 弄清易混的题型和概念

有比较才有鉴别。复习时要创设比较、辨析的思维条件, 引导学生在具体的问题中, 灵活选用综合法、对应法、转化法、图示法、逆推法、假设法等思考方法, 深化解题思路。如教学: (1) 一项工程由甲工程队修, 需要20天, 由乙工程队修, 需要30天。两队合修需要多天? (2) 一批布料, 做上装能做20件, 做裤子能做30条, 如果整套做, 能做多少套? (3) 甲从东城到西城要20分钟, 乙从西城到东城要30分钟。如果甲、乙两人分别从东西两城同时相向出发, 经过几分钟相遇?这3道题的文字表述虽然不一样, 但它们的解答算式却是一样的, 即1÷ (1/20+1/30) 。因此, 在复习时, 教师不仅要引导学生学会从多角度思考, 还要引导学生学会对各类复习题进行归类, 这样才能使所学知识融会贯通, 从而拓宽解答应用题的视野, 提高解题的灵活性。对于“易混概念”, 首先要抓住“意义”方面的比较, 如质数和奇数、质数和质因数、比和比例等。对易混概念的分析, 能够帮助学生全面把握概念的本质, 避免不同概念的干扰。对易混的方法也应该进行比较, 以掌握不同的解题方法, 如化简比和求比值、求最大公约数和最小公倍数等。

四、一题多解, 提高解题的灵活性

有些习题, 可以从不同的角度去分析, 得到不同的解决方法, 一题多解可以培养学生分析问题的能力和灵活解题的能力。相同的题目, 不同的分析思路, 列式不同, 结果相同, 收到殊途同归的效果, 同时也给学生以启迪, 开阔了解题思路。有些应用题, 虽然题目的形式不同, 但它们的解题方法是一样的, 如工程问题和相遇问题中的部分习题, 题目的类型不同, 但解题的算式是一样的。复习时, 要引导学生从不同的角度去思考, 引导学生对各类习题进行归类, 这样才能使所学的知识融会贯通, 提高解题的灵活性。在设计各种题型的练习时, 既要有单纯的基础知识方面的题目, 也要有一定现实生活的题目;要注意应用题的一题多解, 让学生选出较容易掌握的方法。如教学“白兔和灰兔共有280只, 白兔只数是灰兔的3/4, 白兔和灰兔各有多少只?”可以有以下6种解法:

解法一 (分数除法知识) :

灰兔280÷ (1+3/4) =160 (只)

白兔280-160=120 (只)

解法二 (比例知识) :

3+4=7 280÷7=40 (只)

白兔40×3=120 (只)

灰兔40×4=160 (只)

解法三 (分数乘法知识) :

设灰兔有x只, 白兔有3/4x只。

x+3/4x=280 7/4x=280 x=160

解法四 (分数乘法知识) :

设白免有x只, 灰兔有x÷3/4只。

x+ (x÷3/4) =280 7/3x=280 x=120

解法五 (比例知识) :

设灰兔有x只, 白兔有280-x只。

解法六 (比例知识) :

设白兔有x只, 灰兔有280-x只。

这样的训练, 差生至少也能学会其中的一、两种解题方法, 优生则学会了从多角度考虑问题、解决问题, 培养了学生的灵活思维能力, 让学生学会选择自己认为比较容易的解题方法去解题。

五、有的放矢, 揭示规律, 挖掘创新

数学复习不是机械的重复, 什么都讲, 什么都练是复习的大忌。复习一定要精要, 有目的, 有重点, 要让学生在练习中完成对所学知识的归纳、慨括。题目的设计要新颖, 具有开放性和创新性, 能多角度、多方位地调动学生的能动性, 让他们多思考, 使思维得到充分发展, 通过复习学到更多的解题技能。在复习中要通过总结以往的数学知识, 使学生集中温习, 集中理解, 应用知识, 解决问题, 在见多识广的基础上, 加强概括、分析、综合、比较, 揭示解题规律和思考方向, 使学生能举一反三, 触类旁通, 获得新的见解。

