10以内的环形计数教案

10以内的环形计数教案（共10篇）

1.10以内的环形计数教案 篇一

教学目标：

1、在游乐场游玩的过程中，通过确定起点的方法，能手口一致对10以内物品进行有序的点数。

2、学习运用从左到右(或从右到左)一排排有序点数的计数方法，正确感知10以内的物品数量。

3、在一个有和谐的环境中, 幼儿体验游戏带来快乐的同时，能够主动学习，培养幼儿对数学活动的兴趣。

4、让幼儿懂得简单的数学道理。

5、培养幼儿边操作边讲述的习惯。

教学准备：

多媒体机、教学用图、1-10的数字卡片、自制半成品纪念品若干、水彩笔、自制饮料售卖机、通关卡。

教学过程：

一、情景导入

师幼问好师：小朋友们好!我是丽丽老师，我们来打个招呼吧!也和客人老师问个好!

幼：客人老师好!

师：中班的小朋友们真有礼貌!为了奖励懂礼貌的你们，我决定带大家一起去游乐场玩。想去的小朋友请跟我挥手示意一下吧。现在请小朋友安静的坐上我的小汽车，准备出发咯!

二、初步认知利用多媒体机，出示游乐场的情境，让幼儿说出都看到了什么。接下来带领幼儿一起去玩游乐项目。

_游戏项目：摩天轮出现示范图，教师引导幼儿观察并提出问题。

--这是什么?上面有几个箱子?你是怎么数的?(请数对的幼儿和数错的幼儿上来数一数摩天轮的坐箱，展示各自的方法。数对的小朋友奖励一张通关卡。)

教师小结：点数要确定起点，按顺序依次一个一个数;避免漏数、重复数的方法是用手按住一个做记号，然后再数。

三、交流探索依次带领幼儿继续“海盗船”的项目，让幼儿学会从左到右或从右到左，一排排点数规则排序的物品，并掌握手口一致的正确点数方法。

1、提问：海盗船有几个座位?你是怎么数的? (请个别幼儿上台数，数对的小朋友奖励一张通关卡。)

2、教师小结：怎样才不会漏数?确定起点，用手按住起点，从左到右或从右到左一排排有序点数。

四、巩固练习玩过海盗船，来到了地下迷宫。里面好多图形宝宝，请小朋友们把迷路的图形宝宝带出来。

用刚才学过的两种方法点数，说出总数，找到相应的数字钥匙，就可以把图形宝宝带出去。

五、结束活动

把小朋友分成两组，第一组小朋友去饮料售卖机上买水喝。

第二组：提供纪念品半成品纪念品，根据卡片中间的数字在上面画相应数量的图案。

两组互换。操作结束，拿着自己的礼品去和小朋友分享。

2.《10以内的加法》教案 篇二

1、复习10以内的加法、减法。

2、能积极参加数学活动，大胆回答问题。

3、养成良好的操作习惯，操作完成后将物品归还原处。

4、幼儿能积极的回答问题，增强幼儿的口头表达能力。

活动准备：

1、焦距准备：2个塑料篓子做“粮仓”、“粮袋”(上面写有10以内的算式)

2、学具准备：双色圆片10个(正面是红色、反面是蓝色)，算式卡片若干，飞行棋、汽水盖，塑料碗、扑克牌、红枣等。

活动过程：

一、准备活动。

游戏：拍手问答游戏。教师提问10以内的分解组成，幼儿回答。教师问到：“小朋友，我问你，10可以分成几和几?”幼儿回答：“X老师，告诉你，10可以分成1和9 、2和8、3和7……

二、游戏活动。

创设游戏情景：游戏连环套。游戏王国的国王知道小朋友门都喜欢做游戏，于是国王派使者送来了许多的游戏。今天我们就一起玩个够。

1、游戏”双色卡“。有那10个双色卡(正面是红色、反面是蓝色)向上抛去，双色卡落地后，数一数红色的有多少片，蓝色的有多少片，红色的和蓝色的合起来有多少片?教师将幼儿说的答案用算式在黑板上列出来。

2、游戏”扣碗“5人一组，每组准备10个汽水瓶盖，一个塑料碗，一名幼儿左手向桌面上撒开瓶盖的同时右手持碗扣住部分瓶盖，大家一起数一数桌上剩下瓶盖，在一起算算碗中扣住了几个瓶盖，可以调整瓶盖的总数来复习10以内的减法。

