高中数学柯西不等式

高中数学柯西不等式（精选14篇）

1.高中数学柯西不等式 篇一

高中数学不等式典型例题解析

高中数学辅导网http:///

概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结

不等式

一．不等式的性质：

1．同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：[同向相加，异向相减] 若，则（若，则），但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减；

2．左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘：若，则（若，则）；[同向相乘，异向相除]

3．左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若

bn或

4．若

；若

1a，则，则，则

1b

。如

（1）对于实数a,b,c中，给出下列命题：

①若则； ④若

； ②若则 ⑤若

则则

； ③若

则

；

； ⑥若

a

⑦若

则；

则

； ⑧若

1a

1b，则。

其中正确的命题是______

（答：②③⑥⑦⑧）；

（2）已知

（答：

ca 的取值范围是______

（答：），）；（3）已知，则，且的取值范围是______

则

二．不等式大小比较的常用方法：

1．作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果； 2．作商（常用于分数指数幂的代数式）； 3．分析法； 4．平方法；

5．分子（或分母）有理化； 6．利用函数的单调性； 7．寻找中间量或放缩法 ；

8．图象法。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。如

（1）设

a 的大小

（答：当

时，且，比较logat和log

（时取等号）；当

时，京翰教育http:///

（时取等号））；

（2）设，，试比较p,q的大小

（答：）；

（3）比较1+logx3与且或

2logx2；当

时，1+logx3＞2logx2；当的大小（答：当

时，1+logx3＜

时，1+logx3＝2logx2）

三．利用重要不等式求函数最值时，你是否注意到：“一正二定三相等，和定积

最大，积定和最小”这17字方针。如（1）下列命题中正确的是 A、1x 的最小值是2 2

4x4x

0)的最大值是

0)的最小值是、C、（答：C）；

（2）若，则的最小值是______、（答：）；

（3）正数x,y满足，则 的最小值为______

（答：）；

4.常用不等式有：（1

(根据目标不等式左右 的运算结构选用)；（2）a、b、，且仅当时，取等号）；（3）若

b

a

如果正数a、b满足，则ab，则

（当

（糖水的浓度问题）。如

的取值范围是_________

（答：）

五．证明不等式的方法：比较法、分析法、综合法和放缩法(比较法的步骤是：

作差（商）后通过分解因式、配方、通分等手段变形判断符号或与1的大小，然后作出结论。).常用的放缩技巧有：

n

1n

如（1）已知，求证：

(2)已知，求证：（3）已知，且(4)若，求证：

；； ；

a、b、c

是不全相等的正数，求证：

lg

lg

ca

； 2

（5）已知，求证：若

1已知，求证：（8）求证：

n；

1n

；(6)

。

六．简单的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是：（1）分解成若干个一次

因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；（3）根据曲线显现f(x)的符号变化规律，写出不等式的解集。如

（1）解不等式

（答：

（2）

不等式

（答：的解集是____ 或）； 的解集为的解集为

或）。

（3）设函数f(x)、g(x)的定义域都是R，且，的解集为，则不等式______

（答：）；（4）要使满足关于x的不等式（解集非空）的每一个x的值

和x

中的一个，则实数a的至少满足不等式取值范围是______.（答：[7，818)）

七．分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通

分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。如

（1）解不等式

2）； 的解集为，则关于x的不等式

（答：

（2）关于x的不等式 的解集为____________）.（答：

八．绝对值不等式的解法：

1．分段讨论法（最后结果应取各段的并集）：如解不等式

|

（答：）；

（2）利用绝对值的定义；

（3）数形结合；如解不等式

（答：

（4）两边平方：如

若不等式______。

（答：{）

九．含参不等式的解法：求解的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键．”注意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是„”。注意：按参数讨论，最后应按参数取值分别说明其解集；但若按未知数讨论，最后应求并集.如

（1）若loga，则a

对

恒成立，则实数a的取值范围为）的取值范围是__________

（答：或

（2）解不等式

ax）；

1a

1a

或）时，时，（答：

}；

时，{x|或

；

提醒：（1）解不等式是求不等式的解集，最后务必有集合的形式表示；（2）

不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值。如关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为

__________（答：（－1,2））

十一．含绝对值不等式的性质：

a、b同号或有号或有

； a、b异

如设，实数a满足，求证：

十二．不等式的恒成立,能成立,恰成立等问题：不等式恒成立问题的常规处理方

式？（常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用数形结合法）1).恒成立问题

若不等式

若不等式

在区间D上恒成立,则等价于在区间D上如（1）设实数x,y满足，当时，c的取值范围是______）（答：；（2）不等式）；

在区间D上恒成立,则等价于在区间D上

对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围_____（答：

（3）若不等式取值

对满足的所有m都成立，则x的范围_____

（答：（（4）若不等式

n

，））；

对于任意正整数n恒成立，则实数a的取

值范围是_____

（答：）；

（5）若不等式对求m的 取值范围.（答：）

2).能成立问题

若在区间D上存在实数x使不等式上

；

若在区间D上存在实数x使不等式上的如

已知不等式范围____

（答：）

3).恰成立问题

若不等式在区间D上恰成立, 解集为D； 的所有实数x都成立，成立,则等价于在区间D

成立,则等价于在区间D

则等价于不等式的若不等式解集为D.在区间D上恰成立, 则等价于不等式的在实数集R上的解集不是空集，求实数a的取值

2.高中数学柯西不等式 篇二

一、数学思维的概念与重要性

(一) 数学思维的概念

数学思维是经过高中数学教学经验的不断积累而总结出的逻辑推理方法, 抽象概括空间形式与数量关系。数学思维中有诸多分类, 使用较多的有直觉思维、逻辑思维以及形象思维。逻辑思维即采用逻辑规律分析、推理、概括与论证数学知识的方法;形象思维即感知具体形象后充分认识数学;直觉思维即学生后天学习后生成的优良的判断能力。

(二) 数学思维的重要性

随着素质教育的不断推进与全面开展, 数学思维得到了重视, 因此在高中数学中需全面推广使用, 促使学生综合能力得以提升, 进而培养创新思维。日常生活与数学有着千丝万缕的联系, 学生学习数学不仅是为了实现学习目标, 而且还需要应用数学知识解决生活问题。因此在高中数学课堂中, 教师一定要结合数学实践与理论知识, 确保学生学以致用。

二、数学思维在高中数学不等式教学中的作用

(一) 直接思维

直接思维能力可提升学生解决数学问题的积极性, 学生通过日积月累后可仔细观察数学并积极思考, 由此可快速找到解题思路且思路更加清晰, 在学习不等式时也更加愉悦与轻松。

(二) 逻辑思维

逻辑思维属于基础思维方法, 因此学生一定要扎实掌握。加上数学具有抽象性与复杂性, 在学习不等式的过程中一定要分层次观察, 并在分析过程中注重综合性, 由此有效概括, 进而再对学生的推理与论证能力进行有效培养。教师要引导学生注重对各个细节的观察, 使其形成良好的学习习惯, 由此变复杂、抽象问题为简单问题, 再进行完美论证。逻辑思维可激发学生的学习兴趣, 使学生在学习过程中更加积极主动, 提升逻辑思维能力与观察能力。

(三) 发散思维

在不等式学习中使用发散思维即从不同角度讲解与分析数学问题, 使学生真正掌握数学含义, 且在发散思维过程中学生学习数学角度不一, 学习乐趣更加深厚, 学习也更加灵活与生动。师生之间研究与探讨不等式, 不仅可促使教学目标得以完美实现, 还能够深化研究与理解不等式, 使师生在学习过程中找到乐趣, 提升教学效率。

(四) 分类讨论

依据数学对象本质属性的差异, 区分数学对象为拥有相应从属关系的类型不一的数学思维即分类讨论。在高中不等式学习中, 熟练掌握分类思想可有效提升学生的知识理解能力、独立获取知识能力以及知识整理能力, 进而可以促进学生调整知识结构, 完善知识网络。

(五) 数形结合思想

数形结合思想即用数解形、以形助数对数学问题予以处理。在数学学习过程中均存在数形结合思想, 比如图解法、几何题、数轴、向量法以及复数法。对数形结合思想予以充分使用, 可简单化复杂问题, 具体化抽象问题。因此在学习不等式的过程中需对图象、图形予以充分使用, 使学生对所学概念予以正确理解与掌握, 使学生逐渐理解数形结合思想与应用, 结合形象思维与抽象思维, 化难为易。

(六) 函数方程

函数方程思想即解决数学问题时适当构造函数方程, 转化问题至辅助方程与函数性质进行研究的思想。可将不等式看成两个函数值不等的关系, 比如对f (x) =0进行求解时即找出函数y=f (x) 的零点, 对不等式予以证明时还需将函数单调性与换元考虑在内, 数列an通项可作为以n为变元的函数 (n为正数) 。在数学中一定要强调方程与函数的联系与区别, 首先区分二者概念, 而后将转化关系说明。方程与函数思想有利于学生深刻理解数学知识, 进而提升教学效率。

(七) 化归

化归即结合主体已有经验知识采用类比、观察以及联想等方式转化或者变换问题, 一直到转换成可有效解决问题或者已经解决问题的思想, 即采用变化观点、运动观点、发展观点以及事物间联系与制约观点解决问题, 转换将要解决的问题。学生若能够对化归意识予以掌握, 就可对各种转化予以熟练掌握, 将未知变为已知, 将抽象化为具体。

三、结语

高中数学主要是总结、提升与概括数学知识, 密切联系于日后生活与学习, 且不等式在高考中所占比例较大, 学生掌握了不等式的有效解决方法, 不仅具有现实意义而且还会深刻影响学生未来学习。因此, 在高中数学不等式的学习中一定要充分使用数学思维, 促使学生学习效果的提升。

摘要：不等式是高中数学的重要内容, 也频繁出现在高考中。本文将探讨在高中数学不等式教学中应用数学思维的主要作用。

关键词：数学思维,高中数学,不等式

参考文献

[1]靳国林.浅谈高中数学不等式的解题策略[J].高中数理化, 2012 (10) .