六、使不同的学生都有所提高

教师应全面了解“学情”, 恰当地对学生进行评价, 正确引导学生搞好复习, 以帮助他们取得好的成绩。但任何一个班级, 学生的成绩情况不可能都在优秀或某一平台上。这就要求我们对成绩尚差的学生给予更多的关怀, 对他们的知识欠缺方面及时给以弥补, 因材施教, 适当补习, 不放弃任何一个学生。在复习教学中, 教师是组织者、指导者、促进者, 要保证学生有充裕的活动时间与思维空间, 要多给学生提问题及质疑问难的时间与机会, 使他们在复习中积极动手、动口、动脑, 多实践、多思考。教师要引导学生自查、自测、自评, 查漏补缺, 质疑问难, 让学生针对各自的学习缺陷, 进行温习补救, 使学生成为真正的学习主体。总复习中, 教师不应面面俱到, 满堂灌, 而应把主要精力放在设计安排、点拨总结、答疑引导和评估反馈上。托尔斯泰说过:“知识只有当它靠积极思维得来的时候, 才是真正的知识”。要让学生明白, 无论学哪一门功课, 课堂上老师讲的, 笔记本上记的, 课外阅读的……等等, 都是书本上的知识, 要把他们转化成自己的知识, 使自己能够自如的运用, 就必须通过动手实践和动脑思考来转化。

8.六年级数学比的测试题篇八

（3）引导学生小结出分数比化简的方法：（演示课件出示）比的前、后项同时乘以它们的分母的最小公倍数，就可以把分数比转化成整数比，进而化简成最简单的整数比。

（4）化简（3）1、8：0、09

师：想一想如何化简小数比呢？

让学生独立在书上化简，指名板演

师：那么应用比的基本性质把整数比、小数比、分数比化成最简单的整数比的方法是什么？

三、巩固练习

1、练一练，填完整

2、做练习十三第5―8题。

3、补充练习

选择

1、1千米∶20千米=

（1）1∶20 （2）1000∶20 （3）5∶1

2、做同一种零件，甲2小时做7个，乙3小时做10个，甲、乙二人的工效比是（）

（1）20∶21 （2）21∶20 （3）7∶10

四、课堂小结

9.六年级数学比的测试题篇九

人教版小学数学第十一册第四章《化简比》。

教学目标：

1、在实际情境中体会化简比的必要性，进一步体会比的含义。

2、会运用商不变的性质或分数的基本性质化简比，并能解决一些简单的实际问题。

3、感受数学知识的内在联系。

教学重点：

比的化简的方法。

教学难点：

运用比的化简，解决一些简单的实际问题。

教学方法：

讨论法，练习法

教学准备：

课件

教学过程：

一、课前三分钟。

1、比的基本性质是什么？

（比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变，这叫做比的基本性质。）

2、什么是最简整数比？请举例说明。

（强调：比的前项和后项是互质数或比的前项和后项只有公因数1。）

二、导课

刚才我们复习了比的基本性质和什么是最简整数比，今天我们用所学的知识来学习新的知识《化简比》。请同学们拿出前置小研究。在小组内进行交流。

三、出示前置小研究。学生在小组内交流前置小研究。

（一）、我的研究

1、把下列各比化成最简整数比。

（1）15：10180：120（2）:

（3）0.75:20.4:0.32(4):0.70.5:

