高中函数经典总结

领域

出版社：人民教育出版社      出版日期：4月

《普通高中数学课程标准(实验)》指出：“高中数学课程应倡导自主探索等学习数学的方式，这些方式有助于发挥学生学习的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的‘再创造’过程。”

要求学生“理解基本的数学概念、数学结论的本质，了解概念、结论等产生的背景、应用，体会其中所蕴涵的数学思想和方法，以及它们在后续学习中的作用。”

单调性起着承上启下的作用，一方面，是初中学习内容的深化，使学生对函数单调性从感性认识提高到理性认识。另一方面，函数的单调性为后面学习指数函数、对数函数、三角函数及数列这种特殊的函数打下基础，与不等式、求函数的值域、最值，导数等都有着紧密的联系。

通过初中对函数的学习，学生已具备了一定的观察事物能力，抽象归纳的能力和语言转换能力。在此学习单调性，有助于学生从感性思维到理性思维的过渡。

（1）从形与数两方面理解单调性的概念

（2）绝大多数学生初步学会利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法

过程与方法：

（1）通过对函数单调性定义的探究，提高观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高推理论证能力

（2）通过对函数单调性定义的探究，体验数形结合思想方法

（3）经历观察发现、抽象概括，自主建构单调性概念的过程，体会从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程

情感态度价值观：

通过知识的探究过程养成细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯；感受用辩证的观点思考问题

教学重点：函数单调性的概念形成和初步运用

教学难点：函数单调性的概念形成

4、教学流程示意

设情境

引入新课

6

分钟

描述完前两个图象后，明确这两种变化规律分别称为增函数和减函数。

二次函数的增减性要分段说明

提出问题：

二次函数是增函数还是减函数？

问题二：能否用自己的理解说说什么是增函数，什么是减函数？

观察图象，利用初中的函数增减性质进行描述

学生会指出：

y=2x的图象自变量x在实数集变化时，y随x增大而增大

y=-2x的图象自变量x在实数集变化时，y随x增大而减小

y=x2+1在（-∞，0]上y随x增大而减小，在（0，+∞）上y随x增大而增大

学生可能回答：既是增函数又是减函数或有时增函数有时减函数

讨论得出：单调性是函数的局部性质

结合单调性是局部性质，用直观描述回答：在一个区间里，y随x增大而增大，则是增函数；y随x增大而减小就是减函数

数学课程标准中提出“通过已学过的函数特别是二次函数理解函数的单调性”，因此在本环节的设计上，从学生熟知的一次函数和二次函数入手，从初中对函数增减性的认识过渡到对函数单调性的直观感受。

通过一次函数认识单调性，再通过二次函数认识单调性是局部性质，进而完善感性认识。

概念形成

8

分钟

分三步：

提问学生什么是“随着”

如何刻画“增大”？

对“任取”的理解

进而得到增（减）函数的定义

进一步提问:如何判断

f(x1)

得到求差法后提出记△x= x2-x1

△y= f(x2)-f(x1)= y2-y1

回归函数定义解释

要表示大小关系，学生会想到取点，比大小

讨论应该如何取值。学生可能会提到多取一些，也可能会想到将取值区间任意小，进一步讨论得出“任取”二字。

在此还提出求差法比较大小，为后面的证明和判断扫清障碍

延伸拓展

12分钟

从这个例子能得到什么结论？

给出例子进行说明：

进一步提问：

函数在定义域内的两个区间A,B上都是增（减）函数，何时函数在A∪B上也是增（减）函数

再一次回归定义，强调任意性

思考、讨论，提出自己观点

学生提出反例，如x1=-1，x2=1

进一步得出结论：

函数在定义域内的两个区间A,B上都是增（减）函数，函数在A∪B上不一定是增（减）函数

将函数图象进行变形（如x<0时图象向下平移）

通过上面的问题，学生已经从描述性语言过渡到严谨的数学语言。而对严谨的数学语言学生还缺乏准确理解，因此在这里通过问题深入研讨加深学生对单调性概念的理解。

拓展探究：已知函数

是

（-∞，+∞）上的增函数，求a的取值范围

利用单调性定义解决问题

在问题四的背景下解决本题，体会在运动中满足任意性。

应用定义

13

分钟

例1：证明函数

在（0，+）上是增函数

证明：任取且

∴函数在（0，+）上是增函数

例2：判断函数在（0，+∞）上的单调性

进一步提问：如果把（0，+∞）条件去掉，如何解这道题？

（作业）

根据单调性定义进行证明

讨论，规范步骤

设元

作差

变形

断号

定论

根据定义进行判断

体会判断可转化成证明

课后思考

本环节是对函数单调性概念的准确应用，本题采用前面出现过的函数，一方面希望学生体会到函数图象和数学语言从不同角度刻画概念，另一方面避免学生遇到障碍，而是把注意力都集中在单调性定义的应用上。

课标中指出“形式化是数学的基本特征之一，但不能仅限于形式化的表达。高中课程强调返璞归真”因此本题不再从证明角度，而是让学生再次从定义出发，寻求方法，并体会转化思想。