[2]刘欢.巧证不等式培养新思维[J].课程教学研究, 2014 (3) .

[3]张雁.优化不等式放飞思维[J].试题与研究:教学论坛, 2011 (14) .

3.高中数学柯西不等式 篇三

关键词：高中数学；不等式教学；数学思维

高中数学是高中生学习的重要基础课程，而不等式教学是高中数学教学的重点和难点，因此，高中数学教师在教学过程中，要加大对不等式教学的研究力度，更新自身的教学观念，采用先进的教学模式，不断提高高中数学不等式教学水平。对于不等式教学环节，教师可以采用模块化教学方式，通过数学思维的渗透，来提高学生的数学思维能力，从而激发学生的学习兴趣，让学生积极主动的参与到高中数学不等式教学活动中，下面就高中数学不等式教学的数学思维进行分析。

一、高中数学不等式教学的数学思维方法

数学思维方法是通过数学思维让学生认识到数学知识结构的核心，帮助学生理解数学知识，在高中数学教学中，常用的数学思维方法有数形结合、函数方程、数学模型、化归、递推等几种情况，这些数学思维方法是高中数学教学中不可缺少的一部分。由于数学思维方法同换元、代人等数学基本方法不同，数学思维方法需要从数学知识中进行归纳，并在实践中应用，因此，教师在进行高中数学知识讲解时，要注重数学思维的渗透，从而有效地提高学生的数学思维能力。

不等式教学是高中数学教学的重要内容，是解决数学问题的基础工具，在进行不等式知识考查时，有间接考查和直接考查两种方法，间接考查是指结合函数、几何、数列等知识对不等式知识的应用进行考查；直接考查是指通过选择题、填空题等形式对不等式知识进行考查。因此，教师在进行高中数学不等式教学时，不仅要注重不等式知识与其他知识的交汇，还要注重培养学生的数学思维能力，提高学生运用数学思维解决不等式问题的能力，从而有效地提高学生的数学素质。

二、数学思维在高中数学不等式教学中的渗透

在高中数学教学中，常用的数学思维方法有数形结合思维、函数方程思维、化归思维、分类讨论思维等，在进行高中数学不等式教学时，教师要灵活的应用这些数学思维方法，从而有效地提高高中数学不等式解题灵活性，提高学生解决不等式问题的能力。

1、数形结合思维。在高中数学中，“数”和“形”是最重要的支柱，数形结合思维就是在解决数学问题时，用“数”解“形”，用“形”得“数”，从而达到解决数学问题的目的。在高中数学教学中，数形结合思维贯穿于整個数学教学活动，如数轴、三角法、图解法、复数法等都是数形结合思维的应用，通过数形结合思维能简化复杂的问题，将抽象的问题具体化，从而快速的解决数学问题。在进行数学教学时，教师要充分利用图像、图形，帮助学生理解不等式的相关知识概念，让学生通过“数”与“形”的对应，灵活的处理不等式问题，有效地提高高中数学不等式教学效果。

2、函數方程思维。函数方程思维是指在进行不等式教学时，对于某些问题可以构建相应的函数或者方程，将不等式问题转换为函数问题或者方程问题。例如教师在教学过程中，可以将不等式看成两个函数值的不相等关系，利用方程f（x）=0求解函数v=f（x）的零点，通过方程学生就能发现不等式和函数的单调性有很大的关系。在采用函数方程思维进行高中数学不等式教学时，教师要让学生明白函数和方程是两个不同的概念，两者存在一定的差别，如函数有定义域、值域、对应关系，并且x、y在函数中是从属关系，而在方程中，x、v是平等关系。学生只有明白函数和方程的差别，才能在“函数一图像一方程一解方程”和“方程跟一函数图像”的转化中应用自如。函数方程思维的本质是数学知识的转换，通过函数方程思维能加深学生对数学知识的理解，有助于学生数学能力的提高。

3、化归思维。化归思维是指利用现有的知识，对问题进行观察、类比、变化、转化，将问题变成已只掌握的知识，从而解决问题，化归思维是从事物相互联系和制约的角度进行问题处理的，当学生掌握了化归思维后，能轻松的将各种问题转换为简单、已知的问题。教师在进行高中数学不等式教学时，通过化归思维，能帮助学生将不等式问题转换为已经掌握的问题，从而有效地提高学生解决不等式问题的能力。

4、分类讨论思维。分类讨论思维是根据对象本质的差异性，对数学对象进行分类，帮助学生理解数学知识的一种思维。在高中数学不等式教学中，采用分类讨论思维，能有效地提高学生理解知识、总结知识的能力，能帮助学生建立完善的数学知识结构。

三、结语

高中数学是学生系统的学习数学知识的重要阶段，对学生的全面发展有十分重要的意义，不等式是高中数学的重要教学内容，贯穿于高中数学各个环节，在高中数学不等式教学中，教师要特别注重数学思维方法的应用，从而有效地激发学生学习兴趣，提高学生的数学思维能力，提高学生解决不等式问题能力，促进学生综合素质的提升。

记住你是个女孩，努力是你的象征，自信是你的资本，微笑是你的标志，你要奋斗的不是在一个男人面前委曲求全让他看到你的努力，而是好好努力并且等待数年后那个单膝跪地给你无名指戴上戒指的男人。想要别人爱你，前提是先好好爱自己。

4.高中数学不等式的证明教案有哪些 篇四

综合法是不等式证明的一种方法，这种方法是：根据不等式的性质和已经证明过的不等式来进行。 综合法.从已知(已经成立)的不等式或定理出发，逐步推出(由因导果)所证的不等式成立.例如要证 ，我们从 ，得 ，移项得 .综合法的证明过程表现为一连串的“因为……所以……”，可用一连串的“ ”来代替.

综合法的证明过程是下一节课学习的不等式的证明的又一必须掌握的方法——分析法的思考过程的逆推，而分析法的证明过程恰恰是综合法的思考过程。 实际上在前面两个重要的不等式平方不等式和均值定理的证明及不等式的性质证明当中，我们已经运用了综合法，但当时只是没有提出或采用这个名字而已。本节课是不等式的证明的每第二节课，由于立方不等式已移至阅读材料当中，故例题只有一个，是运用平方不等式来作为基础工具。

二、本节课的教学重、难点

本节课的教学重点是运用综合法证明不等式。

教学难点是如何正确运用综合法证明不等式。用综合法证明不等式的逻辑关系是：(已知)——(逐步推演不等式成立的必要条件)(——结论) 即 由此可见，综合法是“由因导果”，即由已知条件出发，推导出所要证明的不等式成立。 难点突破方法：由于综合法不象比较法，它必须从某个不等式的性质和已经证明过的不等式出发，运用不等式的性质进行一系列的恒等变形，直到得出结论。 因此要求学生对所学习的不等式的5个定理，4个推论和不等式平方不等式和均值定理必须熟悉，在进行教学时，首先要与学生一起回顾前面所学不等式性质、定理，并板书在黑板上，便于学生直接运用，从而节约学习时间;其次，用综合法进行不等式的证明时，通常要观察所证的不等式的结构，找出它与前面所学不等式性质、定理在结构上的某些相似之处，所以又要注意引导学生学会从结构上进行观察，大胆猜测，小心求证，并以此为契机，复习掌握前面所学不等式性质、定理。 三、教学过程设计 ①复习不等式的性质、平方不等式[如果 ]、均值定理[如果a,b是正数，那么 ]、比较法证明不等式的步骤。

(说明复习两个不等式是为了例1的解决)

②提出问题：例1已知a，b，c是不全相等的正数，求证：

让学生思考，本题如何证明?用比较法?

(提出问题让学生感知比较法进行证明时，作差后的变形是难点，有没有其他更快的证明方法?当学生难于判断差与0的关系时，认识到学习新方法的必要性，从而激发学生的求知欲。)

出示本节课课题“不等式的证明(2)——综合法”

③引导学生观察所要证明的不等式的结构，思维来自观察，培养学生的观察能力，而这正是综合法的要点，由结构大胆猜测。 引导学生：从所要证的不等式的左边看，有三个单元结构，发现都有平方不等式的左边一样的结构，但右边系数是6，且为三个字母之积，又如何变出来?能否试试给出证明? 让学生通过自己运用所学知识，尝试，在尝试中学会知识，实践出真知。 ④引导学生通过证明，总结这种方法与差比法证明不等式的区别在哪里?

证明：∵ ≥2bc,a>0,

∴ ≥2abc ①

同理 ≥2abc ②

≥2abc ③

因为a，b，c不全相等，所以 ≥2bc, ≥2ca, ≥2ab三式不能全取“=”号，从而①、②、③三式也不能全取“=”号

注意：A、对于“①、②、③三式也不能全取“=”号”一定要给出，否则结论应为 ;

B、要提问学生“a，b，c是的正数”的含义。这是一个重要的条件，“不全相等”与“全不相等”不一样，如全(都)不相等，则三个不等式中都没有“=”号。

C、本题的关键在哪里?