2、请举出两个化成最简整数比的例子。

3、总结化成最简整数比的方法。

（二）、我的收获：

（三）、我的提醒：

学生合作学习，教师巡视,针对出现的问题进行点拨。

四、学生汇报：

（一）学生汇报小组内交流讨论的结果。

我们是超越三组，我是1号，第1题由我来汇报。

（1）15：10=（15÷5）：（10÷5）=3:2

180：120=（180÷60）：（120÷60）=3:2

我汇报完毕，谁还有不同的方法？

我有不同的方法：180：120=（180÷30）：（120÷30）=6:4=3:2

我汇报完毕，请同学们补充、质疑或评价！

小结：以上两种方法都对，但第一种比的前项和后项都除以它们的最大公因数比较简便。

我是超越三组的2号，第2题由我来汇报。

（2）:=（×18）：（×18）=3:4

提问：谁还有不同的方法？

我有不同的方法：:=÷=×==3:4

谁能总结整数比的化简方法？（其它学生补充）

我是超越三组的3号，第3题由我来汇报。

（3）0.75:2=（0.75×100）：（2×100）=75:200=3:8

0.4:0.32=（0.4×100）：（0.32×100）=40:32=5:4

提问：谁还有不同的方法？

谁能总结整数比的化简方法？（其它学生补充）

我们小组汇报完毕请同学们补充、质疑或评价！

（二）其它小组进行评价和补充。

（1）化简比的结果应该是怎样的？

（2）你认为化简比的结果与求比值的结果有什么区别？

（比值是一个数，可以是整数、小数或分数，比必须有前项和后项，是比的形式）。

（三）总结化简比的方法。

整数比：根据比的基本性质，比的前项和后项同时除以它们的最大公因数化成最简整数比。

分数比：根据比的基本性质，比的前项和后项同时乘分母的最小公倍数，先转化成整数比，再根据整数比的化简方法进行化简。

小数比：根据比的基本性质，比的前项和后项依照小数的位数同时乘10、100或1000先转化成整数比，再根据整数比的化简方法进行化简。

四、拓展知识：

介绍黄金比。

五、评测练习。

1、我来当小判官。

（1）16︰4的最简比是4。（）

（2）5︰2.5的比值是2。（）

（3）6︰0.3的最简比是20︰1。（）

（4）比的前项和后项都乘或都除以相同的数，比值不变。（）

2、把下列各比化成最简整数比。

15：210.12：0.4：1：

（1）请四位同学上去板演，其他做在练习本上。

（2）反馈，集体订正：请这四位同学说说，你是怎么化简的？

3、我来解决。

一项工程,甲单独做20天完成,乙单独做30天完成。

（1）写出甲、乙两队完成这项工程所用的时间比，并化简。

（2）写出甲、乙两队工作效率比，并化简。

六、布置作业：练习十一4、5题。

七、板书设计：

化简比

15：10=（15÷5）：（10÷5）=3:2

180：120=（180÷60）：（120÷60）=3:2

0.75:2=（0.75×100）：（2×100）=75:200=3:8

10.六年级数学立体图形复习浅谈篇十

一、启发、引导学生在理解的基础上自主梳理知识

教师作为学生的指导者,要用最简单的方法和易懂的语言指导学生实际操作。

1. 学生自主讨论完成下表知识点纲要的整理

学生完成上表以后,教师再做详细补充,如正方体是长宽高都相等的特殊长方体;等底等高的圆锥体积是圆柱体积的;长方体、正方体的棱长之和公式;表面积与体积的计量单位;以及容积单位和体积单位的互化方法。

2. 立体图形表面积、体积(容积)应用的常见类型

学生自主讨论、归纳,教师适时指导补充,及时鼓励学生总结。

a.直接计算体积或表面积:直接运用公式进行计算。

b.计算缺一个底的表面积:比如游泳池、水池、水桶、粉刷教室等,用侧面积+一个底面积。

c.计算通风管、烟囱、粉刷教室四壁、侧面贴商标纸,直接算侧面积。

d.算粉刷后的费用、或用材料的质量:先算形体的表面积再算材料的质量或费用。

e.计算容器所能容纳物体的质量,先算物体的体积,再算质量。

f.改变物体的形状,求另一个形状的高或底面积,这类题型的关键是体积不变,利用前一个形体求出体积,再运用后一个形体的体积公式求出所需的部分。

二、分析学生的学习情况

根据学生的实际情况,认真分析每一个学生所面对的是基础知识问题还是基本能力问题或基本技巧问题。对待基础较差的学生要转变他们的学习态度,使他们从消极中转变过来;对待有一定基础的学生加强方法的指导和能力的培养,多鼓励、少批评;对待基础好的学生,应指导他们力求细心、不着急、稳扎稳打、调整心态,正确应对每个问题。