6分

作业（1、2、4必做，3选做）

1、  证明：函数在区间

[0，+∞)上是增函数。

2、课上思考题

3、求函数的单调区间

4、思考P46 探索与研究

回顾函数单调性定义的探究过程；证明、判断函数单调性的方法步骤；数学思想方法

完成课堂反馈

作业实现分层，满足学生需求

在本节课学习中，学生能理解单调性的定义，绝大多数学生能按照单调性的证明步骤进行证明，能判断函数的单调性

学习效果评价方式：

1、  课堂反馈：证明：函数在（0，+∞）上是减函数

2、  教师评价：课堂发言反映的思维深度；课堂发现问题的角度、能力；课堂练习的正确性；课堂学习的积极性

3、  学生自评：本节课学习兴趣；独立思考的习惯；合作交流的意识；对知识、方法等收获的程度

2、在教学过程中，创设一个探索的学习环境，通过设计一系列问题，使概念得到形成和深化，学生亲身经历数学概念的产生与发展过程，从而逐步把握概念的实质内涵，深入理解概念。

3、概念深化时，在研究是否满足任意性时引入函数图象的运动，为前面学习的集合中的运动进行巩固，为后面函数的学习进行铺垫。

4、课标要求“高中数学课程应该返璞归真”，因此在例题的设计中避免了过度形式化，注重问题的多样性，注重学生对概念本质的理解。

9.高中函数概念教学设计 篇九

1.内容

函数的概念.

2.内容解析

函数是现代数学最基本的概念，是描述客观世界中变量关系和规律的最为基本的数学语言和工具.在高中阶段，函数不仅贯穿数学课程的始终，而且也是学习方程、不等式、数列、导数等内容的工具和基础，在物理、化学、生物等其它学科中也有广泛应用;在高等数学中，函数是基本数学对象;在实际应用中，函数是数学建模的重要基础.

学生在初中学习了函数概念.函数定义采用“变量说”.高中阶段要建立函数的“对应关系说”，它比“变量说”更具一般性.与初中的“变量说”相比，高中用集合语言与对应关系表述函数概念;明确了定义域、值域;引入抽象符号f(x).

函数概念的核心是“对应关系”：两个非空数集A，B间有一种确定的对应关系f.即对于数集A中每一个x，数集B中都有唯一确定的y和它对应.这里的关键词是“每一个”，“唯一确定”.集合A，B及对应关系f是一个整体，是两个集合的元素间的一种对应关系，这种“整体观”很重要.

基于以上分析，确定本节课的教学重点：用集合语言与对应关系建立函数概念.

二、目标和目标解析

1.目标

(1)建立“对应关系说”观点下用集合语言表述的函数概念.

(2)理解 的含义，能用函数的定义刻画简单具体的函数.

(3)在具体函数实例到一般函数概念的概括过程中，培养学生的数学抽象素养.

2.目标解析

达成上述目标的标志是：

(1)学生从具体实例出发，能在初中“变量说”的基础上，进一步抽象对应关系、定义域与值域等三个要素，构建函数的一般概念.

(2)学生能在确定变量变化范围的基础上，通过解析式、图象、表格等形式表示对应关系，理解函数对应关系的本质，体会引入符号f表示对应关系的必要性.

(3)学生能在不同实例的比较、分析基础上，归纳共性进而抽象出函数概念，体验用数学的眼光看待事物，发展数学抽象素养.

三、教学问题诊断分析

学生在初中学习函数概念时，没有涉及自变量与函数值的取值范围，也不知道为何要研究变量的取值范围，这是教学中首先遇到的问题.教学中应结合教科书实例1与实例2的分析、比较，让学生认识到研究自变量、函数值取值范围的必要性.

如何认识函数的对应关系，就成为了第二个教学问题.教学中，要让学生通过四个实例建立解析式、图象、表格与函数对应关系的联系，通过具体的解析式、图象与表格去体会变量之间如何对应，由此抽象出函数的对应关系f的本质.

在对四个实例分析的基础上，学生认识到了函数自变量的取值范围、函数值的取值范围及对应关系对于函数的重要性，但如何在此基础上让学生进行归纳，抽象出函数概念，并以此培养学生数学抽象素养，成为第三个教学问题，也是本节课的教学难点.教学中可以将四个实例各自得到的三个要素表格化，让学生从表格中抽象出函数要素及其表示，并在此基础上给出一般的函数概念.

在得出函数概念后，如何用新的函数概念重新认识已经学习过的函数，建立知识之间的联系，是第四个教学问题.教学中，除让学生按函数定义，仿照四个实例的分析去具体表述一次函数、二次函数、反比例函数外，还必须重视让学生采用教科书中的练习题与习题进行练习，也可以根据学生的学习状态适当增加一些问题供他们练习.

四、教学支持条件分析

本节课的教学重点是认识函数要素并建立函数概念，会涉及函数值的计算、图象的运用及分析所得信息的综合，因此可以借助于信息技术解决以上问题，以让学生有更多的时间用于观察与思考函数的基本要素和概念的抽象上.

五、教学过程设计

引导语：在初中我们已经接触过函数的概念，知道函数是刻画变量之间对应关系的数学模型和工具. 例如，正方形的周长l与边长x的对应关系是l=4x，而且对于每一个确定的x都有唯一的l与之对应，所以l是x的函数.这个函数与正比例函数y=4x相同吗?又如，你能用已有的函数知识判断y=x与

是否相同吗?要解决这些问题，就需要进一步学习函数概念.

(一)函数概念的抽象

问题1：请同学们根据如下情境回答问题：

某“复兴号”高速列车加速到350 kmMh后保持匀速运行半小时.

(1)这段时间内，列车行进的路程S(单位：km)与运行时间t(单位：h)的关系如何表示?这是一个函数吗?为什么?

(2)如果有人说：“根据对应关系S=350 t，这趟列车加速到350 kmMh后，运行1 h就前进了350 km.”你认为这个说法正确吗?