3、游戏”抓抓抓“将小鞋盒挖个洞，里面放10个红枣，请幼儿将手伸进洞里抓出红枣，数一数抓了几个红枣，算算盒子里还有几个红枣。

4、游戏”小马运粮食“幼儿分成两队扮演小马运粮食，老师发出命令后，两队排头跑向”小河边“拿起一袋粮食，”粮食上贴有10以内加法和减法算式题目，幼儿将答案填在等于号的后面，跑向“粮仓”答案正确的才能将粮食袋放到粮仓，再将每队的第二名幼儿上来运粮食，依次进行，相同时间里哪队云的粮食多为胜利。

三、分组活动。

1、双色圆片游戏，幼儿操作双色圆片完成算式后，把得数填写在方框里。

2、扑克牌游戏，幼儿两人一组，扑克牌1到10，两人各自抽出一张牌，比一比谁的大，用大数减去小的数，或者将两张牌合起来列加法算式。

3、下棋游戏。2到4人为一组玩飞行棋游戏，每人两次掷2次，显示的点数相加就是飞机要走的步数，最后谁先到达中点谁就是胜利。

4、交流小结：

引导幼儿自由表达游戏后的感受，共同收集整理材料

教学反思

在学习完10以内的加减法后，孩子们已对教材丰富多彩的知识呈现方式越来越熟悉，越来越喜欢了。我深深认识到把生活带进课堂，让孩子们在生活中学习数学，能激起学习的兴趣，扩展思维的空间，主要表现为以下三个方面：

一、注意问题呈现多样性，激起挑战的欲望

解决问题，是课程标准提出的重要学习目标，怎样才能更好的落实教学目标，在教学中也作了深深的思考，真诚的感谢实验教材的编委，教材本身与安排上都注意了有层次的创设问题情境，紧密结合生活实际引导学生提出问题，以教材为依托。平时教学中注意结合低年级学生的年龄特点，注意问题呈现的多样化，例本案例的教学中，由学生创设情境后自主提出问题，创设一种游戏、挑战性的问题情境，生问、生答，更能激起学生的解决欲望。平时课堂上“你难不倒我”“我来考考你”都是学生积极主动参与问题解决的表现，对学生提出的问题，大家解决后，也注意人际化的情感教育。“对同学们的解答你满意吗?”“谢谢大家”，无一不透露出浓浓的情。平时结合课本的实际情景，常以第三人称的方式请小朋友帮助解决。

二、紧密与生活实际相结合，提供思维发展的空间

低年龄儿童的思维以形象思维为主，而数学中的计算教学，以要求学生具有一定的抽象思维能力。这种过渡不能是跳跃式的，应该给孩子一根拐杖扶持。在低年级教学中，这根拐杖是十分有必要的，即创识与生活实际紧密相关的问题情境，通过直观的操作、观察，过渡到抽象的算式表达。有了问题情境的创设，学生们才会更清晰地了解算式的计算过程，依次运算、条理清晰。所以低年级的教学中把数学还源于生活，在生活中找数学是十分有必要的。

三、计算教学中渗透实际问题，改变问题呈现方式

3.学习10以内的序数教案 篇三

了解10以内数字的排列位置，培养小朋友的秩序感和记忆能力。

教案难点：

学会从左到右进行10以内序数的操作应用以及掌握10以内的序数。

教案准备：

10个盘子，10中蔬菜和智慧盒，1―10的数字卡片

教案过程：

1、老师带着小朋友一起做手指游戏，激发小朋友对活动的兴趣，引出今天的主题。

2、出示课件，让小朋友根据课件的内容，对应的给前十名小动物进行排序，初步感知10以内的序数。

3、出示蔬菜和数字卡片，让小朋友根据蔬菜的排序，把数字卡片对应的放到蔬菜前面。进一步感知学习10以内的数的序数。

4.10以内的单数和双数教案 篇四

一、复习10以内的数：

1、拍手说数：

师：前面我们已经认识了10以内的数，现在我们来玩一个拍手说数的游戏。老师说几，你们就拍几。

二、情境导入

动物园要召开运动会，有很多小动物都报了名，我们来一起看一看、听一听有哪些小动物呢？

2、听声音说出是什么动物。

音：鸡、马、狗、羊、鸟、猫、猪、课件出示。师：谁来告诉我，你听到了什么？

三、出示课件，学习单双数。

1、出示背景（动物运动会）

2、依次出示大象，兔，马，羊，猴，狗课件，幼儿集体说出名称。

提问，“我们来看一看，它们分别有几只，用数字几来表示？”