三、典型题型举一反三地训练

教者在熟知学生的基础上,让学生自主完成课本练习册中的习题后,让学生集体讨论交流,每一个题目考查的知识点、解题思路方法,鼓励学生一题多解、多题一解。让学生通过老师的点拨、学生间的讨论进行归类。这样使学生所学知识融会贯通,提高解题的灵活性。在进行立体图形的复习时,除了对学生进行上面提到的常规类型进行训练之外,还设计了以下6个题目进行指导训练:

例1:判断下面各题是否正确,正确的打“√”,错误的打“×”。

(1)长方体中最多有4个面可能是正方形。()

(2)把表面积是6平方厘米的一个正方体切成两个长方体,这时它的表面积是12平方厘米。()

(3)一个圆柱体,如果底面直径和高相等,则圆柱体的侧面展开是正方形。()

(4)圆锥的体积是圆柱体积的。()

例2:一张长方形铁皮,长18.84分米,宽5分米,用这张铁皮卷成一个圆柱形铁皮水桶的侧面,另配一个底面制成一个最大的水桶。做这个水桶共用去多少铁皮,最大容积是多少?(接头处铁皮的厚度忽略不计)

例3:一个高为10厘米的圆柱体,如果它的高增加2厘米,那么它的表面积就增加125.6平方厘米,求这个圆柱的体积。

例4:等底等高的一个圆柱和一个圆锥,它们的体积之和是68立方厘米,圆柱体的体积是多少立方厘米?

例5:要把6件同样长17厘米,宽7厘米,高3厘米的长方体物品拼装成一个大的长方体包装物,你能想出几中包装方法?请画出表面积最小的包装方法草图。

例6:用一块长30厘米,宽20厘米的长方形铁皮,做一个高为5厘米的无盖盒子。

(1)画一画:应该怎样画出高,在图上标出来。

(2)算一算:这个盒子容积有多少毫升?想一想,你能充分利用这块铁皮把盒子的容积做的更大一些吗?若能,请画出来,并算出盒子的容积。

四、及时总结,纠正错误

通过复习,让学生自查。此时,教师不急于评价,让学生从复习过程中找出错误,自行改正。

总之,通过以上这样的方法复习,只要学生和教师很好地配合,认真处理,那么这种复习就不会盲目了。

摘要：立体图形是小学阶段所学的平面几何的一个重要组成部分,也是难点所在,它涵盖了立体图形的认识、概念、特征、表面积、体积、容积等知识点,而且图形种类多,学生容易混淆。为了让学生能够掌握和巩固这部分知识,结合多年的教学经验,我总结出了基础梳理、学情分析、加强训练、及时总结的复习方法,效果良好。

11.六年级数学比的测试题篇十一

教学内容：

教材第48-49页的内容及相应的“做一做”。

教学目标：

1、理解比的意义，掌握比的读、写及各部分的名称。

2、理解分数、除法和比三者之间的联系和区别。掌握求比值和比的未知项的方法。

教学重点：

理解比的意义，求比值。

教学难点：

理解比和分数、除法之间的关系。

教学过程：

一、创设情境

1、播放“神舟”五号顺利升空课件。

播报：2003年10月15日，我国第一艘载人飞船“神舟”五号顺利升空。在太空中，执行此次任务的航天员杨利伟在飞船里向人们展示了联合国旗和中华人民共和国国旗。(出示两面国旗：两面国旗都是长15cm，宽10cm。)

2、提问：我们可以怎样表示它们长和宽的关系呢?

(1)用比多比少的方法来表示：长比宽多5cm，宽比长少5cm。

(2)用倍数关系来表示：长是宽的3/2，宽是长的2/3。

3、导入新课：在描述两个量之间的关系时，我们除了可以用“多多少、少多少、几倍、几分之几”来描述外，还可以用“比”来描述两个量之间的关系，今天我们就来学习比的知识。(板书课题：比的意义)

二、自学互动，适时点拨

【活动一】比的意义

学习方式：独立自学、汇报交流

学习任务

1、同类量的比。

(1)启发：除了用已经学过的这些方法来表示长和宽的关系外，我们还可以怎样表示这两个数量之间的关系?