从已知(已经成立)的不等式或定理出发，逐步推出(由因导果)所证的不等式成立。用综合法证明不等式的逻辑关系是：(已知)——(逐步推演不等式成立的必要条件)(——结论) 即 由此可见，综合法是“由因导果”，即由已知条件出发，推导出所要证明的不等式成立。 ⑤课堂练习。 “学而时习之，不亦乐乎”，通过再一次实践，完成课本练习，在证明时，提醒学生首先要观察不等式的结构，选择出发点，一步一步向目标靠近。抽学生到黑板上板演，通过学生的解答发现问题，总结经验。 ⑥补充例题。由于课本上例题以及练习都比较单一，用简单的综合法即可得到，但在不等式的证明中，有时要综合运用几种方法才可证明，而不是只用单一的方法。因此补充是必要的。 例2 已知a，b，c都是正数，且a，b，c成等比数列，

求证：

分析：本题所要证明的不等式的结构与例1不一样，右边也看不到平方不等式的相同结构之处。可以先考虑作差;如何判断，差的结果与0的关系?注意“a，b，c成等比数列”可以得出什么信息? 。

证明：左-右= (需证明差与0的关系)

∵a，b，c成等比数列，

∴ (说明： ，关键要证明 )

又∵a，b，c都是正数，所以 ≤ (又用到成等比数列和均值定理的变形)

反思：此题在证明过程中运用了差比法、基本不等式、等比中项性质，体现了综合法证明不等式的特点，还告诉我们在证明不等式时，并不一定只用到一种单一的方法，而是要采用所学知识，将理由说明清楚。

⑦课堂小结：通过本节学习，要求熟练掌握并应用已学的重要不等式及不等式性质推出所证不等式成立，进而掌握综合法证明不等式。

⑧课外作业：

5.高中数学柯西不等式 篇五

（二）【说明】 本试卷满分100分，考试时间90分钟.一、选择题（每小题6分，共42分）

a2b

21.设0＜x＜1,a、b为正常数，的最小值是（）x1x

A.4abB.2(a2+b2)

C.(a+b)2D.(a-b)

2答案：Ca2b2

解析：令x=cosθ,θ∈(0,),则=a2sec2θ+b2csc2θ=a2+b2+a2tan2θ+b2cot2θ≥2x1x

a2+b2+2ab=(a+b)2.2.若a、b∈R,a2+b2=10,则a-b的取值范围是（）

A.［-2，25］B.［-2，2］

C.［-，］D.［0，］

答案：A

解析：设a=cosθ,b=sinθ,则a-b=(cosθ-sinθ)=2·cos(θ+-2,2］.3.已知a∈R+,则下列各式中成立的是（）

A.cos2θ·lga+sin2θ·lgb＜lg(a+b)B.cos2θ·lga+sin2θ·lgb＞lg(a+b)

C.acos2)4bsin=a+bD.acosbsin＞a+b 22

2答案：A

解析：cos2θlga+sin2θlgb＜cos2θlg(a+b)+sin2θlg(a+b)=lg(a+b).4.设函数f(x)=ax+b(0≤x≤1),则a+2b＞0是f(x)＞0在［0，1］上恒成立的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

答案：B

解析：a+2b＞0a+b＞0f（121)＞0,不能推出f(x)＞0,x∈［0,1］;反之，f(x)＞0,x∈［0,1］2

1f()＞0a+2b＞0.2

5.(2010重庆万州区一模，7)已知函数y=f(x)满足：①y=f(x+1)是偶函数；②在［1，+∞）上为增函数.若x1＜0,x2＞0,且x1+x2＜-2,则f(-x1)与f(-x2)的大小关系是()

A.f(-x1)＞f(-x2)B.f(-x1)＜f(-x2)

C.f(-x1)=f(-x2)D.f(-x1)与f(-x2)的大小关系不能确定 答案：A

解析：y=f(x+1)是偶函数f(x+1)=f(-x+1)f(x+2)=f(-x).又x1+x2＜-2,-x1＞2+x2＞2，故f(-x1)＞f(2+x2)=f(-x2).6.(2010湖北十一校大联考，9)定义在R上的偶函数y=f(x)满足f(x+2)=-f(x)对所有实数x都

成立，且在［-2，0］上单调递增，a=f(37),b=f(),c=f(log18)，则下列成立的是()222

A.a＞b＞cB.b＞c＞aC.b＞a＞cD.c＞a＞b

答案：B 解析：由f(x+2)=-f(x)有f(x+4)=f(x),∴T=4,而f（x）在R上为偶函数又在［-2，0］上单调递增，所以f(x)在［0，2］上单调递

减.b=f(1137)=f(-)=f(),c=f(log18)=f(-3)=f(1),a=f().22222

∵31＞1＞,∴b＞c＞a.22

227.设a、b、c、d∈R，m=a2b2+c2d2,n=(ac)(bd),则()

A.m＜nB.m＞nC.m≤nD.m≥n

答案：D

解析：设A(a,b),B(c,d),O(0,0),∵|OA|+|OB|≥|AB|,∴得m≥n.二、填空题（每小题5分，共15分）

8.设x＞0,y＞0,A=

答案：A＜B

解析：A= xyxy,B=,则A，B的大小关系是__________________.1xy1x1yxyxy=B.1xy1xyx11y

9.已知x2+y2=1,对于任意实数x,y恒有不等式x+y-k≥0成立，则k的最大值是____________.答案：-

2解析：设x=cosθ,y=sinθ,k≤x+y=sinθ+cosθ=2sin(θ+

-2.10.设｛an｝是等差数列，且a12+a112≤100,记S=a1+a2+…+a11则S的取值范围是______________.答案：［-552，552］ ),∴k≤-2.∴k的最大值为

4aa112aa11aa11解析：由1≥(1)1∈［-52,52］.222

∴S=a1+a2+…+a11 22

=(a1+a11)+(a2+a10)+…+(a5+a7)+a6 =11(a1+a11)∈［-552,552］.2

三、解答题（11—13题每小题10分，14题13分，共43分）

11.若x,y均为正数，且x+y＞2.求证: 1y1x与中至少有一个小于2.xy

1y1x1y1x与均不小于2，即≥2且≥2,则1+y≥2x,1+x≥2y.相加得xxyy证明：假设

2+x+y≥2(x+y)，推出x+y≤2,与题设x+y≥2矛盾.故假设错误.n(n1)(n1)2

12.已知an=223+…+n(n1)(n∈N),求证：＜an＜对n∈N*

22*恒成立.证明：an＞222+…+n2=1+2+3+…+n=n(n1), 2

1nn22n(n1)2

而an＜［(1+2)+(2+3)+…+(n+(n+1))］=+(1+2+3+…+n)=＜.2222

13.若a,b,c为三角形三边，x,y,z∈R,x+y+z=0,求证：a2yz+bzzx+c2xy≤0.证明：∵z=-x-y,∴a2yz+b2zx+c2xy=a2y(-x-y)+b2x(-x-y)+c2xy=-b2x2-(a2+b2-c2)yx-a2y2,∴原不等式f(x)=b2x2+(a2+b2-c2)yx+a2y2≥0.

(*)

∵Δ=(a2+b2-c2)2-4a2b2=［(a2+b2+2ab)-c2］［(a2+b2-2ab)-c2］=(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a-b-c),a,b,c为三角三边，∴Δ＜0.∴b2＞0,∴f(x)＞0对x∈R恒成立，即（*）表示，∴原不等式得证.14.已知：a∈R+,求证：a+4a1a4

a≥17.4

证明：∵a∈R+，设t=a+4a≥2a14=4,则左式=f(t)=t+(t≥4)ta

∴f(t)=(t12)+2在t≥4上递增.t

6.高中数学柯西不等式 篇六

均值不等式的应用

教学要求：了解均值不等式在日常生活中的应用

教学过程：

一、情境引入；

日常生活中常用的不等式有：一元一次不等式、一元二次不等式和平均值不等式。前两类不等式的应用与其对应函数及方程的应用如出一辙，而平均值不等式在生产生活中起到了不容忽视的作用。下面，我主要谈一下均值不等式和均值定理的应用。

在生产和建设中，许多与最优化设计相关的实际问题通常可应用平均值不等式来解决。平均值不等式知识在日常生活中的应用，笔者虽未亲身经历，但从电视、报纸等新闻媒体及我们所做的应用题中不难发现，均值不等式和极值定理通常可有如下几方面的极其重要的应用：（表后重点分析“包装罐设计”问题）实践活动 已知条件 最优方案 解决办法

设计花坛绿地 周长或斜边 面积最大 极值定理一

经营成本 各项费用单价及销售量 成本最低 函数、极值定理二 车船票价设计 航行里程、限载人数、票价最低 用极值定理二求出 速度、各项费用及相应 最低成本，再由此 比例关系 计算出最低票价

（票价=最低票价+ +平均利润）例

1、包装罐设计问题

1、“白猫”洗衣粉桶

“白猫”洗衣粉桶的形状是等边圆柱（如右图所示），若容积一定且底面与侧面厚度一样，问高与底面半径是 什么关系时用料最省（即表面积最小）？ 分析：容积一定=>лr h=V（定值）

=>S=2лr +2лrh=2л(r +rh)= 2л(r +rh/2+rh/2)≥2л3(r h)/4 =3 2лV(当且仅当r =rh/2=>h=2r时取等号), ∴应设计为h=d的等边圆柱体.例

2、“易拉罐”问题

圆柱体上下第半径为R,高为h，若体积为定值V,且上下底 厚度为侧面厚度的二倍，问高与底面半径是什么关系时用料最 省（即表面积最小）？

7.高中数学柯西不等式 篇七

一、没有数形结合思想

例1.设f (x) =lgx, 若0<a<b<c, 且f (a) >f (b) >f (c) , 则下列结论中正确的是

这道以选择题的形式出现, 难度并不大, 但是学生容易在小地方出错, 不善于使用数形结合思想, 在阴沟里面翻船。

解:作图可知:

如图, 函数f (x) =|lgx|在 (0, 1) 上减, 在 (1, +∞) 上增,

所以0<a<b<c, 且f (a) >f (c) >f (b) ,

所以-lga>lgc>|lgb|, 且a<1<b<c (1)

有lga+lgc<0, 即lgac<0=lg1

又函数y=lgx是增函数

故ac<1, 本题选D

这种题在不等式题型中属初级题, 高考遇上基本上是送分的, 但很多时候学生拿支笔在那儿算了半天, 把自己算晕了, 也整不出正确答案, 就是不知道画图。数形结合在不等式题型中是相当重要的, 学生一定要有数形结合意识, 学会作图, 从图上寻找突破口, 这对于解答题是非常有用的。

二、不等式求最值, 忽略“一正、二定、三相等”

填空题是紧接选择题出现的, 有关不等式的填空题一般会放在前面几题, 难度至多为中等, 一般学生都能做出来。解答填空题, 就是细心细心再细心, 要关注题干中给出的隐含条件, 遇到不等式求最值填空题, 要牢牢记住“一正、二定、三相等”:

(1) A、B都必须是正数。

(2) 在A+B为定值时, 便可以知道A·B的最大值;在A·B为定值时, 便可以知道A+B的最小值。

(3) 当且仅当A、B相等时, 等式成立;即

三、没有注意含参数的表达式符号

例3.若m∈R, 解关于x的不等式: (-m2+3m-3) x>-m2+3m-3.

此题容易由ux>u得出x>1的错误答案, 原因在于没有注意含参数的表达式的符号。

解:令u=-m2+3m-3

u (m) 的判别式Δ=9-4× (-1) × (-3) <0

∴u<0恒成立

∴原不等式的解为x<1

解含参数的不等式时, 要注意表达式的符号, 否则易出错, 造成丢分。考试过程中, 一旦看见参数, 就应条件反射, 首先关注参数符号, 再进行解答。

四、对数问题没有注意真数大于0的条件

解答对数问题时, 很多学生容易忽略真数大于0的条件。答题过程中, 很多学生易在a>1时的解中出错, 忽略了x>0这个条件。

解:若a>1, 两边取以a为底的对数

若0<a<1, 同样有,

所以:

遇到含对数问题的不等式求解, 注意考虑真数大于0的条件, 不要解一半丢一半, 遇到判卷严格的老师, 可能一分都不会给, 明明是自己会做的题, 却没有拿到分数, 就得不偿失了。

五、忽视函数定义域

函数定义域相关知识经常在不等式中考察, 应结合定义域知识, 仔细审题。

解: (1) ∵x2-2x+2恒正,

∴f (x) 的定义域是1+2ax>0,

即当a=0时, f (x) 定义域是全体实数

其判别式Δ=4 (1+a) 2-4=4a (a+2)

(i) 当Δ<0时, 即-2<a<0时

(ii) 当Δ=0时, 即a=-2或0时

(iii) 当△>0时, 即a>0或a<-2时

方程x2-2 (1+a) x+1=0的两根为

函数定义域与不等式结合类题目, 属于常规题, 目的在于全面认识定义域, 正确求解不等式。解答此类题目, 要先由解析式有意义列出关于自变量的不等式 (不等式组) , 再解此不等式 (不等式组) , 就能得到原函数的定义域。

六、不善于使用待定系数法

例6:设f (x) =ax2+bx, 且1≤f (-1) ≤2, 2≤f (1) ≤4, 求f (-2) 的取值范围。

解答此题, 如果由已知不等式求出a、b的范围, 然后再求4a-2b即f (-2) 的范围, 就忽略已知不等式中等号成立的条件不一定相同, 它们表示的区域也不一定相同这个问题。在解答此类题目时, 巧妙使用待定系数法就能有效解答。

解:令f (-2) =mf (-1) +nf (1)

待定系数法对于解不等式类题目是有力武器, 思路卡壳时, 可以尝试用待定系数法, 避免上述错误。

七、没有等价转化

解例7, 容易出错的地方在于学生无法进行等价转化, 不理解“x的最大值为3”的含义。

设 (1) (2) 的根分别为x1、x2 (x2>x1) , x3、x4 (x4>x3) , 则x2=3或x4=3

若x2=3, 则9-15+p-2=0, p=8

若x4=3, 则9-9+p+2=0, p=-2

当a=-2时, 原方程组无解, 则p=8

学生常常学了后面的知识, 就忘记了前面的知识, 只有多做多练, 才能克服学习负迁移带来的影响, 不会等价转化, 就要练习到会为止。不等式是必考知识点, 能不能拿下不等式直接关系到高考成绩。平时一定要准备一本错题集, 将易错、常错的题目抄写在作业本上, 在题目旁边写上错误的原因, 时时拿出来看一看, 不要在同一个地方跌倒两次。

摘要：解答高中数学不等式题型时, 很多时候学生没有拿到分数, 不是这儿丢一点分数, 就是那儿少写一个解, 处处失误, 最后与高分失之交臂。在教学过程中发现, 没有数形结合思想、没有注意含参数的表达式符号、对数问题没有注意真数大于0的条件、忽视函数定义域等等, 都是学生解不等式时, 容易出现的错误。

关键词：高中数学,不等式,解题技巧,数形结合,等价转换

参考文献

[1]利用均值不等式求最值问题常见的错误分析.黄志活.[J].广东职业技术师范学院学报, 2002年S1期.

8.高中数学柯西不等式 篇八

关键词： 高中数学 不等式教学 数学思维 教学有效性

高中数学不等式的探究往往需要借助严密的数学逻辑思维，以分析或证明两式之间的对比关系，在这一过程中，数学思维的应用，切入角度的准确性，以及严密的逻辑证明对于整个不等式的有效分析起着关键作用。因此在数学不等式教学及实际应用过程中，高中数学教师首先应当从分析的角度指导学生进行基本的判断，从数学的思考角度找寻整个不等式的内涵与切入点，进而寻找正确的方式，确保不等式解答的高效率与准确性。因此，数学不等式教学中探究数学思维的有效应用对于整个高中数学不等式教学效果的增强有着重要的现实意义。

1.高中数学不等式教学中的数学思维

高中数学思维包含数形结合、数学模型、函数方程、递推、化归等，其对于数学知识的理解及数学习题的解答有着显著的促进作用，因此在数学教学过程中运用好数学思维对于数学教学水平的提升有着显著的促进作用。而在不等式的教学过程中，数形结合、函数方程、分类讨论等思维又起着关键的影响作用。因此教师在高中不等式教学过程中一定要结合实际的知识点或者是相关的习题案例有效地融合入各类数学思维，进而指导学生在不等式学习过程中深入地理解各个知识点，并以数学思维进行习题的分析，以在数学知识应用之前帮助学生寻找正确的思考方向、确定最佳的解题方式。在这种环境下，数学思维与高中不等式的教学紧密结合，学生对于不等式的学习效率得到提高，数学思维在高中数学不等式教学中的重要性得到体现。

2.数学思维在高中数学不等式教学中的有效应用

根据文章之前的分析，在高中数学不等式教学过程中，数形结合、函数方程及分类讨论等思维对于不等式的教学有着显著的促进作用，因此本节及实际数学思维与不等式教学结合的探究分析数学思维在高中数学不等式教学中的重要性，进而为现阶段高中数学不等式教学中有效应用数学思维提供借鉴。

2.1数形结合数学思维对不等式标根法的重要指导

数学中数与形往往是相互联系的，这种联系被称为数形结合，其作为一种数学思维或者数学指导思想往往对数学中某些概念的精确化或者是明确某些数学变量之间的关系起到了很好的指导作用。在高中数学不等式教学中，标根法的解题方法往往需要数形结合的形式进行有效指导，标根法往往将不等式的解题分成三个步骤，即将不等式分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线，并注意奇穿过偶弹回；最后再根据曲线显示出来的符号变化规律，写出不等式的解集。通过这种数学思维的指导，学生在学习不等式区间解答的过程中能够有效掌握基本的思考方法，并得出正确的答案。

以x■+3x-4≥0这一不等式为例，首先整个不等式可以分解成为（x-1）（x+2）■≥0，然后根据这一分解式将根x=1和x=-2（重根）标注在函数图形上，这样整个不等式的解的区域就能够明显地被表示出来，为{x|x≥1或x=-2}。

2.2函数方程思维与不等式恒成立证明的相关关系探究

函数方程思维往往是借助函数的主要性质或者是函数的定义对相关的数学问题进行分析和解答，而在高中数学不等式求解或者证明的过程中，数学教师同样可以借助数学的函数思维进行不等式教学，并指导学生对相关问题进行深入解答。在这种情况下，数学教师一方面是要让学生分清此类数学思维与不等式结合的主要类型，另一方面是指导学生找到不等式解答的主要突破口，进而让学生在分析阶段找到有效运用解不等式的方法，在解题及知识点理解的过程中保障自身探究方向的准确性。

不等式恒成立问题常常应用函数方程思想，进而以求最值或者极值的方式确定相关参数的区间，以证明不等式的恒成立或者习题条件的完整化。虽然恒成立问题分析过程中，数形结合的思想也对其起着有效的指导作用，但函数方程思维在运算方面及避开作图难点方面有着显著的优势。例如对于不等式x■-2mx+2m+1>0，教师就可以指导学生将函数化解成为（x-m）■-m■+2m+1>0，进而将整个不等式右边化成开口向上，对称轴为x=m的抛物线函数，在函数方程思维的指导下，学生可以免去画图的工作，直接根据函数的单调性及最值的性质判断m的范围，最终求出m>-1/2。