3、幼儿个别回答出，象用数字“1”，兔“2”，马“3”，羊“4”，猴“5”，狗“6”，教师根据幼儿回答，出示课件。

师“动物们都到齐了，运动会就要开始了，运动会有一个两个好朋友一起参加的项目，我们来看哪种小动物可以参加这个项目。”

三、小牛没有牛朋友，很遗憾，不能参加这个项目。

“小兔子呢？有没有好朋友？”（有）教师演示课件，兔子可以参加这个项目吗？（可以）

“再来看一看马可以参加吗？”演示课件，剩下一匹马，（不可以参加）。它们不愿意把一匹马留下，所以决定不参加这个项目，去参加别的项目。

那么羊可以参加吗？演示课件，（可以）参加。

那猴子呢？演示课件，不可以参加。

那狗可以参加吗？可以

提问：“那么，哪些动物可以参加这个项目呢？”

小结：

1、象，马，猴不能两个两个都找到朋友，所以不能参加这个项目，也就是说数量是1,3,5、7、9的小动物不可以参加。

2、兔子，羊，狗都能两个两个找到好朋友可以参加这个项目，也就是数量是2,4,6、8、10的小动物可以参加。

3、就像1,3,57、9这样的数有个共同的名字叫单数，就像2,4，6、8、10这样的数有个共同的名字叫双数。

四、出示课件，请幼儿复述一次。

五、幼儿操作，巩固单双数。

老师知道小朋友们也想来试一试，现在请你们找开数学书第一5页，是单数的东西涂上颜色，是双数就不用涂。

六、我们来将双数的小动物送上汽车去参加运动会吧，谁先坐好，就请谁的小动物先上车。

单个幼儿来上车，提问汽车上的单双数。

七、我们一起开车去送小动物参加运动会吧，路上找一找什么是单数，什么是双数

师：找一找，这里面最大的数是几？10。对了，单数和双数有很多很多，今天我们学习的是10以内的单数和双数。

师：那你们能不能在自己身上找出单数和双数的东西呢？能不能从身边、从周围找出单双数的物体呢?

四、游戏巩固：

1、拍手跺脚：

师：现在我们来玩一个拍手跺脚的游戏。老师出一个数，如果是单数就跺脚，是双数就拍手。

4、找朋友： 师：请单数和单数的小朋友、双数和双数的小朋友两个两个手牵手，排好队伍走出教室。

五、小结

5.10以内的环形计数教案 篇五

活动目标：

1、使幼儿认识10以内的序数，并会从不同的方向辨别数序，发展幼儿的逻辑思维能力。

2、鼓励幼儿大胆的讲述自己的发现，要求声音响亮，口齿清楚。

3、让幼儿体验数学游戏的快乐。活动准备：

1、图片：猫捉老鼠（设计一幢楼，猫、老鼠分别活动的图片）

2、10以内的序数相关课件

3、幼儿操作图卡每人一套。活动重点：

学习从不同的方向（从上、或下，从左、或右）准确辨别物体的排列位置。活动难点：

自己确定方向并能准确找出位置。活动过程：

一、游戏环节

1、儿歌《乒乓球

上高楼》： 乒乓球，上高楼，上上下下，左左右右，前前后后，咕噜咕噜锤，咕噜咕噜叉，咕噜咕噜一个变成三，三变五，啪啪啪，左手右手变小花。

2、教师与幼儿一起说儿歌，通过游戏复习上下、左右、前后等方位。

二、开始部分

今天天气很好，大森林里的小动物们邀请我们班的小朋友去它们的家里做客，你们想去吗？（想）

看，小动物们排着整齐的横队迎接我们呢。

提问 ：

1、请小朋友看一看从左向右排，每只小动物排第几?

2、请小朋友看一看从右向左排，每只小动物排第几?

3、从左向右排第4个小动物是谁?

4、从右向左排第8个小动物是谁?

三、基本部分

1、出示“动物之家“，引导幼儿看一看，数一数、说一说动物的家在哪里？

师：你能很快的找出小动物的家在第几层楼，第几间房间吗？你用的是什么好办法能向大家介

绍一下吗？

请幼儿说出：XX动物的家在第几层、从左数（或从右数）第几间。（要求幼儿完整表述）

2、出示“猫捉老鼠”，组织幼儿玩猫捉老鼠的游戏。

师：小动物的房间里住着老鼠呢？我们请小猫来帮忙，抓住它，好不好？不过，我们要告诉小

猫，老鼠住在哪里，这样小猫才能很快的捉住老鼠。

引导幼儿找一找老鼠在哪里，猫到哪里捉老鼠，要求幼儿说出第几层，第几间。游戏可反复进

行几次。

3、幼儿操作活动

游戏：《找房子》：幼儿每人一张底图，图形卡片数张。

幼儿根据教师提示进行操作：如，三角形在第三行，从左边数第四个房间里。

活动延伸：(小组活动)

1、小树排队：提供10棵高矮不一的小树排队，并用数字卡片标上序号。

2、串珠子：提供10粒不同颜色的珠子，幼儿串好珠子后记录珠子的序号。

3、跳格子：10个幼儿共同玩，比一比谁跳得最远，并说一说“我跳的是第几行的第几格?