(3)你认为如何表述S与t的对应关系才是精确的?

师生活动：教师给出问题后让学生先独立思考并写出回答要点，再小组交流，并提醒学生先不要看教科书.

让学生分组收集并归纳问题的回答要点，并将要点反馈给教师(有条件的学校可以利用信息技术平台收集与呈现学生的回答要点)，教师在全班交流的基础上进行适当点评.

学生对问题(3)可能会有困难，教师可以在学生回答的基础上给出精确表述的示范.

设计意图：问题(1)是为了让学生回顾初中所学函数概念，用“是否满足定义要求”来回答问题;问题(2)是要激发认知冲突，发现其中的不严谨;问题(3)是为了让学生关注到t的变化范围，并尝试用精确的语言表述.

问题2：某电气维修公司要求工人每周工作至少1天，至多不超过6天.如果公司确定的工资标准是每人每天350元，而且每周付一次工资，那么：

(1)你认为该怎样确定一个工人每周的工资?

(2)一个工人的工资w(单位：元)是他工作天数d的函数吗?

(3)你能仿照问题1中对S与t的.对应关系的精确表示，给出这个问题中w与d的对应关系的精确表示吗?

追问：问题1和2中的函数对应关系相同，你认为它们是同一个函数吗?为什么?

师生活动：学生阅读题目后，自主回答.

设计意图：问题(1)是引导学生使用不同方法，例如表格的形式：

解析式w=350d;等等.

问题(3)是让学生模仿问题1的方法给出描述，既让他们熟悉表述方法，同时训练抽象概括能力.

通过追问，使学生进一步关注到定义域、值域问题.

问题3：如图所示是北京市11月23日的空气质量指数(Air Quality Index，简称AQI)变化图.

(1)如何根据该图确定这一天内任一时刻t的空气质量指数(AQI)的值I?

(2)你认为这里的I是t的函数吗?如果是，你能仿照前面的方法描述I与t的对应关系吗?

师生活动：教师用PPT或其他方式呈现问题3，给学生适当时间阅读思考.

有些学生可能认为I不是时间t的函数，对此可进行如下追问.

追问：(1)你能根据图3.1-1找到中午12时的AQI的值吗?这个值是否唯一存在?

(2)对于数集A3={t|0≤t≤24}中的任意一个值t，你会用什么方法寻找此时对应的I值?

在追问的基础上，教师阐释：因为对于数集A3={t|0≤t≤24}中的任意一个值t，都有唯一确定的AQI的值与之对应，所以我们可以根据初中所学的函数定义，得出I是t的函数，而且还可以断定I的取值范围也是确定的，不过从图中我们不能确定这个范围.如果我们设I的取值范围为C，那么从图中可以确定，

对于数集A3中的任一时刻t，按照图3.1-1中曲线所给定的对应关系，在数集B3中都有唯一确定的AQI的值I与之对应，因此I是t的函数.

设计意图：学生根据图象描述对应关系有困难，特别是在值域不能完全确定时，通过引入一个较大范围的集合，使函数值“落入其中”，这是学生经验中不具备的.实际上，如果用映射的观点看，这时的映射就是非满射.为此，在问题(1)之后，先让学生认可图象表示一个函数，然后再通过教师讲解，给出对应关系的描述方法，从而化解难点.这里，只要学生能够理解I是t的函数，并能够接受这种描述方式就可以了.

(1)你认为按表3.1-1给出的对应关系，恩格尔系数r是年份y的函数吗?为什么?

(2)如果是，你能仿照前面的说法给出精确的语言刻画吗?

(3)如果我们引入B4={ r|0≤r≤1}，将对应关系表述为“对于任意一个年份y，都有B4中唯一确定的r与之对应”，你认为有道理吗?

师生活动：教师用PPT呈现上述内容和问题，学生思考后，通过信息技术平台或其它方式对“恩格尔系数r是年份y的函数吗?”进行“是”与“不是”的选择性投票，教师根据投票情况进行点评，从而解决问题(1).

让学生不看教科书，分组练习用集合与对应的语言刻画函数，并让学生代表发言，教师给予点评，从而解决问题(2).

学生给出的函数值取值范围可能是表中r的10个值，教师在肯定的基础上进行引导：根据恩格尔系数的定义，r的取值范围是B4={ r|0≤r≤1}，以B4为年份与所对应的r值所在的集合更具有一般性.

设计意图：与问题3的情况类似，学生对用表格表示的对应关系是否为函数关系的判断存在疑惑，通过问题引导学生思考，教师再作适当讲解，从而使学生接受之.另外，对于函数值所在的集合B4的合理性，以教师从恩格尔系数的定义的角度进行解释即可.

问题5：上述问题1～问题4中的函数有哪些共同特征?由此你能概括出函数的本质特征吗?

师生活动：给学生充分思考的时间，引导学生重新回顾用集合语言与对应关系刻画函数的过程.如果学生归纳、概括有困难，可以给出下表帮助学生思考：

教师引导学生得出：

(Ⅰ)都包含两个非空数集，用A，B来表示;

(Ⅱ)都有一个对应关系;

(Ⅲ)尽管对应关系的表示方法不同，但它们都有如下特性：对于数集A中的任意一个数x，按照对应关系，在数集B中都有唯一确定的数y和它对应.

在上述归纳的基础上，教师讲解：事实上，除解析式、图象、表格外，还有其他表示对应关系的方法.为了表示方便，我们引进符号f统一表示对应关系.然后给出函数的一般性定义，并解释函数的记号y=f(x)，x∈A.