2.3分类讨论对含绝对值不等式解题的重要影响

分类讨论的思想对于高中数学综合知识的探究有着显著的指导作用，而数学不等式知识的教学中，含有绝对值的不等式同样可以和分类讨论的数学思维进行密切的联系。如“分段讨论法”，通过各个集合上的讨论求出各种情况下不等式的答案，最后取解的并集，在这种方法下，不等式所包含的绝对值可以被准确地去除，整个习题的解答也会被简化。学生对于这一类知识的理解及应用有了更好的切入角度，教学效果也更好地得以体现。

结语

以上在讨论了数学思维与高中数学不等式教学结合有效性的前提下，列举了高中数学不等式教学过程中具有重要影响的几类数学思维的实际应用。现阶段的不等式教学过程中，教师要根据不等式教学中的主要知识点及习题类型有效运用数学思维的指导作用，以数形结合数学思维强化不等式标根法的有效分析，以函数方程思维探究函数恒成立证明或解答的准确方向，以分类讨论的思维指导学生对含绝对值的不等式进行简化分析，进而借助数学思维的有效指导不断提高学生对于不等式的理解程度，优化其对于习题的分析思路与解题方法，保障学生知识储备的拓展及考试竞争力的增强，最终突显数学思维在高中数学不等式教学中的重要性。

参考文献：

[1]顾敏智.探析数学思维在高中数学不等式教学中的重要性[J].新课程导学，2015，17：96.

9.高中数学柯西不等式 篇九

教材分析

“”的证明学生比较容易理解，学生难理解的是“当且仅当ａ＝ｂ时取„＝‟号”的真正数学内涵，所谓“当且仅当”就是“充分必要”．

教学重点是定理及其应用，难点是利用定理求函数的最值问题，进而解决一些实际问题．

教学目标

1.理解两个实数的平方和不小于它们积的2倍这一重要不等式的证明，并能从几何意义的角度去解释，形成数形结合的完美统一．

2.理解两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数定理的证明，及其几何意义，会用这两个重要不等式解决简单的实际应用题．

3.通过定理的证明培养学生的逻辑推理能力，通过定理的应用揭示数学的应用价值．

任务分析

这节内容从实际问题情境展开探讨，“如要围成面积为16ｍ2的一个矩形，所需绳子最短是多少？即设长为ｘ，宽为，则周长为l＝2ｘ＋2×，求当ｘ取何值时，l最小．”让学生去猜测，去思考，充分调动学生的积极性，激发学生的想象和猜想能力．当学生猜想它应为正方形这一结论时，教师适时引导如何去证明猜想的正确性，激发学生的求知欲望，从而达到由问题到结论的证明，开阔学生的思路，陶冶学生的情操．

教学设计

一、问题情境 教师出示问题，引导学生分析、思考：某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为4800ｍ，深为3ｍ．如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少元？

3二、建立模型

1.通过比较ａ＋ｂ与2ａｂ的大小，引入重要不等式． ∵ａ2＋ｂ2－2ａｂ＝（ａ－ｂ）2，∴当ａ≠ｂ时，（ａ－ｂ）＞0； 当ａ＝ｂ时，（ａ－ｂ）2＝0．

即（ａ－ｂ）2≥0，从而有ａ2＋ｂ2≥2ａｂ． 2.结论明晰

定理1 如果ａ，ｂ∈Ｒ，那么ａ2＋ｂ2≥2ａｂ（当且仅当ａ＝ｂ时，取“＝”号）．

22思考：对于定理1和定理2，当且仅当ａ＝ｂ时取“＝”号的具体含义是什么？

三、解释应用 ［例 题］ 1.已知ｘ，ｙ都是正数，求证：

小结；上述结论是我们用定理求最值的依据，可简述为和为定值积最大，积为定值和最小．

2.设法解决本节课开始提出的问题．

因此，当水池的底面是边长为40ｍ的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价为297600元．

3.0求证：在直径为ｄ的圆内接矩形中，面积最大的是正方形，并且这个正方形的面积等于ｄ． 22.设计一幅宣传画，要求画面面积为4840ｃｍ2，画面的宽与高的比为λ（λ＜１），画面的上、下各留8ｃｍ的空白，左、右各留5ｃｍ的空白．问：怎样确定画面的高与宽的尺寸，才能使宣传画所用纸张面积最小？

答：当画面高为88ｃｍ、宽为55ｃｍ时，所用纸张面积最小．

3.用一段长为L（ｍ）的篱笆围成一个边靠墙的矩形菜园，问：当这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？

上述两种解答的答案不同，哪一种方法是错误的，为什么？

四、拓展延伸

点 评

10.高中数学柯西不等式 篇十

教材分析

一元二次不等式的解法是高中数学的一个重要内容，它是进一步学习不等式的基础，同时是解决有关实际问题的重要方法之一．这节课通过具体例子，借助二次函数的图像求解不等式，进而归纳、总结出一元二次不等式，一元二次方程与二次函数的关系，得到利用二次函数图像求解一元二次不等式的方法．最后，说明一元二次不等式可以转化为一元一次不等式组，由此又引出了简单分式不等式的解法．这节内容的重点是一元二次不等式的解法，难点是弄清一元二次不等式、一元二次方程与二次函数的关系．

教学目标

1.让学生经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程．

2.通过函数图像了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系，熟练掌握应用二次函数图像解一元二次不等式的方法．

3.通过一元二次不等式转化为一元一次不等式组的解法，让学生体会等价转化的数学思想，培养学生的逻辑推理能力．

任务分析

这节课的主要任务是应用二次函数的图像解一元二次不等式．首先通过实例抽象出一元二次不等式模型，让学生感受到现实生活中存在大量的一元二次不等式，从而得出本节的主要任务．然后通过解决一些具体的一元二次不等式，让学生体会和总结出借助二次函数的图像解一元二次不等式的方法．最后抽象和概括出一元二次不等式与相应函数、方程的关系．学习方法是讲练结合，引导学生从具体到一般地总结出一元二次不等式的图像解法．

教学设计

一、问题情境 1.出示问题

（1）某产品的总成本ｃ（万元）与产量ｘ（台）之间满足关系：ｃ＝3000＋20ｘ－0.1ｘ2，其中ｘ∈（0，240），ｘ∈Ｎ，若每台产品售价25万元，试求生产者不亏本时的最低产量ｘ．

引导学生建立一元二次不等式模型： 由题意，得销售收入为25ｘ（万元），要使生产者不亏本，必须使

3000＋20ｘ－0.1ｘ2≤25ｘ，即ｘ2＋50ｘ－30000≥0．

（2）国家为了加强对某特种商品生产的宏观管理，实行征收附加税政策．现知每件产品70元，不加收附加税时，每年大约产销100万件，若政府征收附加税，每销售100元要征税R元（即税率为R％），则每年的产销量要减少10R万件．要使每年在此项经营中所收取的附加税税金不少于112万元，问R应怎样确定．

2.引导学生建立一元二次不等式模型

设产销量为每年x（万件），则销售收入为每年70x（万元），从中征收的税金为70x·R％（万元），并且ｘ＝100－10R．

由题意，知70（100－10R）·R％≥112，即R2－10R＋16≤0．

如何求解以上两个一元二次不等式呢？

二、建立模型

1.对于不等式ｘ2＋50ｘ－30000≥0，可以借助二次函数的图像来解决

设二次函数f（ｘ）＝ｘ2＋50ｘ－30000，抛物线开口向上，与ｘ轴交点的横坐标是相应二次方程ｘ2＋50ｘ－30000＝0的解．此时ｘ1＝－200，ｘ2＝150．如图，所谓解不等式ｘ2－50ｘ－30000≥0，就相当于求使函数f（ｘ）≥0的ｘ的集合．考虑图像在ｘ轴及其上方的部分，即f（ｘ）≥0，相应的ｘ的集合｛ｘ｜ｘ≤－200或ｘ≥150｝就是不等式的解集．结合实际，可知生产者不亏本时的最低产量为150台．

运用完全类似的方法，可以求解不等式R2－10R＋16≤0的解集为｛R｜2≤R≤8｝． 2.教师明晰

设ａ＞0，解一元二次不等式ａx2＋ｂｘ＋ｃ＞0（＜0），首先，设ｆ（ｘ）＝ａs2＋ｂｘ＋ｃ．（1）计算Δ＝ｂ2－4ａｃ，判断抛物线ｙ＝ｆ（ｘ）与ｘ轴交点的情况．

（2）若Δ≥０，解一元二次方程ａｘ2＋ｂｘ＋ｃ＝0，得两根为ｘ1，ｘ2，（ｘ1≤ｘ2）．（3）结合（1）（2）画出ｙ＝ｆ（ｘ）的图像．

（4）解不等式ａｘ2＋ｂｘ＋ｃ＞0，就相当于使ｆ（ｘ）＞0．考虑图像在ｘ轴上方的部分，即ｆ（ｘ）＞0，相应的ｘ的集合就是ａｘ2＋ｂｘ＋ｃ＞０的解集．

解不等式ａｘ2＋ｂｘ＋ｃ＜0，就相当于使ｆ（ｘ）＜0．考虑图像在ｘ轴下方的部分，即ｆ（ｘ）＜0，相应的ｘ的集合就是ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＜0的解集．