6.10以内的加减法大班教案 篇六

活动目标：1、幼儿能看图，编出相应的加减法应用题，并正确地摆出算式进行解答。2、在活动中培养孩子良好的倾听习惯和收拾用具的习惯。 活动重点： 幼儿能看图，编出相应的加减法应用题，并正确

活动目标：1、幼儿能看图，编出相应的加减法应用题，并正确地摆出算式进行解答。2、在活动中培养孩子良好的倾听习惯和收拾用具的习惯。

活动重点：

幼儿能看图，编出相应的加减法应用题，并正确地列出算式进行解答。

活动难点：

孩子能较好地看图编应用题，能正确地分辨加法与减法。

活动准备：

大图。数字、符号卡人手一份

活动过程：

一、报数游戏，复习10的组成。

1、我们来做报数游戏，我报的数和你们报的数合起来是10。我报1，引导幼儿说出，我报9，1和9合起来是10。依次复习10的组成。

2、合动作。教师和老师的动作合起来的数量是10.

3、开火车的游戏，复习10以内数的加减。

二、复习10的加减法

1、出示大图。

师:小朋友，我们来看看这幅图，图上有什么。他们有什么不同的特征呢?(请幼儿看图找出图中事物的特点)

2、尝试编应用题、

师：你能根据这些不同的特征编应用题吗?他这样编的应用题是加法的还是减法的呢?

(引导幼儿去区分减法和加法应用题的不同，帮助幼儿理解减法和加法的含义)

教师小结：加法应用题一般就是先告诉别人一部分数，再告诉别人另一部分数，最后要问别人总数。而减法应用题一般是先告诉别人总数，然后告诉别人其中一部分数，最后要问别人另一个部分数。

3、分别请幼儿一一编出相应的应用题，其他幼儿根据幼儿编的应用题利用符号卡和数字卡摆出相应的算式。

4、表扬那些编的好小朋友。

三、幼儿和同伴合作完成任务。

要求：至少两个人一组，进行“你编应用题，我列算式”的活动。

评价幼儿的活动。

四、结束部分

1、评价幼儿活动情况。

7.幼儿园中班教案《10以内的数》 篇七

1、在“逛食品超市”中，感知我国传统节日都有是自己的特色食品，能将节日与食品进行匹配。

2、学习10以内数数的方法，进一步感知10以内数的形成。

活动准备：

1、各种传统节日的标识图片及与之相匹配的食品小图片。

2、人手两份选购单 小篮 创设超市的环境。

活动过程：

1、逛逛食品超市——在超市里有哪些食品?这些食品摆放的怎么样?引导幼儿发现食品摆放凌乱。

(出示节日标识)这代表了我国的什么节日?你从哪里看出来的?(进一步感知传统节日的特点)——这个节日我们都要吃什么食品?(原来节日标识可以帮助我们分类摆放)——幼儿观察各个节日标识，按标识重新摆放特色食品。

相互观摩：我们的超市摆放好了吗?节日和食品都找对朋友了吗?(鼓励幼儿发现问题解决问题)

2、选购节日食品(一)——介绍选购单，初步了解上面图案和数字的意义(元宵节 7——代表选购元宵节食品汤圆7个)——幼儿根据自己的选购单选购节日食品(教师关注幼儿数数的方法)——分享与交流：你的选购单上有几样节日食品?教你选对了吗?你用了什么数数的方法又快又对?(分享不同的数数方法)

3、选购节日食品(二)——再介绍选购单，提出进一步的操作要求(元宵节 7 ——代表选购元宵节食品汤圆比7多1个，并在 添上数字8)——幼儿再次根据自己的选购单选购节日食品(教师关注幼儿掌握10以内的数形成的情况)

8.大班教案《10以内单双数》 篇八

1、使教师在轻松愉快的氛围中传授知识。

2、使幼儿能够正确、快速地区分10以内数单、双数，理解单、双数的差别。

活动准备：

1--10数字卡每组一份，单、双数分记卡，单、双数划分图组数量表，歌曲《小鱼》。

活动过程：

一、手指律动 。

1、《十个朋友出来走》引出10个数字。

2、教师请小朋友按1至10的顺序伸出十根手指头，教师依次对应出示数字1至10。

二、运用观察法、体验法，理解单、双数，了解他们的区别。请将单、双数划分卡上分别表示1-10的数量图片两两圈在一起，发现他们有什么不同，并回答问题。

1、1、3有什么相同的地方?