设计意图：让学生通过归纳四个实例中函数的共同特征，体会数学抽象过程，概括出用集合与对应语言刻画的一般性函数概念.在此过程中，要突破“如何在四个实例基础上让学生进行归纳、概括、抽象出函数概念，并以此培养学生数学抽象素养”这一难点，突出“在学生初中已有函数认识基础上，通过实例归纳概括出函数的基本特征(要素)，用集合与对应的语言建立函数的概念”这一教学重点.

(二)函数概念的初步应用

问题6：如果让你用函数的定义重新认识一次函数、二次函数与反比例函数，那么你会怎样表述这些函数?

师生活动：在学生思考后，教师用一次函数与二次函数进行示范，学生用反比例函数进行练习.

学生完成教科书中的练习第1题～第3题，教师对学生的练习进行点评.

设计意图：用函数定义重新认识已学函数，加深对函数定义的理解，进一步体会定义域、对应关系与值域是函数的三个要素.

问题7：你能构建一个问题情境，使其中函数的对应关系为y=x(10-x)吗?

师生活动：在学生思考后，教师以例1进行示范.

如果学生学习基础好，可以让他们完成教科书例1后的探究：“构建其它问题情景，并用解析式y=x(10-x)描述其中的变量关系”;对学习基础一般的同学，要求他们完成教科书练习第4题.

设计意图：让学生在完成例1的过程中，进一步体会函数模型应用的广泛性，加深对函数概念的理解.

(三)课堂小结、布置作业

教师引导学生回顾本节课的学习内容，并引导学生回答下列问题：

(1)什么是函数?其三要素是什么?

(2)对于对应关系f，你有哪些认识?

(3)与初中学习过的函数概念相比，你对函数又有什么新的认识?

(4)本节课我们是怎样得到函数概念的?结合本节课的学习，你对如何学习数学又有什么体会?

师生活动：教师出示问题后，先由学生思考后再进行全班交流，最后教师再进行总结.要强调如下几点：

(1)函数的定义是判断一个对应关系是不是函数的标准;

(2)要通过具体例子理解函数的对应关系f的特征，特别是对于“A中任意一个数”“B中都有唯一确定的数”等关键词的含义要认真体会;

(3)对应关系f的表示形式可以是解析式、图象、表格等多种形式，但它们的实质相同，在后续的学习中要注意积累用适当的方式表示函数的经验;等等.

设计意图：引导学生从函数概念的内涵、要素的归纳过程、关键词的理解等角度进行小结，进一步加深对函数概念的理解.

布置作业：教科书习题3.1第1，11，14题.

六、目标检测设计

1.近几十年来，大气层中的臭氧迅速减少，因而出现了臭氧层空洞问题.图中的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积从1979~的变化情况.

(1)臭氧层空洞的面积是时间的函数，这个函数的对应关系是

(2)上述函数的定义域是______________

值域是__________

设计意图：考查学生对函数三个要素的认识，巩固函数概念.

2.习题3.1第8题：如图，矩形的面积为10.如果矩形的长为x，宽为y，对角线为d，周长为l，那么你能获得关于这些量的哪些函数?

10.浅析高中数学函数设计和教学 篇十

关键词：高中数学；函数教学；函数设计

一、高中生在函数学习上存在的问题

高中生对学习函数缺乏学习兴趣，我们都知道学习的好坏跟学生学习的兴趣有着十分重要的关系，有的学生可能不喜欢学函数喜欢学几何，那么当老师讲到函数的学习的时候，他上课就不认真听讲；当老师开始讲几何课程的时候，学生又有兴趣学习了。而数学恰恰是一门积累的学科，今天讲的不听，明天学得自然也就不会。长此以往，对函数的学习就从最开始的缺乏兴趣，到后来的由于落下的功课太多想追都追不上了。

高中接触到的函数其实并不难，只要学生能够学进去还是很容易学会的，老师可以根据学生的水平和理解能力适当地改善教学方法，进而增加学生学习函数的兴趣，提高学生的学习成绩。

二、高中数学函数教学的设计

好的教学设计可以让学生的学习兴趣得到提升，改善学生的学习态度，提高学生的学习成绩。高中生接触到的函数知识大概分为两类：一类是函数的基本表示，这一知识点包含对函数的基本表示、函数的基本性质、函数图象的学习，这是关于函数最简单的知识点，学习这个知识点的时候，教师慢一点教，不能急于求成，学好基础才能为后面的学习做准备。如，求函数f（x）=的定义域，这样的习题通常都是考试的考点，不会出得太难，老师可以让学生多加练习这样的习题，数学以学习为主，但是也要以做题为辅，通过习题来巩固所学的知识点是很重要的，老师也可以多分一些课时给这类知识点。

另一类就是基本初等函数和三角函数，基本初等函数主要包含：指数函数、对数函数、幂函数、二次函数以及函数应用的学习；三角函数主要包括：正弦函数、余弦函数和正切函数的知识点的学习。对于基本初等函数的教学，老师不能再盲目地让学生多做题，来巩固知识点了，由于函数的知识大部分都是抽象的，所以，当学习到基本初等函数的时候，更多的需要借助多媒体信息技术来辅助老师教学，利用多媒体信息技术来直观地展示函数的随着定义域的变化函数值域发生的改变，也可以利用多媒体信息技术准确地画出基本初等函数的图象，可以把它们都画在一起，让学生更加直接地感受每个基本初等函数之间的区别。三角函数的学习跟基本初等函数的学习有异曲同工之妙，因为这些函数都具有抽象性的特点，老师通过多媒体信息技术辅助教学能帮助学生更好地学习函数。