(2)自学课本第48页的内容。

(3)长和宽的比是15比10，宽和长的比10比15。

(4)指出：不论是长和宽的比，还是宽和长的比，都是两个长度的比，相比的两个量是同类的量，这样的两个比我们称为同类的比。

2、不同类量的比。

(1)出示数据，列式求飞船的速度：42252÷90。

(2)用比来表示路程和时间的关系。

提问：路程和时间的关系能不能用比来表示呢?应该怎样表示呢?(路程和时间的比是42252比90)

(3)提问：路程和时间是不是同类的量?

(4)指出：两个同类量的比表示这两个量之间的倍数关系，两个不同类量的比可以表示一个新的量。如“路程比时间”又表示速度。

3、概括比的`意义：通过两数相除来表示两个数量之间的关系，它们都可以用比来表示，所以“两个数相除又叫做两个数的比”。

【活动二】比的读写方法和各部分的名称

学习方式：独立自学、汇报交流

学习任务

1、自学课本第49页，思考：几比几怎样写、怎样读?比的各部分名称是什么?

2、汇报交流：15 ： 10 =15÷10 =3/2

前项比号后项比值

3、比值。

(1)什么是比值?怎么求比值?

(2)比值可以怎样表示?(分数、小数、整数)

(3)讨论：比值和比有什么联系和区别?

【活动三】比与除法、分数的关系

学习方式：小组讨论、汇报交流

学习任务

1、提问：比的前项、后项和比值分别相当于除法算式和分数中的什么?

区别：除法是一种运算，分数是一种数，比表示两个数的关系。

2、提问：比的后项可以是0吗?为什么?(比的后项不能为0，0没有意义。)