2、2、4、6有什么相同的地方?

3、1、2有什么不同的地方?

4、两两圈在一起剩一个的数有谁?一个没多的数有谁?：两两圈在一起剩一个的数(它没有朋友)叫单数(1、3、5、7、9)。两两圈在一起一个也没多出来的数(它有朋友)叫双数(2、4、6、8、10)。

三、幼儿操作，知识联系实际，巩固知识。

1、请将手中的单、双数分记卡完成。

2、用“两个两个的数”的方式数一数分记卡上的图案数量。

四、配音乐进行集体游戏活动《海洋里的小鱼》(运用游戏方式使幼儿加深对知识的理解)按歌词所表达的意思来进行游戏：一条小鱼水里游，孤单在发愁;两条小鱼水里游，快乐做朋友。 幼儿自由地模仿小鱼在水里游，教师扮演水草，当看到教师出示单数时幼儿表现发愁的表情;当看到教师出示双数幼儿表现开心的表情，并可以自由找到伙伴拉手或拥抱。

五、活动延伸。

可以自由选择喜欢的玩具，数数自己选择的玩具的数量是单数还是双数。

六、活动结束*附：手指律动

9.《10以内加减法复习》教案 篇九

科目： 数学 班级： 一年级上学期数学第4章第6节

教学目标：

1、在实际情境中初步理解加减法的含义，并能正确口算１０以内数的加减法．

２、初步学会根据实际情境提出问题，并能运用所学的１０以内加减法解决简单的实际问题，提高学生用所学知识解决实际问题的能力，感受数学与生活的密切联系。

教学重难点： 理解加减法的含义。运用所学知识解决生活中简单的实际问题，根据情景图正确列式计算。

教具准备： 投影

课件链接： 无

教学过程：

一、激情导入：

师：小朋友们，今天是小猫咪咪的生日，家里来了许多客人可热闹了。下面咱们也去凑凑热闹，好不好？

二、复习加法：

1、复习加法含义：

师：请小朋友们注意看，第一位来咪咪家做客的是谁呢？那第二位呢？

（教师贴出2只小狗，3只小猪的图片）

师：哪个小朋友能根据刚才老师演示的情景来提出一个数学问题？

生提出问题。

师：谁能帮这位同学解答？

生：2+3=5（只）

师：你能说说为什么要用加法吗？

引导学生说出：因为是把两部分合起来，求总数，所以要用加法

师评价：说的真不错。

2、复习连加：

师：小猪和小狗们刚坐下，看谁又来了？

（贴出一只小兔的图片）根据这幅情景图谁能提出一个数学问题？

生提问题。

师：该怎样解答？

生：2+3+1=6（只）

师：这次是把几部分的数合起来，求总数？引导学生得出：像这种把几部分数合起来求总数的问题，我们要用加法来解决。（板书：加法）

3、复习特殊的加法问题：

师：小朋友们真了不起，提了这么多的数学问题。老师这儿也有个问题想考考大家，你们有信心吗？小狗汪汪特别懂礼貌，到咪咪家来做客时还带了一篮子苹果，（教师利用简笔画的形式展示一篮子苹果）被小动物们吃掉6个后，篮子里还剩4个，请问篮子里原来有多少个苹果？怎样解答？

生：６＋４＝１０

师：为什么要用加法来解答呢？引导学生了解把吃掉的和还剩的合起来就是篮子里原来的苹果数。所以用加法计算。

4、列举生活中的加法问题：

师：小朋友们，想想在你们的生活中，有没有像这种用加法来解决的问题？以小组为单位说一说。

学生小组交流。

全班交流。

三、复习减法：

1、复习减法含义：

师：客人们都来了，咪咪拿出了自己的生日蛋糕来招待大家，请小朋友们数数一共有几块蛋糕？（教师贴10块蛋糕的图片）注意看，发生什么事情了？（拿走了6块）谁能根据刚才发生的事来提一个数学问题？

生提出问题。

师：该怎样解答？

生： 10—6=4

师：为什么要用减法计算？引导学生说出：吃掉了，也就是去掉了，所以要用减法，板书：减法

2、复习连减：

师：在咱们做题时经常会遇到这样的算式：10—2—3=这种算式有个名字，谁还记得？（连减），哪位同学能根据这个算式中的数字提一个连减的问题？指生提出几个连减问题并解答。