根据上述内容，结合图像写出不等式的解集．

思考：对于一元二次不等式的二次项系数ａ，如果ａ＜0，上述结论如何？

三、解释应用 ［例 题］

1.解不等式2ｘ2－3ｘ－2＞0．

解：∵Δ＝（－3）2－4×2×（－2）＝25＞0，方程2ｘ2－3ｘ－2＝0的两根为ｘ1＝－，ｘ2＝2，∴不等式2ｘ2－3ｘ－2＞0的解集为｛ｘ｜ｘ＜－2.解不等式－ｘ2＋2ｘ－3≥0．

或ｘ＞2｝．

3.已知不等式ｍｘ2－（ｍ－2）ｘ＋ｍ＞0的解集为R，求ｍ的取值范围． 解：（1）当ｍ＝0时，原不等式可化为2ｘ＞0，解集不是R．（2）当ｍ＜0时，抛物线ｙ＝ｍｘ2－（ｍ－2）ｘ＋ｍ开口向下，解集也不是R．

（3）当ｍ＞0时，须满足

［练习］ 1.解下列不等式．

（1）－3ｘ2＋6ｘ＞2．

（2）4ｘ2－4ｘ－1＞0．（3）ｘ2－3ｘ＋5＞0．

（4）－6ｘ2－ｘ＋2≤0．

4.以每秒ａ（ｍ）的速度从地面垂直向上发射子弹，t（ｓ）后，子弹上升的高度ｘ可由ｘ＝ａｂ－4.9ｔ2确定．已知发射后5ｓ，子弹上升的高度为245ｍ，问：子弹保持在245ｍ以上高度有多少秒？

四、拓展延伸

一元二次不等式（ａｘ＋ｂ）（ｃｘ＋ｄ）＞0（＜0）也可以根据实数运算的符号法则求解，如解不等式（ｘ＋4）（ｘ－１）＜0．

注意到不等式左边是两个ｘ的一次式的积，右边是0，那么它可以根据积的符号法则化为一次不等式组：

点 评

11.高中数学柯西不等式 篇十一

【关键词】高中数学 不等式 有效教学

【中图分类号】G 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2016）06B-0077-02

不等式是高中数学学习中必不可少的内容之一，需要学生掌握一定的解题思路，掌握不等式的相关性质。不等式向来是学生数学学习的重点，也是难点。学生能否学好此部分，关键在于能否深入透彻地理解不等式特征。这需要学生具备灵活的思维方法，同时还要掌握解题技巧。高中数学不等式教学也是对教师的考验，教师必须善于把握不等式知识的灵魂，传授给学生科学的解题方法，才能让学生高效、轻松地学好。

一、简单回顾，打好基础

高中数学不等式知识项目相对复杂，不等式的性质相对较多，要想能够顺利解题，必须拥有坚实的基础知识。实际的教学课堂中，教师的首要任务就是引导学生回顾基础知识，使学生具备基本的知识基础。具体需要回顾的知识项目包括：不等式的定义、性质、特征等。教师先让学生迅速回忆，然后叫学生回答相关问题。当学生对其中某一知识点的认识相对模糊时，教师要迅速补充或者找其他学生补充，向学生呈现一个完整、准确又科学的不等式基础知识框架。

例如，不等式的基本性质：

如果a>b，那么a±c>b±c。

如果a>b，c>0，那么ac>bc。

如果 a>b，c<0，那么ac

不等式的传递性：如果a>b，b>c，那么a>c。

教师为了让学生准确、完整地呈现出不等式的诸多性质，就得让学生在脑海中回忆并初步形成印象，然后在此基础上，加深对这些基本性质的理解。为此，教师可以设置几道问题，要求学生判断命题的真假，并说出原因。如：

（1）如果 a>b，c>d，那么 ac2>bd2。（假）

（2）如果a

（3）如果a2>b2，那么a>b。（假）

学生根据之前回顾的不等式的相关性质，迅速地进入思维状态，从而飞快地判断出各个命题的真假。这样学生的思维就得到了锻炼，也对不等式的性质有了更为深入的理解和认识。

二、生活引导，趣味教学

不等式作为一项数学知识，事实上同人们的现实生活、工作等密切相关。教师要善于将看似抽象的数学知识同简单的现实生活联系起来，以此来激发学生的学习热情和信心。利用生活情境创设问题，引导学生利用所学的不等式性质、知识等去解决现实生活中的问题，这样才能让学生感受到学习不等式知识的实际意义，从而更加努力地投入精力去钻研、探究与学习。

比如，在正式进入不等式知识项目学习前，教师可以举出一个和学生生活密切相关的例子。

如，某市出租车的计价标准为1.2元每千米，起步价为10元，最初的4千米计费10元。如果小明身上只有23元钱，而小明要去17千米的地方，那么小明至少得步行多远呢？

学生听到这一案例后，立刻进入了生活化情境中，将自己带到了乘坐出租车的真实体验中，从而进入思考状态，带着兴趣和热情来分析问题。

通过分析已知条件，结合题目中的未知变量，经过思考、分析，列出了一个不等式，建立起了已知条件与未知变量间的关系，并利用不等式的相关性质来解不等式。这样就达到训练学生思维的目的。

三、思维训练，科学引导

数学科学学习的重点之一是培养学生的数学思维能力，让学生掌握一定的思维技巧，能够灵活地去思考问题、解答问题。不等式同其他知识模块间有着密切关系，特别是同函数、方程以及解析几何等之间都存在一定联系，教师应该积极利用这些知识点之间的联系，来培养学生数学思维能力，使学生能够灵活运用不等式知识解题，做到举一反三。

例如，已知x，y都是非负实数，且满足2x+y-4≤0，x+y-3≤0。（1）求解不等式，并在平面坐标系中画出其范围；（2）求z=x+3y的最大值。

这看似简单的题目，事实上涉及到多个知识点。它巧妙地将不等式的性质同平面直角坐标系、函数、方程等联系起来。要想解答此题目，要求学生既要掌握不等式的相关知识，又要掌握函数的相关性质。

学生接到这一题目后，要先鼓励学生自行解答，让他们用自己的解题思路进行思考。在此基础上教师再向学生一一呈现该题目的解题思路，让学生抓住解题脉络，从而培养学生的数学思维能力。

步骤一：根据所给的已知条件，解不等式组，得出不等式的解集。

步骤二：根据不等式的解集，在坐标系中画出范围。

步骤三：利用x，y在坐标系中的关系，分析z=3x+y的值，找出最大值。

学生经过以上解题步骤的训练，会形成一个思维过程，把数形结合起来，综合运用数学知识。这是对学生进行数学思维训练的一个好题，在解题过程中加深了学生对不等式知识的理解，学会把不等式同其他知识点之间联系起来，从而更加深入地学得知识。

四、理清思路，高效解答

对于高中学生来说，要解不等式，最关键的是要掌握正确的解题思路，因此，教师要对相关的解题思路加以归类，如，集合解题思路、数形结合思路、函数思想等，培养学生正确利用这些思路来解答问题的能力，从而让不等式问题变得简单易解答，让复杂的问题简单化，提高学生的解题效率。

在实际的解题过程中，其中最为常用的方法为分类讨论法，它通过分类讨论来明确不同量、不同对象的所属范围，再根据要求确定分类标准，以此为基础进行分类探讨，防止出现漏项、重复选择等问题。

例如，关于x的不等式 |x-2|+|x-3|

对于此类题型，教师要引导学生利用分类探讨法进行解答。根据题目中所给的已知条件，把|x-2|和|x-3|形成三大分类区间。具体的思路与解题步骤如下：

思路一：如果x<2，2-x+3-x=-2x+5>1；

思路二：如果2≤x<3，x-2+3-x=1；

思路三：如果x≥3，x-2+x-3=2x-5>1。

经过以上思路，逐步思考可以得出 |x-2|+|x-3|≥1，又因为题目中的已知条件：不等式的解集并非空集，因此，得出a的取值范围为 a≥1。

经以上逐步的讨论分析，能够最终得出问题的答案，求得a的取值范围。这种逐步解答、逐步分析的方法训练了学生的分类讨论思维，也为学生的高效学习创造条件，培养了学生的数学思维能力。

五、合作交流，比拼学习

数学学习需要较强的逻辑思维能力，然而，学生的逻辑思维能力并非天生就很强。这样教师可以本着合作交流的原则，鼓励学生之间相互启发、彼此帮助，为学生创造一个合作学习的氛围，也就是说，采用合作分组的教学方法，引导学生通过相互帮助、相互带动的方式去学习、交流。这样不仅能增进学生之间的交流，而且也能增强学生的数学学习兴趣。

教师可以先将学生分组，每组让一名数学基础较好、逻辑思维能力较强的学生负责对整个小组的领导，以推动学生之间的交流，同时，也要注意任务的分配与布置。为了能够调动整个小组学生学习的积极性，教师也可以采用小组成员间比拼竞争的教学模式，也就是说，通过向各个小组学生提供一系列的不等式问题，鼓励小组学生来互相竞争，解答问题，比拼谁的解题速度最快、最准确，通过这种方式来培养学生的学习积极性。

此外，教师还可以组织学生进行合作讨论探究，对相对复杂、解题步骤较多的不等式问题，教师可以让学生在小组内部进行讨论，集中探讨问题的解答方法，通过集思广益的方式促进问题的解答。学生通过他人的意见，也能有所收获，思路会得到进一步拓展。合作交流的学习方式能够增进学生高效学习。

作为高中数学学习中必不可少的内容之一，不等式的教学需要学生掌握一定的解题思路，掌握不等式的相关性质。不等式向来是学生数学学习的重点和难点，学生能否学好，关键在于能否深入透彻地理解不等式特征。这需要学生具备灵活的思维方法，掌握解题技巧。教师也要善于开创多种教学方法，为学生创造多元化的学习条件，使学生能够带着兴趣积极学习、主动探究，取得更好的学习效果。

【参考文献】

[1]张惠淑.高中数学不等式高考试题分析与教学策略研究[D].天津师范大学，2012

12.初中数学不等式教学策略探讨 篇十二

一、初中数学教学中存在的问题

1. 忽视学生的主体地位

在初中数学教学中, 由于受到传统教学理念的影响, 许多教师在教学时, 仍然以自己为教学主体, 在课堂中对学生进行知识的灌输, 学生处于被动的地位, 没有机会发表自己的见解和想法, 学生的作用得不到发挥. 忽视了学生的主体地位, 学生对问题的主动思考就会减少, 时间久了就容易出现懒惰、依赖的心理, 不利于学生的发展和成绩的提高.