11.高中数学函数分类讨论解题探析 篇十一

一、高中数学函数分类讨论思想渗入高中数学解题过程的作用

1. 高中数学函数解题教学现状

函数是高中数学的主体内容, 它与高中数学很多内容都密切相关, 通过对函数的研究, 能够认识函数的性质、图象及其初步的应用, 因此函数思想在高中数学解题中的应用就显得尤为重要[1]. 高中数学学科对学生的逻辑思维能力要求较高, 尤其是高中数学知识中的函数知识, 这一部分知识十分抽象, 用明了的数轴来反映出一定的数学规律. 高中数学函数是在初中代数的基础上进行教学的, 这就表明了高中数学函数是代数的升华, 涉及到了函数的增长规律和解的分布规律, 在进行解题的教学过程中, 要帮助学生能够寻找到数轴的规律, 让学生更加全面的寻找到函数问题的结果.因此, 想要做好高中数学函数解题教学工作, 不仅仅要帮助学生树立良好的理科思维体系基础, 还要帮助学生形成深度剖析函数习题规律, 勤加练习函数习题的学习习惯. 但是, 在目前的高中数学函数解题教学过程中, 往往存在着数学教师的函数解题方法不够系统的情况, 这就导致高中数学教学过程只是单纯的沦为公式的背诵过程, 学生面对稍有难度的数学函数习题往往一筹莫展. 针对这样的情况, 就需要在对高中数学函数解题教学现状的总结基础上, 寻找出相应的改进手段.

2. 高中数学函数分类讨论思想渗入高中数学解题过程作用

面对新时期教育部门提出的课程标准, 数学教育必须进行多方面的调整, 而教师将面对各种不同的考验与挑战[2]. 从高中数学函数解题教学现状, 可以看出, 在进行高中数学函数解题教学的过程中, 要对高中数学函数分类讨论进行组合设计, 保证学生能够通过接受高中数学函数分类讨论思想, 开阔高中生的学习视野, 并帮助学生快速的明确一个数学函数问题的具体类型. 在这样的背景下, 通过进行高中数学函数分类讨论思想应用探究, 可以充分的发掘出该教学方式的优点, 让学生迅速的调用自己的知识储备, 迅速的找寻到解决这个函数问题的解题方法.

例1 令, 则x2+ 2y2= 16 ( 0≤x≤4, 0≤y≤2 槡2 ) , 则函数化为以u为参数的直线族y = x - u, 它与椭圆x2+ 2y2= 16 在第一象限的部分有公共点时直线y = x - u在y轴上截距的最大值与最小值为:.

分析: 等式右边根号内同为t的一次式, 如用简单的换元无法转化为二次函数求最值, 故用常规方法比较难. 如联想到直线的截距, 数形结合换元后, 以形助数, 则可轻松解决.

传统的函数的等式右边根号内同为x的二次式, 一般都是用简单的用换元法, 令很难用x表示t通过二次函数解决问题. 如果能引导学生学会借助于数形结合的方法来解决问题, 学生就容易理解, 也容易学会用换元的方法来解题, 效果就会更好.

二、高中数学函数分类讨论思想渗入高中数学解题过程策略探析

1. 利用高中数学函数分类讨论思想快速明确函数问题类型

为了让高中数学函数分类讨论思想发挥出应有的作用, 在进行高中数学函数解题教学的过程中, 要为每一道数学函数问题进行深度的剖析. 具体的来说, 就是在进行一道数学函数问题的解题过程之前, 数学教师指引学生进行对函数习题的解读, 寻找到这一问题的解决途径, 进而在后续的过程更加高效的完成函数计算. 然后, 就可以帮助学生在解题的过程中, 形成自身的独特解题理念, 促进学生的函数解题效率提升. 与此同时, 教师可以利用高中数学函数分类讨论思想, 在传统的教学方法上添加自己的教学理念, 更加充分的调动学生学习的主观能动性.

例如, 在进行高中数学教学函数解题的教学过程中, 为了解决学生难以入手的问题. 高中数学教师就可以根据函数习题的类型, 对传统的函数问题分为“确定函数解的个数问题”“函数的单调性问题”“函数的间断点问题”, 并对这些不同类型的问题进行分类处理.通过这样的方式, 就可以让学生自主的进行函数解题方法的总结研究, 在课堂上营造浓厚的数学学习氛围, 促进高中生函数解题效率的提升.

2. 优化高中数学函数分类模式

在进行高中数学函数分类讨论思想的插入过程中, 高中数学教师要有针对性的进行高中函数解题数学教学模式的更新, 让高中生倾向于在进行函数解题之前, 进行对函数问题的分析, 找寻出恰当的解题方法促进高中数学教学效率的提升.

例如, 在进行高中数学函数解题教学模式的研究过程中, 要充分的注意到对于传统的高中函数解题教学方式的改革和探索, 将总结出函数问题类型放置在高中数学解题过程的优先级地位, 通过持续优化的教学过程来激发对于高中数学函数解题过程中的独立意识, 切实提升高中数学函数解题教学能力.

例2 求函数的最小值

解: 把看作点A ( x, 0) 与点B ( 0, 2) 的距离, 看作是点A ( x, 0) 与点C ( 4, 1) 间的距离, 如图1, 不难得出, 这个函数的最小值是| B'C | =5.