4、学生列举生活中的减法问题：

师：在生活中还有许多要用减法解决的问题，谁能举出几个？

指生边提问题边解答

四、综合练习：

师：刚才有许多同学都没有机会发言，特别着急，没关系下面就给每个人一次锻炼的机会，以小组为单位，互相说说你在生活中遇到了哪些加减法的问题？再请小组内的其他同学解答，小组长要记录好你们组一共提了几个问题，一会儿咱们比比看哪个小组提的问题最多。

五、课堂小结：

10.10以内的环形计数教案 篇十

教案 第十编 计数原理 主备人 张灵芝 总第52期

§10.2 排列与组合

基础自测

1.从1，2，3，4，5，6六个数字中，选出一个偶数和两个奇数，组成一个没有重复数字的三位数，这样的三位数共有 个.答案 54 2.（2008·福建理）某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案共有 种.答案 14 3.停车场每排恰有10个停车位.当有7辆不同型号的车已停放在同一排后，恰有3个空车位连在一起的排法有 种.（用式子表示）答案 A88

4.在100件产品中有6件次品，现从中任取3件产品，至少有1件次品的不同取法种数是（用式子表示）.3答案 C100-C394

5.（2007·天津理）如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有 种（用数字作答）.答案 390

例题精讲

例1 六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？（1）甲不站两端；（2）甲、乙必须相邻；（3）甲、乙不相邻；（4）甲、乙之间间隔两人；（5）甲、乙站在两端；（6）甲不站左端，乙不站右端.解（1）方法一 要使甲不站在两端，可先让甲在中间4个位置上任选1个，有A14种站法，然后其余

155人在另外5个位置上作全排列有A55种站法，根据分步计数原理，共有站法：A4·A5=480（种）.2方法二 由于甲不站两端，这两个位置只能从其余5个人中选2个人站，有A5种站法，然后中24间人有A44种站法，根据分步计数原理，共有站法：A5·A4=480（种）.5方法三 若对甲没有限制条件共有A66种站法，甲在两端共有2A5种站法，从总数中减去这两种 329

5情形的排列数，即共有站法：A66-2A5=480（种）.（2）方法一 先把甲、乙作为一个“整体”，看作一个人，和其余4人进行全排列有A55种站法，再把

52甲、乙进行全排列，有A22种站法，根据分步计数原理，共有A5·A2=240（种）站法.方法二 先把甲、乙以外的4个人作全排列，有A44种站法，再在5个空档中选出一个供甲、乙放

2412入，有A15种方法，最后让甲、乙全排列，有A2种方法，共有A4·A5·A2=240（种）.（3）因为甲、乙不相邻，中间有隔档，可用“插空法”，第一步先让甲、乙以外的4个人站队，有A442种站法；第二步再将甲、乙排在4人形成的5个空档（含两端）中，有A5种站法，故共有站法为2A44·A5=480（种）.52也可用“间接法”，6个人全排列有A66种站法，由（2）知甲、乙相邻有A5·A2=240种站法，所52以不相邻的站法有A66-A5·A2=720-240=480（种）.（4）方法一 先将甲、乙以外的4个人作全排列，有A4然后将甲、乙按条件插入站队，有3A24种，2种，故共有A4（3A24·2）=144（种）站法.方法二 先从甲、乙以外的4个人中任选2人排在甲、乙之间的两个位置上，有A2然后把甲、4种，乙及中间2人看作一个“大”元素与余下2人作全排列有A3最后对甲、乙进行排列，有A22种3种方法，32方法，故共有A24·A3·A2=144（种）站法.（5）方法一 首先考虑特殊元素，甲、乙先站两端，有A22种，再让其他4人在中间位置作全排列，24有A44种，根据分步计数原理，共有A2·A4=48（种）站法.方法二 首先考虑两端两个特殊位置，甲、乙去站有A22种站法，然后考虑中间4个位置，由剩下

24的4人去站，有A44种站法，由分步计数原理共有A2·A4=48（种）站法.54（6）方法一 甲在左端的站法有A55种，乙在右端的站法有A5种，且甲在左端而乙在右端的站法有A4 330 54种，共有A66-2A5+A4=504（种）站法.方法二 以元素甲分类可分为两类：①甲站右端有A55种站法，②甲在中间4个位置之一，而乙不145114在右端有A14·A4·A4 种，故共有A5+A4·A4·A4=504（种）站法.例2 男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1人.选派5人外出比赛.在下列情形中各有多少种选派方法？