2. 教 学方法单一 、落后

在初中数学教学中, 大部分教师还是沿用填鸭式的教学方法, 教师讲, 学生听, 没有良好的课堂互动和交流, 教师不知道学生的想法, 不了解学生的掌握情况. 由于不等式有一定的难度, 采用这种单一的教学方法, 会使学生出现厌倦的心理, 而且对知识的理解上也会出现问题, 不利于实现理想的教学效果.

二、加强初中不等式教学的有效策略

1. 树立全新的教学理念 , 坚持学生的主体地位

为了加强初中数学不等式的教学, 实现更好的教学效果, 教师就要积极地转变教学观念, 改变传统的教学理念, 在课堂中, 以学生为主体, 积极发挥学生的主体作用, 通过调动学生的积极性, 使学生开动脑筋, 积极思考, 促进教学的开展.坚持学生的主体地位, 教师就不能继续采用填鸭式的教学方法, 要采用灵活多样的教学方法, 激发学生的学习兴趣和热情, 使其全身心地投入到不等式的学习当中, 达到理想的教学效果.

2. 创设合理的教学情境 , 激 发学生兴趣

由于传统教学模式具有一定的滞后性, 在不等式的学习中, 有许多学生没有兴趣, 甚至是厌倦学习不等式, 对于提高教学效果有着很大的影响. 为了激发学生对不等式的学习兴趣, 教师可以为学生创设一定的教学情境, 通过问题的设置调动学生的思维, 激发学生学习的兴趣, 使学生积极地参与到学习中来, 为达到良好的教学效果打下坚实的基础.

例如, 在学习“一元一次不等式”的问题时, 教师可以创设一定的教学情境导入新课, 使学生的注意力集中到课堂中来, 进行学习. 某公司的统计资料表明, 科研经费每增加1万元, 年利润就增加1.8万元, 如果该公司原来的年利润为200万元, 要使年利润达到245万元, 那么增加的科研经 费为多少万元 ? (1) 需要引入 未知数吗 ? 如果要 , 如何设未知数? (2) 如何建立关于未知数的关系式? (3) 为了更准确地表示它们的关系式, 可以借助表格来整理, 这个表格怎样设计? 如果把上题中的“年利润达到245万元”换成“年利润超过245万元”, 那么x又应满足什么样的关系式呢? 通过问题的设置, 激发学生的兴趣, 调动学生的积极性, 对问题展开分析, 从而进行不等式的学习.

3. 合 作探究 , 加深理解

新课标要求培养学生的自主学习和合作探究的能力与意识, 我们在不等式的学习中, 也要努力培养学生自主学习的意识和合作探究的能力, 通过合作探究, 学生发挥自身的优势和能力, 共同探讨问题, 总结结论, 使学生对不等式的理解更加深入. 合作探究不仅有助于学生对知识的全面理解, 还有助于培养学生的合作意识和精神, 对于今后的发展具有积极的意义.

例如, 在学习“不等式的基本性质”时, 教师可以把学生分成小组, 对问题展开探究. 根据等式性质1, 你能猜想一下不等式具有什么样的性质吗? 你能通过实验、猜想, 得出进一步的结论吗? 你能由等式性质2进一步猜想不等式还具有什么性质吗? 在不等式两边都乘0会出现什么情况? 如果a, b, c表示任意数 , 且a < b, 你能用a, b, c把不等式的基本性质表示出来码? 通过小组合作, 对问题进行探究, 使学生对不等式有一个新的认识.

4. 运用多媒体辅助教学 , 调动学生积极性

传统的数学教学只是“教师—黑板—粉笔”, 学生对这种单一的教学方法已经感到厌倦, 而且运用这种方法教学, 会使课堂变得死气沉沉, 没有生机. 为了改变这一现象, 使学生对数学课堂感兴趣, 教师可以利用多媒体辅助教学, 利用多媒体为学生播放图片、视频、故事等, 使教学内容更加生动、形象, 通过调动学生的感官开展教学, 使数学教学达到理想的效果.

例如, 学习不等式性质的问题时, 可以利用多媒体播放父亲与女儿的一段对话, 女儿:今年我13岁, 爸爸42岁. 父亲:10年前是几岁? 10年后呢? 女儿:10年前……10年后……父亲:x年前, y年后呢? 女儿:……通过多媒体展示对话, 给学生一种身临其境的感觉, 有利于激发学生学习的热情, 促进不等式教学的有效开展.

结束语

在初中数学教学中, 不等式教学具有一定的难度, 学生理解起来不是很容易, 所以教师就要积极地采取措施, 促进不等式教学的有效开展, 从而达到良好的教学效果.

参考文献

[1]温美华.论初中数学不等式教学探究[J].数学学习与研究, 2013 (7) .

[2]郭成苇.例谈不等式的应用[J].科教文汇:上旬刊, 2010 (1) .

13.高中不等式知识点总结 篇十三

一、 知识点

1.不等式性质

比较大小方法：(1)作差比较法(2)作商比较法

不等式的基本性质

①对称性：a > bb > a

②传递性: a > b, b > ca > c

③可加性: a > b a + c > b + c

④可积性: a > b, c > 0ac > bc;

a > b, c < 0ac < bc;

⑤加法法则: a > b, c > d a + c > b + d

⑥乘法法则：a > b > 0, c > d > 0 ac > bd

⑦乘方法则：a > b > 0, an > bn (n∈N)

⑧开方法则：a > b > 0,

2.算术平均数与几何平均数定理：

(1)如果a、b∈R,那么a2 + b2 ≥2ab(当且仅当a=b时等号)

(2)如果a、b∈R+,那么(当且仅当a=b时等号)推广：如果为实数，则

重要结论

1)如果积xy是定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值2;

(2)如果和x+y是定值S，那么当x=y时，和xy有最大值S2/4。

3.证明不等式的常用方法：

比较法：比较法是最基本、最重要的方法。当不等式的两边的差能分解因式或能配成平方和的形式，则选择作差比较法;当不等式的两边都是正数且它们的商能与1比较大小，则选择作商比较法;碰到绝对值或根式，我们还可以考虑作平方差。

综合法：从已知或已证明过的不等式出发，根据不等式的性质推导出欲证的不等式。综合法的放缩经常用到均值不等式。

分析法：不等式两边的联系不够清楚，通过寻找不等式成立的充分条件，逐步将欲证的不等式转化，直到寻找到易证或已知成立的结论。

4.不等式的解法

(1) 不等式的有关概念

同解不等式：两个不等式如果解集相同，那么这两个不等式叫做同解不等式。

同解变形：一个不等式变形为另一个不等式时，如果这两个不等式是同解不等式，那么这种变形叫做同解变形。

提问：请说出我们以前解不等式中常用到的同解变形

去分母、去括号、移项、合并同类项

(2) 不等式ax > b的解法

①当a>0时不等式的解集是{x|x>b/a};

②当a<0时不等式的解集是{x|x

③当a=0时,b<0,其解集是R;b0, 其解集是ф。

(3) 一元二次不等式与一元二次方程、二次函数之间的关系

(4)绝对值不等式

|x|0)的解集是{x|-a

o o

-a 0 a

|x|>a(a>0)的解集是{x|x<-a或x>a｝，几何表示为：

o o

-a 0 a

小结：解绝对值不等式的关键是-去绝对值符号(整体思想，分类讨论)转化为不含绝对值的不等式，通常有下列三种解题思路：

(1)定义法：利用绝对值的意义，通过分类讨论的方法去掉绝对值符号;

(2)公式法：| f(x) | > a f(x) > a或f(x) < -a;| f(x) | < a -a

(3)平方法：| f(x) | > a(a>0) f2(x) > a2;| f(x) | < a(a>0) f2(x) < a2;(4)几何意义。

(5)分式不等式的解法

(6)一元高次不等式的解法

数轴标根法

把不等式化为f(x)>0(或<0)的形式(首项系数化为正)，然后分解因式，再把根按照从小到大的顺序在数轴上标出来，从右边入手画线，最后根据曲线写出不等式的解。

(7)含有绝对值的不等式

定理：|a| - |b|≤|a+b|≤|a| + |b|

? |a| - |b|≤|a+b|

中当b=0或|a|>|b|且ab<0等号成立

? |a+b|≤|a| + |b|

中当且仅当ab≥0等号成立

推论1：|a1 + a2 + a3| ≤|a1 | +| a2 | + | a3|

推广：|a1 + a2 +...+ an| ≤|a1 | +| a2 | +...+ | an|

推论2：|a| - |b|≤|a-b|≤|a| + |b|

14.人教版数学不等式解读 篇十四

课程目标：不等关系与相等关系都是客观事物的基本数量关系，是数学研究的重要内容。建立不等观念、处理不等关系与处理等量问题是同样重要的。在本模块中，学生将通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值；掌握求解一元二次不等式的基本方法，并能解决一些实际问题；能用二元一次不等式组表示平面区域，并尝试解决一些简单的二元线性规划问题；认识基本不等式及其简单应用；体会不等式、方程及函数之间的联系。