分析: 如果仅从代数的角度此题很难入手, 因此思维就要大胆的突破.联想到像两点间距离公式求解.如果在教学中利用函数分类模式引导学生去思考和分析, 引导学生从图形角度思考走出局限于代数的思考范围, 就可以帮助学生很好的实现思维的突破.达到正确解题的目的.

3. 勾勒新型高中数学函数分类结构

为了发挥出高中数学函数分类讨论思想在函数解题中的作用, 提升学生的高中数学函数解题效率. 因此, 在进行高中数学函数分类结构设计过程中, 就要根据高中生的特点, 优化高中数学教学形式, 进而有效促进高中函数解题效率的提升.

例如, 在进行高中函数解题数学的“求函数的单调性”的教学过程中, 学生通过初中代数的函数基础学习, 已经掌握了一定的函数解题基础, 在这样的背景下, 教师就可以让学生自主思考相应的解题方法. 然后, 让学生利用合适的函数解题方法进行对后续问题的分析, 帮助学生快速提升自身的函数解题效率.

例3 (首届创新杯全国数学邀请赛第二试试题) 若x、y为正实数, 且x + y = 4 求的最小值______.

解:设AB=4, AP=x, PB=y, AE=1, BD=2.因为, ED连线交AB与C.所以.故的最小值是5.

分析: 从代数式的形式可知, 求它们的和实际上是求两个Rt△的斜边的和, 所以转化为几何图形, 用数形结合求解.

综上所述, 在进行高中数学函数分类讨论思想在高中函数解题教学中的应用过程中, 可以通过更新高中数学函数解题教学方法, 对原有的高中数学教学模式进行小规模的优化设计, 让学生快速的找到函数问题的解决方法, 促进学生函数问题解决效率的提升.

摘要：高中数学的函数学习中, 要针对学习内容多, 难度大的特点, 把高中数学函数分类讨论思想渗入高中数学解题过程, 启发学生思考并快速明确函数问题类型, 优化高中数学函数分类模式, 提高教学效果.

关键词：高中数学,函数分类讨论,解题,探析

参考文献

[1]刘见乐;罗敏娜;用函数思想指导高中数学解题[J].中国数学教育, 2011 (10) :45-46.

12.高中三角函数期末精讲精练 篇十二

1. 角的概念推广后，包括、、，与α终边相同的角表示为。 终边角： x轴上 y轴上 第一象限第二象限 第二四象限直线y=x上 2. 弧度制：把叫1弧度的角。

公式：|α|=― 换算：180°= 弧度; 1弧度= 度; 1°= 弧度 扇形： 弧长L= = ，面积S= = 3. 任意角的三角函数：

①定义：角α终边上任意一点P(x，y)，则r= ，六个三角函数的定义依次是 、 、。

②三角函数线：角的终边与单位圆交于点P，过点P作 轴的垂线，垂足为M，则 A(1,0)作，交T，则。 ③同角三角函数关系式：

平方关系： 商数关系： 倒数关系：

(1～2要求能熟练运用：顺用、逆用、变形用，3～6要求能证明，不记忆) 1.和、差角公式

sin(???)? cos(???)?

tan(???)?

2.二倍角公式

sin2?? cos2?? = = tan2?? 倍角公式变形：降幂公式

sin?cos?? sin2?? co2s??

3.半角公式(书P45～46)

sin

?

2

??

1?cos???cos???cos?sin?1?cos?

, cos??, tan?? ??22221?cos?1?cos?sin?

2tan

?2

1?tan2

??

;tan??2

2tan1?tan

?2

4.万能公式： sin??

1?tan

?2

;cos??

1?tan

2

?2

.

5.积化和差公式(书P46～47)

第 1 页 共 8 页

11

sin?cos??[sin(???)?sin(???)]; cos?sin??[sin(???)?sin(???)];

2211

cos?cos??[cos(???)?cos(???)]; sin?sin???[cos(???)?cos(???)].

22

6.和差化积公式(书P46～47)

????????????

; sin??sin??2cos; sinsin??sin??2sincos

2222

????????????

; cos??cos???2sin. cos??cos??2coscossin

2222

应用公式解题的基本题型：化简、求值、证明 基本技巧：

①1的妙用：1= = =

②变角： (x+y)+(x-y)= (x+y)+(x-y)= α= = = 等 ③变名：切化弦;弦化切

④化一：a sinx+b cosx=

1、 作图：五点法，依次取ωx+ψ= 2、 周期T=

3、 单调区间：A?ω>0时，增区间：解不等式 ≤ωx+ψ≤ 减区间：解不等式 ≤ωx+ψ≤

A?ω

减区间：解不等式 ≤ωx+ψ≤ 4、最大值：A>0时，当ωx+ψ= 时，y取最大值A。 最小值：A>0时，当ωx+ψ= 时，y取最小值-A。

5、概念：振幅T=;频率f=;相位。 6、三角变换： (A>0，ω>0)

将y=sinx的图像―――――――――>y=sin(x+ψ) ――――――――――>y=sin(ωx+ψ)

第 2 页 共 8 页

――――――――――>y=Asin(ωx+ψ)

或者： 将y=sinx的图像―――――――――>y=sin(ωx) ―――――――――>y=sin(ωx+ψ) ――――――――――>y=Asin(ωx+ψ)

7、联系： y=tan((ωx+ψ) (ω>0)的周期是T= ，单调 区间是解不等式 。

五、反三角定义：

1.在闭区间 上，符合条件sinx=a (-1≤a≤1)的角x叫a的反正弦，记作：x= 在闭区间 上，符合条件cosx=a (-1≤a≤1)的角x叫a的反余弦，记作：x= 在开区间 上，符合条件tanx=a的角x叫a的反正切，记作：x= 2.反三角的三角函数、三角函数的反三角：

例：sin(arcsinx)= ，其中x∈[-1,1];arcsin(sinx)= ，其中x∈[-

??