（1）男运动员3名，女运动员2名；（2）至少有1名女运动员；（3）队长中至少有1人参加；（4）既要有队长，又要有女运动员.2解（1）第一步：选3名男运动员，有C36种选法.第二步：选2名女运动员，有C4种选法.2共有C36·C4=120种选法.（2）方法一 至少1名女运动员包括以下几种情况： 1女4男，2女3男，3女2男，4女1男.4233241由分类计数原理可得总选法数为C14C6+C4C6+C4C6+C4C6=246种.方法二 “至少1名女运动员”的反面为“全是男运动员”可用间接法求解.5从10人中任选5人有C10种选法，其中全是男运动员的选法有C56种.所以“至少有1名女运动员”的5选法为C10-C56=246种.（3）方法一 可分类求解：

443“只有男队长”的选法为C8； “只有女队长”的选法为C8； “男、女队长都入选”的选法为C8； 43所以共有2C8+C8=196种选法.方法二 间接法：

55从10人中任选5人有C10种选法.其中不选队长的方法有C8种.所以“至少1名队长”的选法为55C10-C8=196种.44（4）当有女队长时，其他人任意选，共有C9种选法.不选女队长时，必选男队长，共有C8种选法.444其中不含女运动员的选法有C5种，所以不选女队长时的选法共有C8-C5种选法.所以既有队长又有女444运动员的选法共有C9+C8-C5=191种.331 例3 4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内.（1）恰有1个盒不放球，共有几种放法？（2）恰有1个盒内有2个球，共有几种放法？（3）恰有2个盒不放球，共有几种放法？

解（1）为保证“恰有1个盒不放球”，先从4个盒子中任意取出去一个，问题转化为“4个球，3个盒子，每个盒子都要放入球，共有几种放法？”即把4个球分成2，1，1的三组，然后再从3个盒子中选

1212个放2个球，其余2个球放在另 外2个盒子内，由分步计数原理，共有C14C4C3×A2=144种.（2）“恰有1个盒内有2个球”，即另外3个盒子放2个球，每个盒子至多放1个球，也即另外3个 子中恰有一个空盒，因此，“恰有1个盒内有2个球”与“恰有1个盒不放球”是同一件事，所以共有144种放法.（3）确定2个空盒有C2、（2，2）两类，第一类有序不4种方法.4个球放进2个盒子可分成（3，1）均匀分组有CC24(C342C11A234C11A22种方法；第二类有序均匀分组有

2C24C2A22·A

22种方法.故共有+2C24C2A22·A22）=84种.巩固练习

1.用0、1、2、3、4、5这六个数字，可以组成多少个分别符合下列条件的无重复数字的四位数：(1)奇数；(2)偶数；(3)大于3 125的数.12解(1)先排个位，再排首位，共有A13·A4·A4=144（个）.1123(2)以0结尾的四位偶数有A35个，以2或4结尾的四位偶数有A2·A4·A4个，则共有A5+ 12A12·A4·A4=156（个）.2(3)要比3 125大，4、5作千位时有2A35个，3作千位，2、4、5作百位时有3A4个，3作千位，1作 321百位时有2A13个，所以共有2A5+3A4+2A3=162（个）.2.某医院有内科医生12名，外科医生8名，现选派5名参加赈灾医疗队，其中（1）某内科医生甲与某外科医生乙必须参加，共有多少种不同选法？（2）甲、乙均不能参加，有多少种选法？（3）甲、乙两人至少有一人参加，有多少种选法？

（4）队中至少有一名内科医生和一名外科医生，有几种选法？

3解（1）只需从其他18人中选3人即可，共有C18=816（种）.5（2）只需从其他18人中选5人即可，共有C18=8 568（种）.43（3）分两类：甲、乙中有一人参加，甲、乙都参加，共有C12C18+C18=6 936（种）.332（4）方法一（直接法）至少一名内科医生一名外科医生的选法可分四类：一内四外；二内三外；三

4233241内二外；四内一外，所以共有C112C8+C12C8+C12C8+C12C8=14 656（种）.方法二（间接法）由总数中减去五名都是内科医生和五名都是外科医生的选法种数，55得C520-（C8+C12)=14 656(种）.3.有6本不同的书按下列分配方式分配，问共有多少种不同的分配方式？（1）分成1本、2本、3本三组；