三、达标测评

1、完成课本第49页的“做一做”，集体订正。

2、完成第52页练习十一的第1题。

四、课堂小结

12.六年级数学比的测试题篇十二

【教学内容】

北师大版小学数学六年级（上册）第四单元第55页“比的应用”。

【教学重点】

1、理解按一定比例来分配一个数量的意义。

【教学目标】

能运用比的意义解决按照一定的比进行分配的实际问题，进一步体会比的意义，感受比在生活中的广泛应用，提高解决问题的能力。

【教学设计】

教学过程

课前互动

同学们，说说今天上的这节课与平时有什么不同？

和各位老师打个招呼。跟老师学个手势，大家举起手，一起来做。（相信你是最棒的最最棒的）准备好了吗，那我们现在开始上课。

一、创设情境：

1、回顾

前两天我们学习了比的认识和比的化简，老师先看看同学们掌握的怎么样。大家请看大屏幕指名回答

2、出示课本主题图：幼儿园大班30人，小班20人，把这些苹果分给大班和小班，怎么分合理？一学生读题。

请同学们想一想：你认为怎么分合理？。

3、板书课题

这位同学们说的真好，他把比的知识应用到实际生活中了，那我们这节课就来学习比的应用。

二、探究新知：

1、出示题目：：如果有100个苹果，这筐苹果按3：2应该怎样分？

题中要分配的是什么？按照什么分配的？

好，下面请同学分组合作，看看你有什么办法帮助我们班的班委会解决这个问题。

（1）小组合作（用小棒代替苹果，实际操作）。（2）记录分配的过程。

（3）各小组汇报：自己的分法。学生汇报：（用投影展示）

2、根据题中所给的比，掌握各部分量占总数量的几分之几，能熟练地用乘法求各部分量。【教具准备】多媒体课件

教学过程说明

提供现实生活情境，使学生体会到数学与生活的联系，激发学生的学习兴趣，引导学生分析问题中的数学信息。

这一过程要给学生提供充分的体验时间，在实际操作中，学生会不断调整一次分配的数量，不断的产生新的解题的策略，理解按一定的比例来分配的意义。

有上面小组合作的经验与发现，这次可以操作、画图、列式等不同的方法来分，从实践中发现规律，理解部分量与总量的关系。

方法一：

大班小班 30个 20个 30个 20个

„„ „„

本次可以找三个同学来展示，还有可以3个、2个的分，还可以6个4个分，或是直接分60个和40个。

方法二：画图

100个

得出算式： 3+2=5 100÷5=20 20×3=60（个）20×2=40（个）

答：大班分60个，小班分40个教师板书算式。

这位同学们说的真棒，其实这种方法叫做归一法。（在算式前面板书归一法）

那还有没有其他的方法呢？大家请看：出示ppt展示讲解。板书算式

3+2=5

100× = 60（个）

100× = 40（个）

答：大班分60个，小班分40个，比较合理。这是根据分数的意义来解决问题。（在算式前板书用分数解答）

3、小结：解决生活中的实际问题时，同学们要认真分析数量关系，可以选用多种方法解答。

三、鉴于同学们的优异表现，老师决定奖励你们，一起玩个闯关游戏，好吗？名字叫“智慧城堡”

1、独占鳌头

让学生审题后，指明回答。注意要说出算理哦！谁能用归一法解答。

培养学生独立思考问题、解决问题的能力。在这一过程中，学生和老师都能及时的发现不懂的，理解不好的问题，便于及时处理。

2、开心辞典

同学们都看过《开心辞典》的节目吧，那我现在就变成了山寨版的王小丫，而你们就是答题的明星。同学们做这一道题觉得困难的时候可以求助现场的同学哦

3、实践基地美味肯德基

先带领大家来到肯德基店。学生先说想法，在列式计算。建筑工地

再来到建筑工地

这道题与前两道题有什么不同？（前两道是两个量相比，而这道题是三个量相比，我认为算法应该和前几道是一样的。）

说的非常好，那大家动笔做一下这道题吧。做完后找两个同学口头汇报。

4、再攀高峰

最后一站了，同学们要加油啊。这道题要求同学们在本上动笔算一算。

可以找不同答案的同学来回答，回答正确的问她为什么不直接用42乘呢？（因为42不是一条长与一条宽的和，而是长与宽的和乘2，所以必须先用42除以2，再去计算）说的太好了，现在我郑重宣布同学们闯关成功！

四、课堂总结：

谈谈你这节课的收获吧！（比例分配应用题解题方法）

五、通过这节课的学习，我发现同学们真是最棒最最棒的，本节课上到这里，下课。同学们再见。

【板书】

比的应用归一法：

3+2=5 100÷5=20 20×3=60（个）20×2=40（个）用分数解答：

3+2=5

100× = 60（个）

100× = 40（个）

13.浅谈小学六年级数学教学研究篇十三

(一) 重视引导作用, 提高学生学习兴趣

著名的心理学家——布鲁纳, 将所谓的“动机原则”当作是一个至关重要的教学核心, 觉得其教学务必要激发学生的学习兴趣和动力, 提高其主动性和积极性。学习动机指的是能够使学生对学习产生兴趣的内在动力, 无论是什么学习都是非常必要的。学生也有着很大的学习欲望, 可以很好地进行学习和努力奋斗。而学生的数学能力以及数学成绩的提升, 肯定会增加学生学习数学的信心。数学教师在平时教授的过程中, 应有意识地将数学文化学习以及数学学习的价值和意义实施共同教育, 使得学生知道自己是国家的栋梁之才, 是祖国的太阳, 背负着国家建设和未来发展的重大责任, 唯有积极主动的学习, 天天向上, 日后才可以充分地为国家以及社会所用, 成为有用之人。教师在这个方面, 必须要引导学生, 使学生在生活中融入数学, 使数学成为劳动以及学习中必不可少的小伙伴, 无论是什么事物都不可以脱离数学。在整个教学过程中, 加入含有数学史的教育元素, 使学生对数学的价值作用倍感重要。同时, 还可以探讨关于某些科学家, 尤其是数学家的励志故事, 培育学生宏大的理想和愿望, 以及永不服输的精神, 使他们吸取学习动力, 对数学课程学习富含热情, 充满信心, 从而培养学生学习其他学科课程的兴趣。