一、知识结构

大纲教材中，一元二次不等式安排在集合之后、简易逻辑之前，作为初中一元一次不等式的自然延伸和新高一的起步内容之一，而课标教材把一元二次不等式安排在模块5，根据浙江省高中新课程实施意见，应在高二（上）学习；二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题从大纲教材解析几何部分的一个单元移到模块5；删除一元高次、分式不等式，把绝对值不等式移到选修4－5，把不等式证明也移到选修4－

5、1－2（文）、2－2（理）。

二、教学要求──立足基础、螺旋上升，促进主动学习、激励自主发展

1．基本要求

（1）了解不等式（组）的实际背景。

（2）理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值。

（3）会用不等式（组）表示实际问题中的不等关系，能用不等式（组）研

究含有不等关系的实际问题。

（4）了解不等式一些基本的性质。

（5）了解从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程，理解一元二次

不等式的概念。

（6）理解并掌握一元二次不等式、二次函数及一元二次方程之间的关系。

（7）理解并掌握解一元二次不等式的过程。

（8）会求一元二次不等式的解集。

（9）掌握求解一元二次不等式的程序框图及隐含的算法思想。

（10）了解从实际情境中抽象出二元一次不等式（组）模型的过程。

（11）理解二元一次不等式（组）及其解集的概念。

（12）了解二元一次不等式的几何意义，理解（区域）边界的概念及其实、虚线的含义。

（13）会用二元一次不等式（组）表示平面区域。

（14）了解线性约束条件、目标函数、线性目标函数、线性规划、可行域、可行解、最优解的概念。

（15）掌握简单的二元线性规划问题的解法。

（16）了解基本不等式的代数、几何背景及其证明过程。

（17）理解算术平均数、几何平均数的概念。

（18）会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题。

（19）通过基本不等式的实际应用，感受数学的应用价值。

2．发展要求

（1）理解并掌握不等式的基本性质。

（2）体会不等式的基本性质在不等式证明中所起的作用。

（3）一元二次不等式解法及应用。

（4）能把一些简单的实际问题转化成二元线性规划问题并加以解决。

（5）掌握基本不等式应用及其使用的条件。

三、课标教材特点分析

1．教学内容

通过前后移动、左右拆分等动作试图把体现和刻画不等关系的意义、价

值、方法和思想的有关内容进行了一次整编，使得内容上 “形式的大拼盘”在不等关系和不等思想这个层次上得到“实质性的统一”。从多角度（实际背景、几何意义、代数算理、不等思想等）体现课程标准基础性、发展性、应用性和思想性的要求。

2．教学要求

（1）在解不等式方面，课标教材有二个特点：基本要求进一步降低、重视直观合情推理。在大纲教材删除指、对数不等式和根式不等式之后又删除了一元高次不等式、分式不等式，绝对值不等式移到选修4－5（选修IB之一，不作高考要求）；在课标教材的例题中，解一元二次不等式前都是先研究相应的一元二次方程的根、二次函数的图象，这是大纲教材所不及的。

（2）在不等式证明方面采取分步到位、螺旋上升的策略，但现阶段浙

江省高考对不等式证明的要求是降低的。虽然在选修1－2（文）、2－2（理）的推理与证明中提出用综合法与分析法是选修IA之一，作为浙江高考要求；但选修4－5中不等式选讲中不等式证明的常用方法及柯西、排序、均值不等式及其应用，还介绍了数学归纳法与贝努利不等式，这些内容是选修IB之一，不作为浙江高考要求。另外，基本不等式只要求了解其代数、几何背景及证明过程，应用上只要求用于求简单的最值问题。

3．教学意义

数学是思维的体操，不等式作为大纲教材的一个重点和难点，在培养学

生演绎推理能力方面起到重要作用，但大纲教材在推理的技巧性和严密性上多层次人为的过度强调，在演绎推理难度上不断提升，往往使得学生成为思维的机器，而不是思维的主人。课标教材强调合情推理和演绎推理并重，强调不等式的背景和实际应用，把不等式作为刻画现实世界中不等关系的数学工具，作为描述优化问题的一种数学模型，而不是从数学到数学的纯理论，使思维成为自然的可能，将使学生成为思维的主人。

练；强调学生体验知识的形成过程，淡化一些技巧性的要求；强调

利用图象的直观性和合情推理，淡化纯演绎推理。

3.1不等关系与不等式

这一节让学生从大文化和实际背景认识不等关系的普遍性，如章头图及其说 明诗：“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”（这首苏东坡的《题西林壁》的后二句大家更熟悉：不识庐山真面目，只缘身在此山中）；具体要求也和原教材有很大的不同，原教材作为研究不等式的理论基础，先结出实数大小比较的基本原理，再归结出五大定理和几个推论，部分还结出了证明。而课标教材也先结出实数大小比较的基本原理，但把五大定理和几个推论整理为不等式的八大性质，并只作一些简要的说明，并强调这些关于不等式的事实和性质是解决不等式问题的依据，所以在教学中，我们不必在这些性质的证明中化过多的时间，而应该着眼于通过实际背景、几何意义、具体例子来说明这些性质的合理性，对一些不等式的推断作一些分析验证；在此过程中更要重视学生的参与，师生在实际背景、几何意义、具体例子的共同作用下接受合情推理及其结论，尽可能减少学习过程中被迫无奈的成分（包括教师作为成人已具有的，而学生未具备的文化背景和经验）。另外，我个人认为引入不等关系和性质的实际背景、具体例子和性质本身都可以根据实际情况（当地学生情况和我省模块1－4－5－2－3的现实）作一些必要的调整，如问题1的内容（点到平面的距离）、章头图的形式（人教A版用熔岩峰岭图、上海教材用城市道路和高楼图）、八条性质的设置（如减对称性，增倒数性质）。

3.2一元二次不等式及其解法

在大纲教材中，集合和逻辑联结词之后简易逻辑和函数之前安排了借助二次 函数解决二次不等式有关问题，究其用意，一是让使学生进一步完善二次函数这一中学里最重要的函数的认识结构，并在理解抽象的函数概念时有一个具体的函数模型；二是巩固有关集合的基本概念；三是巩固并熟悉使用“或”、“且”二个逻辑联结词，并为学习“简易逻辑”打好基础；四是为下一章研究某些函数的定义域、值域、单调性作准备。课标教材为了防止师生在学习集合和函数概念时，借助二次不等式对函数的定义域、值域、单调性等细小问题进行大量繁琐的所谓重点训练，而忽视对函数概念的本质的理解、忽视对函数性质的讨论、忽视函数的实际应用，故课标教材采取了釜底抽薪的方法，把二次不等式放到必修5。但已经参与实验的教师中，特别是在一些多次使用传统教材的教师中，有许多人对此提出质疑，我认为这主要是受使用大纲教材（把二次不等式放在集合与函数之

间）的经验和习惯性的影响。对此，我有二个建议：部分现阶段一时难以适应的老教师，在尽可能实现课标教材设计意图的情况下可以暂时沿用以往的办法来处理；学生数学基本能力和思想（主要是本节内容学习过程中的蕴含的有关能力，如实际背景抽象出数学模型的能力、数形结合的能力、从直观到理性和从特殊到一般的认识能力）较好的班级也可以暂时沿用以往的办法来处理。但我们应努力改变这种情况。

人教A版先通过一个上网费用问题引入一元二次不等式的概念，让学生了解 从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程，理解一元二次不等式的概念。然后借助具体二次函数的图象研究二次函数的零点和一元二次方程根的关系，并观察当一点P在二次函数图象上移动（即点P的横坐标x变化）时，其纵坐标y有什么变化？进而归纳出一般一元二次不等式的解法，最后让学生自主完成求解一般一元二次不等式的过程的程序框图。从实际背景到数学模型，从直观感受到理性认识，从特殊到一般，这种处理符合学生的认知规律，有助于学生认清知识的形成过程，加深对知识的理解，更重要的是在此过程中学生能有体验的感受，往往使学生领悟到数学的思想方法。故教学中要重体验淡模式、重应用淡技巧、重背景控难度。总之，要重视理解并掌握解一元二次不等式的过程，突出数形结合的思想，理解二次函数、方程、不等式的关系，达到求一元二次不等式的解集的基本要求即可，相关内容在选修4－5中将进一步讨论。

3.3二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题

不等关系在日常生活、现实生产、科学实验中大量存在，如上网时间费用、刹车距离与车速关系、资源利用、人力调配、生产安排等问题。不等式是用来刻画不等关系的优化工具，二元一次不等式（组）刻画区域的准确性和可活动性使之成为解决二元线性规划问题的有效工具。本节安排了线性规划及其实习作业内容，教学中要立足于实际问题是数学问题的源泉，解决实际问题是数学研究的主要目的之一；同时，由于浙江省先安排上模块5，后上模块2，故高一教学时应作适当调整，一种是把整节切割到直线方程之后，另一种是适当补充直线方程有关内容（如倾斜角、斜率等），我倾向选择后一种方案（主要基于二点理由：倾斜角、斜率比较直观，三角函数已学），主要理由是遵循教材设计意图（不等关系）；另外，多元条件极值是有一定难度的，教学中不应再过多展开，要让学生通过自主研究理解掌握基本解法即可，如可让学生自主探究完成二元一次不等式表示的平面区域（象探究一元二次不等式的解法一样，经历观察、尝试、思考等探究的过程）；最后，要帮助学生实现从实际问题中抽象出二元一次不等式（组），这是本节的难点。

3.4基本不等式：abab