，]; 22

六、数学思想方法： 数形结合思想，例如：解三角不等式可以用 、或 ;

整体思想，例如：研究函数y=Asin(ωx+ψ)的图像和性质可以把 看成整体

三角函数精练

A

α

⒈ 已知α是钝角，那么 是 ( )

2

A.第一象限角 B.第二象限角

C.第一与第二象限角 D.不小于直角的正角

2. 角α的终边过点P(-4k，3k)(k<0}，则cosα的值是 ( )

3 434A. B. C.- D.- 5555

3.已知点P(sinα-cosα，tanα)在第一象限，则在[0，2π]内，α的取值范围是 ( )

π3π5πππ5πA.( ∪(π， B.( )∪(π，

244424π3π5π3πππ3πC.( ， )∪， D.( )∪( ，π)

2442424

34

4.若sinx= - cosx = ，则角2x的终边位置在 ( )

55

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

2π

5.若4π<α<6π，且α与- 终边相同，则α= .

3

6. 角α终边在第三象限，则角2α终边在 象限.

7.已知|tanx|=-tanx，则角x的集合为 8.如果θ是第三象限角，则cos(sinθ)?sin(sinθ)的符号为什么?

9.已知扇形AOB的周长是6cm，该扇形中心角是1弧度，求该扇形面积.

B

1.sin600°的.值是 ( )

11A B.- C. D.-

2222ππ

2. α)sinα)的化简结果为 ( )

44

11

A.cos2α B.cos2α C.sin2α D. sin2α

22

1

3.已知x∈[0，π]，则tanx的值是 ( )

5

第 3 页 共 8 页

34434A.- B.- C.± D或-43343

11

4.已知tanα=-，则= .

3 2sinαcosα+cosα5.

的值为 .

cos10°-1-cos170°

1+2sinαcosα1+ tanα

6. = cosα-sinα 1-tanα

2sinθ+cosθ

7.已知-5，求3cos2θ+4sin2θ的值.

sinθ-3cosθ

8.已知锐角α、β、γ满足sinα+sinγ=sinβ，cosα-cosγ=cosβ，求α-β的值.

C.

π34

1.已知0<αβ<π，sinα=，cos(α+β)=-sinβ等于 ( )

255

242424

A.0 B.0或 C. D.0或-

252525

sin7°+cos15°sin8°2. 的值等于 ( )

cos7°-sin15°sin8°

2-3 2+3

A.2+ B. C.2- D.

22

3. △ABC中，3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=1，则∠C的大小为 ( )

π5ππ5ππ2πA. B. C. D. 或666633

π1

4.若α是锐角，且sin(α-cosα的值是 .

63

π2π3π

5.coscos

777

11

6.已知tanθtanφ=，且θ、φ都是锐角.求证：θ+φ=45°.

23

π3π44

7.已知cos(α-β)=-，cos(α+β)= ，且(α-β)∈(，π)，α+β∈(2π)，求cos2α、

5522

cos2β的值.

tanα11

8. 已知sin(α+β)= sin(π+α-β)= .

23tanβ

D

1.cos75°+cos15°的值等于 ( )

6 6 2 2 A. B - C. - D.

22222 2

2.a=(sin17°+cos17°)，b=2cos213°-1，c= ，则 ( )

22

A.c

1+sin2θ-cos2θ

3.

1+sin2θ+cos2θ

4.化简sin(2α+β)-2sinαcos(α+β.

ACAC

5.在△ABC中，已知A、B、C成等差数列，则tan3 tantan .

2222

22

6.化简sinA+sinB+2sinAsinBcos(A+B). 7 化简sin50°3 tan10°).

8 已知sin(α+β)=1，求证：sin(2α+β)+sin(2α+3β)=0.

E

1.函数y=lg(2cosx-1)的定义域为 ( )

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1-2sin10°cos10°

ππππ

A.{x|-

3366

ππππ

C.{x|2kπ-

3366π

2.如果α

www.wenku1.com/news/55D4C7C06FF3FBE2.html、βπ)，且tanα

2

3π3π

A.α<β B. β<α C. α+β< D. α+β>

22

3.若f(x)sinx是周期为π的奇函数，则f(x)可以是 ( )

A.sinx B. cosx C. sin2x D. cos2x 4.下列命题中正确的是 ( )

A.若α、β是第一象限角，且α>β，且sinα>sinβ

ππ

B.函数y=sinxcotx的单调递增区间是(2kπ-2kπ+)，k∈Z

22

1-cos2x

C.函数y=的最小正周期是2π

sin2x

kππ

D.函数y=sinxcos2φ-cosxsin2φ的图象关于y轴对称，则φ=k∈Z

24

xx

5.函数2π，2π)内的递增区间是 .

2266

6.y=sinx+cosx的周期为

ππ

7.比较下列函数值的大小：(1)sin2，sin3，sin4; (2)cos2θ，sin2θ，tan2θ(<θ<).

42

kπ

8.设f(x)=sin(x+) (k≠0) .