(二) 紧抓日常教学, 培育学生形成较好的学习习惯

在日常教学中, 教师应培育学生形成较好的学习习惯。这样可以使课堂教学质量得到保证, 乃至提高, 对学生日后小升初的发展形成一个良好的作用。一方面, 教师应在课堂教授中, 对学生的学习进行较为具体和明确的规定和规范。例如:在上课前应准备好学习工具等, 作业时间的设定应有较为明确和合理的教导。无论是课前还是课后, 教师都应该多注重让学生独自预习、复习、做作业、练习以及反思总结等。这样能使学生养成独立学习的好习惯。另一方面, 在课堂教授的过程中, 可以多多让学生进行自己探索, 自我学习完成后再进行探讨合作, 使学生在学习中不仅会独立学习, 还可以学会沟通交流、合作学习, 实施研究对比。而学生掌握了这样的方法, 长期持续坚持这样做, 就会很容易形成习惯, 拥有较好的学习习惯以及美好的学习品质。

(三) 优化教学, 重视课堂教学质量

在紧抓日常教学的基础下, 教师还需要重视课堂教学的实效性。对于六年级数学教学, 除了要在课堂教授的过程中使学生把握好较为基础的知识点外, 解答数学的方式以及过程都是其课堂教学的核心。在日常的教学过程当中, 应对这一核心尤其重视。每个班都会有部分学生对数学学习有着特别浓厚的兴趣, 学生解题的办法和方式不尽相同, 教师应给他们切实的肯定。与此同时, 可以让学生对自己所做的不同方法进行比较, 进而选取最佳的解题办法, 这样有利于拓宽学生的想法, 培养学生较为形象的思维能力, 让学生在解答数学问题时能充分体验到数学为他们所带来的愉悦, 从而培育学生进行数学学习, 营造美好的数学兴趣和氛围。教师在课堂教学中, 要充分调动课堂的氛围, 提高学生的学习主动性, 教师和学生之间可以进行沟通和交流, 使学生学习较为简单容易, 学得轻松愉快。教师还要充分重视学生精神上的饱满程度, 培育学生动口、动手以及动脑的能力, 进而提升教师教学质量。

(四) 分析学习状况, 注重对后进生培育

如何才能提升学生的数学成绩呢?学生的数学学习状况是教师务必要清楚明了的。数学成绩在一个班中排名较后的学生, 一般会被称为后进生。在各个班级中都有后进生, 但依据后进生表现种类的不同, 其形成因素也具有多样性。对于这样的学生, 教师应该用发展的眼光看待后进生, 仔细观察, 发现他们的长处, 进行积极地引导。身为一名教师, 务必要用博爱之心对待他们, 爱护优等生的同时也要爱护后进生。除此之外, 看待后进生应多投入情感, 因为后进生在一般人看来都是问题学生, 没有所谓的尊重, 无法得到该有的理解, 这样很容易造成他们的心理产生变化。因此, 教育后进生需要以尊重和友爱为基础, 用爱转化成坚实的后盾。例如:在课堂教授中, 尽量把知识说的浅显、易懂, 备课时应关注到后进生能否听得明白, 课后多花点时间教育他们。同时, 对后进生的教授, 不仅要严格有序, 而且还需要一视同仁。除此之外, 对待他们要因材施教和反复教导。在进行教育的过程中, 教师要摸清后进生的真实情况, 实事求是, 依据不同的特点, 对后进生采取特制的个性化教育模式, 同时需要考虑好教育的因人而异以及因材施教。另一方面, 错误是需要经过一段时期才能够改正的, 教师在进行教导的过程中, 切勿过急, 要反复对他们进行教导, 用自己的耐心和爱心去教导他们, 循环往复。正所谓“不积跬步, 无以至千里”, 要一步一个脚印实现后进生的转变。

(五) 健全学生知识结构, 建立学生终身发展平台

六年级数学教学可以说是小学数学教学中最为困难的一个年级, 因为学生在这个阶段, 都会开始有知识遗忘以及较多的缺点等, 特别是最后的复习阶段, 而学生的知识结构更成为了一大难点。有些教师提出了复习于六年级日常的教学过程中, 使得学生能够健全自身的知识结构, 这确实也是解决难点的良好方法。这样可以减轻学生过重的课业负担, 提升数学教学质量, 使学生得以持续发展。