（2）分给甲、乙、丙三人，其中一人1本，一人2本，一人3本；（3）分成每组都是2本的三组；（4）分给甲、乙、丙三人，每人2本.2解（1）分三步：先选一本有C16种选法；再从余下的5本中选2本有C5种选法；对于余下的三本 123全选有C33种选法，由分步计数原理知有C6C5C3=60种选法.233（2）由于甲、乙、丙是不同的三人，在（1）的基础上，还应考虑再分配的问题，因此共有C16C5C3A3=360种选法.222（3）先分三步，则应是C6C4C2种选法，但是这里面出现了重复，不妨记六本书为A、B、C、D、222E、F，若第一步取了AB，第二步取了CD，第三步取了EF，记该种分法为（AB，CD，EF），则C6C4C2种分法中还有（AB、EF、CD），（CD、AB、EF）、（CD、EF、AB）、（EF、CD、AB）、（EF、AB、CD）3共有A33种情况，而且这A3种情况仅是AB、CD、EF的顺序不同，因此，只算作一种情况，故分法有222C6C4C2A33=15种.222C6C4C2（4）在问题（3）的工作基础上再分配，故分配方式有

A33222·A33= C6C4C2=90种.回顾总结

知识 方法 思想

课后作业

一、填空题

1.用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中小于50 000的偶数共有 个.答案 36 2.将编号为1，2，3，4，5的五个球放入编号为1，2，3，4，5的五个盒子里，每个盒子内放一个球，若恰好有三个球的编号与盒子编号相同，则不同投放方法共有 种.333 答案 10 3.记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有 种.答案 960 4.(2008·天津理)有8张卡片分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，从中取出6张卡片排成3行2列，要求3行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为5，则不同的排法共有 种.答案 1 248 5.在图中，“构建和谐社会，创美好未来”，从上往下读（不能跳读），共有 种不同的读法.答案 252 6.（2008·安徽理）12名同学合影，站成了前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是（用式子表示）.22答案 C8A6

7.平面内有四个点，平面内有五个点，从这九个点中任取三个，最多可确定 个平面，任取四点，最多可确定 个四面体.（用数字作答）答案 72 120 8.（2008·浙江理，16）用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻.这样的六位数的个数是.（用数字作答）答案 40

二、解答题

9.某外商计划在4个候选城市投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，求该外商不同的投资方案有多少种？

解 可先分组再分配，据题意分两类，一类：先将3个项目分成两组，一组有1个项目，另一组有2

22个项目，然后再分配给4个城市中的2个，共有C3A4种方案；另一类1个城市1个项目，即把3个223元素排在4个不同位置中的3个，共有A34种方案.由分类计数原理可知共有C3A4+A4=60种方案.10.课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女各指定一名队长，现从中选5人主持某种活动，依下列条件各有多少种选法？（1）只有一名女生；（2）两队长当选；

334（3）至少有一名队长当选；（4）至多有两名女生当选.4解（1）一名女生，四名男生，故共有C15·C8=350（种）.3（2）将两队长作为一类，其他11人作为一类，故共有C22·C11=165（种）.423（3）至少有一名队长含有两类：有一名队长和两名队长.故共有：C12·C11+C2·C11=825（种）.55或采用间接法：C13-C11=825（种）.（4）至多有两名女生含有三类：有两名女生、只有一名女生、没有女生.2345故选法为C5·C8+C15·C8+C8=966（种）.11.已知平面∥，在内有4个点，在内有6个点.（1）过这10个点中的3点作一平面，最多可作多少个不同平面？（2）以这些点为顶点，最多可作多少个三棱锥？（3）上述三棱锥中最多可以有多少个不同的体积？

2解（1）所作出的平面有三类：①内1点，内2点确定的平面，有C14·C6个；②内2点，2内1点确定的平面，有C2C1③，本身.∴所作的平面最多有C1C6+C2C1（个）.4·4·4·6个；6+2=983（2）所作的三棱锥有三类：①内1点，内3点确定的三棱锥，有C14·C6个；②内2点，内2312点确定的三棱锥，有C24·C6个；内3点，内1点确定的三棱锥，有C4·C6个.32231∴最多可作出的三棱锥有：C14·C6+C4·C6+C4·C6=194（个）.（3）∵当等底面积、等高的情况下三棱锥的体积相等,且平面∥，∴体积不相同的三棱锥最多有

322C36+C4+C6·C4=114（个）.12.有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，共有多少种不同排法？

解 ∵前排中间3个座位不能坐，∴实际可坐的位置前排8个，后排12个.12（1）两人一个前排，一个后排，方法数为C18·C12·A2种； 212（2）两人均在后排左右不相邻，共A12-A22·A11=A11种；