53

(1)写出f(x)的最大值M，最小值m，以及最小正周期T;

(2)试求最小的正整数k，使得当自变量x在任意两个整数间(包括整数本身)变化时，函数f(x)至少

有一个M与m.

F. 1

1.函数y= sin(2x+θ)的图象关于y轴对称的充要条件是 ( )

2

ππ

A.θ=2kπ+ B.θ=kπ C.θ=2kπ+π D.θ=kπ+π(k∈Z)

22

π

2.先将函数y=sin2x的图象向右平移个单位长度，再将所得图象作关于y轴的对称变换，则所得函数图

3象对应的解析式为 ( )

ππ

A.y=sin(-2x+ ) B.y=sin(-2x-)

33C.y=sin(-2x+

2π2π

) D. y=sin(-2x-) 33

3.右图是周期为2π的三角函数y=f(x)的图象，

那么f(x)可以写成 ( )

A.sin(1+x) B. sin(-1-x) C.sin(x-1) D. sin(1-x) 1π

4.y=tan(-)在一个周期内的图象是 ( )

23

?

O

5.已知函数y=2cosx(0≤x≤2π)的图象与直线y=2围成一个封闭的平面图形，则该封闭图形面积

是 . 6.将y=sin(3x-

ππ

的图象向(左、右) 个单位可得 63

π4π11

7.已知函数y=Asin(ωx+φ)，在同一个周期内，当x=x= 若A

9292

π

>0，ω>0，|φ|<，求该函数的解析表达式.

2

8.已知函数y=3 sinx+cosx，x∈R. (1)当y取得最大值时，求自变量x

(2)该函数的图象可由y=sinx(x∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到?

9.如图：某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin(ωx+φ)+b(1)求这段时间的最大温差;

(2)写出这段曲线的函数解析式.

G 1.函数y=A1

的最大值是 ( )

2+sinx+cosx

2 2 2 2 -1 B. +1 C. 1- D. -1- 2222

2.若2α+β=π，则y=cosβ-6sinα的最大值和最小值分别为 ( ) A.7，5 B. 7，-

1111

C. 5，- D. 7，-5 22

πsinx+1

3.当0≤x≤时，函数f(x)= 的 ( )

2 cosx+1

1

A.最大值为2，最小值为 B.最大值为2，最小值为0

2C.最大值为2，最小值不存在 D.最大值不存在，最小值为0

π

4.已知关于x的方程cos2x-sinx+a=0，若0

25

A.[-1，1] B.(-1，1) C.[-1，0] D.

45.要使sinα3 cosα=

4m-6

有意义，则m的取值范围是 . 4-m

π

6.若f(x)=2sinωx(0<ω<1)，在区间[0，]上的最大值为2 ，则ω= .

37.y=sinxcosx+sinx+cosx，求x∈[0，

π

]时函数y的最大值. 3

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8.已知函数f(x)=-sin2x-asinx+b+1的最大值为0，最小值为-4，若实数a>0，求a，b的值.

π

9.已知函数f(x)=2cos23 sin2x+a，若x∈[0，]，且|f(x)|<2，求a的取值范围.

2

H

1.△ABC中，3 =3 tanAtanB，sinAcosA=

3

( ) 4

A.等边三角形 B.钝角三角形

C.直角三角形 D.等边三角形或直角三角形

2.在△ABC中，已知(b+c)∶(c+a)∶(a+b)=4∶5∶6，则此三角形的最大内角为 ( ) A.120° B.150° C.60° D.90°

3.若A、B是锐角△ABC的两个内角，则点P(cosB-sinA，sinB-cosA)在 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4.在△ABC中，若sinA∶sinB∶sinC=5∶12∶13，则cosA= .

5.在△ABC中，3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=1，则∠C的大小为.

6.已知a、b、c是△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，S是△ABC的面积，若a=4，b=5，s=53 ，求c的长度.

7.在△ABC中，sin2A-sin2B+sin2C=sinAsinC，试求角B的大小. 8.半圆O的直径为2，A为直径延长线上一点，且OA=2， B为半圆上任意一点，以AB为边向外作等边△ABC，问B

点在什么位置时，四边形OACB的面积最大，并求出这个最

大面积.

三角函数答案

16π

A1. A 2. B 3. B 4. D 5. 6.一、二

37.{2kπ+

π3π

π107

B1. D 2. B 3. B 4. 5. 1 6. 略 7 8353

C1. C 2. C 3. A 4.2

71

7. cos2α=-cos2β=-1 8.

255

-11

5. 6.略 68

D1. A 2. A 3. tan θ 4. sinβ 5. 6. sin2(A+B).

7. 1 8 .略.

E1. C 2. C 3. B 4. D 5. [- 7.(1)sin4

2π10π8.(1)M=1，m=-1，T= k≠0). (2)k=32.

k | k |5

π

F1. B 2. D 3. D 4. A 5. 4 π 6.左，

3ππ, π) 6. 22

6

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πππ1

7. y= sin(3x+) 8.(1){x|x=+2kπ，k∈Z｝; (2)将y=sinx的图象向左平移2636

数y=sin(x+的图象.

π

6

π

)的图象，再将所得图象上各点横坐标不变，纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数y=2sin(x+6

π3π

9.(1)最大温差20℃; (2)y=10sin(x+20，x∈[6，14].

84

37

G1. B 2. D 3. A 4. A 5. -1≤m≤ 6.

3

4

7.1

2+2 8.a=2, b=-2 9.-2

13 5. π6 6.8. 设∠AOB=θ，θ=

5π6时，S53

最大值 =2+4

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