倘若对六年级的数学教材进行研究, 就会发现无论是哪个版本还是哪个出版社出版的教材, 编者都在编制新的知识中, 融入了以前的知识进行反复练习。比如:在分数四则运算的这个章节中, 就设计了归一应用题、常见数量关系以及平均数应用题等。倘若使学生在解答这样的问题的过程中, 采用“讲一题、带一串”的办法, 就能够使学生复习有关数学知识, 适宜地对学生复习知识进行补救, 提供较大的缓冲影响, 使学生的知识体系更加完善, 知识结构更加健全, 提高其数学水平, 提升教师的数学教学质量。

二、小学六年级数学分层教学

(一) 学生层面

根据目前的情况来看, 小学六年级数学分层主要把学生划分为三个层面:第一层是能够熟练掌握知识, 接受能力也比较强, 学习态度良好以及成绩优秀的学生;第二层是学习水平处于中等, 大概能掌握基础知识, 接受能力一般和学习态度一般的学生。;第三层是基础知识掌握较差, 接受能力较弱, 学习态度差以及成绩较不好的学生。因为是在进行六年级数学分层教学, 层次划分是根据学生的数学水平和数学能力来开展的, 而分层是一个非静态的管理过程, 必须要以发展的眼光对待学生, 依据学生的现阶段表现实施分析, 划分层次, 从而使学生对数学这门学科充满热情和激情, 更好地进行数学学习。

(二) 授课层面

授课层面主要指的是针对不同层次的学生实施不一样的教学。对第一层的学生, 应少讲多写多练, 使他们能够独立思考, 使用新方法解决问题。对第二层次的学生, 应挑重点来讲, 挑重点来练, 着重对课后习题和书本例子的讲解, 提高训练强度。对第三层次的学生, 要求不应该太高, 讲基础, 多学多练, 在基础上下功夫。比如:在六年级数学书中学习“分数乘法”时, 第一层次的学生应掌握重点难点, 适当地加入更深层次的内容进行适当地应用;第二层次的学生则精讲例题和解决好课后习题;第三层次的学生应清楚知道分数乘法的基本计算。这样, 能够使不同层次的学生在学习数学时都富有成就感, 为日后数学学习打下坚实的基础。

(三) 训练层面

一般来说, 训练层次指的是小学六年级教师在组织训练的过程中, 利用练习作业发现学生的问题, 从而对学生进行有效地辅导, 纠正问题, 改良自身的教学方式。而通过一段时间的实践发现, 学生在训练的过程中, 要遵守“两部三层”的原则, “两部”即是把题目分为必做题和选做题, “三层”则指训练中的三个层面的划分, 即基础训练、变式训练以及综合训练。基础训练主要指的是为全班同学同时设定的, 全班都要完成的任务。变式训练是针对第二层次的学生制定的, 题目难度属于中等水平, 需要有一定的综合能力。综合训练指的是对第一层次的学生所制定的, 需要较强的综合能力, 题目难度系数偏高, 可以拓展学生的思维, 开创新眼界。例如:在人教版六年级数学书中关于“百分数”的知识。第三层次的学生需要掌握百分数的概念和基础知识等。第二层次的学生需要把握百分数和小数之间的转化, 如何计算百分数。第一层次的学生则需要关注百分数在生活中的应用, 分析百分数的相关计算题。

(四) 考核评分层面

小学六年级数学分层的核心是为了使不同层次的学生可以更好地学习, 提高学生的学习积极性, 这个也是考核评分层面的关键组成部分。依据学生的基础层次和能力划分, 设定不同层面的考核评分判断标准, 不仅能满足不同层次的学生学习数学时所产生的成就感, 还可以提高他们对数学的热情, 增加上进心, 实现预期目标。在对考核评分进行分层时, 有些教师会出像AB卷、探讨题以及附加题等, 这些都是针对不同层次的学生所进行的, 也是分层考核评分的重要措施。

三、总结

总而言之, 本文主要从小学六年级数学总体教学及小学六年级数学分层教学两个方面进行研究, 提高教师的教学质量, 提升学生数学学习成绩, 为我国教育事业贡献自己的力量。

参考文献

【六年级数学比的测试题】推荐阅读：